Cote n° 77, pages 141–157

Cote n° 77 · batch 8 · pages 141–157 · Transcription · Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

141la page commence au milieu d'un raisonnement venu du lot précédent. ramené : prouver que ce dernier est connexe. Or il est fibré sur $\underline{\Delta}_{\{n-1\}}$ (qui est connexe), il suffit donc de prouver

Lemme 6 $\underline{\Delta}^{\omega}_{\{n-1,n\}} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\Delta}_{\{n-1\}}$ par la projection canonique, en d'autres termes $\forall F'\in\Delta_{\{n-1\}}(E,q)$, $\exists$ exactement un $F\in\Delta^{\omega}_{\{n\}}(E,q)$ tel que $F\subset F'$. indépendant de la question de car. [On connaît les fibres de $(\underline{\Delta}_{\{n-1,n\}})|F$ au-dessus de $\underline{\mathrm{Arf}}$ […] […] iso] le « $F\subset F'$ » est écrit tel quel ; vu les rangs ($n$ et $n-1$), on attendrait $F'\subset F$.

Dém. Par le lemme 3, on sait que l'image inverse de $F'$ dans $\underline{\Delta}_{\{n,n-1\}}$ est iso à $\underline{\Delta}_1(F'^{\perp}/F')$, donc est un rev. étale de degré $2$ de $S$. sous « $F'^{\perp}/F'$ » il a écrit « rg $2$ ». Il suffit de voir que les morphismes ⌜de celui-ci⌝ dans $\underline{\mathrm{Arf}}$ commutent aux automorphismes can. de ces rev., ce qui est évident.

Une fois traité le cas de corps F, on obtient ⌜on déterminera⌝ les ens. de comp. connexes de $\underline{\Delta}_{\{n\}}$, et on passera au cas général par un argument de spécialisation (fact. de Stein …). En même temps, on définit $\underline{\mathrm{Arf}}(E,q)$ dans le cas général, par factorisation de Stein de $\underline{\Delta}_{\{n\}}$, et on verra qu'il marche pour tous les $\underline{\Delta}_H$ avec $H\ni n$.

142Récapitulons

Thm $(E,q)$ forme quadratique régulière de rg $E=\ill{}$, $N=2n$ […] ou $N=2n+1$ ($n\geq 1$, donc $N\geq 2$). Soient $H,H'\subset[1,n]$, $d=\max H$, $d'=\max H'$ (donc $0\le d,d'\le n$), considérons \[ (1)\qquad \underline{\Delta}_H(E,q) \xrightarrow{\ p_{H',H}\ } \underline{\Delta}_{H'}(E,q) \] on attend $H'\subset H$ pour que la projection (1) soit définie ; l'inclusion n'est pas écrite ici.

a) Ce morphisme est projectif, et lisse, surjectif. En particulier (prenant $H'=\emptyset$) les $\underline{\Delta}_H(E,q)\to S$ sont projectifs, lisses, surjectifs.

b) Les fibres géométriques de ce morphisme sont […] connexes, sauf dans le cas $N$ pair, $d'<d=n$, auquel cas les fibres géométriques ont ont deux comp. conn.

c) Dans le dernier cas ⌜cas $N=2n$⌝, considérons \[ \underline{\mathrm{Arf}}(E,q) = \text{schéma des comp. conn. de } \underline{\Delta}_{\{n\}}(E,q) \text{ sur } S \] qui est un rev. étale de degré $2$ de $S$. Considérons ⌜(si $H\ni\{n\}$)⌝ le facteur morphisme composé \[ \underline{\Delta}_H \longrightarrow \underline{\Delta}_{\{n\}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Arf}} \] C'est lui qui ratisfait Ce morphisme est

143(projectif lisse) $0$-connexe (donc fournit la factorisation de Stein de $\underline{\Delta}_H\to S$).

