Cote n° 78, pages 41–60

Cote n° 78 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Polygones réguliers et polynômes cyclotomiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

Systèmes réguliers de sommets dans un plan affine

Titre de l'éditeur. La page 41 commence au milieu d'une phrase : l'argument vient du lot précédent.

41… fibré correspondant l'ens. de ses sections, qui est un torseur sous le groupe ⌜$\mathbb{Z}/$⌝ des sections du fibré vectoriel correspondant, lequel est un $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-module libre de rang $1$, i.e. un groupe cyclique d'ordre $n$.

Si $S$ est un quasi-pol. combinatoire, $Z$ le groupe des rotations, le groupe de ses automorphismes ⌜(noté $\mathrm{Aff}(S)$)⌝ est canoniquement muni d'une structure d'extension \[ 0 \longrightarrow Z \longrightarrow \mathrm{Aff}(S) \longrightarrow (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \longrightarrow 0 \] \[ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \simeq \mathrm{Aut}(Z) \] et le choix d'un $s \in S$ détermine un splitting de cette extension, permettant d'identifier $\mathrm{Aff}(S)$ au produit semi-direct $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\cdot Z$. L'image inverse du sous-groupe $\pm 1$ de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}$ dans $\mathrm{Aff}(S)$ est un sous-groupe $\mathrm{Aff}^{\pm}(S)$ de $\mathrm{Aff}(S)$ d'indice deux. C'est […]

sous-groupe $\mathrm{Aut}(S,\omega)$ de $\mathfrak{S}_S$, où $\omega$ est […] de l'ensemble des […] sur $S$ compatibles avec sa str. quasi-pol. Note marginale écrite le long du bord gauche, lue en tournant la feuille. Sous elle, en face des deux lignes sur $\mathrm{Aff}^{\pm}(S)$, une colonne d'accolades et de signes ($\pm 1$, …) qui n'a pas été lue.

Soit $E$ un plan affine sur un corps $k$. Un système régulier de sommets dans $E$ est un […] couple $(S,Z)$, où $S \subset E$ est une partie finie,

42$Z$ est une structure quasi-régulière sur $S$ (identifiée par ex. à un ss-groupe cyclique de $\mathfrak{S}_S$ d'ordre $n = \operatorname{card}(S)$), telle que pour une (donc toute) structure polygonale $\omega$ sur $S$ compatible avec $Z$ (i.e. liée par $Z$), $(E,S,\omega)$ soit un polygone régulier. Je voudrais aussi […] que tout $u \in \mathrm{Aff}^{\pm}(S,Z)$ se prolonge de façon unique en un automorphisme affine de $E$. [NB On ne dit rien sur les autres automorphismes de $\mathrm{Aff}(S,Z)$ (il y en a bien d'autres, sauf dans le cas où $\varphi(n) = 2$⌜, ind. d'Euler⌝ i.e. $n = $ $2$, $3$, $4$ ou $6$).] Vérifier On voudrait aussi dire que ⌜la donnée d'⌝un syst. rég. de $n$ sommets dans $E$ équivaut à $2$ données : … d'une orbite de $T$ $= (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}/\{\pm 1\}$ opérant sur l'ens. de tous les $n$-polygones réguliers dans $E$.

43Question. Si $(S,Z)$ est un système $n$-régulier de sommets dans $E$, $Z$ est-il déterminé de façon unique par la donnée de la seule partie $S$ de $E$ ? On trouve ceci : si $(S,\omega)$ est un $n$-polygone régulier dans $E$, le stabilisateur ⌜de la partie⌝ $S$ dans $\mathrm{Aff}(E)$ (je dis bien de $S \subset E$, non du couple $(S,\omega)$) est égal au groupe $\mathrm{Aut}(E,S,\omega)$, sauf dans le cas $\alpha = 2$ ⌜ou $\alpha = -2$⌝ ; où on trouve un groupe isomorphe dans ces cas, identifiant $G$ à un sous-groupe de $\mathfrak{S}_S$, on trouve $\mathrm{Aff}(S,Z)$. vérifier ! D[…] la question devient problème combinatoire, savoir : une structure quasi-polygonale comb. ⌜$Z$⌝ sur $S$ est-elle déterminée par la seule connaissance de $\mathrm{Aff}^{\pm}(S) \subset \mathfrak{S}_S$, ou par celle de $\mathrm{Aff}(S) \subset \mathfrak{S}_S$ ? Dans ce premier cas, $Z$ est déterminé comme le plus grand sous-groupe cyclique distingué $\neq G = \mathrm{Aff}^{\pm}(S)$. [En effet, si $\sigma \in G \setminus Z$, on voit facilement que

