Cote n° 77, pages 121–140

Cote n° 77 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

121la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée avant ce lot ; la numérotation (13)–(18) continue celle des pages précédentes lisse s'exprime par la condition que \[ \text{(13)} \qquad \delta'(q) \in \Gamma\bigl(S, (\det T)^{\otimes -2}\bigr) \qquad (\text{discr. \struck{divisé}}) \] le mot « divisé » est souligné puis biffé d'un trait soit inversible, puis par la condition que \[ D \xrightarrow{\ \pi \mid D\ } \underline{O}_S \] soit un iso, i.e. \[ \text{(14)} \qquad T \simeq V \oplus D . \] Ceci donne encore une section $a$ canonique de $D$, définie par la condition que \[ \text{(15)} \qquad \pi(a) = 1 \qquad (\ill{} \text{ pour } 2\,!) \] et on peut donc normaliser $q$ par la condition que \[ \text{(16)} \qquad q(a) = 1 \] de sorte que l'on a encore \[ \text{(17)} \qquad q(x,t) = q_0(x) + t^2 \] et $Q$ se trouve défini par l'équation \[ \text{(18)} \qquad q_0(x) + 1 = 0 \quad \text{i.e.} \quad q_0(x) = -1 \qquad \bigl(x \in \Gamma(-,E)\bigr) \] où $E$ est identifié à $V$ grâce à (14).

D'où ici l'équivalence de cat. entre quadriques affines et régulières ⌜de rg $n$⌝ et formes quadratiques lisses de rang $n-1$ munies,

122sans restriction à la car. $\neq 2$.

2 On va définir une réflexion canonique dans $P$, ayant $H$ comme hyperplan de pts fixes, et invariant $Q$. Une ⌜pareille⌝ réflexion […] d'une autre ayant $H$ comme hyperplan fixe […] ⌜induisant $E$, donc est associée : […] automorphisme⌝ […] […] de la structure d'extension […] $T$ de $\underline{O}_S$ par $V$, et induisant l'identité sur $\underline{O}_S$, et une homothétie ⌜$\lambda\,\mathrm{id}_V$⌝ sur $V$, ou encore (quitte à diviser par $\lambda$) par un auto. de la structure d'ext. induisant l'identité sur $V$, donc de la forme \[ \sigma = \mathrm{id} + v \] où $v$ est nulle sur $V$, donc de la forme \[ v(x) = \pi(x)\cdot c \qquad \text{i.e.} \qquad v = \pi \otimes c \] où $\pi \in \Gamma(S, \check{T})$ est la forme $T \to \underline{O}_S$ définissant la structure d'extension, $c$ une section quelc. de $T$. Écrivons que […] $\sigma$ laisse invariant $q$ mod homothétie, on trouve \[ \begin{aligned} q \circ \sigma(x) &= q(x + vx) = q\bigl(x + \pi(x)\cdot c\bigr) \\ &= q(x) + \pi(x)^2 q(c) + \pi(x)\, \varphi(x,c) \end{aligned} \] On veut trouver $\lambda \in \Gamma(S, \mathbb{G}_m)$ tel que $q\,u(x) = \lambda q(x)$ \[ q\sigma(x) = \lambda q(x) \qquad \forall x \in \Gamma(-,T) \] la formule biffée « $q\,u(x) = \lambda q(x)$ » précède, sur la même ligne, la formule retenue

123i.e. \[ (\lambda - 1) q = \pi\bigl(q(c)\pi + \psi(c)\bigr) \qquad \bigl(\psi(c) \in \Gamma(S, \check{T}),\ \psi(c)(x) = \varphi(c,x)\bigr) \] Comme $q$ est non dégénérée ⌜lisse⌝ en ttes fibres, ceci montre, si $\operatorname{rg} T \geqslant 3$, i.e. $\operatorname{rg} E \geqslant 2$, que $\lambda - 1$ est nul en ttes fibres (i.e. que $\lambda - 1$ dans chaque nilpotent), […] et que comme $\pi$ est $\neq 0$ […] en ttes fibres, que dans […] $\psi(c) + q(c)\pi = 0$ en ttes fibres, … Regardons les solutions correspondant à $\lambda = 1$, i.e. \[ q \circ \sigma = q \] qui équivaut à \[ \text{(19)} \qquad q(c)\pi + \psi(c) = 0 \] […] On peut prendre p. ex. $c = -a$ (dans le cas $E$ de rg impair, qui nous intéresse surtout) \[ \text{(20)} \qquad \sigma(x) = x - \pi(x)\, a \qquad (\operatorname{rg} E \text{ pair}) \] qui est de plus une réflexion i.e. \[ \text{(21)} \qquad \sigma^2 = \mathrm{id}_T \] (car $\sigma^2 =$ $\pi(a) = 1$ …) En fait, c'est la seule solution ⌜vérifiant $\neq \mathrm{id}$⌝, dans car de (19) on tire $\psi(c) = \lambda\pi$ […] ($\lambda = -q(c)$) i.e. $\psi(c) = \lambda\psi(a) = \psi(\lambda a)$ (comme $\psi$ est iso) $c = \lambda a$, et il faut $\lambda = -q(c)$ i.e. $\lambda = -\lambda^2$ i.e. $\lambda(\lambda + 1) = 0$, ce qui conduit […] $\lambda$ […] nul) donc $\lambda = -1$ ….

