Fonds Grothendieck, cote n° 78, pages 21–40

la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée avant ce lot ; les renvois (11), (12), (13), (19) et aux propositions 1 à 3 visent des pages antérieures.

donne une bijection ((19) disait que c'était une surjection) entre l'ens. des isom. \mathrm{Isom}((E,\varphi),(E',\varphi')) et l'ens. des n-pol. rég. ép. sous-jacents à : \varphi'.

D'une façon suggestive, on peut dire que la donnée d'un polygone n-régulier sous-jacent à une repr. \varphi admissible (ce qui revient au même, le choix d'un pt s \in D_n^{*}) revient à la donnée d'un épinglage de \varphi (ayant comme effet d'éliminer les automorphismes — ou G opère librement sur D_n^{*} — sans introduire de nouvelles données d'isom. — ou G opère transitivement —). l'indice de D^{*} est mal formé sur cette page ; on le lit n d'après la p. 24, où D_n^{*} \setminus D_n^{0} est écrit nettement.

IV. Où on laisse tomber les conditions de fidélité

Considérons des données (11) satisfaisant (13) mais pas néc. (12) ; donc : pas l'unimodularité ; on laisse tomber la condition \varphi fidèle. Comment se présente-t-elle ?

Proposition 4 ~~Pour que \varphi soit fidèle, il faut et il suffit que~~

(a) Si v \in D_n^{0}, i.e. v = u^{i}, alors v_E = \mathrm{id} \iff v(s_0) = s_0 .

(b) Pour que \varphi soit fidèle, il faut et il suffit que \varphi \mid D_n^{0} soit fidèle, (ou encore) que u^{i} s_0 = s_0 \implies i \equiv 0 \ (n) \qquad (\text{i.e. } u^{i} = 1), ou encore que \forall d \in \mathbb{N}^{*}, d \mid n, on ait u^{d}(s_0) \neq s_0. sous \mathbb{N}^{*} un signe isolé, peut-être une retouche (« d \neq n » ?), non lu.

(c) ~~fait~~ Le noyau de \varphi est engendré par un (unique) élément u^{d}, où d est un diviseur de n tel que n' = n/d \geq 3 ~~d \geq 3.~~ ~~tel que \varphi~~ ~~est induit par~~

Dém. (a) v_E = \mathrm{id} \iff v(s_\nu) = s_\nu \quad \forall \nu (car les s_\nu engendrent affinement E) or s_\nu = u^{\nu} s_0, donc v(s_\nu) = v u^{\nu} s_0 = u^{\nu} v s_0, donc il suffit v(s_0) = s_0.

(c) Le noyau de \varphi \mid D_n^{0} est un sous-groupe de D_n^{0} = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, donc ~~de la~~ c'est le s-groupe engendré par un u^{i}, où i est un diviseur > 0 déterminé de n — et que a priori pourrait être 1 ou 2. Mais si i n' est tel que n = n' d ~~\varphi se factorise en~~ ~~\varphi' : D_{n'} \to \mathrm{Aff}(E)~~ on aura que \mathrm{card}\, S = n', et comme S engendre aff. E, on aura n' \geq 3. Enfin, comme \varphi se factorise par \varphi' : D_{n'} \longrightarrow \mathrm{Aff}(E) avec \varphi' \mid D_{n'}^{0} fidèle — et que les conditions (11) sont évidemment satisfaites aussi par \varphi' — (b) implique que \varphi' est fidèle, donc \mathrm{Ker}\, \varphi est le même que \mathrm{Ker}(\varphi \mid D_n^{0}).

(b) ~~Résulte de \varphi \mid D_n^{0} équivalent à fidèle.~~ remarque sur (c) l'étiquette du premier alinéa est mal formée ; la démonstration est celle de (c), et elle s'appuie sur (b), qui reste sans démonstration propre.

Corollaire 1 Si v \in D_n^{*} \setminus D_n^{0}, alors \varphi(v) \neq \mathrm{id}_E.

En effet, ~~car~~ il est clair que \varphi(v) échange les deux ordres circulaires \{v_E \mid v \in \omega\} ~~sur~~ S, ~~distincts de l'opposé~~ , donc ne peut être l'identité sur S, ~~donc v_E~~ donc pas non plus sur E.

