Cote n° 79 · pages 1–296 · Lecture modernisée
Datation de l’inventaire : [à partir de 1980]

Résumé

1–296

Le fil du dossier, et les conventions

La couverture (page 1) porte le titre que reprend l'inventaire : « 2-polyèdres réguliers triangulés, et modules libres de rang 2 sur les anneaux \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) et \(\Lambda = \mathbf{Z}\) ». La page 2 est une table des matières de sa main, qui renvoie à sa propre pagination (page 1 de l'auteur = page 3 du fonds, jusqu'à sa page 138 = page 270)¹ . Le texte est continu, numéroté par paragraphes de I à XI, chaque paragraphe repartant souvent de sa propre numérotation des formules ; on cite les formules par leur numéro et leur page. Les pages 272 à 295 sont des feuilles détachées.

La datation de l'inventaire est « à partir de 1980 ». Deux indices internes la précisent sans la fixer : la page 33 compare les calculs à ceux d'un « formulaire 1981 », et la page 35 dit « l'an dernier j'ai choisi délibérément » une convention de ce formulaire, ce qui place au moins ces pages en 1982 ou après² .

Les stations

• Pages 3 à 26 : § I et le théorème. Pour \(M\) libre de rang \(2\) sur \(\Lambda\), les triangles \(\{x, y, z\}\), \(x + y + z = 0\), de vecteurs deux à deux en base ; le polyèdre \(P_M\) des sommets \(M^{*}/\{\pm 1\}\) et, une fois choisie une jauge \(e\), le polyèdre \(SP_M\) ; l'étoile d'un sommet est une droite affine sur \(\Lambda\), connexe exactement quand \(\Lambda = \mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) ; orientation ; théorème \(\mathrm{SL}(M)' \simeq \mathrm{Aut}^{+}(SP_M)\) ; nombres de sommets, arêtes, faces et genre (pages 21 à 26).
• Pages 26 à 37 : § II. Le groupe cartographique triangulé, son isomorphisme avec \(\mathrm{PSL}(2, \mathbf{Z})\) et \(\mathrm{PGL}(2, \mathbf{Z})\), les automorphismes de drapeaux comme matrices, le « formulaire 1981 », l'universalité de \(SP_M\) sur \(\mathbf{Z}\).
• Pages 37 à 60 : § III. Sans jauge : la réunion disjointe des \(\varphi(n)/2\) polyèdres, ses automorphismes stricts, le torseur des types et l'application \(\wedge\), le commutant, deux tentatives pour déduire toutes les structures d'une seule.
• Pages 61 à 70 : § IV. Anneau quelconque : types, cas \(2 = 0\) et \(2 \neq 0\), ce que les arêtes déterminent.
• Pages 71 à 91 : § V, « Récapitulation ». La structure \(\widetilde{P}_M\) sur \(M^{*}\), un lemme, deux théorèmes, l'action de \(\Lambda^{*}\), le quotient \(P_M\), des équivalences de groupoïdes, un programme en six points.
• Pages 92 à 101 : § VI. Le commutant de \(\mathrm{SL}(M)\) et de \(\mathrm{SL}(M)'\) ; l'exception « octaédrique » ; la lecture de \(Z'_\Lambda\) sur les étoiles.
• Pages 102 à 158 : §§ VII et VIII. Deux axiomatiques successives des structures triangulées « congruentielles », puis « prégroupales » ; le « fait mirifique » ; le caractère cyclotomique ; le scindage du stabilisateur d'un sommet.
• Pages 159 à 221 : §§ IX et X. Graphes à homothéties et leur traduction en théorie des groupes ; antipodismes ; contours invariants ; graphes vus comme incidences entre sommets et étoiles ; prégraphes et jauges.
• Pages 222 à 270 : § XI, « Récapitulation ». Prégraphes, rayons, conditions d'isomorphie et d'homogénéité, et la description d'un multigraphe homogène par un groupe \(H\) et trois sous-groupes ; les graphes triangulants, à peine commencés.
• Pages 272 à 295 : feuilles détachées. Un tableau pour \(n = 2\) à \(5\) ; « Détermination d'un sommet par son étoile » ; brouillons.

Ce ne sont pas des chapitres d'un exposé mais des reprises. Le § V récapitule les §§ I à IV dans un autre langage ; les §§ VII, VIII, IX et XI sont quatre moutures de la même axiomatique, chacune avec ses axiomes et ses noms ; on les garde distinctes, et on renvoie de l'une à l'autre là où elles se recouvrent.

Conventions

\(\Lambda\) est un anneau commutatif non nul, \(\Lambda_0\) l'image de \(\mathbf{Z}\) dans \(\Lambda\) ; on dit avec la page que \(\Lambda\) est « absolu » quand \(\Lambda = \Lambda_0\), c'est-à-dire \(\Lambda \simeq \mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\). \(M\) est un \(\Lambda\)-module libre de rang \(2\), \(\mathrm{Rep}(M)\) l'ensemble de ses bases ordonnées (« repères »). On note, comme la page, \(M^{*}\) l'ensemble des éléments de \(M\) qui font partie d'une base, et \((\det M)^{*}\) l'ensemble des générateurs du module inversible \(\det M = \Lambda^2 M\) — les « jauges »³ . Pour \(x \in M\), \(\dot{x}\) est sa classe modulo \(\pm 1\).

\(S_M = M^{*}/\{\pm 1\}\) ; une face est une partie \(\{\dot x, \dot y, \dot z\}\) avec \(x + y + z = 0\) et \((x, y)\) base, une arête une partie \(\{\dot x, \dot y\}\) avec \((x, y)\) base ; \(F_M\), \(A_M\) leurs ensembles. Le type d'une arête ou d'une face est la classe \(\pm(x \wedge y) \in \Pi_M = (\det M)^{*}/\{\pm 1\}\). On note \(P_{M,i}\) le polyèdre formé des faces de type \(i\) (c'est le \(SP_M\) du § I pour \(i = \{\pm e\}\)), \(P_M\) la réunion de tous les types sur l'ensemble de sommets \(S_M\), et \(\widetilde{P}_M\) la même construction sur \(M^{*}\) avant division par \(\pm 1\). La réunion disjointe des \(P_{M,i}\) que considère le § III est notée \(P_M^{\sqcup}\)⁴ . \(Z'_\Lambda = \Lambda^{*}/\{\pm 1\}\), et \(Z'_n\) pour \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) ; c'est un groupe d'ordre \(\varphi(n)/2\) pour \(n \geq 3\).

Pour les groupes, on écrit \(\mathrm{GL}\), \(\mathrm{SL}\) là où la page écrit \(\mathrm{Gl}\), \(\mathrm{Sl}\) ; \(\mathrm{GL}^{\pm}(M)\) est le sous-groupe des automorphismes de déterminant \(\pm 1\), et un prime signifie « modulo \(\{\pm 1\}\) » : \(\mathrm{SL}(M)' = \mathrm{SL}(M)/\{\pm 1\}\). Pour une carte triangulée, \(\tau_0\), \(\tau_1\), \(\tau_\infty\) changent respectivement le sommet, l'arête, la face d'un drapeau, et \(\rho_0 = \tau_\infty\tau_1\), \(\rho_1 = \tau_0\tau_\infty\), \(\rho_\infty = \tau_1\tau_0\) sont les rotations autour d'un sommet, d'un milieu d'arête, d'un centre de face (pages 27, 112, 164).

Dans les §§ VII à XI, plus abstraits, \(S\) est un ensemble de sommets, \(A_0 \subset \mathfrak{P}_2(S)\) un ensemble d'arêtes, \(F_0 \subset \mathfrak{P}_3(S)\) un ensemble de faces, \(G_0\) le groupe des automorphismes, \(G_0^{+}\) celui des automorphismes directs, \(\mathrm{Et}(s)\) l'étoile (l'ensemble des voisins) de \(s\). Le groupe noté \(Z\) y joue le rôle de \(Z'_\Lambda\) : ses éléments sont des permutations de \(S\), les « homothéties », qui ne respectent pas \(A_0\) mais le tordent en \[ A_\lambda = \bigl\{ \{s, \lambda t\} \bigm| \{s, t\} \in A_0 \bigr\} \qquad (\lambda \in Z) . \] C'est la construction centrale de tout le dossier, et elle a un modèle simple qu'il faut avoir en tête : sur \(S_M\), la multiplication \(T_\mu\) par un scalaire \(\mu \in \Lambda^{*}\), appliquée à une seule extrémité d'une arête, change son type \(i\) en \(\mu i\), tandis qu'appliquée aux deux extrémités elle le change en \(\mu^2 i\). Toute la difficulté du dossier se loge dans cette différence entre \(\mu\) et \(\mu^2\). Les lettres \(\sigma\) et \(\lambda\) servent à plusieurs usages d'un paragraphe à l'autre (pour \(\lambda\) : les homothéties, et au § II les matrices \(\lambda_0\), \(\lambda_1\), \(\lambda_\infty\)) ; on les redéfinit sur place.

3–10

I. Les triangles d'un module de rang 2 (pages 3 à 20)

Triangles, repères, orientation (pages 3 à 6)

Soient \(x, y, z \in M\) avec \(x + y + z = 0\). Alors \((x, y)\) est une base si et seulement si \((y, z)\) en est une, si et seulement si \((z, x)\) en est une. Soit \(B(M) \subset M^3\) l'ensemble de ces triplets ; le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_3\) y opère librement, et le quotient \(\widetilde{F}(M) = B(M)/\mathfrak{S}_3\) est l'ensemble des parties \(\{x, y, z\}\) de somme nulle dont deux éléments quelconques forment une base. L'application \((x, y, z) \mapsto (x, y)\) identifie \(B(M)\) à \(\mathrm{Rep}(M) = \mathrm{Isom}_\Lambda(\Lambda^2, M)\) ; l'action de \(\mathfrak{S}_3\) s'y lit comme l'action naturelle sur \(V'_\Lambda = \Lambda^3/\Lambda\) (quotient par la diagonale), via \(B(M) \simeq \mathrm{Isom}_\Lambda(V'_\Lambda, M)\) et l'isomorphisme \(\Lambda^2 \simeq \Lambda^3/\Lambda\), \((x, y) \mapsto (x, y, 0)\).

Pour \((x, y, z) \in B(M)\), on a \(x \wedge y = y \wedge z = z \wedge x \in (\det M)^{*}\). Cet élément ne dépend que de l'ordre circulaire \(\omega\) défini sur \(A = \{x, y, z\}\) par l'ordre choisi, et change de signe avec lui : on a une application \(\alpha_A\) de l'ensemble \(\underline{\omega}_A\) des deux ordres circulaires dans \((\det M)^{*}\), avec \(\alpha_A(\omega^{-1}) = -\alpha_A(\omega)\). Si l'on fixe une jauge \(e \in (\det M)^{*}\) et que \(2 \neq 0\) dans \(\Lambda\), les triangles \(A\) pour lesquels \(\alpha_A\) prend les valeurs \(\pm e\) reçoivent une orientation canonique \(\omega_A\), celle pour laquelle \(\alpha_A(\omega_A) = e\).

Tout élément de \(M^{*}\) appartient à un tel triangle : si \((x, y)\) est une base, \(\{x, y, -(x+y)\}\) en est un ; et deux éléments de \(M^{*}\) appartiennent à au plus un triangle⁵ .

7–10

Le polyèdre \(P_M\) (pages 7 à 10)

On suppose désormais \(2 \cdot 1_\Lambda \neq 0\). L'involution \(-\mathrm{id}_M\) opère alors sans point fixe sur \(M^{*}\), et l'on pose \(S_M = M^{*}/\{\pm 1\}\), \(F_M = \widetilde{F}_M/\{\pm 1\}\). L'application \(F_M \to \mathfrak{P}_3(S_M)\) est injective : si \(\{x, y, z\}\) et \(\{x, y, -z\}\) étaient tous deux des triangles, on aurait \(2z = 0\), donc \(2 = 0\) puisque \(z\) fait partie d'une base. On identifie donc \(F_M\) à un ensemble de parties à trois éléments de \(S_M\), de réunion \(S_M\)⁶ , et l'on note \(A_M\) l'ensemble des paires \(\{\dot x, \dot y\}\) avec \((x, y)\) base.

Proposition (pages 9 et 10). Toute arête \(\{\dot x, \dot y\}\) est contenue dans exactement deux faces, \(\{\dot x, \dot y, (x+y)^{\cdot}\}\) et \(\{\dot x, \dot y, (x-y)^{\cdot}\}\) : les triangles qui la relèvent sont \(\{\varepsilon x, \varepsilon' y, -(\varepsilon x + \varepsilon' y)\}\), \(\varepsilon, \varepsilon' = \pm 1\), à \((\varepsilon, \varepsilon') \mapsto (-\varepsilon, -\varepsilon')\) près. Ainsi \(P_M = (S_M, A_M, F_M)\) est un « 2-polyèdre combinatoire triangulé » au sens faible : toute arête borde exactement deux faces⁷ . Si \(\Lambda\) est semi-local, deux sommets sont toujours à distance au plus \(2\), et \(P_M\) est connexe.

11–13

La jauge et le polyèdre \(SP_M\) (pages 11 à 13)

Fixons une jauge \(e\). Les faces de type \(\{\pm e\}\) — les \(\{\dot x, \dot y, \dot z\}\) avec \(x \wedge y = \pm e\) — forment \(SF_M\), leurs arêtes \(SA_M\). Si \(f\), \(f'\) sont les deux faces qui contiennent l'arête \(a = \{\dot x, \dot y\}\), les applications \(a \to (\det M)^{*}\) qu'elles induisent par \(\alpha_f\), \(\alpha_{f'}\) diffèrent par le signe (la première envoie \(\dot x\) sur \(x \wedge y\), la seconde sur \(x \wedge (-y)\)). Il en résulte que \(a\), \(f\) et \(f'\) ont le même type, et que \[ SP_M = (S_M, SA_M, SF_M) \] est encore un polyèdre triangulé dont toute arête borde deux faces ; c'est le \(P_{M, \{\pm e\}}\) de nos conventions.

14–17

L'étoile d'un sommet (pages 14 à 17)

Soit \(s = \dot x\). Les voisins de \(s\) dans \(SP_M\) correspondent aux \(y\) tels que \(x \wedge y = e\) ; ils forment la droite affine \[ L_x = \{ y \in M \mid x \wedge y = e \}, \] espace homogène sous les translations par \(\Lambda x\). Deux voisins \(\dot y\), \(\dot z\) (\(y, z \in L_x\)) forment une face avec \(s\) si et seulement si \(y - z = \pm x\) : de \(x + \varepsilon' y + \varepsilon'' z = 0\) et \(x \wedge (y - z) = 0\), l'égalité \(\varepsilon' = \varepsilon''\) donnerait \(2e = 0\). L'étoile de \(s\) est donc la droite \(L_x\) munie de la structure de « contour » où chaque point est relié à son translaté par \(\pm x\), et ses composantes connexes sont les classes \(y + \Lambda_0 x\)⁸ . D'où :

l'étoile de chaque sommet de \(SP_M\) est connexe si et seulement si \(\Lambda = \Lambda_0\), c'est-à-dire \(\Lambda \simeq \mathbf{Z}\) ou \(\Lambda \simeq \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) avec \(n \geq 3\).

Pour \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), l'étoile est un \(n\)-gone ; pour \(\Lambda = \mathbf{Z}\), c'est une ligne infinie de voisins. Le polyèdre \(P_M\) sans jauge, réunion des polyèdres de tous les types, n'a d'étoiles connexes que s'il n'y a qu'un type, c'est-à-dire \(\Lambda^{*} = \{\pm 1\}\) : les seuls cas sont \(\Lambda = \mathbf{Z}\) et \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), \(n \in \{3, 4, 6\}\) (page 17).

17–20

Orientation et connexité (pages 17 à 20)

\(SP_M\) ne change pas si l'on remplace \(e\) par \(-e\) : il est stable par \(\mathrm{GL}^{\pm}(M)\). Les orientations \(\omega_f\) des faces (celles où \(\alpha_f(\omega_f) = e\)) sont compatibles le long des arêtes, par l'anticommutativité vue plus haut, et définissent une orientation canonique \(\mu\) de \(SP_M\), qui dépend de \(e\) et que \(g \in \mathrm{GL}^{\pm}(M)\) envoie sur \(\det(g)\,\mu\).