On dit que $\sigma$ est la symétrie canonique de la quadrique affine régulière.

Prop. Il existe une unique réflexion de $P$ admettant $H$ comme hyperplan de pts fixes et laissant $Q$ invariante. Sa restriction à $T$ est donnée par (20) $\sigma x = x - \pi(x)\, a$ i.e. $\sigma = \mathrm{id} - \pi \otimes a$ note marginale écrite verticalement le long du bord gauche

124petit feuillet découpé ; il donne un exemple de la situation des pages précédentes, les matrices $2 \times 2$ avec le déterminant \[ \left\{ \begin{aligned} T &= M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right\} \\ q &= \det = ad - bc \end{aligned} \right. \qquad (b + b',\ c + c') \] devant « $\det$ », un mot court biffé, illisible ; « $(b+b', c+c')$ » est une lecture douteuse \[ a = \underline{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ \varphi(a,b,c,d;\, a',b',c',d') = bc' + cb' - (ad' + da') \] devant cette formule, un début « $\varphi(x)$ » est biffé \[ \begin{aligned} \pi(a,b,c,d) &= \varphi(a,b,c,d;\, 1,0,0,1) = -(a+d) \\ &= -\operatorname{Tr}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{aligned} \] attention au signe ! \[ V = \gamma M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \right\} \] le symbole lu $\gamma$ devant $M$ est douteux ; le sens demande les matrices de trace nulle. Le « $+$ » devant $(a+d)$ est surchargé en « $-$ ». En haut du feuillet, tête-bêche, un fragment coupé par la déchirure : « $\mathbb{Z}/2 \cdot \mathbb{C}P(1) \times \mathbb{C}P(1)$ », lecture douteuse

125[…] Si $T$ est de rang ⌜im⌝pair, donc $T \simeq V \oplus \underline{O}_S$ …, on définit $\sigma$ par \[ \text{(22)} \qquad \sigma(x) = x - 2\pi(x)\, a \] le numéro (22) est lu sur un chiffre surchargé on trouve, sur $E$, par la symétrie par rapport à l'origine. On aura encore (21).

3. Schéma des automorphismes d'une quadrique affine ⌜birégulière⌝

titre de sa main, souligné ; « birégulière » est ajouté au-dessus de la ligne

Soit \[ G = \underline{\mathrm{Aut}}(P, H, Q) = \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{aff}}(E, Q \cap E) \] $\simeq \mathrm{Aut}(T, \pi, a, q)$

$\bigl(\pi \in \Gamma(S, \check{T}),\ a \in \Gamma(S,T),\ q(a) = 1,\ \varphi(a,x) =$

ces deux lignes sont biffées Dans le cas où $T$ de rang impair i.e. $E$ de rang pair, on a \[ G \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(V, q_0) \qquad V \text{ de rang pair} \] et désignant par $G^{+}$ le sous-schéma en groupes qui opère trivialement sur $\det V$, on trouve $G \simeq G^{+} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ \[ 1 \to G^{+} \to G \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 1 . \] $G \simeq \mathrm{Aut}(T, q, a)$ Si $T$ de rang pair, […] on va montrer que […] un iso canonique \[ G \simeq G^{0} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S \] où \[ G^{0} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Aut}}^{+}(V, q_0), \qquad (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S \text{ engendré par } \sigma . \]

Formes quadratiques. Fibrés en drapeaux quad., groupes orthogonaux

titre pris sur une feuille de garde de sa main (archivistes, p. 126), qui porte aussi « (31 p) » ; la feuille n'a pas d'autre contenu

127Formes quadratiques, quadriques et groupes orthogonaux

1. Discriminant et discriminant divisé — formes quadratiques régulières (ou lisses)

Si $q$ est une forme quadratique sur $E$ ⌜de rang $n$⌝, on a disc. div. \[ \text{(1.1)} \qquad \delta'(q) \in \Gamma(\det \check{E})^{\otimes 2} = \Gamma(\det E)^{\otimes(-2)} \] (qui est le disc. ordinaire si $n$ pair) Conditions équivalentes sur $q$. NB $\delta'(\lambda q) = \lambda^n \delta'(q)$

