Cote n° 80 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Systèmes de pseudo-droites : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981]
Édition de démonstration

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Classifications pseudo-droites

titre écrit au crayon, de sa main, en tête de la page 2, au-dessous du premier diagramme

2numéroté 1 (entouré) en haut à droite, de sa main ; la suite numérotée de 1 à 6 court sur les pages 2 à 7 \(I\), \(i_0 \in I\), \(\operatorname{card} I = n+1\), \(I_0 = I \setminus \lbrace i_0 \rbrace\).

\[\mathrm{C}(I) \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0) \longrightarrow \mathrm{C}_{n+1} \simeq \mathrm{C}(I)/\mathfrak{S}_I , \qquad \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n) \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0)/\mathfrak{S}_{I_0} \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I)/\mathfrak{S}_I\] ce premier diagramme (une flèche horizontale et une flèche verticale de \(\mathrm{C}(I)\) vers \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n)\)), avec les données \(I\), \(i_0\), \(I_0\) à droite, est biffé par de longs traits obliques ; il est repris plus bas. L'indice « \(\mathrm{aff}\) » est lu ainsi : il l'écrit comme un petit « a » suivi de deux hampes doublées, et on le garde tel pour tout le lot. \(\mathfrak{S}\) rend son S gothique (groupe symétrique)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{C}(I) \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0) \arrow[dr, "\alpha"'] & & \\
& \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n) \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0)/\mathfrak{S}_{I_0} \simeq \mathrm{C}_{\cdots}(I)/\mathfrak{S}_{I_0} \arrow[dl, "\beta"'] \arrow[dr, "\beta'"] & \\
\mathrm{C}(n+1) \simeq \mathrm{C}(I)/\mathfrak{S}_I & & \mathrm{C}(n)
\end{tikzcd}

étiquettes des flèches : \(\alpha\) = « oubli du \(I\)-épinglage sauf \(\Delta_{i_0} = \Delta\) », la flèche barrée de deux petits traits ; \(\beta\) = « […] oubli du \(\Delta\) […] […] \(\Delta\) », avec un signe \(\simeq\) couché le long de la flèche ; dans \(\mathrm{C}_{\cdots}(I)\) l'indice est biffé et illisible ; \(\beta'\) = « oubli de \(\Delta\) gommage de \(\Delta\) ». À droite du diagramme : « classes d'iso de systèmes \((X, \Sigma, \Delta)\) : \((X, \Sigma)\) syst. de ps dr. et \(\Delta \in \Sigma\) »

\(\beta\) surjection, la fibre en \(X\), \(\mathrm{cl}_{n+1}(X, \Sigma)\) est l'ens. des types d'éléments de \(\Sigma\), i.e. \(\Sigma / G_{X,\Sigma}\)

[Si \(n = 5\), \(n+1 = 6\), il y a deux fibres qui sont de card \(1\), deux de card. \(2\)

\(\beta'\) surjective (?)

La fibre de \(\mathrm{cl}_n(X, \Sigma^{*})\) est l'ens des types de positions relatives p.r. : \((X, \Sigma^{*})\)

[Si \(n = 5\), \(\mathrm{C}(n)\) a un élément, la fibre est de card. \(6\)] les deux crochets sont écrits l'un en face de l'autre, dans les deux colonnes ; le premier n'est pas refermé

NB \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) \subset \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0)\), avec \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) = \mathrm{C}_{\mathrm{st}}(I)\) et \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0) = \mathrm{C}(I)\), stable par \(\mathfrak{S}_I\), a fortiori par \(\mathfrak{S}_{I_0}\), prenant les quotients […] trouve […] les diagrammes analogues […] \(\mathrm{C}_{\mathrm{st}}(I) = \mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\), \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(n)\), \(\mathrm{C}_{\mathrm{st}}(n)\), \(\mathrm{C}_{\mathrm{st}}(n+1)\). les égalités \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) = \mathrm{C}_{\mathrm{st}}(I)\) et \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0) = \mathrm{C}(I)\) sont écrites verticalement, par des « \(=\) » sous chaque terme de l'inclusion