Pour la connexité, il s'agit de relier deux éléments de \(M^{*}\) par une chaîne \(z_0, \dots, z_N\) avec \(z_i \wedge z_{i+1} = \pm e\). Si \((x, y)\) est une base avec \(e = \lambda\, x \wedge y\), \(\lambda \in \Lambda^{*}\), l'élément \(z = \lambda x + \lambda y\) vérifie \(x \wedge z = z \wedge y = e\) : il suffit donc de relier par des chaînes de bases, ce qui est toujours possible sur un anneau semi-local. On trouve même que deux sommets de \(SP_M\) sont à distance au plus \(3\) quand \(\Lambda\) est semi-local, la borne étant atteinte pour l'icosaèdre (\(\Lambda = \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}\))⁹ . Pour \(\Lambda = \mathbf{Z}\), la page 21 juge « sûrement vrai » que \(SP_M\) est connexe, sans s'y attarder¹⁰ .

21–26

Le théorème d'automorphismes et le dénombrement (pages 21 à 26)

Un automorphisme \(u\) de \(M\) qui fixe les trois sommets d'une face est \(\pm \mathrm{id}\) : quitte à changer son signe, \(ux = x\), \(uy = \varepsilon' y\), \(uz = \varepsilon'' z\), et \(x = -y - z = -\varepsilon' y - \varepsilon'' z\) force \(\varepsilon' = \varepsilon'' = 1\). Les arêtes orientées de \(SP_M\) correspondent aux bases symplectiques \((x, y)\), \(x \wedge y = e\), modulo \(\pm 1\)¹¹ , sur lesquelles \(\mathrm{SL}(M)'\) opère simplement transitivement. Comme un automorphisme d'un 2-polyèdre connexe au sens strict est connu par son effet sur un drapeau, on obtient :

Théorème (page 23). Si \(\Lambda = \mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) (\(n \geq 3\)), \[ \mathrm{SL}(M)' \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}^{+}(SP_M), \qquad \mathrm{GL}^{\pm}(M)' \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}(SP_M), \] et \(SP_M\) est un 2-polyèdre triangulé orienté connexe, régulier au sens orienté comme au sens non orienté¹² .

Pour \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), \(n = \prod p^{\nu_p}\), les cardinaux se calculent par le lemme chinois : \[ N = \operatorname{card}\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \prod_p p(p^2 - 1)\,p^{3(\nu_p - 1)} = n^3 \prod_{p \mid n}\Bigl(1 - \frac{1}{p^2}\Bigr), \qquad N' = N/2 , \] \(\operatorname{card} M^{*} = N/n\), et \(SP_M\) a \(N'/n\) sommets, \(N'/2\) arêtes, \(N'/3\) faces ; tous les sommets sont d'ordre \(n\), toutes les faces d'ordre \(3\). Sa caractéristique d'Euler est \[ \chi = N'\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\Bigr) = N'\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{6}\Bigr) = 2 - 2g , \qquad g = 1 + \frac{N'}{2}\Bigl(\frac{1}{6} - \frac{1}{n}\Bigr) , \] d'où \(g = 0\) si et seulement si \(n \leq 5\), \(g = 1\) si et seulement si \(n = 6\), \(g \geq 2\) si et seulement si \(n \geq 7\). Concrètement¹³ : \[ \begin{array}{c|cccc|l} n & N' & \text{sommets} & \text{arêtes} & \text{faces} & \\ \hline 3 & 12 & 4 & 6 & 4 & \text{tétraèdre} \\ 4 & 24 & 6 & 12 & 8 & \text{octaèdre} \\ 5 & 60 & 12 & 30 & 20 & \text{icosaèdre} \\ 6 & 72 & 12 & 36 & 24 & \text{tore } (g = 1) \\ 7 & 168 & 24 & 84 & 56 & g = 3 \end{array} \] La page annonce qu'elle reviendra sur les cas \(n \leq 6\), et passe d'abord à la fonctorialité.

26–37

II. Le groupe cartographique et \(\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})\) (pages 26 à 37)

Les cartes triangulées orientées se décrivent comme des ensembles sous le groupe cartographique orienté triangulé \[ \mathfrak{G}^{\circ}_{3,\infty} = \langle \rho_0, \rho_1, \rho_\infty \mid \rho_1^2 = \rho_\infty^3 = 1,\ \rho_\infty\rho_1\rho_0 = 1 \rangle , \] et les cartes non orientées comme des ensembles sous \[ \mathfrak{G}_{3,\infty} = \langle \tau_0, \tau_1, \tau_\infty \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_\infty^2 = (\tau_0\tau_\infty)^2 = (\tau_0\tau_1)^3 = 1 \rangle , \] avec \(\rho_\infty = \tau_1\tau_0\), \(\rho_0 = \tau_\infty\tau_1\), \(\rho_1 = \tau_0\tau_\infty\). On a des isomorphismes \(\mathfrak{G}^{\circ}_{3,\infty} \simeq \mathrm{PSL}(2, \mathbf{Z})\) et \(\mathfrak{G}_{3,\infty} \simeq \mathrm{PGL}(2, \mathbf{Z})\), donnés « suivant un formulaire » par \[ \lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \lambda_\infty = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \lambda_0 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; \] \[ r_\infty = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad r_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad r_1 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \] images de \(\rho_1, \rho_\infty, \rho_0\) et de \(\tau_\infty, \tau_0, \tau_1\). On vérifie \(\lambda_0 = r_\infty r_1\), \(\lambda_1 = r_0 r_\infty\), \(\lambda_\infty = r_1 r_0\), et \(\lambda_\infty\lambda_1\lambda_0 = 1\) dans \(\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})\) même¹⁴ .

28–30

Le polyèdre comme ensemble sous le groupe cartographique (pages 28 à 30)

\(\mathrm{Rep}(M)' = \mathrm{Isom}(\Lambda^2, M)/\{\pm 1\}\) est un torseur à droite sous \(\mathrm{GL}(2, \Lambda)'\), donc, par \(\mathbf{Z} \to \Lambda\), un ensemble sous \(\mathrm{GL}(2, \mathbf{Z})' \simeq \mathfrak{G}_{3,\infty}\) : une structure triangulée, et de même une structure orientée sur les repères symplectiques modulo \(\pm 1\), ensemble sous \(\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})'\). Pour \(\Lambda = \mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), on retrouve « sauf erreur » le polyèdre \(SP_M\) ; comme \(\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}) \to \mathrm{SL}(2, \Lambda)\) est alors surjectif, la structure est connexe et régulière ; dans le cas général, ses composantes sont des polyèdres réguliers isomorphes, de groupe d'automorphismes directs \(\mathrm{SL}(2, \Lambda_0)'\) (« à vérifier »)¹⁵ .

31–36

Les automorphismes de drapeaux comme matrices (pages 31 à 36)

Un repère direct \(r = (s, a, f)\) de \(SP_M\) revient à une base \((x, y)\) avec \(x \wedge y = e\), modulo signe : \(s = \dot x\), \(a = \{\dot x, \dot y\}\), \(f = \{\dot x, \dot y, (x+y)^{\cdot}\}\) ; la seconde face de \(a\) a pour troisième sommet \((x - y)^{\cdot}\). Les automorphismes \(\tau_0^r\), \(\tau_1^r\), \(\tau_\infty^r\) qui échangent \(r\) avec ses drapeaux voisins sont induits par les automorphismes antisymplectiques de matrices, dans la base \((x, y)\), \[ \tau_0^r : \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = r_0, \qquad \tau_1^r : \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -r_1, \qquad \tau_\infty^r : \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -r_\infty \] (\(\tau_0^r\) échange \(x\) et \(y\) ; \(\tau_1^r\) fixe \(x\) et échange \(y\) et \(z = -x-y\) ; \(\tau_\infty^r\) fixe \(x\) et change \(y\) en \(-y\)), d'où \(\rho_0^r \mapsto \lambda_0\), \(\rho_1^r \mapsto -\lambda_1\), \(\rho_\infty^r \mapsto -\lambda_\infty\). Aux signes près, sans importance dans \(\mathrm{SL}(2, \Lambda)'\), on « tombe pile sur les formules du formulaire 1981, qui avaient été obtenues par voie topologico-transcendante (classique) relativement délicate » : cela confirme que le choix des générateurs \(\rho = \lambda_\infty^{-1}\) et \(\sigma = \lambda_1\) de \(\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})\), présenté par \(\rho^3 = \sigma^2 = \rho^{-3}\), était « le plus naturel possible »¹⁶ .

Relevant ensuite les homomorphismes à \(\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})\) et \(\mathrm{GL}(2, \mathbf{Z})\) depuis le groupe libre \(\Pi_{0,3} = \langle \rho_0, \rho_1, \rho_\infty \mid \rho_\infty\rho_1\rho_0 = 1\rangle\) et le produit libre \(\Pi^2_{0,3}\) de trois groupes d'ordre \(2\), la page montre qu'une fois imposé que l'image de \(\rho_0\) soit unipotente, il reste deux choix : celui du formulaire (87), où \(\lambda_\infty\) est d'ordre \(6\), et celui (88) que la géométrie vient de donner, où \(-\lambda_\infty\) est d'ordre \(3\). « L'an dernier j'ai choisi délibérément » le premier, « pour avoir un élément d'ordre \(6\), moins spécial ».

36–37

Une identité remarquable, et l'universalité (pages 36 et 37)

La construction du § I fournit donc \(r_0, r_1, r_\infty \in \mathrm{GL}(2, \mathbf{Z})\) et \(\lambda_0, \lambda_1, \lambda_\infty \in \mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})\) vérifiant les relations des groupes cartographiques, et \(\lambda_\infty^3 = \lambda_1^2 = -1\). Que les homomorphismes \(\mathfrak{G}^{\circ}_{3,\infty} \to \mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})'\) et \(\mathfrak{G}_{3,\infty} \to \mathrm{GL}(2, \mathbf{Z})'\) soient des isomorphismes est, dit la page, une « identité remarquable, dont je ne connais pas de démonstration par voie purement algébrique »¹⁷ . Elle l'énonce comme une propriété d'universalité : si l'on choisit un repère direct \(r_0\) de \(SP_M\) pour \(M = \mathbf{Z}^2\), alors pour toute structure 2-polyédrale triangulée orientée \(P\) et tout repère \(r\) de \(P\), il existe un homomorphisme et un seul \(SP_M \to P\) envoyant \(r_0\) sur \(r\). La phrase s'interrompt sur « tel que »¹⁸ .

37–43

III. Sans jauge : la famille des polyèdres (pages 37 à 60)

Les structures supplémentaires et le théorème (pages 37 à 43)

Soit \(M\) libre de rang \(2\) sur \(\Lambda \simeq \mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), \(n \geq 3\), sans jauge choisie. Les structures « semi-symplectiques » sont les éléments de \(\Pi_M = (\det M)^{*}/\{\pm 1\}\) ; à chacune \(i\) correspond le polyèdre régulier \(P_{M,i}\), dont l'ensemble des orientations s'identifie à \(i\) lui-même (une paire \(\{e, -e\}\)). Sur \(\mathbf{Z}\) il n'y en a qu'un. Sur \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) il y en a \(\varphi(n)/2\), et leur réunion disjointe \(P_M^{\sqcup}\) est connexe si et seulement si \(\varphi(n) = 2\), \(n \in \{3, 4, 6\}\) ; le premier cas non connexe est \(n = 5\), où l'on trouve un « bi-icosaèdre ».

Pour \(\Lambda\) fini et \(P_M^{\sqcup}\) non connexe, la page cherche des structures supplémentaires dont le groupe d'automorphismes serait \(\mathrm{GL}(M)'\) tout entier. Elle en retient trois :

• (95) l'action de \(Z'_\Lambda = \Lambda^{*}/\{\pm 1\}\), sous-groupe central de \(\mathrm{GL}(M)'\) (« égal au centre sauf erreur »), par les homothéties \(T_\lambda\) ;
• (97) la structure de torseur sous \(Z'_\Lambda\) de l'ensemble \(\pi_0(P_M^{\sqcup}) \simeq \Pi_M\) des composantes ; on a \(T_g\, i = \det(g) \cdot i\) pour \(g \in \mathrm{GL}(M)'\), donc \(T_\lambda\, i = \lambda^2 i\) pour \(\lambda \in Z'_\Lambda\) ;
• (101) le système transitif de bijections \(\kappa_{j,i}\) entre les ensembles de sommets des composantes, tous identifiés à \(S_M\)¹⁹ .

Un automorphisme strict est un automorphisme de \(P_M^{\sqcup}\) qui les respecte. Le groupe \(\mathrm{Autstr}(P_M^{\sqcup})\) s'envoie sur \(Z'_\Lambda\) par son action sur les composantes, et l'on a un homomorphisme de suites exactes

\begin{tikzcd}[column sep=small]
1 \arrow[r] & \mathrm{GL}^{\pm}(M)' \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{GL}(M)' \arrow[r] \arrow[d] & \Lambda^{*}/\{\pm 1\} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 \arrow[r] & \mathrm{Autstr}^{0}(P_M^{\sqcup}) \arrow[r] & \mathrm{Autstr}(P_M^{\sqcup}) \arrow[r] & Z'_\Lambda \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

La démonstration n'a utilisé que (97) et (101), de sorte que (101) entraîne (95) a posteriori : « il serait bon d'en comprendre la raison a priori ». Le § V montrera pourquoi le problème disparaît quand on met tous les polyèdres sur le même ensemble de sommets.

43–46

Le type d'objet obtenu (pages 43 à 46)

La page récapitule la structure en données (105) : un ensemble \(\mathbb{S}\) (la valeur commune des ensembles de sommets), un torseur \(\pi\) sous \(Z'_\Lambda\), et une application \(\Sigma\) de \(\pi\) dans l'ensemble des structures triangulées sur \(\mathbb{S}\), avec les propriétés : a) chaque \(\Sigma(i)\) est un 2-polyèdre triangulé connexe ; b) leurs groupes d'automorphismes \(G\) sont égaux, et \(G\), \(G^{+}\) sont simplement transitifs sur les drapeaux (resp. les drapeaux directs) ; c) \(i \neq j\) entraîne que \(\Sigma(i)\), \(\Sigma(j)\) n'ont aucune arête ni aucune face commune ; d) le groupe \(A\) des automorphismes de toute la donnée se surjecte sur \(Z'_\Lambda\) ; e) pour \(\lambda \in Z'_\Lambda\) il existe une unique permutation \(T_\lambda\) de \(\mathbb{S}\) telle que \(\{s, t\}\) soit une arête de \(\Sigma(i)\) si et seulement si \(\{s, T_\lambda t\}\) est une arête de \(\Sigma(\lambda i)\)²⁰ . Une note marginale demande s'il existe d'autres structures triangulées sur \(\mathbb{S}\), isomorphes à celles-là et de mêmes groupes \(G\), \(G^{+}\).

L'unicité de \(T_\lambda\) repose sur ce qu'un sommet est déterminé par ses voisinages : si deux éléments \(u, u'\) de \(M^{*}\) ont les mêmes voisins pour chaque type, alors \(u' = \pm u\), ce qu'on ramène (« à expliciter ») au fait que sur un corps ayant au moins trois éléments le complémentaire de deux droites engendre le plan²¹ .

46–50

Le torseur des types et l'application \(\wedge\) (pages 46 à 50)

À l'aide de \(\pi = \Pi_M\) on reconstitue la « droite modulo \(\pm 1\) » \(L' = (\det M)/\{\pm 1\}\), sur laquelle \(Z'_n\) opère, et \(\pi\) s'y plonge comme l'image de \((\det M)^{*}\)²² . Sur \(S = M^{*}/\{\pm 1\}\), l'application symétrique \(\wedge : S \times S \to L'\), induite par \(x \wedge y\), détermine pour chaque \(i \in \pi\) la structure \(\Sigma(i)\) : les arêtes sont les \(\{x, y\}\) avec \(x \wedge y = i\), les faces les triplets dont toutes les paires sont des arêtes de type \(i\)²³ . Chaque arête de type \(i\) est dans exactement deux faces, et l'on conjecture que l'étoile d'un sommet est un \(n\)-gone.