a)$\delta'(q)$ inversible
b)$V(q) \subset \check{\mathbb{P}}(E)$ est lisse, de codim $1$ en chaque fibre (ou encore : est un diviseur relatif lisse)
c)$\forall s \in S$, $q \otimes \bar{k}(s)$ […] appartient à l'unique orbite ouverte de $\underline{\mathrm{Gl}}(E(s))$ opérant sur ⌜le schéma⌝ […] $\underline{\mathrm{Quad}}(E(s))$ (qui est aussi l'unique orbite de dimension maximale, laquelle dimension est $\frac{n(n+1)}{2}$)
d)$\forall s \in S$, $\underline{\mathrm{Aut}}(q \otimes \bar{k}(s))$ est de dimension minimale (savoir $\frac{n(n-1)}{2}$).
e')⌜$\forall s \in S$,⌝ $\exists$ ouvert ⌜non vide⌝ […] $U \subset \underline{\mathrm{Quad}}(E(s))$ tel que $q \otimes \bar{k}(s)$ équivalente (sur ext. conv. de $k(s)$) aux formes $\in U$ [NB on peut prendre $U$ défini par $\delta'$ comme fonction pol. sur $\underline{\mathrm{Quad}}(E)$ …]
e)$q$ est isom. loc ! […] [ou aussi : loc. (ét.) si $2$ inv. sur $S$ ou $n$ pair] à la forme standard $q_n$

dans d), le « $-1$ » de $\frac{n(n-1)}{2}$ est écrit sur un signe surchargé

NB Si $q$ est à valeurs dans Mod. inv. $L$, alors forme bil. $\varphi$ est à val. dans $L$, d'où $E \to \check{E} \otimes L$, donc $\det E \to \det(\check{E} \otimes L) \simeq (\det \check{E}) \otimes L^{\otimes n}$, d'où \[ \text{(1.2)} \qquad \delta'(q) \in \Gamma\bigl((\det E)^{\otimes(-2)} \otimes L^{\otimes n}\bigr) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\bigl((\det E)^{\otimes 2}, L^{\otimes n}\bigr) \]

128donc si $q'$ est lisse, $\delta'(q)$ définit un iso \[ \text{(1.3)} \qquad L^{\otimes n} \simeq (\det E)^{\otimes 2} . \]

Pour la suite on suppose […] ⌜que $q$⌝ spécial-orthogonale ⌜[…]⌝

2 Groupe orthogonal⌜, cas $n$ impair $= 2\nu + 1$⌝ // On a \[ \text{On pose} \quad \left\{ \begin{aligned} &q_n(x_1, y_1, \ldots, x_\nu, y_\nu, z) = \textstyle\sum x_i y_i + z^2 \\ &\delta'(q_n) = (-1)^\nu \end{aligned} \right. \] \[ \delta'(-q_n) = -\delta'(q_n) = (-1)^{\nu+1} \] \[ \begin{aligned} O(q) &= \underline{\mathrm{Aut}}(q) \\ SO(q) &= \underline{\mathrm{Aut}}(q) \cap Sl(E) = \operatorname{Ker}\bigl(O(q) \xrightarrow{\det} \mathbb{G}_m\bigr) \end{aligned} \] sous $\mathbb{G}_m$, une flèche montante part de $\mu_2$, et une flèche courbe mène de $O(q)$ à $\mu_2$ : le déterminant se factorise par $\mu_2$

NB Sans condition sur parité de $n$, … \[ \text{(2.1)} \qquad \mathbb{G}_m \cap O(q) = \mu_2 \subset O(q) \qquad \mu_2 = \underline{\mathrm{Centre}}\, O(q) \] remarque Dans le cas actuel $n$ impair, on a \[ \text{(2.2)} \qquad \mu_2 \cap SO(q) = \{1\} \]

Thm $O(q)$ est le produit direct des ss-groupes $\mu_2$ et $SO(q)$, $SO(q)$ est lisse sur $S$ à fibres conn. (et en fait […] réductifs ⌜(i.e. $\nu \geqslant 1$)⌝, […] ⌜(i.e. $\nu \geqslant 3$)⌝ et semi-simple si $n \geqslant 3$, simple si $n \geqslant 7$). les deux ajouts entre parenthèses sont écrits sous les mots biffés ; le second est de lecture douteuse

Structure spéciale orthogonale sur $E$ ⌜d'indice $\varepsilon$⌝, […] $\varepsilon$ est une section de $\underline{O}_S^{*}$ (en pratique, $\varepsilon = \pm 1$) : c'est une section ⌜base⌝ $\omega$ de $\det E$, telle que \[ \text{(2.3)} \qquad \boxed{\omega^{\otimes -2} = \varepsilon\, \delta'(q)} \] On a évidemment \[ \text{(2.4)} \qquad \underline{\mathrm{Aut}}(E, q, \omega) = SO(q) \] Pour $n$ impair, […] $(q,\omega) \mapsto (-q,\omega)$ […] définit bijection de l'ens. des structures spéciales orth. pour $\varepsilon$, avec celles pour $-\varepsilon$ (dans […] groupe adj …) \[ \left\{ \begin{aligned} &\text{Si } \varepsilon = (-1)^\nu, \text{ alors } q_n \text{ est un prototype} \\ &\text{Si } \varepsilon = (-1)^{\nu+1}, \text{ — } -q_n \text{ —} \end{aligned} \right. \]

