Fonds Grothendieck, cote n° 8, pages 1–20

encadré en haut à gauche : C\colon \omega \to \omega^{(p)}, \Pi\colon \nu^{(p)} \to \nu

deux triangles dessinés à gauche, chacun « \simeq » à un triangle explicite à droite ; le sommet du second triangle de gauche est surchargé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \check{\ell}^{\,G^*}_\bullet = \ell \arrow[dl, "(1)"'] & \\ \ell^{G}_\bullet[-1] \arrow[rr] & & \Delta^*(G) \arrow[ul] \end{tikzcd}

\simeq

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & {[\omega \xrightarrow{C} \omega^{(p)}]} \arrow[dl, "{(\mathrm{id},0)}"'] & \\ {[\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega]} \arrow[rr, "{(\mathrm{id},C)}"'] & & {[\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}]} \arrow[ul, "{(0,\mathrm{id})}"'] \end{tikzcd}

la flèche (\mathrm{id},0) porte « deg 1 » ; un mot biffé devant elle est illisible

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \ell^{G(p)}_\bullet[1] \arrow[dl, "(1)"'] & \\ \check{\ell}^{\,G^*(p)}_\bullet \arrow[rr] & & \Delta^*(G) \arrow[ul] \end{tikzcd}

\simeq

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & {[\omega^{(p^2)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}]} \arrow[dl, "{(\mathrm{id},0)}"'] & \\ {[\omega^{(p)} \xrightarrow{C^{(p)}} \omega^{(p^2)}]} \arrow[rr, "{(\mathrm{id},0)}"'] & & {[\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}]} \arrow[ul, "{(C,\mathrm{id})}"'] \end{tikzcd}

le sommet du premier triangle de droite de la seconde ligne se lit \ell^{G(p)}_\bullet[1] sous une surcharge (« = p^{(p)} ») ; sous la base gauche, « \| \; \ell^{(p)} ». La flèche (\mathrm{id},0) porte de nouveau « deg 1 »

\begin{array}{c} S_{\mathrm{cris}} \\ \downarrow \varphi \\ S_{\mathrm{zar}} \end{array} \ \Big)\,\varepsilon \qquad \varphi\varepsilon = F_S (frobenius absolu)

\Delta^*(G) complexe cristallin avec F, V, filtration à facteurs \bigl(\varphi^*(Q), \varphi^*(P)\bigr) + filtration sur \Delta^*(G) = \varepsilon^*(\Delta(G)) à facteurs P, Q.

\varphi^*(\omega) \xrightarrow{\ \varphi^*(C)\ } \varphi^*(\omega^{p}), \qquad \varphi^*(\omega) = \mathbb{D}^*(G), \quad \varphi^*(\omega^{p}) = \mathbb{D}^*(G)^{(p)}, \qquad V \downarrow, \quad F = 0 \leftarrow schéma en carré : V descend de \varphi^*(C), et une flèche « F = 0 » revient de \mathbb{D}^*(G)^{(p)} vers \mathbb{D}^*(G)

\mathcal{M} \underset{F}{\overset{V}{\rightleftarrows}} \mathcal{M}^{(p)}, \qquad \mathcal{M} = \mathbb{D}^*(G), ~~\Delta^*(G) = \varepsilon^*(\mathcal{M})^{\circ}~~ \Delta^*(G) = [\varepsilon^*(\mathcal{M}) \xrightarrow{0} \varepsilon^*(\mathcal{M})] = \varepsilon^*[\mathcal{M} \to \mathcal{M}], avec une flèche de \mathcal{M} \rightleftarrows \mathcal{M}^{(p)} vers [\varepsilon^*(\mathcal{M}) \xrightarrow{0} \varepsilon^*(\mathcal{M})].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & {[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}]} \arrow[dl, "{(\mathrm{id},0)}"'] & \\ {[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}^{(p)}]} \arrow[rr, "{(\mathrm{id},0)}"'] & & {\Delta^*(G) = [\mathcal{M} \xrightarrow{0} \mathcal{M}]} \arrow[ul, "{(V,\mathrm{id})}"'] \end{tikzcd}

les exposants des deux crochets sont surchargés ; la lecture \mathcal{M}^{(p)} aux deux places est douteuse. La flèche (\mathrm{id},0) de gauche porte « deg 1 »

0 \to {}_F\mathcal{M}^{(p)} \to \mathcal{M} \to {}_V\mathcal{M}^{(p)} \to

gpes finis loc. libres annulés par p en car. p.

a) Cristal (loc. libre de type fini ?) \mathcal{M} sur S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p avec \mathcal{M}^{(p)} \underset{V_{\mathcal{M}}}{\overset{F_{\mathcal{M}}}{\rightleftarrows}} \mathcal{M} satisfaisant FV = VF = 0.

On en déduit complexe cristallin parfait, d'amplitude parfaite \subset [0,1], \Delta^* = \Delta^*(\mathcal{M}), \qquad \mathcal{H}^0(\Delta^*) \simeq \mathcal{H}^1(\Delta^*) \simeq \mathcal{M} avec F_{\Delta^*}, V_{\Delta^*} satisfaisant F_{\Delta^*}V_{\Delta^*} = 0, V_{\Delta^*}F_{\Delta^*} = 0, et triangles exacts

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & {[\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}]} \arrow[dl, "{\partial_{\mathrm{I}},\ 1}"'] & \\ {[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}]} \arrow[rr, "i_{\mathrm{I}}"'] & & \Delta^{*(p)} \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{I}}"'] \end{tikzcd}

(\mathrm{I})_{\mathrm{cris}}, \Delta^{*(p)} \simeq \varphi^*(\Delta^*) (\Delta^* = \varepsilon^*(\Delta^*))

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & {[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}]} \arrow[dl, "{\partial_{\mathrm{II}},\ 1}"'] & \\ {[\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}]} \arrow[rr, "i_{\mathrm{II}}"'] & & \Delta^* \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{II}}"'] \end{tikzcd}

(\mathrm{II})_{\mathrm{cris}}

la flèche horizontale de (\mathrm{I}) est notée \partial_{\mathrm{I}} ou i_{\mathrm{I}} selon l'endroit ; on garde i_{\mathrm{I}}

