Chap. I. Introduction au point de vue affine

Polygones affines

1 Définition Déf E plan affine sur un corps (disons …) k. Un polygone (déployé) dans E est une partie finie S de E (ensemble des sommets) de cardinal \geq 3, munie d'une « structure polygonale combinatoire », i.e. d'une partie à deux éléments \omega = \{u, u^{-1}\} de \mathfrak{S}_S formée de permutations circulaires inverses l'une de l'autre (ce qui implique n \geq 3). Les droites rejoignant deux sommets contigus sont appelées (en corr. 1-1 avec les côtés ) les côtés; \omega est l'une des orientations de P. Si n = \operatorname{card} S, c'est aussi le cardinal de l'ensemble des côtés — on dit que P est un n-polygone.

re-Déf On dit que P est régulier si tout automorphisme combinatoire de \mathfrak{P} = (S, \omega) — i.e. tout élément du normalisateur \mathfrak{G} de \omega dans \mathfrak{S}_S — se prolonge de façon unique en un automorphisme affine de E; il suffit bien sûr de l'exiger pour un u \in \omega pour un système de gén., p.ex. u et une symétrie \sigma_s p.r. à un sommet s, ou une symétrie \sigma_a p.r. à un côté. [en fait, si s et a sont incidents, deux quelconques des trois él. \sigma_s, \sigma_a, u = \sigma_a \sigma_s forment des un syst. de générateurs]. Pour des raisons techniques, on exige que les u \in \omega ce qui revient au les él. des groupes cycliques \langle u \rangle engendrés — appelés groupes des rotations des polygones comb. — se réalisent

par des automorphismes unimodulaires, On comprendra mieux par la suite la nature exacte de cette restriction (en étudiant le pb dans un projectif); disons pour l'instant qu'on elle revient au même que d'exiger \sigma_a ( , cela revient au même puisqu'ils sont conjugués) est une réflexion — i.e. laisse invariante une droite. On verra aussi que cette restriction est automatiquement satisfaite dans le cas des polygones réguliers : 2p côtés en car. p (p nb premier impair) — p.ex. l'hexagone en car. 3.

Devrait NB On fera attention que dans la définition des polygones généraux, on aurait défini les côtés comme des droites de E une application surjection de l'ens. des côtés combinatoires sur l'ens. des côtés géométriques. On dira que le polygone est propre si pour un sommet s \in S et un côté combinatoire \{s', s''\}, s

dans la marge et sous le texte, un polygone non convexe aux sommets notés A_0, A_1, \dots, A_8 (certains côtés repassés à l'encre plus épaisse), et à gauche un segment vertical portant A_1, A_5, A_2

est incident au côté géométrique D(s', s'') ssi s est incident au côté combinatoire, i.e. s = s' ou s = s''; ceci implique bien entendu que les côtés géom. corr. 1-1 aux côtés combinatoires. On verra que les polygones réguliers (avec tous la condition unimodulaire) sont aussi propres.

\triangle La condition d'unicité dans la définition du polygone régulier équivaut évidemment à dire que S engendre affinement E, ou encore que S n'est pas contenu dans une droite. Il revient au même que de dire que trois sommets consécutifs s_0, s_1, s_2 ne sont pas alignés (sinon, par la régularité — en sorte que si d_0 = D(s_0, s_1), on aurait aussi d_0 = u(d_0) [u s_0 = s_1, \dots], donc tous les d_i égaux puisque u transitif sur l'ens. des côtés, absurde …].

pt de vue : fixer \Pi (le « schéma combinatoire ») plutôt des polygones épinglés. Épinglage d'un polygone géom. par un pl. comb. \Pi — ou polygone géom. \Pi-épinglé : revient à la donnée d'un couple (\Pi, \varphi), \Pi = (S, \omega) poly comb., \varphi \colon S \to E application injective