Pour définir les \(\Sigma(i)\), il suffit de connaître la partie \(A\) de \(\mathfrak{P}_2(S)\) formée des arêtes de tous types et l'application « type » \(t : A \to \pi\), dont les fibres sont les \(A_{\Sigma(i)}\). La structure de torseur sur \(\pi\) correspond alors à une action \(\lambda \mapsto T_\lambda\) de \(Z'_n\) sur \(S\) telle que \[ s \wedge T_\lambda t = \lambda\,(s \wedge t) , \] uniquement déterminée puisqu'un sommet est connu par son étoile ; appliquée aux deux extrémités, \(T_\lambda\) multiplie le type par \(\lambda^2\). Une note marginale ajoute que les deux données — l'action de \(Z'_n\) sur \(\pi\) et l'action \(T\) sur \(S\) — se déterminent l'une l'autre. La question de reconstruire \(\wedge\) elle-même à partir des autres données est esquissée puis barrée : « il faut y revenir ultérieurement ».

50–53

Une structure détermine-t-elle les autres ? (pages 50 à 53)

Soit \(P_0 = (S, A_0, F_0)\) un 2-polyèdre triangulé connexe régulier fini, \(G_0 = \mathrm{Aut}(P_0) \subset \mathfrak{S}_S\), et \(Z\) le commutant de \(G_0\) dans \(\mathfrak{S}_S\) ; pour \(P_0 = P_{M,i}\), ce commutant se réduirait à \(Z'_n\) (« à vérifier »)²⁴ . On pose \(\mathfrak{z} = Z \cap G_0 = \mathrm{Cent}(G_0)\) et \(Z' = Z/\mathfrak{z}\). Comme \(G_0\) est transitif sur les arêtes et sur les faces, une structure \(\lambda\Sigma_0\) transformée par \(\lambda \in Z\) est soit égale à \(\Sigma_0\), soit sans arête ni face commune avec elle. Deux structures régulières \(\Sigma\), \(\Sigma'\) sur \(S\) sont dites équivalentes si \(\Sigma' = \lambda\Sigma\) pour un \(\lambda\) commutant à \(\mathrm{Aut}(S, \Sigma)\) ; une classe d'équivalence \(\Pi\) est un torseur sous \(Z'\), et l'on a une suite exacte \(1 \to G \to \mathrm{Aut}(S, \Pi) \to Z' \to 1\).

Mais cette analyse, appliquée à \(P_{M,i}\), ne donne que les \(P_{M,\lambda^2 i}\), puisque \(T_\lambda\), appliqué aux deux extrémités, multiplie le type par \(\lambda^2\) : « on est encore loin du compte ! »²⁵

54–60

Seconde tentative : la torsion d'une seule extrémité (pages 54 à 60)

La page introduit un groupe a priori plus petit, \(Z_0\) : celui des \(\lambda\) qui centralisent \(G_0\) et tels que l'ensemble \[ A_\lambda = \bigl\{ \{s, \lambda t\} \bigm| \{s, t\} \in A_0 \bigr\} \] soit l'ensemble des arêtes d'une structure triangulée isomorphe à \(\Sigma_0\). Comme \(\lambda\) centralise \(G_0\), on a \(\mathrm{Aut}(S, A_\lambda) = G_0\). D'où les définitions (pages 55 à 57) : deux graphes stricts \(A_0\), \(A_1\) sur \(S\) sont équivalents s'il existe \(\lambda \in \mathfrak{S}_S\) qui centralise \(\mathrm{Aut}(S, A_0)\) et vérifie \(\{s, t\} \in A_0 \iff \{s, \lambda t\} \in A_1\) (on dit que \(\lambda\) « transporte » \(A_0\) en \(A_1\)) ; ils sont strictement équivalents s'ils sont de plus isomorphes. La relation est symétrique (\(\lambda^{-1}\) transporte \(A_1\) en \(A_0\)) et transitive ²⁶ . L'ensemble \(\widetilde{Z}_0\) des \(\lambda\) qui transportent \(A_0\) en une structure équivalente est stable par inverse et par produit d'éléments qui commutent ; c'est un groupe sous l'hypothèse, faite désormais, que ses éléments commutent deux à deux. Alors les structures strictement équivalentes à \(A_0\) forment un torseur sous \(Z'_0 = Z_0/\mathfrak{z}_0\), \(\mathfrak{z}_0 = Z_0 \cap G_0\) (147) ; le sous-groupe \(G\) de \(\mathrm{Aut}(S, \Pi)\) qui centralise \(Z_0\) modulo \(\mathfrak{z}_0\) s'insère dans une suite exacte \[ 1 \longrightarrow G_0 \longrightarrow G \longrightarrow Z'_0 \longrightarrow 1 ; \] et si \(G_0\) est transitif sur les arêtes, les structures d'une même classe sont deux à deux disjointes, d'où une application « type » \(A = \bigcup A_i \to \Pi\), qui généralise celle des pages 48 et 49.

Pour l'appliquer au module \(M\) sur \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), il faudrait vérifier que \(Z_0\) est le groupe des \(T_\lambda\), \(\lambda \in Z'_n\), et l'on « suspecte » même que le commutant de \(G_0 = \mathrm{GL}^{\pm}(M)'\) tout entier soit ce groupe (155) ; le § VI le vérifiera pour le commutant de \(\mathrm{SL}(M)'\).

61–70

IV. Anneau quelconque : types, et ce que les arêtes déterminent (pages 61 à 70)

Soit \(\Lambda\) un anneau non nul quelconque. \(M^{*} \to S_M\) est un revêtement de degré \(2\) si \(2 \neq 0\), de degré \(1\) si \(2 = 0\). Les arêtes \(A_M\) ont un type \(\tau : A_M \to \Pi_M\), compatible à l'action de \(G_M = \mathrm{GL}(M)'\), qui opère sur \(\Pi_M\) à travers \(\delta_M : G_M \to Z'_\Lambda\), déterminant modulo \(\pm 1\). Le stabilisateur d'un type est \(G^{\circ}_M = \operatorname{Ker} \delta_M\)²⁷ , transitif sur chaque \(A_{M,i}\) ; \(G_M\) est transitif sur \(A_M\). Les faces \(F_M\) ont un type, et l'on distingue :

• A) \(2 = 0\) : toute arête est dans une seule face (car \(z = x + y\)) ; les arêtes orientées forment un torseur sous \(G_M\) ;
• B) \(2 \neq 0\) : toute arête est dans exactement deux faces ; les « repères » \((s, t, u)\), \(\{s, t, u\} \in F_M\), s'identifient aux bases modulo \(\pm 1\) par \((x, y) \mapsto (\dot x, \dot y, (x+y)^{\cdot})\) et forment un torseur sous \(G_M\).

Les arêtes déterminent-elles les faces ? Dans le cas B, la page voudrait que les faces soient exactement les triangles du graphe \((S_M, A_M)\), et écrit aussitôt « relation fausse !! » : trois éléments deux à deux en base ne vérifient pas en général \(z = \pm x \pm y\)²⁸ . En revanche, si l'on connaît aussi les types, les faces de type \(i\) sont exactement les triangles du graphe des arêtes de type \(i\) (178) : de \(x \wedge y\), \(y \wedge z\), \(z \wedge x \in \{\pm e\}\) et \(z = \varepsilon x + \varepsilon' y\), on tire \(\varepsilon' x \wedge y = x \wedge z\), d'où \(\varepsilon' = \pm 1\), et de même pour \(\varepsilon\).

Dans le cas A (caractéristique \(2\)), la page croit d'abord que les faces avec leurs types sont « nettement plus fines » que les arêtes avec leurs types²⁹ , puis introduit les faces orientées et leur type à valeurs dans \((\det M)^{*}\) tout entier (179) à (181), en se demandant dans quelle mesure cette structure se déduit des autres. La page 70 ne porte que cette question et un titre barré.

71–80

V. Récapitulation (pages 71 à 91)

La structure \(\widetilde{P}_M\) et son groupe (pages 71 à 80)

Le § V reprend tout sur un anneau commutatif non nul quelconque, avec une nouvelle numérotation. Sur \(\widetilde{S}_M = M^{*}\), les faces \(\widetilde{F}_M\) sont les \(\{x, y, z\}\), \(x + y + z = 0\), \((x, y)\) base ; une face orientée \(x \to y \to z\) a pour type \(x \wedge y \in \overrightarrow{\Pi}_M = (\det M)^{*}\), le type de la face non orientée est sa classe dans \(\Pi_M\), et les \(\widetilde{F}_{M,i}\) forment une famille de structures triangulées sur le même ensemble \(M^{*}\), indexée par \(\Pi_M\). Toute arête (paire non ordonnée formant une base) est contenue dans une seule face : \(\widetilde{P}_M\) n'est pas un 2-polyèdre, mais son quotient par \(\pm 1\) en sera un. Il faudra interpréter \(\Pi_M\) comme torseur sous \(Z'_\Lambda\), et \(\overrightarrow{\Pi}_M\) comme torseur sous \(\Lambda^{*}\) qui le relève (« tirer au clair »). Les triangles du graphe de type \(i\) sont les \(\{x, y, \pm x \pm y\}\), de sorte que les arêtes typées ne déterminent les faces que si \(2 = 0\) (15).

L'antipodie est l'automorphisme induit par \(-\mathrm{id}_M\). Un automorphisme \(u\) de \(\widetilde{P}_{M,i}\) qui commute à l'antipodie et fixe \(x\) et \(y\), avec \(x \wedge y \in i\), fixe aussi \(-(x+y)\) ; de proche en proche, l'ensemble des repères fixés par \(u\) est stable par composition avec les matrices \(\tau_0^r\), \(\tau_1^r\), \(\tau_\infty^r\) du § II, qui engendrent l'image de \(\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})\), c'est-à-dire \(\mathrm{SL}(2, \Lambda_0)\). D'où :

Lemme (page 76). Un tel \(u\) fixe tous les \(ax + by\) avec \(a, b \in \Lambda_0\) et \((a, b)\) unimodulaire dans \(\Lambda_0\)³⁰ .

Corollaire. Si \(\Lambda = \Lambda_0\), un automorphisme de \(\widetilde{P}_{M,i}\) qui fixe un repère et commute à l'antipodie est l'identité.

Théorème (page 77). Soit \(\Lambda \simeq \mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\). a) Pour \(i \in \Pi_M\), \(\mathrm{GL}^{\pm}(M) \to \mathrm{Aut}(\widetilde{P}_{M,i})^{\mathrm{antipod}}\) (automorphismes commutant à l'antipodie) est un isomorphisme, car \(\mathrm{GL}^{\pm}(M)\) est simplement transitif sur les bases de type \(i\). b) \(\mathrm{GL}(M) \simeq \mathrm{Aut}(\widetilde{P}_M)\), la structure étant la famille \((\widetilde{F}_{M,i})_i\) avec l'antipodie. Ici il n'y a pas de quotient par \(\pm 1\) : l'antipodie fait partie de la structure.

Scholie (page 78). Par les principes généraux, on a deux équivalences de groupoïdes, pour \(\Lambda_n = \mathbf{Z}\) (\(n = 0\)) ou \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) : \((M, i) \mapsto \widetilde{P}_{M,i}\), des modules libres de rang \(2\) munis d'une structure semi-symplectique vers les structures triangulées munies d'une involution (l'antipodie) isomorphes à une structure type dépendant de \(n\) ; et \(M \mapsto \widetilde{P}_M\), des modules libres vers les structures \((S, F, \Pi, \tau, a)\). « Il conviendrait de caractériser axiomatiquement, par des propriétés intrinsèques », les structures du second membre, et de comprendre comment reconstruire \(M\).

79–83

L'action de \(\Lambda^{*}\), et la présentation de \(M\) (pages 79 à 83)

Quand \(\Lambda \neq \Lambda_0\), on ajoute l'action \(\widetilde{T}_\lambda x = \lambda x\) de \(\Lambda^{*}\) sur \(M^{*}\) : elle respecte \(\widetilde{F}_M\) et la partition en types, et commute à \(\mathrm{GL}(M)\), dont elle est le centre. Un automorphisme \(u\) de la structure qui commute aux \(\widetilde{T}_\lambda\) et fixe une base \((x, y)\) fixe les \(\lambda y\), donc tous les types \(\lambda i\), et respecte chaque \(\widetilde{F}_{M,i}\). Si \(\Lambda^{*}\) engendre \(\Lambda\) additivement (par exemple \(\Lambda\) semi-local), les matrices \(\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & -\lambda \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\), \(\lambda \in \Lambda^{*}\), avec \(\lambda_1\) et \(\lambda_\infty\), engendrent « sauf erreur » \(\mathrm{SL}(2, \Lambda)\), et l'on trouve que tout automorphisme de \((\widetilde{S}_M, \widetilde{F}_M, \widetilde{T})\) provient d'un automorphisme unique de \(M\)³¹ .

En termes additifs, une permutation \(u\) de \(M^{*}\) qui commute à l'antipodie et respecte les faces vérifie \(u(-x) = -u(x)\) et \(u(x + y) = u(x) + u(y)\) dès que \((x, y)\) est une base ; commuter à \(\Lambda^{*}\) ajoute \(u(\lambda x) = \lambda u(x)\). Il est « tentant » d'écrire \(M\) comme le quotient du groupe abélien libre \(\mathbf{Z}^{(M^{*})}\) par le sous-groupe \(R_M\) engendré par les \([x + y] - [x] - [y]\) (\((x, y)\) base) et les \([-x] + [x]\) : \(u\) s'étendrait alors en un automorphisme additif \(\hat u\) de \(M\). Il faudrait montrer que la suite \(0 \to R_M \to \mathbf{Z}^{(M^{*})} \to M \to 0\) est exacte³² ; une note marginale y voit le groupe « enveloppant » d'une loi de groupe partiellement définie.

Quand \(\Lambda\) est « absolu », tout endomorphisme additif est \(\Lambda\)-linéaire, et la condition sur \(\Lambda^{*}\) est superflue. La page explique pourquoi elle est indispensable en général : « tout automorphisme additif (non nécessairement \(\Lambda\)-linéaire) de \(M\) induit un automorphisme de \(\widetilde{P}_M\) »³³ . La partition en types l'empêche dans certains cas, mais non si \(\Lambda^{*} = \{\pm 1\}\), par exemple pour un anneau de polynômes sur \(\mathbf{F}_2\), \(\mathbf{F}_3\) ou \(\mathbf{Z}\), où il n'y a qu'un type.

84–91

Le quotient par \(\pm 1\) (pages 84 à 91)

On suppose \(2 \neq 0\). Alors \(-\mathrm{id}_M\) opère librement sur \(M^{*}\), sur les arêtes et sur les faces ; \(S_M\), \(F_M \subset \mathfrak{P}_3(S_M)\) et les types se définissent par passage au quotient. Au-dessus d'une arête \(\{\dot x, \dot y\}\) il y a quatre arêtes de \(\widetilde{P}_M\), \(\{x, y\}\), \(\{-x, -y\}\), \(\{x, -y\}\), \(\{-x, y\}\), groupées en deux paires antipodiques qui correspondent aux deux faces contenant l'arête (35). Une jauge \(e\) choisie dans \(i = \{\pm e\}\) oriente \(P_{M,i}\), de sorte que l'ensemble des orientations de \(P_{M,i}\) s'identifie à \(i\) ; les faces de type \(i\) se reconstituent à partir des arêtes de type \(i\) (37). L'étoile de \(\dot x\) dans \(P_{M,i}\) est la droite affine \(L_x = \{y \mid x \wedge y = e\}\), où le successeur de \(y\) est \(y + x\) (39), d'où (40) : les étoiles sont connexes si et seulement si \(\Lambda = \Lambda_0\)³⁴ , et \(P_M\) tout entier est un 2-polyèdre si et seulement si de plus il n'y a qu'un type, \(\Lambda \simeq \mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), \(n \in \{3, 4, 6\}\) (41).

