Cote n° 78, pages 101–120

Cote n° 78 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · [Polygones réguliers et polynômes cyclotomiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

Fidélité d'une réalisation géom. régulière d'un polygone combinatoire

101le titre est de sa main, souligné en partie (« Fidélité ») ; il ouvre la page. Les lettres soulignées ($\underline{S}$, $\underline{A}$, $\underline{s}$, $\underline{a}$…) désignent ici les objets du polygone combinatoire, les lettres nues leurs images géométriques ; on garde cette convention dans toute la transcription.

Proposition. Soit $\rho = (\rho_S, \rho_A)$ une réalisation géométrique régulière d'un polygone comb. $\underline{\Pi} = (\underline{S}, \underline{A}, \underline{R})$ ⌜dans un plan affine $E$, sur $k$⌝, sur un corps $k$. (Alors l'image $\{\rho_S(\underline{S}) \subset E,\ \rho_A(\underline{A}) \subset \mathrm{Dr}(E)\}$ est un polygone géométrique ⌜$\Pi_0$⌝ régulier dans $E$. Son groupe d'aut. $G_0$ est l'image dans $\mathrm{Aff}(E)$ de $\underline{G} = \mathrm{Aut}(\underline{\Pi})$, et $\underline{\Pi} \to \Pi_0$ est un hom. de polygones combinatoires.)

la note marginale, accolée par une accolade, complète « $\underline{\Pi} \to \Pi_0$ est » ; la parenthèse ouverte avant « Alors » se ferme après elle.

a) Toute arête $\rho_A(\underline{a})$ ($\underline{a} \in \underline{A}$) contient exactement deux sommets. On sait que si $\underline{s}, \underline{s}' \in \underline{S}$ sont les 2 sommets incidents à $\underline{a}$, et $s = \rho_S(\underline{s})$, $s' = \rho_S(\underline{s}')$, on a $s \neq s'$. Montrons que ⌜Soit⌝ $\forall$ $\underline{s}'' \in \underline{S}$, tel que $\rho_S(\underline{s}'') = s''$, $\mathrm{Dr}(s,s')$ $a = \rho_A(\underline{a}) = \mathrm{Dr}(s, s')$, il faut prouver que si $s'' \in a$, on a $s'' = s$ ou $s'' = s'$. On utilise le fait que $a \cap C$ ne peut contenir que 2 points ($C$ conique circonscrite canonique…).

102b) Tout sommet $s = \rho_S(\underline{s})$ est incident à exactement deux arêtes. Soient en effet $\underline{a}, \underline{a}' \in \underline{A}$ les arêtes incidentes à $\underline{s}$, $a, a'$ leurs images dans $A$, on sait que $a \neq a'$, $s \in a$, $s \in a'$. Montrons que si $a''_0 \in \rho_A(\underline{a}''_0)$ est incidente à $s$, alors $a''_0 = a$ ou $a''_0 = a'$. […] Soient $\underline{s}_0, \underline{s}_1$ les sommets incidents à $\underline{a}''_0$, donc $s_0, s_1 \in S$ leurs images, donc $s_0 \neq s_1$, et […] $a''_0 = \mathrm{Dr}(s_0, s_1) \ni s$, et par a) on doit avoir […] $s = s_0$ ou $s = s_1$, disons disons $s = s_0$. Soit $\underline{r} = (\underline{s}_0, \underline{a}_0)$, on a $\underline{s} = u^n \underline{s}_0$ pour $n$ convenable, donc $u^n s_0 = s = s_0$ d'où $u^n = \mathrm{id}$, donc […] $u^n(a_0) = a_0$ […]. Or $\underline{s}_0$ est incident à $\underline{a}_0$, $\underline{s} = \underline{u}^n(\underline{s}_0)$ l'est à $\underline{u}^n(\underline{a}_0)$, donc $\underline{u}^n(\underline{a}_0)$ […] est égal à $\underline{a}$ ou $\underline{a}'$, donc $u^n(a_0)$ ⌜$= a_0$⌝ est égal à $a$ ou $a'$, cqfd.

dans ce paragraphe, les soulignements des lettres sont irréguliers sur la page ; on les a suivis là où ils sont visibles, sans les compléter.

c) $S$ engendre $E$ : connu.

d) $G = \mathrm{Aut}(E, S, A)$ est transitif sur l'ens. ⌜$R$⌝ des repères de $(S, A)$ ⌜(car comme […] incidents […] a))⌝. Dans la dém. de a) […] on a vu que $R$ est

103l'image canonique de $\underline{R}$. D'ailleurs $\underline{G}$ opérant sur $\underline{R}$ transitivement, il opère transitivement sur $R$, donc son image $G$ dans $\mathrm{Aff}(E, S, A)$ opère transitivement sur $R$. On trouve en même temps que (comme $\mathrm{Aut}(E, S, A)$ opère de façon simplement transitive) que \[ G \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Im} \underline{G} = \mathrm{Aut}(E, S, A). \]

e) Pour prouver que $\underline{\Pi} \to \Pi_0$ est un hom., il faut voir que $\underline{R} \to R$ est compatible avec $\sigma_0, \sigma_1$ — on l'a vu dans la dém. de a) et b).