Corollaire 2 Considérons la situation du (b) ci-dessus. Alors ~~\varphi' : D_{n'}~~ \begin{cases} \varphi' : D_{n'} \longrightarrow \mathrm{Aff}(E) \\ s_0 \in E \end{cases} définissent dans E un polygone épinglé à n' côtés.

Scholie On peut considérer que la donnée \{\varphi, s_0\} ~~correspond~~ : une réalisation géom. d'un polygone comb. type \Pi_0(n), qui est un revêtement à d feuillets de la réalisation géom. (\varphi', s_0) ~~des~~ du polyg. comb. type \Pi_0(n').

Quand on fixe des cohérents avec un

n fixé, on trouve d'abord des repr. \varphi : D_n \to \mathrm{Aff}(E), sans savoir d'avance quand elles sont fidèles — ceci serait une question d'un autre type que les précédentes (trouver les solutions satisfaisant les conditions (13)), demandant une analyse plus délicate de la situation. Surtout quand on regardera des réalisations géom. d'un \Pi_0(n) sur un anneau plus général qu'un corps, tel que \mathbb{Z} ou mieux, les anneaux tels que \mathbb{Z}[T]/(T^{n}-1), ou les anneaux cyclotomiques — on trouvera pour les fibres les (y compris en car. ) une repr. fidèle, tandis qu'en caractéristiques elles devraient être fidèles (ou fidèles ?)) — elles n'en cessent pas

pour autant d'exister, et de définir des polygones réguliers en un , mais à un nb plus petit de côtés (diviseur de n). Ce serait emprisonnant — et finalement d'ailleurs artificiel — de traîner tout au long dans les données la condition de fidélité, au lieu de se borner à l'examiner seulement aux moments ~~voulus~~ où cette considération est utile.

V. des \infty-polygones

le premier mot du titre est récrit sur un mot biffé ; ni l'un ni l'autre n'est lu.

On peut aller encore plus loin, en notant que la donnée de (11) (a) revient : la donnée de (14)\qquad \begin{cases} \sigma_E,\ \sigma'_E \in \mathrm{Aff}(E) \quad \text{satisfaisant} \\ \sigma_E^{2} = \sigma_E'^{2} = \mathrm{id}_E , \quad (\underbrace{\sigma'_E \sigma_E}_{u_E})^{n} = \mathrm{id}_E \end{cases} ~~satisfaisant~~ ~~(15) la fidélité signifiant que ()~~ et la donnée de s_0 ~~la fidélité~~ satisfaisant ~~(15)~~ (13) \begin{cases} \sigma_E s_0 = s_0 \\ s_0,\ s_1 = u_E s_0 \ \text{et}\ s_2 = u_E^{2} s_0 \ \text{sont non alignés} \end{cases} dans la seconde ligne, avant s_1 = u_E s_0, une première écriture biffée (\sigma_E \ldots) n'est pas reproduite.

la condition de fidélité s'écrit (15)\qquad \forall \text{ diviseur } d \mid n, \ \text{on a} \ u_E^{d}(s_0) \neq s_0 u_E^{d} \neq \mathrm{id} i.e. (cf prop 4 (b)) — et il suffit de l'exiger pour 3 \leq d \leq \left[\frac{n}{3}\right] (donc si 3 \leq n \leq 8, cette condition est automatiquement satisfaite, ce premier entier où elle ne l'est pas est n = 9, où il suffit de tester pour n = 9 — le 9-gone régulier pouvant dégénérer en trois fois un 3-gone régulier —). — Mais on peut fort bien laisser tomber cette condition de fidélité, et laisser tomber même la condition (14) (\sigma'_E \sigma_E)^{n} = \mathrm{id}_E ce qui signifie qu'on regarde en fait une représentation (16)\qquad \varphi : D_\infty \longrightarrow \mathrm{Aff}(E) du groupe diédral infini, sans se préoccuper si elle se factorise par D_n — étant entendu qu'

on s'intéressera plus particulièrement, parmi les actions en question, aux repr. de D_\infty qui veulent bien se factoriser par D_n. C'est dire que, de ce point de vue, la question de fidélité ne se pose plus — les représentations peut-être les plus intéressantes de D_\infty — celles qui donnent naissance aux polygones réguliers finis — étant précisément non fidèles !

Pt de vue \Pi-épinglé ( \infty-polygones ) note marginale écrite en oblique, reliée par un trait à « fidèles » ; lecture très incertaine.

