Cote n° 78, pages 81–100

Cote n° 78 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · [Polygones réguliers et polynômes cyclotomiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

81la page s'ouvre au milieu d'un argument commencé avant ce lot : $E$, $k$, les sommets $s_i$, les automorphismes $\sigma_0$, $\sigma_1$ et les paramètres $\alpha$, $\beta$ sont introduits plus haut, et la numérotation des formules commence ici à (15).

Nous utiliserons désormais la base affine $(s_0, s_1, s_{-1})$ pour identifier $E$ à $k^2$, donc

a) On choisit $s_0$ comme origine

b) On choisit

(15) \[ \begin{cases} e_1 = s_1 - s_0 \\ e_2 = s_{-1} - s_0 \end{cases} \] comme vecteurs de base de l'espace des translations $V$ de $E$, et

c) on identifie $(x,y) \in k^2$ au point $s_0 + x e_1 + y e_2$, i.e. on écrit \[ (x,y) = s_0 + x e_1 + y e_2 . \]

Il y a lieu d'expliciter en termes de ces coordonnées toutes les données précédentes. \[ \begin{cases} s_0 = (0,0), \quad s_1 = (1,0), \quad s_2 = (0,1) \\ e_1 = (1,0) \quad e_2 = (0,1) \end{cases} \] la page porte bien « $s_2 = (0,1)$ » ; par (15) c'est $s_{-1}$ qui a ces coordonnées.

Les automorphismes affines $\sigma_0$, $\sigma_1$ sont donnés par leurs valeurs sur $s_0, s_1, s_{-1}$. On a

(16) \[ \begin{cases} \sigma_0 s_0 = s_1 \\ \sigma_0 s_1 = s_0 \\ \sigma_0 s_{-1} = s_2 = s_0 + (1+\alpha) e_1 + (1+\beta) e_2 \\ \sigma_0 e_1 = -e_1 \\ \sigma_0 e_2 = \alpha e_1 + (1+\beta) e_2 \end{cases} \] dans la troisième ligne l'indice de $s$ est surchargé ; la lecture $s_{-1}$ est celle qu'impose $\sigma_0 s_{-1} = s_2$. Dans la dernière ligne, une première valeur de $\sigma_0 e_2$ est biffée et illisible, […], et remplacée en dessous par $\alpha e_1 + (1+\beta) e_2$.

à droite, un croquis : la ligne brisée $s_{-1}, s_0, s_1, s_2$, avec les vecteurs $e_2$ de $s_0$ vers $s_{-1}$ et $e_1$ de $s_0$ vers $s_1$.

[NB on rappelle : \[ \begin{cases} \beta = 0 \text{ ssi } s_2 - s_{-1} \parallel e_1 \\ \alpha = \zeta + \zeta^{-1} = 2\cos\theta \end{cases} \] ]

82Ex. Repr. régulière définie par $\zeta \in k$ ($\zeta \neq \pm 1$) : $s_i = (\zeta^i, \zeta^{-i})$, on trouve donc \[ s_2 - s_{-1} = (\zeta^2, \zeta^{-2}) - (\zeta^{-1}, \zeta) = (\zeta^2 - \zeta^{-1}, \zeta^{-2} - \zeta) \] parallèle à \[ s_1 - s_0 = (\zeta - 1, \zeta^{-1} - 1) \] de façon précise on a

([…]) \[ \begin{cases} (s_2 - s_{-1}) = (1 + \zeta + \zeta^{-1})(s_1 - s_0) = (1+\alpha)(s_1 - s_0) \\ \text{où} \quad \alpha = \zeta + \zeta^{-1} \end{cases} \] sous cette accolade, un départ biffé, […] $\beta$, griffonné.

