Extensions quadratiques étales et discriminant
la page continue un argument commencé avant le lot : la première ligne reprend au milieu d'une phrase.
A_\Delta[T]/(T^2+bT+c) est une extension quadratique étale de A_\Delta, et sa restriction à A_{2\Delta} est isomorphe à A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta), en posant
U=\frac{1}{2u}\Bigl(T+\frac{b}{2}\Bigr).
Dém
Lemme Supposons A_\Delta
dès que connexes
Pour que \exists\, B_\Delta ext. quadratique étale de A_\Delta, se restreignant sur A_{2\Delta} suivant A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta), il faut et il suffit que l'on puisse trouver b,c\in A_\Delta et \nu\in\mathbf{N} et u\in A_\Delta^{*} tels que
b^2-4c=\Delta^{\nu}u^2 .
un exposant écrit sur \Delta est biffé, remplacé par \nu.
Or, quitte à multiplier b, c par des carrés de \Delta (\Delta^{\alpha} et \Delta^{2\alpha} resp.), puis , on peut supposer b,c\in A,
Supposons que
\text{\struck{$A_\Delta^{*}=\{u\Delta^{d}\mid d\in\mathbf{Z},\ u\in A^{*}\}$}}
ce cadre et ce qui suit jusqu'au bas de la page sont barrés de traits obliques.
donc on aurait
\text{\struck{$b^2-4c=\Delta^{2d+1}u^2\quad (d\in\mathbf{Z},\ u\in A^{*})$}}
On a d\in\mathbf{N}, d\geqslant 0, , on aurait b^2-4c=\Delta^{\nu}u^2 (\nu\geqslant 0), \Delta^{-\nu}(b^2-4c)=u^2
en tête de page, un schéma de traits obliques et de courbes, portant les inscriptions « dans \Delta^{\nu} A^{*} », « \partial\in A^{*} », « \Delta\notin A^{*} », « » ; l'ensemble est barré.
Nous voulons prouver que u_0 est inversible. A_0 Il suffit régulier dans A_0 ; qui ne en aucune composante réduite de A_0, ce qui résulte de ce qui précède.
dans la marge gauche, deux droites horizontales marquées \Delta=0 coupées par une courbe marquée 2=0.
D
Proposition. A_0=A/2A. On suppose 2 A-régulier, A , \Delta\in A. On suppose A_0 réduit et des fractions, singulier de A_0, A_0
\Delta_0 (=\Delta mod 2)
\begin{cases}
\operatorname{Ker}\bigl(\operatorname{Pic}(A_\Delta)\to\operatorname{Pic}(A_{2\Delta})\bigr)=0, \\
A_\Delta \text{ réduit et } \dots
\end{cases}
un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis.
la seconde ligne de l'accolade porte en fin la mention « les de V(A_0) ».
il suffit que A normal et A_0 intègre
Conditions des A_{2\Delta} équivalentes :
Pour que il existe b,c\in A avec
b^2-4c=\Delta
il faut b) il existe une extension quadratique étale sur A_\Delta de A, qui a réduite sur A_{2\Delta} donne l'extension étale
A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta)\qquad [\text{NB. } A[T]/(T^2+bT+c)]
b') il existe une extension finie étale de A_\Delta qui induise sur
NB il suffit étale aux pts maximaux de
Sous ces conditions, dans b), nécessaire que l'extension soit étale en les pts de A_\Delta
\text{\struck{$\begin{cases} 2\in A \text{ régulier} \\ A_0=A/2A \text{ intègre normal} \\ A \text{ noeth.} \\ \Delta\in A,\quad \Delta\notin 2A \end{cases}$}}
au-dessus de « régulier », un mot ajouté est illisible.
Proposition. Soit A anneau noeth., \Delta\in A-2A. On suppose que 2 est A-régulier, que A_0=A/2A est intègre et normal, que \Delta\notin 2A. Conditions équivalentes :
a) \exists\, b,c\in A avec
b^2-4c=\Delta
b) \exists extension quadratique B de A telle que B_\Delta soit étale sur A_\Delta, et telle que B_{2\Delta}\simeq A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta).
c) \exists extension [quadratique] finie étale B_\Delta de A_\Delta, telle que (B_\Delta)_2\simeq A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta).
