Cote n° 77, pages 81–100

Cote n° 77 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

Extensions quadratiques étales et discriminant

81la page continue un argument commencé avant le lot : la première ligne reprend au milieu d'une phrase.

[…] $A_\Delta[T]/(T^2+bT+c)$ est une extension quadratique étale de $A_\Delta$, et sa restriction à $A_{2\Delta}$ est isomorphe à $A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta)$, en posant \[ U=\frac{1}{2u}\Bigl(T+\frac{b}{2}\Bigr). \]

Dém

Lemme Supposons $A_\Delta$ […] […]

dès que […] connexes Pour que $\exists\, B_\Delta$ ext. quadratique étale de $A_\Delta$, se restreignant sur $A_{2\Delta}$ suivant $A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta)$, il faut et il suffit que l'on puisse trouver $b,c\in A_\Delta$ et $\nu\in\mathbf{N}$ et $u\in A_\Delta^{*}$ tels que \[ b^2-4c=\Delta^{\nu}u^2 . \] un exposant écrit sur $\Delta$ est biffé, remplacé par $\nu$.

Or, quitte à multiplier $b$, $c$ par des ⌜carrés⌝ de $\Delta$ ($\Delta^{\alpha}$ et $\Delta^{2\alpha}$ resp.), puis […], on peut supposer $b,c\in A$, […] $u\in A$.

Supposons que \[ \text{\struck{$A_\Delta^{*}=\{u\Delta^{d}\mid d\in\mathbf{Z},\ u\in A^{*}\}$}} \] ce cadre et ce qui suit jusqu'au bas de la page sont barrés de traits obliques. donc on aurait \[ \text{\struck{$b^2-4c=\Delta^{2d+1}u^2\quad (d\in\mathbf{Z},\ u\in A^{*})$}} \] On a $d\in\mathbf{N}$, […] […] $d\geqslant 0$, […], on aurait $b^2-4c=\Delta^{\nu}u^2$ $(\nu\geqslant 0)$, $\Delta^{-\nu}(b^2-4c)=u^2$

83en tête de page, un schéma de traits obliques et de courbes, portant les inscriptions « dans $\Delta^{\nu}$ $A^{*}$ », « $\partial\in A^{*}$ », « $\Delta\notin A^{*}$ », « […] » ; l'ensemble est barré.

Nous voulons prouver que $u_0$ est inversible. […] $A_0$ […] […] Il suffit […] régulier dans $A_0$ ; […] qui ne […] en aucune composante […] réduite de $A_0$, ce qui résulte de […] ce qui précède.

dans la marge gauche, deux droites horizontales marquées $\Delta=0$ coupées par une courbe marquée $2=0$.

D[…] […] […]

Proposition. $A_0=A/2A$. On suppose ⌜$2$ $A$-régulier,⌝ $A$ […] […], $\Delta\in A$. On suppose ⌜$A_0$ réduit et⌝ […] […] des fractions, […] […] singulier de $A_0$, $A_0$

$\Delta_0$ ($=\Delta$ mod $2$) […] […] […] […]

\[ \begin{cases} \operatorname{Ker}\bigl(\operatorname{Pic}(A_\Delta)\to\operatorname{Pic}(A_{2\Delta})\bigr)=0, \\ A_\Delta \text{ réduit et } \dots \end{cases} \] un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis. la seconde ligne de l'accolade porte en fin la mention « les […] de $V(A_0)$ ».

il suffit que $A$ normal et $A_0$ intègre Conditions des $A_{2\Delta}$ […] équivalentes :

Pour que il existe $b,c\in A$ avec \[ b^2-4c=\Delta \]

il faut b) il existe une extension quadratique étale sur $A_\Delta$ de $A$, qui a réduite sur $A_{2\Delta}$ donne l'extension étale \[ A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta)\qquad [\text{NB. } A[T]/(T^2+bT+c)] \]

b$'$) il existe une extension ⌜finie⌝ étale de $A_\Delta$ qui induise sur […] $A_{2\Delta}$ ⌜[…]⌝ […] $A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta)$,

NB il suffit étale aux pts maximaux de […] $\operatorname{Spec}A_0$

84Sous ces conditions, dans b), […] […] nécessaire que l'extension soit étale en les pts de $A_\Delta$

85\[ \text{\struck{$\begin{cases} 2\in A \text{ régulier} \\ A_0=A/2A \text{ intègre normal} \\ A \text{ noeth.} \\ \Delta\in A,\quad \Delta\notin 2A \end{cases}$}} \] au-dessus de « régulier », un mot ajouté est illisible.

