Fonds Grothendieck, cote n° 77, pages 101–120

La page continue un calcul commencé avant ce lot (les notations \tilde{U}, \Sigma_{-4}, \varphi, [x,y] y sont déjà fixées). La moitié supérieure, jusqu'à la flèche g, est barrée de longs traits obliques ; elle se lit néanmoins et on la donne entière sous struck.

Car.

~~q([x,y]) = \varphi(x,y)^{2}.~~ ~~Donc si x + \mathbf{i}y \in \Gamma\tilde{U}, donc q(x) = q(y), \varphi(x,y) = 0~~ ~~\in \Gamma\,\mathbb{G}_{m}, alors q([x,y]) = 0. Si remplace x + \mathbf{i}y par~~ \text{\struck{$(a + \mathbf{i}b)(x + \mathbf{i}y) = \underbrace{ax - by}_{x'} + \mathbf{i}(\underbrace{bx + ay}_{y'})$,}} ~~on trouve x' \wedge y' = (a^{2} + b^{2})\, x \wedge y, q(x') = q(y') = (a^{2} + b^{2})\, q(x), donc x' \wedge y' / q(x') = x \wedge y / q(x). On trouve~~ \text{\struck{$x + \mathbf{i}y \in \Gamma\tilde{U} \Longrightarrow [x,y]/q(x) \in \Sigma_{-4}$}} ~~donc~~ \text{\struck{$\tilde{g} : \tilde{U} \longrightarrow \Sigma_{-4}$}} ~~passe au quotient en~~ g : \text{\struck{$\tilde{X}$}}\ \longrightarrow \Sigma_{-4} (indépendamment de la ). ~~S, [x,y]/q(x) = [x',y']/q^{2}(x') ;~~ ~~(quitte à localiser, et à remplacer x' par \lambda x' , q(x) = q(x'), [x,y] = [x',y']. S que g \vert S car.~~Ce bloc encadré et barré est peu lisible ; les fragments donnés ici sont ce qui se lit sous les ratures. [x,y] = \varphi(x,y)\, H \quad \text{où} \quad \begin{cases} H \text{ base du centre de } \tilde{\mathfrak{g}} \\ q(H) = 1 \end{cases} donc q([x,y]) = \varphi(x,y)^{2}. Si \varphi(x,y) = 0 ( x + \mathbf{i}y \in \Gamma\tilde{X}^{S[i]} \supset \Gamma(\tilde{U})), [x,y] = 0. Dans car. 2 l'involution se spécialise en l'involution constante du sous-schéma 0 : rien à faire…!

(1') Soit S schéma, E fibré affine de rg 3 sur S, \Sigma \subset E une quadrique affine (projectivement lisse ~~régulière~~). il revient au = de (= \hat{E}) se donner une partie d'un fibré projectif P de rang 3, d'une quadrique lisse (= \hat{\Sigma}) Q \subset P, et d'un hyperplan H de P — on prend E = P \setminus H, \Sigma = Q \cap E = Q \setminus Q \cap H. [Si on veut, il revient encore au = de se donner Q comme schéma (projectif lisse) sur S qui soit une forme de \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}, ce qui détermine P canoniquement, et de prendre un diviseur X de type (1,1) sur Q — lequel est défini par un H bien déterminé dans P…] Le signe = isolé (« revient au = ») est son abréviation de « même ».

On suppose que fibre par fibre \Sigma n'est pas un paraboloïde, i.e. que H n'est pas tangent à Q, ou encore que X = H \cap Q = \hat{\Sigma} \setminus \Sigma est lisse, i.e. un projectif sur S. On peut dire aussi que la donnée de (E, \Sigma) équivaut à celle d'une ext. \mathcal{E} de \mathcal{O}_{S} par

un fibré vectoriel de rg 3 V (fibré des translations de E) 0 \longrightarrow V \longrightarrow \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{O}_{S} \longrightarrow 1 Le dernier terme est écrit comme un trait vertical, qui se lit 1 ; on attendrait 0. et « une » forme quadratique lisse Q (sur \mathcal{E}) définie localement à mult. près par une unité. [ signifie que \Sigma est définie par une fonction polynomiale de degré \leq 2, et qui est projectivement lisse…]