De plus, l'extension (B de b) B_\Delta de c)
L.
\begin{cases}
X\supset U=X-D \\
X_0=V(2\mathcal{O}_X)\qquad X_0 \text{ intègre normal}
\end{cases}
\ U-U_0=U\cap V\qquad V=X-X_0,\qquad U_0=U\cap X_0 .
un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis.
U' ext. quadratique de U :
L_{U'}^{\,\otimes 2}\xrightarrow{\ \sim\ }\underline{\mathcal{O}}_{U'}
un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis.
L_{U'} se prolonge à L_U.
\begin{cases}
E_U \text{ fibré sur } L_U \\
L_U^{\otimes 2}\ \text{\struck{$\simeq\mathcal{O}_S$}}\ \Delta
\end{cases}
L_U se prolonge en L donné, L^{\otimes2}\simeq\mathcal{O}_S, \Delta section de L^{\otimes 2}.
deux symboles griffonnés et biffés suivent à droite.
V=X\smallsetminus X_0
U\cup V=W=X\smallsetminus \underbrace{X_0\cap D}_{D_0}
\widetilde{V}_1\to V_1\subset L
OK sur V=X-{}D{}X_0.
Mais pas sur les pts de X_0.
En X_0\cap U=U-U\cap V, on pour les
\tfrac{1}{2}L\qquad\qquad
\begin{cases} 2x\in L \\ x^2 \end{cases}
la page s'arrête sur cette accolade inachevée.
calcul d'un développement en termes de graphes à quatre sommets ; la page entière est barrée d'un long trait oblique. Les colonnes donnent, pour chaque type de monôme, un dessin du graphe et deux décomptes.
\begin{array}{lccc}
2^4\,Y_1Y_2Y_3Y_4 & \text{(quatre points)} & 1 & 1 \\
-2^2\,Y_1Y_2(Y_{3,4})^2 & \text{(deux points, une arête)} & 6 & 6 \\
2^2\,Y_1\,Y_{23}Y_{34}Y_{41} & \text{(un point, un triangle)} & 4 & 8 \\
(Y_{12}Y_{34})^2 & \text{(deux arêtes disjointes)} & 3 & 3 \\
-2\,Y_{12}Y_{23}Y_{34}Y_{41} & \text{(un carré)} & 3 & 6 \\
& & & 24=4!
\end{array}
le coefficient 2^4 de la première ligne est écrit sur un autre chiffre ; dans la dernière colonne, le premier « 1 » est écrit sur un chiffre biffé.
\Bigl(\sum Y_{12}Y_{34}\Bigr)^2=\sum
l'indice de cette somme est illisible.
(-1)\sum_{\gamma\in\Gamma_0}M_\gamma
\ +\ (-1)^{\nu_2(\gamma)+1}\,2\!\!\sum_{\substack{\gamma\in\Gamma\\ \nu^{*}(\gamma)=1\\ \nu_1(\gamma)=0}}\!\! M_\gamma
le signe « + » central est surchargé ; le facteur 2 est ajouté devant le second \Sigma.
deux rangées de tirets, et un hexagone.
(-1)^n\Delta=\sum_{\gamma\in\Gamma_0}M_\gamma+(-1)^{n+\nu_2(\gamma)}\sum_{\gamma\in\Gamma_1}M_\gamma
un trait relie l'exposant \nu_2(\gamma) à l'indice de sommation \gamma\in\Gamma_1.
(-1)^n\Delta-B^2\equiv 2\sum_{\gamma\in\Gamma_1}(-1)^{n+1+\nu_2(\gamma)}M_\gamma
\ -\underbrace{\sum_{\substack{\gamma,\gamma'\in\Gamma_0\\ \gamma\neq\gamma'}}M_\gamma M_{\gamma'}}_{2\sum_{\gamma\in\Gamma_1}M_\gamma}
=2\sum_{\gamma\in\Gamma_1}\bigl[(-1)^{(\dots)}-1\bigr]M_\gamma
l'exposant de (-1) est illisible ; sous le crochet, une flèche vers l'exposant et la mention « pair », puis « 0 2 ».
Quadriques affines
Quadriques affines et invariants des polyèdres réguliers sphériques …
titre écrit sur une chemise de papier rose ; la seconde moitié est biffée.
