Fonds Grothendieck, cote n° 77, pages 121–140

la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée avant ce lot ; la numérotation (13)–(18) continue celle des pages précédentes lisse s'exprime par la condition que \text{(13)} \qquad \delta'(q) \in \Gamma\bigl(S, (\det T)^{\otimes -2}\bigr) \qquad (\text{discr. \struck{divisé}}) le mot « divisé » est souligné puis biffé d'un trait soit inversible, puis par la condition que D \xrightarrow{\ \pi \mid D\ } \underline{O}_S soit un iso, i.e. \text{(14)} \qquad T \simeq V \oplus D . Ceci donne encore une section a canonique de D, définie par la condition que \text{(15)} \qquad \pi(a) = 1 \qquad (\ill{} \text{ pour } 2\,!) et on peut donc normaliser q par la condition que \text{(16)} \qquad q(a) = 1 de sorte que l'on a encore \text{(17)} \qquad q(x,t) = q_0(x) + t^2 et Q se trouve défini par l'équation \text{(18)} \qquad q_0(x) + 1 = 0 \quad \text{i.e.} \quad q_0(x) = -1 \qquad \bigl(x \in \Gamma(-,E)\bigr) où E est identifié à V grâce à (14).

D'où ici l'équivalence de cat. entre quadriques affines et régulières de rg n et formes quadratiques ~~lisses~~ de rang n-1 munies,

sans restriction à la car. \neq 2.

2 On va définir une réflexion canonique dans P, ayant H comme hyperplan de pts fixes, et invariant Q. Une pareille réflexion ~~d'une autre~~ ayant H comme hyperplan ~~fixe~~ induisant E, donc est associée : automorphisme de la structure d'extension T de \underline{O}_S par V, et induisant l'identité sur \underline{O}_S, et une homothétie \lambda\,\mathrm{id}_V sur V, ou encore (quitte à diviser par \lambda) par un auto. de la structure d'ext. induisant l'identité sur V, donc de la forme \sigma = \mathrm{id} + v où v est nulle sur V, donc de la forme v(x) = \pi(x)\cdot c \qquad \text{i.e.} \qquad v = \pi \otimes c où \pi \in \Gamma(S, \check{T}) est la forme T \to \underline{O}_S définissant la structure d'extension, c une section quelc. de T. Écrivons que \sigma laisse invariant q mod homothétie, on trouve \begin{aligned} q \circ \sigma(x) &= q(x + vx) = q\bigl(x + \pi(x)\cdot c\bigr) \\ &= q(x) + \pi(x)^2 q(c) + \pi(x)\, \varphi(x,c) \end{aligned} On veut trouver \lambda \in \Gamma(S, \mathbb{G}_m) tel que ~~q\,u(x) = \lambda q(x)~~ q\sigma(x) = \lambda q(x) \qquad \forall x \in \Gamma(-,T) la formule biffée « q\,u(x) = \lambda q(x) » précède, sur la même ligne, la formule retenue

i.e. (\lambda - 1) q = \pi\bigl(q(c)\pi + \psi(c)\bigr) \qquad \bigl(\psi(c) \in \Gamma(S, \check{T}),\ \psi(c)(x) = \varphi(c,x)\bigr) Comme q est ~~non dégénérée~~ lisse en ttes fibres, ceci montre, si \operatorname{rg} T \geqslant 3, i.e. \operatorname{rg} E \geqslant 2, que \lambda - 1 est nul en ttes fibres (i.e. que \lambda - 1 dans chaque nilpotent), et ~~que~~ comme \pi est ~~\neq 0~~ en ttes fibres, que dans \psi(c) + q(c)\pi = 0 en ttes fibres, … Regardons les solutions correspondant à \lambda = 1, i.e. q \circ \sigma = q qui équivaut à \text{(19)} \qquad q(c)\pi + \psi(c) = 0 On peut prendre p. ex. c = -a (dans le cas E de rg ~~impair~~, qui nous intéresse surtout) \text{(20)} \qquad \sigma(x) = x - \pi(x)\, a \qquad (\operatorname{rg} E \text{ pair}) qui est de plus une réflexion i.e. \text{(21)} \qquad \sigma^2 = \mathrm{id}_T (car ~~\sigma^2 =~~ \pi(a) = 1 …) En fait, c'est la seule solution vérifiant \neq \mathrm{id}, ~~dans~~ car de (19) on tire \psi(c) = \lambda\pi (\lambda = -q(c)) i.e. \psi(c) = \lambda\psi(a) = \psi(\lambda a) (comme \psi est iso) c = \lambda a, et il faut \lambda = -q(c) i.e. \lambda = -\lambda^2 i.e. \lambda(\lambda + 1) = 0, ce qui conduit \lambda nul) donc \lambda = -1 ….

