Cote n° 80 · batch 4 · pages 61–72 · Transcription · Systèmes de pseudo-droites : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981]
Édition de démonstration

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61la page continue la phrase interrompue au bas de la page 60 : « Notons que sur l'ens. des sommets se trouvant » sur une même \(D\) il y a une structure polygonale induite (cela a un sens [clair], vu que [l'ens.] \(S_D\) de ces sommets est \(\geqslant 3\)). (Les orientations de \(D\) comme on sait, l'ens. \(\pi_0(\widetilde{X} \setminus \widetilde{D})\)) sont en corr. 1-1 avec l'ens des orientations de ce polygône combinatoire. (Si \(s_D = 2\) ou \(s_D = 1\) « clair » et « l'ens. » sont écrits au-dessus de la ligne. L'indice de \(S_D\) est un \(D\) ; son \(S\) est un S doublé Il vaut peut-être mieux dire que \(D\) est le support d'un \(1\)-sous-complexe […] […] du […] \(K^{1}\) […] […] […] et ce sous-complexe est un polygône comb. d'ordre […] (sans exclure les cas \(s_D = 1\) ou \(s_D = 2\) …) la note marginale est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche, sur huit lignes serrées ; « \(K^{1}\) » est ajouté au-dessus d'un mot, « d'ordre » au-dessus de la fin d'une ligne

Soit \(s\) un sommet de la carte. Si on exclut le cas où toutes les ps. dr. sont « concourantes » en \(s\) (auquel cas \(s\) est l'unique sommet), il existe donc une \(D\) qui ne passe pas par \(s\), et l'ens. [\(\Omega_s(X)\)] des orientations de \(X\) en \(s\) est en corr. 1-1 can. avec l'ens. [\(\Omega(D)\)] des orientations du polygône comb. \(D\) (qui est défini en termes du \(1\)-complexe \(K^{1}\) et de sa décomposition en ps. droites …) Mais soient \(D'\) […] une autre ps. droite ne passant pas par \(s\), comment expliciter la bijection composée \[\Omega(D) \xrightarrow{\ \sim\ } \Omega(D') \qquad \text{(via } \Omega_s(X)\text{)} \ ?\] sur la page, \(\Omega(D) \xrightarrow{\sim} \Omega(D')\) est suivie d'une flèche oblique \(\Omega(D) \xrightarrow{\sim} \Omega_s(X)\) et d'une flèche remontant de \(\Omega_s(X)\) vers \(\Omega(D')\), marquée \(\sim\) ; nous les résumons par « via \(\Omega_s(X)\) ». \(\Omega_s(X)\) et \(\Omega(D)\) sont écrits au-dessus de la ligne

? Supposons Comme \(s\) est d'ordre \(\geqslant 4\), il passe par \(s\) deux ps. droites \(\Delta\), \(\Delta'\), […] puis prenons […] […] distinctes de \(\Delta\) et \(\Delta'\), non concourantes sur \(D, D'\) ; […] ; soient \(u, u'\) (resp. \(v, v'\)) les int. de \(\Delta\) (resp. \(\Delta'\)) avec \(D\), \(D'\), dont l'int. est désignée par \(t\). On constate alors (puisque la configuration des quatre ps. droites les deux premières lignes de ce paragraphe sont écrites serrées, l'une au-dessus de l'autre, avec des ajouts interlinéaires ; « deux ps. droites » est au-dessus de la ligne. La phrase se poursuit en haut de la page 62