3numéroté 2 (entouré), en haut à gauche Considérons un élément de \[\mathrm{C}_{\mathrm{st}}(I) \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\] \(\xi = \mathrm{cl}(X, \Sigma = (\Delta_i)_{i \in I})\). Alors \(I_0\) hérite d'une structure polygonale (dépendant de \(\xi\)) ([…] […] card \(I_0 \geqslant 3\)) « (dépendant de \(\xi\)) » est ajouté au-dessus de la ligne et renvoyé par un trait sous « structure polygonale »

De plus, on trouve un polygône \(\widetilde{I}_0(\xi)\) qui est un revêtement à deux feuillets de \(I_0(\xi)\). \[\widetilde{I}_0(\xi) \longrightarrow I_0(\xi)\] la flèche est verticale dans la marge gauche, en face des lignes qui suivent Si on explicite traduit la structure \((X, \Sigma = (\Delta_i)_{i \in I})\), en mettant : par \(\Delta = \Delta_{i_0}\) : à l'aide d'un disque \(\mathbf{D} = \mathrm{Déc}(X, \Delta)\), alors et d'un système [stable] de cordes \(\widetilde{\Sigma}\) dans \(\mathbf{D} = \widetilde{X}\) indexé par \(I_0\), on trouve […] avec des sommets sur \(\partial \mathbf{D}\). \(\widetilde{I}_0(\xi) \simeq{}\) ens des sommets sur \(\partial\mathbf{D} = \partial\widetilde{X}\) (rem. : deux feuillets de \(\Delta\)) « stable » est ajouté au-dessus de « système de cordes », souligné ; « traduit » est écrit au-dessus de « explicite » biffé. Son \(\Delta\) porte un trait intérieur, comme s'il s'agissait d'un \(\Delta\) ouvert d'un côté ; on le rend par \(\Delta\) partout. « \(\mathrm{Déc}\) » est son abréviation, gardée telle

Soit maintenant \(S\) un ens. polygonal de même ordre \(2n\), donné une fois pour toutes. On s'intéresse aux structures de syst. stables de cordes \(S\)-épinglées (mod \(S\)-isom.), soit \(\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)\) l'ens des cl. de ces structures. Posons \(I_0 = S / a_S\), \(a_S\) antipodisme de \(S\). On a une application naturelle \[\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) \longrightarrow \mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0, \ldots)\] le second argument, après la virgule, est raturé et illisible dont la fibre en \(\xi\) est un cov. […] […] l'ens […]

4numéroté 3) en haut à gauche : la page continue la phrase interrompue au bas de la page 3 dont l'image est le sous-ens \[\mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) \overset{\mathrm{def}}{=} \mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0, \pi_0) \subset \mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\] formé des \(\xi\) tels que la structure polygonale correspondante sur \(I_0\) soit la structure polygonale \(\pi_0\) obtenue sur \(I_0\), déduite de la structure polygonale de \(S\) par passage au quotient. Donc on a \[\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) \longrightarrow \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\] où le \({}^{!}\) indique que \(I_0\) est muni de \(\pi_0\), i.e. qu'on prend \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0, \pi_0)\). La fibre de fibre de \(\xi \in \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\) s'identifie à l'ens des iso polygonaux \[S \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{I}_0(\xi)\] qui sont rendent commutatif le triangle

\begin{tikzcd}
S \arrow[rr, "\sim"] \arrow[dr, "\mathrm{can}"'] & & \widetilde{I}_0(\xi) \arrow[dl, "\mathrm{can}"] \\
& I_0 &
\end{tikzcd}

il est de cardinal \(2\) ; on passe de l'un à l'autre par antipodisme au début de la page, un renvoi en tête insère \(\mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\) au-dessus de la ligne, et un sigle raturé précède la formule ; nous lisons la notation \(\mathrm{C}^{!}\) d'après la suite de la page, où le « ! » est expliqué

Ex Card \(I_0 = 5\), \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{st}}(I_0 \sqcup \lbrace i_0 \rbrace)\) se partage en \(6\) classes (orbites sous \(\mathfrak{S}_{I_0}\)), ces deux lignes sont biffées d'un trait chacune