Proposition. Soit $A$ anneau noeth., $\Delta\in A$$-2A$. On suppose que $2$ est $A$-régulier, que $A_0=A/2A$ est intègre et normal, que $\Delta\notin 2A$. Conditions équivalentes :

a) $\exists\, b,c\in A$ avec \[ b^2-4c=\Delta \]

b) $\exists$ extension quadratique $B$ de $A$ telle que $B_\Delta$ soit étale sur $A_\Delta$, et telle que $B_{2\Delta}\simeq A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta)$.

c) $\exists$ extension [quadratique] ⌜finie⌝ étale $B_\Delta$ de $A_\Delta$, telle que $(B_\Delta)_2\simeq A_{2\Delta}[U]/(U^2-\Delta)$.

De plus, l'extension ($B$ de b) ⌜$B_\Delta$ de c)⌝ […] est déterminée à isom. unique près.

86$L$.

\[ \begin{cases} X\supset U=X-D \\ X_0=V(2\mathcal{O}_X)\qquad X_0 \text{ intègre normal} \end{cases} \] \[ \ U-U_0=U\cap V\qquad V=X-X_0,\qquad U_0=U\cap X_0 . \] un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis.

$U'$ ext. quadratique de $U$ : \[ L_{U'}^{\,\otimes 2}\xrightarrow{\ \sim\ }\underline{\mathcal{O}}_{U'} \] un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis. $L_{U'}$ se prolonge à $L_U$. \[ \begin{cases} E_U \text{ fibré sur } L_U \\ L_U^{\otimes 2}\ \text{\struck{$\simeq\mathcal{O}_S$}}\ \Delta \end{cases} \] $L_U$ se prolonge en $L$ donné, $L^{\otimes2}\simeq\mathcal{O}_S$, $\Delta$ section de $L^{\otimes 2}$. deux symboles griffonnés et biffés suivent à droite.

$V=X\smallsetminus X_0$ \[ U\cup V=W=X\smallsetminus \underbrace{X_0\cap D}_{D_0} \] \[ \widetilde{V}_1\to V_1\subset L \] OK sur $V=X-{}$$D$${}X_0$. Mais pas sur les pts de $X_0$.

En […] […] $X_0\cap U=U-U\cap V$, on […] pour les […] […] […] […]

\[ \tfrac{1}{2}L\qquad\qquad \begin{cases} 2x\in L \\ x^2 \end{cases} \] la page s'arrête sur cette accolade inachevée.

87calcul d'un développement en termes de graphes à quatre sommets ; la page entière est barrée d'un long trait oblique. Les colonnes donnent, pour chaque type de monôme, un dessin du graphe et deux décomptes.

\[ \begin{array}{lccc} 2^4\,Y_1Y_2Y_3Y_4 & \text{(quatre points)} & 1 & 1 \\ -2^2\,Y_1Y_2(Y_{3,4})^2 & \text{(deux points, une arête)} & 6 & 6 \\ 2^2\,Y_1\,Y_{23}Y_{34}Y_{41} & \text{(un point, un triangle)} & 4 & 8 \\ (Y_{12}Y_{34})^2 & \text{(deux arêtes disjointes)} & 3 & 3 \\ -2\,Y_{12}Y_{23}Y_{34}Y_{41} & \text{(un carré)} & 3 & 6 \\ & & & 24=4! \end{array} \] le coefficient $2^4$ de la première ligne est écrit sur un autre chiffre ; dans la dernière colonne, le premier « 1 » est écrit sur un chiffre biffé.

\[ \Bigl(\sum Y_{12}Y_{34}\Bigr)^2=\sum \] l'indice de cette somme est illisible. \[ (-1)\sum_{\gamma\in\Gamma_0}M_\gamma \ +\ (-1)^{\nu_2(\gamma)+1}\,2\!\!\sum_{\substack{\gamma\in\Gamma\\ \nu^{*}(\gamma)=1\\ \nu_1(\gamma)=0}}\!\! M_\gamma \] le signe « $+$ » central est surchargé ; le facteur $2$ est ajouté devant le second $\Sigma$.

deux rangées de tirets, et un hexagone.

\[ (-1)^n\Delta=\sum_{\gamma\in\Gamma_0}M_\gamma+(-1)^{n+\nu_2(\gamma)}\sum_{\gamma\in\Gamma_1}M_\gamma \] un trait relie l'exposant $\nu_2(\gamma)$ à l'indice de sommation $\gamma\in\Gamma_1$. \[ (-1)^n\Delta-B^2\equiv 2\sum_{\gamma\in\Gamma_1}(-1)^{n+1+\nu_2(\gamma)}M_\gamma \ -\underbrace{\sum_{\substack{\gamma,\gamma'\in\Gamma_0\\ \gamma\neq\gamma'}}M_\gamma M_{\gamma'}}_{2\sum_{\gamma\in\Gamma_1}M_\gamma} \] \[ =2\sum_{\gamma\in\Gamma_1}\bigl[(-1)^{(\dots)}-1\bigr]M_\gamma \] l'exposant de $(-1)$ est illisible ; sous le crochet, une flèche vers l'exposant et la mention « pair », puis « $0$ […] $2$ ».