44le groupe distingué qu'il engendré par $\sigma$ (dans ⌜égal à⌝ […]) ⌜contient […] de $Z$⌝ n'est pas […], et […] est isomorphe à $\{\pm 1\}\cdot\mathbb{Z}/n'\mathbb{Z}$ (produit semi-direct) où $n' = n/2$ — donc il n'est pas cyclique, donc $\sigma$ n'est pas contenu dans un ss-groupe invariant cyclique $\neq G$, donc tous ces groupes ⌜donc⌝ sont contenus dans $Z$, qui est le plus grand de ces groupes.] Dans le cas de $\mathrm{Aff}(S)$… faire dém… Le début de la page est surchargé d'insertions et de ratures enchevêtrées ; la phrase est donnée telle qu'on peut la suivre, sans garantie sur l'ordre des ajouts.

Donc sauf erreur, la structure quasi-polygonale combinatoire de $S \subset E$ est ⌜unique⌝ déterminée, pour tout système régulier de $n$ sommets dans $E$.

Principe de classification géométrique, pour $n$ fixé : Un système régulier de $n$ sommets (en SR$n$S) détermine

a)Un sous-groupe cyclique d'ordre $n$ \[ Z \subset \mathrm{Aff}(E) \]
b)Une orbite $S \in Z\backslash E$

avec les conditions suivantes

1)$S$ non contenu dans une droite (cela implique que $Z$ opère fidèlement sur $S$, qui est donc un $Z$-torseur, $Z$ étant cyclique)
2)$\exists\, \sigma \in \mathrm{Norm}(Z)$ […] tel que $\sigma$ opère sur $Z$ par $\lambda \mapsto \lambda^{-1}$, et que $\sigma$ ⌜laisse invariant un pt de $S$⌝

45Réciproquement, si les conditions 1) 2) sont satisfaites, […] un […] de $Z$, […] — il suffit que Les trois premières lignes de la page sont encadrées et barrées de deux traits obliques. $\{1,\sigma\}\cdot Z$ (produit semi-direct) opère sur $S$,… qui devient un polygone de On a évidemment […]

Prop 7. La donnée d'un $n$-polygone SR$n$S dans $E$ équivaut à la donnée de a) b) ci-dessus (ss-groupe ⌜$Z$⌝ cyclique d'ordre $n$ de $\mathrm{Aff}(E)$, et d'une orbite $S$ de $Z$ dans $E$) vérifiant les conditions ⌜telles que les conditions⌝ 1°) et 2°) ci-dessus soient vérifiées ( $S$ non sur une droite, et condition de normalisation…) — et éventuellement la condition minimalité :

3)$Z$ formé d'ordre minimal.

Remarque. Suivant les cas ($p = \operatorname{car} k$, $n$), le groupe des autom. d'un syst. SR$n$S est isomorphe : $\mathrm{Aff}^{\pm}(S) \simeq D_n$, ou à $\mathrm{Aff}(S)$. On peut se poser la question, dans l'un ou l'autre cas, de trouver