5numéroté 4) en haut à gauche

\begin{tikzcd}[column sep=small]
\mathbb{D}_{I_0} \subset \mathfrak{S}_{I_0} \ [\subset \mathfrak{S}_I] & \\
\mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) \subset \mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) \arrow[d, "\alpha"] \arrow[dr, "\alpha^{!}"'] & \\
\mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n) & \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n) \simeq \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) / \mathbb{D}_{I_0}
\end{tikzcd}

schéma redressé : sur la page, une seule fois \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n)\), au bas d'une flèche verticale \(\alpha\) issue de \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\) et d'une flèche oblique \(\alpha^{!}\) partant de \(\mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\) ; nous l'avons dédoublé pour ne pas faire se croiser les flèches. En marge, à droite, sous \(\mathbb{D}_{I_0}\) : « ([…] automorphismes de la str. polygonale \(I_0\)) », qui glose \(\mathbb{D}_{I_0}\) (son D ajouré, rendu \(\mathbb{D}\), le groupe diédral). L'indice \(\mathrm{st}\) de \(\mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)/\mathbb{D}_{I_0}\) est lu

Soit \(\xi^{q} \in \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n)\), alors \((\alpha^{!})^{-1}(\xi^{q})\) (resp. \(\alpha^{-1}(\xi^{q})\)) est une orbite sous \(\mathbb{D}_{I_0}\) (resp. sous \(\mathfrak{S}_{I_0}\)), et on a sans doute \[\alpha^{-1}(\xi^{q}) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathfrak{S}_{I_0} \wedge^{\mathbb{D}_{I_0}} (\alpha^{!})^{-1}(\xi^{q})\] id. d'où \[\operatorname{Card} \alpha^{-1}(\xi^{q}) = \Bigl( \frac{n!}{2n} \Bigr) \cdot \operatorname{Card} (\alpha^{!})^{-1}(\xi^{q}), \qquad \underbrace{\frac{n!}{2n}}_{} = \frac{(n-1)!}{2}\] \(= \mathrm{nb}\) de structures polygonales sur \(|I_0|\) l'exposant de \(\xi\), tout au long des pages 5 à 7, est un petit signe en forme de « q » ou de « 4 » ; nous le rendons \(\xi^{q}\) sans être sûr de la lecture. Sur la flèche \(\xleftarrow{\sim}\) une première écriture de la formule est raturée et illisible. L'accolade sous \(n!/2n\) renvoie à \((n-1)!/2\), puis à « \(=\) nb de structures polygonales sur \(|I_0|\) »

6numéroté 5) en haut à gauche \[\operatorname{card} (\alpha^{!})^{-1}(\xi^{q}) = \frac{\operatorname{card} \mathbb{D}_{I_0}}{\operatorname{card} \bigl( G_{\xi} = \operatorname{Aut}(X, \Sigma, \Delta) \bigr)} = \frac{2n}{N(\xi)}\] au dénominateur de droite, un premier signe est raturé devant \(N(\xi)\)

Prenant son composé

\begin{tikzcd}
\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) \arrow[d, "\deg 2"] \arrow[dd, bend left=60, "\widetilde{\alpha}"] \\
\mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) \arrow[d, "\alpha^{!}"] \\
\mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n) \simeq \widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)/\mathbb{D}_S \simeq \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)/\mathbb{D}_{I_0}
\end{tikzcd}

on trouve \[\operatorname{Card} \widetilde{\alpha}^{-1}(\xi^{q}) = \frac{4n}{N(\xi)}\] où \[N(\xi) = \operatorname{card} \operatorname{Aut}(X, \Sigma, \Delta)\] où \[\xi^{q} = \mathrm{cl}_{\mathrm{aff}}(X, \Sigma, \Delta)\]

Ex 1) \(n = \operatorname{card} I_0 = 3\), alors c \(\operatorname{card} \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(3) = 1\), et \(\operatorname{Aut}(X, \Sigma, \Delta) \simeq \mathfrak{S}_3\), de card \(6\), donc \(\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)\) consiste en une seule orbite sous \(\mathbb{D}_{I_0}\), d'ordre \(\frac{12}{6} = 2\)

7numéroté 6) en haut à gauche ; c'est le dernier numéro de la suite commencée page 2 2) \(n = 4\), \(\operatorname{card} \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n) = 1\) i.e. \(\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)\) une seule orbite sous \(\mathbb{D}_S\). […] On a \(\operatorname{Aut}(X, \Sigma, \Delta) \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), donc \(N(\xi^{q}) \simeq 2\), et \[\operatorname{card} \widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) = \frac{4n}{2} = 8\] 3) \(n = 5\), \(\operatorname{card} \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n) = 6 \ldots\)