Quadriques affines

88Quadriques affines et invariants des polyèdres réguliers sphériques … titre écrit sur une chemise de papier rose ; la seconde moitié est biffée.

89« Invariants » des groupes des polyèdres réguliers sphériques

1. Soit $S$ schéma de base, $(E,q,\omega)$ un Module spécial quadratique sur $S$ de rang $3$, donc \[ \delta(q)=-\omega^{\otimes 2}\qquad \bigl(\omega\in\Gamma(S,(\det E)^{*})\bigr) \tag{1} \] On sait alors que $E$ est muni d'une loi $[\ ,\ ]$, plus précisément, on peut trouver une algèbre de quaternions tordue $\mathcal{M}$ sur $S$ (définie à isom. unique près) et un isomorphisme de $\mathcal{O}_S$-Mod. \[ E\xleftarrow{\ \sim\ }\gamma\mathcal{M}=\operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{M}\xrightarrow{\ \mathrm{tr}\ }\underline{\mathcal{O}}_S\bigr) \tag{2} \] sous la flèche $\mathrm{tr}$ : « trace réduite ». transformant $q$ en la forme \[ q_{\mathcal{M}}(u)=-\det u\qquad \bigl(u\in\Gamma(-,\gamma\mathcal{M})\bigr) \tag{3} \] et $\omega$ en la forme $\omega_{\mathcal{M}}$ définie par la condition que \[ \varphi_{\mathcal{M}}([u,v],w)\,\omega_{\mathcal{M}}=2\,u\wedge v\wedge w\qquad \bigl(u,v,w\in\Gamma(-,\gamma\mathcal{M})\bigr) \tag{4} \] $\omega$ défini à $\pm$ près par (4) […] […] que $\varphi_{\mathcal{M}}$ […] où $\varphi_{\mathcal{M}}$ est la forme […] ⌜bilinéaire⌝ sym. associée à $q_{\mathcal{M}}$ \[ \begin{cases} q_{\mathcal{M}}(u+v)=\text{\struck{$\det$}}\ q_{\mathcal{M}}(u)+q_{\mathcal{M}}(v)+\varphi_{\mathcal{M}}(u,v) \\ \text{i.e.}\quad \det(u+v)=\det(u)+\det(v)-\varphi_{\mathcal{M}}(u,v) \end{cases} \tag{5} \] pour $u,v\in\Gamma(-,\gamma\mathcal{M})$, ce qui donne aussi \[ \varphi_{\mathcal{M}}(u,v)=\operatorname{Tr}uv\qquad u,v\in\Gamma(-,\gamma\mathcal{M}) \tag{6} \]

90de sorte que (4) s'écrit aussi \[ \text{\struck{$\operatorname{Tr}([u,v]w)\,\omega$}}\quad 2\,u\wedge v\wedge w=\operatorname{Tr}([u,v]w)\,\omega_{\mathcal{M}} \tag{7} \] \[ \Bigl(=\operatorname{Tr}(uvw-vuw)\,\omega_{\mathcal{M}},\qquad \operatorname{Tr}(vuw)=-\operatorname{Tr}uvw\Bigr) \] NB car […] […] […] $\omega_{\mathcal{M}}$ indépendant […] le cond. $2$ inv. […] … ou encore, on a encore \[ u\wedge v\wedge w=\operatorname{Tr}(uvw)\,\omega_{\mathcal{M}}\qquad u,v,w\in\Gamma(-,\gamma\mathcal{M}). \tag{8} \] La loi $[\ ,\ ]$ sur $E$ est transportée de la loi $[\ ,\ ]$ sur $\gamma\mathcal{M}$, i.e. est définie par la loi \[ 2\,x\wedge y\wedge z=\varphi([x,y],z)\,\omega\qquad \bigl(x,y,z\in\Gamma(-,E)\bigr) \tag{8} \] le numéro (8) est porté deux fois sur la page. […] cf. remarque […] que […] précédente où $\varphi$ est la forme bil. sym. associée à $q$, i.e. définie par \[ q(x+y)=q(x)+q(y)+\varphi(x,y). \tag{9} \]