La condition que \Sigma ne soit pas un paraboloïde signifie que q \vert V est ~~dégénérée~~ lisse. Si les car. résid. sont \neq 2, cela signifie aussi que \mathcal{E} = V \oplus V^{\perp}, donc E se trouve muni parallèlement à l'idéal : V d'une origine o (le pôle de H = P(V)) (le centre de Q) et \Sigma est stable par la symétrie p.r. à cette origine — o s'appelle le centre de la quadrique affine. Ce section de E sur S) est rendu fonctoriel par \Sigma, la la condition quadratique peut être normalisée par la condition qu'elle vaut 1 en o, ce qui la détermine de

façon unique et assure son existence. On trouve donc que sur E \;(= V \times 1) \subset \mathcal{E} la fonction induite par Q est de la forme q(x) + 1 où q est la forme quadratique lisse induite sur V par Q. Donc la donnée de \Sigma dans E équivaut (au des possibilités) à celle de

a) Section \sigma de E (le centre de \Sigma)

b) forme quadratique lisse sur V (fibré vectoriel des translations)

On associe à \sigma, q la quadrique \Sigma = \check{\mathbb{V}}(q+1) = \{x \in \Gamma(E, V) \mid q(x) = -1\} (en identifiant E à V grâce à \sigma).

Le paragraphe suivant est marqué en marge gauche d'un double trait vertical, à l'encre noire. Ces développements sont valables ( de E) au premier sens, (comme ), , ce des car. résid. \neq 2.

Considérons \delta'(q^{\ast}) \in (\det \check{V})^{\otimes 2} \qquad \text{base de } (\det \check{V})^{\otimes 2}, L'objet écrit après « Considérons », une sorte de \delta surmonté d'un trait, est surchargé ; l'exposant de q est peu lisible.

et considérons le de \check{\mathbb{V}}(\det \check{V}) = \mathbb{V}(\det(\check{V})) = \mathbb{V}(\det(V)^{-1}) défini par l'équation \omega^{\otimes(-2)} = \delta'(q). C'est un torseur sous \mu_{2,S} \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{S}, i.e. un revêtement étale de degré 2 de S, (car. résid. \neq 2 !) noté \Omega. [Dans le cas où q est spécial orthogonal, i.e. muni de \omega_{0} telle que \omega_{0}^{\otimes -2} = -\delta'(q) — attention au signe ! — les \omega correspondent aux \lambda\omega_{0} avec \lambda^{2} = -1, dans \Omega = S[\mathbf{i}] \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S}[T]/(T^{2}+1).] Le signe devant \delta'(q) est doublé d'un second trait, sans doute pour le souligner ; le i de S[i] est souligné, comme ailleurs dans le lot : on le rend par \mathbf{i}.

Considérons la clôture projective \hat{\Sigma} (= Q) de \Sigma, et sa à l'infini, conique projective X (\subset H = \check{\mathbb{P}}(V), hyperplan à l'infini de \hat{E}) qui est aussi de \hat{E} = \check{\mathbb{P}}(\mathcal{E}), définie par la forme q. On voit que, si \sigma désigne la symétrie p.r. à l'origine \sigma de E, \hat{E}), on a \hat{E}^{\sigma} = \sigma(S) \sqcup H, \quad \text{(}H = \mathbb{P}(V)\ \text{hyperplan à l'infini de } \hat{E}\text{)} \hat{\Sigma}^{\sigma} = H \cap \hat{\Sigma} = X. Le membre « = \sigma(S) \sqcup H, … » est ajouté à l'encre noire au-dessus de la parenthèse sur H.

~~Notre propos est de définir un isomorphisme~~

Considérons X d'autre part \mathbf{Hom}_{S}(\Omega, X) \overset{\text{déf}}{=} X^{\Omega} ; l'automorphisme can. de \Omega définit un automorphisme de X^{\Omega}, noté également \sigma, ~~donc~~ et on a évidemment un iso. can. (X^{\Omega})^{\sigma} \simeq X. Ceci posé, notre propos est de définir un iso canonique X^{\Omega} \xrightarrow{\ \sim\ } \hat{\Sigma} compatible avec \sigma, et rendant commutatif le diagramme

\begin{tikzcd} & X \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook, "i"] & \\ X^{\Omega} \arrow[rr, "\sim"] & & \hat{\Sigma} \end{tikzcd}

donc induisant un iso \Sigma \simeq X^{\Omega} \setminus X, compatible avec \sigma.