Résumé \[\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) \overset{\mathrm{def}}{=}\] classes d'iso. de disques avec syst. [stables] de cordes, épinglés par le polygone comb. \(S\) d'ordre \(2n\). un double trait horizontal sépare les exemples du « Résumé » ; « stables » est ajouté au-dessus de la ligne

Dépend fonctoriellement du pol. comb. \(S\) (pour iso comb.), donc \(\mathbb{D}_S\) opère dessus. Si \(\widetilde{\xi} \in \widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)\), alors ? \[\bigl( \mathbb{D}_S \bigr)_{\widetilde{\xi}} \simeq \operatorname{Aut}_{\mathrm{ist}}(\mathbf{D}, \widetilde{\Sigma}) \simeq \operatorname{Aut}(X, \Sigma, \Delta)\] devant \((\mathbb{D}_S)_{\widetilde{\xi}}\), le mot « Aut » est biffé. Sous ce terme : « \(=\) stabilisateur de \(\widetilde{\xi}\) dans \(\mathbb{D}_S\) » ; sous \(\operatorname{Aut}_{\mathrm{ist}}\) : « ([…] des cat. isotopiques) ». L'indice « ist » est lu ainsi, pour « isotopique » (où \((\mathbf{D}, \widetilde{\Sigma}) \longleftrightarrow (X, \Sigma, \Delta)\), et leur classe est \(\widetilde{\xi}\)). Enfin … \[\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) / \mathbb{D}_S \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(n) \overset{\mathrm{def}}{=}\] classes d'iso. des syst. stables \((X, \Sigma, \Delta)\) \[\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) / \lbrace 1, a_S \rbrace \simeq \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) \quad \bigl( \subset \mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0) \bigr)\] où \(I_0 = S / \lbrace 1, a_S \rbrace\) l'inclusion \(\subset \mathrm{C}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\) est écrite au-dessus, dans une bulle rattachée à \(\mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff}\,\mathrm{st}}(I_0)\) ; sous cette dernière, un indice griffonné est illisible

9page entièrement occupée par une figure, sans texte suivi : un grand arrangement de pseudo-droites dans un disque (cercle au crayon). Les droites portent, à leurs extrémités sur le bord, les étiquettes appariées \(\Delta_A, \Delta_{A'}\), \(\Delta_B, \Delta_{B'}\), \(\Delta_C, \Delta_{C'}\) (des droites) et \(D_A\), \(D_B\), \(D_C\) (trois courbes qui s'enroulent autour du centre) ; les points d'intersection sont nommés \(A, B, C\), \(A', B', C'\) au centre, puis \(L, M, N\), \(L', M', N'\), \(P, Q, R\), \(P', Q', R'\) plus loin. Chaque région porte le nombre de ses côtés, \(3\), \(4\), \(5\) ou \(3'\), \(4'\), \(5'\) pour les régions symétriques ; à l'infini, les régions entre \(\Delta_A\) et \(\Delta_{A'}\) (et de même pour \(B\), \(C\)) sont marquées \(4'\), et un arc épaissi du bord ferme chacune d'elles. Au-dessous, deux petits hexagones de sommets \(A, B', C, A', B, C'\) dans cet ordre, le premier couvert de diagonales et de ratures, le second avec ses trois grandes diagonales

Décompte des régions, en bas à droite :

triangles : \(1 + 3 + 3 = 7\)

carrés : \(3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24\)

pentagones : \(3 + 3 = 6\) les mots « triangles », « carrés », « pentagones » sont de nous : sur la page, chaque ligne est précédée d'un petit dessin, triangle, carré, pentagone ; à gauche, des chiffres « 3 », « 3 », « 2 » griffonnés sont en partie raturés. Deux accolades sous la ligne des carrés groupent certains « \(3\) »

