Cote n° 78, pages 21–40

Cote n° 78 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Polygones réguliers et polynômes cyclotomiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

21la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée avant ce lot ; les renvois (11), (12), (13), (19) et aux propositions 1 à 3 visent des pages antérieures.

donne une bijection ⌜((19) disait que c'était une surjection)⌝ entre l'ens. des isom. $\mathrm{Isom}((E,\varphi),(E',\varphi'))$ et l'ens. des $n$-pol. rég. ⌜ép.⌝ sous-jacents à : $\varphi'$.

D'une façon suggestive, on peut dire que la donnée d'un polygone $n$-régulier sous-jacent à une repr. $\varphi$ admissible (ce qui revient au même, le choix d'un pt $s \in D_n^{*}$) revient à la donnée d'un épinglage de $\varphi$ (ayant comme effet d'éliminer les automorphismes — ou $G$ opère librement sur $D_n^{*}$ — sans introduire de nouvelles données d'isom. — ou $G$ opère transitivement —). l'indice de $D^{*}$ est mal formé sur cette page ; on le lit $n$ d'après la p. 24, où $D_n^{*} \setminus D_n^{0}$ est écrit nettement.

IV. Où on laisse tomber les conditions de fidélité

Considérons des données (11) satisfaisant (13) mais pas néc. (12) ; donc : pas l'unimodularité ; on laisse tomber la condition $\varphi$ fidèle. Comment se présente-t-elle ?

Proposition 4 Pour que $\varphi$ soit fidèle, il faut et il suffit que

(a) Si $v \in D_n^{0}$, i.e. $v = u^{i}$, alors \[ v_E = \mathrm{id} \iff v(s_0) = s_0 . \]

(b) Pour que $\varphi$ soit fidèle, il faut et il suffit que $\varphi \mid D_n^{0}$ soit fidèle, […] (ou encore) que \[ u^{i} s_0 = s_0 \implies i \equiv 0 \ (n) \qquad (\text{i.e. } u^{i} = 1), \] ou encore que $\forall d \in \mathbb{N}^{*}$, $d \mid n$, on ait $u^{d}(s_0) \neq s_0$. sous $\mathbb{N}^{*}$ un signe isolé, peut-être une retouche (« $d \neq n$ » ?), non lu.

(c) fait Le noyau de $\varphi$ […] est engendré par un (unique) élément $u^{d}$, où […] $d$ est un diviseur de $n$ tel que ⌜$n' = n/d \geq 3$⌝ $d \geq 3$. […] tel que $\varphi$ […] est induit […] par […]

Dém. (a) \[ v_E = \mathrm{id} \iff v(s_\nu) = s_\nu \quad \forall \nu \] (car les $s_\nu$ engendrent affinement $E$) or $s_\nu = u^{\nu} s_0$, donc $v(s_\nu) = v u^{\nu} s_0 = u^{\nu} v s_0$, donc il suffit $v(s_0) = s_0$.

23(c) Le noyau de $\varphi \mid D_n^{0}$ est un sous-groupe de $D_n^{0} = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, donc de la c'est le s-groupe engendré par un $u^{i}$, où $i$ est un diviseur $> 0$ déterminé de $n$ — et que a priori pourrait être $1$ ou $2$. Mais si $i$ $n'$ est tel que \[ n = n' d \] $\varphi$ se factorise en $\varphi' : D_{n'} \to \mathrm{Aff}(E)$ on aura que […] $\mathrm{card}\, S = n'$, et comme $S$ engendre aff. $E$, on aura $n' \geq 3$. Enfin, comme $\varphi$ se factorise par \[ \varphi' : D_{n'} \longrightarrow \mathrm{Aff}(E) \] avec $\varphi' \mid D_{n'}^{0}$ fidèle — et que les conditions (11) sont évidemment satisfaites aussi par $\varphi'$ — (b) implique que $\varphi'$ est fidèle, donc $\mathrm{Ker}\, \varphi$ est le même que $\mathrm{Ker}(\varphi \mid D_n^{0})$.

(b) Résulte de $\varphi \mid D_n^{0}$ équivalent à […] fidèle. remarque sur (c) l'étiquette du premier alinéa est mal formée ; la démonstration est celle de (c), et elle s'appuie sur (b), qui reste sans démonstration propre.