Arrivé à ce point, il y a lieu de considérer — de même que des polygones \Pi = (S, \omega) combinatoires infinis (tous connexes ou repr.) polyg. comb. finis — des réalisations géom. de ceux-ci (qui sont fidèles), et de même des repr. géométriques régulières, qui sont données par la donnée d'une

réalisation géom. satisfaisant les conditions : (17)\qquad \forall v \in \mathrm{Aut}(\Pi), \quad \exists !\, v_E \in \mathrm{Aut}(E) telle que v_E(\varphi(s)) = \varphi(v(s))

\begin{tikzcd} S \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "v"'] & E \arrow[d, "v_E"] \\ S \arrow[r, "\varphi"'] & E \end{tikzcd}

~~Ce que~~ La donnée d'une telle réalisation revient : la donnée (18)\qquad \begin{cases} \text{a)}\ \ \varphi_\Gamma : \Gamma = \mathrm{Aut}(\Pi) \longrightarrow \mathrm{Aff}(E), \quad v \longmapsto v_E \quad \text{homom.\ de groupes} \\ \text{b)}\ \ S \xrightarrow{\ \varphi_S\ } E \end{cases} (application compatible avec les opérations de \Gamma) satisfaisant les seules conditions supplémentaires (19)\qquad S_E \ \text{n'est pas contenu dans une droite} ~~(20)~~ à gauche de (19), un griffonnage biffé (une première numérotation (19), (20)) n'est pas reproduit.

Si on se fixe d'avance i_0 \in S, et si \sigma_0 désigne l'unique élt. de \Gamma \neq 1 tel que ~~\sigma_0 i_0 = i_0~~ (20)\qquad \sigma_0 \neq 1_\Gamma , \quad \sigma_0 i_0 = i_0 la donnée de \varphi_S équivaut (pour \varphi_\Gamma donné) à la donnée de (21)\qquad \begin{cases} s_0 \in E & [\, s_0 = \varphi_S(i_0) \,] \\ \text{satisfaisant} & \sigma_0 s_0 = s_0 \end{cases} et la condition (19) équivaut, donc, si on choisit u \in \omega, à (22)\qquad \text{\struck{$s_0 \neq s_1$, $s_0 \in E$}} \quad s_0,\ s_1 = u s_0,\ s_2 = u^{2} s_0 \quad \text{non alignés.}

Mais la donnée de (s_0, u) équivaut : celle d'un épinglage de \Pi, i.e. d'un ~~autre \Pi de~~ isom. \Pi \simeq \Pi_0(n) (où n est un entier \geq 3 ou +\infty), et la donnée de a) ~~(a)~~ équivaut donc : la donnée de (14) (sauf la dernière condition de (14), si n = +\infty) ~~condition~~, et celle de (b) équivaut : la donnée de s_0 \in E satisfaisant la première relation \sigma_E s_0 = s_0, et la condition (19) se traduisant par (22). D'où résumé :

Prop 5 Les ~~repr.~~ réalisations géom. régulières dans E de \Pi_0(\infty) correspondent aux ~~couples~~ triples (\sigma_E, \sigma'_E, s_0) de deux automorphismes affines de de E \sigma_E,\ \sigma'_E \in \mathrm{Aff}(E) et d'un ~~s_0 \in E, satisfaisant les~~ s_0 \in E satisfaisant les conditions \begin{align*} &(1^{\circ}) && \sigma_E^{2} = \sigma_E'^{2} = \mathrm{id} \\ &(2^{\circ}) && \sigma_E s_0 = s_0 \\ &(3^{\circ}) && s_0,\ s_1 = u_E s_0,\ s_2 = u_E^{2} s_0 \ \text{non alignés} \end{align*} (où l'on a posé u_E = \sigma'_E \sigma_E). en (3°), devant s_0, une formule surchargée et biffée n'est pas reproduite.

~~et enfin la condition d'unimodularité~~ ~~(4^{\circ}) u_E unimodulaire~~

On dit que la réalisation régulière est unimodulaire si elle satisfait (4^{\circ})\qquad u_E \ \text{est unimodulaire.}

Scholie En étendant ces objets, on étudie simultanément tous les n-polygones réguliers épinglés pour n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 3 — ils correspondent aux cas où u_E est d'ordre fini, et n est l'ordre de u_E — et même davantage qu'un nouveau type d'objets : les \infty-polygones réguliers épinglés.