N.B. Les complexes \ell^{\,\cdot}_\bullet(\mathcal{M}) = [\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}] (F nul), \ell^{\,\prime}_\bullet(\mathcal{M}) = (\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}) (V nul), \Delta^*(\mathcal{M}), avec (F, V) , les triangles exacts (\mathrm{I}), (\mathrm{II}) sont compatibles avec (F,V)-structure encadré à droite, dont le début (« N.B. ») et les lignes suivantes sont serrés ; « (F nul) », « (V nul) » écrits en marge des deux premières lignes

b) Complexes parfaits \ell_\bullet, \ell'_\bullet sur S_{\mathrm{zar}}, d'amplitude parfaits \subset [-1,0], ~~triangle exact~~ (III) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \check{\ell}'_\bullet \arrow[dl, "\partial_0"'] & \\ \ell_\bullet[-1] \arrow[rr, "i_0"'] & & \Delta^* \arrow[ul, "\pi_0"'] \end{tikzcd}

\Delta^* \overset{\mathrm{df}}{=} \varepsilon^*(\Delta^*)

au-dessus de b), entouré : « (F,V)- », et « d'amplitude » repris à côté

\varphi^*(\ell_\bullet[-1]) \overset{\alpha}{\simeq} [\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}] \qquad \varphi^*(\check{\ell}'_\bullet) \simeq [\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}] fournissant un isom. de (\mathrm{I}_{\mathrm{cris}}) avec \varphi^*(\mathrm{III})

le passage suivant est entre crochets [d'où, posant M = \varepsilon^*(\mathcal{M}) loc. libre sur S_{\mathrm{zar}}, avec connexion à courbure nulle, \ell_\bullet[-1]^{(p)} \simeq [M^{(p)} \xrightarrow{F_M} M], \qquad \check{\ell}'_\bullet{}^{(p)} \simeq [M \xrightarrow{V_M} M^{(p)}] \quad ! \;] comp. avec connexion

Compatibilités : Posons \begin{cases} \pi_0\, \varepsilon^*(i_{\mathrm{II}}) \text{ ``$=$'' } F_{\check\ell'_\bullet} = {}^tV_{\ell'_\bullet} \\ \varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, i_0 \text{ ``$=$'' } V_{\ell_\bullet}[-1] \end{cases}

feuillet écrit tête-bêche par rapport au scan ; on le lit retourné. Deux longs traits de crayon le traversent en biais sans le biffer

G gpe fini loc. libre, annulé par p, en car. p>0 ; on lui associe (conjecturalement) :

a) \mathbb{D}^*(G) Module (de présentation finie ? loc. libre de type fini ?) sur S_{\mathrm{cris}} (topos cristallin de Berthelot de S sur \mathbb{F}_p) [fonctoriel en G, donc] \mathbb{D}^*(G)^{(p)} \underset{V}{\overset{F}{\rightleftarrows}} \mathbb{D}^*(G) avec FV = 0, VF = 0

b) homomorphismes « b) homomorphismes » reste sans suite ; la ligne suivante, serrée contre elle, commence par c) c) des complexes \ell^{G}_\bullet et \ell^{G^*}_\bullet sur S, parfaits d'amplitude parfaits dans [-1,0], et un hom (\ell^{G^*}_\bullet)^{\vee} \xrightarrow{\ \pi\ } \ell^{G}_\bullet i.e. un hom \underline{O}_S \longrightarrow \ell^{G^*}_\bullet \overset{L}{\otimes} \ell^{G}_\bullet

d) ~~Deux~~ Un triangles exacts sur S_{\mathrm{cris}}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \varphi^*(\ell^{G^*}_\bullet)^*[-1] \arrow[dl, "\partial"'] & \\ \varphi^*(\check{\ell}^{\,G^*}_\bullet) \arrow[rr] & & \Delta^*_{\mathrm{cris}}(G) \arrow[ul] \end{tikzcd}

\bigl[\,\varphi^*(\pi)\colon \underline{O}_{S_{\mathrm{cris}}} \xrightarrow{\ 2\ } \varphi^*(\check{\ell}^{\,G}_\bullet \otimes \check{\ell}^{\,G^*}_\bullet)\,\bigr]

(qui détermine donc \Delta^*_{\mathrm{cris}}(G) : isom. (à un unique près) et des isom. \mathcal{H}^0(\Delta^*_{\mathrm{cris}}(G)) \simeq \mathbb{D}^*(G), \qquad \mathcal{H}^1(\Delta^*_{\mathrm{cris}}(G)) \simeq \mathbb{D}^*(G) .

(d'où par application de \varepsilon^* un triangle

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & (\ell^{G}_\bullet)^{(p)}[-1] \arrow[dl, "\varepsilon^*(\partial)"'] & \\ (\check{\ell}^{\,G^*}_\bullet)^{(p)} \arrow[rr] & & \Delta^*(G) \arrow[ul] \end{tikzcd}

\Delta^*(G) = \varepsilon^*(\Delta^*_{\mathrm{cris}}(G))

e) Un triangle exact la page s'arrête là

\begin{array}{ll} V_{\ell_\bullet}\colon \ell_\bullet \to \ell^{(p)}_\bullet & F_{\ell_\bullet} = 0\colon \ell^{(p)}_\bullet \to \ell_\bullet \\ V_{\ell'_\bullet}\colon \ell'_\bullet \to \ell'^{(p)}_\bullet & F_{\ell'_\bullet} = 0\colon \ell'^{(p)}_\bullet \to \ell'_\bullet \end{array}

1) Le triangle (III) est compatible avec (F,V)-structures : à prouver !

