Cote n° 78 · pages 1–129 · Lecture modernisée · [Polygones réguliers et polynômes cyclotomiques] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–129

Le fil du dossier, et les conventions

La chemise porte au crayon « Polygones réguliers / Chap I » ; l'inventaire titre « [Polygones réguliers et polynômes cyclotomiques] », d'après une seconde chemise, rose, insérée à la page 108. Une lettre dactylographiée reçue, datée de Paris le 10 novembre 1977 (page 93, non transcrite), donne un terme a quo compatible avec la datation de l'inventaire. Les pages 49 et 108 sont des chemises, la page 53 une feuille blanche à en-tête, les pages 110 et 114 portent au revers ou au pied des textes sans rapport.

Le dossier se rattache au cours de DEA de 1977–1978, « géométrie arithmétique des polygones réguliers », dont l'annonce est au dossier 75 (page 32) : la notion de polygone régulier sur un corps, puis sur un anneau de base, « l'anneau sur lequel s'écrit le \(n\)-gone régulier le plus général », les formes imprévues que prennent en caractéristique positive la réflexion et le centre. C'est exactement la matière qu'on trouve ici. La page 49 est la chemise d'une deuxième leçon, « Cours / Polygones réguliers / II ».

Les stations

• Pages 1 à 48 : « Chap. I », première rédaction. Définitions (polygone régulier, unimodulaire, propre ; pages 2 à 5) ; les exemples réels \(P_\zeta\) (pages 6 à 8, et une feuille de calculs, page 9) ; repères et épinglages (pages 10 et 11) ; les représentations du groupe diédral, propositions 1 à 3 (pages 12 à 21) ; abandon de la condition de fidélité, proposition 4 (pages 22 à 26) ; les \(\infty\)-polygones, proposition 5 (pages 26 à 33) ; l'étoilage, proposition 6 (pages 33 à 39) ; structures quasi-polygonales et systèmes réguliers de sommets, proposition 7, et un programme de descente (pages 39 à 48).
• Pages 49 à 80 : « Cours Polygones réguliers II », seconde rédaction. Plan et rappels (pages 50 à 52) ; polygones combinatoires, contours et drapeaux, comme ensembles sous le groupe diédral infini (pages 54 à 61) ; le cas d'un corps algébriquement clos de caractéristique première à \(n\), formes invariantes, conique circonscrite (pages 62 à 73) ; reformulation du problème pour le polygone infini \(\Pi_\infty\), lemme et proposition (pages 74 à 80).
• Pages 81 à 100 : les coordonnées universelles. Les paramètres \((\alpha, \beta)\) et la condition \(\sigma_0^2 = 1\) ; cas propre et cas impropre ; points fixes et centre ; valeurs propres ; les trois cas \(\alpha \neq \pm 2\), \(\alpha = -2\), \(\alpha = 2\) ; la forme quadratique invariante \(f_\alpha\) et sa conique ; la parabole.
• Pages 101 à 107 : la fidélité, en deux versions, la seconde (page 104) marquée « ancienne version ».
• Pages 108 à 120 : « Polynômes cyclotomiques ». Les polynômes \(F_n\) ; le théorème \(u_\alpha^n = 1 \iff F_n(\alpha) = 0\) ; le polynôme semi-cyclotomique \(\Psi_n\) et les « anneaux modulaires » ; réduction de \(\Phi_n\) modulo \(p\) et ordre d'un polygone en caractéristique \(p\) ; table des \(\alpha\).
• Pages 121 à 129 : feuilles détachées. Un calcul tensoriel barré (page 121) ; tables de \(\Psi_n\) et \(\Phi_n\), réductions modulo \(p\) (pages 122 à 124) ; les anneaux \(\mathbf{Z}[\zeta]\) et \(\mathbf{Z}[\zeta + \zeta^{-1}]\), ramification en \(p\) (pages 125 à 127) ; l'involution \(T \mapsto T^{-1}\) (page 128) ; revêtements ramifiés (page 129), où le dossier s'arrête.

Les deux premières stations sont deux moutures de la même théorie, non une suite : le cours reprend depuis les définitions ce que le chapitre avait construit, avec un autre langage (le polygone combinatoire y devient un ensemble de drapeaux sous le groupe diédral infini) et un programme plus net (tout déduire du polygone infini). On les garde distinctes ; on renvoie de l'une à l'autre là où elles se recouvrent. De même pour les deux versions de la fidélité (pages 101 à 103 et 104 à 107) et pour les deux présentations des polynômes (pages 109 à 120 et 122 à 124), qui n'appellent pas les mêmes objets du même nom.

Conventions

\(k\) est un corps (un anneau quand on le dit), \(E\) un plan affine sur \(k\), \(V\) son espace des translations, \(\mathrm{Aff}(E)\) son groupe affine, \(\mathrm{Dr}(E)\) l'ensemble de ses droites ; pour un automorphisme affine \(g\), \(g_V\) est sa partie linéaire. \(\mathbf{D}_n\) (\(2 \leq n \leq \infty\)) est le groupe diédral d'ordre \(2n\), \[ \mathbf{D}_n = \langle \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = (\sigma_0\sigma_1)^n = 1 \rangle , \qquad \mathbf{D}_\infty = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} * \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} , \] et \(u = \sigma_0 \sigma_1\) est la rotation d'un cran ; \(\mathbf{D}_n^{+} = \langle u \rangle\) le sous-groupe des rotations, d'indice \(2\). Dans un polygone épinglé, \(\sigma_1\) est la symétrie qui fixe le sommet de base \(s_0\), \(\sigma_0\) celle qui fixe le côté de base \(a_0\) ; \(s_i = u^i s_0\) et \(a_i = \mathrm{dr}(s_i, s_{i+1})\)¹ . \(\Pi_n\) est le \(n\)-gone combinatoire type.

L'invariant numérique \(\alpha\) est la trace de la rotation \(u_V\) ; ses valeurs propres sont \(\zeta\), \(\zeta^{-1}\), \(\alpha = \zeta + \zeta^{-1}\). L'étoilage d'une structure polygonale \(\omega = \{u, u^{-1}\}\) est \(\omega^{(r)} = \{u^r, u^{-r}\}\), et \(Q_n = (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}/\{\pm 1\}\) le groupe qui agit par étoilage² .

Deux familles de polynômes de \(\mathbf{Z}[U]\), \(U = T + T^{-1}\), se croisent dans le dossier, et il faut les distinguer d'emblée :

• \(F_n\) (page 109), dont les racines sont les \(\zeta + \zeta^{-1}\) pour toutes les racines \(\zeta \neq \pm 1\) de \(\zeta^n = 1\) ; c'est le polynôme qui dit quand le polygone d'invariant \(\alpha\) se referme après \(n\) pas ;
• \(\Psi_n\) (page 114), le polynôme minimal de \(\zeta + \zeta^{-1}\) pour \(\zeta\) racine primitive \(n\)-ième ; il dit quand le polygone a exactement \(n\) côtés.

On a \(F_n = \prod_{d \mid n,\ d \geq 3} \Psi_d\)³ . Enfin \(S_n \in \mathbf{Z}[U]\) est défini par \(S_n(T + T^{-1}) = T^n + T^{-n}\) pour \(n \geq 1\) et \(S_0 = 1\).

Le mot « propre » a deux sens dans le dossier : pour un polygone (page 3), l'incidence géométrique reflète l'incidence combinatoire — ce que le cours appelle « fidèle » (page 50) ; pour une réalisation de \(\Pi_\infty\) (page 84), la réalisation n'est pas le cas « impropre » \(\beta = -2\). On précise chaque fois.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

La démonstration de la partie (b) de la proposition 4 (page 23) ; le sens des représentations étoilées dégénérées (page 39) ; la détermination de la structure quasi-polygonale par \(\mathrm{Aff}(S)\) (page 44, « faire dém. ») ; la condition 3) de la proposition 7 ; la « Construction » d'un système régulier de sommets sur \(\mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{Z}[\frac12]\) (page 48) ; l'exercice de la page 61 ; la théorie des morphismes (étales) de polygones combinatoires et des quotients \(\Pi_{(n)}\) dont la page 106 a besoin ; la question de connexité de la page 129. La « question longue » de la page 11 — écrire explicitement le plan et les sommets en fonction de \(n\) et d'un module \(\alpha\) — est, elle, menée à bien aux pages 81 à 111.

1–48

I. Le chapitre I : polygones réguliers affines (pages 1 à 48)

1–5

Définitions (pages 1 à 5)

Soit \(E\) un plan affine sur un corps \(k\). Un polygone (« déployé ») dans \(E\) est une partie finie \(S\) de \(E\), l'ensemble des sommets, munie d'une structure polygonale combinatoire : une partie \(\omega = \{u, u^{-1}\}\) du groupe symétrique \(\mathfrak{S}_S\) formée de deux permutations circulaires inverses l'une de l'autre, ce qui force \(n = \operatorname{card} S \geq 3\). Les droites qui joignent deux sommets consécutifs sont les côtés ; \(n\) est aussi le nombre de côtés combinatoires, et l'on parle de \(n\)-gone⁴ .

Polygone régulier. \(P = (E, S, \omega)\) est régulier si tout automorphisme combinatoire de \((S, \omega)\) — tout élément du normalisateur \(\Gamma\) de \(\omega\) dans \(\mathfrak{S}_S\), groupe diédral d'ordre \(2n\) — se prolonge de façon unique en un automorphisme affine de \(E\). Il suffit de l'exiger pour un système de générateurs : \(u\) et la symétrie \(\sigma_s\) fixant un sommet \(s\), ou \(\sigma_s\) et la symétrie \(\sigma_a\) fixant un côté \(a\) ; si \(s\) et \(a\) sont incidents, deux quelconques des trois éléments \(\sigma_s\), \(\sigma_a\), \(u = \sigma_a \sigma_s\) engendrent \(\Gamma\). L'unicité du prolongement équivaut à ce que \(S\) engendre affinement \(E\), ou encore à ce que trois sommets consécutifs \(s_0, s_1, s_2\) ne soient pas alignés : s'ils l'étaient, la régularité donnerait \(u(d_0) = d_0\) pour la droite \(d_0 = \mathrm{dr}(s_0, s_1)\), et \(u\) étant transitif sur les côtés, tous les sommets seraient sur \(d_0\).

Unimodularité. « Pour des raisons techniques », on exige de plus que les rotations soient réalisées par des automorphismes unimodulaires (\(\det u_V = 1\)). Cela revient à demander que \(\sigma_a\) (ou \(\sigma_s\), qui lui est conjuguée) soit une réflexion, c'est-à-dire fixe une droite point par point ; on comprendra la restriction en passant au plan projectif. Les pages 82 à 87 justifient cette annonce : la condition exclut exactement une famille, les réalisations « impropres », qui ne donnent de polygone fini qu'en caractéristique \(p \neq 2\), et ce sont alors des \(2p\)-gones réguliers non unimodulaires⁵ .

Polygones propres, représentations géométriques. Dans la définition générale d'un polygone, les côtés géométriques sont des droites, et l'application des côtés combinatoires vers les côtés géométriques n'est pas forcément injective. Le polygone est propre si un sommet \(s\) est sur la droite \(\mathrm{dr}(s', s'')\) d'un côté combinatoire \(\{s', s''\}\) seulement quand \(s \in \{s', s''\}\) ; les côtés géométriques sont alors en bijection avec les côtés combinatoires. On verra que les polygones réguliers unimodulaires sont propres (pages 101 à 105). La bonne notion, conclut la page 5, est celle de représentation géométrique d'un polygone combinatoire : deux applications, l'une sur les sommets, l'autre vers les droites, qui respectent l'incidence ; quand deux sommets adjacents ont des images distinctes, la première détermine la seconde, et elle peut être choisie arbitrairement. Une épinglage d'un polygone géométrique par un polygone combinatoire \(\Pi\) est un couple \((\Pi, \varphi)\), \(\varphi : S \to E\)⁶ .

6–9

Les polygones réguliers réels (pages 6 à 9)

Soit \(E = \mathbf{C}\), vu comme plan réel, \(\zeta\) une racine primitive \(n\)-ième de l'unité (\(n \geq 3\)), \(s_i = \zeta^i\) (\(i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)) avec la structure polygonale standard, et \(\sigma z = \bar z\), \(u z = \zeta z\) ; alors \(\sigma s_i = s_{-i}\), \(u s_i = s_{i+1}\), et l'on obtient un \(n\)-gone régulier \(P_\zeta\) — convexe pour \(\zeta = e^{\pm 2i\pi/n}\), étoilé sinon. On vérifie, et la suite du dossier le démontrera dans un cadre plus général, que :

1. a)\(P_\zeta \simeq P_{\zeta'}\) si et seulement si \(\zeta' = \zeta^{\pm 1}\), ou encore si et seulement si \(\alpha(\zeta) = \alpha(\zeta')\), où \(\alpha(\zeta) = \zeta + \zeta^{-1} = 2\cos\arg\zeta\) ;
2. b)tout polygone régulier d'un plan affine réel est isomorphe à un \(P_\zeta\).

Les classes d'isomorphie de polygones réguliers réels sont donc en bijection avec l'ensemble des classes de racines de l'unité modulo l'inversion, privé des classes de \(1\) et de \(-1\)⁷ .

Pour quatre sommets consécutifs, \[ s_{i+3} - s_i = (1 + \alpha)\,(s_{i+2} - s_{i+1}), \qquad \frac{\zeta^{i+3} - \zeta^i}{\zeta^{i+2} - \zeta^{i+1}} = \frac{\zeta^2 + \zeta + 1}{\zeta} = 1 + \zeta + \zeta^{-1} , \] et le facteur réel \(1 + \alpha\) ne dépend que de \(\zeta\). Cette relation, qui ne fait intervenir que des rapports de vecteurs parallèles, est affine ; elle reviendra comme définition (page 82).

Si l'on étend les scalaires à \(\mathbf{C}\), \(E \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C} \simeq \mathbf{C}^2\) par \(z \mapsto (z, \bar z)\), la multiplication par \(\zeta\) se diagonalise suivant les deux droites isotropes, \(u = \mathrm{diag}(\zeta, \zeta^{-1})\), le sommet \(s_i\) devient \((\zeta^i, \zeta^{-i})\) et la symétrie \(z \mapsto \bar z\) l'échange des coordonnées. C'est, annonce la page 8, la structure typique des \(n\)-gones réguliers sur un corps algébriquement clos de caractéristique première à \(n\) (elle est établie page 63), avec la même classification que sur \(\mathbf{R}\) ; et il est « remarquable », note-t-il, que \(\mathbf{R}\), qui n'est pas algébriquement clos, donne la même classification. L'explication viendra aux pages 81 à 90 : un polygone régulier est déterminé par \(\alpha\) seul, sans qu'il soit besoin que \(\zeta\) soit dans le corps, et sur \(\mathbf{R}\) toutes les valeurs \(2\cos(2\pi k/n)\) sont réelles.

