Cote n° 81 · pages 1–54 · Lecture modernisée · Immersions du disque et de la circonférence : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–54

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier n'est pas daté de sa main ; l'inventaire le date « à partir de 1981 » et le range dans le groupe « Géométrie et topologie combinatoire », avec les dossiers 69 à 89¹ .

1. Pages 1 à 5, « Cartes sphériques en général » : les cartes sur la sphère munies d'un repère, demi-arêtes libres admises, correspondent aux fractions rationnelles normalisées en \(0\), \(1\), \(\infty\), non ramifiées hors de ces trois valeurs et ramifiées au plus à l'ordre \(2\) au-dessus de \(1\) ; les cartes sans demi-arête libre, à celles dont la ramification au-dessus de \(1\) est partout exactement \(2\) (page 2) ; leurs coefficients sont algébriques et \(\mathrm{Aut}(\mathbb{C})\) agit à travers \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) (page 4). Les pages 3 et 5 sont des brouillons barrés.
2. Pages 9 à 11, des dessins sans texte : disques coupés de cordes, chacun avec un petit graphe ; la page 10 porte en outre quelques formules sur les ensembles de parties.
3. Pages 13 à 24, « Décompositions \(n\)-aires (et découpages) d'espaces topologiques », Version I : un espace connexe coupé par des fermés disjoints \(E_i\), chacun de complémentaire à deux composantes ; deux coupures font cinq pièces, \(n\) coupures font \(n+1\) morceaux, chacun s'écrit de façon unique comme le complémentaire d'hémisphères fermés disjoints, et morceaux et coupures forment un arbre.
4. Pages 25 à 29, un autre départ : les « dispositions binaires » d'un ensemble, la non-parallélité, puis la construction inverse de la précédente, qui d'un arbre tire une famille de décompositions deux à deux non parallèles.
5. Pages 31 à 39, « Décompositions \(n\)-aires d'un espace topologique », Version II, paragraphes 1.1 à 1.3 et formules (1) à (27) : décompositions binaires fermées, paires non parallèles et le diagramme (14), paires strictement non parallèles, l'ensemble ordonné \(C\) à involution d'une famille, le « quartette ordonné » et une proposition dont la démonstration s'interrompt.
6. Pages 40 à 52, « Relations d'équivalence non parallèles » : polygones combinatoires et leurs segments, parties non parallèles, partitions non parallèles — les partitions non croisées —, familles emboîtées de segments et leurs cœurs, « anglets », et les mêmes notions pour un « quasi-segment ».
7. Pages 53 et 54, « Attachement de deux arêtes » : recoller deux cartes le long d'une arête, et le bilan des faces et du genre.

Trois rédactions, gardées distinctes

La théorie des découpages est écrite trois fois, et les trois ne disent pas la même chose. La Version I (pages 14 à 24) part des coupures \(E_i\) et des composantes ouvertes \(\Sigma_i^{\pm}\) de \(X \smallsetminus E_i\) ; elle ferme ces composantes en \(\widehat{\Sigma}_i^{\pm} = \Sigma_i^{\pm} \cup E_i\). La disposition binaire des pages 25 à 29 est une paire de parties d'un ensemble dont aucune ne contient l'autre. La Version II (pages 31 à 39) part de deux hémisphères fermés \(\Sigma^{\varepsilon}\) de réunion \(X\), admet que l'un contienne l'autre, et n'appelle « propre » la décomposition que si ce n'est pas le cas. Les lettres ne veulent donc pas dire la même chose d'une rédaction à l'autre : \[ \widehat{\Sigma} \ (\text{Version I}) = \Sigma \ (\text{Version II}), \qquad \Sigma \ (\text{Version I}) = \Sigma^{0} \ (\text{Version II}). \] On garde, dans chaque section, les lettres de la rédaction qu'elle lit.

Conventions

• Non parallèle. C'est le mot de Grothendieck, pour les décompositions (pages 25 et 32) comme pour les parties d'un polygone (pages 43 et 51), et on le garde. Il veut dire « qui ne se croisent pas » : deux cordes disjointes d'un disque, que l'usage dirait parallèles, définissent des décompositions non parallèles au sens de ces pages. Le nom actuel est compatibles (pour des scissions) ou non croisées (pour des parties d'un cycle).
• Un morceau est une classe de la partition \(\Pi_I^0\) du complémentaire des coupures (la page dit « classe »). Le graphe des morceaux de la page 23, que la page note \((S, I, R)\), est noté ici \(\Gamma_I\).
• Un polygone est un ensemble fini \(S\) de cardinal \(N \geqslant 3\) muni d'une « bi-circulation » \(\{u, u^{-1}\}\), où \(u\) est une permutation circulaire de \(S\) ; un segment est une partie formée de sommets consécutifs, non vide et distincte de \(S\) ; \(\partial T\) est l'ensemble de ses extrémités. La relation d'équivalence des pages 47 à 50 est notée \(R\), ses classes \(S_i\) ; l'ensemble résiduel de la page 46, que la page note aussi \(R\), est noté \(Z\).

Restent des collisions de lettres, qu'on ne corrige pas parce que les sections ne se mêlent pas : \(S\) est l'ensemble des morceaux (page 23), celui des sommets d'un arbre (page 27) et le polygone (page 41) ; \(I\) indexe les coupures (pages 14 à 24) et désigne le quasi-segment (page 51) ; \(A\) indexe une famille (page 37), est l'ensemble des arêtes d'un arbre (page 27) et une partie du polygone (pages 42 et suivantes).

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Quatre liens, qu'aucun feuillet n'écrit, et qui sont de nous. La Version I va des coupures à l'arbre (pages 16 à 24) ; les pages 27 à 29 vont de l'arbre aux décompositions : ce sont les deux sens d'une même correspondance, que la Version II cherche à axiomatiser. Le contre-exemple à la proposition de la page 39 est la configuration de trois cordes autour d'un triangle, dont le graphe dessiné page 11 est un tripode. Les trois cordes parallèles de la page 47, qui montrent qu'une famille de segments ne se retrouve pas à partir de sa partition, rappellent la rangée de quatre cordes parallèles marquée « ? » page 9. Et la bi-circulation de la page 41 est exactement la troisième description d'un polygone combinatoire du dossier 89 (pages 19 et 20) : une paire de permutations circulaires inverses l'une de l'autre.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

La fin de la page 4 (« le diviseur de \(f\) est »). La question, s'il y en a une, des dessins des pages 9 à 11. L'égalité annoncée page 16, le lemme de la page 22 et le lemme de l'arbre de la page 23, dont la démonstration commence page 24 et s'arrête ; on les démontre ici. La « description complète » de la page 28 et le cas des ensembles vides, « à examiner de plus près » page 29. La transitivité demandée en marge de la page 38 ; la réciproque qu'annonce l'« Inversement » de la même page. La proposition de la page 39, fausse telle qu'énoncée. Le « plus petit » couple de la page 43. L'« Intuition » de la page 44. La reconstruction d'une famille de segments à partir de sa partition (page 47), que le NB de la même page réfute. La tour de la page 50. Le NB et l'étude de \(\Sigma_{\max}\) de la page 52. La dérivation des bilans de la page 53.

1–5

I. Cartes sphériques en général (pages 1 à 5)

2–2

Le dictionnaire (page 2)

Une carte sphérique orientée est un graphe fini tracé sans croisement sur une sphère orientée, dont le complémentaire est une réunion de disques ouverts, les faces ; on la considère à isotopie près. Une carte à demi-arêtes libres admet en outre des demi-arêtes libres, arcs attachés à un sommet par un bout et libres de l'autre, son complémentaire étant toujours une réunion de disques ouverts ; les cartes sont celles qui n'en ont pas. Un repère y fixe trois points² . La page énonce trois descriptions équivalentes de ces objets.

Premier dictionnaire. Il appelle spéciales les fractions rationnelles \(f \colon \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \to \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\) telles que \[ f(0) = 0, \qquad f(1) = 1, \qquad f(\infty) = \infty, \] \(f\) est étale au-dessus de \(\mathbb{P}^1 \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\), et tout point critique \(z \in \mathbb{C}\) de \(f\) avec \(f(z) \notin \{0,\infty\}\) vérifie \(f(z) = 1\) et \(f''(z) \neq 0\) : au-dessus de \(1\), l'indice de ramification est au plus \(2\)³ . Alors :

• les fonctions spéciales correspondent aux cartes sphériques orientées repérées à demi-arêtes libres ;
• parmi elles, celles dont tout point au-dessus de \(1\) est d'indice exactement \(2\) correspondent aux cartes sphériques orientées repérées, sans demi-arête libre.

Les sommets sont les points au-dessus de \(0\), avec pour degré l'indice de ramification ; les faces, les points au-dessus de \(\infty\) ; les arêtes, les points au-dessus de \(1\) d'indice \(2\), et les demi-arêtes libres, ceux d'indice \(1\) — l'arête ou la demi-arête étant l'adhérence de la composante de \(f^{-1}(]0,1])\) qui passe par ce point⁴ .

C'est une forme du théorème d'existence de Riemann. Une carte fait de la sphère privée des sommets, des milieux d'arêtes, des extrémités libres des demi-arêtes et des centres de faces un revêtement fini de la sphère privée de trois points ; ce revêtement porte une unique structure complexe qui rende la projection holomorphe, elle se prolonge aux points ôtés, et la surface obtenue, de genre \(0\), est isomorphe à \(\mathbb{P}^1\), l'isomorphisme étant fixé par les trois points du repère⁵ . On reconnaît ce qu'on appelle aujourd'hui une fonction de Belyi sur \(\mathbb{P}^1\), et la carte est son dessin d'enfant⁶ .