Pour définir un iso X^{\Omega} \xrightarrow{\ \sim\ } \hat{\Sigma} il revient au =, par descente, de définir un iso (X^{\Omega})_{\Omega} \xrightarrow{\ \sim\ } (\hat{\Sigma})_{\Omega} compatible avec les \Omega-autom. des deux schémas, ce qui revient au = [comme (X^{\Omega})_{\Omega} \simeq (X_{\Omega})^{\Omega_{\Omega}}, \quad \Omega_{\Omega} = \Omega \times_{S} \Omega = \Omega \sqcup \Omega, \quad \simeq X_{\Omega} \times X_{\Omega}, avec l'action de descente (provenant de l'action de \Omega à X^{\Omega}) se transformant en l'action composée de la symétrie des 2 facteurs et de l'automorphisme induit \sigma_{\Omega} de \Omega,] il revient au = de trouver un isom. X_{\Omega} \times X_{\Omega} \xrightarrow{\ \sim\ } \hat{\Sigma}_{\Omega} \quad (= \widehat{\Sigma_{\Omega}}) qui transforme \sigma_{\Omega}^{(\ast)} \times s en \sigma_{\Omega}^{(\hat{\Sigma}_{\Omega})}. L'exposant du premier \sigma_{\Omega} est un mot abrégé, illisible (« ») ; s est la symétrie des deux facteurs. Cela signifie aussi : pour \omega \in \Gamma(S', (\det V)^{\otimes 2}) (S' quelc. sur S) tel que \delta'(q) = \omega^{\otimes 2}, trouver un iso (\ast) \qquad f_{\omega} : X \times X \longrightarrow \hat{\Sigma} satisfaisant les conditions Dans \delta'(q), le q est récrit à l'encre noire par-dessus un symbole biffé. L'exposant de \det V dans \Gamma(S', \ldots) est peu sûr.

a) compatibilité au changement de base ~~f(-\omega, x, y) =~~

b) f_{-\omega}(x,y) = f_{\omega}(y,x)

c) f_{\omega}(y,x) = \sigma f_{\omega}(x,y)

d) f_{\omega}(x,x) = i(x)

Les lettres b) et c) sont surchargées l'une sur l'autre ; en c), le membre de gauche est d'abord écrit f_{\omega}(x,y) puis corrigé. Notons que donc b) et c) impliquent ensemble f_{-\omega}(x,y) = f_{\omega}(y,x) = \sigma f_{\omega}(x,y), \delta'(-q) = -\delta'(q) = -\omega^{\otimes 2}, donc ~~il y a un iso~~ on peut trouver, grâce à \omega, une algèbre de ~~Azumaya~~ M et un iso E \overset{\varphi}{\simeq} \gamma M attention au signe transformant -q en q_{M} = -\det \vert \gamma M et \omega en \omega_{M}, donc transformant (M, \varphi) : isomorphisme unique près par q, \omega X s'interprète comme la variété projective associée au cône des nilpotents de M, définis par les équations \operatorname{Tr} u = \det u = 0. Quant à \Sigma, il correspond à l'équation \det u = -1 en plus de \operatorname{Tr} u = 0, qui correspond au schéma des réflexions associées à M. L'iso. induit par f_{\omega} donne un iso (X \times X) \setminus X \simeq \Sigma s'interprétant comme une bijection (fonctorielle

pour le changement de base) ens. des couples (u, v) d'él. de M (i.e. du tr. et dét. nuls), ( scalaires ) distincts fibre par fibre \simeq \text{ens.\ des réflexions de } M \quad (\operatorname{tr} = 0,\ \det = -1). ~~Mais les réflexions correspondent~~

Si on veut passer aux clôtures projectives, on note que (comme car. rés. \neq 2) M \simeq \gamma M \oplus \mathcal{O}_{S}, Sous \gamma M, un signe \wr relie à \tilde{V} : \gamma M \simeq \tilde{V}. \hat{\Sigma}_{M} \subset \check{\mathbb{P}}(M) défini par l'équation dans \check{\mathbb{V}}(\gamma M \oplus \mathcal{O}_{S}) \det(u) + t^{2} = 0 \qquad \text{i.e.} \qquad \det(u + t\,\mathrm{id}) = 0 ; Devant t^{2}, un coefficient est biffé. si on veut, on pose v = u + t\,\mathrm{id},

i.e. ~~c'est~~ c'est la quadrique projective définie par \det de M, \det v = 0. On sait qu'on a un iso. canonique celle-ci et F_{M} : X_{M} \times X_{M} \simeq \hat{\Sigma}_{M}, \qquad \hat{\Sigma} \cap \mathbb{P}(M) \simeq X ~~avec~~ (qui sur X_{M} \times X_{M}) induit l'application diagonale. On sait de plus que ~~F_{M}(y,x)~~ F_{M} transforme la symétrie de X_{M} \times X_{M} en l'effet sur \hat{\Sigma}_{M} de l'antiinvolution v \longmapsto v' = \operatorname{tr}(v).1 - v (qui conserve le déterminant…), ce qui (u \in \Gamma\,\gamma M, t \in \Gamma(\mathcal{O}_{S})) pour v = u + t1 s'écrit v' = 2t.1 - (u + t.1) = -u + t1, soit -v' = u - t.1

