Cote n° 80 · pages 1–72 · Lecture modernisée · Systèmes de pseudo-droites : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–72

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier n'est pas daté de sa main ; l'inventaire le date « à partir de 1981 », ce qu'appuie la notice administrative dactylographiée de la page 27, datée du 13 mai 1981, et le range dans le groupe « Géométrie et topologie combinatoire ». Sa pagination propre court sur deux séries : \(1\) à \(6\) aux pages 2 à 7, et \(1\) à \(12\) sur les rectos des pages 31 à 53, les versos continuant le texte. Ses équations numérotées (1) à (34) et ses conditions (A1) à (A6) courent des pages 31 à 54.

1. Pages 2 à 7, « Classifications pseudo-droites » : les arrangements munis d'une pseudo-droite distinguée, découpés le long de celle-ci en un disque muni d'un système de cordes ; dénombrements par orbites et stabilisateurs.
2. Pages 9 et 11 à 14, des dessins : un arrangement de neuf courbes, des polyèdres, une construction rectiligne avec inégalités. La page 10, au milieu, est étrangère au sujet : la factorisation de Stein.
3. Pages 16 à 18, « Système d'hyperplans (projectifs) réels » : vecteurs de signes, adhérence des strates, ordre sur les signes.
4. Pages 20 à 28, les arrangements « cruciaux » : pseudo-droites bigonales, une liste de types, un théorème (page 24), le cas « latticiel » (page 26), un lemme d'ordonnancement (page 28).
5. Pages 31 à 38, « Arrangements de 3 pseudo-droites » : cube et octaèdre combinatoires, leurs quotients « gauches », les orientations, le cube de foncteurs (17).
6. Pages 39 à 54, arrangements de dimension \(1\) orientés, le théorème de pleine fidélité de la page 39, sa démonstration par reconstruction (pages 41 à 49), l'orientation canonique des triangles (pages 49 à 54) et le théorème de la page 54.
7. Pages 56 à 58, des dessins avec décompte des régions.
8. Pages 60 à 66, « Système de Pseudodroites » : un second départ, par les ensembles d'orientations \(\Omega(D)\) et un système local.
9. Pages 67 à 70, un troisième départ, par les pseudo-droites orientées et les permutations circulaires \(\rho_{\vec{D},s}\).
10. Page 72, un tableau des arrangements de une à six droites.

Les pages 1, 8, 15, 19, 30, 55, 59 et 71 sont blanches. Les pages 21, 23, 25 et 29 sont des photocopies d'une lettre en allemand étrangère aux mathématiques, la page 27 la notice déjà dite ; ni la transcription ni cette lecture ne les reproduisent.

Trois reconstructions, gardées distinctes

La même question — retrouver la carte à partir de son squelette découpé en pseudo-droites — est attaquée trois fois, et les trois rédactions ne se citent pas.

• Pages 39 à 54 : on se donne en outre une orientation \(\omega\) de chaque triple de pseudo-droites non concourantes ; on reconstruit en chaque sommet la paire d'ordres circulaires \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\) et, le long de chaque arête, un transport \(\psi_{\vec{a}}\) ; puis on montre que \(\omega\) est elle-même déterminée par le squelette.
• Pages 60 à 66 : on part des ensembles \(\Omega(D)\) des deux orientations de chaque pseudo-droite et de bijections \(\varphi_{s;D,D'} : \Omega(D) \simeq \Omega(D')\) attachées aux sommets, et on en tire un système local \(\Omega(s)\) sur le squelette.
• Pages 67 à 70 : on part des pseudo-droites orientées et d'une permutation circulaire \(\rho_{\vec{D},s}\) des pseudo-droites orientées issues de \(s\), pour chaque \(\vec{D}\) ne passant pas par \(s\), soumise à des axiomes a) à f).

Ce sont trois habillages de la même construction — la permutation \(\vec{u}_{s,\vec{\Delta}}\) de la page 45 est exactement la \(\rho_{\vec{\Delta},s}\) de la page 67 —, mais chacun pose ses propres données et ses propres axiomes, et on les lit séparément.

Conventions

• Arrangement. Un arrangement de pseudo-droites, ou système de pseudo-droites, est une carte \(\mathcal{X}\) sur une surface \(X\) homéomorphe au plan projectif réel, dont les arêtes se répartissent en pseudo-droites (définition précise : page 60). Ses pseudo-droites sont notées \((D_i)_{i \in I}\), et \(I\) est toujours l'ensemble de toutes les pseudo-droites ; un triple est une partie \(J \in \mathfrak{P}_3(I)\)¹ . Aux pages 2 à 7 on garde la notation de la page, \((X, \Sigma, \Delta)\) : \(\Sigma = (\Delta_i)_{i \in I}\) la famille des pseudo-droites, \(\Delta = \Delta_{i_0}\) la pseudo-droite distinguée.
• Simple. L'indice « \(\mathrm{st}\) » (« stable ») des pages 2 à 7 désigne les arrangements simples : par chaque sommet passent exactement deux pseudo-droites. C'est le nom actuel, et c'est bien la stabilité par petite déformation² .
• Bigone, monogone. Une pseudo-droite qui ne porte que deux sommets est bigonale : sur le squelette, c'est un polygone à deux côtés. Une pseudo-droite qui n'en porte qu'un est un monogone, ce qui n'arrive que si toutes les pseudo-droites sont concourantes.
• Arrangement de dimension \(1\). C'est le squelette : un \(1\)-complexe \(K\) et une famille \((D_i)_{i \in I}\) de sous-complexes polygonaux, avec les axiomes de la page 40. Pour \(J \subset I\), \(K_J\) est le sous-arrangement formé des \(D_i\), \(i \in J\), où l'on oublie les sommets qui ne sont pas des intersections de ces \(D_i\). On note \(\nu_s\) le nombre de pseudo-droites passant par un sommet \(s\) ; l'ordre du sommet est \(2\nu_s\).
• Torseurs. Un ensemble à deux éléments est un torseur sous \(\{\pm 1\}\) ; \(\wedge\) est le produit contracté, \(\underline{1}\) le torseur trivial, et deux copies d'un même torseur ont un produit canoniquement trivial. Pour un ensemble fini \(I\), \(\mathrm{or}(I)\) est l'ensemble de ses deux orientations (ordres totaux à permutation paire près) ; pour \(\operatorname{card} I = 3\), ce sont ses deux ordres circulaires — l'ensemble que le dossier 89 note \(\omega_I\). On garde le signe \(\wedge\) des pages, qui est celui du dossier 89.
• Polygones. Une structure polygonale sur un ensemble fini \(E\) de cardinal \(\geqslant 3\) est une paire \(\{u, u^{-1}\}\) de permutations circulaires inverses l'une de l'autre — la « bi-circulation » du dossier 81 (page 41), et la troisième description d'un polygone combinatoire du dossier 89 (pages 19 et 20). \(\mathcal{C}_E\) est l'ensemble des permutations circulaires de \(E\). Les sommets portés par une pseudo-droite forment un polygone, donc reçoivent une telle structure.

Restent des collisions de lettres qu'on ne corrige pas, les sections ne se mêlant pas : \(S\) est le polygone d'épinglage (pages 3 à 7), la sphère (pages 16 à 18, en gras) et l'ensemble des sommets de \(K\) (page 41) ; \(\Omega_i\) est l'ensemble des orientations d'un bigone (pages 34 à 37), \(\Omega(D)\) et \(\Omega(s)\) ceux d'une pseudo-droite et d'un sommet (pages 61 à 70).

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Des liens qu'aucun feuillet n'écrit, et qui sont de nous. La configuration de six pseudo-droites joignant deux à deux quatre points — le quadrangle complet — revient quatre fois : dessinée page 20 (« \(6\) en position particulière »), nommée \(\mathrm{III}_6\) page 24, rencontrée comme cas résiduel page 53, et pages 63 et 64 comme celui où l'on tombe « par malheur ». L'octaèdre tracé page 11 comme une sphère coupée de trois grands cercles est l'octaèdre combinatoire de la page 31, et le nombre \(48 = 2 \cdot 4!\) qui l'accompagne est l'ordre de son groupe de symétries, \(\mathfrak{S}_4 \times \{\pm 1\}\), que la marge de la page 38 écrit. Les étiquettes des points de la page 9 se retrouvent sur la construction de la page 13. Les axiomes de la page 67 réécrivent, pour les \(\rho_{\vec{D},s}\), les relations (30), (A3), (A4) et (22) des pages 42 à 47. Enfin, les disques coupés de cordes des pages 3 à 7 sont de la même famille que ceux que dessine le dossier 81 (pages 9 à 11), mais ici les cordes se croisent toutes deux à deux : ce sont les pseudo-droites elles-mêmes, vues après découpage.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

Le théorème de la page 24, la proposition sur le cas latticiel et la proposition sur l'adjonction d'une pseudo-droite (page 26), le lemme de la page 28, dont seule une « Idée » est écrite. Le « Th. » de la page 39, dont Grothendieck dit lui-même (page 49) ne pas avoir vérifié la démonstration dans le cas de \(n\) pseudo-droites concourantes coupées par une seule autre ; les conditions (A1) à (A6), affirmées vraies pour un arrangement de dimension \(2\) (« bien entendu ») ; la simplification de ces conditions et le caractère automatique de la relation d'Euler-Poincaré (page 54). La fin de la condition sur le point \(r\) (page 63), l'item c) de la page 64, l'unicité qu'affirme le haut de la page 65, le « Th » de la page 70. La réalisation par de vraies droites pour \(n \leqslant 6\) (page 60, « on montre »). La question du changement de base de la page 10.

2–7

I. Arrangements à pseudo-droite distinguée (pages 2 à 7)

2–2

Les ensembles de classes (page 2)

Soit \(I\) un ensemble à \(n+1\) éléments, \(i_0 \in I\) et \(I_0 = I \smallsetminus \{i_0\}\). On note \(\mathrm{C}(I)\) l'ensemble des classes d'isomorphisme d'arrangements de pseudo-droites \((X, \Sigma = (\Delta_i)_{i \in I})\) indexés par \(I\), et \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0)\) celui des arrangements affines indexés par \(I_0\), c'est-à-dire tracés dans le complémentaire d'une pseudo-droite \(\Delta\) qu'on regarde comme la droite à l'infini³ . Choisir pour droite à l'infini la pseudo-droite d'indice \(i_0\) donne une bijection \[ \mathrm{C}(I) \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0). \] Le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_I\) agit en changeant les indices, et l'on pose \(\mathrm{C}(n+1) = \mathrm{C}(I)/\mathfrak{S}_I\) (arrangements de \(n+1\) pseudo-droites, sans indices) et \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n) = \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0)/\mathfrak{S}_{I_0}\) ; ce dernier est l'ensemble des classes de triples \((X, \Sigma, \Delta)\) avec \(\Delta \in \Sigma\), la pseudo-droite distinguée seule gardant son nom. On a deux applications :

\begin{tikzcd}
& \mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(n) \arrow[dl, "\beta"'] \arrow[dr, "\beta'"] & \\
\mathrm{C}(n+1) & & \mathrm{C}(n)
\end{tikzcd}

\(\beta\) oublie quelle pseudo-droite est distinguée, \(\beta'\) efface \(\Delta\)⁴ .

\(\beta\) est surjective, et sa fibre en la classe de \((X, \Sigma)\) est l'ensemble des orbites de pseudo-droites sous le groupe d'automorphismes \(G_{X,\Sigma}\) : \(\Sigma / G_{X,\Sigma}\). \(\beta'\) est surjective aussi — la page le demande avec un point d'interrogation — : tout arrangement se prolonge par une pseudo-droite supplémentaire, et même par une pseudo-droite en position générale ; c'est le lemme d'extension de Levi (1926)⁵ . Sa fibre est l'ensemble des « types de positions relatives » d'une nouvelle pseudo-droite par rapport à l'arrangement donné.