Deuxième dictionnaire. Écrivons \(f = P/Q\) avec \(P, Q \in \mathbb{C}[z]\) premiers entre eux. Les conditions aux trois points s'écrivent \[ P(0) = 0, \qquad P(1) = Q(1), \qquad \deg Q < \deg P, \] d'où \(Q(0) \neq 0\) et \(P(1) = Q(1) \neq 0\) par primalité ; on normalise par \(P(1) = Q(1) = 1\). En un point \(z\) où \(P(z) Q(z) \neq 0\), on a \(f'/f = P'/P - Q'/Q\), et la condition sur les points critiques devient : \[ \frac{P'(z)}{P(z)} = \frac{Q'(z)}{Q(z)} \ \Longrightarrow\ P(z) = Q(z) \ \text{ et } \ P''(z) \neq Q''(z). \] La seconde conclusion vient de ce qu'en un tel point \(f''(z) = \bigl(P''(z) - Q''(z)\bigr)/Q(z)\), puisque \(P(z) = Q(z)\) et \(P'(z) = Q'(z)\)⁷ .

2–2

Une question, et sa réponse (page 2)

La page note l'identité \[ Q P' - P Q' = (Q - P)\,P' + P\,(P' - Q'). \] En un point critique \(z\) de \(f\) (où \(QP' - PQ' = 0\)) avec \(P(z) \neq 0\), elle montre que \(P(z) = Q(z)\) entraîne \(P'(z) = Q'(z)\), et que réciproquement \(P'(z) = Q'(z)\) entraîne \(P(z) = Q(z)\) pourvu que \(P'(z) \neq 0\). D'où la question de la page : peut-on avoir \(P'(z) = Q'(z) = 0\) sans \(P(z) = Q(z)\) ?

La réponse est oui, et l'exemple que la page commence la donne⁸ . Prenons \(Q = 1\) : les conditions se réduisent à \(P(0) = 0\), \(P(1) = 1\), et la question devient de savoir si \(P'(z) = 0\) entraîne \(P(z) \in \{0, 1\}\). Pour \(P(T) = aT^2 + bT\) avec \(a + b = 1\) et \(a \neq 0\), le seul point critique est \(z = -b/2a\), et \[ P\Bigl(-\frac{b}{2a}\Bigr) = -\frac{b^2}{4a}. \] Cette valeur vaut \(0\) si et seulement si \(b = 0\), et \(1\) si et seulement si \(b^2 = -4a = 4b - 4\), c'est-à-dire \(b = 2\). Dans cette famille, les seules fonctions spéciales sont donc \(T^2\) — un sommet de degré \(2\) et deux demi-arêtes libres — et \(2T - T^2 = 1 - (1-T)^2\) — deux sommets, en \(0\) et en \(2\), joints par une arête dont le milieu est \(1\) ; pour toute autre valeur de \(b\), \(P'\) s'annule en un point où \(P\) ne vaut ni \(0\) ni \(1\).

4–4

L'action de \(\mathrm{Aut}(\mathbb{C})\) (page 4)

Si \(\sigma\) est un automorphisme du corps \(\mathbb{C}\) et \(f\) une fonction spéciale, la fonction \(f^{\sigma}\) obtenue en appliquant \(\sigma\) aux coefficients est encore spéciale : toutes les conditions sont algébriques. Donc \(\mathrm{Aut}(\mathbb{C})\) agit sur l'ensemble des fonctions spéciales, et, dit la page, il agit à travers \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) parce que les coefficients de \(P\) et \(Q\) sont algébriques ; il revient au même de dire que les zéros de \(P\) et de \(Q\) le sont.

La page affirme l'algébricité sans la justifier⁹ . Voici pourquoi elle est vraie. Pour un degré \(d\) donné, il n'y a qu'un nombre fini de fonctions spéciales : un revêtement de degré \(d\) de \(\mathbb{P}^1 \smallsetminus \{0,1,\infty\}\) est donné par une action transitive du groupe libre à deux générateurs sur un ensemble à \(d\) éléments, il y en a un nombre fini à isomorphisme près, et chacun n'admet qu'un nombre fini de repères. Normalisés par \(P(1) = Q(1) = 1\), les coefficients sont déterminés par \(f\) ; chacun n'a donc qu'un nombre fini de conjugués sous \(\mathrm{Aut}(\mathbb{C})\), et un nombre complexe qui n'a qu'un nombre fini de conjugués est algébrique, puisque \(\mathrm{Aut}(\mathbb{C})\) agit transitivement sur les nombres transcendants. L'action se factorise alors par la restriction \(\mathrm{Aut}(\mathbb{C}) \to \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\).

On a ainsi un groupe de Galois qui agit sur des objets purement combinatoires — des graphes tracés sur une sphère. C'est l'observation que l'Esquisse d'un programme place au centre, pour les cartes de tout genre, et dont elle tire, à l'aide du théorème de Belyi, que l'action sur l'ensemble de tous les dessins est fidèle¹⁰ .

3–5

Les versos (pages 3 et 5)

Les pages 3 et 5, barrées, sont des brouillons. La page 3 calcule dans une algèbre engendrée par des éléments \(e_i\), \(f_i\) et \(\eta\), munie d'une dérivation \(\delta\), et conclut, sous ses hypothèses, que \(\delta \eta = \pm e_{d-2}\) ; rien ne la rattache aux cartes¹¹ . La page 5 porte, sur une couche, la suite de ce calcul, et, tête-bêche, la dérivée seconde \[ \Bigl(\frac{P}{Q}\Bigr)'' = \frac{P''Q^2 - Q''PQ - 2P'QQ' + 2PQ'^2}{Q^3}, \] qui sert à la page 2.

9–11

II. Disques coupés de cordes (pages 9 à 11)

Les pages 9 et 11 sont des pages de dessins, sans texte. Chacune montre des rangées de disques coupés par des cordes, droites ou courbes, parfois concourantes, une région parfois hachurée ; sous chaque disque, un petit graphe. Pour la plupart des dessins, les sommets du graphe semblent être les cordes et ses arêtes leurs croisements : un point pour une corde, deux points pour deux cordes disjointes, un segment pour deux cordes qui se croisent, un triangle pour trois cordes deux à deux sécantes¹² . Plusieurs dessins sont marqués « ok », avec des variantes introduites par « ou » ; sous une rangée de disques à quatre cordes parallèles, un « ? ». La page 11 ajoute, parmi les graphes, un tripode en forme de Y, un carré, un triangle surmonté d'un segment.

Ces dessins sont des diagrammes de cordes, et ils reviennent plus loin sous deux formes : les partitions en classes de deux éléments de la page 44, qui sont des familles de cordes sans croisement, et les trois cordes parallèles de la page 47. Les configurations à cordes sécantes que dessinent les pages 9 et 11 sont exactement celles que la condition « non parallèle » des pages 40 à 52 exclut ; c'est un rapprochement de notre part.

La page 10. Au milieu de ces dessins, quelques formules sur les ensembles de parties \(\mathbb{P}(X)\) et les applications : \[ \mathbb{P}(X \times Z) \simeq \mathrm{Hom}(Z \times X, \mathcal{E}) = \mathrm{Hom}\bigl(X, \mathrm{Hom}(Z, \mathcal{E})\bigr), \qquad \mathrm{Hom}(X, Y) \subset \mathbb{P}(X \times Y). \] Si l'on lit \(\mathcal{E}\), que la page ne définit pas, comme un ensemble à deux éléments — ou, dans un topos, le classifiant des sous-objets —, la première ligne est la correspondance entre parties et fonctions caractéristiques, suivie de la curryfication, et vaut sans le point d'interrogation que la page met sur « \(\simeq\) » ; la seconde identifie une application à son graphe¹³ . Le croquis voisin, \(H \subset P \times X \times Y\) au-dessus de \(P \times X\), puis de \(P\), évoque la relation universelle sur un objet de parties, par laquelle on construit les exponentielles d'un topos à partir de ses objets de parties ; la page n'en dit pas plus. Rien ne rattache cette page au reste du dossier.

13–24

III. Découpages d'un espace par des coupures : la Version I (pages 13 à 24)

13–14

Les hypothèses (pages 13 et 14)

Soient \(X\) un espace topologique connexe et \((E_i)_{i \in I}\) une famille finie de parties fermées de \(X\) telles que :

1. (a)pour tout \(i\), \(X \smallsetminus E_i\) a exactement deux composantes connexes, notées \(\Sigma_i^{+}\) et \(\Sigma_i^{-}\) ;
2. (b)pour \(i \neq j\), \(E_j\) est contenu dans l'une des deux composantes de \(X \smallsetminus E_i\).

La condition (b) entraîne que les \(E_i\) sont deux à deux disjoints ; elle est automatique si les \(E_i\) sont connexes et disjoints. On pose \(\widehat{\Sigma}_i^{\pm} = \Sigma_i^{\pm} \cup E_i\)¹⁴ .

Trois conséquences servent partout. Les \(\Sigma_i^{\pm}\) sont ouverts dans \(X\) : chacun est fermé dans \(X \smallsetminus E_i\) comme composante, donc ouvert comme complémentaire de l'autre, et \(X \smallsetminus E_i\) est ouvert dans \(X\)¹⁵ . On a \(\overline{\Sigma_i^{\pm}} \subset \Sigma_i^{\pm} \cup E_i\), puisque l'autre composante est un ouvert disjoint ; en particulier \(\widehat{\Sigma}_i^{\pm}\) est fermé. Enfin, \(X\) étant connexe, \(\overline{\Sigma_i^{\pm}} \cap E_i \neq \emptyset\) : sinon \(\Sigma_i^{\pm}\) serait ouvert et fermé, non vide et distinct de \(X\). En particulier \(E_i \neq \emptyset\).

L'exemple à garder en tête est celui d'un disque fermé coupé par des cordes disjointes. Pour des cordes rectilignes, (a) est élémentaire ; pour des arcs simples joignant deux points du bord, c'est une forme du théorème de Jordan, et il faut celui de Schoenflies pour savoir que les morceaux sont encore des disques¹⁶ .

14–15

Deux coupures (pages 14 et 15)

Soit \(I = \{1, 2\}\), et notons \(\Sigma_i^{+}\) la composante de \(X \smallsetminus E_i\) qui ne contient pas l'autre coupure.