2) L'isom. \varphi^*(\mathrm{III}) = \mathrm{I} compatible avec (F,V)-structures. « isom. » est souligné d'un trait ondulé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Delta^{*p} \arrow[rr, "F_{\Delta^*}"] \arrow[dr, "\pi_0^{(p)}"'] & & \Delta^* \\ & \check\ell'^{(p)}_\bullet \arrow[ur, "\varepsilon^*(i_{\mathrm{II}})"'] & \end{tikzcd}

sous \pi_0^{(p)} : « \varepsilon^*(\varphi^*(\pi_\cdot)) = \varepsilon^*(\pi_{\mathrm{I}}) » implique que i_0 comp. avec F

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Delta^* \arrow[rr, "V_{\Delta^*}"] \arrow[dr, "\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})"'] & & \Delta^{*(p)} \\ & \ell^{(p)}_\bullet[-1] \arrow[ur, "{i_0^{(p)}}"'] & \end{tikzcd}

i_0^{(p)} = \varepsilon^*\varphi^*(i_0) = \varepsilon^*(i_{\mathrm{I}}) implique que \pi_0 compatible avec V

i_0 compatible avec V :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \ell_\bullet[-1] \arrow[r, "i_0"] \arrow[d, "{V_{\ell_\bullet}[-1]}"'] & \Delta^* \arrow[d, "V_{\Delta^*}"] \arrow[dr, "\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})"] & \\ \ell_\bullet[-1]^{(p)} \arrow[r, "i_0^{(p)}"'] & \Delta^{*(p)} & \ell^{(p)}_\bullet[-1] \arrow[l, "i_0^{(p)}"] \end{tikzcd}

OK.

\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, i_0 \ne V_{\ell_\bullet}[-1] le signe entre les deux membres est une égalité barrée ; la lecture « \ne » reste douteuse

On voit de même que \pi_0 compatible avec F.

\partial_0 compatible avec F :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \check\ell'^{(p)}_\bullet \arrow[r, "{\pi_0\,\varepsilon^*(i_{\mathrm{II}})}"] \arrow[d, "\partial_0^{(p)}"'] & \check\ell'_\bullet \arrow[d, "\partial_0"] \\ \ell_\bullet[-1]^{(p)} \arrow[r, "0"'] & \ell_\bullet[-1] \end{tikzcd}

\partial_0\, \pi_0\, \varepsilon^*(i_{\mathrm{II}}) = 0

On voit de même \partial_0 compatible avec V.

2) À prouver que \begin{cases} \varphi^*(V_{\ell_\bullet}[-1]) = V_{[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}]} \\ \varphi^*(F_{\check\ell'_\bullet}[-1]) = F_{[\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}]} \end{cases} \varphi^*(V_{\ell_\bullet}[-1]) = \varphi^*(\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, i_0) = \varphi^*\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, \varphi^*(i_0) = \bigl[\pi_{\mathrm{II}}^{(p)}\, i_{\mathrm{I}} = V_{[\mathcal{M}^{(p)} \to \mathcal{M}]}\bigr] et l'autre relation se prouve de même !!

feuillet de tapuscrit dactylographié, numéroté 35 à l'encre en haut à droite, sans rapport avec les notes manuscrites voisines ; il est gardé parce qu'il porte des reprises à la main, et le texte tapé n'est pas recomposé. Il achève une démonstration : puisque (5.1)(iii) est vrai pour (g, \bar f, \bar G) et pour (g', \pi, \bar G), les faisceaux R^q\bar f'_*(\bar g^*\bar G) et R^q\pi'_*(\bar g^*\bar G) sont nuls pour q>0 ; la suite spectrale de Leray E_2^{p,q} = R^pf'_*(R^q\pi'_*(\bar g^*\bar G)) \Rightarrow R^n\bar f'_*(\bar G) donne R^pf'_*(\pi'_*\bar g^*\bar G) = 0 pour p>0, et l'injection \pi_*\bar F \to \pi_*\bar G est un effacement des foncteurs (R^pf'_*)g'^* dans la catégorie des faisceaux de torsion. Puis « Lemme (8.4) : Il suffit de vérifier le théorème (5.1)(i) (resp. (i) et (ii), resp. (iii)) pour (g, f, F) avec f projectif », et le début de sa démonstration (réduction, d'après (6.5) avec P la propriété vide, au cas S strictement local et g l'inclusion du point fermé ; famille \mathfrak{F} des sous-préschémas fermés h\colon Y \to X contenant la fibre fermée X_0 ; morphisme H^q(X,F) \to H^q(X, h_*h^*F)). Les parenthèses, les étoiles et plusieurs lettres des formules sont repassées à l'encre. Interventions à la main : « s'ensuit » biffé et remplacé au-dessus par « résulte » ; après « torsion » un renvoi entre parenthèses, lu « (IX 1.2 (v)) » (lecture douteuse) ; un crochet double en marge droite à la fin du paragraphe ; « applicable » biffé et remplacé au-dessus par « pertinent, »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathcal{M} \arrow[r, "V"] \arrow[d, "V"'] & \mathcal{M}^{(p)} \arrow[d, "V^{(p)}"] \\ \mathcal{M}^{(p)} \arrow[r, "V^{(p)}"'] & \mathcal{M}^{(p^2)} \end{tikzcd}

une flèche F remonte à gauche, et {}^tF est inscrit au milieu ; à côté : « V^{(p)}F »

\mathcal{M}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & B \arrow[dl, "\partial_{\mathrm{I}}"'] & \\ A \arrow[rr, "i_{\mathrm{I}}"'] & & \mathfrak{X}^p \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{I}}"'] \end{tikzcd}

(I)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & A \arrow[dl, "\partial_{\mathrm{II}}"'] & \\ B \arrow[rr, "i_{\mathrm{II}}"'] & & \mathfrak{X} \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{II}}"'] \end{tikzcd}

(II)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & A^p \arrow[dl, "\partial_{\mathrm{II}}^{(p)}"'] & \\ B^p \arrow[rr, "i_{\mathrm{II}}^{(p)}"'] & & \mathfrak{X}^p \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{II}}^{(p)}"'] \end{tikzcd}

(\mathrm{II}^{(p)})

encadré à gauche : \begin{array}{ll} \pi_{\mathrm{I}} : & \mathfrak{X}^{p} \underset{V_{\mathfrak{X}}}{\overset{F_{\mathfrak{X}}}{\rightleftarrows}} \mathfrak{X} \\ i_{\mathrm{I}}\,\pi_{\mathrm{II}} : & \mathfrak{X} \xrightarrow{V_{\mathfrak{X}}} \mathfrak{X}^{p} \end{array} le premier membre de gauche, surchargé, se lit \pi_{\mathrm{II}}^{(p)}\, i_{\mathrm{I}} ou \pi_{\mathrm{I}}