On a donc envie d'imposer la condition \[ \beta = 0 . \]

Proposition Conditions équivalentes

(i)$\beta = 0$
(ii)$s_2 - s_{-1} = (1+\alpha)(s_1 - s_0)$
(ii')$s_2 - s_{-1} \parallel s_1 - s_0$
(iii)$\forall n \in \mathbb{Z}$ $s_{n+3} - s_n = (1+\alpha)(s_{n+2} - s_{n+1})$
(iii')$\forall n \in \mathbb{Z}$ $s_{n+3} - s_n = (1+\alpha)(s_{n+2} - s_{n+1})$
(iv)$\Leftrightarrow$ $\det \sigma_{0V} = -1$
(iv')$\det u_V = 1$
(iv'')$\operatorname{Tr} \sigma_{0V} = 0$

en (ii) et en (iii) un signe est biffé avant le « $=$ » (sans doute un $\parallel$ remplacé). Telle que la page l'écrit, (iii') répète (iii) mot pour mot ; d'après (ii') on attendrait $s_{n+3} - s_n \parallel s_{n+2} - s_{n+1}$.

([…] $\sigma_{0V}$ est une réflexion i.e. est $\neq$ […])

83i.e. on a

(17) \[ \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1+\beta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] les deux coefficients de la deuxième colonne sont récrits sur des premières valeurs biffées, illisibles.

(18) \[ \sigma_0(x,y) = (1 - x + \alpha y, (1+\beta) y) \]

(19) \[ \begin{cases} \sigma_1 s_0 = s_0 \\ \sigma_1 s_1 = s_{-1} \\ \sigma_1 s_{-1} = s_1 \\ \sigma_1 e_1 = e_2 \\ \sigma_1 e_2 = e_1 \end{cases} \qquad \text{i.e.} \]

(20) \[ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

(21) \[ \sigma_1(x,y) = (y,x) \]

Il reste : écrire la condition $\sigma_0^2 = \mathrm{id}$. On trouve

([…]) \[ \begin{cases} \boxed{\alpha\beta = 0} \\ (1+\beta)^2 = 1 \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\beta^2 + 2\beta = 0} \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\beta(\beta+2) = 0} \end{cases} \] à droite de la première ligne, $(1+\beta)^2 = 1$ est biffé, puis récrit à la ligne suivante. Le numéro de la formule est surchargé.

Donc :

Proposition Les représentations géom. affines ⌜sur $k$⌝ régulières de $\Pi_\infty$ sont définies en corr. 1-1 corr. avec les couples $(\alpha,\beta)$ d'éléments de $k$ satisfaisant les conditions

(22) \[ \alpha\beta = (\beta+2)\beta = 0 \]

84(v) On n'est pas dans le « cas […] ⌜impropre⌝ » suivant ⌜($\alpha = 0$, $\beta = -2$)⌝

(23) \[ \begin{cases} \text{car}\, k = p \neq 2, \quad \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \sigma_0(x,y) = (1-x, -y) \end{cases} \] au début de la première ligne un mot est biffé, et après la matrice « i.e. » est suivi d'un $\sigma_0$ biffé ; au début de la seconde, […] est biffé. i.e. $\sigma_0$ = symétrie p.r. au milieu du segment $(s_0, s_1)$.

Dém. L'équivalence de (i), (ii), (ii') résulte trivialt. de \[ s_2 - s_{-1} = (1+\alpha) e_1 + \beta e_2 \] et du fait que $e_1 = s_1 - s_0$ et $e_2$ forment une base de $V$. L'équivalence de (ii) et (iii), ou (ii') et (iii'), s'obtient en faisant […] que pour $n = -1$ on obtient les conditions de (ii) (ii'), et qu'inversement (iii), (iii') s'obtiennent de (ii) (ii') en utilisant $u^n$. Comme

(24) \[ \begin{cases} \det u_V = -\det \sigma_{0V} = 1 + \beta \\ \operatorname{Tr} \sigma_{0V} = \beta \end{cases} \] avant l'accolade, un début de formule est biffé, $\det \sigma_{0V}$ […]. ce qui prouve l'équivalence de (iv) (iv') (iv'') avec les autres conditions. Enfin, l'équivalence avec (v) est évidente par la propos formule (22).