46trouver une notion convenable d'« épinglage » ⌜de « repère »⌝ pour les SR$n$S, permettant de les ramener la question à une structure épinglée, qui pourrait se ramener à un calcul… La théorie de descente devrait alors permettre, en définissant comme les « modules » et le discours, de descendre trouver un objet épinglé canonique sur le corps premier ($\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{F}_p$), et les autres s'en déduisent par « torsion » par un $(G_k)$-torseur $G_k$-torseur ⌜exceptionnel⌝. C'est sans doute ainsi dans le cas $G = \mathrm{Aff}(S) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\cdot(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$, mais douteux dans le cas $G = \mathrm{Aff}^{\pm}(S)$. Essentiellement, la question revient à celle-ci : les SR$n$S qui forment une gerbe sur le corps premier $\mathbb{F}_p$ (cas où $p \mid n$, on a $n = p$ premier […] ou $n = 2p$), […] ⌜celle-ci est-elle […]⌝ une section i.e. existe-t-il un SR$n$S sur le corps premier $\mathbb{F}_p$ ? (Je, bien sûr, me restreins aux structures non nécessairement scindées, où […] est un sous-schéma en fibré affine associé à $E$, le genre sous-schéma […] des points). Le mieux qu'on

47puisse espérer dans cette direction est ceci :

a)Si $n$ ⌜$\geq 3$⌝ est premier $\neq 2$ ou de la forme $2p$, $p$ premier, trouver un SR$n$S sur $A = \mathbb{Z}[\frac{1}{n}]$
b)Si $n$ est premier impair ou $n = 4$, trouver un SR$n$S sur $A = \mathbb{Z}$
c)Si $n = 2p$, $p$ premier impair, trouver un SR$n$S sur $A = \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$.

La solution de a) est évidente, en prenant \[ \begin{cases} Z_0 = \mu_{n,A} \subset \mathrm{Sl}(2)_{\mathbb{Z}} \subset \mathrm{Aff}\,\mathbb{E}^{2}_{/A} \\ \sigma_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}) \subset \mathrm{Aff}(\mathbb{E}^{2}_{A}) \\ s_0 = (1,1) \in \mathbb{E}^{2}(A)^{\sigma} \qquad S_0 = Z \cdot s_0 \end{cases} \] On trouve le groupe SR$n$S type $(S_0,E_0)$ dont le schéma des automorphismes $G = \{\pm 1\}_A \cdot \mu_{n,A}$ (produit semi-direct) — la catégorie fibrée des SR$n$S s'identifie donc à celle des $G$-torseurs. Ceci marche encore pour $\underline{A}$ $n \geq 3$, pourvu que […] sur $\mathbb{Z}[1/n]$ — donc dans les cas b) et c), on perd la car. $p$, où les choses sont spéciales. Bien sûr, sur le corps ⌜dans ces cas-là⌝, sur le corps

Dans la matrice $\sigma_0$ et le stabilisateur $\mathbb{E}^{2}(A)^{\sigma}$, l'indice de $\sigma$ manque dans le manuscrit ; on le laisse tel quel.

48premier $\mathbb{F}_p$, il y a une représentation ⌜section⌝ de notre gerbe — et il y a un SR$n$S scindé sur $\mathbb{F}_p$ ! Mais sur $\mathbb{Z}$ (cas b)) ou $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ (cas c)) ? Le plus

[…] vraisemblable de regarder les cas (a) au-dessus de $\mathrm{Spec}(A[\frac{1}{p}]) = T \setminus \{p\} = T'$ ( […] $T = \mathrm{Spec}(A)$ avec $\mu_{n,T'} \subset \mathrm{Sl}(2)_{T'}$, et […] d'un point de l'orbite Ces lignes sont encadrées et barrées de traits obliques serrés.

Construction. $T = \mathrm{Spec}(A)$, […] $E = \mathbb{E}^{2}_{T}$, $s_0$ La page s'arrête ici, sa moitié inférieure blanche : la construction n'est pas poursuivie.

Cours Polygones réguliers II

Titre de sa main, sur la couverture qui forme la page 49 (« Cours / Polygones réguliers / II »), non transcrite comme page.

