Cote n° 8, pages 61–80

Cote n° 8 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Cristaux (1970). Gribouillis et calculs divers : notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

feuillet de tapuscrit dactylographié, scanné tête-bêche, numéroté 35 en haut à droite, sans rapport direct avec les notes manuscrites voisines ; il est gardé parce qu'il porte des interventions à la main, et le texte tapé n'est pas recomposé. Le texte pose, pour une situation au-dessus de \(S' \to S\), \(\psi(S,Z,Y,X) = \xi\,\eta\,\varphi(Z,Y)\), d'où \(\psi\) de nature locale et commutant aux changements de base ; si \((Z,X)\) est un couple lisse de codimension \(c > 1\), on trouve localement sur \(X\) un triple \((Z,Y,X)\) avec \(0 < \operatorname{codim}(Y,X) < c\), et tout revient à démontrer que \(\psi(S,Z,Y,X)\) est indépendant de \(Y\) (unicité en codimension \(c\), l'existence résultant de la descente) ; par une chasse au diagramme de transitivité on se ramène au cas \(\operatorname{codim}(Y,X) = 1\), avec deux triples \((Z,Y_0,X)\), \((Z,Y_1,X)\), \(Y_0\), \(Y_1\) définis par \(f_0 = 0\), \(f_1 = 0\) ; on pose \(\bar S = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_S[t]\), \(\bar X = X \times_S \bar S\), \(\bar Z = Z \times_S \bar S\) et \(\bar Y\) défini par \((f_1 - f_0)t + f_0 = 0\) ; la page s'arrête sur « Alors \(\bar Y/\bar S\) est lisse en les points au dessus des ». Interventions à la main : les lettres \(\psi\) (trois fois) et \(\varphi\) tracées dans les blancs ; après le signe \(=\) de la formule, « \(\xi\) » et un second signe, lu \(\eta\) d'après la page 65 ; le numéro 35. Un blanc laissé après « l'unicité de » n'est pas rempli

suite de la page 60 (lot 3) : \(\mathscr{C}\), \(\Delta\), \(T_p\), \(\pi\), \(V\), \(K\), \(L\) comme là

Pour simplifier, on supposera que \(\mathscr{C}\) est de t.f. sur \(\mathbb{Q}_p\). De plus, on a un hom \[ \boxed{\ \pi \xrightarrow{\ \alpha\ } G(\mathbb{Q}_\ell)\ } \] l'indice se lit \(\ell\) et non \(p\) ; transcrit tel quel Si le foncteur […] \(T_p\) (ou, ce qui revient au même, […] le foncteur \(\Delta\)) est pl. fidèle, (dans ce cas seulement) \(G\) est l'enveloppe algébrique de \(\alpha\).

De plus, le composé \[ \mathscr{C} \to \operatorname{Mod}_f(\pi, \mathbb{Q}_p) \xrightarrow{\ \otimes_{\mathbb{Q}_p} C\ } \operatorname{Mod}_f(\pi, C) \to \operatorname{Mod}_f(C) \] est un foncteur bigradué, i.e. on a un (gradué par degré total, et par décomposition de Hodge) donc on a \[ \boxed{\ \mathbb{G}_{m,C} \overset{i_1}{\underset{i_2}{\rightrightarrows}} G_C\ } \] avec \[ i(\lambda) = i_1(\lambda)\, i_2(\lambda) = i(\lambda) : \mathbb{G}_{m,C} \to G_C \] la première des deux lettres \(i\) est surchargée ; lecture de l'égalité douteuse l'hom central définissant la graduation de \(\mathscr{C}\).

