Fonds Grothendieck, cote n° 8, pages 61–80

feuillet de tapuscrit dactylographié, scanné tête-bêche, numéroté 35 en haut à droite, sans rapport direct avec les notes manuscrites voisines ; il est gardé parce qu'il porte des interventions à la main, et le texte tapé n'est pas recomposé. Le texte pose, pour une situation au-dessus de S' \to S, \psi(S,Z,Y,X) = \xi\,\eta\,\varphi(Z,Y), d'où \psi de nature locale et commutant aux changements de base ; si (Z,X) est un couple lisse de codimension c > 1, on trouve localement sur X un triple (Z,Y,X) avec 0 < \operatorname{codim}(Y,X) < c, et tout revient à démontrer que \psi(S,Z,Y,X) est indépendant de Y (unicité en codimension c, l'existence résultant de la descente) ; par une chasse au diagramme de transitivité on se ramène au cas \operatorname{codim}(Y,X) = 1, avec deux triples (Z,Y_0,X), (Z,Y_1,X), Y_0, Y_1 définis par f_0 = 0, f_1 = 0 ; on pose \bar S = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_S[t], \bar X = X \times_S \bar S, \bar Z = Z \times_S \bar S et \bar Y défini par (f_1 - f_0)t + f_0 = 0 ; la page s'arrête sur « Alors \bar Y/\bar S est lisse en les points au dessus des ». Interventions à la main : les lettres \psi (trois fois) et \varphi tracées dans les blancs ; après le signe = de la formule, « \xi » et un second signe, lu \eta d'après la page 65 ; le numéro 35. Un blanc laissé après « l'unicité de » n'est pas rempli

suite de la page 60 (lot 3) : \mathscr{C}, \Delta, T_p, \pi, V, K, L comme là

Pour simplifier, on supposera que \mathscr{C} est de t.f. sur \mathbb{Q}_p. De plus, on a un hom \boxed{\ \pi \xrightarrow{\ \alpha\ } G(\mathbb{Q}_\ell)\ } l'indice se lit \ell et non p ; transcrit tel quel Si le foncteur T_p (ou, ce qui revient au même, le foncteur \Delta) est pl. fidèle, (dans ce cas seulement) G est l'enveloppe algébrique de \alpha.

De plus, le composé \mathscr{C} \to \operatorname{Mod}_f(\pi, \mathbb{Q}_p) \xrightarrow{\ \otimes_{\mathbb{Q}_p} C\ } \operatorname{Mod}_f(\pi, C) \to \operatorname{Mod}_f(C) est un foncteur bigradué, ~~i.e. on a un~~ (gradué par degré total, et par décomposition de Hodge) donc on a \boxed{\ \mathbb{G}_{m,C} \overset{i_1}{\underset{i_2}{\rightrightarrows}} G_C\ } avec i(\lambda) = i_1(\lambda)\, i_2(\lambda) = i(\lambda) : \mathbb{G}_{m,C} \to G_C la première des deux lettres i est surchargée ; lecture de l'égalité douteuse l'hom central définissant la graduation de \mathscr{C}.

De plus, on a un ~~hom~~ foncteur fibre « bigradué de Hodge » T_{\mathrm{Hdg}} sur K, donc défini par \begin{cases} \boxed{\ \mathcal{P},\ \text{torseur sous } G_L\ } \\ \bigl(T_{\mathrm{Hdg}} = \mathcal{P} \wedge^{G} (T_p \otimes_{\mathbb{Q}_p} L)\bigr) \end{cases} après la parenthèse, un mot biffé illisible et \begin{cases} \mathbb{G}_{m,L} \overset{j_1}{\underset{j_2}{\rightrightarrows}} G'_L = \operatorname{ad}(\mathcal{P}) \\ j_1(\lambda)\, j_2(\lambda) = i(\lambda) \end{cases} G'_L est écrit sur une lettre surchargée, avec un \mathcal{P} en exposant au-dessus avec un isom ~~T_{\mathrm{Hdg}}~~