129la page commence au milieu d'une phrase dont le début est au bas de la p. 130 (« l'hom $O'(q) \to \mathbb{G}_m$ induit … ») : les feuillets 129 et 130 se lisent dans l'ordre 130, 129 $\lambda \mapsto \lambda^2$, sur le centre $\mathbb{G}_m$). Ici pour $n$ impair on trouve encore

Prop $O'(q) \simeq SO(q) \times \mathbb{G}_m$ sous $SO(q)$ : « $O'(q) \cap Sl(E)$ », précédé d'un mot biffé commencer […] par […] $O(q)$ qui équivaut au —

Cor (Pour $\varepsilon = \pm 1$ fixé) La catégorie des modules quasi-orthogonaux ⌜$(E, L, q)$ de rang impair⌝ ⌜sur $S$⌝ est équivalente à la cat. des […] syst. $(E_0, q_0, \omega_0, \Delta)$, où $(E_0, q_0, \omega_0)$ est un module ⌜spéc.⌝ orth. pour $\varepsilon$, de rang $n$, $\Delta$ est un module inv. À un système on associe \[ L = \Delta^{\otimes 2}, \quad E = E_0 \otimes \Delta, \quad (q_0 \otimes \Delta^{\otimes 2}) : E_0 \otimes \Delta \to \Delta^{\otimes 2} = L, \] \[ \bigl[\text{donc } \det E \simeq \det E_0 \otimes \Delta^{n} \simeq \Delta^{2\nu} \otimes \Delta \simeq L^{\nu} \otimes \Delta\bigr] \] dans le crochet, les deux dernières expressions sont surchargées et de lecture douteuse Dire que […] plus […]

Le foncteur quasi-inverse : $(E, L, q)$ $n = 2\nu + 1$ \[ \Delta = L^{\otimes -\nu} \otimes \det E, \quad E_0 = E \otimes \Delta^{-1}, \quad q_0 = q \otimes \Delta^{-1} : E_0 = E \otimes \Delta^{-1} \to L\Delta^{-2} \] « $L^{\otimes -\nu}$ » est écrit au-dessus de « $\det E$ », sur un mot biffé or \[ L\Delta^{-2} \simeq L \otimes L^{2\nu} \otimes (\det E)^{-2} \simeq L^{n} \otimes (\det E)^{-2} \simeq \underline{O}_S \text{ par (1.3)} \] $\omega_0 \in \Gamma(\det E_0)$ déduit de \[ \begin{aligned} \det E_0 &\simeq \det E \otimes \Delta^{-n} \\ &\simeq \det E\, L^{n\nu} (\det E)^{-n} = L^{n\nu} (\det E)^{-2\nu} \\ &= \bigl(L (\det E)^{-2}\bigr)^{\nu} \simeq \underline{O}_S^{\otimes \nu} \simeq \underline{O}_S \qquad \text{etc.\ …} \end{aligned} \] plusieurs essais biffés entre la première et la deuxième ligne (« $= \Delta\, L^{\nu} \Delta^{-n}$ », « $\det E_0 \simeq \det E \otimes \Delta \ldots$ »). Dans la dernière ligne, la page écrit $L$ et non $L^{n}$ dans la parenthèse

130cette page précède logiquement la p. 129, qui en prolonge la dernière phrase Prop (Clas[sification] des modèles) Soit $\varepsilon = \pm 1$. La cat. des modules orth. ⌜$(E,q)$⌝ lisses ⌜sur⌝ $S$ de rg $n = 2\nu + 1$ est équivalente à la cat. produit des couples $(E_0, q_0, \omega_0, \Delta, \varphi)$, où $(E_0, q_0, \omega_0)$ est un module spécial quadratique pour $\varepsilon$, […] $\Delta$ un mod. inv., $\varphi : \Delta^{\otimes 2} \xrightarrow{\sim} \underline{O}_S$ (NB le couple $(\Delta, \varphi)$ revient à la donnée d'un torseur sous $\mu_2$). Le foncteur établissant l'équivalence est \[ (E_0, \ldots) \longmapsto \bigl(E_0 \otimes \Delta,\ q_0 \otimes L : E_0 \otimes \Delta \to \Delta^{\otimes 2} \xrightarrow[\sim]{\varphi^{-1}} \underline{O}_S\bigr) \] une flèche courbe sous la formule relie $E_0 \otimes \Delta$ à $\underline{O}_S$ ; l'exposant de $\varphi$ est lu tel quel Le foncteur quasi-inverse est \[ \begin{aligned} (E, q) \longmapsto \bigl(&\Delta = \det E,\ \varphi = \delta'(q)^{-1},\ E_0 = E \otimes \Delta^{-1}, \\ &q_0 = \varepsilon q \otimes \Delta^{-1} : E_0 \to \Delta^{-2} \xrightarrow{\ {}^t\varphi\ } \underline{O}_S, \\ &\omega_0 \in \Gamma(\det E_0) \text{ déduit de } \det E_0 \simeq (\det E) \otimes \Delta^{-n} \simeq \underline{O}_S\bigr) \end{aligned} \] au-dessus de la dernière ligne, un premier essai biffé : « $\omega_0 \in \Gamma(\det E_0) = \Gamma(\det E) \otimes \Delta^{-n} \simeq \underline{O}_S$ » ; sous $\det E$ et $\Delta^{-n}$, des indications surchargées ($\Delta^{-4}$ ?) de lecture incertaine