\(\mathrm{GL}^{\pm}(M)'\) est simplement transitif sur les repères de \(P_{M,i}\), \(\mathrm{SL}(M)'\) sur les repères directs de \(P_{M,e}\), \(\mathrm{GL}(M)'\) sur les repères de \(P_M\)³⁵ . D'où :

Théorème (page 89). Si \(\Lambda = \Lambda_0\) : a) \(\mathrm{SL}(M)' \simeq \mathrm{Aut}^{+}(P_{M,e})\) ; b) \(\mathrm{GL}^{\pm}(M)' \simeq \mathrm{Aut}(P_{M,i})\) ; c) \(\mathrm{GL}(M)' \simeq \mathrm{Aut}(P_M)\), où \(\mathrm{Aut}(P_M)\) est le groupe des permutations de \(S_M\) qui respectent l'ensemble \(F_M\) de toutes les faces³⁶ .

C'est le théorème de la page 42, débarrassé de ses structures supplémentaires : les polyèdres \(P_{M,i}\) étant posés sur le même ensemble \(S_M\), les identifications (101) du § III deviennent des identités, et il n'y a plus rien à comprendre « a priori ».

Scholie (pages 89 à 91). Pour \(\Lambda \simeq \mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) fixé, on a trois équivalences de groupoïdes : modules symplectiques libres de rang \(2\) modulo \(\pm 1\) vers 2-polyèdres triangulés orientés réguliers d'un type déterminé par \(n\) ; modules semi-symplectiques vers 2-polyèdres réguliers (orientables, non orientés) ; modules libres vers « structures multi-2-polyédrales triangulées ». Le programme qui suit occupera le reste du dossier : a) caractériser axiomatiquement ces structures ; b) les expliciter ; c) reconstruire \(M\) ; d) expliciter les structures annexes (le torseur \(\Pi\), le \(\Lambda^{*}\)-torseur \(\overrightarrow{\Pi}\) des orientations, l'action de \(Z'_\Lambda\) sur \(S_M\)) ; e) expliquer comment toutes les \(P_{M,i}\) se déduisent de l'une ; f) pour \(\Lambda\) quelconque, trouver les structures combinatoires qui portent la trace de \(\Lambda\).

92–95

VI. Le commutant, et \(Z'_\Lambda\) lu sur les étoiles (pages 92 à 101)

Le commutant de \(\mathrm{SL}(M)\) et de \(\mathrm{SL}(M)'\) (pages 92 à 95)

La page commence par la question e). Si \(S\) est un espace homogène sous un groupe \(G\) et \(H\) le stabilisateur d'un point, le commutant de \(G\) dans \(\mathfrak{S}_S\) est isomorphe à \(N_G(H)/H\)³⁷ . On calcule ce normalisateur dans une base \((x, y)\).

A) \(G = \mathrm{SL}(2, \Lambda)\) opérant sur \(M^{*}\), \(H = \bigl\{ \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) \bigr\}\) le stabilisateur de \(x\). Pour \(g = \bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\bigr)\), \[ g \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} g^{-1} = \begin{pmatrix} 1 - act & a^2 t \\ -c^2 t & 1 + act \end{pmatrix} , \] qui est dans \(H\) pour tout \(t\) si et seulement si \(c^2 = 0\) et \(ac = 0\) ; alors \(ad = 1 + bc\) est inversible, donc \(a\) aussi, et \(c = 0\). Le normalisateur est le groupe des matrices triangulaires supérieures \(\bigl(\begin{smallmatrix} \lambda & b \\ 0 & \lambda^{-1} \end{smallmatrix}\bigr)\)³⁸ , et le commutant de \(\mathrm{SL}(M)\) dans les permutations de \(M^{*}\) est formé des homothéties \(\lambda\,\mathrm{id}_M\), \(\lambda \in \Lambda^{*}\).

B) \(G' = \mathrm{SL}(2, \Lambda)/\{\pm 1\}\) opérant sur \(S_M\), \(2 \neq 0\). La condition devient : \(c^2 t = 0\) et \(1 - act = \pm 1\) pour tout \(t\). Si \(ac = 0\), on conclut comme en A. Sinon \(ac = 2\), et l'on trouve \(4 = 0\), \(2t \in \{0, 2\}\) pour tout \(t\) — l'idéal \(2\Lambda\) n'a que deux éléments — et \(c = 2\). D'où deux cas :

• 1) si \(2\Lambda = \{0, 2\} \neq \{0\}\), le normalisateur est formé des classes des matrices avec \(c \in \{0, 2\}\), et contient le groupe triangulaire avec l'indice \(2\) ; le commutant de \(\mathrm{SL}(M)'\) dans \(\mathfrak{S}_{S_M}\) est le produit direct de \(Z'_\Lambda\) et d'un groupe \(\{1, \sigma\}\) d'ordre \(2\), \(\sigma\) étant induit par \(\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\) ;
• 2) dans tous les autres cas, le commutant de \(\mathrm{SL}(M)'\) est \(Z'_\Lambda\).

Le cas typique de 1) est \(\Lambda = \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\) : \(Z'_\Lambda\) est trivial, mais les permutations des six sommets de l'octaèdre qui commutent aux rotations ne se réduisent pas à l'identité — il y a l'antipodie de l'octaèdre³⁹ .

96–101

Lire \(Z'_\Lambda\) sur les étoiles (pages 96 à 101)

Soit \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), \(n \neq 2, 4\), et \(P_{i_0}\) l'une des structures \(P_{M,i}\) sur \(S = S_M\). Le groupe \(G = \mathrm{Aut}(P_{i_0})\) et son sous-groupe direct \(G^{+}\) ne dépendent pas de \(i_0\) ; soit \(Z\) le commutant de \(G^{+}\) dans \(\mathfrak{S}_S\) — c'est \(Z'_n\) par ce qui précède. Pour \(\lambda \in Z\), on a \(\{s, t\} \in A_{i_0} \iff \{\lambda s, \lambda^{-1} t\} \in A_{i_0}\), et l'unique structure dont les arêtes sont les \(\{s', t'\}\) avec \(\{s', \lambda^{-1} t'\} \in A_{i_0}\) est l'une des \(A_i\), notée \(A_{\lambda \cdot i_0}\) ; l'application \(\lambda \mapsto \lambda \cdot i_0\) est bijective, et l'ensemble des structures est un torseur sous \(Z\). C'est la torsion d'une seule extrémité, cette fois avec le bon groupe.

Il reste à expliciter \(Z \simeq Z'_n\) en termes de la seule combinatoire. Pour \(s \in S\) et \(\lambda \in Z\), la permutation \(t \mapsto \lambda t\) envoie l'étoile de \(s\) dans \(P_{i_0}\) sur l'étoile de \(s\) dans \(P_{i_1}\), \(i_1 = \lambda \cdot i_0\) (61). Chacune de ces étoiles est un torseur sous le groupe \(\Gamma_i = \Lambda \wedge_{\mu_2} \mu(i)\), le groupe additif \(\Lambda\) tordu par l'ensemble \(\mu(i)\) des deux orientations de \(P_i\) : choisir une orientation, c'est choisir le sens de la translation \(y \mapsto y + x\). La page affirme (« à vérifier ») que \(\lambda_s\) est un isomorphisme de torseurs pour un isomorphisme de groupes \(\lambda_{\Gamma, s} : \Gamma_{i_0} \to \Gamma_{i_1}\), c'est-à-dire, une fois les orientations choisies, la multiplication par un élément de \(\Lambda^{*}\) défini au signe près, et que l'application \(Z \to Z'_\Lambda\) ainsi obtenue ne dépend ni de \(s\) ni de \(i_0\) et est l'isomorphisme inverse de celui de la page 47⁴⁰ .

Enfin, l'ensemble \(\overrightarrow{\Pi} = \coprod_{i \in \Pi} \mu(i)\) des couples (structure, orientation) reçoit une action de \(\Lambda^{*}\) au-dessus de celle de \(Z'_\Lambda\) sur \(\Pi\), construite de même à partir de \(\lambda_{\Gamma, s}\) : il existe une unique orientation \(e'\) de \(P_{\lambda i}\) telle que \(\lambda_{\Gamma, s} = \lambda \wedge (e \wedge e')\), et ce choix ne dépend pas de \(s\). Cela fait de \(\overrightarrow{\Pi}\) un torseur sous \(\Lambda^{*}\)⁴¹ , et le type orienté des faces orientées \(\overrightarrow{F} \to \overrightarrow{\Pi}\) relève le type non orienté.

102–106

VII. Structures triangulaires congruentielles (pages 102 à 128)

Structures triangulaires et leurs composantes (pages 102 à 106)

Le titre est celui de la page 102 ; le mot « congruentielles » n'y est pas expliqué. Une structure triangulaire est un couple \((S, F)\), \(F \subset \mathfrak{P}_3(S)\), avec (T1) \(S = \bigcup_{f \in F} f\). Avec \(A\) l'ensemble des paires contenues dans une face, on demande (T2) : toute arête est dans exactement deux faces. Le graphe \(\Gamma\) dont les sommets sont les faces et les arêtes les paires de faces adjacentes est alors un graphe strict à sommets d'ordre \(3\) ; l'ensemble \(\pi = \pi_0(\Gamma)\) de ses composantes partitionne \(F\) et \(A\) en \(F_i\), \(A_i\) (\(i \in \pi\)). Les relations d'incidence vérifient l'axiome des structures 2-polyédrales (toute arête a deux sommets et deux faces ; un sommet et une face incidents ont exactement deux arêtes communes), mais l'étoile d'un sommet \(P(s) = \coprod_i P_i(s)\) n'est pas connexe. On ne le demande pas ; on demande plutôt (T3) : pour tout \(i\), \((S, F_i)\) est une structure triangulaire stricte — ses faces recouvrent \(S\), et ses étoiles sont connexes (T3 a, b, page 106). Une telle structure s'interprète comme un ensemble \(\pi\) de 2-polyèdres triangulés connexes sur le même ensemble de sommets ; c'est la forme abstraite de \(P_M\).

107–112

Les axiomes indexés par \(0\) (pages 107 à 112)

On part maintenant d'un 2-polyèdre \(P_0 = (S, A_0, F_0)\) et l'on cherche des axiomes qui permettent de reconstruire tous les autres :

• (\(\mathrm{T}_0 1\)) \(P_0\) est régulier : \(G_0 = \mathrm{Aut}(P_0)\) est transitif sur les repères \((s, t, u)\), \(\{s, t, u\} \in F_0\) ;
• (\(\mathrm{T}_0 2\)) \(P_0\) est orientable ; \(G_0^{+}\), d'indice \(2\), est le groupe des automorphismes directs, simplement transitif sur les arêtes orientées⁴² .

Soit \(Z' \subset \mathfrak{S}_S\) le commutant de \(G_0^{+}\) ; \(S\) étant un espace homogène, \(Z' \simeq N/G^{+}_{0s}\), \(N\) le normalisateur dans \(G_0^{+}\) du stabilisateur \(G^{+}_{0s}\) d'un sommet. Ce stabilisateur est cyclique d'ordre \(n\) (l'ordre des sommets) ; canoniquement, \(G^{+}_{0s} \simeq \Lambda_n \wedge_{\mu_2} \mu_0\), le groupe \(\Lambda_n = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) tordu par l'ensemble \(\mu_0\) des deux orientations⁴³ . La conjugaison donne donc un caractère \(\chi_s : Z' \to \Lambda_n^{*}\). Mais dans le modèle, \(\chi_s(\dot\lambda) = \lambda^2\) : il n'est pas injectif, « il faut trouver un autre principe pour construire un iso \(Z' \simeq \Lambda_n^{*}/\pm 1\) »⁴⁴ .

Pour \(\lambda \in Z'\) et \(s \in S\), la paire \(\{s, \lambda s\}\) n'est jamais une arête (31) : sinon, soit \(t\) le troisième sommet d'une face sur cette arête, et \(\rho \in G_0^{+}\) la rotation autour de \(\lambda s\) qui envoie \(s\) sur \(t\) ; de \(\rho(\lambda s) = \lambda \rho(s) = \lambda s\) on tirerait \(\rho(s) = s\), donc \(t = s\). On suppose alors

• (\(\mathrm{T}_0 3\)) pour \(\lambda \in Z'\) : \(\{s, t\} \in A_0 \iff \{\lambda s, \lambda^{-1} t\} \in A_0\).

Il suffit de le vérifier pour un repère origine \((s_0, t_0, u_0)\), et l'axiome se traduit en théorie des groupes (\(\mathrm{T}_0 3'\), page 111) : avec \(t_0 = \rho s_0\), pour tout \(g\) normalisant \(G^{+}_{0 s_0}\), il existe \(z \in G^{+}_{0 s_0}\) (nécessairement unique) tel que \(g \cdot \mathrm{int}(\rho^{-1})(gz) \in G^{+}_{0s_0}\). Un 2-polyèdre orienté régulier épinglé équivaut en effet à la donnée du groupe \(G_0^{+}\) avec ses générateurs \(\rho_0, \rho_1, \rho_\infty\), \(\rho_0^n = \rho_1^2 = \rho_\infty^3 = 1\), \(G^{+}_{0 s_0}\) étant engendré par \(\rho_0\)⁴⁵ . Si l'on dispose de \(G_0\) tout entier, on peut prendre pour \(\rho\) la réflexion \(\tau_0\) qui échange \(s_0\) et \(t_0\) (34').

113–120

Le graphe tordu \(\Gamma_\lambda\) (pages 113 à 120)

Pour \(\lambda \in Z'\), l'ensemble \(A_\lambda = \{\{s, \lambda t\} \mid \{s, t\} \in A_0\}\) est un graphe strict \(\Gamma_\lambda\) (par (31), \(s \neq \lambda t\)) ; \(\lambda\) induit une bijection de l'étoile de \(s\) dans \(\Gamma_0\) sur son étoile dans \(\Gamma_\lambda\), de sorte que tous les sommets de \(\Gamma_\lambda\) sont d'ordre \(n\), et \(G_0^{+}\) opère sur \(\Gamma_\lambda\), simplement transitivement sur les arêtes orientées. Pour que \(\Gamma_\lambda\) soit le graphe d'un 2-polyèdre régulier, la page ajoute :

• (\(\mathrm{T}_0 4\)) le graphe détermine les faces : \(F_0\) est l'ensemble des triangles de \(A_0\) ;

axiome « par acquit de conscience », dont la marge demande s'il suit des précédents. « J'ignore s'il existe une structure de 2-polyèdre régulier triangulé orientable qui ne soit [pas] décrite par sa structure de graphe », et, sans l'hypothèse d'orientabilité, il en donne un : l'icosaèdre « gauche », régulier non orientable, à \(6\) sommets, dont les \(15\) paires sont toutes des arêtes, mais dont une partie seulement des \(20\) triplets sont des faces⁴⁶ . Un graphe définit un 2-polyèdre si (A1) toute arête \(\{s, t\}\) a exactement deux sommets voisins de ses deux extrémités et (A2) l'étoile de chaque sommet, avec les arêtes qu'elle contient, est un contour connexe. Pour \(\Gamma_\lambda\), (A1) s'écrit \[ \operatorname{card}\bigl(\lambda \cdot \mathrm{Et}_0(s) \cap \mathrm{Et}_0(t)\bigr) = 2 \qquad \text{si } \{s, t\} \in A_0 , \] ce qui « n'a pas l'air tautologique ». La page pose donc l'axiome substantiel :

• (\(\mathrm{T}_0 5\)) pour tout \(\lambda \in Z'\), \(\Gamma_\lambda\) est isomorphe à \(\Gamma_0\) : il existe \(g \in \mathfrak{S}_S\) avec \(\{s, t\} \in A_0 \iff \{gs, \lambda^{-1} gt\} \in A_0\) ;

d'où un 2-polyèdre régulier \(P_\lambda \simeq P_0\), et

• (\(\mathrm{T}_0 6\)) \(Z'\) commute à \(G_0\) tout entier,

de sorte que \(G_0\) opère sur \(P_\lambda\) ; l'injection \(G_0 \to \mathrm{Aut}(P_\lambda)\) est bijective quand \(S\) est fini, par cardinalité. Que \(G_0^{+}\) soit aussi le groupe direct de \(P_\lambda\) est clair si \(n\) est impair (\(G_0^{+}\) est le seul sous-groupe d'indice \(2\)) ; si \(n\) est pair, il y a a priori trois sous-groupes d'indice \(2\), l'abélianisé du groupe cartographique étant \(\mathbf{F}_2 \times \mathbf{F}_2\), mais un seul contient \(\rho_1\) — « il faudra y revenir ailleurs »⁴⁷ . Les structures qui satisfont \(\mathrm{T}_0 1\) à \(\mathrm{T}_0 6\) sont dites « spéciales ».

