Cote n° 78, pages 1–20

Cote n° 78 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Polygones réguliers et polynômes cyclotomiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

1Polygones réguliers — Chap I inscription au crayon sur la couverture de la chemise.

Chap. I. Introduction au point de vue affine

Polygones affines

1 Définition […] Déf $E$ plan affine sur un corps (disons …) $k$. Un […] polygone (déployé) dans $E$ est une partie finie $S$ de $E$ (ensemble des sommets) de cardinal $\geq 3$, munie d'une « structure polygonale combinatoire », i.e. d'une partie à deux éléments $\omega = \{u, u^{-1}\}$ de $\mathfrak{S}_S$ formée de permutations circulaires inverses l'une de l'autre (ce qui implique $n \geq 3$). Les droites rejoignant deux sommets contigus sont appelées ⌜(en corr. 1-1 avec les côtés […])⌝ les côtés; $\omega$ est l'une des orientations de $P$. Si $n = \operatorname{card} S$, c'est aussi le cardinal de l'ensemble des côtés — on dit que $P$ est un ⌜$n$-⌝polygone.

re-Déf On dit que $P$ est régulier si tout automorphisme combinatoire de $\mathfrak{P} = (S, \omega)$ — i.e. tout élément du normalisateur ⌜$\mathfrak{G}$⌝ de $\omega$ dans $\mathfrak{S}_S$ — se prolonge de façon unique en un automorphisme affine de $E$; il suffit bien sûr de l'exiger ⌜pour un $u \in \omega$⌝ […] pour un système de gén., p.ex. ⌜$u$ et une symétrie⌝ $\sigma_s$ p.r. à un sommet $s$, ou une symétrie $\sigma_a$ p.r. à un […] ⌜côté⌝. [en fait, si $s$ et $a$ sont incidents, ⌜deux⌝ quelconques des trois él. $\sigma_s, \sigma_a, u = \sigma_a \sigma_s$ forment des ⌜un syst. de⌝ générateurs]. Pour des raisons techniques, on exige que les $u \in \omega$ […] […] ce qui revient au […] les él. des groupes ⌜cycliques⌝ $\langle u \rangle$ engendrés — appelés groupes des rotations des polygones comb. — se réalisent

3par des automorphismes unimodulaires, […] On comprendra mieux par la suite la nature exacte de cette restriction (en étudiant le pb dans un projectif); disons pour l'instant qu'on ⌜elle⌝ revient au même que d'exiger $\sigma_a$ ([…] […], cela revient au même puisqu'ils sont conjugués) est une réflexion — i.e. laisse invariante une droite. On verra aussi que cette restriction est automatiquement satisfaite dans le cas des polygones réguliers […] : $2p$ côtés en car. $p$ ($p$ nb premier impair) — p.ex. l'hexagone en car. 3.

Devrait […] NB On fera attention que dans la définition des polygones généraux, on aurait défini les côtés comme des droites de $E$ […] une application surjection de l'ens. des côtés combinatoires sur l'ens. des côtés géométriques. On dira que le polygone est propre si pour un sommet $s \in S$ et un côté combinatoire $\{s', s''\}$, $s$

dans la marge et sous le texte, un polygone non convexe aux sommets notés $A_0, A_1, \dots, A_8$ (certains côtés repassés à l'encre plus épaisse), et à gauche un segment vertical portant $A_1$, $A_5$, $A_2$

4est incident au côté géométrique $D(s', s'')$ ssi $s$ est incident au côté combinatoire, i.e. $s = s'$ ou $s = s''$; ceci implique bien entendu que les côtés géom. corr. 1-1 aux côtés combinatoires. On verra que les polygones réguliers (avec tous la condition unimodulaire) ⌜sont⌝ aussi propres.