Plus généralement, si $H'\subset H$, $d'<d$, le morphisme \[ (2)\qquad \underline{\Delta}_H \longrightarrow \underline{\Delta}_{H'}\times_S \underline{\mathrm{Arf}} \] est (projectif lisse) $0$-connexe (donc fournit, cf. (1), la factorisation de Stein de $(H;H')$).lecture de la fin de la phrase douteuse : « (donc fournit cf. … de $(H;H')$) (1) » ; l'ordre exact des mots n'est pas sûr.

d) Supposons toujours $N=2n$, le morphisme \[ (3)\qquad \underline{\Delta}_{\{n,n-1\}} \longrightarrow \underline{\Delta}_{\{n-1\}} \] est étale fini de degré $2$, plus précisément le factorisation de simplexe (1) donne un iso \[ \underline{\Delta}_{\{n,n-1\}} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\Delta}_{\{n-1\}}\times \underline{\mathrm{Arf}} \qquad (\text{pour } N=2n). \]

e) Soit […] \[ (4)\qquad \underline{\mathrm{Arf}}' = \underline{M}\bigl((-1)^n\delta(q)^{-1}\bigr), \] le sous-schéma de $\underline{\det} E$ défini par $\omega^{\otimes 2}=(-1)^n\delta(q)^{-1}$. Je trouve ⌜existe⌝ un morphisme unique \[ (5)\qquad \underline{\mathrm{Arf}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Arf}}' \] tel que le composé avec $\underline{\Delta}_{\{n\}}\to\underline{\mathrm{Arf}}$ soit \[ (6)\qquad \begin{cases} \underline{\Delta}_{\{n\}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Arf}}' \\ F \longmapsto \omega_F \in \underline{\det}(E)^{*} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\underbrace{\underline{\det} F\otimes\underline{\det}\check F}_{\underline{O}_S},\ \underline{\det} E\bigr) \end{cases} \]

144déduit de la structure d'extension. Cet homomorphisme (5) est compatible aux opérations de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, et définit donc un iso \[ (7)\qquad \underline{\mathrm{Arf}}' \simeq \underline{\mathrm{Arf}} \overset{(\mathbb{Z}/2)_S}{\wedge} \mu_{2,S} \] En particulier, si $2$ inversible sur $S$, on a un iso \[ \underline{\mathrm{Arf}} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Arf}}' = \underline{M}\bigl((-1)^n\delta(q^{*})^{-1}\bigr) \] f) […] […] […] […] […] $\underline{O}(q)$

Application aux groupes orthogonaux

Théorème a) Supposons $N=2n+1$. Alors \[ \underline{O}(q) \simeq \mu_2\times\underline{SO}(q) \qquad (\mu_2 = \text{\uncertain{centre}}) \] et $\underline{SO}(q)$ est lisse à fibres connexes. b) $\underline{SO}(q)$ $\underline{SO}(q)$ opère sur chaque $\underline{\Delta}_H(E,q)$ via $\underline{SO}(q)\simeq\underline{O}(q)/\mu_2$, et stabilise un sp. homogène.$\to \underline{SO}(q)$, le stabilisateur d'un drapeau est un sous-groupe lisse à fibres connexes. La dimension relative […] […] […] produit […] : […] […] […] […] en cat. par ailleurs, […] […] […] ;

Cor. La projection $\underline{O}(q)\to\mu_2$ est induite par $\det : \underline{O}(q)\to\mathbb{G}_m$.

[…] […] […] […] […] […] […] $\underline{SO}$, $\underline{O}(q)$ qui […] […] $F\in\Delta_{\{n\}}(E,q)$.

145la page entière est barrée de grands traits obliques ; on la transcrit telle qu'elle se lit. Alors $SO(q)$ est fibré sur [Considérons \[ \begin{cases} \underline{SO}(q) \longrightarrow \underline{\Delta}_{\{n\}} \\ u \longmapsto u(F) \end{cases} \] il s'agit de prouver que ce morphisme est lisse à fibres géom. connexes. Plus généralement] Unicité

[$D\in\underline{\Delta}_H(E)$ \[ \begin{cases} \underline{SO}(q) \longrightarrow \underline{\Delta}_H \\ u \longmapsto u(D) \end{cases} \] est lisse à fibres géom. connexes (dans $\underline{\Delta}_H$ espace homogène sous $\underline{SO}(q)$)]. Par transitivité OPS $H=[1,n]$.

Comme $\underline{SO}(q)$ […] opère transitivement sur $\underline{\Delta}_H$, $\underline{O}(q)$ […] […]. […] $D=\{E_1\subset\cdots\subset E_n\subset E\}$ […] $\xi=1$. (cf. […] […] […])

On veut ainsi […] ([…] […]) […] : une base standard $e_0, e_1,\ldots,e_n, e_1^{*},\ldots,e_n^{*}$, $e_0$ $E_i$ engendré par $e_1,\ldots,e_i$. A[…] Si $D'=(E'_1\subset\cdots\subset E'_n)\in\Delta_{[1,n]}$ […] $e'_0, e'_1,\ldots,e'_n, e'^{*}_1,\ldots,e'^{*}_n$. Il y a un isomorphisme (unique) de $(E,q)$ \[ e_i\mapsto e'_i,\qquad e_i^{*}\mapsto e'^{*}_i , \] Il donc