Fidélité

104titre de sa main, souligné, en tête de page ; à gauche, dans la marge et d'une autre encre bleue, « (ancienne version) » — de sa main, semble-t-il. (ancienne version)

⌜Proposition⌝ Corollaire Soit une réalisation géométrique ⌜(non dégénérée (et propre))⌝ régulière $\varphi$ d'un polygone combinatoire $\underline{\Pi} = (\underline{S}, \underline{A}, \underline{R})$ dans un plan affine $E$ ⌜sur un corps $k$⌝. Conditions équiv. :

a) $\varphi$ est fidèle

b) $\varphi_S : \underline{S} \to E$ injection

b$'$) $\varphi_A : \underline{A} \to \mathrm{Dr}(E)$ injection

c) $\mathrm{Aut}(\underline{\Pi}) = \underline{G} \to \mathrm{Aff}(E)$ injection

d) [$\underline{G}$ $\underline{\Pi}$ […], dire $\underline{u} \in \mathrm{Aut}(\underline{\Pi})$ et $u \in \mathrm{Aff}(E)$] ⌜$\mathrm{Aut}^+(\underline{\Pi}) = \underline{G}^+ \to \mathrm{Aff}(E)$ injection⌝

Dém. a) $\Rightarrow$ b) & b$'$) trivial (compte tenu que $\forall\, \underline{s}, \underline{s}' \in \underline{S}$, $\underline{s} \neq \underline{s}'$, $\exists\, \underline{a} \in \underline{A}$ qui est incidente à $\underline{s}$ ⌜et distincte⌝ non à $\underline{s}'$ — car $\operatorname{card} S = \operatorname{card} A \geq 3$ ici ! —). b) $\Rightarrow$ c), ⌜b$'$) $\Rightarrow$ c)⌝ triviaux puisque $\underline{G} \to \mathfrak{S}_S$, ⌜$\underline{G} \to \mathfrak{S}_A$⌝ injectives. Prouvons c) $\Rightarrow$ d) trivial. Prouvons d) $\Rightarrow$ b), i.e. non b $\Rightarrow$ non d). Choisissons un géom. repère $\underline{r}$ de $\underline{\Pi}$, d'où une géom. […] $\underline{u} = \underline{\sigma}_0 \underline{\sigma}_1$ de $\underline{G} = \mathrm{Aut}(\underline{\Pi})$, d'où $u \in \mathrm{Aff}(E)$. Soit $n = \operatorname{Card} \underline{S}$ (⌜$3 \leq n \leq +\infty$⌝) de sorte que […]. ⌜Alors⌝ Dire que non b signifie $\exists\, d < n$ tel que $s_0$ et $i \in \mathbb{Z}$ tels que $s_i = s_{i+d}$ i.e. $u^i s_0 = u^{i+d} s_0$ i.e. $u^d s_0 = s_0$ ce qui implique, en multipliant par $u^j$ et notant $u^j u^d s_0 = u^d u^j s_0 = u^d s_j$, que $u^d s_j = s_j$ $\forall\, j \in \mathbb{Z}$, et comme les $s_j$ engendrent $E$, ceci prouve que $u^d = \mathrm{id}$, donc or $\underline{u}^d \neq 1$, donc non d). On a ainsi prouvé

105Corollaire. Avec les notations précédentes, si $\underline{v} \in \underline{G}^+$, $s \in S = \operatorname{Im}(\underline{S} \to E)$, alors \[ \underline{v}.s = s \iff v = \mathrm{id} \qquad (v = \varphi_G(\underline{v}) \in \mathrm{Aff}(E)). \]

[[…] b) […] que $\underline{v} s_0 = s_0$ implique $\underline{v} s_0 = s_0$] un petit encadré, à gauche, est biffé de hachures ; les flèches qui partent de « b) » le renvoient vers la ligne suivante. ⌜a)⌝ ⌜b$'$)⌝ Ainsi, b) $\iff$ c) $\iff$ d), d'ailleurs signifie […].

et b) $\Rightarrow$ b$'$), d'ailleurs […] b) […] $d < n$ dit que ⌜$u^d = \mathrm{id}$⌝ $u^d s_0 = s_0$ implique que […] non c), donc $u^d a_0 = a_0$ i.e. $a_d = a_0$ donc tout ce bloc est encadré et barré de longues obliques.

Il reste à prouver b), c), d) implique a). Soit donc $\underline{s} \in \underline{S}$, $\underline{a} \in \underline{A}$, supposons $s \in a$, prouvons prouvons $\underline{s}$ incident à $\underline{a}$. Soient $\underline{s}_0, \underline{s}_1$ ⌜(distincts)⌝ les sommets incidents à $\underline{a}$, donc $s_0, s_1 \in a$, ⌜et $s_0 \neq s_1$⌝, il faut prouver que […] $s = s_0$ ou $s = s_1$ (ce qui implique $\underline{s} = \underline{s}_0$ ou $\underline{s} = \underline{s}_1$, donc $\underline{s}$ incident à $\underline{a}$). Faux Mais si on avait $s \neq s_0, s_1$, alors $\operatorname{card} a \cap S > 2$ (où $S = \operatorname{Im}(\underline{S} \to E)$) — a fortiori $\operatorname{card} a \cap C > 2$, où $C$ est la conique circonscrite canonique, donc $a \subset C$, donc $C$ est dégénérée ⌜singulière⌝, donc $\alpha = -2$. Mais le cas $\alpha = -2$ a été examiné : $C = d \cup d'$, $d$ et $d'$ deux droites parallèles distinctes, avec $s_i \in d$ pour $i$ pair, $s_i \in d'$ pour $i$ impair, donc $\mathrm{dr}(s_0, s_1) \cap C = \{s_0, s_1\}$, absurde […].

