Cote n° 77, pages 101–120

Cote n° 77 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

101La page continue un calcul commencé avant ce lot (les notations $\tilde{U}$, $\Sigma_{-4}$, $\varphi$, $[x,y]$ y sont déjà fixées). La moitié supérieure, jusqu'à la flèche $g$, est barrée de longs traits obliques ; elle se lit néanmoins et on la donne entière sous struck.

Car. […]

$q([x,y]) = \varphi(x,y)^{2}$. Donc si $x + \mathbf{i}y \in \Gamma\tilde{U}$, donc $q(x) = q(y)$, $\varphi(x,y) = 0$ ⌜$\in \Gamma\,\mathbb{G}_{m}$⌝, alors $q([x,y]) = 0$. Si […] remplace $x + \mathbf{i}y$ par \[ \text{\struck{$(a + \mathbf{i}b)(x + \mathbf{i}y) = \underbrace{ax - by}_{x'} + \mathbf{i}(\underbrace{bx + ay}_{y'})$,}} \] on trouve $x' \wedge y'$ $= (a^{2} + b^{2})\, x \wedge y$, $q(x') = q(y')$ $= (a^{2} + b^{2})\, q(x)$, donc $x' \wedge y' / q(x')$ $= x \wedge y / q(x)$. On trouve \[ \text{\struck{$x + \mathbf{i}y \in \Gamma\tilde{U} \Longrightarrow [x,y]/q(x) \in \Sigma_{-4}$}} \] donc \[ \text{\struck{$\tilde{g} : \tilde{U} \longrightarrow \Sigma_{-4}$}} \] passe au quotient en \[ g : \text{\struck{$\tilde{X}$}}\ \longrightarrow \Sigma_{-4} \] (indépendamment de la […]). S[…], $[x,y]/q(x) = [x',y']/q^{2}(x')$ ; […] (quitte à localiser, et à remplacer $x'$ par $\lambda x'$ […], $q(x) = q(x')$, $[x,y] = [x',y']$. S[…] que $g \vert S$ […] […] car.Ce bloc encadré et barré est peu lisible ; les fragments donnés ici sont ce qui se lit sous les ratures. \[ [x,y] = \varphi(x,y)\, H \quad \text{où} \quad \begin{cases} H \text{ base du centre de } \tilde{\mathfrak{g}} \\ q(H) = 1 \end{cases} \] donc \[ q([x,y]) = \varphi(x,y)^{2}. \] Si $\varphi(x,y) = 0$ ([…] $x + \mathbf{i}y \in \Gamma\tilde{X}^{S[i]} \supset \Gamma(\tilde{U})$), […] $[x,y] = 0$. Dans car. 2 l'involution se spécialise en l'involution constante du sous-schéma $0$ : rien à faire…!

102(1') Soit $S$ schéma, $E$ fibré affine de rg 3 sur $S$, $\Sigma \subset E$ une quadrique affine ⌜(projectiv[emen]t ⌜lisse⌝ régulière)⌝. […] il revient au $=$ de […] ⌜($= \hat{E}$)⌝ se donner une partie d'un fibré projectif $P$ de rang 3, d'une quadrique ⌜lisse⌝ ⌜($= \hat{\Sigma}$)⌝ $Q \subset P$, et d'un hyperplan $H$ de $P$ — on prend $E = P \setminus H$, $\Sigma = Q \cap E = Q \setminus Q \cap H$. […] [Si on veut, il revient encore au $=$ de se donner $Q$ comme schéma (projectif lisse) sur $S$ qui soit une forme de $\mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$, ce qui détermine $P$ canoniquement, et de prendre un diviseur ⌜$X$⌝ de type $(1,1)$ sur $Q$ — lequel est défini par un $H$ bien déterminé dans $P$…] Le signe $=$ isolé (« revient au $=$ ») est son abréviation de « même ».

On suppose […] que fibre par fibre $\Sigma$ n'est pas un paraboloïde, i.e. que $H$ n'est pas tangent à $Q$, ou encore que $X = H \cap Q = \hat{\Sigma} \setminus \Sigma$ est lisse, i.e. un […] projectif sur $S$. On peut dire aussi que la donnée de $(E, \Sigma)$ équivaut à celle d'une ext. $\mathcal{E}$ de $\mathcal{O}_{S}$ par

103un fibré vectoriel de rg 3 $V$ (fibré des translations de $E$) \[ 0 \longrightarrow V \longrightarrow \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{O}_{S} \longrightarrow 1 \] Le dernier terme est écrit comme un trait vertical, qui se lit $1$ ; on attendrait $0$. et « une » forme quadratique ⌜lisse⌝ $Q$ (sur $\mathcal{E}$) définie loc[alemen]t à mult. près par une unité. [[…] signifie que $\Sigma$ est définie par une fonction polynomiale de degré $\leq 2$, et qui est projectiv[emen]t lisse…]