À vrai dire, l' injectivité de l'application sur les sommets, ainsi que celle de l'application des côtés comb. vers les côtés géom. peut ne être pas injectives, ou encore que dans le cas non propre [où la donnée du polygone géom. propre équivaut à la donnée de l'ens. des sommets et de l'ens. des côtés, satisfaisant les conditions suivantes : sommet incident à ex. deux côtés, côté incident à ex. , plus condition de connexité combinatoire …]. La bonne notion est (non-réalisation) donc celle de repr. géom. d'un poly. combinatoire, qui revient à la donnée de deux applications — sur l'ens. des sommets et sur l'ens. des droites — respectant les relations d'incidence …. (lorsque deux sommets incidents des pt des sommets pour un polygone distinctes par l'application sommets, cette dernière suffit : elle sert à déterminer la réalisation, et elle peut être choisie arbitrairement, le passage barré vers le bas de la page est encadré et repris par des renvois en partie illisibles ; la phrase continue au-delà de la page.

I bis. Exemples sur k = \mathbb{R}

Prenons (1) \qquad E = \mathbb{C} regardé comme plan sur les réels. Soit \zeta une racine primitive n-ième de 1, (racine de 1 d'ordre n) posons \text{\struck{\ill{}}}\,(2) \qquad \zeta^n = 1, \quad \zeta^d \neq 1 \ \text{si}\ d \mid n,\ \text{\struck{\ill{}}}\, 1 \leq d < n posons (3) \qquad s_i = \zeta^i \qquad i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} avec la structure polygonale combinatoire standard. Les s_i distincts car \zeta racine primitive. Posons \sigma, u \in \text{\struck{\ill{}}}\,\mathrm{Gl}_{\mathbb{R}}(E) \subset \mathrm{Aff}(E) définis par (4) \qquad \begin{cases} \sigma z = \bar{z} \\ u z = \zeta z \end{cases} \qquad \text{\struck{\ill{}}} donc (5) \qquad \begin{cases} \sigma s_i = s_{-i} \\ u s_i = s_{i+1} \end{cases} donc un n-polygone régulier, P_\zeta.

On vérifiera aisément (cf. dans un contexte plus général) que

a)P_\zeta isom. à P_{\zeta'} ssi \zeta' = \zeta ou \zeta' = \zeta^{-1} (ou encore, posant \alpha(\zeta) = \zeta + \zeta^{-1}, ssi \alpha(\zeta) = \alpha(\zeta')) b)Tout polygone régulier dans un plan affine sur \mathbb{R} est isom. à un P_\zeta.

Si \mathcal{T} est le groupe des racines de l'unité dans \mathbb{C}, donc i.e. le s-groupe de torsion de \mathbb{C}^*, qui est isomorphe à \mathbb{Q}/\mathbb{Z}, donc \mathcal{T} pour unique élément d'ordre 2, savoir -1, engendrant l'unique ss-groupe cyclique d'ordre 2, \{\pm 1\} \subset \mathcal{T} donc \pm 1 opère sur \mathcal{T} (écrit additivement par les ) et l'ens. des classes d'isom. de polygones réguliers sur \mathbb{R} est en corr. biunivoque canonique avec \bigl(\mathcal{T}/\{\pm 1\} \smallsetminus \{\bar{1}\}\bigr) où \bar{1} est l'image dans le quotient \mathcal{T}/\{\pm 1\} de l'él. unité.

On a pour quatre pts consécutifs s_i, s_{i+1}, s_{i+2}, s_{i+3} (s_{i+3} - s_i) = \text{\struck{\ill{}}}\, r\,(s_{i+2} - s_{i+1}) où r est un nb réel qui ne dépend que de \zeta (pas de i) en fait r = 1 + \underbrace{(\zeta + \zeta^{-1})}_{2 \cos \arg \zeta} En effet, \frac{\zeta^{i+3} - \zeta^{i}}{\zeta^{i+2} - \zeta^{i+1}} = \frac{\zeta^3 - 1}{\zeta^2 - \zeta} = \frac{\zeta^2 + \zeta + 1}{\zeta} = 1 + (\zeta + \zeta^{-1})

à gauche, quatre sommets consécutifs s_i, s_{i+1}, s_{i+2}, s_{i+3} ; les côtés s_i s_{i+1} et s_{i+2} s_{i+3} prolongés en pointillé jusqu'à leur intersection sur l'axe de symétrie ; l'angle extérieur en s_{i+2} est marqué \theta = \arg \zeta