De plus, on a un hom foncteur fibre « bigradué de Hodge » \(T_{\mathrm{Hdg}}\) sur \(K\), donc défini par \[ \begin{cases} \boxed{\ \mathcal{P},\ \text{torseur sous } G_L\ } \\ \bigl(T_{\mathrm{Hdg}} = \mathcal{P} \wedge^{G} (T_p \otimes_{\mathbb{Q}_p} L)\bigr) \end{cases} \] après la parenthèse, un mot biffé illisible et \[ \begin{cases} \mathbb{G}_{m,L} \overset{j_1}{\underset{j_2}{\rightrightarrows}} G'_L = \operatorname{ad}(\mathcal{P}) \\ j_1(\lambda)\, j_2(\lambda) = i(\lambda) \end{cases} \] \(G'_L\) est écrit sur une lettre surchargée, avec un \(\mathcal{P}\) en exposant au-dessus avec un isom \(T_{\mathrm{Hdg}}\)

\[ T_{p\,C}(M) = T_p(M) \otimes_{\mathbb{Q}_p} C \simeq \sum T_{\mathrm{Hdg}}(M)^{i,j} \otimes C(-i) \] Donc pour tout isom […] \[ C(1) \overset{\rho}{\simeq} C \] on déduit un isom bigradué \[ \tilde\rho : T_{p\,C}(M) \simeq T_{\mathrm{Hdg}\,C} \] i.e. une trivialisation \[ \tilde\rho \in \mathcal{P}(C) = \operatorname{Hom}_{\operatorname{Spec} \ill{}}(\operatorname{Spec} C, \mathcal{P}) \] l'indice de « Hom » est « Spec » suivi d'une lettre surchargée D'autre part, si \(\rho'\) est un autre isomorphisme, on a \[ \rho' = u\rho, \qquad u \in C^* \] et on devra avoir \[ \widetilde{u\rho} = i_1(u^{-1}) \] Donc, on on a un hom de torseurs \(C^*\)-espaces à opérations de \(\pi\) \[ \boxed{\ C(1)^* \longrightarrow \mathcal{P}(C)\ } \] au-dessus de la flèche, deux mots lus « élément […] » ; « à opérations » et « de \(\pi\) » sont doublement soulignés quand on regarde \(\mathcal{P}(C)\) comme espace où \(C^*\) opère grâce à \(i_1^{-1}\) ; en d'autres termes, un hom de \(\mathbb{G}_{m,C}\)-schémas \[ \check{\mathbb{V}}(C(-1))^* \longrightarrow \mathcal{P}_C, \qquad \check{\mathbb{V}}(C(-1))^* = \check{\mathbb{V}}(\mathbb{Z}_p(-1))^*_C \] l'égalité est écrite verticalement sous la source ; une flèche courbe va de \(C(1)^*\) (dans l'encadré) à \(\check{\mathbb{V}}(C(-1))^*\) L'hom précédent doit être compatible avec \((j_1, j_2)\) d'une part, \((i_1, i_2)\) d'autre part, i.e. \((j_1, j_2)\) résulte par descente de \(i_1, i_2\), quand on choisit l'isom \[ G_L^{\mathcal{P}} \otimes_L C \simeq G_C \] associé à un \(\tilde\rho\) …

feuillet du même tapuscrit, numéroté 33. Il donne la suite spectrale \((R^p v^!)(R^q u^!)F \Rightarrow (R^{p+q} w^!)F\) et l'isomorphisme \(\xi : (R^{2b} v^!)(R^{2a} u^!)\mu_n^{\otimes c} \xrightarrow{\sim} (R^{2c} w^!)\mu_n^{\otimes c}\), puis le diagramme d'isomorphismes (3.10.1), carré formé de \(\varphi(Z,Y) : \mathbb{Z}/n \to (R^{2b}v^!)\mu_n^{\otimes b}\), \(\varphi(Z,X)\), \(\eta = (R^{2b}v^!)(\varphi(Y,X) \otimes \mu_n^{\otimes b})\) et \(\xi\), « l'assertion de transitivité » étant sa commutativité ; puis « Démonstration » : récurrence sur la codimension, à partir de \(c = 1\) (\(c = 0\) trivial) ; le morphisme \(\varepsilon_t\) de (3.9) est de nature locale pour la topologie étale et commute aux changements de base ; tout revient à démontrer que (3.9) est bijectif et indépendant du choix de \(t\), ce qui se vérifie fibre par fibre sur \(Y\), et l'on peut supposer \(S = \operatorname{Spec} k\), \(k\) séparablement clos. Interventions à la main : \(\xi\) (trois fois), \(\varphi(Z,Y)\), \(\varphi(Z,X)\), \(\eta\) tracés dans les blancs, et le tilde au-dessus de la flèche de \(\xi\) ; « (3.8) » au crayon après « \((R^q i^!)\) » ; accents ajoutés ; une lettre ajoutée au-dessus de « cela » ; le numéro 33