La condition que $\Sigma$ ne soit pas un paraboloïde signifie que $q \vert V$ est […] dégénérée lisse. Si les car. résid. sont $\neq 2$, cela signifie ⌜aussi⌝ que \[ \mathcal{E} = V \oplus V^{\perp}, \] donc $E$ se trouve muni ⌜parallèlement à l'idéal : $V$⌝ d'une origine $o$ (le pôle de $H = P(V)$) ⌜(le centre de $Q$)⌝ et $\Sigma$ est stable par la symétrie p.r. à cette origine — $o$ s'appelle le centre de la quadrique affine. Ce […] ⌜section⌝ de $E$ sur $S$) est rendu fonctoriel par $\Sigma$, la la condition quadratique peut être normalisée par la condition qu'elle vaut $1$ en $o$, ce qui la détermine de

104façon unique et assure son existence. On […] trouve donc que sur $E \;(= V \times 1)$ […] ⌜$\subset \mathcal{E}$⌝ la fonction induite par $Q$ est de la forme $q(x) + 1$ où $q$ est la forme quadratique ⌜lisse⌝ induite sur $V$ par $Q$. Donc la donnée de $\Sigma$ dans $E$ équivaut (au […] des possibilités) à celle de

a) Section $\sigma$ de $E$ (le centre de $\Sigma$)

b) forme quadratique ⌜lisse⌝ sur $V$ (fibré vectoriel des translations)

On associe à $\sigma$, $q$ la quadrique \[ \Sigma = \check{\mathbb{V}}(q+1) = \{x \in \Gamma(E, V) \mid q(x) = -1\} \] (en identifiant $E$ à $V$ grâce à $\sigma$).

Le paragraphe suivant est marqué en marge gauche d'un double trait vertical, à l'encre noire. Ces développements sont valables […] […] ([…] de $E$) au […] premier sens, […] ⌜(comme […] […])⌝, […] […] […] […], ce […] des car. résid. $\neq 2$.

Considérons \[ \delta'(q^{\ast}) \in (\det \check{V})^{\otimes 2} \qquad \text{base de } (\det \check{V})^{\otimes 2}, \] L'objet écrit après « Considérons », une sorte de $\delta$ surmonté d'un trait, est surchargé ; l'exposant de $q$ est peu lisible.

105et considérons le […] de \[ \check{\mathbb{V}}(\det \check{V}) = \mathbb{V}(\det(\check{V})) = \mathbb{V}(\det(V)^{-1}) \] défini par l'équation \[ \omega^{\otimes(-2)} = \delta'(q). \] C'est un torseur sous $\mu_{2,S} \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{S}$, i.e. un rev[êtement] étale de degré 2 de $S$, (car. résid. $\neq 2$ !) noté $\Omega$. [Dans le cas où $q$ est spécial orthogonal, i.e. muni de $\omega_{0}$ telle que $\omega_{0}^{\otimes -2} = -\delta'(q)$ — attention au signe ! — les $\omega$ correspondent aux $\lambda\omega_{0}$ avec $\lambda^{2} = -1$, dans $\Omega = S[\mathbf{i}] \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S}[T]/(T^{2}+1)$.] Le signe devant $\delta'(q)$ est doublé d'un second trait, sans doute pour le souligner ; le $i$ de $S[i]$ est souligné, comme ailleurs dans le lot : on le rend par $\mathbf{i}$.

Considérons la clôture projective $\hat{\Sigma}$ ($= Q$) de $\Sigma$, et […] sa […] à l'infini, […] ⌜conique⌝ projective $X$ ⌜($\subset H = \check{\mathbb{P}}(V)$, hyperplan à l'infini de $\hat{E}$)⌝ qui est aussi […] de $\hat{E} = \check{\mathbb{P}}(\mathcal{E})$, définie par la forme $q$. On voit que, si $\sigma$ désigne la […] symétrie p.r. à l'origine $\sigma$ de $E$, […] […] $\hat{E}$), on a \[ \hat{E}^{\sigma} = \sigma(S) \sqcup H, \quad \text{(}H = \mathbb{P}(V)\ \text{hyperplan à l'infini de } \hat{E}\text{)} \] \[ \hat{\Sigma}^{\sigma} = H \cap \hat{\Sigma} = X. \] Le membre « $= \sigma(S) \sqcup H$, … » est ajouté à l'encre noire au-dessus de la parenthèse sur $H$.

106Notre propos est de définir un isomorphisme

Considérons $X$ d'autre part \[ \mathbf{Hom}_{S}(\Omega, X) \overset{\text{déf}}{=} X^{\Omega} ; \] l'automorphisme can. de $\Omega$ définit un automorphisme de $X^{\Omega}$, noté ⌜également⌝ $\sigma$, donc et on a évidemment un iso. can. \[ (X^{\Omega})^{\sigma} \simeq X. \] Ceci posé, notre propos est de définir un iso canonique \[ X^{\Omega} \xrightarrow{\ \sim\ } \hat{\Sigma} \] compatible avec $\sigma$, et rendant commutatif le diagramme

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\begin{tikzcd}
  & X \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook, "i"] & \\
  X^{\Omega} \arrow[rr, "\sim"] & & \hat{\Sigma}
\end{tikzcd}

donc induisant un iso \[ \Sigma \simeq X^{\Omega} \setminus X, \] compatible avec $\sigma$.