\left\lbrace \begin{array}{lll} \partial_{\mathrm{I}}\,\partial_{\mathrm{II}} : & A^{2} \to A & (\mathrm{nul}\,?) \\ \partial_{\mathrm{II}}\,\partial_{\mathrm{I}} : & B^{2} \to B & (\mathrm{nul}\,?) \\ \pi_{\mathrm{II}}^{(p)}\,\partial_{\mathrm{I}} : & A \xrightarrow{V_A} A^{(p)} & \\ \pi_{\mathrm{I}}\,, i_{\mathrm{II}}^{(p)} : & B^{p} \xrightarrow{F_B} B & \end{array} \right. « nul ? » entouré deux fois ; les exposants « 2 » sont écrits sur des p ; une accolade relie ces lignes à « \mathcal{M} » plus bas

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \varphi^*(b) \arrow[dl, "{\partial_{\mathrm{I}} = \varphi^*(\partial_0)}"'] & \\ \varphi^*(a) \arrow[rr, "{i_{\mathrm{I}} = \varphi^*(i_0)}"'] & & \mathfrak{X}^p \arrow[ul, "{\pi_{\mathrm{I}} = \varphi^*(\pi_0)}"'] \end{tikzcd}

\varphi^*(\mathrm{III}) \simeq (\mathrm{I})

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & b \arrow[dl, "\partial_0"'] & \\ a \arrow[rr, "i_0"'] & & \mathfrak{X} \arrow[ul, "\pi_0"'] \end{tikzcd}

III

\begin{array}{ccccccc} 0 & \to & \mathcal{M} & \to & \mathcal{M}^p & \to & \cdot \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \\ & \mathcal{M}^p & \to & \mathcal{M} & \to & 0 & \to \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \\ & \mathcal{M} & \to & \mathcal{M}^p & \to & 0 & \to \end{array} esquisse de gauche, rattachée par une accolade à l'encadré ; les zéros et les flèches sont incertains

\varepsilon^*(\mathrm{I}) \simeq \mathrm{II}^{(p)} :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & b^p \arrow[dl, "\partial_0^{(p)}"'] & \\ a^p \arrow[rr, "i_0^{(p)}"'] & & X^p \arrow[ul, "\pi_0^{(p)}"'] \end{tikzcd}

\varepsilon^*(\mathrm{II}) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & a^p \arrow[dl, "\varepsilon^*(\partial_{\mathrm{II}})"'] & \\ b^p \arrow[rr, "\varepsilon^*(i_{\mathrm{II}})"'] & & X \arrow[ul, "\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})"'] \end{tikzcd}

triangles compatibles avec F-V structures

\begin{array}{ll} \mathfrak{X}^p \to B \to \mathfrak{X} & \mathfrak{X} \to A \to \mathfrak{X}^{(p)} \\ X^{(p)} \to b^{(p)} \to X & X \to a^{(p)} \to X^{(p)} \end{array}

encadré du bas : \left\lbrace \begin{array}{ll} \pi_0\, \varepsilon^*(i_{\mathrm{II}}) : & b^{(p)} \xrightarrow{F_b} b \quad ? \\ \varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, i_0 : & a \xrightarrow{V_a} a^{(p)} \quad ? \end{array} \right.

feuillet du même tapuscrit, numéroté 37.1 à l'encre. Suite d'une démonstration : les flèches verticales (d'un diagramme sur la page précédente du tapuscrit) sont injectives (6.6) ; \alpha_0 \in H^0(X_0,F_0) se relève à H^0(X,F) si et seulement si son image se relève dans H^0(X_0,G_0), avec G = (h_*h^*F) \times (\pi_*\pi^*F) ; appliquant (5.1)(i) à (g,\pi,\cdot) et à (g,\bar f,\cdot) on conclut que H^0(X, \pi_*\pi^*F) \xrightarrow{\sim} H^0(X_0, (\pi_*\pi^*F)_0), ce qui achève la démonstration dans ce cas. Puis, supposant (5.1)(i) vrai et (5.1)(ii) vrai pour chaque morphisme projectif, pour F un faisceau de groupes ind-finis sur X, les applications H^1(X,F) \xrightarrow{u} H^1(Y,h^*F) \xrightarrow{v} H^1(X_0,F_0), avec vu injectif (6.1), et la surjectivité de u à démontrer ; « d'après (8.2(ii)) appliqué à f_Y\colon Y \to S », injection h^*F \to G^* ; « Soit j\colon X' \to X l'image (réduite) de \pi\colon \bar X \to X ». Interventions à la main : en marge gauche, « un peu bref, faire l'argument » (lecture douteuse), en regard de « on conclut que », souligné ; à la fin du paragraphe, « (5.1.(i)) » ajouté ; « (8.2 (ii)) » écrit à l'encre sur un renvoi tapé ; entourée à la suite de « soit nulle », la parenthèse « (avec la structure induite) », rattachée par un trait à « (réduite) » ; « des » ajouté au-dessus de « fermé » ; nombreuses lettres et accents repassés

Groupes loc. lib. en car. p (par ex. annulés par p)

a) Cristal de prés. finie sur S_{\mathrm{cris}}/\struck{\ill{}}\,\mathbb{Z}_p ~~(par ex. De )~~ d'amplitude parfaite \subset [-1,0], soit \mathcal{M}, avec structures F_{\mathcal{M}} et V_{\mathcal{M}}.