24Corollaire 1 Si $v \in D_n^{*} \setminus D_n^{0}$, alors $\varphi(v) \neq \mathrm{id}_E$.

En effet, car il est clair que $\varphi(v)$ échange les deux ordres circulaires ⌜$\{v_E \mid v \in \omega\}$⌝ sur $S$, distincts de l'opposé […], donc ne peut être l'identité sur $S$, donc $v_E$ donc pas non plus sur $E$.

Corollaire 2 Considérons la situation ⌜du (b)⌝ ci-dessus. Alors $\varphi' : D_{n'}$ \[ \begin{cases} \varphi' : D_{n'} \longrightarrow \mathrm{Aff}(E) \\ s_0 \in E \end{cases} \] définissent dans $E$ un polygone épinglé à $n'$ côtés.

Scholie On peut considérer que la donnée $\{\varphi, s_0\}$ correspond : une réalisation géom. d'un polygone comb. type $\Pi_0(n)$, qui est un revêtement à $d$ feuillets de la réalisation géom. ⌜$(\varphi', s_0)$⌝ des du polyg. comb. type $\Pi_0(n')$.

Quand on fixe des cohérents avec un

25$n$ fixé, on trouve ⌜d'abord⌝ des […] repr. $\varphi : D_n \to \mathrm{Aff}(E)$, sans savoir d'avance quand elles sont fidèles — ceci serait une question d'un autre type que les précédentes ⌜[…]⌝ (trouver les solutions satisfaisant les conditions (13)), demandant une analyse plus […] délicate de la situation. Surtout quand on regardera des réalisations géom. d'un $\Pi_0(n)$ sur un anneau plus général qu'un corps, tel que $\mathbb{Z}$ ou mieux, les anneaux tels que $\mathbb{Z}[T]/(T^{n}-1)$, ou les anneaux cyclotomiques — on trouvera ⌜pour les fibres […]⌝ […] les […] […] […] […] (y compris en car. […]) une repr. fidèle, tandis qu'en […] caractéristiques elles devraient être fidèles (ou fidèles ?)) — elles n'en cessent pas

26pour autant d'exister, et de définir des polygones réguliers en un […] […], mais à un nb plus petit de côtés (diviseur de $n$). Ce serait emprisonnant — et ⌜finalement d'ailleurs⌝ artificiel — de traîner tout au long dans les données la condition de fidélité, au lieu de se borner à l'examiner seulement aux moments voulus où cette considération est utile.

V. […] des $\infty$-polygones

le premier mot du titre est récrit sur un mot biffé ; ni l'un ni l'autre n'est lu.

On peut aller encore plus loin, en notant que la donnée de (11) (a) revient : la donnée de \[ (14)\qquad \begin{cases} \sigma_E,\ \sigma'_E \in \mathrm{Aff}(E) \quad \text{satisfaisant} \\ \sigma_E^{2} = \sigma_E'^{2} = \mathrm{id}_E , \quad (\underbrace{\sigma'_E \sigma_E}_{u_E})^{n} = \mathrm{id}_E \end{cases} \] satisfaisant (15) la fidélité signifiant que ([…]) et la donnée de $s_0$ la fidélité satisfaisant (15) (13) \[ \begin{cases} \sigma_E s_0 = s_0 \\ s_0,\ s_1 = u_E s_0 \ \text{et}\ s_2 = u_E^{2} s_0 \ \text{sont non alignés} \end{cases} \] dans la seconde ligne, avant $s_1 = u_E s_0$, une première écriture biffée ($\sigma_E \ldots$) n'est pas reproduite.