Nous nous intéressons à la quadrique affine \[ \ \Sigma_q\subset\check{\mathbb{V}}(E)\quad\text{d'équation } q(x)=-1 \tag{10} \] un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis. le $-$ de $-1$ est ajouté à l'encre bleue, comme dans (11). qui correspond à la quadrique ⌜est canon. iso. à la quadrique affine⌝ \[ \Sigma_{\mathcal{M}}\subset\check{\mathbb{V}}(\underbrace{\gamma\mathcal{M}}_{\mathcal{V}})\quad\text{d'équation } q_{\mathcal{M}}(u)=-1\quad\text{i.e.}\quad \det u=1 \tag{11} \] $\Sigma_{\mathcal{M}}$ est formé des $u$ […] ⌜tels que⌝ $u^2+1=0$ […] $[u^2+1=0]$ des H.C. de $A$ […] […] à […] correspond […] affine \[ \operatorname{Sym}^{*}(\check{E})/(q+1)\operatorname{Sym}^{*}(\check{E})\simeq\operatorname{Sym}^{*}\bigl((\gamma\mathcal{M})^{\vee}\bigr)/(q_{\mathcal{M}}+1) \tag{12} \] sous $\gamma\mathcal{M}$ : « $\mathcal{V}\simeq\mathcal{M}/\underline{\mathcal{O}}_S$ ».

Nous voulons mettre la […] en relation […] la droite projective définie par la quadrique $q(x)=0$, soit $X$, […] choix de la donnée,

91ou, […], équivalent : la donnée de $(E,q,\omega)$, […] […] : celle de $\mathcal{M}$. Introduisons \[ S[\underline{i}]=\operatorname{Spec}\underbrace{\underline{\mathcal{O}}_S[\underline{i}]}_{=\underline{\mathcal{O}}_S[T]/(T^2+1)}, \tag{13} \] un symbole biffé entre $S$ et $=\operatorname{Spec}$. On va définir une immersion ouverte dominante \[ \Sigma\hookrightarrow X^{S[\underline{i}]}=\underline{\operatorname{Hom}}_S(S[\underline{i}],X) \tag{14} \] Pour cela, explicitons les sections de $X^{S[i]}$ sur $S$ ⌜notations⌝

[…] préliminaires \[ \begin{cases} X\simeq\widetilde{X}/\mathbb{G}_m \\ \widetilde{X}\subset\check{\mathbb{V}}(E)^{*}\qquad \widetilde{X}\ \text{d'équation } q(x)=0 \end{cases} \tag{15} \] (NB $\widetilde{X}$ est un torseur sur $X$ de groupe $\mathbb{G}_{m,X}$, c'est le torseur associé au Module $\underline{\Omega}^1_{X/S}$ de degré $2$ …)

Dire d'[…] […] […] que $\widetilde{X}^{S[\underline{i}]}$ […] est un $\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}$-torseur sur $X^{S[\underline{i}]}$, […] les sections ⌜de $\widetilde{X}^{S[\underline{i}]}$⌝ sur $S$ s'explicitent comme des sections de $\check{\mathbb{V}}(E)^{*}_{S[\underline{i}]}$ i.e. ⌜$\mathbb{V}(E)_{S[\underline{i}]}$⌝ des couples \[ \xi=x+\underline{i}y\qquad x,y\in\Gamma(S,E), \] et il faut écrire a) $x+\underline{i}y$ une section de $E_{S[\underline{i}]}$ […] […] […] ⌜non nulle⌝ […] fibre ($\Rightarrow x$ et $y$ […] la fin de la ligne a) et la ligne (16) sont barrées ; on y lit « […] simultanément […] […] fibre ».

92b) $q(x+\underline{i}y)=0$ i.e. $q(x)-q(y)+\underline{i}\,\varphi(x,y)=0$ i.e. \[ \begin{cases} q(x)=q(y) \\ \varphi(x,y)=0 \end{cases} \tag{17} \] Il faut faire agir là-dessus $\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}$, qui s'identifie aux $a+\underline{i}b$ tels que $\underbrace{a^2+b^2}_{\operatorname{Nm}(a+\underline{i}b)}\in\Gamma(S,\mathcal{O}_S^{*})$, opérant sur $x+\underline{i}y$ par \[ \underbrace{(a+\underline{i}b)}_{\alpha}\underbrace{(x+\underline{i}y)}_{\xi}=(ax-by)+\underline{i}(bx+ay) \] Considérons l'ouvert $\widetilde{\mathcal{U}}$ de $\widetilde{X}^{S[\underline{i}]}$ défini par \[ \ q(x)=q(y)\in\Gamma(S,\mathbb{G}_m) \tag{18} \] un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis. On a, si $\xi=x+\underline{i}y\in\Gamma\widetilde{X}^{S[\underline{i}]}$ et $\alpha=a+\underline{i}b\in\Gamma\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}$ \[ q(\alpha\xi)=q(ax-by)=a^2q(x)+b^2q(y)-2ab\underbrace{\varphi(x,y)}_{0}=(a^2+b^2)\,q(x)\in\Gamma\mathbb{G}_m \] donc $\widetilde{\mathcal{U}}$ est stable par $\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}$, et définit donc […] par passage au quotient un ouvert \[ \mathcal{U}=\widetilde{\mathcal{U}}/\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}\subset X^{S[\underline{i}]} \tag{19} \] Considérons \[ \widetilde{\mathcal{U}}\longrightarrow\ \check{\mathbb{V}}(E) \] un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis. défini par \[ \xi=x+\underline{i}y\overset{\tilde f}{\longmapsto}\ q(x)^{-1}[x,y] \tag{20} \] un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis.