La page 9 est une feuille de calculs isolée, barrée, sur les endomorphismes d'un plan : pour \(u\), \(v\) d'ordre \(2\), \[ \det(u + v) = \det u + \det v + \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v - \operatorname{Tr}(uv), \qquad \operatorname{Tr}(u \check v) = \operatorname{Tr} u \operatorname{Tr} v - \operatorname{Tr}(uv), \] où \(\check v = (\operatorname{Tr} v)\,\mathrm{id} - v\) est l'adjoint classique ; puis des essais sur les endomorphismes de trace nulle laissant stable une droite, nilpotents ou de carré nul⁸ .

10–11

Repères et épinglages (pages 10 et 11)

Un repère d'un polygone combinatoire \(\Pi = (S, \omega)\) est un couple \((s_0, d_0)\) formé d'un sommet et d'un côté incidents — un drapeau, dirait-on aujourd'hui — ; il revient au même de se donner deux sommets adjacents \((s_0, s_1)\), ou un sommet \(s_0\) et une orientation \(u \in \omega\) (\(s_1 = u s_0\)).

Proposition 1. Le groupe \(\Gamma = \mathrm{Aut}(S, \omega)\) opère simplement transitivement sur l'ensemble \(\mathrm{Rep}(\Pi)\) des repères : c'est un torseur sous \(\Gamma\).

Corollaire 1. Si \(\Pi\) et \(\Pi'\) sont isomorphes et \(r_0\) est un repère de \(\Pi\), l'application \(\mathrm{Isom}(\Pi, \Pi') \to \mathrm{Rep}(\Pi')\), \(\theta \mapsto \theta(r_0)\), est bijective.

Un épinglage d'un polygone combinatoire est le choix d'un repère ; c'est la même chose qu'un isomorphisme avec le \(n\)-gone combinatoire type \(\Pi_n\) muni de son repère standard. Un épinglage d'un polygone géométrique est un épinglage du polygone combinatoire sous-jacent.

Corollaire 2. Si \(P\) et \(P'\) sont deux polygones réguliers isomorphes et \(r\) un repère de \(P\), l'application \(\mathrm{Isom}(P, P') \to \mathrm{Rep}(P')\), \(\theta \mapsto \theta(r)\), est bijective.

Scholie. Dans une classe d'isomorphie donnée, les \(n\)-gones réguliers épinglés sont déterminés à isomorphisme unique près, et les classes d'isomorphie de \(n\)-gones épinglés et non épinglés se correspondent bijectivement. La page 11 pose alors la « question » qui organise la suite : écrire « le » plan \(E\) où vit \(P\), et les sommets \(s_i\), en fonction du type d'isomorphie, c'est-à-dire de \(n\) et d'un « module » \(\alpha \in k\). La réponse sera la formule \(s_n = (F_n F_{n+1}(\alpha), F_{n-1} F_n(\alpha))\) des pages 111 et 112.

12–21

Polygones réguliers et représentations du groupe diédral (pages 12 à 21)

Un polygone régulier \(P = (S, \omega)\) détermine un sous-groupe \(\Gamma \subset \mathrm{Aff}(E)\), isomorphe à \(\mathbf{D}_n\) (sans isomorphisme privilégié), dont \(S\) est une orbite. Le groupe ne suffit pas à retrouver \(\omega\) : \(\omega\) et \(\omega^{(r)} = \{u^r, u^{-r}\}\), \((r, n) = 1\), ont le même groupe d'automorphismes. Il faut donc se donner en plus la partie \(\omega \subset \Gamma\), avec les conditions

1. (6)le sous-groupe \(\Gamma^{+}\) engendré par \(\omega\) est d'indice \(2\), \(\Gamma/\Gamma^{+}\) opère sur \(\Gamma^{+}\) par \(\lambda \mapsto \lambda^{-1}\), et l'extension est scindée par une involution \(\sigma \in \Gamma \smallsetminus \Gamma^{+}\) ;
2. (7)\(\Gamma^{+}\) est fini ;
3. (8)\(S\) est un torseur sous \(\Gamma^{+}\) ;
4. (9)\(S\) n'est pas contenu dans une droite.

Ces conditions suffisent : la structure de torseur sous le groupe cyclique \(\Gamma^{+}\) fait de \(S\) un polygone combinatoire, que \(\sigma\) retourne, et \(\Gamma\) s'injecte dans son groupe d'automorphismes avec \(\Gamma^{+} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}^{+}\)⁹ . On peut remplacer la donnée de \(S\) par celle d'une orbite sous \(\Gamma^{+}\) et de la condition \[ (10) \qquad \exists\, \sigma_{s_0} \in \Gamma,\ \sigma_{s_0} \neq 1,\ \sigma_{s_0} s_0 = s_0 , \] ce \(\sigma_{s_0}\) étant a posteriori unique.

Si l'on épingle entièrement (un sommet \(s_0\) et une orientation \(u\)), les données deviennent, pour \(n \geq 3\) fixé, un homomorphisme \(\varphi : \mathbf{D}_n \to \mathrm{Aff}(E)\) et un point \(s_0 \in E\), soumis à \[ (13) \qquad \sigma_1 s_0 = s_0, \qquad s_0,\ s_1 = u s_0,\ s_2 = u^2 s_0 \ \text{non alignés}, \] \[ (12) \qquad \varphi \text{ fidèle}, \qquad u \text{ unimodulaire}. \]

Proposition 2. Pour un plan \(E\) et un entier \(n \geq 3\) fixés, se donner dans \(E\) un \(n\)-gone régulier (unimodulaire) épinglé revient à se donner un couple \((\varphi, s_0)\) comme ci-dessus.

La donnée essentielle est \(\varphi\). On verra que, pour les \(\varphi\) qui proviennent de polygones réguliers, \(\sigma_1\) est une réflexion : son lieu fixe \(D_{\sigma_1}\) est une droite, et le choix de \(s_0\) est celui d'un point de cette droite. Comme \(u s_0 = \sigma_0 \sigma_1 s_0 = \sigma_0 s_0\), la condition \(u s_0 \neq s_0\) demande \(s_0 \notin D_{\sigma_0}\) ; on trouvera que \(\sigma_0\) est aussi une réflexion et que \(D_{\sigma_0} \neq D_{\sigma_1}\), ce qui exclut au plus un point, le centre \(c\), point fixe de tout \(\varphi(\mathbf{D}_n)\). Soit \(D_{\sigma_1}^{*} = D_{\sigma_1} \smallsetminus (D_{\sigma_0} \cap D_{\sigma_1})\), sur lequel opère le commutant \(\mathfrak{G}\) de \(\varphi(\mathbf{D}_n)\) dans \(\mathrm{Aff}(E)\).

Proposition 3. Supposons que \(\sigma_0\) et \(\sigma_1\) soient des réflexions de droites fixes distinctes — ce qui, note-t-il, n'est autre que la condition unimodulaire.

1. 1°)Si \(D_{\sigma_0}\) et \(D_{\sigma_1}\) se coupent en \(c\), alors \(c\) est l'unique point fixe de \(\Gamma\) ; prenant \(c\) pour origine, \(\Gamma\) opère linéairement, et \(\mathfrak{G}\) est le groupe des homothéties de centre \(c\), \(\mathfrak{G} \simeq k^{*}\).
2. 2°)Si \(D_{\sigma_0} \parallel D_{\sigma_1}\), soit \(T \simeq k\) le groupe des translations de leur direction commune ; alors \(\mathfrak{G} = T\).

Dans les deux cas, \(D_{\sigma_1}^{*}\) est un torseur sous \(\mathfrak{G}\)¹⁰ .

Corollaire 1 (page 20). Deux \(n\)-gones réguliers épinglés dont les représentations de \(\mathbf{D}_n\) sont isomorphes sont isomorphes : classer les représentations affines admissibles de \(\mathbf{D}_n\), c'est classer les \(n\)-gones réguliers.

Corollaire 2 (pages 20 et 21). Si \(\varphi\), \(\varphi'\) sont deux représentations admissibles et \(P\) un \(n\)-gone régulier épinglé subordonné à \(\varphi\), l'application \(\theta \mapsto \theta(P)\) est une bijection de \(\mathrm{Isom}((E, \varphi), (E', \varphi'))\) sur l'ensemble des \(n\)-gones réguliers épinglés subordonnés à \(\varphi'\)¹¹ .

En langage suggestif : choisir un sommet \(s_0 \in D_{\sigma_1}^{*}\), c'est épingler la représentation \(\varphi\) — on tue ses automorphismes (\(\mathfrak{G}\) opère librement) sans introduire de nouvelles classes d'isomorphie (\(\mathfrak{G}\) opère transitivement).

22–26

Où l'on laisse tomber la fidélité (pages 22 à 26)

Considérons des données \((\varphi, s_0)\) qui satisfont (13), mais pas nécessairement (12) : ni la fidélité, ni l'unimodularité.

Proposition 4.

1. (a)Pour \(v \in \mathbf{D}_n^{+}\), \(\varphi(v) = \mathrm{id}_E\) si et seulement si \(v s_0 = s_0\).
2. (b)\(\varphi\) est fidèle si et seulement si sa restriction à \(\mathbf{D}_n^{+}\) l'est, si et seulement si \(u^d s_0 \neq s_0\) pour tout diviseur strict \(d\) de \(n\).
3. (c)Le noyau de \(\varphi\) est le sous-groupe engendré par \(u^{n'}\), où \(n' = \operatorname{card} S\) est un diviseur de \(n\), et \(n' \geq 3\) ; \(\varphi\) se factorise par une représentation fidèle \(\varphi'\) de \(\mathbf{D}_{n'}\)¹² .

Démonstration. (a) Les \(s_\nu = u^\nu s_0\) engendrent affinement \(E\), et \(v s_\nu = u^\nu v s_0\) puisque \(\mathbf{D}_n^{+}\) est commutatif. (c) Le noyau de \(\varphi|_{\mathbf{D}_n^{+}}\) est un sous-groupe de \(\mathbf{Z}/n\), engendré par \(u^{n'}\) avec \(n' \mid n\) ; alors \(\operatorname{card} S = n'\), et \(n' \geq 3\) parce que \(S\) engendre \(E\). \(\varphi\) se factorise par \(\varphi' : \mathbf{D}_{n'} \to \mathrm{Aff}(E)\), fidèle sur les rotations, donc fidèle par (b), et le noyau de \(\varphi\) est celui de sa restriction aux rotations.

Corollaire 1. Si \(v \in \mathbf{D}_n \smallsetminus \mathbf{D}_n^{+}\), \(\varphi(v) \neq \mathrm{id}_E\) : \(\varphi(v)\) échange les deux ordres circulaires de \(S\) (\(\operatorname{card} S \geq 3\)), donc n'est pas l'identité sur \(S\).

Corollaire 2. Dans la situation de (c), \((\varphi', s_0)\) définit dans \(E\) un \(n'\)-gone épinglé.

Scholie. La donnée \((\varphi, s_0)\) est une réalisation géométrique du \(n\)-gone combinatoire \(\Pi_n\) qui est un revêtement à \(n/n'\) feuillets de la réalisation \((\varphi', s_0)\) de \(\Pi_{n'}\).

Quand on fixe \(n\), on trouve d'abord des représentations \(\varphi\) sans savoir lesquelles sont fidèles, et c'est une question d'un autre type ; surtout sur un anneau plus général qu'un corps — \(\mathbf{Z}[T]/(T^n - 1)\), les anneaux cyclotomiques —, où certaines fibres donnent des représentations fidèles et d'autres non, sans que celles-ci cessent de définir des polygones réguliers, à moins de côtés. D'où la règle de conduite :

« Ce serait emprisonnant — et finalement d'ailleurs artificiel — de traîner tout au long dans les données la condition de fidélité, au lieu de se borner à l'examiner seulement aux moments où cette considération est utile¹³ . »

26–33

Les \(\infty\)-polygones (pages 26 à 33)

On peut aller plus loin. La représentation \(\varphi\) revient à deux involutions \(\sigma_0, \sigma_1 \in \mathrm{Aff}(E)\) avec \((\sigma_0 \sigma_1)^n = \mathrm{id}\), et la fidélité s'écrit \[ (15) \qquad u^d s_0 \neq s_0 \quad \text{pour tout diviseur strict } d \text{ de } n . \] Comme \(s_0, s_1, s_2\) sont distincts, les diviseurs \(d \leq 2\) sont sans objet : il suffit de tester les diviseurs stricts \(d \geq 3\). La condition est vide exactement quand \(n\) est un nombre premier impair ou \(n = 4\) ; le premier cas où elle ne l'est pas est \(n = 6\), où l'hexagone régulier peut dégénérer en un triangle parcouru deux fois¹⁴ .

Mais on peut aussi laisser tomber \((\sigma_0\sigma_1)^n = \mathrm{id}\) lui-même, c'est-à-dire regarder une représentation \[ (16) \qquad \varphi : \mathbf{D}_\infty \longrightarrow \mathrm{Aff}(E) \] du groupe diédral infini, en s'intéressant surtout à celles qui se factorisent par un \(\mathbf{D}_n\). De ce point de vue la fidélité ne se pose plus : les représentations les plus intéressantes de \(\mathbf{D}_\infty\), celles qui donnent les polygones finis, sont précisément non fidèles.

Il y a lieu alors de considérer des polygones combinatoires infinis, et leurs réalisations géométriques régulières : une application \(\varphi_S : S \to E\) telle que \[ (17) \qquad \forall v \in \mathrm{Aut}(\Pi),\ \exists!\, v_E \in \mathrm{Aff}(E),\quad v_E \circ \varphi_S = \varphi_S \circ v . \] Cela revient à un homomorphisme \(\varphi_\Gamma : \Gamma = \mathrm{Aut}(\Pi) \to \mathrm{Aff}(E)\) et une application \(\Gamma\)-équivariante \(\varphi_S : S \to E\) dont l'image n'est pas contenue dans une droite (19). Si l'on fixe un sommet \(i_0\) et l'unique élément \(\neq 1\) de \(\Gamma\) qui le fixe¹⁵ , la donnée de \(\varphi_S\) équivaut à celle de \(s_0 = \varphi_S(i_0)\) fixé par cet élément, et (19) à la non-colinéarité de \(s_0, s_1, s_2\) (22). Se donner \((s_0, u)\), c'est épingler \(\Pi\) par \(\Pi_n\), \(3 \leq n \leq \infty\).