106Corollaire. Soit $\varphi$ réal. quelconque de $\underline{\Pi}$ polygone combinatoire de degré $N$ ($3 \leq N \leq +\infty$). ⌜Soit $\underline{u}$ un gén. de $\mathrm{Aut}^+(\underline{\Pi})$, $u$ son image dans $\mathrm{Aff}(E)$.⌝ Alors les entiers suivants sont tous égaux :

1)$\operatorname{Card}(S = \operatorname{Im}(\underline{S} \to E))$
2)$\operatorname{Card}(A = \operatorname{Im}(\underline{A} \to \mathrm{Dr}(E)))$
3)$\operatorname{Card}(G^+ = \operatorname{Im}(\mathrm{Aut}^+(\underline{\Pi}) \to \mathrm{Aff}(E)))$
4)Ordre de […] $u \in \mathrm{Aff}(E)$

[…] Cet entier ⌜$n$⌝ est $\geq 3$ et donc un diviseur de $N$ (condition vide si $N = +\infty$) et est $\geq 3$, et c'est aussi le plus grand ⌜petit des⌝ diviseurs ⌜$n$⌝ de $N$ tels que $\varphi$ se factorise par le ⌜polygone⌝ quotient ⌜$\underline{\Pi}_{(n)}$⌝ de $\underline{\Pi}$ d'ordre $n$, et enfin l'unique diviseur $n$ de $N$ tel que $\varphi$ se factorise par le polygone quotient $\underline{\Pi}_{(n)}$ de $\underline{\Pi}$ d'ordre $n$ de façon que la réalisation obtenue de $\underline{\Pi}_{(n)}$ soit fidèle.

un court trait horizontal sépare ce qui suit. Mais il manque une […] ⌜comb.⌝ sur les morphismes ⌜(étales)⌝ de polygones ⌜comb.⌝ (ou plus généralement de […] (…)), nous permettant

107de parler des quotients $\underline{\Pi}_{(n)}$ de $\underline{\Pi}$, pour tout diviseur $n$ de l'ordre $N$ de $\underline{\Pi}$.

le reste de la page est blanc.

Polynômes cyclotomiques

titre pris sur une chemise de papier rose (p. 108), qui porte seulement « Polynômes cyclotomiques » en haut à droite, précédé d'une cote au crayon peu lisible ; la main du titre n'est pas assurée d'être la sienne.

109\[ \begin{array}{l} \mathbb{Z}[T, T^{-1}] \\ \quad \cup \\ \mathbb{Z}(U) \qquad U = T + T^{-1} \end{array} \] il écrit $\mathbb{Z}(U)$ avec des parenthèses ; l'inclusion est un $\cup$ tourné, sous $\mathbb{Z}[T,T^{-1}]$. \[ \Sigma_i(U) = T^i + T^{-i} = U^i + \cdots \qquad (i \geq 0) \] \[ \begin{aligned} F_{2m}(U) &= (1 + T^2 + \cdots + T^{2(m-1)})\, T^{-(m-1)}\\ &= \Sigma_{m-1}(U) + \Sigma_{m-3}(U) + \cdots = U^{m-1} + \cdots \qquad (m \geq 1)\\ F_{2m+1}(U) &= (1 + T + T^2 + \cdots + T^{2m})\, T^{-m}\\ &= \Sigma_m(U) + \Sigma_{m-1}(U) + \cdots = U^m + \cdots \qquad (m \geq 0) \end{aligned} \] \[ \left\{ \begin{aligned} d^\circ(\Sigma_i) &= i\\ d^\circ F_n &= \Bigl[\frac{n-1}{2}\Bigr] = \begin{cases} m-1 & \text{si } n = 2m\\ m & \text{si } n = 2m+1 \end{cases} \qquad n \geq 1 \end{aligned} \right. \] NB On pose $F_0 = 0$, $F_n = -F_{-n}$ si $n < 0$. le signe devant $F_{-n}$ est peu net ; on lit « $= -F_{-n}$ », peut-être « $= F_{-n}$ ». \[ \left\{ \begin{aligned} F_{2m}(2) &= m, & F_{2m}(-2) &= (-1)^{m-1} m\\ F_{2m+1}(2) &= 2m+1, & F_{2m+1}(-2) &= (-1)^m \end{aligned} \right. \] \[ \left\{ \begin{aligned} F_{2m}(U)(T^2 - 1) &= (T^{2m} - 1)\, T^{-(m-1)}\\ F_{2m+1}(U)(T - 1) &= (T^{2m+1} - 1)\, T^{-m} \end{aligned} \right. \] \[ F_n(U) F_{n+1}(U) (T-1)(T^2-1) = (T^n - 1)(T^{n+1} - 1)\, T^{-(n-1)} \] \[ (F_n, F_{n+2}) = (1) \qquad n \geq 1 \quad (\text{et \uncertain{donc} pour } n \in \mathbb{Z}) \] \[ \left. \begin{aligned} X'_n &= F_n F_{n+1} = U^{n-1} + \cdots\\ Y'_n &= F_n F_{n-1} = U^{n-2} + \cdots \end{aligned} \right| \ (\text{déf}) \] $F_0(U) = 0$, $F_1(U) = 1$, $F_2(U) = 1$ ; $F_3(U) =$ […] $U + 1$, $F_4(U) = U$ ; $F_5(U) = U^2 + U - 1$, $F_6(U) = U^2 - 1$ ; $X'_{-1} = 0$, $X'_0 = 0$, $X'_1 = 1$, $X'_2 = U + 1$ la table des premiers $F_n$ et $X'_n$ est dans une colonne à droite, séparée par un trait oblique, à côté de la proposition qui suit. Le signe de $X'_{-1}$ est mal formé.