93Notons que si $x,y$ sont des sections de $E$, on a \[ q([x,y])=-4q(x)q(y)\underbrace{\sin^2(\widehat{x,y})}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \bigl(1-\frac{1}{4}\varphi(x,y)^2/q(x)q(y)\bigr)} \tag{21} \] un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis. attention au signe et au facteur 4 ! dans (21) le $4$ est écrit sur un $1$, et le $\frac14$ sur un autre chiffre. i.e. \[ \text{\struck{$4$}}\ q([x,y])=-4q(x)q(y)+\varphi(x,y)^2 \tag{21 bis} \] \[ \text{\struck{$2\varphi([x,y],[x,y])=4(x\wedge y\wedge[x,y])$}} \] ligne biffée en zigzag, lecture approximative. ce qui, puisque $\varphi(x,y)=0$, ⌜$q(x)=q(y)$⌝, donne \[ \ q([x,y])=-4q(x)^2 \] un symbole biffé et illisible dans cette formule est omis. ou encore, en car. ⌜résid.⌝ $\neq 2$, \[ q\Bigl(\frac{\text{\struck{$4$}}\,[x,y]}{2q(x)}\Bigr)=-1 \] en d'autres termes […] \[ \tilde f:\widetilde{\mathcal{U}}\longrightarrow\Sigma_{1} \tag{22} \] l'indice $1$ de $\Sigma$ dans (22) est une lecture douteuse. \[ \tilde f(\underbrace{x+\underline{i}y}_{\xi})=[x,y]/2q(x) \] Je dis que l'on a, pour ⌜$\alpha=a+\underline{i}b$⌝ $\alpha\in\Gamma\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}$ \[ \tilde f(\alpha\xi)=\tilde f(\xi). \] En effet […] \[ \alpha\xi=(ax-by)+\underline{i}(bx+ay)=x'+\underline{i}y' \] d'où

94\[ [x',y']=[ax-by,\,bx+ay]=(a^2+b^2)[x,y] \] […] \[ q(x')=q(y')=q(ax-by)=(a^2+b^2)\,q(x) \] donc \[ [x',y']/2q(x')=[x,y]/2q(x). \] Par suite (22) se factorise en un morphisme \[ \mathcal{U}\xrightarrow{\ f\ }\Sigma,\qquad \mathcal{U}\subset X^{S[\underline{i}]} \tag{23} \] (si $2$ inversible sur $X$),

Proposition (Le morphisme précédent est un isomorphisme.

a) C'est un monomorphisme. En effet, supposons $\tilde f(\xi)=\tilde f(\xi')$, où $\xi=x+\underline{i}y$, $\xi'=x'+\underline{i}y'$, i.e. \[ [x,y]/2q(x)=[x',y']/2q(x'), \] prouvons que $\xi'$ est de la forme $\alpha\xi$, $\alpha\in\Gamma\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}$. Notons que $x$ et $y$ ne ⌜sont pas colin.⌝ sont pas coll. sur aucune fibre (car si on avait $y=\lambda x$ on aurait $\varphi(x,y)=\lambda\varphi(x,x)=2\lambda q(x)=0$ donc $q(x)=0$, absurde).

95D'autre part $x,y$ sont orthogonaux : $x\perp y$ donc : $t=\tilde f(\xi)$, qui n'est pas orth. à lui-même en aucune fibre, car $\varphi(t,t)=2q(t)=-2\neq 0$ en chaque fibre. Donc $x,y$ forment une base de $t^{\perp}$, de même $(x',y')$. On doit donc avoir \[ \begin{cases} x'=ax-by \\ y'=cx+dy \end{cases}\qquad\text{avec } ad-bc\in\Gamma\mathbb{G}_m \] le signe de $by$ dans la première ligne est surchargé.