Remarques sur le cas impropre À isomorphisme près, il y a un et un seul pour […] $k$

85donné. On a dans ce cas

(25) \[ \begin{cases} u(x,y) = (1-y, -x) \\ u^2(x,y) = (x+1, y-1) \end{cases} \] i.e. $u^2$ est la translation par le vecteur $(1,-1)$. Donc en car. 0 $u^2$ est d'ordre infini, donc a fortiori $u$ l'est, donc la réalisation obtenue de $\Pi_\infty$ est d'ordre infini (on trouve qu'elle est fidèle…) Si car. $p > 0$, $u^2$ est d'ordre $p$, donc $u$ d'ordre $2p$, on trouve […] $2p$ ⌜donc⌝ que la réalisation géom. impropre se factorise par $\Pi_{2p}$. On vérifie aisément que la réalisation géom. de $\Pi_{2p}$ est bel et bien fidèle, donc donne un $2p$-polygone régulier.

Avec la théorie projective des polygones réguliers, l'anomalie […] des « polygones réguliers impropres » s'explique complètement, et on voit que du point de vue projectif on n'a rien perdu en excluant le cas impropre, ce que nous ferons désormais.

Scholie Le cas d'une réalisation géom. régulière propre de $\Pi_\infty$ est décrit par $\alpha \in k$, qui peut être choisi arbitrairement…

terminologie « invariant numérique »

3. Points fixes de $\sigma_0$, $\sigma_1$, centre de la réal. géom.

(26) \[ \begin{cases} \sigma_0(x,y) = (1 - x + \alpha y, y) \\ \sigma_1(x,y) = (y,x) \\ u(x,y) = \sigma_0 \sigma_1(x,y) = (1 - y + \alpha x, x) \end{cases} \]

à droite, un croquis : la ligne brisée $s_{-1}, s_0, s_1, s_2$ et, en tirets, les axes de $\sigma_1$ (par $s_0$) et de $\sigma_0$ (entre $s_0$ et $s_1$).

Points fixes de $\sigma_0$ :

(27) \[ H_0 : \quad 2x - \alpha y - 1 = 0 \] c'est une droite, sauf pour $p = 2$, $\alpha = 2$ (cas du carré en car. 2) où on trouve $H_0 = \emptyset$. Mais ⌜passant⌝ en coordonnées hom., on trouve encore une droite $z = 0$ : la droite à l'infini (Dans ce cas, $\sigma_0$ est la translation par […] $e_1$)

Points fixes de $\sigma_1$

(28) \[ H_1 : \quad x - y = 0 \] c'est une droite

NB Un automorphisme affine ⌜d'un plan affine⌝ tel que l'ens. des points fixes est une droite est appelé une réflexion affine. On voit donc que les cas « propres » de la proposition précédente est caractérisé aussi par la condition

(iv''') $\sigma_0$ est une réflexion affine, ou […] une translation (dans le ⌜(ce dernier cas⌝ dans le seul cas $p = 2$, $\alpha = 0$ i.e. carré en car. 2, et alors $\sigma_0$ est encore une réflexion projective…)

87(iv$^{\text{iv}}$) $\sigma_{0V}$ est une réflexion, $\neq$ l'identité ([…])

NB Dans le cas impropre, $\sigma_{0E}$ est la sym. p.r. à un pt (car. $\neq 2$), $\sigma_{0V}$ est la symétrie $v \mapsto -v$.

Points fixes sous $G$ = pts fixes sous $G^+$ = pts fixes sous $u$ :

(29) \[ x_0 = y_0 = \frac{1}{2-\alpha} \] (qui existe ssi $\alpha \neq 2$, et est […] unique)

terminologie : le centre de la réalisation de $\Pi_\infty$ …

4. Valeurs propres de $u_V$. Comparaison avec les […]…

(30) \[ u_V = \begin{pmatrix} \alpha & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

(31) \[ \begin{cases} \det u_V = 1 \\ \operatorname{Tr} u_V = \alpha \end{cases} \] avant l'accolade, un $\det$ biffé.

équation aux valeurs propres ($\zeta \in \bar{k}$)

(32) \[ \zeta^2 - \alpha\zeta + 1 = 0 \] discriminant

(33) \[ \Delta(\alpha) = \alpha^2 - 4 = (\alpha - 2)(\alpha + 2) \] […] d'un tel $\zeta$, on […] trouve

(33) \[ \alpha = \zeta + \zeta^{-1} \] le numéro (33) est écrit deux fois.