$\triangle$ La condition d'unicité dans la définition du polygone régulier équivaut évidemment à dire que $S$ engendre aff[ine]men[t] $E$, ou encore que $S$ n'est pas […] ⌜contenu dans⌝ une droite. Il revient au même que de dire que trois sommets consécutifs $s_0, s_1, s_2$ ne sont pas alignés (sinon, par la régularité — en sorte que si $d_0 = D(s_0, s_1)$, on aurait aussi […] $d_0 = u(d_0)$ [$u s_0 = s_1, \dots$], donc tous les $d_i$ égaux puisque $u$ transitif sur l'ens. des côtés, absurde …].

pt de vue […] : fixer $\Pi$ (le « schéma combinatoire ») […] plutôt des polygones épinglés. Épinglage d'un polygone géom. par un pl. comb. $\Pi$ — ou polygone géom. $\Pi$-épinglé : revient à la donnée d'un couple […]$(\Pi, \varphi)$, $\Pi = (S, \omega)$ poly comb., $\varphi \colon S \to E$ application injective

5À vrai dire, l'[…] ⌜injectivité⌝ de l'application sur les sommets, ainsi que celle de l'application des côtés comb. vers les côtés géom. peut ne être pas injectives, ou encore que […] dans le cas non propre [où la donnée du polygone géom. ⌜propre⌝ équivaut à la donnée de l'ens. des sommets et de l'ens. des côtés, satisfaisant les conditions suivantes : […] sommet incident à ex. deux côtés, […] côté incident à ex. […] […], […] plus condition de connexité combinatoire …]. La bonne notion est ⌜(non-réalisation)⌝ donc celle de repr. ⌜géom.⌝ d'un poly. combinatoire, qui revient à la donnée de deux applications — sur l'ens. des sommets et sur l'ens. des droites — respectant les relations d'incidence …. (lorsque deux sommets incidents […] […] des pt des […] sommets […] […] pour […] un polygone distinctes par l'application sommets, cette dernière suffit : elle sert à déterminer la réalisation, et elle peut être choisie arbitrairement, le passage barré vers le bas de la page est encadré et repris par des renvois en partie illisibles ; la phrase continue au-delà de la page.

I bis. Exemples sur $k = \mathbb{R}$

Prenons \[ (1) \qquad E = \mathbb{C} \] regardé comme plan sur les réels. Soit […] $\zeta$ une racine primitive $n$-ième de 1, (racine de 1 d'ordre $n$) posons \[ \text{\struck{\ill{}}}\,(2) \qquad \zeta^n = 1, \quad \zeta^d \neq 1 \ \text{si}\ d \mid n,\ \text{\struck{\ill{}}}\, 1 \leq d < n \] posons \[ (3) \qquad s_i = \zeta^i \qquad i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \] avec la structure polygonale ⌜combinatoire⌝ standard. Les $s_i$ distincts car $\zeta$ racine primitive. Posons $\sigma, u \in \text{\struck{\ill{}}}\,\mathrm{Gl}_{\mathbb{R}}(E) \subset \mathrm{Aff}(E)$ définis par \[ (4) \qquad \begin{cases} \sigma z = \bar{z} \\ u z = \zeta z \end{cases} \qquad \text{\struck{\ill{}}} \] donc […] […] \[ (5) \qquad \begin{cases} \sigma s_i = s_{-i} \\ u s_i = s_{i+1} \end{cases} \] donc […] […] un $n$-polygone régulier, $P_\zeta$.

On vérifiera aisément (cf. […] […] dans un contexte plus général) que

a)$P_\zeta$ isom. à $P_{\zeta'}$ ssi $\zeta' = \zeta$ ou $\zeta' = \zeta^{-1}$ (ou encore, posant $\alpha(\zeta) = \zeta + \zeta^{-1}$, ssi $\alpha(\zeta) = \alpha(\zeta')$)
b)Tout polygone régulier dans […] un plan affine sur $\mathbb{R}$ est isom. à un $P_\zeta$.

7Si $\mathcal{T}$ est le groupe des racines de l'unité dans $\mathbb{C}$, donc i.e. le s-groupe de torsion de $\mathbb{C}^*$, qui est isomorphe à $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, donc $\mathcal{T}$ […] pour unique élément d'ordre 2, savoir $-1$, engendrant l'unique ss-groupe cyclique d'ordre 2, $\{\pm 1\} \subset \mathcal{T}$ donc $\pm 1$ opère sur $\mathcal{T}$ (écrit additivement par les […] […]) et […] l'ens. des classes d'isom. de polygones réguliers sur $\mathbb{R}$ est en corr. biunivoque canonique avec \[ \bigl(\mathcal{T}/\{\pm 1\} \smallsetminus \{\bar{1}\}\bigr) \] où $\bar{1}$ est l'image dans le quotient $\mathcal{T}/\{\pm 1\}$ de l'él. unité.