On dit que \sigma est la symétrie canonique de la quadrique affine régulière.

Prop. Il existe une unique réflexion de P admettant H comme hyperplan de pts fixes et laissant Q invariante. Sa restriction à T est donnée par (20) \sigma x = x - \pi(x)\, a i.e. \sigma = \mathrm{id} - \pi \otimes a note marginale écrite verticalement le long du bord gauche

petit feuillet découpé ; il donne un exemple de la situation des pages précédentes, les matrices 2 \times 2 avec le déterminant \left\{ \begin{aligned} T &= M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right\} \\ q &= \det = ad - bc \end{aligned} \right. \qquad (b + b',\ c + c') devant « \det », un mot court biffé, illisible ; « (b+b', c+c') » est une lecture douteuse a = \underline{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \varphi(a,b,c,d;\, a',b',c',d') = bc' + cb' - (ad' + da') devant cette formule, un début « \varphi(x) » est biffé \begin{aligned} \pi(a,b,c,d) &= \varphi(a,b,c,d;\, 1,0,0,1) = -(a+d) \\ &= -\operatorname{Tr}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{aligned} attention au signe ! V = \gamma M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \right\} le symbole lu \gamma devant M est douteux ; le sens demande les matrices de trace nulle. Le « + » devant (a+d) est surchargé en « - ». En haut du feuillet, tête-bêche, un fragment coupé par la déchirure : « \mathbb{Z}/2 \cdot \mathbb{C}P(1) \times \mathbb{C}P(1) », lecture douteuse

Si T est de rang impair, donc T \simeq V \oplus \underline{O}_S …, on définit \sigma par \text{(22)} \qquad \sigma(x) = x - 2\pi(x)\, a le numéro (22) est lu sur un chiffre surchargé on trouve, sur E, par la symétrie par rapport à l'origine. On aura encore (21).

3. Schéma des automorphismes d'une quadrique affine birégulière

titre de sa main, souligné ; « birégulière » est ajouté au-dessus de la ligne

Soit G = \underline{\mathrm{Aut}}(P, H, Q) = \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{aff}}(E, Q \cap E) ~~\simeq \mathrm{Aut}(T, \pi, a, q)~~

~~\bigl(\pi \in \Gamma(S, \check{T}),\ a \in \Gamma(S,T),\ q(a) = 1,\ \varphi(a,x) =~~

ces deux lignes sont biffées Dans le cas où T de rang impair i.e. E de rang pair, on a G \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(V, q_0) \qquad V \text{ de rang pair} et désignant par G^{+} le sous-schéma en groupes qui opère trivialement sur \det V, on trouve ~~G \simeq G^{+} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}~~ 1 \to G^{+} \to G \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 1 . G \simeq \mathrm{Aut}(T, q, a) Si T de rang pair, on va montrer que un iso canonique G \simeq G^{0} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S où G^{0} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Aut}}^{+}(V, q_0), \qquad (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S \text{ engendré par } \sigma .

Formes quadratiques. Fibrés en drapeaux quad., groupes orthogonaux

titre pris sur une feuille de garde de sa main (archivistes, p. 126), qui porte aussi « (31 p) » ; la feuille n'a pas d'autre contenu

Formes quadratiques, quadriques et groupes orthogonaux

1. Discriminant et discriminant divisé — formes quadratiques régulières (ou lisses)

Si q est une forme quadratique sur E de rang n, on a disc. div. \text{(1.1)} \qquad \delta'(q) \in \Gamma(\det \check{E})^{\otimes 2} = \Gamma(\det E)^{\otimes(-2)} (qui est le disc. ordinaire si n pair) Conditions équivalentes sur q. NB \delta'(\lambda q) = \lambda^n \delta'(q)