Remarque Les considérations finales concernant les polygones réguliers s'étendent aux \infty-polygones réguliers sans dégâts. Notamment tous prop. 1, et corollaire, la prop. 2 (qui s'étend en l'énoncé évident ~~avec~~) en ce qui concerne la dernière question de fidélité D_\infty \hookrightarrow \mathrm{Aff}(E) correspond ~~conditions~~ finies. Bien sûr \infty-pol. rég.

Mais il conviendrait de donner la définition des polygones réguliers généraux (finis ou ) au lieu de la définition d'abord donnée, à cas finis … note marginale écrite en oblique dans la marge gauche du bas de la page, raccordée par un trait à « prop. 1 ».

la prop. 3 montrant le lien exact entre \infty-polygones réguliers et repr. affines du groupe diédral infini, enfin la prop. 4 (où dans (b) et (c), il ne faut plus parler de divisibilité, puisque n est ici remplacé par \infty …)

NB J'ai omis, pour une donnée d'iso. des réal. géom. régulières ~~des~~ polygones combinatoires, ~~il y a~~ « » \alpha \in k, maintenant \alpha \in k n'est plus soumis à aucune condition, cyclotomique ou autre — ) il y a lieu de dire « la » repr. aff. sur E correspondant au représentant épinglé (ant. unique). Plus général et plus intrinsèque, si \Pi est un polyg. combinatoire fini ou infini, notons que la cat. de ses réalisations géom. régulières est rigide (sans automorphismes autres que l'identité) — il y a lieu par là de parler d'une (ou de la = \alpha) réalisation = E(\Pi), E — étant entendu que si on sait une

C'est un des intérêts techniques d'éliminer au départ de la théorie …

réalisation intrinsèque, de façon que l'opération de \Gamma \simeq \mathrm{Aut}(\Pi) sur E(\Pi) sera obtenue automatiquement. (Je montre donc simplement : décrire S \longrightarrow E(\Pi) compatible avec l'op. de \Gamma …).

VI. Opérations \Psi_r d'étoilage d'un polygone

Soit (S, \omega) un polygone combinatoire, et soit r \in \mathbb{Z}, considérons (23)\qquad \Psi_r(\omega) = \{\, u^{r} \mid u \in \omega \,\} ~~A' que~~

Prop 6 a) Pour que (S, \Psi_r(\omega)) soit un polygone combinatoire (i.e. pour que u^{r} opère transitivement sur S) il faut et il suffit que S \mathrm{card}(S) = n soit fini, et que (r, n) = 1. ~~Si \mathrm{card}(S) = n,~~

b) Si ~~\mathrm{card}\, S = n~~ n est fini, ~~\Psi_r(\omega)~~ alors pour r, r' \in \mathbb{Z}, on a \Psi_r(\omega) = \Psi_{r'}(\omega) \iff r' \equiv \pm r \ (n) ~~\mathbb{Z}^{*}/\pm \longrightarrow \mathrm{Pol}(S)~~ donc \Psi_n opère librement sur \mathrm{Pol}(S).

c) On a, pour r, r' \in \mathbb{Z} \Psi_r(\Psi_{r'}(\omega)) = \Psi_{rr'}(\omega) i.e. (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} opère sur l'ens. \mathrm{Pol}(S) des structures de polygones généraux sur S. En fait, c'est (24)\qquad (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}/\{\pm 1\} \overset{\text{déf}}{=} \Psi_n pour \mathrm{Pol}(S), qui opère librement. la formule (24) et la fin de c) sont écrites dans la marge gauche et en tête de la marge, reliées par une flèche ; le texte biffé autour de b) est très surchargé et seule sa partie lisible est rendue.

Dém. Soit u \in \omega. La condition que (S, \omega) soit un polyg. comb. est que \mathbb{Z} opère (via u) transitivement sur S et n \geq 3, i.e. revient à que S soit un torseur sous \mathbb{Z}_n (où \mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} si n fini, \mathbb{Z}_\infty = \mathbb{Z}). ~~Dans l'opération de~~ L'opération de \mathbb{Z} sur S déduite des u^{r} \in \Psi_r(\omega) n'est autre que celle qui se factorise par \mathbb{Z}_n et se déduit de l'op. précédente via l'homom. \mathbb{Z}_n \xrightarrow{\ r\,\mathrm{id}_{\mathbb{Z}_n}\ } \mathbb{Z}_n Donc elle fait de S un \mathbb{Z}_n-torseur ssi r\,\mathrm{id}_{\mathbb{Z}_n} est un iso, ce qui signifie que n fini et (r, n) = 1.