Si on étend les scalaires du plan vect. réel au plan vectoriel complexe, l'homom. de multiplication complexe par \zeta (pour complexe) se diagonalise, suivant deux droites « isotropes » canoniques la matrice diagonale (\zeta, \zeta^{-1}), le pt 1 de E devient le pt s_0 = (1, 1) de \mathbb{C}^2, et s_i devient le pt de coordonnées complexes (\zeta^i, \zeta^{-i}) = u_\zeta^i(s_0). La symétrie p.r. au sommet s_0, i.e. z \mapsto \bar{z}, est transformée en l'automorphisme (x, y) \mapsto (y, x) symétrie des . On verra que cette structure des n-polygones réguliers est typique, sur les corps alg. clos de car. premier à n; et pour car. on a la même ((n, p) = 1) classification des n-polygones réguliers que celle trouvée dans le cas des corps des réels. (NB Le fait que dans le cas particulier k = \mathbb{R}, bien que k ne soit pas alg. clos, on ait la même classification, est remarquable et demande de l'attention …

À gauche, en regard : E \to \mathbb{C} par deux flèches \varphi_1, \varphi_2, avec \mathbb{R} \to \mathbb{C} et \varphi_1(z) = z , \varphi_2(z) = \bar{z} ; puis E \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \simeq \mathbb{C}^2 (noté E \simeq_{\mathbb{C}} \mathbb{C}^2).

feuille de calculs épars sur les endomorphismes d'un plan, barrée de deux longues diagonales ; transcrite telle quelle, sans lien explicite avec les pages voisines. u\,(\operatorname{Tr} v\,\mathrm{id} - v) = (\operatorname{Tr} v)\,u - uv \operatorname{Tr} u\check{v} = \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v - \operatorname{Tr}(uv) \qquad 2 \operatorname{Tr} \ill{} \det u + \det v = \det(u + v) = \det u + \det v + \underbrace{(\operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v - \operatorname{Tr} uv)}_{\varphi(u, v)} \tilde{x} \tilde{y} u \mathcal{M} u x u unipotent \begin{pmatrix} \lambda & u \\ 0 & \lambda' \end{pmatrix} \qquad \begin{cases} u x = 0 \\ \operatorname{Tr} u = 0 \end{cases} D \mathcal{L} \subset \ill{}

u D \subset D, \operatorname{Tr} u = 0 u \begin{pmatrix} \lambda & u \\ & -\lambda \end{pmatrix} E/D

u 0 \subset \mathcal{O}_\xi \subset \sqrt{\mathcal{J}} \subset \mathcal{L} \lambda \begin{pmatrix} ? & \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} X \to \mathbb{R}(\sqrt{\mathcal{J}}/\mathcal{O}_\xi)

\operatorname{Tr} u = u D \subset D u = \lambda + v u = \lambda\,\mathrm{id} + v v nilpotent

u x \operatorname{Tr} u = 0 \det u = 0 u^2 = 0 \lambda^2

II. Épinglages et repères

Un repère d'un polygone combinatoire est un couple (s_0, d_0) d'un sommet et d'un côté incidents; il revient au même de se donner un couple (s_0, s_1) de deux sommets adjacents (prendre d_0 = \{s_0, s_1\}) ou d'un s_0 \in S et de u \in \omega — i.e. d'un sommet et d'une orientation — (prendre s_1 = u s_0).

Prop 1 \Gamma = \operatorname{Aut}(S, \omega) est simplement transitif sur l'ens. des repères — i.e. qu' un torseur sous \Gamma.

C'est en. équivalent à ceci :

Cor 1 Soient \Pi = (S, \omega), \Pi' = (S', \omega') deux isom. pol. comb. isomorphes et soit r_0 = (s_0, u) un repère de \Pi. Alors l'application \begin{aligned} \operatorname{Isom}(\Pi, \Pi') &\longrightarrow \operatorname{Rep}(\Pi') \\ \theta &\longmapsto \theta(r_0) \end{aligned} est bijective.