[…] […] Écrivons alors $q(x')=q(y')$, $\varphi(x',y')=0$, […] […] \[ \varphi(x',y')=ac\,\varphi(x,x)-bd\,\varphi(y,y)=0\quad\text{i.e. comme}\quad \varphi(x,x)=2q(x)=\varphi(y,y)=2q(y) \] nécessairement \[ ac-bd=0\qquad\qquad \begin{matrix} a & b\\ d & c\end{matrix} \] donc $c=\lambda b$, $d=\lambda a$, avec $\lambda\in\Gamma\mathbb{G}_m$

et […] d'où \[ \begin{cases} q(x')=(a^2+b^2)\,q(x)\\ q(y')=(c^2+d^2)\,q(y)=\lambda^2(a^2+b^2)\,q(x) \end{cases} \] donc la condition $q(x')=q(y')$ $\in\Gamma(\mathbb{G}_m)$ signifie que \[ \text{\struck{$(\lambda^2-1)(a^2+b^2)=0$}} \] \[ \begin{cases} a^2+b^2\in\Gamma\mathbb{G}_m \\ \lambda^2=1 \end{cases} \] donc $(x',y')=$ $\xi'=x'+\underline{i}y'=\lambda$

96Écrivons enfin \[ x'\wedge y'/2q(x')=x\wedge y/2q(x) \] On a \[ \begin{cases} x'\wedge y'=(ad+bc)\,x\wedge y=\lambda(a^2+b^2)\,x\wedge y\\ q(x')=(a^2+b^2)\,q(x) \end{cases} \] donc \[ x'\wedge y'/q(x')=\lambda\,x\wedge y/q(x) \] donc la condition est $\lambda=1$. Donc \[ \xi'=\alpha\xi,\quad \alpha=a+\underline{i}b,\quad a^2+b^2\in\Gamma\mathbb{G}_m, \] donc mono.

b) C'est un épi, en d'autres termes localement pour $\tilde f$ est un épi, ou encore $\forall$ $t\in\Gamma\Sigma$ est loc. de la forme $\tilde f(\xi)$. Or on a $\varphi(t,t)=2q(t)\in\Gamma\mathbb{G}_m$, donc $t^{\perp}$ définit un sous-fibré ⌜$F$⌝ de $E$ de rang $2$, donc supplémentaire de $\mathcal{O}_S\cdot t$, tout et la forme induite par $q$ y est non dég. Comme on est en car. $\neq 2$, loc. pour la top. étale on trouve une base orthonormale $x,y$ de $F$. \[ q(x)=q(y)=1,\quad \varphi(x,y)=0 \]

97Considérons alors \[ t'=\tilde f(x+\underline{i}y)=x\wedge y/q(x)=x\wedge y \] ⌜et prenons […] […]⌝ il est orth. à $F$ (donc $t$ de la forme $t=\lambda t'$, de plus $q(t)=q(\lambda t')=-1$, donc $\lambda^2=1$. Considérons \[ \text{Donc}\quad \begin{cases} q(x)=q(\lambda y)=1,\quad \varphi(x,\lambda y)=0\\ \text{\struck{$x+\underline{i}\lambda y$}}\ \tilde f(x+\underline{i}\lambda y)=x\wedge\lambda y=\lambda\,x\wedge y=\lambda t'=t \end{cases} \qquad \text{OK.} \] sous la seconde ligne, un début biffé « $f(x+\underline{i}\lambda y)=$ ».

Corollaire. En inversant l'iso $f$, on trouve une immersion ouverte (en car. résid. $\neq 2$) \[ \Sigma\overset{g}{\hookrightarrow}X^{S[\underline{i}]} \tag{24} \]

Remarque. Soit $q'=-q$, […] cette remarque, jusqu'au bas de la page, est barrée de deux longs traits obliques. \[ \text{\struck{$\delta(q')=-\delta(q)=\omega^{\otimes 2}$}} \] donc $(E,q',\omega)$ est ⌜structure⌝ anti spéciale orthogonale sans modification, […] […] […] \[ \text{\struck{$\varphi'(x,y)=-\varphi(x,y)$}} \] Si on désigne de façon […] $[\ ,\ ]=[\ ,\ ]_q$ […] par $q'$, on trouve $[\ ,\ ]_{q'}=[\ ,\ ]'$ défini par \[ \text{\struck{$\varphi'([x,y]',z)\,\omega=2\,x\wedge y\wedge z$}} \] \[ \text{\struck{$\varphi([x,y],z)\,\omega=-\varphi'([x,y],z)\,\omega$}} \] i.e. \[ \text{\struck{$[x,y]'=-[x,y]$}} \] La formule (21) devient alors \[ q'([x,y]')=4q'(x)q'(y)\underbrace{\sin^2(\widehat{x,y})'}_{1-\varphi'(x,y)^2/4q'(x)q'(y)} \tag{25} \]