Proposition 5. Les réalisations géométriques régulières de \(\Pi_\infty\) dans \(E\) correspondent aux triples \((\sigma_0, \sigma_1, s_0)\) de deux automorphismes affines et d'un point tels que

1. 1°)\(\sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \mathrm{id}\) ;
2. 2°)\(\sigma_1 s_0 = s_0\) ;
3. 3°)\(s_0\), \(s_1 = u s_0\), \(s_2 = u^2 s_0\) ne sont pas alignés, \(u = \sigma_0 \sigma_1\).

La réalisation est unimodulaire si de plus 4°) \(u\) est unimodulaire.

Scholie. On étudie ainsi d'un coup tous les \(n\)-gones réguliers épinglés — ceux où \(u\) est d'ordre fini \(n\) — et un objet nouveau, les \(\infty\)-polygones réguliers épinglés.

Remarque. Les résultats précédents (propositions 1 à 4 et leurs corollaires) s'étendent sans dommage aux \(\infty\)-polygones, la divisibilité de la proposition 4 perdant son sens pour \(n = \infty\). La marge ajoute qu'il conviendrait de définir d'emblée les polygones réguliers généraux, finis ou non — ce que fera le cours.

NB (pages 32 et 33). Le module \(\alpha \in k\) n'est plus soumis à aucune condition, cyclotomique ou autre. Plus intrinsèquement, pour un polygone combinatoire \(\Pi\) fini ou infini, la catégorie de ses réalisations géométriques régulières est rigide : une réalisation n'a pas d'automorphisme autre que l'identité (un automorphisme compatible fixe \(S\) point par point, et \(S\) engendre \(E\)). On peut donc parler de la réalisation \(E(\Pi)\) de module \(\alpha\), sur laquelle l'action de \(\mathrm{Aut}(\Pi)\) s'obtient automatiquement — un des intérêts techniques d'éliminer l'épinglage dès le départ¹⁶ .

33–39

L'étoilage (pages 33 à 39)

Soit \((S, \omega)\) un polygone combinatoire, \(\omega = \{u, u^{-1}\}\), et \(r \in \mathbf{Z}\) ; posons \(\omega^{(r)} = \{u^r, u^{-r}\}\). Passer de \(\omega\) à \(\omega^{(r)}\), c'est relier chaque sommet à son \(r\)-ième voisin : le pentagone devient le pentagramme pour \(r = 2\).

Proposition 6.

1. a)\((S, \omega^{(r)})\) est un polygone combinatoire si et seulement si \(n = \operatorname{card} S\) est fini et \((r, n) = 1\), ou \(r = \pm 1\).
2. b)Si \(n\) est fini, \(\omega^{(r)} = \omega^{(r')}\) si et seulement si \(r' \equiv \pm r \pmod n\).
3. c)\((\omega^{(r')})^{(r)} = \omega^{(rr')}\). Le groupe \(Q_n = (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}/\{\pm 1\}\) opère donc, et librement, sur l'ensemble \(\mathrm{Pol}(S)\) des structures polygonales sur \(S\).

Démonstration. Une structure polygonale fait de \(S\) un torseur sous \(\mathbf{Z}_n\) (\(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) si \(n\) est fini, \(\mathbf{Z}\) sinon) ; l'action déduite de \(u^r\) se déduit de la précédente par la multiplication par \(r\) de \(\mathbf{Z}_n\), et fait de \(S\) un torseur si et seulement si celle-ci est bijective. b) \(\omega^{(r)} = \omega^{(r')}\) signifie \(u^{r'} = u^{\pm r}\)¹⁷ .

Remarque. Une structure de polygone orienté est la donnée d'une permutation circulaire \(u\), c'est-à-dire d'une structure de \(\mathbf{Z}_n\)-torseur ; \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*}\) opère librement sur l'ensemble \(\mathrm{Polor}(S)\) de ces structures, par \(u \mapsto u^r\).

Si \(P = (E, S, \omega)\) est un \(n\)-gone régulier et \((r, n) = 1\), \(P^{(r)} = (E, S, \omega^{(r)})\) est encore un \(n\)-gone régulier, de même ensemble de sommets : les normalisateurs de \(\omega\) et de \(\omega^{(r)}\) dans \(\mathfrak{S}_S\) sont les mêmes, \[ (27) \qquad \mathrm{Aut}(\Pi) = \mathrm{Aut}(\Pi^{(r)}) \subset \mathfrak{S}_S , \] et l'unimodularité passe de \(u\) à \(u^r\). \(Q_n\) opère donc librement sur l'ensemble des \(n\)-gones réguliers de \(E\), et \((\mathbf{Z}/n)^{*}\) sur celui des \(n\)-gones réguliers orientés, ou orientés et munis d'un sommet¹⁸ .

Question (pages 36 et 37). Un \(n\)-gone régulier \(P\) peut-il être isomorphe à \(P^{(r)}\) pour \(r \not\equiv \pm 1\) ? En termes de l'invariant, \(P^{(r)}\) a pour invariant \(S_r(\alpha) = \zeta^r + \zeta^{-r}\), et l'isomorphie équivaut à \(S_r(\alpha) = \alpha\). Si la caractéristique \(p\) ne divise pas \(n\), \(\zeta\) est d'ordre exactement \(n\) et \(\zeta^r \neq \zeta^{\pm 1}\) : jamais. Si \(p \mid n\), les seuls \(n\)-gones réguliers sont, par les pages 94, 95 et 118, les \(p\)-gones d'invariant \(2\) et les \(2p\)-gones d'invariant \(-2\) (dont le carré en caractéristique \(2\)) ; il n'y a alors qu'une classe, et \(P^{(r)} \simeq P\) pour tout \(r\)¹⁹ . On retiendra, dit-il, que l'étoilage « a une nette tendance à changer la classe d'isomorphie ».

Pour les représentations de \(\mathbf{D}_\infty\), l'étoilage se définit pour tout \(r \in \mathbf{Z}\) : on remplace \((\sigma_1, u)\) par \((\sigma_1, u^r)\), ce qui conserve les relations \(\sigma_1^2 = 1\), \(\sigma_1 u^r \sigma_1 = u^{-r}\). Mais la non-colinéarité de \(s_0, u^r s_0, u^{2r} s_0\) peut tomber en défaut : si la représentation se factorise par \(\mathbf{D}_n\) et \(r = n\), tous les points sont confondus. La page pose alors la question de la signification géométrique de la représentation de \(\mathbf{D}_\infty\) attachée à l'invariant étoilé \(S_r(\alpha)\) dans ces cas « exceptionnels » où les \(s_i\) étoilés sont alignés²⁰ .

39–48

Structures quasi-polygonales et systèmes réguliers de sommets (pages 39 à 48)

Une structure quasi-polygonale sur un ensemble fini \(S\) de cardinal \(n\) est une orbite \(\pi\) de \(Q_n\) dans \(\mathrm{Pol}(S)\) — une structure polygonale « modulo étoilage ». Le sous-groupe \(Z \subset \mathfrak{S}_S\) engendré par un \(\omega \in \pi\) ne dépend que de \(\pi\) ; il est cyclique d'ordre \(n\) et \(S\) est un \(Z\)-torseur. Se donner une structure quasi-polygonale, c'est donc se donner une structure de torseur sous un groupe cyclique d'ordre \(n\) ; choisir \(\omega \in \pi\), c'est choisir un générateur de \(Z\) au signe près ; choisir une orientation, c'est choisir un générateur.

En termes d'aujourd'hui, \(Z\) est un \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-module libre de rang \(1\) et \(S\) un torseur sous lui : une droite affine sur \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\). La catégorie des quasi-polygones combinatoires d'ordre \(n\) est équivalente à celle des fibrés affines de rang \(1\) sur \(\mathrm{Spec}(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\)²¹ . Son groupe d'automorphismes \(\mathrm{Aff}(S)\) est le groupe affine de cette droite : \[ 0 \longrightarrow Z \longrightarrow \mathrm{Aff}(S) \longrightarrow (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{*} \simeq \mathrm{Aut}(Z) \longrightarrow 0 , \] extension scindée par le choix d'un point \(s \in S\), qui identifie \(\mathrm{Aff}(S)\) au produit semi-direct \((\mathbf{Z}/n)^{*} \ltimes \mathbf{Z}/n\). L'image inverse \(\mathrm{Aff}^{\pm}(S)\) de \(\{\pm 1\}\) est le groupe diédral \(\mathrm{Aut}(S, \omega)\) de toute structure \(\omega \in \pi\) ; il est d'indice \(\varphi(n)/2\) dans \(\mathrm{Aff}(S)\), et lui est égal exactement quand \(\varphi(n) = 2\), c'est-à-dire \(n = 3, 4, 6\)²² .

Systèmes réguliers de sommets. Un système régulier de \(n\) sommets dans \(E\) (la page abrège SR\(n\)S) est un couple \((S, Z)\), \(S \subset E\) finie de cardinal \(n\), \(Z\) une structure quasi-polygonale sur \(S\), telle que pour une (donc toute) structure polygonale \(\omega\) compatible, \((E, S, \omega)\) soit un polygone régulier — « donc toute » par (27). C'est la même chose qu'une orbite de \(Q_n\) opérant sur les \(n\)-gones réguliers de \(E\).

Question (pages 43 et 44) : \(Z\) est-il déterminé par la seule partie \(S \subset E\) ? Le stabilisateur de la partie \(S\) dans \(\mathrm{Aff}(E)\) est \(\mathrm{Aut}(E, S, \omega) \simeq \mathbf{D}_n\), sauf pour \(\alpha = \pm 2\), où c'est \(\mathrm{Aff}(S, Z)\) tout entier²³ . La question devient combinatoire : \(Z\) est-il déterminé par \(\mathrm{Aff}^{\pm}(S) \subset \mathfrak{S}_S\), ou par \(\mathrm{Aff}(S) \subset \mathfrak{S}_S\) ? Dans le premier cas oui : \(Z\) est le plus grand sous-groupe cyclique distingué de \(G = \mathrm{Aff}^{\pm}(S) \simeq \mathbf{D}_n\) distinct de \(G\), car le sous-groupe distingué engendré par une réflexion \(\sigma \in G \smallsetminus Z\) n'est pas cyclique²⁴ . Le cas de \(\mathrm{Aff}(S)\) est laissé (« faire dém. »)²⁵ . « Donc sauf erreur », la structure quasi-polygonale d'un système régulier de sommets est unique.

Principe de classification géométrique. Pour \(n\) fixé, un système régulier de \(n\) sommets détermine (a) un sous-groupe cyclique \(Z \subset \mathrm{Aff}(E)\) d'ordre \(n\), (b) une orbite \(S\) de \(Z\) dans \(E\), soumis à

1. 1)\(S\) n'est pas contenu dans une droite (donc \(Z\) opère fidèlement sur \(S\), qui est un \(Z\)-torseur) ;
2. 2)il existe \(\sigma \neq 1\) dans le normalisateur de \(Z\), qui opère sur \(Z\) par \(\lambda \mapsto \lambda^{-1}\) et fixe un point de \(S\).

Proposition 7. Se donner un système régulier de \(n\) sommets dans \(E\) équivaut à se donner \((Z, S)\) comme en (a), (b), satisfaisant 1) et 2) (et, si l'on tient à l'unimodularité du chapitre, \(Z\) engendré par un élément de déterminant \(1\))²⁶ .

Remarque. Selon \(p = \operatorname{car} k\) et \(n\), le groupe des automorphismes d'un système régulier de \(n\) sommets est \(\mathrm{Aff}^{\pm}(S) \simeq \mathbf{D}_n\) ou \(\mathrm{Aff}(S)\).

Un programme de descente (pages 46 à 48). On cherche une notion d'épinglage pour ces systèmes, qui ramène leur étude à un calcul ; la théorie de la descente devrait alors fournir un objet épinglé canonique sur le corps premier (\(\mathbf{Q}\) ou \(\mathbf{F}_p\)), les autres s'en déduisant par torsion par un torseur sous le groupe des automorphismes. La question est en somme celle-ci : les systèmes réguliers de \(n\) sommets forment une gerbe sur le corps premier — sur un corps algébriquement clos ils sont tous isomorphes, puisque \(Q_n\) permute transitivement les invariants —, et cette gerbe a-t-elle une section ? En caractéristique \(p \mid n\) (donc \(n = p\) ou \(2p\)), existe-t-il un tel système sur \(\mathbf{F}_p\) ?²⁷ Le mieux qu'on puisse espérer :

1. a)trouver un système régulier de \(n\) sommets sur \(A = \mathbf{Z}[\frac1n]\) ;
2. b)si \(n\) est premier impair ou \(n = 4\), en trouver un sur \(A = \mathbf{Z}\) ;
3. c)si \(n = 2p\), \(p\) premier impair, en trouver un sur \(A = \mathbf{Z}[\frac12]\)²⁸ .

La solution de a) est « évidente » : dans le plan \(\mathbf{E}^2_A\), on prend \[ Z_0 = \mu_{n,A} \subset \mathrm{SL}(2)_A, \quad t \mapsto \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}, \qquad \sigma_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad s_0 = (1, 1), \qquad S_0 = Z_0 \cdot s_0 , \] qui n'est autre que le modèle \(s_i = (\zeta^i, \zeta^{-i})\) de la page 8, écrit sans choisir \(\zeta\). Son schéma en groupes d'automorphismes est \(G = \mu_{n,A} \rtimes \{\pm 1\}_A\), une forme tordue du groupe diédral constant, et la catégorie fibrée des systèmes réguliers de \(n\) sommets s'identifie à celle des \(G\)-torseurs²⁹ . En caractéristique \(p\), on perd ce modèle, où « les choses sont spéciales » : sur \(\mathbf{F}_p\) il y a bien un système régulier scindé — les \(p\)-gones paraboliques et les \(2p\)-gones en bande des pages 94 et 95 sont définis sur \(\mathbf{F}_p\) — mais la question sur \(\mathbf{Z}\) (cas b)) ou \(\mathbf{Z}[\frac12]\) (cas c)) reste ouverte. La « Construction » commencée au bas de la page 48 (\(T = \mathrm{Spec}(A)\), \(E = \mathbf{E}^2_T\), \(s_0\)) s'arrête après trois symboles³⁰ .

49–80

II. « Cours Polygones réguliers II » (pages 49 à 80)

50–53

Plan, rappels, et le choix de ne pas se donner de métrique (pages 50 à 52)

Le plan de la leçon : 1. automorphismes et repères des polygones combinatoires, le polygone type et les groupes \(\mathbf{D}_n\), \(\mathbf{D}_\infty = \mathbf{Z}/2 * \mathbf{Z}/2\) ; 2. espaces affines et groupe affine \(\mathrm{Aff}(E) \simeq \mathrm{GL}(n) \ltimes k^n\) ; 3. métrique et formes quadratiques, non dégénérées ou non.