(b) ~~\Psi_r(\omega) = \Psi_{r'}(\omega)~~

(c) \Psi_r(\omega) = \Psi_{r'}(\omega) signifie u^{r'} = u^{r} \quad \text{ou} \quad u^{r'} = (u^{-1})^{r} \ (= u^{-r}) donc r' \equiv r \ (n) \quad \text{ou} \quad r' \equiv -r \ (n). l'alinéa marqué (c) démontre en fait b) de la Prop. 6.

Remarque Une structure de n-pol. orienté sur S équivaut : la donnée d'une permutation circulaire u sur S,

ou encore : la donnée d'une structure de \mathbb{Z}_n-torseur sur S (n = \mathrm{card}\, S). On trouve l'opération \Psi_r (r \in \mathbb{Z}_n^{*}) (25)\qquad \Psi_r(u) = u^{r} sur l'ens. des structures pol. orientées sur S, donc on a une opération de \mathbb{Z}_n^{*} sur l'ens. \mathrm{Polor}(S) des structures de polygone orienté sur S. Ici cette opération est encore libre.

Si P = (E, S, \omega) est un n-polygone régulier, on définit (26)\qquad \Psi_r(E) = (E, S, \Psi_r(\omega)) \qquad (\text{si } (r, n) = 1) qui a encore un sens c'est un polygone de E, de même que partie de E, mais avec une autre structure combinatoire dessus. Ici ~~\mathbb{Z}/\pm 1~~ \Psi_n opère librement sur l'ens. \mathrm{Polreg}_n(E) des n-polygones réguliers plongés de E. De même, D = \mathbb{Z}_n^{*} opère librement sur l'ens. des n-polyg. rég. orientés. Item pour pol. rég. épinglés en (26) le premier membre est bien écrit \Psi_r(E), pour \Psi_r(P).

(plutôt pour les n-pol. rég. orientés munis d'un sommet !) ~~Enfin, condition \Pi d'unimodularité invariante n-polygone~~ ~~combinatoire,~~

NB Si on a une ~~repr.~~ réal. géom. régulière d'un n-polygone comb. \Pi = (S, \omega) (n fini), alors \Psi_r sera la repr. de \Psi_r(\Pi) = (S, \Psi_r(\omega)) définie par la même injection S \longrightarrow E — la condition de régularité sera en effet invariante par passage de \omega à \Psi_r(\omega), étant donné que ~~le groupe des~~ l'on a évidemment (27)\qquad \mathrm{Aut}(\Pi) = \mathrm{Aut}(\Psi_r(\Pi)) en tant que s-groupes de \mathfrak{S}_S, i.e. les normalisateurs dans \mathfrak{S}_S de \omega ~~est~~ ~~\Psi_r~~ \Psi_r(\omega) sont évidemment les mêmes (ce qui normalise \omega normalise \omega' = \Psi_r(\omega), et inversement car on aura \omega = \Psi_{r'}(\omega'), si r' est un inverse de r dans \Psi_n).

Question Peut-on avoir isomorphie entre un n-polygone régulier P et \Psi_r(P), si r \in \Psi_n, r \neq 1 dans \Psi_n (i.e. si r \in \mathbb{Z}_n^{*}, r \neq \pm 1 dans \mathbb{Z}_n^{*}) ? On trouvera

en termes de l'invariant \alpha que l'isomorphie entre P et \Psi_r(P) équivaut : une condition de la forme \Psi_r(\alpha) = \alpha [où \Psi_r \in \mathbb{Z}[\ldots] p.l. conn., on dirait que , pour …] On trouvera que si (n, p) = 1 on aura \Psi_r(\alpha) \neq \alpha si r \neq 1 dans \Psi_n, tandis que si ~~complexe~~ p \mid n (ou bien n = p, p impair, ou bien n = 2p) alors ~~tous~~ les n-pol. réguliers sont non isom.