107Pour définir un iso \[ X^{\Omega} \xrightarrow{\ \sim\ } \hat{\Sigma} \] il revient au $=$, par descente, de définir un iso \[ (X^{\Omega})_{\Omega} \xrightarrow{\ \sim\ } (\hat{\Sigma})_{\Omega} \] compatible avec les $\Omega$-autom. des deux schémas, ce qui revient au $=$ [comme \[ (X^{\Omega})_{\Omega} \simeq (X_{\Omega})^{\Omega_{\Omega}}, \quad \Omega_{\Omega} = \Omega \times_{S} \Omega = \Omega \sqcup \Omega, \quad \simeq X_{\Omega} \times X_{\Omega}, \] avec l'action de descente (provenant de l'action de $\Omega$ à $X^{\Omega}$) se transformant en l'action composée de la symétrie des 2 facteurs et de l'automorphisme induit $\sigma_{\Omega}$ de $\Omega$,] il revient au $=$ de trouver un isom. \[ X_{\Omega} \times X_{\Omega} \xrightarrow{\ \sim\ } \hat{\Sigma}_{\Omega} \quad (= \widehat{\Sigma_{\Omega}}) \] qui transforme $\sigma_{\Omega}^{(\ast)} \times s$ en $\sigma_{\Omega}^{(\hat{\Sigma}_{\Omega})}$. L'exposant du premier $\sigma_{\Omega}$ est un mot abrégé, illisible (« […] ») ; $s$ est la symétrie des deux facteurs. Cela signifie aussi : pour $\omega \in \Gamma(S', (\det V)^{\otimes 2})$ […] ($S'$ quelc. sur $S$) tel que \[ \delta'(q) = \omega^{\otimes 2}, \] trouver un iso \[ (\ast) \qquad f_{\omega} : X \times X \longrightarrow \hat{\Sigma} \] […] satisfaisant les conditions Dans $\delta'(q)$, le $q$ est récrit à l'encre noire par-dessus un symbole biffé. L'exposant de $\det V$ dans $\Gamma(S', \ldots)$ est peu sûr.

108a) compatibilité au changement de base $f(-\omega, x, y) =$ […]

b) $f_{-\omega}(x,y) = f_{\omega}(y,x)$

c) $f_{\omega}(y,x) = \sigma f_{\omega}(x,y)$

d) $f_{\omega}(x,x) = i(x)$

Les lettres b) et c) sont surchargées l'une sur l'autre ; en c), le membre de gauche est d'abord écrit $f_{\omega}(x,y)$ puis corrigé. […] Notons que ⌜donc b) et c) impliquent ensemble⌝ \[ f_{-\omega}(x,y) = f_{\omega}(y,x) = \sigma f_{\omega}(x,y), \] \[ \delta'(-q) = -\delta'(q) = -\omega^{\otimes 2}, \] donc il y a un iso on peut trouver, grâce à $\omega$, une algèbre de Azumaya […] $M$ et un iso \[ E \overset{\varphi}{\simeq} \gamma M \] attention au signe transformant $-q$ en $q_{M} = -\det \vert \gamma M$ et $\omega$ en $\omega_{M}$, donc transformant ⌜$(M, \varphi)$ […] […] : iso[morphisme] unique près par $q, \omega$⌝ […] $X$ s'interprète comme la variété projective associée au cône des ⌜[…]⌝ nilpotents de $M$, définis par les équations \[ \operatorname{Tr} u = \det u = 0. \] Quant à $\Sigma$, il correspond à l'équation $\det u = -1$ en plus de $\operatorname{Tr} u = 0$, qui correspond au schéma des réflexions associées à $M$. L'iso. induit par $f_{\omega}$ donne un iso \[ (X \times X) \setminus X \simeq \Sigma \] s'interprétant comme une bijection (fonctorielle

109pour le changement de base) ens. des couples $(u, v)$ d'él. de $M$ […] (i.e. […] du tr. et dét. nuls), ⌜([…] scalaires […])⌝ distincts fibre par fibre \[ \simeq \text{ens.\ des réflexions de } M \quad (\operatorname{tr} = 0,\ \det = -1). \] Mais les réflexions correspondent […]

Si on veut passer aux clôtures projectives, on note que (comme car. rés. $\neq 2$) […] \[ M \simeq \gamma M \oplus \mathcal{O}_{S}, \] Sous $\gamma M$, un signe $\wr$ relie à $\tilde{V}$ : $\gamma M \simeq \tilde{V}$. \[ \hat{\Sigma}_{M} \subset \check{\mathbb{P}}(M) \] défini par l'équation ⌜dans $\check{\mathbb{V}}(\gamma M \oplus \mathcal{O}_{S})$⌝ \[ \det(u) + t^{2} = 0 \qquad \text{i.e.} \qquad \det(u + t\,\mathrm{id}) = 0 ; \] Devant $t^{2}$, un coefficient est biffé. si on veut, on pose $v = u + t\,\mathrm{id}$,

i.e. c'est ⌜c'est la⌝ quadrique projective définie par $\det$ de $M$, $\det v = 0$. On sait qu'on a un iso. canonique ⌜[…] celle-ci et⌝ \[ F_{M} : X_{M} \times X_{M} \simeq \hat{\Sigma}_{M}, \qquad \hat{\Sigma} \cap \mathbb{P}(M) \simeq X \] avec (qui sur $X_{M} \times X_{M}$) induit l'application diagonale. On sait de plus que $F_{M}(y,x)$ $F_{M}$ transforme la symétrie de $X_{M} \times X_{M}$ en l'effet sur $\hat{\Sigma}_{M}$ de l'antiinvolution \[ v \longmapsto v' = \operatorname{tr}(v).1 - v \] (qui conserve le déterminant…), ce qui ⌜($u \in \Gamma\,\gamma M$, $t \in \Gamma(\mathcal{O}_{S})$)⌝ pour \[ v = u + t1 \] s'écrit \[ v' = 2t.1 - (u + t.1) = -u + t1, \] soit \[ -v' = u - t.1 \]