1Automorphismes et repères des polygones combinatoires. Polygone combinatoire-type \[ \mathbb{D}_n = \{\sigma,u \mid \sigma^{2} = 1,\ \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1},\ u^{n} = 1\} = \{\sigma,\sigma' \mid \sigma^{2} = \sigma'^{2} = 1,\ (\sigma'\sigma)^{n} = 1\} \] \[ D_{\infty} = \{\sigma,u \mid \sigma^{2} = 1,\ \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1}\} = \{\sigma,\sigma' \mid \sigma^{2} = \sigma'^{2} = 1\} = \mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2 \]
2.Espaces affines — groupe affine $\mathrm{Aff}(E)$ ($\simeq \mathrm{Aff}(n,k) \simeq \mathrm{Gl}(n)\cdot k^{n}$)
3.Métrique sur espaces affines et formes quadratiques. Formes quadratiques non dégénérées.

Rappel des points développés la fois précédente :

a)Polygone géométrique comme couple $(S,A)$ \[ \begin{array}{l} S \subset E \quad (\text{plan affine}) \\ A \subset \mathrm{Dr}(E) \end{array} \] Axiome : pour la relation d'incidence habituelle ($s \in a$), $(S,A)$ est un polygone combinatoire.
b)Réalisation géométrique d'un polygone combinatoire $\Pi = (S,A,R)$ \[ \left.\begin{array}{l} S \xrightarrow{\ \varphi_S\ } E \\ A \xrightarrow{\ \varphi_A\ } \mathrm{Dr}(E) \end{array}\right| \ \text{compatibles avec relations d'incidence} \]

Si $\varphi_S(s) \neq \varphi_S(s')$ quand $s,s' \in S$ sont adjacents, alors $\varphi_A$ est connu quand on connaît $\varphi_S$, qui peut être pris arbitrairement par ailleurs. On dira que $\varphi$ est non dégénérée ⌜fidèle⌝ si \[ \varphi_S(s) \text{ incident à } \varphi_A(a) \Longrightarrow s \text{ incident à } a. \] Cela implique $\varphi_S$, $\varphi_A$ injectifs et $\bar{S} = \varphi_S(S)$, $\bar{A} = \varphi_A(A)$ forment un vrai polygone dans $E$. On […] ⌜dira⌝ aussi un polygone $\Pi$-épinglé, ou $\Pi$-polygone (le plus souvent, $\Pi$ est fixé, $E$ et la

51réalisation dans $E$ sont variables…)

b) Polygones réguliers. On avait proposé (dans contexte métrique, ⌜sur $\mathbb{R}$⌝) : les déplacements ⌜groupe $Z$ des⌝ qui laissent invariant le polygone doivent être transitifs sur l'un des sommets ⌜[…]⌝. Dans ce cas il est clair qu'il y a un pt invariant — centre de gravité de l'un des sommets — le groupe des ⌜les déplacements sont des⌝ rotations, et le groupe le groupe $^{R}$ des rotations de centre $o$ étant le « groupe des angles », canoniquement isom. à : \[ \mathbb{R}/\mathbb{Z} \simeq U = \{z \in \mathbb{C} \mid z\bar{z} = 1\}. \] On trouvait, si $\zeta \in \mathbb{R}$ tel que \[ \begin{cases} \zeta^{n} = 1 \qquad \zeta^{d} \neq 1 \text{ si } 1 \leq d < n,\ d \mid n \\ S = \{\zeta^{i} s_0 \mid i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\} \\ a_i = \mathrm{Dr}(s_i, s_{i+1}) \end{cases} \] Au-dessus de la seconde condition, une petite insertion « $s_0 = s_1$ » précédée d'un crochet, dont la place dans la formule n'est pas claire. inversement, il est clair que les polygones ainsi obtenus sont « réguliers » au sens proposé. en fait, $S$ et $A$ sont des torseurs sous $Z$, i.e. $Z$ est simplement transitif sur $S$ et $A$

Si on prend les autom. euclidiens de $E$ sans plus ⌜qui laissent $P$⌝, ils ont une propriété plus de transitivité plus forte : ils sont ⌜leur groupe $D$ est⌝ transitif sur l'ens. des repères du polygone (et évidemment simplement transitif), puisque $S$ engendre affinement $E$.