T_{p\,C}(M) = T_p(M) \otimes_{\mathbb{Q}_p} C \simeq \sum T_{\mathrm{Hdg}}(M)^{i,j} \otimes C(-i) Donc pour tout isom C(1) \overset{\rho}{\simeq} C on déduit un isom bigradué \tilde\rho : T_{p\,C}(M) \simeq T_{\mathrm{Hdg}\,C} i.e. une trivialisation \tilde\rho \in \mathcal{P}(C) = \operatorname{Hom}_{\operatorname{Spec} \ill{}}(\operatorname{Spec} C, \mathcal{P}) l'indice de « Hom » est « Spec » suivi d'une lettre surchargée D'autre part, si \rho' est un autre isomorphisme, on a \rho' = u\rho, \qquad u \in C^* et on devra avoir \widetilde{u\rho} = i_1(u^{-1}) Donc, on on a un hom de ~~torseurs~~ C^*-espaces à opérations de \pi \boxed{\ C(1)^* \longrightarrow \mathcal{P}(C)\ } au-dessus de la flèche, deux mots lus « élément » ; « à opérations » et « de \pi » sont doublement soulignés quand on regarde \mathcal{P}(C) comme espace où C^* opère grâce à i_1^{-1} ; en d'autres termes, un hom de \mathbb{G}_{m,C}-schémas \check{\mathbb{V}}(C(-1))^* \longrightarrow \mathcal{P}_C, \qquad \check{\mathbb{V}}(C(-1))^* = \check{\mathbb{V}}(\mathbb{Z}_p(-1))^*_C l'égalité est écrite verticalement sous la source ; une flèche courbe va de C(1)^* (dans l'encadré) à \check{\mathbb{V}}(C(-1))^* L'hom précédent doit être compatible avec (j_1, j_2) d'une part, (i_1, i_2) d'autre part, i.e. (j_1, j_2) résulte par descente de i_1, i_2, quand on choisit l'isom G_L^{\mathcal{P}} \otimes_L C \simeq G_C associé à un \tilde\rho …

feuillet du même tapuscrit, numéroté 33. Il donne la suite spectrale (R^p v^!)(R^q u^!)F \Rightarrow (R^{p+q} w^!)F et l'isomorphisme \xi : (R^{2b} v^!)(R^{2a} u^!)\mu_n^{\otimes c} \xrightarrow{\sim} (R^{2c} w^!)\mu_n^{\otimes c}, puis le diagramme d'isomorphismes (3.10.1), carré formé de \varphi(Z,Y) : \mathbb{Z}/n \to (R^{2b}v^!)\mu_n^{\otimes b}, \varphi(Z,X), \eta = (R^{2b}v^!)(\varphi(Y,X) \otimes \mu_n^{\otimes b}) et \xi, « l'assertion de transitivité » étant sa commutativité ; puis « Démonstration » : récurrence sur la codimension, à partir de c = 1 (c = 0 trivial) ; le morphisme \varepsilon_t de (3.9) est de nature locale pour la topologie étale et commute aux changements de base ; tout revient à démontrer que (3.9) est bijectif et indépendant du choix de t, ce qui se vérifie fibre par fibre sur Y, et l'on peut supposer S = \operatorname{Spec} k, k séparablement clos. Interventions à la main : \xi (trois fois), \varphi(Z,Y), \varphi(Z,X), \eta tracés dans les blancs, et le tilde au-dessus de la flèche de \xi ; « (3.8) » au crayon après « (R^q i^!) » ; accents ajoutés ; une lettre ajoutée au-dessus de « cela » ; le numéro 33

Il y a aussi un foncteur fibre T_{\mathrm{cr}} ~~au-dessus de~~ dessus de K, à valeurs dans les vectoriels ~~[gradués & filtrés]~~. Donc on a un torseur \begin{cases} \boxed{\ Q\ \text{torseur sous } G_K\ } \\ T_{\mathrm{cr}} \simeq Q \wedge^{G_K} (T_p)_K \end{cases} ~~k_2 : \mathbb{G}_{m,K} \to G'' = G_K^{Q} = \operatorname{ad}(Q) définissant de G'' … \in U''(K), U'' via k_2, d'où k_2 fournissant un torseur sous U''~~ le bloc, encadré et rattaché à l'accolade, est barré de hachures obliques ; seuls quelques mots se lisent