Les deux calottes sont disjointes. On a \[ \Sigma_1^{+} \subset \Sigma_2^{-}, \qquad \Sigma_2^{+} \subset \Sigma_1^{-}, \qquad \Sigma_1^{+} \cap \Sigma_2^{+} = \emptyset . \] En effet \(\Sigma_2^{-}\) contient \(E_1\), donc en est un voisinage ouvert, et \(\overline{\Sigma_1^{+}}\) rencontre \(E_1\) ; donc \(\Sigma_2^{-}\) rencontre \(\Sigma_1^{+}\). La réunion \(\Sigma_2^{-} \cup \Sigma_1^{+}\) est alors un connexe contenu dans \(X \smallsetminus E_2\) (car \(\Sigma_1^{+} \cap E_2 = \emptyset\)) et contenant la composante \(\Sigma_2^{-}\) : elle lui est égale, et \(\Sigma_1^{+} \subset \Sigma_2^{-}\). Symétriquement pour l'autre inclusion, et la disjonction en résulte.

Les cinq pièces. La partition commune des deux partitions \(X = \Sigma_i^{+} \sqcup E_i \sqcup \Sigma_i^{-}\) est \[ X = \Sigma_1^{+} \sqcup E_1 \sqcup \Sigma_{12} \sqcup E_2 \sqcup \Sigma_2^{+}, \qquad \Sigma_{12} = \Sigma_1^{-} \cap \Sigma_2^{-}, \] avec \(\Sigma_2^{-} = \Sigma_1^{+} \sqcup E_1 \sqcup \Sigma_{12}\) et \(\Sigma_1^{-} = \Sigma_{12} \sqcup E_2 \sqcup \Sigma_2^{+}\). Les trois pièces \(\Sigma_1^{+}\), \(\Sigma_{12}\), \(\Sigma_2^{+}\) sont ouvertes, et \[ \Sigma_1^{+} \subsetneq \overline{\Sigma_1^{+}} \subset \Sigma_1^{+} \cup E_1, \qquad \overline{\Sigma_{12}} \subset \Sigma_{12} \cup E_1 \cup E_2, \qquad \Sigma_2^{+} \subsetneq \overline{\Sigma_2^{+}} \subset \Sigma_2^{+} \cup E_2 . \] La pièce du milieu touche les deux coupures : \(\overline{\Sigma_{12}} \cap E_1 \neq \emptyset\) et \(\overline{\Sigma_{12}} \cap E_2 \neq \emptyset\) ; en particulier \(\Sigma_{12} \neq \emptyset\). Si l'on avait \(\overline{\Sigma_{12}} \cap E_1 = \emptyset\), on aurait \(\overline{\Sigma_{12}} \subset \Sigma_{12} \cup E_2\), puis \[ \overline{\Sigma_1^{-}} = \overline{\Sigma_2^{+}} \cup E_2 \cup \overline{\Sigma_{12}} \subset \Sigma_1^{-}, \] et \(\Sigma_1^{-}\) serait fermé, ce que la connexité interdit.

16–16

Le cas des frontières communes (page 16)

Supposons de plus que chaque coupure soit la frontière commune de ses deux côtés : \[ \overline{\Sigma_i^{+}} = \Sigma_i^{+} \cup E_i, \qquad \overline{\Sigma_i^{-}} = \Sigma_i^{-} \cup E_i \qquad (i \in I), \] comme c'est le cas pour une corde d'un disque. Alors \[ \overline{\Sigma_{12}} = \Sigma_{12} \cup E_1 \cup E_2 . \] La page l'annonce (« je dis que ») sans le démontrer¹⁷ . En effet \(E_1 \subset \overline{\Sigma_1^{-}} = \overline{\Sigma_2^{+}} \cup E_2 \cup \overline{\Sigma_{12}}\), et \(E_1\) ne rencontre ni \(E_2\) ni \(\overline{\Sigma_2^{+}} \subset \Sigma_2^{+} \cup E_2\) ; donc \(E_1 \subset \overline{\Sigma_{12}}\), et de même pour \(E_2\).

16–19

Compter les morceaux (pages 16 à 19)

Pour \(J \subset I\), notons \(U_J = X \smallsetminus \bigcup_{j \in J} E_j\) et \(\Pi_J^0\) la partition de \(U_J\) qui est la partition commune des partitions \(\{\Sigma_j^{+} \cap U_J, \Sigma_j^{-} \cap U_J\}\) (\(j \in J\)) : deux points sont dans la même classe s'ils sont, pour chaque \(j\), du même côté de \(E_j\). Ses classes non vides sont les morceaux¹⁸ . Ils sont ouverts, comme intersections finies d'ouverts.

Le compte (pages 17 et 19). Si \(\operatorname{card} I = n\), la partition \(\Pi_I^0\) a exactement \(n + 1\) morceaux.

Par récurrence sur \(n\), les cas \(n = 0, 1\) étant clairs. Soit \(I = J \sqcup \{i\}\). Par (b), \(E_i\) est, pour chaque \(j \in J\), d'un seul côté de \(E_j\) ; il est donc contenu dans un unique morceau de \(\Pi_J^0\), noté \(U_{J,i}\), qui en est un voisinage ouvert.

Lemme (page 17). Tout morceau de \(\Pi_J^0\) distinct de \(U_{J,i}\) est contenu dans \(\Sigma_i^{+}\) ou dans \(\Sigma_i^{-}\).

« C'est presque une tautologie. » Un morceau \(U_\alpha \neq U_{J,i}\) est, pour un certain \(j \in J\), du côté de \(E_j\) qui ne contient pas \(E_i\) ; par l'étude de deux coupures, ce côté est contenu dans le côté de \(E_i\) qui contient \(E_j\), et \(U_\alpha\) aussi.

Les morceaux de \(\Pi_I^0\) sont donc ceux de \(\Pi_J^0\) autres que \(U_{J,i}\), inchangés, et les deux ensembles \(U_{J,i} \cap \Sigma_i^{+}\) et \(U_{J,i} \cap \Sigma_i^{-}\), qui sont non vides parce que \(U_{J,i}\) est un voisinage de \(E_i\) et que les deux côtés de \(E_i\) ont \(E_i\) dans leur adhérence. Il y en a \((n - 1) + 2 = n + 1\) (page 19).

18–22

La forme des morceaux (pages 18 à 22)

Lemme (page 19). Tout morceau de \(\Pi_I^0\) s'écrit \[ V = X \smallsetminus \bigcup_{\alpha \in K} \widehat{\Sigma}_\alpha^{+} = \bigcap_{\alpha \in K} \Sigma_\alpha^{-}, \] où \(K \subset I\) est non vide si \(I\) l'est, et où, pour chaque \(\alpha \in K\), \(\Sigma_\alpha^{+}\) est l'une des deux composantes de \(X \smallsetminus E_\alpha\) (et \(\Sigma_\alpha^{-}\) l'autre), les \(\widehat{\Sigma}_\alpha^{+}\) étant deux à deux disjoints.

Pour \(\alpha \neq \beta\), la disjonction de \(\widehat{\Sigma}_\alpha^{+}\) et \(\widehat{\Sigma}_\beta^{+}\) équivaut à celle de \(\Sigma_\alpha^{+}\) et \(\Sigma_\beta^{+}\) : par l'étude de deux coupures, une seule des quatre paires de composantes est disjointe, celle des deux côtés « extérieurs », et chaque coupure est alors du côté intérieur de l'autre.

La démonstration (pages 18 et 20) est une récurrence. Par hypothèse de récurrence, \(U_{J,i} = X \smallsetminus \bigcup_{\alpha \in K_0} \widehat{\Sigma}_\alpha^{+}\), et \[ U_{J,i} \cap \Sigma_i^{-} = X \smallsetminus \Bigl( \bigcup_{\alpha \in K_0} \widehat{\Sigma}_\alpha^{+} \cup \widehat{\Sigma}_i^{+} \Bigr). \] Dans la réunion on peut omettre les \(\alpha\) tels que \(\Sigma_\alpha^{+} \subset \Sigma_i^{+}\), puisqu'alors \(\widehat{\Sigma}_\alpha^{+} \subset \widehat{\Sigma}_i^{+}\) ; soit \(K_1\) l'ensemble des autres. Reste à voir que pour \(\alpha_0 \in K_1\), \(\Sigma_{\alpha_0}^{+} \cap \Sigma_i^{+} = \emptyset\). Or \(E_i \subset U_{J,i} \subset \Sigma_{\alpha_0}^{-}\), donc \(\Sigma_{\alpha_0}^{+}\) est le côté de \(E_{\alpha_0}\) qui ne contient pas \(E_i\) ; il est contenu dans le côté de \(E_i\) qui contient \(E_{\alpha_0}\). Comme \(\Sigma_{\alpha_0}^{+} \not\subset \Sigma_i^{+}\), ce côté est \(\Sigma_i^{-}\), et \(\Sigma_i^{+}\) est l'autre, disjoint de \(\Sigma_{\alpha_0}^{+}\) par l'étude de deux coupures¹⁹ . On conclut avec \(K = K_1 \cup \{i\}\) ; l'autre morceau, \(U_{J,i} \cap \Sigma_i^{+}\), se traite de même.

Corollaire du lemme (page 20). L'écriture de \(V\) est unique : \[ K = \{ \alpha \in I \mid \overline{V} \cap E_\alpha \neq \emptyset \}, \] et, pour \(\alpha \in K\), \(\Sigma_\alpha^{+}\) est la composante de \(X \smallsetminus E_\alpha\) qui ne rencontre pas \(V\). Comme \(V\) est ouvert et ne rencontre aucune coupure, la condition \(\overline{V} \cap E_\alpha \neq \emptyset\) équivaut à \(\dot{V} \cap E_\alpha \neq \emptyset\), où \(\dot{V}\) est la frontière de \(V\).

Les pages 21 et 22 le démontrent en deux temps.

Si \(\alpha \in K\), alors \(\overline{V} \cap E_\alpha = \overline{\Sigma_\alpha^{-}} \cap E_\alpha\), qui est non vide. Posons \(Y = \widehat{\Sigma}_\alpha^{+}\) et \(Z = \bigcup_{\beta \in K \smallsetminus \{\alpha\}} \widehat{\Sigma}_\beta^{+}\), fermés disjoints. On a \(X \smallsetminus Y = (X \smallsetminus (Y \cup Z)) \cup Z\), donc, \(Z\) étant fermé, \(\overline{X \smallsetminus Y} = \overline{X \smallsetminus (Y \cup Z)} \cup Z\), et en coupant par \(Y\), qui ne rencontre pas \(Z\) : \[ \overline{X \smallsetminus (Y \cup Z)} \cap Y = \overline{X \smallsetminus Y} \cap Y , \] ce qui est l'égalité cherchée (« immédiat », dit la page, après une première tentative encadrée et barrée).