(NB […] $\zeta$, $\zeta'$ de cette équation satisfont

(34) \[ \begin{cases} \zeta + \zeta' = \alpha \\ \zeta\zeta' = 1 \end{cases} \quad \text{i.e.} \quad \zeta' = \zeta^{-1} . \]

88On retrouve encore une fois que […] […] ici coïncide avec ce que nous avions appelé (dans le cas des $n$-polygones réguliers avec $n$ premier à la car. $p$) « l'invariant numérique » dudit. Cependant ici le cas d'une racine double

(35) \[ \zeta = \zeta' \quad \text{i.e.} \quad \zeta^2 = 1 \quad \text{i.e.} \quad \zeta = \pm 1 \] n'est pas exclu, il correspond au cas

(36) \[ \alpha = \pm 2 \quad \text{ou encore} \quad \Delta(\alpha) = 0 \] ($\alpha = 2$ correspond à $\zeta = 1$, $\alpha = -2$ à $\zeta = -1$, les deux cas venant à se confondre ssi $p = 2$).

Cela tient compte précisément des 2 seules valeurs de $\zeta$ que nous avions été obligés d'exclure, pour définir une repr. géom. […] $\varphi^{\zeta} = (\varphi^{\zeta}_0, \varphi^{\zeta}_1)$ de $\Pi_\infty$ ! [Le cas $\zeta = 1$, $\alpha = 2$ est également distingué comme le seul cas où il n'y ait pas de centre à distance finie….] les indices et exposants de $\varphi^{\zeta}$ sont mal formés ; la forme donnée est une lecture.

895. Étude des cas […]

NB On retrouve, pour $\alpha \neq \pm 2$ i.e. $\zeta \neq \pm 1$, ⌜du moins si $\zeta \in k$⌝, la représentation $\varphi^{\zeta}$ de $\Pi_\infty$. (Donc les seuls cas nouveaux (sur $k$ alg. clos) sont précisément les cas $\alpha = \pm 2$ (i.e. $\zeta = \pm 1$) qu'on avait été amené précédemment à exclure. Nous allons les étudier séparément au § suivant. Notons dès à présent que, même si on décidait (à tort !) […] […] […] ces deux cas, les considérant comme trop « exotiques », les dédaignant en conséquence, ils y reviendraient indirectement, car a) ils sont valables pour tt corps, et […] ⌜même sur les⌝ anneaux, de base $k$, et b) ils pas seulement pour $k$ alg. clos, et b) ils permettent de suivre la variation de […] $\varphi(\alpha)$ en termes des paramètres $\alpha$, intrinsèques.

5) Étude par cas

I) $\Delta(\alpha) \neq 0$ i.e. $\alpha \neq \pm 2$ (« cas ordinaire »)

Étendant au besoin le corps de base $k$ en $k(\zeta) = k(\zeta')$, et rapportant maintenant $E$ au système de coordonnées de centre $0$, ayant comme axes les droites propres de $u$ $D_\zeta$ et $D_{\zeta'}$, et pour lesquelles $s_0$ est de coordonnées $(1,1)$, on trouve par un argument déjà fait le cas-type $\Pi_\zeta$ (où $\zeta$ n'est pas nécessairement une racine de 1). Il y a une forme quadratique (non […]) invariante, canonique à un scalaire multiplicatif près, qu'on normalise en exigeant que sa valeur en les sommets ⌜de la représentation $\Pi_\zeta$⌝ soit égale à 1… L'image $\Pi_\zeta$ ⌜est un polygone⌝ géométrique, dont le nombre de côtés, égal à l'ordre de $\zeta$, est (éventuellement ⌜quand il est⌝ fini) premier à la caractéristique.