Il y a aussi un foncteur fibre \(T_{\mathrm{cr}}\) au-dessus de dessus de \(K\), à valeurs dans les vectoriels [gradués & filtrés]. Donc on a un torseur \[ \begin{cases} \boxed{\ Q\ \text{torseur sous } G_K\ } \\ T_{\mathrm{cr}} \simeq Q \wedge^{G_K} (T_p)_K \end{cases} \] \(k_2 : \mathbb{G}_{m,K} \to G'' = G_K^{Q} = \operatorname{ad}(Q)\) définissant […] […] […] de \(G''\) … \(\in U''(K)\), \(U''\) […] […] […] via \(k_2\), d'où \(k_2\) fournissant un torseur sous \(U''\) le bloc, encadré et rattaché à l'accolade, est barré de hachures obliques ; seuls quelques mots se lisent

\(T_{\mathrm{cr}} \otimes_K L\) a une filtration, et il y a un isom de torseurs foncteurs filtrés (\(T_{\mathrm{Hdg}}\) filtré par \(i_2\)) \[ \operatorname{gr}(T_{\mathrm{cr}} \otimes_K L) \simeq T_{\mathrm{Hdg}} \] des isom un torseur \(R\) sous … correspondant à \[ U' \subset G' = G_L^{\mathcal{P}} \] gr. unipotentla note marginale est reliée par un trait à \(U'\) \(\tilde k_2 : Q_L \xrightarrow{\sim} \mathcal{P}\) défini par \(j_2\) satisfaisant \(\tilde k_2 u = \tilde k_2 u \circ k_2\) ces deux lignes sont biffées d'un trait et de hachures ; « défini par \(j_2\) » reste hors des hachures i.e. on a un \[ \boxed{\ R \hookrightarrow \operatorname{Isom}(Q_L, \mathcal{P}) \qquad (R \text{ torseur sous } U') \qquad G'' \supset U''\ } \] dans « \(\operatorname{Isom}(Q_L, \mathcal{P})\) » une lettre est surchargée devant \(Q_L\) ; à droite de l'encadré, un passage de quatre lignes barré de croisillons se lit en partie : « il faudra expliquer […] cela correspond […] \(i_2\) […] structures bigraduées »

D'autre part, il y a sur le foncteur \(T_{\mathrm{DR}}\) un Frobenius \[ F : T_{\mathrm{DR}}^{\sigma} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{\mathrm{DR}} \] l'indice de \(T\) dans la ligne « … foncteur \(T_{\mathrm{DR}}\) » est surchargé

feuillet du même tapuscrit, numéroté 29. Il établit \((u^*(R^1j_*)g^*F)_{\bar x} \approx ((R^1j_*)g^*F)_{\bar x} \approx H^q(\tilde U, \tilde g^*\tilde F)\) ; puisque \(\tilde U\) est fortement \(1\)-acyclique pour \(\mathbb{L}\), des isomorphismes (« suite spectrale de Hochschild-Serre en bas dimensions ») \(H^1(G, H^0(\tilde S, \tilde F)) \approx H^1(\tilde U, \tilde g^*\tilde F) \approx ((R^1j_*)g^*F)_{\bar x}\), où \(G = \varprojlim_n \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = G(\tilde U/\bar U)\) ; \(H^0(\tilde S, \tilde F)\) et \(G\) commutant au changement de base \(\bar s \to S\), il en est de même de \((R^1j_*)g^*F\). Puis, pour \(F\) de \(\mathbb{L}\)-torsion, le théorème sous la forme \(u'^*(R^q i^!)g^*F \xrightarrow{\sim} (R^q i'^!)g'^*u^*F\) pour chaque \(q\), vrai pour \(q = 2\), et pour \(q\) quelconque si \(F = \mathbb{Z}/n\) (\(n\) premier aux caractéristiques résiduelles) par l'argument de récurrence de la démonstration de (3.7) ; « on termine avec le lemme suivant ». Interventions à la main : le tilde au-dessus de la flèche de la dernière formule, et le « \(!\) » de \(i'^!\) repassé ; « (VIII 5.5) » au crayon dans « Tenant compte de ( ) » ; accents ajoutés ; un long trait vertical au crayon en marge gauche le long de la première moitié de la page