On a pour quatre pts consécutifs $s_i, s_{i+1}, s_{i+2}, s_{i+3}$ \[ (s_{i+3} - s_i) = \text{\struck{\ill{}}}\, r\,(s_{i+2} - s_{i+1}) \] où $r$ est un nb réel qui ne dépend que de $\zeta$ (pas de $i$) en fait \[ r = 1 + \underbrace{(\zeta + \zeta^{-1})}_{2 \cos \arg \zeta} \] En effet, \[ \frac{\zeta^{i+3} - \zeta^{i}}{\zeta^{i+2} - \zeta^{i+1}} = \frac{\zeta^3 - 1}{\zeta^2 - \zeta} = \frac{\zeta^2 + \zeta + 1}{\zeta} = 1 + (\zeta + \zeta^{-1}) \]

à gauche, quatre sommets consécutifs $s_i, s_{i+1}, s_{i+2}, s_{i+3}$ ; les côtés $s_i s_{i+1}$ et $s_{i+2} s_{i+3}$ prolongés en pointillé jusqu'à leur intersection sur l'axe de symétrie ; l'angle extérieur en $s_{i+2}$ est marqué $\theta = \arg \zeta$

8Si on étend les scalaires du plan ⌜vect.⌝ réel au plan vectoriel complexe, l'homom. de multiplication complexe par $\zeta$ (pour […] […] complexe) se diagonalise, suivant deux droites « isotropes » canoniques […] la matrice ⌜diagonale⌝ $(\zeta, \zeta^{-1})$, le pt 1 de $E$ devient le pt $s_0 = (1, 1)$ de $\mathbb{C}^2$, et $s_i$ devient le pt de coordonnées complexes $(\zeta^i, \zeta^{-i}) = u_\zeta^i(s_0)$. La symétrie p.r. au sommet $s_0$, i.e. $z \mapsto \bar{z}$, est transformée en l'automorphisme $(x, y) \mapsto (y, x)$ symétrie des […] […]. On verra que cette structure des $n$-polygones réguliers est typique, sur les corps ⌜alg. clos⌝ de car. premier à $n$; et pour car. […] on a la même ⌜($(n, p) = 1$)⌝ classification des $n$-polygones réguliers que celle trouvée dans le cas des corps des réels. (NB Le fait que dans le cas particulier $k = \mathbb{R}$, bien que $k$ ne soit pas alg. clos, on ait la même classification, est remarquable et demande de l'attention …

À gauche, en regard : $E \to \mathbb{C}$ par deux flèches $\varphi_1, \varphi_2$, avec $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ et $\varphi_1(z) = z$ […], $\varphi_2(z) = \bar{z}$ ; puis $E \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \simeq \mathbb{C}^2$ (noté $E \simeq_{\mathbb{C}} \mathbb{C}^2$).

9feuille de calculs épars sur les endomorphismes d'un plan, barrée de deux longues diagonales ; transcrite telle quelle, sans lien explicite avec les pages voisines. \[ u\,(\operatorname{Tr} v\,\mathrm{id} - v) = (\operatorname{Tr} v)\,u - uv \] \[ \operatorname{Tr} u\check{v} = \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v - \operatorname{Tr}(uv) \qquad 2 \operatorname{Tr} \ill{} \] $\det u + \det v =$ \[ \det(u + v) = \det u + \det v + \underbrace{(\operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v - \operatorname{Tr} uv)}_{\varphi(u, v)} \] $\tilde{x}$ […] $\tilde{y}$ $u$ $\mathcal{M}$ $u x$ $u$ unipotent \[ \begin{pmatrix} \lambda & u \\ 0 & \lambda' \end{pmatrix} \qquad \begin{cases} u x = 0 \\ \operatorname{Tr} u = 0 \end{cases} \] $D$ […] […] […] […] […] $\mathcal{L} \subset \ill{}$ […] […] […]

$u D \subset D$, $\operatorname{Tr} u = 0$ $u$ $\begin{pmatrix} \lambda & u \\ & -\lambda \end{pmatrix}$ $E/D$

$u$ $0 \subset \mathcal{O}_\xi \subset \sqrt{\mathcal{J}} \subset \mathcal{L}$ $\lambda$ $\begin{pmatrix} ? & \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$ $X \to \mathbb{R}(\sqrt{\mathcal{J}}/\mathcal{O}_\xi)$