120–125

Équivalence, et l'exception octaédrique (pages 120 à 125)

Deux structures spéciales sur \(S\) sont équivalentes s'il existe \(\lambda\) commutant à leur groupe tel que \(\{s, t\} \in A_0 \iff \{s, \lambda t\} \in A_1\) ; c'est une relation d'équivalence, et à une classe \(\pi\) correspondent un groupe \(G_0\) commun et le groupe \(Z' = \mathrm{Centr}_{\mathfrak{S}_S}(G_0)\), transitif sur \(\pi\). La page note la relation « plausible » : \(Z'\) est commutatif. Le calcul donne seulement que \((\lambda\mu)s\) et \((\mu\lambda)s\) ont la même étoile ; d'où la commutativité dès qu'un sommet est déterminé par son étoile. L'exception connue est l'octaèdre, où deux sommets opposés ont la même étoile ; alors \(Z' = \{1, \varepsilon\}\), \(\varepsilon\) l'antipodie, unique élément central non trivial de \(G_0 \simeq \mathfrak{S}_4 \times \{\pm 1\}\). Pour les mêmes raisons, \(\pi\) est un torseur sous \(Z'\) (le stabilisateur d'une structure est trivial), sauf dans ce cas.

Ces pages, très surchargées, envisagent aussi la « double pyramide » (le double cône sur un \(n\)-gone, où les deux pointes ont la même étoile), avec \(Z' \simeq \{1, \sigma\} \times \{1, \varepsilon\}\) pour \(n\) pair \(\geq 6\), et, pour \(n \equiv 0 \pmod 4\), \(n \geq 8\), deux structures déduites l'une de l'autre par « multiplication par \(\frac{n}{2} - 1\) » sur l'équateur⁴⁸ .

125–128

Le groupe \(G\) et l'axiome To 7 (pages 125 à 128)

Soit \(G\) le groupe des permutations de \(S\) qui préservent la classe \(\pi\). Le stabilisateur \(G_0\) d'un élément de \(\pi\) est le noyau de \(G \to \mathfrak{S}_\pi\), donc distingué ; \(G\) normalise le centralisateur \(Z'\) de \(G_0\), et l'on a \(G/G_0 \to \mathrm{Aff}_{Z'}(\pi)\). De plus \(Z' \subset G\), car \[ \lambda(A_{i_0}) = A_{\lambda^2 \cdot i_0} \] (une marge note : « \(\det(\lambda\,\mathrm{id}_M) = \lambda^2\), \(\neq \lambda\) en général ! »). On pose

• (To 7) \(Z'\) est central dans \(G\) (donc égal à son centre),

ce qui équivaut à dire que \(G\) opère sur \(\pi\) par translations, via un homomorphisme \(\delta : G \to Z'\) dont la restriction à \(Z'\) est \(\lambda \mapsto \lambda^2\). L'image de \(\delta\) contient les carrés ; elle est tout \(Z'\) si et seulement si toutes les structures équivalentes sont isomorphes, c'est-à-dire sous \(\mathrm{T}_0 5\), et l'on a alors une suite exacte \[ 1 \longrightarrow G_0 \longrightarrow G \xrightarrow{\ \delta\ } Z' \longrightarrow 1 . \] Dans le modèle, \(G = \mathrm{GL}(M)'\), \(G_0 = \mathrm{GL}^{\pm}(M)'\), \(Z' = Z'_n\) et \(\delta\) est le déterminant modulo \(\pm 1\), qui vaut \(\lambda^2\) sur les scalaires.

129–136

VIII. Axiomatique : reformulation (pages 129 à 158)

Structures prégroupales (pages 129 à 136)

Nouvelle mouture, nouveaux axiomes. Une structure triangulaire \(F_0\) sur \(S\) doit satisfaire (To 1) : \(F_0\) est l'ensemble des faces d'un 2-polyèdre combinatoire connexe — toute arête dans exactement deux faces, connexité globale et locale — et (To 2) : \(F_0\) est l'ensemble des triangles de son graphe \(A_0\). La régularité n'est plus demandée. Avec \(G_0 = \mathrm{Aut}(S, F_0)\), \(\widehat{Z}\) son centralisateur, on considère l'ensemble \(Z^{*}\) des \(\lambda \in \widehat{Z}\) tels que a) \(\{s, t\} \in A_0 \iff \{\lambda^{-1} s, \lambda t\} \in A_0\) — ce qui définit \(A_\lambda\) — et b) \(\Gamma_\lambda = (S, A_\lambda)\) est isomorphe à \(\Gamma_0\). On demande (To 3) que les éléments de \(Z^{*}\) commutent deux à deux, ce qui équivaut à ce que \(Z^{*}\) soit un sous-groupe \(Z\), nécessairement commutatif. Alors \(\pi = \{A_\lambda\}\) est un ensemble homogène sous \(Z\), \(G = \{f \mid f(A_0) \in \pi\}\), \(\mathrm{Cent}(G) \subset Z \subset G \supset G_0\), \(G/G_0 \hookrightarrow \mathrm{Aff}_Z(\pi)\), et l'on demande (To 4) que \(Z\) soit central dans \(G\), d'où la suite exacte canonique \[ 1 \longrightarrow G_0 \longrightarrow G \xrightarrow{\ \chi'\ } Z \longrightarrow 1 , \] \(\chi'\) valant \(\lambda \mapsto \lambda^2\) sur \(Z\) (dans le cas de la double pyramide, il faut remplacer \(Z\) par \(Z/\{1, \varepsilon\}\)). Ces structures sont dites « prégroupales symplectiques » ; deux d'entre elles sont équivalentes (18) si elles sont isomorphes et si l'une se déduit de l'autre par torsion d'une extrémité au moyen d'une permutation commutant à \(G_0\) ; une « structure triangulaire prégroupale » est une classe d'équivalence. La page reconnaît que l'axiomatique n'est « pas encore réduite au minimum », et qu'elle se dissiperait peut-être plus naturellement dans le cadre des graphes ; elle donne aussi la description équivalente par la réunion \(F = \bigcup F_i\), dont les \(F_i\) sont les composantes du graphe d'adjacence des faces, avec les axiomes T1 et T3 du § VII.

136–140

Le « fait mirifique » (pages 136 à 140)

But : un isomorphisme \(Z \simeq (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}/\{\pm 1\}\). On suppose (To 5) les sommets d'ordre fini \(n \geq 3\). Par définition de \(A_\lambda\), l'étoile de \(s\) pour \(A_0\) est la même partie de \(S\) que l'étoile de \(\lambda s\) pour \(A_\lambda\) ; seule change la structure de polygone qu'y induit le graphe. Or une structure triangulaire qui satisfait To 2 est déterminée par l'ensemble \(\mathcal{E}_0\) de ses étoiles et, sur chacune, la structure de \(n\)-gone induite ; toute arête est dans exactement deux étoiles (une seule pour l'octaèdre). Il suffit donc de savoir comment \(A_\lambda\) change les polygones des étoiles. Et voici le « fait mirifique » :

Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n \geq 3\). Le groupe \(Z'_n = (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}/\{\pm 1\}\) opère canoniquement, et fidèlement, sur l'ensemble \(\mathrm{Pol}(E)\) des structures de polygone sur \(E\).

Une structure de polygone orienté est une permutation circulaire \(\omega\), ou encore une structure de torseur sous \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) (une « droite affine sur \(\Lambda_n\) ») ; \(\mathrm{Aut}(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}\) y opère par \(T_\nu \omega = \omega^\nu\) ; \(T_{-\nu}\omega = (T_\nu\omega)^{-1}\) est le polygone orienté opposé, et l'action passe aux polygones non orientés en une action de \(Z'_n\). Pour \(n = 5\), l'élément non trivial change le pentagone en pentagramme⁴⁹ .

On pose alors (To 6) : pour tout \(\lambda \in Z\) il existe \(\nu \in Z'_n\) tel que, pour tout sommet \(s\), la structure de polygone induite par \(A_\lambda\) sur \(\mathrm{Et}_{A_0}(s) = \mathrm{Et}_{A_\lambda}(\lambda s)\) soit \(\alpha_{i_0, s}^{\nu}\). Alors \(A_\lambda = A_0^{(\nu)}\) est entièrement déterminé par \(\nu\), et (hors l'octaèdre) \(\lambda\) aussi : \(\lambda s\) est l'unique sommet dont l'étoile pour \(A_0^{(\nu)}\) est \(\mathrm{Et}_0(s)\). D'où un homomorphisme injectif \(Z \hookrightarrow Z'_n\), dont l'image est formée de \(\nu\) tels que \[ A_0^{(\nu)} = \coprod_{E \in \mathcal{E}_0} A_E^{(\nu)} \] soit encore l'ensemble des arêtes d'un 2-polyèdre — « une propriété remarquable, et qui pourrait être très forte, qui mérite d'être examinée pour son propre mérite »⁵⁰ .

141–145

Les premiers cas, et le torseur des orientations (pages 141 à 145)

La question n'a d'intérêt que si \(Z'_n \neq 1\), c'est-à-dire \(n \notin \{2, 3, 4, 6\}\). Pour \(n = 5\), \(Z'_5 \simeq \mathbf{Z}/2\) ; les seules triangulations dont tous les sommets sont d'ordre \(5\) sont l'icosaèdre et l'icosaèdre « géminé », non orientable ; l'opération fait passer d'un icosaèdre à l'autre dans le bi-icosaèdre. Mais pour l'icosaèdre géminé, le commutant de \(G_0\) est trivial, \(Z = 1\) : la validité de l'opération \(A_0 \mapsto A_0^{(\nu)}\) dépend donc bien de l'axiomatique. Pour \(n = 7\), \(Z'_7 \simeq \mathbf{Z}/3\), engendré par \(\nu = 2\) : est-il vrai que pour tout 2-polyèdre triangulé à sommets d'ordre \(7\), \(A_0^{(2)}\) définisse encore un tel 2-polyèdre ? Même question pour \(n = 8\) et \(n = 10\), où \(Z'_n \simeq \mathbf{Z}/2\)⁵¹ .

Poursuivant l'axiomatique, la page pose (T 7) : \(Z \to Z'_n\) est surjectif, donc un isomorphisme ; et (T 8) : \(P_0\) est régulier et orientable. On doit alors pouvoir tout traduire en propriétés d'un groupe \(G_0^{+}\) engendré par \(\rho_0, \rho_1, \rho_\infty\) avec \(\rho_0^n = \rho_1^2 = \rho_\infty^3 = 1\), \(\rho_0\) d'ordre exactement \(n\), sous-groupe d'indice \(2\) d'un groupe \(G_0\) engendré par des involutions \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\), avec \(\rho_0 = \tau_\infty\tau_1\), \(\rho_1 = \tau_0\tau_\infty\), \(\rho_\infty = \tau_1\tau_0\)⁵² .

L'ensemble \(\overrightarrow{\pi} = \coprod_{i \in \pi} \mu(i)\) des couples (structure, orientation) devient un torseur sous \(\Lambda_n^{*} = (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}\) : pour \(\omega \in \mu(i)\) et \(\lambda \in \Lambda_n^{*}\) d'image \(\dot\lambda\), on pose \(\lambda \cdot \omega = \omega'\), où \(\omega' \in \mu(\dot\lambda i)\) est l'orientation pour laquelle la permutation circulaire \(\omega'_E\) de chaque étoile est \(\omega_E^{\lambda}\). L'associativité est immédiate. L'indépendance par rapport à l'étoile choisie demande que les « conventions d'orientation » des divers \(P_i\) sur \(G_0\) coïncident.

146–150

Les conventions d'orientation (pages 146 à 150)

Un long aparté examine l'abélianisé de \(G_0\) : comme \(\dot\rho_\infty^3 = 1\) entraîne \(\dot\tau_0 = \dot\tau_1\), il est engendré par \(\dot\tau_1, \dot\tau_\infty\) avec \((\dot\tau_1\dot\tau_\infty)^n = 1\) ; il est donc d'ordre au plus \(2\) si \(n\) est impair — un seul sous-groupe d'indice \(2\) — et un quotient de \(\mathbf{F}_2 \times \mathbf{F}_2\) si \(n\) est pair, avec a priori trois caractères que \(G\) pourrait permuter. La page se demande si cela arrive pour \(n = 8\) (abélianisé de \(\mathrm{GL}'(2, \mathbf{Z}/8)^{\pm}\)), puis pour \(\widehat{\mathbf{Z}}\), et conclut par une réduction à \(n = 4\) que le caractère en question est trivial⁵³ .

L'argument direct qui suit est net (pages 149 et 150). \(G_0^{+} = \mathrm{Aut}^{+}(P_{i_0})\) est le seul sous-groupe d'indice \(2\) de \(G_0\) qui contienne la rotation \(\rho_0\) autour d'un sommet \(s_0\) ; il suffit de voir que \(\rho_0 \in \mathrm{Aut}^{+}(P_{i_1})\), \(i_1 = \lambda \cdot i_0\). Or \(\rho_0\) préserve \(E = \mathrm{Et}_0(s_0) = \mathrm{Et}_1(\lambda s_0)\) et y est une rotation du polygone \(A_0 \cap \mathfrak{P}_2(E)\), donc aussi du polygone \(A_1 \cap \mathfrak{P}_2(E) = (A_0 \cap \mathfrak{P}_2(E))^{(\lambda)}\) ; comme il fixe \(\lambda s_0\) (il fixe \(s_0\) et commute à \(\lambda\)), c'est une rotation de \(P_{i_1}\) autour de \(\lambda s_0\). Donc

il existe un unique sous-groupe \(G_0^{+}\) de \(G_0\) tel que \(G_0^{+} = \mathrm{Aut}^{+}(P_i)\) pour tout \(i \in \pi\),

ce qui règle aussi la question laissée ouverte page 120.

150–152

Le caractère cyclotomique (pages 150 à 152)

\(G = \mathrm{Aut}(S, F)\) opère sur \(\overrightarrow{\pi}\) en commutant à la structure de torseur sous \(\Lambda_n^{*}\) ; il en résulte un homomorphisme \[ \chi : G \longrightarrow (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}, \qquad g(i, \omega) = \chi(g) \cdot (i, \omega) , \] que la page appelle le « caractère cyclotomique », et qui relève le « caractère arithmétique » \(\chi' : G \to Z'_n \simeq Z\). Son noyau est \(G_0^{+}\), d'où une suite exacte \(1 \to G_0^{+} \to G \to (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*} \to 1\), où \(Z \simeq Z'_n\) s'envoie dans \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}\) par \(\dot\lambda \mapsto \lambda^2\), et \(G_0 = \chi^{-1}(\{\pm 1\})\) (pour l'octaèdre, il faut remplacer \(Z\) par \(\{1\}\))⁵⁴ .

On en lit \(Z \cap G_0^{+} \simeq \bigl({}_2(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}\bigr)/\{\pm 1\}\), le sous-groupe des éléments d'ordre \(2\) modulo \(\pm 1\), isomorphe à \(\mathbf{F}_2^{\nu}\) avec \[ \nu = \nu(n) - 1 + \varepsilon, \qquad \varepsilon = 0 \text{ si } e_2 \in \{0, 2\}, \quad -1 \text{ si } e_2 = 1, \quad +1 \text{ si } e_2 \geq 3 , \] où \(\nu(n)\) est le nombre de facteurs premiers de \(n\) et \(e_2\) l'exposant de \(2\)⁵⁵ . Ce groupe est trivial exactement pour \(n = p^e\), \(n = 2p^e\) (\(p\) premier impair) et \(n = 4\) ; pour \(n = 2^e\), \(e \geq 3\), il est d'ordre \(2\), et la \(2\)-torsion de \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}\) est \(\mathbf{F}_2^2\).