Prop. $\forall\, n \in \mathbb{Z}$, on a \[ X'_n - U X'_{n-1} + X_{n-2} = 1. \] les primes manquent sur le dernier $X$, comme écrit. […] DPS $n \geq 1$. Si $n = 1$, cela s'écrit $1 - U.0 + 0 = 1$ ok ; si $n = 2$, cas $U + 1 - U(1) + 0 = 1$ ok. Si $n \geq 3$, on écrit \[ F_n F_{n+1} - U F_{n-1} F_n + F_{n-2} F_{n-1} = 1 \] soit, en multipliant par $(T-1)(T^2-1)\, T^{n-1}$ \[ \begin{gathered} (T^n - 1)(T^{n+1} - 1) - T(T + T^{-1})(T^{n-1} - 1)(T^n - 1)\\ + T^2 (T^{n-2} - 1)(T^{n-1} - 1) = \text{\struck{\ill{}}}\ (T-1)(T^2-1)\, T^{n-1} \end{gathered} \] \[ \begin{gathered} T^{2n+1} - T^n - T^{n+1} + 1 - (T^2 + 1)(T^{2n-1} - T^n - T^{n-1} + 1)\\ + T^{2n-1} - T^n - T^{n+1} + T^2 = \text{\uncertain{id}} \end{gathered} \] \[ -T^{2n+1} + T^{n+2} + T^{n+1} - T^2 - T^{2n-1} + T^n + T^{n-1} - 1 \] sous chaque terme il a marqué une croix (termes qui s'annulent) ou un point (termes qui restent). i.e. \[ T^{n+2} - T^{n+1} - T^n + T^{n-1} = (T-1)(T^2-1)\, T^{n-1} \quad \text{ok.} \]

On en conclut par récurrence sur $n \geq 0$ \[ X'_n = X_n \quad \text{i.e.} \quad X_n = F_n F_{n+1} \] puis, comme $X_{-n} = Y_n =$ $X_{n-1}$ […] $= F_{n-1} F_n = F_{-n} F_{-n+1}$ ($n \geq 1$)

110la page est un tapuscrit sans rapport avec les mathématiques ; seules deux lignes de calcul, de sa main, tête-bêche au pied de la feuille, sont transcrites. \[ 1 + T^2 + T^4 = (T^{-2} + T^2) + 1 = U^2 - 1 \] il manque ici le facteur $T^{-2}$ au premier membre : c'est $F_6(U) = U^2 - 1$ de la p. 109. \[ F_{2m+2}(U)(T^2 - 1) = (T^{2(m+1)} - 1)\, T^{-m} \] les indices « $2m+2$ » et « $2(m+1)$ » sont des lectures douteuses : l'encre est écrasée à cet endroit.

111on trouve \[ \left\{ \begin{aligned} X_n &= F_n F_{n+1}\\ Y_n &= X_{n-1} = F_{n-1} F_n \end{aligned} \right. \qquad \Big|\ \forall\, n \in \mathbb{Z} \]

Autre démonstration : on voit par induction sur $n \geq 1$ que $X_n(U)$ est ⌜unitaire⌝ de degré $n-1$ en $U$ (grâce à la relation $X'_n - U X_{n-1} + X_{n-2} = 1$ i.e. $X_n = U X_{n-1} - X_{n-2} + 1$) […] tout comme $X'_n(U)$. D'ailleurs ils ont les mêmes racines dans $\overline{\mathbb{Q}}$ — d'ailleurs celles des $X'_n$ sont les ⌜Considérons les⌝ \[ \begin{aligned} T^{n-1} X_n(U) &= A_n(T)\\ T^{n-1} X'_n(U) &= A'_n(T) \end{aligned} \] une grosse tache d'encre couvre la fin de la seconde formule et le mot suivant. ce sont des polynômes […] unitaires en $T$ à coeff. ⌜dans $\overline{\mathbb{Q}}$⌝, de degré $2(n-1)$. Les racines du deuxième ⌜sont⌝ les racines de les $\xi \in \overline{\mathbb{Q}}$ telles que $\xi^n = 1$ ou $\xi^{n+1} = 1$, $\xi \neq 1$ […], on voit qu'il y en a $2n + 1 - 3 = 2n - 2$ — elles sont distinctes. On a vu que ce sont les racines de $A_n(T)$, d'où l'égalité des deux polynômes ($n \geq 1$).