NB $\underline{\mathrm{Aut}}\, V(q) \simeq O(q)/\mu_2 \simeq SO(q)$, il est lisse connexe ⌜réductif⌝ ⌜lisse⌝ sous le NB, deux débuts de ligne biffés, illisibles

(3) Structures de similitude (formes quadratiques à valeurs dans loc. mod. scalaire inv., ou encore forme lisse : valeurs dans un $L$ \[ q : E \longrightarrow L \] Soit $O'(q) \subset Gl(E) \times Gl(L) = Gl(E) \times \mathbb{G}_m$ le groupe de ses automorphismes, il […] $SO(q)$ des couples $(u, \lambda)$ tels que $q(ux) \overset{\text{idt}}{=} \lambda q(x)$. $O'(q) \to Gl(E)$ est injectif, $O'(q)$ contient $\mathbb{G}_m$ comme centre (l'hom $O'(q) \to \mathbb{G}_m$ induit la phrase se poursuit en haut de la p. 129

131(4) Cas $n$ pair $= 2\nu$ \[ \text{(4.1)} \qquad q_n = q_{2\nu} = \sum_{1}^{\nu} (x_i y_i) \qquad \delta'(q_n) = (-1)^\nu \] (4. Ici on a \[ \text{(4.2)} \qquad \mu_2 \subset SO(q) \cap Sl(E) \] sous $\mu_2$ : « $= \mathrm{Centre}\, O(q)$ » ; sous $SO(q) \cap Sl(E)$, d'abord écrit avec un $S$ surchargé : « on ne l'appelle [mot biffé] $SO(q)$ à cause des car. $2$ »

Thm Pour $n$ pair, $O(q)$ est lisse, $SO(q)$ est sa composante neutre, on a \[ O(q)/SO(q) \simeq (\mathbb{Z}/2)_S \] et \[ \mu_2 = \underline{\mathrm{Centre}}\bigl(O(q)\bigr) \subset SO(q) . \] au-dessus de « Thm », un mot biffé

Cor Si $X = V(q)$, le groupe $\underline{\mathrm{Aut}}(X) \simeq O(q)/\mu_2$ est lisse, et \[ \left\{ \begin{aligned} &\underline{\mathrm{Aut}}(X)^{0} \simeq SO(q)/\mu_2 \\ &\underline{\mathrm{Aut}}(X)/\underline{\mathrm{Aut}}(X)^{0} \simeq (\mathbb{Z}/2)_S \end{aligned} \right. \]

Indications de dém. du Thm.

La chose essentielle est de définir l'hom […] ⌜épi⌝ \[ O(q) \longrightarrow (\mathbb{Z}/2)_S \] et pour ceci on va associer canon. à $q$ un rev. étale de degré $2$ de $S$.

132Prop Considérons le sous-schéma de $\underline{\mathrm{Grass}}_\nu(E)$ formé ⌜correspondant⌝ aux « sous-espaces isotropes maximaux » [sur lesquels $q$ et la forme bil. associée ⌜est⌝ nuls ; $q \mid V \equiv 0$,] $\varphi \mid V \times E \equiv 0$. C'est un sous-schéma fermé, il est lisse, et […] pour les fibres géom., le nb de composantes connexes est $2$. le reste de la page est blanc

Fibrés en drapeaux associés à ⌜une⌝ des formes quadratiques régulières

133titre de sa main, en tête de la page $(E,q)$, avec $E$ de rg $N = 2n+1$ (cas impair) — ⌜ou⌝ $2n$, $n \geqslant 1$ ⌜donc $N \geqslant 2$⌝). Soit $H \subset [1,n] \cap \mathbb{Z}$, [donc $H = \{i_1, \ldots, i_\nu\}$, où $1 \leqslant i_1 < \cdots < i_\nu \leqslant n$] On pose $\nu = \operatorname{card} H$. \[ \Delta_H(E,q) = \text{ens.\ des drapeaux de type } H \text{ de } E \] \[ E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_\nu \qquad \bigl(\nu = \operatorname{card} H,\ H = \{\operatorname{rg} E_1, \ldots, \operatorname{rg} E_\nu\}\bigr) \] tels que les $E_\nu$ soit tot[alement] isotrope. \[ \underline{\Delta}_H(E,q) : \mathrm{Sch}_{/S} \longrightarrow \mathrm{Ens} \qquad S' \longmapsto \Delta_H(E_{S'}, q_{S'}) \]

