Cote n° 8 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Cristaux (1970). Gribouillis et calculs divers : notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

1

encadré en haut à gauche : \(C\colon \omega \to \omega^{(p)}\), \(\Pi\colon \nu^{(p)} \to \nu\)

deux triangles dessinés à gauche, chacun « \(\simeq\) » à un triangle explicite à droite ; le sommet du second triangle de gauche est surchargé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \check{\ell}^{\,G^*}_\bullet = \ell \arrow[dl, "(1)"'] & \\
 \ell^{G}_\bullet[-1] \arrow[rr] & & \Delta^*(G) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\(\simeq\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & {[\omega \xrightarrow{C} \omega^{(p)}]} \arrow[dl, "{(\mathrm{id},0)}"'] & \\
 {[\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega]} \arrow[rr, "{(\mathrm{id},C)}"'] & & {[\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}]} \arrow[ul, "{(0,\mathrm{id})}"']
\end{tikzcd}

la flèche \((\mathrm{id},0)\) porte « deg 1 » ; un mot biffé devant elle est illisible

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \ell^{G(p)}_\bullet[1] \arrow[dl, "(1)"'] & \\
 \check{\ell}^{\,G^*(p)}_\bullet \arrow[rr] & & \Delta^*(G) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\(\simeq\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & {[\omega^{(p^2)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}]} \arrow[dl, "{(\mathrm{id},0)}"'] & \\
 {[\omega^{(p)} \xrightarrow{C^{(p)}} \omega^{(p^2)}]} \arrow[rr, "{(\mathrm{id},0)}"'] & & {[\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}]} \arrow[ul, "{(C,\mathrm{id})}"']
\end{tikzcd}

le sommet du premier triangle de droite de la seconde ligne se lit \(\ell^{G(p)}_\bullet[1]\) sous une surcharge (« \(= p^{(p)}\) ») ; sous la base gauche, « \(\| \; \ell^{(p)}\) ». La flèche \((\mathrm{id},0)\) porte de nouveau « deg 1 »

\[ \begin{array}{c} S_{\mathrm{cris}} \\ \downarrow \varphi \\ S_{\mathrm{zar}} \end{array} \ \Big)\,\varepsilon \qquad \varphi\varepsilon = F_S \] (frobenius absolu)

\(\Delta^*(G)\) complexe cristallin avec \(F\), \(V\), filtration à facteurs \(\bigl(\varphi^*(Q), \varphi^*(P)\bigr)\) + filtration sur \(\Delta^*(G) = \varepsilon^*(\Delta(G))\) à facteurs \(P\), \(Q\).

\[ \varphi^*(\omega) \xrightarrow{\ \varphi^*(C)\ } \varphi^*(\omega^{p}), \qquad \varphi^*(\omega) = \mathbb{D}^*(G), \quad \varphi^*(\omega^{p}) = \mathbb{D}^*(G)^{(p)}, \qquad V \downarrow, \quad F = 0 \leftarrow \] schéma en carré : \(V\) descend de \(\varphi^*(C)\), et une flèche « \(F = 0\) » revient de \(\mathbb{D}^*(G)^{(p)}\) vers \(\mathbb{D}^*(G)\)

\[ \mathcal{M} \underset{F}{\overset{V}{\rightleftarrows}} \mathcal{M}^{(p)}, \qquad \mathcal{M} = \mathbb{D}^*(G), \] \(\Delta^*(G) = \varepsilon^*(\mathcal{M})^{\circ}\) \[ \Delta^*(G) = [\varepsilon^*(\mathcal{M}) \xrightarrow{0} \varepsilon^*(\mathcal{M})] = \varepsilon^*[\mathcal{M} \to \mathcal{M}], \] avec une flèche de \(\mathcal{M} \rightleftarrows \mathcal{M}^{(p)}\) vers \([\varepsilon^*(\mathcal{M}) \xrightarrow{0} \varepsilon^*(\mathcal{M})]\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & {[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}]} \arrow[dl, "{(\mathrm{id},0)}"'] & \\
 {[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}^{(p)}]} \arrow[rr, "{(\mathrm{id},0)}"'] & & {\Delta^*(G) = [\mathcal{M} \xrightarrow{0} \mathcal{M}]} \arrow[ul, "{(V,\mathrm{id})}"']
\end{tikzcd}

les exposants des deux crochets sont surchargés ; la lecture \(\mathcal{M}^{(p)}\) aux deux places est douteuse. La flèche \((\mathrm{id},0)\) de gauche porte « deg 1 »

\[ 0 \to {}_F\mathcal{M}^{(p)} \to \mathcal{M} \to {}_V\mathcal{M}^{(p)} \to \]

3

[…] gpes finis loc. libres annulés par \(p\) en car. \(p\).

a) Cristal (loc. libre de type fini ?) \(\mathcal{M}\) sur \(S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p\) avec \[ \mathcal{M}^{(p)} \underset{V_{\mathcal{M}}}{\overset{F_{\mathcal{M}}}{\rightleftarrows}} \mathcal{M} \] satisfaisant \(FV = VF = 0\).

On en déduit complexe cristallin parfait, d'amplitude parfaite \(\subset [0,1]\), \[ \Delta^* = \Delta^*(\mathcal{M}), \qquad \mathcal{H}^0(\Delta^*) \simeq \mathcal{H}^1(\Delta^*) \simeq \mathcal{M} \] avec \(F_{\Delta^*}\), \(V_{\Delta^*}\) satisfaisant \(F_{\Delta^*}V_{\Delta^*} = 0\), \(V_{\Delta^*}F_{\Delta^*} = 0\), et triangles exacts

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & {[\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}]} \arrow[dl, "{\partial_{\mathrm{I}},\ 1}"'] & \\
 {[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}]} \arrow[rr, "i_{\mathrm{I}}"'] & & \Delta^{*(p)} \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{I}}"']
\end{tikzcd}

\((\mathrm{I})_{\mathrm{cris}}\), \(\Delta^{*(p)} \simeq \varphi^*(\Delta^*)\) \((\Delta^* = \varepsilon^*(\Delta^*))\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & {[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}]} \arrow[dl, "{\partial_{\mathrm{II}},\ 1}"'] & \\
 {[\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}]} \arrow[rr, "i_{\mathrm{II}}"'] & & \Delta^* \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{II}}"']
\end{tikzcd}

\((\mathrm{II})_{\mathrm{cris}}\)

la flèche horizontale de \((\mathrm{I})\) est notée \(\partial_{\mathrm{I}}\) ou \(i_{\mathrm{I}}\) selon l'endroit ; on garde \(i_{\mathrm{I}}\)