T_{\mathrm{cr}} \otimes_K L a une filtration, et il y a un isom de ~~torseurs~~ foncteurs filtrés (T_{\mathrm{Hdg}} filtré par i_2) \operatorname{gr}(T_{\mathrm{cr}} \otimes_K L) \simeq T_{\mathrm{Hdg}} ~~des isom~~ un torseur R sous … correspondant à U' \subset G' = G_L^{\mathcal{P}} gr. unipotentla note marginale est reliée par un trait à U' ~~\tilde k_2 : Q_L \xrightarrow{\sim} \mathcal{P} défini par j_2 satisfaisant \tilde k_2 u = \tilde k_2 u \circ k_2~~ ces deux lignes sont biffées d'un trait et de hachures ; « défini par j_2 » reste hors des hachures ~~i.e. on a un~~ \boxed{\ R \hookrightarrow \operatorname{Isom}(Q_L, \mathcal{P}) \qquad (R \text{ torseur sous } U') \qquad G'' \supset U''\ } dans « \operatorname{Isom}(Q_L, \mathcal{P}) » une lettre est surchargée devant Q_L ; à droite de l'encadré, un passage de quatre lignes barré de croisillons se lit en partie : « il faudra expliquer cela correspond i_2 structures bigraduées »

D'autre part, il y a sur le foncteur T_{\mathrm{DR}} un Frobenius F : T_{\mathrm{DR}}^{\sigma} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\mathrm{DR}} l'indice de T dans la ligne « … foncteur T_{\mathrm{DR}} » est surchargé

feuillet du même tapuscrit, numéroté 29. Il établit (u^*(R^1j_*)g^*F)_{\bar x} \approx ((R^1j_*)g^*F)_{\bar x} \approx H^q(\tilde U, \tilde g^*\tilde F) ; puisque \tilde U est fortement 1-acyclique pour \mathbb{L}, des isomorphismes (« suite spectrale de Hochschild-Serre en bas dimensions ») H^1(G, H^0(\tilde S, \tilde F)) \approx H^1(\tilde U, \tilde g^*\tilde F) \approx ((R^1j_*)g^*F)_{\bar x}, où G = \varprojlim_n \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = G(\tilde U/\bar U) ; H^0(\tilde S, \tilde F) et G commutant au changement de base \bar s \to S, il en est de même de (R^1j_*)g^*F. Puis, pour F de \mathbb{L}-torsion, le théorème sous la forme u'^*(R^q i^!)g^*F \xrightarrow{\sim} (R^q i'^!)g'^*u^*F pour chaque q, vrai pour q = 2, et pour q quelconque si F = \mathbb{Z}/n (n premier aux caractéristiques résiduelles) par l'argument de récurrence de la démonstration de (3.7) ; « on termine avec le lemme suivant ». Interventions à la main : le tilde au-dessus de la flèche de la dernière formule, et le « ! » de i'^! repassé ; « (VIII 5.5) » au crayon dans « Tenant compte de ( ) » ; accents ajoutés ; un long trait vertical au crayon en marge gauche le long de la première moitié de la page