II) $\alpha = -2$ \[ \begin{array}{l} \text{\struck{$\sigma_0(x,y) = (1 - x - 2y, y)$}} \\ \text{\struck{$u_0(x,y) = (1 - y - 2x, x)$}} \\ \text{\struck{$u_0^2(x,y) = (1 - x - 2(1 - y - 2x),$}} \\ \text{\struck{$1 - y - 2x) = (-1 + 3x \ldots$}} \end{array} \] On […] ici $\alpha \neq 2$ (i.e. $p \neq 2$), de sorte que l'on a encore existence d'un centre $O$. tout ce cas II est encadré et barré de traits obliques ; il est repris p. 94.

91II Considérons le cas $\alpha = \pm 2$, donc $\zeta = \pm 1$. On aura pour la partie homogène ⌜$u_0$⌝ de $u$ \[ u_0 = \varepsilon(\mathrm{id} + v_0), \qquad \varepsilon = \pm 1, \quad v_0^2 = 0 \] ⌜i.e.⌝ \[ v_0 = \varepsilon u_0 - \mathrm{id} \] De façon explicite \[ \begin{array}{l} u(x,y) = (1 - y + 2\varepsilon x, x) \\ u_0(x,y) = (-y + 2\varepsilon x, x) \\ v_0(x,y) = (x - \varepsilon y, \varepsilon(x - \varepsilon y)) = (x - \varepsilon y)(1, \varepsilon) \\ \phantom{v_0(x,y)} = a'(z)\, a \end{array} \] devant $a'(z)$ une lettre surchargée, illisible. i.e. […] $a' \in \check{V}$, $a \in V$, \[ \begin{cases} a'(x,y) = x - \varepsilon y \\ a = (1, \varepsilon) \end{cases} \]

92page de calculs de brouillon, d'une encre plus sombre ; on en donne les formules dans l'ordre de la page. \[ \begin{array}{l} u^2 = (1 - x + \alpha(1 - y + \alpha x), 1 - y + \alpha x) \\ \phantom{u^2} = ((1+\alpha) + (\alpha^2 - 1)x - \alpha y, 1 + \alpha x - y) \end{array} \] $= (1 + 3x + 2y, 1 \ldots$ \[ 3 + 3x - 3y, \; 1 + 2x - y \] \[ x = y \qquad 2x = \alpha y \qquad \alpha \neq 2 \qquad \begin{cases} \sigma_1(X,Y) = (Y,X) \\ \sigma_0(X,Y) = (-X + \alpha Y, Y) \\ u(X,Y) = (-Y + \alpha X, X) \end{cases} \] $\alpha = -2$ $u(X,Y) =$ \[ u = -(1 + v), \qquad v = -1 - u \] \[ \begin{array}{l} u(X,Y) = (-Y - 2X, X) \\ v(X,Y) = (X + Y, -(X + Y)) \end{array} \qquad v^2 = 0 \] la ligne de $v$ est corrigée sur la page (des signes surchargés, une parenthèse biffée). \[ \begin{cases} u^2 = 1 + 2v = \begin{pmatrix} 1 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ldots \end{cases} \] à gauche, deux axes et une droite oblique par l'origine. \[ \begin{cases} \sigma_1(x,y) = (y,x) \\ \sigma_0(x,y) \end{cases} \qquad u_V = \varepsilon(1 + v), \quad \varepsilon = \pm 1 \] \[ \begin{array}{l} u(X,Y) = (-Y + 2\varepsilon X, X) = \varepsilon( \ldots \\ u_V = \varepsilon(\mathrm{id} + v) \qquad v = \varepsilon u_V - \mathrm{id} \end{array} \] \[ v(X,Y) = (X - \varepsilon Y, \varepsilon(X - \varepsilon Y)) = (X - \varepsilon Y) \cdot (1, \varepsilon) \qquad X = \varepsilon Y \] $X - \varepsilon Y$ et $\varepsilon(X - \varepsilon Y)$ sont surmontés de $X'$ et $Y'$ ; suivent plusieurs essais biffés, dont $X' = \varepsilon Y'$ et $X' - \varepsilon Y' = 0$. \[ \begin{array}{l} (X + Y, -(X + Y)) \\ (X - Y, -X - Y) \end{array} \]

94le feuillet 93, non transcrit, est une lettre dactylographiée datée de Paris, 10 novembre 1977, adressée à A. Grothendieck ; c'est un terme a quo pour ces pages, compatible avec la datation de l'inventaire.