98Notons qu'on a une immersion canonique \[ X\hookrightarrow X^{S[\underline{i}]} \] qui ici s'explicite à partir de \[ \widetilde{X}\longrightarrow\widetilde{X}^{S[\underline{i}]},\qquad x\longmapsto x+\underline{i}\,0 \]

le cadre qui suit est barré de traits obliques. Lemme Soit $\xi=x+\underline{i}y\in\Gamma\widetilde{X}^{S[\underline{i}]}$ ⌜i.e. $q(x)=q(y)$, $\varphi(x,y)=0$, $x+\underline{i}y$ partout non nul⌝, Pour que $\xi\in\Gamma\widetilde{\mathcal{U}}$ i.e. $q(x)=q(y)\in\Gamma\mathbb{G}_m$, il f. et s. que $\exists\,\alpha=a+\underline{i}b\in\Gamma\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}$ ($a^2+b^2\in\Gamma(\mathbb{G}_m)$) et $x_0\in\Gamma\widetilde{X}$ ($q(x_0)=0$, $x_0$ […] […] […] fibre […]) tels que $\xi=\alpha x_0$ i.e. \[ \text{\struck{$x=ax_0,\quad y=bx_0$}} \] tel qu'écrit, l'énoncé biffé demande « $\xi\in\Gamma\widetilde{\mathcal{U}}$ » ; la conclusion $\xi=\alpha x_0$ correspond plutôt au complémentaire de $\widetilde{\mathcal{U}}$, comme dans le lemme repris plus bas.

En fait on trouve que $\mathcal{U}\xrightarrow{\ \sim\ }\Sigma$,

Proposition. L'application inverse de $f$ (déduite par passage au quotient de $\tilde f:\widetilde{\mathcal{U}}\to\Sigma$, $\tilde f(x+\underline{i}y)=[x,y]/q(x)$) induit un isomorphisme \[ \boxed{\ \Sigma\xrightarrow{\ \sim\ }\widetilde{X}^{S[\underline{i}]}-\widetilde{X}=\mathcal{U}\ } \] Ceci équivalant au lemme

Lemme. Si $S=\operatorname{Spec}k$, ⌜$k$ alg. clos de car. $\neq 2$⌝, […] […] […] […] […] ⌜[…] […] […]⌝

$x+\underline{i}y\in\Gamma\widetilde{X}^{S[\underline{i}]}$ [$x,y$ deux él. de $E$ tels que $x,y$ non colin., soit […] […] ⌜i.e. $y=\lambda x$,⌝ ⌜et $q(x)=q(y)$, $\varphi(x,y)=0$⌝, […] […] avec $\lambda^2\neq-1$] […], on a $x+\underline{i}y\notin\widetilde{\mathcal{U}}^{S[\underline{i}]}$ i.e. $q(x)=q(y)=0$ ssi \[ x+\underline{i}y=(a+\underline{i}b)\,x_0, \] avec $x_0\in\Gamma\widetilde{X}$ i.e. $x_0\in E^{*}$, $q(x_0)=0$, […] $a+\underline{i}b\in\Gamma\mathbb{G}_m^{S[\underline{i}]}$ i.e. $a^2+b^2\neq 0$.

99En effet, ⌜soit qu'[…]⌝ on a $y=\lambda x$, i.e. $x+\underline{i}y=(1+\underline{i}\lambda)x_0$, avec $x_0=x$ et $a+\underline{i}b=1+\underline{i}\lambda$ et on a $a^2+b^2=1+\lambda^2\neq 0$ puisque l'on doit avoir $\lambda^2\neq -1$, d'où nécessité. Pour suffisance, si $x+\underline{i}y=x_0(a+\underline{i}b)$, i.e. $x=ax_0$, $y=by_0$, on a bien […] $q(x)=q(y)=a^2q(x_0)=0$ […]

O.K. …

dans la marge gauche, un cône (triangle et ellipse) dont le sommet est marqué d'une étoile.

tout ce qui suit sur la page est barré de grands traits obliques. Cas de $Q$ car. $2$ ⌜$\underline{i}=1+\varepsilon$ […] […] […] […]⌝ $S^{[\underline{i}]}$ est alors […] […] des […], […] $X^{S[\underline{i}]}$ est le fibré tangent à $X$.

On trouve \[ \text{\struck{$x+\underline{i}y=\underbrace{(x+y)}_{z}+\varepsilon y\longmapsto[x,y]/q(x)$}} \] \[ \text{\struck{$=[x+y,y]/q(y)$}}\qquad \text{\struck{$(x+y\neq 0\ \text{i.e.}\ x\neq y)$}} \] \[ \text{\struck{$z+\varepsilon y\longmapsto[z,y]/q(y)$}} \] \[ \text{\struck{$z\neq 0,\quad q(y+z)=q(y)\neq 0,\quad q(z)=\varphi(y,z)$}} \]