62\(D, D', \Delta, \Delta'\) sont en position générale, donc en position standard) que \(\overrightarrow{tu}\) et \(\overrightarrow{tu'}\) se correspondent. [Plus généralement, si on a les droites \(\Delta_1, \ldots, \Delta_k\) passant par \(s\) [(coupant \(D\) en \(u_i\) et \(D'\) en \(u'_i\),] et non par \(t\),] et si on prend sur \(D \setminus \lbrace t \rbrace\) et \(D' \setminus \lbrace t \rbrace\) les relations d'ordre [induites par des orientations de \(D\), \(D'\)] qui se correspondent, alors si on ordonne les \(\Delta_i\) de façon que les \(D\) \(u_i\) aillent en croissant, de même les \(u'_i\)]. Ceci définit la bijection \[\Omega(D) \simeq \Omega(D')\] en termes de la combinatoire de \(K^{1}\) et de ses ps. droites, sauf dans le cas où il n'y a qu'une seule ps. droite [\(\Delta'\)] passant par \(s\) et non par \(t\), (ce qui implique que qu'il existe exactement \(2\) ps. dr. passant par \(s\), i.e. que l'ordre de \(s\) est \(4\), et qu'il existe une ps. dr. \(\Delta'\) passant par \(s\) et par \(t\)) Supposons qu'il existe une ps. dr. \(D''\) [ne passant pas par \(t\),] (distincte de \(\Delta'\)) […] (ici que la figure ne se réduise à un faisceau de ps. dr. passant par \(t\), et une sécante \(\Delta\) de ce faisceau) — elle est […] \(\neq \Delta, \Delta', D, D'\) et ne passe pas par \(s\). Soient \(x, x'\) les pts d'int. de \(D''\) avec \(D\), \(D'\) et \(u, u'\) ceux de \(\Delta\) avec \(D\), \(D'\). Si on a \(x \neq u\), \(x' \neq u'\) alors on peut comparer par ce qui précède les […] les flèches de \(\overrightarrow{tu}\) et \(\overrightarrow{tu'}\) sont tracées au-dessus des lettres. « (coupant \(D\) en \(u_i\) et \(D'\) en \(u'_i\), » et « induites par des orientations de \(D\), \(D'\) » sont écrits au-dessus de la ligne, dans des bulles ; « ne passant pas par \(t\), » de même au-dessus de \(D''\). Dans « que qu'il existe » la répétition est sur la page NB \(D''\) ne passe pas par \(s\) […], i.e. est \(\neq \Delta, \Delta'\)

63\(\ill{}\) \(\Omega(D'')\) […] et \(\Omega(D)\), et \(\Omega(D'')\) et \(\Omega(D')\), donc \(\Omega(D)\) et \(\Omega(D')\), et on gagne. Si par contre toutes les ps. droites qui ne passent pas par \(t\) passent par \(u\), ou si elles passent toutes par \(u'\), on est dans le cas de deux faisceaux de ps. droites, de sommets \(t\) et \(u\) (resp. \(u'\)), qui demande encore un traitement à part. Mais supposons qu'il n'existe pas de \(D''\) qui ne passe ni par \(u\) ni par \(u'\) (ni par \(t\), sous-entendu) mais qu'il en existe [\(\Gamma\)] qui ne passe pas par \(u'\) [(mais par \(u\))], et d'autres [\(\Gamma'\)] qui ne passent pas par \(u\) (mais par \(u'\)), alors \[\Omega(\Gamma) \simeq \Omega(D') , \qquad \Omega(\Gamma') \simeq \Omega(D)\] et on peut déduire de \[\Omega(\Gamma) \simeq \Omega(\Gamma')\] celui \(\Omega(D) \simeq \Omega(D')\)) pourvu que l'intersection \(r\) de \(\Gamma\) et \(\Gamma'\) devant la première égalité, deux petits traits ; devant la troisième, un signe « \(=\) ». « \(\Gamma\) » est écrit au-dessus de « qui ne passe », « (mais par \(u\)) » au-dessus de la fin de ligne. Après « \(\Gamma\) et \(\Gamma'\) » un large blanc précède la ligne suivante : la fin de la condition n'est pas écrite

à gauche, un dessin au crayon : deux droites \(D\) et \(D'\) issues d'un point \(t\) (à gauche), une droite verticale \(\Delta\) passant par \(s\) (en bas), une droite \(\Delta'\) issue de \(s\) vers la gauche, une droite horizontale épaissie \(\Gamma'\) et une droite oblique \(\Gamma\) (en haut) ; les points \(u\) (sur \(D\)) et \(u'\) (sur \(D'\)) sont marqués sur la verticale

par malheur on se trouve encore justement sur \(\Delta'\) (cela suppose que \(\Gamma\) et \(\Gamma'\) forment p.r. à \(s\) et \(t\), \(\Delta, \Delta'\) la même figure que forment \(D, D'\)) Dans ce cas, les \(6\) ps. droites \(D, D', \Delta, \Delta', \Gamma, \Gamma'\) sont les