qui correspond donc à un isom \[ \boxed{\ Q^{\sigma} \simeq Q\ } \]

feuillet du même tapuscrit, numéroté 28. « Démonstration. La première assertion veut naturellement dire que pour \(S' \xrightarrow{u} S\) arbitraire, le morphisme \(u'^*(R^qj_*)g^*F \to (R^qj'_*)g'^*u^*F\) est bijectif dans les situations envisagées, où \(u' = u \times_S X\), et la dernière assertion équivaut à la première pour les faisceaux abéliens » ; pour \(q = 0\), les isomorphismes (3.2) \(u'^*f^*F \simeq u'^*j_*g^*F\), \(f'^*u^*F \simeq j'_*g'^*u^*F\) donnent le résultat ; pour \(q > 0\), réduction à \(S, X, Y\) de type fini sur \(\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\) et \(S' = \bar s\) point géométrique ; pour \(F\) faisceau de ind-\(\mathbb{L}\)-groupes, si la codimension de \((Y,X)\) n'est pas \(1\), \((R^qj_*)g^* = (R^qj'_*)g'^* = 0\) ; sinon on reprend les notations de la démonstration de (3.5). Interventions à la main, au crayon : en marge gauche, contre « Démonstration », un crochet et la remarque « démonstration peu naturelle », prolongée par un trait vertical le long de tout le paragraphe ; les renvois « ([…] 4.5.) » (chiffre romain barré dessus et dessous, lu « IX » ou « IV »), « (cf. XII 6.5) » et « (3.4) » écrits dans les blancs ; les tildes au-dessus des deux flèches et le signe \(\wr\wr\) vertical entre elles ; accents ajoutés ; un trait vertical en marge devant « S,X,Y de type fini »

Structures sur catégorie \(\mathscr{C}\) des motifs (\(\tfrac12\) simples) sur un ouvert \(S \subset \operatorname{Spec}(\mathbb{Z})\). « (iso) » est ajouté au-dessus de « motifs » ; « \(\mathscr{C}\) » est ajouté au-dessus de la ligne

\(T_B\) … \(T_{\mathrm{DR}}\) … « relations de \(T_B\) et \(T_{\mathrm{DR}}\) »en marge gauche, trois accolades étiquetées \(T_B\), \(T_{\mathrm{DR}}\) et, verticalement, « relations de \(T_B\) et \(T_{\mathrm{DR}}\) »

\(T_B\) : foncteur de Betti (sur \(\mathbb{Q}\)) relatif à : \(\mathbb{C}\), \(\boxed{\text{groupe } G \text{ sur } \mathbb{Q}}\)

\(T_\ell \simeq T_B \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_\ell\), réalisation \(\ell\)-adique (sur \(\bar{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}\))

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\pi = \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \arrow[r] & G(\mathbb{Q}_p) \\
\pi(p) = \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p) \arrow[u] &
\end{tikzcd}