110donc l'automorphisme de $\hat{\Sigma}_{M}$ induit par $v \mapsto v'$ est aussi l'antipodisme, induit par la réflexion \[ \underset{v}{\underbrace{u + t.1}} \longmapsto \underset{-v'}{\underbrace{u - t.1}} . \] Ceci par transport échange du dessin notre iso. $(\ast)$, satisfaisant a) c) d) ; il reste à vérifier b), ce qui revient au $=$, la formule \[ f_{-\omega}(x,y) = \sigma f_{\omega}(x,y), \] ce qui résulte du fait que $(\omega, x, y) \mapsto f_{\omega}(x,y)$, $X \times X \times \Omega \longrightarrow \hat{\Sigma}$, étant défini fonctoriellement en $(E, q, \omega)$, commute à l'action de l'iso \[ -\mathrm{id}_{E} : (E, q, \omega) \longrightarrow (E, q, -\omega). \] Sous les deux membres de la flèche $u + t.1 \mapsto u - t.1$, il écrit $\overset{\shortparallel}{v}$ et $\overset{\shortparallel}{-v'}$ ; on les rend par des accolades.

Il reste : faire la jonction avec les développements du §1, relatifs au cas où on se donne, au $=$ temps que $q$ ⌜sur $V$⌝, définissant la quadrique affine d'équation $q(x) + 1 = 0$, un $\omega_{0} \in \Gamma \det \check{E}$ satisfaisant (non pas $\delta'(q) = \omega_{0}^{\otimes 2}$ mais…) \[ \delta'(q) = -\omega_{0}^{\otimes 2} \qquad \text{i.e.} \qquad \delta'(-q) = \omega_{0}^{\otimes(-2)} \] Dans la dernière formule, l'exposant est d'abord $\otimes 2$, puis $\otimes(-2)$ ; $\omega_{0}$ y est surchargé.

111Dans ce cas, montrons que l'iso \[ X^{\Omega} \setminus X \overset{f_{q,\omega}}{\simeq} \Sigma \qquad (\text{où } \Omega \simeq S[\mathbf{i}]) \] induit par l'iso $X^{\Omega} \simeq \hat{\Sigma}$ est donné par la formule du § précédent, […] soit $g_{q}$.

Le bloc qui suit, jusqu'à $\theta : \gamma M \to \gamma M'$, est encadré à gauche et barré de deux longues diagonales ; il reste lisible et on le donne sous struck. Ors $(E, q, \omega_{0})$ de la forme $(\gamma M, q_{M}, \omega_{M})$, donc $\Sigma$ défini par $\det u = 1$, $\operatorname{tr} u = 0$ [i.e. c'est le schéma des opérations $u \in M$ ⌜de H.C.⌝ d'équation […] $u^{2} + 1 = 0$, i.e. qui définissant schém. des structures de inclusions $\mathcal{O}_{S}[\mathbf{i}] \hookrightarrow M$ …] La donnée de $\omega$, ⌜revient : […] dessus⌝ à la donnée d'une section $i$ de $\mathcal{O}_{S}$ telle que \[ \text{\struck{$i^{2} = -1$}} \] et on prend \[ \text{\struck{$\omega = i\,\omega_{M}^{\otimes 2}$}} \] d'où \[ \text{\struck{$\delta'(q_{M}) = \omega^{\otimes 2} = -\omega_{M}^{\otimes 2}$}} \] et on peut […] […] […] iso \[ \text{\struck{$(\gamma M, -\det_{\gamma M})$}} \quad \text{\struck{$\delta'(-q_{M}) = -\omega^{\otimes(-2)}$}} \] donc on a un iso $\gamma M$ \[ \text{\struck{$(\gamma M, -q_{M} = \det_{\gamma M}, \omega = i\omega_{M}) \longrightarrow (\gamma M', q_{M'}, \omega_{M'})$}} \] (quitte à prendre $M'$ : iso canonique près). On peut prendre \[ \text{\struck{$M' = M$,}} \qquad \text{\struck{$\gamma M \xrightarrow{\ \theta\ } \gamma M' = \gamma M$, \quad $x \longmapsto ix$}} \] Car \[ q_{M'}(\theta u) = q_{M}(iu) = i^{2} q_{M}(u) = -q_{M}(u), \] \[ \det \theta(\omega) = i^{3}\omega = i^{4}\omega_{M} = \omega_{M} = \omega_{M'}. \] En bas à droite, « TSVP » (tournez s'il vous plaît). Devant « Car », un symbole biffé et hachuré.