Tout cela vaut aussi pour les arrangements simples : la partie \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(I_0) = \mathrm{C}_{\mathrm{st}}(I)\) de \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff}}(I_0) = \mathrm{C}(I)\) est stable par \(\mathfrak{S}_I\), et en passant aux quotients on trouve \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(n)\), \(\mathrm{C}_{\mathrm{st}}(n)\), \(\mathrm{C}_{\mathrm{st}}(n+1)\) et les mêmes diagrammes. Pour \(n = 5\), la page donne : \(\mathrm{C}_{\mathrm{st}}(5)\) n'a qu'un élément et la fibre de \(\beta'\) en cet élément a \(6\) éléments ; au-dessus de \(\mathrm{C}_{\mathrm{st}}(6)\), les fibres de \(\beta\) ont \(1\), \(1\), \(2\) et \(2\) éléments⁶ .

3–4

Couper le long de la droite distinguée (pages 3 et 4)

Soit \(\xi = \mathrm{cl}(X, \Sigma) \in \mathrm{C}_{\mathrm{st}}(I) \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(I_0)\), avec \(\operatorname{card} I_0 \geqslant 3\). Les pseudo-droites \(\Delta_i\), \(i \in I_0\), coupent \(\Delta\) en des points distincts (l'arrangement est simple), rangés sur \(\Delta\) dans un ordre circulaire : \(I_0\) hérite d'une structure polygonale \(\pi(\xi)\), qui dépend de \(\xi\).

Découpons \(X\) le long de \(\Delta\). On obtient un disque fermé \(\mathbf{D} = \mathrm{Déc}(X, \Delta)\), dont le bord \(\partial \mathbf{D}\) est un revêtement à deux feuillets de \(\Delta\) ; chaque \(\Delta_i\), \(i \in I_0\), devient une corde de \(\mathbf{D}\), dont les deux extrémités sont les deux points de \(\partial\mathbf{D}\) au-dessus de \(\Delta_i \cap \Delta\) — donc deux points antipodaux du bord. On obtient un système de \(n\) cordes deux à deux sécantes, simple, indexé par \(I_0\), et l'ensemble \[ \widetilde{I}_0(\xi) = \{\text{extrémités des cordes sur } \partial\mathbf{D}\} \] est un polygone à \(2n\) sommets, revêtement à deux feuillets du polygone \(I_0(\xi)\), l'antipodie échangeant les deux feuillets⁷ .

Fixons maintenant, une fois pour toutes, un polygone combinatoire \(S\) d'ordre \(2n\), et notons \(a_S\) son antipodie (la rotation d'un demi-tour) et \(I_0 = S/\{1, a_S\}\), muni de la structure polygonale quotient \(\pi_0\). Soit \(\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)\) l'ensemble des classes de disques munis d'un système simple de cordes épinglé par \(S\), c'est-à-dire dont l'ensemble des extrémités est identifié à \(S\) par un isomorphisme de polygones. L'application naturelle \[ \widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) \longrightarrow \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff,st}}(I_0) := \{\xi \in \mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(I_0) \mid \pi(\xi) = \pi_0\} \] a pour image la partie notée \(\mathrm{C}^{!}\), formée des \(\xi\) dont la structure polygonale induite sur \(I_0\) est \(\pi_0\). Sa fibre en \(\xi\) s'identifie à l'ensemble des isomorphismes de polygones \(S \simeq \widetilde{I}_0(\xi)\) au-dessus de \(I_0\) ; elle a deux éléments, et on passe de l'un à l'autre par l'antipodie⁸ . Autrement dit, \[ \widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)/\{1, a_S\} \simeq \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff,st}}(I_0). \]

5–7

Compter (pages 5 à 7)

Le groupe diédral \(\mathbb{D}_{I_0} \subset \mathfrak{S}_{I_0}\), groupe d'automorphismes de la structure polygonale \(\pi_0\), d'ordre \(2n\), agit sur \(\mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff,st}}(I_0)\), et l'on a deux applications \[ \alpha : \mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(I_0) \longrightarrow \mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(n), \qquad \alpha^{!} : \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff,st}}(I_0) \longrightarrow \mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(n) \simeq \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff,st}}(I_0)/\mathbb{D}_{I_0}. \] Soit \(\xi \in \mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(n)\)⁹ . La fibre \(\alpha^{-1}(\xi)\) est une orbite de \(\mathfrak{S}_{I_0}\), la fibre \((\alpha^{!})^{-1}(\xi)\) une orbite de \(\mathbb{D}_{I_0}\), et \[ \alpha^{-1}(\xi) \simeq \mathfrak{S}_{I_0} \times^{\mathbb{D}_{I_0}} (\alpha^{!})^{-1}(\xi). \] Ce n'est pas une conjecture — la page écrit « sans doute » — mais un fait général : l'application \(\xi' \mapsto \pi(\xi')\) de \(\alpha^{-1}(\xi)\) vers l'ensemble des structures polygonales de \(I_0\) est \(\mathfrak{S}_{I_0}\)-équivariante, cet ensemble est homogène de stabilisateur \(\mathbb{D}_{I_0}\), et un ensemble équivariant au-dessus de \(G/H\) est induit de sa fibre en \(H\)¹⁰ . D'où \[ \operatorname{card} \alpha^{-1}(\xi) = \frac{n!}{2n} \cdot \operatorname{card} (\alpha^{!})^{-1}(\xi), \qquad \frac{n!}{2n} = \frac{(n-1)!}{2}, \] le nombre de structures polygonales sur un ensemble à \(n \geqslant 3\) éléments.

Le stabilisateur dans \(\mathbb{D}_{I_0}\) d'un élément de \((\alpha^{!})^{-1}(\xi)\) s'identifie au groupe \(G_\xi = \mathrm{Aut}(X, \Sigma, \Delta)\) des automorphismes de l'arrangement qui fixent \(\Delta\) : ils agissent fidèlement sur les indices, comme on l'a dit, et respectent nécessairement l'ordre des points sur \(\Delta\). Si \(N(\xi) = \operatorname{card} \mathrm{Aut}(X, \Sigma, \Delta)\), on a donc \[ \operatorname{card} (\alpha^{!})^{-1}(\xi) = \frac{2n}{N(\xi)}, \qquad \operatorname{card} \widetilde{\alpha}^{-1}(\xi) = \frac{4n}{N(\xi)}, \] où \(\widetilde{\alpha}\) est la composée \(\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) \to \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff,st}}(I_0) \to \mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(n)\), de degré \(2\) puis \(\alpha^{!}\) ; c'est le quotient par le groupe diédral \(\mathbb{D}_S\) d'ordre \(4n\) de \(S\), et la formule est celle des orbites et des stabilisateurs.

Exemples. Pour \(n = 3\), \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(3)\) a un élément, \(\mathrm{Aut}(X, \Sigma, \Delta) \simeq \mathfrak{S}_3\), et \(\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)\) est une seule orbite de \(\mathbb{D}_S\), à \(12/6 = 2\) éléments¹¹ . Pour \(n = 4\), \(\mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(4)\) a un élément, \(\mathrm{Aut}(X, \Sigma, \Delta) \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), et \(\operatorname{card} \widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S) = 16/2 = 8\). Pour \(n = 5\), \(\operatorname{card} \mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(5) = 6\), et la page s'arrête là. Ces groupes sont les stabilisateurs d'une droite dans les groupes d'automorphismes \(\mathfrak{S}_4\) de quatre droites en position générale et diédral d'ordre \(10\) de cinq droites, que donne le tableau de la page 72.

Résumé de la page 7. Grothendieck récapitule. \(\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)\) est l'ensemble des classes de disques munis d'un système simple de cordes épinglé par le polygone \(S\) d'ordre \(2n\) ; il dépend fonctoriellement de \(S\) pour les isomorphismes de polygones, donc \(\mathbb{D}_S\) y agit. Pour \(\widetilde{\xi} \in \widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)\) correspondant à \((X, \Sigma, \Delta)\), il demande si \[ (\mathbb{D}_S)_{\widetilde{\xi}} \simeq \mathrm{Aut}_{\mathrm{ist}}(\mathbf{D}, \widetilde{\Sigma}) \simeq \mathrm{Aut}(X, \Sigma, \Delta), \] le premier terme étant le stabilisateur, le deuxième le groupe des automorphismes à isotopie près du disque à cordes — ce qu'on vient d'utiliser¹² . Enfin \(\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)/\mathbb{D}_S \simeq \mathrm{C}_{\mathrm{aff,st}}(n)\), l'ensemble des classes de systèmes simples \((X, \Sigma, \Delta)\), et \(\widetilde{\mathrm{C}}_{\mathrm{st}}(S)/\{1, a_S\} \simeq \mathrm{C}^{!}_{\mathrm{aff,st}}(I_0)\).

9–14

Dessins, et une page étrangère (pages 9 à 14)

9–9

Un arrangement de neuf courbes (page 9)

La page est occupée par un grand arrangement tracé dans un disque. Ses courbes portent, à leurs extrémités sur le bord, les étiquettes appariées \(\Delta_A, \Delta_{A'}, \Delta_B, \Delta_{B'}, \Delta_C, \Delta_{C'}\), et trois autres, \(D_A, D_B, D_C\), s'enroulent autour du centre ; les points d'intersection s'appellent \(A, B, C, A', B', C'\) au centre, puis \(L, M, N\), \(L', M', N'\), \(P, Q, R\), \(P', Q', R'\). Chaque région porte son nombre de côtés, et la page les compte : \(7\) triangles, \(24\) quadrilatères, \(6\) pentagones, soit \(37\) régions. Au-dessous, deux hexagones de sommets \(A, B', C, A', B, C'\).

Neuf pseudo-droites simples découpent le plan projectif en \(1 + 9 \cdot 8 / 2 = 37\) régions, ce qui s'accorde avec le total. Mais la somme des nombres de côtés, \(3 \cdot 7 + 4 \cdot 24 + 5 \cdot 6 = 147\), est impaire, alors que pour les faces d'une carte elle vaut deux fois le nombre d'arêtes ; les régions « à l'infini », que la page ferme par un arc du bord, comptent sans doute ce côté-là, ou un décompte est faux. On ne tranche pas sur la transcription¹³ . Les mêmes lettres \(A, A', B, C', L, N, P, Q, R, \ldots\) marquent la construction de la page 13.

10–10

La factorisation de Stein (page 10)

Cette page, sur une autre feuille, n'a aucun lien avec les pseudo-droites. Pour une application \(f : Z \to X\), notons \(Z \to \widetilde{Z} \to X\) sa factorisation de Stein : en topologie, pour \(f\) propre, \(\widetilde{Z}\) est l'espace des composantes connexes des fibres ; en géométrie algébrique, \(\widetilde{Z} = \mathrm{Spec}_X f_* \mathcal{O}_Z\). Disons \(f\) steinienne si \(\widetilde{Z} \simeq X\). La page énonce la propriété universelle : si \(Z' \to X'\) est steinienne et s'insère dans un carré commutatif au-dessus de \(Z \to X\), il existe une unique \(X' \to \widetilde{Z}\) telle que le carré

\begin{tikzcd}
Z \arrow[d] & Z' \arrow[l] \arrow[d] \\
\widetilde{Z} & X' \arrow[l]
\end{tikzcd}

commute. Autrement dit, dans la catégorie des flèches steiniennes \(Z' \to X'\) au-dessus de \(Z \to X\), l'objet \((Z \to \widetilde{Z})\) est final : de tout objet il part une unique flèche vers lui¹⁴ .

