Fonds Grothendieck, cote n° 80, pages 21–40

Cas cruciaux d'arrangement 1-dimensionnels de N ps. droites, avec N \geq{} 5 4 (le cas N = 3 étant et bien étudié) les chiffres romains des types (\mathrm{I}, \mathrm{II}, …) sont tracés avec leurs barres horizontales en haut et en bas, parfois prolongées en arc au-dessus du nombre ; on les compose en romain droit, sans surligner

1°) Cas où il existe une ps. droite bigonale. à droite, un dessin : un faisceau de droites concourantes en un point, coupé par une droite transversale

\mathrm{I}_N) faisceau de n = N-1 (\geq 3) ps. droites ~~passant par un~~ concourantes et d'une ps. droite sécante (cas où la ps. droite bigonale ) N \geq 4, N+1 sommets « concourantes » est écrit au-dessus de la fin de ligne biffée ; la parenthèse finale est écrite en interligne, un mot y est biffé avant « ps. droite »

\mathrm{I}_{p,q}) Système formé de deux faisceaux de p et q ps. droites concourantes (p \geq q \geq 2) plus une ps. droite passant par les 2 sommets des deux faisceaux (Cas de ps. droite bigonale unique) (p+q+1 = N) pq+2 sommets ; N \geq 5 à gauche, sous « N \geq 5 », un dessin : deux faisceaux de droites et la droite qui joint leurs deux sommets

2°) Il n'existe pas de ps. droite bigonale.

\mathrm{II}'_{p,q}) Système formé de deux faisceaux de p et q ps. droites concourantes, p \geq q \geq 2, p+q = N \geq 5 (les deux faisceaux i.e. les sommets des ) pq+2 sommets ; N \geq 5 le symbole est d'abord écrit \mathrm{II} puis surchargé, le prime ajouté ; il est lu \mathrm{II}'_{p,q} d'après la page 24. À gauche, un dessin : deux faisceaux dont les sommets ne sont pas joints, la droite qui les joindrait en pointillé

Le cas « minimal » p ={} 3 2, q = 2 est justiciable .

\mathrm{II}_4) ~~Arrangement général de 4 ps. droites en position~~ Arrangement simple de 4 ps. droites 6 sommets

\mathrm{II}_5) Arrangement simple de 5 ps. droites. 10 sommets

~~Dans le cas où il n'y a pas de ps. droite bigonale (i.e. pas \mathrm{I}_N ni \mathrm{I}_{p,q}),~~

Théorème : supposons qu'il n'existe pas deux sommets tels que les ps. droites passent par l'un d'eux, i.e. qu'on ne soit pas dans l'un des cas \mathrm{I}_N, \mathrm{I}_{p,q}, \mathrm{II}'_{p,q}. Supposons de plus ~~N \geq 5 (i.e. le cas \mathrm{II}_4)~~ et que K ne contienne pas de sous-arrangement du type \mathrm{II}_5 ; elle est de l'un des types suivants : « Théorème » est souligné ; les deux points qui suivent « suivants » précèdent un signe biffé

\mathrm{III}_6) Arrangement tétraédral 4+3 = 7 sommets à droite, un dessin : six droites, les côtés d'un triangle et trois droites issues de ses sommets concourant en un point intérieur ; quatre points triples marqués

\mathrm{IV}_7) Arrangement d'un quadrilatère complet et de ses trois diagonales 6+3 = 9 sommets au-dessous, un dessin : sept droites, dont certaines en tirets ; points marqués en noir, deux points entourés d'un cercle

NB \mathrm{III}_6 et \mathrm{IV}_7 sont (les … … \mathrm{I}_{2,2} (quadrilatère avec 1 diagonale) et \mathrm{I}_N (NB) fin de ligne très reprise : « \mathrm{I}_{2,2} (…) et \mathrm{I}_N » est écrit au-dessus, et relié par un trait, d'une ligne biffée où l'on devine « configurations » ; l'ensemble n'est pas sûr

