3. Points fixes de \sigma_0, \sigma_1, centre de la réal. géom.

(26) \begin{cases} \sigma_0(x,y) = (1 - x + \alpha y, y) \\ \sigma_1(x,y) = (y,x) \\ u(x,y) = \sigma_0 \sigma_1(x,y) = (1 - y + \alpha x, x) \end{cases}

à droite, un croquis : la ligne brisée s_{-1}, s_0, s_1, s_2 et, en tirets, les axes de \sigma_1 (par s_0) et de \sigma_0 (entre s_0 et s_1).

Points fixes de \sigma_0 :

(27) H_0 : \quad 2x - \alpha y - 1 = 0 c'est une droite, sauf pour p = 2, \alpha = 2 (cas du carré en car. 2) où on trouve H_0 = \emptyset. Mais passant en coordonnées hom., on trouve encore une droite z = 0 : la droite à l'infini (Dans ce cas, \sigma_0 est la translation par e_1)

Points fixes de \sigma_1

(28) H_1 : \quad x - y = 0 c'est une droite

NB Un automorphisme affine d'un plan affine tel que l'ens. des points fixes est une droite est appelé une réflexion affine. On voit donc que les cas « propres » de la proposition précédente est caractérisé aussi par la condition

(iv''') \sigma_0 est une réflexion affine, ou une translation (dans le (ce dernier cas dans le seul cas p = 2, \alpha = 0 i.e. carré en car. 2, et alors \sigma_0 est encore une réflexion projective…)

(iv^{\text{iv}}) \sigma_{0V} est une réflexion, \neq l'identité ()

NB Dans le cas impropre, \sigma_{0E} est la sym. p.r. à un pt (car. \neq 2), \sigma_{0V} est la symétrie v \mapsto -v.

Points fixes sous G = pts fixes sous G^+ = pts fixes sous u :

(29) x_0 = y_0 = \frac{1}{2-\alpha} (qui existe ssi \alpha \neq 2, et est unique)

terminologie : le centre de la réalisation de \Pi_\infty …

4. Valeurs propres de u_V. Comparaison avec les …

(30) u_V = \begin{pmatrix} \alpha & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

(31) \begin{cases} \det u_V = 1 \\ \operatorname{Tr} u_V = \alpha \end{cases} avant l'accolade, un \det biffé.

équation aux valeurs propres (\zeta \in \bar{k})

(32) \zeta^2 - \alpha\zeta + 1 = 0 discriminant

(33) \Delta(\alpha) = \alpha^2 - 4 = (\alpha - 2)(\alpha + 2) d'un tel \zeta, on trouve

(33) \alpha = \zeta + \zeta^{-1} le numéro (33) est écrit deux fois.

(NB \zeta, \zeta' de cette équation satisfont

(34) \begin{cases} \zeta + \zeta' = \alpha \\ \zeta\zeta' = 1 \end{cases} \quad \text{i.e.} \quad \zeta' = \zeta^{-1} .

On retrouve encore une fois que ici coïncide avec ce que nous avions appelé (dans le cas des n-polygones réguliers avec n premier à la car. p) « l'invariant numérique » dudit. Cependant ici le cas d'une racine double

(35) \zeta = \zeta' \quad \text{i.e.} \quad \zeta^2 = 1 \quad \text{i.e.} \quad \zeta = \pm 1 n'est pas exclu, il correspond au cas

(36) \alpha = \pm 2 \quad \text{ou encore} \quad \Delta(\alpha) = 0 (\alpha = 2 correspond à \zeta = 1, \alpha = -2 à \zeta = -1, les deux cas venant à se confondre ssi p = 2).

Cela tient compte précisément des 2 seules valeurs de \zeta que nous avions été obligés d'exclure, pour définir une repr. géom. \varphi^{\zeta} = (\varphi^{\zeta}_0, \varphi^{\zeta}_1) de \Pi_\infty ! [Le cas \zeta = 1, \alpha = 2 est également distingué comme le seul cas où il n'y ait pas de centre à distance finie….] les indices et exposants de \varphi^{\zeta} sont mal formés ; la forme donnée est une lecture.