On en déduit deux triangles exacts de complexes avec F, V sur S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/V \arrow[dl, "\partial_{\mathrm{I}}"'] & \\ \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/F \arrow[rr, "i_{\mathrm{I}}"'] & & \mathcal{M}^{(p)}\overset{L}{\otimes}/p \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{I}}"'] \end{tikzcd}

(I), \mathcal{M}^{(p)}\overset{L}{\otimes}/p \simeq \varphi^*(\Delta^*) \Delta^* = \varepsilon^*(\Delta^*)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/F \arrow[dl] & \\ \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/V \arrow[rr] & & \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/p = \Delta^* \arrow[ul] \end{tikzcd}

(II)

sous le sommet droit de (I), une expression biffée « (\mathcal{M}) » ; sous (II) : « \simeq^{\mathrm{dbs}} \overset{L}{\otimes}\,\Delta^*(\mathcal{M}) » (lecture douteuse)

\alpha\colon S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p \hookrightarrow S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{Z}_p

b) Descente à S_{\mathrm{zar}} (via \varphi) de la « filtration » (I) sur \varphi^*(\Delta^*), ou un triangle exact

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \check\ell'_\bullet \arrow[dl, "\partial_0"'] & \\ \ell_\bullet[-1] \arrow[rr, "i_0"'] & & \Delta^* \arrow[ul, "\pi_0"'] \end{tikzcd}

Prolongement à un épaississement à puiss. div. S' de S (i.e. avec \mathfrak{p} = \underline{\mathrm{Var}}(p.\,\mathcal{I}_S)) On considère \mathcal{M} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathcal{O}_{S'} = \Delta^*(S'), qui prolonge \Delta^*, et il faut se donner un prolongement de la filtration b) de \Delta^* en

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \bar{\check\ell}'_\bullet \arrow[dl, "\bar\partial_0"'] & \\ \bar\ell_\bullet[-1] \arrow[rr, "\bar i_0"'] & & \Delta^*(S') \arrow[ul, "\pi_0"'] \end{tikzcd}

feuillet du même tapuscrit, écrit tête-bêche par rapport au scan, numéroté 32 à l'encre ; deux flèches verticales au crayon y sont tracées, sans rapport lisible avec les notes. Texte : l'assertion (iii) se traite de façon analogue ; les foncteurs g^*(R^qf_*) étant effaçables pour q>0 dans la catégorie des faisceaux de torsion, la bijectivité de \varphi^n pour F implique l'effaçabilité de (R^nf'_*)g'^* pour F ; inversement, supposant \varphi^{n-1} bijectif pour (g,f,\cdot) et (R^nf'_*)g'^* effaçable pour F, et F \to G un effacement de (R^{n-1}f'_*)g'^* avec G de torsion, C = G/F, on complète le diagramme (*) de deux suites exactes longues reliées par \varphi^{n-1}, \varphi^{n}. Interventions à la main : le renvoi « (8.1) » écrit à l'encre dans une parenthèse laissée vide ; les \varphi encrés, cédilles et accents ajoutés

a) Les catégories de structures a) b) introduites précédemment définissent-elles des champs sur S_{\mathrm{zar}} ?

b) Le foncteur « restriction partiel » (de \mathcal{C} dans b)) allant vers les cristaux \mathcal{M} sur S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p est-il fidèle ?

c) Le foncteur naturel Mais des modules loc. libres \omega sur S_{\mathrm{zar}}, avec F_\omega, V_\omega, vers les structures a), b), est-il pleinement fidèle (NB il est fidèle) ; l'est-il du moins ~~si F_\omega~~ sur la sous-catégorie définie par F_\omega = 0 ; l'est-il sur la sous-catégorie où \operatorname{Ker} F = \operatorname{Im} V ?

d) Peut-on à (\omega, F_\omega, V_\omega) associer un schéma en groupes fini loc. libre sur S ?

que les ~~H^0(\mathcal{C}) \to H_0(\check\ell'[1]) \to \cdots~~ \cdots \to H_1(\ell) \to H_1(\check\ell) 0 \to t^* \to \omega nul, et \omega^* et t^* loc. libres note écrite en biais dans la marge gauche, en regard de b) ; en partie biffée et encadrée, lue par fragments

Cas des groupes de BT tronqués annulés par p.

Signifie que F_{\mathcal{M}}, V_{\mathcal{M}} forment suite exacte \Longleftrightarrow F_M, V_M forment suite exacte …

Alors la donnée b) implique, passant aux \underline{H}^1 \Bigl[\omega = \underline{H}^1(\ell_\bullet[-1]) = \underline{H}^0(\ell_\bullet), \quad \nu' = \underline{H}^1(\check\ell'_\bullet)\Bigr] (\omega, \nu' loc. libres) M (= \varepsilon^*(\mathcal{M})) filtré par 0 \to \omega \to M \to \nu' \to 0 de façon que dans 0 \to \varphi^*(\omega) \to \varphi^*(M) \to \varphi^*(\nu') \to 0, \qquad \varphi^*(M) = \mathcal{M}^{(p)}, \varphi^*(\omega) ne soit autre que \operatorname{Im}(\mathcal{M} \xrightarrow{V_{\mathcal{M}}} \mathcal{M}^{(p)}).

Cela détermine \omega de façon unique !

De même, passant aux \underline{H}^0, on trouve \Bigl[n = \underline{H}^0(\ell_\bullet[-1]) = \underline{H}^{-1}(\ell_\bullet), \quad t' = \underline{H}^0(\check\ell'_\bullet)\Bigr] 0 \to n \to M \to t' \to 0 de façon que dans 0 \to \varphi^*(n) \to \varphi^*(M) \to \varphi^*(t') \to 0 on ait \varphi^*(n) = \operatorname{Ker}(\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F_{\mathcal{M}}} \mathcal{M}) . Comme \operatorname{Ker} F_{\mathcal{M}} = \operatorname{Im} V_{\mathcal{M}}, on conclut \varphi^*(n) = \varphi^*(\omega), d'où \boxed{n = \omega}, \quad \boxed{t' = \nu'} .