52Nous préférons ne pas nous donner de métrique d'avance, et prendre les autom. affines de $E$ qui conservent $P$, et exiger qu'ils soient transitifs sur l'ens. des repères. On récupère la métrique à peu près de façon unique modulo homothétie — mais parfois elle sera dégénérée ! (Si on exigeait dès le début une métrique non dégénérée, on perdrait des cas […] ⌜fort intéressants⌝ du point de vue arithmétique — en fait, les seuls cas vraiment nouveaux !) Pratiquement, ce nouveau pt de vue consiste : regarder tous triangles comme polygones réguliers, ainsi que tous parallélogrammes ! (Mais non vrais réguliers pour une métrique donnée…)

Définition en forme

1)Polygone régulier (NB pour tt polygone, l'ens. des sommets engendre affinement $E$, donc un autom. affine est connu quand on connaît sa restriction à $S$)
2)Réalisation géométrique régulière d'un polygone combinatoire $\Pi$…

Polygone combinatoire et repères

(1.) Polygone combinatoire $(S,A,R)$, $S$, $A$ ens. ⌜sommets, arêtes⌝, $R \subset S \times A$ ⌜repères⌝ relation, axiomes 1) $R \to A$ de degré $2$ 2) $R \to S$ de degré $2$, 3) Connexité. [Quand on laisse tomber l'axiome 3) de connexité, on parle de « contour combinatoire » ; quand on laisse tomber $R \subset$ 2) ($R \to S$ de degré $2$) on parle de graphe ; quand on ⌜se donne⌝ prend $R \to S$ et $R \to A$, sans supposer $R \hookrightarrow S \times A$, on parle de graphe complexe combinatoire ⌜$1$-cellulaire⌝ combinatoire (on parlerait encore de « graphe » en un sens légèrement généralisé).]

(2.) Si $R \rightrightarrows \begin{smallmatrix} S \\ A \end{smallmatrix}$ est un contour, on définit \[ \begin{array}{ll} \sigma_1 & (\text{involution sans pt fixe de } R \text{ telle que } R/\sigma_1 \simeq S) \\ \sigma_0 & (\qquad\text{---}\qquad\text{---}\qquad\text{---}\qquad R/\sigma_0 \simeq A) \end{array} \] Soit $\mathfrak{G}_1$ le groupe défini par \[ \mathfrak{G}_1 = \{\sigma_0,\sigma_1 \mid \sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = 1\} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} * \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \] donc on a un foncteur […] de la catégorie des contours dans la cat. des $\mathfrak{G}_1$-ens. $R$ tels que a) $\sigma_0$, $\sigma_1$ opèrent sans pt fixe dans $E$, b) $\forall x \in E$, … $\sigma_0 x \neq \sigma_1 x$ [i.e. on exclut les $\mathfrak{G}_1$-orbites dans $E$ […] de cardinal $2$] — ce qui exprime que $R \to S \times A$ (où $S \overset{\mathrm{df}}{=} R/\sigma_1$, $A \overset{\mathrm{df}}{=} R/\sigma_0$) est

55injectif […].

Prop. Ce foncteur \[ (\text{Contours comb.}) \longrightarrow \mathfrak{G}_1\text{-ens.\ ``admissibles''} \] est une équivalence de catégories. ⌜c'est une tautologie….⌝