152–156

Le stabilisateur d'un sommet se scinde (pages 152 à 156)

Les faces orientées et les arêtes orientées ont un type dans \(\overrightarrow{\pi}\), compatible à l'incidence (carrés cartésiens (67), (68)). Soit \(G_{s_0}\) le stabilisateur d'un sommet dans \(G\) ; comme \(G_0^{+}\) est transitif sur \(S\), on a une extension \[ 1 \longrightarrow G^{+}_{0 s_0} \longrightarrow G_{s_0} \xrightarrow{\ \chi\ } (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*} \longrightarrow 1 , \] où \(G^{+}_{0s_0}\) est cyclique d'ordre \(n\), non canoniquement. Soit \(\mathrm{Et}_F(s_0)\) l'ensemble des voisins de \(s_0\) pour tous les types ; \(G_{s_0}\) y est transitif, le stabilisateur d'un voisin \(t_0\) étant \(\{1, \tau_\infty\}\). \(Z\) opère librement sur \(S\) et préserve \(\mathrm{Et}_F(s_0)\) ; soit \(D_0\) l'orbite de \(t_0\) sous \(Z\), et \(T\) le stabilisateur de \(D_0\) dans \(G_{s_0}\). Alors \(T \cap G_0^{+} = \{1\}\) et \(\chi\) induit un isomorphisme de \(T\) sur \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}\), de sorte que \[ G_{s_0} \simeq G^{+}_{0s_0} \rtimes T \] est un produit semi-direct⁵⁶ . Si \(g \in G^{+}_{0s_0} \cap T\) envoie \(t_0\) sur \(\lambda t_0\), les types de \(\{s_0, t_0\}\) et \(\{s_0, \lambda t_0\}\) sont égaux (car \(g \in G_0\)) et diffèrent de \(\lambda\), donc \(\lambda = 1\) ; \(g\) fixe alors \(s_0\) et \(t_0\), et c'est \(1\) ou \(\tau_\infty\), mais \(\chi(\tau_\infty) = -1\). La surjectivité vient de la transitivité sur les voisins, corrigée au besoin par \(\tau_\infty\). En passant (78) : si un élément d'une \(Z\)-orbite \(D\) est voisin de \(s_0\), tous le sont, et \(t \mapsto \tau_A(\{s_0, t\})\) est une bijection de \(D\) sur \(\pi\).

156–158

Un groupe d'homothéties donné d'avance (pages 156 à 158)

Cette décomposition est « formelle » à partir de T1 à T4 et de l'axiome de régularité et d'orientabilité T8, sans les axiomes « arithmétiques » T5 à T7. Dans cet esprit, la page repart d'un 2-polyèdre régulier \(P_0\), de son groupe \(G_0\), et d'un groupe \(Z \subset \mathrm{Centr}(G_0)\) donné d'avance, vérifiant : pour tout \(\lambda \in Z\) il existe \(f\) centralisant \(Z\) avec \(\{s, t\} \in A_0 \iff \{f^{-1}s, f^{-1}\lambda t\} \in A_0\). Par les « considérations générales maintes fois répétées », \(\pi = \{A_\lambda\}\) est un torseur sous \(Z\) (sauf pour l'octaèdre), le groupe \(G\) des permutations qui centralisent \(Z\) et préservent \(\pi\) opère par translations, et l'on a l'extension \[ 1 \longrightarrow G_0 \longrightarrow G \xrightarrow{\ \chi'\ } Z \longrightarrow 1 , \qquad \chi'|_Z : \lambda \mapsto \lambda^2 . \] Reste à définir l'équivalence de 2-polyèdres munis d'un groupe d'« homothéties ».

159–164

IX. Graphes à homothéties (pages 159 à 177)

Définitions (pages 159 à 164)

Un graphe à homothéties est la donnée sur \(S\) d'un graphe \(A_0 \subset \mathfrak{P}_2(S)\) et d'un sous-groupe \(Z \subset \mathfrak{S}_S\) — dont on ne suppose pas qu'il respecte \(A_0\) — avec

• (GH 1) pour tout \(\lambda \in Z\) il existe \(f \in \mathfrak{S}_S\) centralisant \(Z\) tel que \(\{s, t\} \in A_0 \iff \{f^{-1}s, f^{-1}\lambda t\} \in A_0\) ;

c'est-à-dire : a) le graphe \(A_\lambda\) (\(\{s, t\} \in A_0 \iff \{s, \lambda t\} \in A_\lambda\)) est bien défini ; b) il est isomorphe à \(A_0\) ; c) par un isomorphisme qui commute à \(Z\). On pose \(\pi = \{A_\lambda \mid \lambda \in Z\}\) ; \(Z\) y opère par \(T_\lambda\), avec \(\{s, t\} \in A_i \iff \{s, \lambda t\} \in A_{T_\lambda i}\). Deux graphes à homothéties de même \(Z\) sont équivalents si l'un est dans le \(\pi\) de l'autre ; une classe est un multigraphe à homothéties. Ses automorphismes stricts (commutant à \(Z\)) forment \(G\), ceux de \(A_0\) forment \(G_0\), et l'on a \[ 1 \longrightarrow G_0 \longrightarrow G \longrightarrow Z/\mathfrak{z} \longrightarrow 1 , \] \(\mathfrak{z}\) étant le noyau de \(Z \to \mathfrak{S}_\pi\), formé des \(\lambda\) qui ne changent aucune étoile — trivial si tout sommet est déterminé par son étoile. L'ensemble des étoiles ne dépend pas de la structure \(A_i\) choisie.

Un graphe est régulier si \(G_0\) est transitif sur les arêtes orientées (et le graphe connexe, sans sommet isolé). Alors \(Z\) opère librement sur \(S\), les \(A_i\) sont deux à deux disjoints (chacun est l'orbite d'une de ses arêtes sous \(G_0\)), d'où une application type \(A = \bigcup A_i \to \pi\). Le graphe est « prépolyédral » si ses triangles font de lui un 2-polyèdre (toute arête dans exactement deux triangles, étoiles connexes). Dans le cas régulier et prépolyédral, \(G_0\) a des générateurs canoniques \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) relatifs à un repère \((s_0, t_0, u_0)\), \(\rho_0\) est d'ordre \(n\) (l'ordre des sommets), et le stabilisateur de \(s_0\) dans \(G_0\) est le groupe diédral \(\widetilde{U} = \langle \tau_1, \tau_\infty \rangle \simeq \mathbf{D}_n\).

165–174

Traduction en théorie des groupes (pages 165 à 174)

La page traduit en général la donnée (26) : a) un espace homogène \(S\) sous \(G_0\) avec une origine \(s_0\) ; b) un groupe \(G \supset G_0\), \(G_0\) distingué, opérant sur \(S\) ; c) un sous-groupe central \(Z\) de \(G\). La donnée a) est celle du couple \((G_0, \widetilde{U} = G_{0s_0})\), avec \(S \simeq G_0/\widetilde{U}\). La donnée b) est celle de \(B' = G_{s_0}\), avec \(\widetilde{U} = G_0 \cap B'\) et \(B'/\widetilde{U} \simeq G/G_0 = Z'\) (le carré \(\widetilde{U} \subset G_0\), \(B' \subset G\) est cartésien et cocartésien) ; on préfère la décrire par l'extension \(1 \to \widetilde{U} \to B' \to Z' \to 1\), l'inclusion \(\widetilde{U} \subset G_0\) et une action de \(B'\) sur \(G_0\) prolongeant l'action intérieure de \(\widetilde{U}\) — des groupes « petits et bien compris », \(Z'\) étant \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}\) ou son quotient par \(\pm 1\), \(\widetilde{U}\) cyclique ou diédral⁵⁷ . Pour c), le commutant de \(G_0\) dans \(\mathfrak{S}_S\) étant \(N_{G_0}(\widetilde{U})/\widetilde{U}\), un sous-groupe \(Z\) du commutant correspond à un sous-groupe \(\widetilde{B}''\) avec \(\widetilde{U} \triangleleft \widetilde{B}'' \subset N_{G_0}(\widetilde{U})\), \(Z = \widetilde{B}''/\widetilde{U}\) — en termes de \(S\), \(\widetilde{B}'' = \{g \in G_0 \mid g s_0 \in Z s_0\}\) — et que \(Z\) commute à tout \(G\) se lit : \(B'\) normalise \(\widetilde{B}''\) et opère trivialement sur \(Z\).

Le résumé (50) : a) \(\widetilde{U} \triangleleft \widetilde{B}'' \subset G_0\), \(Z = \widetilde{B}''/\widetilde{U}\) ; b) un homomorphisme \(Z \to Z'\) et une extension \(B'\) de \(Z'\) par \(\widetilde{U}\) dont \(\widetilde{B}''\) soit l'image réciproque, \(\widetilde{B}'' \simeq B' \times_{Z'} Z\) ; c) une action de \(B'\) sur \(G_0\) dont la composée avec \(\psi : \widetilde{B}'' \to B'\) soit l'action intérieure. On récupère \(G\), \(S \simeq G_0/\widetilde{U} \simeq G/B'\), et \(Z\) comme l'image de \(\varphi(g) = g\,\psi(g)^{-1} = \psi(g)^{-1} g\), qui est un homomorphisme trivial sur \(\widetilde{U}\) — la page en vérifie la multiplicativité en utilisant que \(Z\) est commutatif⁵⁸ .

174–177

Le cas des 2-polyèdres réguliers (pages 174 à 177)

Dans le cas qui intéresse le dossier : \(G_0\) est un quotient du groupe cartographique triangulé \[ \mathfrak{G}_{\infty,3} = \langle \tau_0, \tau_1, \tau_\infty \mid \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_\infty^2 = (\tau_1\tau_0)^3 = (\tau_0\tau_\infty)^2 = 1 \rangle \] (relation d'ordre \(3\) sur \(\tau_1\tau_0 = \rho_\infty\)⁵⁹ ) ; \(\widetilde{U} = \langle \tau_1, \tau_\infty \rangle \simeq \mathbf{D}_n\) ; \(B'\) est un sous-groupe de \(\mathrm{Aut}(G_0 \supset \widetilde{B}'' \supset \widetilde{U})\) contenant l'image de \(\widetilde{B}''\) et opérant trivialement sur \(Z\) ; et un isomorphisme \(Z' \simeq Z\) par lequel \(Z \to Z'\) devient \(\lambda \mapsto \lambda^2\) : l'extension \(\widetilde{B}''\) est l'image réciproque de \(B'\) par l'élévation au carré. Reste à exprimer l'axiome GH 1 : la condition ne dépend que de l'image de \(f\) dans \(G/G_0\), on peut prendre \(f \in B'\) avec \(\dot f = \alpha(\lambda)\), et l'équivalence \(\{s, t\} \in A_0 \iff \{f^{-1}s, f^{-1}\lambda t\} \in A_0\) se réécrit, avec \(s = us_0\), \(t = vs_0\), \(t_0 = \rho s_0\), comme une condition sur des classes modulo \(\widetilde{U}\) et \(B'\) (62). « Donc la question à vérifier s'écrit » : la phrase reste en suspens, et la page suivante ouvre le § X.

178–189

X. Antipodismes généralisés, et présentation autoduale (pages 178 à 221)

1. Points antipodiques et homothéties (pages 178 à 189)

Soit \(S\) un espace homogène sous un groupe \(G\), et \(Z\) le commutant de \(G\) dans \(\mathfrak{S}_S\). Deux points sont \(G\)-équivalents s'ils ont le même stabilisateur ; \(Z\) opère librement, et les classes sont les \(Z\)-orbites. Avec une origine \(s_0\), \(S \simeq G/U\), \(U = G_{s_0}\), et \(Z \simeq N_G(U)/U\) ; plus généralement, les applications de \(S\) dans lui-même qui commutent à \(G\) correspondent aux points fixes \(S^{U}\), c'est-à-dire aux classes \(aU\) avec \(\mathrm{int}(a)U \supset U\), par \(f \mapsto f(s_0)\), la translation à droite renversant l'ordre des produits (14). On a \(Z s_0 = S^{U}\) quand \(S\) est fini, quand les stabilisateurs sont finis, ou quand \(G\) est un groupe de Lie réel à stabilisateurs fermés n'ayant qu'un nombre fini de composantes. La page appelle antipodiques à \(s_0\) les points de \(S^{U}\), strictement antipodiques les points \(G\)-équivalents, et antipodismes les applications qui commutent à \(G\).

Appliquons cela aux sommets d'un 2-polyèdre connexe régulier, dont les sommets sont d'ordre fini⁶⁰ : antipodismes et antipodismes stricts coïncident, et \(Z\) est le groupe des antipodismes. Un \(\lambda \in Z\) est une homothétie si \[ \text{(H1)} \qquad \{s, t\} \in A_0 \iff \{\lambda s, \lambda^{-1} t\} \in A_0 , \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \lambda\,\mathrm{Et}(t) = \mathrm{Et}(\lambda^{-1} t) \] (« J'ignore si cette condition est toujours satisfaite ! »). Il suffit de le vérifier pour une arête orientée \((s_0, t_0)\) ; avec \(t_0 = \rho s_0\), \(\rho \in G_0\), \(\lambda s_0 = a s_0\), \(a \in N_{G_0}(\widetilde{U})\), la condition s'écrit \[ \rho(a)\,a \in \widetilde{U}_1 \widetilde{U}_0 , \qquad \widetilde{U}_0 = G_{0s_0}, \ \widetilde{U}_1 = G_{0t_0} = \rho(\widetilde{U}), \] où \(\rho(a) = \rho a \rho^{-1}\), et de même dans \(G_0^{+}\) avec les stabilisateurs directs (24').

L'homothétie est stricte si de plus \(A_\lambda\) est isomorphe à \(A_0\). Les étoiles de \(A_0\) et \(A_\lambda\) sont alors les mêmes parties de \(S\), avec des centres différents : le centre pour \(A_\lambda\) est l'antipodique, par \(\lambda\), du centre pour \(A_0\). Le sous-groupe des rotations autour de \(s\) est l'unique sous-groupe cyclique d'ordre \(n\) de \(G_{0s} \simeq \mathbf{D}_n\), le même que pour \(\lambda s\) ; les deux structures de polygone de l'étoile ont donc le même groupe de rotations, et se déduisent l'une de l'autre par un élément \(\nu \in Z'_n\), indépendant du sommet : \(A_\lambda = \bigcup_E A_{E,0}^{(\nu)}\) (29). C'est le « fait mirifique » de la page 138, retrouvé par un autre chemin.

Pour qu'une telle torsion donne un graphe triangulé, il faut a) que toute arête de \(A_\lambda\) soit dans une étoile, b) que chaque étoile soit un polygone pour \(A_\lambda\). La condition a) revient à ce que \(\lambda^{-1}s\) soit à distance au plus \(3\) de \(s\) ; en fait la distance vaut exactement \(3\), sauf si \(\lambda\) est l'identité ou l'antipodie de l'octaèdre (distance \(2\)) : elle ne peut valoir \(1\) (page 110, (31)), et la valeur \(2\) voudrait dire que \(s\) et \(\lambda^{-1}s\) ont la même étoile, ce qui n'arrive que pour l'octaèdre⁶¹ . L'examen de b) est commencé (page 189) et laissé là.

190–197

2. Les contours invariants d'une étoile (pages 190 à 197)

Soit \((S, A_0)\) un graphe où toute arête est dans exactement deux triangles, les étoiles étant des contours d'ordre \(\geq 3\), et \(G_0\) un groupe d'automorphismes transitif sur les arêtes orientées, simplement transitif sur les repères triangulaires. Le graphe est connu par l'ensemble \(\Sigma\) de ses étoiles et les contours qu'il y induit ; la page cherche toutes les structures de graphe \(A_i\) de même groupe et de mêmes étoiles. Par transitivité, une telle structure est connue par le contour qu'elle induit sur une étoile \(E_0\), invariant par le stabilisateur de \(E_0\). L'image de ce stabilisateur dans \(\mathfrak{S}_{E_0}\) est le groupe diédral \(D_{E_0} \simeq \mathbf{D}_n\) du polygone, de sous-groupe cyclique \(\Lambda_{E_0}\) d'ordre \(n\), qui ne dépend que de \((S, G_0, \Sigma)\).