Il demande ensuite quand la factorisation commute au changement de base : si le carré \(Z' = Z \times_X X'\) est cartésien, les deux carrés de

\begin{tikzcd}
Z \arrow[d] & Z' \arrow[l] \arrow[d] \\
\widetilde{Z} \arrow[d] & \widetilde{Z}' \arrow[l] \arrow[d] \\
X & X' \arrow[l]
\end{tikzcd}

le sont-ils ? Il note deux conditions possibles, a) « \(Z \to X\) compact ? » et b) « \(X' \to X\) localement \(\mathcal{O}\)-acyclique »¹⁵ , et s'arrête. Deux réponses connues, que la page ne donne pas : en topologie, pour \(f\) propre entre espaces localement compacts, les fibres de \(Z'\) étant celles de \(Z\), les deux carrés sont cartésiens pour tout changement de base — c'est la stabilité de la factorisation « monotone-légère » ; en géométrie algébrique, pour \(f\) quasi-compact et quasi-séparé, il suffit que \(X' \to X\) soit plat (changement de base plat pour \(f_*\mathcal{O}_Z\))¹⁶ .

11–14

Polyèdres et constructions (pages 11 à 14)

La page 11 est une page de dessins au crayon : une sphère parcourue de trois grands cercles, une pyramide et une bipyramide, un réseau de points, un octaèdre inscrit dans un cube, un polyèdre à faces carrées et hexagonales (un octaèdre tronqué ?) inscrit dans un cube, un arbre. Elle porte \[ 48 = 2 \cdot 4!, \qquad \frac{5!}{2 \cdot 4!} = \frac{5}{2}, \qquad 12 = \frac{8 \times 3 \times 2}{4}. \] Une sphère coupée par trois grands cercles en position générale est un octaèdre — six sommets, douze arêtes, huit triangles — et c'est le revêtement double de trois droites du plan projectif : c'est l'objet des pages 31 à 38, et \(48 = 2 \cdot 4!\) est l'ordre de son groupe de symétries \(\mathfrak{S}_4 \times \{\pm 1\}\)¹⁷ .

La page 12 dessine un arrangement de six pseudo-droites, un pentagone central entouré de cinq triangles, six régions marquées \(4_1, \ldots, 4_6\). La page 14, cinq droites \(D_0, \ldots, D_4\) formant une étoile, des demi-plans hachurés, et une courbe — une pseudo-droite — qui coupe l'étoile.

La page 13 construit un arrangement de droites rectilignes : deux horizontales, deux verticales et des obliques, portant les points \(P, L, B, C', N\) et \(N', C, B', L', P'\), et des longueurs \(a, b, a', b'\) sur des segments. À droite : \[ a + a' \leqslant 2, \qquad b + b' \geqslant 2, \qquad a' + b > 2, \] d'où \(b > a\), puisque \(a < 2 - a' < b\)¹⁸ . Les lettres sont celles de la page 9, et la page 9 fait s'enrouler trois de ses courbes : il est naturel de lire la page 13 comme une tentative de réaliser l'arrangement de la page 9 par de vraies droites, en suivant les contraintes métriques que cela impose. C'est une conjecture de notre part ; elle rejoint la question de l'étirabilité posée page 60, et neuf est justement le plus petit nombre de pseudo-droites d'un arrangement non étirable (Ringel, 1956, à partir de la configuration de Pappus)¹⁹ .

16–18

II. Hyperplans réels et vecteurs de signes (pages 16 à 18)

Soit \(V\) un espace vectoriel réel de dimension finie et \(H\) un hyperplan de \(V\). Les trois parties \(H\), \(V'_H\), \(V''_H\) — l'hyperplan et ses deux demi-espaces ouverts — forment une partition \(D_H\) de \(V\) en parties convexes. C'est un ensemble à trois éléments dont un est distingué ; le choix de l'un des deux demi-espaces comme positif l'identifie à \(\mathbf{F}_3 = \{-1, 0, 1\}\)²⁰ . Soit \(\mathbf{S} = (V \smallsetminus \{0\})/\mathbf{R}^{*}_{+}\) la sphère des directions²¹ , et \(\varphi_H : \mathbf{S} \to D_H\) l'application qui envoie une direction sur la partie qui la contient.

Pour une famille finie \((H_i)_{i \in I}\) d'hyperplans distincts, on obtient \[ \varphi : \mathbf{S} \longrightarrow \mathbf{E} = \prod_{i \in I} D_{H_i}, \] qui associe à chaque direction son vecteur de signes. Les fibres non vides \(Z^{*}_\alpha = \varphi^{-1}(\alpha)\) forment une partition de \(\mathbf{S}\) en parties convexes — leurs images inverses dans \(V\) sont des cônes convexes — et \(\Sigma = \varphi(\mathbf{S}) \subset \mathbf{E}\) est leur ensemble d'indices. Il est stable par \(-\mathrm{id}_{\mathbf{E}}\), et \(Z^{*}_{-\alpha} = -Z^{*}_\alpha\)²² .

Les adhérences. Ordonnons chaque \(D_{H_i}\) par \(0 < \alpha'_i\) et \(0 < \alpha''_i\), les deux éléments non nuls étant incomparables : \(\xi \leqslant \eta\) si et seulement si \(\xi = 0\) ou \(\xi = \eta\). On munit \(\mathbf{E}\) de l'ordre produit et \(\Sigma\) de l'ordre induit. Alors \[ \overline{Z^{*}_\alpha} = \bigcup_{\beta \in \Sigma,\ \beta \leqslant \alpha} Z^{*}_\beta : \] l'adhérence d'une strate est l'intersection des demi-espaces fermés et des hyperplans qui la définissent, et un point y est dans une strate \(\beta\) dont chaque signe est soit celui de \(\alpha\), soit \(0\)²³ . Munissons \(\Sigma\) de la topologie dont les fermés sont les parties stables par minoration (la « topologie inférieure » de la page, aujourd'hui topologie d'Alexandrov de l'ordre) ; alors \(\beta \leqslant \alpha\) équivaut à \(\beta \in \overline{\{\alpha\}}\), et pour toute partie \(A \subset \Sigma\), en posant \(Z^{*}_A = \bigcup_{\alpha \in A} Z^{*}_\alpha\), \[ \overline{Z^{*}_A} = Z^{*}_{\overline{A}}, \] puisque \(\Sigma\) est fini et que l'adhérence d'une réunion finie est la réunion des adhérences. L'ensemble ordonné \(\Sigma\) est donc l'ensemble d'indices d'une stratification de la sphère \(\mathbf{S}\) en strates convexes, qui satisfait l'axiome de frontière : l'adhérence d'une strate est réunion de strates. Lorsque \(\bigcap_i H_i = \{0\}\), les strates sont des cellules ouvertes et l'on obtient une décomposition cellulaire régulière de la sphère ; sinon, la strate de signe nul est la sphère de \(\bigcap_i H_i\), et l'on se ramène à ce cas en passant au quotient par \(\bigcap_i H_i\)²⁴ .

Dans le vocabulaire actuel, \(\Sigma\) est l'ensemble des covecteurs non nuls du matroïde orienté réalisé par les \(H_i\), et \((\Sigma, \leqslant)\) est le poset des faces de l'arrangement. Le pont avec les pseudo-droites, que ce dossier cherche partout ailleurs, est le théorème de représentation topologique de Folkman et Lawrence (1978) : les matroïdes orientés de rang \(3\) sont exactement les arrangements de pseudo-droites (de pseudo-cercles sur la sphère)²⁵ .

Les bornes inférieures. Un paragraphe barré dit que \(\Sigma\) n'est pas en général un ensemble où deux éléments minorés ont une borne inférieure, avec l'exemple de trois plans de \(\mathbf{R}^3\) passant par une même droite : deux fuseaux opposés de la sphère ont pour minorants communs les deux points \(\pm p\) de cette droite, et aucune borne inférieure. Le paragraphe qui suit, non barré, affirme que \(\Sigma\) est une partie ouverte de \(\mathbf{E}\), c'est-à-dire stable par majoration, et en déduit que toute partie minorée de \(\Sigma\) y a une borne inférieure.

La première affirmation est fausse en général, et le contre-exemple est celui que la page vient de barrer. Ce qui est vrai : \(\Sigma\) est stable par majoration dans \(\mathbf{E}\) si et seulement si, pour tout \(x \neq 0\), les formes linéaires des hyperplans qui contiennent \(x\) sont linéairement indépendantes — par exemple si les \(H_i\) sont en position générale. Si elles le sont, on peut donner aux \(\ell_i(x + \varepsilon v)\) les signes qu'on veut ; si une relation \(\sum c_i \ell_i = 0\) les lie, le vecteur de signes \((\operatorname{sgn} c_i)\) est interdit. Sous cette hypothèse, la conclusion suit : dans \(\mathbf{E}\), toute partie non vide a une borne inférieure (coordonnée par coordonnée), et si la partie est minorée dans \(\Sigma\), cette borne majore un élément de \(\Sigma\), donc est dans \(\Sigma\)²⁶ .

20–28

III. Les arrangements cruciaux (pages 20 à 28)

20–20

Une première liste (page 20)

La page 20 dessine quatre arrangements : (1) quatre droites en position générale, de groupe \(\mathfrak{S}_4\) ; (2) cinq droites en position générale, de groupe diédral \(D_5\) ; (3) cinq droites « en position particulière » ; (4) six droites, les côtés d'un triangle et ses trois médianes concourantes. Elle énonce : un arrangement de pseudo-droites sans pseudo-droite bigonale, s'il ne se réduit pas à quatre pseudo-droites (cas (1)), contient une configuration de l'un des types (2), (3), (4) ; et ces types sont « non spéciaux » : réalisés en arrangements de dimension \(2\), l'intersection de deux faces fermées y est vide, un sommet ou une arête fermée²⁷ . Un NB ajoute : s'il ne contient ni (2) ni (3), il est du type (4) ou d'un type (5), sept pseudo-droites formées d'un quadrilatère et de ses trois diagonales, « qui mérite d'être étudié ». La page s'arrête sur « Si elle ne contient », biffé. Les pages 22 et 24 donnent des noms à tous ces types ; on les retrouve ci-dessous, avec la correction que le NB demande.

22–22

La liste des types (page 22)

On cherche les « cas cruciaux » d'arrangements de \(N \geqslant 4\) pseudo-droites, le cas \(N = 3\) étant connu. Le nombre de sommets de chacun, que la page note en marge, est rappelé entre parenthèses.

1^o) Il existe une pseudo-droite bigonale.

• \(\mathrm{I}_N\) : un faisceau de \(N - 1 \geqslant 3\) pseudo-droites concourantes et une sécante (\(N\) sommets)²⁸ . Les pseudo-droites du faisceau sont bigonales.
• \(\mathrm{I}_{p,q}\) : deux faisceaux de \(p\) et \(q\) pseudo-droites, \(p \geqslant q \geqslant 2\), et la pseudo-droite qui joint leurs deux centres, \(p + q + 1 = N \geqslant 5\) (\(pq + 2\) sommets). Celle-ci est l'unique pseudo-droite bigonale.

Ces deux types épuisent le cas : si \(D\) est bigonale, de sommets \(x\) et \(y\), toute autre pseudo-droite coupe \(D\) en \(x\) ou en \(y\), et l'on a deux faisceaux de centres \(x\) et \(y\) ; s'il n'y a qu'une pseudo-droite par \(y\) hors de \(D\), c'est le type \(\mathrm{I}_N\)²⁹ .

2^o) Il n'existe pas de pseudo-droite bigonale.

• \(\mathrm{II}'_{p,q}\) : deux faisceaux de \(p\) et \(q\) pseudo-droites, \(p \geqslant q \geqslant 2\), \(p + q = N\), sans la pseudo-droite qui joindrait leurs centres (\(pq + 2\) sommets).
• \(\mathrm{II}_4\) : quatre pseudo-droites en position générale (\(6\) sommets).
• \(\mathrm{II}_5\) : cinq pseudo-droites en position générale (\(10\) sommets).