« Invariants » des groupes des polyèdres réguliers sphériques
1. Soit S schéma de base, (E,q,\omega) un Module spécial quadratique sur S de rang 3, donc
\delta(q)=-\omega^{\otimes 2}\qquad \bigl(\omega\in\Gamma(S,(\det E)^{*})\bigr) \tag{1}
On sait alors que E est muni d'une loi [\ ,\ ], plus précisément, on peut trouver une algèbre de quaternions tordue \mathcal{M} sur S (définie à isom. unique près) et un isomorphisme de \mathcal{O}_S-Mod.
E\xleftarrow{\ \sim\ }\gamma\mathcal{M}=\operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{M}\xrightarrow{\ \mathrm{tr}\ }\underline{\mathcal{O}}_S\bigr) \tag{2}
sous la flèche \mathrm{tr} : « trace réduite ».
transformant q en la forme
q_{\mathcal{M}}(u)=-\det u\qquad \bigl(u\in\Gamma(-,\gamma\mathcal{M})\bigr) \tag{3}
et \omega en la forme \omega_{\mathcal{M}} définie par la condition que
\varphi_{\mathcal{M}}([u,v],w)\,\omega_{\mathcal{M}}=2\,u\wedge v\wedge w\qquad \bigl(u,v,w\in\Gamma(-,\gamma\mathcal{M})\bigr) \tag{4}
\omega défini à \pm près par (4) que \varphi_{\mathcal{M}}
où \varphi_{\mathcal{M}} est la forme
de sorte que (4) s'écrit aussi
\text{\struck{$\operatorname{Tr}([u,v]w)\,\omega$}}\quad 2\,u\wedge v\wedge w=\operatorname{Tr}([u,v]w)\,\omega_{\mathcal{M}} \tag{7}
\Bigl(=\operatorname{Tr}(uvw-vuw)\,\omega_{\mathcal{M}},\qquad \operatorname{Tr}(vuw)=-\operatorname{Tr}uvw\Bigr)
NB car ou encore, on a encore
u\wedge v\wedge w=\operatorname{Tr}(uvw)\,\omega_{\mathcal{M}}\qquad u,v,w\in\Gamma(-,\gamma\mathcal{M}). \tag{8}
La loi [\ ,\ ] sur E est transportée de la loi [\ ,\ ] sur \gamma\mathcal{M}, i.e. est définie par la loi
2\,x\wedge y\wedge z=\varphi([x,y],z)\,\omega\qquad \bigl(x,y,z\in\Gamma(-,E)\bigr) \tag{8}
le numéro (8) est porté deux fois sur la page.
cf. remarque que précédente
où \varphi est la forme bil. sym. associée à q, i.e. définie par
q(x+y)=q(x)+q(y)+\varphi(x,y). \tag{9}
Nous nous intéressons à la quadrique affine
\ \Sigma_q\subset\check{\mathbb{V}}(E)\quad\text{d'équation } q(x)=-1 \tag{10}
un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis.
le - de -1 est ajouté à l'encre bleue, comme dans (11).
qui correspond à la quadrique est canon. iso. à la quadrique affine
\Sigma_{\mathcal{M}}\subset\check{\mathbb{V}}(\underbrace{\gamma\mathcal{M}}_{\mathcal{V}})\quad\text{d'équation } q_{\mathcal{M}}(u)=-1\quad\text{i.e.}\quad \det u=1 \tag{11}
\Sigma_{\mathcal{M}} est formé des u u^2+1=0 [u^2+1=0] des H.C. de A
Nous voulons mettre la en relation la droite projective définie par la quadrique q(x)=0, soit X,
ou, , équivalent : la donnée de (E,q,\omega), : celle de \mathcal{M}. Introduisons
S[\underline{i}]=\operatorname{Spec}\underbrace{\underline{\mathcal{O}}_S[\underline{i}]}_{=\underline{\mathcal{O}}_S[T]/(T^2+1)}, \tag{13}
un symbole biffé entre S et =\operatorname{Spec}.