$\operatorname{Tr} u =$ $u D \subset D$ $u = \lambda + v$ $u = \lambda\,\mathrm{id} + v$ $v$ nilpotent

$u$ $x$ $\operatorname{Tr} u = 0$ […] $\det u = 0$ $u^2 = 0$ $\lambda^2$

II. Épinglages et repères

Un repère d'un polygone combinatoire est un couple $(s_0, d_0)$ d'un sommet et d'un côté incidents; il revient au même de se donner un couple $(s_0, s_1)$ de deux sommets adjacents […] […] (prendre $d_0 = \{s_0, s_1\}$) ou d'un $s_0 \in S$ et de $u \in \omega$ — i.e. d'un sommet et d'une orientation — (prendre $s_1 = u s_0$).

Prop 1 $\Gamma = \operatorname{Aut}(S, \omega)$ est ⌜simplement⌝ transitif sur l'ens. des repères — ⌜i.e.⌝ qu'[…] […] […] […] ⌜un⌝ torseur sous $\Gamma$.

C'est en. équivalent à ceci :

Cor 1 Soient $\Pi = (S, \omega)$, $\Pi' = (S', \omega')$ deux ⌜isom.⌝ pol. comb. ⌜isomorphes⌝ et soit $r_0 = (s_0, u)$ un repère de $\Pi$. Alors l'application \[ \begin{aligned} \operatorname{Isom}(\Pi, \Pi') &\longrightarrow \operatorname{Rep}(\Pi') \\ \theta &\longmapsto \theta(r_0) \end{aligned} \] est bijective.

Un épinglage d'un poly. comb. est la donnée d'un repère (dans ce cas un repère) — celle d'un ⌜un épinglage (ou repère)⌝ d'un polygone géom. est un ép. du pl. comb. sous-jacent. Il revient au même de dire de donner un $\Pi_0$-

11« le » (i.e. […] […] épinglé pol. comb. épinglé — i.e. muni d'un repère) épinglage, où $\Pi_0$ est le « $n$-poly. combinatoire type ».

Cor. 2 Soient $P = (E, S, \omega)$, $P' = (E', S', \omega')$ deux polygones réguliers isomorphes, Alors ⌜Soit⌝ $r$ un repère ⌜pour un répère⌝ de $P$ pouvant être épinglé. Alors l'applic. \[ \theta \mapsto \theta(r) \colon \operatorname{Isom}(P, P') \to \operatorname{Rep}(E', S', \omega') \] est bijective.

Scholie On peut donc énoncer : que les classes d'isomorphie de $n$-polygones réguliers, les $n$-polygones réguliers épinglés sont déterminés : isom uniques près. [Il est bien sûr de le cas purement combinatoire]. Bien sûr, les classes d'iso des uns et des autres se correspondent 1-1 …

NB Il y aura dans la question « d'écrire » « le » espace affine $E$ dans lequel se place $P$, en termes des types d'isomorphie (i.e. de $n$ et d'un « module » $\alpha \in k$ convenable), est longue ⌜,⌝ et ceci fait, « d'écrire » […] […] également les […] ⌜sommets⌝ $s_i$ ([…]).

III. Polygones $n$-réguliers et repr. des groupes diédraux

le haut de la page (jusqu'à « intrinsèque ») est barré de grandes croix ; on le transcrit sous struck pour autant qu'il se lit. Revenons au cas des polygones réguliers. Soit $\Pi = (S, \omega = \{u, u^{-1}\})$ […] […] $\Pi$ épinglé, et […] $\Gamma$ […] $k$. $\Gamma = \operatorname{Aut}(\Pi)$, $\Gamma^{0}$ = […] des automorphismes ⌜conservant l'orient.⌝ On obtient une représentation \[ \text{\struck{$\Gamma \xrightarrow{\varphi} \operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(E)$}} \] […] des sommets […] […] […] orbite sous $\Gamma$. […] ⌜Nous partirons du⌝ pt de vue intrinsèque (non épinglé).