146Proposition $(E,q)$ forme quadratique régulière [$\varphi$ forme bil. associée], sur un schéma $S$, $F$ sous-fibré ⌜(Module strict)⌝ tot. isotrope de $E$.

a) L'hom. composé \[ E \xrightarrow[\text{défini par }\varphi]{\ \psi\ } E^{\vee} \xrightarrow{\ \text{restr}\ } F^{\vee} \] est épi, donc son noyau $F^{\perp}$ est un sous-fibré Module strict de $E$, dont la formation commute aux changements de base.

b) [Soit $G=E/F^{\perp}$] La forme $\varphi$ induit un accouplement \[ F\times G \longrightarrow \underline{O}_S \] qui est une dualité, et induit des isom. \[ G \xrightarrow{\ \sim\ } \check F,\qquad F \xrightarrow{\ \sim\ } \check G . \]

à partir d'ici, la suite de la page (c)) est barrée de deux grands traits croisés. c) Soit $\underline{\mathrm{Split}}(E,F^{\perp})$ ⌜ou $\underline{\mathrm{Scind}}$,⌝ (le faisceau des scindages de la suite exacte \[ 0\longrightarrow F^{\perp} \longrightarrow E \longrightarrow G \longrightarrow 0, \qquad F\subset F^{\perp} \] qui est un torseur sous $\underline{\mathrm{Hom}}(G,F^{\perp})$, ⌜ou $\underline{\mathrm{Splitisot}}$,⌝ soit $\underline{\mathrm{Splitisot}}(E,F^{\perp})$ le sous-faisceau des scindages […] isotropes, i.e. tels que $\theta(G)$ soit tot. isotrope dans $E$, […] \[ \underline{\mathrm{Splitisot}}(E,F^{\perp}) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Split}}(E,F^{\perp}). \] Considérons d'autre part la suite exacte \[ 0\longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(G,F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(G,F^{\perp}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(G,Q) \longrightarrow 0 \] où \[ Q = F^{\perp}/F . \]

147c) Soit ⌜d) Soit⌝ $Q=F^{\perp}/F$, alors $\varphi$ induit une forme quadratique $q_Q$ sur $Q$, et la forme bil. associée ⌜celle-ci est régulière⌝. Soit […] ⌜forme⌝ \[ \theta : G \longrightarrow E \] un scindage de la suite exacte \[ (*)\qquad 0\longrightarrow F^{\perp} \longrightarrow E \longrightarrow G \longrightarrow 0 \] et considérons la forme quadratique \[ q_\theta : F\times G \longrightarrow \underline{O}_S \] définie par \[ q_\theta(x,y) = q\bigl(x+\theta(y)\bigr) = q(\theta(y)) + \langle y,x\rangle . \] La forme bilinéaire associée est \[ \begin{aligned} \varphi_\theta(x,y;x',y') &= \varphi(x+\theta y,\theta y') + \varphi(x',\theta y)\\ &= \varphi(\theta y,\theta y') + \langle y',x\rangle + \langle y,x'\rangle \end{aligned} \] et elle est non dégénérée, donc $q_\theta$ est une et la forme $q|Q_\theta$ est régulière, [NB $Q_\theta\simeq Q=F^{\perp}/F$, et la forme $q_Q$ déduite de $q_\theta$ ne dépend pas du choix de $\theta$ — c'est trivial : […] […] […] …] forme quadratique régulière (de rg pair). Si $Q_\theta$ est l'orthogonal de $F+\theta(G)$, on a donc $E \simeq (F\oplus\theta(G))\oplus Q_\theta$.

d) Supposons $S$ affine, ce qui garantit l'existence d'un $\theta$…. Alors il existe (pour $\theta$ fixé) \[ u : G \longrightarrow F \] tel que, posant \[ \theta_u = \theta + u \] on ait \[ q\circ\theta_u = 0 \] NB condition qui équivaut à : $(q\circ\theta)(y)+\langle y,u(y)\rangle = 0$, i.e. $B_u(y,y) = -(q\circ\theta)(y)$, où $B_u$ est la forme bil. associée à $u$. i.e. $\theta_u(G)$ soit tot. isotrope dans $E$ (scindage isotrope). L'ensemble des $u\in\underline{\mathrm{Hom}}($ \[ u \in \mathrm{Hom}(G,F) \simeq \mathrm{Bil}(G,G) \qquad (F\simeq\check G) \] tels que $q\circ$ $\theta_u$ soit isotrope, est un torseur sous le sous-groupe $\mathrm{Alt}(G,G)$ de $\mathrm{Bil}(G,G)$. Il[…] Indépendamment du choix d'un $\theta$)