Un épinglage d'un poly. comb. est la donnée d'un repère (dans ce cas un repère) — celle d'un un épinglage (ou repère) d'un polygone géom. est un ép. du pl. comb. sous-jacent. Il revient au même de dire de donner un \Pi_0-

« le » (i.e. épinglé pol. comb. épinglé — i.e. muni d'un repère) épinglage, où \Pi_0 est le « n-poly. combinatoire type ».

Cor. 2 Soient P = (E, S, \omega), P' = (E', S', \omega') deux polygones réguliers isomorphes, Alors Soit r un repère pour un répère de P pouvant être épinglé. Alors l'applic. \theta \mapsto \theta(r) \colon \operatorname{Isom}(P, P') \to \operatorname{Rep}(E', S', \omega') est bijective.

Scholie On peut donc énoncer : que les classes d'isomorphie de n-polygones réguliers, les n-polygones réguliers épinglés sont déterminés : isom uniques près. [Il est bien sûr de le cas purement combinatoire]. Bien sûr, les classes d'iso des uns et des autres se correspondent 1-1 …

NB Il y aura dans la question « d'écrire » « le » espace affine E dans lequel se place P, en termes des types d'isomorphie (i.e. de n et d'un « module » \alpha \in k convenable), est longue , et ceci fait, « d'écrire » également les sommets s_i ().

III. Polygones n-réguliers et repr. des groupes diédraux

le haut de la page (jusqu'à « intrinsèque ») est barré de grandes croix ; on le transcrit sous struck pour autant qu'il se lit. Revenons au cas des polygones réguliers. Soit \Pi = (S, \omega = \{u, u^{-1}\}) \Pi épinglé, et \Gamma k. \Gamma = \operatorname{Aut}(\Pi), \Gamma^{0} = des automorphismes conservant l'orient. On obtient une représentation \text{\struck{$\Gamma \xrightarrow{\varphi} \operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(E)$}} des sommets orbite sous \Gamma. Nous partirons du pt de vue intrinsèque (non épinglé).

Question Pb de l'épinglage combinatoire (s_0, s_1), (s_0, d_0) (s_0, \omega) Donnée de \mathfrak{G} de \Gamma () la marge gauche porte, d'une écriture oblique et encadrée, une note dont seuls ces fragments se lisent.

Le polygone P = (S, \omega) détermine un s-groupe \Gamma \subset \operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(E) isomorphe à un groupe diédral D_n n \in \mathbb{N} convenable (1) \qquad \Gamma \simeq D_n \qquad \text{(isomorphisme non donné)} et S est une orbite de \Gamma op. sur E (2) \qquad S \in \text{\struck{\ill{}}}\,\Gamma \backslash E dans le s-groupe \Gamma étant donné, S est déterminé quand on connaît un de ses sommets, s_0 (4) \qquad s_0 \in E le numéro se lit plutôt (4) que (3) ; la page suivante numérote à nouveau (4) la condition \omega \subset \Gamma. À quelle Le polygone P est-il connu par la connaissance de (\Gamma, \text{\struck{\ill{}}}, S), i.e. la structure combinatoire \omega de S résulte-t-elle de la connaissance du s-groupe \Gamma \subset{} \operatorname{Aut} \mathfrak{S}_S de ses automorphismes?