N.B. Les complexes \(\ell^{\,\cdot}_\bullet(\mathcal{M}) = [\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}]\) (\(F\) nul), \(\ell^{\,\prime}_\bullet(\mathcal{M}) = (\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)})\) (\(V\) nul), \(\Delta^*(\mathcal{M})\), […] avec \((F, V)\) […], les triangles exacts \((\mathrm{I})\), \((\mathrm{II})\) sont compatibles avec \((F,V)\)-structure encadré à droite, dont le début (« N.B. ») et les lignes suivantes sont serrés ; « (\(F\) nul) », « (\(V\) nul) » écrits en marge des deux premières lignes

b) Complexes parfaits \(\ell_\bullet\), \(\ell'_\bullet\) sur \(S_{\mathrm{zar}}\), […] d'amplitude parfaits \(\subset [-1,0]\), triangle exact […] (III) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \check{\ell}'_\bullet \arrow[dl, "\partial_0"'] & \\
 \ell_\bullet[-1] \arrow[rr, "i_0"'] & & \Delta^* \arrow[ul, "\pi_0"']
\end{tikzcd}

\(\Delta^* \overset{\mathrm{df}}{=} \varepsilon^*(\Delta^*)\)

au-dessus de b), entouré : « […] \((F,V)\)-[…] », et « d'amplitude » repris à côté

\[ \varphi^*(\ell_\bullet[-1]) \overset{\alpha}{\simeq} [\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}] \qquad \varphi^*(\check{\ell}'_\bullet) \simeq [\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}] \] fournissant un […] isom. de \((\mathrm{I}_{\mathrm{cris}})\) avec \(\varphi^*(\mathrm{III})\)

le passage suivant est entre crochets [d'où, posant \(M = \varepsilon^*(\mathcal{M})\) loc. libre sur \(S_{\mathrm{zar}}\), avec connexion à courbure nulle, \[ \ell_\bullet[-1]^{(p)} \simeq [M^{(p)} \xrightarrow{F_M} M], \qquad \check{\ell}'_\bullet{}^{(p)} \simeq [M \xrightarrow{V_M} M^{(p)}] \quad ! \;] \] comp. avec connexion

Compatibilités : Posons \[ \begin{cases} \pi_0\, \varepsilon^*(i_{\mathrm{II}}) \text{ ``$=$'' } F_{\check\ell'_\bullet} = {}^tV_{\ell'_\bullet} \\ \varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, i_0 \text{ ``$=$'' } V_{\ell_\bullet}[-1] \end{cases} \]

4

feuillet écrit tête-bêche par rapport au scan ; on le lit retourné. Deux longs traits de crayon le traversent en biais sans le biffer

\(G\) gpe fini loc. libre, annulé par \(p\), en car. \(p>0\) ; on lui associe (conjecturalement) :

a) \(\mathbb{D}^*(G)\) Module (de présentation finie ? loc. libre de type fini ?) sur \(S_{\mathrm{cris}}\) (topos cristallin de Berthelot de \(S\) sur \(\mathbb{F}_p\)) [fonctoriel en \(G\), donc] \[ \mathbb{D}^*(G)^{(p)} \underset{V}{\overset{F}{\rightleftarrows}} \mathbb{D}^*(G) \] avec \(FV = 0\), \(VF = 0\)

b) homomorphismes « b) homomorphismes » reste sans suite ; la ligne suivante, serrée contre elle, commence par c) c) des complexes \(\ell^{G}_\bullet\) et \(\ell^{G^*}_\bullet\) sur \(S\), parfaits d'amplitude parfaits dans \([-1,0]\), et un hom \[ (\ell^{G^*}_\bullet)^{\vee} \xrightarrow{\ \pi\ } \ell^{G}_\bullet \] i.e. un hom \[ \underline{O}_S \longrightarrow \ell^{G^*}_\bullet \overset{L}{\otimes} \ell^{G}_\bullet \]

d) Deux Un triangles exacts sur \(S_{\mathrm{cris}}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \varphi^*(\ell^{G^*}_\bullet)^*[-1] \arrow[dl, "\partial"'] & \\
 \varphi^*(\check{\ell}^{\,G^*}_\bullet) \arrow[rr] & & \Delta^*_{\mathrm{cris}}(G) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\(\bigl[\,\varphi^*(\pi)\colon \underline{O}_{S_{\mathrm{cris}}} \xrightarrow{\ 2\ } \varphi^*(\check{\ell}^{\,G}_\bullet \otimes \check{\ell}^{\,G^*}_\bullet)\,\bigr]\)

(qui détermine donc \(\Delta^*_{\mathrm{cris}}(G)\) : isom. (à un unique près) et des isom. \[ \mathcal{H}^0(\Delta^*_{\mathrm{cris}}(G)) \simeq \mathbb{D}^*(G), \qquad \mathcal{H}^1(\Delta^*_{\mathrm{cris}}(G)) \simeq \mathbb{D}^*(G) . \]

(d'où par application de \(\varepsilon^*\) un triangle

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & (\ell^{G}_\bullet)^{(p)}[-1] \arrow[dl, "\varepsilon^*(\partial)"'] & \\
 (\check{\ell}^{\,G^*}_\bullet)^{(p)} \arrow[rr] & & \Delta^*(G) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\(\Delta^*(G) = \varepsilon^*(\Delta^*_{\mathrm{cris}}(G))\)

e) Un triangle exact la page s'arrête là

5

\[ \begin{array}{ll} V_{\ell_\bullet}\colon \ell_\bullet \to \ell^{(p)}_\bullet & F_{\ell_\bullet} = 0\colon \ell^{(p)}_\bullet \to \ell_\bullet \\ V_{\ell'_\bullet}\colon \ell'_\bullet \to \ell'^{(p)}_\bullet & F_{\ell'_\bullet} = 0\colon \ell'^{(p)}_\bullet \to \ell'_\bullet \end{array} \]

1) Le triangle (III) est compatible avec \((F,V)\)-structures : à prouver !