[…] \[ \text{\struck{$\det u=1,\ \operatorname{Tr}u=0\quad(\Rightarrow u^2+1=0)$}} \] \[ \text{\struck{$x+\underline{i}y:\ q(x)=q(y)\neq 0,\ \varphi(x,y)=0,\quad y\neq\lambda$}} \] ce dernier système, à droite, est précédé d'un point d'interrogation et d'un symbole biffé. \[ \text{\struck{$?\Leftrightarrow\ u=[v,w]/\det w$}} \] \[ \text{\struck{si $\det v=\det w\neq 0$, $\operatorname{Tr}v=\operatorname{Tr}w=0$, $\operatorname{Tr}vw=0$, $v\neq w$}} \] une ligne du système, entre $\operatorname{Tr}vw=0$ et $v\neq w$, est biffée et illisible. \[ \text{\struck{$\det[v,w]$}} \]

100le passage suivant, jusqu'à (26), est enfermé dans un cadre et semble abandonné. Posons $q''=4q'=-4q$, $\omega''=8\omega$, de sorte que \[ \delta(q'')=-2^6\,\delta(q)=2^6\,\omega^{\otimes 2}=(8\omega)^{\otimes 2}=\omega''^{\otimes 2} \] \[ \delta(q'')=\omega''\cdot\omega'' \] la formule (25) prend la forme \[ q''(\ \dots \tag{26} \] la formule (26) s'interrompt après « $q''($ ».

Remarque Posons \[ q_\lambda=\lambda q\qquad \varphi_\lambda=\lambda\varphi\qquad [\ ,\ ]_{\lambda\mu}=(\lambda\mu)^{-1}[\ ,\ ],\qquad \omega_\mu=\mu\omega \] La formule (8) s'écrit alors \[ \text{\struck{$q_\lambda([x,y]_\lambda)=\lambda$}} \] \[ \text{\struck{$2\,x\wedge y\wedge z=\varphi_\lambda([x,y]_\lambda,2)\,\omega$}} \] donc on a \[ \begin{cases} \delta(q_\lambda)=\lambda^3\delta(q)=-\lambda^3\,\omega^{\otimes 2}=-\lambda^3\mu^{-2}\,\omega_\mu^{\otimes 2}\\ 2\,x\wedge y\wedge z=\varphi_\lambda([x,y]_{\lambda,\mu},z)\,\omega_\mu \end{cases} \] \[ \begin{cases} q_\lambda([x,y]_{\lambda,\mu})=\lambda(\lambda\mu)^{-2}q([x,y])\\ \qquad =-4\lambda^{-1}\mu^{-2}q(x)q(y)\sin^2(\widehat{x,y})\\ \qquad =-4\lambda^{-3}\mu^{-2}q_\lambda(x)q_\lambda(y)\sin^2(\widehat{x,y}) \end{cases} \] On veut choisir $\lambda,\mu$ tels que $-4\lambda^{-3}\mu^{-2}=1$ dans la marge, un petit parallélogramme de vecteurs, en partie pointillé. i.e. $\lambda^{-3}\mu^{-2}=-\frac14$ avec $\lambda,\mu$ des ⌜(au signe près)⌝ puissances de $2$ \[ \lambda=-2^{\alpha},\ \mu=2^{\beta}\qquad \lambda^{-3}\mu^{-2}=-2^{-(3\alpha+2\beta)}=-2^{2} \] tel qu'écrit : « $=-2^{2}$ » ; la condition $-\frac14$ demanderait $-2^{-2}$. i.e. […] […] \[ 3\alpha+2\beta=-2\qquad \text{p.ex.\ on prend } \alpha=0,\ \beta=-1 \] le signe de $\beta=-1$ est une tache d'encre ; avec $3\alpha+2\beta=-2$ et $\alpha=0$ on a bien $\beta=-1$. ce qui donne \[ \lambda=-1,\quad \mu=\tfrac12\qquad q_\lambda=q'=-q,\quad \omega_\mu=\omega'=\tfrac12\omega \] $\mu=\frac12$ est écrit sur un « $4$ » ; un indice est biffé sous $q'$ ; la lecture de $\omega_\mu$ est incertaine (un chiffre surchargé). \[ \begin{cases} \delta'(q')=+4\,\omega'^{\otimes 2}=(2\omega')^{\otimes 2}\\ x\wedge y\wedge z=\frac12\,\varphi'([x,y]',z)\,\omega'\\ q'([x,y]')=q'(x)q'(y)\sin^2(\widehat{x,y})\\ \qquad =q'(x)q'(x)\bigl(1-\tfrac14\varphi(x,y)^2\ \dots\bigr) \end{cases} \] \[ [x,y]_{\lambda\mu}=[x,y]'=-2[x,y] \] la dernière ligne de l'accolade porte $q'(x)q'(x)$ sur la page ; la fin du facteur est une tache. L'argument se poursuit après le lot.