a)\delta'(q) inversible b)V(q) \subset \check{\mathbb{P}}(E) est lisse, de codim 1 en chaque fibre (ou encore : est un diviseur relatif lisse) c)\forall s \in S, q \otimes \bar{k}(s) appartient à l'unique orbite ouverte de \underline{\mathrm{Gl}}(E(s)) opérant sur le schéma \underline{\mathrm{Quad}}(E(s)) (qui est aussi l'unique orbite de dimension maximale, laquelle dimension est \frac{n(n+1)}{2}) d)\forall s \in S, \underline{\mathrm{Aut}}(q \otimes \bar{k}(s)) est de dimension minimale (savoir \frac{n(n-1)}{2}). e')\forall s \in S, \exists ouvert non vide U \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E(s)) tel que q \otimes \bar{k}(s) équivalente (sur ext. conv. de k(s)) aux formes \in U [NB on peut prendre U défini par \delta' comme fonction pol. sur \underline{\mathrm{Quad}}(E) …] e)q est isom. loc ! [ou aussi : loc. (ét.) si 2 inv. sur S ou n pair] à la forme standard q_n

dans d), le « -1 » de \frac{n(n-1)}{2} est écrit sur un signe surchargé

NB Si q est à valeurs dans Mod. inv. L, alors forme bil. \varphi est à val. dans L, d'où E \to \check{E} \otimes L, donc \det E \to \det(\check{E} \otimes L) \simeq (\det \check{E}) \otimes L^{\otimes n}, d'où \text{(1.2)} \qquad \delta'(q) \in \Gamma\bigl((\det E)^{\otimes(-2)} \otimes L^{\otimes n}\bigr) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\bigl((\det E)^{\otimes 2}, L^{\otimes n}\bigr)

donc si q' est lisse, \delta'(q) définit un iso \text{(1.3)} \qquad L^{\otimes n} \simeq (\det E)^{\otimes 2} .

Pour la suite on suppose que q spécial-orthogonale

2 Groupe orthogonal, cas n impair = 2\nu + 1 // On a \text{On pose} \quad \left\{ \begin{aligned} &q_n(x_1, y_1, \ldots, x_\nu, y_\nu, z) = \textstyle\sum x_i y_i + z^2 \\ &\delta'(q_n) = (-1)^\nu \end{aligned} \right. \delta'(-q_n) = -\delta'(q_n) = (-1)^{\nu+1} \begin{aligned} O(q) &= \underline{\mathrm{Aut}}(q) \\ SO(q) &= \underline{\mathrm{Aut}}(q) \cap Sl(E) = \operatorname{Ker}\bigl(O(q) \xrightarrow{\det} \mathbb{G}_m\bigr) \end{aligned} sous \mathbb{G}_m, une flèche montante part de \mu_2, et une flèche courbe mène de O(q) à \mu_2 : le déterminant se factorise par \mu_2

NB Sans condition sur parité de n, … \text{(2.1)} \qquad \mathbb{G}_m \cap O(q) = \mu_2 \subset O(q) \qquad \mu_2 = \underline{\mathrm{Centre}}\, O(q) remarque Dans le cas actuel n impair, on a \text{(2.2)} \qquad \mu_2 \cap SO(q) = \{1\}

Thm O(q) est le produit direct des ss-groupes \mu_2 et SO(q), SO(q) est lisse sur S à fibres conn. (et en fait réductifs (i.e. \nu \geqslant 1), (i.e. \nu \geqslant 3) et semi-simple si n \geqslant 3, simple si n \geqslant 7). les deux ajouts entre parenthèses sont écrits sous les mots biffés ; le second est de lecture douteuse

Structure spéciale orthogonale sur E d'indice \varepsilon, \varepsilon est une section de \underline{O}_S^{*} (en pratique, \varepsilon = \pm 1) : c'est une section base \omega de \det E, telle que \text{(2.3)} \qquad \boxed{\omega^{\otimes -2} = \varepsilon\, \delta'(q)} On a évidemment \text{(2.4)} \qquad \underline{\mathrm{Aut}}(E, q, \omega) = SO(q) Pour n impair, (q,\omega) \mapsto (-q,\omega) définit bijection de l'ens. des structures spéciales orth. pour \varepsilon, avec celles pour -\varepsilon (dans groupe adj …) \left\{ \begin{aligned} &\text{Si } \varepsilon = (-1)^\nu, \text{ alors } q_n \text{ est un prototype} \\ &\text{Si } \varepsilon = (-1)^{\nu+1}, \text{ — } -q_n \text{ —} \end{aligned} \right.

