Cote n° 8 · pages 1–80 · Lecture modernisée · Cristaux (1970). Gribouillis et calculs divers : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1967- vers 1971]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–1

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier compte quatre-vingts pages, dont un peu plus de la moitié sont de la main de Grothendieck. Le reste se partage entre des feuillets de tapuscrits portant des corrections à la main, qui n'ont pas de rapport avec les notes voisines et sont décrits là où ils tombent, et des versos dactylographiés ou ronéotypés sans aucune intervention (un texte anglais sur les points doubles pseudo-rationnels, une « Tribu » de Bourbaki, deux cours polycopiés sur les variétés \(C^{r}\) et sur l'intégration), que la lecture ignore. Les pages de sa main forment six chantiers :

1. Pages 1 à 21. Descente du cristal de Dieudonné d'un groupe fini tué par \(p\) au site de Zariski, au moyen des complexes co-Lie de \(G\) et de son dual. Le programme est posé trois fois (pages 3–4, 9, 15–17), calculé dans le cas des groupes de Barsotti–Tate tronqués d'échelon 1 (pages 12–13), et ramené pour finir à un problème de descente dont l'indétermination est mesurée par des \(\operatorname{Ext}\) relatifs (page 19). Une page barrée, la page 16, traite d'autre chose.
2. Pages 24 à 30. Le module de Dieudonné d'un groupe de Barsotti–Tate ordinaire sur une base lisse, et plus généralement d'un \(F\)-cristal à connexion, calculé en coordonnées après choix d'un relèvement du Frobenius.
3. Pages 33 à 55. Les groupes de Barsotti–Tate sur \(\mathbb{F}_{q}\) sur lesquels opère l'anneau des entiers \(A\) d'un corps \(p\)-adique : classification par le module de Dieudonné, caractérisation de la dimension 1, relèvement en groupe de Lubin–Tate, et lecture du théorème de Tate sur ce relèvement.
4. Pages 57 à 59. Trois feuilles de papier quadrillé : des lignes polygonales et des comparaisons de fractions.
5. Pages 60 à 74. Le groupe de Galois tannakien des \(F\)-cristaux filtrés à isogénie près, puis la même liste de structures pour les motifs sur un ouvert de \(\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\), et une liste de conjectures.
6. Pages 77 à 80. Le complexe co-Lie d'un groupe de type multiplicatif, et la classe d'obstruction qu'il contient.

Le premier et le dernier chantier parlent du même objet, le complexe co-Lie \(\ell^{G}\) ; le deuxième et le troisième calculent des modules de Dieudonné ; le troisième et le cinquième parlent tous deux de comparaison entre le module de Tate et la filtration de Hodge. Rien dans le dossier ne dit dans quel ordre ces pages ont été écrites, et l'on ne prétend pas qu'elles forment un argument : ce sont des stations, et la lecture les prend dans l'ordre des pages.

Conventions, valables pour tout le dossier

\(p\) est un nombre premier. Pour un schéma \(S\) de caractéristique \(p\), \(F_{S}\) est son Frobenius absolu et, pour un \(\mathcal{O}_{S}\)-module \(E\), \(E^{(p)} = F_{S}^{*}E\). On écrit \(S_{\mathrm{zar}}\) pour le topos de Zariski de \(S\) et \(S_{\mathrm{cris}}\) pour le topos cristallin de \(S\) sur \(\mathbb{F}_{p}\) (sur \(\mathbb{Z}_{p}\) quand on le précise).

Le morphisme \(\varphi\). La lettre \(\varphi\) désigne dans tout le document le morphisme de topos \[ \varphi\colon S_{\mathrm{cris}} \longrightarrow S_{\mathrm{zar}}, \qquad \varphi\,\varepsilon = F_{S}, \] où \(\varepsilon\colon S_{\mathrm{zar}} \to S_{\mathrm{cris}}\) est le morphisme canonique. Il existe pour la raison que la page 19 dessine : si \((U, T, \delta)\) est un épaississement à puissances divisées en caractéristique \(p\), d'idéal \(J\), alors \(x^{p} = p!\,\gamma_{p}(x) = 0\) pour \(x \in J\), donc le Frobenius de \(T\) se factorise par \(U\), et l'on pose \(\varphi^{*}(E)_{T} = (T \to U \to S)^{*}E\). Pour un cristal \(\mathcal{M}\) sur \(S_{\mathrm{cris}}\), \(\varphi^{*}\varepsilon^{*}\mathcal{M} = \mathcal{M}^{(p)}\) est sa tordue par Frobenius, et pour un module \(E\) sur \(S_{\mathrm{zar}}\), \(\varepsilon^{*}\varphi^{*}E = E^{(p)}\).¹

Le cristal et sa valeur. \(\mathcal{M}\) (lettre ronde) est un cristal, \(M = \varepsilon^{*}\mathcal{M}\) (lettre droite) sa valeur sur \(S_{\mathrm{zar}}\). Pour un groupe fini localement libre \(G\), \(\mathbb{D}^{*}(G)\) est son cristal de Dieudonné (contravariant), muni de \(F\colon \mathbb{D}^{*}(G)^{(p)} \to \mathbb{D}^{*}(G)\) et \(V\colon \mathbb{D}^{*}(G) \to \mathbb{D}^{*}(G)^{(p)}\), et \(G^{*}\) est le dual de Cartier de \(G\).²

Le complexe co-Lie. \(\ell^{G}\) est le complexe co-Lie de \(G\) au sens d'Illusie, de tor-amplitude \([-1, 0]\) pour \(G\) fini localement libre, avec \[ \omega_{G} = H^{0}(\ell^{G}), \qquad n_{G} = H^{-1}(\ell^{G}), \qquad t_{G} = \omega_{G}^{\vee} = \operatorname{Lie}(G). \] La page écrit tantôt \(\ell^{G}_{\bullet}\), tantôt \(\ell_{\bullet}\) pour \(\ell^{G}\) et \(\ell'_{\bullet}\) pour \(\ell^{G^{*}}\) ; le « \(\check{\ ~}\) » désigne le dual \(R\mathcal{H}om(-, \mathcal{O})\).³

Les corps locaux (pages 33 à 74). \(K\) est une extension finie de \(\mathbb{Q}_{p}\), d'anneau d'entiers \(A\), d'uniformisante \(\pi\), d'indice de ramification \(e\), de corps résiduel \(k = \mathbb{F}_{q}\), \(q = p^{f}\), et \(h = ef = [K : \mathbb{Q}_{p}]\) ; \(W = W(k)\), \(K_{0} = W[1/p]\), \(\sigma\) est le Frobenius de \(W\). \(\Gamma_{K} = \operatorname{Gal}(\bar K/K)\), et \(\mathbb{C}_{p}\) est le complété de \(\bar K\).⁴

1–5

Le cristal d'un groupe tué par \(p\) et sa descente (pages 1 à 5)

Les données (pages 3 et 4)

Soit \(G\) un schéma en groupes commutatif fini localement libre, tué par \(p\), sur une base \(S\) de caractéristique \(p\). Le programme, posé page 4 comme une liste de structures qu'on « associe (conjecturalement) » à \(G\) et repris page 3 pour un cristal abstrait, est le suivant.

a) Un cristal \(\mathcal{M} = \mathbb{D}^{*}(G)\) sur \(S_{\mathrm{cris}}\), localement libre de type fini, fonctoriel en \(G\), avec \[ \mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{\ F\ } \mathcal{M} \xrightarrow{\ V\ } \mathcal{M}^{(p)}, \qquad FV = 0, \quad VF = 0. \]

b) Un complexe parfait \(\Delta = \Delta(\mathcal{M})\) sur \(S_{\mathrm{cris}}\), de tor-amplitude dans un intervalle de longueur 1, dont les deux faisceaux de cohomologie sont isomorphes à \(\mathcal{M}\), muni de \(F_{\Delta}\), \(V_{\Delta}\) avec \(F_{\Delta}V_{\Delta} = V_{\Delta}F_{\Delta} = 0\), et deux triangles distingués \[ (\mathrm{I}) \quad [\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}] \xrightarrow{\ i_{\mathrm{I}}\ } \Delta^{(p)} \xrightarrow{\ \pi_{\mathrm{I}}\ } [\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}] \xrightarrow{\ \partial_{\mathrm{I}}\ } , \] \[ (\mathrm{II}) \quad [\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}] \xrightarrow{\ i_{\mathrm{II}}\ } \Delta \xrightarrow{\ \pi_{\mathrm{II}}\ } [\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}] \xrightarrow{\ \partial_{\mathrm{II}}\ } , \] avec \(\Delta^{(p)} \simeq \varphi^{*}(\varepsilon^{*}\Delta)\).⁵

c) Sur \(S_{\mathrm{zar}}\), les complexes co-Lie \(\ell = \ell^{G}\) et \(\ell' = \ell^{G^{*}}\), de tor-amplitude \([-1,0]\), et un accouplement \((\ell^{G^{*}})^{\vee} \to \ell^{G}\), c'est-à-dire une flèche \(\mathcal{O}_{S} \to \ell^{G^{*}} \otimes^{L} \ell^{G}\).⁶

d) Un triangle distingué sur \(S_{\mathrm{zar}}\), posant \(\Delta_{\mathrm{zar}} = \varepsilon^{*}\Delta\), \[ (\mathrm{III}) \quad \ell[-1] \xrightarrow{\ i_{0}\ } \Delta_{\mathrm{zar}} \xrightarrow{\ \pi_{0}\ } \check\ell' \xrightarrow{\ \partial_{0}\ } , \] et des isomorphismes \(\varphi^{*}(\ell[-1]) \simeq [\mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M}]\), \(\varphi^{*}(\check\ell') \simeq [\mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)}]\) qui identifient \(\varphi^{*}(\mathrm{III})\) au triangle (I).

C'est là tout le sens du programme. Le triangle (I) est une « filtration » du complexe \(\varphi^{*}\Delta_{\mathrm{zar}} = \Delta^{(p)}\) sur le site cristallin ; (III) en est une descente au site de Zariski, et ce qui descend, ce sont les complexes co-Lie de \(G\) et de \(G^{*}\). Si \(M = \varepsilon^{*}\mathcal{M}\) (un module localement libre muni d'une connexion intégrable), on en tire en appliquant \(\varepsilon^{*}\) \[ \ell[-1]^{(p)} \simeq [M^{(p)} \xrightarrow{F_{M}} M], \qquad \check\ell'^{(p)} \simeq [M \xrightarrow{V_{M}} M^{(p)}], \] ce que la page encadre d'un point d'exclamation, avec en marge « comp. avec connexion ».