27la condition de fidélité s'écrit \[ (15)\qquad \forall \text{ diviseur } d \mid n, \ \text{on a} \ u_E^{d}(s_0) \neq s_0 \] ⌜$u_E^{d} \neq \mathrm{id}$ i.e.⌝ (cf prop 4 (b)) — et il suffit de l'exiger pour $3 \leq d \leq \left[\frac{n}{3}\right]$ (donc si $3 \leq n \leq 8$, cette condition est automatiquement satisfaite, ce premier entier où elle ne l'est pas est $n = 9$, où il suffit de tester pour $n = 9$ — le $9$-gone régulier […] pouvant dégénérer en trois fois un $3$-gone régulier —). — Mais on peut fort bien laisser tomber cette condition de fidélité, et laisser tomber ⌜même⌝ la condition (14) \[ (\sigma'_E \sigma_E)^{n} = \mathrm{id}_E \] ce qui signifie qu'on regarde en fait une représentation \[ (16)\qquad \varphi : D_\infty \longrightarrow \mathrm{Aff}(E) \] du groupe diédral infini, sans se préoccuper si elle se factorise par $D_n$ — étant entendu qu'

28on s'intéressera plus particulièrement, parmi les actions en question, aux repr. de $D_\infty$ qui veulent bien se factoriser par $D_n$. C'est dire que, […] de ce point de vue, la question de fidélité ne se pose plus — les représentations ⌜peut-être⌝ les plus intéressantes de $D_\infty$ […] — celles qui donnent naissance aux polygones réguliers finis — étant précisément non fidèles !

Pt de vue $\Pi$-épinglé ([…] $\infty$-polygones […] […]) note marginale écrite en oblique, reliée par un trait à « fidèles » ; lecture très incertaine.

Arrivé à ce point, il y a lieu de considérer — de même que des polygones ⌜$\Pi = (S, \omega)$⌝ combinatoires infinis (tous connexes ⌜ou repr.⌝) polyg. comb. finis — des réalisations géom. de ceux-ci (qui sont fidèles), et de même des repr. géométriques régulières, […] […] […] […] qui sont données par la donnée d'une

29réalisation géom. satisfaisant les conditions : \[ (17)\qquad \forall v \in \mathrm{Aut}(\Pi), \quad \exists !\, v_E \in \mathrm{Aut}(E) \] telle que $v_E(\varphi(s)) = \varphi(v(s))$

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\begin{tikzcd}
  S \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "v"'] & E \arrow[d, "v_E"] \\
  S \arrow[r, "\varphi"'] & E
\end{tikzcd}

Ce que La donnée d'une telle réalisation revient : la donnée \[ (18)\qquad \begin{cases} \text{a)}\ \ \varphi_\Gamma : \Gamma = \mathrm{Aut}(\Pi) \longrightarrow \mathrm{Aff}(E), \quad v \longmapsto v_E \quad \text{homom.\ de groupes} \\ \text{b)}\ \ S \xrightarrow{\ \varphi_S\ } E \end{cases} \] ⌜(application compatible avec les opérations de $\Gamma$)⌝ satisfaisant les ⌜seules⌝ conditions supplémentaires \[ (19)\qquad S_E \ \text{n'est pas contenu dans une droite} \] (20) […] à gauche de (19), un griffonnage biffé (une première numérotation (19), (20)) n'est pas reproduit.

Si on se fixe d'avance $i_0 \in S$, et si $\sigma_0$ désigne l'unique élt. de $\Gamma$ $\neq 1$ tel que $\sigma_0 i_0 = i_0$ \[ (20)\qquad \sigma_0 \neq 1_\Gamma , \quad \sigma_0 i_0 = i_0 \] la donnée de $\varphi_S$ équivaut ⌜(pour $\varphi_\Gamma$ donné)⌝ à la donnée de \[ (21)\qquad \begin{cases} s_0 \in E & [\, s_0 = \varphi_S(i_0) \,] \\ \text{satisfaisant} & \sigma_0 s_0 = s_0 \end{cases} \] et la condition (19) équivaut, donc, […] si on choisit $u \in \omega$, à \[ (22)\qquad \text{\struck{$s_0 \neq s_1$, $s_0 \in E$}} \quad s_0,\ s_1 = u s_0,\ s_2 = u^{2} s_0 \quad \text{non alignés.} \]

30Mais la donnée de $(s_0, u)$ équivaut : celle d'un épinglage de $\Pi$, i.e. d'un autre $\Pi$ de isom. \[ \Pi \simeq \Pi_0(n) \] (où $n$ […] est un entier $\geq 3$ ou $+\infty$), et la donnée de a) (a) équivaut donc : la donnée de (14) (sauf la dernière ⌜condition de (14), si $n = +\infty$⌝) condition, et celle de (b) équivaut : la donnée de $s_0 \in E$ satisfaisant la première relation $\sigma_E s_0 = s_0$, et la condition (19) se traduisant par (22). D'où résumé :