2) L'isom. \(\varphi^*(\mathrm{III}) = \mathrm{I}\) compatible avec \((F,V)\)-structures. « isom. » est souligné d'un trait ondulé

1) […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\Delta^{*p} \arrow[rr, "F_{\Delta^*}"] \arrow[dr, "\pi_0^{(p)}"'] & & \Delta^* \\
 & \check\ell'^{(p)}_\bullet \arrow[ur, "\varepsilon^*(i_{\mathrm{II}})"'] &
\end{tikzcd}

sous \(\pi_0^{(p)}\) : « \(\varepsilon^*(\varphi^*(\pi_\cdot)) = \varepsilon^*(\pi_{\mathrm{I}})\) » implique que \(i_0\) comp. avec \(F\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\Delta^* \arrow[rr, "V_{\Delta^*}"] \arrow[dr, "\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})"'] & & \Delta^{*(p)} \\
 & \ell^{(p)}_\bullet[-1] \arrow[ur, "{i_0^{(p)}}"'] &
\end{tikzcd}

\(i_0^{(p)} = \varepsilon^*\varphi^*(i_0) = \varepsilon^*(i_{\mathrm{I}})\) implique que \(\pi_0\) compatible avec \(V\)

\(i_0\) compatible avec \(V\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\ell_\bullet[-1] \arrow[r, "i_0"] \arrow[d, "{V_{\ell_\bullet}[-1]}"'] & \Delta^* \arrow[d, "V_{\Delta^*}"] \arrow[dr, "\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})"] & \\
\ell_\bullet[-1]^{(p)} \arrow[r, "i_0^{(p)}"'] & \Delta^{*(p)} & \ell^{(p)}_\bullet[-1] \arrow[l, "i_0^{(p)}"]
\end{tikzcd}

OK.

\[ \varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, i_0 \ne V_{\ell_\bullet}[-1] \] le signe entre les deux membres est une égalité barrée ; la lecture « \(\ne\) » reste douteuse

On voit de même que \(\pi_0\) compatible avec \(F\).

\(\partial_0\) compatible avec \(F\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\check\ell'^{(p)}_\bullet \arrow[r, "{\pi_0\,\varepsilon^*(i_{\mathrm{II}})}"] \arrow[d, "\partial_0^{(p)}"'] & \check\ell'_\bullet \arrow[d, "\partial_0"] \\
\ell_\bullet[-1]^{(p)} \arrow[r, "0"'] & \ell_\bullet[-1]
\end{tikzcd}

\(\partial_0\, \pi_0\, \varepsilon^*(i_{\mathrm{II}}) = 0\)

On voit de même \(\partial_0\) compatible avec \(V\).

2) À prouver que \[ \begin{cases} \varphi^*(V_{\ell_\bullet}[-1]) = V_{[\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}]} \\ \varphi^*(F_{\check\ell'_\bullet}[-1]) = F_{[\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}]} \end{cases} \] \[ \varphi^*(V_{\ell_\bullet}[-1]) = \varphi^*(\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, i_0) = \varphi^*\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, \varphi^*(i_0) = \bigl[\pi_{\mathrm{II}}^{(p)}\, i_{\mathrm{I}} = V_{[\mathcal{M}^{(p)} \to \mathcal{M}]}\bigr] \] et l'autre relation se prouve de même !!

6

feuillet de tapuscrit dactylographié, numéroté 35 à l'encre en haut à droite, sans rapport avec les notes manuscrites voisines ; il est gardé parce qu'il porte des reprises à la main, et le texte tapé n'est pas recomposé. Il achève une démonstration : puisque (5.1)(iii) est vrai pour \((g, \bar f, \bar G)\) et pour \((g', \pi, \bar G)\), les faisceaux \(R^q\bar f'_*(\bar g^*\bar G)\) et \(R^q\pi'_*(\bar g^*\bar G)\) sont nuls pour \(q>0\) ; la suite spectrale de Leray \(E_2^{p,q} = R^pf'_*(R^q\pi'_*(\bar g^*\bar G)) \Rightarrow R^n\bar f'_*(\bar G)\) donne \(R^pf'_*(\pi'_*\bar g^*\bar G) = 0\) pour \(p>0\), et l'injection \(\pi_*\bar F \to \pi_*\bar G\) est un effacement des foncteurs \((R^pf'_*)g'^*\) dans la catégorie des faisceaux de torsion. Puis « Lemme (8.4) : Il suffit de vérifier le théorème (5.1)(i) (resp. (i) et (ii), resp. (iii)) pour \((g, f, F)\) avec \(f\) projectif », et le début de sa démonstration (réduction, d'après (6.5) avec \(P\) la propriété vide, au cas \(S\) strictement local et \(g\) l'inclusion du point fermé ; famille \(\mathfrak{F}\) des sous-préschémas fermés \(h\colon Y \to X\) contenant la fibre fermée \(X_0\) ; morphisme \(H^q(X,F) \to H^q(X, h_*h^*F)\)). Les parenthèses, les étoiles et plusieurs lettres des formules sont repassées à l'encre. Interventions à la main : « s'ensuit » biffé et remplacé au-dessus par « résulte » ; après « torsion » un renvoi entre parenthèses, lu « (IX 1.2 (v)) » (lecture douteuse) ; un crochet double en marge droite à la fin du paragraphe ; « applicable » biffé et remplacé au-dessus par « pertinent, »

7

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{M} \arrow[r, "V"] \arrow[d, "V"'] & \mathcal{M}^{(p)} \arrow[d, "V^{(p)}"] \\
\mathcal{M}^{(p)} \arrow[r, "V^{(p)}"'] & \mathcal{M}^{(p^2)}
\end{tikzcd}

une flèche \(F\) remonte à gauche, et \({}^tF\) est inscrit au milieu ; à côté : « \(V^{(p)}F\) »

\(\mathcal{M}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & B \arrow[dl, "\partial_{\mathrm{I}}"'] & \\
 A \arrow[rr, "i_{\mathrm{I}}"'] & & \mathfrak{X}^p \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{I}}"']
\end{tikzcd}

(I)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & A \arrow[dl, "\partial_{\mathrm{II}}"'] & \\
 B \arrow[rr, "i_{\mathrm{II}}"'] & & \mathfrak{X} \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{II}}"']
\end{tikzcd}

(II)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & A^p \arrow[dl, "\partial_{\mathrm{II}}^{(p)}"'] & \\
 B^p \arrow[rr, "i_{\mathrm{II}}^{(p)}"'] & & \mathfrak{X}^p \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{II}}^{(p)}"']
\end{tikzcd}