Le cas « minimal » \(p = q = 2\) de \(\mathrm{II}'_{p,q}\) est justement \(\mathrm{II}_4\) : deux paires de pseudo-droites se coupant en deux points distincts, sans troisième point de concours³⁰ .

24–24

Le théorème (page 24)

Deux autres types entrent ici.

• \(\mathrm{III}_6\), l'arrangement « tétraédral » : les six pseudo-droites qui joignent deux à deux quatre points, dont trois jamais alignés — le quadrangle complet (\(4 + 3 = 7\) sommets : quatre points triples et trois points doubles, les points diagonaux). C'est la configuration (4) de la page 20 : un triangle et ses trois médianes.
• \(\mathrm{IV}_7\) : un quadrilatère complet — quatre pseudo-droites en position générale et leurs six sommets — et ses trois diagonales, qui joignent les sommets opposés (\(6 + 3 = 9\) sommets : six points triples et les trois points diagonaux). C'est la configuration (5) de la page 20.

Théorème (énoncé, non démontré). Soit \(K\) un arrangement de pseudo-droites tel qu'il n'existe pas deux sommets par l'un desquels passe chaque pseudo-droite — c'est-à-dire qui n'est d'aucun des types \(\mathrm{I}_N\), \(\mathrm{I}_{p,q}\), \(\mathrm{II}'_{p,q}\) — et qui ne contient pas de sous-arrangement de type \(\mathrm{II}_5\). Alors \(K\) est de type \(\mathrm{III}_6\) ou \(\mathrm{IV}_7\).

La page en tire une forme encadrée : tout arrangement sans bigone est de type \(\mathrm{II}_4\) ou contient un sous-arrangement de l'un des types \[ \mathrm{II}'_{3,2}, \qquad \mathrm{II}_5, \qquad \mathrm{III}_6, \] et ces trois types sont « latticiels » : les facettes fermées de l'arrangement de dimension \(2\) correspondant forment un treillis, l'intersection de deux facettes fermées non vides étant une facette³¹ . La forme encadrée découle du théorème : si \(K\) est couvert par deux faisceaux sans bigone, c'est un \(\mathrm{II}'_{p,q}\), qui contient \(\mathrm{II}'_{3,2}\) dès que \(p \geqslant 3\) et vaut \(\mathrm{II}_4\) sinon ; et \(\mathrm{IV}_7\) contient \(\mathrm{III}_6\) (deux diagonales et les quatre côtés forment le quadrangle complet de quatre sommets du quadrilatère).

La page ajoute entre parenthèses que s'il ne contient ni \(\mathrm{II}'_{3,2}\) ni \(\mathrm{II}_5\), il est de type \(\mathrm{III}_6\) ou \(\mathrm{IV}_7\) ; le NB de la page 20 dit la même chose. Cela ne peut pas être juste tel quel : \(\mathrm{IV}_7\) contient un \(\mathrm{II}'_{3,2}\). Si \(A, B, C, D\) sont les sommets d'un quadrangle, \(E = AB \cap CD\), \(F = AD \cap BC\), les sept pseudo-droites de \(\mathrm{IV}_7\) sont \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\), \(AC\), \(BD\), \(EF\), et les cinq pseudo-droites \(AB\), \(AD\), \(AC\), \(BD\), \(EF\) n'ont qu'un point triple, \(A\). Le théorème admis, la conclusion correcte est : s'il ne contient ni \(\mathrm{II}'_{3,2}\) ni \(\mathrm{II}_5\), \(K\) est de type \(\mathrm{II}_4\) ou \(\mathrm{III}_6\)³² .

26–26

Le cas latticiel (page 26)

On est dans le cas latticiel si l'intersection de deux facettes fermées est vide ou une facette fermée. Grothendieck énonce : on est dans le cas latticiel si et seulement s'il n'y a pas de pseudo-droite bigonale et que l'arrangement n'est pas de type \(\mathrm{II}_4\)³³ .

Proposition (énoncée). Soit \(\mathcal{X}\) un arrangement de dimension \(2\) de \(N\) pseudo-droites \((D_i)_{i \in I}\), et \(D\) une \((N+1)\)-ième pseudo-droite, qui ne soit pas bigonale dans l'arrangement \(\mathcal{X}'\) obtenu en l'ajoutant. Soit \(S\) l'ensemble des sommets de \(\mathcal{X}'\) sur \(D\), c'est-à-dire des points \(D \cap D_i\). Deux points \(s, s' \in S\) sont adjacents sur \(D\) si et seulement s'il existe une facette fermée \(f\) de \(\mathcal{X}\) qui les contient tous deux ; elle est alors unique, et \(D \cap f\) est l'arête de \(\mathcal{X}'\) qui joint \(s\) et \(s'\)³⁴ .

C'est l'outil de la récurrence : si l'on ajoute les pseudo-droites une à une sans jamais créer de bigone, la position de chaque nouvelle pseudo-droite dans les faces de l'arrangement précédent se lit sur le squelette.

28–28

Le lemme d'ordonnancement (page 28)

Lemme (énoncé ; seule une « Idée » de démonstration est écrite). Soit \(K\) un arrangement de dimension \(1\) de \(N \geqslant 5\) pseudo-droites, sans pseudo-droite bigonale. On peut numéroter ses pseudo-droites \(D_1, \ldots, D_N\) de sorte que, \(K_i\) désignant l'arrangement formé de \(D_1, \ldots, D_i\),

1. 1^o)\(D_1, \ldots, D_4\) forment un arrangement de type \(\mathrm{II}_4\) (ou bien \(D_1, \ldots, D_6\) un arrangement de type \(\mathrm{III}_6\)) ;
2. 2^o)pour \(i \geqslant 5\) (respectivement \(i \geqslant 7\)), \(D_i\) n'est pas bigonale dans \(K_i\).

L'idée procède par cas, que la page dit mutuellement exclusifs : si l'on trouve un \(K_5\) de type \(\mathrm{II}_5\), on continue d'ajouter des pseudo-droites ; si l'on trouve un \(K_5\) de type \(\mathrm{II}'_{3,2}\), une pseudo-droite ajoutée n'est jamais bigonale ; si \(K\) contient un \(\mathrm{III}_6\), on part de lui. Le point de départ est donc toujours \(\mathrm{II}_4\) ou \(\mathrm{III}_6\)³⁵ .

31–38

IV. Trois pseudo-droites : cubes, octaèdres et leurs formes gauches (pages 31 à 38)

Ces pages, d'une écriture posée et numérotées, traitent à fond le cas \(N = 3\) que la page 22 disait « bien étudié ». Trois pseudo-droites en position générale découpent le plan projectif en \(3\) sommets, \(6\) arêtes et \(4\) triangles : c'est la moitié d'un octaèdre, l'hémi-octaèdre, et son revêtement double sur la sphère est l'octaèdre lui-même.

31–32

Cube et octaèdre combinatoires (pages 31 et 32)

Soit \(I\) un ensemble à trois éléments et \((\Phi_i)_{i \in I}\) une famille d'ensembles à deux éléments ; posons \(\Phi = \coprod_i \Phi_i\), à six éléments, au-dessus de \(I\). Le cube combinatoire de dimension \(3\) associé a pour faces les éléments de \(\Phi\), pour arêtes les sections partielles de \(\Phi\) au-dessus d'une partie à deux éléments de \(I\), pour sommets les sections totales : \[ C_2 \simeq \Phi, \qquad C_1 \simeq \{A \in \mathfrak{P}_2(\Phi) \mid A \to I \text{ injectif}\}, \qquad C_0 \simeq \{A \in \mathfrak{P}_3(\Phi) \mid A \to I \text{ bijectif}\}, \] l'incidence étant l'inclusion renversée. Les éléments de \(I\) correspondent aux paires de faces opposées. L'octaèdre combinatoire, dual du cube, a les mêmes ensembles en dimensions renversées, \(O_0 = C_2\), \(O_1 = C_1\), \(O_2 = C_0\), l'incidence étant l'inclusion.

L'automorphisme involutif \(\underline{a}\) de \(\Phi\), identique sur \(I\) et échangeant les deux éléments de chaque \(\Phi_i\), induit l'antipodie du cube et de l'octaèdre ; il est central. Les quotients \[ \widetilde{C}_k = C_k/\{1, \underline{a}\}, \qquad \widetilde{O}_k = O_k/\{1, \underline{a}\} \] sont le cube et l'octaèdre gauches, ou projectifs — aujourd'hui hémi-cube et hémi-octaèdre. L'octaèdre gauche a \(3\) sommets, \(6\) arêtes et \(4\) faces : c'est la décomposition du plan projectif réel par trois droites indexées par \(I\). À \(i \in I\) correspond la « droite » \(D_i\) formée des deux arêtes projectives images des quatre arêtes \(A \in \mathfrak{P}_2(\Phi)\) au-dessus de \(I \smallsetminus \{i\}\)³⁶ .

33–35

Orientations (pages 33 à 35)

Les foncteurs \(C \mapsto \widetilde{C}\) et \(O \mapsto \widetilde{O}\) ne sont pas des équivalences : l'antipodie est un automorphisme non trivial de \(C\) et de \(O\) qui induit l'identité de \(\widetilde{C}\) et \(\widetilde{O}\). Ils sont pleins — tout automorphisme du quotient se relève —, mais pas fidèles : sur les groupes d'automorphismes, c'est la surjection \(\mathfrak{S}_4 \times \{\pm 1\} \to \mathfrak{S}_4\) de noyau \(\{1, \underline{a}\}\)³⁷ . On obtient en revanche des équivalences de catégories en prenant des cubes et des octaèdres orientés :

(5)

\begin{tikzcd}
\text{cubes comb.\ orientés} \arrow[r, "\approx"] \arrow[d, "\approx"'] &
\text{cubes comb.\ gauches} \arrow[d, "\approx"] \\
\text{octaèdres comb.\ orientés} \arrow[r, "\approx"] &
\text{octaèdres comb.\ gauches}
\end{tikzcd}

car le groupe des rotations du cube, \(\mathfrak{S}_4\), ne contient pas l'antipodie (qui renverse l'orientation en dimension \(3\)) et s'envoie isomorphiquement sur le groupe de l'hémi-cube. Inversement, à partir de \(\widetilde{C}\) ou \(\widetilde{O}\), on retrouve \(C\) ou \(O\) orienté comme revêtement d'orientation.