Non, car ce groupe est le même pour la str \omega = \{u, u^{-1}\} et \omega^{(r)} = \{u^r, u^{-r}\} où r \in \mathbb{Z}, (r, n) = 1. Il faut donc en plus se donner une partie (4) \qquad \omega \subset \Gamma avec (5) \qquad \begin{cases} \operatorname{card}(\omega) = 2, \quad \omega = \{u, u^{-1}\} \\ \text{\struck{\ill{}}} \end{cases} telle que, si \Gamma^{0} est le s-groupe de \Gamma engendré par \omega (i.e. par l'un quelconque des deux éléments) … on ait (6) \qquad \begin{cases} \text{\struck{\ill{}}}\,\operatorname{card} \Gamma/\Gamma^{0} = 2 \\ \Gamma/\Gamma^{0} \ \text{opère sur}\ \Gamma^{0}\ \text{par}\ \lambda \mapsto \lambda^{-1} \\ \text{l'ext.\ } \Gamma\ \text{de}\ \Gamma/\Gamma^{0}\ \text{par}\ \Gamma^{0}\ \text{est semi-directe,} \\ \quad \text{i.e.}\ \exists\, \sigma \in \Gamma,\ \sigma^2 = 1,\ \sigma \mapsto \text{él.}\ {-1}\ \text{de}\ \Gamma/\Gamma_0 \end{cases} [NB Ces conditions, qui précisent (1) (moyennant la condition que \Gamma^{0} soit fini), devraient bien sûr remplacer (2).]

En résumé, P est déterminé par la donnée

a)d'un sous-groupe \Gamma \subset \operatorname{Aff}(E) b)de la partie \omega \subset \Gamma satisfaisant (5), (6) c)de S \in \Gamma \backslash E (une des orbites)

Quelles conditions faut-il imposer à a), b), c) pour que ces données proviennent d'un polygone régulier? Signalons condition (6), et (9) \qquad \text{\struck{\ill{}}}\ \begin{cases} S\ \text{n'est pas contenu dans une} \\ \text{droite de}\ E \end{cases} et ensuite (8) \qquad S\ \text{est un torseur sous}\ \Gamma^{0} (7) \qquad \Gamma^{0}\ \text{fini} des flèches dans la marge renvoient (8) et (7) au-dessus de (9) : l'ordre voulu est sans doute (7), (8), (9). Ces conditions (6) à (9) suffisent, car la structure de torseur sur S sous \Gamma^{0} cyclique induit sur S (lorsque \omega \subset \Gamma^{0}) une structure de polygone combinatoire — la condition (9) \Gamma \hookrightarrow \operatorname{Aut} \omega \to \omega' \subset \mathfrak{S}_S (n = \operatorname{card} \Gamma^{0}) et si \sigma \in \Gamma est comme dans (6), il induit des automorphismes de (S, \omega) qui renversent l'orientation, donc \Gamma exactement le groupe des automorphismes de \Gamma' est le groupe des autom., induit \Gamma \hookrightarrow \Gamma', \qquad \Gamma^{0} \simeq \Gamma'^{0} qui induit un isom. OK.

Si on se fixe n, (7) devient (7') \qquad \operatorname{card} \Gamma^{0} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. sic : « \operatorname{card} » devant un isomorphisme de groupes ; on attend \Gamma^{0} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

On peut d'ailleurs remplacer la donnée c) par la donnée \text{c}') \qquad S \in \Gamma^{0} \backslash E plus symétrique car on prend une famille par une orbite cyclique et (9) et les conditions : mettre aussi dans (7) (7) pour tout ce passage, de « et les conditions » jusqu'à (8''), est barré de trois longues diagonales. \text{\struck{(8$'$)}} \quad \text{\struck{$\Gamma^{0}$ opère fid.\ sur $S$}} \quad \text{\struck{$u \in \omega$ fixés, si $s_0 \in S$, $u s_0 \neq s_0$}} \text{\struck{(8$''$)}} \quad \text{\struck{$\operatorname{card} S = \operatorname{card}(\Gamma^{0}) = n$}} dans (9') et \Gamma \subset \ill{} (8') \Gamma^{0} opère \Gamma fidèlement S^* \Gamma^{0}

Il faut exprimer que S est stable sous \Gamma i.e. est une orbite sous \Gamma, ce qui équivaut à comme dans donnée d'un s_0 \in S, en disant (10) \qquad \exists\, \sigma_{s_0} \in \Gamma,\ \sigma_{s_0} \neq 1, \ \text{tel que}\ \sigma_{s_0} s_0 = s_0 (NB. A posteriori, ce \sigma sera unique, pour raisons combinatoires)