Si \(\beta \notin K\), alors \(\overline{V} \cap E_\beta = \emptyset\). Le morceau \(V\) ne rencontre aucune coupure, donc \(E_\beta \subset X \smallsetminus V = \bigcup_{\alpha \in K} \widehat{\Sigma}_\alpha^{+}\), et, les coupures étant disjointes, \(E_\beta \subset \bigcup_{\alpha \in K} \Sigma_\alpha^{+}\), ouvert disjoint de \(V\).

Lemme (page 22). Mieux : il existe \(\alpha \in K\) tel que \(E_\beta \subset \Sigma_\alpha^{+}\). Par (b), \(E_\beta\) est, pour chaque \(\alpha \in K\), contenu dans \(\Sigma_\alpha^{+}\) ou dans \(\Sigma_\alpha^{-}\) ; s'il était contenu dans tous les \(\Sigma_\alpha^{-}\), il le serait dans leur intersection \(V\), qu'il ne rencontre pas, et il est non vide²⁰ .

Corollaire (page 22). Les morceaux de la partition \(\Pi_K^0\), définie par les seules coupures \(E_\alpha\) (\(\alpha \in K\)), sont les \(\Sigma_\alpha^{+}\) (\(\alpha \in K\)) et \(V\). Chaque \(\Sigma_\alpha^{+}\) est en effet contenu dans tous les \(\Sigma_\beta^{-}\) (\(\beta \neq \alpha\)), et le compte, \(\operatorname{card} K + 1\), est le bon (« immédiat par récurrence »). L'unicité de l'écriture en résulte : \(K\) est l'ensemble des coupures qui touchent \(V\), et \(\Sigma_\alpha^{+}\) le côté de \(E_\alpha\) qui ne contient pas \(V\).

23–24

L'arbre des morceaux (pages 23 et 24)

Soit \(S\) l'ensemble des morceaux \(U_s\) de \(\Pi_I^0\). Disons que le morceau \(U_s\) et la coupure \(E_i\) sont incidents si \(\overline{U_s} \cap E_i \neq \emptyset\).

Lemme (page 23). Chaque coupure \(E_i\) est incidente à exactement deux morceaux, l'un dans \(\Sigma_i^{+}\), l'autre dans \(\Sigma_i^{-}\). Le graphe \(\Gamma_I\) qui a pour sommets les morceaux et pour arêtes les coupures, l'arête \(i\) joignant ses deux morceaux incidents, est sans arête multiple, et c'est un arbre.

La page ne démontre que le début²¹ . Voici un argument complet, qui suit la récurrence des pages 16 à 19. Pour \(I = J \sqcup \{i\}\), le graphe \(\Gamma_I\) s'obtient à partir de \(\Gamma_J\) en dédoublant le sommet \(U_{J,i}\) en deux sommets \(U_{J,i} \cap \Sigma_i^{\pm}\) joints par l'arête \(i\), les autres arêtes issues de \(U_{J,i}\) allant à l'un ou à l'autre selon le côté de \(E_i\) où se trouve la coupure. En effet :

• si \(E_j \subset \Sigma_i^{-}\) touche \(U_{J,i}\), il touche \(U_{J,i} \cap \Sigma_i^{-}\), puisque \(\Sigma_i^{-}\) est un voisinage ouvert de \(E_j\), et ne touche pas \(U_{J,i} \cap \Sigma_i^{+}\), dont l'adhérence est dans \(\Sigma_i^{+} \cup E_i\) ;
• un morceau \(U_t \neq U_{J,i}\) ne touche pas \(E_i\), car il est dans un côté d'une coupure \(E_j\) qui ne contient pas \(E_i\), dont l'adhérence est dans ce côté réuni à \(E_j\) ;
• les deux moitiés touchent \(E_i\), puisque \(U_{J,i}\) est un voisinage de \(E_i\) et que les deux côtés de \(E_i\) l'ont dans leur adhérence.

Dédoubler un sommet d'un arbre en une arête, en répartissant les autres arêtes, donne un arbre ; on part de l'arbre à un sommet (\(I = \emptyset\)).

La page 24 commence à décrire le morceau incident à \(E_i\) du côté \(\Sigma_i^{-}\). Il s'écrit \(U = X \smallsetminus \bigcup_{\alpha \in K} \widehat{\Sigma}_\alpha^{+}\) avec \(i \in K\), et \(\Sigma_i^{+}\) y est le côté de \(E_i\) qui ne contient pas \(U\). Il s'agit de voir que le reste de l'écriture est déterminé par \(i\) et le choix du côté. C'est vrai, et \[ K \smallsetminus \{i\} = \{ \alpha \neq i \mid E_\alpha \subset \Sigma_i^{-} \text{ et aucune coupure ne sépare } E_\alpha \text{ de } E_i \}, \] \(\Sigma_\alpha^{+}\) étant, pour ces \(\alpha\), le côté de \(E_\alpha\) qui ne contient pas \(E_i\) : ce sont les arêtes de l'arbre qui partent du même sommet que \(i\)²² .

25–29

IV. Dispositions binaires et arbres (pages 25 à 29)

25–26

Dispositions binaires et paires non parallèles (pages 25 et 26)

Une disposition binaire d'un ensemble \(X\) est une paire de parties \(\{\Sigma^{+}, \Sigma^{-}\}\), les hémisphères, de réunion \(X\), dont aucune ne contient l'autre ; leur intersection \(E\), éventuellement vide, est l'équateur. Pour un espace topologique, on demande les hémisphères fermés, et le plus souvent connexes avec \(E \neq \emptyset\) ; alors \(X\) est connexe. Si \(X\) est connexe, l'hémisphère ouvert \(\Sigma^{\pm,0} = \Sigma^{\pm} \smallsetminus E\) a \(E\) dans son adhérence : sinon il serait ouvert et fermé, non vide et distinct de \(X\)²³ .

Deux dispositions binaires \(\{\Sigma_1^{\pm}\}\), \(\{\Sigma_2^{\pm}\}\) sont non parallèles si elles sont distinctes et si l'on peut choisir un hémisphère de chacune, noté \(\Sigma_1^{+}\) et \(\Sigma_2^{+}\), avec \(\Sigma_1^{+} \cap \Sigma_2^{+} = \emptyset\)²⁴ . Alors \(E_1 \cap E_2 = \emptyset\), \(\Sigma_1^{+} \subset \Sigma_2^{-}\) et \(\Sigma_2^{+} \subset \Sigma_1^{-}\), et \(\Sigma_{12} = \Sigma_1^{-} \cap \Sigma_2^{-}\) contient \(E_1 \cup E_2\) et n'est pas vide, même si les deux équateurs le sont : sinon les deux dispositions seraient deux partitions de \(X\) égales à \(\{\Sigma_1^{+}, \Sigma_2^{+}\}\). Il en résulte que le choix de \(\Sigma_1^{+}\) et \(\Sigma_2^{+}\) est unique. La chaîne d'inclusions \[ \Sigma_1^{+} \supset E_1 \hookrightarrow \Sigma_{12} \hookleftarrow E_2 \subset \Sigma_2^{+} \] se dessine comme un segment à trois points marqués, et la marge note \(\Sigma_1^{-} = \Sigma_{12} \amalg_{E_2} \Sigma_2^{+}\) et \(\Sigma_2^{-} = \Sigma_{12} \amalg_{E_1} \Sigma_1^{+}\), sommes amalgamées.

Une longue note oblique de la marge signale que les quatre hémisphères ne sont pas nécessairement distincts — on peut avoir \(\Sigma_1^{+} = \Sigma_2^{-}\), d'où \(E_1 = \Sigma_{12}\) et \(E_2 = \emptyset\) — et ajoute « strict. » devant « non parallèles » : c'est la notion que définit la page 36²⁵ .

27–29

D'un arbre à une famille de décompositions (pages 27 à 29)

Voici « une façon très générale » d'obtenir des familles de décompositions binaires deux à deux non parallèles. Soit \(\Gamma = (S, A)\) un arbre fini, d'ensemble de sommets \(S\) et d'ensemble d'arêtes \(A\), et soient \((U_s)_{s \in S}\), \((E_a)_{a \in A}\) deux familles d'ensembles ; posons \[ X = \coprod_{s \in S} U_s \ \amalg\ \coprod_{a \in A} E_a . \] Pour \(a_0 \in A\), l'arbre privé de l'arête \(a_0\) a deux composantes \(\Gamma'\), \(\Gamma''\) ; soient \(S'\), \(S''\) leurs sommets, et \(A'\), \(A''\) leurs arêtes auxquelles on ajoute \(a_0\). La décomposition binaire \(\Pi_{a_0}\) est \(X = X' \cup X''\), avec \[ X' = \coprod_{s \in S'} U_s \amalg \coprod_{a \in A'} E_a, \qquad X'' = \coprod_{s \in S''} U_s \amalg \coprod_{a \in A''} E_a, \qquad X' \cap X'' = E_{a_0} . \] La page ne dit pas si \(A'\) et \(A''\) contiennent \(a_0\) ; l'égalité \(X' \cap X'' = E_{a_0}\) l'exige²⁶ . Elle est propre (\(X' \neq E_{a_0}\) et \(X'' \neq E_{a_0}\)) pour tout \(a_0\) si et seulement si

1. (\(*\))pour toute feuille \(s\) de \(\Gamma\), \(U_s \neq \emptyset\).

En effet, chaque composante \(\Gamma'\) contient une feuille de \(\Gamma\), et réciproquement, si \(U_s = \emptyset\) pour une feuille \(s\), la coupure à son arête isole \(X' = E_{a_0}\).