La seule donnée de \mathcal{M}, F_{\mathcal{M}}, V_{\mathcal{M}} (\Rightarrow \omega \subset M = \varphi^*(\mathcal{M})) permet-elle de reconstituer toute la donnée b) ? On voit qu'on pourra construire \omega \xrightarrow{V_\omega} \omega^{(p)}, \qquad t'^{(p)} \xrightarrow{F_{t'}} t' \qquad \bigl(\omega' = \check t', \ \omega' \xrightarrow{V_{\omega'}} \omega'^{(p)}, \ V_{\omega'} = {}^tF_{t'}\bigr) Car : \omega^{(p)} = \operatorname{Im}(M \xrightarrow{V_M} M^{(p)}), donc V_M/\omega … la fin de la ligne se lit « V_M|\omega \omega dans \omega^{(p)} », douteux t'^{(p)} = \operatorname{Coker}(M \xrightarrow{V_M} M^{(p)}), donc F_M\colon M^{(p)} \to M se factorise par t'^{(p)} \hookrightarrow M, d'où F_{t'}\colon t'^{(p)} \hookrightarrow M \to t'.

en bas à gauche, un petit diagramme griffonné et biffé : M \twoheadrightarrow \omega, V_M, F_\omega, M^{(p)}, M \twoheadrightarrow t, M^{(p)} \twoheadrightarrow t ; illisible dans le détail

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] M \arrow[r, two heads] \arrow[d, "V_M"'] \arrow[dr, "\mathrm{\acute{e}pi}", two heads] & \omega \arrow[d, "V_\omega"] \\ M^p \arrow[r, two heads] & \omega^{(p)} \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] M^p \arrow[r, two heads] & t' \\ M^{(p)} \arrow[u] \arrow[r] & t'^{(p)} \arrow[u, "F_t"'] \arrow[ul, hook] \end{tikzcd}

~~On peut dans former~~ On aura

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & t^p \arrow[d] \arrow[dr, "F_{t'}"] & \\ 0 \arrow[r] & M \arrow[r] \arrow[d] & t' \arrow[r] & 0 \\ \omega \arrow[ur] \arrow[r, "V_\omega"'] & \omega^p \arrow[d] & & \\ & 0 & & \end{tikzcd}

l'esquisse est incomplète : au-dessus de t^p un pointillé vertical ; à gauche de t^p un mot biffé et noirci ; la ligne horizontale se lit « 0 - \omega - M - t' - 0 », sans pointes de flèches, et la place de \omega dans le tikzcd n'est qu'approchée

feuillet du même tapuscrit, numéroté 33 à l'encre. Fin de la démonstration précédente (injectivité et surjectivité de \varphi^n par un effacement F \to G de (R^nf'_*)g'^* avec G de torsion, C = G/F, et le diagramme (*) complété par un 0) ; puis « Lemme (8.3) : Soit X \xleftarrow{\pi} \bar X, f\colon X \to S, \bar f\colon \bar X \to S un diagramme commutatif de morphismes propres. Supposons que \pi soit surjectif », changement de base g\colon S' \to S, g'\colon X' \to X, \bar g\colon \bar X' \to \bar X ; (i), (ii), (iii) comme dans (5.1) ; le début de la démonstration, encadré et hachuré. Interventions à la main : « signe » biffé et remplacé par « "prime" » et « l'effet d'un » ; « réduits » biffé et remplacé par « canoniques » ; tout l'énoncé (i) « Si (5.1)(i) est vrai pour (g,\bar f,\cdot) et pour (g',\pi,\cdot) il l'est pour (g,f,\cdot) » biffé, suivi de « Assertion vide » ; dans (ii), une ligne tapée biffée et « (5.1(ii)) » repassé ; dans (iii), « et » biffé et une virgule ajoutée ; le paragraphe « Démonstration. (i) : Supposons d'abord que le faisceau F sur X est de la forme F = \pi_*G. On a » encadré et hachuré en diagonale

\mathbf{M} 0 \to G \hookrightarrow G' \twoheadrightarrow G'' \to 0 X_{\mathrm{cris}\,0} \hookrightarrow X_{\mathrm{cris}/n} \qquad\qquad \mathcal{M}'' \longrightarrow \mathcal{M}' les deux dernières expressions sont isolées sur la page, sans texte

1°) Cristal de prés. finie \mathcal{M}, sur S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p avec F_{\mathcal{M}}, V_{\mathcal{M}}, … d'où

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & L^{\prime}(\mathcal{M}) \arrow[dl] & \\ L_\bullet(\mathcal{M}) \arrow[rr, no head] & & \Delta^*(\mathcal{M})^{(p)} \arrow[ul] \end{tikzcd}

\mathrm{I}(\mathcal{M})

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & L_\bullet(\mathcal{M}) \arrow[dl] & \\ L'(\mathcal{M}) \arrow[rr, no head] & & \Delta^*(\mathcal{M}) \arrow[ul] \end{tikzcd}

\mathrm{II}(\mathcal{M})

les flèches horizontales sont de simples traits

Lui \varepsilon^*(\mathcal{M}) = M

2°) Triangles

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathcal{T}_1 \arrow[dl] & \\ \mathcal{T}_0 \arrow[rr, no head] & & \mathcal{T}_1 \arrow[ul] \end{tikzcd}

\mathcal{T} : (ou F-V-triangles ?)

le sommet du triangle se lit \mathcal{T}_1 comme le coin droit ; l'un des deux est vraisemblablement un autre indice

Syst. de complexes parfaits d'ampl. parfaite \subset [-1,0]

3°) Isom. de (cristaux) triangles (ou F-V-triangles ?) \varphi^*(\mathcal{T}) \overset{\alpha}{\simeq} \mathrm{I}(\mathcal{M})

4°) Isom. (ou F-V-isom ?) \mathcal{T}_1 \overset{\beta}{\simeq} \varepsilon^*(\Delta^*(\mathcal{M})) \ \struck{\ill{}} tel qu'on ait commutativité

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \varphi^*(\mathcal{T}_1) \arrow[r, "\alpha_1"] \arrow[dr, "\varphi^*(\beta)"'] & \Delta^*(\mathcal{M})^{(p)} \\ & \varphi^*\varepsilon^*(\Delta^*(\mathcal{M})) \simeq \Delta^*(\mathcal{M})^{(p)} \arrow[u, Rightarrow, "\mathrm{id}"'] \end{tikzcd}

toute la page est barrée de deux longs traits de crayon en diagonale ; elle est transcrite sous eux

(3) Indéterminations dans ces données, pour (\mathcal{M},T) (i.e. G) fixé. le « 3 » est cerclé ; un petit tiret orange le précède