Le cas où \(F\) est nul (page 1)

La page 1, écrite avant ou à côté de ce programme, en calcule un cas. Si \(G\) est de hauteur \(\le 1\) — le noyau du Frobenius d'un groupe lisse \(H\) —, son cristal est \(\varphi^{*}(\omega)\) avec \(\omega = \omega_{G}\), le Frobenius du cristal est nul, et \(V\) est \(\varphi^{*}\) de la flèche \[ C\colon \omega \longrightarrow \omega^{(p)}, \] transposée de l'application puissance \(p\)-ième de l'algèbre de Lie.⁷ Le complexe co-Lie se calcule alors à la main : \(G = \operatorname{Ker}(F_{H})\) donne \(\ell^{G} \simeq [\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega]\), la différentielle du Frobenius étant nulle, et le triangle (III) devient \[ [\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega] \xrightarrow{(\mathrm{id},\,C)} [\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}] \xrightarrow{(0,\,\mathrm{id})} [\omega \xrightarrow{C} \omega^{(p)}] \xrightarrow{(\mathrm{id},\,0)} , \] où le terme du milieu est \(\Delta_{\mathrm{zar}}\), à cohomologie \(\omega^{(p)} = M\) en chaque degré.⁸ Le haut de la page note aussi la suite exacte \(0 \to {}_{F}\mathcal{M}^{(p)} \to \mathcal{M} \to {}_{V}\mathcal{M}^{(p)} \to\), inachevée.

Compatibilités avec \(F\) et \(V\) (pages 3 et 5)

Sur \(\ell\) et \(\ell'\), les structures sont \(V_{\ell}\colon \ell \to \ell^{(p)}\), \(F_{\ell} = 0\), et de même pour \(\ell'\). La page 3 les définit à partir des triangles : \[ F_{\check\ell'} := \pi_{0}\,\varepsilon^{*}(i_{\mathrm{II}}) = {}^{t}V_{\ell'}, \qquad V_{\ell}[-1] := \varepsilon^{*}(\pi_{\mathrm{II}})\, i_{0}. \] La page 5 annonce deux énoncés : 1) le triangle (III) est compatible aux structures \((F, V)\) — « à prouver ! » ; 2) l'isomorphisme \(\varphi^{*}(\mathrm{III}) \simeq (\mathrm{I})\) l'est aussi. Elle vérifie que \(i_{0}\) est compatible à \(V\) et \(\pi_{0}\) à \(F\) (le reste « de même »), que \(\partial_{0}\) est compatible à \(F\) parce que \(\partial_{0}\,\pi_{0}\,\varepsilon^{*}(i_{\mathrm{II}}) = 0\) (deux flèches consécutives d'un triangle), et pour 2) le calcul \[ \varphi^{*}(V_{\ell}[-1]) = \varphi^{*}\varepsilon^{*}(\pi_{\mathrm{II}})\, \varphi^{*}(i_{0}) = \pi_{\mathrm{II}}^{(p)}\, i_{\mathrm{I}} = V_{[\mathcal{M}^{(p)} \to \mathcal{M}]}, \] « et l'autre relation se prouve de même !! ».⁹ Le point 1), en tant qu'existence de (III), n'est établi nulle part dans le dossier.

6–14

Un tapuscrit intercalé (pages 6, 8, 10 et 14)

Quatre feuillets d'un tapuscrit français, numérotés 32, 33, 35 et 37.1, s'intercalent entre ces notes. Ils portent la fin de la démonstration d'un théorème de changement de base propre pour les faisceaux de torsion (un théorème (5.1) à trois volets (i), (ii), (iii) pour des triples \((g, f, F)\)), le Lemme (8.3) — si \(\pi\colon \bar X \to X\) est propre et surjectif au-dessus de \(S\), les énoncés (5.1) pour \(\bar f\) et pour \(\pi\) entraînent ceux pour \(f\) — et le Lemme (8.4), qui ramène (5.1) au cas \(f\) projectif. Les corrections à la main sont de rédaction : « s'ensuit » remplacé par « résulte », « applicable » par « pertinent », l'énoncé (i) du Lemme (8.3) biffé et remplacé par « Assertion vide », un « un peu bref, faire l'argument » en marge, des renvois complétés.¹⁰ Ils n'ont pas de rapport avec les cristaux.

7–9

D'où viennent les deux triangles (pages 7 et 9)

\(F\) et \(V\) se lisent sur les triangles (page 7)

La page 7 récrit les deux triangles avec des lettres abstraites : \(A \to \mathfrak{X}^{(p)} \to B \to\) pour (I) et \(B \to \mathfrak{X} \to A \to\) pour (II). Elle observe que le Verschiebung de \(\mathfrak{X}\) est le composé \[ V_{\mathfrak{X}} = i_{\mathrm{I}}\,\pi_{\mathrm{II}}\colon \mathfrak{X} \to A \to \mathfrak{X}^{(p)}, \] et, de même, \(F_{\mathfrak{X}} = i_{\mathrm{II}}\,\pi_{\mathrm{I}}\colon \mathfrak{X}^{(p)} \to B \to \mathfrak{X}\).¹¹ Les relations \(F_{\mathfrak{X}}V_{\mathfrak{X}} = 0\) et \(V_{\mathfrak{X}}F_{\mathfrak{X}} = 0\) sont alors automatiques, puisque \(\pi_{\mathrm{I}}\,i_{\mathrm{I}} = 0\) et \(\pi_{\mathrm{II}}\,i_{\mathrm{II}} = 0\). Il se demande encore si les composés des cobords \(\partial_{\mathrm{I}}\partial_{\mathrm{II}}\) et \(\partial_{\mathrm{II}}\partial_{\mathrm{I}}\) sont nuls (« nul ? », entouré deux fois), et note que \(\varepsilon^{*}\) envoie (I) sur la tordue \((\mathrm{II})^{(p)}\).

Le cristal sur \(\mathbb{Z}_{p}\) (page 9)

La page 9 reprend tout avec une donnée plus naturelle, et c'est elle qui explique les triangles. On part d'un cristal \(\mathcal{D}\) sur \(S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{Z}_{p}\), de présentation finie et de tor-amplitude \([-1, 0]\), avec \(F\) et \(V\) — par exemple le cristal de Dieudonné de \(G\), qui est tué par \(p\) si \(G\) l'est. On pose \[ \Delta = \mathcal{D} \otimes^{L} \mathbb{Z}/p \] sur \(S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_{p}\). Si \(\mathcal{D}\) est tué par \(p\), les deux faisceaux de cohomologie de \(\Delta\) sont \(\mathcal{D}[p] = \mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}/p = \mathcal{D}\) : c'est exactement la propriété demandée page 3. Et les triangles sont ceux de l'axiome de l'octaèdre appliqué aux deux factorisations de \(p\) : \[ p = V F \ \text{ sur } \mathcal{D}^{(p)} \ \Longrightarrow\ \mathcal{D}\overset{L}{\otimes}/F \to \mathcal{D}^{(p)}\overset{L}{\otimes}/p \to \mathcal{D}\overset{L}{\otimes}/V \to , \] \[ p = F V \ \text{ sur } \mathcal{D} \ \Longrightarrow\ \mathcal{D}\overset{L}{\otimes}/V \to \mathcal{D}\overset{L}{\otimes}/p \to \mathcal{D}\overset{L}{\otimes}/F \to , \] où « \(\otimes^{L}/u\) » désigne le cône de \(u\). Ce sont (I) et (II), avec \(\mathcal{D}^{(p)}\otimes^{L}/p \simeq \varphi^{*}(\Delta_{\mathrm{zar}})\).¹²

Le point b) devient alors, sans conjecture : descendre à \(S_{\mathrm{zar}}\), via \(\varphi\), la filtration (I) de \(\varphi^{*}(\Delta_{\mathrm{zar}})\), c'est-à-dire trouver le triangle (III). Et la page va un cran plus loin : sur un épaississement à puissances divisées \(S'\) de \(S\), on dispose de \(\Delta(S') = \mathcal{D} \otimes^{L} \mathcal{O}_{S'}\), qui prolonge \(\Delta\), et il faut se donner un prolongement \(\bar\ell[-1] \to \Delta(S') \to \check{\bar\ell}'\) du triangle (III).¹³ C'est l'esquisse d'une théorie des déformations par les cristaux : déformer \(G\), c'est prolonger la filtration.

11–13

Questions, et le cas des groupes tronqués d'échelon 1 (pages 11 à 13)

Quatre questions (page 11)

a) Les catégories de structures a), b) définissent-elles des champs sur \(S_{\mathrm{zar}}\) ?

b) Le foncteur qui oublie la descente et ne garde que le cristal \(\mathcal{M}\) sur \(S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_{p}\) est-il fidèle ?¹⁴

c) Le foncteur naturel qui va des modules localement libres \(\omega\) sur \(S_{\mathrm{zar}}\), munis de \(F_{\omega}\), \(V_{\omega}\), vers les structures a), b) est fidèle ; est-il pleinement fidèle ? L'est-il du moins sur la sous-catégorie \(F_{\omega} = 0\), ou sur celle où \(\operatorname{Ker} F = \operatorname{Im} V\) ?

d) Peut-on à \((\omega, F_{\omega}, V_{\omega})\) associer un schéma en groupes fini localement libre sur \(S\) ?¹⁵

Les groupes de Barsotti–Tate tronqués d'échelon 1 (pages 12 et 13)