Pour \(a \neq b\), l'hémisphère de \(\Pi_a\) qui ne contient pas \(E_b\) et celui de \(\Pi_b\) qui ne contient pas \(E_a\) sont disjoints ; \(\Pi_a\) et \(\Pi_b\) sont donc non parallèles dès qu'elles sont distinctes, et elles le sont si et seulement si

1. (\(**\))pour tout sommet \(s\) d'ordre \(2\), d'arêtes \(a\) et \(b\), l'un des trois ensembles \(U_s\), \(E_a\), \(E_b\) est non vide²⁷ .

Ils sont strictement non parallèles au sens de la page 36 si et seulement si l'on a de plus

1. (\(*{*}*\))pour tout sommet \(s\) d'ordre \(2\) et toute arête \(a\) qui y aboutit, \(U_s \neq \emptyset\) ou \(E_a \neq \emptyset\),

condition qui entraîne (\(**\)). La page 29 l'affirme, en ajoutant que le cas où certains ensembles sont vides « est à examiner un peu de plus près »²⁸ .

La réalisation topologique. La page 28 visualise la construction. Réalisons \(\Gamma\) comme graphe topologique \(|\Gamma|\) et marquons le milieu \(a'\) de chaque arête : c'est la subdivision barycentrique \(\Gamma^{*}\), de sommets \(S^{*} = S \amalg A'\). Chaque point \(a'\) coupe \(|\Gamma|\) en deux composantes, dont les adhérences forment une décomposition binaire d'équateur \(\{a'\}\), et deux telles décompositions sont strictement non parallèles. Leurs traces sur \(S^{*}\) sont des décompositions binaires de \(S^{*}\) ; et se donner une application surjective \(X \to S^{*}\) revient à se donner les deux familles \((U_s)\), \((E_a)\) d'ensembles non vides. La construction de la page 27 est donc l'image réciproque, par une telle application, des décompositions de l'arbre lui-même²⁹ .

C'est la construction inverse de celle de la Version I, qui part des coupures pour trouver l'arbre ; les deux ensemble disent qu'une famille finie de découpages deux à deux non parallèles et un arbre sont la même chose. Dans le cas d'un ensemble fini sans équateurs, c'est ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème d'équivalence des scissions de Buneman³⁰ .

31–39

V. Décompositions \(n\)-aires : la Version II (pages 31 à 39)

La Version II, titrée et numérotée, reprend tout avec des hémisphères fermés et sans supposer \(X\) connexe.

31–32

1.1. Décompositions binaires (pages 31 et 32)

Une décomposition binaire d'un espace topologique \(X\) est une paire \(\Pi = (\Sigma^{\varepsilon})_{\varepsilon \in \omega}\), indexée par un ensemble \(\omega\) à deux éléments, de parties fermées de \(X\) telles que \[ X = \bigcup_{\varepsilon \in \omega} \Sigma^{\varepsilon} \quad (1), \qquad \Sigma^{\varepsilon} \neq \emptyset \quad (2), \qquad \Sigma^{\varepsilon} \neq \Sigma^{\varepsilon'} \text{ pour } \varepsilon \neq \varepsilon' \quad (3). \] Il en résulte \(\operatorname{card} X \geqslant 2\). On n'exclut pas que \(\Sigma^{\varepsilon'} \subset \Sigma^{\varepsilon}\), ce qui équivaut par (1) à \(\Sigma^{\varepsilon} = X\). Les \(\Sigma^{\varepsilon}\) sont les hémisphères, et \[ E = \bigcap_{\varepsilon \in \omega} \Sigma^{\varepsilon} \qquad (4) \] l'équateur. Si \(E = \emptyset\), les hémisphères sont complémentaires, donc ouverts et fermés, et \(X\) n'est pas connexe. D'où (5) : si \(X\) est connexe, \(E \neq \emptyset\) ; et si les hémisphères sont connexes, \(X\) est connexe si et seulement si \(E \neq \emptyset\).

Pour \(\omega = \{\varepsilon, \varepsilon'\}\), on pose \[ \Sigma^{0\varepsilon} = \Sigma^{\varepsilon} \smallsetminus E = X \smallsetminus \Sigma^{\varepsilon'} \qquad (6), \] ouvert, d'où la partition \(X = \Sigma^{0\varepsilon} \sqcup E \sqcup \Sigma^{0\varepsilon'}\) (7), et \[ \overline{\Sigma^{0\varepsilon}} \cap E = \overline{\Sigma^{0\varepsilon}} \cap \Sigma^{\varepsilon'} = \overline{\Sigma^{0\varepsilon}} \smallsetminus \Sigma^{0\varepsilon} = \dot{\Sigma}^{0\varepsilon} \qquad (8), \] la frontière de l'hémisphère ouvert³¹ .

32–36

1.2. Paires non parallèles (pages 32 à 36)

Deux décompositions binaires \(\Pi_1 = \{\Sigma_1^{+}, \Sigma_1^{-}\}\) et \(\Pi_2 = \{\Sigma_2^{+}, \Sigma_2^{-}\}\) (9) sont non parallèles si elles sont distinctes et si l'on peut nommer leurs hémisphères de sorte que \[ \Sigma_1^{+} \cap \Sigma_2^{+} = \emptyset \qquad (10). \] Cette condition équivaut à \(\Sigma_1^{+} \subset \Sigma_2^{0-}\), et à \(\Sigma_2^{+} \subset \Sigma_1^{0-}\) ; elle entraîne les inclusions \[ \Sigma_1^{+} \subset \Sigma_2^{-} \quad (11), \qquad \Sigma_2^{+} \subset \Sigma_1^{-} \quad (11 \text{ bis}), \] mais n'équivaut à aucune d'elles³² . La marge ajoute que (10) donne \(E_1 \subset \Sigma_2^{0-}\), \(E_2 \subset \Sigma_1^{0-}\), et \(E_1 \cap E_2 = \emptyset\).

Posons \(\Sigma_{12} = \Sigma_1^{-} \cap \Sigma_2^{-}\), \(E_1 = \Sigma_1^{+} \cap \Sigma_1^{-}\), \(E_2 = \Sigma_2^{+} \cap \Sigma_2^{-}\) (13). On a le diagramme d'inclusions de parties fermées (14) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & X & & \\
 & \Sigma_{2}^{-} \arrow[ur] & & \Sigma_{1}^{-} \arrow[ul] & \\
 \Sigma_{1}^{+} \arrow[ur] & & \Sigma_{12} \arrow[ul] \arrow[ur] & &
 \Sigma_{2}^{+} \arrow[ul] \\
 & E_{1} \arrow[ul] \arrow[ur] & & E_{2} \arrow[ul] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

où les trois carrés sont cartésiens et cocartésiens : dans chacun, le sommet du bas est l'intersection et le sommet du haut la réunion des deux autres, \[ \begin{array}{ll} E_1 = \Sigma_1^{+} \cap \Sigma_{12}, & \Sigma_2^{-} = \Sigma_1^{+} \cup \Sigma_{12}, \\ E_2 = \Sigma_{12} \cap \Sigma_2^{+}, & \Sigma_1^{-} = \Sigma_{12} \cup \Sigma_2^{+}, \\ \Sigma_{12} = \Sigma_1^{-} \cap \Sigma_2^{-}, & X = \Sigma_2^{-} \cup \Sigma_1^{-} \end{array} \qquad (15). \] Ce sont des vérifications directes à partir de (11) et (11 bis)³³ . De plus (16) : \(\Sigma_1^{+} \cap \Sigma_2^{-} = \Sigma_1^{+} \neq \emptyset\), \(\Sigma_2^{+} \cap \Sigma_1^{-} = \Sigma_2^{+} \neq \emptyset\), et \(\Sigma_{12} \neq \emptyset\) ; pour la dernière, si \(\Sigma_{12}\) était vide, les équateurs qu'il contient le seraient, \(\Pi_1\) et \(\Pi_2\) seraient des partitions, et \(X = \Sigma_1^{+} \amalg \Sigma_2^{+}\) donnerait \(\Pi_1 = \Pi_2\).

Proposition (page 34). Si \(\Pi_1\) et \(\Pi_2\) sont non parallèles, il existe un unique couple \((\Sigma_1^{+}, \Sigma_2^{+}) \in \Pi_1 \times \Pi_2\) d'hémisphères disjoints. Les trois autres couples se rencontrent, par (16).

Soit \(C = \Pi_1 \amalg \Pi_2 = \omega_1 \amalg \omega_2\) (17), ensemble à quatre éléments, et \(C \to \mathfrak{P}_{\text{fermé}}(X)\) (18) l'application évidente, d'image \(\{\Sigma_1^{+}, \Sigma_1^{-}, \Sigma_2^{+}, \Sigma_2^{-}\}\) (19). Elle est injective si et seulement si les quatre hémisphères sont distincts. On sait déjà (\(*\)) \(\Sigma_i^{+} \neq \Sigma_i^{-}\), par (3), et (\(**\)) \(\Sigma_1^{+} \neq \Sigma_2^{+}\), parties disjointes non vides. On lit sur (14) : \[ \begin{array}{ll} \text{a) } (\Sigma_1^{+} = \Sigma_2^{-}) \Longleftrightarrow E_1 = \Sigma_{12} & (\Rightarrow E_2 = \emptyset), \\ \text{b) } (\Sigma_2^{+} = \Sigma_1^{-}) \Longleftrightarrow E_2 = \Sigma_{12} & (\Rightarrow E_1 = \emptyset) \end{array} \qquad (*{*}*), \] et les deux ne peuvent avoir lieu ensemble, qui donneraient \(\Sigma_{12} = E_1 = E_2 = \emptyset\), contre (16)³⁴ . Enfin \[ (\Sigma_1^{-} = \Sigma_2^{-}) \Longleftrightarrow (\Sigma_1^{-} = \Sigma_2^{-} = X) \Longleftrightarrow \Sigma_{12} = X \qquad (*{*}{*}*), \] cas qui exclut chacun des deux précédents, puisque \(E_1 = \Sigma_{12} = X\) contredirait (3).