On va définir une immersion ouverte dominante
\Sigma\hookrightarrow X^{S[\underline{i}]}=\underline{\operatorname{Hom}}_S(S[\underline{i}],X) \tag{14}
Pour cela, explicitons les sections de X^{S[i]} sur S notations
préliminaires
\begin{cases}
X\simeq\widetilde{X}/\mathbb{G}_m \\
\widetilde{X}\subset\check{\mathbb{V}}(E)^{*}\qquad \widetilde{X}\ \text{d'équation } q(x)=0
\end{cases} \tag{15}
(NB \widetilde{X} est un torseur sur X de groupe \mathbb{G}_{m,X}, c'est le torseur associé au Module \underline{\Omega}^1_{X/S} de degré 2 …)
Dire d' que \widetilde{X}^{S[\underline{i}]} des couples
\xi=x+\underline{i}y\qquad x,y\in\Gamma(S,E),
et il faut écrire
a) x+\underline{i}y une section de E_{S[\underline{i}]} non nulle fibre (\Rightarrow x et y
la fin de la ligne a) et la ligne (16) sont barrées ; on y lit « simultanément fibre ».
b) q(x+\underline{i}y)=0 i.e. q(x)-q(y)+\underline{i}\,\varphi(x,y)=0
i.e.
\begin{cases} q(x)=q(y) \\ \varphi(x,y)=0 \end{cases} \tag{17}
Il faut faire agir là-dessus \mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}, qui s'identifie aux a+\underline{i}b tels que \underbrace{a^2+b^2}_{\operatorname{Nm}(a+\underline{i}b)}\in\Gamma(S,\mathcal{O}_S^{*}), opérant sur x+\underline{i}y par
\underbrace{(a+\underline{i}b)}_{\alpha}\underbrace{(x+\underline{i}y)}_{\xi}=(ax-by)+\underline{i}(bx+ay)
Considérons l'ouvert \widetilde{\mathcal{U}} de \widetilde{X}^{S[\underline{i}]} défini par
\ q(x)=q(y)\in\Gamma(S,\mathbb{G}_m) \tag{18}
un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis.
On a, si \xi=x+\underline{i}y\in\Gamma\widetilde{X}^{S[\underline{i}]} et \alpha=a+\underline{i}b\in\Gamma\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}
q(\alpha\xi)=q(ax-by)=a^2q(x)+b^2q(y)-2ab\underbrace{\varphi(x,y)}_{0}=(a^2+b^2)\,q(x)\in\Gamma\mathbb{G}_m
donc \widetilde{\mathcal{U}} est stable par \mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}, et définit donc
Notons que si x,y sont des sections de E, on a
q([x,y])=-4q(x)q(y)\underbrace{\sin^2(\widehat{x,y})}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \bigl(1-\frac{1}{4}\varphi(x,y)^2/q(x)q(y)\bigr)} \tag{21}
un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis.
attention au signe et au facteur 4 !
dans (21) le 4 est écrit sur un 1, et le \frac14 sur un autre chiffre.
i.e.
\text{\struck{$4$}}\ q([x,y])=-4q(x)q(y)+\varphi(x,y)^2 \tag{21 bis}
\text{\struck{$2\varphi([x,y],[x,y])=4(x\wedge y\wedge[x,y])$}}
ligne biffée en zigzag, lecture approximative.
ce qui, puisque \varphi(x,y)=0, q(x)=q(y), donne
\ q([x,y])=-4q(x)^2
un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis.
ou encore, en car. résid. \neq 2,
q\Bigl(\frac{\text{\struck{$4$}}\,[x,y]}{2q(x)}\Bigr)=-1
en d'autres termes
\tilde f:\widetilde{\mathcal{U}}\longrightarrow\Sigma_{1} \tag{22}
l'indice 1 de \Sigma dans (22) est une lecture douteuse.
\tilde f(\underbrace{x+\underline{i}y}_{\xi})=[x,y]/2q(x)
Je dis que l'on a, pour \alpha=a+\underline{i}b \alpha\in\Gamma\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}
\tilde f(\alpha\xi)=\tilde f(\xi).
En effet
[x',y']=[ax-by,\,bx+ay]=(a^2+b^2)[x,y]
Proposition (Le morphisme précédent est un isomorphisme.
a) C'est un monomorphisme. En effet, supposons \tilde f(\xi)=\tilde f(\xi'), où \xi=x+\underline{i}y, \xi'=x'+\underline{i}y', i.e.