Prop 5 Les repr. réalisations géom. ⌜régulières⌝ ⌜dans $E$⌝ de $\Pi_0(\infty)$ correspondent aux couples triples $(\sigma_E, \sigma'_E, s_0)$ de deux automorphismes affines de de $E$ \[ \sigma_E,\ \sigma'_E \in \mathrm{Aff}(E) \] et d'un $s_0 \in E$, satisfaisant les \[ s_0 \in E \] satisfaisant les conditions \[\begin{align*} &(1^{\circ}) && \sigma_E^{2} = \sigma_E'^{2} = \mathrm{id} \\ &(2^{\circ}) && \sigma_E s_0 = s_0 \\ &(3^{\circ}) && s_0,\ s_1 = u_E s_0,\ s_2 = u_E^{2} s_0 \ \text{non alignés} \end{align*}\] (où l'on a posé $u_E = \sigma'_E \sigma_E$). en (3°), devant $s_0$, une formule surchargée et biffée n'est pas reproduite.

31et enfin la condition d'unimodularité $(4^{\circ})$ $u_E$ unimodulaire

On dit que la réalisation régulière est unimodulaire si elle satisfait \[ (4^{\circ})\qquad u_E \ \text{est unimodulaire.} \]

Scholie En étendant ces objets, on étudie simultanément tous les $n$-polygones réguliers ⌜épinglés⌝ pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, $n \geq 3$ — ils correspondent aux cas où $u_E$ est d'ordre fini, et $n$ est l'ordre de $u_E$ — et même davantage qu'un nouveau type d'objets : les $\infty$-polygones réguliers épinglés.

Remarque Les considérations finales concernant les polygones réguliers s'étendent aux $\infty$-polygones réguliers sans […] dégâts. Notamment tous prop. 1, et corollaire, la prop. 2 (qui s'étend en l'énoncé évident avec) en ce qui concerne la dernière question de fidélité $D_\infty \hookrightarrow \mathrm{Aff}(E)$ correspond conditions finies. Bien sûr $\infty$-pol. rég.

Mais il conviendrait de donner la définition des polygones réguliers généraux (finis ou […] ⌜[…]⌝) au lieu de la définition d'abord donnée, à cas finis … note marginale écrite en oblique dans la marge gauche du bas de la page, raccordée par un trait à « prop. 1 ».

32la prop. 3 […] montrant le lien exact entre $\infty$-polygones réguliers et repr. affines du groupe diédral infini, enfin la prop. 4 (où dans (b) ⌜et (c)⌝, il ne faut plus parler de divisibilité, puisque $n$ est ici remplacé par $\infty$ …)

NB J'ai omis, pour une donnée d'iso. des réal. géom. ⌜régulières⌝ des polygones combinatoires, […] il y a […] « […] » $\alpha \in k$, maintenant $\alpha \in k$ n'est plus soumis à aucune condition, cyclotomique ou autre — ) il y a lieu de dire « la » repr. aff. sur $E$ correspondant au représentant épinglé (ant. unique). Plus général et plus intrinsèque, si $\Pi$ est un polyg. combinatoire fini ou infini, notons que la cat. de ses réalisations géom. régulières est rigide (sans automorphismes autres que l'identité) — il y a lieu par là de parler d'une (ou de la $= \alpha$) réalisation ⌜$= E(\Pi)$⌝, $E$ — étant entendu que si on sait une

C'est un des intérêts techniques d'éliminer […] au départ de la théorie …

33réalisation intrinsèque, de façon que l'opération de $\Gamma \simeq \mathrm{Aut}(\Pi)$ sur $E(\Pi)$ sera obtenue automatiquement. (Je montre donc simplement : décrire $S \longrightarrow E(\Pi)$ compatible avec l'op. de $\Gamma$ …).