… N \geq 5 qui ne contiennent pas l'arrangement \mathrm{I}'_{3,2} ni \mathrm{II}_5. Tout arrangement sans bigones, ~~types et qui~~ est soit du type \mathrm{II}_4, soit contient un des types \boxed{\mathrm{I}'_{3,2},\ \mathrm{II}_5,\ \mathrm{III}_6} (c'est s'il ne contient \mathrm{I}'_{3,2} ni \mathrm{II}_5, c'est un type \mathrm{III}_6 ou \mathrm{IV}_7). Ces trois types ~~sont~~ « latticiels », i.e. dans le cas 2-dimensionnel, les facettes fermées forment un lattice : l'intersection de deux facettes fermées non vides est une facette. le nom \mathrm{I}'_{3,2} n'a pas été défini sur les pages précédentes de ce lot ; le prime et les indices 3,2 sont nets. La liste encadrée est entourée d'un cadre arrondi. Comparer la page 20 (lot 1), où la même propriété est dite « non spéciales » : l'intersection de deux faces fermées est vide, réduite à un sommet, ou est une arête fermée

Cas latticiel : l'intersection de deux facettes fermées est vide, ou une facette fermée. la page est à l'encre brune

Prop. Pour qu'on soit dans le cas latticiel, il faut et suffit que a) Pas de ps. droites bigonales, et b) pas de type \mathrm{II}_4.

Proposition Soit \mathcal{X} un arrangement 2-dim. de N ps. droites (D_i)_{i \in I}, et considérons une (N+1)ième ps. droite D d'un \mathcal{X}' qui ne soit pas bigonale de \mathcal{X}' ; soit S l'ens. des sommets sur D, i.e. l'ens. des intersections de D avec les D_i (i \in I). ~~Pour~~ ~~pour (D_i)~~ ~~s \in S, soit \tilde{s} la facette .~~ Pour que s, s' \in S soient adjacents sur D, il faut et suffit qu'il existe une facette fermée f de \mathcal{X} qui contienne s et s' — celle-ci est alors unique, dite intermédiaire, et D \cap f est un … s, s', tel que T \cap f = \lbrace s, s' \rbrace_T, sur D joignant s et s'. « (D_i)_{i \in I} », « (N+1)ième », « d'un \mathcal{X}' » et « de \mathcal{X}' » sont des ajouts interlinéaires ; \mathcal{X} rend son X cursif barré. La fin de phrase, autour de D \cap f et de T \cap f, est d'une lecture incertaine ; l'indice T après l'accolade est tel quel à gauche, un dessin : quelques droites formant une facette ; sur deux d'entre elles les sommets s et s', joints par une courbe marquée T ; une droite marquée J en bas

Segment joignant c'est aussi l'arête sur D joignant s et s'.

Lemme Pour un arrangement 1-dim. de N ps. droites ~~N \geq 5~~ sans bigones, \mathrm{II}_4, et un ps. de … des types \mathrm{II}_5, \mathrm{II}_{3,2} ou \mathrm{III}_6. Quand on rajoute des ps. droites, elles ne sont jamais bigonales. \mathrm{II}_4, \mathrm{II}_5, \mathrm{II}_{3,2}, \mathrm{III}_6 tout ce paragraphe est barré de trois longues diagonales, et plusieurs lignes y sont en outre biffées ; il est repris à la page 28. La liste écrite à gauche, sous un trait, porte d'abord \mathrm{II}_{3,1} (?) corrigé en \mathrm{II}_{3,2} ; au-dessous, barré, « repoussent des ps. droites »

Lemme Soit ~~\mathcal{X}~~ K un arrangement 1-dimensionnel de N ps. droites, sans ps. droite bigonale, des N \geq 5. Alors on peut numéroter en D_1, \ldots, D_N, de telle façon que, si K_i désigne l'arrangement défini par D_1, \ldots, D_i, donc, pour (resp. D_1, \ldots, D_6 type \mathrm{III}_6)