L'ensemble des orientations du cube, ou de l'octaèdre, défini par \((\Phi_i)\) est \[ (6) \qquad \mathrm{or}(C) \simeq \mathrm{or}(O) \simeq \Bigl(\bigwedge_{i \in I} \Phi_i\Bigr) \wedge \mathrm{or}(I) : \] une orientation du cube, réalisé comme le cube \([-1,1]^{I}\), est donnée par un choix d'un élément de chaque \(\Phi_i\) (un sens sur chaque axe) et d'un ordre circulaire sur \(I\) (l'ordre des axes), et changer l'un des choix renverse l'orientation. Une orientation est donc un isomorphisme \[ (6\ \text{bis}) \qquad \Bigl(\bigwedge_{i \in I} \Phi_i\Bigr) \wedge \mathrm{or}(I) \simeq \underline{1}, \quad \text{ou encore} \quad \bigwedge_{i \in I} \Phi_i \simeq \mathrm{or}(I). \]

Dans l'octaèdre gauche, la droite \(D_i\) porte deux sommets et deux arêtes. Les sommets de \(\widetilde{O}\) sont les paires \(\Phi_j\), donc indexés par \(I\), et \(D_i\) passe par les deux sommets autres que \(i\) : \[ (8) \qquad S_i \simeq I \smallsetminus \{i\}. \] Ses deux arêtes sont les deux classes, modulo l'antipodie, d'arêtes \(\{x_j, x_k\}\) du cube au-dessus de \(\{j, k\} = I \smallsetminus \{i\}\) ; une telle classe est une bijection \(\Phi_j \simeq \Phi_k\), d'où \[ (7) \qquad A_i = \bigwedge_{\alpha \in I \smallsetminus \{i\}} \Phi_\alpha . \] Chaque \(D_i\) est donc un bigone du graphe de \(\widetilde{O}\). Orienter un bigone, c'est dire de quel sommet part chacune de ses deux arêtes ; changer le sommet ou l'arête renverse l'orientation, si bien que l'ensemble des deux orientations de \(D_i\) est \[ (9) \qquad \Omega_i \simeq S_i \wedge A_i . \] Chaque \(\Phi_\alpha\) figurant dans deux des \(A_i\), \[ (10) \qquad \bigwedge_{i \in I} A_i \simeq \bigwedge_{\alpha \in I} \Phi_\alpha^{\wedge 2} \simeq \underline{1}, \] et donc \[ (11) \qquad \bigwedge_{i \in I} \Omega_i \simeq \bigwedge_{i \in I} S_i \simeq \bigwedge_{i \in I} (I \smallsetminus \{i\}) \simeq \mathrm{or}(I), \] le dernier isomorphisme étant l'isomorphisme canonique évident pour un ensemble à trois éléments : à un ordre circulaire \(\sigma\) on associe le choix, dans chaque \(I \smallsetminus \{i\}\), de l'élément \(\sigma(i)\) ; renverser \(\sigma\) change les trois choix³⁸ . Pour trois bigones quelconques \((S_i, A_i)\) avec \(S_i = I \smallsetminus \{i\}\), se donner l'isomorphisme (10) revient donc à se donner \[ (11\ \text{bis}) \qquad \bigwedge_{i \in I} \Omega_i \simeq \mathrm{or}(I), \qquad \text{soit} \qquad (12) \qquad \Bigl(\bigwedge_{i \in I} \Omega_i\Bigr) \wedge \mathrm{or}(I) \simeq \underline{1}, \] c'est-à-dire une orientation du cube défini par la famille \((\Omega_i)\).

Une fois le cube orienté par (6 bis), les \(\Omega_i\) et les \(\Phi_i\) se déterminent mutuellement : \[ (13) \qquad \Omega_i \simeq \Phi_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I \smallsetminus \{i\}} (I \smallsetminus \{\alpha\}), \qquad \Phi_i \simeq \Omega_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I \smallsetminus \{i\}} (I \smallsetminus \{\alpha\}), \] d'où \(\bigwedge \Omega_i \simeq \bigwedge \Phi_i\), et (14) : les orientations des octaèdres définis par \((\Omega_i)\) et par \((\Phi_i)\) se correspondent.

35–37

Le graphe octaédral gauche (pages 35 à 37)

Proposition (« En résumé »). Considérons la carte de l'octaèdre gauche — trois sommets, six arêtes, quatre faces triangulaires —, c'est-à-dire un arrangement combinatoire de trois pseudo-droites \(D_i\), \(i \in I\), dans un plan projectif. Soit \(K\) son squelette de dimension \(1\), muni de ses trois sous-complexes \(D_i\), qui sont des bigones, de sommets \(S_i \simeq I \smallsetminus \{i\}\) et d'arêtes \(A_i\) ; on l'appelle un graphe octaédral gauche. (Les sommets de \(K\) sont en bijection avec \(I\), en associant à \(i\) l'unique sommet qui n'est pas sur \(D_i\).) Posons \[ \Omega_i = S_i \wedge A_i, \qquad \Phi_i = \Omega_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I \smallsetminus \{i\}} (I \smallsetminus \{\alpha\}) \simeq A_i \wedge \bigwedge_{\alpha \in I} (I \smallsetminus \{\alpha\}). \] On a des isomorphismes canoniques, définis directement à partir de \(K\) et des trois \(D_i\), \[ (15) \qquad \bigwedge_{i \in I} \Omega_i \simeq \bigwedge_{i \in I} \Phi_i \simeq \Bigl(\bigwedge_{i \in I} A_i\Bigr) \wedge \mathrm{or}(I), \] qu'on peut réécrire \[ (15\ \text{bis}) \qquad \Bigl(\bigwedge_{i} \Omega_i\Bigr) \wedge \mathrm{or}(I) \simeq \Bigl(\bigwedge_{i} \Phi_i\Bigr) \wedge \mathrm{or}(I) \simeq \bigwedge_{i} A_i , \] les deux premiers termes étant les orientations des octaèdres définis par \((\Omega_i)\) et par \((\Phi_i)\). Du fait que \(K\) provient de la carte, le torseur (15 bis) reçoit une trivialisation canonique, celle de (10). Appelons orientation d'un graphe octaédral gauche une trivialisation \(\bigwedge_{i} A_i \simeq \underline{1}\). Précisément, le foncteur \[ (16) \qquad (\text{octaèdres gauches}) \longrightarrow (\text{graphes octaédraux gauches orientés}) \] est une équivalence de catégories. On le vérifie sur les groupes : le graphe octaédral gauche seul a pour groupe d'automorphismes \(\mathfrak{S}_3 \ltimes (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^3\), d'ordre \(48\) (permuter les sommets, et échanger indépendamment les deux arêtes de chaque bigone) ; la trivialisation ne laisse que les échanges en nombre pair, \(\mathfrak{S}_3 \ltimes (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^2 \simeq \mathfrak{S}_4\), le groupe de l'hémi-octaèdre³⁹ .

37–38

Le cube de foncteurs (pages 37 et 38)

Grothendieck résume les relations entre octaèdres et graphes octaédraux, gauches ou ordinaires, orientés ou non, par un diagramme commutatif en forme de cube :

(17)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\text{oct}^{+} \arrow[rr, "\approx"] \arrow[dr, "\approx"] \arrow[dd] & &
\text{oct.\ g.} \arrow[dr, "\approx"] \arrow[dd, no head, "=" description] & \\
& \text{gr.\ oct}^{+} \arrow[rr, "\approx"] \arrow[dd] & &
\text{gr.\ oct.\ g.}^{+} \arrow[dd] \\
\text{oct} \arrow[rr] \arrow[dr, "\approx"] & & \text{oct.\ g.} \arrow[dr] & \\
& \text{gr.\ oct} \arrow[rr] & & \text{gr.\ oct.\ g.}
\end{tikzcd}

où « g. » abrège « gauche » et l'exposant \(+\) désigne les objets orientés. La face supérieure (objets orientés) est faite d'équivalences. Les quatre flèches verticales, qui oublient l'orientation, sont fidèles ; celle de droite à l'arrière est l'identité. La face arrière est formée des configurations de dimension \(2\), la face avant des configurations de dimension \(1\) associées ; les quatre flèches de l'arrière vers l'avant sont des équivalences, sauf \(\text{oct.\ g.} \to \text{gr.\ oct.\ g.}\), qui est fidèle sans être plein, et dont l'énoncé (16) dit comment le rendre plein⁴⁰ .

Sur la face inférieure, \(\text{oct} \to \text{oct.\ g.}\) est pleine et non fidèle, comme on l'a vu. La page affirme que \(\text{gr.\ oct} \to \text{gr.\ oct.\ g.}\) est une équivalence ; ce n'est pas possible si le cube commute. En effet la composée \(\text{oct} \to \text{oct.\ g.} \to \text{gr.\ oct.\ g.}\) induit sur les groupes \(\mathfrak{S}_4 \times \{\pm 1\} \to \mathfrak{S}_4 \hookrightarrow \mathfrak{S}_3 \ltimes (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^3\), de noyau \(\{1, \underline{a}\}\) et d'image d'indice \(2\) ; puisque \(\text{oct} \to \text{gr.\ oct}\) est une équivalence, la flèche \(\text{gr.\ oct} \to \text{gr.\ oct.\ g.}\) n'est ni fidèle ni pleine. C'est d'ailleurs ce qu'on voit directement : le passage au quotient par l'antipodie la tue⁴¹ . La marge de la page 38 relie les groupes \(\mathfrak{S}_4 \times \{\pm 1\}\) et \(\mathfrak{S}_4\) aux deux premières lignes de l'explication.

39–40

V. Arrangements de dimension 1 orientés (pages 39 et 40)

39–39

Le théorème de pleine fidélité (page 39)

Un arrangement de dimension \(1\) \((K, (D_i)_{i \in I})\) est défini à la page 40 (ci-dessous). Une orientation de cet arrangement est la donnée, pour tout \(J \in \mathfrak{P}_3(I)\) dont les trois pseudo-droites ne sont pas concourantes, d'une orientation \(\omega_J\) du graphe octaédral gauche \(K_J\), au sens de (16).

Soit \(\mathcal{X}\) une carte qui est un arrangement de pseudo-droites. Son squelette \(K\) est muni de la famille \((D_i)\) de ses pseudo-droites, qui en fait un arrangement de dimension \(1\), et, par (16) appliqué à chaque triple, d'une orientation \(\omega = (\omega_J)_J\). D'où un foncteur \[ (18) \qquad \mathcal{X} \longmapsto (K, (D_i)_{i \in I}, \omega) \] de la catégorie des arrangements combinatoires de pseudo-droites vers celle des arrangements de dimension \(1\) orientés.

Théorème (énoncé page 39). Le foncteur (18) est pleinement fidèle : pour deux arrangements \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{X}'\), \[ \mathrm{Isom}(\mathcal{X}, \mathcal{X}') \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Isom}\bigl((K, (D_i), \omega), (K', (D'_{i'}), \omega')\bigr). \] La démonstration occupe les pages 41 à 49 ; Grothendieck dit à la fin ne pas l'avoir vérifiée dans un cas (voir plus bas)⁴² .

40–40

Les axiomes (page 40)

La page 40 donne après coup la définition que la page 39 suppose. Un arrangement de dimension \(1\) de pseudo-droites est la donnée d'un \(1\)-complexe combinatoire fini \(K\) et d'une famille finie \((D_i)_{i \in I}\) de sous-complexes polygonaux, tels que

• toute arête de \(K\) appartient à un \(D_i\) et un seul ;
• pour \(i \neq j\), \(D_i\) et \(D_j\) se rencontrent en un sommet et un seul ;
• tout sommet de \(K\) appartient à au moins deux des \(D_i\).

Supposons que l'intersection de tous les \(D_i\) soit vide. Pour \(J \subset I\), \(K_J\) est la réunion des \(D_i\), \(i \in J\), où l'on ne garde comme sommets que les intersections de ces \(D_i\). Si \(J\) a trois éléments et \(\bigcap_{i \in J} D_i = \emptyset\), \(K_J\) est un graphe octaédral gauche — trois bigones deux à deux sécants en un seul sommet —, et l'on peut parler de ses orientations⁴³ .

41–49

VI. Reconstruire la carte (pages 41 à 49)

41–42

Ce qu'il faut reconstruire (pages 41 et 42)

Pour démontrer le théorème, on montre comment reconstruire la carte \(\mathcal{X}\) à partir de \((K, (D_i), \omega)\). Une carte sur une surface fermée, orientable ou non, dont les sommets sont d'ordre \(\geqslant 3\), est déterminée par son graphe et par les données suivantes (le « théorème général des cartes » de la page) :

1. 1^o)pour chaque sommet \(s \in S\) (l'ensemble des sommets de \(K\)), la paire \[ (19) \qquad \vec{\mathfrak{Z}}_s \subset \mathcal{C}_{\vec{A}_s} \] des deux ordres circulaires, inverses l'un de l'autre, dans lesquels les arêtes d'origine \(s\) se succèdent autour de \(s\) ; l'ensemble \(\vec{A}_s\) de ces arêtes s'identifie à l'ensemble \(\vec{I}_s\) des pseudo-droites orientées \(\vec{D}_i\) passant par \(s\) ;
2. 2^o)pour chaque arête orientée \(\vec{a}\), d'origine \(s\) et d'extrémité \(s'\), une bijection \[ (20) \qquad \psi_{\vec{a}} : \vec{\mathfrak{Z}}_s \xrightarrow{\ \sim\ } \vec{\mathfrak{Z}}_{s'}, \qquad (21) \qquad \psi_{\overleftarrow{a}} = (\psi_{\vec{a}})^{-1}, \] qui dit comment l'orientation locale se transporte le long de l'arête.