Rappel de la leçon précédente : un polygone géométrique est un couple \((S, A)\), \(S \subset E\), \(A \subset \mathrm{Dr}(E)\), qui est un polygone combinatoire pour la relation d'incidence ; une réalisation géométrique d'un polygone combinatoire \(\Pi = (S, A, R)\) est un couple \(\varphi_S : S \to E\), \(\varphi_A : A \to \mathrm{Dr}(E)\) compatible avec l'incidence. Si deux sommets adjacents ont toujours des images distinctes, \(\varphi_A\) est déterminée par \(\varphi_S\), qui est arbitraire. La réalisation est fidèle si \(\varphi_S(s) \in \varphi_A(a)\) entraîne que \(s\) est incident à \(a\) ; alors \(\varphi_S\) et \(\varphi_A\) sont injectives et l'image est un vrai polygone de \(E\), dit \(\Pi\)-épinglé³¹ .

Le choix de la définition. Sur \(\mathbf{R}\), avec une métrique, on avait proposé : le groupe des déplacements qui laissent le polygone invariant est transitif sur les sommets ; il y a alors un point fixe, le centre de gravité, les déplacements sont des rotations, et l'on retrouve les \(\zeta^i s_0\) ; \(S\) et \(A\) sont des torseurs sous ce groupe. Le groupe de toutes les isométries qui conservent \(P\) a une transitivité plus forte : il est (simplement) transitif sur les repères. Le cours fait le choix inverse :

Nous préférons ne pas nous donner de métrique d'avance, et prendre les automorphismes affines de \(E\) qui conservent \(P\), et exiger qu'ils soient transitifs sur l'ensemble des repères. On récupère la métrique à peu près de façon unique modulo homothétie — mais parfois elle sera dégénérée ! Si on exigeait dès le début une métrique non dégénérée, on perdrait des cas fort intéressants du point de vue arithmétique — en fait, les seuls cas vraiment nouveaux ! Pratiquement, ce nouveau point de vue consiste à regarder tous les triangles comme polygones réguliers, ainsi que tous les parallélogrammes³² .

La « définition en forme » annoncée — polygone régulier, puis réalisation géométrique régulière d'un polygone combinatoire — s'arrête à ses deux titres ; elle est donnée au fil des pages 54 à 80.

54–61

Polygones combinatoires, contours et drapeaux (pages 54 à 61)

Un polygone combinatoire est un triple \((S, A, R)\) : un ensemble de sommets, un ensemble d'arêtes, et une relation d'incidence \(R \subset S \times A\) — les repères, ou drapeaux — telle que 1) \(R \to A\) soit de degré \(2\) (deux sommets par arête), 2) \(R \to S\) de degré \(2\) (deux arêtes par sommet), 3) le tout soit connexe. Sans 3) on parle de contour ; sans 2), de graphe ; et si l'on se donne \(R \to S\), \(R \to A\) sans supposer \(R \hookrightarrow S \times A\), de complexe \(1\)-cellulaire³³ .

Sur l'ensemble \(R\) des drapeaux d'un contour opèrent deux involutions sans point fixe : \(\sigma_1\) échange les deux drapeaux de même sommet (\(R/\sigma_1 \simeq S\)), \(\sigma_0\) les deux drapeaux de même arête (\(R/\sigma_0 \simeq A\)). Elles engendrent une action du groupe \[ \mathfrak{G}_1 = \langle \sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = 1 \rangle \simeq \mathbf{Z}/2 * \mathbf{Z}/2 = \mathbf{D}_\infty . \]

Proposition (page 55). Le foncteur \((S, A, R) \mapsto R\) est une équivalence de la catégorie des contours sur celle des \(\mathfrak{G}_1\)-ensembles « admissibles », ceux où \(\sigma_0\) et \(\sigma_1\) opèrent sans point fixe et où \(\sigma_0 x \neq \sigma_1 x\) pour tout \(x\) — « c'est une tautologie »³⁴ .

Avec \(\sigma = \sigma_1\) et \(u = \sigma_1 \sigma_0\), \(\mathfrak{G}_1 = \langle \sigma, u \mid \sigma^2 = 1,\ \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1} \rangle = \mathbf{Z} \rtimes \mathbf{Z}/2\), le groupe diédral infini, et les trois conditions d'admissibilité se résument en \[ \forall x \in R, \qquad \operatorname{card}\{x, \sigma x, u x\} = 3 \] ³⁵ .

Corollaire (page 56). Les polygones combinatoires sont les espaces homogènes de \(\mathfrak{G}_1 = \mathbf{D}_\infty\) dont aucun stabilisateur ne contient \(\sigma_0\), \(\sigma_1\) ni \(u\). Ces stabilisateurs sont exactement les sous-groupes \(n\mathbf{Z} = \langle u^n \rangle\) des rotations, \(2 \leq n \leq \infty\) (\(\infty\mathbf{Z} = 0\)) : ils sont distingués, de quotient le groupe diédral \(\mathbf{D}_n\). Démonstration. La condition est évidemment suffisante. Si un stabilisateur \(H\) contenait un élément \(u^m \sigma\) hors des rotations, comme \(u^m \sigma u^{-m} = u^{2m}\sigma\), cet élément serait conjugué de \(\sigma\) (\(m\) pair) ou de \(u\sigma\) (\(m\) impair), donc un conjugué de \(H\), stabilisateur d'un autre point, contiendrait \(\sigma_1\) ou \(\sigma_0\). Donc \(H \subset \langle u \rangle\), et \(u \notin H\).

Soit \(\Pi_n\) (\(2 \leq n \leq \infty\)) le polygone combinatoire défini par \(\mathbf{D}_n\) comme espace homogène de \(\mathfrak{G}_1\) : ses sommets sont \(S_n = \langle \sigma_1 \rangle \backslash \mathbf{D}_n\), ses arêtes \(A_n = \langle \sigma_0 \rangle \backslash \mathbf{D}_n\), chacun en bijection avec \(\mathbf{Z}/n\), et \(s_i\) est incident à \(a_i\) et à \(a_{i-1}\)³⁶ .

Corollaire 2. Si \(\Pi\), \(\Pi'\) sont isomorphes et \(r \in \mathrm{Rep}(\Pi)\), \(\mathrm{Isom}(\Pi, \Pi') \to \mathrm{Rep}(\Pi')\), \(\varphi \mapsto \varphi(r)\), est bijective — cas particulier d'un énoncé sur les espaces homogènes « distingués » (de stabilisateur distingué).

Corollaire 3. Un \(n\)-gone combinatoire muni d'un repère est défini à isomorphisme unique près, et canoniquement isomorphe à \(\Pi_n\).

Corollaire 4. \(\mathrm{Aut}(\Pi_n) \simeq \mathbf{D}_n\) canoniquement (par multiplication à droite) ; \(\mathrm{Aut}(\Pi) \simeq \mathbf{D}_n\), non canoniquement, pour tout \(n\)-gone \(\Pi\).

NB. La restriction \(\sigma_0 x \neq \sigma_1 x\) exclut les orbites \(\mathbf{D}_1\), les polygones à un côté ; on pourrait les inclure en n'exigeant pas \(R \hookrightarrow S \times A\). La condition analogue à celle des polyèdres combinatoires reviendrait à exiger \(n \geq 3\), et l'on ne regardera désormais que \(n \geq 3\)³⁷ .

Orientations (§ 6, pages 59 à 61). Une partie \(R^{+} \subset R\) est une orientation si \(\sigma_0 R^{+} = \sigma_1 R^{+} = R \smallsetminus R^{+}\), ou, de façon équivalente, si \(R^{+} \to S\) et \(R^{+} \to A\) sont bijectives : \(R^{+}\) est le graphe d'une bijection \(S \xrightarrow{\sim} A\). Les orientations d'une somme de contours sont le produit des orientations des composantes ; un polygone combinatoire a exactement deux orientations, opposées, qui sont les deux orbites des rotations \(\mathfrak{G}_1^{+} = \langle u \rangle\) dans \(R\) (dans \(R \simeq \mathbf{D}_n\), les deux classes \(\mathbf{D}_n^{+}\) et \(\mathbf{D}_n \smallsetminus \mathbf{D}_n^{+}\)).

Proposition (7., pages 60 et 61). Soit \(\Pi = (S, A, R)\) un polygone combinatoire, \(G = \mathrm{Aut}(\Pi)\). L'action de \(G\) sur les deux orientations donne une suite exacte \[ 1 \longrightarrow G^{+} \longrightarrow G \longrightarrow \{\pm 1\} \longrightarrow 1 , \] scindée par n'importe quel élément de \(G^{-} = G \smallsetminus G^{+}\), qui sont tous d'ordre \(2\), et

1. a)\(G^{+}\) est cyclique d'ordre \(n\), et \(G^{-}\) opère sur lui par inversion ;
2. b)\(R\) est un torseur sous \(G\), \(S\) et \(A\) des torseurs sous \(G^{+}\) ;
3. c)pour toute orientation \(\omega\), il existe un unique \(u_\omega \in G^{+}\) qui coïncide avec \(u\) sur \(R^{+}_\omega\) ; \(u_{-\omega} = u_\omega^{-1}\), \(u_\omega\) engendre \(G^{+}\), et si \(n \geq 3\), \(\omega \mapsto u_\omega\) est une injection de \(\mathrm{Or}(\Pi)\) dans l'ensemble des générateurs de \(G^{+}\) ;
4. d)le foncteur \(\Pi \mapsto (G^{+}, \{u_\omega, u_{-\omega}\}, S)\) est une équivalence de la catégorie des \(n\)-gones (\(3 \leq n \leq \infty\)) sur celle des triples formés d'un groupe cyclique d'ordre \(n\) (monogène infini si \(n = \infty\)), d'une paire de générateurs inverses l'un de l'autre, et d'un torseur sous ce groupe³⁸ .

Exercice : exprimer \(A\), et \(R\) comme partie de \(S \times A\), en termes de ces données³⁹ .

62–73

Le cas d'un corps algébriquement clos, \(p \nmid n\) (pages 62 à 73)

Soit \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(p\) ne divisant pas \(n\), et \(\Pi\) un \(n\)-gone régulier (\(3 \leq n < \infty\)) d'un plan \(E\). Le barycentre \(o\) de \(S\) — qui a un sens parce que \(n\) est inversible dans \(k\) — est fixé par \(G = \mathrm{Aut}(\Pi)\) ; prenant \(o\) pour origine, \(E\) devient un plan vectoriel où \(G\) opère linéairement. Soit \(u\) l'un des deux générateurs privilégiés de \(G^{+}\), \(s_0\) un sommet, \(\sigma_1\) l'automorphisme \(\neq 1\) qui fixe \(s_0\) : \(\sigma_1^2 = 1\), \(\sigma_1 u \sigma_1 = u^{-1}\), \(u^n = 1\), \(n\) minimal.

Soient \(\zeta\), \(\zeta'\) les valeurs propres de \(u\). Si \(\zeta = \zeta'\), on écrit \(u = \zeta(\mathrm{id} + v)\) avec \(v\) nilpotent ; \(u^n = \zeta^n (\mathrm{id} + n v) = \mathrm{id}\) donne \(nv = 0\), donc \(v = 0\) (\(n\) inversible), \(u\) est une homothétie et les \(s_i\) seraient alignés sur la droite \(o s_0\) : absurde. Donc \(\zeta \neq \zeta'\), d'où deux droites propres \(D_\zeta\), \(D_{\zeta'}\). Comme \(u\) est conjugué de \(u^{-1}\), l'ensemble \(\{\zeta, \zeta'\}\) est stable par inversion, et \(\zeta' = \zeta^{-1}\)⁴⁰ . \(\sigma_1\) échange \(D_\zeta\) et \(D_{\zeta^{-1}}\) ; écrivant \(s_0 = e_1 + e_2\) (\(e_1 \in D_\zeta\), \(e_2 \in D_{\zeta^{-1}}\)), \(\sigma_1 s_0 = s_0\) donne \(\sigma_1 e_1 = e_2\), et \(e_1, e_2 \neq 0\) (sinon \(S\) serait sur une droite propre). Dans la base \((e_1, e_2)\), attachée à l'épinglage, \[ u = \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix}, \qquad \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad s_i = \begin{pmatrix} \zeta^i \\ \zeta^{-i} \end{pmatrix} . \] On retrouve le cas typique de la page 8, sans avoir supposé la caractéristique nulle ni \(\zeta\) d'ordre fini. L'invariant \(\alpha = \zeta + \zeta^{-1} = \operatorname{Tr} u = \operatorname{Tr} u^{-1}\), ou la paire non ordonnée \(\{\zeta, \zeta^{-1}\}\), est défini intrinsèquement par \(\Pi\).

Proposition (pages 64 et 65). Soit \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(p\) ne divisant pas \(n\), \(3 \leq n < \infty\).

1. a)Tout \(n\)-gone régulier épinglé sur \(k\) est isomorphe à l'un des polygones épinglés \(\Pi_{\zeta, k}\) de \(k^2\) ci-dessus, \(\zeta\) racine primitive \(n\)-ième de \(1\) définie au passage près à \(\zeta^{-1}\).
2. b)D'où des bijections entre les classes d'isomorphie de \(n\)-gones réguliers (épinglés ou non), les paires \(\{\zeta, \zeta^{-1}\}\) de racines primitives \(n\)-ièmes de \(1\), et les \(\alpha \in k\) tels que les deux racines de \(\zeta^2 - \alpha \zeta + 1 = 0\) soient des racines primitives \(n\)-ièmes de \(1\) — les « invariants numériques » des polygones réguliers.
3. c)Dans \(\Pi_{\zeta, k}\), l'origine est le barycentre de \(S\) et l'unique point fixe de \(G\), et de \(G^{+}\) ; les axes de coordonnées sont les droites propres des générateurs privilégiés de \(G^{+}\), de valeurs propres \(\zeta\) et \(\zeta^{-1}\)⁴¹ .

Formes invariantes. Les fonctions polynomiales invariantes par \(G\) sont sommes de leurs composantes homogènes. Comme \(u^{*}(x^a y^b) = \zeta^{a-b} x^a y^b\), une forme \(\sum c_{ab}\, x^a y^b\) est invariante par \(u\) si et seulement si \(c_{ab} = 0\) pour \(a \not\equiv b \pmod n\) ; l'invariance par \(\sigma_1\) est la symétrie en \(x, y\). Les invariants ont donc pour base les \((xy)^a\) et les \((xy)^a (x^{in} + y^{in})\), \(a \in \mathbf{N}\), \(i \geq 1\)⁴² . Comme \(X^i + Y^i = S'_i(X + Y, XY)\) pour un polynôme universel \(S'_i\) à coefficients entiers (fonctions symétriques), on obtient \[ k[x, y]^{G} = k[\,xy,\ x^n + y^n\,] . \] NB. Le calcul marche pour tout \(n \geq 1\) et sur tout anneau de base, « le meilleur étant \(\mathbf{Z}\) » : sous la forme qu'on dirait aujourd'hui, l'anneau des invariants du schéma en groupes \(\mu_n \rtimes \mathbf{Z}/2\) opérant sur \(\mathbf{A}^2_{\mathbf{Z}}\) (comme à la page 47) est \(\mathbf{Z}[xy, x^n + y^n]\)⁴³ .