donc l'automorphisme de \hat{\Sigma}_{M} induit par v \mapsto v' est aussi l'antipodisme, induit par la réflexion \underset{v}{\underbrace{u + t.1}} \longmapsto \underset{-v'}{\underbrace{u - t.1}} . Ceci ~~par transport~~ échange du dessin notre iso. (\ast), satisfaisant a) c) d) ; il reste à vérifier b), ce qui revient au =, la formule f_{-\omega}(x,y) = \sigma f_{\omega}(x,y), ce qui résulte du fait que (\omega, x, y) \mapsto f_{\omega}(x,y), X \times X \times \Omega \longrightarrow \hat{\Sigma}, étant défini fonctoriellement en (E, q, \omega), commute à l'action de l'iso -\mathrm{id}_{E} : (E, q, \omega) \longrightarrow (E, q, -\omega). Sous les deux membres de la flèche u + t.1 \mapsto u - t.1, il écrit \overset{\shortparallel}{v} et \overset{\shortparallel}{-v'} ; on les rend par des accolades.

Il reste : faire la jonction avec les développements du §1, relatifs au cas où on se donne, au = temps que q sur V, définissant la quadrique affine d'équation q(x) + 1 = 0, un \omega_{0} \in \Gamma \det \check{E} satisfaisant (non pas \delta'(q) = \omega_{0}^{\otimes 2} mais…) \delta'(q) = -\omega_{0}^{\otimes 2} \qquad \text{i.e.} \qquad \delta'(-q) = \omega_{0}^{\otimes(-2)} Dans la dernière formule, l'exposant est d'abord \otimes 2, puis \otimes(-2) ; \omega_{0} y est surchargé.

Dans ce cas, montrons que l'iso X^{\Omega} \setminus X \overset{f_{q,\omega}}{\simeq} \Sigma \qquad (\text{où } \Omega \simeq S[\mathbf{i}]) induit par l'iso X^{\Omega} \simeq \hat{\Sigma} est donné par la formule du § précédent, soit g_{q}.

Le bloc qui suit, jusqu'à \theta : \gamma M \to \gamma M', est encadré à gauche et barré de deux longues diagonales ; il reste lisible et on le donne sous struck. Ors (E, q, \omega_{0}) de la forme (\gamma M, q_{M}, \omega_{M}), donc \Sigma défini par \det u = 1, \operatorname{tr} u = 0 [i.e. c'est le schéma des opérations u \in M de H.C. d'équation u^{2} + 1 = 0, i.e. ~~qui~~ ~~définissant~~ schém. des ~~structures de~~ inclusions \mathcal{O}_{S}[\mathbf{i}] \hookrightarrow M …] La donnée de \omega, revient : dessus à la donnée d'une section i de \mathcal{O}_{S} telle que \text{\struck{$i^{2} = -1$}} ~~et on prend~~ \text{\struck{$\omega = i\,\omega_{M}^{\otimes 2}$}} ~~d'où~~ \text{\struck{$\delta'(q_{M}) = \omega^{\otimes 2} = -\omega_{M}^{\otimes 2}$}} ~~et on peut iso~~ \text{\struck{$(\gamma M, -\det_{\gamma M})$}} \quad \text{\struck{$\delta'(-q_{M}) = -\omega^{\otimes(-2)}$}} ~~donc on a un iso \gamma M~~ \text{\struck{$(\gamma M, -q_{M} = \det_{\gamma M}, \omega = i\omega_{M}) \longrightarrow (\gamma M', q_{M'}, \omega_{M'})$}} ~~(quitte à prendre M' : iso canonique près). On peut prendre~~ \text{\struck{$M' = M$,}} \qquad \text{\struck{$\gamma M \xrightarrow{\ \theta\ } \gamma M' = \gamma M$, \quad $x \longmapsto ix$}} Car q_{M'}(\theta u) = q_{M}(iu) = i^{2} q_{M}(u) = -q_{M}(u), \det \theta(\omega) = i^{3}\omega = i^{4}\omega_{M} = \omega_{M} = \omega_{M'}. En bas à droite, « TSVP » (tournez s'il vous plaît). Devant « Car », un symbole biffé et hachuré.