à droite, « non ramifié dans \(S - \lbrace p \rbrace\) » ; sous la flèche horizontale, « \(p \in S\) (\(p\) fini ou \(\infty\)) » ; dans le cadre de gauche, « \(\pi(\infty) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) » ; dans les deux premières lignes, \(\mathbb{Q}\) est écrit sur une lettre surchargée

\[ \begin{aligned} &i_1(\infty),\ i_2(\infty) : \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \rightrightarrows G(\mathbb{C}) \\ &i_1(p),\ i_2(p) : \mathbb{G}_{m,C^{(p)}} \rightrightarrows G(C^{(p)}) \end{aligned} \] résultats des autres structures (cf. …) à droite : « \(U^{(p)} \subset G_{C^{(p)}}\) » et « d'où \(U^{(\infty)} \subset G_{\mathbb{C}}\) (via \(i_2^{(p)}\), \(i_2^{(\infty)}\)) » ; les arguments \(\infty\), \(p\) des \(i\) sont surchargés

\(T_{\mathrm{DR}}\) : foncteur de De Rham (sur \(\mathbb{Q}\)), groupe \(G'\) sur \(\mathbb{Q}\), correspond à \(\boxed{\text{torseur } \mathcal{P} \text{ sous } G}\), \(G' = \operatorname{ad}(\mathcal{P}) = G^{\mathcal{P}}\).

filtré, i.e. on a une famille d'hom \[ j_2 : \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}} \to G' \] (classe des […] définie mod. conjugaison par \(U' \subset G'\) (\(\Leftrightarrow\) torseur \(R\) sous \(U'\))). « unipotent associé » est écrit sous \(U' \subset G'\)

\(\forall\, p \in S\), \(p\) premier fini, … \[ \boxed{\begin{array}{l} F_p \in G'(\mathbb{Q}_p) \\ F_\infty \in G'(\mathbb{R}) \end{array}} \quad (\text{Frobenius}) \] sous \(F_\infty\) : « d'ordre 2 »

Élément […] \(\boxed{\rho^{(\infty)} \in \mathcal{P}(\mathbb{C})}\) transformant la classe des \(j_2\) en celle des \(i_2^{(\infty)}\). « Élément » est souligné, écrit sur un mot biffé ; « en celle des » est ajouté au-dessus

Pour \(\forall\, j_2 \in U'\), et tout \(\lambda \in C^{p}(1)^*\), un élément \[ \boxed{\ \rho^{(p)}(j_2, \lambda) \in \mathcal{P}(C^{p})\ } \] transformant […] \(j_2\) en \(i_2\), i.e. \[ \begin{cases} C^{p}(1)^* \times U'(C^{p}) \longrightarrow \mathcal{P}(C^{p}) \\ \bigl[\ \mathbb{G}_{m,C^{p}} \xrightarrow{\ i_2^{(p)}\ } G'_{C^{p}}, \qquad G'_{C^{p}} \supset U'_{C^{p}}\ \bigr] \end{cases} \] et compatibilités avec opérations de

a)\(C^{p*} \times U'(C^{p})\)
b)\(\pi(p) = \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)\)

les deux tiers supérieurs de la page, écrits en travers (feuille tournée d'un quart de tour), sont un griffonnage coupé de longs traits obliques ; on y lit, sans ordre sûr : « \(\mathbb{Q}\) » ; « \(H^*_B(X_{\mathbb{C}})\) — \(H^*_B(X) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\) », avec « oui » au-dessus du trait ; « \(H^*(X, \mathcal{O}_X)\) — \(H^{\cdot\cdot}(X, \Omega^\cdot_X)\) » ; « \(L\) \(H_{\mathrm{Hdg}}(X)\) \(H_{\mathrm{DR}}\) \(L\) », deux mots entourés au-dessus (« oui […] » et « non ? ») ; « \(H_{\mathrm{cris}}\) » ; « \(i_1\) » ; « \(H_{\mathrm{DR}}(X) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \simeq H(X_{\mathbb{C}}, \mathbb{R}) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\) » ; « \(H^*_{\mathrm{DR}}(X_L)\) — \(H^*_{\mathrm{DR}}(X_{\mathbb{C}})\) » ; « \(\sigma_1 \cdot \sigma_2 = f\) », « automorphisme » ; « \(Q^\sigma \simeq Q\) » ; « \(X_{\mathbb{R}}\) — \(X_{\mathbb{C}}\) » ; « \(G\) » ; « \(H^*(X(\mathbb{C}), \mathbb{C})\) » ; « \(H^*(X\) » inachevé ; un (2) entouré ; « \(S \subset \operatorname{Spec}(\mathbb{Z})\) » ; « bigradué […] » ; « \(\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\) » ; enfin un petit tableau encadré à accolade : « \(T_B\) : \(G_B\) ; \(T_{\mathrm{DR}}\) : \(G_{\mathrm{DR}}\) ; \(T_{\mathrm{Hdg}}\) »