Supposons \(G\) de Barsotti–Tate tronqué d'échelon 1, c'est-à-dire que \[ \mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M} \xrightarrow{V} \mathcal{M}^{(p)} \xrightarrow{F} \mathcal{M} \] est exacte, ce qui équivaut à l'exactitude de la suite correspondante pour \(M\). Prenons la cohomologie du triangle (III). En degré 1 on obtient, avec \(\omega = H^{1}(\ell[-1]) = H^{0}(\ell)\) et \(\nu' = H^{1}(\check\ell')\), tous deux localement libres, une filtration \[ 0 \to \omega \to M \to \nu' \to 0 \] telle que, dans \(\varphi^{*}(M) = \mathcal{M}^{(p)}\), le sous-cristal \(\varphi^{*}(\omega)\) soit \(\operatorname{Im}(V\colon \mathcal{M} \to \mathcal{M}^{(p)})\). En degré 0, avec \(n = H^{-1}(\ell)\) et \(t' = H^{0}(\check\ell')\), \[ 0 \to n \to M \to t' \to 0, \qquad \varphi^{*}(n) = \operatorname{Ker}(F\colon \mathcal{M}^{(p)} \to \mathcal{M}). \] Comme \(\operatorname{Ker} F = \operatorname{Im} V\), on a \(\varphi^{*}(n) = \varphi^{*}(\omega)\), et la page conclut \[ n = \omega, \qquad t' = \nu' . \] On retrouve deux faits connus : la tordue par Frobenius de la filtration de Hodge \(0 \to \omega_{G} \to M \to t_{G^{*}} \to 0\) est \(\operatorname{Ker} F = \operatorname{Im} V\), et \(n_{G} \simeq \omega_{G}\) — ce qu'on voit aussi en écrivant localement \(G = X[p]\) pour un groupe de Barsotti–Tate \(X\), d'où \(\ell^{G} \simeq [\omega_{X} \xrightarrow{p} \omega_{X}]\), de différentielle nulle en caractéristique \(p\).¹⁶

Reste à savoir si \(\mathcal{M}\), \(F\), \(V\) suffisent à reconstituer toute la donnée b). On peut déjà construire \[ V_{\omega}\colon \omega \to \omega^{(p)}, \qquad F_{t'}\colon t'^{(p)} \to t', \] le premier parce que \(\omega^{(p)} = \operatorname{Im}(V_{M})\), en restreignant \(V_{M}\) à \(\omega\) ; le second parce que \(t'^{(p)} = \operatorname{Coker}(V_{M})\) et que \(F_{M}\), nul sur l'image de \(V_{M}\), se factorise en une injection \(t'^{(p)} \hookrightarrow M\), qu'on compose avec \(M \to t'\). Le dual \(\omega' = \check t'\) reçoit ainsi \(V_{\omega'} = {}^{t}F_{t'}\). La page 13 dessine les carrés correspondants, et une esquisse inachevée où les deux constructions se rejoignent sur la suite \(0 \to \omega \to M \to t' \to 0\).¹⁷

15–17

Le programme en quatre points (pages 15 et 17)

La page 15 reformule la donnée pour un cristal \(\mathcal{M}\) de présentation finie sur \(S_{\mathrm{cris}}/\mathbb{F}_{p}\) avec \(F\), \(V\) :

1° les triangles \(\mathrm{I}(\mathcal{M})\colon L(\mathcal{M}) \to \Delta(\mathcal{M})^{(p)} \to L'(\mathcal{M}) \to\) et \(\mathrm{II}(\mathcal{M})\), avec \(\varepsilon^{*}\mathcal{M} = M\) ;

2° un triangle \(\mathcal{T}\colon \mathcal{T}_{0} \to \mathcal{T}_{1} \to \mathcal{T}_{2} \to\) de complexes parfaits de tor-amplitude dans \([-1,0]\) sur \(S_{\mathrm{zar}}\), peut-être muni de \(F\) et \(V\) (« F-V-triangles ? ») ;

3° un isomorphisme de triangles \(\alpha\colon \varphi^{*}(\mathcal{T}) \simeq \mathrm{I}(\mathcal{M})\) ;

4° un isomorphisme \(\beta\colon \mathcal{T}_{1} \simeq \varepsilon^{*}\Delta(\mathcal{M})\) tel que \(\varphi^{*}(\beta)\) et \(\alpha_{1}\) coïncident, modulo l'identification \(\varphi^{*}\varepsilon^{*}\Delta(\mathcal{M}) = \Delta(\mathcal{M})^{(p)}\).¹⁸

La condition 4° est le point délicat : \(\mathcal{T}_{1}\), sur le site de Zariski, doit être la valeur de \(\Delta\), et pas seulement en devenir une après \(\varphi^{*}\).

La page 17 en donne l'exemple qui guide tout. À \(\omega\) sur \(S_{\mathrm{zar}}\) muni de \(F_{\omega}\), \(V_{\omega}\), on associe : \(\mathcal{M} = \varphi^{*}(\omega)\), \(F_{\mathcal{M}} = \varphi^{*}(F_{\omega})\), \(V_{\mathcal{M}} = \varphi^{*}(V_{\omega})\), donc \(M = \omega^{(p)}\) ; le triangle \[ \mathcal{T}(\omega)\colon\quad [\omega^{(p)} \xrightarrow{F_{\omega}} \omega] \longrightarrow [\omega^{(p)} \xrightarrow{0} \omega^{(p)}] \longrightarrow [\omega \xrightarrow{V_{\omega}} \omega^{(p)}] \longrightarrow , \] dont le terme du milieu est \(\Delta(\omega) = \varepsilon^{*}\Delta(\mathcal{M})\) ; des isomorphismes canoniques \(\alpha_{\omega}\colon \varphi^{*}\mathcal{T}(\omega) \simeq \mathcal{T}(\varphi^{*}\omega)\) et \(\beta_{\omega}\) ; et pour 4°, l'identité.¹⁹

Question. Le foncteur \[ (\omega, F_{\omega}, V_{\omega}) \longmapsto \bigl(\varphi^{*}\omega,\ \varphi^{*}F_{\omega},\ \varphi^{*}V_{\omega},\ \mathcal{T}(\omega),\ \alpha_{\omega},\ \beta_{\omega}\bigr) \] est-il pleinement fidèle ? L'est-il du moins sur la sous-catégorie \(F_{\omega} = 0\) ? Un morphisme de but est une paire \((u, v)\), \(u\colon \varphi^{*}\omega \to \varphi^{*}\omega'\) compatible à \(F\) et \(V\), \(v\colon \mathcal{T}(\omega) \to \mathcal{T}(\omega')\) un morphisme de triangles, rendant commutatifs les carrés formés avec \(\alpha\) et \(\beta\) ; la page note que \(v_{1}\) est alors déterminé comme \(\varepsilon^{*}(u)\), et \(\varphi^{*}(v)\) comme \(\mathcal{T}(u)\). La question reste ouverte dans le dossier.

16–16

Une page barrée : rigidité d'une donnée adélique (page 16)

La page 16, barrée de deux traits de crayon, traite d'autre chose, dont le dossier ne donne pas le contexte : une donnée \((\mathcal{M}, T)\) — la page ajoute « i.e. \(G\) » — munie de structures adéliques \((T_{\mathcal{A}'}, u_{\mathcal{A}'}, t_{\infty}, t_{p})\), où \(\mathcal{A}\) désigne les adèles de \(\mathbb{Q}\).²⁰ Deux énoncés :

(3) Indétermination. La catégorie de ces données, pour \((\mathcal{M}, T)\) fixé, est un torseur sous la catégorie des \(\mu_{2}\)-torseurs sur \(\mathcal{A}\) ; ses classes d'isomorphisme forment un torseur sous \(H^{1}(\mathcal{A}, \mu_{2}) = \mathcal{A}^{*}/\mathcal{A}^{*2}\), et les automorphismes d'un objet forment \(H^{0}(\mathcal{A}, \mu_{2}) = \prod_{v} \{\pm 1\}\).²¹

(4) Rigidité. Les équivalences entre deux telles données forment une catégorie vide ou un torseur sous la catégorie des \(\mu_{2}\)-torseurs sur \(\mathbb{Q}\) trivialisés sur \(\mathcal{A}\). Les invariants de cette dernière sont les groupes de cohomologie relative \[ H^{1}(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}, \mu_{2}) \simeq \Bigl(\prod_{v} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\Bigr)\big/(\pm 1), \qquad H^{0}(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}, \mu_{2}) = 0 . \] Les deux valeurs sont justes : elles découlent de la suite exacte \(\mu_{2}(\mathbb{Q}) \to \mu_{2}(\mathcal{A}) \to H^{1}(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A}) \to \mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*2} \to \mathcal{A}^{*}/\mathcal{A}^{*2}\), dont la dernière flèche est injective — un rationnel partout localement carré est un carré. C'est aussi ce qui donne la conclusion de la page : l'image de \(H^{1}(\mathbb{Q} \bmod \mathcal{A})\) dans \(H^{1}(\mathbb{Q}, \mu_{2})\) est nulle, donc l'équivalence rationnelle entre deux données est déterminée à isomorphisme unique près, et l'on peut les identifier sans ambiguïté.²²

19–21

La descente comme problème de déformation (pages 19 et 21)

Où est l'arbitraire (page 19)

La page 19 prend le problème du point de vue de la descente. On part des deux triangles \(L \to \Delta(\mathcal{M}) \to L'\) et \(\mathcal{M}_{/F} \to \varphi^{*}\Delta(\mathcal{M}) \to \mathcal{M}_{/V}\), et de la suite exacte longue de cohomologie, de la forme \[ 0 \to n \to D_{1} \to t^{*} \to \omega \to D_{0} \to \nu^{*} \to 0, \] où \(D_{1}\), \(D_{0}\) sont les cohomologies de \(\Delta\). On la coupe en \[ 0 \to n \to D_{1} \to \tilde D_{1} \to 0, \qquad 0 \to \tilde D_{0} \to D_{0} \to \nu^{*} \to 0, \qquad 0 \to \tilde D_{1} \to t^{*} \to \omega \to \tilde D_{0} \to 0, \] les deux premières « déterminées de façon unique par \(\mathrm{I}(\mathcal{M})\) ». Ce qu'il faut descendre se réduit alors à un isomorphisme entre le complexe \([t^{*} \to \omega]\) et un complexe \(\tilde\Delta(\mathcal{M})\) d'amplitude 1 de cohomologies \(\tilde D_{1}\), \(\tilde D_{0}\), isomorphisme dont on connaît l'image par \(\varphi^{*}\).²³ Et la page situe l'arbitraire : \[ \text{automorphismes} \in \operatorname{Ext}^{0}(S_{\mathrm{zar}} \bmod S_{\mathrm{cris}};\ \tilde D_{0}, \tilde D_{1}) = 0, \] \[ \text{choix} \in \operatorname{Ext}^{1}(\ldots), \quad \text{obstruction} \in \operatorname{Ext}^{2}(\ldots), \] où « \(S_{\mathrm{zar}} \bmod S_{\mathrm{cris}}\) » désigne des \(\operatorname{Ext}\) relatifs au foncteur \(\varphi^{*}\) — ceux qui mesurent la différence entre \(\operatorname{Ext}_{S_{\mathrm{zar}}}(\tilde D_{0}, \tilde D_{1})\) et \(\operatorname{Ext}_{S_{\mathrm{cris}}}(\varphi^{*}\tilde D_{0}, \varphi^{*}\tilde D_{1})\). C'est le schéma habituel d'une théorie des déformations, en degrés 0, 1 et 2, et le « \(= 0\) ! » de la page dit que la descente, quand elle existe, est rigide.²⁴