148l'ensemble $\mathrm{Scind\,isot}(E,F^{\perp})$ des scindages isotropes de $(*)$ est stable par les opérations de \[ \mathrm{Alt}(G,G) \hookrightarrow \mathrm{Bil}(G,G) \simeq \mathrm{Hom}(G,F) \hookrightarrow \mathrm{Hom}(G,F^{\perp}) \] et le quotient $\mathrm{Scind\,isot}/\mathrm{Alt}(G,G)$ est isomorphe (par la flèche canonique) à $\mathrm{Scind}/\underbrace{\mathrm{Bil}(G,G)}_{\mathrm{Hom}(G,F)}$ (qui est lui-même un torseur sous $\mathrm{Hom}(G,Q)$), où $Q=F^{\perp}/F$ …

e) Soit $\theta$ un scindage isotrope de $(*)$. Alors $(E,q)$ est somme directe quadratique de $F+\underbrace{\theta(G)}_{\check F}$, décomposé où $q$ est somme forme décomposée \[ q(x,x') = \langle x,x'\rangle , \] et de $Q_\theta$.

Corollaire Considérons un drapeau \[ D :\ 0 \subsetneq E_1 \subsetneq E_2 \subset\cdots\subsetneq E_\nu = F \qquad E , \] d'où un drapeau complété \[ 0\subsetneq E_1 \subset\cdots\subsetneq E_\nu = F \subset F^{\perp} \subsetneq E_{\nu-1}^{\perp} \subsetneq\cdots\subsetneq E_1^{\perp} \subsetneq F \] le dernier terme se lit $F$ sur la page, là où l'on attend $E$. [NB on peut avoir $F=F^{\perp}$ donc $Q=F^{\perp}/F=0$ …]. Un scindage isotrope de $(*)$ définit alors une structure scindée dans $E$ identifié à : $F\oplus\check F\oplus Q$.

149Corollaire 1 Soient $(E,q)$, $(E',q')$ formes quadr. rég. de même type [$N=2n$ ou $N=2n+1$] sur $S$, $F\subset E$ et \[ D\in\Delta_H(E,q),\qquad D'\in\Delta_H(E',q') , \] $H\subset[1,n]$, enfin $D=\{E_1,\ldots,E_\nu\}$, $D'=\{E'_1,\ldots,E'_\nu\}$. Supposons, et supposons Posons $Q=E_\nu^{\perp}/E_\nu$, $Q'=E'^{\perp}_\nu/E'_\nu$, et soient $q_\Theta$ et $q_{\Theta'}$ […] […] […] […] sur $S$. Si $q_\Theta\simeq q_{\Theta'}$, ⌜et si $R_i=E_i/E_{i-1}\simeq R'_i=E'_i/E'_{i-1}$,⌝ et si $S$ est affine, alors […] \[ \exists\, u : (E,q) \xrightarrow{\ \sim\ } (E',q') \quad\text{tel que}\quad u(D)=D' . \] On en conclut

Corollaire 2 Il existe loc. (ét) un isom. \[ u : (E,q) \longrightarrow (E',q') \quad\text{tel que}\quad u(D)=D' . \]

Donc,

Corollaire 3 $\underline{\Delta}_H(E,q)$ est un esp. homogène (ét) sous $\underline{\mathrm{Aut}}(E,q)=\underline{O}(q)$. En d'autres termes, si $D\in\Delta_H(E,q)$, alors \[ \begin{cases} \underline{O}(q) \longrightarrow \underline{\Delta}_H \\ u \longmapsto u(D) \end{cases} \] est un épim. (ét), identification définissant un iso \[ \underline{\Delta}_H \xleftarrow{\ \sim\ } \underline{O}(q)/\underline{\mathrm{Stab}}_D(q) \] où $\underline{\mathrm{Stab}}_D(q)$ est le stabilisateur de $D$ dans $\underline{O}(q)$.