Proposition (page 35). Les quatre hémisphères sont distincts si et seulement si l'on n'est dans aucun des trois cas suivants, qui s'excluent mutuellement : \[ \text{a) } E_1 = \Sigma_{12}; \qquad \text{a') } E_2 = \Sigma_{12}; \qquad \text{b) } \Sigma_{12} = X, \text{ i.e. } \Sigma_1^{-} = \Sigma_2^{-} = X \qquad (20). \] Dans chacun, l'ensemble (19) a trois éléments. Dans le cas b), on a \(E_1 = \Sigma_1^{+}\) et \(E_2 = \Sigma_2^{+}\).

Corollaire (page 36). Si les quatre hémisphères sont distincts et si \(\Sigma_1^{-} \neq X\), \(\Sigma_2^{-} \neq X\), les seules inclusions entre eux, hors les égalités, sont \(\Sigma_1^{+} \subset \Sigma_2^{-}\) et \(\Sigma_2^{+} \subset \Sigma_1^{-}\). Les inclusions inverses donneraient des égalités ; \(\Sigma_1^{+} \subset \Sigma_1^{-}\) donnerait \(\Sigma_1^{-} = X\), et \(\Sigma_1^{-} \subset \Sigma_1^{+}\) donnerait \(\Sigma_1^{+} = X\), impossible puisque \(\Sigma_2^{+}\) est non vide et disjoint de \(\Sigma_1^{+}\)³⁵ ; de même pour l'indice 2 ; \(\Sigma_1^{+}\) et \(\Sigma_2^{+}\) sont disjoints et non vides ; et \(\Sigma_1^{-} \subset \Sigma_2^{-}\) donnerait \(\Sigma_2^{-} \supset \Sigma_1^{-} \cup \Sigma_1^{+} = X\). La marge reformule : ce sont les seules inclusions non triviales si et seulement si les quatre sont distincts et \(\Sigma_1^{-} \neq X\), \(\Sigma_2^{-} \neq X\).

Définition (page 36). \(\Pi_1\) et \(\Pi_2\) sont strictement non parallèles si elles sont non parallèles, si les quatre hémisphères sont distincts, et si \(\Sigma_1^{-} \neq X\), \(\Sigma_2^{-} \neq X\) ; autrement dit, si les seules inclusions entre les quatre sont \(\Sigma_1^{+} \subset \Sigma_2^{-}\) et \(\Sigma_2^{+} \subset \Sigma_1^{-}\) ; autrement dit encore, \[ \Sigma_1^{-} \neq X, \quad \Sigma_2^{-} \neq X \quad (\Pi_1, \Pi_2 \text{ \emph{propres}}), \qquad E_1 \neq \Sigma_{12}, \quad E_2 \neq \Sigma_{12} \qquad (21). \]

37–38

1.3. Familles non parallèles et leur ensemble ordonné (pages 37 et 38)

Que la condition stricte soit remplie ou non, on munit l'ensemble à quatre éléments \(C = \{\varepsilon_1^{+}, \varepsilon_1^{-}, \varepsilon_2^{+}, \varepsilon_2^{-}\}\) (17) de l'ordre dont les seules relations strictes sont \[ \varepsilon_1^{+} < \varepsilon_2^{-}, \qquad \varepsilon_2^{+} < \varepsilon_1^{-} \qquad (22), \] que la page dessine :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\varepsilon_{1}^{-} & \varepsilon_{2}^{-} \\
\varepsilon_{1}^{+} \arrow[ur] & \varepsilon_{2}^{+} \arrow[ul]
\end{tikzcd}

Soit maintenant \((\Pi_\alpha)_{\alpha \in A}\), \(\Pi_\alpha = \{\Sigma_\alpha^{\varepsilon}\}_{\varepsilon \in \omega_\alpha}\) (23), un ensemble de décompositions binaires de \(X\) deux à deux non parallèles (24). Définition (page 37). On dit que la famille est non parallèle, et, si \(\operatorname{card} A = n\), que c'est une décomposition \(n\)-aire non parallèle de \(X\) ; terminologie analogue pour « strictement »³⁶ . Considérons \[ C = \coprod_{\alpha \in A} \omega_\alpha \qquad (25), \] l'involution sans point fixe \(\sigma\) qui échange les deux éléments de chaque \(\omega_\alpha\), et la relation définie, pour \(x \in \omega_\alpha\) et \(y \in \omega_\beta\), par \[ x < y \ \Longleftrightarrow\ \alpha \neq \beta \ \text{ et } \ \Sigma_\alpha^{x} \cap \Sigma_\beta^{\sigma y} = \emptyset \qquad (26), \] c'est-à-dire par l'ordre (22) de la paire \(\{\Pi_\alpha, \Pi_\beta\}\).

C'est un ordre, ce que la marge demande de vérifier³⁷ . L'antisymétrie vient de l'unicité du couple disjoint (proposition de la page 34) : \(x < y\) et \(y < x\) désigneraient comme couple disjoint de \(\Pi_\alpha \times \Pi_\beta\) à la fois \((x, \sigma y)\) et \((\sigma x, y)\). Pour la transitivité, \(x < y < z\) donne \(\Sigma^{x} \subset X \smallsetminus \Sigma^{\sigma y} \subset \Sigma^{y}\) et \(\Sigma^{y} \cap \Sigma^{\sigma z} = \emptyset\), donc \(\Sigma^{x} \cap \Sigma^{\sigma z} = \emptyset\) ; et \(x\), \(z\) ne sont pas dans le même \(\omega_\alpha\), car \(z = x\) contredirait l'antisymétrie et \(z = \sigma x\) donnerait \(\Sigma^{x} = \emptyset\).

L'involution \(\sigma\) renverse l'ordre : \(x < y\) entraîne \(\sigma y < \sigma x\), la condition (26) étant symétrique. L'application \[ \varphi \colon C \to \mathfrak{P}_{\text{fermé}}(X), \qquad (\alpha, x) \mapsto \Sigma_\alpha^{x} \qquad (27) \] est croissante, et c'est un isomorphisme d'ensembles ordonnés sur son image (ordonnée par inclusion) si et seulement si la famille est strictement non parallèle. Cela résulte du corollaire de la page 36 appliqué à chaque paire, et, pour \(x\) et \(\sigma x\), qui sont incomparables dans \(C\), de ce que \(\Sigma^{x}\) et \(\Sigma^{\sigma x}\) ne sont comparables que si l'un vaut \(X\), ce que « propre » exclut³⁸ .

38–39

Les quartettes ordonnés (pages 38 et 39)

« Inversement », la page pose la définition abstraite de ce qu'elle vient d'obtenir.

Définition (page 38). Un quartette ordonné est un ensemble fini \(C\) muni d'une involution sans point fixe \(\sigma\) et d'une relation d'ordre, tels que :

1. a)pour \(x, y \in C\), les éléments \(x\) et \(y\) sont comparables si et seulement si \(\sigma x\) et \(y\) ne le sont pas ;
2. b)\(\sigma\) renverse l'ordre : \(x < y\) entraîne \(\sigma y < \sigma x\).

L'ensemble ordonné \(C\) d'une famille non parallèle est un quartette ordonné : pour \(\alpha \neq \beta\), des quatre paires \(\{x, y\}\), \(\{\sigma x, y\}\), \(\{x, \sigma y\}\), \(\{\sigma x, \sigma y\}\), exactement deux, échangées par \(\sigma\), sont comparables ; et \(x\) est comparable à lui-même, non à \(\sigma x\)³⁹ .

Ce sont exactement, dans le vocabulaire d'aujourd'hui, les « pocsets » finis dont deux murs quelconques sont emboîtés ; et un tel pocset est l'ensemble des demi-arbres d'un arbre fini, ordonné par inclusion⁴⁰ . La réciproque de la construction des pages 27 à 29 est ainsi à portée : c'est là, semble-t-il, que la rédaction voulait aller.

Proposition (page 39), telle qu'énoncée. Soit \((C, \sigma, <)\) un quartette ordonné. Pour tout \(x \in C\), les ensembles \(C_{\geqslant x} = \{y \mid y \geqslant x\}\) et \(C_{\leqslant x} = \{y \mid y \leqslant x\}\) sont totalement ordonnés.

L'énoncé est faux. Prenons trois cordes disjointes d'un disque qui entourent un triangle, et les trois décompositions binaires qu'elles définissent, de calottes \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\) et de grands côtés \(c_1'\), \(c_2'\), \(c_3'\). La famille est strictement non parallèle, et son quartette est \(C = \{c_1, c_2, c_3, c_1', c_2', c_3'\}\), avec \(\sigma c_i = c_i'\) et pour seules relations \(c_i < c_j'\) (\(i \neq j\)). Alors \(C_{\geqslant c_1} = \{c_1, c_2', c_3'\}\), et \(c_2'\), \(c_3'\) sont incomparables. Ce qui est vrai est plus faible :

• tout intervalle \([x, z] = \{y \mid x \leqslant y \leqslant z\}\) est totalement ordonné ;
• \(C_{\geqslant x}\) est totalement ordonné pour tout \(x\) si et seulement si l'arbre du quartette est une chaîne, c'est-à-dire si toutes les coupures sont « en file », comme des cordes parallèles au sens usuel⁴¹ .

Pour le premier point : si \(x \leqslant y, y' \leqslant z\) avec \(y\), \(y'\) incomparables, a) rend \(\sigma y\) et \(y'\) comparables ; \(\sigma y \leqslant y' \leqslant z\) rendrait \(y\) et \(\sigma y\) tous deux comparables à \(z\), et \(y' \leqslant \sigma y\) rendrait \(y\) et \(\sigma y\) tous deux comparables à \(x\), ce que a) interdit dans les deux cas.

La démonstration de la page suit exactement ce chemin, et s'arrête là où il n'y a plus rien à trouver. Elle se ramène, par dualité, à voir que \(x < y\), \(x < z\), \(y \neq z\) entraînent \(y\), \(z\) comparables. Elle note que \(y\) et \(z\) ne sont pas conjugués, puis suppose \(y\), \(z\) incomparables : alors \(\sigma y\) et \(z\) sont comparables ; \(z \leqslant \sigma y\) est exclu, car il donnerait \(x \leqslant \sigma y\) ; donc \(\sigma y < z\), d'où \(\sigma z < y\) — et la phrase s'arrête sur « d'où \(\sigma z <\) »⁴² . Dans l'exemple des trois cordes, avec \(x = c_1\), \(y = c_2'\), \(z = c_3'\), on a bien \(\sigma y = c_2 < c_3' = z\) et \(\sigma z = c_3 < c_2' = y\), sans contradiction.

