Fonds Grothendieck, cote n° 77, pages 141–157 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-10-03

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 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 77 Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.). Pages 141 à 157 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 8 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1977]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/77.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

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la page commence au milieu d'un raisonnement venu du lot précédent. ramené : prouver que ce dernier est connexe. Or il est fibré sur \underline{\Delta}_{\{n-1\}} (qui est connexe), il suffit donc de prouver

Lemme 6 \underline{\Delta}^{\omega}_{\{n-1,n\}} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\Delta}_{\{n-1\}} par la projection canonique, en d'autres termes \forall F'\in\Delta_{\{n-1\}}(E,q), \exists exactement un F\in\Delta^{\omega}_{\{n\}}(E,q) tel que F\subset F'. indépendant de la question de car. [On connaît les fibres de (\underline{\Delta}_{\{n-1,n\}})|F au-dessus de \underline{\mathrm{Arf}} iso] le « F\subset F' » est écrit tel quel ; vu les rangs (n et n-1), on attendrait F'\subset F.

Dém. Par le lemme 3, on sait que l'image inverse de F' dans \underline{\Delta}_{\{n,n-1\}} est iso à \underline{\Delta}_1(F'^{\perp}/F'), donc est un rev. étale de degré 2 de S. sous « F'^{\perp}/F' » il a écrit « rg 2 ». Il suffit de voir que les morphismes de celui-ci dans \underline{\mathrm{Arf}} commutent aux automorphismes can. de ces rev., ce qui est évident.

Une fois traité le cas de corps F, on obtient on déterminera les ens. de comp. connexes de \underline{\Delta}_{\{n\}}, et on passera au cas général par un argument de spécialisation (fact. de Stein …). En même temps, on définit \underline{\mathrm{Arf}}(E,q) dans le cas général, par factorisation de Stein de \underline{\Delta}_{\{n\}}, et on verra qu'il marche pour tous les \underline{\Delta}_H avec H\ni n.

Récapitulons

Thm (E,q) forme quadratique régulière de rg E=\ill{}, N=2n ou N=2n+1 (n\geq 1, donc N\geq 2). Soient H,H'\subset[1,n], d=\max H, d'=\max H' (donc 0\le d,d'\le n), considérons (1)\qquad \underline{\Delta}_H(E,q) \xrightarrow{\ p_{H',H}\ } \underline{\Delta}_{H'}(E,q) on attend H'\subset H pour que la projection (1) soit définie ; l'inclusion n'est pas écrite ici.

a) Ce morphisme est projectif, et lisse, surjectif. En particulier (prenant H'=\emptyset) les \underline{\Delta}_H(E,q)\to S sont projectifs, lisses, surjectifs.

b) Les fibres géométriques de ce morphisme sont connexes, sauf dans le cas N pair, d'<d=n, auquel cas les fibres géométriques ont ont deux comp. conn.

c) Dans le dernier cas cas N=2n, considérons \underline{\mathrm{Arf}}(E,q) = \text{schéma des comp. conn. de } \underline{\Delta}_{\{n\}}(E,q) \text{ sur } S qui est un rev. étale de degré 2 de S. Considérons (si H\ni\{n\}) le facteur morphisme composé \underline{\Delta}_H \longrightarrow \underline{\Delta}_{\{n\}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Arf}} C'est lui qui ratisfait Ce morphisme est

(projectif lisse) 0-connexe (donc fournit la factorisation de Stein de \underline{\Delta}_H\to S).