(3) Il est utile […] d'écrire $\mathfrak{G}_1$ ⌜$= D_\infty$⌝ à l'aide des générateurs $\sigma_1$ et \[ \begin{cases} \sigma = \sigma_1 \\ u = \sigma_1\sigma_0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{array}{l} \sigma_1 = \sigma \\ \sigma_0 = u^{-1}\sigma \end{array} \] Dans la seconde colonne, une première écriture de $\sigma_0$ (commençant par $\sigma$) est noircie ; seule reste $u^{-1}\sigma$. Dans la première, l'expression de $u$ a été réécrite sur une rature. donc… \[ \mathfrak{G}_1 = \{\sigma,u \mid \sigma^{2} = 1,\ \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1}\} \] i.e. \[ \mathfrak{G}_1 = \underbrace{\mathbb{Z}\cdot\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}_{\substack{\| \\ D_\infty\ (\text{groupe diédral infini})}} \] produit semi-direct avec $\sigma$ (géné. de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$) opérant sur $\mathbb{Z}$ par symétrie ⌜les involutions⌝. NB La condition $\sigma_0 x \neq \sigma_1 x$ $\forall x \in R$ signifie qu'on exclut les « monogones » $=$ polyg. à $1$ côté…

La condition que $\sigma_0$ et $\sigma_1$ opèrent sans pt fixe dans $R$ s'écrivent par \[ \left\{\begin{array}{l} \sigma x \neq x \\ u^{-1}x \neq \sigma x \end{array}\right. \qquad \forall x \in R \] La condition $\sigma_0 x \neq \sigma_1 x$ $\forall x \in R$ se transcrit par \[ u^{-1}x \neq x \qquad \forall x \in R \] donc ensemble avec les deux précédentes est équivalente à : \[ \forall x \in R, \quad \operatorname{Card}\{x, \sigma x, ux\} = 3 \] Notons que l'on a \[ 1 \longrightarrow \mathfrak{G}_1^{\circ} \longrightarrow \mathfrak{G}_1 \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow 1 \] Notons que […] est […] d'ind. d'indice $2$, donc […] splitting Cette dernière ligne est serrée contre le bord inférieur de la feuille et en grande partie illisible.

56(4) Cor. de Prop. Les polygones comb. (ie contours connexes) correspondent aux espaces homogènes sous $\mathfrak{G}_1 = D_\infty$, tels que le stabilisateur d'un point quelc. ne contienne ni $\sigma$, ni $u$, ni $\sigma u$.

⌜Quels sont⌝ ces sous-groupes ⌜de $D_\infty$⌝ ? […] ⌜sous-groupes ne contenant⌝ qui ne soient contenus ⌜ni $\sigma$, ni $u$⌝, sont réduits ⌜($n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$)⌝ à des sous-groupes de la forme $n\mathbb{Z}$ (ss-groupe cyclique infini engendré par $u^{n}$) […] — c'est donc un ss-groupe invariant tel que le quotient soit isomorphe au groupe \[ \begin{aligned} \mathbb{D}_n &= \{\sigma,u \mid \sigma^{2} = 1,\ \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1},\ u^{n} = 1\} \\ &= \{\sigma_0,\sigma_1 \mid \sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = (\sigma_0\sigma_1)^{n} = 1\} \\ &\simeq \mathbb{Z}_n\cdot\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \quad (\text{produit semi-direct},\ldots.) \end{aligned} \] où $2 \leq n \leq +\infty$ ($n \in \mathbb{N}$).

(Condition évidemment suffisante. Pour la néc., il suffit de prouver que a) $H \subset \mathfrak{G}_1^{\circ} = \mathbb{Z}$ b) $H \neq \mathfrak{G}_1^{\circ}$ i.e. $H \not\ni u$ (ce qui est vrai par hyp. : $\sigma, u, \sigma u \notin gHg^{-1}$ $\forall g \in \mathfrak{G}_1$). Si on avait $H \not\subset \mathfrak{G}_1^{\circ}$, i.e. $\exists n \in \mathbb{N}$ avec $u^{n}\sigma \in H$. En b), la lettre devant l'exposant $\circ$ ressemble à $\mathbb{Z}_1$ ; on lit $\mathfrak{G}_1^{\circ}$ d'après a).