a)\(M\) module à connexion intégrable sur \(S\), avec filtration.
b)\(M(p)^{\sigma} \xrightarrow{\ F_p\ } M(p)\) Frobenius […] (théorie des cristaux)
c)\(M(\mathbb{R})\) filtré sur \(S(\mathbb{R})\), muni d'un automorphisme \(F_\infty\) d'ordre \(2\).« analytique » est ajouté au-dessus de « filtré », sur un mot biffé
d)\(B\)\(T\) (Betti) système local sur \(S(\mathbb{C})^{\mathrm{an}}\) (\(\Leftrightarrow \pi_1(S(\mathbb{C})^{\mathrm{an}}, s) \to \operatorname{Aut}(T_s)\))
e)\(T_p\) syst. local sur \(S - S_p\) \(T_p \simeq T \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_p\) sur \(S_{\mathbb{C}}\)
\(\mathrm{f}_\infty\))\(M_{\mathbb{C}}^{\mathrm{an}} \simeq T \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}\)
\(\mathrm{f}_p\))— — — —

« \(\mathrm{f}_\infty\) ) » est écrit sur un « f) » surchargé

feuillet du même tapuscrit, scanné tête-bêche, numéroté 31. Pour \((Y,X)\) un \(S\)-couple lisse de codimension \(1\), \(Y\) défini par \(t = 0\), la suite exacte de Kummer \(0 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \xrightarrow{n} \mathbb{G}_m \to 0\) sur \(U\) donne un morphisme « cobord » \(\delta : j_*\mathbb{G}_m \to R^1j_*\mu_n\), d'où une section \(\delta t\) et, \(n\) annulant \(R^1j_*\mu_n\), le morphisme \((3.9)\ \varepsilon_t : (\mathbb{Z}/n)_Y \to (R^2i^!)(\mathbb{Z}/n)_X \approx i^*(R^1j_*)(\mathbb{Z}/n)_U\), dont on vérifiera que c'est une bijection canonique ; puis « Théorème (3.10) : Soit C la famille des couples lisses de codimension constant. Il existe un fonction et un seul \(\varphi\) donnant pour chaque \(S\)-couple lisse \((Y,X)\) de codimension \(c\) un isomorphisme (dit canonique) de faisceaux ». Interventions à la main : « (IX 3.2) » dans le blanc après « Kummer » ; le \(\Gamma\) de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) corrigé sur un T ; la lettre \(\varphi\) ; après « codimension c », un signe d'insertion renvoyant à la marge gauche : « et chaque \(n\) premier aux caractéristiques résiduelles de \(X\) » ; la formule qui suit, « \((Y,X) : \mathbb{Z}/n \to \underline{H}^{2c}_Y(X, \mu\) », est barrée d'un trait ; accents ajoutés

Conj. de Hodge ([…], généralisée)

Conj. de Tate ([…], généralisée)

Conj. des Frobenius dans Coh. de De Rham (à connexion)

? Conj. du double réseau (revoir)

« Tate groups » ([…], généralisé) sur schémas \(\begin{cases} \text{de t.f.\ sur } \mathbb{Z} \\ \text{de t.f.\ sur corps} \end{cases}\)

« Tate grou[ps] » sur anneaux locaux d'inégales car.