150Corollaire

Nous pouvons préciser le cor. 1 ainsi :

Cor. 4 Sous les conditions du cor. 1, posons $R_i$ $1\le i\le\nu$ donnons […] pour $R_i$ $1\le i\le\nu$ […] […] \[ R_i = E_i/E_{i-1},\qquad R'_i = E'_i/E'_{i-1}\qquad (E_0=0,\ E'_0=0) \] et donnons-nous les isom. \[ \begin{aligned} u_i &: R_i \xrightarrow{\ \sim\ } R'_i\\ u_q &: Q \xrightarrow{\ \sim\ } Q' \end{aligned} \] ⌜(ce dernier)⌝ orthogonal pour $q$, $q'$. Alors, il existe ⌜si $S$ est affine,⌝ a) il existe ⌜(ici iso.)⌝ \[ u : (E,q) \longrightarrow (E',q') \] tel que $u(D)=D'$, et que $u$ induise les $u_i$ et $u_q$.

b) L'ens. de ces $u$ est ⌜(évident)⌝ un torseur à dr. sous le sous-groupe $\underline{O}_D(q)^{+}$ des $\to\ \underline{O}_D(q)$ ⌜$\subset$⌝ $\underline{\mathrm{Aut}}(E,q,D)$ $= \underline{O}_D(q)(S)$, formé des automorphismes qui induisent l'identité sur les $G_i$ et sur $Q$.

Considérons d'autre ⌜Considérons d'autre part⌝ l'ens. des produit \[ \overline{\Sigma} = \prod_{1\le i\le\nu} \Sigma_i \times \Sigma_0 \] où $\Sigma_i$ est l'ens. des scindages de \[ 0\longrightarrow E_{i-1} \longrightarrow E_i \longrightarrow R_i \longrightarrow 0 \] et $\Sigma_0$ l'ens. des scindages isotropes de \[ 0\longrightarrow E_\nu \longrightarrow E_\nu^{\perp} \longrightarrow Q \longrightarrow 0 . \] Considérons d'autre part ⌜[…]⌝ \[ \overline{E} = \bigoplus_i \bigl(R_i + \check R_i\bigr) \oplus Q \] avec la forme $\overline{q}$ somme des formes

151évidentes $\langle x_i,$ $x_i$ $x'_i\rangle$ sur les $G_i\oplus\check G_i$, et $q_Q$ sur $Q$. Alors Soit $\overline{D}=\{\overline{E}_1,\ldots,\overline{E}_\nu\}$, avec \[ \overline{E}_i = \sum_{1\le j\le i} R_j \subset \overline{E} . \] Considérons Considérons \[ \begin{cases} \overline{R}_i = \overline{E}_i/\overline{E}_{i-1}\\ \overline{Q} = \overline{E}_\nu^{\perp}/\overline{E}_\nu \end{cases} \] on a donc des isom. canoniques \[ \begin{aligned} \overline{R}_i &\xrightarrow[\ \overline{u}_i\ ]{\ \sim\ } R_i\\ \overline{Q} &\xrightarrow[\ \overline{u}_q\ ]{\ \sim\ } Q , \end{aligned} \] lesquelles étant compatibles avec $\overline{q}$, $q$.

Ceci posé … :

Cor. 5 L'ens. $\overline{\Sigma}$ est canoniquement isomorphe à l'ens. des isom. $(\overline{E},\overline{q},\overline{D}) \to (E,q,D)$ compatibles avec les $\overline{u}_i$, $\overline{u}$.

En termes schématiques, le schéma produit $\underline{\overline{\Sigma}} = \prod_{1\le i\le\nu}\underline{\Sigma}_i\times\underline{\Sigma}_0$ est canoniquement sauf vérif. $S$ affine ! isomorphe au schéma \[ \underline{\mathrm{Isom}}_{\{\overline{u}_i\},\overline{u}}\bigl((\overline{E},\overline{q},\overline{D});(E,q,D)\bigr) \] Ce dernier est un torseur : à gauche sous $\underline{O}^{+}_D(q)$ (à droite sous $\underline{O}^{+}_{\overline{D}}(\overline{q})$). Comme $\overline{\Sigma}$ est évidemment lisse et connexe sur $S$, on en conclut