la page commence au milieu d'une phrase dont le début est au bas de la p. 130 (« l'hom O'(q) \to \mathbb{G}_m induit … ») : les feuillets 129 et 130 se lisent dans l'ordre 130, 129 \lambda \mapsto \lambda^2, sur le centre \mathbb{G}_m). Ici pour n impair on trouve encore

Prop O'(q) \simeq SO(q) \times \mathbb{G}_m sous SO(q) : « O'(q) \cap Sl(E) », précédé d'un mot biffé commencer par O(q) qui équivaut au —

Cor (Pour \varepsilon = \pm 1 fixé) La catégorie des modules quasi-orthogonaux (E, L, q) de rang impair sur S est équivalente à la cat. des syst. (E_0, q_0, \omega_0, \Delta), où (E_0, q_0, \omega_0) est un module spéc. orth. pour \varepsilon, de rang n, \Delta est un module inv. À un système on associe L = \Delta^{\otimes 2}, \quad E = E_0 \otimes \Delta, \quad (q_0 \otimes \Delta^{\otimes 2}) : E_0 \otimes \Delta \to \Delta^{\otimes 2} = L, \bigl[\text{donc } \det E \simeq \det E_0 \otimes \Delta^{n} \simeq \Delta^{2\nu} \otimes \Delta \simeq L^{\nu} \otimes \Delta\bigr] dans le crochet, les deux dernières expressions sont surchargées et de lecture douteuse Dire que plus

Le foncteur quasi-inverse : (E, L, q) n = 2\nu + 1 \Delta = L^{\otimes -\nu} \otimes \det E, \quad E_0 = E \otimes \Delta^{-1}, \quad q_0 = q \otimes \Delta^{-1} : E_0 = E \otimes \Delta^{-1} \to L\Delta^{-2} « L^{\otimes -\nu} » est écrit au-dessus de « \det E », sur un mot biffé or L\Delta^{-2} \simeq L \otimes L^{2\nu} \otimes (\det E)^{-2} \simeq L^{n} \otimes (\det E)^{-2} \simeq \underline{O}_S \text{ par (1.3)} \omega_0 \in \Gamma(\det E_0) déduit de \begin{aligned} \det E_0 &\simeq \det E \otimes \Delta^{-n} \\ &\simeq \det E\, L^{n\nu} (\det E)^{-n} = L^{n\nu} (\det E)^{-2\nu} \\ &= \bigl(L (\det E)^{-2}\bigr)^{\nu} \simeq \underline{O}_S^{\otimes \nu} \simeq \underline{O}_S \qquad \text{etc.\ …} \end{aligned} plusieurs essais biffés entre la première et la deuxième ligne (« = \Delta\, L^{\nu} \Delta^{-n} », « \det E_0 \simeq \det E \otimes \Delta \ldots »). Dans la dernière ligne, la page écrit L et non L^{n} dans la parenthèse

cette page précède logiquement la p. 129, qui en prolonge la dernière phrase Prop (Classification des modèles) Soit \varepsilon = \pm 1. La cat. des modules orth. (E,q) lisses sur S de rg n = 2\nu + 1 est équivalente à la cat. produit des couples (E_0, q_0, \omega_0, \Delta, \varphi), où (E_0, q_0, \omega_0) est un module spécial quadratique pour \varepsilon, \Delta un mod. inv., \varphi : \Delta^{\otimes 2} \xrightarrow{\sim} \underline{O}_S (NB le couple (\Delta, \varphi) revient à la donnée d'un torseur sous \mu_2). Le foncteur établissant l'équivalence est (E_0, \ldots) \longmapsto \bigl(E_0 \otimes \Delta,\ q_0 \otimes L : E_0 \otimes \Delta \to \Delta^{\otimes 2} \xrightarrow[\sim]{\varphi^{-1}} \underline{O}_S\bigr) une flèche courbe sous la formule relie E_0 \otimes \Delta à \underline{O}_S ; l'exposant de \varphi est lu tel quel Le foncteur quasi-inverse est \begin{aligned} (E, q) \longmapsto \bigl(&\Delta = \det E,\ \varphi = \delta'(q)^{-1},\ E_0 = E \otimes \Delta^{-1}, \\ &q_0 = \varepsilon q \otimes \Delta^{-1} : E_0 \to \Delta^{-2} \xrightarrow{\ {}^t\varphi\ } \underline{O}_S, \\ &\omega_0 \in \Gamma(\det E_0) \text{ déduit de } \det E_0 \simeq (\det E) \otimes \Delta^{-n} \simeq \underline{O}_S\bigr) \end{aligned} au-dessus de la dernière ligne, un premier essai biffé : « \omega_0 \in \Gamma(\det E_0) = \Gamma(\det E) \otimes \Delta^{-n} \simeq \underline{O}_S » ; sous \det E et \Delta^{-n}, des indications surchargées (\Delta^{-4} ?) de lecture incertaine