40–52

VI. Relations d'équivalence non parallèles (pages 40 à 52)

La chemise de la page 40 porte « relations d'équi. non parallèles ». Les pages qui suivent laissent l'espace topologique et ne gardent que les extrémités des coupures : des points rangés sur un cercle.

41–42

Polygones et segments (pages 41 et 42)

Soit \(S\) un ensemble fini de cardinal \(N \geqslant 3\), muni d'une structure polygonale ou bi-circulation \(\{u, u^{-1}\}\), où \(u\) est une permutation circulaire de \(S\)⁴³ . Une partie \(T\) de cardinal \(i\) est un segment si \(0 < i < N\) et s'il existe \(s_0 \in S\) avec \[ T = \{s_0, u s_0, \ldots, u^{i-1} s_0\} ; \] avec \(t_0 = u^{i-1} s_0\) on a aussi \(T = \{t_0, v t_0, \ldots, v^{i-1} t_0\}\), où \(v = u^{-1}\). Exemples : les singletons, les paires de sommets voisins (les « parties-arêtes »). Propriétés :

• \(T\) est un segment si et seulement si \(S \smallsetminus T\) en est un ;
• l'intersection de deux segments contenus dans un même segment est un segment si elle n'est pas vide ;
• la réunion de deux segments qui se rencontrent et ne recouvrent pas \(S\) est un segment ;
• les extrémités de \(T\), \(\partial T = \{s_0, t_0\}\), sont distinctes si et seulement si \(T\) n'est pas un singleton ; une orientation (le choix de \(u\)) les distingue en origine et extrémité.

Une orientation étant choisie, \((s_0, i) \mapsto \{s_0, \ldots, u^{i-1} s_0\}\) est une bijection de \(S \times [1, N-1]\) sur l'ensemble des segments, qui en a donc \(N(N-1)\)⁴⁴ .

Composantes d'une partie. Soit \(S' \subsetneq S\). Deux segments contenus dans \(S'\) qui se rencontrent ont pour réunion un segment contenu dans \(S'\). Tout segment contenu dans \(S'\) est donc contenu dans un plus grand segment contenu dans \(S'\) ; ces segments maximaux, les segments composants de \(S'\), forment une partition de \(S'\) : ce sont les suites maximales de sommets consécutifs de \(S'\). Si l'on réalise le polygone par un cercle \(X\) portant les points de \(S\), les segments composants de \(S'\) correspondent aux composantes connexes de \(X \smallsetminus (S \smallsetminus S')\) qui rencontrent \(S'\)⁴⁵ .

42–43

Parties non parallèles (pages 42 et 43)

Proposition (pages 42 et 43). Soient \(A\), \(B\) deux parties disjointes de \(S\), non vides et distinctes de \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)il existe des segments disjoints \(\overline{A} \supset A\) et \(\overline{B} \supset B\) ;
2. b)pour \(a \neq a'\) dans \(A\) et \(b \neq b'\) dans \(B\), les sommets \(a\) et \(a'\) sont voisins dans le polygone à quatre sommets \(\{a, a', b, b'\}\) muni de la bi-circulation induite — ce qui équivaut à ce que \(b\) et \(b'\) le soient, ou à ce que \(a\) et \(a'\) n'y soient pas opposés ;
3. c)\(B\) est contenu dans un seul segment composant de \(S \smallsetminus A\) ;
4. c')\(A\) est contenu dans un seul segment composant de \(S \smallsetminus B\).

On dit alors que \(A\) et \(B\) sont non parallèles.

En termes de cordes, b) dit que les cordes \(aa'\) et \(bb'\) ne se croisent jamais. Les implications se vérifient ainsi⁴⁶ . De a) à c) : \(\overline{B}\) est un segment contenu dans \(S \smallsetminus A\), donc dans l'un de ses segments composants. De c) à a) : si \(B\) est dans le composant \(K\), on prend \(\overline{B} = K\) et \(\overline{A} = S \smallsetminus K\). De c) à b) : si \(b\) et \(b'\) sont dans le même composant de \(S \smallsetminus A\), un des deux arcs qui les joignent ne contient aucun point de \(A\). De b) à c) : si \(b\) et \(b'\) sont dans deux composants différents, chacun des deux arcs qui les joignent contient un point de \(A\), et ces deux points alternent avec \(b\), \(b'\). La symétrie de a) donne c').

Il y a un plus petit couple de segments \((\overline{A}, \overline{B})\) comme dans a) : \(A\) est dans un composant \(K'\) de \(S \smallsetminus B\), qui est totalement ordonné par \(u\), et l'on prend pour \(\overline{A}\) le plus petit segment de \(K'\) contenant \(A\) ; de même pour \(\overline{B}\) ; ces deux segments sont disjoints, car deux arcs d'un cercle dont aucun ne contient les extrémités de l'autre ne se rencontrent pas s'ils ne recouvrent pas le cercle⁴⁷ .

Exemple. Si \(A\) ou \(B\) est un singleton, la condition b) est vide : un point est non parallèle à toute partie qui ne le contient pas. En général, \(A\) et \(B\) sont non parallèles si et seulement si toute paire \(A' \in \mathfrak{P}_2(A)\) est non parallèle à toute paire \(B' \in \mathfrak{P}_2(B)\)⁴⁸ .

La marge d). Si les points de \(S\) sont placés, dans l'ordre, sur une courbe convexe du plan — en position convexe —, et si \(P_A\) désigne l'enveloppe convexe de \(A\), alors \(A\) et \(B\) sont non parallèles si et seulement si \(P_A \cap P_B = \emptyset\). C'est l'image qui a donné leur nom actuel à ces parties : on les dit non croisées⁴⁹ .

44–44

Structure à étudier (page 44)

Structure à étudier : les partitions \((S_\alpha)_{\alpha \in J}\) de \(S\) en parties deux à deux non parallèles, qu'il appelle partitions non parallèles⁵⁰ . Ce sont les partitions non croisées d'un cycle, étudiées sous ce nom par G. Kreweras en 1972⁵¹ .

Intuition : à un ensemble bi-circulé de cardinal \(N\) muni d'une partition non parallèle correspondrait, « essentiellement », un ensemble bi-circulé de cardinal pair \(N' \leqslant N\) muni d'une partition non parallèle en classes à deux éléments — une famille de cordes sans croisement qui en couvre tous les points⁵² . Sous ce texte, un grand cercle, sans marque.

45–47

Familles emboîtées de segments et leurs cœurs (pages 45 à 47)

Soit \(\Sigma\) un ensemble de segments de \(S\) tel que :

1. (\(\sigma_1\))deux éléments de \(\Sigma\) qui se rencontrent sont emboîtés ;
2. (\(\sigma_2\))si \(A \subsetneq B\) dans \(\Sigma\), alors \(A\) ne contient aucune extrémité de \(B\).

La condition (\(\sigma_1\)) fait de \(\Sigma\) une famille laminaire. Pour \(A \in \Sigma\), posons \[ A^{*} = A \smallsetminus \bigcup_{B \in \Sigma,\ B \subsetneq A} B, \] le cœur de \(A\). Par (\(\sigma_2\)), \(A^{*} \supset \partial A\), donc \(A^{*} \neq \emptyset\).

Proposition (marge de la page 45). Si \(A \neq B\) dans \(\Sigma\), alors \(A^{*} \cap B^{*} = \emptyset\) ; en particulier \(A \mapsto A^{*}\) est injectif. De plus \(\bigcup_{A \in \Sigma} A = \bigcup_{A \in \Sigma} A^{*}\). Si \(A \cap B = \emptyset\), c'est clair ; sinon, par (\(\sigma_1\)), disons \(A \subsetneq B\), et \(B^{*}\) ne rencontre pas \(A\) par définition. Pour la seconde assertion, un point \(x\) d'un élément de \(\Sigma\) appartient au cœur du plus petit élément de \(\Sigma\) qui le contient, les éléments qui contiennent \(x\) formant une chaîne⁵³ .

Conséquences (page 46). Deux cœurs distincts sont non parallèles : si \(A\) et \(B\) sont disjoints, \(A\) et \(B\) sont des segments disjoints qui les contiennent ; si \(A \subsetneq B\), ce sont \(A\) et \(S \smallsetminus A\). Si les cœurs recouvrent \(S\), ils forment donc une partition non parallèle de \(S\)⁵⁴ . Sinon, posons \[ Z = S \smallsetminus \bigcup_{A \in \Sigma} A^{*} = S \smallsetminus \bigcup_{A \in \Sigma} A, \qquad \widehat{\Sigma} = \Sigma \cup \{Z\}, \qquad Z^{*} = Z ; \] \(Z\) n'est pas en général un segment, mais il est non parallèle à chaque cœur, qui est contenu dans un élément maximal \(M\) de \(\Sigma\) quand \(Z\) est dans le segment \(S \smallsetminus M\). La famille \(\widehat{\Sigma}^{*} = \{A^{*} \mid A \in \widehat{\Sigma}\}\) est alors une partition non parallèle de \(S\)⁵⁵ .

Si \(Z\) est lui-même un segment, \(\widehat{\Sigma}\) satisfait encore (\(\sigma_1\)) et (\(\sigma_2\)), et \(Z\) y est isolé ; la même partition provient alors de deux familles. Pour l'éviter, on impose

1. (\(\sigma_3\))\(Z = S \smallsetminus \bigcup_{A \in \Sigma} A\) n'est pas un segment

(c'est le cas si \(Z = \emptyset\), qui n'est pas un segment).