1°)D_1, \ldots, D_4 de type \mathrm{II}_4 (ou (i \geq 7)) 2°)Pour i \geq 5, D_i non bigonale dans K_i. ~~pour i \geq 7, D_i~~ (NB Dans le cas inverse, dans le )

le « 1-dimensionnel » est écrit au-dessus de la ligne ; « (resp. D_1, \ldots, D_6 type \mathrm{III}_6) » est ajouté à droite de « D_1, \ldots, D_4 », « ou (i \geq 7) » sous « de type \mathrm{II}_4 ». La parenthèse du NB n'est pas fermée ; un mot de quatre lettres y est biffé, lu « UPS » sans certitude

Idée 2°) automatique. , que K_5 ne soit pas , i.e. K_5 est du type \mathrm{II}_5 ou du type \mathrm{II}_{3,2} ; K_i (i \geq 6) \mathrm{II}_{\ill{}}, et dans les autres types K et que \mathrm{III}_6 \mathrm{III}_7. Dans le même plan au cas \mathrm{III}_6, … passage très rapide, dont seules les formules se lisent sûrement

On sait \exists\, K_5 du type \mathrm{II}_5 — et quand on continue à rajouter des ps. droites 1 : 1, c'est par des bigones.

On sait \exists\, K_5 du type \mathrm{II}_{3,2}, et K de type \mathrm{I}_{p,q} et donc, quand on rajoute des ps. droites, jamais bigonal. cas mutuellement exclusifs les trois cas « On sait … » sont réunis à gauche par une accolade, qui porte la note marginale

On sait \exists\, K \simeq \mathrm{III}_6 ou \mathrm{III}_7, donc \exists\, K_6 \simeq \mathrm{III}_6, et , \mathrm{III}_7, si on rajoute une ps. droite, elle n'est pas bigonale.

Le cas de départ \mathrm{II}_4 ou \mathrm{III}_6. en bas à droite, un dessin : cinq droites, dont deux points de concours marqués

Arrangements de 3 pseudo-droites

titre de sa main, en tête de la page 31, précédé de « I) »

numéroté 1 (entouré) en haut à gauche, de sa main ; les feuillets suivants portent 2 à 5 aux pages 33, 35, 37 et 39 : il ne numérote que les rectos, les pages paires en sont le verso et continuent le texte. Encre brune, écriture posée I) Arrangements de 3 pseudo-droites

1) Cube combinatoire (de dim 3). La donnée équivaut à celle d'une famille (\Phi_i)_{i \in I} de trois ens. à deux éléments (\operatorname{card} I = 3, \operatorname{card} \Phi_i = 2 \forall i \in I) (1) \qquad \begin{array}{cl} \Phi = \coprod_{i \in I} \Phi_i & \operatorname{card} 6 \\ \downarrow & \\ I & \operatorname{card} 3 \end{array} Les éléments de \Phi s'identifient aux faces du cube, ceux de I aux paires de faces opposées. Les facettes du cube s'identifient aux sections partielles des parties \neq \emptyset de I de \Phi sur I, avec la relation d'incidence correspondant à la relation opposée au à celle du prolongement des sections partielles, i.e. de l'inclusion des parties correspondantes de \Phi (parties A \subset \Phi non vides, telles que l'appl. induite A \to I soit injective). (2) \qquad \begin{array}{l} C_2 \simeq \Phi \simeq \mathfrak{P}_1(\Phi) \\ C_1 \simeq \lbrace A \in \mathfrak{P}_2(\Phi) \mid A \to I \text{ injectif} \rbrace \\ C_0 \simeq \lbrace A \in \mathfrak{P}_3(\Phi) \mid A \to I \text{ injectif (donc bij.)} \rbrace \end{array} « des parties \neq \emptyset de I » est écrit au-dessus de la ligne. \mathfrak{P} rend son P gothique (ensemble des parties) ; « donc » est lu sans certitude

On a un automorphisme (involutif) canonique \underline{a} de (1), induisant l'identité dans I et la transposition dans chacun des \Phi_i, qui induit un automorphisme (central) du cube (2), lequel est l'antipodisme.