Théorème ! a) $\underline{\Delta}_H(E,q) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Drap}}_H(E)$ est représentable ⌜une⌝ immersion fermée — en particulier $\underline{\Delta}_H(E,q)$ est représentable, et projectif sur $S$.

b) $\underline{\Delta}_H(E,q)$ est lisse sur $S$. Il a ses fibres géométriquement $0$-connexes, sauf pour $i_\nu = n$, rg $E$ pair $= 2n$, $i_\nu = n$, auquel cas […] ses fibres géom. ont exactement deux composantes connexes.

Dém Le fait que $\underline{\Delta}_H(E,q) \to \underline{\mathrm{Drap}}_H(E)$ est une imm. fermée est immédiat, …

Pour la lissité de $\underline{\Delta}_H(E,q)$ $(F,q)$ est une, on utilise le critère infinitésimal de lissité — on est ramené à prouver que si $S_0 \subset S$ est défini par $J$ idéal quasi-coh. de carré nul,

Donner aussi la structure de $\underline{\Delta}_H \to \underline{\Delta}_K$ pour $K \subset H$ … (si $K \neq \emptyset$, […] $\underline{\Delta}_H \to S$ …) $\underline{\Delta}_H \to \underline{\Delta}_K$ est lisse projectif, ses fibres géom. sont $0$-conn., sauf si […] $i_\nu = \operatorname{Max} H = n$, $\nu$ […] rg $E = 2n$, auquel cas les fibres géom. ont $2$ comp. conn. note marginale écrite en oblique le long du bord gauche

134$S$ affine, et si $(E_{1,0}, \ldots, E_{\nu,0})$ est un élément de $\Delta_H(E_0, q_0)$, celui-ci se remonte ⌜en un $(E_1, \ldots, E_\nu) \in \Delta_H(E,q)$⌝. Il suffit bien sûr (par la ⌜utilisant⌝ propriétés de lissité de $\underline{\mathrm{Drap}}_H E \to \underline{\mathrm{Grass}}_{i_\nu}(E)$) de prouver que $F_0 = E_{\nu,0}$ se remonte en un sous-Module $F = E_\nu$ […] f.d. direct et tot. isotrope.

tout ce qui suit sur la page est annulé par de longs traits obliques ; on en donne ce qui se lit On considère […] […] sur $\operatorname{rg} F$. Si $d = 1$ […] remonte […] $F$ on […] ($\underline{\mathrm{Grass}}_{i_\nu}(E)$ lisse sur $S$) facteur direct, mais $q \mid F$ est à valeurs dans $J$, donc peut s'identifier à un él. de $\mathrm{Quad}(F_0, J)$ par nécessité, […] une « connection » sur le choix de $F$ dépend de \[ \text{\struck{$\Gamma\,\underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0 \otimes J) \simeq \Gamma\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0) \otimes J\bigr)$}} \] puis supposons que $F$ a une base $(e_{i,0})_{1 \leqslant i \leqslant d}$ ($d = i_\nu$). On ⌜note⌝ que chaque $e_{i0}$ peut se remonter en $e_i$ ⌜$e \in E$ tel que $q(e_i) = 0$⌝ (lissité de la quadrique projective définie par $q$), sans $F$ le module engendré par les c'est la lissité de la quadrique projective. Si $d > 1$, […] $F_0 = G_0 + \underline{O}_S e_0$, $G_0$ de rang $d-1$, $e$ section de $F_0$. On remonte $G_0$ en $G \in \Delta_{\{d-1\}}(E,q)$, puis il reste à remonter $e_0$ en une section $e$ de $E$ cette phrase annulée se poursuit en haut de la p. 135

135la moitié supérieure de la page est annulée par de grands traits en croix satisfaisant \[ \text{\struck{$q(e) = 0,$}} \quad \text{\struck{$\varphi(e, G) = 0$}} \] Commençons par remonter en $e$ satisfaisant la première de ces relations. Alors \[ \text{\struck{$x \mapsto \varphi(e, x) \quad G \to \underline{O}_S$}} \] est nul mod $J$ donc définit \[ \text{\struck{$\psi_0 : G_0 \to J$}} \qquad \text{\struck{$\psi_0 \in \underline{\mathrm{Hom}}(G_0, J)$}} \] Essayons de corriger $e$ par \[ \text{\struck{$e' = e + \xi$}} \qquad \text{\struck{$\xi \in \Gamma(JE)$}} \] la condition $q(e') = 0$ s'écrit, compte tenu que $q(e) = 0$, \[ \text{\struck{$q(\xi) + \varphi(e, \xi) = 0$}} \] or encore $q(\xi) = 0$