I) $\alpha \neq \pm 2$ (valeurs propres distinctes de $u_V$, existe centre)

Sur l'extension finie extension $k'$ de $k$ Si $k$ contient les racines $\zeta$, $\zeta' = \zeta^{-1}$ de l'équation aux valeurs propres, alors on est isom. à $\Pi_\zeta$ $\varphi_\zeta$ … Ordre de $u_V$ est égal à celui de $u$, ou encore : celui de $\zeta$

III) $\alpha = -2$, $\alpha \neq 2$

II) Cas $\alpha = \pm 2$ i.e. valeurs propres confondues

II) $\alpha =$

II) Cas $\alpha = -2$, $\alpha \neq 2$ il y a $u =$ ces quatre départs sont biffés, ainsi que la matrice qui suit $u =$, de lignes $(-2, -1, 1)$, $(1, 0, 0)$, $(0, 0, 1)$ ; son premier coefficient est surchargé.

II) $\alpha = -2$ $\zeta = \zeta' = -1$ $u_V^2 = \mathrm{id}$ $u_V^2$ = transvection d'ordre $p$, $u_V$ d'ordre $2p$, $u_E$ d'ordre $2p$ si $p \neq 2$ (car $\exists$ centre)

Mais contradiction si $p = 2$. En effet, on a alors $\alpha = -2 = 0$, or le cas $\alpha = 0$ est celui du carré ($\zeta^2 = -1$ …) \[ \begin{array}{l} u(x,y) = (1 - y, x) \\ u^2(x,y) = (1 - x, 1 - y) \\ u^4(x,y) = (x, y) \quad \text{---} \end{array} \] devant $u(x,y)$, un $\sigma_0(x,y)$ biffé.

Si $p \neq 2$, ⌜i.e. $\alpha \neq 2$,⌝ on trouve, en prenant \[ \begin{cases} X = x - \frac{1}{2-\alpha} \\ Y = y - \frac{1}{2-\alpha} \end{cases} \] le signe devant $\frac{1}{2-\alpha}$ est un pâté ; le moins est celui qu'impose le centre (29). \[ \begin{cases} \sigma_0(X,Y) = (-X + \alpha Y, Y) \\ \sigma_1(X,Y) = (Y, X) \\ u(X,Y) = (-Y + \alpha X, X) = -(\mathrm{id} + a' \otimes a)(X,Y) \end{cases} \] \[ a'(X,Y) = X + Y \qquad a = (1, -1) \]

95à gauche, un croquis : les axes, la droite $D$ de direction $a$ portant $s_0$ et $-s_0$, une flèche $a$, et le point $-s_0' = -(s_0 + \frac{1}{2}a)$. \[ s_0 = \left(\frac{1}{2-\alpha}, \frac{1}{2-\alpha}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right) \] devant la parenthèse, un $X$ biffé. \[ \begin{array}{l} u = -(\mathrm{id} + v_0) \\ u^2 = \mathrm{id} + 2 v_0 \end{array} \] \[ \begin{cases} u^{2n} = \mathrm{id} + 2n v_0 \\ u^{2n+1} = -(\mathrm{id} + (2n+1) v_0) \end{cases} \] \[ s_{2n} = s_0 + 2n\, \underbrace{v_0(s_0)}_{(\frac12, -\frac12)} = s_0 + n \underbrace{(1,-1)}_{a} = s_0 + na \] \[ s_{2n+1} = -(s_0 + (2n+1) v_0(s_0)) = -s_0 - \left(n + \tfrac12\right) a \] \[ \phantom{s_{2n+1}} = \left(-s_0 - \tfrac12 a\right) - na \] les deux signes moins de la dernière ligne sont des pâtés ; ils sont lus d'après le calcul.