Plus généralement, si H'\subset H, d'<d, le morphisme (2)\qquad \underline{\Delta}_H \longrightarrow \underline{\Delta}_{H'}\times_S \underline{\mathrm{Arf}} est (projectif lisse) 0-connexe (donc fournit, cf. (1), la factorisation de Stein de (H;H')).lecture de la fin de la phrase douteuse : « (donc fournit cf. … de (H;H')) (1) » ; l'ordre exact des mots n'est pas sûr.

d) Supposons toujours N=2n, le morphisme (3)\qquad \underline{\Delta}_{\{n,n-1\}} \longrightarrow \underline{\Delta}_{\{n-1\}} est étale fini de degré 2, plus précisément le factorisation de simplexe (1) donne un iso \underline{\Delta}_{\{n,n-1\}} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\Delta}_{\{n-1\}}\times \underline{\mathrm{Arf}} \qquad (\text{pour } N=2n).

e) Soit (4)\qquad \underline{\mathrm{Arf}}' = \underline{M}\bigl((-1)^n\delta(q)^{-1}\bigr), le sous-schéma de \underline{\det} E défini par \omega^{\otimes 2}=(-1)^n\delta(q)^{-1}. Je trouve existe un morphisme unique (5)\qquad \underline{\mathrm{Arf}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Arf}}' tel que le composé avec \underline{\Delta}_{\{n\}}\to\underline{\mathrm{Arf}} soit (6)\qquad \begin{cases} \underline{\Delta}_{\{n\}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Arf}}' \\ F \longmapsto \omega_F \in \underline{\det}(E)^{*} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\underbrace{\underline{\det} F\otimes\underline{\det}\check F}_{\underline{O}_S},\ \underline{\det} E\bigr) \end{cases}

déduit de la structure d'extension. Cet homomorphisme (5) est compatible aux opérations de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, et définit donc un iso (7)\qquad \underline{\mathrm{Arf}}' \simeq \underline{\mathrm{Arf}} \overset{(\mathbb{Z}/2)_S}{\wedge} \mu_{2,S} En particulier, si 2 inversible sur S, on a un iso \underline{\mathrm{Arf}} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Arf}}' = \underline{M}\bigl((-1)^n\delta(q^{*})^{-1}\bigr) f) \underline{O}(q)

Application aux groupes orthogonaux

Théorème a) Supposons N=2n+1. Alors \underline{O}(q) \simeq \mu_2\times\underline{SO}(q) \qquad (\mu_2 = \text{\uncertain{centre}}) et \underline{SO}(q) est lisse à fibres connexes. b) \underline{SO}(q) \underline{SO}(q) opère sur chaque \underline{\Delta}_H(E,q) via \underline{SO}(q)\simeq\underline{O}(q)/\mu_2, et stabilise un sp. homogène.\to \underline{SO}(q), le stabilisateur d'un drapeau est un sous-groupe lisse à fibres connexes. La dimension relative produit : en cat. par ailleurs, ;

Cor. La projection \underline{O}(q)\to\mu_2 est induite par \det : \underline{O}(q)\to\mathbb{G}_m.

\underline{SO}, \underline{O}(q) qui F\in\Delta_{\{n\}}(E,q).

la page entière est barrée de grands traits obliques ; on la transcrit telle qu'elle se lit. Alors SO(q) est fibré sur [Considérons \begin{cases} \underline{SO}(q) \longrightarrow \underline{\Delta}_{\{n\}} \\ u \longmapsto u(F) \end{cases} il s'agit de prouver que ce morphisme est lisse à fibres géom. connexes. Plus généralement] Unicité

[D\in\underline{\Delta}_H(E) \begin{cases} \underline{SO}(q) \longrightarrow \underline{\Delta}_H \\ u \longmapsto u(D) \end{cases} est lisse à fibres géom. connexes (dans \underline{\Delta}_H espace homogène sous \underline{SO}(q))]. Par transitivité OPS H=[1,n].