Question Pb de l'épinglage […] […] […] […] combinatoire $(s_0, s_1)$, […] $(s_0, d_0)$ […] […] $(s_0, \omega)$ […] […] Donnée de […] […] $\mathfrak{G}$ de $\Gamma$ […] […] […] ([…]) la marge gauche porte, d'une écriture oblique et encadrée, une note dont seuls ces fragments se lisent.

Le polygone $P = (S, \omega)$ détermine un s-groupe \[ \Gamma \subset \operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(E) \] isomorphe à un groupe diédral $D_n$ ⌜$n \in \mathbb{N}$ convenable⌝ \[ (1) \qquad \Gamma \simeq D_n \qquad \text{(isomorphisme non donné)} \] et $S$ est une orbite de $\Gamma$ op. sur $E$ \[ (2) \qquad S \in \text{\struck{\ill{}}}\,\Gamma \backslash E \] dans le s-groupe $\Gamma$ étant donné, $S$ est déterminé quand on connaît un de ses sommets, $s_0$ \[ (4) \qquad s_0 \in E \] le numéro se lit plutôt (4) que (3) ; la page suivante numérote à nouveau (4) la condition $\omega \subset \Gamma$. À quelle Le polygone $P$ est-il connu par la connaissance de $(\Gamma, \text{\struck{\ill{}}}, S)$, i.e. la structure combinatoire ⌜$\omega$⌝ de $S$ résulte-t-elle de la connaissance du s-groupe $\Gamma \subset{}$ $\operatorname{Aut}$ $\mathfrak{S}_S$ de ses automorphismes?

13Non, car ce groupe est le même pour la str $\omega = \{u, u^{-1}\}$ et $\omega^{(r)} = \{u^r, u^{-r}\}$ où $r \in \mathbb{Z}$, $(r, n) = 1$. Il faut donc en plus se donner une partie \[ (4) \qquad \omega \subset \Gamma \] avec \[ (5) \qquad \begin{cases} \operatorname{card}(\omega) = 2, \quad \omega = \{u, u^{-1}\} \\ \text{\struck{\ill{}}} \end{cases} \] […] telle que, si $\Gamma^{0}$ est le s-groupe de $\Gamma$ engendré par $\omega$ (i.e. par l'un quelconque des deux éléments) … on ait \[ (6) \qquad \begin{cases} \text{\struck{\ill{}}}\,\operatorname{card} \Gamma/\Gamma^{0} = 2 \\ \Gamma/\Gamma^{0} \ \text{opère sur}\ \Gamma^{0}\ \text{par}\ \lambda \mapsto \lambda^{-1} \\ \text{l'ext.\ } \Gamma\ \text{de}\ \Gamma/\Gamma^{0}\ \text{par}\ \Gamma^{0}\ \text{est semi-directe,} \\ \quad \text{i.e.}\ \exists\, \sigma \in \Gamma,\ \sigma^2 = 1,\ \sigma \mapsto \text{él.}\ {-1}\ \text{de}\ \Gamma/\Gamma_0 \end{cases} \] [NB Ces conditions, qui précisent (1) ⌜(moyennant la condition que $\Gamma^{0}$ soit fini)⌝, devraient bien sûr remplacer (2).]

En résumé, $P$ est déterminé par la donnée

a)d'un sous-groupe $\Gamma \subset \operatorname{Aff}(E)$
b)de la partie $\omega \subset \Gamma$ satisfaisant (5), (6)
c)de $S \in \Gamma \backslash E$ (une des orbites)

14Quelles conditions faut-il imposer à a), b), c) pour que ces données proviennent d'un polygone régulier? Signalons condition (6), et \[ (9) \qquad \text{\struck{\ill{}}}\ \begin{cases} S\ \text{n'est pas contenu dans une} \\ \text{droite de}\ E \end{cases} \] et ensuite \[ (8) \qquad S\ \text{est un torseur sous}\ \Gamma^{0} \] \[ (7) \qquad \Gamma^{0}\ \text{fini} \] des flèches dans la marge renvoient (8) et (7) au-dessus de (9) : l'ordre voulu est sans doute (7), (8), (9). Ces […] conditions ⌜(6) à (9)⌝ suffisent, car la structure de torseur sur $S$ sous $\Gamma^{0}$ ⌜cyclique⌝ induit sur $S$ ⌜(lorsque $\omega \subset \Gamma^{0}$)⌝ une structure de polygone combinatoire — ⌜la condition (9) […] […] $\Gamma \hookrightarrow \operatorname{Aut}$ […] $\omega \to \omega' \subset \mathfrak{S}_S$⌝ ($n = \operatorname{card} \Gamma^{0}$) et si $\sigma \in \Gamma$ est comme dans (6), il ⌜[…]⌝ ⌜[…]⌝ induit des automorphismes de $(S, \omega)$ qui renversent l'orientation, donc […] $\Gamma$ […] exactement le groupe des automorphismes de $\Gamma'$ est le groupe des autom., […] […] induit \[ \Gamma \hookrightarrow \Gamma', \qquad \Gamma^{0} \simeq \Gamma'^{0} \] qui induit un […] ⌜isom.⌝ OK.