VI. Opérations $\Psi_r$ d'étoilage d'un polygone

Soit $(S, \omega)$ un polygone combinatoire, et soit $r \in \mathbb{Z}$, considérons \[ (23)\qquad \Psi_r(\omega) = \{\, u^{r} \mid u \in \omega \,\} \] A' que

Prop 6 a) Pour que […] $(S, \Psi_r(\omega))$ soit un polygone combinatoire (i.e. pour que $u^{r}$ opère transitivement sur $S$) il faut et il suffit que $S$ $\mathrm{card}(S) = n$ soit fini, et que $(r, n) = 1$. Si $\mathrm{card}(S) = n$,

b) Si $\mathrm{card}\, S = n$ $n$ est fini, […] […] $\Psi_r(\omega)$ alors pour $r, r' \in \mathbb{Z}$, on a \[ \Psi_r(\omega) = \Psi_{r'}(\omega) \iff r' \equiv \pm r \ (n) \] […] […] $\mathbb{Z}^{*}/\pm \longrightarrow \mathrm{Pol}(S)$ ⌜donc $\Psi_n$ opère librement⌝ sur $\mathrm{Pol}(S)$.

c) On a, pour $r, r' \in \mathbb{Z}$ \[ \Psi_r(\Psi_{r'}(\omega)) = \Psi_{rr'}(\omega) \] i.e. $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}$ opère sur l'ens. $\mathrm{Pol}(S)$ des structures de polygones généraux sur $S$. En fait, c'est \[ (24)\qquad (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}/\{\pm 1\} \overset{\text{déf}}{=} \Psi_n \] pour $\mathrm{Pol}(S)$, qui opère librement. la formule (24) et la fin de c) sont écrites dans la marge gauche et en tête de la marge, reliées par une flèche ; le texte biffé autour de b) est très surchargé et seule sa partie lisible est rendue.

34Dém. […] Soit $u \in \omega$. La condition que $(S, \omega)$ soit un polyg. comb. est que $\mathbb{Z}$ opère (via $u$) transitivement sur $S$ ⌜et $n \geq 3$⌝, i.e. revient à que $S$ soit un torseur sous $\mathbb{Z}_n$ (où $\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si $n$ fini, $\mathbb{Z}_\infty = \mathbb{Z}$). Dans l'opération de L'opération de $\mathbb{Z}$ sur $S$ déduite des $u^{r} \in \Psi_r(\omega)$ n'est autre que celle qui se factorise par $\mathbb{Z}_n$ et se déduit de l'op. précédente via l'homom. \[ \mathbb{Z}_n \xrightarrow{\ r\,\mathrm{id}_{\mathbb{Z}_n}\ } \mathbb{Z}_n \] Donc elle fait de $S$ un $\mathbb{Z}_n$-torseur ssi $r\,\mathrm{id}_{\mathbb{Z}_n}$ est un iso, ce qui signifie que $n$ fini et $(r, n) = 1$.

(b) […] $\Psi_r(\omega) = \Psi_{r'}(\omega)$

[…] (c) $\Psi_r(\omega) = \Psi_{r'}(\omega)$ signifie \[ u^{r'} = u^{r} \quad \text{ou} \quad u^{r'} = (u^{-1})^{r} \ (= u^{-r}) \] donc \[ r' \equiv r \ (n) \quad \text{ou} \quad r' \equiv -r \ (n). \] l'alinéa marqué (c) démontre en fait b) de la Prop. 6.

Remarque Une structure de $n$-pol. orienté sur $S$ équivaut : la donnée d'une permutation circulaire $u$ sur $S$,

35ou encore : la donnée d'une structure de $\mathbb{Z}_n$-torseur sur $S$ ($n = \mathrm{card}\, S$). On trouve l'opération $\Psi_r$ ($r \in \mathbb{Z}_n^{*}$) \[ (25)\qquad \Psi_r(u) = u^{r} \] sur l'ens. des structures pol. orientées sur $S$, donc on a une opération de $\mathbb{Z}_n^{*}$ sur l'ens. $\mathrm{Polor}(S)$ des structures de polygone orienté sur $S$. Ici cette opération est encore libre.