En haut à droite de la moitié inférieure, un diagramme de schémas : \(S\) plongé dans un \(X\), les produits \(X \times_{S} X\), \(X \times_{S} X \times_{S} X\) avec leurs enveloppes \(\tilde X\), \(\widetilde{X \times X}\), \(\widetilde{X \times X \times X}\), plates sur \(S\), et une flèche « \(F_{S}\) » descendant de \(\tilde X\) à \(S\). C'est le calcul habituel d'un cristal par les enveloppes à puissances divisées d'un plongement et de ses puissances fibrées, auquel la factorisation du Frobenius ajoute la flèche vers \(S\).²⁵

Une comparaison qui n'est pas injective (page 21)

La page 21, au crayon, sans une phrase suivie, fait le calcul que la question de fidélité de la page 11 appelle. Elle munit \(\Delta\) de la filtration \(\operatorname{Fil}^{0} = \Delta\), \(\operatorname{Fil}^{1} = \ell\), \(\operatorname{Fil}^{2} = 0\), et compare, pour \(\Theta = \mathcal{O}_{X}[1]\), \[ \operatorname{Hom}_{D(X)}(\check\ell'[1], \Theta) \to \operatorname{Hom}(\Delta, \Theta) \quad\text{et}\quad \operatorname{Hom}_{D(X_{\mathrm{cris}})}(\varphi^{*}\check\ell'[1], \varphi^{*}\Theta). \] Elle écrit la suite exacte à six termes \[ 0 \to n_{G^{*}} \to \mathbb{D}^{*}(G)^{\vee} \to t_{G} \to \omega_{G^{*}} \to \mathbb{D}^{*}(G^{*}) \to \nu_{G} \to 0, \] qui est la cohomologie du triangle (III) écrit pour \(G^{*}\), et la suite d'hypercohomologie correspondante. Elle conclut par deux constats : \(H^{1}(\mathbb{D}^{*}(G)^{\vee}) = 0\), et \[ \operatorname{Ker}\bigl(H^{1}(n_{G^{*}}) \to H^{1}_{\mathrm{cris}}(n_{G^{*}})\bigr) \ne 0 . \] Autrement dit : la cohomologie de Zariski ne s'injecte pas dans la cohomologie cristalline de l'image par \(\varphi^{*}\), et c'est un obstacle à la fidélité espérée page 11.²⁶

24–30

Groupes de Barsotti–Tate ordinaires et \(F\)-cristaux à connexion (pages 24 à 30)

La catégorie \(\mathbf{C}\) (page 24)

Soit \(S_{0}\) un schéma lisse sur un corps parfait \(k\), \(S\) un schéma formel formellement lisse sur \(W\) qui le relève, et \(F_{S}\) un endomorphisme de \(S\) relevant le Frobenius absolu de \(S_{0}\) et compatible à \(\sigma\) sur \(W\). Soit \(\mathrm{BTO}(S_{0})\) la catégorie des groupes de Barsotti–Tate ordinaires sur \(S_{0}\), et \(\mathbf{C} = \mathbf{C}_{S, F_{S}}\) la catégorie des sextuples \((P', Q', M, \nabla, F_{M}, \operatorname{Fil}_{0})\) :

• \(P'\), \(Q'\) des faisceaux \(p\)-adiques localement constants (tordus), libres de type fini ;
• \(M\) une extension \(0 \to Q' \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} \mathcal{O}_{S} \to M \to P' \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} \mathcal{O}_{S} \to 0\) ;
• \(\nabla\) une connexion intégrable sur \(M\), compatible à la structure d'extension, les termes extrêmes ayant leur connexion canonique ;
• \(F_{M}\colon F_{S}^{*}M \to M\) un morphisme d'extensions horizontal, induisant l'isomorphisme canonique sur \(Q'\) et \(p\) fois l'isomorphisme canonique sur \(P'\) ;
• \(\operatorname{Fil}_{0}\) un scindage de l'extension réduite \(M_{0}\), compatible à \(F_{M_{0}}\).

Sur \(Q'\) le Frobenius est un isomorphisme (pente 0), sur \(P'\) il est \(p\) fois un isomorphisme (pente 1) : c'est ce qu'« ordinaire » veut dire. On a un foncteur canonique, le module de Dieudonné, \(\mathbb{D}\colon \mathrm{BTO}(S_{0})^{\circ} \to \mathbf{C}\), et la page pose la Question : est-ce une équivalence de catégories ?²⁷

En coordonnées (pages 25 et 26)

Choisissons un scindage de l'extension, \(s\colon M \xrightarrow{\sim} P'\otimes\mathcal{O}_{S} \oplus Q'\otimes\mathcal{O}_{S}\), et notons \(T = P'^{\vee} \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} Q' = \mathcal{H}om(P', Q')\). Un autre scindage s'écrit \(s' = u\,s\) avec \[ u(x, y) = (x,\ y + Lx), \qquad L \in \Gamma(T \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} \mathcal{O}_{S}). \] Le Frobenius, lu dans le scindage \(s\), est \[ F_{M,s}(x, y) = (px,\ y + \Phi x), \qquad \Phi = \Phi_{M,s} \in \Gamma(T \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} \mathcal{O}_{S}), \] et la connexion est \(\nabla_{M,s}(x, y) = (dx,\ dy + \omega x)\), avec \(\omega = \omega_{M,s} \in \Gamma(\hat\Omega^{1}_{S/W} \otimes T)\).²⁸ De \(F_{M,s'} F_{S}^{*}(u) = u F_{M,s}\) et de \(\nabla_{M,s'} = u\nabla_{M,s}u^{-1}\) on tire les lois de changement de scindage \[ \Phi' = \Phi + \bigl(pL - F_{S}^{*}(L)\bigr), \qquad \omega' = \omega - dL . \] Et le triple de conditions qui exprime qu'on a bien un objet de \(\mathbf{C}\) : \[ d\omega = 0, \qquad F_{S}^{*}(\omega) - p\,\omega = d\Phi, \qquad \Phi_{0} = 0, \] la première exprimant que \(\nabla\) est intégrable (le terme \(\omega \wedge \omega\) est nul, \(\omega\) étant strictement triangulaire), la deuxième que \(F_{M}\) est horizontal, la troisième que \(F_{M_{0}}\) respecte \(\operatorname{Fil}_{0}\).²⁹ La classification de \(\mathbf{C}\) est donc celle des paires \((\Phi, \omega)\) soumises à ces conditions, modulo l'action des \(L\) nuls sur \(S_{0}\).

Le cas d'un module libre quelconque (pages 28 et 30)

La page 28 refait le calcul pour un \(F\)-cristal \(M = E \otimes \mathcal{O}_{S}\), \(E\) libre de type fini, de matrice de connexion \(A \in \Gamma(\hat\Omega^{1}_{S/W} \otimes \operatorname{End} E)\) et de Frobenius \(\Phi\colon F_{S}^{*}(E_{S}) \simeq E_{S} \to E_{S}\), qui devient un isomorphisme après \(\otimes \mathbb{Q}_{p}\). Avec \(A^{\sigma} = F_{S}^{*}(A)\) : \[ d\Phi = \Phi A^{\sigma} - A\,\Phi, \qquad dA + A \wedge A = 0, \qquad \exists\,\Psi,\ i : \ \Psi\Phi = p^{i}\,\mathrm{id}, \] pour l'horizontalité de \(F\), l'intégrabilité, et le fait que \(\Phi\) est une isogénie.³⁰ La page 30 donne les morphismes : \(u\colon E_{S} \to E'_{S}\) est un morphisme si \[ du = u A - A' u, \qquad F_{M'}\, u^{\sigma} = u\, F_{M} . \]

Exemple : les modules inversibles. Pour \(M\) de rang 1, \(\Phi = a \in \Gamma(\mathcal{O}_{S})\) et \(A = \omega \in \Gamma(\hat\Omega^{1}_{S/W})\) ; les conditions deviennent \[ da = a(\omega^{\sigma} - \omega), \qquad d\omega = 0, \qquad ab = p^{i}, \] et deux tels objets \((a, \omega)\), \((a', \omega')\) sont isomorphes s'il existe \(u \in \Gamma(\mathcal{O}_{S}^{*})\) avec \[ \omega' - \omega = -\frac{du}{u}, \qquad \frac{a'}{a} = \frac{u}{u^{\sigma}} . \] D'où la classification des données de rang 1 sur un module trivial par la cohomologie du complexe \[ \Gamma(\mathcal{O}_{S}^{*}) \longrightarrow \Gamma(\hat\Omega^{1}_{S/W}) \times \Gamma(\mathcal{O}_{S}[1/p])^{*} \longrightarrow \Gamma(\hat\Omega^{2}_{S/W}) \times \Gamma(\hat\Omega^{1}_{S/W})[1/p], \] \[ u \longmapsto \Bigl(-\frac{du}{u},\ \frac{u}{u^{\sigma}}\Bigr), \qquad (\omega, a) \longmapsto \Bigl(d\omega,\ \frac{da}{a} - (\omega^{\sigma} - \omega)\Bigr), \] le \(H^{0}\) donnant les automorphismes et le \(H^{1}\) les classes d'isomorphisme.³¹

29–29

Une page de topologie différentielle (page 29)

La page 29, au stylo à bille, est d'un autre sujet : des familles d'ouverts \((\sigma_{i}, (U_{i}, V_{i}))\) de classe \(C^{r}\) adaptées à une sous-variété, \(\sigma(V) = \sigma(U) \cap \mathbb{R}^{n}\), avec une hiérarchie de familles « canoniques », « régulières », « naturelles », « normales », et les conditions de compatibilité de deux cartes. Elle est sans rapport avec les cristaux et proche, par le sujet, du cours polycopié sur les variétés \(C^{r}\) dont des feuillets servent de versos dans ce dossier.