[x,y]/2q(x)=[x',y']/2q(x'),
prouvons que \xi' est de la forme \alpha\xi, \alpha\in\Gamma\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}. Notons que x et y ne sont pas colin. sont pas coll. sur aucune fibre (car si on avait y=\lambda x on aurait \varphi(x,y)=\lambda\varphi(x,x)=2\lambda q(x)=0 donc q(x)=0, absurde).
D'autre part x,y sont orthogonaux : x\perp y donc : t=\tilde f(\xi), qui n'est pas orth. à lui-même en aucune fibre, car \varphi(t,t)=2q(t)=-2\neq 0 en chaque fibre. Donc x,y forment une base de t^{\perp}, de même (x',y'). On doit donc avoir
\begin{cases} x'=ax-by \\ y'=cx+dy \end{cases}\qquad\text{avec } ad-bc\in\Gamma\mathbb{G}_m
le signe de by dans la première ligne est surchargé.
Écrivons alors q(x')=q(y'), \varphi(x',y')=0,
\varphi(x',y')=ac\,\varphi(x,x)-bd\,\varphi(y,y)=0\quad\text{i.e. comme}\quad \varphi(x,x)=2q(x)=\varphi(y,y)=2q(y)
nécessairement
ac-bd=0\qquad\qquad \begin{matrix} a & b\\ d & c\end{matrix}
donc c=\lambda b, d=\lambda a, avec \lambda\in\Gamma\mathbb{G}_m
et d'où
\begin{cases}
q(x')=(a^2+b^2)\,q(x)\\
q(y')=(c^2+d^2)\,q(y)=\lambda^2(a^2+b^2)\,q(x)
\end{cases}
donc la condition q(x')=q(y') \in\Gamma(\mathbb{G}_m) signifie que
\text{\struck{$(\lambda^2-1)(a^2+b^2)=0$}}
\begin{cases} a^2+b^2\in\Gamma\mathbb{G}_m \\ \lambda^2=1 \end{cases}
donc (x',y')= \xi'=x'+\underline{i}y'=\lambda
Écrivons enfin
x'\wedge y'/2q(x')=x\wedge y/2q(x)
On a
\begin{cases}
x'\wedge y'=(ad+bc)\,x\wedge y=\lambda(a^2+b^2)\,x\wedge y\\
q(x')=(a^2+b^2)\,q(x)
\end{cases}
donc
x'\wedge y'/q(x')=\lambda\,x\wedge y/q(x)
donc la condition est \lambda=1. Donc
\xi'=\alpha\xi,\quad \alpha=a+\underline{i}b,\quad a^2+b^2\in\Gamma\mathbb{G}_m,
donc mono.
b) C'est un épi, en d'autres termes localement pour \tilde f est un épi, ou encore \forall t\in\Gamma\Sigma est loc. de la forme \tilde f(\xi). Or on a \varphi(t,t)=2q(t)\in\Gamma\mathbb{G}_m, donc t^{\perp} définit un sous-fibré F de E de rang 2, donc supplémentaire de \mathcal{O}_S\cdot t, tout et la forme induite par q y est non dég. Comme on est en car. \neq 2, loc. pour la top. étale on trouve une base orthonormale x,y de F.
q(x)=q(y)=1,\quad \varphi(x,y)=0
Considérons alors
t'=\tilde f(x+\underline{i}y)=x\wedge y/q(x)=x\wedge y
et prenons il est orth. à F (donc t de la forme t=\lambda t', de plus q(t)=q(\lambda t')=-1, donc \lambda^2=1. Considérons
\text{Donc}\quad
\begin{cases}
q(x)=q(\lambda y)=1,\quad \varphi(x,\lambda y)=0\\
\text{\struck{$x+\underline{i}\lambda y$}}\ \tilde f(x+\underline{i}\lambda y)=x\wedge\lambda y=\lambda\,x\wedge y=\lambda t'=t
\end{cases}
\qquad \text{OK.}
sous la seconde ligne, un début biffé « f(x+\underline{i}\lambda y)= ».