Ce sont les systèmes de rotation généralisés (ou schémas de plongement) de la théorie des plongements de graphes, qui codent les plongements cellulaires dans les surfaces non nécessairement orientables⁴⁴ . « Canonique » veut dire : provenant de la carte. À l'inverse, si l'on sait construire intrinsèquement, à partir de \((K, (D_i), \omega)\), des données (19) et (20) satisfaisant (21), on obtient un plongement cellulaire de \(K\) dans une surface fermée \(X\) — « peut-être pas le plan projectif ! ». Deux conditions s'imposent alors.

La première dit que les \(D_i\) se déduisent de la carte de la façon habituelle, en « allant tout droit » à chaque sommet : \[ (22) \qquad \rho^{\nu_s}(\vec{D}_i) = -\vec{D}_i \quad \text{pour } \rho \in \vec{\mathfrak{Z}}_s \text{ et } \vec{D}_i \text{ passant par } s : \] autour de \(s\), l'arête opposée à une arête de \(D_i\) est l'autre arête de \(D_i\), à mi-tour⁴⁵ .

La seconde dit que la surface obtenue est le plan projectif. C'est la relation d'Euler-Poincaré \[ (23) \qquad c_0 - c_1 + c_2 = 1, \qquad \text{soit} \qquad c_2 = c(K), \] où \(c_0\) et \(c_1\), nombres de sommets et d'arêtes, ne dépendent que de \(K\), \(c_2\) (nombre de faces) dépend de la carte, et \(c(K) = c_1 - c_0 + 1\) est le « degré de connexion » de \(K\), son premier nombre de Betti. En marge : on a a priori \(c_2 \leqslant c(K)\). C'est juste, pour la raison suivante : \(K\) est connexe (deux pseudo-droites se rencontrent toujours), donc \(X\) aussi ; et \(X\) n'est pas une sphère, car deux courbes fermées qui se coupent transversalement en un seul point ne peuvent pas être tracées sur une sphère. Donc \(\chi(X) \leqslant 1\), avec égalité si et seulement si \(X\) est un plan projectif⁴⁶ .

42–46

L'ordre circulaire en un sommet (pages 42 à 46)

Soit \(s\) un sommet par lequel passent \(\nu_s \geqslant 3\) pseudo-droites, \(I_s\) leur ensemble, et \(\Delta\) une pseudo-droite qui ne passe pas par \(s\). L'application \[ (25) \qquad \varphi_{s,\Delta} : I_s \longrightarrow S_\Delta, \qquad D_i \cap \Delta = \{\varphi_{s,\Delta}(D_i)\}, \] vers l'ensemble \(S_\Delta\) des sommets de \(K\) sur \(\Delta\), est injective : deux pseudo-droites par \(s\) ne peuvent se recouper sur \(\Delta\). Comme \(S_\Delta\) est un polygone, \(I_s\) reçoit une structure polygonale induite \(\mathfrak{Z}_{s,\Delta}\)⁴⁷ . On demande : \[ (\mathrm{A}1) \qquad \mathfrak{Z}_{s,\Delta} \text{ ne dépend pas de } \Delta \in I \smallsetminus I_s ; \text{ on la note } \mathfrak{Z}_s . \] C'est une condition sur les sommets d'au moins trois pseudo-droites ; qu'elle soit satisfaite pour un \(K\) provenant d'une carte, la marge le note « à prouver ». Dans le plan, c'est l'énoncé familier que les droites d'un faisceau coupent toute autre droite dans le même ordre.

Soit \(\vec{I}_s \to I_s\) l'application de degré \(2\) qui oublie l'orientation (26). Si \(\vec{u} \in \vec{\mathfrak{Z}}_s\), son image \(u\) est une permutation circulaire de \(I_s\), et l'on doit avoir \[ (27) \qquad u \in \mathfrak{Z}_s . \] C'est une condition restrictive, qui ne laisse que \(2^{\nu_s - 1}\) relèvements possibles d'un \(u\) donné : relever \(u\), c'est choisir pour chaque \(i \in I_s\) une bijection \(\omega_i \simeq \omega_{u(i)}\) entre les ensembles des deux orientations de \(D_i\) et de \(D_{u(i)}\), soit \(2^{\nu_s}\) choix, et l'on veut que la permutation \(\vec{u}\) obtenue de \(\vec{I}_s\) soit circulaire, c'est-à-dire que le composé des \(\nu_s\) bijections autour du polygone soit l'échange des deux orientations et non l'identité : les \(\nu_s - 1\) premiers choix fixent le dernier⁴⁸ .

La règle du triangle. Soit maintenant \(\vec{\Delta}\) une pseudo-droite orientée ne passant pas par \(s\). Son orientation oriente le polygone \(S_\Delta\), donc \(I_s\) : elle choisit un générateur \(u_{s,\vec{\Delta}}\) de \(\mathfrak{Z}_s\) — pour \(\nu_s = 2\), c'est la transposition de \(I_s\), et \(\mathfrak{Z}_s\) a alors un seul élément. Il s'agit de relever \(u_{s,\vec{\Delta}}\) en \(\vec{u}_{s,\vec{\Delta}}\) : pour \(D_i\) passant par \(s\) et \(D_j\) son successeur, décider, une orientation \(\vec{D}_i\) étant donnée, l'orientation correspondante de \(D_j\). La figure (29) le dit : soient \(t = D_i \cap \Delta\) et \(u = D_j \cap \Delta\) ; l'orientation de \(D_j\) est celle pour laquelle l'arête \(a\) de \(s\) à \(t\) dans le sens de \(\vec{D}_i\), l'arête \(b\) de \(s\) à \(u\) dans le sens cherché de \(D_j\), et l'arête \(c\) de \(t\) à \(u\) dans le sens de \(\vec{\Delta}\) forment un système d'orientations opposé à l'orientation \(\omega\) du triple \(\{D_i, D_j, \Delta\}\). La règle ne fait intervenir que ces trois pseudo-droites et \(\omega\)⁴⁹ . On demande :

• (A2)la permutation \(\vec{u}_{s,\vec{\Delta}}\) ainsi définie est circulaire, c'est-à-dire que \((\vec{u}_{s,\vec{\Delta}})^{\nu_s}\) est l'échange sur chaque fibre de (26), et non l'identité ;
• (30)on a alors \(\vec{u}_{s,-\vec{\Delta}} = \vec{u}_{s,\vec{\Delta}}^{\,-1}\), et l'on pose \(\vec{\mathfrak{Z}}_{s,\Delta} = \{\vec{u}_{s,\vec{\Delta}}, \vec{u}_{s,-\vec{\Delta}}\} \subset \mathcal{C}_{\vec{I}_s}\) ;
• (A3)pour toute autre pseudo-droite \(\Delta'\) ne passant pas par \(s\), \(\vec{\mathfrak{Z}}_{s,\Delta'} = \vec{\mathfrak{Z}}_{s,\Delta}\) ; on le note \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\).

« Bien entendu », dit la page, (A1) à (A3) sont satisfaites quand l'arrangement orienté provient d'un arrangement de dimension \(2\) ; on obtient alors les \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\), et une application surjective \[ (31) \qquad \vec{I} \smallsetminus \vec{I}_s \longrightarrow \vec{\mathfrak{Z}}_s, \qquad \vec{\Delta} \longmapsto \vec{u}_{s,\vec{\Delta}}, \] compatible à l'action de \(\{\pm 1\}\).

47–49

Le transport le long d'une arête (pages 47 à 49)

Soit \(\vec{a}\) une arête de \(K\) de \(s\) à \(s'\), et supposons qu'il existe une pseudo-droite qui ne passe ni par \(s\) ni par \(s'\). Soit \(\vec{J} = \vec{I} \smallsetminus (\vec{I}_s \cup \vec{I}_{s'})\) ; les applications (31) en \(s\) et en \(s'\) font de \(\vec{\mathfrak{Z}}_s\) et \(\vec{\mathfrak{Z}}_{s'}\) deux quotients de \(\vec{J}\),

(32)

\begin{tikzcd}[column sep=small]
& \vec{J} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\vec{\mathfrak{Z}}_s \arrow[rr, dashed, "\psi_{\vec{a}}"] & &
\vec{\mathfrak{Z}}_{s'}
\end{tikzcd}

et \(\psi_{\vec{a}}\) existe si et seulement si ce sont les mêmes quotients :

• (A4)si deux pseudo-droites orientées \(\vec{\Delta}\), \(\vec{\Delta}'\) ne passant ni par \(s\) ni par \(s'\) induisent la même orientation en \(s\), elles induisent la même orientation en \(s'\).

Reste le cas « très particulier » où toute pseudo-droite passe par \(s\) ou par \(s'\). Soit \(\Theta\) la pseudo-droite qui porte \(a\), \(D \neq \Theta\) une pseudo-droite par \(s\), \(D' \neq \Theta\) une par \(s'\), \(t = D \cap D'\), et \(K' = K_{\{\Theta, D, D'\}}\), graphe octaédral gauche. Soit \(b\) l'une des deux arêtes de \(K'\) joignant \(s\) à \(t\), et \(b'\) l'unique arête de \(K'\) joignant \(t\) à \(s'\) telle que \(\{a, b, b'\}\) soit compatible avec l'orientation de \(K'\), c'est-à-dire borde une face (figure (33)). Les arêtes \(b\) et \(b'\) de \(K'\) sont des chemins d'arêtes de \(K\), portés par \(D\) et \(D'\). Excluons le cas où \(K\) est formé de \(n \geqslant 3\) pseudo-droites concourantes et d'une seule sécante : alors \(\Theta\) est l'unique pseudo-droite non bigonale, les transports le long des arêtes portées par \(D\) et \(D'\) sont déjà définis, et l'on pose \[ (34) \qquad \psi_{\vec{a}} = \psi_{\vec{b}'} \, \psi_{\vec{b}}, \] où \(\psi_{\vec{b}}\) et \(\psi_{\vec{b}'}\) sont les composés des transports le long des arêtes de \(K\) qui composent les chemins de \(s\) à \(t\) et de \(t\) à \(s'\)⁵⁰ .

Il faudrait encore savoir que ce \(\psi_{\vec{a}}\) ne dépend pas des choix faits ; la page appelle cette condition (A5), nom qu'elle redonne page 51 à une autre condition⁵¹ . Et Grothendieck conclut :

« Le cas où \(K\) comporte une ps. droite qui est un bigône devrait plutôt être traité à part, avec des moyens plus directement adaptés à cette situation. Je n'ai donc pas vérifié que la proposition énoncée soit correcte, sans exclure le cas où \(K\) est formé de \(n\) pseudo-droites concourantes, coupées par une seule autre ps. droite. »

Le théorème de la page 39 reste donc, de son propre aveu, non démontré dans ce cas. On ne sait pas s'il y est faux. On remarquera seulement que, dans ce cas, l'automorphisme du squelette qui échange simultanément les deux arêtes de chaque bigone respecte \(\omega\) et provient bien de la carte : c'est l'homologie harmonique de centre le point de concours et d'axe la sécante⁵² .