10changement de papier et de sujet : feuille blanche, écrite au stylo, sans numéro de sa main ; il s'agit de la factorisation de Stein, sans lien apparent avec les pseudo-droites des pages 2 à 9 Donc si \(\widetilde{Z}' \simeq X'\) i.e. \(Z' \to X'\) est steinien \[\exists !\ X' \longrightarrow \widetilde{Z}\] sous la flèche, en petit et souligné : « \(X\)-[…] » ; le \(X'\) source récrit un premier signe biffé tel que

\begin{tikzcd}
Z \arrow[d] & Z' \arrow[l] \arrow[d] \\
\widetilde{Z} & X' \arrow[l]
\end{tikzcd}

le carré porte « comm. » en son milieu ; au-dessous, un prolongement vers \(X\) (une flèche verticale et une oblique issue de \(X'\)) est raturé

En d'autres termes, dans la catégorie des flèches steiniennes \(Z' \to X'\) de \(\mathrm{Top}/X\) au-dessus de \(Z \to X\), il y a un objet initial, savoir \((Z \to \widetilde{Z})\) au-dessus de \((Z \to X)\).

Compatibilités avec chgt de base

Quand peut-on dire que

\begin{tikzcd}
Z \arrow[d] & Z' \arrow[l] \arrow[d] \\
X & X' \arrow[l]
\end{tikzcd}

étant cartésien, que le carré […] (ou les deux) de

\begin{tikzcd}
Z \arrow[d] & Z' \arrow[l] \arrow[d] \\
\widetilde{Z} \arrow[d] & \widetilde{Z}' \arrow[l] \arrow[d] \\
X & X' \arrow[l]
\end{tikzcd}

le sont ?

a) \(Z \to X\) compact ?

b) \(X' \to X\) loc. \(\mathcal{O}\)-acyclique … le « \(\mathcal{O}\) » est un rond appuyé, d'une autre encre, lu ainsi

11page de dessins au crayon, avec quelques calculs : une sphère parcourue de trois grands cercles (points d'intersection marqués) ; une pyramide et une bipyramide ; un réseau oblique de points marqués alternativement « \(+\) » et « \(\bullet\) » ; un octaèdre repassé à l'encre bleue, inscrit dans un cube au crayon, avec à côté un signe \(\mathfrak{S}\) ; un cube quadrillé ; en bas à droite un polyèdre à faces carrées et hexagonales (un octaèdre tronqué ?) inscrit dans un cube ; en haut à droite un arbre ramifié à trois niveaux \[48 = 2 \cdot 4! \qquad \frac{5!}{2 \cdot 4!} = \frac{5}{2}\] \[3 \times 2 \times 3 \qquad 12 = \frac{8 \times 3 \times 2}{4}\] le « \(48\) » récrit un premier chiffre ; « \(3 \times 2 \times 3\) » suit, en oblique, un griffonnage raturé sous l'arbre

12un seul dessin au crayon, en haut de la page : un arrangement de six pseudo-droites, dont les extrémités portent des indices \(1, 2, 3, 4, 5\) précédés du même signe que les régions. Au centre, un pentagone marqué \(5\), entouré de cinq triangles marqués \(3\) ; autour, six régions marquées \(4_1, \ldots, 4_6\) (le chiffre « \(4\) » a la même forme que l'exposant de \(\xi\) aux pages 5 à 7). Au-dessus, à gauche, deux traits « \({}^{\prime\prime}\) » isolés

13feuille à l'italienne, au stylo et au crayon. En haut, deux petites figures : des carrés recoupés par des droites obliques, certaines en pointillé (à gauche, deux coins marqués « \({}^{\prime\prime}\) »). En bas, une construction d'un arrangement de droites : deux horizontales, deux verticales et des obliques, avec les points \(P\), \(L\), \(B\), \(C'\), \(N\) sur la première horizontale, \(N'\), \(C\), \(B'\), \(L'\), \(P'\) sur la seconde, \(A\) et \(A'\), \(Q\) et \(Q'\), \(M\) et \(M'\), \(R\) et \(R'\) ; les longueurs \(a\), \(b\) (en haut) et \(a'\), \(b'\) (en bas) sont marquées sur les segments. À droite de la figure : \[a + a' \leqslant 2 , \qquad b + b' \geqslant 2 , \qquad 2 - a' < b \quad \text{i.e.} \quad a' + b > 2\] (d'où \(b > a\)) dans les deux premières inégalités le signe a été repassé à l'encre, sans qu'on puisse dire s'il s'agit de l'inégalité large ou stricte