Corollaire (page 67). Pour \(n \geq 3\), les fonctions polynomiales de degré \(\leq 2\) invariantes par \(G\) sont les \(a\,xy + b\). À un scalaire près, il y a donc une unique forme quadratique invariante, \(q_0 = xy\), normalisée par \(q_0(s) = 1\) pour \(s \in S\), et une unique conique invariante circonscrite, \(xy - 1 = 0\). Pour \(n \geq 5\), c'est même l'unique conique circonscrite, cinq points d'une conique non dégénérée la déterminant⁴⁴ .

Pour un \(n\)-gone régulier non épinglé, il y a donc une unique forme quadratique invariante \(q_0\) normalisée par \(q_0(s) = 1\), et une unique conique circonscrite invariante \(C : q_0(x) = 1\). La forme \(q_0\), vue sur l'espace des translations, est non dégénérée : elle fait de \(E\) un « plan euclidien ». Le carré de la longueur d'un côté est \[ q_0(s_1 - s_0) = (\zeta - 1)(\zeta^{-1} - 1) = 2 - \alpha , \] non nul puisque \(\zeta \neq 1\). On pourrait normaliser plutôt par \(q_0(a) = 1\) ; « dans le cas général, c'est cette normalisation-là qui sera la meilleure » — c'est celle de la forme \(f_0\) de la page 97.

Remarque (pages 69 et 70). Si l'on avait seulement exigé que le groupe des automorphismes affines soit transitif sur les sommets, on aurait trouvé beaucoup plus : un \(u\) d'ordre \(n\) sans \(\sigma\), c'est-à-dire deux valeurs propres \(\zeta\), \(\zeta'\) racines de l'unité d'ordres \(d\), \(d'\) avec \(n = \operatorname{ppcm}(d, d')\), et \(S\) l'orbite d'un point hors des deux droites propres. Exiger de plus une métrique non dégénérée invariante dont les automorphismes soient des rotations « sauve la mise » : une rotation est unimodulaire, ses valeurs propres sont \(\{\zeta, \zeta^{-1}\}\), et l'on retombe sur les cas précédents⁴⁵ . Il ne sait pas si l'on simplifie encore en exigeant seulement que les éléments de \(G^{+}\) respectent la métrique.

Semi-invariants (pages 71 à 73). Les monômes \(x^i y^j\) sont vecteurs propres de \(u\), de valeur propre \(\zeta^{i-j}\). L'algèbre des invariants de \(G^{+}\) est \[ k[x, y]^{G^{+}} = k[W, U, V], \qquad W = xy,\ U = x^n,\ V = y^n,\qquad UV = W^n , \] et, pour \(0 < d < n\), la composante de valeur propre \(\zeta^d\) est le module engendré par \(X_d = x^d\) et \(Y_d = y^{n-d}\), avec la relation \(V X_d = W^d Y_d\). En degré \(\leq 2\), les valeurs propres de \(1, x, y, x^2, xy, y^2\) sont \(1, \zeta, \zeta^{-1}, \zeta^2, 1, \zeta^{-2}\).

• Si \(n \geq 5\), ces valeurs \(\zeta^{-2}, \ldots, \zeta^2\) sont distinctes ; les semi-invariants de \(G^{+}\) de degré \(\leq 2\) sont \(a + bxy\), \(ax\), \(ay\), \(ax^2\), \(ay^2\), et comme \(\sigma_1\) échange \(x\) et \(y\), seuls les \(a + bxy\) sont semi-invariants (et même invariants) sous \(G\).
• Si \(n = 3\) (\(\zeta^2 = \zeta^{-1}\)), les semi-invariants de \(G^{+}\) sont \(a + bxy\), \(ax + by^2\) (valeur propre \(\zeta\)), \(ay + bx^2\) (\(\zeta^{-1}\)) ; sous \(G\), encore les seuls \(a + bxy\).
• Si \(n = 4\) (\(\zeta^2 = \zeta^{-2} = -1\)), il s'ajoute \(ax^2 + by^2\) (valeur propre \(-1\)), et parmi eux \(x^2 + y^2\) et \(x^2 - y^2\) sont semi-invariants sous \(G\). Les coniques semi-invariantes circonscrites au carré sont \(xy - 1 = 0\) et \(x^2 - y^2 = 0\), la paire de ses diagonales⁴⁶ .

Les seules coniques invariantes par \(G\) sont donc les \(a + bxy = 0\), et la seule qui soit circonscrite est \(xy - 1 = 0\) ; le choix des coordonnées épinglées universelles montre, ajoute-t-il, que c'est la seule conique circonscrite⁴⁷ .

74–80

Réaliser \(\Pi_\infty\) : programme et reformulation (pages 74 à 80)

Programme. Soit \(\Pi\) un polygone combinatoire ; on étudie ses réalisations géométriques régulières dans des plans affines variables. Deux réalisations \(\Pi\)-isomorphes le sont par un isomorphisme unique ; dans chaque classe, la réalisation \((E_\alpha, \varphi_{\alpha,S}, \varphi_{\alpha,A})\), et en particulier son plan, est donc définie à isomorphisme unique près. On indexera les classes par un invariant numérique \(\alpha\), et il faudra écrire explicitement \(E_\alpha\), \(\varphi_{\alpha,S}\), \(\varphi_{\alpha,A}\) en fonction de \(\Pi\) et de \(\alpha\). Épinglé par un repère, \(\Pi\) devient canoniquement isomorphe à un \(\Pi_n\), \(3 \leq n \leq \infty\), et tous les \(\Pi_n\) sont des quotients canoniques de \(\Pi_\infty\) (et \(\Pi_n\) de \(\Pi_m\) si \(n \mid m\)), compatibles aux repères : la catégorie (discrète) des réalisations régulières de \(\Pi_n\) est une sous-catégorie pleine de celle de \(\Pi_\infty\). D'où trois étapes :

1. a)étudier les réalisations régulières de \(\Pi_\infty\) sur un corps, plus généralement un anneau ; on verra qu'elles sont caractérisées par un invariant \(\alpha \in k\), arbitraire ;
2. b)expliciter les conditions sur \(\alpha\) pour que la réalisation se factorise par \(\Pi_n\), et de façon fidèle — d'où une classification des \(n\)-gones réguliers sur \(k\) par un invariant \(\alpha\) soumis à des conditions ;
3. c)en déduire les propriétés essentielles et la classification des \(n\)-gones réguliers, sans épinglage ; « cette étape est essentiellement triviale ».

L'étape a) occupe les pages 76 à 100, l'étape b) les pages 101 à 120.

Reformulation. Avec \(G = \mathrm{Aut}(\Pi_\infty) \simeq \mathbf{D}_\infty\), une réalisation régulière de \(\Pi_\infty\) dans \(E\) est donnée par \[ (2) \quad \sigma_0, \sigma_1 \in \mathrm{Aff}(E), \ \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \mathrm{id}_E ; \qquad (3) \quad r = (s_0, a_0) \in E \times \mathrm{Dr}(E),\ s_0 \in a_0 , \] le drapeau image du repère standard \(r_\infty\), d'où, avec \(u = \sigma_0 \sigma_1\), \(\varphi_S(\underline{s}_n) = u^n s_0\) et \(\varphi_A(\underline{a}_n) = u^n a_0\). L'application \(\varphi_{\mathrm{rep}} : \mathrm{Rep}(\Pi_\infty) \to \mathrm{Drap}(E)\), \(g\, r_\infty \mapsto \varphi_G(g)\, r\), vers l'ensemble des drapeaux affines (point, droite incidente) de \(E\), doit passer au quotient en \(\varphi_S\) et \(\varphi_A\) :

\begin{tikzcd}
\mathrm{Rep}(\Pi_\infty) \arrow[r, "\varphi_{\mathrm{rep}}"] \arrow[d] & \mathrm{Drap}(E) \arrow[d] \\
S(\Pi_\infty) \times A(\Pi_\infty) \arrow[r, "\varphi_S \times \varphi_A"'] & E \times \mathrm{Dr}(E)
\end{tikzcd}

Lemme (page 79). Étant donnés (2) et (3) satisfaisant (8), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (a)les données définissent une réalisation de \(\Pi_\infty\), c'est-à-dire que les \(s_n = u^n s_0\) engendrent affinement \(E\) ;
2. (b)\(s_0\), \(s_1\), \(s_{-1}\) sont affinement indépendants ;
3. (c)\(\varphi_S\) et \(\varphi_A\) ne sont pas constantes⁴⁹ .

Démonstration. (b) \(\Rightarrow\) (a) \(\Rightarrow\) (c) sont immédiats. Supposons (c). 1°) \(s_1 \neq s_0\), sinon \(s_0\) serait fixé par \(\sigma_0\) et \(\sigma_1\), donc par \(G\), et \(\varphi_S\) serait constante. 2°) Alors \(a_0 = \mathrm{dr}(s_0, s_1)\), car \(s_0 \in a_0\) et \(\sigma_0 a_0 = a_0\) donne \(s_1 = \sigma_0 s_0 \in a_0\) (9) ; et \(\sigma_1 a_0 = \mathrm{dr}(s_0, s_{-1})\). Si \(s_{-1}\) était sur \(a_0\), on aurait \(\sigma_1 a_0 = a_0\), \(a_0\) serait fixée par \(G\) et \(\varphi_A\) serait constante⁵⁰ .

Proposition (page 80). Les réalisations géométriques régulières de \(\Pi_\infty\) dans \(E\) correspondent bijectivement aux triples \((\sigma_0, \sigma_1, s_0)\), \(\sigma_i \in \mathrm{Aff}(E)\), \(s_0 \in E\), tels que

1. a)\(\sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \mathrm{id}\) ;
2. b)\(\sigma_1 s_0 = s_0\) ;
3. c)\(s_0\), \(s_1 = \sigma_0 s_0\) et \(s_{-1} = \sigma_1 s_1\) forment un repère affine de \(E\).

La représentation associée envoie les générateurs \(\underline{\sigma}_i\) de \(\mathrm{Aut}(\Pi_\infty)\) sur \(\sigma_i\), et \(\varphi_S(\underline{s}_n) = u^n s_0\), \(\varphi_A(\underline{a}_n) = \mathrm{dr}(s_n, s_{n+1}) = u^n \mathrm{dr}(s_0, s_1)\), \(n \in \mathbf{Z}\). C'est la proposition 5 du chapitre I, à ceci près que la non-colinéarité porte sur \(s_{-1}, s_0, s_1\), ce qui revient au même.

81–100

III. Les coordonnées universelles (pages 81 à 100)

81–85

Les paramètres \(\alpha\), \(\beta\) ; cas propre et cas impropre (pages 81 à 85)

Le repère \((s_0, s_1, s_{-1})\) identifie \(E\) à \(k^2\) : origine \(s_0\), base \(e_1 = s_1 - s_0\), \(e_2 = s_{-1} - s_0\), et \((x, y) = s_0 + x e_1 + y e_2\). Ainsi \(s_0 = (0,0)\), \(s_1 = (1, 0)\), \(s_{-1} = (0, 1)\)⁵¹ . L'automorphisme \(\sigma_1\) fixe \(s_0\) et échange \(s_1\), \(s_{-1}\) : \[ (21) \qquad \sigma_1(x, y) = (y, x) . \] L'automorphisme \(\sigma_0\) échange \(s_0\) et \(s_1\) et envoie \(s_{-1}\) sur \(s_2 = u^2 s_0 = \sigma_0 s_{-1}\) ; on définit \(\alpha, \beta \in k\) par \[ s_2 = s_0 + (1 + \alpha)\, e_1 + (1 + \beta)\, e_2 , \] d'où \(\sigma_0 e_1 = -e_1\), \(\sigma_0 e_2 = \alpha e_1 + (1 + \beta) e_2\), et \[ (17), (18) \qquad \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 + \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_0(x, y) = (1 - x + \alpha y,\ (1 + \beta) y) \] (en coordonnées homogènes \((x, y, 1)\)). Reste à écrire \(\sigma_0^2 = \mathrm{id}\) : \(\sigma_0^2(x, y) = (x + \alpha\beta\, y,\ (1 + \beta)^2 y)\), donc \[ (22) \qquad \alpha\beta = 0, \qquad \beta(\beta + 2) = 0 . \]

Proposition (page 83). Les réalisations géométriques régulières de \(\Pi_\infty\) sur \(k\), épinglées, sont en bijection avec les couples \((\alpha, \beta) \in k^2\) satisfaisant (22).

L'exemple \(s_i = (\zeta^i, \zeta^{-i})\) (page 82) donne \(s_2 - s_{-1} = (1 + \zeta + \zeta^{-1})(s_1 - s_0)\), la relation de la page 7 ; on a donc envie d'imposer \(\beta = 0\).

Proposition (pages 82 et 84). Pour une réalisation régulière de \(\Pi_\infty\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)\(\beta = 0\) ;
2. (ii)\(s_2 - s_{-1} = (1 + \alpha)(s_1 - s_0)\) ; (ii\('\)) \(s_2 - s_{-1} \parallel s_1 - s_0\) ;
3. (iii)pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), \(s_{n+3} - s_n = (1 + \alpha)(s_{n+2} - s_{n+1})\) ; (iii\('\)) pour tout \(n\), \(s_{n+3} - s_n \parallel s_{n+2} - s_{n+1}\)⁵² ;
4. (iv)\(\det \sigma_{0V} = -1\) ; (iv\('\)) \(\det u_V = 1\) ; (iv\(''\)) \(\operatorname{Tr} \sigma_{0V} = 0\) ;
5. (v)on n'est pas dans le cas impropre : \(\operatorname{car} k \neq 2\), \(\alpha = 0\), \(\beta = -2\), \(\sigma_0(x, y) = (1 - x, -y)\), symétrie par rapport au milieu de \([s_0, s_1]\).

Démonstration. \(s_2 - s_{-1} = (1 + \alpha) e_1 + \beta e_2\), d'où (i) \(\Leftrightarrow\) (ii) \(\Leftrightarrow\) (ii\('\)) ; (iii) donne (ii) pour \(n = -1\) et s'en déduit en appliquant \(u^{n+1}\). Comme \[ (24) \qquad \det u_V = -\det \sigma_{0V} = 1 + \beta, \qquad \operatorname{Tr} \sigma_{0V} = \beta , \] (iv), (iv\('\)), (iv\(''\)) équivalent à (i) ; et (v) à (i) par (22).