⌜Matrices⌝ Description des $u^n$. Comme $u^n$ transforme $s_0, s_1, s_{-1}$ en $s_n, s_{n+1}, s_{n-1}$ de coordonnées \[ \text{\struck{\ill{}}}\quad \left\{\begin{array}{l} F_n(\alpha) F_{n+1}(\alpha)\\ F_{n-1}(\alpha) F_n(\alpha) \end{array}\right.,\quad \left\{\begin{array}{l} F_{n+1}(\alpha) F_{n+2}(\alpha)\\ F_n(\alpha) F_{n+1}(\alpha) \end{array}\right.,\quad \left\{\begin{array}{l} F_{n-1}(\alpha) F_n(\alpha)\\ F_{n-2}(\alpha) F_{n-1}(\alpha) \end{array}\right., \] les indices de la troisième accolade sont surchargés ; on lit $F_{n-1}F_n$ et $F_{n-2}F_{n-1}$, sous réserve. sa matrice est \[ u^n = \begin{pmatrix} F_{n+1}(\alpha)(F_{n+2}(\alpha) - F_n(\alpha)) & & F_n(\alpha) F_{n+1}(\alpha)\\ F_n(\alpha)(F_{n+1}(\alpha) - F_{n-1}(\alpha)) & & F_{n-1}(\alpha) F_n(\alpha)\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] toute cette première matrice est biffée de grandes boucles (on la donne ici sans la marque de biffure, qu'une matrice ne peut porter) ; la colonne du milieu y est illisible. \[ u^n = \begin{pmatrix} F_{n+1}(\alpha)(F_{n+2}(\alpha) - F_n(\alpha)) & F_n(\alpha)(F_{n-1}(\alpha) - F_{n+1}(\alpha)) & F_{n+1}(\alpha) F_{n+1}(\alpha)\\ F_n(\alpha)(F_{n+1}(\alpha) - F_{n-1}(\alpha)) & F_{n-1}(\alpha)(F_{n-2}(\alpha) - F_n(\alpha)) & F_{n-1}(\alpha) F_{n+1}(\alpha)\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] les indices de la troisième colonne sont surchargés et douteux (on lit $F_{n+1}F_{n+1}$ et $F_{n-1}F_{n+1}$) ; au deuxième coefficient de la deuxième ligne, une barre verticale traverse la parenthèse.

112Théorème. Soient $k$ un anneau, $\alpha \in k$, d'où $u_\alpha : k^2 \to k^2$ ⌜automorphisme⌝ transformation affine \[ u_\alpha(x, y) = (1 - y + \alpha x,\ x) \] satisfaisant, […] posant $s_n = u_\alpha^n(s_0)$ (où $s_0 = (0,0)$) \[ \begin{aligned} &\text{\struck{$u_\alpha(s_0)$}}\\ s_1 &= u_\alpha(s_0) = (1, 0)\\ s_{-1} &= u_\alpha^{-1}(s_0) = (0, 1) \quad \text{i.e.}\ u_\alpha(0,1) = (0,0). \end{aligned} \] Soit $n \in \mathbb{Z}$. Conditions équivalentes

a)$u_\alpha^n = \mathrm{id}$
b)$s_n = s_0$ i.e. $u_\alpha^n s_0 = s_0$
b$_i$)(où $i \in \mathbb{Z}$ fixé) $u_\alpha^n s_i = s_i$
d)$F_n(\alpha) = 0$

une grande accolade, à gauche, réunit l'énoncé ; les conditions sont lettrées a), b), b$_i$), d) — il n'y a pas de c), mais la conclusion « a $\iff$ b $\iff$ c » ci-dessous désigne visiblement b$_i$).

a $\Rightarrow$ b trivial

b $\Rightarrow$ a car b) implique $u_\alpha^n s_i = s_i$ $\forall\, i$, ⌜(en multipliant par $u_\alpha^i$)⌝ en particulier si $i = \pm 1$ on trouve \[ \left\{ \begin{aligned} u_\alpha^n(s_{-1}) &= s_{-1}\\ u_\alpha^n(s_1) &= s_1 \end{aligned} \right. \] d'où $u_\alpha^n = \mathrm{id}$

b) $\Rightarrow$ b$_i$) en multipliant par $u_\alpha^i$

b$_i$) $\Rightarrow$ b) idem, par $u_\alpha^{-i}$

donc a $\iff$ b $\iff$ c

Comme $s_n = (F_n(\alpha) F_{n+1}(\alpha),\ F_{n-1}(\alpha) F_n(\alpha))$, on voit que d) $\Rightarrow$ b) i.e. $F_n(\alpha) = 0 \Rightarrow s_n = s_0$ $(= (0,0))$. Inversement, si $F_n(\alpha) F_{n+1}(\alpha) = 0$, $F_n(\alpha) F_{n-1}(\alpha) = 0$, il s'ensuit $F_n(\alpha)(a F_{n-1}(\alpha) + b F_{n+1}(\alpha)) = 0$ $\forall\, a, b \in k$. Or $\exists\, A_n(U), B_n(U) \in \mathbb{Z}[U]$ tels que \[ A_n(U) F_{n-1}(U) + B_n(U) F_{n+1}(U) = 1, \] d'où, faisant $a = A_n(\alpha)$, $b = B_n(\alpha)$, la relation $F_n(\alpha) = 1$, cqfd… lire sans doute « $F_n(\alpha) = 0$ » : c'est ce que donne le calcul et ce qu'il faut pour d). Le premier coefficient de Bézout est écrit $A(U)$, avec un indice $n$ ajouté ensuite.