112Donc par définition de l'iso du présent §1', appliqué à $(M, q_{M}, i\omega_{M})$, on l'obtient par transport de structure.

On doit avoir évidemment \[ f_{q,\omega} = \theta_{q,\omega}\, g_{q} \] où $\theta_{q,\omega}$ est un automorphisme de $\Sigma$, qui est compatible à tout chgt de base, et fonctoriel en $(E, q, \omega)$. Pour prouver $\theta_{q,\omega} = \mathrm{id}$, OPS que $S = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\tfrac{1}{2}]$, $(E, q, \omega)$ étant la forme standard. On a une section $a_{0}$ de $\Sigma$, et $\Sigma$ s'identifie au quotient $G/T$, où $G = \mathrm{SO}(3)_{S} = \mathrm{Aut}(E, q, \omega)$, et $T$ est le stabilisateur de $a_{0}$, i.e. un tore maximal. Les seules automorphismes de ⌜un groupe des⌝ $\Sigma \simeq G/T$ commutant à $G$ ⌜$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$⌝ : $G \to N(T)/T \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_{S}$, engendré précisément par l'antipodisme.

Ceci montre que $\theta_{q,\omega}$, qui est donné par une section de $N(T)/T$ sur $S$, est soit l'identité, soit l'antipodisme. Mais lequel des deux ? « OPS » : on peut supposer. La lecture « $S = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ » est celle que demandent les car. résid. $\neq 2$ ; le dénominateur est petit. « $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ » est ajouté au-dessus de la ligne ; la phrase qui le porte est elliptique.

113Sur une donnée (supposons extension préalable de $S$ en $S[\mathbf{i}]$ …) $\omega = i\omega_{0}$ de sorte que $\delta'(q) = \omega^{\otimes 2}$, il faut calculer l'effet de $g_{q}$ sur $u + \mathbf{i}v$, i.e. de $f_{\omega}$ sur $u + iv$, $u - iv$. La vérité est la suivante : on considère \[ (E, -q, \omega = i\omega_{0}) \simeq (\gamma M', q_{M'}, \omega_{M'}) \] et on transforme $u + iv$, $u - iv$ en éléments de $\gamma M$…

OPS \[ (E, q, \omega_{0}) = (\gamma M, q_{M}, \omega_{M}), \] i.e. \[ (E, -q, \omega) = (\gamma M, -q_{M}, i\omega_{M}) \] ⌜et on⌝ prend $M' = M$, $\gamma M' \to \gamma M$ donné par $\theta = i\,\mathrm{id}_{\gamma M}$, qui transforme $(u + iv, u - iv)$ en \[ \alpha = iu - v, \qquad \beta = iu + v, \] Dans $\beta = iu + v$, le signe est surchargé ; la suite ($2v = -\alpha + \beta$) demande $+$. d'où \[ 2iu = \alpha + \beta, \qquad 2v = -\alpha + \beta, \] \[ \begin{cases} 4i[u,v] = 2[\alpha,\beta] \quad \text{i.e.} \quad 2i[u,v] = [\alpha,\beta] \\ -4q(u) = q(\alpha) + q(\beta) + \varphi(\alpha,\beta) = \operatorname{tr} \alpha\beta \\ 4q(v) = q(\alpha) + q(\beta) - \varphi(\alpha,\beta) = -\operatorname{tr} \alpha\beta \end{cases} \] Dans la deuxième ligne, $q(\alpha) + q(\beta)$ est barré d'un trait léger (ces termes sont nuls, $\alpha$, $\beta$ étant nilpotents). \[ [u,v]/2q(u) = \frac{1}{2i} \cdot \frac{-2}{\operatorname{tr} \alpha\beta}\,[\alpha,\beta] = \frac{i}{\operatorname{tr} \alpha\beta}\,[\alpha,\beta] \quad \ldots \] Le dénominateur du premier facteur est récrit ; on lit $2i$. Dans le second, un mot biffé devant $\alpha\beta$. i.e. \[ \theta\bigl([u,v]/2q(u)\bigr) = i\,\frac{[u,v]}{2q(u)} = -[\alpha,\beta]/\operatorname{tr} \alpha\beta \]

114On trouve l'identité dès qu'on trouve comme isom. $g_{M}$ \[ X_{M} \times X_{M} \longrightarrow \hat{\Sigma}_{M} \] celui qui, pour $\alpha, \beta \in \Gamma\,\gamma M$, définissant des sections de $X$ (i.e. tels que $\alpha$, $\beta$ aient tr. et dét. nuls, et soient $\neq 0$ sur toute fibre) assez disjointes fibre par fibre (i.e. \[ \operatorname{tr}(\alpha\beta) \neq 0 \qquad \text{fibre par fibre}), \] associe la […] ⌜section⌝ de $\Sigma \subset \gamma M$ définie par \[ -[\alpha,\beta]/\operatorname{tr}(\alpha\beta) \] (et non $+[\alpha,\beta]/\operatorname{tr}\alpha\beta$). Il faut vérifier sur une propriété tirée conséquente […] […] […] l'interprétation comme section de $\hat{\Sigma}$, il faut prendre \[ -[\alpha,\beta]/\operatorname{tr}(\alpha\beta) + 1 \quad \text{ou encore} \] \[ \operatorname{tr}(\alpha\beta).1 - [\alpha,\beta]. \] Donc l'iso […] \[ X_{M} \times X_{M} \longrightarrow \hat{\Sigma}_{M} \] […] provient d'un iso ⌜hom.⌝ […] ⌜bilinéaire⌝ au niveau […] ⌜des cônes⌝ affines $C = \check{\mathbb{V}}_{\mathrm{aff}}(q_{\gamma M})$ et \[ D \simeq \mathbb{V}_{\mathrm{aff}}(q_{M}) \] $\tilde{X}_{M} \times \tilde{X}_{M} \longrightarrow \ill{}$ La dernière ligne est surchargée et barrée ; la flèche biffée allait vers un symbole hachuré. L'indice « aff » sous $\mathbb{V}$ est une lecture.