152Cor. 6 Le ⌜schéma en⌝ groupes $\underline{O}_D(q)^{+}$ est lisse à fibres connexes, plus précisément, si ⌜si⌝ $S$ est affine (car $\overline{\Sigma}$ a une section donc $\underline{O}_D(q)^{+}\simeq\overline{\Sigma}$) il est isom. comme schéma (mais sans structure de groupe) à un fibré affine vectoriel \[ \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1\le i\le\nu}\underline{\mathrm{Hom}}(R_i,E_{i-1})\oplus\underline{\mathrm{Hom}}(\overline{G},\overline{F}^{\perp})^{!}\Bigr) \] devant le second terme, un signe somme a été barré. où $\underline{\mathrm{Hom}}(\overline{G},\overline{F}^{\perp})^{!}$ est le noyau de l'épi. \[ \begin{cases} \underline{\mathrm{Hom}}(\overline{G},\overline{F}^{\perp}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(\overline{G})\\ u \longmapsto \bigl(\overline{y}\mapsto \overline{q}(\overline{y}+u(\overline{y}))\bigr) \end{cases} \] au-dessus de la seconde ligne, une première écriture du membre de droite, commençant par $\overline{q}$ et se terminant par $+\varphi($, est raturée.

Calculons les dimensions, posant \[ \operatorname{rg} R_i = d_i,\qquad \operatorname{rg} Q = \rho \qquad\text{donc}\quad N = 2\overbrace{\textstyle\sum d_i}^{d}+\rho, \] \[ \operatorname{rg}\overline{F} = \operatorname{rg} G = \sum d_i \overset{\text{déf}}{=} d \] \[ \begin{cases} \dim_S \underline{\Sigma}_i = d_i \displaystyle\sum_{1\le j\le i-1} d_j\\[1ex] \dim_S \underline{\Sigma}_0 = \dim_S \underline{\mathrm{Hom}}(\overline{G},\overline{F}^{\perp}) - \dim_S \underline{\mathrm{Quad}}(\overline{G})\\[1ex] \phantom{\dim_S \underline{\Sigma}_0} = d(d+\rho) - \dfrac{d(d+1)}{2} = \dfrac{d(d-1)}{2}+d\rho \end{cases} \] après le dernier « $=$ » de la seconde accolade, un premier début ($\sum$ …) est raturé. \[ \begin{aligned} \dim_S \underline{O}_D(q)^{+} &= \underbrace{\sum_{1\le j<i\le\nu} d_i d_j}_{\frac12(d^2-\sum d_i^2)} + \frac{d(d-1)}{2} + d\rho\\ &= d^2 + d\rho - \sum\frac{d_i(d_i+1)}{2} \end{aligned} \] dans la dernière ligne, un facteur $\tfrac12$ devant le signe somme est barré. \[ \dim_S\Bigl(\prod \mathrm{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q)\Bigr) = \sum d_i^2 + \frac{\rho(\rho-1)}{2} \] \[ \dim_S \underline{O}_D(q) = d^2 + d\rho + \frac{\rho(\rho-1)}{2} + \sum_i \frac{d_i(d_i-1)}{2} \] ici encore un facteur $\tfrac12$ devant le dernier signe somme est barré. \[ \dim_S \underline{\Delta}_D(q) = \underbrace{\dim_S \underline{O}(q)}_{\frac{N(N-1)}{2} = 2d^2+d(2\rho-1)+\frac{\rho(\rho-1)}{2}} - \dim_S \underline{O}_D(q) = \text{\struck{$\frac{N(N-1)}{2}$}} \]

153\[ \dim_S \underline{\Delta}_H(q) = d^2 + d\rho - d - \sum\frac{d_i(d_i-1)}{2} \]

Par exemple \[ \dim_S \underline{\Delta}_{\{d\}}(q) = \frac{d(d+1)}{2} + d(\rho-1) \qquad (\rho = N-2d) \] le signe devant $d(\rho-1)$ est surchargé, et le « $-1$ » écrit par-dessus un autre signe ; la lecture « $+\,d(\rho-1)$ » est douteuse. La formule précédente donnerait, pour $\nu=1$, $\frac{d(d+1)}{2}+d(\rho-1)$, ce qui concorde. Ainsi, si $q$ est de rg $N=2n$, et $d=\{n\}$ ⌜(donc $\rho=0$)⌝ on trouve \[ \frac{n(n+1)}{2}\ \text{\struck{$-$}}\ - n = \frac{n(n-1)}{2} \]

un trait horizontal sépare la suite.