Comme \underline{SO}(q) opère transitivement sur \underline{\Delta}_H, \underline{O}(q) . D=\{E_1\subset\cdots\subset E_n\subset E\} \xi=1. (cf. )

On veut ainsi ( ) : une base standard e_0, e_1,\ldots,e_n, e_1^{*},\ldots,e_n^{*}, e_0 E_i engendré par e_1,\ldots,e_i. A Si D'=(E'_1\subset\cdots\subset E'_n)\in\Delta_{[1,n]} e'_0, e'_1,\ldots,e'_n, e'^{*}_1,\ldots,e'^{*}_n. Il y a un isomorphisme (unique) de (E,q) e_i\mapsto e'_i,\qquad e_i^{*}\mapsto e'^{*}_i , Il donc

Proposition (E,q) forme quadratique régulière [\varphi forme bil. associée], sur un schéma S, F sous-fibré (Module strict) tot. isotrope de E.

a) L'hom. composé E \xrightarrow[\text{défini par }\varphi]{\ \psi\ } E^{\vee} \xrightarrow{\ \text{restr}\ } F^{\vee} est épi, donc son noyau F^{\perp} est un sous-fibré Module strict de E, dont la formation commute aux changements de base.

b) [Soit G=E/F^{\perp}] La forme \varphi induit un accouplement F\times G \longrightarrow \underline{O}_S qui est une dualité, et induit des isom. G \xrightarrow{\ \sim\ } \check F,\qquad F \xrightarrow{\ \sim\ } \check G .

à partir d'ici, la suite de la page (c)) est barrée de deux grands traits croisés. c) Soit \underline{\mathrm{Split}}(E,F^{\perp}) ou \underline{\mathrm{Scind}}, (le faisceau des scindages de la suite exacte 0\longrightarrow F^{\perp} \longrightarrow E \longrightarrow G \longrightarrow 0, \qquad F\subset F^{\perp} qui est un torseur sous \underline{\mathrm{Hom}}(G,F^{\perp}), ou \underline{\mathrm{Splitisot}}, soit \underline{\mathrm{Splitisot}}(E,F^{\perp}) le sous-faisceau des scindages isotropes, i.e. tels que \theta(G) soit tot. isotrope dans E, \underline{\mathrm{Splitisot}}(E,F^{\perp}) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Split}}(E,F^{\perp}). Considérons d'autre part la suite exacte 0\longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(G,F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(G,F^{\perp}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(G,Q) \longrightarrow 0 où Q = F^{\perp}/F .

c) Soit d) Soit Q=F^{\perp}/F, alors \varphi induit une forme quadratique q_Q sur Q, et la forme bil. associée celle-ci est régulière. Soit forme \theta : G \longrightarrow E un scindage de la suite exacte (*)\qquad 0\longrightarrow F^{\perp} \longrightarrow E \longrightarrow G \longrightarrow 0 et considérons la forme quadratique q_\theta : F\times G \longrightarrow \underline{O}_S définie par q_\theta(x,y) = q\bigl(x+\theta(y)\bigr) = q(\theta(y)) + \langle y,x\rangle . La forme bilinéaire associée est \begin{aligned} \varphi_\theta(x,y;x',y') &= \varphi(x+\theta y,\theta y') + \varphi(x',\theta y)\\ &= \varphi(\theta y,\theta y') + \langle y',x\rangle + \langle y,x'\rangle \end{aligned} et elle est non dégénérée, donc q_\theta est une et la forme q|Q_\theta est régulière, [NB Q_\theta\simeq Q=F^{\perp}/F, et la forme q_Q déduite de q_\theta ne dépend pas du choix de \theta — c'est trivial : …] forme quadratique régulière (de rg pair). Si Q_\theta est l'orthogonal de F+\theta(G), on a donc E \simeq (F\oplus\theta(G))\oplus Q_\theta.

d) Supposons S affine, ce qui garantit l'existence d'un \theta…. Alors il existe (pour \theta fixé) u : G \longrightarrow F tel que, posant \theta_u = \theta + u on ait q\circ\theta_u = 0 NB condition qui équivaut à : (q\circ\theta)(y)+\langle y,u(y)\rangle = 0, i.e. B_u(y,y) = -(q\circ\theta)(y), où B_u est la forme bil. associée à u. i.e. \theta_u(G) soit tot. isotrope dans E (scindage isotrope). L'ensemble des u\in\underline{\mathrm{Hom}}( u \in \mathrm{Hom}(G,F) \simeq \mathrm{Bil}(G,G) \qquad (F\simeq\check G) tels que q\circ \theta_u soit isotrope, est un torseur sous le sous-groupe \mathrm{Alt}(G,G) de \mathrm{Bil}(G,G). Il Indépendamment du choix d'un \theta)