NB \underline{\mathrm{Aut}}\, V(q) \simeq O(q)/\mu_2 \simeq SO(q), il est lisse connexe réductif lisse sous le NB, deux débuts de ligne biffés, illisibles

(3) Structures de similitude (formes quadratiques à valeurs dans loc. mod. scalaire inv., ou encore forme lisse : valeurs dans un L q : E \longrightarrow L Soit O'(q) \subset Gl(E) \times Gl(L) = Gl(E) \times \mathbb{G}_m le groupe de ses automorphismes, il ~~SO(q)~~ des couples (u, \lambda) tels que q(ux) \overset{\text{idt}}{=} \lambda q(x). O'(q) \to Gl(E) est injectif, O'(q) contient \mathbb{G}_m comme centre (l'hom O'(q) \to \mathbb{G}_m induit la phrase se poursuit en haut de la p. 129

(4) Cas n pair = 2\nu \text{(4.1)} \qquad q_n = q_{2\nu} = \sum_{1}^{\nu} (x_i y_i) \qquad \delta'(q_n) = (-1)^\nu ~~(4.~~ Ici on a \text{(4.2)} \qquad \mu_2 \subset SO(q) \cap Sl(E) sous \mu_2 : « = \mathrm{Centre}\, O(q) » ; sous SO(q) \cap Sl(E), d'abord écrit avec un S surchargé : « on ne l'appelle [mot biffé] SO(q) à cause des car. 2 »

Thm Pour n pair, O(q) est lisse, SO(q) est sa composante neutre, on a O(q)/SO(q) \simeq (\mathbb{Z}/2)_S et \mu_2 = \underline{\mathrm{Centre}}\bigl(O(q)\bigr) \subset SO(q) . au-dessus de « Thm », un mot biffé

Cor Si X = V(q), le groupe \underline{\mathrm{Aut}}(X) \simeq O(q)/\mu_2 est lisse, et \left\{ \begin{aligned} &\underline{\mathrm{Aut}}(X)^{0} \simeq SO(q)/\mu_2 \\ &\underline{\mathrm{Aut}}(X)/\underline{\mathrm{Aut}}(X)^{0} \simeq (\mathbb{Z}/2)_S \end{aligned} \right.

Indications de dém. du Thm.

La chose essentielle est de définir l'hom épi O(q) \longrightarrow (\mathbb{Z}/2)_S et pour ceci on va associer canon. à q un rev. étale de degré 2 de S.

Prop Considérons le sous-schéma de \underline{\mathrm{Grass}}_\nu(E) ~~formé~~ correspondant ~~aux~~ « sous-espaces isotropes ~~maximaux~~ » [sur lesquels q ~~et la forme bil. associée~~ est nuls ; q \mid V \equiv 0,] ~~\varphi \mid V \times E \equiv 0~~. C'est un sous-schéma fermé, il est lisse, et pour les fibres géom., le nb de composantes connexes ~~est~~ 2. le reste de la page est blanc

Fibrés en drapeaux associés à une ~~des~~ formes quadratiques régulières

titre de sa main, en tête de la page (E,q), avec E de rg N = 2n+1 (cas impair) — ou 2n, n \geqslant 1 donc N \geqslant 2). Soit H \subset [1,n] \cap \mathbb{Z}, [donc H = \{i_1, \ldots, i_\nu\}, où 1 \leqslant i_1 < \cdots < i_\nu \leqslant n] ~~On pose~~ \nu = \operatorname{card} H. \Delta_H(E,q) = \text{ens.\ des drapeaux de type } H \text{ de } E E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_\nu \qquad \bigl(\nu = \operatorname{card} H,\ H = \{\operatorname{rg} E_1, \ldots, \operatorname{rg} E_\nu\}\bigr) tels que ~~les~~ E_\nu soit totalement isotrope. \underline{\Delta}_H(E,q) : \mathrm{Sch}_{/S} \longrightarrow \mathrm{Ens} \qquad S' \longmapsto \Delta_H(E_{S'}, q_{S'})