qui correspond donc à un isom \boxed{\ Q^{\sigma} \simeq Q\ }

feuillet du même tapuscrit, numéroté 28. « Démonstration. La première assertion veut naturellement dire que pour S' \xrightarrow{u} S arbitraire, le morphisme u'^*(R^qj_*)g^*F \to (R^qj'_*)g'^*u^*F est bijectif dans les situations envisagées, où u' = u \times_S X, et la dernière assertion équivaut à la première pour les faisceaux abéliens » ; pour q = 0, les isomorphismes (3.2) u'^*f^*F \simeq u'^*j_*g^*F, f'^*u^*F \simeq j'_*g'^*u^*F donnent le résultat ; pour q > 0, réduction à S, X, Y de type fini sur \operatorname{Spec}\mathbb{Z} et S' = \bar s point géométrique ; pour F faisceau de ind-\mathbb{L}-groupes, si la codimension de (Y,X) n'est pas 1, (R^qj_*)g^* = (R^qj'_*)g'^* = 0 ; sinon on reprend les notations de la démonstration de (3.5). Interventions à la main, au crayon : en marge gauche, contre « Démonstration », un crochet et la remarque « démonstration peu naturelle », prolongée par un trait vertical le long de tout le paragraphe ; les renvois « ( 4.5.) » (chiffre romain barré dessus et dessous, lu « IX » ou « IV »), « (cf. XII 6.5) » et « (3.4) » écrits dans les blancs ; les tildes au-dessus des deux flèches et le signe \wr\wr vertical entre elles ; accents ajoutés ; un trait vertical en marge devant « S,X,Y de type fini »

Structures sur catégorie \mathscr{C} des motifs (\tfrac12 simples) sur un ouvert S \subset \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}). « (iso) » est ajouté au-dessus de « motifs » ; « \mathscr{C} » est ajouté au-dessus de la ligne

T_B … T_{\mathrm{DR}} … « relations de T_B et T_{\mathrm{DR}} »en marge gauche, trois accolades étiquetées T_B, T_{\mathrm{DR}} et, verticalement, « relations de T_B et T_{\mathrm{DR}} »

T_B : foncteur de Betti (sur \mathbb{Q}) relatif à : \mathbb{C}, \boxed{\text{groupe } G \text{ sur } \mathbb{Q}}

T_\ell \simeq T_B \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_\ell, réalisation \ell-adique (sur \bar{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C})

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \pi = \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \arrow[r] & G(\mathbb{Q}_p) \\ \pi(p) = \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p) \arrow[u] & \end{tikzcd}

à droite, « non ramifié dans S - \lbrace p \rbrace » ; sous la flèche horizontale, « p \in S (p fini ou \infty) » ; dans le cadre de gauche, « \pi(\infty) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} » ; dans les deux premières lignes, \mathbb{Q} est écrit sur une lettre surchargée

\begin{aligned} &i_1(\infty),\ i_2(\infty) : \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \rightrightarrows G(\mathbb{C}) \\ &i_1(p),\ i_2(p) : \mathbb{G}_{m,C^{(p)}} \rightrightarrows G(C^{(p)}) \end{aligned} résultats des autres structures (cf. …) à droite : « U^{(p)} \subset G_{C^{(p)}} » et « d'où U^{(\infty)} \subset G_{\mathbb{C}} (via i_2^{(p)}, i_2^{(\infty)}) » ; les arguments \infty, p des i sont surchargés

T_{\mathrm{DR}} : foncteur de De Rham (sur \mathbb{Q}), groupe G' sur \mathbb{Q}, correspond à \boxed{\text{torseur } \mathcal{P} \text{ sous } G}, G' = \operatorname{ad}(\mathcal{P}) = G^{\mathcal{P}}.

filtré, i.e. on a une famille d'hom j_2 : \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}} \to G' (classe des définie mod. conjugaison par U' \subset G' (\Leftrightarrow torseur R sous U')). « unipotent associé » est écrit sous U' \subset G'

\forall\, p \in S, p premier fini, … \boxed{\begin{array}{l} F_p \in G'(\mathbb{Q}_p) \\ F_\infty \in G'(\mathbb{R}) \end{array}} \quad (\text{Frobenius}) sous F_\infty : « d'ordre 2 »

Élément \boxed{\rho^{(\infty)} \in \mathcal{P}(\mathbb{C})} transformant la classe des j_2 en celle des i_2^{(\infty)}. « Élément » est souligné, écrit sur un mot biffé ; « en celle des » est ajouté au-dessus