Proposition (page 195). Soit \(E\) un torseur sous un groupe cyclique \(\Lambda_E \subset \mathfrak{S}_E\) d'ordre \(n\). Les structures de contour orienté sur \(E\) invariantes par \(\Lambda_E\) correspondent aux éléments \(u \in \Lambda_E\), \(u\) étant la rotation du contour : une structure de contour orienté est une permutation \(u\), et elle est invariante si \(u\) commute à \(\Lambda_E\), dont le commutant, pour une action simplement transitive d'un groupe commutatif, est lui-même.

Corollaires. Les polygones orientés invariants (\(u\) générateur) forment un torseur sous \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}\) ; les contours non orientés invariants s'identifient à \((\Lambda_E \smallsetminus \{0, \sigma\})/\pm 1\), et les polygones invariants forment un torseur sous \(Z'_n\)⁶² . En termes d'un générateur \(\omega_0\), la structure associée à \(\nu\) est définie par la paire \(\{\omega_0^{\nu}, \omega_0^{-\nu}\}\).

Les systèmes de contours \((C_E)_{E \in \Sigma}\) invariants par \(G_0\) correspondent donc aux éléments de \((\Lambda_{E_0} \smallsetminus \{0, \sigma\})/\pm 1\), et pour chacun \(A = \bigcup_E A_E\) est stable par \(G_0\), transitif sur ses arêtes orientées. Reste à savoir lequel provient d'une structure du type cherché.

198–201

3. Un graphe comme incidence entre sommets et étoiles (pages 198 à 201)

Un graphe strict est une relation symétrique \(R_0 \subset S \times S\) sans point diagonal ; l'étoile de \(s\) est \(R_0(s)\). Soit \(S^{\vee}\) l'ensemble des étoiles (« cosommets ») et \(R \subset S \times S^{\vee}\) la relation d'incidence. Si chaque sommet est déterminé par son étoile — le graphe est « séparé » —, l'application \(\varphi_0 : s \mapsto R_0(s)\) est une bijection \(S \to S^{\vee}\), et l'on reconstruit le graphe par \(R_0 = (\mathrm{id} \times \varphi_0)^{-1}(R)\). Il en résulte une équivalence de groupoïdes entre graphes séparés et systèmes \((S, S^{\vee}, R, \varphi_0)\) où les deux applications \(S \to \mathfrak{P}(S^{\vee})\), \(S^{\vee} \to \mathfrak{P}(S)\) sont injectives et où \(\varphi_0\) est une bijection « symétrique » (\((s, \varphi_0 t) \in R \iff (t, \varphi_0 s) \in R\)) et « antiréflexive » (\((s, \varphi_0 s) \notin R\)). La description fait apparaître une dualité : \((S, S^{\vee}, R, \varphi_0) \mapsto (S^{\vee}, S, {}^{t}R, \varphi_0^{-1})\), le graphe dual étant canoniquement isomorphe au graphe de départ par \(\varphi_0\)⁶³ .

201–206

4. Prégraphes et jauges ; l'exemple linéaire (pages 201 à 206)

Le « jeu nouveau » est de partir d'une incidence \((S, S^{\vee}, R)\) sans \(\varphi_0\) — un prégraphe — et d'étudier toutes les bijections \(\varphi : S \to S^{\vee}\) symétriques et antiréflexives, les jauges, dont \(\varphi_0\) n'est qu'une « origine ». Écrivant \(\varphi = \varphi_0 \circ \lambda\), \(\lambda \in \mathfrak{S}_S\), la condition devient \[ \{s, t\} \in A_0 \iff \{\lambda^{-1}s, \lambda t\} \in A_0 , \qquad \{s, \lambda s\} \notin A_0 , \] c'est-à-dire \(\lambda\,\mathrm{Et}(s) = \mathrm{Et}(\lambda^{-1}s)\) : on retrouve exactement les homothéties.

L'exemple, en « digression » (pages 203 à 206) : \(M\) et \(M^{\vee}\) libres de rang \(2\) en dualité, \(S = M^{*}/\{\pm 1\}\), \(S^{\vee} = M^{\vee *}/\{\pm 1\}\), \(R = \{(\dot x, \dot{\check x}) \mid \langle x, \check x \rangle = \pm 1\}\). Une jauge \(e\) de \(M\) donne la forme alternée \(\psi_e\), \(x \wedge y = \psi_e(x, y)\, e\), et l'isomorphisme \(\Phi_e : M \to M^{\vee}\), \(x \wedge y = \langle x, \Phi_e(y)\rangle\, e\) ; l'étoile de \(s\) dans le graphe \(A_e\) est \(\{t \mid (s, \varphi_e(t)) \in R\}\). Ce graphe est séparé sauf dans le « cas octaédral généralisé » \(2\Lambda = \{0, 2\} \neq \{0\}\) (pour \(\Lambda\) semi-local ; pour \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), sauf \(n = 4\)), et il est alors décrit par \((S, S^{\vee}, R, \varphi_e)\). Le groupe \(Z'_\Lambda\) opère librement sur \(S\) et \(S^{\vee}\), et \((s, \check s) \in R \iff (\lambda s, \lambda^{-1}\check s) \in R\). La bijection \(\varphi_e\) ne dépend que de \(\{\pm e\}\), et comme \(\Phi_{\lambda e} = \lambda^{-1}\Phi_e\), il vaut mieux indexer les jauges par \((\det M^{\vee})^{*}/\{\pm 1\}\), ce qui donne \(\varphi_{\lambda\alpha}(s) = \lambda\,\varphi_\alpha(s) = \varphi_\alpha(\lambda s)\) (55).

207–213

Homothéties d'un prégraphe ; un repentir (pages 207 à 213)

Une homothétie d'un prégraphe est un couple \((\lambda_S, \lambda_{S^{\vee}})\) tel que \((s, \check s) \in R \iff (\lambda s, \lambda^{-1}\check s) \in R\) ; quand \(R\) est séparé des deux côtés, chacune des deux permutations détermine l'autre. L'ensemble des homothéties est un sous-ensemble « un peu vicieux » de \(\mathfrak{S}_S \times \mathfrak{S}_{S^{\vee}}\), qui n'est pas un sous-groupe : si \(R\) est le graphe d'une bijection, c'est l'antidiagonale \(\{(u, u^{-1})\}\). On change donc de normalisation : on prend les automorphismes \((\lambda, \check\lambda)\) du prégraphe, et la jauge \(\varphi = \check\lambda\varphi_0 = \varphi_0\lambda^{-1}\) — dans l'exemple, les scalaires opèrent sur \(M^{\vee}\) par contragrédience. Deux homothéties d'un graphe séparé composent en une homothétie si elles commutent (66) ; on se donne donc un sous-groupe commutatif \(Z\) d'automorphismes, et l'on considère l'ensemble \(\Pi_Z\) des jauges compatibles, \(\check\lambda\varphi\lambda = \varphi\) pour tout \((\lambda, \check\lambda) \in Z\), sur lequel \(Z\) opère librement.

La page affirme alors que \(\Pi_Z\) est un torseur sous le centralisateur \(\mathcal{G}\) de \(Z\), conclut « Ouf », puis entoure le mot « torseur » et écrit « faux »⁶⁴ . Les multigraphes à homothéties envisagés auparavant sont les sous-\(Z\)-torseurs de \(\Pi_Z\).

214–221

Boucles, torsion, transport de structure (pages 214 à 221)

Le graphe tordu \(A_\lambda\) peut avoir des boucles (\(t = \lambda s\) avec \(\{s, t\} \in A_0\)). Exemple : \(S^{\vee} = S\), \(R\) la diagonale ; les jauges sont les involutions de \(S\), les automorphismes les \((\lambda, \lambda)\), et \(\Pi_Z\) est formé des involutions qui normalisent \(Z\) en y induisant \(\lambda \mapsto \lambda^{-1}\). Si \(S\) est un torseur sous \(Z\) (noté additivement), ce sont les \(\varphi_\lambda(z) = \lambda - z\), qui ont un point fixe si et seulement si \(\lambda \in 2Z\) : selon l'origine choisie, on a ou non une « vraie » structure de graphe.

Pour un sous-\(Z\)-torseur \(\Pi\) de \(\Pi_Z\), l'évaluation \((\varphi, s) \mapsto \varphi(s)\) donne une bijection de \(Z\)-ensembles \[ \Pi \wedge^{Z} (S!) \xrightarrow{\ \sim\ } S^{\vee} , \] où \(S!\) est \(S\) muni de l'action inverse ; elle commute à \(g \in \mathcal{G}\) si et seulement si \(\varphi\) commute à \(g\), et le plus grand groupe pour lequel c'est le cas est \(\mathcal{G}_0 = \{g \in \mathcal{G} \mid \varphi g_S = g_{S^{\vee}}\varphi\}\) — dans l'exemple linéaire, \(\mathrm{GL}^{\pm}(M)\) ⁶⁵ . La structure complète \((S, S^{\vee}, R, Z, \Pi)\) est autoduale : \((S^{\vee}, S, {}^{t}R, {}^{t}Z, \Pi^{-1})\) vérifie les mêmes conditions, et \(S \simeq \Pi \wedge^{Z} (S^{\vee}!)\). Par transport de structure, un automorphisme \(g\) envoie \(\varphi\) sur \(g(\varphi) = g_{S^{\vee}}\varphi g_S^{-1}\) et \(A_\varphi\) sur \(A_{g(\varphi)}\) ; pour \(g \in Z\), \(g(\varphi) = T_{g^2}\varphi\) — le carré, une fois de plus.

La page 220, « Retour sur la condition d'isomorphie », reprend avec \(\mathcal{A} = \mathrm{Aut}(\Gamma)\) : les permutations \(f\) telles que \(f(A_{\varphi_0})\) soit de la forme \(A_\varphi\), \(\varphi \in \Pi\), forment un sous-groupe \(G\) du centralisateur de \(Z\), contenant \(\mathcal{G}_0 = \mathrm{Aut}(S, A_\varphi)\) et \(Z\), avec \(1 \to \mathcal{G}_0 \to G \xrightarrow{\delta} Z\), \(\delta(\lambda) = \lambda^2\) sur \(Z\). La page 221, barrée, est une première rédaction de ce qui suit.

222–227

XI. Récapitulation (pages 222 à 270)

1. Prégraphes, jauges, multigraphes (pages 222 à 227)

Soit \(\Gamma = (S, S^{\vee}, R)\) un prégraphe (« sommets », « cosommets », « incidence »). Deux applications \(\varphi, \psi : S \to S^{\vee}\) sont associées si \((s, \psi t) \in R \iff (t, \varphi s) \in R\) ; une jauge est une \(\varphi\) associée à elle-même, stricte si elle est bijective. Les jauges strictes correspondent aux isomorphismes \((\varphi, \varphi^{-1})\) de \(\Gamma\) sur son dual \((S^{\vee}, S, {}^{t}R)\). Une jauge \(\varphi\) définit le graphe \(A_\varphi = \{\{s, t\} \mid (s, \varphi t) \in R\}\), boucles permises ; si \(\Gamma\) est séparé en \(S^{\vee}\), on obtient des équivalences de groupoïdes : graphes et prégraphes séparés en \(S^{\vee}\) munis d'une jauge surjective ; graphes séparés et prégraphes biséparés munis d'une jauge stricte. Le groupe \(\mathcal{A} = \mathrm{Aut}(\Gamma)\) s'identifie alors aux permutations de \(S\) qui envoient étoile sur étoile.

Les homothéties du graphe \(A_\varphi\) correspondent aux \(\lambda \in \mathcal{A}\) avec \(\lambda_{S^{\vee}}\varphi = \varphi\lambda_S^{-1}\) (« \(\lambda\)-jauges ») (21) ; une jauge bijective compatible à \(\lambda\) et à \(\mu\) l'est à \(\lambda\mu\) si et seulement si \(\lambda\mu = \mu\lambda\), de sorte qu'un groupe qui admet une jauge stricte compatible est commutatif (23). Pour \(Z \subset \mathcal{A}\) commutatif, \(Z\) opère librement sur l'ensemble \(\Pi_Z\) des \(Z\)-jauges strictes par \(T_\lambda\varphi = \lambda_{S^{\vee}}\varphi = \varphi\lambda_S^{-1}\), ce qui tord le graphe en \(T_\lambda A_\varphi = \{\{s, \lambda t\}\}\)⁶⁶ . Un « multigraphe » à groupe d'homothéties \(Z\) est un sous-\(Z\)-torseur \(\pi \subset \Pi_Z\) ; on a \(S^{\vee} \simeq \pi \wedge^{Z} (S!)\), et dualement.

228–234

Rayons (pages 228 à 234)

Les orbites de \(Z\) dans \(S\) sont les rayons, celles dans \(S^{\vee}\) les corayons ; toutes les \(\varphi \in \pi\) induisent la même bijection \(\varphi^\flat : S/Z \to S^{\vee}/Z\). On suppose \(Z\) libre sur \(S\) et \(S^{\vee}\) : les rayons sont des \(Z\)-torseurs. Les conditions équivalentes (41), (41'), (41''), (44), (48) disent :

• une étoile et un rayon se rencontrent en au plus un point ;
• étant donné une jauge, \(A_0 \cap A_\lambda = \emptyset\) pour \(\lambda \neq 1\), de sorte que les \(A_i\) sont disjoints et qu'on a un type \(\tau_A : A \to \pi\) ;
• pour deux rayons \(D\), \(D'\) incidents, l'adjacence est une bijection \(D \simeq D'\) qui renverse les structures de torseur, d'où \(D \wedge^{Z} D' \simeq \mathbf{1}\) ; et le type vérifie \(\tau(\lambda s, \mu s') = \lambda\mu\,\tau(s, s')\), d'où un isomorphisme de \(Z\)-torseurs \(D \wedge D' \simeq \pi\).

Sur une feuille rapportée, numérotée « 119 bis » (pages 233 et 234), la page en tire une description globale : un graphe à homothéties, avec \(Z\) libre et cette condition, équivaut à a) un graphe \(\gamma^\flat\) sur l'ensemble \(S^\flat\) des rayons, b) un \(Z\)-torseur \(S\) au-dessus de \(S^\flat\), c) pour chaque arête \(\{s^\flat, s'^\flat\}\) un isomorphisme \(p_1^{*}S \wedge p_2^{*}S \simeq \mathbf{1}\) ; un multigraphe, à la même chose avec un \(Z\)-torseur absolu \(\pi\) et des isomorphismes \(p_1^{*}S \wedge p_2^{*}S \simeq \pi\)⁶⁷ . Exemple : pour \(M\) libre de rang \(2\), \(S^\flat = M^{*}/\Lambda^{*} \subset \mathbf{P}(M)(\Lambda)\) (égalité si \(\operatorname{Pic}\Lambda = 0\)), \(\gamma^\flat\) relie deux points de la droite projective distincts en tout point de \(\operatorname{Spec}\Lambda\) (\(x \wedge y\) inversible), le torseur a pour fibre \(\Lambda^{*}/\{\pm 1\}\), et l'isomorphisme c) vient de \(\det M \simeq D \otimes D'\) pour \(M = D \oplus D'\)⁶⁸ .

235–237

2. La condition d'isomorphie (pages 235 à 237)

Soit \(\mathcal{M} = (\Gamma, Z, \pi)\) un « prégraphe multijaugé ». Ses automorphismes qui centralisent \(Z\) forment le groupe \(G\) des \(g\) du centralisateur avec \(g(\pi) = \pi\), qui opère sur \(\pi\) par translations :

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & G_0 \arrow[r] & G \arrow[r, "\delta"] & Z \\
 & & Z \arrow[u, hook] \arrow[ur, "\lambda \mapsto \lambda^{2}"'] &
\end{tikzcd}

238–247

3. Homogénéité, et traduction en théorie des groupes (pages 238 à 269)

\(\mathcal{M}\) est homogène si \(G_0\) est transitif sur \(R\) — ce qui revient à la transitivité sur les arêtes orientées de \(A_{\varphi_0}\) — et sur \(S\) et \(S^{\vee}\). Alors \(Z\) opère librement (si \(\Gamma\) est séparé), et la condition des rayons (41) est satisfaite : si \(A_0 \cap A_\lambda \neq \emptyset\), la transitivité donne \(A_0 = A_\lambda\), d'où \(\lambda = 1\).