Or on a $u^{2}\sigma$ \[ \begin{cases} \operatorname{int}(u^{m})(\sigma) = u^{m}\sigma u^{-m} = u^{m}(u^{m}\sigma) = u^{2m}\sigma \\ \operatorname{int}(u^{m})(u\sigma) = u^{2m+1}\sigma \end{cases} \] ce qui implique que, ou bien $u^{n}\sigma$ conjugué à $\sigma$ ($n$ pair), ou bien $u^{n}\sigma$ conjugué à $u\sigma$ ($n$ impair), donc $\sigma$ ou $u\sigma$ appartient à un conjugué de $H$, contrairement à l'hyp.

57Soit $\Pi_n$ ($n \in \mathbb{N}$, $2 \leq n \leq +\infty$) le polygone combinatoire défini par $\mathbb{D}_n$, considéré comme espace homogène sous $\mathfrak{G}_1$. Alors \[ \Pi_n = (S_n, A_n, R_n) \] avec \[ S_n = \langle u\sigma \rangle\backslash \mathbb{D}_n \simeq \mathbb{Z}_n = \{s_i\}_{i \in \mathbb{Z}_n} \qquad (u\sigma = \sigma_0) \] Devant $\backslash\mathbb{D}_n$, un premier symbole est noirci ; $u\sigma$ est écrit au-dessus, et la parenthèse « $u\sigma$ / $\sigma_0$ » en dessous. [car $(u\sigma)^{2} = 1$ donc $u\sigma$ définit une section de l'ext. de $\mathbb{Z}_2$ par $\mathbb{Z}_n$] \[ A_n = \langle\sigma\rangle\backslash \mathbb{D}_n \simeq \mathbb{Z}_n = \{a_i\}_{i \in \mathbb{Z}_n} \qquad (\sigma = \sigma_1) \] enfin, la relation d'incidence est donnée par \[ (s_i, a_i) \quad\text{et}\quad (s_{i+1}, a_i) \quad \text{incidents.} \]

Une ligne brisée : le segment $a_0$ de $s_0$ à $s_1$, puis le segment $a_1$ de $s_1$ à $s_2$, puis l'amorce d'un troisième segment, vertical, au-dessus de $s_2$.

On retrouve la description des polyg. comb. d'avant, sauf le fait que la classe d'isom. est caractérisée par le […] des côtés $=$ […] d'arêtes.

(Corollaire 2) Si $\Pi$, $\Pi'$ sont deux polygones combinatoires iso, alors et $r \in \mathrm{Rep}(\Pi)$, alors \[ \begin{array}{rcl} \mathrm{Isom}(\Pi,\Pi') & \xrightarrow{\ \sim\ } & \mathrm{Rep}(\Pi') \\ \varphi & \longmapsto & \varphi(r) \end{array} \] C'est une conséquence particulière d'un théorème sur les

58espaces homogènes réguliers (ou « distingués »).

Exemples :

Corollaire 3. Un polygone combinatoire de $n$-gone ($2 \leq n \leq \infty$) muni d'un repère est défini à isom. unique près — et est canon. isom. à $\Pi_n$.

Corollaire 4. \[ \begin{array}{ll} \mathrm{Aut}(\Pi_n) \simeq \mathbb{D}_n & (\text{canon.}) \\ \mathrm{Aut}(\Pi) \simeq \mathbb{D}_n & (\text{non canon.}) \text{ si } \Pi \text{ $n$-gone} \end{array} \]

NB. La restriction supplémentaire $\sigma_0 x \neq \sigma_1 x$ $\forall x \in E$ (en plus de $\sigma_0$, $\sigma_1$ sans pt fixe) sur les $\mathfrak{G}_1$-ens. correspondants à des contours, […] revient à l'exclusion des orbites de la forme $\mathbb{Z}_2 \ldots$ $\mathbb{D}_1$ — géom. exclusion des polygones à $1$ côté. On pourrait les inclure, en n'exigeant pas $R \hookrightarrow S \times A$.