les trois indications de droite (« déc. de Hodge sur \(\mathbb{C}\) », « opération de Galois, conj. Frobenius », « Frobenius cristallin ») sont écrites en colonne en face des trois premières conjectures ; le « ? » est en marge devant « Conj. du double réseau »

Complexe de cotg. des groupes de t.m.

titre souligné

1. Soit \(G = D(M)\), \(M\) un réseau sur \(S\) (\(=\) gpe ct tordu sur \(S\)). Considérons la résolution plate canonique en deux crans \[ (1.1) \qquad 0 \longrightarrow R \xrightarrow{\ v\ } \mathbb{Z}[M] \xrightarrow{\ u\ } M \longrightarrow 0 , \] où \(R = \operatorname{Ker} u\), \(u([m]) = m\). On en déduit, par passage aux duals, une suite exacte \[ (1.2) \qquad 0 \to G \to T \to T' \to 0, \qquad T \simeq \mathbb{G}_m^{M}, \quad T' = D(R) \] \(T \simeq \mathbb{G}_m^M\) et \(T' = D(R)\) sont écrits verticalement sous \(T\), \(T'\) résolvant \(G\) par des tores. (c'est de dim. relative infinie …)

Le triangle de transitivité de Mazur–Roberts donne un isomorphisme […] \[ \ell^{G}_\bullet \simeq [\omega_{T'} \to \omega_T] \simeq [R \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S \to \mathbb{Z}[M] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S] \] i.e. \[ (1.3) \qquad \boxed{\ \ell^{G}_\bullet \simeq \underline{M} \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S\ } \] après l'encadré, « etc » biffé Si […] \(\mathcal{O}_S\) est une \(\Lambda\)-Algèbre (p. ex. \(\Lambda = \mathbb{Q}\), ou \(\Lambda = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)) , \(n\mathcal{O}_S = 0\), i.e. \(\mathcal{O}_S\) une \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)-Algèbre, on peut écrire aussi \[ (1.4) \qquad \boxed{\ \ell^{G}_\bullet \simeq \bigl(M \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \Lambda\bigr) \overset{L}{\otimes}_{\Lambda} \mathcal{O}_S\ } \] les deux \(\Lambda\) sont écrits sur des lettres biffées et si

\(n = p\) (p. ex. \(\Lambda = \mathbb{F}_p\)) […] […] au-dessus de la ligne biffée : « si \(\Lambda\) est un corps, » p. ex. si \(\Lambda\) est un corps, le \(L\) sur le dernier \(\otimes\) est inutile, on peut écrire \[ (1.4') \qquad \ell^{G}_\bullet \simeq \bigl(M \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p\bigr) \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S . \]

1.5« 1.5 » est écrit sur un « 2. » Supposons qu'on ait un revêtement principal \(S'\) de \(S\) de groupe ordinaire \(\pi\) discret ou profini, et que \(M\) provienne par descente d'une revêtement représentation de \(\pi\) dans un groupe abélien \(M_0\) (qu'on suppose continue pour \(\pi\) profini) ; p. ex. si \(M\) est isotrivial (p. ex. à fibres de t. finie et \(S\) connexe normal) et si \(S\) connexe, […] […] dans la situation dite, avec \(S'\) le rev. universel de \(S\) … On a donc un hom. de topos \[ (1.6) \qquad S \xrightarrow{\ f\ } (B_\pi) \] sous \(S\) : « (top. étale, ou fppf, ou fpqc) » ; après \(S\) et après \(B_\pi\), une lettre biffée illisible avec \[ (1.7) \qquad M = f^{-1}(M_0) \] l'exposant \(-1\) est écrit sur une étoile On aura alors, si on annèle \(S\) et \(B_\pi\) par l'anneau constant \(\Lambda\), et envisage \(f\) en conséquence \[ M \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \Lambda = f^*\bigl(M_0 \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \Lambda\bigr) \] numéro de formule surchargé, illisible et par suite on peut écrire \[ (1.8) \qquad \ell^{G}_\bullet \simeq f^*\bigl(M_0 \overset{L}{\otimes}_{\mathbb{Z}} \Lambda\bigr) \overset{L}{\otimes}_{\Lambda} \mathcal{O}_S , \] où le \(L\) sur \(\otimes_\Lambda\) est inutile si \(\Lambda\) est un corps …