l'ensemble \mathrm{Scind\,isot}(E,F^{\perp}) des scindages isotropes de (*) est stable par les opérations de \mathrm{Alt}(G,G) \hookrightarrow \mathrm{Bil}(G,G) \simeq \mathrm{Hom}(G,F) \hookrightarrow \mathrm{Hom}(G,F^{\perp}) et le quotient \mathrm{Scind\,isot}/\mathrm{Alt}(G,G) est isomorphe (par la flèche canonique) à \mathrm{Scind}/\underbrace{\mathrm{Bil}(G,G)}_{\mathrm{Hom}(G,F)} (qui est lui-même un torseur sous \mathrm{Hom}(G,Q)), où Q=F^{\perp}/F …

e) Soit \theta un scindage isotrope de (*). Alors (E,q) est somme directe quadratique de F+\underbrace{\theta(G)}_{\check F}, décomposé où q est somme forme décomposée q(x,x') = \langle x,x'\rangle , et de Q_\theta.

Corollaire Considérons un drapeau D :\ 0 \subsetneq E_1 \subsetneq E_2 \subset\cdots\subsetneq E_\nu = F \qquad E , d'où un drapeau complété 0\subsetneq E_1 \subset\cdots\subsetneq E_\nu = F \subset F^{\perp} \subsetneq E_{\nu-1}^{\perp} \subsetneq\cdots\subsetneq E_1^{\perp} \subsetneq F le dernier terme se lit F sur la page, là où l'on attend E. [NB on peut avoir F=F^{\perp} donc Q=F^{\perp}/F=0 …]. Un scindage isotrope de (*) définit alors une structure scindée dans E identifié à : F\oplus\check F\oplus Q.

Corollaire 1 Soient (E,q), (E',q') formes quadr. rég. de même type [N=2n ou N=2n+1] sur S, F\subset E et D\in\Delta_H(E,q),\qquad D'\in\Delta_H(E',q') , H\subset[1,n], enfin D=\{E_1,\ldots,E_\nu\}, D'=\{E'_1,\ldots,E'_\nu\}. Supposons, et supposons Posons Q=E_\nu^{\perp}/E_\nu, Q'=E'^{\perp}_\nu/E'_\nu, et soient q_\Theta et q_{\Theta'} sur S. Si q_\Theta\simeq q_{\Theta'}, et si R_i=E_i/E_{i-1}\simeq R'_i=E'_i/E'_{i-1}, et si S est affine, alors \exists\, u : (E,q) \xrightarrow{\ \sim\ } (E',q') \quad\text{tel que}\quad u(D)=D' . On en conclut

Corollaire 2 Il existe loc. (ét) un isom. u : (E,q) \longrightarrow (E',q') \quad\text{tel que}\quad u(D)=D' .

Donc,

Corollaire 3 \underline{\Delta}_H(E,q) est un esp. homogène (ét) sous \underline{\mathrm{Aut}}(E,q)=\underline{O}(q). En d'autres termes, si D\in\Delta_H(E,q), alors \begin{cases} \underline{O}(q) \longrightarrow \underline{\Delta}_H \\ u \longmapsto u(D) \end{cases} est un épim. (ét), identification définissant un iso \underline{\Delta}_H \xleftarrow{\ \sim\ } \underline{O}(q)/\underline{\mathrm{Stab}}_D(q) où \underline{\mathrm{Stab}}_D(q) est le stabilisateur de D dans \underline{O}(q).