5. Étude des cas

NB On retrouve, pour \alpha \neq \pm 2 i.e. \zeta \neq \pm 1, du moins si \zeta \in k, la représentation \varphi^{\zeta} de \Pi_\infty. (Donc les seuls cas nouveaux (sur k alg. clos) sont précisément les cas \alpha = \pm 2 (i.e. \zeta = \pm 1) qu'on avait été amené précédemment à exclure. Nous allons les étudier séparément au § suivant. Notons dès à présent que, même si on décidait (à tort !) ces deux cas, les considérant comme trop « exotiques », les dédaignant en conséquence, ils y reviendraient indirectement, car a) ils sont valables pour tt corps, et même sur les anneaux, de base k, et b) ils pas seulement pour k alg. clos, et b) ils permettent de suivre la variation de \varphi(\alpha) en termes des paramètres \alpha, intrinsèques.

5) Étude par cas

I) \Delta(\alpha) \neq 0 i.e. \alpha \neq \pm 2 (« cas ordinaire »)

Étendant au besoin le corps de base k en k(\zeta) = k(\zeta'), et rapportant maintenant E au système de coordonnées de centre 0, ayant comme axes les droites propres de u D_\zeta et D_{\zeta'}, et pour lesquelles s_0 est de coordonnées (1,1), on trouve par un argument déjà fait le cas-type \Pi_\zeta (où \zeta n'est pas nécessairement une racine de 1). Il y a une forme quadratique (non ) invariante, canonique à un scalaire multiplicatif près, qu'on normalise en exigeant que sa valeur en les sommets de la représentation \Pi_\zeta soit égale à 1… L'image \Pi_\zeta est un polygone géométrique, dont le nombre de côtés, égal à l'ordre de \zeta, est (éventuellement quand il est fini) premier à la caractéristique.

II) \alpha = -2 \begin{array}{l} \text{\struck{$\sigma_0(x,y) = (1 - x - 2y, y)$}} \\ \text{\struck{$u_0(x,y) = (1 - y - 2x, x)$}} \\ \text{\struck{$u_0^2(x,y) = (1 - x - 2(1 - y - 2x),$}} \\ \text{\struck{$1 - y - 2x) = (-1 + 3x \ldots$}} \end{array} On ici \alpha \neq 2 (i.e. p \neq 2), de sorte que l'on a encore existence d'un centre O. tout ce cas II est encadré et barré de traits obliques ; il est repris p. 94.

II Considérons le cas \alpha = \pm 2, donc \zeta = \pm 1. On aura pour la partie homogène u_0 de u u_0 = \varepsilon(\mathrm{id} + v_0), \qquad \varepsilon = \pm 1, \quad v_0^2 = 0 i.e. v_0 = \varepsilon u_0 - \mathrm{id} De façon explicite \begin{array}{l} u(x,y) = (1 - y + 2\varepsilon x, x) \\ u_0(x,y) = (-y + 2\varepsilon x, x) \\ v_0(x,y) = (x - \varepsilon y, \varepsilon(x - \varepsilon y)) = (x - \varepsilon y)(1, \varepsilon) \\ \phantom{v_0(x,y)} = a'(z)\, a \end{array} devant a'(z) une lettre surchargée, illisible. i.e. a' \in \check{V}, a \in V, \begin{cases} a'(x,y) = x - \varepsilon y \\ a = (1, \varepsilon) \end{cases}