2. Notons que si \(\mathcal{O}_S\) est de car. […] l'on tire de (1.3) \[ (2.1) \qquad \begin{cases} \omega_G = \underline{M} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S \\ \underline{n}_G = \underline{\operatorname{Tor}}^{\mathbb{Z}}_1(M, \mathcal{O}_S) \end{cases} \] ce qui s'écrit, si \(S\) est de car. \(p > 0\) \[ (2.2) \qquad \begin{cases} \omega_G = (M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p) \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S = M_p \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S \\ \underline{n}_G \simeq {}_pM \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S \end{cases} \] et si \(M\) est annulé par \(p\), i.e. \(G\) annulé par \(p\), cela devient \[ (2.2') \qquad \omega_G \simeq M \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S, \qquad \underline{n}_G \simeq M \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S \] On a d'autre part une classe canonique \[ \xi \in \operatorname{Ext}^2_{\mathcal{O}_S}\bigl(M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_S, \operatorname{Tor}^{\mathbb{Z}}_1(M, \mathcal{O}_S)\bigr) \] qu'on peut interpréter, en présence d'un \(\Lambda\), comme provenant d'un \[ \xi_\Lambda \in \operatorname{Ext}^2_\Lambda\bigl(M \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda, \operatorname{Tor}^{\mathbb{Z}}_1(M, \Lambda)\bigr) ; \] Supposons p. ex. que \(\Lambda = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), et que \(M\) \(M \otimes \mathbb{Z}\) soit un \(\Lambda\)-module loc. libre de t.f. Alors […] […] […] de \(M \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda \simeq M\) et de \(\operatorname{Tor}^{\mathbb{Z}}_1(M, \Lambda) \simeq {}_nM \simeq M\), et on a donc \[ \xi_\Lambda \in H^2(S, \operatorname{End}(M)) , \] et si \(\mathcal{O}_S\) est plat sur \(\Lambda\) (p. ex. […]) \[ \xi \in H^2(S, \operatorname{End}(E)) \qquad (E = M \otimes_\Lambda \mathcal{O}_S) \] et \(\xi\) se déduit de \(\xi_\Lambda\) par l'hom. can.

\[ H^2(S, \operatorname{End}(M)) \to H^2(S, \operatorname{End}(M) \otimes_\Lambda \mathcal{O}_S) \simeq H^2(S, \operatorname{End}(E)) \] Enfin, sous les conditions de 1.5, \(M_0\) étant aussi plat sur \(\Lambda\), on aura que \(\xi_\Lambda\) est l'image d'un élément \[ \xi_0 \in H^2(B_\pi, \operatorname{End}(M_0)) . \] (NB Pour calculer \(\xi_0\), par fonctorialité en \(\pi\), on est ramené aussitôt au cas « universel » \(\pi = \operatorname{Aut}(M_0)\), et on peut évidemment supposer \(M_0 = \Lambda^d = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d\), donc \(\pi = \mathrm{Gl}(d, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) …) D'après Illusie, c'est l'obstruction à remonter la représentation de \(\pi\) dans \(M_0\) en une représentation dans un module libre sur \(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\). Lorsque \(n = p\) (premier), elle est évidemment nulle si \(M_0\) est de rang \(\le 1\), mais sans doute pas nulle si \(M_0\) de rang \(\ge 2\), dans le cas universel \(\pi = \mathrm{Gl}(d, \mathbb{F}_p)\). « Lorsque \(n = p\) (premier) » est ajouté au-dessus de « Elle », et relié à la ligne

Notons que si le rev. \(S'\) de \(S\) est le rev. universel, alors \[ H^2(B_\pi, -) \longrightarrow H^2(S, -) \] est injectif, donc on trouve un élément […] une donnée \(\xi_\Lambda \in H^2(S, \operatorname{End}(M))\).