113NB On peut prendre \[ \left\{ \begin{aligned} B_n(U) &= F_n(U),\\ A_n(U) &= F_{n-2}(U) - U F_{n-1}(U) \end{aligned} \right. \] les lettres $B$ et $A$ sont écrites en surcharge (sur $A$ et $B$ respectivement, semble-t-il) ; l'indice du premier $F$ de la seconde ligne est peu net. Le reste de la page est blanc.

114$T^n - 1$ \[ \Phi_n(T) = \prod_{\substack{\xi \text{ d'ordre } n\\ \text{dans } \overline{\mathbb{Q}}}} (T - \xi) \] polynôme ⌜$\in \mathbb{Z}[T]$⌝ unitaire de degré $\varphi(n) = \operatorname{card}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ \[ \varphi(\underbrace{p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}}_{n}) = \prod_i \varphi(p_i^{\alpha_i}) = \prod_i \bigl(p_i^{\alpha_i} - p_i^{\alpha_i - 1}\bigr) = n \prod_i \Bigl(1 - \frac{1}{p_i}\Bigr) \] \[ T^n - 1 = \prod_{\substack{d \in \mathbb{N}^*\\ d \mid n}} \Phi_d \] donc \[ \Phi_n = (T^n - 1) \Big/ \prod_{\substack{d \in \mathbb{N}^*\\ d \mid n,\ d \neq n}} \Phi_d \]

Si $k$ est un corps de car. $p \nmid n$ (donc les racines de $T^n - 1 = 0$ y sont distinctes…) alors les racines de $\Phi_n(T) = 0$ dans $k$ sont les racines primitives $n$-ièmes de 1 dans $k$.

Ainsi si […] ⌜on a⌝ une réalisation géom. ⌜rég.⌝ de $\underline{\Pi}_\infty$ sur $k$ donnée par $\alpha$ tel que $\alpha = \xi + \xi^{-1}$, pour qu'elle se factorise en une réalisation géom. fidèle de $\underline{\Pi}_n$, sur $k$, ⌜lorsque $n \geq 3$,⌝ il faut et il suffit qu'on ait $\Phi_n(\xi) = 0$ i.e. $\Psi_n(\alpha) = 0$, où $\Psi_n \in \mathbb{Z}(U)$ est défini par \[ \Psi_n(T + T^{-1}) = T^{-\varphi'(n)}\, \Phi_n(T) \qquad \varphi'(n) = \tfrac{1}{2}\varphi(n) \ \text{si } n \geq 3 \]

Donc si $n$ ⌜$\geq 3$⌝ n'est ni premier, ni double d'un […] nb premier (donc $n = 8, 9, 12, 15, 16, \ldots$) alors l'anneau modulaire pour les réalisations géom. fidèles la phrase est interrompue ; sous elle, isolé, « $\frac{\varphi(n)}{2}$ ». La moitié inférieure de la feuille porte, tête-bêche et barré, un début de lettre sans rapport avec les mathématiques, qu'on ne transcrit pas.

115de $\underline{\Pi}_n$ (pol. comb. à $n$ côtés), est \[ k'_n = \mathbb{Z}[\tfrac{1}{n}][U] / \Psi_n(U) \] $\alpha'_n \in k'_n$ étant l'image canonique de $U$.

Si $n = p$ ($p$ premier ⌜impair⌝ […]), et $k$ corps de car. $\neq p$, des […] du polygone régulier à $p$ côtés dont […] est $\neq 2$, le polygone cyclotomique $\Phi_{2p}(T) = \Phi_p(-T) = \ldots T^{p-1} - T^{p-2} \ldots + 1$ En car. $p$, ses solutions sont […] confondues, et égales à $1$ (celles de $\Phi_p$ étant égales à $1$) donc les solutions de $\Psi_p$ […] égales à $1$ ; les racines de $\Phi_p(T) = T^{p-1} + \cdots + 1$ […] […] égales à $1$ donc les racines de $\Psi_p(T)$ sont […] égales à $2$. Donc si $\alpha =$ […], la représentation de $\Psi_p(U)$ ($= F_p(U)$ ici !) égale à $2$. tout ce passage est encadré, rayé de longues obliques et d'une ligne en zigzag ; la lecture en est très incertaine. Au-dessus de la troisième ligne, également biffé : « D'ailleurs […] impair ». ⌜dont celle de⌝ toute réalisation géom. régulière de $\underline{\Pi}_p$ sur un corps est fidèle — d'ailleurs ailleurs on trouve \[ \Phi_p(T) = \frac{T^p - 1}{T - 1} = T^{p-1} + \cdots + 1 \] \[ \Psi_p(U) = F_p(U) \] et on trouve l'anneau modulaire \[ k'_p = \mathbb{Z}[U] / \Psi_p(U) = \mathbb{Z}[U] / F_p(U) \]

Supposons enfin que $n = 2p$ ($p$ premier). Si $p$ impair, on a […] les $\xi \in \overline{\mathbb{Q}}$ à la fois $\xi^2 \neq 1$, $\xi^p = 1$ ⌜donc⌝ les racines de $\Phi_{2p}(T) = 0$ […] les $\xi$ tels que $\xi^{2p} = 1$ dans $\xi \in \overline{\mathbb{Q}}$ tels que \[ \xi^2 \neq 1,\ \xi^p \neq 1 \quad \text{sont \uncertain{aussi}} \quad (\xi^2)^p = 1,\ \xi^2 \neq 1 \] le bas de la page est rayé de grandes boucles et surchargé : on y lit encore, biffés, « $(T^{2p} - 1)$ », « $(T - 1)(T^{p} - 1)$ », « $\xi^{2p} = 1$ », « $\xi^p \neq 1$ », « $\xi^p$, $\xi^{p} = 1$ ». La suite manque.