III) $\alpha = +2$ (Pas de centre) $\zeta = \zeta' = +1$

[…] $u_V = \mathrm{id} + v_0$ $v_0 = a' \otimes a \neq 0$, $v_0^2 = 0$

$u_V$ d'ordre $p$

Je dis que $u_E$ d'ordre $p$, sauf si $p = 2$ (déjà traité, où on trouve $2p = 4$)

$u_{\hat E}$ Du point de vue de l'enveloppe vectorielle \[ \begin{array}{l} u_E = \mathrm{id} + w \qquad w^3 = 0 \\ u_E^p = \mathrm{id} + w^p \qquad p \geq 3 \text{ --- } \ldots \end{array} \] dans la seconde ligne, un coefficient $p$ biffé devant $w^p$, puis quelques signes biffés illisibles ; après le tiret, un mot […]. Au-dessus de la ligne suivante, $p = 2$ on trouve est biffé.

[Pour $p = 2$, on trouve $u_E^2 = \mathrm{id} + w^2 \neq \mathrm{id}$ car $w^2 \neq 0$]

6) formes quadratiques invariantes.

On s'intéresse aux expressions \[ f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 + ux + vy + d \] polynomiales de degré $\leq 2$ sur $E$, qui correspondent aux formes quadratiques sur l'enveloppe vectorielle $\hat{E}$ de $E$. On cherche celles qui sont invariantes par $G = \operatorname{Aut} \Pi$, i.e. par $\sigma_0$, $\sigma_1$. Il y a les constantes, donc on est ramené à voir les conditions pour que $f$ soit inv. ⌜l'expression sans⌝ terme constant \[ f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 + ux + vy \] soit invariante. L'invariance par $\sigma_1$ signifie que $f(x,y)$ est symétrique en $x$, $y$ \[ a = c, \quad u = v \quad \text{i.e.} \] \[ f(x,y) = a(x^2 + y^2) + bxy + u(x + y) \] et prenant en explicit l'invariance par $\sigma_0$, on trouve \[ f = a f_\alpha \] \[ \boxed{f_\alpha(x,y) = (x^2 - x) + (y^2 - y) - \alpha xy} \] la lettre $f$ de cette page est tracée surchargée, comme une capitale ; l'indice de $f_\alpha$ est lu $\alpha$.

NB Les fonctions $f$ ⌜(p.l. de degré $\leq 2$)⌝ nulles sur $S$ invariantes par $G$ sont les multiples de $f_\alpha$ ci-dessus.

97Les fonctions $1$, $f_\alpha$ forment une base ⌜sur $k$⌝ de l'ens. des fonctions pl. de degré $\leq 2$ inv. par $G$. Parmi ces fonctions, $f_\alpha$ est caractérisée par les fonctions conditions

a) $f_\alpha$ nulle sur $S$

b) La « partie homogène » $f_0$ de $f$ satisfait \[ f_0(s_i - s_{i-1}) = 1 \qquad \forall i \] [NB \[ f_0(X,Y) = X^2 + Y^2 - \alpha XY \] donc \[ f_0(1,0) = 1 \; ] \]

[[…] conique circonscrite (canonique) $C(f_\alpha)$ définie par $f = 0$ (indépendante de la normalisation). On vérifie que si $\alpha \neq 0, 1$ (i.e. cas des polyg. réguliers à $n \geq 5$ côtés) c'est la seule conique circonscrite] cette note marginale est écrite en remontant le long du bord gauche ; l'ordre des lignes est restitué.

7) Le discri Discriminant de $f_0$

Le discriminant de $f_0$ est \[ \delta(f_0) = 4 - \alpha^2 = (2 - \alpha)(2 + \alpha) \] avant $4 - \alpha^2$, une première valeur biffée, illisible. qui est nul ssi $\alpha = \pm 2$ : la quadrique définie par $f_0$ est non dég. ssi on a $\alpha \neq \pm 2$, i.e. ssi on est dans le cas « ordinaire ». On aura \[ f_0(X,Y) = (Y - \zeta X)(Y - \zeta' X) \] où $\zeta$, $\zeta'$ sont les solutions de l'équation aux valeurs propres. Les « droites ⌜directions⌝ isotropes »