Corollaire

Nous pouvons préciser le cor. 1 ainsi :

Cor. 4 Sous les conditions du cor. 1, posons R_i 1\le i\le\nu donnons pour R_i 1\le i\le\nu R_i = E_i/E_{i-1},\qquad R'_i = E'_i/E'_{i-1}\qquad (E_0=0,\ E'_0=0) et donnons-nous les isom. \begin{aligned} u_i &: R_i \xrightarrow{\ \sim\ } R'_i\\ u_q &: Q \xrightarrow{\ \sim\ } Q' \end{aligned} (ce dernier) orthogonal pour q, q'. Alors, il existe si S est affine, a) il existe (ici iso.) u : (E,q) \longrightarrow (E',q') tel que u(D)=D', et que u induise les u_i et u_q.

b) L'ens. de ces u est (évident) un torseur à dr. sous le sous-groupe \underline{O}_D(q)^{+} des \to\ \underline{O}_D(q) \subset \underline{\mathrm{Aut}}(E,q,D) = \underline{O}_D(q)(S), formé des automorphismes qui induisent l'identité sur les G_i et sur Q.

Considérons d'autre Considérons d'autre part l'ens. des produit \overline{\Sigma} = \prod_{1\le i\le\nu} \Sigma_i \times \Sigma_0 où \Sigma_i est l'ens. des scindages de 0\longrightarrow E_{i-1} \longrightarrow E_i \longrightarrow R_i \longrightarrow 0 et \Sigma_0 l'ens. des scindages isotropes de 0\longrightarrow E_\nu \longrightarrow E_\nu^{\perp} \longrightarrow Q \longrightarrow 0 . Considérons d'autre part \overline{E} = \bigoplus_i \bigl(R_i + \check R_i\bigr) \oplus Q avec la forme \overline{q} somme des formes

évidentes \langle x_i, x_i x'_i\rangle sur les G_i\oplus\check G_i, et q_Q sur Q. Alors Soit \overline{D}=\{\overline{E}_1,\ldots,\overline{E}_\nu\}, avec \overline{E}_i = \sum_{1\le j\le i} R_j \subset \overline{E} . Considérons Considérons \begin{cases} \overline{R}_i = \overline{E}_i/\overline{E}_{i-1}\\ \overline{Q} = \overline{E}_\nu^{\perp}/\overline{E}_\nu \end{cases} on a donc des isom. canoniques \begin{aligned} \overline{R}_i &\xrightarrow[\ \overline{u}_i\ ]{\ \sim\ } R_i\\ \overline{Q} &\xrightarrow[\ \overline{u}_q\ ]{\ \sim\ } Q , \end{aligned} lesquelles étant compatibles avec \overline{q}, q.

Ceci posé … :

Cor. 5 L'ens. \overline{\Sigma} est canoniquement isomorphe à l'ens. des isom. (\overline{E},\overline{q},\overline{D}) \to (E,q,D) compatibles avec les \overline{u}_i, \overline{u}.

En termes schématiques, le schéma produit \underline{\overline{\Sigma}} = \prod_{1\le i\le\nu}\underline{\Sigma}_i\times\underline{\Sigma}_0 est canoniquement sauf vérif. S affine ! isomorphe au schéma \underline{\mathrm{Isom}}_{\{\overline{u}_i\},\overline{u}}\bigl((\overline{E},\overline{q},\overline{D});(E,q,D)\bigr) Ce dernier est un torseur : à gauche sous \underline{O}^{+}_D(q) (à droite sous \underline{O}^{+}_{\overline{D}}(\overline{q})). Comme \overline{\Sigma} est évidemment lisse et connexe sur S, on en conclut

Cor. 6 Le schéma en groupes \underline{O}_D(q)^{+} est lisse à fibres connexes, plus précisément, si si S est affine (car \overline{\Sigma} a une section donc \underline{O}_D(q)^{+}\simeq\overline{\Sigma}) il est isom. comme schéma (mais sans structure de groupe) à un fibré affine vectoriel \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1\le i\le\nu}\underline{\mathrm{Hom}}(R_i,E_{i-1})\oplus\underline{\mathrm{Hom}}(\overline{G},\overline{F}^{\perp})^{!}\Bigr) devant le second terme, un signe somme a été barré. où \underline{\mathrm{Hom}}(\overline{G},\overline{F}^{\perp})^{!} est le noyau de l'épi. \begin{cases} \underline{\mathrm{Hom}}(\overline{G},\overline{F}^{\perp}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(\overline{G})\\ u \longmapsto \bigl(\overline{y}\mapsto \overline{q}(\overline{y}+u(\overline{y}))\bigr) \end{cases} au-dessus de la seconde ligne, une première écriture du membre de droite, commençant par \overline{q} et se terminant par +\varphi(, est raturée.