116on trouve \[ \Phi_{2p}(T) = \Phi_p(-T) = T^{p-1} - T^{p-2} + \cdots + 1 \] \[ \text{\struck{\ill{}}}\quad \Psi_{2p}(U) = \Psi_p(-U)\,(-1)^{\frac{p-1}{2}} \] en car. $p$, les solutions ⌜racines de⌝ […] $\Phi_{2p}(T)$ sont égales à $-1$, donc celles de $\Psi_{2p}$ sont égales à $-2$, qui est bien l'invariant du pol. régulier à $2$ côtés. Donc en toute car. $\neq 2$, la condition nécessaire et suffisante pour que […] l'inv. $\alpha$ définisse un pol. régulier à $2p$ côtés est $\Psi_{2p}(\alpha) = 0$. L'anneau modulaire est donc \[ k'_{2p} = \mathbb{Z}[\tfrac{1}{2}][U] / \Psi_{2p}(U). \] « nécessaire et suffisante » : le mot est abrégé (« n. et s. »), lecture douteuse.

Reste enfin le cas $n = 4$ ($= 2.p$ avec $p$ pair). Ici $\Phi_4(T) = T^2 + 1$, $\Psi_4(U) = U$ ⌜$= F_4(U)$⌝, en car. 2, les ⌜seuls⌝ zéros de $\Psi_4$ est $0 = -2$, donc qui définit bien le carré en car. 2. Donc ici \[ k'_4 = \mathbb{Z}[U] / U \simeq \mathbb{Z} \] i.e. il existe (à un isom. unique près) une réalisation géom. régulière de $\underline{\Pi}_4$ et une seule sur un anneau […] donné, et celle-ci est […] fidèle quand l'anneau est un corps…

117Proposition. Soient $p$ nb premier, $r \geq 0$ un entier, $n' \geq 1$ avec $(p, n') = 1$, $n = p^r n'$. Alors […] \[ \Phi_n(T) \equiv \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \mod p \]

Récurrence sur $r + n' \geq 1$. Si $r + n' = 1$ i.e. $r = 0$, $n' = 1$, c'est trivial (NB $\varphi(1) = 1$). Si $r + n' \geq 2$, on aura pour tout diviseur $\delta \geq 1$ de $n = p^r n'$, donc $\delta = p^s d$ ($0 \leq s \leq r$, $1 \leq d \mid n'$) si $\delta \neq n$ i.e. $(s, d) \neq (r, n')$ i.e. $s + d < r + n'$, par hyp. de récurrence \[ (1) \qquad \Phi_\delta(T) = \Phi_{p^s d}(T) \equiv \Phi_d(T)^{\varphi(p^s)} \] tandis que pour $\delta = n$ on écrira \[ (2) \qquad \text{\struck{$\Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)}$}}\ \Phi_n(T) = \Phi_{p^r n'}(T) \equiv \text{\struck{$\Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)}\, \lambda(T)$}}\ \text{\add{$[\Phi_n(T)]$}} \] la formule (2) a été corrigée en place : la partie de droite d'abord écrite est entourée et barrée, « $[\Phi_n(T)]$ » est écrit au-dessus ; le facteur de gauche est encadré et barré. Telle qu'elle reste, (2) se réduit à $\Phi_n(T) \equiv \Phi_n(T)$. \[ \text{\struck{où $\lambda(T) = \dfrac{\Phi_n(T)}{\Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)}}$}} \]

Multipliant les relations (1) entre elles et avec (2), on trouve \[ \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \underbrace{\prod_{\delta \mid n} \Phi_\delta(T)}_{(T^n - 1)} \equiv \underbrace{\Bigl(\prod_{\substack{0 \leq s \leq r\\ 1 \leq d \mid n'}} \Phi_d(T)^{\varphi(p^s)}\Bigr)}_{\prod_{0 \leq s \leq r} \bigl(\prod_{1 \leq d \mid n'} \Phi_d(T)\bigr)^{\varphi(p^s)}} \Phi_n(T) \] \[ \Bigl(\prod_{1 \leq d \mid n'} \Phi_d(T)\Bigr)^{\varphi(p^s)} = (T^{n'} - 1)^{\varphi(p^s)} \] il souligne le $s$ des bornes « $0 \leq s \leq r$ » ; la dernière égalité est écrite comme accolade sous le produit intérieur.

118d'où \[ \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} (T^n - 1) \equiv \text{\struck{\ill{}}}\ (T^{n'} - 1)^{\sum_{s=0}^{r} \varphi(p^s)}\, \Phi_n(T) \] et comme \[ \sum_{s=0}^{r} \varphi(p^s) = 1 + (p - 1) + (p^2 - p) + \cdots + (p^r - p^{r-1}) = p^r, \] on trouve \[ \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} (T^n - 1) \equiv (T^{n'} - 1)^{p^r}\, \Phi_n(T) \] Or \[ T^n - 1 = (T^{n'})^{p^r} - (1)^{p^r} \equiv (T^{n'} - 1)^{p^r} \] […] Donc divisant par $(T^{n'} - 1)^{p^r}$, on trouve \[ \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} = \Phi_n(T) \] cqfd. les deux $\Phi$ de la dernière formule portent des indices mal formés ; on lit $\Phi_{n'}$ à gauche, $\Phi_n$ à droite, comme l'exige l'énoncé de la p. 117.