Corollaire. En inversant l'iso f, on trouve une immersion ouverte (en car. résid. \neq 2)
\Sigma\overset{g}{\hookrightarrow}X^{S[\underline{i}]} \tag{24}
Remarque. Soit q'=-q, donc (E,q',\omega) est structure anti spéciale orthogonale sans modification,
\text{\struck{$\varphi'(x,y)=-\varphi(x,y)$}}
Si on désigne de façon [\ ,\ ]=[\ ,\ ]_q par q', on trouve [\ ,\ ]_{q'}=[\ ,\ ]' défini par
\text{\struck{$\varphi'([x,y]',z)\,\omega=2\,x\wedge y\wedge z$}}
\text{\struck{$\varphi([x,y],z)\,\omega=-\varphi'([x,y],z)\,\omega$}}
i.e.
\text{\struck{$[x,y]'=-[x,y]$}}
La formule (21) devient alors
q'([x,y]')=4q'(x)q'(y)\underbrace{\sin^2(\widehat{x,y})'}_{1-\varphi'(x,y)^2/4q'(x)q'(y)} \tag{25}
Notons qu'on a une immersion canonique
X\hookrightarrow X^{S[\underline{i}]}
qui ici s'explicite à partir de
\widetilde{X}\longrightarrow\widetilde{X}^{S[\underline{i}]},\qquad x\longmapsto x+\underline{i}\,0
le cadre qui suit est barré de traits obliques.
LemmeSoit \xi=x+\underline{i}y\in\Gamma\widetilde{X}^{S[\underline{i}]} i.e. q(x)=q(y), \varphi(x,y)=0, x+\underline{i}y partout non nul, Pour que \xi\in\Gamma\widetilde{\mathcal{U}} i.e. q(x)=q(y)\in\Gamma\mathbb{G}_m, il f. et s. que \exists\,\alpha=a+\underline{i}b\in\Gamma\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]} (a^2+b^2\in\Gamma(\mathbb{G}_m)) et x_0\in\Gamma\widetilde{X} (q(x_0)=0, x_0 fibre ) tels que \xi=\alpha x_0 i.e.
\text{\struck{$x=ax_0,\quad y=bx_0$}}
tel qu'écrit, l'énoncé biffé demande « \xi\in\Gamma\widetilde{\mathcal{U}} » ; la conclusion \xi=\alpha x_0 correspond plutôt au complémentaire de \widetilde{\mathcal{U}}, comme dans le lemme repris plus bas.
En fait on trouve que \mathcal{U}\xrightarrow{\ \sim\ }\Sigma,
Proposition. L'application inverse de f (déduite par passage au quotient de \tilde f:\widetilde{\mathcal{U}}\to\Sigma, \tilde f(x+\underline{i}y)=[x,y]/q(x)) induit un isomorphisme
\boxed{\ \Sigma\xrightarrow{\ \sim\ }\widetilde{X}^{S[\underline{i}]}-\widetilde{X}=\mathcal{U}\ }
Ceci équivalant au lemme
Lemme. Si S=\operatorname{Spec}k, k alg. clos de car. \neq 2,
x+\underline{i}y\in\Gamma\widetilde{X}^{S[\underline{i}]} [x,y deux él. de E tels que x,y non colin., soit i.e. y=\lambda x, et q(x)=q(y), \varphi(x,y)=0, avec \lambda^2\neq-1]
En effet, soit qu' on a y=\lambda x, i.e. x+\underline{i}y=(1+\underline{i}\lambda)x_0, avec x_0=x et a+\underline{i}b=1+\underline{i}\lambda et on a a^2+b^2=1+\lambda^2\neq 0 puisque l'on doit avoir \lambda^2\neq -1, d'où nécessité. Pour suffisance, si x+\underline{i}y=x_0(a+\underline{i}b), i.e. x=ax_0, y=by_0, on a bien q(x)=q(y)=a^2q(x_0)=0
O.K. …
dans la marge gauche, un cône (triangle et ellipse) dont le sommet est marqué d'une étoile.
tout ce qui suit sur la page est barré de grands traits obliques.
Cas de Q car. 2\underline{i}=1+\varepsilon S^{[\underline{i}]} est alors des , X^{S[\underline{i}]} est le fibré tangent à X.