Supposons $N=2n+1$ — donc on sait que \[ \underline{O}(q) = \underline{SO}(q)\times\mu_2 ,\qquad \text{\struck{où}}\ \begin{cases} \mu_2 = \underline{O}(q)\cap\mathbb{G}_m = Z(\underline{O}(q))\\ \underline{SO}(q) = \underline{O}(q)\cap\underline{Sl}(E) \end{cases} \] […] $\underline{SO}(q)$ donc $\underline{SO}(q)$ ⌜donc⌝ $\underline{O}(q)$ opère sur les $\underline{\Delta}_H(q)$ via $\mu_2$ — $\mu_2$ opérant trivialement dans $\underline{\Delta}_H$ — de sorte que l'on peut aussi dire que les $\underline{\Delta}_H$ sont aussi des esp. homogènes sous $\underline{SO}(q)$. Pour […] Pour $\forall D\in\Delta_H$, le stabilisateur ⌜est $\underline{SO}_D(q)$⌝ dans $\underline{SO}(q)$, donc. On a donc \[ \underline{SO}_D(q) = \underline{O}_D(q)\cap\underline{Sl}(E) \] Considérons l'hom. canonique \[ \underline{O}_D(q) \xrightarrow{\ \alpha\ } \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q) \] des traits obliques fins traversent le facteur $\prod\underline{Gl}(R_i)$, sans qu'on puisse dire s'il est biffé. (où, comme dessus, $Q = E_\nu^{\perp}/E_\nu$, $D=\{E_1\subset\cdots\subset E_\nu\}$). On constate que

154l'iso commutatif dans

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
\underline{O}_D(q) \arrow[r] \arrow[rr, bend right=30, "\det_E"'] & \underline{O}(q_Q) \arrow[r, "\det_Q"] & \mathbb{G}_m
\end{tikzcd}

donc \[ \underline{SO}_D(q) = \alpha^{-1}\bigl(\underline{SO}(q_Q)\bigr) . \] On trouve donc

Proposition $\underline{SO}_D(q)$ est isom. ⌜On a un hom. can.⌝

On a $\underline{SO}_D(q) \xrightarrow{\ \alpha\ }$ $\prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times{}$ $\underline{SO}(q_Q)$ induit un

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}]
1 \arrow[r] & \underline{O}_D(q)^{+} \arrow[r] & \underline{O}_D(q) \arrow[r] & \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q) \arrow[r] & 1\\
1 \arrow[r] & \underline{SO}_D(q)^{+} \arrow[r] \arrow[u, "\wr"] & \underline{SO}_D(q) \arrow[r] \arrow[u, hook] & \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{SO}(q_Q) \arrow[r] \arrow[u, hook] & 1
\end{tikzcd}

donc $\underline{SO}_D(q)$ est une extension de $\prod\underline{Gl}(R_i)\times\underline{SO}(q_Q)$ par $\underline{SO}_D(q)^{+}\simeq\underline{O}_D(q)^{+}$, d'où ⌜qui est⌝ lisse et à fibres connexes (comme […] […] ext. de $2$ groupes […] […] à fibres connexes […] […]) deux lignes ici sont barrées d'un trait horizontal et de hachures obliques.

Supposons $E$ de rg pair $N=2n$. Alors,

Thm ($\underline{SO}(q)$ ($=\underline{O}(q)\cap\underline{Sl}(E)$)) est un groupe lisse à fibres connexes.

OPS pour démontrer qu'il existe $F\subset E$ […] isotrope de rg $n$, donc $F^{\perp}/F=Q$ de rg $1$, avec $N=2n$ et $\operatorname{rg}F=n$, on attendrait $Q=0$ ; « de rg $1$ » correspondrait au cas $N=2n+1$. La page porte bien « $N=2n$ » plus haut. donc $\underline{SO}(q_Q)=1$, donc (si $D=\{F\}$) $\underline{SO}_D(q)$ est extension de […] $\underline{Gl}(F)$ (qui est connexe) par $\underline{SO}_D$ ([…]) lisse à fibres connexes

155donc est lisse à fibres connexes. D'autre part $\underline{SO}(q)/\underline{SO}_D(q)\simeq\underline{\Delta}_{\{n\}}(q)$ est lisse à fibres géom. connexes, donc aussi $\underline{SO}(q)$.

Corollaire Les $\underline{SO}_D(q)$ ⌜($=B_D(q)$)⌝ sont lisses à fibres connexes. On a $\underline{O}_D(q)\simeq B_D(q)\times\mu_2$.

Prop. ($S\neq\emptyset$) Soit $H\subset[1,n]$, ⌜$d=\sup H$,⌝ alors $\underline{SO}(q)$ est transitif sur $\underline{\Delta}_H(q)$ sauf si […] si $d\neq n$, et aussi si $S\neq\emptyset$. Si $d=n$, et si $\omega$ est une section de $\underline{\mathrm{Arf}}(q)$ sur $S$, alors $\underline{SO}(q)$ est transitif sur $\underline{\Delta}^{\omega}_H(q)$. cette note marginale, écrite verticalement, est reliée par une accolade au paragraphe qui suit.