Pour \forall\, j_2 \in U', et tout \lambda \in C^{p}(1)^*, un élément \boxed{\ \rho^{(p)}(j_2, \lambda) \in \mathcal{P}(C^{p})\ } transformant j_2 en i_2, i.e. \begin{cases} C^{p}(1)^* \times U'(C^{p}) \longrightarrow \mathcal{P}(C^{p}) \\ \bigl[\ \mathbb{G}_{m,C^{p}} \xrightarrow{\ i_2^{(p)}\ } G'_{C^{p}}, \qquad G'_{C^{p}} \supset U'_{C^{p}}\ \bigr] \end{cases} et compatibilités avec opérations de

a)C^{p*} \times U'(C^{p}) b)\pi(p) = \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)

les deux tiers supérieurs de la page, écrits en travers (feuille tournée d'un quart de tour), sont un griffonnage coupé de longs traits obliques ; on y lit, sans ordre sûr : « \mathbb{Q} » ; « H^*_B(X_{\mathbb{C}}) — H^*_B(X) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} », avec « oui » au-dessus du trait ; « H^*(X, \mathcal{O}_X) — H^{\cdot\cdot}(X, \Omega^\cdot_X) » ; « L H_{\mathrm{Hdg}}(X) H_{\mathrm{DR}} L », deux mots entourés au-dessus (« oui » et « non ? ») ; « H_{\mathrm{cris}} » ; « i_1 » ; « H_{\mathrm{DR}}(X) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \simeq H(X_{\mathbb{C}}, \mathbb{R}) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} » ; « H^*_{\mathrm{DR}}(X_L) — H^*_{\mathrm{DR}}(X_{\mathbb{C}}) » ; « \sigma_1 \cdot \sigma_2 = f », « automorphisme » ; « Q^\sigma \simeq Q » ; « X_{\mathbb{R}} — X_{\mathbb{C}} » ; « G » ; « H^*(X(\mathbb{C}), \mathbb{C}) » ; « H^*(X » inachevé ; un (2) entouré ; « S \subset \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}) » ; « bigradué » ; « \operatorname{Spec}\mathbb{Z} » ; enfin un petit tableau encadré à accolade : « T_B : G_B ; T_{\mathrm{DR}} : G_{\mathrm{DR}} ; T_{\mathrm{Hdg}} »

a)M module à connexion intégrable sur S, avec filtration. b)M(p)^{\sigma} \xrightarrow{\ F_p\ } M(p) Frobenius (théorie des cristaux) c)M(\mathbb{R}) filtré sur S(\mathbb{R}), muni d'un automorphisme F_\infty d'ordre 2.« analytique » est ajouté au-dessus de « filtré », sur un mot biffé d)BT (Betti) système local sur S(\mathbb{C})^{\mathrm{an}} (\Leftrightarrow \pi_1(S(\mathbb{C})^{\mathrm{an}}, s) \to \operatorname{Aut}(T_s)) e)T_p syst. local sur S - S_p T_p \simeq T \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_p sur S_{\mathbb{C}} \mathrm{f}_\infty)M_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}} \simeq T \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} \mathrm{f}_p)— — — —

« \mathrm{f}_\infty ) » est écrit sur un « f) » surchargé

feuillet du même tapuscrit, scanné tête-bêche, numéroté 31. Pour (Y,X) un S-couple lisse de codimension 1, Y défini par t = 0, la suite exacte de Kummer 0 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \xrightarrow{n} \mathbb{G}_m \to 0 sur U donne un morphisme « cobord » \delta : j_*\mathbb{G}_m \to R^1j_*\mu_n, d'où une section \delta t et, n annulant R^1j_*\mu_n, le morphisme (3.9)\ \varepsilon_t : (\mathbb{Z}/n)_Y \to (R^2i^!)(\mathbb{Z}/n)_X \approx i^*(R^1j_*)(\mathbb{Z}/n)_U, dont on vérifiera que c'est une bijection canonique ; puis « Théorème (3.10) : Soit C la famille des couples lisses de codimension constant. Il existe un fonction et un seul \varphi donnant pour chaque S-couple lisse (Y,X) de codimension c un isomorphisme (dit canonique) de faisceaux ». Interventions à la main : « (IX 3.2) » dans le blanc après « Kummer » ; le \Gamma de \Gamma(U, \mathcal{O}_U) corrigé sur un T ; la lettre \varphi ; après « codimension c », un signe d'insertion renvoyant à la marge gauche : « et chaque n premier aux caractéristiques résiduelles de X » ; la formule qui suit, « (Y,X) : \mathbb{Z}/n \to \underline{H}^{2c}_Y(X, \mu », est barrée d'un trait ; accents ajoutés