Si on se fixe $n$, (7) devient \[ (7') \qquad \operatorname{card} \Gamma^{0} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. \] sic : « $\operatorname{card}$ » devant un isomorphisme de groupes ; on attend $\Gamma^{0} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

15On peut d'ailleurs remplacer la donnée c) par la donnée \[ \text{c}') \qquad S \in \Gamma^{0} \backslash E \] plus symétrique ⌜car on prend une famille par une orbite cyclique⌝ et (9) et les conditions : mettre aussi dans (7) ⌜(7) pour⌝ tout ce passage, de « et les conditions » jusqu'à (8$''$), est barré de trois longues diagonales. \[ \text{\struck{(8$'$)}} \quad \text{\struck{$\Gamma^{0}$ opère fid.\ sur $S$}} \quad \text{\struck{$u \in \omega$ fixés, si $s_0 \in S$, $u s_0 \neq s_0$}} \] \[ \text{\struck{(8$''$)}} \quad \text{\struck{$\operatorname{card} S = \operatorname{card}(\Gamma^{0}) = n$}} \] dans (9$'$) et $\Gamma \subset \ill{}$ (8$'$) […] […] $\Gamma^{0}$ opère […] […] $\Gamma$ […] fidèlement […] […] […] […] […] […] $S^*$ […] […] $\Gamma^{0}$

Il faut exprimer que $S$ est […] ⌜stable⌝ sous $\Gamma$ i.e. est une orbite sous $\Gamma$, ce qui équivaut à […] […] comme dans […] […] […] […] […] […] donnée d'un $s_0 \in S$, en disant \[ (10) \qquad \exists\, \sigma_{s_0} \in \Gamma,\ \sigma_{s_0} \neq 1, \ \text{tel que}\ \sigma_{s_0} s_0 = s_0 \] (NB. A posteriori, ce $\sigma$ sera unique, […] pour raisons combinatoires)

Si on veut que regarder les structures $P$ dans $E$ entièrement épinglées (choix d'un sommet $s_0$ et d'un côté ⌜comb.⌝ $\{s_0, s_1\}$ issu de $s_0$, i.e. d'un sommet $s_1$, ce qui revient à la donnée de $u \in \omega$ (orientation)) ($s_1 \leftrightarrow u$ déterminé par $s_1 = u s_0$)

16Les données deviennent (en plus de l'entier $n \geq 3$) \[ (11) \qquad \begin{cases} \text{a}')\ \text{Représentation \struck{fidèle}}\quad D_n \xrightarrow{\ \varphi\ } \operatorname{Aff}(E) \\ \text{b}')\ s_0 \in E \end{cases} \] \[ \begin{aligned} D_n &= \{\pm 1\} \cdot \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \qquad (\sigma \in \{\pm 1\},\ u \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \\ &= \{\sigma, u \mid \sigma^2 = 1,\ u^n = 1,\ \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1}\} \\ &= \{\sigma, \sigma' \mid \sigma^2 = \sigma'^2 = 1\} \end{aligned} \] satisfaisant les conditions (pour un pol. rég. affine unimodulaire) \[ (13) \qquad \begin{cases} \text{\struck{$u s_0 \neq s_0$}} \\ (1^{o})\ \sigma s_0 = s_0 \\ (2^{o})\ s_0,\ s_1 = u s_0,\ s_2 = u^2 s_0\ (= u s_1)\ \text{non alignés}\ [\Rightarrow u s_0 \neq s_0] \\ \text{\struck{\ill{}}}\,(12)\ \varphi\ \text{fidèle}\ (\text{P.\ mémoire})\quad u\ \text{unimodulaire}] \end{cases} \] « P. mémoire » (pour mémoire) est une lecture incertaine. On dira que […] satisfait […] […] (12) si […] […] $s_0$ […] conditions (10), (2$^{o}$) […] […] […]