De […] façon, $=$ avec la restriction sur les orbites, il semble qu'il serait encore plus large dans la définition, si on compare à celle des polyèdres combinatoires — où on exige que ⌜dans⌝ […] […] […] […] […]. Je crois l'exigence analogue reviendrait à exiger que […] […] $n \geq 3$ — […] : […]

59condition, appelons-la, que l'ens. […] d'un polygone comme une structure sur $\underline{S}$ (ens. des sommets) — à savoir un […] des $2$ […] circulaires — est valable. Pour la suite, on n'aura à regarder que les cas $n \geq 3$.

6. Orientation d'un contour

a) Soit $R^{+} \subset R$, […] $R^{-} = R \setminus R^{+}$. Conditions équivalentes

a)$\sigma_0 R^{+} = \sigma_1 R^{+} = R^{-}$
b)$R^{+} \xrightarrow{\ \sim\ } S$, $R^{+} \xrightarrow{\ \sim\ } A$

On dit alors que $R^{+}$ est une orientation c'est aussi une partie ⌜$R^{+}$⌝ de $R$ qui est le graphe d'une bijection $S \xrightarrow{\ \sim\ } A$. Orientation […] ⌜[…] orientations⌝ ⌜contours […]⌝ ⌜[…] $\Pi$ […]⌝

b) $\mathrm{Or}\bigl(\coprod_{i \in I} C_i\bigr) \simeq \prod \mathrm{Or}(C_i)$

si $(C_i)_{i \in I}$ est une famille de contours. Sous le symbole de somme, un premier indice est noirci ; « contours » est écrit sous $C_i$.

c) Si $\Pi$ est un polygone combinatoire, alors $\operatorname{card} \mathrm{Or}(\Pi) = 2$, et $R$ est ⌜donc⌝ […] disjointe de la […] famille des deux orientations ⌜lesquelles sont opposées l'une de l'autre⌝ de $\Pi$. […] orientations Les deux orientations sont les deux orbites de $\mathfrak{G}_1^{\circ}$ dans $R$.

60Pour prouver a), notons que $\sigma_i R^{+} = R^{-}$ $\Longleftrightarrow$ $\sigma_i R^{-} = R^{+}$ ($i \in \{0,1\}$), donc si $R^{+}$ est une orientation, on aura $uR^{+} = R^{+}$ donc $\mathfrak{G}_1^{+}(R^{+}) \subset R^{+}$, et $gR^{+} = R^{-}$ si $g \in \mathfrak{G}_1 \setminus \mathfrak{G}_1^{\circ} = \mathfrak{G}_1^{-}$, Il suffit de voir que et inversement. […] dans le cas d'un polygone, […] $\simeq \Pi_n$, on voit immédiatement que $\mathfrak{G}_1^{+}$ opérant sur $R \simeq \mathbb{D}_n$ a ⌜exactement⌝ deux orbites, ⌜lesquelles sont⌝ qui échangées par $\sigma$, savoir $\mathbb{D}_n^{+}$ et $\mathbb{D}_n^{-}$, ce sont donc ici les orientations.

(7.) Prop. Soit $\Pi$ ⌜$= (S,A,R)$⌝ polygone combinatoire, ⌜dièdre⌝, $G = \mathrm{Aut}\,\Pi$, donc $\mathrm{Or}(\Pi)$ a deux éléments et $G$ opère […] de structure… \[ G \longrightarrow \mathfrak{S}_{\mathrm{Or}(\Pi)} \simeq \pm 1, \] […] Soit $G^{+}$ le noyau, ⌜[…] ainsi⌝ une suite exacte \[ 1 \longrightarrow G^{+} \longrightarrow G \longrightarrow \{\pm 1\} \longrightarrow 1 \] et la classe de $G^{-} = G \setminus G^{+}$ est d'ordre $2$, donc splitte cette suite exacte,

a)$R$ est torseur $G^{+}$ est cyclique d'ordre $n$, […] ⌜[…]⌝ ([…] $S$, $A$ […] ⌜i.e. $A^{-1}$ de $\pm 1$⌝) […] opère par symétrie.
b)$R$ est un torseur sous $G$, $S$, $A$ sont torseurs sous $G^{+}$.

La proposition se poursuit vraisemblablement au-delà de ce lot.