14feuille à l'italienne, dessins au stylo sans texte : un arrangement de cinq droites \(D_0\) (horizontale, avec une variante \(D_0'\) lue, repassée), \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\), \(D_4\) formant une étoile, deux triangles inférieurs hachurés et le demi-plan sous \(D_0\) parcouru de traits parallèles ; à droite, une courbe coupe l'étoile (pseudo-droite), et quatre petits croquis de droites concourantes ou sécantes, le côté de chaque demi-plan marqué par des hachures

Système d'hyperplans (projectifs) réels

titre écrit de sa main en tête de la page 16, souligné ; la page n'est pas numérotée par lui, et reprend sur papier blanc au stylo noir

16Théorie analogue dans le cas affine, […] […] mais qui ne passent pas […] par […] […] […] des \(H_i\) […] Soit \(V\) esp. vectoriel réel, \(H\) un hyperplan de \(V\), on note \(D_H\) [\(\subset \mathfrak{P}(V)\)] l'ens des trois éléments de \(\lbrace H, V'_H, V''_H \rbrace\), où \(V'_H\) et \(V''_H\) sont les deux demi-espaces ouverts de \(V\) déterminés par \(H\) ; quitte donc \(D_H\) est une partition de \(V\) par des [ens] convexes. la note marginale est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche ; « \(\subset \mathfrak{P}(V)\) » est ajouté au-dessus de \(D_H\) et rattaché par un trait ; devant \(D_H\) un sigle est raturé

Comme c'est un ensemble à trois éléments, avec un élément distingué \(\lbrace H \rbrace\), on peut regarder \(D_H\) comme un espace isomorphe à \(\mathbf{F}_3 = \lbrace -1, 0, 1 \rbrace\). On a une application canonique […] \(V \setminus\) \[\varphi_H : \mathbf{S} \xrightarrow{\ \varphi_H\ } D_H , \qquad \mathbf{S} = V^{*} / \mathbf{R}^{*}_{+}\] son \(\mathbf{S}\) est un S doublé ; au-dessous, « \(= V^{*}/\mathbf{R}^{*+}\) », écrit \(\mathbf{R}^{*+}\) sur la page. Ici \(V^{*}\) désigne sans doute \(V \setminus \lbrace 0 \rbrace\), ce qui fait de \(\mathbf{S}\) la sphère des directions

Soit \((H_i)_{i \in I}\) une famille finie d'hyperplans de \(V\), distincts, et considérons l'application « distincts » […] […] […] \(\varphi\) […] […] […] \[\varphi : \mathbf{S} \longrightarrow \prod D_{H_i} = \mathbf{E}\] définie par les \(\varphi_{H_i}\). Les fibres non vides de \(\varphi\) forment une partition de \(S\) par des […] [parties] « convexes » (i.e. l'image inverse dans \(V^{*}\) […] est un cône convexe) dans les « alvéoles ouvertes » : « convexes » […] […] […] […] […] […] question […] […] […] […] si \(\bigcap H_i = \lbrace 0 \rbrace\) […] […] si \(\bigcap H_i = \lbrace 0 \rbrace\) la note marginale d'en bas est écrite en oblique sur cinq ou six lignes serrées, et un trait la rattache au mot « convexes » ; « si \(\bigcap H_i = \lbrace 0 \rbrace\) » s'y lit deux fois. Le passage « (i.e. … \(\lbrace 0 \rbrace\), est un cône convexe) » porte au-dessus de « cône » un « un » ajouté ; le \(\lbrace 0 \rbrace\) commence une ligne et le reste de la phrase est reconstitué \[\text{Soit } \Sigma = \varphi(\mathbf{S}) \subset \mathbf{E}\] l'ens. des indices de cette partition. C'est une partie de \(\mathbf{E}\) stable par l'homothétie \(-1\) (\(-\mathrm{id}_{\mathbf{E}}\)), qui correspond par passage […] d'une fibre \[Z^{*}_{-\alpha} = - Z^{*}_{\alpha} \qquad \text{pour } \alpha \in \Sigma\] On se propose de déterminer \(\overline{Z}^{*}_{\alpha}\) pour \(i \in I\). devant \(\Sigma = \varphi(\mathbf{S})\) un premier symbole est raturé ; dans « pour \(\alpha \in \Sigma\) » le \(\Sigma\) est souligné. Dans la dernière phrase, « pour \(i \in I\) » est lu tel qu'il est écrit, où l'on attendrait \(\alpha \in \Sigma\) ; l'adhérence \(\overline{Z}^{*}_{\alpha}\) est calculée page 17