La condition « propre » est donc exactement l'unimodularité du chapitre I.

Le cas impropre (pages 84 et 85). À isomorphisme près il y en a un et un seul pour \(k\) donné (\(\operatorname{car} k \neq 2\)) : \[ (25) \qquad u(x, y) = (1 - y, -x), \qquad u^2(x, y) = (x + 1, y - 1) , \] \(u^2\) est la translation de vecteur \((1, -1)\). En caractéristique \(0\), \(u\) est d'ordre infini, et l'on obtient un \(\infty\)-polygone régulier fidèle : les sommets \(s_{2m} = (m, -m)\) et \(s_{2m+1} = (m + 1, -m)\), en escalier. En caractéristique \(p > 2\), \(u^2\) est d'ordre \(p\), \(u\) d'ordre \(2p\), et la réalisation impropre se factorise par \(\Pi_{2p}\) en une réalisation fidèle : un \(2p\)-gone régulier, non unimodulaire⁵³ . « Avec la théorie projective des polygones réguliers, l'anomalie des polygones réguliers impropres s'explique complètement », et l'on n'a rien perdu, du point de vue projectif, à l'exclure, ce qu'on fera désormais⁵⁴ .

Scholie (page 85). Une réalisation géométrique régulière propre de \(\Pi_\infty\) est décrite par \(\alpha \in k\), qui peut être choisi arbitrairement. La marge baptise \(\alpha\) « invariant numérique ».

86–89

Points fixes, centre, valeurs propres (pages 86 à 89)

Dans le cas propre (\(\beta = 0\)) : \[ (26) \qquad \sigma_0(x, y) = (1 - x + \alpha y,\ y), \quad \sigma_1(x, y) = (y, x), \quad u(x, y) = (1 - y + \alpha x,\ x) . \] Le lieu fixe de \(\sigma_0\) est la droite \[ (27) \qquad H_0 : \ 2x - \alpha y - 1 = 0 , \] sauf en caractéristique \(2\) avec \(\alpha = 0\) (le carré de caractéristique \(2\)), où \(H_0 = \emptyset\) et \(\sigma_0\) est la translation de vecteur \(e_1\) ; en coordonnées homogènes on trouve encore une droite, la droite à l'infini. Celui de \(\sigma_1\) est la droite \(H_1 : x = y\). Appelant réflexion affine un automorphisme d'un plan affine dont le lieu fixe est une droite, le cas propre est donc encore caractérisé par

1. (iv\('''\))\(\sigma_0\) est une réflexion affine, ou une translation (dans le seul cas \(p = 2\), \(\alpha = 0\), où elle reste une réflexion projective) ;
2. (iv\(^{\mathrm{iv}}\))\(\sigma_{0V}\) est une réflexion, \(\neq \mathrm{id}\)⁵⁵ .

Les points fixes de \(G\), de \(G^{+}\) et de \(u\) coïncident ; ce sont les solutions de \(x = y\), \(x(2 - \alpha) = 1\) : \[ (29) \qquad x_0 = y_0 = \frac{1}{2 - \alpha} , \] qui existe, unique, si et seulement si \(\alpha \neq 2\). C'est le centre de la réalisation.

La partie linéaire de la rotation est \[ (30) \qquad u_V = \begin{pmatrix} \alpha & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \det u_V = 1, \quad \operatorname{Tr} u_V = \alpha , \] d'équation aux valeurs propres \(\zeta^2 - \alpha\zeta + 1 = 0\) (\(\zeta \in \bar k\)), de discriminant \(\Delta(\alpha) = \alpha^2 - 4 = (\alpha - 2)(\alpha + 2)\) ; ses racines vérifient \(\zeta\zeta' = 1\) et \(\alpha = \zeta + \zeta^{-1}\). L'invariant numérique est donc celui de la page 63, défini maintenant sans condition. Le cas d'une racine double, \(\zeta = \zeta' = \pm 1\), c'est-à-dire \(\alpha = \pm 2\) ou \(\Delta(\alpha) = 0\), n'est plus exclu (\(\alpha = 2\) pour \(\zeta = 1\), \(\alpha = -2\) pour \(\zeta = -1\), confondus si et seulement si \(p = 2\)) : ce sont exactement les deux valeurs de \(\zeta\) qu'il avait fallu écarter pour définir la représentation \(\varphi^\zeta\), et \(\alpha = 2\) est le seul cas sans centre à distance finie.

Pour \(\alpha \neq \pm 2\), et \(\zeta \in k\), on retrouve la représentation \(\varphi^\zeta\) ; sur \(k\) algébriquement clos, les seuls cas nouveaux sont donc \(\alpha = \pm 2\). Et il y insiste :

même si on décidait (à tort !) d'exclure ces deux cas, les considérant comme trop « exotiques », ils y reviendraient indirectement, car a) ils sont valables pour tout corps, et même sur les anneaux de base, pas seulement pour \(k\) algébriquement clos, et b) ils permettent de suivre la variation de \(\varphi(\alpha)\) en termes des paramètres \(\alpha\), intrinsèques⁵⁶ .

90–95

Étude par cas (pages 90 à 95)

I. \(\alpha \neq \pm 2\), cas ordinaire. Étendant au besoin \(k\) en \(k(\zeta)\) et rapportant \(E\) au centre et aux droites propres \(D_\zeta\), \(D_{\zeta^{-1}}\) de \(u\), avec \(s_0 = (1,1)\), on retrouve le cas type \(\Pi_\zeta\), où \(\zeta\) n'est pas forcément racine de l'unité. Il y a une forme quadratique invariante non dégénérée, unique à un scalaire près. L'ordre de \(u\) est celui de \(u_V\), c'est-à-dire celui de \(\zeta\) ; quand il est fini, c'est le nombre de côtés du polygone image, et il est premier à la caractéristique.

II. \(\alpha = -2\), \(p \neq 2\). La partie linéaire s'écrit \(u_V = -(\mathrm{id} + v_0)\), \(v_0^2 = 0\), \(v_0 \neq 0\) ; plus généralement, pour \(\alpha = 2\varepsilon\), \(\varepsilon = \pm 1\), \(u_V = \varepsilon(\mathrm{id} + v_0)\) avec \[ v_0(x, y) = (x - \varepsilon y)\,(1, \varepsilon) = a'(x, y)\, a, \qquad a' = x - \varepsilon y \in V^{*}, \quad a = (1, \varepsilon) \in V , \] un endomorphisme de rang \(1\) et de carré nul⁵⁷ . Il y a un centre, \((\frac14, \frac14)\), et dans les coordonnées centrées \(X = x - \frac14\), \(Y = y - \frac14\), \[ \sigma_0(X, Y) = (-X - 2Y,\ Y), \quad \sigma_1(X, Y) = (Y, X), \quad u = -(\mathrm{id} + v_0), \quad v_0 = (X + Y)\,(1, -1) . \] Comme \(u^{2m} = \mathrm{id} + 2m\, v_0\) et \(u^{2m+1} = -(\mathrm{id} + (2m+1) v_0)\), les sommets sont \[ s_{2m} = s_0 + m\, b, \qquad s_{2m+1} = s_1 - m\, b, \qquad b = (-1, 1) \] dans les coordonnées de départ (\(s_2 = (-1, 1)\), \(s_3 = (2, -1)\), …) : les sommets pairs sur la droite \(x + y = 0\), les impairs sur la droite parallèle \(x + y = 1\), parcourues en sens contraires — un polygone qui zigzague dans une bande⁵⁸ . En caractéristique \(0\) c'est un \(\infty\)-polygone ; en caractéristique \(p > 2\), \(u_V^2 = \mathrm{id} + 2v_0\) est une transvection d'ordre \(p\), \(u_V\) et \(u\) sont d'ordre \(2p\) : un \(2p\)-gone régulier (unimodulaire), propre, distinct de l'impropre de la page 85.

En caractéristique \(2\), \(\alpha = -2 = 0 = 2\) : c'est le carré, \(u(x, y) = (1 - y, x)\), \(u^2(x, y) = (1 - x, 1 - y)\), \(u^4 = \mathrm{id}\), d'ordre \(4 = 2p\) ; il n'a pas de centre.

III. \(\alpha = 2\), pas de centre. \(u_V = \mathrm{id} + v_0\), \(v_0 = a' \otimes a \neq 0\), \(v_0^2 = 0\) : en caractéristique \(p\), \(u_V\) est d'ordre \(p\). Dans l'enveloppe vectorielle \(\hat E\) de \(E\) (le plan affine plongé comme hyperplan \(z = 1\) de \(k^3\)), \(u_{\hat E} = \mathrm{id} + w\) avec \(w^3 = 0\) et \(w^2 \neq 0\), puisque \(u\) n'a pas de point fixe ; donc \(u^p = \mathrm{id} + w^p = \mathrm{id}\) si \(p \geq 3\), et \(u\) est d'ordre \(p\) ; pour \(p = 2\), \(u^2 = \mathrm{id} + w^2 \neq \mathrm{id}\) et l'on retrouve le carré, d'ordre \(4\). En caractéristique \(0\), \(u\) est d'ordre infini. La description géométrique est au § 9 (page 100) : un polygone inscrit dans une parabole.

96–100

La forme quadratique invariante et la conique circonscrite (pages 96 à 100)

§ 6. Cherchons les fonctions polynomiales de degré \(\leq 2\) sur \(E\) — les formes quadratiques sur l'enveloppe vectorielle \(\hat E\) — invariantes par \(G = \mathrm{Aut}(\Pi_\infty)\), c'est-à-dire par \(\sigma_0\) et \(\sigma_1\). À une constante près, l'invariance par \(\sigma_1\) donne \(f = a(x^2 + y^2) + bxy + c(x + y)\), et l'invariance par \(\sigma_0\) force \(b = -\alpha a\), \(c = -a\) : \[ f = a\, f_\alpha, \qquad \boxed{\ f_\alpha(x, y) = (x^2 - x) + (y^2 - y) - \alpha\, xy\ } . \] Les fonctions \(1\), \(f_\alpha\) forment une base des fonctions invariantes de degré \(\leq 2\), et \(f_\alpha\) est caractérisée par : a) \(f_\alpha\) est nulle sur \(S\) ; b) sa partie homogène \[ f_0(X, Y) = X^2 + Y^2 - \alpha XY \] vaut \(1\) sur les côtés, \(f_0(s_i - s_{i-1}) = 1\). C'est la normalisation « par les côtés » annoncée page 68. La conique circonscrite canonique \(C(f_\alpha) : f_\alpha = 0\) ne dépend pas de la normalisation ; si le polygone a au moins cinq sommets (en particulier pour les \(n\)-gones, \(n \geq 5\), et les \(\infty\)-polygones), c'est la seule conique circonscrite⁵⁹ .

§ 7. Discriminant de \(f_0\). Le déterminant de la matrice de \(f_0\) (dans la convention \(2 f_0\)) est \(\delta(f_0) = 4 - \alpha^2 = (2 - \alpha)(2 + \alpha)\), nul si et seulement si \(\alpha = \pm 2\) : \(f_0\) est non dégénérée exactement dans le cas ordinaire. Sur une extension contenant \(\zeta\), \[ f_0(X, Y) = (Y - \zeta X)(Y - \zeta^{-1} X) , \] et les deux directions isotropes \(Y = \zeta X\), \(Y = \zeta^{-1} X\) sont les droites propres de \(u_V\) — ce qui traduit que \(u_V\) est une rotation pour \(f_0\). Pour \(\alpha = \pm 2\) les deux directions se confondent : \(X + Y = 0\) pour \(\alpha = -2\), la direction déjà privilégiée au cas II ; \(X = Y\) pour \(\alpha = 2\). C'est la « métrique dégénérée » de la page 52.

§ 8. Discriminant de \(f\). La matrice de \(2 f_\alpha\) en coordonnées homogènes est \[ \begin{pmatrix} 2 & -\alpha & -1 \\ -\alpha & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \det = -2(\alpha + 2) , \] de sorte que, en caractéristique \(\neq 2\), \(C(f_\alpha)\) est non singulière si et seulement si \(\alpha \neq -2\)⁶⁰ . En particulier pour \(\alpha = 2\), où \(f_0\) est dégénérée : \(C\) est alors une parabole. Pour \(\alpha = -2\), \[ f_{-2}(x, y) = (x + y)^2 - (x + y) = (x + y)(x + y - 1) , \] produit de deux formes affines de même partie homogène : \(C\) est la réunion des deux droites parallèles distinctes \(x + y = 0\) et \(x + y = 1\) qui portent les sommets pairs et impairs (cas II) ; en coordonnées centrées, \(X + Y = \mp \frac12\).

§ 9. Retour sur \(\alpha = 2\) (caractéristique \(\neq 2\)). Avec \(v = x - y\), \(w = x + y\), \[ f_2(x, y) = (x - y)^2 - (x + y) = v^2 - w , \] et la rotation \(u(x, y) = (1 - y + 2x, x)\) devient \[ u(v, w) = (v + 1,\ 1 + 2v + w), \qquad u(v, v^2) = (v + 1, (v + 1)^2) . \] Si l'on paramètre la parabole \(C : w = v^2\) par \(v\), \(u|_C\) est la translation \(v \mapsto v + 1\), et les sommets sont les points \((m, m^2)\), \(m \in \mathbf{Z}\), ou \(m \in \mathbf{F}_p\) en caractéristique \(p\) : le \(p\)-gone régulier de caractéristique \(p\) est formé des \(p\) points \(\mathbf{F}_p\)-rationnels d'une parabole, et sa rotation est une translation le long de celle-ci⁶¹ .

101–107

IV. La fidélité (pages 101 à 107)

Deux versions se suivent ; la seconde porte en marge « (ancienne version) », et la première, de la page 101, paraît donc la plus récente. Dans les deux, \(\Pi = (S, A, R)\) est un polygone combinatoire, \(\rho = (\rho_S, \rho_A)\) une réalisation géométrique régulière propre (non impropre) de \(\Pi\) dans un plan \(E\) sur \(k\), et l'on note \(S\), \(A\) les images⁶² .