115\[ \text{\struck{$(\alpha,\beta) \longmapsto$}} \] \[ F_{M} : C_{M} \times C_{M} \longrightarrow D_{M} \] \[ F_{M}(\alpha,\beta) = \operatorname{tr}(\alpha\beta).1 - [\alpha,\beta] \] compatible avec l'homom. \[ \mathbb{G}_{m} \times \mathbb{G}_{m} \longrightarrow \mathbb{G}_{m}, \qquad (\lambda,\mu) \longmapsto \lambda\mu \] sur les groupes d'homothéties. […]

cônes épointés, celui-ci induisant par passage aux quotients des $\mathbb{G}_{m}$-torseurs $\hat{C}_{M} \times \hat{C}_{M} / \mathbb{G}_{m}$ $\simeq \hat{D}_{M}$ (épointé, antidiagonale exclue) Ce passage, encadré d'un trait sinueux, est barré de plusieurs diagonales ; la lecture des mots sous les ratures est incertaine.

Le fait que l'on s'envoie bien dans $D_{M}$ provient de la formule ($\alpha$, $\beta$ étant nilpotents, i.e. $\det\alpha = \det\beta = \operatorname{tr}\alpha = \operatorname{tr}\beta = 0$) \[ \Longrightarrow\ q_{M}\bigl([\alpha,\beta]/\varphi(\alpha,\beta)\bigr) = 1 \qquad \text{i.e.} \qquad \det([\alpha,\beta]) + \operatorname{tr}(\alpha\beta)^{2} = 0 \] i.e. \[ q_{M}[\alpha,\beta] = \varphi(\alpha,\beta)^{2} \] Devant $\varphi(\alpha,\beta)^{2}$, un signe $-$ est biffé. cas particulier de la formule générale (valable pour $\alpha, \beta \in \Gamma\,\gamma M$ arbitraires) \[ q_{M}([\alpha,\beta]) = -4\,q(\alpha)\,q(\beta) + \varphi(\alpha,\beta)^{2} \]

116\[ (1) \qquad \det([\alpha,\beta]) + (\operatorname{tr}(\alpha\beta))^{2} - 4(\det\alpha)(\det\beta) = 0 \] si $\operatorname{tr}\alpha = \operatorname{tr}\beta = 0$. Soit \[ u = \alpha + s.1, \qquad v = \beta + t.1 \qquad \text{donc} \qquad \operatorname{tr} u = 2s, \quad \operatorname{tr} v = 2t, \] d'où \[ (4) \qquad [u,v] = [\alpha,\beta] \] \[ \text{\struck{$\operatorname{tr}(\alpha\beta) = \operatorname{tr}((u-s)(v-t)) = \operatorname{tr}(uv) + 2st$}} \] \[ \text{\struck{$\operatorname{tr}\alpha\beta = \operatorname{tr} uv - s\operatorname{tr} v - t\operatorname{tr} u + 2st$}} \] \[ \text{\struck{$= \operatorname{tr} uv - \operatorname{tr} u \operatorname{tr} v$}} \] Les trois lignes barrées portent sous leurs termes des accolades « $\frac{1}{2}\operatorname{tr} u \operatorname{tr} v$ », « $\frac{1}{2}\operatorname{tr} v \operatorname{tr} u$ », « $\frac{1}{2}\operatorname{tr} u \operatorname{tr} v$ », barrées avec elles. \[ uv = \alpha\beta + s\beta + t\alpha + st \qquad \text{donc} \] \[ \operatorname{tr} uv = \operatorname{tr}\alpha\beta + 2st = \operatorname{tr}\alpha\beta + \tfrac{1}{2}\operatorname{tr} u \operatorname{tr} v \] i.e. \[ \operatorname{tr}\alpha\beta = \operatorname{tr} uv - \tfrac{1}{2}\operatorname{tr} u \operatorname{tr} v \] \[ (2) \qquad (\operatorname{tr}\alpha\beta)^{2} = (\operatorname{tr} uv)^{2} - (\operatorname{tr} uv)(\operatorname{tr} u)(\operatorname{tr} v) + \tfrac{1}{4}(\operatorname{tr} u)^{2}(\operatorname{tr} v)^{2} \] \[ (3) \qquad \begin{cases} \det\alpha = \det(u-s) = \det(s-u) = s^{2} + \det u = \tfrac{1}{4}(\operatorname{tr} u)^{2} + \det u \\ \det\beta = t^{2} + \det v = \tfrac{1}{4}(\operatorname{tr} v)^{2} + \det v \end{cases} \] Les formules (3) sont transcrites telles qu'écrites ; pour une matrice $2 \times 2$ on attendrait $\det(u - s) = \det u - s^{2}$, et le signe intervient dans le résultat encadré ci-dessous. donc \[ \det([u,v]) + (\operatorname{tr} uv)^{2} - (\operatorname{tr} uv)(\operatorname{tr} u)(\operatorname{tr} v) + \tfrac{1}{4}(\operatorname{tr} u)^{2}(\operatorname{tr} v)^{2} \] \[ - \tfrac{1}{4}\bigl[(\operatorname{tr} u)^{2} + 4\det u\bigr]\bigl[(\operatorname{tr} v)^{2} + 4\det v\bigr] \] Les termes $\frac{1}{4}(\operatorname{tr} u)^{2}(\operatorname{tr} v)^{2}$ et le produit des deux $(\operatorname{tr})^{2}$ des crochets sont reliés par des accolades : ils se compensent. Le facteur $\frac{1}{4}$ devant les crochets est surchargé. Encadré : \[ \det([u,v]) - (\det u)(\operatorname{tr} v)^{2} - (\det v)(\operatorname{tr} u)^{2} - 4(\det u)(\det v) \] \[ + (\operatorname{tr} uv)^{2} - (\operatorname{tr} uv)(\operatorname{tr} u)(\operatorname{tr} v) = 0 \] Le signe entre $\det([u,v])$ et $(\det u)(\operatorname{tr} v)^{2}$ est une tache d'encre ; on lit $-$.