\((\mathrm{II}^{(p)})\)

encadré à gauche : \[ \begin{array}{ll} \pi_{\mathrm{I}} : & \mathfrak{X}^{p} \underset{V_{\mathfrak{X}}}{\overset{F_{\mathfrak{X}}}{\rightleftarrows}} \mathfrak{X} \\ i_{\mathrm{I}}\,\pi_{\mathrm{II}} : & \mathfrak{X} \xrightarrow{V_{\mathfrak{X}}} \mathfrak{X}^{p} \end{array} \] le premier membre de gauche, surchargé, se lit \(\pi_{\mathrm{II}}^{(p)}\, i_{\mathrm{I}}\) ou \(\pi_{\mathrm{I}}\)

\[ \left\lbrace \begin{array}{lll} \partial_{\mathrm{I}}\,\partial_{\mathrm{II}} : & A^{2} \to A & (\mathrm{nul}\,?) \\ \partial_{\mathrm{II}}\,\partial_{\mathrm{I}} : & B^{2} \to B & (\mathrm{nul}\,?) \\ \pi_{\mathrm{II}}^{(p)}\,\partial_{\mathrm{I}} : & A \xrightarrow{V_A} A^{(p)} & \\ \pi_{\mathrm{I}}\,, i_{\mathrm{II}}^{(p)} : & B^{p} \xrightarrow{F_B} B & \end{array} \right. \] « nul ? » entouré deux fois ; les exposants « 2 » sont écrits sur des \(p\) ; une accolade relie ces lignes à « \(\mathcal{M}\) » plus bas

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \varphi^*(b) \arrow[dl, "{\partial_{\mathrm{I}} = \varphi^*(\partial_0)}"'] & \\
 \varphi^*(a) \arrow[rr, "{i_{\mathrm{I}} = \varphi^*(i_0)}"'] & & \mathfrak{X}^p \arrow[ul, "{\pi_{\mathrm{I}} = \varphi^*(\pi_0)}"']
\end{tikzcd}

\(\varphi^*(\mathrm{III}) \simeq (\mathrm{I})\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & b \arrow[dl, "\partial_0"'] & \\
 a \arrow[rr, "i_0"'] & & \mathfrak{X} \arrow[ul, "\pi_0"']
\end{tikzcd}

III

\[ \begin{array}{ccccccc} 0 & \to & \mathcal{M} & \to & \mathcal{M}^p & \to & \cdot \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \\ & \mathcal{M}^p & \to & \mathcal{M} & \to & 0 & \to \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \\ & \mathcal{M} & \to & \mathcal{M}^p & \to & 0 & \to \end{array} \] esquisse de gauche, rattachée par une accolade à l'encadré ; les zéros et les flèches sont incertains

\(\varepsilon^*(\mathrm{I}) \simeq \mathrm{II}^{(p)}\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & b^p \arrow[dl, "\partial_0^{(p)}"'] & \\
 a^p \arrow[rr, "i_0^{(p)}"'] & & X^p \arrow[ul, "\pi_0^{(p)}"']
\end{tikzcd}

\(\varepsilon^*(\mathrm{II})\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & a^p \arrow[dl, "\varepsilon^*(\partial_{\mathrm{II}})"'] & \\
 b^p \arrow[rr, "\varepsilon^*(i_{\mathrm{II}})"'] & & X \arrow[ul, "\varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})"']
\end{tikzcd}

triangles compatibles avec \(F\)-\(V\) structures

\[ \begin{array}{ll} \mathfrak{X}^p \to B \to \mathfrak{X} & \mathfrak{X} \to A \to \mathfrak{X}^{(p)} \\ X^{(p)} \to b^{(p)} \to X & X \to a^{(p)} \to X^{(p)} \end{array} \]

encadré du bas : \[ \left\lbrace \begin{array}{ll} \pi_0\, \varepsilon^*(i_{\mathrm{II}}) : & b^{(p)} \xrightarrow{F_b} b \quad ? \\ \varepsilon^*(\pi_{\mathrm{II}})\, i_0 : & a \xrightarrow{V_a} a^{(p)} \quad ? \end{array} \right. \]

8

feuillet du même tapuscrit, numéroté 37.1 à l'encre. Suite d'une démonstration : les flèches verticales (d'un diagramme sur la page précédente du tapuscrit) sont injectives (6.6) ; \(\alpha_0 \in H^0(X_0,F_0)\) se relève à \(H^0(X,F)\) si et seulement si son image se relève dans \(H^0(X_0,G_0)\), avec \(G = (h_*h^*F) \times (\pi_*\pi^*F)\) ; appliquant (5.1)(i) à \((g,\pi,\cdot)\) et à \((g,\bar f,\cdot)\) on conclut que \(H^0(X, \pi_*\pi^*F) \xrightarrow{\sim} H^0(X_0, (\pi_*\pi^*F)_0)\), ce qui achève la démonstration dans ce cas. Puis, supposant (5.1)(i) vrai et (5.1)(ii) vrai pour chaque morphisme projectif, pour \(F\) un faisceau de groupes ind-finis sur \(X\), les applications \(H^1(X,F) \xrightarrow{u} H^1(Y,h^*F) \xrightarrow{v} H^1(X_0,F_0)\), avec \(vu\) injectif (6.1), et la surjectivité de \(u\) à démontrer ; « d'après (8.2(ii)) appliqué à \(f_Y\colon Y \to S\) », injection \(h^*F \to G^*\) ; « Soit \(j\colon X' \to X\) l'image (réduite) de \(\pi\colon \bar X \to X\) ». Interventions à la main : en marge gauche, « un peu bref, faire l'argument » (lecture douteuse), en regard de « on conclut que », souligné ; à la fin du paragraphe, « (5.1.(i)) » ajouté ; « (8.2 (ii)) » écrit à l'encre sur un renvoi tapé ; entourée à la suite de « soit nulle », la parenthèse « (avec la structure induite) », rattachée par un trait à « (réduite) » ; « des » ajouté au-dessus de « fermé » ; nombreuses lettres et accents repassés

9

Groupes loc. lib. en car. \(p\) (par ex. annulés par \(p\))

a) Cristal de prés. finie sur \(S_{\mathrm{cris}}/\struck{\ill{}}\,\mathbb{Z}_p\) (par ex. […] De […]) d'amplitude parfaite \(\subset [-1,0]\), soit \(\mathcal{M}\), avec structures \(F_{\mathcal{M}}\) et \(V_{\mathcal{M}}\).

b) […]

On en déduit deux triangles exacts de complexes avec \(F\), \(V\) sur \(S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/V \arrow[dl, "\partial_{\mathrm{I}}"'] & \\
 \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/F \arrow[rr, "i_{\mathrm{I}}"'] & & \mathcal{M}^{(p)}\overset{L}{\otimes}/p \arrow[ul, "\pi_{\mathrm{I}}"']
\end{tikzcd}

(I), \(\mathcal{M}^{(p)}\overset{L}{\otimes}/p \simeq \varphi^*(\Delta^*)\) \(\Delta^* = \varepsilon^*(\Delta^*)\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/F \arrow[dl] & \\
 \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/V \arrow[rr] & & \mathcal{M}\overset{L}{\otimes}/p = \Delta^* \arrow[ul]
\end{tikzcd}

