le titre est de sa main, souligné en partie (« Fidélité ») ; il ouvre la page. Les lettres soulignées (\underline{S}, \underline{A}, \underline{s}, \underline{a}…) désignent ici les objets du polygone combinatoire, les lettres nues leurs images géométriques ; on garde cette convention dans toute la transcription.

Proposition. Soit \rho = (\rho_S, \rho_A) une réalisation géométrique régulière d'un polygone comb. \underline{\Pi} = (\underline{S}, \underline{A}, \underline{R}) dans un plan affine E, sur k, sur un corps k. (Alors l'image \{\rho_S(\underline{S}) \subset E,\ \rho_A(\underline{A}) \subset \mathrm{Dr}(E)\} est un polygone géométrique \Pi_0 régulier dans E. Son groupe d'aut. G_0 est l'image dans \mathrm{Aff}(E) de \underline{G} = \mathrm{Aut}(\underline{\Pi}), et \underline{\Pi} \to \Pi_0 est un hom. de polygones combinatoires.)

la note marginale, accolée par une accolade, complète « \underline{\Pi} \to \Pi_0 est » ; la parenthèse ouverte avant « Alors » se ferme après elle.

a) Toute arête \rho_A(\underline{a}) (\underline{a} \in \underline{A}) contient exactement deux sommets. On sait que si \underline{s}, \underline{s}' \in \underline{S} sont les 2 sommets incidents à \underline{a}, et s = \rho_S(\underline{s}), s' = \rho_S(\underline{s}'), on a s \neq s'. Montrons que Soit \forall \underline{s}'' \in \underline{S}, tel que \rho_S(\underline{s}'') = s'', \mathrm{Dr}(s,s') a = \rho_A(\underline{a}) = \mathrm{Dr}(s, s'), il faut prouver que si s'' \in a, on a s'' = s ou s'' = s'. On utilise le fait que a \cap C ne peut contenir que 2 points (C conique circonscrite canonique…).

titre de sa main, souligné, en tête de page ; à gauche, dans la marge et d'une autre encre bleue, « (ancienne version) » — de sa main, semble-t-il. (ancienne version)

Proposition Corollaire Soit une réalisation géométrique (non dégénérée (et propre)) régulière \varphi d'un polygone combinatoire \underline{\Pi} = (\underline{S}, \underline{A}, \underline{R}) dans un plan affine E sur un corps k. Conditions équiv. :

a) \varphi est fidèle

b) \varphi_S : \underline{S} \to E injection

b') \varphi_A : \underline{A} \to \mathrm{Dr}(E) injection

c) \mathrm{Aut}(\underline{\Pi}) = \underline{G} \to \mathrm{Aff}(E) injection

d) [\underline{G} \underline{\Pi} , dire \underline{u} \in \mathrm{Aut}(\underline{\Pi}) et u \in \mathrm{Aff}(E)] \mathrm{Aut}^+(\underline{\Pi}) = \underline{G}^+ \to \mathrm{Aff}(E) injection

Dém. a) \Rightarrow b) & b') trivial (compte tenu que \forall\, \underline{s}, \underline{s}' \in \underline{S}, \underline{s} \neq \underline{s}', \exists\, \underline{a} \in \underline{A} qui est incidente à \underline{s} et distincte non à \underline{s}' — car \operatorname{card} S = \operatorname{card} A \geq 3 ici ! —). b) \Rightarrow c), b') \Rightarrow c) triviaux puisque \underline{G} \to \mathfrak{S}_S, \underline{G} \to \mathfrak{S}_A injectives. Prouvons c) \Rightarrow d) trivial. Prouvons d) \Rightarrow b), i.e. non b \Rightarrow non d). Choisissons un géom. repère \underline{r} de \underline{\Pi}, d'où une géom. \underline{u} = \underline{\sigma}_0 \underline{\sigma}_1 de \underline{G} = \mathrm{Aut}(\underline{\Pi}), d'où u \in \mathrm{Aff}(E). Soit n = \operatorname{Card} \underline{S} (3 \leq n \leq +\infty) de sorte que . Alors Dire que non b signifie \exists\, d < n tel que s_0 et i \in \mathbb{Z} tels que s_i = s_{i+d} i.e. u^i s_0 = u^{i+d} s_0 i.e. u^d s_0 = s_0 ce qui implique, en multipliant par u^j et notant u^j u^d s_0 = u^d u^j s_0 = u^d s_j, que u^d s_j = s_j \forall\, j \in \mathbb{Z}, et comme les s_j engendrent E, ceci prouve que u^d = \mathrm{id}, donc or \underline{u}^d \neq 1, donc non d). On a ainsi prouvé