49–54

VII. L'orientation canonique d'un triangle (pages 49 à 54)

« J'ai maintenant envie de montrer que dans le cas d'un \(K\) provenant d'une \(\mathcal{X}\), son orientation peut se décrire canoniquement en termes de \((K, (D_i))\) seulement. » Si c'est le cas, la donnée \(\omega\) du théorème de la page 39 est superflue.

50–51

Premier cas : une quatrième pseudo-droite évite le triangle (pages 50 et 51)

Soit \(J \in \mathfrak{P}_3(I)\) un triple de pseudo-droites non concourantes⁵³ , et \(K_J\) le « triangle » qu'elles forment. Supposons qu'il existe une pseudo-droite \(D_i\), \(i \notin J\), qui ne passe par aucun des trois sommets de \(K_J\) : les quatre pseudo-droites de \(J \cup \{i\}\) sont trois à trois non concourantes. On utilise :

Proposition. Le foncteur évident \[ \begin{pmatrix} \text{arrangements simples} \\ \text{de } 4 \text{ pseudo-droites} \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} \text{arrangements de dimension } 1 \\ \text{simples de } 4 \text{ pseudo-droites} \end{pmatrix} \] est une équivalence de catégories — on le voit en comparant les deux groupoïdes à celui des ensembles à quatre éléments : chacun n'a qu'une classe, de groupe \(\mathfrak{S}_4\) agissant sur les pseudo-droites⁵⁴ .

Comme \(K_{J \cup \{i\}}\) provient alors canoniquement d'un arrangement de dimension \(2\), \(K_J\) en hérite une orientation \(\omega_{J,i}\), et l'on demande

• (A5)l'orientation \(\omega_{J,i}\) de \(K_J\) ne dépend pas du choix de \(i\).

51–54

Second cas : toute pseudo-droite passe par un sommet du triangle (pages 51 à 54)

Supposons que toute pseudo-droite de \(K\) passe par l'un des trois sommets \(a_i\) (\(i \in J\)) de \(K_J\), \(a_i\) désignant le sommet opposé à \(D_i\). Comme il n'y a pas de bigone, par chaque sommet passe au moins une \(D_{a_i}\) avec \(a_i \in D_{a_i}\), \(D_{a_i} \notin J\).

Supposons d'abord qu'on puisse choisir \(D_{a_1}, D_{a_2}, D_{a_3}\) non concourantes. On obtient une configuration de six pseudo-droites, associée canoniquement à l'ensemble \(J\), à neuf sommets : les \(a_i\), les points \(\alpha_i = D_{a_i} \cap D_i\), et les points \(a'_i = D_{a_j} \cap D_{a_k}\) (\(J = \{i, j, k\}\)). Chaque \(D_{a_i}\) porte quatre sommets, \(a_i\), \(\alpha_i\), \(a'_j\), \(a'_k\), et la configuration est entièrement décrite quand on sait lequel des trois autres est opposé à \(a_i\) sur le quadrilatère \(D_{a_i}\). Deux cas sont possibles :

• cas I : il existe un ordre circulaire (unique) sur \(J\) tel que \(a_i\) soit opposé à \(a'_{i+1}\) ;
• cas II : \(a_i\) est opposé à \(\alpha_i\) pour tout \(i\).

Soit \(\lambda_i\) l'arête de \(K_J\) portée par \(D_i\) qui contient \(\alpha_i\). Si la configuration provient d'un arrangement de dimension \(2\), le triple \(\{\lambda_i\}_{i \in J}\) est compatible avec l'orientation de \(K_J\) dans le cas I, et ne l'est pas dans le cas II⁵⁵ . D'où la condition :

• (A6)pour un triple \(J\) non concourant tel que toute autre pseudo-droite passe par un sommet de \(K_J\), et lorsqu'on peut choisir des \(D_{a_i}\) non concourantes, on exige 1^o) que la configuration de six pseudo-droites obtenue soit du cas I ou du cas II, et 2^o) que l'orientation de \(K_J\) qu'elle définit ne dépende pas du choix des \(D_{a_i}\).

Reste le cas où les \(D_{a_i}\) sont concourantes quel que soit le choix. L'arrangement est alors l'arrangement standard de six pseudo-droites joignant deux à deux quatre points triples, avec \(7 = 4 + 3\) sommets, les trois points supplémentaires étant les intersections des pseudo-droites « opposées » : le quadrangle complet \(\mathrm{III}_6\) de la page 24⁵⁶ . Sa forme de dimension \(1\) est décrite par l'ensemble de ses quatre points triples, et sa forme de dimension \(2\) aussi, de groupe d'automorphismes \(\mathfrak{S}_4\). Si \(a, b, c\) sont les sommets de \(K_J\), \(\alpha, \beta, \gamma\) les sommets « opposés » (\(\alpha\) est l'intersection de \(D_a\) avec la pseudo-droite qui joint \(b\) et \(c\)), et \(\lambda_a, \lambda_b, \lambda_c\) les arêtes de \(K_J\) qui contiennent \(\alpha, \beta, \gamma\), alors \(\{\lambda_a, \lambda_b, \lambda_c\}\) est compatible avec l'orientation.

En résumé. Théorème (page 54). Le foncteur canonique du groupoïde des arrangements de pseudo-droites sans bigone vers celui des arrangements de dimension \(1\) de pseudo-droites sans bigone est pleinement fidèle.

Il s'obtient en composant le théorème de la page 39 avec l'orientation canonique qu'on vient de décrire : tout isomorphisme de squelettes respecte les orientations canoniques, puisqu'elles sont définies à partir du seul squelette. Le cas litigieux de la page 49 a des bigones et n'intervient pas ; restent non vérifiés l'indépendance des choix dans (34), et les conditions (A1) à (A6) pour un arrangement de dimension \(2\), affirmées sans démonstration. Grothendieck ajoute que (A1) à (A6) donnent en principe une voie pour déterminer l'image essentielle, mais qu'il faudrait d'abord les simplifier, et qu'il faudrait encore y joindre la relation d'Euler-Poincaré (23), « mais je soupçonne que cette dernière est automatique ».

56–58

Dessins (pages 56 à 58)

Trois petites cartes à l'italienne. La page 56 dessine un arrangement de droites à cinq sommets multiples, chaque région marquée de son nombre de côtés, les régions à l'infini marquées « id », et compte \(25\) triangles, \(5\) carrés et \(1\) pentagone, soit \(31\) régions. La page 57, six droites qui forment au centre un petit triangle entouré de triangles. La page 58, un arrangement d'une dizaine de droites dont les extrémités portent des étiquettes de types, et le décompte \[ 5 + (5 + 10) + (5 + 5) + 1 = 31, \] avec la légende : \(1_6\), « icosaèdre » ; \(5_1\), « hexagone » ; \(5_4\) et \(5_2\), « triangle bordé » ; \(5_5\) et \(10_3\), « carré gammé »⁵⁷ .

60–66

VIII. « Système de Pseudodroites » : un second départ (pages 60 à 66)

60–61

Définition et premières conséquences (pages 60 et 61)

Définition. Un système de pseudo-droites est une carte, topologique ou combinatoire, dont la surface sous-jacente \(X\) est un plan projectif réel (une surface compacte non orientable de caractéristique d'Euler-Poincaré \(1\)), dont tous les sommets sont d'ordre pair \(\geqslant 4\) — ce qui partage l'ensemble des arêtes en classes d'équivalence, en allant tout droit à chaque sommet : ce sont les pseudo-droites de la carte —, et telle que deux pseudo-droites se rencontrent en un point et un seul⁵⁸ .

Premières conséquences. Le nombre \(n\) des pseudo-droites est \(\geqslant 2\). Chaque pseudo-droite est une courbe non homotope à \(0\) : le long d'elle, \(X\) est non orientable, et la situation est la même que pour une droite du plan projectif⁵⁹ . « On montre » que pour \(n \leqslant 6\) pseudo-droites en position générale (tous les sommets d'ordre \(4\)), le système peut être réalisé par de vraies droites. C'est vrai, et même mieux : tout arrangement d'au plus huit pseudo-droites est étirable (Goodman et Pollack, 1980), et il existe des arrangements simples non étirables de neuf pseudo-droites (Ringel, 1956)⁶⁰ .

Soit \(D\) une pseudo-droite, \(\widetilde{X}\) le revêtement des orientations de \(X\) — une sphère, \(\widetilde{X} \simeq \mathbf{S}^2 \simeq \mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}\) — et \(\widetilde{D}\) l'image inverse de \(D\) dans \(\widetilde{X}\)⁶¹ , un cercle. Alors \(\widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{D}\) a deux composantes connexes, deux « hémisphères », en bijection canonique avec les deux orientations de \(D\) : un hémisphère est une orientation du disque \(X \smallsetminus D\), qui oriente son bord, revêtement double de \(D\), donc \(D\)⁶² .

Les sommets portés par \(D\) forment un polygone combinatoire \(S_D\) dès qu'ils sont au moins trois, et les orientations de \(D\) — c'est-à-dire \(\pi_0(\widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{D})\) — correspondent à celles de ce polygone. La marge propose de dire plutôt que \(D\) est le support d'un sous-complexe polygonal du squelette \(K^1\), sans exclure les monogones et les bigones. Notons \(\Omega(D)\) l'ensemble des deux orientations de \(D\).

61–64

Comparer les orientations de deux pseudo-droites (pages 61 à 64)

Soit \(s\) un sommet. Si toutes les pseudo-droites ne passent pas par \(s\), il en existe une, \(D\), qui n'y passe pas ; \(s\) est alors dans le disque \(X \smallsetminus D\), et l'ensemble \(\Omega_s(X)\) des orientations locales de \(X\) en \(s\) est en bijection canonique avec \(\Omega(D)\). Si \(D'\) est une autre pseudo-droite ne passant pas par \(s\), on a donc une bijection composée \[ \Omega(D) \simeq \Omega_s(X) \simeq \Omega(D'), \] et la question est de l'expliciter en termes du seul squelette \(K^1\) et de ses pseudo-droites.

Soit \(t = D \cap D'\). Comme \(s\) est d'ordre \(\geqslant 4\), il passe par \(s\) au moins deux pseudo-droites \(\Delta, \Delta'\) ; supposons-les distinctes de \(D, D'\) et ne passant pas par \(t\), et soient \(u, u'\) (resp. \(v, v'\)) leurs intersections avec \(D\) et \(D'\). Les quatre pseudo-droites \(D, D', \Delta, \Delta'\) sont en position générale, donc en position standard, et l'on constate que les orientations « de \(t\) vers \(u\) » de \(D\) et « de \(t\) vers \(u'\) » de \(D'\) se correspondent. Plus généralement, si \(\Delta_1, \ldots, \Delta_k\) passent par \(s\) et non par \(t\), coupant \(D\) en \(u_i\) et \(D'\) en \(u'_i\), et si l'on munit \(D \smallsetminus \{t\}\) et \(D' \smallsetminus \{t\}\) des ordres définis par deux orientations qui se correspondent, alors les \(u'_i\) croissent quand les \(u_i\) croissent : c'est la perspective de centre \(s\). Cela définit la bijection \(\Omega(D) \simeq \Omega(D')\) combinatoirement.