Calculons les dimensions, posant \operatorname{rg} R_i = d_i,\qquad \operatorname{rg} Q = \rho \qquad\text{donc}\quad N = 2\overbrace{\textstyle\sum d_i}^{d}+\rho, \operatorname{rg}\overline{F} = \operatorname{rg} G = \sum d_i \overset{\text{déf}}{=} d \begin{cases} \dim_S \underline{\Sigma}_i = d_i \displaystyle\sum_{1\le j\le i-1} d_j\\[1ex] \dim_S \underline{\Sigma}_0 = \dim_S \underline{\mathrm{Hom}}(\overline{G},\overline{F}^{\perp}) - \dim_S \underline{\mathrm{Quad}}(\overline{G})\\[1ex] \phantom{\dim_S \underline{\Sigma}_0} = d(d+\rho) - \dfrac{d(d+1)}{2} = \dfrac{d(d-1)}{2}+d\rho \end{cases} après le dernier « = » de la seconde accolade, un premier début (\sum …) est raturé. \begin{aligned} \dim_S \underline{O}_D(q)^{+} &= \underbrace{\sum_{1\le j<i\le\nu} d_i d_j}_{\frac12(d^2-\sum d_i^2)} + \frac{d(d-1)}{2} + d\rho\\ &= d^2 + d\rho - \sum\frac{d_i(d_i+1)}{2} \end{aligned} dans la dernière ligne, un facteur \tfrac12 devant le signe somme est barré. \dim_S\Bigl(\prod \mathrm{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q)\Bigr) = \sum d_i^2 + \frac{\rho(\rho-1)}{2} \dim_S \underline{O}_D(q) = d^2 + d\rho + \frac{\rho(\rho-1)}{2} + \sum_i \frac{d_i(d_i-1)}{2} ici encore un facteur \tfrac12 devant le dernier signe somme est barré. \dim_S \underline{\Delta}_D(q) = \underbrace{\dim_S \underline{O}(q)}_{\frac{N(N-1)}{2} = 2d^2+d(2\rho-1)+\frac{\rho(\rho-1)}{2}} - \dim_S \underline{O}_D(q) = \text{\struck{$\frac{N(N-1)}{2}$}}

\dim_S \underline{\Delta}_H(q) = d^2 + d\rho - d - \sum\frac{d_i(d_i-1)}{2}

Par exemple \dim_S \underline{\Delta}_{\{d\}}(q) = \frac{d(d+1)}{2} + d(\rho-1) \qquad (\rho = N-2d) le signe devant d(\rho-1) est surchargé, et le « -1 » écrit par-dessus un autre signe ; la lecture « +\,d(\rho-1) » est douteuse. La formule précédente donnerait, pour \nu=1, \frac{d(d+1)}{2}+d(\rho-1), ce qui concorde. Ainsi, si q est de rg N=2n, et d=\{n\} (donc \rho=0) on trouve \frac{n(n+1)}{2}\ \text{\struck{$-$}}\ - n = \frac{n(n-1)}{2}

un trait horizontal sépare la suite.