Conj. de Hodge (, généralisée)

Conj. de Tate (, généralisée)

Conj. des Frobenius dans Coh. de De Rham (à connexion)

? Conj. du double réseau (revoir)

« Tate groups » (, généralisé) sur schémas \begin{cases} \text{de t.f.\ sur } \mathbb{Z} \\ \text{de t.f.\ sur corps} \end{cases}

« Tate groups » sur anneaux locaux d'inégales car.

les trois indications de droite (« déc. de Hodge sur \mathbb{C} », « opération de Galois, conj. Frobenius », « Frobenius cristallin ») sont écrites en colonne en face des trois premières conjectures ; le « ? » est en marge devant « Conj. du double réseau »

Complexe de cotg. des groupes de t.m.

titre souligné

1. Soit G = D(M), M un réseau sur S (= gpe ct tordu sur S). Considérons la résolution plate canonique en deux crans (1.1) \qquad 0 \longrightarrow R \xrightarrow{\ v\ } \mathbb{Z}[M] \xrightarrow{\ u\ } M \longrightarrow 0 , où R = \operatorname{Ker} u, u([m]) = m. On en déduit, par passage aux duals, une suite exacte (1.2) \qquad 0 \to G \to T \to T' \to 0, \qquad T \simeq \mathbb{G}_m^{M}, \quad T' = D(R) T \simeq \mathbb{G}_m^M et T' = D(R) sont écrits verticalement sous T, T' résolvant G par des tores. (c'est de dim. relative infinie …)

Le triangle de transitivité de Mazur–Roberts donne un isomorphisme \ell^{G}_\bullet \simeq [\omega_{T'} \to \omega_T] \simeq [R \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S \to \mathbb{Z}[M] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S] i.e. (1.3) \qquad \boxed{\ \ell^{G}_\bullet \simeq \underline{M} \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S\ } après l'encadré, « etc » biffé Si \mathcal{O}_S est une \Lambda-Algèbre (p. ex. \Lambda = \mathbb{Q}, ou \Lambda = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) ~~, n\mathcal{O}_S = 0, i.e. \mathcal{O}_S une \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}-Algèbre,~~ on peut écrire aussi (1.4) \qquad \boxed{\ \ell^{G}_\bullet \simeq \bigl(M \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \Lambda\bigr) \overset{L}{\otimes}_{\Lambda} \mathcal{O}_S\ } les deux \Lambda sont écrits sur des lettres biffées et si

~~n = p (p. ex. \Lambda = \mathbb{F}_p)~~ au-dessus de la ligne biffée : « si \Lambda est un corps, » p. ex. si \Lambda est un corps, le L sur le dernier \otimes est inutile, on peut écrire (1.4') \qquad \ell^{G}_\bullet \simeq \bigl(M \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p\bigr) \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S .

1.5« 1.5 » est écrit sur un « 2. » Supposons qu'on ait un revêtement principal S' de S de groupe ~~ordinaire~~ \pi discret ou profini, et que M provienne par descente d'une ~~revêtement~~ représentation de \pi dans un groupe abélien M_0 (qu'on suppose continue pour \pi profini) ; p. ex. si M est isotrivial (p. ex. à fibres de t. finie et S ~~connexe~~ normal) et si S connexe, dans la situation dite, avec S' le rev. universel de S … On a donc un hom. de topos (1.6) \qquad S \xrightarrow{\ f\ } (B_\pi) sous S : « (top. étale, ou fppf, ou fpqc) » ; après S et après B_\pi, une lettre biffée illisible avec (1.7) \qquad M = f^{-1}(M_0) l'exposant -1 est écrit sur une étoile On aura alors, si on annèle S et B_\pi par l'anneau constant \Lambda, et envisage f en conséquence M \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \Lambda = f^*\bigl(M_0 \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \Lambda\bigr) numéro de formule surchargé, illisible et par suite on peut écrire (1.8) \qquad \ell^{G}_\bullet \simeq f^*\bigl(M_0 \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \Lambda\bigr) \overset{L}{\otimes}_{\Lambda} \mathcal{O}_S , où le L sur \otimes_\Lambda est inutile si \Lambda est un corps …