101–103

Première version (pages 101 à 103)

Proposition. L'image \(\Pi_0 = (\rho_S(S), \rho_A(A))\) est un polygone géométrique régulier de \(E\) ; son groupe d'automorphismes \(G_0\) est l'image de \(\mathrm{Aut}(\Pi)\) dans \(\mathrm{Aff}(E)\), et \(\Pi \to \Pi_0\) est un morphisme de polygones combinatoires. En détail :

1. a)Toute arête image \(a = \mathrm{dr}(s, s')\) contient exactement deux sommets images. Les deux extrémités ont des images distinctes ; et un troisième sommet sur \(a\) mettrait trois points de la conique circonscrite canonique \(C\) sur une droite, ce qu'elle interdit, sauf si \(C\) est singulière, \(\alpha = -2\), cas où \(C\) est la réunion de deux droites parallèles portant les sommets pairs et les impairs, et où \(\mathrm{dr}(s_i, s_{i+1}) \cap C = \{s_i, s_{i+1}\}\)⁶³ .
2. b)Tout sommet image est sur exactement deux arêtes images : si \(\mathrm{dr}(s_0, s_1)\), image d'une arête combinatoire, passe par \(s\), alors \(s \in \{s_0, s_1\}\) par a) ; si \(s = s_0\), l'arête est l'image de l'une des deux arêtes combinatoires issues du sommet combinatoire au-dessus de \(s\), à une rotation \(u^n\) près qui fixe \(s_0\), donc est l'identité.
3. c)\(S\) engendre \(E\).
4. d)\(G = \mathrm{Aut}(E, S, A)\) est transitif sur l'ensemble \(R\) des repères de \((S, A)\) : \(R\) est l'image de l'ensemble des repères combinatoires, sur lequel \(\mathrm{Aut}(\Pi)\) est transitif ; et comme \(\mathrm{Aut}(E, S, A)\) y opère simplement transitivement, l'image de \(\mathrm{Aut}(\Pi)\) est \(\mathrm{Aut}(E, S, A)\) tout entier.
5. e)\(\Pi \to \Pi_0\) est un morphisme : l'application des repères est compatible à \(\sigma_0\), \(\sigma_1\).

104–107

Seconde version, dite « ancienne » (pages 104 à 107)

Proposition. Pour une réalisation régulière propre \(\varphi\) de \(\Pi\) sur \(k\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(\varphi\) est fidèle (l'incidence des images entraîne l'incidence) ;
2. b)\(\varphi_S : S \to E\) est injective ; b\('\)) \(\varphi_A : A \to \mathrm{Dr}(E)\) est injective ;
3. c)\(\mathrm{Aut}(\Pi) \to \mathrm{Aff}(E)\) est injectif ;
4. d)\(\mathrm{Aut}^{+}(\Pi) \to \mathrm{Aff}(E)\) est injectif.

Démonstration. a) \(\Rightarrow\) b), b\('\)) : deux sommets distincts sont séparés par une arête incidente à l'un et non à l'autre, puisque \(\operatorname{card} S \geq 3\). b) \(\Rightarrow\) c) et b\('\)) \(\Rightarrow\) c) : \(\mathrm{Aut}(\Pi)\) s'injecte dans \(\mathfrak{S}_S\) et dans \(\mathfrak{S}_A\). c) \(\Rightarrow\) d) est trivial. d) \(\Rightarrow\) b) : si \(s_i = s_{i+d}\) avec \(0 < d < n\), alors \(u^d s_0 = s_0\), donc \(u^d\) fixe tous les \(s_j\), qui engendrent \(E\), et \(u^d = \mathrm{id}_E\), alors que \(u^d \neq 1\) dans \(\mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\). Enfin b), c), d) \(\Rightarrow\) a) : si \(s \in a = \mathrm{dr}(s_0, s_1)\) avec \(s \neq s_0, s_1\), la droite \(a\) couperait \(C\) en trois points, donc \(C\) serait singulière, \(\alpha = -2\), et l'on a vu que \(\mathrm{dr}(s_0, s_1) \cap C = \{s_0, s_1\}\) : absurde.

Corollaire (page 105). Si \(v \in \mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\) et \(s \in S\), alors \(v s = s\) si et seulement si \(\varphi(v) = \mathrm{id}_E\) — la proposition 4 (a) de la page 22.

Corollaire (page 106). Soit \(\varphi\) une réalisation quelconque d'un polygone combinatoire \(\Pi\) d'ordre \(N\), \(3 \leq N \leq \infty\), et \(u\) l'image d'un générateur de \(\mathrm{Aut}^{+}(\Pi)\). Les entiers suivants sont égaux : \(\operatorname{card} \varphi(S)\), \(\operatorname{card} \varphi(A)\), \(\operatorname{card} \varphi(\mathrm{Aut}^{+}(\Pi))\), l'ordre de \(u\). Cet entier \(n\) est un diviseur de \(N\) (condition vide si \(N = \infty\)), \(n \geq 3\), et c'est le plus petit diviseur \(n\) de \(N\) tel que \(\varphi\) se factorise par le quotient \(\Pi_{(n)}\) de \(\Pi\) d'ordre \(n\), et l'unique tel que la réalisation obtenue de \(\Pi_{(n)}\) soit fidèle⁶⁴ .

Mais il manque, dit la page, une théorie des morphismes (étales) de polygones combinatoires qui permette de parler des quotients \(\Pi_{(n)}\) de \(\Pi\) pour tout diviseur \(n\) de l'ordre \(N\). Elle n'est pas écrite⁶⁵ .

108–120

V. « Polynômes cyclotomiques » (pages 108 à 120)

109–113

Les polynômes \(F_n\) et le critère \(u_\alpha^n = 1\) (pages 109 à 113)

Soit \(\mathbf{Z}[U] \subset \mathbf{Z}[T, T^{-1}]\), \(U = T + T^{-1}\). On définit, pour \(n \geq 1\), \[ F_{2m}(U) = (1 + T^2 + \cdots + T^{2(m-1)})\, T^{-(m-1)}, \qquad F_{2m+1}(U) = (1 + T + \cdots + T^{2m})\, T^{-m} , \] soit \(F_{2m} = \dfrac{T^{2m} - 1}{T^2 - 1}\, T^{-(m-1)}\) et \(F_{2m+1} = \dfrac{T^{2m+1} - 1}{T - 1}\, T^{-m}\), polynômes unitaires en \(U\) de degré \([\frac{n-1}2]\) ; on pose \(F_0 = 0\) et \(F_{-n} = -F_n\). Les racines de \(F_n\) sont les \(\zeta + \zeta^{-1}\), \(\zeta^n = 1\), \(\zeta \neq \pm 1\), chaque paire \(\{\zeta, \zeta^{-1}\}\) une fois⁶⁶ . On a \[ F_{2m}(2) = m, \quad F_{2m}(-2) = (-1)^{m-1} m, \quad F_{2m+1}(2) = 2m + 1, \quad F_{2m+1}(-2) = (-1)^m , \] et les premiers sont \(F_1 = F_2 = 1\), \(F_3 = U + 1\), \(F_4 = U\), \(F_5 = U^2 + U - 1\), \(F_6 = U^2 - 1\). Posons \(X_n = F_n F_{n+1}\) (de degré \(n - 1\)).

Proposition (page 109). Pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), \[ X_n - U X_{n-1} + X_{n-2} = 1 , \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad F_n F_{n+1} - U F_{n-1} F_n + F_{n-2} F_{n-1} = 1 . \] Démonstration. Pour \(n = 1, 2\) on vérifie directement (\(1 - 0 + 0\), \((U + 1) - U + 0\)). Pour \(n \geq 3\), on multiplie par \((T - 1)(T^2 - 1) T^{n-1}\), en utilisant \(F_n F_{n+1} (T - 1)(T^2 - 1) = (T^n - 1)(T^{n+1} - 1) T^{-(n-1)}\) ; les deux membres deviennent \(T^{n+2} - T^{n+1} - T^n + T^{n-1} = (T - 1)(T^2 - 1) T^{n-1}\). Les \(n\) négatifs s'en déduisent⁶⁷ .

La proposition dit exactement que \(F_{n-1}\) et \(F_{n+1}\) engendrent l'idéal unité : \[ A_n F_{n-1} + B_n F_{n+1} = 1, \qquad B_n = F_n, \quad A_n = F_{n-2} - U F_n \] ⁶⁸ .

Les sommets. Dans les coordonnées universelles \((s_0, s_1, s_{-1})\) des pages 81 à 100, avec \(u_\alpha(x, y) = (1 - y + \alpha x, x)\), la récurrence \(x_{n+1} = \alpha x_n - x_{n-1} + 1\), \(y_{n+1} = x_n\), et les valeurs initiales \(s_0 = (0, 0)\), \(s_1 = (1, 0)\), donnent \[ s_n = u_\alpha^n(s_0) = \bigl(F_n F_{n+1}(\alpha),\ F_{n-1} F_n(\alpha)\bigr) = \bigl(X_n(\alpha), X_{n-1}(\alpha)\bigr), \qquad n \in \mathbf{Z} . \] C'est la réponse à la « question » de la page 11 : le plan et les sommets écrits en fonction de \(\alpha\) seul, sur n'importe quel anneau. L'application \(u^n\) envoie \((s_0, s_1, s_{-1})\) sur \((s_n, s_{n+1}, s_{n-1})\), d'où sa matrice \[ u_\alpha^n = \begin{pmatrix} F_{n+1}(F_{n+2} - F_n) & F_n (F_{n-1} - F_{n+1}) & F_n F_{n+1} \\ F_n (F_{n+1} - F_{n-1}) & F_{n-1}(F_{n-2} - F_n) & F_{n-1} F_n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}(\alpha) \] ⁶⁹ .

Théorème (page 112). Soit \(k\) un anneau, \(\alpha \in k\), \(u_\alpha\) l'automorphisme affine \((x, y) \mapsto (1 - y + \alpha x, x)\) de \(k^2\), \(s_n = u_\alpha^n(0, 0)\), et \(n \in \mathbf{Z}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(u_\alpha^n = \mathrm{id}\) ;
2. b)\(s_n = s_0\) ;
3. c)\(u_\alpha^n s_i = s_i\), pour un \(i \in \mathbf{Z}\) fixé ;
4. d)\(F_n(\alpha) = 0\).

Démonstration. a) \(\Rightarrow\) b) est trivial ; b) entraîne \(u^n s_i = s_i\) pour tout \(i\) (multiplier par \(u^i\)), en particulier pour \(i = \pm 1\), et \(s_0, s_1, s_{-1}\) forment un repère affine, d'où a) ; b) \(\Leftrightarrow\) c) en multipliant par \(u^{\pm i}\). d) \(\Rightarrow\) b) par la formule des sommets. Réciproquement, si \(F_n F_{n+1}(\alpha) = F_{n-1} F_n(\alpha) = 0\), la relation de Bézout donne \(F_n(\alpha) = F_n(\alpha)(A_n F_{n-1} + B_n F_{n+1})(\alpha) = 0\)⁷⁰ .

Pour \(\alpha = 2\) en caractéristique \(p\) impaire, \(F_p(2) = p = 0\) et \(u^p = 1\) ; pour \(\alpha = -2\), \(F_n(-2) = 0\) demande \(n = 2m\) pair avec \(p \mid m\), d'où l'ordre \(2p\) : on retrouve les pages 94 et 95. Par la factorisation \(F_n = \prod_{d \mid n,\ d \geq 3} \Psi_d\), le théorème dit, sur un corps de caractéristique \(0\), que \(u_\alpha^n = 1\) si et seulement si \(\alpha\) est l'invariant d'un \(d\)-gone régulier pour un diviseur \(d \geq 3\) de \(n\).

114–116

Le polynôme semi-cyclotomique et les anneaux modulaires (pages 114 à 116)

Soit \(\Phi_n(T) = \prod (T - \xi)\), \(\xi\) parcourant les racines primitives \(n\)-ièmes de \(1\) dans \(\bar{\mathbf{Q}}\) : polynôme unitaire de \(\mathbf{Z}[T]\), de degré \(\varphi(n) = n \prod_{p \mid n}(1 - \frac1p)\), avec \(T^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d\). Sur un corps de caractéristique \(p \nmid n\), les racines de \(\Phi_n\) sont les racines primitives \(n\)-ièmes de \(1\).

Si une réalisation régulière de \(\Pi_\infty\) sur \(k\) (\(p \nmid n\)) est donnée par \(\alpha = \xi + \xi^{-1}\), elle se factorise en une réalisation fidèle de \(\Pi_n\), \(n \geq 3\), si et seulement si \(\Phi_n(\xi) = 0\), c'est-à-dire \(\Psi_n(\alpha) = 0\), où le polynôme semi-cyclotomique \(\Psi_n \in \mathbf{Z}[U]\) est défini par \[ \Psi_n(T + T^{-1}) = T^{-\varphi(n)/2}\, \Phi_n(T) \qquad (n \geq 3) : \] c'est le polynôme minimal de \(2\cos(2\pi/n)\)⁷¹ .

Les anneaux modulaires. Si \(n \geq 3\) n'est ni premier ni double d'un premier (\(n = 8, 9, 12, 15, 16, \ldots\)), l'anneau « modulaire » des réalisations fidèles de \(\Pi_n\) est \[ k'_n = \mathbf{Z}[\tfrac1n][U]/\Psi_n(U) , \] l'invariant universel \(\alpha'_n\) étant l'image de \(U\) ; il faut inverser \(n\), parce qu'en caractéristique \(p \mid n\) une racine de \(\Psi_n\) définit un polygone d'un autre ordre (corollaire de la page 118). Pour les autres \(n\), on peut faire mieux :

• \(n = p\) premier impair. Toute réalisation régulière de \(\Pi_p\) sur un corps est fidèle (page 27, corrigée) ; \(\Phi_p = 1 + T + \cdots + T^{p-1}\), \(\Psi_p = F_p\), et \(k'_p = \mathbf{Z}[U]/F_p(U)\), sans rien inverser : en caractéristique \(p\), la seule racine est \(2\), le \(p\)-gone parabolique.
• \(n = 2p\), \(p\) premier impair. \(\Phi_{2p}(T) = \Phi_p(-T)\), \(\Psi_{2p}(U) = (-1)^{(p-1)/2}\,\Psi_p(-U)\). En caractéristique \(p\), les racines de \(\Phi_{2p}\) sont toutes égales à \(-1\), celles de \(\Psi_{2p}\) à \(-2\), invariant du \(2p\)-gone en bande ; en caractéristique \(2\), en revanche, elles définissent des \(p\)-gones. Donc en toute caractéristique \(\neq 2\), \(\Psi_{2p}(\alpha) = 0\) est la condition nécessaire et suffisante pour que \(\alpha\) définisse un \(2p\)-gone régulier, et \(k'_{2p} = \mathbf{Z}[\frac12][U]/\Psi_{2p}(U)\)⁷² .
• \(n = 4\). \(\Phi_4 = T^2 + 1\), \(\Psi_4 = U = F_4\) ; en caractéristique \(2\), le seul zéro \(0 = -2\) définit bien le carré. Donc \(k'_4 = \mathbf{Z}[U]/(U) \simeq \mathbf{Z}\) : sur un anneau donné il y a une et une seule réalisation régulière de \(\Pi_4\), à isomorphisme unique près, fidèle quand l'anneau est un corps.