(II)

sous le sommet droit de (I), une expression biffée « […] \((\mathcal{M})\) » ; sous (II) : « \(\simeq^{\mathrm{dbs}}\) \(\overset{L}{\otimes}\,\Delta^*(\mathcal{M})\) » (lecture douteuse)

\(\alpha\colon S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p \hookrightarrow S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{Z}_p\)

b) […] Descente à \(S_{\mathrm{zar}}\) (via \(\varphi\)) de la « filtration » (I) sur \(\varphi^*(\Delta^*)\), ou un triangle exact

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \check\ell'_\bullet \arrow[dl, "\partial_0"'] & \\
 \ell_\bullet[-1] \arrow[rr, "i_0"'] & & \Delta^* \arrow[ul, "\pi_0"']
\end{tikzcd}

Prolongement à un épaississement à puiss. div. \(S'\) de \(S\) (i.e. avec \(\mathfrak{p} = \underline{\mathrm{Var}}(p.\,\mathcal{I}_S)\)) On considère \[ \mathcal{M} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathcal{O}_{S'} = \Delta^*(S'), \] qui prolonge \(\Delta^*\), et il faut se donner un prolongement de la filtration b) de \(\Delta^*\) en

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \bar{\check\ell}'_\bullet \arrow[dl, "\bar\partial_0"'] & \\
 \bar\ell_\bullet[-1] \arrow[rr, "\bar i_0"'] & & \Delta^*(S') \arrow[ul, "\pi_0"']
\end{tikzcd}

10

feuillet du même tapuscrit, écrit tête-bêche par rapport au scan, numéroté 32 à l'encre ; deux flèches verticales au crayon y sont tracées, sans rapport lisible avec les notes. Texte : l'assertion (iii) se traite de façon analogue ; les foncteurs \(g^*(R^qf_*)\) étant effaçables pour \(q>0\) dans la catégorie des faisceaux de torsion, la bijectivité de \(\varphi^n\) pour \(F\) implique l'effaçabilité de \((R^nf'_*)g'^*\) pour \(F\) ; inversement, supposant \(\varphi^{n-1}\) bijectif pour \((g,f,\cdot)\) et \((R^nf'_*)g'^*\) effaçable pour \(F\), et \(F \to G\) un effacement de \((R^{n-1}f'_*)g'^*\) avec \(G\) de torsion, \(C = G/F\), on complète le diagramme \((*)\) de deux suites exactes longues reliées par \(\varphi^{n-1}\), \(\varphi^{n}\). Interventions à la main : le renvoi « (8.1) » écrit à l'encre dans une parenthèse laissée vide ; les \(\varphi\) encrés, cédilles et accents ajoutés

11

a) Les catégories de structures a) b) introduites précédemment définissent-elles des champs sur \(S_{\mathrm{zar}}\) ?

b) Le foncteur « restriction partiel » (de \(\mathcal{C}\) dans b)) allant vers les cristaux \(\mathcal{M}\) sur \(S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p\) est-il fidèle ?

c) Le foncteur naturel Mais des modules loc. libres \(\omega\) sur \(S_{\mathrm{zar}}\), avec \(F_\omega\), \(V_\omega\), vers les structures a), b), est-il pleinement fidèle (NB il est fidèle) ; l'est-il du moins si \(F_\omega\) sur la sous-catégorie définie par \(F_\omega = 0\) ; l'est-il sur la sous-catégorie où \(\operatorname{Ker} F = \operatorname{Im} V\) ?

d) Peut-on à \((\omega, F_\omega, V_\omega)\) associer un schéma en groupes fini loc. libre sur \(S\) ?

[…] que les […] \(H^0(\mathcal{C}) \to H_0(\check\ell'[1]) \to \cdots\) […] \(\cdots \to H_1(\ell) \to H_1(\check\ell)\) […] \(0 \to t^* \to \omega\) nul, et \(\omega^*\) et \(t^*\) loc. libres note écrite en biais dans la marge gauche, en regard de b) ; en partie biffée et encadrée, lue par fragments

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Cas des groupes de BT tronqués annulés par \(p\).

Signifie que \(F_{\mathcal{M}}\), \(V_{\mathcal{M}}\) forment suite exacte \(\Longleftrightarrow\) \(F_M\), \(V_M\) forment suite exacte …

Alors la donnée b) implique, passant aux \(\underline{H}^1\) \[ \Bigl[\omega = \underline{H}^1(\ell_\bullet[-1]) = \underline{H}^0(\ell_\bullet), \quad \nu' = \underline{H}^1(\check\ell'_\bullet)\Bigr] \] (\(\omega\), \(\nu'\) loc. libres) \(M\) (\(= \varepsilon^*(\mathcal{M})\)) filtré par \[ 0 \to \omega \to M \to \nu' \to 0 \] de façon que dans \[ 0 \to \varphi^*(\omega) \to \varphi^*(M) \to \varphi^*(\nu') \to 0, \qquad \varphi^*(M) = \mathcal{M}^{(p)}, \] \(\varphi^*(\omega)\) ne soit autre que \(\operatorname{Im}(\mathcal{M} \xrightarrow{V_{\mathcal{M}}} \mathcal{M}^{(p)})\).

Cela détermine \(\omega\) de façon unique !

De même, passant aux \(\underline{H}^0\), on trouve \[ \Bigl[n = \underline{H}^0(\ell_\bullet[-1]) = \underline{H}^{-1}(\ell_\bullet), \quad t' = \underline{H}^0(\check\ell'_\bullet)\Bigr] \] \[ 0 \to n \to M \to t' \to 0 \] de façon que dans \[ 0 \to \varphi^*(n) \to \varphi^*(M) \to \varphi^*(t') \to 0 \] on ait \[ \varphi^*(n) = \operatorname{Ker}(\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F_{\mathcal{M}}} \mathcal{M}) . \] Comme \(\operatorname{Ker} F_{\mathcal{M}} = \operatorname{Im} V_{\mathcal{M}}\), on conclut \[ \varphi^*(n) = \varphi^*(\omega), \] d'où \[ \boxed{n = \omega}, \quad \boxed{t' = \nu'} . \]

La seule donnée de […] \(\mathcal{M}\), \(F_{\mathcal{M}}\), \(V_{\mathcal{M}}\) (\(\Rightarrow \omega \subset M = \varphi^*(\mathcal{M})\)) permet-elle de reconstituer toute la donnée b) ? On voit qu'on pourra construire \[ \omega \xrightarrow{V_\omega} \omega^{(p)}, \qquad t'^{(p)} \xrightarrow{F_{t'}} t' \qquad \bigl(\omega' = \check t', \ \omega' \xrightarrow{V_{\omega'}} \omega'^{(p)}, \ V_{\omega'} = {}^tF_{t'}\bigr) \] Car : \[ \omega^{(p)} = \operatorname{Im}(M \xrightarrow{V_M} M^{(p)}), \] donc \(V_M/\omega\) … la fin de la ligne se lit « \(V_M|\omega\) […] \(\omega\) dans \(\omega^{(p)}\) », douteux \[ t'^{(p)} = \operatorname{Coker}(M \xrightarrow{V_M} M^{(p)}), \] donc \(F_M\colon M^{(p)} \to M\) se factorise par \(t'^{(p)} \hookrightarrow M\), d'où \(F_{t'}\colon t'^{(p)} \hookrightarrow M \to t'\).