Supposons N=2n+1 — donc on sait que \underline{O}(q) = \underline{SO}(q)\times\mu_2 ,\qquad \text{\struck{où}}\ \begin{cases} \mu_2 = \underline{O}(q)\cap\mathbb{G}_m = Z(\underline{O}(q))\\ \underline{SO}(q) = \underline{O}(q)\cap\underline{Sl}(E) \end{cases} \underline{SO}(q) donc \underline{SO}(q) donc \underline{O}(q) opère sur les \underline{\Delta}_H(q) via \mu_2 — \mu_2 opérant trivialement dans \underline{\Delta}_H — de sorte que l'on peut aussi dire que les \underline{\Delta}_H sont aussi des esp. homogènes sous \underline{SO}(q). Pour Pour \forall D\in\Delta_H, le stabilisateur est \underline{SO}_D(q) dans \underline{SO}(q), donc. On a donc \underline{SO}_D(q) = \underline{O}_D(q)\cap\underline{Sl}(E) Considérons l'hom. canonique \underline{O}_D(q) \xrightarrow{\ \alpha\ } \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q) des traits obliques fins traversent le facteur \prod\underline{Gl}(R_i), sans qu'on puisse dire s'il est biffé. (où, comme dessus, Q = E_\nu^{\perp}/E_\nu, D=\{E_1\subset\cdots\subset E_\nu\}). On constate que

l'iso commutatif dans

\begin{tikzcd}[column sep=large] \underline{O}_D(q) \arrow[r] \arrow[rr, bend right=30, "\det_E"'] & \underline{O}(q_Q) \arrow[r, "\det_Q"] & \mathbb{G}_m \end{tikzcd}

donc \underline{SO}_D(q) = \alpha^{-1}\bigl(\underline{SO}(q_Q)\bigr) . On trouve donc

Proposition \underline{SO}_D(q) est isom. On a un hom. can.

On a \underline{SO}_D(q) \xrightarrow{\ \alpha\ } \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times{} \underline{SO}(q_Q) induit un

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}] 1 \arrow[r] & \underline{O}_D(q)^{+} \arrow[r] & \underline{O}_D(q) \arrow[r] & \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q) \arrow[r] & 1\\ 1 \arrow[r] & \underline{SO}_D(q)^{+} \arrow[r] \arrow[u, "\wr"] & \underline{SO}_D(q) \arrow[r] \arrow[u, hook] & \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{SO}(q_Q) \arrow[r] \arrow[u, hook] & 1 \end{tikzcd}

donc \underline{SO}_D(q) est une extension de \prod\underline{Gl}(R_i)\times\underline{SO}(q_Q) par \underline{SO}_D(q)^{+}\simeq\underline{O}_D(q)^{+}, d'où qui est lisse et à fibres connexes (comme ext. de 2 groupes à fibres connexes ) deux lignes ici sont barrées d'un trait horizontal et de hachures obliques.

Supposons E de rg pair N=2n. Alors,

Thm (\underline{SO}(q) (=\underline{O}(q)\cap\underline{Sl}(E))) est un groupe lisse à fibres connexes.

OPS pour démontrer qu'il existe F\subset E isotrope de rg n, donc F^{\perp}/F=Q de rg 1, avec N=2n et \operatorname{rg}F=n, on attendrait Q=0 ; « de rg 1 » correspondrait au cas N=2n+1. La page porte bien « N=2n » plus haut. donc \underline{SO}(q_Q)=1, donc (si D=\{F\}) \underline{SO}_D(q) est extension de \underline{Gl}(F) (qui est connexe) par \underline{SO}_D () lisse à fibres connexes

donc est lisse à fibres connexes. D'autre part \underline{SO}(q)/\underline{SO}_D(q)\simeq\underline{\Delta}_{\{n\}}(q) est lisse à fibres géom. connexes, donc aussi \underline{SO}(q).

Corollaire Les \underline{SO}_D(q) (=B_D(q)) sont lisses à fibres connexes. On a \underline{O}_D(q)\simeq B_D(q)\times\mu_2.

Prop. (S\neq\emptyset) Soit H\subset[1,n], d=\sup H, alors \underline{SO}(q) est transitif sur \underline{\Delta}_H(q) sauf si si d\neq n, et aussi si S\neq\emptyset. Si d=n, et si \omega est une section de \underline{\mathrm{Arf}}(q) sur S, alors \underline{SO}(q) est transitif sur \underline{\Delta}^{\omega}_H(q). cette note marginale, écrite verticalement, est reliée par une accolade au paragraphe qui suit.