Si on veut que regarder les structures P dans E entièrement épinglées (choix d'un sommet s_0 et d'un côté comb. \{s_0, s_1\} issu de s_0, i.e. d'un sommet s_1, ce qui revient à la donnée de u \in \omega (orientation)) (s_1 \leftrightarrow u déterminé par s_1 = u s_0)

Les données deviennent (en plus de l'entier n \geq 3) (11) \qquad \begin{cases} \text{a}')\ \text{Représentation \struck{fidèle}}\quad D_n \xrightarrow{\ \varphi\ } \operatorname{Aff}(E) \\ \text{b}')\ s_0 \in E \end{cases} \begin{aligned} D_n &= \{\pm 1\} \cdot \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \qquad (\sigma \in \{\pm 1\},\ u \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \\ &= \{\sigma, u \mid \sigma^2 = 1,\ u^n = 1,\ \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1}\} \\ &= \{\sigma, \sigma' \mid \sigma^2 = \sigma'^2 = 1\} \end{aligned} satisfaisant les conditions (pour un pol. rég. affine unimodulaire) (13) \qquad \begin{cases} \text{\struck{$u s_0 \neq s_0$}} \\ (1^{o})\ \sigma s_0 = s_0 \\ (2^{o})\ s_0,\ s_1 = u s_0,\ s_2 = u^2 s_0\ (= u s_1)\ \text{non alignés}\ [\Rightarrow u s_0 \neq s_0] \\ \text{\struck{\ill{}}}\,(12)\ \varphi\ \text{fidèle}\ (\text{P.\ mémoire})\quad u\ \text{unimodulaire}] \end{cases} « P. mémoire » (pour mémoire) est une lecture incertaine. On dira que satisfait (12) si s_0 conditions (10), (2^{o})

Proposition 2 Pour un plan affine E fixé et un entier n \geq 3 fixé, la donnée dans E d'un n-polygone régulier épinglé équivaut à la donnée d'un couple (\varphi, s_0), où \varphi \colon D_n \to \operatorname{Aff}(E) est un homom. de groupes injectif, et où s_0 \in E est tel que \sigma s_0 = s_0 (i.e. s_0 \in E^{\sigma}) et s_0, u s_0, u^2 s_0 non alignés par les conditions (12) : \varphi injectif fidèle et u unimodulaire. (13)

Techniquement, la donnée essentielle est celle de \varphi. On verra que pour les \varphi correspondant à des polygones réguliers, \sigma est une réflexion i.e. E^{\sigma} (= \{x \in E \mid \sigma x = x\}) est une droite NB

Donc le choix supplémentaire de s_0 est le choix d'un pt sur une droite D_\sigma. Il faudra de plus, tout d'abord s_0 \neq u s_0, dire s_0 \notin D_{\sigma'} ce qui revient au même ( \sigma' = u\sigma tel que u = \sigma'\sigma — la symétrie fixe (s_0, s_1)) que s_0 \neq \sigma' s_0 i.e. s_0 \notin D_\sigma \cap D_{\sigma'} [NB D_{\sigma'} est l'ens. des pts fixes de \sigma'] — On trouvera que les conditions imposées à \varphi pour qu'il y ait s_0 satisfaisant à les conditions impliquent que \sigma' est également une réflexion et D_\sigma \neq D_{\sigma'} — donc cela exclut a priori un plus un pt c (le centre qui est un pt fixe sous pour \varphi(D_n) du polygone) parmi les pts éligibles pour s_0. On trouvera de plus que (pour \varphi fixé, les ens. des admissible) l'ens. des s_0 \in \text{\struck{\ill{}}}\ D^{\sigma *} := \text{\struck{distincte}}\ D^{\sigma} - \{D \cap D^{\sigma}\} — sur lequel le commutant \mathfrak{G} de \varphi(\Gamma) dans \operatorname{Aff}(E) opère de façon évidente) est un torseur sous \mathfrak{G}.