en bas à gauche, un petit diagramme griffonné et biffé : \(M \twoheadrightarrow \omega\), \(V_M\), \(F_\omega\), \(M^{(p)}\), \(M \twoheadrightarrow t\), \(M^{(p)} \twoheadrightarrow t\) ; illisible dans le détail

13

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
M \arrow[r, two heads] \arrow[d, "V_M"'] \arrow[dr, "\mathrm{\acute{e}pi}", two heads] & \omega \arrow[d, "V_\omega"] \\
M^p \arrow[r, two heads] & \omega^{(p)}
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
M^p \arrow[r, two heads] & t' \\
M^{(p)} \arrow[u] \arrow[r] & t'^{(p)} \arrow[u, "F_t"'] \arrow[ul, hook]
\end{tikzcd}

On peut dans former On aura

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & t^p \arrow[d] \arrow[dr, "F_{t'}"] & \\
0 \arrow[r] & M \arrow[r] \arrow[d] & t' \arrow[r] & 0 \\
\omega \arrow[ur] \arrow[r, "V_\omega"'] & \omega^p \arrow[d] & & \\
 & 0 & &
\end{tikzcd}

l'esquisse est incomplète : au-dessus de \(t^p\) un pointillé vertical ; à gauche de \(t^p\) un mot biffé et noirci ; la ligne horizontale se lit « \(0 - \omega - M - t' - 0\) », sans pointes de flèches, et la place de \(\omega\) dans le tikzcd n'est qu'approchée

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feuillet du même tapuscrit, numéroté 33 à l'encre. Fin de la démonstration précédente (injectivité et surjectivité de \(\varphi^n\) par un effacement \(F \to G\) de \((R^nf'_*)g'^*\) avec \(G\) de torsion, \(C = G/F\), et le diagramme \((*)\) complété par un \(0\)) ; puis « Lemme (8.3) : Soit \(X \xleftarrow{\pi} \bar X\), \(f\colon X \to S\), \(\bar f\colon \bar X \to S\) un diagramme commutatif de morphismes propres. Supposons que \(\pi\) soit surjectif », changement de base \(g\colon S' \to S\), \(g'\colon X' \to X\), \(\bar g\colon \bar X' \to \bar X\) ; (i), (ii), (iii) comme dans (5.1) ; le début de la démonstration, encadré et hachuré. Interventions à la main : « signe » biffé et remplacé par « "prime" » et « l'effet d'un » ; « réduits » biffé et remplacé par « canoniques » ; tout l'énoncé (i) « Si (5.1)(i) est vrai pour \((g,\bar f,\cdot)\) et pour \((g',\pi,\cdot)\) il l'est pour \((g,f,\cdot)\) » biffé, suivi de « Assertion vide » ; dans (ii), une ligne tapée biffée et « (5.1(ii)) » repassé ; dans (iii), « et » biffé et une virgule ajoutée ; le paragraphe « Démonstration. (i) : Supposons d'abord que le faisceau \(F\) sur \(X\) est de la forme \(F = \pi_*G\). On a » encadré et hachuré en diagonale

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\[ \mathbf{M} \] \[ 0 \to G \hookrightarrow G' \twoheadrightarrow G'' \to 0 \] \[ X_{\mathrm{cris}\,0} \hookrightarrow X_{\mathrm{cris}/n} \qquad\qquad \mathcal{M}'' \longrightarrow \mathcal{M}' \] les deux dernières expressions sont isolées sur la page, sans texte

1°) Cristal de prés. finie \(\mathcal{M}\), sur \(S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_p\) […] avec \(F_{\mathcal{M}}\), \(V_{\mathcal{M}}\), … d'où

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & L^{\prime}(\mathcal{M}) \arrow[dl] & \\
 L_\bullet(\mathcal{M}) \arrow[rr, no head] & & \Delta^*(\mathcal{M})^{(p)} \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\(\mathrm{I}(\mathcal{M})\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & L_\bullet(\mathcal{M}) \arrow[dl] & \\
 L'(\mathcal{M}) \arrow[rr, no head] & & \Delta^*(\mathcal{M}) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\(\mathrm{II}(\mathcal{M})\)

les flèches horizontales sont de simples traits

Lui \(\varepsilon^*(\mathcal{M}) = M\)

2°) Triangles

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathcal{T}_1 \arrow[dl] & \\
 \mathcal{T}_0 \arrow[rr, no head] & & \mathcal{T}_1 \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\(\mathcal{T}\) : (ou F-V-triangles ?)

le sommet du triangle se lit \(\mathcal{T}_1\) comme le coin droit ; l'un des deux est vraisemblablement un autre indice

[…] Syst. de complexes parfaits d'ampl. parfaite \(\subset [-1,0]\)

3°) Isom. de (cristaux) triangles (ou F-V-triangles ?) \[ \varphi^*(\mathcal{T}) \overset{\alpha}{\simeq} \mathrm{I}(\mathcal{M}) \]

4°) Isom. (ou F-V-isom ?) \[ \mathcal{T}_1 \overset{\beta}{\simeq} \varepsilon^*(\Delta^*(\mathcal{M})) \ \struck{\ill{}} \] tel qu'on ait commutativité

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\varphi^*(\mathcal{T}_1) \arrow[r, "\alpha_1"] \arrow[dr, "\varphi^*(\beta)"'] & \Delta^*(\mathcal{M})^{(p)} \\
 & \varphi^*\varepsilon^*(\Delta^*(\mathcal{M})) \simeq \Delta^*(\mathcal{M})^{(p)} \arrow[u, Rightarrow, "\mathrm{id}"']
\end{tikzcd}

16

toute la page est barrée de deux longs traits de crayon en diagonale ; elle est transcrite sous eux

(3) Indéterminations dans ces données, pour \((\mathcal{M},T)\) (i.e. \(G\)) fixé. le « 3 » est cerclé ; un petit tiret orange le précède