Théorème ! a) \underline{\Delta}_H(E,q) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Drap}}_H(E) est ~~représentable~~ une immersion fermée — en particulier \underline{\Delta}_H(E,q) est représentable, et projectif sur S.

b) \underline{\Delta}_H(E,q) est lisse sur S. Il a ses fibres géométriquement 0-connexes, sauf pour ~~i_\nu = n~~, rg E pair = 2n, i_\nu = n, auquel cas ses fibres géom. ont exactement deux composantes connexes.

Dém Le fait que \underline{\Delta}_H(E,q) \to \underline{\mathrm{Drap}}_H(E) est une imm. fermée est immédiat, …

Pour la lissité de \underline{\Delta}_H(E,q) ~~(F,q) est une~~, on utilise le critère infinitésimal de lissité — on est ramené à prouver que si S_0 \subset S est défini par J idéal quasi-coh. de carré nul,

Donner aussi la structure de \underline{\Delta}_H \to \underline{\Delta}_K pour K \subset H … (si K \neq \emptyset, \underline{\Delta}_H \to S …) \underline{\Delta}_H \to \underline{\Delta}_K est lisse projectif, ses fibres géom. sont 0-conn., sauf si i_\nu = \operatorname{Max} H = n, \nu rg E = 2n, auquel cas les fibres géom. ont 2 comp. conn. note marginale écrite en oblique le long du bord gauche

S affine, et si (E_{1,0}, \ldots, E_{\nu,0}) est un élément de \Delta_H(E_0, q_0), celui-ci se remonte en un (E_1, \ldots, E_\nu) \in \Delta_H(E,q). Il suffit bien sûr (~~par la~~ utilisant propriétés de lissité de \underline{\mathrm{Drap}}_H E \to \underline{\mathrm{Grass}}_{i_\nu}(E)) de prouver que F_0 = E_{\nu,0} se remonte en un sous-Module F = E_\nu f.d. direct et tot. isotrope.

tout ce qui suit sur la page est annulé par de longs traits obliques ; on en donne ce qui se lit ~~On considère sur \operatorname{rg} F. Si d = 1 remonte F~~ on (\underline{\mathrm{Grass}}_{i_\nu}(E) lisse sur S) ~~facteur direct, mais q \mid F est à valeurs dans J, donc peut s'identifier à un él. de \mathrm{Quad}(F_0, J) par nécessité, une « connection » sur le choix de F dépend de~~ \text{\struck{$\Gamma\,\underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0 \otimes J) \simeq \Gamma\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0) \otimes J\bigr)$}} puis supposons que F a une base (e_{i,0})_{1 \leqslant i \leqslant d} (d = i_\nu). On note que chaque e_{i0} peut se remonter en e_i e \in E tel que q(e_i) = 0 (lissité de la quadrique projective définie par q), sans ~~F le module engendré par les~~ c'est la lissité de la quadrique projective. Si d > 1, F_0 = G_0 + \underline{O}_S e_0, G_0 de rang d-1, e section de F_0. On remonte G_0 en G \in \Delta_{\{d-1\}}(E,q), puis il reste à remonter e_0 en une section e de E cette phrase annulée se poursuit en haut de la p. 135

la moitié supérieure de la page est annulée par de grands traits en croix ~~satisfaisant~~ \text{\struck{$q(e) = 0,$}} \quad \text{\struck{$\varphi(e, G) = 0$}} ~~Commençons par remonter en e satisfaisant la première de ces relations. Alors~~ \text{\struck{$x \mapsto \varphi(e, x) \quad G \to \underline{O}_S$}} ~~est nul mod J donc définit~~ \text{\struck{$\psi_0 : G_0 \to J$}} \qquad \text{\struck{$\psi_0 \in \underline{\mathrm{Hom}}(G_0, J)$}} ~~Essayons de corriger e par~~ \text{\struck{$e' = e + \xi$}} \qquad \text{\struck{$\xi \in \Gamma(JE)$}} ~~la condition q(e') = 0 s'écrit, compte tenu que q(e) = 0,~~ \text{\struck{$q(\xi) + \varphi(e, \xi) = 0$}} ~~or encore q(\xi) = 0~~