\begin{array}{l} \mathbb{Z}[T, T^{-1}] \\ \quad \cup \\ \mathbb{Z}(U) \qquad U = T + T^{-1} \end{array} il écrit \mathbb{Z}(U) avec des parenthèses ; l'inclusion est un \cup tourné, sous \mathbb{Z}[T,T^{-1}]. \Sigma_i(U) = T^i + T^{-i} = U^i + \cdots \qquad (i \geq 0) \begin{aligned} F_{2m}(U) &= (1 + T^2 + \cdots + T^{2(m-1)})\, T^{-(m-1)}\\ &= \Sigma_{m-1}(U) + \Sigma_{m-3}(U) + \cdots = U^{m-1} + \cdots \qquad (m \geq 1)\\ F_{2m+1}(U) &= (1 + T + T^2 + \cdots + T^{2m})\, T^{-m}\\ &= \Sigma_m(U) + \Sigma_{m-1}(U) + \cdots = U^m + \cdots \qquad (m \geq 0) \end{aligned} \left\{ \begin{aligned} d^\circ(\Sigma_i) &= i\\ d^\circ F_n &= \Bigl[\frac{n-1}{2}\Bigr] = \begin{cases} m-1 & \text{si } n = 2m\\ m & \text{si } n = 2m+1 \end{cases} \qquad n \geq 1 \end{aligned} \right. NB On pose F_0 = 0, F_n = -F_{-n} si n < 0. le signe devant F_{-n} est peu net ; on lit « = -F_{-n} », peut-être « = F_{-n} ». \left\{ \begin{aligned} F_{2m}(2) &= m, & F_{2m}(-2) &= (-1)^{m-1} m\\ F_{2m+1}(2) &= 2m+1, & F_{2m+1}(-2) &= (-1)^m \end{aligned} \right. \left\{ \begin{aligned} F_{2m}(U)(T^2 - 1) &= (T^{2m} - 1)\, T^{-(m-1)}\\ F_{2m+1}(U)(T - 1) &= (T^{2m+1} - 1)\, T^{-m} \end{aligned} \right. F_n(U) F_{n+1}(U) (T-1)(T^2-1) = (T^n - 1)(T^{n+1} - 1)\, T^{-(n-1)} (F_n, F_{n+2}) = (1) \qquad n \geq 1 \quad (\text{et \uncertain{donc} pour } n \in \mathbb{Z}) \left. \begin{aligned} X'_n &= F_n F_{n+1} = U^{n-1} + \cdots\\ Y'_n &= F_n F_{n-1} = U^{n-2} + \cdots \end{aligned} \right| \ (\text{déf}) F_0(U) = 0, F_1(U) = 1, F_2(U) = 1 ; F_3(U) = U + 1, F_4(U) = U ; F_5(U) = U^2 + U - 1, F_6(U) = U^2 - 1 ; X'_{-1} = 0, X'_0 = 0, X'_1 = 1, X'_2 = U + 1 la table des premiers F_n et X'_n est dans une colonne à droite, séparée par un trait oblique, à côté de la proposition qui suit. Le signe de X'_{-1} est mal formé.

Prop. \forall\, n \in \mathbb{Z}, on a X'_n - U X'_{n-1} + X_{n-2} = 1. les primes manquent sur le dernier X, comme écrit. DPS n \geq 1. Si n = 1, cela s'écrit 1 - U.0 + 0 = 1 ok ; si n = 2, cas U + 1 - U(1) + 0 = 1 ok. Si n \geq 3, on écrit F_n F_{n+1} - U F_{n-1} F_n + F_{n-2} F_{n-1} = 1 soit, en multipliant par (T-1)(T^2-1)\, T^{n-1} \begin{gathered} (T^n - 1)(T^{n+1} - 1) - T(T + T^{-1})(T^{n-1} - 1)(T^n - 1)\\ + T^2 (T^{n-2} - 1)(T^{n-1} - 1) = \text{\struck{\ill{}}}\ (T-1)(T^2-1)\, T^{n-1} \end{gathered} \begin{gathered} T^{2n+1} - T^n - T^{n+1} + 1 - (T^2 + 1)(T^{2n-1} - T^n - T^{n-1} + 1)\\ + T^{2n-1} - T^n - T^{n+1} + T^2 = \text{\uncertain{id}} \end{gathered} -T^{2n+1} + T^{n+2} + T^{n+1} - T^2 - T^{2n-1} + T^n + T^{n-1} - 1 sous chaque terme il a marqué une croix (termes qui s'annulent) ou un point (termes qui restent). i.e. T^{n+2} - T^{n+1} - T^n + T^{n-1} = (T-1)(T^2-1)\, T^{n-1} \quad \text{ok.}

On en conclut par récurrence sur n \geq 0 X'_n = X_n \quad \text{i.e.} \quad X_n = F_n F_{n+1} puis, comme X_{-n} = Y_n = X_{n-1} = F_{n-1} F_n = F_{-n} F_{-n+1} (n \geq 1)