2. Notons que ~~si \mathcal{O}_S est de car.~~ l'on tire de (1.3) (2.1) \qquad \begin{cases} \omega_G = \underline{M} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S \\ \underline{n}_G = \underline{\operatorname{Tor}}^{\mathbb{Z}}_1(M, \mathcal{O}_S) \end{cases} ce qui s'écrit, si S est de car. p > 0 (2.2) \qquad \begin{cases} \omega_G = (M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p) \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S = M_p \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S \\ \underline{n}_G \simeq {}_pM \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S \end{cases} et si M est annulé par p, i.e. G annulé par p, cela devient (2.2') \qquad \omega_G \simeq M \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S, \qquad \underline{n}_G \simeq M \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S On a d'autre part une classe canonique \xi \in \operatorname{Ext}^2_{\mathcal{O}_S}\bigl(M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S, \operatorname{Tor}^{\mathbb{Z}}_1(M, \mathcal{O}_S)\bigr) qu'on peut interpréter, en présence d'un \Lambda, comme provenant d'un \xi_\Lambda \in \operatorname{Ext}^2_\Lambda\bigl(M \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda, \operatorname{Tor}^{\mathbb{Z}}_1(M, \Lambda)\bigr) ; Supposons p. ex. que \Lambda = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, et que M ~~M \otimes \mathbb{Z}~~ soit un \Lambda-module loc. libre de t.f. Alors de M \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda \simeq M et de \operatorname{Tor}^{\mathbb{Z}}_1(M, \Lambda) \simeq {}_nM \simeq M, et on a donc \xi_\Lambda \in H^2(S, \operatorname{End}(M)) , et ~~si \mathcal{O}_S est plat sur \Lambda (p. ex. )~~ \xi \in H^2(S, \operatorname{End}(E)) \qquad (E = M \otimes_\Lambda \mathcal{O}_S) et \xi se déduit de \xi_\Lambda par l'hom. can.

H^2(S, \operatorname{End}(M)) \to H^2(S, \operatorname{End}(M) \otimes_\Lambda \mathcal{O}_S) \simeq H^2(S, \operatorname{End}(E)) Enfin, sous les conditions de 1.5, M_0 étant aussi plat sur \Lambda, on aura que \xi_\Lambda est l'image d'un élément \xi_0 \in H^2(B_\pi, \operatorname{End}(M_0)) . (NB Pour calculer \xi_0, par fonctorialité en \pi, on est ramené aussitôt au cas « universel » \pi = \operatorname{Aut}(M_0), et on peut évidemment supposer M_0 = \Lambda^d = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d, donc \pi = \mathrm{Gl}(d, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) …) D'après Illusie, c'est l'obstruction à remonter la représentation de \pi dans M_0 en une représentation dans un module libre sur \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}. Lorsque n = p (premier), elle est évidemment nulle si M_0 est de rang \le 1, mais sans doute pas nulle si M_0 de rang \ge 2, dans le cas universel \pi = \mathrm{Gl}(d, \mathbb{F}_p). « Lorsque n = p (premier) » est ajouté au-dessus de « Elle », et relié à la ligne

Notons que si le rev. S' de S est le rev. universel, alors H^2(B_\pi, -) \longrightarrow H^2(S, -) est injectif, donc on trouve un élément une ~~donnée~~ \xi_\Lambda \in H^2(S, \operatorname{End}(M)).