Quadriques affines bi-régulières

117Titre de sa main ; il est précédé d'un numéro encadré « 1'' », biffé. « bi- » est ajouté au-dessus de « régulières », qu'il souligne ; la glose entre parenthèses est ajoutée au-dessus de la ligne. 1'' Quadriques affines ⌜bi-⌝régulières (i.e. (lisses et lisse à l'infini…) ⌜projectivement⌝)

1. Soient, sur un schéma $S$, $P$ un fibré projectif de rang $2\nu - 1$, $Q$ une quadrique lisse dans $P$, $H$ un hyperplan de $P$ non tangent à $Q$, $Q \setminus H = E$ $E$ le fibré affine correspondant. Donc $E$ (connu $(P, H)$) est déterminé par une extension de $\mathcal{O}_{S}$-fibrés vect. \[ (1) \qquad 0 \longrightarrow V \longrightarrow T \xrightarrow{\ \pi\ } \mathcal{O}_{S} \longrightarrow 0 \] où $V$ est un $\mathcal{O}_{S}$-Module loc. libre (de rang $2\nu - 1$) ⌜$T$ étant de rg $2\nu$.⌝ des translations de $T$, $E = \pi^{-1}(1)$. Connaissant $Q$, elle est déterminée par la donnée d'une section de \[ \check{\mathbb{P}}(\mathrm{Sym}^{2}(\check{T})) = \mathbb{P}(\struck{\ill{}}\,\Gamma^{2}(T)), \] i.e. une forme quadratique ⌜$q$⌝ sur $T$ définie loc. à multiplication près par une scalaire inversible. La condition $Q$ lisse signifie $q$ lisse i.e. la forme bil. associée $\varphi$ non dégénérée, i.e. encore que \[ (2) \qquad \delta(q) \in \Gamma(S, (\det T)^{\otimes -2}) \] est une section ⌜base⌝ de $(\det T)^{\otimes -2}$, i.e. est partout non nulle. La condition que $H$ est non tangent : $Q$ signifie aussi que $q \vert V$ est une forme lisse. On va le […] que le discriminant […]

Notamment, en notant $\mathbb{D}$ le sous-fibré inversible

Le « rang $2\nu - 1$ » de $P$ et de $V$ est récrit (« $2\nu-1$ » surchargé). Dans (2), le $T$ de $\det T$ est surchargé ; « det » est souligné dans la ligne suivante.

118de $T$ défini par \[ (3) \qquad \mathbb{D} = V^{\perp} \] et on a, par […] \[ (4) \qquad \mathbb{D} \simeq (E/V)^{\vee} \simeq \mathcal{O}_{S}^{\vee} \simeq \mathcal{O}_{S} \] i.e. $\mathbb{D}$ est muni canoniquement d'une section ⌜base⌝ $a$, i.e. d'une section \[ (4') \qquad \begin{cases} a \in \Gamma(S, \mathbb{D}) \subset \Gamma(T) \\ E = \{x \in \Gamma(-, T) \mid \varphi(x, a) = 1\} \end{cases} \] — du moins quand $q$ est donnée […] (non seulement mod. unités). Dans le cas général, regardant $q$ comme une section […] d'un sous-fibré inv. $L$ (quotient […]) de $\Gamma^{2}(T)$, i.e. dual de $\mathrm{Sym}^{2}(\check{T})$…), on trouve \[ \mathbb{D} \otimes (E/V) \simeq L \quad \text{i.e.} \] [comme $T/V \simeq \mathcal{O}_{S}$] on trouve un isom. canonique \[ (5) \qquad \mathbb{D} \xrightarrow{\ \sim\ } L \] La condition $H$ non tangent : $Q$ s'exprime donc par la condition que Dans (4), (4') et la formule $\mathbb{D} \otimes (E/V)$, le $E$ (ou $T$) est surchargé et peu sûr ; la lecture « $T/V \simeq \mathcal{O}_{S}$ » de la ligne suivante suggère $T$. La phrase se poursuit p. 119.