C'est la réponse partielle à la question b) de la page 47 : le carré est défini sur \(\mathbf{Z}\) ; pour \(n = p\), l'anneau \(\mathbf{Z}[U]/F_p\) n'a pas à inverser \(p\).

117–120

Réduction modulo \(p\), ordre en caractéristique \(p\), table (pages 117 à 120)

Proposition (page 117). Soient \(p\) premier, \(n = p^r n'\) avec \((p, n') = 1\). Alors \[ \Phi_n(T) \equiv \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \pmod p . \] Démonstration, par récurrence sur \(r + n'\). Pour tout diviseur strict \(\delta = p^s d\) de \(n\), l'hypothèse de récurrence donne \(\Phi_\delta \equiv \Phi_d^{\varphi(p^s)}\). Multipliant ces relations entre elles et par \(\Phi_n\), \[ \Phi_{n'}^{\varphi(p^r)} \prod_{\delta \mid n} \Phi_\delta \equiv \prod_{s = 0}^{r} \Bigl(\prod_{d \mid n'} \Phi_d\Bigr)^{\varphi(p^s)} \Phi_n , \quad\text{soit}\quad \Phi_{n'}^{\varphi(p^r)} (T^n - 1) \equiv (T^{n'} - 1)^{p^r}\, \Phi_n , \] puisque \(\sum_{s=0}^{r} \varphi(p^s) = p^r\). Or \(T^n - 1 = (T^{n'})^{p^r} - 1 \equiv (T^{n'} - 1)^{p^r}\), et l'on simplifie dans l'anneau intègre \(\mathbf{F}_p[T]\)⁷³ .

Corollaire (pages 118 et 119). Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\), \(n \geq 1\), \(\alpha \in k\) avec \(\Psi_n(\alpha) = 0\), \(n = p^r n'\), \((p, n') = 1\). Le polygone régulier d'invariant \(\alpha\) est d'ordre \[ n' \text{ si } n' \geq 3 ; \qquad 2p \text{ si } n' = 2 ; \qquad p \text{ si } n' = 1 \text{ et } p \neq 2 ; \qquad 4 \text{ si } n' = 1 \text{ et } p = 2 . \] Démonstration. Écrivons \(\alpha = \xi + \xi^{-1}\), \(\xi\) dans une extension. \(\Psi_n(\alpha) = 0\) équivaut à \(\Phi_n(\xi) = 0\), donc, par la proposition, à \(\Phi_{n'}(\xi) = 0\) : \(\xi\) est racine primitive \(n'\)-ième de \(1\). Si \(n' \geq 3\), \(\alpha \neq \pm 2\) et l'ordre est celui de \(\xi\) ; si \(n' = 2\), \(\alpha = -2\) et l'ordre est \(2p\) (cas II) ; si \(n' = 1\), \(\alpha = 2\) et l'ordre est \(p\), ou \(4\) si \(p = 2\) (cas III)⁷⁴ .

La table de la page 120. \(\varphi(n)\) est pair pour \(n \geq 3\), et \(\varphi(p^r) < 6\) seulement pour \(p^r = 2, 3, 4, 5, 8\). D'où les petits degrés :

• \(\varphi(n) \leq 2\), \(\alpha\) entier : \(n = 1, 2, 4, 3, 6\), \(\alpha = 2, -2, 0, -1, 1\) ;
• \(\varphi(n) = 4\), \(\alpha\) quadratique : \(n = 8\), \(\alpha^2 = 2\) ; \(n = 12\), \(\alpha^2 = 3\) ; \(n = 5\), \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\) ; \(n = 10\), \(\alpha^2 - \alpha - 1 = 0\) ;
• \(\varphi(n) = 6\), \(\alpha\) cubique : \(n = 9\), \(\alpha^3 - 3\alpha + 1 = 0\) ; \(n = 7\), \(\alpha^3 + \alpha^2 - 2\alpha - 1 = 0\) ; \(n = 18\), \(\alpha^3 - 3\alpha - 1 = 0\) ; \(n = 14\), \(\alpha^3 - \alpha^2 - 2\alpha + 1 = 0\).

Les seuls polygones réguliers définis sur \(\mathbf{Q}\) sont donc le triangle, le carré et l'hexagone. Les cubiques sont, dit une note lue avec doute, des « exemples d'équations du 3e degré non résolubles » — trois racines réelles, irréductibles sur \(\mathbf{Q}\) : le casus irreducibilis, où les radicaux réels ne suffisent pas⁷⁵ .

121–129

VI. Feuilles détachées (pages 121 à 129)

121–121

Un calcul tensoriel barré (page 121)

La page, barrée de deux longs traits, commence au milieu d'un calcul : avec la transposée \({}^t u\) et l'identité \(({}^t u\, x') \otimes x = x' \otimes u x\) dans \(V^{*} \otimes V\), il cherche la forme des matrices \(u\) qui satisfont une relation sur l'élément \((-2e'_1 + e'_2) \otimes e_1\), et trouve une matrice triangulaire de diagonale \(\lambda\) ; tête-bêche, un polynôme caractéristique \((\lambda - 1)^{\nu - 1}(\lambda + 1)\), celui d'une réflexion en dimension \(\nu\). Le but du calcul ne se lit pas, et l'on n'en tire rien⁷⁶ .

122–124

Tables et réductions modulo \(p\) (pages 122 à 124)

La page 122 reprend la matière des pages 114 à 120 avec d'autres noms : \(\Phi_n\) y est le polynôme minimal sur \(\mathbf{Q}\) d'une racine primitive \(n\)-ième de \(1\), et ce qui est ici \(\Psi_n\) le polynôme minimal de \(\zeta + \zeta^{-1}\), avec \(\Phi_n(T) = T^{\varphi(n)/2}\, \Psi_n(T + T^{-1})\) pour \(n \neq 1, 2\), \(\Psi_1 = U - 2\), \(\Psi_2 = U + 2\)⁷⁷ . La table : \[ \begin{array}{lll} \Psi_1 = U - 2, & \Psi_2 = U + 2, & \Psi_3 = U + 1, \\ \Psi_4 = U, & \Psi_5 = U^2 + U - 1, & \Psi_6 = U - 1, \\ \Psi_7 = U^3 + U^2 - 2U - 1, & \Psi_8 = U^2 - 2, & \Psi_9 = U^3 - 3U + 1, \\ \Psi_{10} = U^2 - U - 1, & & \end{array} \] en regard de \(\Phi_1, \ldots, \Phi_{10}\) ; « donner aussi les cas \(n = 12, 14, 18\) » — ceux de la page 120. Pour \(p = 2p' + 1\) premier impair, \[ \Psi_p = S_0 + S_1 + \cdots + S_{p'}, \qquad \Psi_{2p}(U) = (-1)^{p'}\, \Psi_p(-U) = (-1)^{p'} \sum_{j=0}^{p'} (-1)^j S_j(U), \] où \(S_0 = 1\), \(S_1 = U\), \(S_2 = U^2 - 2\), \(S_3 = U^3 - 3U\), …, et \[ U^n = \sum_{0 \leq i \leq [n/2]} \binom{n}{i} S_{n-2i}(U), \qquad n \geq 1 , \] d'où le calcul récurrent des \(S_n\)⁷⁸ .

Réduction modulo \(p\) (pages 123 et 124). Sur un corps algébriquement clos de caractéristique \(p\), avec \(n = p^r n'\), \((p, n') = 1\), les racines de \(\Phi_n\) sont les racines primitives \(n'\)-ièmes de \(1\), chacune de multiplicité \(\varphi(p^r)\) — c'est la proposition de la page 117. Pour \(\Psi_n\) (\(n \geq 3\)) :

1. 1)si \(n' \neq 1, 2\), \(\Psi_n \equiv \Psi_{n'}^{\varphi(p^r)} \pmod p\) ;
2. 2)si \(n' = 1\) ou \(2\), \(\Psi_n \equiv \Psi_{n'}^{\varphi(p^r)/2}\), c'est-à-dire \((U - 2)^{\varphi(p^r)/2}\) si \(n = p^r\) et \((U + 2)^{\varphi(p^r)/2}\) si \(n = 2p^r\).

En particulier, pour \(p\) premier impair et \(p' = (p - 1)/2\), \[ \Psi_p \equiv (U - 2)^{p'}, \qquad \Psi_{2p} \equiv (U + 2)^{p'} \pmod p \] ⁷⁹ . C'est la forme polynomiale du corollaire de la page 118 : en caractéristique \(p\), le \(p\)-gone et le \(2p\)-gone n'ont plus qu'un invariant, \(2\) et \(-2\).

125–127

Les anneaux \(\mathbf{Z}[\zeta]\), \(\mathbf{Z}[\alpha]\) et la ramification en \(p\) (pages 125 à 127)

Pour \(p\) premier impair, soient \[ A_p = \mathbf{Z}[T]/\Phi_p(T) \ni \zeta, \qquad B_p = \mathbf{Z}[U]/\Psi_p(U) \ni \alpha = \zeta + \zeta^{-1} , \] anneaux normaux — l'anneau des entiers du corps cyclotomique \(\mathbf{Q}(\zeta_p)\) et celui de son sous-corps réel maximal, dirait-on aujourd'hui⁸⁰ . Ils sont étales sur \(\mathbf{Z}\) en dehors de \(p\), les racines de \(\Phi_p\), \(\Psi_p\) étant distinctes en caractéristique \(\ell \neq p\), et ramifiés en \(p\), où il n'y a plus qu'une racine. Dans \(A_p\), \((\zeta - 1)^{p-1} \equiv 0 \pmod p\) ; et la norme \(N(\zeta - 1) = \prod_{i}(\zeta_i - 1) = \Phi_p(1) = p\) (au signe près) donne \[ \boxed{\ (\zeta - 1)^{p-1} = p\, \varepsilon\ }, \qquad \varepsilon \text{ unité} , \] d'où \(A/(\zeta - 1) = \mathbf{F}_p[T]/(T - 1)^{p-1}/(T - 1) = \mathbf{F}_p\) : \((\zeta - 1)\) est un idéal maximal, et \(p\) est totalement ramifié dans \(A_p\)⁸¹ . De même, pour \(p^r \neq 2\) et \(\varphi' = \varphi(p^r)/2\), dans \(B_{p^r} = \mathbf{Z}[U]/\Psi_{p^r}\), \[ (\alpha - 2)^{\varphi'} = p\, \varepsilon', \qquad N(\alpha - 2) = \pm \Psi_{p^r}(2) = \pm \Phi_{p^r}(1) = \pm p , \] puisque \(\prod_{1 \neq d \mid p^r} \Phi_d(1) = 1 + 1 + \cdots + 1 = p^r\) donne \(\Phi_{p^r}(1) = p\) (page 127). La page vérifie au passage \(\Psi_7(2) = 8 + 4 - 4 - 1 = 7\), et s'interroge (« \(F_p(2) = p\) ? ») — ce qui est le cas, \(F_p(2) = p\) par la page 109. Enfin \[ (\zeta - 1)(\zeta^{-1} - 1) = 2 - \alpha , \] donc \(\alpha - 2\) est, à une unité près, le carré de \(\zeta - 1\) : la place au-dessus de \(p\) dans \(B\) se ramifie encore dans \(A\), et la page demande si \(B[T]/(T^2 - \alpha T + 1) \to A\) est un isomorphisme — ce que la page 128 établit⁸² .

128–128

Les anneaux \(A_n\), \(B_n\) et l'involution \(T \mapsto T^{-1}\) (page 128)

Soient \(A_n = \mathbf{Z}[T]/\Phi_n(T)\) et \(B_n = \mathbf{Z}[U]/\Psi_n(U)\). Pour \(n = n' n''\) avec \((n', n'') = 1\), \((\mathbf{Z}/n)^{*} \simeq (\mathbf{Z}/n')^{*} \times (\mathbf{Z}/n'')^{*}\) et \(A_{n'} \otimes_{\mathbf{Z}} A_{n''} \xrightarrow{\sim} A_n\) ; en termes de schémas, le schéma des racines primitives \(\mu_n^{*} = \mathrm{Spec}\, A_n \subset \mu_n\) vérifie \(\mu^{*}_{n'n''} \simeq \mu^{*}_{n'} \times \mu^{*}_{n''}\), et \(\mu_n^{*}/\{\pm 1\} = \mathrm{Spec}\, B_n\). La page en tire la normalité de \(A_n\) « par hypothèse de récurrence »⁸³ .

L'involution \(\sigma : T \mapsto T^{-1}\) de \(A = \mathbf{Z}[T, T^{-1}]\) a pour invariants \(B = \mathbf{Z}[U]\) ; géométriquement, le quotient de \(\mathbf{G}_m\) par l'inversion est la droite affine \(\mathbf{E}^1\), de coordonnée \(U = T + T^{-1}\) :

\begin{tikzcd}
A = \mathbf{Z}[T, T^{-1}] \arrow[r] & A_n = \mathbf{Z}[T]/\Phi_n \\
B = \mathbf{Z}[U] = A^{\sigma} \arrow[r] \arrow[u, hook] & B_n = \mathbf{Z}[U]/\Psi_n \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

129–129

Revêtements ramifiés (page 129)

La dernière page change de langage. Sur une base \(S\), soient \(X\) et \(X'\) deux revêtements normaux irréductibles, de groupes \(G\) et \(G'\), \(X\) totalement ramifié en un point \(s\) et étale ailleurs, \(X'\) totalement ramifié en \(s' \neq s\) et étale ailleurs. Le produit fibré \(X \times_S X'\) est-il connexe ? Il dessine le carré des groupes fondamentaux

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \pi_1(S \smallsetminus \{s, s'\}) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\pi_1(S \smallsetminus s) \arrow[dr] & & \pi_1(S \smallsetminus s') \arrow[dl] \\
& \pi_1(S) &
\end{tikzcd}

C'est, selon toute vraisemblance, la forme géométrique de la question des pages 127 et 128 : \(\mathrm{Spec}\, A_{n'}\) et \(\mathrm{Spec}\, A_{n''}\) sont des revêtements de \(\mathrm{Spec}\, \mathbf{Z}\) ramifiés en des ensembles disjoints de premiers, et la connexité (avec la normalité) de leur produit fibré, \(\mathrm{Spec}(A_{n'} \otimes A_{n''})\), est ce qu'il faut pour que \(A_{n'} \otimes A_{n''} \simeq A_{n'n''}\) soit intègre et normal ; c'est le mécanisme où intervient, en arithmétique, le fait que \(\mathrm{Spec}\, \mathbf{Z}\) n'a pas de revêtement étale non trivial (théorème de Minkowski)⁸⁶ .