31–31

Un feuillet de tapuscrit (page 31)

Un feuillet de tapuscrit (numéroté 34) porte la démonstration d'un énoncé à trois volets sur la réduction semi-stable des variétés abéliennes — critère galoisien 3.5, réduction au cas strictement local, trivialité de la représentation de Galois sur les trois quotients de la filtration de monodromie, calculée par sa trace — puis la Remarque 5.13.1 sur les groupes de Barsotti–Tate à bonne réduction virtuelle. Les interventions à la main sont des lettres tracées dans les blancs, « (pro-\(\ell\)-) » ajouté devant « groupe de Barsotti–Tate », et à la fin la parenthèse « (C'est vrai pour \(\ell \ne p\).) ».³²

33–41

Les groupes de Barsotti–Tate à multiplication par \(A\) (pages 33 à 41)

Le module de Dieudonné (pages 33 et 35)

On veut déterminer les groupes de Barsotti–Tate \(G_{0}\) sur \(k = \mathbb{F}_{q}\), de hauteur \(h\), sur lesquels \(A\) opère. Par la théorie de Dieudonné, ce sont les \(W\)-modules libres \(M\) de rang \(h\) munis d'un endomorphisme \(\sigma\)-linéaire \(F_{M}\) et d'une action de \(A\) par endomorphismes commutant à \(F_{M}\), avec \[ (*') \qquad \exists\, V_{M} : \ F_{M}V_{M} = V_{M}F_{M} = p . \] Le cas particulier qui intéresse la page est celui où l'action de \(\pi\) est le Frobenius relatif à \(\mathbb{F}_{q}\) : \[ (*) \qquad F_{M}^{f} = \pi_{M} . \] Les deux actions font de \(M\) un module sur \(A_{W} = A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} W\), et \(F_{M}\) est \(\sigma_{A}\)-linéaire pour \(\sigma_{A} = \mathrm{id} \otimes \sigma\). Comme \(k\) est le corps résiduel de \(K\), \(A\) contient \(W\) et \[ A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} W \xrightarrow{\ \sim\ } A^{\Sigma}, \qquad \Sigma = \operatorname{Gal}(k/\mathbb{F}_{p}) \simeq \mathbb{Z}/f\mathbb{Z}, \] \(\sigma_{A}\) permutant circulairement les facteurs. Un \(A_{W}\)-module \(M\) est donc une famille \((M_{\nu})_{\nu \in \mathbb{Z}/f}\) de \(A\)-modules, et \(F_{M}\) une famille d'applications \(A\)-linéaires \[ M_{0} \xrightarrow{F_{0}} M_{1} \xrightarrow{F_{1}} \cdots \to M_{f-1} \xrightarrow{F_{f-1}} M_{0} . \] Par \((*')\), \(F_{M}\) est injectif, donc chaque \(F_{\nu}\) l'est, et les \(M_{\nu}\) ont tous le même rang. Comme les rangs des \(M_{\nu}\) sur \(W\) ont pour somme \(h = ef\), chacun est de rang \(e\) sur \(W\), c'est-à-dire de rang 1 sur \(A\) : les \(M_{\nu}\) sont inversibles.³³

On identifie alors tous les \(M_{\nu}\) à \(\Omega = M_{0}\) par les isomorphismes \(\pi^{-m_{\nu}} F_{\nu-1}\cdots F_{0}\colon M_{0} \to M_{\nu}\), où \(0 = m_{0} \le m_{1} \le \cdots \le m_{f-1}\) sont les entiers uniquement déterminés qui rendent ces flèches surjectives. On obtient un isomorphisme canonique \[ M \simeq \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} W = \Omega \otimes_{A} (A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} W). \]

La dimension (page 37)

Dans ces identifications, \(F_{\nu} = \pi^{r_{\nu}}\,\mathrm{id}_{\Omega}\) pour \(0 \le \nu \le f-2\), avec \(r_{\nu} = m_{\nu+1} - m_{\nu} \ge 0\), et \(F_{f-1} = \pi^{r_{f-1}}u\) avec \(u \in A^{*}\). Donc \[ F_{M}^{f} = \varpi_{M}, \qquad \varpi = \pi^{r_{0} + \cdots + r_{f-1}}\,u \in A, \] la condition \((*')\) s'écrit \(r_{\nu} \le e\) pour tout \(\nu\) (chaque \(F_{\nu}\) divise \(p\), de valuation \(e\)), et \[ M/F_{M}M \simeq \bigoplus_{\nu} A/\pi^{r_{\nu}}A, \qquad \dim G_{0} = r_{0} + \cdots + r_{f-1} = v_{\pi}(\varpi) \ \le\ fe = h . \] C'est la formule encadrée de la page.³⁴

La proposition (page 39)

Proposition. Soit \(G_{0}\) un groupe de Barsotti–Tate de hauteur \(h\) sur \(k\) sur lequel \(A\) opère, et \(M\) son module de Dieudonné. Alors \(F_{G_{0}}^{f}\) est de la forme \(\varpi_{G_{0}}\) pour un \(\varpi \in A\), et \(\dim G_{0} = \operatorname{long}_{A} A/\varpi A = v(\varpi)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)\(\dim G_{0} = 1\) ;
2. (ii)\(F_{G_{0}}^{f} = \varpi_{G_{0}}\) avec \(\varpi\) une uniformisante de \(A\) — uniquement déterminée ;
3. (iii)\(M\) est donné par un triple \((\Omega, \nu, \varpi)\), \(\Omega\) un \(A\)-module inversible, \(0 \le \nu \le f-1\), \(\varpi\) une uniformisante : \[ M = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} W, \qquad F_{M} = \mathrm{id}_{\Omega} \otimes \sigma + \mathrm{pr}_{\nu}\bigl[(\varpi - 1) \otimes \sigma\bigr], \] où \(\mathrm{pr}_{\nu}\) est le projecteur sur le \(\nu\)-ième facteur de \(A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} W \simeq A^{\Sigma}\).

La démonstration est le calcul précédent : \(v(\varpi) = 1\) force un seul \(r_{\nu_{0}}\) égal à 1 et les autres nuls, et en modifiant les identifications \(M_{0} \simeq M_{\nu}\) par l'unité \(u\) pour \(\nu > \nu_{0}\) on fait passer \(u\) de \(F_{f-1}\) à \(F_{\nu_{0}}\), qui devient \(\varpi = \pi u\).³⁵

Les homomorphismes (pages 39 et 41)

Soient \(G_{0}\), \(G'_{0}\) comme plus haut, donnés par \((\Omega, (r_{\nu}), u)\) et \((\Omega', (r'_{\nu}), u')\). Un homomorphisme \(A\)-linéaire \(G_{0} \to G'_{0}\) est un morphisme \(M' \to M\) de \(A_{W}\)-modules commutant au Frobenius. On en trouve un non nul — c'est alors une isogénie — si et seulement si \(\varpi = \varpi'\), c'est-à-dire \(F_{G_{0}}^{f} = F_{G'_{0}}^{f}\) dans \(A\). Dans ce cas, le \(A\)-module de ces homomorphismes est isomorphe au sous-module \(H \subset \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega)\) des \(v_{0}\) tels que \[ \operatorname{val}(v_{0}) + \sum_{i=0}^{\nu} r_{i} - \sum_{i=0}^{\nu} r'_{i} \ \ge\ 0 \qquad (0 \le \nu \le f-2) : \] la commutation au Frobenius impose \(v_{\nu+1} = \pi^{\sum_{0}^{\nu}(r_{i} - r'_{i})}v_{0}\) sur la composante \(\nu+1\), et la condition de la composante 0, où le cycle se referme, est automatique dès que \(\varpi = \varpi'\).

En dimension 1, avec \(r_{i} = \delta_{i\nu}\) et \(r'_{i} = \delta_{i\nu'}\), cela donne : \[ \operatorname{Hom}_{A}(G_{0}, G'_{0}) \simeq \begin{cases} \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega) & \text{si } \nu \le \nu', \\ \pi\operatorname{Hom}(\Omega', \Omega) & \text{si } \nu > \nu', \end{cases} \] et \(G_{0}\), \(G'_{0}\) sont isogènes si et seulement si leurs uniformisantes coïncident.³⁶

À isogénie près (page 41)

Sans supposer \(\dim G_{0} = 1\), à isogénie près les \(M_{\nu}\) deviennent des \(K\)-espaces de dimension 1, tous identifiés par les \(F_{\nu}\), et \[ M \otimes \mathbb{Q} \simeq \Omega \otimes_{\mathbb{Q}_{p}} K_{0} = \Omega \otimes_{K} (K \otimes_{\mathbb{Q}_{p}} K_{0}), \qquad F_{M}^{f} = \varpi \otimes \mathrm{id}_{K_{0}}, \] avec \(\Omega\) un \(K\)-espace de dimension 1 et \(\varpi \in K^{*}\). La condition d'« effectivité » — l'existence d'un réseau stable par \(F\) et par \(V = pF^{-1}\) — entraîne que \(\varpi\) et \(V^{f} = p^{f}\varpi^{-1}\) préservent un réseau, c'est-à-dire \(0 \le v_{\pi}(\varpi) \le fe\) ; et réciproquement cette condition suffit, puisqu'on peut alors répartir \(v_{\pi}(\varpi)\) en \(f\) entiers \(r_{\nu} \in [0, e]\).³⁷

43–49

Le relèvement de Lubin–Tate (pages 43 à 49)

L'espace cotangent et le groupe \(G_{0}(A, \pi)\) (page 43)

Sous les conditions de la proposition, \(\omega_{G_{0}}\) est la seule composante non nulle de \(M/F_{M}M\), isomorphe à \(\Omega/\pi\Omega\). Il porte deux structures de \(k\)-espace : celle qui vient de \(A/\pi A = k\) par l'action de \(A\), et celle qui vient de \(W/pW = k\). Elles diffèrent d'une puissance de \(\sigma\) déterminée par \(\nu\), et le cas le plus simple, \(\nu = 0\), est celui où elles coïncident.³⁸ Avec de plus \(\Omega = A\), on obtient le groupe \[ G_{0} = G_{0}(A, \pi), \qquad M = A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} W, \qquad F_{M} = \mathrm{id}_{A} \otimes \sigma + \mathrm{pr}_{0}\bigl((\pi - 1) \otimes \sigma\bigr), \] où \(\mathrm{pr}_{0}\) est le projecteur sur le facteur correspondant au \(A\)-homomorphisme \(A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} W \to A\) qui est l'inclusion sur \(W\) ; le cas d'un \(\Omega\) quelconque s'en déduit par le produit tensoriel \(\Omega \otimes_{A} G_{0}(A)\).