Considérons l'hom \[ \begin{aligned} \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0) \otimes J &\longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(F_0) \\ u_0 &\longmapsto \bigl(x_0 \mapsto \varphi_0(x_0, u_0 x_0)\bigr) \end{aligned} \] un symbole surchargé suit la parenthèse de $\underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0)$ ; le $\otimes J$ est une lecture [NB $\varphi(F_0, F_0) = 0$, donc $\varphi \mid F_0 \times E_0$ se factorise par $F_0 \times E_0/F_0$], il suffit de prouver qu'il est surjectif — il revient au même, par dévissage par $J$, de le prouver pour sections sur base affine … Or c'est un composé \[ \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0) \xrightarrow{\ \text{épi}\ } \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0^{\perp}) \xrightarrow[\text{épi}]{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Quad}}(F_0) \] au-dessus de $\underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0^{\perp})$ : « $\simeq \check{F}_0$, isom : explicitement ($q$ régulière !) cf. plus haut » ; dessous, une première version biffée de la même indication NB

136Il faut rajouter le

Lemme 1 Soit $F \subset E$, […] ⌜$F \in \Delta_{\{d\}}(E,q)$⌝, alors $F^{\perp}$ est loc. f.d. direct et $\supset F$, et l'accouplement entre $F$ et $E/F^{\perp}$ est une dualité (donc $F = F^{\perp\perp}$, la formation de $F^{\perp}$ commute au changement de base …) ⌜$F^{\perp}$⌝

Il faut regarder […] le composé $E \to \check{E} \to \check{F}$ et montrer que c'est surjectif ⌜épi⌝ — le noyau étant $F^{\perp}$, le résultat s'ensuit. Or on est ramené au cas où $S$ est spectre d'un corps alg. clos [le seul cas non évident est celui de qu. dégénérée, i.e. car $k = 2$, rg $E$ impair]. Mais […], […] $E \to \check{E}$ est […] si $a \in F$ est orth. à l'image de $E$, il est orth. à $E$ par $\varphi$, […] ce qui joint à $q(a) = 0$ implique $a = 0$, cqfd.

Reste : vérifier les assertions de connexion. Par dévissage on est ramené, pour le cas […] rg $E$ impair, ou rg $E$ pair, $i_\nu < n$,

Lemme 2 Soient $0 \leqslant d < d' \leqslant n$, […] $d' < n$ si rg $E$ pair. Soit $F \in \Delta_{\{d\}}(E,q)$, considérons au-dessus de « $0 \leqslant d$ » : « NB on admet ici $d = 0$ » ; avant « Lemme 2 », un mot biffé

137divers, le sous-schéma de $\underline{\Delta}_{\{d,d'\}}(E,q)$ défini par les $(F,G)$ ⌜image inverse de la section $F$ par⌝ \[ \underline{\Delta}_{\{d,d'\}}(E,q) \longrightarrow \underline{\Delta}_{d}(E,q) . \] Le schéma est ⌜(lisse projectif),⌝ à fibres non vides connexes ⌜à fibres géom. $0$-connexes⌝ sauf si rg $E$ pair et $d' = n$, auquel cas elles ont $2$ comp. conn. Dém. […] […], […] $d' = d + 1$ ([…] (de […] […] […] …)) le lemme 2 est encadré d'un trait ; une première démonstration, ébauchée sous l'énoncé, est biffée et entourée

Considérons $F^{\perp}$, (cf. Lemme 1) et considérons, […] $S$ supposé affine, un scindage \[ \text{\struck{$F^{\perp} \simeq F \oplus G'$}} \qquad E' = F^{\perp}/F \] ⌜muni de $q'$ déduit de $q$ (bien posé)⌝. soit Lemme 3 […] $E \simeq G \oplus G^{\perp}$ La forme $E'$ est loc. libre et $G^{\perp}$ loc. de rg $N - 2d$ (donc on a […] vérifié que le rg de $E$) et $q'$ est régulière. Les $G \in \Delta_{\{d'\}}(E,q)$ tels que $F \subset G$ correspondent donc biunivoquement aux $G' \in \Delta_{\{d'-d\}}(E')$.