Considérons l'hom \begin{aligned} \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0) \otimes J &\longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(F_0) \\ u_0 &\longmapsto \bigl(x_0 \mapsto \varphi_0(x_0, u_0 x_0)\bigr) \end{aligned} un symbole surchargé suit la parenthèse de \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0) ; le \otimes J est une lecture [NB \varphi(F_0, F_0) = 0, donc \varphi \mid F_0 \times E_0 se factorise par F_0 \times E_0/F_0], il suffit de prouver qu'il est ~~surjectif~~ — il revient au même, par dévissage par J, de le prouver pour sections sur base affine … Or c'est un composé \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0) \xrightarrow{\ \text{épi}\ } \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0^{\perp}) \xrightarrow[\text{épi}]{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Quad}}(F_0) au-dessus de \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0^{\perp}) : « \simeq \check{F}_0, isom : explicitement (q régulière !) cf. plus haut » ; dessous, une première version biffée de la même indication NB

Il faut rajouter le

Lemme 1 Soit F \subset E, F \in \Delta_{\{d\}}(E,q), alors F^{\perp} est loc. f.d. direct et \supset F, et l'accouplement entre F et E/F^{\perp} est une dualité (donc F = F^{\perp\perp}, la formation de F^{\perp} commute au changement de base …) F^{\perp}

Il faut regarder le composé E \to \check{E} \to \check{F} et montrer que c'est ~~surjectif~~ épi — le noyau étant F^{\perp}, le résultat s'ensuit. Or on est ramené au cas où S est spectre d'un corps alg. clos [le seul cas non évident est celui de qu. dégénérée, i.e. car k = 2, rg E impair]. Mais ~~, E \to \check{E} est~~ si a \in F est orth. à l'image de E, il est orth. à E par \varphi, ce qui joint à q(a) = 0 implique a = 0, cqfd.

Reste : vérifier les assertions de connexion. Par dévissage on est ramené, pour le cas rg E impair, ou rg E pair, i_\nu < n,

Lemme 2 Soient 0 \leqslant d < d' \leqslant n, ~~d' < n si rg E pair~~. Soit F \in \Delta_{\{d\}}(E,q), considérons au-dessus de « 0 \leqslant d » : « NB on admet ici d = 0 » ; avant « Lemme 2 », un mot biffé

divers, le sous-schéma de \underline{\Delta}_{\{d,d'\}}(E,q) ~~défini par les~~ ~~(F,G)~~ image inverse de la section F par \underline{\Delta}_{\{d,d'\}}(E,q) \longrightarrow \underline{\Delta}_{d}(E,q) . Le schéma est (lisse projectif), ~~à fibres non vides connexes~~ à fibres géom. 0-connexes sauf si rg E pair et d' = n, auquel cas elles ont 2 comp. conn. ~~Dém. , d' = d + 1 ( (de …))~~ le lemme 2 est encadré d'un trait ; une première démonstration, ébauchée sous l'énoncé, est biffée et entourée

Considérons F^{\perp}, (cf. Lemme 1) et considérons, ~~S supposé affine, un scindage~~ \text{\struck{$F^{\perp} \simeq F \oplus G'$}} \qquad E' = F^{\perp}/F muni de q' déduit de q (bien posé). ~~soit~~ Lemme 3 ~~E \simeq G \oplus G^{\perp}~~ ~~La forme~~ E' est loc. libre ~~et G^{\perp} loc.~~ de rg N - 2d (donc on a vérifié que le rg de E) et q' est régulière. Les G \in \Delta_{\{d'\}}(E,q) tels que F \subset G correspondent donc biunivoquement aux G' \in \Delta_{\{d'-d\}}(E').

Ceci nous ramène à déterminer les composantes connexes d'un \Delta_{\{d\}}(E). Ici encore, par le cas de la connexité, on est ramené par dévissage au cas de d = 1, donc de rg E : fibres géom.