Corollaire. Soient $k$ un corps de car. $p > 0$, $n$ un entier $\geq 3$, $\geq 1$, $\alpha \in k$ une racine du polynôme semi-cyclotomique $\Psi_n$, i.e. \[ \Psi_n(\alpha) = 0 \] Soit ⌜$p^r$ ($r \geq 0$)⌝ $r \geq 0$ tel que la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$, donc \[ n = p^r n', \qquad (p, n') = 1. \] Alors le polygone régulier d'invariant $\alpha$ est d'ordre égal à $n'$ si $n' \geq 3$, i.e.

119$n' \neq 1, 2$, d'ordre $2p$ si $n' = 2$ (donc $p \neq 2$ !), d'ordre $p$ si $n' = 1$.

Dém. Posons en effet $\alpha = \xi + \xi^{-1}$, où $\xi$ appartient à un surcorps de $k$. La relation $\Psi_n(\alpha) = 0$ signifie $\Phi_n(\xi) = 0$, et équivaut aussi, grâce à la proposition, à $\Phi_{n'}(\xi) = 0$, si i.e. $n' \geq 3$, i.e. ⌜$\xi$ est⌝ une racine de 1 d'ordre $n'$. Si cela signifie que $\Psi_{n'}(\alpha) = 0$ donc que $n' \geq 3$, cela signifie que l'ordre du polygone géométrique régulier d'invariant $\alpha$ est égal à $n'$ ; si $n' = 2$, que son ordre est $2p$, si $n' = 1$ que son ordre est $p$, cqfd.

le reste de la page est blanc.

120$\varphi$ Si $n = \prod p_i^{r_i}$, $\varphi(n) = \prod (p_i^{r_i} - p_i^{r_i - 1})$

$\varphi(p^r) \geq 6$ sauf si \[ \begin{array}{r|c|c|c||c||c} p^r = & 2 & 4 & 8 & 3 & 5\\ \hline \varphi(p^r) = & 1 & 2 & 4 & 2 & 4 \end{array} \]

\[ \left. \begin{array}{ll} \text{Cas } \varphi(n) = 1 & n = 1, 2\\ \bigl[\text{si } n \geq 3,\ \varphi(n) \text{ est \textit{pair}}\bigr] & \\ \text{Cas } \varphi(n) = 2 & n = 4, 3, 6 \end{array} \right\} \ \text{Cas } \alpha \text{ entier} \] \[ \left. \text{Cas } \varphi(n) = 4 \quad \left\{ \begin{array}{ll} n = p^r & n = 8,\ n = 5\\ n = p^r q^s & 2.5 = 10 \qquad 4.3 = 12 \end{array} \right. \right\} \ \text{Cas } \alpha \text{ quadratiques} \] \[ \begin{array}{c|c|c|c||c|c||} n & 1 & 2 & 4 & 3 & 6\\ \hline \alpha & 2 & -2 & 0 & -1 & +1 \end{array} \] \[ \begin{array}{c|c||c||c|c||} n & 8 & 12 & 5 & 10\\ \hline \alpha & \pm\sqrt{2} & \pm\sqrt{3} & \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} & \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\\ & \alpha^2 - 2 = 0 & \alpha^2 - 3 = 0 & \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 & \alpha^2 - \alpha - 1 = 0 \end{array} \]

Cas $\alpha$ cubiques $\varphi(n) = 6$ \[ \begin{aligned} n &= p^r & \varphi(n) &= p^r - p^{r-1} = 6\\ n &= p^r q^s & &\{p^r = 2,\ q^s = 9, 7\} \end{aligned} \] On doit avoir $p \neq 2$ (car $2^r - 2^{r-1} = 2^{r-1}$) ; […] si $r = 1 \Rightarrow p = 7$ ; si $r \geq 2$, $p \mid 6$ donc $p = 3$, on trouve $r = 2$. \[ \begin{array}{c|c|c|} n & 9 & 7\\ \hline \alpha & \alpha^3 - 3\alpha + 1 = 0 & \alpha^3 + \alpha^2 - 2\alpha - 1 = 0 \end{array} \] dans la case de $7$ il écrit d'abord « $\alpha^3 - 2\alpha \ldots - 1 = 0$ », puis insère « $+ \alpha^2$ », qu'une boucle remonte après $\alpha^3$. (exemples d'équations du […] par radicaux connus)… 3e degré non résolubles une flèche, au crayon, mène de ce tableau au suivant, ajouté au crayon en bas à droite. \[ \begin{array}{c|c|c|} n & 18 & 14\\ \hline \alpha & \alpha^3 - 3\alpha - 1 = 0 & \alpha^3 - \alpha^2 - 2\alpha + 1 = 0 \end{array} \] au bas de la page, un signe isolé suivi d'une flèche, […] ; l'argument se poursuit peut-être au-delà du lot.