Pour tout décrire en théorie des groupes, la page part d'une situation « épinglée » : un graphe \(\gamma_0 = (S, A_0)\), un groupe \(H\) d'automorphismes transitif sur les arêtes orientées, une arête orientée origine \((s_0, t_0)\), et un groupe commutatif \(Z\) d'homothéties commutant à \(H\) ; \(G\) est alors le groupe des permutations qui normalisent \(H\), centralisent \(Z\) et envoient \(A_0\) sur un \(A_\lambda\), et \(H\) y est distingué (64). Les données \((H, Z, (s_0, t_0))\) déterminent \(A = \{\{u s_0, u\lambda t_0\}\}\), sous les conditions : a) \(H\) transitif sur \(S\) et commutant à \(Z\) ; b) pour tout \(\lambda \in Z\), il existe \(u \in H\) avec \(u(s_0, t_0) = (\lambda s_0, \lambda^{-1}t_0)\)⁷⁰ ; et l'on suppose que \(Z\) opère fidèlement sur \(\pi\) (72).

Soit \(U_0 = H_{s_0}\), \(U_1 = H_{t_0}\), \(\mathfrak{z}_H = U_0 \cap U_1\), et \(\sigma \in H\) échangeant \(s_0\) et \(t_0\) : \(U_1 = \sigma U_0 \sigma^{-1}\), \(\sigma^2 \in \mathfrak{z}_H\). Un graphe homogène muni d'une arête orientée équivaut à la donnée de \((H, U_0, \sigma)\) avec ces relations et \(\bigcap_u uU_0u^{-1} = 1\) : \(S = H/U_0\), \(t_0 = \sigma U_0\), les arêtes orientées \(= H/\mathfrak{z}_H\) — \(\sigma\) n'étant défini que modulo \(\mathfrak{z}_H\). Quand \(H\) est simplement transitif sur les arêtes orientées, \(\mathfrak{z}_H = 1\), \(\sigma\) est unique et \(\sigma^2 = 1\)⁷¹ .

La donnée de \(Z\) se lit alors sur le sous-groupe \[ T_H = \{u \in H \mid \exists \lambda \in Z,\ us_0 = \lambda s_0,\ ut_0 = \lambda^{-1}t_0\} , \] avec \(1 \to \mathfrak{z}_H \to T_H \to Z \to 1\) : \(T_H\) normalise \(U_0\) et \(U_1\), \(T_H \cap U_0 = T_H \cap U_1 = \mathfrak{z}_H\), \(T_H U_0\) est le stabilisateur du rayon \(Z s_0\), \(T_H U_0 \cap T_H U_1 = T_H\), et \(\sigma\) normalise \(T_H\) en y induisant \(t \mapsto t^{-1}\) modulo \(\mathfrak{z}_H\). La situation est « particulièrement jolie » quand \(\mathfrak{z}_H = 1\) (89) : la donnée de \(Z\) équivaut à celle d'un sous-groupe \(T_H\) de \(H\) tel que a) \(\sigma\) normalise \(T_H\) et y induit l'inversion, b) \(T_H\) normalise \(U_0\), c) l'application \(U_0 \times T_H \times U_1 \to H\), \((u_0, t, u_1) \mapsto u_0 t u_1\), est injective⁷² .

248–260

Le groupe \(G\) reconstruit (pages 248 à 260)

Dans ce cas, la page reconstruit tout le diagramme (64). \(T_G\), stabilisateur dans \(G\) des deux rayons \(D_0 = Zs_0\), \(D_1 = Zt_0\), est une extension de \(Z \times Z\) par \(\mathfrak{z} = G_{(s_0, t_0)}\) ; il contient les sous-groupes \(T_0\) (qui fixe \(s_0\)) et \(T_1\) (qui fixe \(t_0\))⁷³ , avec \(T_G = T_0 T_1 = T_0 Z = Z T_1\), \(T_0 \cap T_1 = T_0 \cap Z = \mathfrak{z}\), et \(\sigma\) échange \(T_0\) et \(T_1\). On a \(T_G \cap H = T_H\), \(T_G\) centralise \(T_H\), normalise \(U_0\) et \(U_1\), et \[ G_{D_0} = T_G U_0, \quad G_{s_0} = T_0 U_0, \quad G_0 = \mathfrak{z} \cdot H, \quad G = T_0 \cdot H = T_1 \cdot H \] (produits semi-directs)⁷⁴ , l'application \(U_0 \times T_G \times U_1 \to G\) restant injective. Avec \(\widetilde{Z} = G/H\), on a \(0 \to \mathfrak{z} \to \widetilde{Z} \xrightarrow{c} Z\), et \(c\) est surjectif si et seulement si la condition d'isomorphie est satisfaite ; un diagramme \(3 \times 3\) d'inclusions, à carrés cartésiens et cocartésiens, résume le tout (113).

\(T_G\) est une extension \(1 \to T_H \simeq Z \to T_G \to \widetilde{Z} \to 1\), scindée par \(T_0\) et par \(T_1\) (sections \(u_0\), \(u_1\)), avec \(u_1(\tilde\lambda) = u_0(\tilde\lambda)\, u(c(\tilde\lambda))\) ; elle est commutative. Si \(\widetilde{Z}\) est commutatif, \(T_G \simeq (T_0 \times T_1)/\mathfrak{z}\), \(\mathfrak{z}\) plongé antidiagonalement, et \(\delta\) se lit par \(c\). L'inclusion de \(Z\) dans \(T_G\) se décrit par l'homomorphisme \(c' : Z \to \widetilde{Z}\), \(c \circ c' = (\lambda \mapsto \lambda^2)\), par \(\lambda = u(\lambda)\, u_0(c'(\lambda)) = u(\lambda^{-1})\, u_1(c'(\lambda))\) ; on voudrait voir \(Z\) comme l'image de la diagonale de \(\widetilde{Z} \times \widetilde{Z}\), ce qui demande \(z^2 = 1\) sur \(\mathfrak{z}\) (131) et \(c'(c(\tilde\lambda)) = \tilde\lambda^2\) (133) ; en général on n'a que \(c(\tilde\lambda) \equiv u_0(\tilde\lambda)\, u_1(\tilde\lambda)\) modulo \(\mathfrak{z}\)⁷⁵ .

261–269

Par les automorphismes de \(H\) ; le groupe \(N_H\) (pages 261 à 269)

Reste à tout exprimer en termes des seules données \((H, U_0, T_H, \sigma)\) : \(\sigma^2 = 1\), \(U_0 \cap U_1 = 1\), \(\sigma\) inverse \(T_H\), \(T_H\) normalise \(U_0\), \(U_0 \times T_H \times U_1 \to H\) injectif. Un élément de \(T_0\) est connu par l'automorphisme \(\bar g\) de \(H\) qu'il induit ; \(T_0\) s'identifie au sous-groupe \(\widetilde{Z}\) de \(\mathrm{Aut}(H)\) formé des automorphismes qui normalisent \(U_0\), centralisent \(T_H\), et envoient \(\sigma\) dans \(\sigma T_H\) ; on a alors \(\bar g(\sigma) = \sigma\, u(\delta(g))\), ce qui décrit \(c\), et la conjugaison par \(t \in T_H\) donne \(c'_0 : T_H \to \widetilde{Z}\) avec \(c_0(c'_0(t)) = t^{-2}\), puisque \(t\sigma t^{-1} = \sigma t^{-2}\). Le sous-groupe \(\mathfrak{z}\) correspond aux automorphismes qui normalisent \(U_0\) et centralisent \(T_H\) et \(\sigma\).

La page introduit enfin \(N_H = T_H \cup \sigma T_H\), qui contient \(T_H\) avec l'indice \(2\) (hors le cas dégénéré \(\sigma \in T_H\), où \(U_0 = U_1 = 1\) et \(T_H\) est un \(2\)-groupe abélien élémentaire), et énonce une équivalence (163) : un multigraphe homogène non dégénéré, avec un sommet marqué et un rayon incident, équivaut à un système \((H, U_0, T_H, N_H)\) tel que a) \(T_H\) normalise \(U_0\) et \(T_H \cap U_0 = 1\) (d'où \(B_H = T_H U_0\)) ; b) \(T_H\) est d'indice \(2\) dans \(N_H\), et les \(\sigma(U_0)\), \(\sigma \in N_H \smallsetminus T_H\), sont un même \(U_1\) ; c) tout \(\sigma \in N_H \smallsetminus T_H\) est d'ordre \(2\) ; d) \(U_0 \cap U_1 = 1\). « On aimerait vérifier aussi la formule familière » \(B_H \cap N_H = T_H\), qui équivaut à \(\sigma \notin B_H\) ; la tentative est barrée⁷⁶ .

270–270

4. Cas des graphes triangulants (page 270)

Un graphe sans boucles est triangulant si toute arête est contenue dans un triangle ; un multigraphe l'est si chacune de ses structures l'est, et il suffit que l'une le soit sous la condition d'isomorphie, « mais il n'est pas dit qu'il en soit ainsi dans tous les cas ». Le texte suivi du dossier s'arrête là, à la page 138 de l'auteur.

272–273

Feuilles détachées (pages 272 à 295)

Un tableau (pages 272 et 273)

Une fiche, déchirée en bas, dresse pour \(n = 2\) à \(5\) les invariants du § I (on note \([X]\) le cardinal de \(X\))⁷⁷ : \[ \begin{array}{l|c|c|c|c} n & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline [\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}/n)] & 6 & 24 & 48 & 120 \\ {}[\mathrm{GL}(2, \mathbf{Z}/n)] & 6 & 48 & 96 & 480 \\ {}[\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}/n)'] & 6 & 12 & 24 & 60 \\ \mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}/n)' & \mathfrak{S}_3 & \mathfrak{A}_4 & \mathfrak{S}_4 & \mathfrak{A}_5 \\ {}[\mathrm{PGL}(2, \mathbf{Z}/n)] & 6 & 24 & 48 & 120 \\ \mathrm{PGL}(2, \mathbf{Z}/n) & \mathfrak{S}_3 & \mathfrak{S}_4 & \mathfrak{S}_4 \times \{\pm 1\} & \mathfrak{S}_5 \\ {}[M^{*}] & 3 & 8 & 12 & 24 \\ {}[S_M] & 3 & 4 & 6 & 12 \\ \text{type} & \text{trièdre} & \text{tétraèdre} & \text{octaèdre} & \text{icosaèdre} \\ {}[\mathbf{P}(M)] & 3 & 4 & 6 & 6 \\ {}[F_M^{*}] & 1 & 4 & 8 & 40 \\ {}[F_M^{\circ}] & 1 & 4 & 8 & 20 \end{array} \] Pour \(n = 2\), où \(2 = 0\), le « trièdre » a trois sommets et une seule face. Au verso, la seule inscription « \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{2*}\) ».

275–280

Un sommet est-il déterminé par son étoile ? (pages 275 à 280)

1) Combinatoire. Soit \(P = (S, F)\) un 2-polyèdre triangulé connexe⁷⁸ , et \(s \neq s'\) deux sommets de même étoile \(E\). Alors \(S = \{s, s'\} \cup E\) et \(P\) est le double cône sur le polygone \(E\) : chaque côté de \(E\) borde déjà une face de sommet \(s\) et une face de sommet \(s'\), de sorte que ces faces forment une surface fermée, qui est tout \(P\). Les pointes sont d'ordre \(n = \operatorname{card} E\), les autres sommets d'ordre \(4\) : si tous les sommets ont le même ordre, \(n = 4\) et \(P\) est un octaèdre, où deux sommets ont la même étoile si et seulement s'ils sont opposés. Dans tous les cas, l'involution \(a\) qui échange les sommets de même étoile (« qui mérite le nom d'antipodisme ? ») est un automorphisme.

2) Algèbre. Soit \(\Lambda\) semi-local, \(u, u' \in M^{*}\) tels que, pour tout \(x \in M^{*}\), \(u \wedge x\) inversible entraîne \(u' \wedge x \in \{\pm u \wedge x\}\). Alors \(u' = \pm u\), sauf si \[ 2\Lambda = \{0, 2\} \neq \{0\} , \] c'est-à-dire⁷⁹ si \(\Lambda\) est une \(\mathbf{Z}/4\)-algèbre, extension de l'\(\mathbf{F}_2\)-algèbre \(\Lambda/2\Lambda\) par l'idéal \(2\Lambda\), de carré nul, de dimension \(1\) sur \(\mathbf{F}_2\)⁸⁰ . La démonstration : la première moitié de l'hypothèse dit que \(u\) et \(u'\) sont colinéaires dans chaque corps résiduel ; on trouve une base \((e, f)\) avec \(u = e + f\), \(u' = e \pm f\) ; le cas \(u' = e - f\) force le corps résiduel à être de caractéristique \(2\) et \(2\alpha\) ou \(2(1 - \alpha)\) nul pour tout \(\alpha\), d'où \(2\Lambda \subset \{0, 2\}\). Dans le cas exceptionnel, \(u' = u + \xi\) avec \(\xi\) l'un des deux éléments de \(2M \smallsetminus \{0, 2u\}\), et les deux choix sont opposés : la classe de \(u'\) dans \(S_M\) est déterminée par \(u\). On obtient une involution \(a\) de \(S_M\), sans point fixe, avec \(\mathrm{Et}_i(a(u)) = \mathrm{Et}_i(u)\) pour tout type \(i\), et \(a \in \mathrm{GL}'(M)^{\pm}\), de déterminant \(-1\)⁸¹ . Pour \(\Lambda = \mathbf{Z}/4\) c'est l'antipodie de l'octaèdre, « retrouvée par voie d'algèbre linéaire » : c'est l'exception du § VI, et celle que les §§ VII et VIII rencontraient sous le nom d'octaèdre. La construction marche dès que \(2\Lambda = \{0, 2\} \neq \{0\}\) ; la page ajoute, sur une lecture en partie incertaine, qu'il n'est pas nécessairement vrai qu'aucun autre sommet n'ait alors l'étoile de \(u\). Il n'y en a pas dans ce cadre algébrique, où l'étoile est prise type par type : par l'équivalence vérifiée en Lean (same_star_iff), le seul sommet autre que \(\dot u\) qui ait les voisins de \(\dot u\) est \(a(\dot u) = \sigma(\dot u)\) (de nous).

La page 280, au crayon, essaie des conditions de connexité (deux sommets reliés par une chaîne de longueur \(4\)) et note : « Sommet déterminé par son étoile ? Pas vrai pour \(\Lambda = \mathbf{Z}/4\) (octaèdre) ».

282–295

Brouillons : \(\lambda\) et \(\lambda^2\) (pages 282 à 295)

Les dernières feuilles sont des calculs au crayon, sans pagination, où les mêmes formules reviennent ; on n'en restitue que ce qu'elles établissent lisiblement⁸² . L'étoile de \(s = \dot x\) est un torseur sous \(\Lambda\) par \(y \dotplus \zeta = y + \zeta x\) ; l'étoile de \(\lambda^{-1}s\) l'est par \(y' \dotplus \zeta = y' + \zeta\lambda^{-1}x\). La multiplication par \(\lambda\) envoie la première sur la seconde, avec \[ \lambda(y \dotplus \zeta) = \lambda y \dotplus \lambda^2\zeta , \] et la page souligne : « on ne voit ici que \(\lambda^2\), pas \(\lambda\) ! ». Mais la relation d'incidence entre les deux étoiles, \(y \wedge y' \in \{\pm e\}\), s'écrit, pour des origines \(y'_0 = \lambda y_0\), \[ \lambda\zeta - \lambda^{-1}\zeta' \in \{\pm 1\} , \qquad \text{soit} \qquad \zeta' = \lambda^2\zeta \pm \lambda , \] de sorte que les écarts \(\zeta' - \lambda^2\zeta\) forment l'ensemble \(\{\pm \lambda\}\) : la multiplication elle-même se voit sur les incidences, au signe près. C'est la réponse, à l'état de calcul, à l'obstacle de la page 109 (« \(\chi_s(\dot\lambda) = \lambda^2\) ») ; les feuilles comptent encore les arêtes et les étoiles (\(N/2\) et \(N/n\)), notent que \(\mathrm{diag}(\lambda^{-1}, \lambda)\) normalise les groupes unipotents et y agit par \(\lambda^2\), et s'arrêtent sur une définition de \(\nu(A_0, \lambda)\) laissée en suspens. Le dossier finit là.