Si on prend le polyèdre opposé au cube, on trouve l'octaèdre donné par (3) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} O_0 = C_2 \simeq \Phi \simeq \mathfrak{P}_1(\Phi) \\ O_1 = C_1 \simeq \lbrace A \in \mathfrak{P}_2(\Phi) \mid A \hookrightarrow I \rbrace \\ O_2 = C_0 \simeq \lbrace A \in \mathfrak{P}_3(\Phi) \mid A \hookrightarrow I \rbrace \end{array} \right. avec cette fois-ci la relation d'incidence qui est celle de du prolongement des sections

partielles i.e. l'inclusion des parties de \Phi.

Passant au quotient par \underline{a}, on trouve le cube combinatoire gauche (ou projectif) \widetilde{C}, et l'octaèdre comb. gauche (ou projectif) \widetilde{O}, associés à \underline{a}, (4) \qquad \widetilde{C}_i = C_i/\lbrace 1, \underline{a} \rbrace \qquad \widetilde{O}_i = O_i/\lbrace 1, \underline{a} \rbrace (relation d'incidence déduite par passage au quotient). L'octaèdre ~~projectif~~ gauche a donc 3 sommets, 6 arêtes et 4 faces — en fait c'est la décomposition du plan projectif réel par un système de trois droites indexées par I. (À tout élément i \in I, on fait correspondre la « droite » correspondant aux deux « arêtes » projectives, qui correspondent aux paires d'arêtes ordinaires données par A \in \mathfrak{P}_2(\Phi), A \xrightarrow{\sim} I \setminus \lbrace i \rbrace.) « gauche (ou » est ajouté en interligne devant « projectif », souligné comme lui ; plus bas « gauche » remplace « projectif » biffé. Le mot se lit sûrement « gauches » à la page 37 (« oct. gauches »). À gauche, un dessin : trois droites en position générale formant un triangle

On en récupère le cube ou octaèdre ordinaire, à isomorphismes canoniques près, à partir de la figure « gauche » projective correspondante, un , dans le cas ordinaire, que les groupes d'automorphismes, dans le cas ~~projectif~~ « gauche », par , plus précisément, C \mapsto \widetilde{C} resp. O \mapsto \widetilde{O} les deux dernières phrases sont d'une lecture incertaine ; « isomorphismes » et « gauche » y sont ajoutés en interligne

sa page 2, en haut à gauche ne sont pas pleinement fidèles mais sont fidèles, car l'antipodisme \underline{a} est un automorphisme non trivial de C, O et induit l'automorphisme trivial de \widetilde{C}, \widetilde{O}. Mais on trouve une équivalence de catégories en prenant des cubes comb. orientés, et des octaèdres combinatoires orientés. (5) \qquad \begin{array}{ccc} \text{cubes comb.\ orientés} & \xrightarrow{\ \approx\ } & \text{cubes comb.\ gauches} \\ \wr\downarrow & & \wr\downarrow \\ \text{octaèdres comb.\ orientés} & \xrightarrow{\ \approx\ } & \text{octaèdres comb.\ gauches} \end{array} dans les deux lignes de (5), « projectifs » est biffé et remplacé par « gauches » ; la flèche verticale de droite n'est marquée que d'un \wr

L'ens. des orientations du cube, ou de l'octaèdre, donné par (1), est donné à isom. près (6) \qquad \operatorname{or}(C) \simeq \operatorname{or}(O) \simeq \Bigl(\bigwedge_{i \in I} \Phi_i\Bigr) \wedge \operatorname{or}(I) où \operatorname{or}(I) est l'ens. des deux ordres circulaires sur I (ou des deux « orientations » de l'ens. fini I) ; à partir de \widetilde{C} ou \widetilde{O}, on récupère C ou O ~~orienté comme un orientation~~ comme le revêtement orienté canonique. la donnée d'une orientation de C, ou O, revient à la donnée d'un iso (6 bis) \bigl(\bigwedge_{i \in I} \Phi_i\bigr) \wedge \operatorname{or}(I) \simeq \underline{1} ou encore \bigwedge_{i \in I} \Phi_i \simeq \operatorname{or}(I) la note marginale est écrite verticalement le long du bord gauche, en face de (6) ; \bigwedge est son signe en chapeau, le produit « extérieur » de deux ensembles à deux éléments ; \underline{1} est souligné