La catégorie des données en question est « un torseur » sous la catégorie des torseurs sous \mu_2 sur \mathcal{A}, donc l'ensemble des classes d'isomorphisme de ces structures i.e. aussi loc. val. à l'un des deux-groupes \mathbb{Z}_p^*/\mathbb{Z}_p^{*2} est H^1(\mathcal{A}, \mu_2) \simeq \prod_p \mathbb{Q}_p^*/\mathbb{Q}_p^{*2} , l'ensemble des automorphismes d'un objet de la catégorie est H^0(\mathcal{A}, \mu_2) = \prod_p (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) . « un torseur sous » est répété sous la ligne et relié par un trait ; entre les deux formules, une note de marge gauche dont on ne lit que « renforcement ! »

(4) Rigidité de \mathcal{M} par les structures envisagées. le « 4 » est cerclé

Soit (\mathcal{M}',T') des mêmes données que (\mathcal{M},T). On se demande de déterminer la catégorie des équivalences (\mathcal{M}, T, T_{\mathcal{A}'}, u_{\mathcal{A}'}, t_\infty, t_p) \longrightarrow (\mathcal{M}', T' \ \mathrm{etc.}) au-dessus de T_{\mathcal{A}'}, u_{\mathcal{A}'} une accolade marquée « t_{\mathcal{A}'} » Cette catégorie est vide, ou ~~elle forme~~ un torseur sous la catégorie des torseurs sous \mu_2 sur \mathbb{Q}, munis d'une trivialisation au-dessus de \mathcal{A}. Cette dernière catégorie a comme d'objets à isom. près le groupe H^1(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}, \mu_2) \simeq_2 \Bigl(\prod_p \mathbb{Q}_p\Bigr) \simeq \Bigl(\prod_p \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\Bigr)/(\pm 1) [qui a le min. des conditions] d'autre part cette catégorie est rigide (H^0(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}, \mu_2) = 0). la lecture « \mathbb{Q} \bmod \mathcal{A} » (cohomologie relative de \mathbb{Q} modulo les adèles) est douteuse ; le terme du milieu de la formule se lit « (\ill{}\ \mathbb{Q}_p) »

Comme l'image de H^1(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}, \mu_2) dans H^1(\mathbb{Q}, \mu_2) est nulle, on voit que l'équivalence rationnelle entre (\mathcal{M},T) et (\mathcal{M}',T') est déterminée à isom. unique près. Donc on peut identifier sans ambiguïté (\mathcal{M},T) et (\mathcal{M}',T').

Soit \omega sur S_{\mathrm{zar}}, avec F_\omega, V_\omega, … lui associe

1°) \mathcal{M} = \varphi^*(\omega), F_{\mathcal{M}} = \varphi^*(F_\omega), V_{\mathcal{M}} = \varphi^*(V_\omega), M = \omega^{p}, \varepsilon^*(\Delta(\mathcal{M})) = \Delta^*(\omega) complexe can. assoc. à \omega^{\prime} par \omega^{p}

2°) Triangles

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & {\mathcal{T}_1^{(\omega)} = [\omega \xrightarrow{V_\omega} \omega^{p}]} \arrow[dl, "1"'] & \\ {\mathcal{T}_0^{(\omega)} = [\omega^{V} \xrightarrow{F_\omega} \omega]} \arrow[rr] & & {\mathcal{T}_1^{(\omega)} = [\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}]} \arrow[ul] \end{tikzcd}

~~\mathcal{T}(\omega) \ne~~ \bigl(\mathcal{T}_1^{(\omega)} = \Delta^*(\omega)\bigr) déduit de \omega le sommet porte l'indice « 1 » sous une surcharge ; le coin gauche est lu « \omega^{V} » (peut-être \omega^{(p)})

3°) Isom. canonique \varphi^*(\mathcal{T}(\omega)) \overset{\alpha_\omega}{\simeq} \mathcal{T}(\varphi^*(\omega)) \mathcal{T}(\omega)_1 \overset{\beta_\omega}{\simeq} \varepsilon^*\Delta^*(\mathcal{M}) \simeq [\omega \xrightarrow{0} \omega^{p}]

4°) L'identité

Question. Le foncteur (\omega, F_\omega, V_\omega) \longmapsto \bigl(\varphi^*(\omega), \varphi^*(F_\omega), \varphi^*(V_\omega), \mathcal{T}(\omega), \alpha_\omega, \beta_\omega\bigr) est-il pl. fidèle ?? L'est-il du moins sur la sous-catégorie des triples (\omega, F_\omega, V_\omega) avec F_\omega = 0 ?

\left\lbrace \begin{array}{l} \varphi^*(\omega) \xrightarrow{\ u\ } \varphi^*(\omega') \\ \mathcal{T}(\omega) \xrightarrow{\ v\ } \mathcal{T}(\omega') \end{array} \right. compatibles avec F, V ; hom. de triangles rendant commutatifs les diagrammes sous v, renvoi : « v_1 déterminé comme \varepsilon^*(u) » ; sous le système : « \varphi^*(v) déterminé par u comme \mathcal{T}(u) »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathcal{T}_1(\omega) \arrow[r, "v_1"] \arrow[d, Rightarrow, "\beta_\omega"'] & \mathcal{T}_1(\omega') \arrow[d, Rightarrow, "\beta_{\omega'}"] \\ \varepsilon^*\Delta^*(\varphi^*\omega) \arrow[d, no head, "\|" description] & \varepsilon^*(\Delta^*(\varphi^*\omega')) \arrow[d, no head, "\|" description] \\ \Delta^*(\omega) \arrow[r, "\varepsilon^*(u)"'] & \Delta^*(\omega') \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \varphi^*(\mathcal{T}(\omega)) \arrow[r, no head, "\alpha_\omega \,\sim"] \arrow[d, "\varphi^*(v)"'] & \mathcal{T}(\varphi^*\omega) \arrow[d, "\mathcal{T}(u)"] \\ \varphi^*(\mathcal{T}(\omega')) \arrow[r, no head, "\alpha_{\omega'} \,\sim"'] & \mathcal{T}(\varphi^*\omega') \end{tikzcd}

les flèches \beta_\omega, \beta_{\omega'} sont doubles ; la première porte en outre un signe surchargé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & L' \arrow[dl] & \\ L_\bullet \arrow[rr] & & \Delta(\mathcal{M}) \arrow[ul] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \mathcal{M}_{/V} \arrow[dl] & \\ \mathcal{M}_{/F} \arrow[rr] & & {\mathcal{M}_{/p}^{(\varphi)} = \varphi^*(\Delta(\mathcal{M}))} \arrow[ul] \end{tikzcd}

sous le premier triangle, une accolade sur L_\bullet \to \Delta(\mathcal{M}) marquée « H_1^{\bullet} H_0 » ; à droite de \mathcal{M}_{/V}, un mot noirci