page de calculs de brouillon, d'une encre plus sombre ; on en donne les formules dans l'ordre de la page. \begin{array}{l} u^2 = (1 - x + \alpha(1 - y + \alpha x), 1 - y + \alpha x) \\ \phantom{u^2} = ((1+\alpha) + (\alpha^2 - 1)x - \alpha y, 1 + \alpha x - y) \end{array} = (1 + 3x + 2y, 1 \ldots 3 + 3x - 3y, \; 1 + 2x - y x = y \qquad 2x = \alpha y \qquad \alpha \neq 2 \qquad \begin{cases} \sigma_1(X,Y) = (Y,X) \\ \sigma_0(X,Y) = (-X + \alpha Y, Y) \\ u(X,Y) = (-Y + \alpha X, X) \end{cases} \alpha = -2 u(X,Y) = u = -(1 + v), \qquad v = -1 - u \begin{array}{l} u(X,Y) = (-Y - 2X, X) \\ v(X,Y) = (X + Y, -(X + Y)) \end{array} \qquad v^2 = 0 la ligne de v est corrigée sur la page (des signes surchargés, une parenthèse biffée). \begin{cases} u^2 = 1 + 2v = \begin{pmatrix} 1 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ldots \end{cases} à gauche, deux axes et une droite oblique par l'origine. \begin{cases} \sigma_1(x,y) = (y,x) \\ \sigma_0(x,y) \end{cases} \qquad u_V = \varepsilon(1 + v), \quad \varepsilon = \pm 1 \begin{array}{l} u(X,Y) = (-Y + 2\varepsilon X, X) = \varepsilon( \ldots \\ u_V = \varepsilon(\mathrm{id} + v) \qquad v = \varepsilon u_V - \mathrm{id} \end{array} v(X,Y) = (X - \varepsilon Y, \varepsilon(X - \varepsilon Y)) = (X - \varepsilon Y) \cdot (1, \varepsilon) \qquad X = \varepsilon Y X - \varepsilon Y et \varepsilon(X - \varepsilon Y) sont surmontés de X' et Y' ; suivent plusieurs essais biffés, dont X' = \varepsilon Y' et X' - \varepsilon Y' = 0. \begin{array}{l} (X + Y, -(X + Y)) \\ (X - Y, -X - Y) \end{array}

le feuillet 93, non transcrit, est une lettre dactylographiée datée de Paris, 10 novembre 1977, adressée à A. Grothendieck ; c'est un terme a quo pour ces pages, compatible avec la datation de l'inventaire.

I) \alpha \neq \pm 2 (valeurs propres distinctes de u_V, existe centre)

Sur l'extension finie extension k' de k Si k contient les racines \zeta, \zeta' = \zeta^{-1} de l'équation aux valeurs propres, alors on est isom. à \Pi_\zeta \varphi_\zeta … Ordre de u_V est égal à celui de u, ou encore : celui de \zeta

III) \alpha = -2, \alpha \neq 2

II) Cas \alpha = \pm 2 i.e. valeurs propres confondues

II) \alpha =

II) Cas \alpha = -2, \alpha \neq 2 il y a u = ces quatre départs sont biffés, ainsi que la matrice qui suit u =, de lignes (-2, -1, 1), (1, 0, 0), (0, 0, 1) ; son premier coefficient est surchargé.

II) \alpha = -2 \zeta = \zeta' = -1 u_V^2 = \mathrm{id} u_V^2 = transvection d'ordre p, u_V d'ordre 2p, u_E d'ordre 2p si p \neq 2 (car \exists centre)

Mais contradiction si p = 2. En effet, on a alors \alpha = -2 = 0, or le cas \alpha = 0 est celui du carré (\zeta^2 = -1 …) \begin{array}{l} u(x,y) = (1 - y, x) \\ u^2(x,y) = (1 - x, 1 - y) \\ u^4(x,y) = (x, y) \quad \text{---} \end{array} devant u(x,y), un \sigma_0(x,y) biffé.

Si p \neq 2, i.e. \alpha \neq 2, on trouve, en prenant \begin{cases} X = x - \frac{1}{2-\alpha} \\ Y = y - \frac{1}{2-\alpha} \end{cases} le signe devant \frac{1}{2-\alpha} est un pâté ; le moins est celui qu'impose le centre (29). \begin{cases} \sigma_0(X,Y) = (-X + \alpha Y, Y) \\ \sigma_1(X,Y) = (Y, X) \\ u(X,Y) = (-Y + \alpha X, X) = -(\mathrm{id} + a' \otimes a)(X,Y) \end{cases} a'(X,Y) = X + Y \qquad a = (1, -1)