Le relèvement par la théorie des déformations (pages 43 à 47)

On veut relever \(G_{0}\) en un groupe de Barsotti–Tate \(G\) sur \(A\), muni d'une action de \(A\), de sorte que l'action induite de \(A\) sur le \(A\)-module inversible \(t_{G}\) soit l'action évidente. D'après Lubin–Tate, un tel relèvement existe et est unique à isomorphisme unique près.³⁹ La page en redonne une preuve, sous une hypothèse : que l'idéal \(\pi A\) admette des puissances divisées, ce qui a lieu si et seulement si \(e \le p-1\).⁴⁰

Sous cette hypothèse, relever \(G_{0}\) à isomorphisme près revient à relever la filtration de Hodge de \(M \otimes_{W} k\) en une filtration de \(M_{A} = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} A\). La compatibilité à l'action de \(A\) veut dire que cette filtration est faite de \(A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} A\)-modules : on cherche \[ 0 \to \omega_{G} \to \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} A \to t_{G^{*}} \to 0, \] ou, par transposition, \[ (**) \quad 0 \to \omega_{G^{*}} \to \check\Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} A \to t_{G} \to 0 . \] Que \(A\) opère sur \(t_{G}\) par sa structure évidente veut dire que les deux actions de \(A\) sur \(t_{G}\), par les deux facteurs de \(A \otimes A\), coïncident, c'est-à-dire que \(A \otimes A\) opère sur \(t_{G}\) à travers la multiplication \(p_{0}\colon A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} A \to A\). Comme \(t_{G}\) est de rang 1 sur \(A\), et \(\check\Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} A\) de rang 1 sur \(A \otimes A\), et que \(p_{0}\) est surjectif, \(t_{G}\) est le changement de base de \(\check\Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} A\) par \(p_{0}\) ; et comme \(\check\Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} A\) se déduit de \(\check\Omega\) par \(\lambda \mapsto \lambda \otimes 1\), dont le composé avec \(p_{0}\) est l'identité, \[ t_{G} \simeq \check\Omega, \qquad \omega_{G} \simeq \Omega . \] Les suites \((**)\) et sa duale sont ainsi canoniques et prolongent la filtration de \(M_{A} \otimes_{A} k\) : c'est l'existence et l'unicité de Lubin–Tate, sous une forme plus faible quant à l'unicité, et sous l'hypothèse supplémentaire des puissances divisées.⁴¹

Sans puissances divisées : à isogénie près (pages 47 et 49)

Si l'on abandonne l'hypothèse et qu'on utilise la classification des déformations à isogénie près, on trouve de même des suites exactes canoniques sur \(K\), \[ 0 \to \omega_{G} \otimes_{A} K \to M_{K} \to t_{G^{*}} \otimes_{A} K \to 0, \qquad 0 \to \omega_{G^{*}} \otimes_{A} K \to \check M_{K} \to t_{G} \otimes_{A} K \to 0, \] avec \(M_{K} = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} K\), et \(t_{G} \otimes_{A} K \simeq \check\Omega \otimes_{A} K\) : l'unicité à isogénie près, mais ni l'existence ni l'unicité à isomorphisme près, pour lesquelles il faut revenir à Lubin–Tate.⁴²

Les deux réseaux \(t_{G}\) et \(\check\Omega\) d'une même droite sur \(K\) diffèrent alors d'une puissance de \(\pi\) : \[ t_{G} = \pi^{-\alpha}\check\Omega, \qquad \text{donc} \qquad \omega_{G} = \pi^{\alpha}\Omega, \qquad \alpha \in \mathbb{Z}, \] \(\alpha\) ne dépendant que de \(A\) et de \(\pi\).⁴³ De même, le module de Dieudonné de \(G\) et \(M\) sont deux réseaux du même \(K\)-espace \(\Omega \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} K\), et la page pose la question de savoir s'ils coïncident, comme c'est le cas en présence de puissances divisées — ce qui forcerait \(\alpha = 0\). « Cela ne dépend pas du choix de \(\pi\), mais seulement de \(A\) … » ; la question reste ouverte.

51–55

Le théorème de Tate pour le groupe de Lubin–Tate (pages 51 à 55)

Soit \(G\) le groupe de Lubin–Tate, et \(K_{\pi}\) l'extension abélienne de \(K\) engendrée par ses points de torsion, de groupe \(A^{*}\) via le caractère de Lubin–Tate \(\chi_{\pi}\colon \Gamma_{K} \to A^{*}\). Le module de Tate \(T_{p} = T_{p}(G)(K_{\pi})\) est un \(A\)-module inversible dont les bases sont permutées de façon simplement transitive par \(\operatorname{Gal}(K_{\pi}/K)\) : il y a donc un choix privilégié, à isomorphisme unique près, de \(K_{\pi}\) muni d'un générateur \(e\) de \(T_{p}\), et \(\operatorname{Spec} K_{\pi}\) représente le faisceau des générateurs de \(T_{p}(G)\). Ce choix fait, \(T_{p} \simeq A\), \(\lambda \mapsto \lambda e\), et l'on prend pour \(\bar K\) une extension de \(K_{\pi}\).⁴⁴

On regarde sur \(T_{p} \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} \mathbb{C}_{p}\) trois actions qui commutent : celle de \(A\) par les opérations sur \(G\), celle de \(A\) par la structure de \(\mathbb{C}_{p}\)-espace (via \(K \subset \mathbb{C}_{p}\)), et celle de \(\Gamma_{K}\). On suppose \(K/\mathbb{Q}_{p}\) galoisienne. Comme \(A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} A\)-module, on a canoniquement \[ (*) \qquad T_{p} \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} \mathbb{C}_{p} \simeq A \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} \mathbb{C}_{p} \simeq \prod_{\sigma} \mathbb{C}_{p,\sigma}, \qquad \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_{p}}(K, \mathbb{C}_{p}) \simeq \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}_{p}), \] où \(\mathbb{C}_{p,\sigma} = \mathbb{C}_{p}\) sur lequel \(A\) opère via \(\sigma\). Sur le facteur \(\mathbb{C}_{p,\sigma}\), \(g \in \Gamma_{K}\) opère par \[ x \longmapsto \sigma(\chi_{\pi}(g))\, g(x) . \] Cette action est semi-linéaire.⁴⁵

Le théorème de Tate donne de son côté une décomposition \[ (**) \qquad T_{p} \otimes \mathbb{C}_{p} \simeq \bigl(t_{G} \otimes_{A} \mathbb{C}_{p}(1)\bigr) \oplus \bigl(\omega_{G^{*}} \otimes_{A} \mathbb{C}_{p}\bigr), \] fonctorielle, donc compatible aux deux actions de \(A\).⁴⁶ Sur \(t_{G}\), \(A\) opère par l'action régulière : \(t_{G} \otimes_{A} \mathbb{C}_{p}\) est donc le facteur \(\sigma = 1\), et l'autre terme est le produit des \(\mathbb{C}_{p,\sigma}\) pour \(\sigma \ne 1\). Se donner les isomorphismes du théorème de Tate, c'est alors se donner, pour chaque \(\sigma\), un isomorphisme \(\lambda \mapsto \lambda x_{\sigma}\) (\(x_{\sigma} \in \mathbb{C}_{p}^{*}\)) qui entrelace les actions de Galois, la source étant tordue par \(\sigma(\chi_{\pi})\), le but par le caractère cyclotomique \(\chi_{\mathrm{cyc}}\) si \(\sigma = 1\) et non tordu sinon. Cela revient aux conditions \[ g(x_{\sigma}) = \sigma(\chi_{\pi}(g))\, x_{\sigma} \quad (\sigma \ne 1), \qquad g(x_{1}) = \chi_{\mathrm{cyc}}(g)^{-1}\chi_{\pi}(g)\, x_{1}, \qquad g \in \Gamma_{K} , \] qui sont celles que la page encadre.⁴⁷

N.B. A priori les \(x_{\sigma}\) ne sont déterminés qu'à multiplication près par des éléments de \(K^{*}\), mais le théorème de Tate détermine tous les autres dès qu'on a choisi l'un d'eux. Et il n'existe pas de \(x'_{1} \in \mathbb{C}_{p}^{*}\) tel que \(g(x'_{1}) = \chi_{\pi}(g)\,x'_{1}\), même pour \(g\) dans l'inertie : le produit de \(x'_{1}\) et des \(x_{\sigma}\), \(\sigma \ne 1\), serait un \(x \in \mathbb{C}_{p}^{*}\) avec \[ g(x) = N_{K/\mathbb{Q}_{p}}(\chi_{\pi}(g))\, x = \chi_{\mathrm{cyc}}(g)\,x \qquad (g \text{ dans l'inertie}), \] ce qui est impossible par le théorème de Tate (\(\mathbb{C}_{p}(1)\) n'a pas d'invariant non nul sous l'inertie). En langage d'aujourd'hui : \(\chi_{\pi}\) est un caractère de Hodge–Tate, de poids 1 au plongement \(\sigma = 1\) et 0 aux autres, et non de poids 0.⁴⁸

57–59

Trois feuilles de graphes (pages 57 à 59)

Trois feuilles de papier quadrillé, au crayon, portent des lignes polygonales issues de l'origine, des faisceaux de droites, et des comparaisons de fractions. La première a pour en-tête « \(n/17\) » et aligne des petites lignes polygonales pour \(n = 1, \ldots, 16\), en regard d'une colonne marquée \(\nu\) ; les inscriptions comparent des fractions de dénominateurs 17, 23, 24 à des fractions de petits dénominateurs : \[ \tfrac{5}{12} > \tfrac{7}{17}, \quad \tfrac{2}{7} < \tfrac{5}{17}, \quad \tfrac{4}{17} < \tfrac{1}{4}, \quad \tfrac{4}{13} > \tfrac{7}{23}, \quad \tfrac{2}{7} < \tfrac{7}{24}, \quad \tfrac{13}{17} < \tfrac{10}{13}, \quad \ldots \] Toutes celles qu'on lit en entier sont exactes. Les deux autres feuilles reprennent la même chose avec des dénominateurs 15 et 16. Rien dans le dossier ne dit à quoi servent ces graphes.⁴⁹