Soit i \in I, d'où « droite » D_i de la figure \widetilde{O}. Les deux arêtes de D_i correspondent aux deux bijections \Phi_j \simeq \Phi_k (où I = \lbrace i, j, k \rbrace), ou intrinsèquement, aux éléments de (7) \qquad A_i = \bigwedge_{\alpha \in I \setminus \lbrace i \rbrace} \Phi_\alpha \qquad \text{(\uncertain{ens.}\ des deux arêtes de $\widetilde{O}$ portées par $D_i$)} ~~Les orient~~ L'un des deux sommets dans D_i, d'autre part,

est donné par (8) \qquad S_i \simeq I \setminus \lbrace i \rbrace \qquad \text{(ens.\ des \add{deux} sommets sur la droite)} L'ens. des deux orientations de D_i (considéré comme ensemble d'un bigône) est donc (9) \qquad \Omega_i \simeq S_i \wedge A_i \simeq (I \setminus \lbrace i \rbrace) \wedge \underbrace{\bigwedge_{\alpha \in I \setminus \lbrace i \rbrace} \Phi_\alpha}_{\Phi_i \wedge \operatorname{or}(I) \text{ à cause de (6 bis)}} la lettre S_i rend son S cursif (sommets) ; « deux » est ajouté au-dessus de la ligne. L'accolade sous le dernier facteur de (9) porte « \Phi_i \wedge \operatorname{or}(I) à cause de (6 bis) »

Notons que (10) \qquad \underbrace{\bigwedge_{i \in I} A_i}_{\bigwedge_{\substack{\alpha, i \in I \\ \alpha \neq i}} \Phi_\alpha \;=\; \bigwedge_{\alpha \in I} \Phi_\alpha^2 \;\simeq\; \underline{1}} \simeq \underline{1} au-dessus du membre de droite de (10), une seconde accolade porte « \Phi_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I \setminus \lbrace i \rbrace} (I \setminus \lbrace \alpha \rbrace) canoniquement », d'une lecture incertaine ; \underline{1} est son 1 à double jambage (l'ensemble à un élément)

d'où (11) \qquad \bigwedge_{i \in I} \Omega_i \overset{\varphi}{\simeq} \bigwedge_{i \in I} S_i \quad \Bigl[\simeq \bigwedge_{i \in I} (I \setminus \lbrace i \rbrace) \simeq \operatorname{or}(I)\Bigr] sous le dernier \simeq de (11) : « isom. can. évident associé à l'ens. à 3 éléments I »

NB Quand on part d'une famille, i.e. de trois bigônes (S_i, A_i)_{i \in I}, la donnée d'un isom. (10) équivaut à celle d'un isom. \varphi (11) (qui, pour S_i = I \setminus \lbrace i \rbrace \forall i \in I), se réduit à un isom. (11\ \text{bis}) \qquad \bigwedge_{i \in I} \Omega_i \simeq \operatorname{or}(I) ou encore à un isom. (12) \qquad \Bigl(\bigwedge_{i \in I} \Omega_i\Bigr) \wedge \operatorname{or}(I) \simeq \underline{1} le mot après « NB » (lu « Quand ») est surchargé ; « i.e. » est biffé puis récrit

sa page 3, en haut à gauche qui peut s'interpréter aussi de la façon suivante : la famille (\Omega_i)_{i \in I} des trois ensembles \Omega_i à deux éléments définit un cube — et on a une orientation de ce cube.