Proposition 2 Pour un plan affine $E$ fixé et un entier $n \geq 3$ fixé, la donnée dans $E$ d'un $n$-polygone régulier […] épinglé équivaut à la donnée d'un couple $(\varphi, s_0)$, où $\varphi \colon D_n \to \operatorname{Aff}(E)$ est un homom. de groupes injectif, et où $s_0 \in E$ est tel que $\sigma s_0 = s_0$ (i.e. $s_0 \in E^{\sigma}$) et $s_0, u s_0, u^2 s_0$ non alignés […] […] […] par les conditions (12) : $\varphi$ injectif fidèle et $u$ unimodulaire. (13) […] […] […] […] […]

Techniquement, la donnée essentielle est celle de $\varphi$. On verra que […] pour les $\varphi$ correspondant à des polygones réguliers, […] $\sigma$ est une réflexion i.e. $E^{\sigma}$ $(= \{x \in E \mid \sigma x = x\})$ est une droite NB […] […] […]

17Donc le choix ⌜supplémentaire⌝ de $s_0$ est le choix d'un pt sur une droite ⌜$D_\sigma$⌝. Il faudra de plus, tout d'abord $s_0 \neq u s_0$, dire $s_0 \notin D_{\sigma'}$ ce qui revient au même ([…] […] […] $\sigma' = u\sigma$ tel que $u = \sigma'\sigma$ — la symétrie […] fixe $(s_0, s_1)$) que $s_0 \neq \sigma' s_0$ i.e. \[ s_0 \notin D_\sigma \cap D_{\sigma'} \] [NB […] […] $D_{\sigma'}$ est l'ens. des pts fixes de $\sigma'$] — On trouvera que les conditions imposées à $\varphi$ pour qu'il y ait $s_0$ satisfaisant à les conditions impliquent que […] $\sigma'$ est également une réflexion et $D_\sigma \neq D_{\sigma'}$ — donc […] cela exclut ⌜a priori⌝ un plus un pt $c$ (le centre ⌜qui est un pt fixe sous pour $\varphi(D_n)$⌝ du polygone) parmi les pts éligibles pour $s_0$. On trouvera de plus que (pour $\varphi$ fixé, les ens. des ⌜admissible⌝) l'ens. des $s_0 \in \text{\struck{\ill{}}}\ D^{\sigma *} := \text{\struck{distincte}}\ D^{\sigma} - \{D \cap D^{\sigma}\}$ […] […] — sur lequel le commutant $\mathfrak{G}$ de $\varphi(\Gamma)$ dans $\operatorname{Aff}(E)$ opère de façon évidente) est un torseur sous $\mathfrak{G}$.

à gauche : un polygone aux sommets $s_{-1}, s_0, s_1, s_2$, la droite $D_{\sigma'}$ passant par un pt intérieur (le centre) et le milieu du côté $s_0 s_1$, et, plus bas, une droite $D_\sigma$ dirigée vers $s_0$ la notation hésite entre $D_\sigma$ et $D^{\sigma}$ pour la droite des points fixes de $\sigma$ ; on garde celle de chaque endroit.

18introduction Proposition 3 (Sous réserve qu'on se soit assuré — que $\sigma'$ est une réflexion […] ⌜et⌝ mieux $D_{\sigma'} \neq D_\sigma$ — ce qui ne fait rien autre que la condition unimodulaire!) :