60–69

Le groupe de Galois des \(F\)-cristaux filtrés (pages 60 à 68)

Les données (pages 60 et 62)

Soit \(V\) un anneau de valuation discrète complet d'inégales caractéristiques, de corps résiduel parfait \(k\), de corps des fractions \(L\) ; \(W = W(k) \subset V\), \(K = W[1/p] \subset L\).⁵⁰ Soit \(\mathscr{C}\) la catégorie des \(F\)-cristaux filtrés à isogénie près sur \(V\) : des couples \((E, F)\), \(E\) un \(K\)-espace de dimension finie, \(F\) un endomorphisme \(\sigma\)-linéaire bijectif préservant un réseau, munis d'une filtration de \(E \otimes_{K} L\). C'est une catégorie tannakienne \(\mathbb{Q}_{p}\)-linéaire, munie du foncteur fibre \(\Delta\) « oubli » sur \(K\).⁵¹

La page dispose alors d'un « foncteur fondamental » \[ T_{p}\colon \mathscr{C} \longrightarrow \operatorname{Mod}_{f}(\Gamma_{L}, \mathbb{Q}_{p}), \qquad \Gamma_{L} = \operatorname{Gal}(\bar L/L), \] vers les représentations \(p\)-adiques de dimension finie. C'est un foncteur fibre sur \(\mathbb{Q}_{p}\), et il identifie \(\mathscr{C}\) à \(\operatorname{Rep}_{\mathbb{Q}_{p}}(G)\), \(G\) un groupe proalgébrique sur \(\mathbb{Q}_{p}\).⁵²

Page 62 : on suppose \(\mathscr{C}\) de type fini sur \(\mathbb{Q}_{p}\). On a un homomorphisme \(\alpha\colon \Gamma_{L} \to G(\mathbb{Q}_{p})\), et \(G\) est l'enveloppe algébrique de \(\alpha\) — l'adhérence de Zariski de son image — si et seulement si \(T_{p}\) est pleinement fidèle et son image essentielle stable par sous-objets.⁵³

Les cocaractères de Hodge–Tate et de Hodge (pages 62 et 64)

Le composé \[ \mathscr{C} \to \operatorname{Mod}_{f}(\Gamma_{L}, \mathbb{Q}_{p}) \xrightarrow{\ \otimes \mathbb{C}_{p}\ } \operatorname{Mod}_{f}(\Gamma_{L}, \mathbb{C}_{p}) \to \operatorname{Mod}_{f}(\mathbb{C}_{p}) \] est bigradué — par le degré total et par la décomposition de Hodge(–Tate) —, d'où deux cocaractères \[ i_{1}, i_{2}\colon \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}_{p}} \rightrightarrows G_{\mathbb{C}_{p}}, \qquad i = i_{1}i_{2}, \] \(i\) étant le cocaractère central qui définit la graduation de \(\mathscr{C}\).⁵⁴ De même, le foncteur fibre bigradué de Hodge \(T_{\mathrm{Hdg}}\) (le gradué de la filtration) est défini sur \(L\) et correspond à un torseur \(\mathcal{P}\) sous \(G_{L}\), avec \(T_{\mathrm{Hdg}} = \mathcal{P} \wedge^{G} (T_{p} \otimes L)\), et à deux cocaractères \(j_{1}, j_{2}\colon \mathbb{G}_{m,L} \rightrightarrows G'_{L} = \operatorname{ad}(\mathcal{P})\), de produit \(i\).⁵⁵

La décomposition de Hodge–Tate s'écrit \[ T_{p}(M) \otimes_{\mathbb{Q}_{p}} \mathbb{C}_{p} \simeq \bigoplus_{i,j} T_{\mathrm{Hdg}}(M)^{i,j} \otimes \mathbb{C}_{p}(-i) . \] Tout isomorphisme \(\rho\colon \mathbb{C}_{p}(1) \simeq \mathbb{C}_{p}\) en déduit un isomorphisme bigradué \(\tilde\rho\colon T_{p} \otimes \mathbb{C}_{p} \simeq T_{\mathrm{Hdg}} \otimes \mathbb{C}_{p}\), c'est-à-dire un point \(\tilde\rho \in \mathcal{P}(\mathbb{C}_{p})\) ; si \(\rho' = u\rho\), \(u \in \mathbb{C}_{p}^{*}\), alors \(\tilde\rho'\) se déduit de \(\tilde\rho\) par \(i_{1}(u^{-1})\). On obtient ainsi un morphisme d'espaces à opérations de \(\mathbb{C}_{p}^{*}\) et de \(\Gamma_{L}\), \[ \mathbb{C}_{p}(1)^{*} \longrightarrow \mathcal{P}(\mathbb{C}_{p}), \] où \(\mathbb{C}_{p}^{*}\) opère sur \(\mathcal{P}(\mathbb{C}_{p})\) via \(i_{1}^{-1}\) ; autrement dit un morphisme de \(\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}_{p}}\)-schémas de la droite épointée \(\check{\mathbb{V}}(\mathbb{C}_{p}(-1))^{*}\) dans \(\mathcal{P}_{\mathbb{C}_{p}}\). Il est compatible à \((i_{1}, i_{2})\) et \((j_{1}, j_{2})\) : \((j_{1}, j_{2})\) se déduit par descente de \((i_{1}, i_{2})\) par l'isomorphisme \(G_{L}^{\mathcal{P}} \otimes_{L} \mathbb{C}_{p} \simeq G_{\mathbb{C}_{p}}\) associé à \(\tilde\rho\).⁵⁶

Le foncteur cristallin et son Frobenius (pages 66 et 68)

Il y a aussi un foncteur fibre \(T_{\mathrm{cr}}\) sur \(K\) — l'isocristal sous-jacent —, d'où un torseur \(Q\) sous \(G_{K}\) avec \(T_{\mathrm{cr}} \simeq Q \wedge^{G_{K}} (T_{p})_{K}\). Le foncteur \(T_{\mathrm{cr}} \otimes_{K} L\) est filtré, de gradué \(T_{\mathrm{Hdg}}\) ; d'où un torseur \(R\) sous un sous-groupe unipotent \(U' \subset G' = G_{L}^{\mathcal{P}}\), \[ R \hookrightarrow \operatorname{Isom}(Q_{L}, \mathcal{P}) . \] Enfin le Frobenius \(F\colon T_{\mathrm{cr}}^{\sigma} \xrightarrow{\sim} T_{\mathrm{cr}}\) correspond à un isomorphisme \[ Q^{\sigma} \simeq Q , \] ce que la page 68 encadre, et ce que le griffonnage de la page 72 reprend.⁵⁷

Un second tapuscrit (pages 61 à 73)

Six feuillets d'un autre tapuscrit (numérotés 28, 29, 31, 33, 34 et 35) s'intercalent dans ces pages : \(S\)-couples lisses \((Y, X)\) de codimension \(c\), suite de Kummer et morphisme \(\varepsilon_{t}\) de (3.9), Théorème (3.10) qui donne, pour chaque couple lisse, un isomorphisme canonique \(\varphi(Z, Y)\), son diagramme de transitivité (3.10.1) et sa démonstration par récurrence sur la codimension, puis un énoncé de changement de base pour \((R^{q}j_{*})g^{*}F\) démontré par la suite spectrale de Hochschild–Serre. Les interventions à la main sont des lettres grecques et des renvois — « (IX 3.2) », « (VIII 5.5) », « (cf. XII 6.5) » — et, en marge d'une démonstration, « démonstration peu naturelle ».⁵⁸

70–74

Les structures d'un motif (pages 70 à 74)

Sur un ouvert de \(\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\) (page 70)

La page 70 dresse la même liste pour la catégorie \(\mathscr{C}\) des (iso)motifs sur un ouvert \(S \subset \operatorname{Spec}\mathbb{Z}\) :

• le foncteur de Betti \(T_{B}\), sur \(\mathbb{Q}\), relatif à \(\mathbb{C}\), et son groupe \(G\) sur \(\mathbb{Q}\) ;
• les réalisations \(\ell\)-adiques \(T_{\ell} \simeq T_{B} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\), d'où \(\Gamma_{\mathbb{Q}} \to G(\mathbb{Q}_{p})\), non ramifié aux nombres premiers de \(S\) autres que \(p\) ;
• pour chaque place \(p \in S\), finie ou infinie, le groupe de décomposition \(\Gamma_{\mathbb{Q}_{p}}\) (et \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) pour \(p = \infty\)), et des paires de cocaractères \(i_{1}(\infty), i_{2}(\infty)\) de \(G_{\mathbb{C}}\), \(i_{1}(p), i_{2}(p)\) de \(G_{\mathbb{C}_{p}}\) ;
• le foncteur de De Rham \(T_{\mathrm{DR}}\) sur \(\mathbb{Q}\), de groupe \(G' = \operatorname{ad}(\mathcal{P})\) pour un torseur \(\mathcal{P}\) sous \(G\), filtré, c'est-à-dire muni d'une classe de cocaractères \(j_{2}\colon \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}} \to G'\) définie à conjugaison près par le radical unipotent \(U' \subset G'\) (soit un torseur \(R\) sous \(U'\)) ;
• des Frobenius \(F_{p} \in G'(\mathbb{Q}_{p})\) pour \(p \in S\) fini, et \(F_{\infty} \in G'(\mathbb{R})\) d'ordre 2 ;
• un élément \(\rho^{(\infty)} \in \mathcal{P}(\mathbb{C})\) qui transforme la classe des \(j_{2}\) en celle des \(i_{2}^{(\infty)}\) — l'isomorphisme de comparaison de Betti à De Rham ;
• pour chaque \(p\), une application \(\mathbb{C}_{p}(1)^{*} \times U'(\mathbb{C}_{p}) \to \mathcal{P}(\mathbb{C}_{p})\), \((\lambda, j_{2}) \mapsto \rho^{(p)}(j_{2}, \lambda)\), qui transforme \(j_{2}\) en \(i_{2}^{(p)}\), compatible aux opérations de \(\mathbb{C}_{p}^{*} \times U'(\mathbb{C}_{p})\) et de \(\Gamma_{\mathbb{Q}_{p}}\) — la comparaison \(p\)-adique.