NB Les \Omega_i et \Phi_i se déterminent mutuellement par (13) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \Omega_i \simeq \Phi_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I \setminus \lbrace i \rbrace} (I \setminus \lbrace \alpha \rbrace) \\[1ex] \Phi_i \simeq \Omega_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I \setminus \lbrace i \rbrace} (I \setminus \lbrace \alpha \rbrace) \end{array} \right. qui amènent des isom. canoniques (14) \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \bigwedge_{i \in I} \Omega_i \simeq \bigwedge_{i \in I} \Phi_i \\[1ex] \underbrace{\Bigl(\bigwedge_{i \in I} \Omega_i\Bigr) \wedge \operatorname{or} I}_{\text{orientations de l'oct.\ comb.\ défini par } (\Omega_i)_{i \in I}} \simeq \underbrace{\Bigl(\bigwedge_{i \in I} \Phi_i\Bigr) \wedge \operatorname{or} I}_{\text{orientations de l'oct.\ comb.\ défini par } (\Phi_i)_{i \in I}} \end{array} \right. A_i, \Phi_i, \Omega_i, puisque … A_i = \bigwedge (I \setminus \lbrace i \rbrace) \ldots \simeq \Phi_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I} \ldots \operatorname{or}(I) … \simeq \Phi_i (cf. (9)) la note marginale est écrite en diagonale dans le coin gauche, en face de (13), avec plusieurs mots noircis ; on n'en donne que les formules lisibles

En résumé

Proposition Considérons la carte combinatoire (avec trois sommets, six arêtes, quatre faces qui sont des triangles) correspondant à un « arrangement » (combinatoire) de ~~quatre~~ trois ps.-droites D_i (i \in I) dans un plan projectif ». Soit K son octaèdre gauche la parenthèse et la note marginale « octaèdre gauche » désignent la même carte. Un petit signe entouré, après « combinatoire », renvoie à un ajout que l'on ne lit pas

squelette de dimension 1 » (1-complexe combinatoire, muni des systèmes des trois ~~ps.~~ sous-1-complexes D_i. Donc K est la réunion des sous-1-complexes D_i, qui sont des bigônes, chacun définis par S_i un ens. de deux sommets et d'arêtes A_i : « chacun », « S_i », « A_i », « deux » sont des ajouts interlinéaires, reliés par des traits S_i \simeq I - \lbrace i \rbrace avant la formule, une accolade ouvre deux lignes : la première, « S_i \simeq I \setminus \lbrace i \rbrace, A_i », est barrée de deux traits ; la seconde la récrit. Un signe biffé précède l'accolade (NB l'ens. des sommets de K (i.e. de \widetilde{C}) est en corr. biun. avec I en associant à chaque i \in I l'unique sommet qui n'est pas situé sur D_i). Soit \Omega_i = S_i \wedge A_i = (I - \lbrace i \rbrace) \wedge A_i l'ens. des orientations du bigône D_i, i.e. de la ps. droite D_i. Soit \begin{aligned} \Phi_i &= \Omega_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I \setminus \lbrace i \rbrace} (I \setminus \lbrace \alpha \rbrace) \\ &\simeq A_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I} (I \setminus \lbrace \alpha \rbrace) \end{aligned} de sorte que l'on a des isom. canoniques (15) \qquad \bigwedge_{i \in I} \Omega_i \simeq \bigwedge_{i \in I} \Phi_i \simeq \Bigl(\bigwedge_{i \in I} A_i\Bigr) \wedge \underbrace{\bigwedge_{\alpha \in I} (I \setminus \lbrace \alpha \rbrace)}_{\operatorname{or} I} les ens. S_i, A_i, \Omega_i, \Phi_i (i \in I) et les isom. la phrase qui commence par « (NB » ouvre deux parenthèses et n'en ferme qu'une avant « Soit » ; transcrite telle quelle. Le premier mot du NB est surchargé

sa page 4, en haut à gauche (15) étant définis donc directement en termes du 1-complexe comb. K et de la donnée des trois ps. droites D_i \subset K dans K. On peut réécrire (15) comme une suppl. d'iso (15\ \text{bis}) \qquad \underbrace{\Bigl(\bigwedge_{i \in I} \Omega_i\Bigr) \wedge \operatorname{or} I}_{\substack{\text{or.\ de l'oct.} \\ \text{défini par } (\Omega_i)_{i \in I}}} \simeq \underbrace{\Bigl(\bigwedge_{i \in I} \Phi_i\Bigr) \wedge \operatorname{or}(I)}_{\substack{\text{or.\ de l'oct.} \\ \text{défini par } (\Phi_i)_{i \in I}}} \simeq \bigwedge_{i \in I} A_i