64\(6\) ps. dr. qui joignent \(2\) à \(2\) les quatre sommets \(u, u', r, t\) de la figure. Mais on constate alors que la bijection [\(\varphi_s\) :] \(\Omega(D) \simeq \Omega(D')\) définie par \(s\) n'est autre que celle définie par \(r\) (qui est dans la même des deux régions de \(X\) découpées par \(D, D'\) …) le signe au-dessus de « \(\Omega(D)\) » est lu \(\varphi_s\), suivi de deux points

un court trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit

\(K^{1}\), \(1\)-complexe subdivisé en ps. droites (tout sommet appartenant à au moins \(2\) ps. dr., et \(2\) ps. droites se rencontrant [en un pt et un seul]). Si \(D, D'\) sont \(2\) ps. dr. distinctes, et \(s\) un sommet qui n'est ni sur \(D\), ni sur \(D'\), on a une bijection \[\varphi_{s;D,D'} : \Omega(D) \simeq \Omega(D')\] avec les propriétés suivantes :

a) Sur l'ens. des ps. droites [\(D, D', \ldots\)] qui ne passent pas par \(s\), le syst. des \(\varphi_{s;D,D'}\) est simplement transitif.

b) Si \(\Delta\) est une ps. droite distincte de \(D\) et \(D'\), coupant \(D\) et \(D'\) en \(x\) et \(x'\), [(NB on n'exclut pas \(x = x'\))], et si \(s, s'\) sont deux sommets sur \(\Delta\) distincts de \(x, x'\), alors […] on a \[\varphi_{s;D,D'} = \varphi_{s';D,D'}\] ssi \(s, s'\) appartiennent à une même des deux arcs définis par \(x\) et \(x'\) sur \(\Delta\). Si \(a, a'\) sont les deux arcs, on peut donc définir \(\varphi_{a;D,D'}\) et \(\varphi_{a';D,D'}\). le \(\Delta\) de « Si \(\Delta\) est » récrit un \(D\) souligné. Dans \(\varphi_{s;D,D'}\) de la ligne centrée, un petit \(D\) est écrit au-dessus de l'indice

c) Soit \(t\) l'[…] intersection de \(D\) et \(D'\), et soient \(\Delta_1, \Delta_2\) [(\(i = 1, 2\))] deux ps. dr. passant par \(s\) et non par \(t\), […] \(u_i\) (resp. \(u'_i\)) (\(i = 1, 2\)) leurs int. avec \(D\) (\(D'\)). la page s'arrête ici ; l'énoncé de c) n'est pas achevé, et la page 65 commence sur autre chose

65syst. [d'isoms] en question serait unique par […] […], […]. Car notons qu'il ne peut y avoir d'unicité quand il existe une ps. droite qui est un bigône (pas non plus bien sûr s'il y a un monogône, i.e. s'il s'agit d'un faisceau de ps. dr.) — mais cela signifie justement qu'il s'agit d'un double faisceau contenant une ps. droite qui joint les deux foyers…

On peut maintenant, dans le cas où il n'y a ni monogône ni bigône, définir pour tout sommet \(s\) \(\Omega(s)\) comme l'ens. quotient de l'ens. des \(\Omega(D)\) (\(D\) ps. dr. ne passant pas par \(s\)) par le syst. des isoms \(\varphi_{s;D,D'}\). C'est un ens. à deux éléments, […] […] […] il faut en faire un syst. local sur \(K^{1}\) i.e. pour tout segment \(I\) de \(K^{1}\) d'extrémités \(s, s'\), il faut définir une bijection canonique \(\Omega(s) \simeq \Omega(s')\). Par hyp. il existe une droite \(D\) qui ne passe par \(s\) ni \(s'\), et par là on définit \(\Omega(s) \simeq \Omega(s')\) comme la composée

\begin{tikzcd}[column sep=small]
\Omega(s) \arrow[rr, "\sim"] \arrow[dr, "\sim"'] & & \Omega(s') \\
& \Omega(D) \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

, il résulte de b) que ça ne dépend pas du choix de \(D\) « d'isoms » est écrit au-dessus de « syst. », au début de la page ; ce qui précède manque (la page 64 s'arrête sur l'énoncé inachevé de c)). La flèche oblique descendante porte « \(\sim\) »

66(c'est équivalent à b)!)

Pour [finir] reconstituer la carte à partir de \(K^{1}\), il faudrait encore définir une structure polygonale sur l'ens. des arcs issus d'un sommet \(s\), et une bijection canonique entre \(\Omega(s)\) et l'ens. des deux orientations de cette structure polygonale. un petit astérisque sous le texte ; le reste de la page est blanc

67feuille plus petite, à l'italienne, au crayon \(\vec{D}, \vec{D}'\) — ps. droites orientées, \(\vec{\mathcal{D}}\) leur ens.