On trouve
\text{\struck{$x+\underline{i}y=\underbrace{(x+y)}_{z}+\varepsilon y\longmapsto[x,y]/q(x)$}}
\text{\struck{$=[x+y,y]/q(y)$}}\qquad \text{\struck{$(x+y\neq 0\ \text{i.e.}\ x\neq y)$}}
\text{\struck{$z+\varepsilon y\longmapsto[z,y]/q(y)$}}
\text{\struck{$z\neq 0,\quad q(y+z)=q(y)\neq 0,\quad q(z)=\varphi(y,z)$}}
le passage suivant, jusqu'à (26), est enfermé dans un cadre et semble abandonné.
Posons q''=4q'=-4q, \omega''=8\omega, de sorte que
\delta(q'')=-2^6\,\delta(q)=2^6\,\omega^{\otimes 2}=(8\omega)^{\otimes 2}=\omega''^{\otimes 2}
\delta(q'')=\omega''\cdot\omega''
la formule (25) prend la forme
q''(\ \dots \tag{26}
la formule (26) s'interrompt après « q''( ».
Remarque Posons
q_\lambda=\lambda q\qquad \varphi_\lambda=\lambda\varphi\qquad [\ ,\ ]_{\lambda\mu}=(\lambda\mu)^{-1}[\ ,\ ],\qquad \omega_\mu=\mu\omega
La formule (8) s'écrit alors
\text{\struck{$q_\lambda([x,y]_\lambda)=\lambda$}}
\text{\struck{$2\,x\wedge y\wedge z=\varphi_\lambda([x,y]_\lambda,2)\,\omega$}}
donc on a
\begin{cases}
\delta(q_\lambda)=\lambda^3\delta(q)=-\lambda^3\,\omega^{\otimes 2}=-\lambda^3\mu^{-2}\,\omega_\mu^{\otimes 2}\\
2\,x\wedge y\wedge z=\varphi_\lambda([x,y]_{\lambda,\mu},z)\,\omega_\mu
\end{cases}
\begin{cases}
q_\lambda([x,y]_{\lambda,\mu})=\lambda(\lambda\mu)^{-2}q([x,y])\\
\qquad =-4\lambda^{-1}\mu^{-2}q(x)q(y)\sin^2(\widehat{x,y})\\
\qquad =-4\lambda^{-3}\mu^{-2}q_\lambda(x)q_\lambda(y)\sin^2(\widehat{x,y})
\end{cases}
On veut choisir \lambda,\mu tels que -4\lambda^{-3}\mu^{-2}=1
dans la marge, un petit parallélogramme de vecteurs, en partie pointillé.
i.e. \lambda^{-3}\mu^{-2}=-\frac14 avec \lambda,\mu des (au signe près) puissances de 2
\lambda=-2^{\alpha},\ \mu=2^{\beta}\qquad \lambda^{-3}\mu^{-2}=-2^{-(3\alpha+2\beta)}=-2^{2}
tel qu'écrit : « =-2^{2} » ; la condition -\frac14 demanderait -2^{-2}.
i.e.
3\alpha+2\beta=-2\qquad \text{p.ex.\ on prend } \alpha=0,\ \beta=-1
le signe de \beta=-1 est une tache d'encre ; avec 3\alpha+2\beta=-2 et \alpha=0 on a bien \beta=-1.
ce qui donne
\lambda=-1,\quad \mu=\tfrac12\qquad q_\lambda=q'=-q,\quad \omega_\mu=\omega'=\tfrac12\omega
\mu=\frac12 est écrit sur un « 4 » ; un indice est biffé sous q' ; la lecture de \omega_\mu est incertaine (un chiffre surchargé).
\begin{cases}
\delta'(q')=+4\,\omega'^{\otimes 2}=(2\omega')^{\otimes 2}\\
x\wedge y\wedge z=\frac12\,\varphi'([x,y]',z)\,\omega'\\
q'([x,y]')=q'(x)q'(y)\sin^2(\widehat{x,y})\\
\qquad =q'(x)q'(x)\bigl(1-\tfrac14\varphi(x,y)^2\ \dots\bigr)
\end{cases}
[x,y]_{\lambda\mu}=[x,y]'=-2[x,y]
la dernière ligne de l'accolade porte q'(x)q'(x) sur la page ; la fin du facteur est une tache. L'argument se poursuit après le lot.