Ceci posé, il y a, ~~un isom. canonique~~ du fait que K provient de la carte C, ~~un iso~~ trivialisation canonique des \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}-torseurs (15 bis). De façon précise, le foncteur (16) \qquad (\text{oct.\ gauches}) \longrightarrow \overbrace{\text{graphes octaédraux gauches}}^{\text{gr.\ oct.\ gauches}^{+}} munis d'une trivialisation \bigwedge_{i \in I} A_i \simeq \underline{1} (où I est l'ens. des 3 sommets, et A_i est l'ens. des 2 arêtes qui ne passent pas par le sommet i) (\simeq gr. oct. gauches avec structure suppl. une orientation des gr. octaédraux gauches) est une équivalence de catégories. la note marginale, en petite écriture à gauche de l'accolade, est d'une lecture incertaine ; « 3 » et « 2 » sont ajoutés en interligne

On peut résumer les relations entre octaèdres et graphes octaédraux, gauches ou ordinaires, orientés ou non, dans le diagramme commutatif de foncteurs suivant (notation abrégée ) :

(17)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \text{oct}^{+} \arrow[rr, "\approx"] \arrow[dr, "\approx"] \arrow[dd] & & \text{oct.\ gauches} \arrow[dr, "\approx"] \arrow[dd, no head, "=" description] & \\ & \text{gr.\ oct}^{+} \arrow[rr, "\approx"] \arrow[dd] & & \text{gr.\ oct.\ gauches}^{+} \arrow[dd] \\ \text{oct} \arrow[rr] \arrow[dr, "\approx"] & & \text{oct.\ gauches} \arrow[dr] & \\ & \text{gr.\ oct} \arrow[rr, "\approx"] & & \text{gr.\ oct.\ gauches} \end{tikzcd}

diagramme en cube : les deux faces, arrière (octaèdres) et avant (graphes octaédraux), sont reliées par les obliques. Le trait vertical de droite à l'arrière est un double trait « \| » (égalité) interrompu par la flèche horizontale qu'il croise ; les quatre autres verticales sont des flèches, trois d'entre elles marquées à leur origine d'un petit crochet surmonté de points, que l'on ne sait pas interpréter. La flèche horizontale du milieu à l'arrière ne porte pas de \approx. Une virgule suit le diagramme

où les flèches marquées \approx sont des équivalences, les flèches marquées \hookrightarrow sont fidèles, les flèches \twoheadrightarrow sont surjectives sur les ens. d'isomorphismes, la flèche verticale \|\!\downarrow est l'identité de (oct. g.). La face supérieure est formée des objets « orientés », les quatre flèches constituant ce carré sont des équivalences. La face inférieure formée des objets non orientés, les deux flèches \text{oct} \longrightarrow \text{gr.\ oct.} \longrightarrow \text{gr.\ oct g.} sont ~~des~~ des équivalences, les deux autres sont resp. surjectives sur les isom., et fidèles. Les quatre flèches de passage de la théorie orientée vers la non orientée sont fidèles. La face de gauche est formée des objets « ordinaires » « sphériques », celle de droite des objets « gauches » ou « projectifs », les quatre flèches de passage de l'une à l'autre sont des équivalences, à l'exception de \text{oct} \longrightarrow \text{oct.\ gauches} \qquad (\text{surjectif sur les isom.}). La face postérieure du cube est formée des configurations deux-dimensionnelles, ~~celle~~ celle de la face antérieure est formée des configurations 1-dimensionnelles associées, les quatre flèches de passage sont des équivalences, sauf \text{oct.\ g} \longrightarrow \text{gr.\ oct.\ gauches}, qui est fidèle et fait l'objet de l'énoncé (16) plus haut. correspond. \mathfrak{S}_4 \times \lbrace \pm 1 \rbrace … \mathfrak{S}_4 les deux premières sortes de flèches sont dessinées dans le texte, l'une avec un petit crochet à l'origine, l'autre avec un crochet à la pointe ; on les rend par \hookrightarrow et \twoheadrightarrow. La note marginale, en diagonale dans le coin supérieur gauche, relie par deux flèches les groupes \mathfrak{S}_4 \times \lbrace \pm 1 \rbrace et \mathfrak{S}_4 (lecture incertaine) aux deux premières lignes ; plusieurs signes y sont noircis. Les « faces » sont celles du cube (17) de la page 37