à gauche : un polygone aux sommets s_{-1}, s_0, s_1, s_2, la droite D_{\sigma'} passant par un pt intérieur (le centre) et le milieu du côté s_0 s_1, et, plus bas, une droite D_\sigma dirigée vers s_0 la notation hésite entre D_\sigma et D^{\sigma} pour la droite des points fixes de \sigma ; on garde celle de chaque endroit.

introduction Proposition 3 (Sous réserve qu'on se soit assuré — que \sigma' est une réflexion et mieux D_{\sigma'} \neq D_\sigma — ce qui ne fait rien autre que la condition unimodulaire!) :

1^{o})Supposons D_\sigma \cap D_{\sigma'} \neq \emptyset, soit c l'unique pt de D_\sigma \cap D_{\sigma'}, Alors Alors c est l'unique pt fixe de E sous \Gamma. Si on prend c comme origine — de sorte que E devient un vectoriel, \Gamma opérant linéairement —. Le groupe \mathfrak{G} des automorphismes de (E, \Gamma, \varphi) (i.e. le commutant de \Gamma dans \operatorname{Aff}(E) ou \mathrm{Gl}(E)) est égal au groupe des homothéties non nulles, i.e. k^* \simeq \mathfrak{G} — donc \mathfrak{G} D_\sigma^{*} est un \mathfrak{G}-torseur, 2^{o}) Supposons D_\sigma \parallel D_{\sigma'}. Soit T \subset V = espace des translations 1-dimensionnel commune de D_\sigma et D_{\sigma'}, et identifions T (\simeq k^+) à un sous-groupe de \operatorname{Aff}(E) (ss-groupe du groupe des translations).

Alors \mathfrak{G} = T, donc ici encore \mathfrak{G} D_\sigma^{*} = D_\sigma \ \text{est un}\ \mathfrak{G}\text{-torseur}

Dém. Il est évident dans l'un et l'autre cas que \mathfrak{G} = k^* resp. T (\simeq k^+) commute à \sigma et \sigma', donc à \Gamma (engendré par \sigma et \sigma') donc \text{\struck{\ill{}}}\ \mathfrak{G} \subset \mathfrak{G}\ \text{\struck{\ill{}}}. Or \mathfrak{G} est transitif sur D_\sigma^{*}, dans l'un et l'autre cas à commuter , et \mathfrak{G} opère librement sur D_\sigma^{*} il en résulte « formellement » que \mathfrak{G} opère transitivement sur D_\sigma^{*} — un \mathfrak{G} torseur — et que \mathfrak{G}_0 = \mathfrak{G}, cqfd l'indice de « \mathfrak{G}_0 = \mathfrak{G} » est incertain ; le contexte demande que le sous-groupe évident soit le commutant tout entier.

[P. ex. dans le cas où il existe — qu'on prend pour origine — \mathfrak{G} est l'ens. des homothéties de centre c (isomorphe à k^*) qui est évidemment simplement transitif sur l'ens. des pts sur la droite D_\sigma privée de c quantité transitivité … l'origine.] ici n \neq \operatorname{car} k n \neq 2 si p = 2 () on trouve k^* = \mathfrak{G} c divisible par car. 1 D_\sigma \parallel D_{\sigma'} conclusion

Cor 1) Deux n-polygones réguliers épinglés, tels que les représentations correspondantes de \square soient isomorphes, sont isomorphes. (Ce résultat qu' ). Donc la classification des représentations affines admissibles (des diédraux D_n pour n fixé) équivaut à celle des n-polygones réguliers. le symbole \square est sur la page ; on attend D_n.

Cor 2) Soient \begin{aligned} \varphi &\colon D_n \longrightarrow \operatorname{Aff}(E) \\ \varphi' &\colon D_n \longrightarrow \operatorname{Aff}(E') \end{aligned} deux repr. admissibles, et soit P un n-polygone régulier subordonné à \varphi (donnée qui équivaut à celle d'un s_0 \in D_\sigma^{*} …). Alors si isom. \theta \colon (E, \varphi) \to (E', \varphi') (i.e. isom. affine \theta \colon E \to E' tel que \theta \varphi(g) \theta^{-1} = \varphi'(g) \forall g \in D_n) on trouve le polygone régulier P' = \theta(P), subordonné à P', … la phrase se poursuit au-delà de la page 20, donc hors de ce lot.