à gauche, un croquis : les axes, la droite D de direction a portant s_0 et -s_0, une flèche a, et le point -s_0' = -(s_0 + \frac{1}{2}a). s_0 = \left(\frac{1}{2-\alpha}, \frac{1}{2-\alpha}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right) devant la parenthèse, un X biffé. \begin{array}{l} u = -(\mathrm{id} + v_0) \\ u^2 = \mathrm{id} + 2 v_0 \end{array} \begin{cases} u^{2n} = \mathrm{id} + 2n v_0 \\ u^{2n+1} = -(\mathrm{id} + (2n+1) v_0) \end{cases} s_{2n} = s_0 + 2n\, \underbrace{v_0(s_0)}_{(\frac12, -\frac12)} = s_0 + n \underbrace{(1,-1)}_{a} = s_0 + na s_{2n+1} = -(s_0 + (2n+1) v_0(s_0)) = -s_0 - \left(n + \tfrac12\right) a \phantom{s_{2n+1}} = \left(-s_0 - \tfrac12 a\right) - na les deux signes moins de la dernière ligne sont des pâtés ; ils sont lus d'après le calcul.

III) \alpha = +2 (Pas de centre) \zeta = \zeta' = +1

u_V = \mathrm{id} + v_0 v_0 = a' \otimes a \neq 0, v_0^2 = 0

u_V d'ordre p

Je dis que u_E d'ordre p, sauf si p = 2 (déjà traité, où on trouve 2p = 4)

u_{\hat E} Du point de vue de l'enveloppe vectorielle \begin{array}{l} u_E = \mathrm{id} + w \qquad w^3 = 0 \\ u_E^p = \mathrm{id} + w^p \qquad p \geq 3 \text{ --- } \ldots \end{array} dans la seconde ligne, un coefficient p biffé devant w^p, puis quelques signes biffés illisibles ; après le tiret, un mot . Au-dessus de la ligne suivante, p = 2 on trouve est biffé.

[Pour p = 2, on trouve u_E^2 = \mathrm{id} + w^2 \neq \mathrm{id} car w^2 \neq 0]

6) formes quadratiques invariantes.

On s'intéresse aux expressions f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 + ux + vy + d polynomiales de degré \leq 2 sur E, qui correspondent aux formes quadratiques sur l'enveloppe vectorielle \hat{E} de E. On cherche celles qui sont invariantes par G = \operatorname{Aut} \Pi, i.e. par \sigma_0, \sigma_1. Il y a les constantes, donc on est ramené à voir les conditions pour que f soit inv. l'expression sans terme constant f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 + ux + vy soit invariante. L'invariance par \sigma_1 signifie que f(x,y) est symétrique en x, y a = c, \quad u = v \quad \text{i.e.} f(x,y) = a(x^2 + y^2) + bxy + u(x + y) et prenant en explicit l'invariance par \sigma_0, on trouve f = a f_\alpha \boxed{f_\alpha(x,y) = (x^2 - x) + (y^2 - y) - \alpha xy} la lettre f de cette page est tracée surchargée, comme une capitale ; l'indice de f_\alpha est lu \alpha.

NB Les fonctions f (p.l. de degré \leq 2) nulles sur S invariantes par G sont les multiples de f_\alpha ci-dessus.

Les fonctions 1, f_\alpha forment une base sur k de l'ens. des fonctions pl. de degré \leq 2 inv. par G. Parmi ces fonctions, f_\alpha est caractérisée par les fonctions conditions

a) f_\alpha nulle sur S

b) La « partie homogène » f_0 de f satisfait f_0(s_i - s_{i-1}) = 1 \qquad \forall i [NB f_0(X,Y) = X^2 + Y^2 - \alpha XY donc f_0(1,0) = 1 \; ]

[ conique circonscrite (canonique) C(f_\alpha) définie par f = 0 (indépendante de la normalisation). On vérifie que si \alpha \neq 0, 1 (i.e. cas des polyg. réguliers à n \geq 5 côtés) c'est la seule conique circonscrite] cette note marginale est écrite en remontant le long du bord gauche ; l'ordre des lignes est restitué.