Aucune de ces structures n'est construite sur la page : c'est une liste de ce qu'un motif doit porter.⁵⁹

Au-dessus d'une base (page 72)

Le haut de la page 72, écrit en travers, est un griffonnage où se lisent \(H^{*}_{B}\), \(H_{\mathrm{Hdg}}\), \(H_{\mathrm{DR}}\), \(H_{\mathrm{cris}}\), « \(Q^{\sigma} \simeq Q\) » et un petit tableau « \(T_{B}\) : \(G_{B}\) ; \(T_{\mathrm{DR}}\) : \(G_{\mathrm{DR}}\) ; \(T_{\mathrm{Hdg}}\) ». Le bas énumère les structures d'un motif au-dessus d'une base \(S\) :

1. a)un module \(M\) à connexion intégrable sur \(S\), avec filtration ;
2. b)un Frobenius \(F_{p}\colon M(p)^{\sigma} \to M(p)\) (théorie des cristaux) ;
3. c)\(M(\mathbb{R})\) analytique filtré sur \(S(\mathbb{R})\), avec un automorphisme \(F_{\infty}\) d'ordre 2 ;
4. d)un système local de Betti \(T\) sur \(S(\mathbb{C})^{\mathrm{an}}\), soit une représentation de \(\pi_{1}(S(\mathbb{C})^{\mathrm{an}}, s)\) ;
5. e)un système local \(p\)-adique \(T_{p}\) sur \(S[1/p]\), avec \(T_{p} \simeq T \otimes \mathbb{Z}_{p}\) sur \(S_{\mathbb{C}}\) ;
6. f\(_{\infty}\))la comparaison \(M^{\mathrm{an}}_{\mathbb{C}} \simeq T \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}^{\mathrm{an}}\), compatible aux connexions ;
7. f\(_{p}\))laissée en blanc.

La comparaison \(p\)-adique est la seule rubrique sans contenu.⁶⁰

Les conjectures (page 74)

Une liste, avec en regard la structure que chacune concerne :

• conjecture de Hodge (généralisée) — la décomposition de Hodge sur \(\mathbb{C}\) ;
• conjecture de Tate (généralisée) — l'action de Galois, les Frobenius ;
• conjecture des Frobenius en cohomologie de De Rham (à connexion) — le Frobenius cristallin ;
• conjecture du double réseau, précédée d'un « ? » et suivie de « (revoir) » ;
• « Tate groups » (généralisés), sur les schémas de type fini sur \(\mathbb{Z}\) ou sur un corps, et sur les anneaux locaux d'inégales caractéristiques.

Aucune n'est discutée plus avant dans le dossier.⁶¹

77–80

Le complexe co-Lie des groupes de type multiplicatif (pages 77 à 80)

Le calcul (pages 77 et 78)

Soit \(G = D(M)\) le groupe de type multiplicatif dual d'un groupe constant tordu \(M\) sur \(S\), de type fini. On résout \(M\) par la résolution plate canonique à deux crans \[ (1.1) \qquad 0 \to R \xrightarrow{\ v\ } \mathbb{Z}[M] \xrightarrow{\ u\ } M \to 0, \qquad u([m]) = m, \] d'où, par dualité, une résolution de \(G\) par des tores \[ (1.2) \qquad 0 \to G \to T \to T' \to 0, \qquad T = D(\mathbb{Z}[M]) \simeq \mathbb{G}_{m}^{M}, \quad T' = D(R), \] de dimension relative infinie si \(M\) est infini. Le triangle de transitivité appliqué à \(G = \operatorname{Ker}(T \to T')\), \(T\) et \(T'\) lisses, donne \[ \ell^{G} \simeq [\omega_{T'} \to \omega_{T}] \simeq [R \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_{S} \to \mathbb{Z}[M] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_{S}], \qquad\text{soit}\qquad (1.3) \quad \ell^{G} \simeq M \otimes^{L}_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_{S} . \] Si \(\mathcal{O}_{S}\) est une \(\Lambda\)-algèbre (par exemple \(\Lambda = \mathbb{Q}\) ou \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)), \[ (1.4) \qquad \ell^{G} \simeq (M \otimes^{L}_{\mathbb{Z}} \Lambda) \otimes^{L}_{\Lambda} \mathcal{O}_{S}, \] et si \(\Lambda\) est un corps, par exemple \(\mathbb{F}_{p}\), le second produit tensoriel n'a pas besoin d'être dérivé : \[ (1.4') \qquad \ell^{G} \simeq (M \otimes^{L}_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_{p}) \otimes_{\mathbb{F}_{p}} \mathcal{O}_{S} . \]

1.5. Le cas d'une descente. Supposons que \(M\) provienne, par un revêtement principal \(S'\) de \(S\) de groupe \(\Pi\) discret ou profini, d'une représentation (continue) de \(\Pi\) dans un groupe abélien \(M_{0}\) — par exemple \(M\) isotrivial, à fibres de type fini, \(S\) normal et connexe, \(S'\) le revêtement universel. On a un morphisme de topos \[ (1.6) \quad f\colon S \longrightarrow B_{\Pi}, \qquad (1.7) \quad M = f^{-1}(M_{0}), \] pour la topologie étale, fppf ou fpqc, et, en annelant \(S\) et \(B_{\Pi}\) par \(\Lambda\), \(M \otimes^{L}_{\mathbb{Z}} \Lambda = f^{*}(M_{0} \otimes^{L}_{\mathbb{Z}} \Lambda)\), d'où \[ (1.8) \qquad \ell^{G} \simeq f^{*}(M_{0} \otimes^{L}_{\mathbb{Z}} \Lambda) \otimes^{L}_{\Lambda} \mathcal{O}_{S} , \] le \(L\) du second produit tensoriel étant inutile si \(\Lambda\) est un corps.⁶²

La classe \(\xi\) (pages 79 et 80)

De (1.3) on tire \[ (2.1) \qquad \omega_{G} = M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_{S}, \qquad n_{G} = \operatorname{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(M, \mathcal{O}_{S}), \] et si \(S\) est de caractéristique \(p\), \[ (2.2) \qquad \omega_{G} = (M/pM) \otimes_{\mathbb{F}_{p}} \mathcal{O}_{S}, \qquad n_{G} \simeq {}_{p}M \otimes_{\mathbb{F}_{p}} \mathcal{O}_{S} ; \] si \(M\) est tué par \(p\), c'est-à-dire \(G\) tué par \(p\), \[ (2.2') \qquad \omega_{G} \simeq n_{G} \simeq M \otimes_{\mathbb{F}_{p}} \mathcal{O}_{S} . \] C'est le phénomène \(n = \omega\) de la page 12, rencontré cette fois pour un groupe de type multiplicatif, et calculé directement.

Le complexe \(\ell^{G}\), à deux faisceaux de cohomologie, porte une classe canonique — son invariant de Postnikov — \[ \xi \in \operatorname{Ext}^{2}_{\mathcal{O}_{S}}\bigl(M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_{S},\ \operatorname{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(M, \mathcal{O}_{S})\bigr), \] qui provient, en présence de \(\Lambda\), d'une classe \(\xi_{\Lambda} \in \operatorname{Ext}^{2}_{\Lambda}(M \otimes \Lambda, \operatorname{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(M, \Lambda))\). Si \(\Lambda = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) et \(M\) est un \(\Lambda\)-module localement libre de type fini, \(M \otimes \Lambda \simeq M\) et \(\operatorname{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(M, \Lambda) = {}_{n}M \simeq M\), donc \[ \xi_{\Lambda} \in H^{2}(S, \mathcal{E}nd(M)), \qquad \xi \in H^{2}(S, \mathcal{E}nd(E)) \quad (E = M \otimes_{\Lambda} \mathcal{O}_{S}), \] \(\xi\) étant l'image de \(\xi_{\Lambda}\) par la flèche canonique \(H^{2}(S, \mathcal{E}nd(M)) \to H^{2}(S, \mathcal{E}nd(M) \otimes_{\Lambda} \mathcal{O}_{S})\).⁶³ Sous les conditions de 1.5, \(M_{0}\) étant plat sur \(\Lambda\), \(\xi_{\Lambda}\) est l'image d'une classe \[ \xi_{0} \in H^{2}(B_{\Pi}, \mathcal{E}nd(M_{0})) = H^{2}(\Pi, \operatorname{End}(M_{0})) . \] Pour la calculer, on se ramène par fonctorialité au cas universel \(M_{0} = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{d}\), \(\Pi = \mathrm{GL}(d, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\). D'après Illusie, c'est l'obstruction à relever la représentation de \(\Pi\) dans \(M_{0}\) en une représentation dans un module libre sur \(\mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z}\) — pour \(n = p\), la classe de l'extension \(1 \to M_{d}(\mathbb{F}_{p}) \to \mathrm{GL}(d, \mathbb{Z}/p^{2}) \to \mathrm{GL}(d, \mathbb{F}_{p}) \to 1\). Elle est nulle pour \(d \le 1\), puisque \(\mathbb{F}_{p}^{*}\) se relève par les représentants de Teichmüller. La page ajoute qu'elle n'est « sans doute pas nulle » pour \(d \ge 2\) ; c'est vrai en général, mais pas sans exception.⁶⁴

Enfin, si \(S'\) est le revêtement universel de \(S\), l'application \(H^{2}(B_{\Pi}, -) \to H^{2}(S, -)\) est injective — dans la suite spectrale de Hochschild–Serre du revêtement, le terme \(H^{0}(\Pi, H^{1}(S', -))\) qui pourrait tuer \(H^{2}(\Pi, -)\) est nul, \(S'\) étant simplement connexe —, de sorte que la classe \(\xi_{\Lambda} \in H^{2}(S, \mathcal{E}nd(M))\) est non nulle dès que \(\xi_{0}\) l'est. Le dossier s'arrête là, sur un énoncé qui rejoint sa première page : le complexe co-Lie d'un groupe tué par \(p\) ne se réduit pas à ses deux faisceaux de cohomologie, et ce qui l'en empêche est une obstruction de relèvement modulo \(p^{2}\).⁶⁵