1$^{o}$)Supposons $D_\sigma \cap D_{\sigma'} \neq \emptyset$, soit $c$ l'unique pt de $D_\sigma \cap D_{\sigma'}$, Alors […] […] […] Alors $c$ est l'unique pt fixe de $E$ sous $\Gamma$. Si on prend $c$ comme origine — de sorte que $E$ devient un vectoriel, $\Gamma$ opérant linéairement —. Le groupe $\mathfrak{G}$ des automor[phismes] de $(E, \Gamma, \varphi)$ (i.e. le commutant de $\Gamma$ dans $\operatorname{Aff}(E)$ ou $\mathrm{Gl}(E)$) est égal au groupe des […] homothéties non nulles, i.e. \[ k^* \simeq \mathfrak{G} \] — donc $\mathfrak{G}$ $D_\sigma^{*}$ est un $\mathfrak{G}$-torseur, […] […]
2$^{o}$)[…] Supposons $D_\sigma \parallel D_{\sigma'}$. Soit $T \subset V$ = espace des translations ⌜1-dimensionnel⌝ […] […] commune de $D_\sigma$ et $D_{\sigma'}$, et identifions $T$ ⌜($\simeq k^+$)⌝ […] ⌜à un⌝ sous-groupe de $\operatorname{Aff}(E)$ (ss-groupe du groupe des translations).

19Alors $\mathfrak{G} = T$, donc ici encore $\mathfrak{G}$ \[ D_\sigma^{*} = D_\sigma \ \text{est un}\ \mathfrak{G}\text{-torseur} \]

Dém. Il est évident dans l'un et l'autre cas que $\mathfrak{G} = k^*$ resp. $T$ ($\simeq k^+$) commute à $\sigma$ et $\sigma'$, donc à $\Gamma$ (engendré par $\sigma$ et $\sigma'$) donc \[ \text{\struck{\ill{}}}\ \mathfrak{G} \subset \mathfrak{G}\ \text{\struck{\ill{}}}. \] Or […] $\mathfrak{G}$ est transitif sur $D_\sigma^{*}$, dans l'un et l'autre cas ⌜à commuter […] […] […]⌝, et […] $\mathfrak{G}$ opère librement sur $D_\sigma^{*}$ il en résulte « formellement » que $\mathfrak{G}$ opère transitivement sur $D_\sigma^{*}$ — […] un $\mathfrak{G}$ torseur — et que $\mathfrak{G}_0 = \mathfrak{G}$, cqfd l'indice de « $\mathfrak{G}_0 = \mathfrak{G}$ » est incertain ; le contexte demande que le sous-groupe évident soit le commutant tout entier.

20[P. ex. dans le cas où il existe ⌜— qu'on prend pour origine —⌝ $\mathfrak{G}$ est l'ens. des homothéties de centre $c$ (isomorphe à $k^*$) qui est évidemment simplement transitif […] […] sur l'ens. des pts sur la droite $D_\sigma$ privée de […] […] […] […] […] ⌜$c$⌝ […] quantité […] […] […] transitivité … ⌜l'origine⌝.] ici […] […] $n \neq \operatorname{car} k$ […] […] $n \neq 2$ si $p = 2$ ([…]) on trouve $k^* = \mathfrak{G}$ […] $c$ […] […] […] divisible par car. […] […] […] […] 1 […] […] […] $D_\sigma \parallel D_{\sigma'}$ […] […] […] […] […] […] […] […] conclusion

Cor 1) Deux $n$-polygones réguliers […] épinglés, tels que les représentations correspondantes de $\square$ soient isomorphes, sont isomorphes. (Ce résultat qu'[…] […] […]). Donc la classification des représentations affines […] ⌜admissibles⌝ (des diédraux $D_n$ pour $n$ fixé) équivaut à celle des $n$-polygones réguliers. le symbole $\square$ est sur la page ; on attend $D_n$.

Cor 2) Soient \[ \begin{aligned} \varphi &\colon D_n \longrightarrow \operatorname{Aff}(E) \\ \varphi' &\colon D_n \longrightarrow \operatorname{Aff}(E') \end{aligned} \] deux repr. admissibles, et soit $P$ un $n$-polygone régulier subordonné à $\varphi$ (donnée qui équivaut à celle d'un $s_0 \in D_\sigma^{*}$ …). Alors si […] isom. $\theta \colon (E, \varphi) \to (E', \varphi')$ (i.e. isom. affine $\theta \colon E \to E'$ tel que $\theta \varphi(g) \theta^{-1} = \varphi'(g)$ $\forall g \in D_n$) on trouve le polygone régulier $P' = \theta(P)$, subordonné à $P'$, … la phrase se poursuit au-delà de la page 20, donc hors de ce lot.

Chap. I. Introduction au point de vue affine

I bis. Exemples sur \(k = \mathbb{R}\)

II. Épinglages et repères

III. Polygones \(n\)-réguliers et repr. des groupes diédraux