sa page 5, en haut à gauche On appellera orientation de (K, (D_i)_{i \in J}), la donnée, pour \forall\, I \in \mathfrak{P}_3(J) comme dessus (de l'ens. de 3 pseudo-droites non concourantes), d'une orientation \omega_I du graphe octaédral gauche correspondant. \mathfrak{P}_3(J) : l'ensemble des parties à trois éléments de J ; « \omega_I » est ajouté en interligne

Soit maintenant \mathcal{X} une carte qui soit un arrangement de pseudo-droites, i.e. son 1-squelette K est donc muni d'une famille (D_i)_{i \in J} de pseudo-droites, i.e. de un arrangement 1-dim. de ps.-droites. Il plus, il est muni d'une orientation \omega = (\omega_I)_{\substack{I \in \mathfrak{P}_3(J) \\ \bigcap_{i \in I} D_i = \emptyset}} On trouve ainsi un foncteur (18) \qquad \mathcal{X} \longmapsto (K, (D_i)_{i \in J}, \omega) de la catégorie des arrangements comb. de pseudo-droites, vers la catégorie combinatoire des arrangements 1-dimensionnels orientés de pseudo-droites. le « 1 » de « 1-dimensionnels » est ajouté en interligne ; au-dessous, un mot commencé et laissé en suspens

Th. Le foncteur précédent est pleinement fidèle, i.e. pour deux arrangements comb. \mathcal{X}, \mathcal{X}' de ps. droites, on a \operatorname{Isom}(\mathcal{X}, \mathcal{X}') \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Isom}\bigl((K, (D_i)_{i \in J}, \omega), (K', (D'_{i'})_{i' \in J'}, \omega')\bigr) « Th. » est surchargé et souligné. Dans la marge gauche, en face du théorème, trois lignes obliques de sa main sont barrées : on y devine « Il … … pour … … … qui … … bigone », lecture trop incertaine pour être donnée. Un trait oblique, à droite, prolonge la dernière formule

Soit K un 1-complexe combinatoire fini, (D_i)_{i \in J} une fam. finie de sous-complexes polygonaux, tels que toute arête de K appartienne à un D_i et un seul, ~~et que K i.e. \forall sommet de K~~ ~~au moins un des D_i~~. On suppose de plus que pour i \neq j, D_i et D_j se rencontrent en un sommet et un seul, et que \forall sommet de K appartient à au moins 2 des D_i. On dit alors que (K, (D_i)_{i \in J}) est un 1-dimensionnel arrangement de ps. droites. Supposons que l'intersection des D_i soit vide, i.e. que K ne soit pas réduit à un « point » (ou « boucles ») ~~monogones~~ ~~polygones~~ constitués par . Il existe alors une partie I \subset J de cardinal .

Pour une partie I de J, soit K_I le sous-complexe « topologique » réunion des D_i (i \in I) et des sommets que les intersections . Si (card I = 3, \bigcap_{i \in I} D_i = \emptyset), K_I est un graphe octogonal gauche, donc on peut parler d'orientation de ce graphe octogonal g. NB L'ordre d'un bigônes \geq 2 … K_I … (D_i)_{i \in I} … page très reprise, écrite vite : plusieurs passages biffés d'un trait se superposent aux ajouts interlinéaires, et seule la charpente des phrases se lit. La note marginale, en longues lignes obliques dans le coin inférieur gauche, n'est lisible que par fragments. « octogonal » (deux fois) est transcrit tel qu'il se lit ; le contexte, et la page 37 (« graphes octaédraux gauches »), attendent « octaédral »