~~Donc par définition de l'iso du présent §1', appliqué à (M, q_{M}, i\omega_{M}), on l'obtient par transport de structure.~~

On doit avoir évidemment f_{q,\omega} = \theta_{q,\omega}\, g_{q} où \theta_{q,\omega} est un automorphisme de \Sigma, qui est compatible à tout chgt de base, et fonctoriel en (E, q, \omega). Pour prouver \theta_{q,\omega} = \mathrm{id}, OPS que S = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\tfrac{1}{2}], (E, q, \omega) étant la forme standard. On a une section a_{0} de \Sigma, et \Sigma s'identifie au quotient G/T, où G = \mathrm{SO}(3)_{S} = \mathrm{Aut}(E, q, \omega), et T est le stabilisateur de a_{0}, i.e. un tore maximal. Les ~~seules~~ automorphismes de un groupe des \Sigma \simeq G/T commutant à G \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} : G \to N(T)/T \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{S}, engendré précisément par l'antipodisme.

Ceci montre que \theta_{q,\omega}, qui est donné par une section de N(T)/T sur S, est soit l'identité, soit l'antipodisme. Mais lequel des deux ? « OPS » : on peut supposer. La lecture « S = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\frac{1}{2}] » est celle que demandent les car. résid. \neq 2 ; le dénominateur est petit. « \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} » est ajouté au-dessus de la ligne ; la phrase qui le porte est elliptique.

Sur une donnée (supposons extension préalable de S en S[\mathbf{i}] …) \omega = i\omega_{0} de sorte que \delta'(q) = \omega^{\otimes 2}, il faut calculer l'effet de g_{q} sur u + \mathbf{i}v, i.e. de f_{\omega} sur u + iv, u - iv. La vérité est la suivante : on considère (E, -q, \omega = i\omega_{0}) \simeq (\gamma M', q_{M'}, \omega_{M'}) et on transforme u + iv, u - iv en éléments de \gamma M…

OPS (E, q, \omega_{0}) = (\gamma M, q_{M}, \omega_{M}), i.e. (E, -q, \omega) = (\gamma M, -q_{M}, i\omega_{M}) et on prend M' = M, \gamma M' \to \gamma M donné par \theta = i\,\mathrm{id}_{\gamma M}, qui transforme (u + iv, u - iv) en \alpha = iu - v, \qquad \beta = iu + v, Dans \beta = iu + v, le signe est surchargé ; la suite (2v = -\alpha + \beta) demande +. d'où 2iu = \alpha + \beta, \qquad 2v = -\alpha + \beta, \begin{cases} 4i[u,v] = 2[\alpha,\beta] \quad \text{i.e.} \quad 2i[u,v] = [\alpha,\beta] \\ -4q(u) = q(\alpha) + q(\beta) + \varphi(\alpha,\beta) = \operatorname{tr} \alpha\beta \\ 4q(v) = q(\alpha) + q(\beta) - \varphi(\alpha,\beta) = -\operatorname{tr} \alpha\beta \end{cases} Dans la deuxième ligne, q(\alpha) + q(\beta) est barré d'un trait léger (ces termes sont nuls, \alpha, \beta étant nilpotents). [u,v]/2q(u) = \frac{1}{2i} \cdot \frac{-2}{\operatorname{tr} \alpha\beta}\,[\alpha,\beta] = \frac{i}{\operatorname{tr} \alpha\beta}\,[\alpha,\beta] \quad \ldots Le dénominateur du premier facteur est récrit ; on lit 2i. Dans le second, un mot biffé devant \alpha\beta. i.e. \theta\bigl([u,v]/2q(u)\bigr) = i\,\frac{[u,v]}{2q(u)} = -[\alpha,\beta]/\operatorname{tr} \alpha\beta

On trouve l'identité dès qu'on trouve comme isom. g_{M} X_{M} \times X_{M} \longrightarrow \hat{\Sigma}_{M} celui qui, pour \alpha, \beta \in \Gamma\,\gamma M, définissant des sections de X (i.e. tels que \alpha, \beta aient tr. et dét. nuls, et soient \neq 0 sur toute fibre) assez disjointes fibre par fibre (i.e. \operatorname{tr}(\alpha\beta) \neq 0 \qquad \text{fibre par fibre}), associe la section de \Sigma \subset \gamma M définie par -[\alpha,\beta]/\operatorname{tr}(\alpha\beta) (et non +[\alpha,\beta]/\operatorname{tr}\alpha\beta). Il faut vérifier sur une propriété tirée conséquente l'interprétation comme section de \hat{\Sigma}, il faut prendre -[\alpha,\beta]/\operatorname{tr}(\alpha\beta) + 1 \quad \text{ou encore} \operatorname{tr}(\alpha\beta).1 - [\alpha,\beta]. Donc l'iso X_{M} \times X_{M} \longrightarrow \hat{\Sigma}_{M} provient d'un ~~iso~~ hom. bilinéaire au niveau des cônes affines C = \check{\mathbb{V}}_{\mathrm{aff}}(q_{\gamma M}) et D \simeq \mathbb{V}_{\mathrm{aff}}(q_{M}) ~~\tilde{X}_{M} \times \tilde{X}_{M} \longrightarrow \ill{}~~ La dernière ligne est surchargée et barrée ; la flèche biffée allait vers un symbole hachuré. L'indice « aff » sous \mathbb{V} est une lecture.