Lemme 4 \Delta_{\{1\}}(E) est connexe si rg E \geqslant 3, ses fibres géom. ont 2 cc. si rg E = 2. Évident ~~car~~ une conique dans \mathbb{P}(E) … l'ajout « : fibres géom. » au-dessus de la ligne précédente semble destiné à l'énoncé du lemme 4 (« à fibres géom. connexes »)

()

Reste le cas N = 2n, H H = \{n\} i.e. \Delta_{\{n\}}(E,q). ~~Soit~~ Supposons d'abord 2 inv. sur S. Dans F \in \Delta_{\{n\}}(E,q), donc F = F^{\perp} (via Lemme 1), E/F \xrightarrow{\sim} \check{F}, d'où un isom. can. \underbrace{\det F \otimes \det \check{F}}_{\simeq\, \underline{O}_S} \longrightarrow \det E devant la formule, un mot biffé qu'on interprète comme une section de \det E, notée \omega_F. Choisissons un supplémentaire G (S supposé affine) de F dans E, donc E \simeq F \oplus G \qquad \varphi \mid F \times G \text{ une dualité} Soit (e_1, \ldots, e_n) une base de E ( loc. (Zar)), e_1^{*}, \ldots, e_n^{*} la base duale de G \simeq \check{F}, définie par \varphi(e_i, e_j^{*}) = \delta_{ij} on a donc \omega_F = e_1 \wedge \cdots \wedge e_n \wedge e_1^{*} \wedge \cdots \wedge e_n^{*} « base de E » se lit ainsi ; le sens demande une base de F

[Lemme 5 (cas général) Soit F \in \Delta_{\{n\}}(E,q), où N = \operatorname{rg} E = 2n. Alors \exists suppl. G de F tel que q \mid G = 0. (La forme q sur E \simeq F \oplus G s'exprime alors par q(x \oplus y) = \varphi(x,y) \qquad \bigl(= \langle x, y\rangle \text{ si on identifie } G \text{ à } \check{F}\bigr)

Dém Car choisit un suppl. quelc., puis on le corrige, en utilisant que \underline{\mathrm{Hom}}(E/F, F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(G) \text{ est surjectif …}] sous E/F et F, des indications d'identification (\simeq \check{F} ? et \simeq \check{G}), lecture douteuse

Donc dans le raisonnement précédent, OPS q \mid G = 0, de sorte que le calcul du discriminant donne \delta(q) = (-1)^n (\omega_F)^2 on en tire \boxed{(\omega_F)^2 = (-1)^n \delta(q)^{-1}} les deux formules donnent \delta(q) puis \delta(q)^{-1} ; on transcrit tel quel

~~Considérons d'autre part~~ On définit par F \mapsto \omega_F un morphisme dit des vecteurs d'Arf … \underline{\Delta}_{\{n\}}(E,q) \longrightarrow M\bigl((-1)^n \delta(q)\bigr) = \underline{\mathrm{Arf}}(E,q) [= sous-schéma de V(\underline{\det}\, E) des racines carrées de (-1)^n \delta(q)^{-1}]

Nous prouvons maintenant ici et supposons 2 inv. sur S.

Thm 2 Supposons rg E = N pair = 2n. Alors le morphisme précédent est lisse projectif à fibres géom. 0-connexes.

Lisse projectif est évident, il faut voir que les fibres géom. sont 0-connexes. (sur k alg. clos) ~~Elles sont non vides : il suffit ( F' \omega_{F'} = -\omega_F. Il suffit pour ceci de prendre prendre~~ \begin{aligned} &\text{\struck{$F' = \underline{O}_S e_1^{*} + \sum_{2 \leqslant i \leqslant n} \underline{O}_S e_i$}} \\ &\text{\struck{$G' = \underline{O}_S e_1 + \sum_{2 \leqslant i \leqslant n} \underline{O}_S e_i^{*}$}} \end{aligned} ce passage est encadré et barré de traits obliques Le fait que ce est surjectif provient du fait que \underline{\mathrm{Aut}}(E,q) = O(q) opère transitivement sur \underline{\mathrm{Arf}}(E,q) (une réflexion orthogonale p. ex. échange les deux points du rev. d'Arf) il reste à prouver que les schémas \underline{\Delta}_{\{n\}}(E,q) F tels que \omega_F = \omega (fixé) ~~forment~~ forment un schéma connexe (sur le rg. clos). Or c'est l'image des \underline{\Delta}_{\{1, \ldots, n\}}, où H = [1,n], donc on est l'indice de \underline{\Delta} est surchargé ; la phrase se poursuit au-delà de ce lot