Supposons enfin $N=2n$, de sorte que $\mu_2 = Z(\underline{O}(q))\subset\underline{Sl}(E)$. On ne va pas définir $\underline{SO}(q)$ comme $\underline{O}(q)\cap\underline{Sl}(E)$, à cause de car. $2$. Mais on fait opérer […] […] $\underline{O}(q)$ sur $\underline{\mathrm{Arf}}(q)$, d'où un hom. can. \[ \underline{O}(q) \xrightarrow{\ \varepsilon_q\ } (\mathbb{Z}/2)_S \] explicitement : soit $\eta : (\mathbb{Z}/2)_S\to\mu_{2S}$ can., alors $\eta\circ\varepsilon_q=\det_q$ (restriction de $\det_E$ à $\underline{O}(q)$). Cor. si $2$ inv. sur $S$, $\underline{SO}(q)=\underline{O}(q)\cap\underline{Sl}(E)$. et on pose \[ \underline{SO}(q) = \operatorname{Ker}\varepsilon \] de sorte que la suite exacte \[ 1\longrightarrow \underline{SO}(q) \longrightarrow \underline{O}(q) \xrightarrow{\ \varepsilon_q\ } (\mathbb{Z}/2)_S \longrightarrow 1 \] Considérons comme dessus un $D$, d'où

156$\underline{O}_D(q)$ et \[ 1\longrightarrow \underline{O}_D(q)^{+} \longrightarrow \underline{O}_D(q) \longrightarrow \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q) \longrightarrow 1 \] On vérifie alors

Proposition Posons $\underline{SO}_D(q)=\underline{O}_D(q)\cap\underline{SO}$, stabilisateur de $D$ dans $\underline{SO}(q)$. Alors $S$ ces deux lignes sont barrées d'un trait horizontal et d'un zigzag.

Prop. La restriction $\varepsilon_q\,|\,\underline{O}_D(q)$ est égale au composé \[ \underline{O}_D(q) \longrightarrow \underline{O}(q_Q) \xrightarrow{\ \varepsilon_{q_Q}\ } (\mathbb{Z}/2)_S , \] donc $\underline{SO}_D(q)$ est l'image inverse de $\underline{SO}(q_Q)$ par $\underline{O}_D(q)\to\underline{O}(q_Q)$, d'où un diagramme de suites exactes Cor. $\underline{SO}_D(q)$ est une extension de […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}]
1 \arrow[r] & \underline{O}_D(q)^{+} \arrow[r] & \underline{O}_D(q) \arrow[r] & \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{O}(q_Q) \arrow[r] & 1\\
1 \arrow[r] & \underline{SO}_D(q)^{+} \arrow[r] \arrow[u, "\wr"] & \underline{SO}_D(q) \arrow[r] \arrow[u, hook] & \prod_{1\le i\le\nu}\underline{Gl}(R_i)\times\underline{SO}(q_Q) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

de sorte que $\underline{SO}_D(q)$ est une ext. de $\bigl(\prod\underline{Gl}(R_i)\bigr)\times\underline{SO}(q_Q)$ par $\underline{SO}_D(q)^{+}\simeq\underline{O}_D(q)^{+}$, qui est lisse à fibres conn. un trait vertical en zigzag dans la marge gauche accompagne ces deux lignes.

Thm $(E,q)$ forme quad. rég. de rg pair $2n$. Alors $\underline{SO}(q)$ est lisse à fibres connexes.

OPS $\exists F\in\Delta_n(q)$, d'où section $\omega$ de $\underline{\mathrm{Arf}}(q)$ sur $S$. Prenons ci-dessus $D=\{F\}$, […] $F$ est de rg $n$ donc $Q=0$. Donc par ce qui précède, $\underline{SO}_D(q)$ est lisse à fibres connexes.

157D'autre part $\underline{SO}(q)/\underline{SO}_D(q)\simeq\underline{\Delta}^{\omega}_{\{n\}}$ est lisse à fibres connexes, donc aussi $\underline{SO}(q)$, cqfd.

Corollaire Les $\underline{SO}_D(q)=B_D(q)$ sont lisses à fibres connexes. la page s'arrête ici ; le reste du feuillet est blanc. Le lot se termine sur ce corollaire.