\(\vec{\mathcal{D}}(s)\) l'ens. des ps. dr. orientées passant par \(s\) (\(\Longleftrightarrow\) l'ens. des arcs d'origine \(s\)) (cardinal \(2\) \(\nu\)\((s)\))

\(\rho_{\vec{D},s}\) permutation circulaire de \(\vec{\mathcal{D}}(s)\) (si \(s \notin |\vec{D}|\)). la lettre rendue \(\rho\), ici et jusqu'à la page 70, est un long trait bouclé en haut, lu \(\rho\) sans certitude ; \(\vec{\mathcal{D}}\) rend son D rond fléché. Dans « cardinal \(2\nu(s)\) » la lettre est lue \(\nu\)

a) \(\rho_{-\vec{D},s} = \rho_{\vec{D},s}^{-1}\)

b) Si \(\vec{D}, \vec{D}' \notin \vec{\mathcal{D}}(s)\), alors \(\rho_{\vec{D},s}\) et \(\rho_{\vec{D}',s}\) sont égales ou [opposées] le mot sous « égales ou » est écrit en interligne, d'une lecture incertaine

c) Si \(\rho_{\vec{D},s} = \rho_{\vec{D}',s}\), et \(t\) un \(2^{\mathrm{e}}\) sommet tel que \(t \notin |\vec{D}| \cup |\vec{D}'|\), alors \(\rho_{\vec{D},t} = \rho_{\vec{D}',t}\) ssi \(s, t\) appartiennent […] […] […] l'item c) est barré de sept crochets obliques ; sa dernière ligne, au bas de la feuille, est à demi coupée. Il est repris à la page suivante

68c) Soient \(\vec{D}, \vec{D}', \vec{\Delta}\) ps. droites [(orientées supp. distincts)], \(x, x'\) les int. de \(\Delta\) avec \(D, D'\) (on ne suppose pas \(x \neq x'\)) et \(s, s'\) des sommets sur \(\Delta\) distincts de \(x, x'\). Supposons \(\rho_{\vec{D},s} = \rho_{\vec{D}',s}\). Pour qu'on ait \(\rho_{\vec{D},s'} = \rho_{\vec{D}',s'}\), il faut et suffit que \(s, s'\) appartiennent à un même arc de \(\Delta\) déterminé par \(x, x'\).

(d) Soit \(\vec{\Delta}_1 \in \vec{\mathcal{D}}(s)\), \(\vec{D} \in \vec{\mathcal{D}} \setminus \vec{\mathcal{D}}(s)\), \(\vec{\Delta}_2 = \rho_{\vec{D},s}(\vec{\Delta}_1)\), soient \(\lbrace u_1 \rbrace = |\vec{\Delta}_1| \cap |\vec{D}|\), \(\lbrace u_2 \rbrace = |\vec{\Delta}_2| \cap |\vec{D}|\), alors \(u_2\) est le sommet sur \(\vec{D}\) qui suit \(u_1\), parmi toutes les intersections de \(\vec{D}\) avec les ps. dr. passant par \(s\). « (d) » : la lettre est entourée. \(\vec{\Delta}_2\) porte en exposant un petit signe […] ; l'argument de \(\rho_{\vec{D},s}\) est écrit \(\vec{\Delta}\) sans indice. « parmi » est souligné deux fois

e) la page s'arrête sur ce « e) » ; l'item est repris en tête de la page 69

69à gauche, un dessin : deux ps. droites orientées \(\vec{D}\) et \(\vec{D}'\) issues d'un point \(t\), coupées par deux droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) qui se rencontrent en \(s\) (en bas) ; sur \(\vec{D}\) les points \(u_1\), \(u_2\), sur \(\vec{D}'\) les points \(u'_1\), \(u'_2\) ; une flèche courbe va de \(\Delta_1\) à \(\Delta_2\) près de \(s\), et \(\Delta_2\) porte le même petit exposant qu'à la page 68 (e) Soient \(\vec{D}, \vec{D}' \in \vec{\mathcal{D}} \setminus \vec{\mathcal{D}}(s)\), \(\Delta\) \(\lbrace t \rbrace = |\vec{D}| \cap |\vec{D}'|\) (on suppose \(|\mathcal{D}| \neq |\mathcal{D}'|\) [dist.]) \(\Delta_1, \Delta_2\) deux ps. droites passant par \(s\) et non par \(t\), \(u_1, u_2\) (\(u'_1, u'_2\)) leurs int. avec \(\vec{D}\), \(\vec{D}'\). 1°) Supposons que \(u_1\) et \(u_2\) soient adj. sur \(\vec{D}\), alors \(u'_1\) et \(u'_2\) sont adj. sur \(\vec{D}'\). Supposons \(\vec{D}\) orientée dans le sens \(t u_1 u_2\), \(\vec{D}'\) dans le sens \(t u'_1 u'_2\), et que \(u_1, u_2\) soient adj. dans l'ens. des ps. droites [int. de \(\vec{D}\)] avec les ps. dr. qui passent par \(\vec{D}\). Alors \(\rho(s u_1 \ldots\) \[\rho_{\vec{D}}(s u_1 u'_1) = (s u_2 u'_2) .\] « (e) » est entouré. Dans « \(|\mathcal{D}| \neq |\mathcal{D}'|\) » les D sont ronds, sans flèche. « qui passent par \(\vec{D}\) » est écrit tel quel ; on attendrait « par \(s\) », comme en (d). L'indice de \(\rho_{\vec{D}}\) ne porte pas de \(s\) ; au-dessus, « \(\vec{D}\) » récrit une première écriture biffée