Si $P = (E, S, \omega)$ est un $n$-polygone régulier, on définit \[ (26)\qquad \Psi_r(E) = (E, S, \Psi_r(\omega)) \qquad (\text{si } (r, n) = 1) \] qui a encore un sens ⌜[…]⌝ […] c'est un polygone de $E$, de même […] […] que partie de $E$, mais avec une autre structure combinatoire dessus. Ici $\mathbb{Z}/\pm 1$ ⌜$\Psi_n$⌝ opère librement sur l'ens. \[ \mathrm{Polreg}_n(E) \] des $n$-polygones réguliers plongés de $E$. ⌜De même⌝, $D = \mathbb{Z}_n^{*}$ opère ⌜librement⌝ sur l'ens. des $n$-polyg. rég. orientés. Item pour pol. rég. épinglés en (26) le premier membre est bien écrit $\Psi_r(E)$, pour $\Psi_r(P)$.

36(plutôt pour les $n$-pol. rég. orientés munis d'un sommet !) Enfin, condition $\Pi$ d'unimodularité […] invariante […] $n$-polygone combinatoire,

NB Si on a une repr. réal. géom. régulière d'un $n$-polygone comb. $\Pi = (S, \omega)$ ($n$ fini), alors $\Psi_r$ sera la repr. de $\Psi_r(\Pi) = (S, \Psi_r(\omega))$ définie par la même injection $S \longrightarrow E$ — la condition de régularité sera en effet invariante par passage de $\omega$ à $\Psi_r(\omega)$, […] étant donné que le groupe des l'on a évidemment \[ (27)\qquad \mathrm{Aut}(\Pi) = \mathrm{Aut}(\Psi_r(\Pi)) \] en tant que s-groupes de $\mathfrak{S}_S$, i.e. les normalisateurs dans $\mathfrak{S}_S$ de $\omega$ est […] $\Psi_r$ ⌜$\Psi_r(\omega)$⌝ sont évidemment les mêmes (ce qui normalise $\omega$ normalise $\omega' = \Psi_r(\omega)$, et inversement car on aura $\omega = \Psi_{r'}(\omega')$, si $r'$ est un inverse de $r$ dans $\Psi_n$).

Question Peut-on avoir isomorphie entre un $n$-polygone ⌜régulier⌝ $P$ et $\Psi_r(P)$, si $r \in \Psi_n$, $r \neq 1$ dans $\Psi_n$ (i.e. si $r \in \mathbb{Z}_n^{*}$, $r \neq \pm 1$ dans $\mathbb{Z}_n^{*}$) ? On trouvera

37en termes de l'invariant $\alpha$ que […] l'isomorphie entre $P$ et $\Psi_r(P)$ équivaut : une condition de la forme $\Psi_r(\alpha) = \alpha$ [où $\Psi_r \in \mathbb{Z}[\ldots]$ […] […] […] p.l. conn., […] on dirait que […], pour […] …] On trouvera […] que si $(n, p) = 1$ on aura $\Psi_r(\alpha) \neq \alpha$ si $r \neq 1$ dans $\Psi_n$, tandis que si complexe $p \mid n$ […] (ou bien $n = p$, $p$ impair, ou bien $n = 2p$) alors tous les $n$-pol. réguliers sont non isom.

Mais ⌜Dans⌝ ces cas où […] ⌜puisque⌝ \[ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*} \simeq \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \] ⌜i.e. $r_n \neq 1$⌝ est d'ordre $> 2$ sauf si $p = 2, 3$ ([…] […] […] […] $p = 2$ […] […] […]), […] (ce qui correspond à l'hexagone) la réponse est connue et négative, sauf dans les seules […] […] trois cas analogues ⌜à l'hexagone⌝ (cas […] […] ?). passage très rapide, plusieurs fois récrit ; seuls les énoncés mathématiques sont sûrs.

On peut retenir quand même que $\Psi_r$ a une nette tendance : changer la classe d'isomorphie d'un $n$-polygone régulier. ⌜voir […] […]⌝

On va définir les $\Psi_r$ ($r \in \mathbb{Z}$) sans restriction sur $r$ pour les repr.