119vérifier cette affirmation ! $q \vert \mathbb{D}$ non nulle fibre par fibre — ou encore, en identifiant $q \vert \mathbb{D}$ à un homom. \[ q : \mathbb{D}^{\otimes 2} \longrightarrow L, \] que cet homom. soit un iso \[ (6) \qquad q : \mathbb{D}^{\otimes 2} \xrightarrow{\ \sim\ } L \] La condition E… combinée avec l'iso. (5) donne un iso. \[ L^{\otimes 2} \simeq L \] i.e. un iso \[ (7) \qquad \mathbb{D} \simeq L \simeq \mathcal{O}_{S} \] Ce qui peut aussi s'exprimer ainsi : ⌜Pour que $H = \mathbb{P}(W)$ soit non tangent : $Q \subset P$, il faut et il suffit⌝

Proposition (qu'il existe une unique section $a$ de $\mathbb{D}$ […], et une section $q$ du sous-fibré $\check{L}$ de $\mathrm{Sym}^{2}(\check{T})$ définissant $Q$, telles que \[ (8) \qquad \text{a)}\ q(a) = 1 \] \[ (9) \qquad \text{b)}\ \text{\struck{$E = \{x \in \Gamma(-,T)$}}\ \varphi(a,x) \text{\struck{$= 1\}$}} \quad (x \in \Gamma(-,T)) \] Alors $a$, ⌜où $\varphi$ est la forme bil. associée à $q$,⌝ […] sont déterminés de façon unique, et ce sont respectivement des bases de $\mathbb{D}$ et de $\check{L}$. Enfin, on a \[ (10) \qquad \pi(a) = 2 \] Je vais : prouver cette dernière relation. Or les plus […], pour $x \in \Gamma(-,T)$ La marge gauche porte, en travers, une note de sa main au crayon (« vérifier cette affirmation ! »), et, le long de la Proposition, un trait vertical et quelques mots écrits verticalement, dont on lit seulement « $q \vert V^{\perp}$ » et « équivaut » ; le reste est […]. Dans (9), la description de $E$ est biffée par hachures, ne laissant que $\varphi(a,x)$ ; la forme exacte de la condition restante n'est pas lisible. Le soulignement de « Proposition » est le sien.

120\[ \text{\struck{$(11) \qquad \pi(x) = \varphi(a,x)$,}} \] ce qui s'obtient en faisant $x = a$ dans (9), et notant que $\varphi(a,a) = 2q(a) = 2$.

Scholie. La cat. des $(P, Q, H)$ comme ci-dessus équivaut donc à celle des $(T, q, a)$, $T$ fibré vectoriel de rg $2\nu$, $q$ forme quadratique lisse sur $T$, $a$ section de $T$, telles que $q(a) = 1$.

N.B. a) En car. résiduelles $\neq 2$, on a donc que (i.e. $E$ est muni d'une section privilégiée qui en fait un fibré vectoriel) \[ T \simeq V + \mathbb{D} \simeq V + \mathcal{O}_{S} \quad \text{canoniquement, la décomposition} \] étant orthogonale et $Q$ étant défini canoniquement par une forme quadratique sur $V$, $Q \cap E$ l'équation (dans $x \in \Gamma(-, E)$) \[ (12) \qquad q(x,t) = q_{0}(x) + t^{2} \] \[ q_{0}(x) + 1 = 0 \quad \text{i.e.} \quad q_{0}(x) = -1 \] D'où en car. rés. $\neq 2$, la cat. des triples $(P, Q, H)$, ou des couples $(E, Q \cap E)$ ($E$ étant muni de sa structure de fibré affine…) est donc équivalente à celle des couples $(V, q_{0})$, où $V$ est un fibré vectoriel de rang $2\nu - 1$.

En car. 2, par contre, on doit avoir $\mathbb{D} \subset V$, et il n'y a pas de décomposition canonique, par ex. des réductions où on a toujours une forme de degré $2\nu - 1$.

b) Si $T$ est de rang impair $2\nu + 1$, donc $V$ de rang pair $2\nu$, les conditions que $Q$ soit Dans le Scholie, le passage « $T$ fibré vectoriel … $q(a) = 1$ » est ajouté au-dessus de la ligne, en remplacement d'un premier « bases, sur $T$, $a$ section de $T$ … » biffé ; la ligne de N.B. commence par un « En car. résid. $\neq 2$ » biffé puis repris. La parenthèse « (i.e. $E$ est muni …) » est un ajout interlinéaire. Le numéro (12) surcharge un autre chiffre ; « (11) » en tête de page est biffé avec la formule. Dans (12), l'argument de $q_{0}$ est surchargé. La phrase b) se poursuit au-delà de ce lot.