La catégorie des données […] en question est « un torseur » sous la catégorie des torseurs sous \(\mu_2\) sur \(\mathcal{A}\), donc l'ensemble des classes d'isomorphisme de ces structures […] i.e. aussi loc. val. à l'un des deux-groupes \(\mathbb{Z}_p^*/\mathbb{Z}_p^{*2}\) est \[ H^1(\mathcal{A}, \mu_2) \simeq \prod_p \mathbb{Q}_p^*/\mathbb{Q}_p^{*2} , \] l'ensemble des automorphismes d'un objet de la catégorie est \[ H^0(\mathcal{A}, \mu_2) = \prod_p (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) . \] « un torseur sous » est répété sous la ligne et relié par un trait ; entre les deux formules, une note de marge gauche dont on ne lit que « […] renforcement […] ! […] »

(4) Rigidité de \(\mathcal{M}\) par les structures envisagées. le « 4 » est cerclé

Soit \((\mathcal{M}',T')\) […] des mêmes données que \((\mathcal{M},T)\). On se demande de déterminer la catégorie des équivalences \[ (\mathcal{M}, T, T_{\mathcal{A}'}, u_{\mathcal{A}'}, t_\infty, t_p) \longrightarrow (\mathcal{M}', T' \ \mathrm{etc.}) \] au-dessus de \(T_{\mathcal{A}'}, u_{\mathcal{A}'}\) une accolade marquée « \(t_{\mathcal{A}'}\) » Cette catégorie est vide, ou elle forme un torseur sous la catégorie des torseurs sous \(\mu_2\) sur \(\mathbb{Q}\), munis d'une trivialisation […] au-dessus de \(\mathcal{A}\). Cette dernière catégorie a comme […] […] d'objets à isom. près le groupe \[ H^1(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}, \mu_2) \simeq_2 \Bigl(\prod_p \mathbb{Q}_p\Bigr) \simeq \Bigl(\prod_p \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\Bigr)/(\pm 1) \] [qui a le min. des conditions] d'autre part cette catégorie est rigide (\(H^0(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}, \mu_2) = 0\)). la lecture « \(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}\) » (cohomologie relative de \(\mathbb{Q}\) modulo les adèles) est douteuse ; le terme du milieu de la formule se lit « \((\ill{}\ \mathbb{Q}_p)\) »

Comme l'image de \(H^1(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}, \mu_2)\) dans \(H^1(\mathbb{Q}, \mu_2)\) est nulle, on voit que l'équivalence rationnelle entre \((\mathcal{M},T)\) et \((\mathcal{M}',T')\) est déterminée à isom. unique près. Donc on peut identifier sans ambiguïté \((\mathcal{M},T)\) et \((\mathcal{M}',T')\).

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Soit \(\omega\) sur \(S_{\mathrm{zar}}\), avec \(F_\omega\), \(V_\omega\), … lui associe

1°) \(\mathcal{M} = \varphi^*(\omega)\), \(F_{\mathcal{M}} = \varphi^*(F_\omega)\), \(V_{\mathcal{M}} = \varphi^*(V_\omega)\), \(M = \omega^{p}\), \(\varepsilon^*(\Delta(\mathcal{M})) = \Delta^*(\omega)\) complexe can. assoc. à \(\omega^{\prime}\) par \(\omega^{p}\)

2°) Triangles

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & {\mathcal{T}_1^{(\omega)} = [\omega \xrightarrow{V_\omega} \omega^{p}]} \arrow[dl, "1"'] & \\
 {\mathcal{T}_0^{(\omega)} = [\omega^{V} \xrightarrow{F_\omega} \omega]} \arrow[rr] & & {\mathcal{T}_1^{(\omega)} = [\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}]} \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\(\mathcal{T}(\omega) \ne\) \(\bigl(\mathcal{T}_1^{(\omega)} = \Delta^*(\omega)\bigr)\) déduit de \(\omega\) le sommet porte l'indice « 1 » sous une surcharge ; le coin gauche est lu « \(\omega^{V}\) » (peut-être \(\omega^{(p)}\))

3°) Isom. canonique \[ \varphi^*(\mathcal{T}(\omega)) \overset{\alpha_\omega}{\simeq} \mathcal{T}(\varphi^*(\omega)) \] \[ \mathcal{T}(\omega)_1 \overset{\beta_\omega}{\simeq} \varepsilon^*\Delta^*(\mathcal{M}) \simeq [\omega \xrightarrow{0} \omega^{p}] \]

4°) L'identité

Question. Le foncteur \[ (\omega, F_\omega, V_\omega) \longmapsto \bigl(\varphi^*(\omega), \varphi^*(F_\omega), \varphi^*(V_\omega), \mathcal{T}(\omega), \alpha_\omega, \beta_\omega\bigr) \] est-il pl. fidèle ?? L'est-il du moins sur la sous-catégorie des triples \((\omega, F_\omega, V_\omega)\) avec \(F_\omega = 0\) ?

\[ \left\lbrace \begin{array}{l} \varphi^*(\omega) \xrightarrow{\ u\ } \varphi^*(\omega') \\ \mathcal{T}(\omega) \xrightarrow{\ v\ } \mathcal{T}(\omega') \end{array} \right. \] compatibles avec \(F\), \(V\) ; hom. de triangles rendant commutatifs les diagrammes sous \(v\), renvoi : « \(v_1\) déterminé comme \(\varepsilon^*(u)\) » ; sous le système : « \(\varphi^*(v)\) déterminé par \(u\) comme \(\mathcal{T}(u)\) »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{T}_1(\omega) \arrow[r, "v_1"] \arrow[d, Rightarrow, "\beta_\omega"'] & \mathcal{T}_1(\omega') \arrow[d, Rightarrow, "\beta_{\omega'}"] \\
\varepsilon^*\Delta^*(\varphi^*\omega) \arrow[d, no head, "\|" description] & \varepsilon^*(\Delta^*(\varphi^*\omega')) \arrow[d, no head, "\|" description] \\
\Delta^*(\omega) \arrow[r, "\varepsilon^*(u)"'] & \Delta^*(\omega')
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\varphi^*(\mathcal{T}(\omega)) \arrow[r, no head, "\alpha_\omega \,\sim"] \arrow[d, "\varphi^*(v)"'] & \mathcal{T}(\varphi^*\omega) \arrow[d, "\mathcal{T}(u)"] \\
\varphi^*(\mathcal{T}(\omega')) \arrow[r, no head, "\alpha_{\omega'} \,\sim"'] & \mathcal{T}(\varphi^*\omega')
\end{tikzcd}

les flèches \(\beta_\omega\), \(\beta_{\omega'}\) sont doubles ; la première porte en outre un signe surchargé