~~Mais~~ Dans ces cas où puisque (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*} \simeq \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} i.e. r_n \neq 1 est d'ordre > 2 sauf si p = 2, 3 ~~( p = 2 )~~, (ce qui correspond à l'hexagone) la réponse est connue et négative, sauf dans les seules trois cas analogues à l'hexagone (cas ?). passage très rapide, plusieurs fois récrit ; seuls les énoncés mathématiques sont sûrs.

On peut retenir quand même que \Psi_r a une nette tendance : changer la classe d'isomorphie d'un n-polygone régulier. voir

On va définir les \Psi_r (r \in \mathbb{Z}) sans restriction sur r pour les repr.

géom. des \infty-polygones combinatoires épinglés \Pi_0(\infty). Pour ceci, on note que ~~la donnée de la \Pi_0(n)~~, , ~~la repr.~~ (pour n quelconque, fini ou infini) la donnée de la repr. D_n \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathrm{Aff}(E) équivaut aussi : la donnée de (28)\qquad \begin{cases} \sigma_E,\ u_E \in \mathrm{Aff}(E) \\ \text{satisfaisant} \\ \sigma_E^{2} = \mathrm{id}_E ,\quad \sigma_E u_E \sigma_E^{-1} = u_E^{-1} \end{cases} et si n fini u_E^{n} = \mathrm{id}_E, tandis que la donnée s_0 \in E ~~satisfait~~ et les conditions (2^{\circ}) et (3^{\circ}) de la prop. 5 détaillées par ~~par~~ le degré de u_E en u_E^{r} — qui a un sens quel que soit r \in \mathbb{Z}, et (dans n fini) conserve : simplifie la condition u_E^{n} = \mathrm{id} (après remplacement de u_E par u_E^{r}). Quant : la condition 2^{\circ}) de non-alignement de s_0, u^{r} s_0 et u^{2r} s_0 (ou de tous les u^{ir} s_0, i \in \mathbb{Z}, ce qui revient au même) il écrit ici « condition 2°) » pour la condition de non-alignement, numérotée (3°) dans la prop. 5.

elle peut ne pas être satisfaite, en fait si elle est satisfaite par u_E^{r} ~~elle~~ dépend des choix de u_E et s_0 (\sigma_E est ici indifférent : une droite) — donc des « invariants » \alpha. ~~On a,~~ Par ex. si n = \infty mais si \alpha est tel que la repr. de D_\infty se factorise par D_n, donc u^{n} = \mathrm{id}, cette condition ne sera pas satisfaite.

Néanmoins on a vu, que \Psi_r(\alpha) — il n'a pas à être défini par la \alpha — il se pose donc la question de la signification géom. de ~~\Psi_r(\alpha)~~ la repr. de D_\infty associée à \Psi_r(\alpha), dans le cas « exceptionnel » \alpha, r ! [ , pour \alpha où les s_i = u^{i} s_0 sont tous alignés …]. l'insertion entre crochets est écrite en très petit sur deux lignes ; la marge gauche porte quelques mots en oblique, non lus.

VII. ~~Polygones~~ Systèmes réguliers de

(i.e. structures polygonales modulo étoilage …)

Soit S un ensemble fini, de cardinal n (combinatoire). On appelle structure quasi-polygonale sur S la donnée d'une structure polygonale

sur S modulo une des opérations \Psi_r (r \in \mathbb{Z}_n^{*}, ou r \in \Psi_n) ; ~~Je dis~~ en d'autres termes, c'est une orbite \pi de \Psi_n opérant sur \mathrm{Pol}(S). Regardant le s-groupe Z de \mathfrak{S}_S engendré par un \omega \in \pi (lequel ne dépend que de \pi, ~~étant~~ invariant en remplaçant \omega par \Psi_r(\omega)), on trouve un s-groupe cyclique d'ordre n, et S est un torseur sous ce groupe. Ainsi, la donnée d'une structure quasi-polygonale sur S équivaut : la donnée d'une structure de torseur sur S : groupe Z ~~des~~ de translations cyclique (d'ordre n nécessairement). Se donner un \omega \in \pi revient au même que de se donner un gén. « au signe près » dans Z. Se donner une structure polygonale orientée compatible avec la structure quasi-polygonale revient : la donnée d'un gén. de Z.

La catégorie des ~~quasi~~ quasi-polygones combinatoires d'ordre n (n \in \mathbb{N}, n \geq 3) est équivalente à celle des fibrés affines sur \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), à un tel la phrase se poursuit au-delà de ce lot.