\text{\struck{$(\alpha,\beta) \longmapsto$}} F_{M} : C_{M} \times C_{M} \longrightarrow D_{M} F_{M}(\alpha,\beta) = \operatorname{tr}(\alpha\beta).1 - [\alpha,\beta] compatible avec l'homom. \mathbb{G}_{m} \times \mathbb{G}_{m} \longrightarrow \mathbb{G}_{m}, \qquad (\lambda,\mu) \longmapsto \lambda\mu sur les groupes d'homothéties.

~~cônes épointés, celui-ci induisant par passage aux quotients des \mathbb{G}_{m}-torseurs \hat{C}_{M} \times \hat{C}_{M} / \mathbb{G}_{m} \simeq \hat{D}_{M} (épointé, antidiagonale exclue)~~ Ce passage, encadré d'un trait sinueux, est barré de plusieurs diagonales ; la lecture des mots sous les ratures est incertaine.

Le fait que l'on s'envoie bien dans D_{M} provient de la formule (\alpha, \beta étant nilpotents, i.e. \det\alpha = \det\beta = \operatorname{tr}\alpha = \operatorname{tr}\beta = 0) \Longrightarrow\ q_{M}\bigl([\alpha,\beta]/\varphi(\alpha,\beta)\bigr) = 1 \qquad \text{i.e.} \qquad \det([\alpha,\beta]) + \operatorname{tr}(\alpha\beta)^{2} = 0 i.e. q_{M}[\alpha,\beta] = \varphi(\alpha,\beta)^{2} Devant \varphi(\alpha,\beta)^{2}, un signe - est biffé. cas particulier de la formule générale (valable pour \alpha, \beta \in \Gamma\,\gamma M arbitraires) q_{M}([\alpha,\beta]) = -4\,q(\alpha)\,q(\beta) + \varphi(\alpha,\beta)^{2}

(1) \qquad \det([\alpha,\beta]) + (\operatorname{tr}(\alpha\beta))^{2} - 4(\det\alpha)(\det\beta) = 0 si \operatorname{tr}\alpha = \operatorname{tr}\beta = 0. Soit u = \alpha + s.1, \qquad v = \beta + t.1 \qquad \text{donc} \qquad \operatorname{tr} u = 2s, \quad \operatorname{tr} v = 2t, d'où (4) \qquad [u,v] = [\alpha,\beta] \text{\struck{$\operatorname{tr}(\alpha\beta) = \operatorname{tr}((u-s)(v-t)) = \operatorname{tr}(uv) + 2st$}} \text{\struck{$\operatorname{tr}\alpha\beta = \operatorname{tr} uv - s\operatorname{tr} v - t\operatorname{tr} u + 2st$}} \text{\struck{$= \operatorname{tr} uv - \operatorname{tr} u \operatorname{tr} v$}} Les trois lignes barrées portent sous leurs termes des accolades « \frac{1}{2}\operatorname{tr} u \operatorname{tr} v », « \frac{1}{2}\operatorname{tr} v \operatorname{tr} u », « \frac{1}{2}\operatorname{tr} u \operatorname{tr} v », barrées avec elles. uv = \alpha\beta + s\beta + t\alpha + st \qquad \text{donc} \operatorname{tr} uv = \operatorname{tr}\alpha\beta + 2st = \operatorname{tr}\alpha\beta + \tfrac{1}{2}\operatorname{tr} u \operatorname{tr} v i.e. \operatorname{tr}\alpha\beta = \operatorname{tr} uv - \tfrac{1}{2}\operatorname{tr} u \operatorname{tr} v (2) \qquad (\operatorname{tr}\alpha\beta)^{2} = (\operatorname{tr} uv)^{2} - (\operatorname{tr} uv)(\operatorname{tr} u)(\operatorname{tr} v) + \tfrac{1}{4}(\operatorname{tr} u)^{2}(\operatorname{tr} v)^{2} (3) \qquad \begin{cases} \det\alpha = \det(u-s) = \det(s-u) = s^{2} + \det u = \tfrac{1}{4}(\operatorname{tr} u)^{2} + \det u \\ \det\beta = t^{2} + \det v = \tfrac{1}{4}(\operatorname{tr} v)^{2} + \det v \end{cases} Les formules (3) sont transcrites telles qu'écrites ; pour une matrice 2 \times 2 on attendrait \det(u - s) = \det u - s^{2}, et le signe intervient dans le résultat encadré ci-dessous. donc \det([u,v]) + (\operatorname{tr} uv)^{2} - (\operatorname{tr} uv)(\operatorname{tr} u)(\operatorname{tr} v) + \tfrac{1}{4}(\operatorname{tr} u)^{2}(\operatorname{tr} v)^{2} - \tfrac{1}{4}\bigl[(\operatorname{tr} u)^{2} + 4\det u\bigr]\bigl[(\operatorname{tr} v)^{2} + 4\det v\bigr] Les termes \frac{1}{4}(\operatorname{tr} u)^{2}(\operatorname{tr} v)^{2} et le produit des deux (\operatorname{tr})^{2} des crochets sont reliés par des accolades : ils se compensent. Le facteur \frac{1}{4} devant les crochets est surchargé. Encadré : \det([u,v]) - (\det u)(\operatorname{tr} v)^{2} - (\det v)(\operatorname{tr} u)^{2} - 4(\det u)(\det v) + (\operatorname{tr} uv)^{2} - (\operatorname{tr} uv)(\operatorname{tr} u)(\operatorname{tr} v) = 0 Le signe entre \det([u,v]) et (\det u)(\operatorname{tr} v)^{2} est une tache d'encre ; on lit -.