7) Le discri Discriminant de f_0

Le discriminant de f_0 est \delta(f_0) = 4 - \alpha^2 = (2 - \alpha)(2 + \alpha) avant 4 - \alpha^2, une première valeur biffée, illisible. qui est nul ssi \alpha = \pm 2 : la quadrique définie par f_0 est non dég. ssi on a \alpha \neq \pm 2, i.e. ssi on est dans le cas « ordinaire ». On aura f_0(X,Y) = (Y - \zeta X)(Y - \zeta' X) où \zeta, \zeta' sont les solutions de l'équation aux valeurs propres. Les « droites directions isotropes »

(sur une extension k' de k contenant \zeta, \zeta') sont les droites homogènes Y - \zeta X = 0 \qquad Y - \zeta' X = 0 qui sont aussi les droites propres sous u_0 (\quad u_0(X,Y) = (-Y + \alpha X, X) \quad ) [ce qui correspond au fait que u_0 est une () rotation pour f_0, si f_0 est non dég. i.e. \alpha \neq \pm 2]

Dans le cas \alpha = \pm 2, ces deux directions sont confondues ; pour \alpha = -2, \zeta = \zeta' = -1, on trouve la direction X + Y = 0 qui intervenait déjà comme privilégiée dans l'étude du « cas II ». Pour \alpha = 2, \zeta = \zeta' = 1, c'est la direction X = Y, on va l'examiner plus en détail plus bas.

8) Discriminant direct de f. La matrice de f est \begin{pmatrix} 2 & -\alpha & -1 \\ -\alpha & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} le dernier coefficient est surchargé ; la lecture 0 est celle du terme constant nul de f_\alpha, et elle donne le discriminant qui suit. son discriminant est égal à \delta = 2\delta' \qquad \delta' = -(\alpha + 2)

donc f est régulière ssi on a \alpha \neq -2. Dans ce cas, la conique circonscrite C(f_\alpha) est non sing.

On notera que c'est le cas en particulier pour \alpha = +2, sauf si k est de car. 2. Mais comme f_0 est dégénérée, la conique C(f) est une parabole.

Dans le cas \alpha = -2, on aura f(x,y) = (x^2 - x) + (y^2 - y) + 2xy = (x+y)^2 - (x+y) = (x+y)(x+y-1) = \lambda(x,y)\,[\lambda(x,y) - 1] i.e. f est le produit de deux fonctions linéaires affines ayant même partie homogène x + y. Ainsi C(f) est la réunion des deux droites parallèles (distinctes), d'équations x + y = 0, \quad x + y = 1, qui étaient déjà en évidence dans l'étude du cas II (où on avait été amené à utiliser les coordonnées X = x - \tfrac14, \quad Y = y - \tfrac14, \quad x + y = X + Y + \tfrac12, donc les droites précédentes ont comme équations resp. X + Y = -\tfrac12, \quad X + Y = +\tfrac12 \; ).

9) Retour sur le cas \alpha = 2, \alpha \neq -2 (i.e. \alpha = 2 en car. \neq 2).

On a f(x,y) = (x - y)^2 - (x + y) = v^2 - w où \begin{cases} v = x - y \\ w = x + y \end{cases} \quad \text{i.e.} \quad \begin{cases} x = \frac12(v + w) \\ y = \frac12(-v + w) \end{cases} dans la première formule, un exposant sur le premier x est biffé.

à gauche, un croquis : les axes x, y et les axes obliques v, w par l'origine.

Le calcul donne pour u, défini en coordonnées anciennes par u(x,y) = (1 - y + 2x, x) en coordonnées (v,w) u(v,w) = (v + 1, 1 + 2v + w) en particulier, pour des points sur la parabole C(f) d'équation v^2 - w = 0 i.e. w = v^2 u(v, v^2) = (v + 1, (v+1)^2) . après la parenthèse ouvrante, un début biffé, illisible. Donc si on paramètre C(f) par la coordonnée v, alors u|C(f) est décrit par la translation v \mapsto v+1 ! la page s'arrête ici ; la suite du § 9, s'il y en a une, est au-delà de ce lot.