38géom. des $\infty$-polygones combinatoires épinglés $\Pi_0(\infty)$. Pour ceci, on note que la donnée de la […] $\Pi_0(n)$, […] […] […], […] […] la repr. […] (pour $n$ quelconque, fini ou infini) la donnée de la repr. \[ D_n \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathrm{Aff}(E) \] équivaut aussi : la donnée de \[ (28)\qquad \begin{cases} \sigma_E,\ u_E \in \mathrm{Aff}(E) \\ \text{satisfaisant} \\ \sigma_E^{2} = \mathrm{id}_E ,\quad \sigma_E u_E \sigma_E^{-1} = u_E^{-1} \end{cases} \] et si $n$ fini $u_E^{n} = \mathrm{id}_E$, tandis que la donnée $s_0 \in E$ satisfait et les conditions $(2^{\circ})$ et $(3^{\circ})$ […] de la prop. 5 ⌜détaillées par⌝ […] […] […] par le degré de $u_E$ en $u_E^{r}$ — qui a un sens quel que soit $r \in \mathbb{Z}$, et (dans $n$ fini) conserve : simplifie la condition $u_E^{n} = \mathrm{id}$ (après remplacement de $u_E$ par $u_E^{r}$). […] Quant : la condition $2^{\circ}$) de non-alignement de $s_0$, $u^{r} s_0$ et $u^{2r} s_0$ (ou de tous les $u^{ir} s_0$, $i \in \mathbb{Z}$, ce qui revient au même) il écrit ici « condition 2°) » pour la condition de non-alignement, numérotée (3°) dans la prop. 5.

39elle peut ne pas être satisfaite, ⌜en fait si elle est satisfaite par $u_E^{r}$⌝ elle dépend des choix de $u_E$ et $s_0$ ($\sigma_E$ est ici indifférent : une droite) — donc des « invariants » $\alpha$. On a, […] ⌜Par ex. si $n = \infty$ mais si⌝ $\alpha$ est tel que la repr. de $D_\infty$ se factorise par $D_n$, donc $u^{n} = \mathrm{id}$, cette condition ne sera pas satisfaite.

Néanmoins on a vu, ⌜[…]⌝ que $\Psi_r(\alpha)$ — il n'a pas à être défini par la $\alpha$ — il se pose donc la question de la signification géom. de $\Psi_r(\alpha)$ la repr. de $D_\infty$ associée à $\Psi_r(\alpha)$, dans le cas « exceptionnel » $\alpha, r$ ! [[…] ⌜[…] […] […], pour $\alpha$ […] […]⌝ où les $s_i = u^{i} s_0$ sont tous alignés …]. […] […] […] l'insertion entre crochets est écrite en très petit sur deux lignes ; la marge gauche porte quelques mots en oblique, non lus.

VII. Polygones ⌜Systèmes⌝ réguliers […] ⌜de […]⌝

(i.e. structures polygonales modulo étoilage …)

Soit $S$ un ensemble ⌜fini, de cardinal $n$ (combinatoire)⌝. On appelle structure quasi-polygonale sur $S$ la donnée d'une structure polygonale

40sur $S$ modulo une des opérations $\Psi_r$ ($r \in \mathbb{Z}_n^{*}$, ou $r \in \Psi_n$) ; Je dis […] en d'autres termes, c'est une orbite ⌜$\pi$⌝ de $\Psi_n$ opérant sur $\mathrm{Pol}(S)$. Regardant le s-groupe ⌜$Z$ de $\mathfrak{S}_S$⌝ engendré par un $\omega \in \pi$ (lequel ne dépend que de $\pi$, étant invariant en remplaçant $\omega$ par $\Psi_r(\omega)$), on trouve un s-groupe cyclique d'ordre $n$, et $S$ est un torseur sous ce groupe. Ainsi, ⌜la donnée d'⌝une structure quasi-polygonale sur $S$ équivaut : la donnée d'une structure de torseur sur $S$ : groupe ⌜$Z$⌝ des de translations cyclique (d'ordre $n$ nécessairement). Se donner un $\omega \in \pi$ revient au même que de se donner un gén. « au signe près » dans $Z$. Se donner une structure polygonale orientée compatible avec la structure quasi-polygonale revient : la donnée d'un gén. de $Z$.

La catégorie des quasi quasi-polygones combinatoires d'ordre $n$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \geq 3$) est équivalente à celle des fibrés […] affines sur $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$, à un tel la phrase se poursuit au-delà de ce lot.

IV. Où on laisse tomber les conditions de fidélité

V. […] des \(\infty\)-polygones

VI. Opérations \(\Psi_r\) d'étoilage d'un polygone

VII. Polygones ⌜Systèmes⌝ réguliers […] ⌜de […]⌝