17[…] […] […] […] \(H_i\) […] […] […] la note marginale du coin supérieur gauche, en oblique, est barrée de plusieurs grands traits en boucle ; elle est illisible […] trouve que via l'intersection des \(\frac{1}{2}\) espaces fermés \[\overline{V'_{H_i}} = V'_{H_i} \cup H_i , \qquad \overline{V''_{H_i}} = V''_{H_i} \cup H_i ,\] déterminés par les \(H_i\) (\(i \in I\)), [qui contiennent \(Z_i\)], en d'autres termes \[\overline{Z}^{*}_{\alpha} = \bigcup_{\substack{\beta \in \Sigma \\ \text{tel que } i \in I \\ \text{implique } k_i(\beta) \leqslant k_i(\alpha)}} Z^{*}_{\beta} = \bigcup_{\substack{\beta \in \Sigma \\ \beta \preceq \alpha}} Z^{*}_{\beta}\] « \(\frac{1}{2}\) espaces » : il écrit « ½ » pour « demi- », cf. l'aide-lecture. « qui contiennent \(Z_i\) » est ajouté au-dessus de la ligne, dans une bulle ; l'indice de \(Z\) y est lu \(i\). Dans l'inégalité \(k_i(\beta) \leqslant k_i(\alpha)\) le signe récrit un premier signe raturé où les […] \[k_i : \mathbf{E} \longrightarrow \mathbb{D}_{H_i} \qquad (i \in I)\] sont les fonctions coordonnées, et où on introduit dans \(\mathbb{D}_{H_i}\) la relation d'ordre \(\leqslant\) définie par

\begin{tikzcd}[column sep=small]
\alpha'_i & & \alpha''_i \\
& 0 \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}

\(\alpha', \alpha''\) les deux éléments \(\neq 0\) de \(\mathbb{D}_{H_i}\), ici, et jusqu'au bas de la page, il écrit \(\mathbb{D}_{H_i}\) (un D ajouré) pour l'ensemble à trois éléments noté \(D_{H_i}\) à la page 16 ; le petit schéma est un « V » dont la pointe est marquée \(0\) i.e. si \(\xi, \eta \in \mathbb{D}_{H_i}\), on a \(\xi \leqslant \eta\) ssi \(\xi = 0\) ou \(\xi = \eta\), et on met sur \(\mathbf{E} = \prod_{i \in I} \mathbb{D}_i\) l'ordre produit. […] est ordonné, puis sur \(\Sigma\) l'ordre induit, d'où une « top. inférieure » sur \(\Sigma\), dont les fermés sont les parties \(A\) de \(\Sigma\) telles que \(\alpha \in A\), \(\beta \leqslant \alpha \Rightarrow \beta \in A\). On a donc \[\beta \leqslant \alpha \iff \beta \in \overline{\lbrace \alpha \rbrace} , \quad \text{et} \quad \overline{Z}^{*}_{\alpha} = Z^{*}_{\overline{\lbrace \alpha \rbrace}}\] où on pose, pour \(A \subset \Sigma\), \[Z^{*}_{A} = \bigcup_{\alpha \in A} Z^{*}_{\alpha} .\]

18Plus généralement, on a \[\overline{Z^{*}_{A}} = Z^{*}_{\overline{A}}\] \[\Bigl( \bigcup_{\alpha \in A} \overline{Z}_{\alpha} = \bigcup_{\alpha \in A} Z_{\overline{\lbrace \alpha \rbrace}} = Z_{\bigcup_{\alpha \in A} \overline{\lbrace \alpha \rbrace}} , \quad \bigcup_{\alpha \in A} \overline{\lbrace \alpha \rbrace} = \overline{A} \Bigr)\] la première union est reliée à \(\overline{Z^{*}_{A}}\) par un « \(=\) » vertical ; sous la dernière, une accolade donne \(\overline{A}\)