(f) Si \(s\) est d'ordre \(2n\), alors \[(\rho_{\vec{D},s})^{n}(\vec{\Delta}) = -\vec{\Delta} .\] « (f) » est entouré

70Th Si un syst. de \(\rho_{\vec{D},s}\) existe satisfaisant a) b) c) d) e) f) et si il n'existe pas de ps. droites qui sont des monogônes ou bigônes, alors ce système des \(\rho_{\vec{D},s}\) est unique. De plus, le syst. des \(\Omega(s) = \lbrace \rho_s, \rho_s^{-1} \rbrace\) — en […] ([…] […]) de façon unique un syst. local satisfaisant […] … le second élément de \(\lbrace \rho_s, \rho_s^{-1} \rbrace\) est écrit \(\rho''_s\) ou \(\rho_s^{-1}\), lu \(\rho_s^{-1}\). Après « satisfaisant » un mot est noirci d'un gribouillis en zigzag, puis quatre points il suffit de d) e), f) et (ss doute) a) en est une conséquence. Pour pouvoir donner un sens au syst. local, il faut des […] plus fortes que les hyp. suppl. b) et c) pour pouvoir […] la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche, sur une dizaine de lignes courtes

721 droite : standard pr.

2 droites : standard pr. autom. proj/comp. neutre \(\simeq\) autom. comb. \(\simeq\) aut. […]

3 droites

a) position générale : standard pr. endom proj/comp. neutre \(\simeq\) autom. comb. \(\simeq\) aut. […] [orientés] \(\simeq\) autom. de l'ens. des quatre faces

b) concourantes : standard proj ? end. proj/comp. neutre \(\simeq\) [ext. de] […] \(\mathfrak{S}_3\) … \(\mathbf{Z}/2\) ; […] \(\mathfrak{S}_3\) \(\simeq\) autom. comb. \(\simeq\) ext. de \(\mathbf{Z}/2\) par \(\mathbf{Z}/6\) \(\simeq\) groupe de l'hexagone (?) les deux items sont réunis par une accolade ; une longue courbe sépare, à droite, la colonne de a) de celle de b). « ext. de » est écrit au-dessus d'un mot biffé suivi d'un \(\mathfrak{S}_3\) entouré, puis de \(\mathbf{Z}/2\) ; le signe devant le second \(\mathfrak{S}_3\) est noirci, et un petit signe illisible est écrit au-dessus

4 droites

a) pos. gén. : standard proj. [endom proj \(\simeq\) Id [mais] endom comb. \(\simeq \mathfrak{S}_4\)

b) trois droites conc. : standard proj., endom proj/comp. \(\simeq\) ext. de \(\mathfrak{S}_3\) par \(\mathbf{Z}/2\) \(\simeq\) ext. autom. comb. \(\simeq\) gr. hexagone

c) quatre droites conc. [pas standard projectif […] autogonal [mais std comb]] endom proj : […] mais autom comb. groupe de l'octogone (?) les trois items sont réunis par une accolade. En c), « pas standard projectif » et « mais std comb » sont encadrés, et la ligne biffée entre les deux est d'une lecture incertaine

5 droites a) position générale : pas standard proj., mais standard comb., groupe des autom comb \(=\) groupe du pentagone

\(n \geqslant 6\) droites pos. générale : pas standard comb. « 1 droite », « 2 droites », etc. sont soulignés, et forment une colonne à gauche ; « pas » et « comb. » de la dernière ligne sont soulignés