Supposons enfin N=2n, de sorte que \mu_2 = Z(\underline{O}(q))\subset\underline{Sl}(E). On ne va pas définir \underline{SO}(q) comme \underline{O}(q)\cap\underline{Sl}(E), à cause de car. 2. Mais on fait opérer \underline{O}(q) sur \underline{\mathrm{Arf}}(q), d'où un hom. can. \underline{O}(q) \xrightarrow{\ \varepsilon_q\ } (\mathbb{Z}/2)_S explicitement : soit \eta : (\mathbb{Z}/2)_S\to\mu_{2S} can., alors \eta\circ\varepsilon_q=\det_q (restriction de \det_E à \underline{O}(q)). Cor. si 2 inv. sur S, \underline{SO}(q)=\underline{O}(q)\cap\underline{Sl}(E). et on pose \underline{SO}(q) = \operatorname{Ker}\varepsilon de sorte que la suite exacte 1\longrightarrow \underline{SO}(q) \longrightarrow \underline{O}(q) \xrightarrow{\ \varepsilon_q\ } (\mathbb{Z}/2)_S \longrightarrow 1 Considérons comme dessus un D, d'où

\underline{O}_D(q) et 1\longrightarrow \underline{O}_D(q)^{+} \longrightarrow \underline{O}_D(q) \longrightarrow \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q) \longrightarrow 1 On vérifie alors

Proposition Posons \underline{SO}_D(q)=\underline{O}_D(q)\cap\underline{SO}, stabilisateur de D dans \underline{SO}(q). Alors S ces deux lignes sont barrées d'un trait horizontal et d'un zigzag.

Prop. La restriction \varepsilon_q\,|\,\underline{O}_D(q) est égale au composé \underline{O}_D(q) \longrightarrow \underline{O}(q_Q) \xrightarrow{\ \varepsilon_{q_Q}\ } (\mathbb{Z}/2)_S , donc \underline{SO}_D(q) est l'image inverse de \underline{SO}(q_Q) par \underline{O}_D(q)\to\underline{O}(q_Q), d'où un diagramme de suites exactes Cor. \underline{SO}_D(q) est une extension de

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}] 1 \arrow[r] & \underline{O}_D(q)^{+} \arrow[r] & \underline{O}_D(q) \arrow[r] & \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q) \arrow[r] & 1\\ 1 \arrow[r] & \underline{SO}_D(q)^{+} \arrow[r] \arrow[u, "\wr"] & \underline{SO}_D(q) \arrow[r] \arrow[u, hook] & \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{SO}(q_Q) \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

de sorte que \underline{SO}_D(q) est une ext. de \bigl(\prod\underline{Gl}(R_i)\bigr)\times\underline{SO}(q_Q) par \underline{SO}_D(q)^{+}\simeq\underline{O}_D(q)^{+}, qui est lisse à fibres conn. un trait vertical en zigzag dans la marge gauche accompagne ces deux lignes.

Thm (E,q) forme quad. rég. de rg pair 2n. Alors \underline{SO}(q) est lisse à fibres connexes.

OPS \exists F\in\Delta_n(q), d'où section \omega de \underline{\mathrm{Arf}}(q) sur S. Prenons ci-dessus D=\{F\}, F est de rg n donc Q=0. Donc par ce qui précède, \underline{SO}_D(q) est lisse à fibres connexes.

D'autre part \underline{SO}(q)/\underline{SO}_D(q)\simeq\underline{\Delta}^{\omega}_{\{n\}} est lisse à fibres connexes, donc aussi \underline{SO}(q), cqfd.

Corollaire Les \underline{SO}_D(q)=B_D(q) sont lisses à fibres connexes. la page s'arrête ici ; le reste du feuillet est blanc. Le lot se termine sur ce corollaire.