Quadriques affines bi-régulières

Titre de sa main ; il est précédé d'un numéro encadré « 1'' », biffé. « bi- » est ajouté au-dessus de « régulières », qu'il souligne ; la glose entre parenthèses est ajoutée au-dessus de la ligne. ~~1''~~ Quadriques affines bi-régulières (i.e. (lisses et lisse à l'infini…) projectivement)

1. Soient, sur un schéma S, P un fibré projectif de rang 2\nu - 1, Q une quadrique lisse dans P, H un hyperplan de P non tangent à Q, ~~Q \setminus H = E~~ E le fibré affine correspondant. Donc E (connu (P, H)) est déterminé par une extension de \mathcal{O}_{S}-fibrés vect. (1) \qquad 0 \longrightarrow V \longrightarrow T \xrightarrow{\ \pi\ } \mathcal{O}_{S} \longrightarrow 0 où V est un \mathcal{O}_{S}-Module loc. libre (de rang 2\nu - 1) T étant de rg 2\nu. des translations de T, E = \pi^{-1}(1). Connaissant Q, elle est déterminée par la donnée d'une section de \check{\mathbb{P}}(\mathrm{Sym}^{2}(\check{T})) = \mathbb{P}(\struck{\ill{}}\,\Gamma^{2}(T)), i.e. une forme quadratique q sur T définie loc. à multiplication près par une scalaire inversible. La condition Q lisse signifie q lisse i.e. la forme bil. associée \varphi non dégénérée, i.e. encore que (2) \qquad \delta(q) \in \Gamma(S, (\det T)^{\otimes -2}) est une ~~section~~ base de (\det T)^{\otimes -2}, i.e. est partout non nulle. La condition que H est non tangent : Q signifie aussi que q \vert V est une forme lisse. ~~On va le~~ ~~que le discriminant~~

Notamment, en notant \mathbb{D} le sous-fibré inversible

Le « rang 2\nu - 1 » de P et de V est récrit (« 2\nu-1 » surchargé). Dans (2), le T de \det T est surchargé ; « det » est souligné dans la ligne suivante.

de T défini par (3) \qquad \mathbb{D} = V^{\perp} et on a, par (4) \qquad \mathbb{D} \simeq (E/V)^{\vee} \simeq \mathcal{O}_{S}^{\vee} \simeq \mathcal{O}_{S} i.e. \mathbb{D} est muni canoniquement d'une ~~section~~ base a, i.e. d'une section (4') \qquad \begin{cases} a \in \Gamma(S, \mathbb{D}) \subset \Gamma(T) \\ E = \{x \in \Gamma(-, T) \mid \varphi(x, a) = 1\} \end{cases} — du moins quand q est donnée (non seulement mod. unités). Dans le cas général, regardant q comme une section d'un sous-fibré inv. L (quotient ) de \Gamma^{2}(T), i.e. dual de \mathrm{Sym}^{2}(\check{T})…), on trouve \mathbb{D} \otimes (E/V) \simeq L \quad \text{i.e.} [comme T/V \simeq \mathcal{O}_{S}] on trouve un isom. canonique (5) \qquad \mathbb{D} \xrightarrow{\ \sim\ } L La condition H non tangent : Q s'exprime donc par la condition que Dans (4), (4') et la formule \mathbb{D} \otimes (E/V), le E (ou T) est surchargé et peu sûr ; la lecture « T/V \simeq \mathcal{O}_{S} » de la ligne suivante suggère T. La phrase se poursuit p. 119.