98(sur une extension $k'$ de $k$ contenant $\zeta$, $\zeta'$) sont les droites homogènes […] \[ Y - \zeta X = 0 \qquad Y - \zeta' X = 0 \] qui sont aussi les droites propres sous $u_0$ \[ (\quad u_0(X,Y) = (-Y + \alpha X, X) \quad ) \] [ce qui correspond au fait que $u_0$ est une ([…]) rotation pour $f_0$, si $f_0$ est non dég. i.e. $\alpha \neq \pm 2$]

Dans le cas $\alpha = \pm 2$, ces deux directions sont confondues ; […] pour $\alpha = -2$, $\zeta = \zeta' = -1$, on trouve la direction \[ X + Y = 0 \] qui intervenait déjà comme privilégiée dans l'étude du « cas II […] ». Pour $\alpha = 2$, $\zeta = \zeta' = 1$, c'est la direction $X = Y$, […] on va l'examiner plus en détail plus bas.

8) Discriminant ⌜direct⌝ de $f$. La matrice de $f$ est \[ \begin{pmatrix} 2 & -\alpha & -1 \\ -\alpha & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] le dernier coefficient est surchargé ; la lecture $0$ est celle du terme constant nul de $f_\alpha$, et elle donne le discriminant qui suit. son discriminant est égal à \[ \delta = 2\delta' \qquad \delta' = -(\alpha + 2) \]

99donc $f$ est régulière ssi on a $\alpha \neq -2$. Dans ce cas, la conique circonscrite $C(f_\alpha)$ est non sing.

On notera que c'est le cas en particulier pour $\alpha = +2$, sauf si $k$ est de car. 2. Mais comme $f_0$ est dégénérée, la conique $C(f)$ est une parabole.

Dans le cas $\alpha = -2$, on aura \[ f(x,y) = (x^2 - x) + (y^2 - y) + 2xy = (x+y)^2 - (x+y) \] \[ = (x+y)(x+y-1) = \lambda(x,y)\,[\lambda(x,y) - 1] \] i.e. $f$ est le produit de deux fonctions linéaires affines ayant même partie homogène $x + y$. Ainsi $C(f)$ est la réunion des deux droites parallèles ⌜(distinctes)⌝, d'équations \[ x + y = 0, \quad x + y = 1, \] qui étaient déjà en évidence dans l'étude du cas II (où on avait été amené à utiliser les coordonnées \[ X = x - \tfrac14, \quad Y = y - \tfrac14, \quad x + y = X + Y + \tfrac12, \] donc les droites précédentes ont comme équations resp. \[ X + Y = -\tfrac12, \quad X + Y = +\tfrac12 \; ). \]

1009) Retour sur le cas $\alpha = 2$, $\alpha \neq -2$ (i.e. $\alpha = 2$ en car. $\neq 2$).

On a \[ f(x,y) = (x - y)^2 - (x + y) = v^2 - w \] où \[ \begin{cases} v = x - y \\ w = x + y \end{cases} \quad \text{i.e.} \quad \begin{cases} x = \frac12(v + w) \\ y = \frac12(-v + w) \end{cases} \] dans la première formule, un exposant sur le premier $x$ est biffé.

à gauche, un croquis : les axes $x$, $y$ et les axes obliques $v$, $w$ par l'origine.

Le calcul donne pour $u$, défini en coordonnées anciennes par \[ u(x,y) = (1 - y + 2x, x) \] en coordonnées $(v,w)$ \[ u(v,w) = (v + 1, 1 + 2v + w) \] en particulier, pour des points sur la parabole $C(f)$ d'équation $v^2 - w = 0$ i.e. $w = v^2$ \[ u(v, v^2) = (v + 1, (v+1)^2) . \] après la parenthèse ouvrante, un début biffé, illisible. Donc si on paramètre $C(f)$ par la coordonnée $v$, alors $u|C(f)$ est décrit par la translation $v \mapsto v+1$ ! la page s'arrête ici ; la suite du § 9, s'il y en a une, est au-delà de ce lot.

3. Points fixes de \(\sigma_0\), \(\sigma_1\), centre de la réal. géom.

4. Valeurs propres de \(u_V\). Comparaison avec les […]…

5) Étude par cas

6) formes quadratiques invariantes.