19

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & L' \arrow[dl] & \\
 L_\bullet \arrow[rr] & & \Delta(\mathcal{M}) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \mathcal{M}_{/V} \arrow[dl] & \\
 \mathcal{M}_{/F} \arrow[rr] & & {\mathcal{M}_{/p}^{(\varphi)} = \varphi^*(\Delta(\mathcal{M}))} \arrow[ul]
\end{tikzcd}

sous le premier triangle, une accolade sur \(L_\bullet \to \Delta(\mathcal{M})\) marquée « \(H_1^{\bullet}\) \(H_0\) » ; à droite de \(\mathcal{M}_{/V}\), un mot noirci

\[ 0 \to n \to \mathbf{D}_1 \to t^* \to \omega \to \mathbf{D}_0 \to \nu^* \to 0 \] \[ 0 \to {}_F\tilde{\mathcal{M}} \to {}_{F}\tilde{\mathcal{M}} \xrightarrow{F} {}_V\mathcal{M} \to \mathcal{M}_F \xrightarrow{V} \tilde{\mathcal{M}}_p \to \tilde{\mathcal{M}}_V \to 0 \] la seconde suite est lue par morceaux : au-dessus de \({}_V\mathcal{M} \to \mathcal{M}_F\) une flèche coudée passe par un \(\Theta\) (en crayon) ; les indices et les tildes sont incertains

\[ X_{\mathrm{cris}} \ \downarrow \varphi \ X_{\mathrm{zar}} \]

(a) descendre \(\mathcal{M}_{/F}\) et \(\mathcal{M}_{/p}\)

(b) descendre le triangle tout entier les deux lignes sont biffées d'un trait en zigzag

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
J \arrow[r, hook] \arrow[d] & B \arrow[r] \arrow[d, "\mu"] & A \arrow[d] \arrow[dr, "{\lambda \mapsto \lambda^p}"] & \\
JB' \arrow[r, hook] & B' \arrow[r] & B'/JB' \arrow[r] \arrow[ddr] & A \\
J^{(p)} & B \arrow[d, dashed] & B/J^{(p)}B \arrow[d] & \\
 & {} & B \arrow[r] & C \arrow[uu]
\end{tikzcd}

diagramme très retouché : sous \(JB'\), \(B'\), \(B'/JB'\), des signes d'égalité verticaux mènent à \(J^{(p)}\), \(B\), \(B/J^{(p)}B\) ; « \(\gamma^p\) » devant \(JB'\) ; une flèche en pointillé courbe vers le haut près de \(B\) ; une colonne sous \(B\) est noircie ; une flèche biffée \(C \to C\) ; l'arête courbe de \(A\) vers \(A\) est hachurée ; la case vide du tikzcd tient la place du pointillé

\[ B - A, \qquad B \otimes B \to A \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
J^{(p)}B \arrow[dr] & J \arrow[r, hook] \arrow[dr] & B \arrow[r, no head] \arrow[dr] & A \\
 & 0 & I \arrow[r, hook] & C' \arrow[r] & A
\end{tikzcd}

« p.d. » sous \(I\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & \Delta^*(\mathcal{M}) \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
 & \tilde{D}_1 & & \tilde{D}_0
\end{tikzcd}

\[ 0 \to n \to D_1 \to \tilde{D}_1 \to 0, \qquad 0 \to \tilde{D}_0 \to D_0 \to \nu^* \to 0 \] [uniques déterminés par \(\mathrm{I}(\mathcal{M})\)]

\[ (\mathrm{i}) \qquad 0 \to \tilde{D}_1 \to t^* \to \omega \to \tilde{D}_0 \to 0 \] au-dessus, \(t^* \to \vartheta \to \omega\) par une flèche coudée passant par \(\vartheta\) ; au-dessus de \(\tilde D_1\) un mot noirci

On descend \(\Theta\) en \(\vartheta\), et […] […] […] en extension de \(\tilde D'_0\) par \(\vartheta\) […] et de \(\vartheta\) par \(D'_1\) cette note est séparée des diagrammes par un trait vertical ondulé ; en dessous, un « A » noirci

(ii)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & t^*[1] \arrow[dl, "1"'] & \\
 \omega^* \arrow[rr] & & \tilde{\Delta}^*(\mathcal{M}) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

une flèche courbe marquée « connu » y renvoie ; un signe noirci à sa droite

[…] explic[…] descend : \(\mathcal{M}_F \to \varphi^*(\tilde\Delta^*(\mathcal{M}))\), \(\mathcal{M}_{/V}[1]\), (« \(\mathcal{M}_{/p}\) »)\('\)

i.e. on doit donner considérer les isom. \[ [t^* \to \omega]\,\struck{\ill{}} \simeq \tilde{\Delta}^*(\mathcal{M}) \] descendant […] ceux […] par \(\varphi^*\) de \(\Delta^*(\mathcal{M})\) […] isom. […] à […] près, ou […] \(\varphi^*\) dans

l'arbitraire est dans […] […], […] principalement, sans doute, i.e. dans \(\operatorname{Ext}^1(\tilde D_0, \tilde D_1)\) ou plus […] dans \[ \operatorname{Ext}^1(S_{\mathrm{zar}} \bmod S_{\mathrm{cris}}; \tilde D_0, \tilde D_1) ; \] les autres de la structure […] […] \[ \operatorname{Ext}^0(S_{\mathrm{zar}} \bmod S_{\mathrm{cris}}; \tilde D_0, \tilde D_1) = 0 \quad ! \] Obstruction à changer … dans \[ \operatorname{Ext}^2(S_{\mathrm{zar}} \bmod S_{\mathrm{cris}}, \tilde D_0, \tilde D_1) . \]

en haut à droite de la moitié inférieure, un diagramme de schémas : \[ \begin{array}{ccccc} \tilde{X} & \equiv & \widetilde{X \times X} & \equiv & \ldots \\ | & & & & \\ X & = & X \times X & \equiv & X \times X \times X \\ | & & & & \\ S' & = & S & = & S \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \tilde{X} & \Leftarrow & \widetilde{X \times X} & \Lleftarrow & \widetilde{X \times X \times X} \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \tilde{X} & \Leftarrow & X \times X & \Lleftarrow & X \times X \times X \\ \downarrow \mathrm{plat} & & \downarrow \mathrm{plat} & & \downarrow \mathrm{plat} \\ S & = & S & = & S \end{array} \] la lecture est approchée : à gauche « \(S \hookleftarrow X\) », \(\hookleftarrow\) entre \(\tilde X\) et \(X\) ; des flèches en pointillé bouclent sur chaque colonne ; une grande flèche courbe marquée « \(F_S\) » descend de \(\tilde X\) jusqu'au \(S\) du bas ; les tildes larges couvrent chaque produit