Ceci nous ramène à déterminer les composantes connexes d'un $\Delta_{\{d\}}(E)$. Ici encore, par le cas de la connexité, on est ramené par dévissage au cas de $d = 1$, donc ⌜de rg $E$⌝ ⌜: fibres géom.⌝

Lemme 4 $\Delta_{\{1\}}(E)$ est connexe si rg $E \geqslant 3$, ses fibres géom. ont $2$ cc. si rg $E = 2$. Évident car une conique dans $\mathbb{P}(E)$ … l'ajout « : fibres géom. » au-dessus de la ligne précédente semble destiné à l'énoncé du lemme 4 (« à fibres géom. connexes »)

138([…])

Reste le cas $N = 2n$, $H$ $H = \{n\}$ i.e. $\Delta_{\{n\}}(E,q)$. Soit Supposons d'abord $2$ inv. sur $S$. Dans $F \in \Delta_{\{n\}}(E,q)$, […] donc $F = F^{\perp}$ (via Lemme 1), […] $E/F \xrightarrow{\sim} \check{F}$, d'où un isom. can. \[ \underbrace{\det F \otimes \det \check{F}}_{\simeq\, \underline{O}_S} \longrightarrow \det E \] devant la formule, un mot biffé qu'on interprète comme une section de $\det E$, notée $\omega_F$. Choisissons un supplémentaire ⌜$G$⌝ (S supposé affine) de $F$ dans $E$, donc \[ E \simeq F \oplus G \qquad \varphi \mid F \times G \text{ une dualité} \] Soit $(e_1, \ldots, e_n)$ une base de $E$ ([…] loc. (Zar)), $e_1^{*}, \ldots, e_n^{*}$ la base duale […] de $G \simeq \check{F}$, définie par \[ \varphi(e_i, e_j^{*}) = \delta_{ij} \] on a donc \[ \omega_F = e_1 \wedge \cdots \wedge e_n \wedge e_1^{*} \wedge \cdots \wedge e_n^{*} \] « base de $E$ » se lit ainsi ; le sens demande une base de $F$

139[Lemme 5 (cas général) Soit $F \in \Delta_{\{n\}}(E,q)$, où $N = \operatorname{rg} E$ […] $= 2n$. Alors $\exists$ suppl. $G$ de $F$ tel que $q \mid G = 0$. (La forme $q$ sur $E \simeq F \oplus G$ s'exprime alors par \[ q(x \oplus y) = \varphi(x,y) \qquad \bigl(= \langle x, y\rangle \text{ si on identifie } G \text{ à } \check{F}\bigr) \]

Dém Car choisit un suppl. quelc., puis on le corrige, en utilisant que \[ \underline{\mathrm{Hom}}(E/F, F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Quad}}(G) \text{ est surjectif …}] \] sous $E/F$ et $F$, des indications d'identification ($\simeq \check{F}$ ? et $\simeq \check{G}$), lecture douteuse

Donc dans le raisonnement précédent, OPS $q \mid G = 0$, de sorte que le calcul du discriminant donne \[ \delta(q) = (-1)^n (\omega_F)^2 \] on en tire \[ \boxed{(\omega_F)^2 = (-1)^n \delta(q)^{-1}} \] les deux formules donnent $\delta(q)$ puis $\delta(q)^{-1}$ ; on transcrit tel quel

Considérons d'autre part On définit par $F \mapsto \omega_F$ un morphisme ⌜dit des vecteurs d'Arf …⌝ \[ \underline{\Delta}_{\{n\}}(E,q) \longrightarrow M\bigl((-1)^n \delta(q)\bigr) = \underline{\mathrm{Arf}}(E,q) \] [$=$ sous-schéma de $V(\underline{\det}\, E)$ des racines carrées de $(-1)^n \delta(q)^{-1}$]

140Nous prouvons maintenant ici ⌜et supposons $2$ inv. sur $S$.⌝

Thm 2 Supposons rg $E = N$ pair $= 2n$. Alors le morphisme précédent est lisse projectif à fibres ⌜géom.⌝ $0$-connexes.

Lisse projectif est évident, il faut voir que les fibres ⌜géom.⌝ sont $0$-connexes. ⌜(sur $k$ alg. clos)⌝ Elles sont non vides : il suffit ([…] […] […] $F'$ […] $\omega_{F'} = -\omega_F$. Il suffit pour ceci de prendre prendre \[ \begin{aligned} &\text{\struck{$F' = \underline{O}_S e_1^{*} + \sum_{2 \leqslant i \leqslant n} \underline{O}_S e_i$}} \\ &\text{\struck{$G' = \underline{O}_S e_1 + \sum_{2 \leqslant i \leqslant n} \underline{O}_S e_i^{*}$}} \end{aligned} \] ce passage est encadré et barré de traits obliques Le fait que ce […] est surjectif provient du fait que $\underline{\mathrm{Aut}}(E,q) = O(q)$ opère transitivement sur $\underline{\mathrm{Arf}}(E,q)$ (une réflexion orthogonale p. ex. […] ⌜échange les deux points⌝ […] du rev. d'Arf) il reste à prouver que les ⌜schémas⌝ ⌜$\underline{\Delta}_{\{n\}}(E,q)$⌝ $F$ tels que $\omega_F = \omega$ (fixé) forment forment un schéma connexe (sur le rg. clos). Or c'est l'image des $\underline{\Delta}_{\{1, \ldots, n\}}$, où $H = [1,n]$, donc on est l'indice de $\underline{\Delta}$ est surchargé ; la phrase se poursuit au-delà de ce lot