vérifier cette affirmation ! q \vert \mathbb{D} non nulle fibre par fibre — ou encore, en identifiant q \vert \mathbb{D} à un homom. q : \mathbb{D}^{\otimes 2} \longrightarrow L, que cet homom. soit un iso (6) \qquad q : \mathbb{D}^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } L La condition E… combinée avec l'iso. (5) donne un iso. L^{\otimes 2} \simeq L i.e. un iso (7) \qquad \mathbb{D} \simeq L \simeq \mathcal{O}_{S} Ce qui peut aussi s'exprimer ainsi : Pour que H = \mathbb{P}(W) soit non tangent : Q \subset P, il faut et il suffit

Proposition (qu'il existe une ~~unique~~ section a de \mathbb{D} , et une section q du sous-fibré \check{L} de \mathrm{Sym}^{2}(\check{T}) définissant Q, telles que (8) \qquad \text{a)}\ q(a) = 1 (9) \qquad \text{b)}\ \text{\struck{$E = \{x \in \Gamma(-,T)$}}\ \varphi(a,x) \text{\struck{$= 1\}$}} \quad (x \in \Gamma(-,T)) Alors a, où \varphi est la forme bil. associée à q, sont déterminés de façon unique, et ce sont respectivement des bases de \mathbb{D} et de \check{L}. Enfin, on a (10) \qquad \pi(a) = 2 Je vais : prouver cette dernière relation. ~~Or les plus , pour x \in \Gamma(-,T)~~ La marge gauche porte, en travers, une note de sa main au crayon (« vérifier cette affirmation ! »), et, le long de la Proposition, un trait vertical et quelques mots écrits verticalement, dont on lit seulement « q \vert V^{\perp} » et « équivaut » ; le reste est . Dans (9), la description de E est biffée par hachures, ne laissant que \varphi(a,x) ; la forme exacte de la condition restante n'est pas lisible. Le soulignement de « Proposition » est le sien.

\text{\struck{$(11) \qquad \pi(x) = \varphi(a,x)$,}} ce qui s'obtient en faisant x = a dans (9), et notant que \varphi(a,a) = 2q(a) = 2.

Scholie. La cat. des (P, Q, H) comme ci-dessus équivaut donc à celle des (T, q, a), T fibré vectoriel de rg 2\nu, q forme quadratique lisse sur T, a section de T, telles que q(a) = 1.

N.B. a) En car. résiduelles \neq 2, on a donc que (i.e. E est muni d'une section privilégiée qui en fait un fibré vectoriel) T \simeq V + \mathbb{D} \simeq V + \mathcal{O}_{S} \quad \text{canoniquement, la décomposition} étant orthogonale et Q étant défini canoniquement par une forme quadratique sur V, Q \cap E l'équation (dans x \in \Gamma(-, E)) (12) \qquad q(x,t) = q_{0}(x) + t^{2} q_{0}(x) + 1 = 0 \quad \text{i.e.} \quad q_{0}(x) = -1 D'où en car. rés. \neq 2, la cat. des triples (P, Q, H), ou des couples (E, Q \cap E) (E étant muni de sa structure de fibré affine…) est donc équivalente à celle des couples (V, q_{0}), où V est un fibré vectoriel de rang 2\nu - 1.

En car. 2, par contre, on doit avoir \mathbb{D} \subset V, et il n'y a pas de décomposition canonique, par ex. des réductions où on a toujours une forme de degré 2\nu - 1.

b) Si T est de rang impair 2\nu + 1, donc V de rang pair 2\nu, les conditions que Q soit Dans le Scholie, le passage « T fibré vectoriel … q(a) = 1 » est ajouté au-dessus de la ligne, en remplacement d'un premier « bases, sur T, a section de T … » biffé ; la ligne de N.B. commence par un « En car. résid. \neq 2 » biffé puis repris. La parenthèse « (i.e. E est muni …) » est un ajout interlinéaire. Le numéro (12) surcharge un autre chiffre ; « (11) » en tête de page est biffé avec la formule. Dans (12), l'argument de q_{0} est surchargé. La phrase b) se poursuit au-delà de ce lot.