La famille ne se retrouve pas à partir de la partition (page 47). Peut-on reconstruire \(A \in \Sigma\) à partir de \(\widehat{\Sigma}^{*}\) ? Le segment \(A\) contient \(A^{*}\) et en est un segment minimal, puisque \(A^{*} \supset \partial A\) ; mais cela ne le caractérise pas — le segment complémentaire de l'intérieur de \(A\) contient aussi \(\partial A\). Il a en outre la propriété que tout cœur \(B^{*}\) est contenu dans \(A\) ou disjoint de \(A\). Même ainsi, et même sous (\(\sigma_1\)) à (\(\sigma_3\)), la réponse est non. Soit \(S\) l'hexagone \(a_1, b, a_2, a_2', b', a_1'\) — trois cordes parallèles \(a_1 a_1'\), \(b b'\), \(a_2 a_2'\) tracées dans un cercle —, et \(R\) la partition en \(\{a_1, a_1'\}\), \(\{b, b'\}\), \(\{a_2, a_2'\}\). La famille \(\Sigma_1 = \{\{a_1, a_1'\}, \{a_2, a_2'\}, \{a_1, a_1', b, b'\}\}\) et sa symétrique \(\Sigma_2 = \{\{a_1, a_1'\}, \{a_2, a_2'\}, \{a_2, a_2', b, b'\}\}\) satisfont (\(\sigma_1\)) à (\(\sigma_3\)) et ont la même partition \(R\) de cœurs⁵⁶ . C'est la même rangée de cordes parallèles, en plus court, que celle que la page 9 marque d'un « ? ».

48–50

Relations non parallèles et anglets (pages 48 à 50)

Soit \(R\) une relation d'équivalence sur \(S\) dont les classes \(S_i\) sont deux à deux non parallèles — une partition non croisée. Un segment est saturé s'il est réunion de classes. Le complémentaire d'un segment saturé est saturé ; la réunion et l'intersection de deux segments saturés qui se rencontrent sans recouvrir \(S\) le sont aussi. Pour une classe \(S_i\), les segments composants de \(S \smallsetminus S_i\) sont saturés : c'est la condition c) de la page 43. Leurs complémentaires, qui sont les segments minimaux contenant \(S_i\), le sont donc aussi⁵⁷ .

Proposition (page 48). Les segments saturés minimaux sont les classes de \(R\) qui sont des segments. Il les appelle anglets.

Une classe qui est un segment est un segment saturé, évidemment minimal. Réciproquement, soit \(A\) un segment saturé minimal, qu'on regarde comme un intervalle ordonné par \(u\), et soit \(S_k\) la classe qui contient la première extrémité de \(A\). Les éléments de \(A\) qui suivent le dernier point de \(S_k\) forment, s'il y en a, un segment saturé strictement contenu dans \(A\) : une classe qui aurait des points de part et d'autre de ce dernier point croiserait \(S_k\). Par minimalité, \(S_k\) contient donc les deux extrémités de \(A\) ; et un segment composant de \(S \smallsetminus S_k\) contenu dans \(A\) serait encore un segment saturé strictement plus petit. Donc \(S_k = A\)⁵⁸ .

Corollaire (page 49). Tout segment saturé contient un anglet. Si \(R\) n'est pas la relation grossière, il y a au moins deux anglets. Il y a en effet alors deux segments saturés complémentaires : un composant de \(S \smallsetminus S_i\), pour une classe \(S_i \neq S\), et son complémentaire.

C'est, pour les partitions non croisées, l'analogue du fait qu'un arbre à au moins deux sommets a au moins deux feuilles ; le mot « anglet » dit bien qu'une telle classe occupe un coin du polygone⁵⁹ .

L'effeuillage (pages 49 et 50). Soit \(T_1\) la réunion des anglets et \(S_1 = S \smallsetminus T_1\). Si \(S_1 \neq \emptyset\), il a au moins deux segments composants : sinon \(S_1\), complémentaire du saturé \(T_1\), serait un segment saturé, et contiendrait un anglet⁶⁰ . Aucune classe contenue dans \(S_1\) n'est contenue dans un seul segment composant de \(S_1\) : sinon, n'étant pas un segment, elle laisserait entre deux de ses points un segment saturé contenu dans \(S_1\), qui contiendrait un anglet. Alors :

• si \(\operatorname{card} S_1 = 2\), \(S_1\) est une classe, et \(R\) est formée des anglets et de \(S_1\) ;
• si \(\operatorname{card} S_1 \geqslant 3\), \(S_1\) muni de l'ordre circulaire induit est un polygone, et \(R_1 = R|_{S_1}\) y est une relation non parallèle ; si elle est grossière, \(R\) est formée des anglets et de \(S_1\) ; sinon on recommence avec les anglets de \(R_1\), qui sont au moins deux.

La page 50 esquisse la tour qui en résulte, une suite \(\Sigma_1, \Sigma_2, \ldots\) d'ensembles de segments saturés deux à deux disjoints, de réunions \(T_1 \subset T_2 \subset \cdots\), chaque élément de \(\Sigma_i\) contenant au moins un segment composant de \(T_{i-1}\) et ayant ses extrémités hors de \(T_{i-1}\). Les conditions qu'elle écrit ne sont pas menées à terme⁶¹ . C'est une description récursive des partitions non croisées par retrait successif des classes d'angle, comme on élague un arbre par ses feuilles.

51–52

Le quasi-segment (pages 51 et 52)

Les pages 51 et 52, à l'encre noire, posent les notions des pages 41 à 47 pour un quasi-segment \(I\) : un ensemble fini totalement ordonné (à renversement près) d'au moins deux éléments, comme un polygone qu'on aurait ouvert le long d'une arête⁶² . Pour \(\varepsilon \in \mathfrak{P}_2(I)\), soit \(I_\varepsilon\) le segment (l'intervalle) qu'il détermine. Deux paires \(\varepsilon\), \(\varepsilon'\) sont non parallèles si elles sont disjointes et si \(I_\varepsilon\) et \(I_{\varepsilon'}\) sont disjoints ou emboîtés ; deux parties \(A\), \(A'\) le sont si elles sont disjointes et que toute paire de l'une est non parallèle à toute paire de l'autre. Cela revient à dire que \(A'\) est contenu dans l'un des composants de \(I \smallsetminus A\), ou dans la réunion des deux composants extrêmes (ceux qui contiennent les extrémités de \(I\)), quand ils sont deux.

Partitions non parallèles de \(I\). Soit \(\Sigma\) un ensemble de segments de \(I\) tel que :

1. a)deux éléments de \(\Sigma\) sont disjoints ou emboîtés ;
2. b)si \(B \subsetneq A\) dans \(\Sigma\), alors \(B \cap \partial A = \emptyset\) ;
3. c)\(\partial I \subset \bigcup_{A \in \Sigma} A\), donc \(\partial I \subset \bigcup_{A \in \Sigma} \partial A\)⁶³ .

Les cœurs \(A^{*}\) sont non vides et deux à deux non parallèles ; avec \(I' = \bigcup A = \bigcup A^{*}\), \(Z = I \smallsetminus I'\), \(Z^{*} = Z\) et \(\widehat{\Sigma}\) comme plus haut, \(\widehat{\Sigma}^{*}\) est une partition non parallèle de \(I\).

NB (page 52) : toute partition non parallèle s'obtient ainsi, et de plusieurs façons. C'est vrai : la famille des enveloppes (plus petits segments contenants) des classes convient, car ces enveloppes sont disjointes ou emboîtées, une classe emboîtée dans l'enveloppe d'une autre n'en touche pas les extrémités, et le cœur de l'enveloppe d'une classe est cette classe. Sur \(I = \{1, \ldots, 5\}\), la partition \(\{1\}, \{2, 4\}, \{3\}, \{5\}\) provient aussi de \(\Sigma = \{\{1\}, \{3\}, \{5\}\}\), avec \(Z = \{2, 4\}\)⁶⁴ .

Soit enfin \(\Sigma_{\max}\) l'ensemble des éléments maximaux de \(\Sigma\) : deux d'entre eux sont disjoints, et \(I' = \bigcup_{A \in \Sigma_{\max}} A\). La page s'arrête là, après quatre lignes.

53–54

VII. Attachement de deux arêtes (pages 53 et 54)

Une feuille carrée revient aux cartes. Appelons binaire une arête bordée par deux faces distinctes, monaire une arête bordée des deux côtés par la même face. On part de deux cartes connexes \(M'\), \(M''\) sur des surfaces orientées compactes, de genres \(g'\), \(g''\), à \(f'\) et \(f''\) faces, et d'une arête dans chacune. La page ne décrit pas l'opération ; ses bilans sont ceux de l'opération suivante⁶⁵ : on coupe les deux arêtes \(a = xy\) et \(a' = x'y'\) en leur milieu et l'on raccorde les moitiés en croix, de sorte qu'elles deviennent \(xy'\) et \(x'y\) ; sur les surfaces, on relie les deux arêtes par un tube planté en leur milieu. Les sommets et les arêtes s'ajoutent, \(V = V' + V''\) et \(E = E' + E''\), et seules changent les faces qui bordent \(a\) et \(a'\) :

• deux arêtes binaires : les quatre faces qui les bordent se raccordent deux à deux, « 4 faces deviennent 2 », et \[ f = f' + f'' - 2, \qquad g = g' + g'' ; \]
• une arête monaire, une binaire : « trois faces deviennent 1 », et encore \(f = f' + f'' - 2\), \(g = g' + g''\)⁶⁶ ;
• deux arêtes monaires, incidentes à des faces distinctes : la face qui borde \(a\) et celle qui borde \(a'\) se raccordent en une région qui se recoupe en deux faces, « deux faces deviennent 2 », et \[ f = f' + f'', \qquad g = g' + g'' - 1 . \]

Le genre se déduit de la formule d'Euler \(V - E + f = 2 - 2g\) pour une carte connexe : dans les deux premiers cas \(2 - 2g = (2 - 2g') + (2 - 2g'') - 2\), dans le troisième \(2 - 2g = (2 - 2g') + (2 - 2g'')\)⁶⁷ . Dans le troisième cas, la région formée par le tube n'est plus un disque, et la carte, redessinée sur la surface qu'elle définit, en perd une anse.

C'est, sur les cartes combinatoires, le pendant du recollement que le dossier 67 étudie pour les surfaces conformes (pages 2 et 3, puis 53 à 60)⁶⁸ . La page 54 ne porte que des croquis au crayon de la même opération en volume.