Reste le cas où une seule pseudo-droite \(\Delta\) passe par \(s\) et non par \(t\) : alors \(s\) est d'ordre \(4\), et l'autre pseudo-droite \(\Delta'\) par \(s\) passe par \(t\). S'il existe une pseudo-droite \(D''\) qui ne passe pas par \(t\), distincte de \(\Delta\), coupant \(D\) et \(D'\) en \(x \neq u\) et \(x' \neq u'\), on compare \(\Omega(D)\) et \(\Omega(D'')\), puis \(\Omega(D'')\) et \(\Omega(D')\), « et on gagne ». Si toutes les pseudo-droites qui ne passent pas par \(t\) passent par \(u\), ou toutes par \(u'\), on a deux faisceaux de centres \(t\) et \(u\) (resp. \(u'\)), cas qui demande un traitement à part. Sinon, il existe \(\Gamma\) passant par \(u\) et non par \(u'\) et \(\Gamma'\) passant par \(u'\) et non par \(u\) ; on a \(\Omega(\Gamma) \simeq \Omega(D')\) et \(\Omega(\Gamma') \simeq \Omega(D)\), et l'on peut déduire \(\Omega(D) \simeq \Omega(D')\) de \(\Omega(\Gamma) \simeq \Omega(\Gamma')\) pourvu que l'intersection \(r\) de \(\Gamma\) et \(\Gamma'\) ne soit pas sur \(\Delta'\)⁶³ . Si « par malheur » \(r\) est sur \(\Delta'\), les six pseudo-droites \(D, D', \Delta, \Delta', \Gamma, \Gamma'\) sont celles qui joignent deux à deux les quatre points \(u, u', r, t\) — de nouveau le quadrangle complet — et l'on constate que la bijection \(\varphi_s : \Omega(D) \simeq \Omega(D')\) définie par \(s\) est celle que définit \(r\), qui est dans la même des deux régions de \(X\) découpées par \(D\) et \(D'\).

64–66

Axiomes et système local (pages 64 à 66)

Soit \(K^1\) un \(1\)-complexe découpé en pseudo-droites — tout sommet sur au moins deux d'entre elles, deux pseudo-droites se rencontrant en un point et un seul. Pour deux pseudo-droites distinctes \(D, D'\) et un sommet \(s\) qui n'est sur aucune des deux, on se donne une bijection \[ \varphi_{s;D,D'} : \Omega(D) \simeq \Omega(D'), \] avec les propriétés suivantes.

• a)Sur l'ensemble des pseudo-droites qui ne passent pas par \(s\), les \(\varphi_{s;D,D'}\) forment un système transitif d'isomorphismes : \(\varphi_{s;D',D''} \circ \varphi_{s;D,D'} = \varphi_{s;D,D''}\)⁶⁴ .
• b)Si \(\Delta\) est une pseudo-droite distincte de \(D\) et \(D'\), les coupant en \(x\) et \(x'\) (on n'exclut pas \(x = x'\)), et si \(s, s'\) sont deux sommets de \(\Delta\) distincts de \(x, x'\), alors \(\varphi_{s;D,D'} = \varphi_{s';D,D'}\) si et seulement si \(s\) et \(s'\) sont sur un même des deux arcs que \(x\) et \(x'\) découpent sur \(\Delta\). On peut donc définir \(\varphi_{a;D,D'}\) pour un tel arc \(a\).
• c)Soit \(t = D \cap D'\), et \(\Delta_1, \Delta_2\) deux pseudo-droites par \(s\) et non par \(t\), coupant \(D\) en \(u_1, u_2\) et \(D'\) en \(u'_1, u'_2\) … — la page s'arrête là.

Dans un arrangement de dimension \(2\), b) dit que \(\varphi_{s;D,D'}\) ne dépend que de celle des deux régions de \(X \smallsetminus (D \cup D')\) qui contient \(s\) ; quand \(x = x'\), l'arc unique \(\Delta \smallsetminus \{t\}\) est tout entier dans une région⁶⁵ .

La page 65 commence sur une phrase dont le début manque : le système d'isomorphismes en question serait unique, à certaines conditions. Il ne peut pas l'être s'il existe une pseudo-droite bigonale — c'est-à-dire un double faisceau avec la pseudo-droite qui joint ses deux centres — ni s'il existe un monogone, c'est-à-dire un seul faisceau.

Dans le cas où il n'y a ni monogone ni bigone, on définit pour tout sommet \(s\) l'ensemble \(\Omega(s)\) comme le quotient de la réunion des \(\Omega(D)\), \(D\) ne passant pas par \(s\), par le système des \(\varphi_{s;D,D'}\) : c'est la limite d'un système transitif d'isomorphismes, un ensemble à deux éléments. Pour en faire un système local sur \(K^1\), il faut pour toute arête de \(K^1\), d'extrémités \(s\) et \(s'\), une bijection \(\Omega(s) \simeq \Omega(s')\) ; on prend une pseudo-droite \(D\) qui ne passe ni par \(s\) ni par \(s'\), et la composée

\begin{tikzcd}[column sep=small]
\Omega(s) \arrow[rr, "\sim"] \arrow[dr, "\sim"'] & & \Omega(s') \\
& \Omega(D) \arrow[ur, "\sim"'] &
\end{tikzcd}

qui ne dépend pas du choix de \(D\) par b) — c'en est même une forme équivalente⁶⁶ .

Pour reconstituer la carte à partir de \(K^1\), il faudrait encore définir une structure polygonale sur l'ensemble des arcs issus de chaque sommet \(s\), et une bijection canonique entre \(\Omega(s)\) et les deux orientations de cette structure. La page 66 s'arrête là.

67–70

IX. Pseudo-droites orientées : un troisième départ (pages 67 à 70)

Sur de plus petites feuilles, la même construction est reprise avec les pseudo-droites orientées. Soit \(\vec{\mathcal{D}}\) l'ensemble des pseudo-droites orientées, et \(\vec{\mathcal{D}}(s)\) celui des pseudo-droites orientées passant par \(s\) — autant que d'arcs issus de \(s\), soit \(2\nu(s)\). Pour \(\vec{D}\) ne passant pas par \(s\), on se donne une permutation circulaire \(\rho_{\vec{D},s}\) de \(\vec{\mathcal{D}}(s)\)⁶⁷ , avec les axiomes :

• a)\(\rho_{-\vec{D},s} = \rho_{\vec{D},s}^{-1}\) ;
• b)si \(\vec{D}, \vec{D}' \notin \vec{\mathcal{D}}(s)\), \(\rho_{\vec{D},s}\) et \(\rho_{\vec{D}',s}\) sont égales ou inverses l'une de l'autre⁶⁸ ;
• c)soient \(\vec{D}, \vec{D}', \vec{\Delta}\) des pseudo-droites distinctes, \(x, x'\) les intersections de \(\Delta\) avec \(D\) et \(D'\) (on ne suppose pas \(x \neq x'\)), \(s, s'\) des sommets de \(\Delta\) distincts de \(x, x'\), et supposons \(\rho_{\vec{D},s} = \rho_{\vec{D}',s}\) ; pour qu'on ait \(\rho_{\vec{D},s'} = \rho_{\vec{D}',s'}\), il faut et il suffit que \(s\) et \(s'\) soient sur un même arc de \(\Delta\) découpé par \(x\) et \(x'\)⁶⁹ ;
• (d)soient \(\vec{\Delta}_1 \in \vec{\mathcal{D}}(s)\), \(\vec{D} \notin \vec{\mathcal{D}}(s)\), \(\vec{\Delta}_2 = \rho_{\vec{D},s}(\vec{\Delta}_1)\), et \(u_1\), \(u_2\) les points où \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) coupent \(D\) : alors \(u_2\) est le sommet de \(\vec{D}\) qui suit \(u_1\) parmi les intersections de \(\vec{D}\) avec les pseudo-droites passant par \(s\) ;
• (e)soient \(\vec{D}, \vec{D}' \notin \vec{\mathcal{D}}(s)\) distinctes, \(t = D \cap D'\), \(\Delta_1, \Delta_2\) deux pseudo-droites par \(s\) et non par \(t\), coupant \(D\) en \(u_1, u_2\) et \(D'\) en \(u'_1, u'_2\). Si \(u_1\) et \(u_2\) sont adjacents sur \(D\), \(u'_1\) et \(u'_2\) le sont sur \(D'\). Si \(\vec{D}\) est orientée dans le sens \(t u_1 u_2\), \(\vec{D}'\) dans le sens \(t u'_1 u'_2\), et si \(u_1, u_2\) sont adjacents parmi les intersections de \(D\) avec les pseudo-droites par \(s\), alors \(\rho_{\vec{D},s}\) envoie la pseudo-droite orientée \(s u_1 u'_1\) sur \(s u_2 u'_2\)⁷⁰ ;
• (f)si \(s\) est d'ordre \(2n\), \((\rho_{\vec{D},s})^n(\vec{\Delta}) = -\vec{\Delta}\).

Ces axiomes sont ceux des pages 42 à 47 réécrits pour les \(\rho_{\vec{D},s}\) : \(\rho_{\vec{D},s}\) est la permutation \(\vec{u}_{s,\vec{D}}\) de la page 45, (d) est la façon dont elle a été définie, a) est (30), b) est (A3), c) est la propriété b) de la page 64, et (f) est (22)⁷¹ .

Th (page 70, énoncé). S'il existe un système de \(\rho_{\vec{D},s}\) satisfaisant a) à f), et s'il n'y a pas de pseudo-droite qui soit un monogone ou un bigone, ce système est unique. De plus, les \(\Omega(s) = \{\rho_s, \rho_s^{-1}\}\) forment de façon unique un système local — la fin de la phrase est illisible. En marge : il suffit de d), e) et f), et sans doute a) en est une conséquence ; pour donner un sens au système local, il faut des hypothèses plus fortes que b) et c). L'unicité est plausible sur l'axiome (d) seul pour ce qui est des pseudo-droites sous-jacentes : celles qui passent par \(s\) coupent \(D\) en des points distincts, et (d) dit dans quel ordre on les parcourt ; ce sont (e) et (f) qui fixent les orientations⁷² .

72–72

X. Petits arrangements : la géométrie et la combinatoire (page 72)

La dernière page est un tableau. Pour chaque petit arrangement de droites du plan projectif réel, il note s'il est « standard » au sens projectif — toutes ses réalisations sont projectivement équivalentes — ou seulement au sens combinatoire — il n'a qu'une classe combinatoire —, et compare le groupe des transformations projectives qui le stabilisent, modulo sa composante neutre, au groupe de ses automorphismes combinatoires.

• Une droite, deux droites : standard projectif.
• Trois droites en position générale : standard projectif ; le groupe projectif modulo sa composante neutre, le groupe combinatoire et le groupe des permutations des quatre faces sont isomorphes — c'est \(\mathfrak{S}_4\), le groupe de l'hémi-octaèdre des pages 31 à 38.
• Trois droites concourantes : standard projectif ; le groupe projectif modulo sa composante neutre est une extension de \(\mathfrak{S}_3\) par \(\mathbf{Z}/2\), isomorphe au groupe combinatoire, extension de \(\mathbf{Z}/2\) par \(\mathbf{Z}/6\) — le groupe de l'hexagone, celui des six demi-droites autour du point de concours.
• Quatre droites en position générale : standard projectif ; groupe combinatoire \(\mathfrak{S}_4\)⁷³ .
• Quatre droites dont trois concourantes : standard projectif ; extension de \(\mathfrak{S}_3\) par \(\mathbf{Z}/2\), isomorphe au groupe combinatoire, groupe de l'hexagone.
• Quatre droites concourantes : pas standard projectif (le birapport des quatre droites est un module), mais standard combinatoire ; groupe combinatoire, celui de l'octogone (?).
• Cinq droites en position générale : pas standard projectif, mais standard combinatoire ; groupe combinatoire, celui du pentagone⁷⁴ .
• Six droites ou plus en position générale : pas standard combinatoire — il y a plusieurs arrangements simples de six droites.

Le tableau mesure l'écart entre les deux points de vue du dossier : en position générale, la combinatoire détermine l'arrangement jusqu'à cinq droites et cesse de le faire à six ; la géométrie projective, elle, a des modules dès quatre droites concourantes et dès cinq droites en position générale.