0 \to n \to \mathbf{D}_1 \to t^* \to \omega \to \mathbf{D}_0 \to \nu^* \to 0 0 \to {}_F\tilde{\mathcal{M}} \to {}_{F}\tilde{\mathcal{M}} \xrightarrow{F} {}_V\mathcal{M} \to \mathcal{M}_F \xrightarrow{V} \tilde{\mathcal{M}}_p \to \tilde{\mathcal{M}}_V \to 0 la seconde suite est lue par morceaux : au-dessus de {}_V\mathcal{M} \to \mathcal{M}_F une flèche coudée passe par un \Theta (en crayon) ; les indices et les tildes sont incertains

X_{\mathrm{cris}} \ \downarrow \varphi \ X_{\mathrm{zar}}

~~(a) descendre \mathcal{M}_{/F} et \mathcal{M}_{/p}~~

~~(b) descendre le triangle tout entier~~ les deux lignes sont biffées d'un trait en zigzag

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] J \arrow[r, hook] \arrow[d] & B \arrow[r] \arrow[d, "\mu"] & A \arrow[d] \arrow[dr, "{\lambda \mapsto \lambda^p}"] & \\ JB' \arrow[r, hook] & B' \arrow[r] & B'/JB' \arrow[r] \arrow[ddr] & A \\ J^{(p)} & B \arrow[d, dashed] & B/J^{(p)}B \arrow[d] & \\ & {} & B \arrow[r] & C \arrow[uu] \end{tikzcd}

diagramme très retouché : sous JB', B', B'/JB', des signes d'égalité verticaux mènent à J^{(p)}, B, B/J^{(p)}B ; « \gamma^p » devant JB' ; une flèche en pointillé courbe vers le haut près de B ; une colonne sous B est noircie ; une flèche biffée C \to C ; l'arête courbe de A vers A est hachurée ; la case vide du tikzcd tient la place du pointillé

B - A, \qquad B \otimes B \to A

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] J^{(p)}B \arrow[dr] & J \arrow[r, hook] \arrow[dr] & B \arrow[r, no head] \arrow[dr] & A \\ & 0 & I \arrow[r, hook] & C' \arrow[r] & A \end{tikzcd}

« p.d. » sous I

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & \Delta^*(\mathcal{M}) \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\ & \tilde{D}_1 & & \tilde{D}_0 \end{tikzcd}

0 \to n \to D_1 \to \tilde{D}_1 \to 0, \qquad 0 \to \tilde{D}_0 \to D_0 \to \nu^* \to 0 [uniques déterminés par \mathrm{I}(\mathcal{M})]

(\mathrm{i}) \qquad 0 \to \tilde{D}_1 \to t^* \to \omega \to \tilde{D}_0 \to 0 au-dessus, t^* \to \vartheta \to \omega par une flèche coudée passant par \vartheta ; au-dessus de \tilde D_1 un mot noirci

On descend \Theta en \vartheta, et en extension de \tilde D'_0 par \vartheta et de \vartheta par D'_1 cette note est séparée des diagrammes par un trait vertical ondulé ; en dessous, un « A » noirci

(ii)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & t^*[1] \arrow[dl, "1"'] & \\ \omega^* \arrow[rr] & & \tilde{\Delta}^*(\mathcal{M}) \arrow[ul] \end{tikzcd}

une flèche courbe marquée « connu » y renvoie ; un signe noirci à sa droite

~~explic~~ descend : \mathcal{M}_F \to \varphi^*(\tilde\Delta^*(\mathcal{M})), \mathcal{M}_{/V}[1], (« \mathcal{M}_{/p} »)'

i.e. on doit ~~donner~~ considérer les isom. [t^* \to \omega]\,\struck{\ill{}} \simeq \tilde{\Delta}^*(\mathcal{M}) descendant ceux par \varphi^* de \Delta^*(\mathcal{M}) isom. à près, ou \varphi^* dans

l'arbitraire est dans , principalement, sans doute, i.e. dans \operatorname{Ext}^1(\tilde D_0, \tilde D_1) ou plus dans \operatorname{Ext}^1(S_{\mathrm{zar}} \bmod S_{\mathrm{cris}}; \tilde D_0, \tilde D_1) ; les autres de la structure \operatorname{Ext}^0(S_{\mathrm{zar}} \bmod S_{\mathrm{cris}}; \tilde D_0, \tilde D_1) = 0 \quad ! Obstruction à changer … dans \operatorname{Ext}^2(S_{\mathrm{zar}} \bmod S_{\mathrm{cris}}, \tilde D_0, \tilde D_1) .

en haut à droite de la moitié inférieure, un diagramme de schémas : \begin{array}{ccccc} \tilde{X} & \equiv & \widetilde{X \times X} & \equiv & \ldots \\ | & & & & \\ X & = & X \times X & \equiv & X \times X \times X \\ | & & & & \\ S' & = & S & = & S \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \tilde{X} & \Leftarrow & \widetilde{X \times X} & \Lleftarrow & \widetilde{X \times X \times X} \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \tilde{X} & \Leftarrow & X \times X & \Lleftarrow & X \times X \times X \\ \downarrow \mathrm{plat} & & \downarrow \mathrm{plat} & & \downarrow \mathrm{plat} \\ S & = & S & = & S \end{array} la lecture est approchée : à gauche « S \hookleftarrow X », \hookleftarrow entre \tilde X et X ; des flèches en pointillé bouclent sur chaque colonne ; une grande flèche courbe marquée « F_S » descend de \tilde X jusqu'au S du bas ; les tildes larges couvrent chaque produit