L'ens. \(\Sigma\) ordonné \(\Sigma\) est donc [donc] (fini) l'ens. d'indices d'une stratification de la sphère \(S\), satisfaisant l'axiome de frontière [et de densité] ([…] […] \(\Sigma_\alpha\) […] […]) (les \(Z^{*}_{\alpha} \neq \emptyset\), \(\overline{Z^{*}_{\alpha}} = Z_{\overline{\alpha}}\) […]), et à strates convexes. « donc » est récrit au-dessus de « donc » biffé ; « et de densité » est ajouté en marge et renvoyé dans la ligne ; la parenthèse biffée contient un \(\Sigma_\alpha\) repris au-dessus, lui aussi raturé. Le dernier terme de l'égalité est lu \(Z_{\overline{\alpha}}\)

\(\Sigma\) en général n'est pas un […] Inf-réticulé : deux éléments de \(\Sigma\) qui ont minorants n'ont pas nécessairement de Inf – ex. \(V\) de dim \(3\), […] […] plans passant par une même droite (\(n \geqslant 3\) p. ex. \(n = 3\)). Mais sans doute, si l'intersection des \(H_i\) se réduit à \(\lbrace 0 \rbrace\), […] l'intersection de deux fermés […] fermés sera une partie fermée. ce paragraphe est barré par cinq longs traits obliques, et sa dernière ligne d'un trait horizontal. En regard, dans la marge gauche, un petit croquis : une sphère (ou un disque) où deux arcs se coupent en deux points antipodaux, marqué d'un « ? »

\(\Sigma\) est une partie ouverte de \(\mathbf{E}\), i.e. \(\alpha \in \Sigma\), \(\beta \in \mathbf{E}\), \(\beta \geqslant \alpha\) implique \(\beta \in \Sigma\). Donc dans \(\Sigma\) comme dans \(\mathbf{E}\) (et partie [de] même genre […] une façon canonique dans \(\mathbf{F}_3\)) toute partie minorée de \(\Sigma\) a un Inf. la fin de la page est d'une lecture très incertaine ; « Inf » est écrit « I–f », avec une longue queue

20feuille à l'italienne. En haut, quatre dessins d'arrangements de droites, séparés par un double trait vertical après le premier : (1) quatre droites en position générale, marqué « \(4\) » et « (\(\mathfrak{S}_4\)) » ; (2) cinq droites, « (\(D_5\)) \(5\) pos. générale » ; (3) cinq droites, « \(5\) position particulière » ; (4) six droites, les trois côtés d'un triangle et ses trois médianes concourantes, points d'intersection marqués, « \(6\) en position particulière ». Entre (2) et (3), un signe raturé Tout arr. que \(1\)-dim. de ps. droites […] pouvant être de ps. droites bigones, contient un des \(4\) configurations [s'il ne se réduit à \(4\) ps. droites] (auquel cas c'est le cas (1)) contient une des [types de] configurations (2), (3), (4) qui sont spéciales [2-dim.] « non spéciales », i.e. quand elles sont réalisées [comme] des arrangements (de ps. droites, dans l'intersection de deux faces fermées est […] vide, réduite à un sommet, ou est une arête fermée. deux corrections interlinéaires : « s'il ne se réduit à \(4\) ps. droites » est écrit au-dessus de « contient un des \(4\) configurations » biffé ; « types de » est ajouté au-dessus de « configurations ». « 2-dim. » est écrit au-dessous de « spéciales » biffé, et un grand rond, relié par un trait, renvoie à « arrangement ». La parenthèse ouverte avant « de ps. droites » n'est pas refermée

NB Si elle ne contient (2) ni (3), c'est elle est du type (4), ou du type (5) la configuration (5), dessinée à droite, est un arrangement de sept droites, dont trois en tirets, avec six points d'intersection marqués des \(7\) ps. droites formé d'un quadrilatère et de ses trois diagonales, qui mérite d'être étudié. la phrase court sur deux colonnes, de part et d'autre du dessin ; l'ordre de lecture retenu est le nôtre

Si elle ne contient la page s'arrête sur ces mots biffés ; la suite est dans le lot suivant, s'il y en a une