Cote n° 77, pages 1–20

Cote n° 77 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

Formes quadratiques de rg 2, droites projectives et revêtements quadr.

Titre repris de la couverture (p. 1 des archivistes), au crayon, de sa main ; le « et » devant « droites » est surchargé. Le feuillet ne porte rien d'autre.

2Digression quadratique cf. aussi notes sur $\mathrm{GP}(1) \simeq \mathrm{SO}(3)$ et variantes

$S$ schéma.

$C_1(S)$ catégorie des Modules quadratiques réguliers de rg 2 $(V, q)$.

$C_2(S)$ catégorie des quadruples $(A, V, \xi)$, i.e.

$A$ Algèbre finie étale de rg 2 sur $S$,
$V$ $A$-Module inversible
et $\xi \in \Gamma N_{A/S}(V)^{*}$ section de $N_{A/S}(V)$.

$C_3(S)$ catégorie des triples […] $(U, T)$, $U$ une […]-forme de $\mathbb{G}_m$, et $T$ […] un $U$-torseur.

$C_4(S)$ catégorie des couples $(X, \Delta)$, $X$ fibré en droites projectives sur $S$, $\Delta$ un diviseur relatif ⌜étale⌝ de rang 2.

$C_5(S)$ catégorie des triples $(P, X, D)$, $P$ fibré en droites ⌜plans⌝ projectifs, $D$ droite ss-fibré en droites projectives, $X$ conique lisse de $X$sic, semble-t-il : on attend « de $P$ »., $D$ et $X$ non tangents en chaque fibre.

$C_6(S)$ catégorie des couples $(E, C)$, $E$ fibré affine de rg 2 sur $S$, $C \subset E$ conique, projectivement lisse et partout non parabolique en chaque fibre.

$C_7(S)$ triples ⌜quadruples⌝ $(E, Q, \omega, V)$, $(E, Q, \omega)$ une forme spéciale-orthogonale de rang 3, $V$ un sous-Module fibré vectoriel de rg 2 tel non isotrope [i.e. tel que $Q|V$ soit régulière].

$C_8(S)$ Catégorie des couples $(M, A)$, $M$ Alg. d'Azumaya de rg 4 sur $S$, $A$ sous-Algèbre commutative étale de rg 2.

$C_9(S)$ : formes $G$ de $\mathrm{GP}(1)_S$, avec […] un tore maximal de $G$ ; $C'_9(S)$ : formes $G$ de $\mathrm{SL}(2)_S$, avec un tore maximal ⌜$W$⌝ de $G$. Ces deux lignes sont écrites le long de la marge gauche, la feuille tournée.

3$C_{10}(S)$ Catégorie des torseurs sous $(\mathbb{Z}/2)_S \tfrac{1}{2}\, \mathbb{G}_{m,S}$.Le signe « ½ » entre les deux groupes est le sien, ici et plus bas ; vraisemblablement un produit semi-direct.

[…] Toutes ces catégories sont canoniquement équivalentes…

Conditions équi Pour $S'$ on a fixé (NB $S' = \mathrm{Spec}(A)$…) les structures en question forment une ⌜[…]⌝ catégorie (claire sur $C_2$ et sur $C_3$). Si $T$ est un objet de celle-ci ($U$-torseur), on voit que $T^{\wedge 2}$ est loc. trivial au sens de Zariski. faux, cf. sur $\mathbb{R}$, les formes quadratiques $\alpha(x^2+y^2)$ […] $xy$ […] On veut expliciter la question […] trivialisation de $T^{\wedge 2}$. Par la suite exacte de Kummer \[ 0 \to \mu_2 \to U \xrightarrow{\;2\;} U \to 0 , \] on voit qu'il revient au même de se donner une restriction du groupe structural à $\mu_2$, ou une orbite […] de $T$ sous $\mu_2$, i.e. un morphisme de degré 2 $X \to X'$, où $X'$ est un fibré en droites ⌜relatif⌝ avec diviseur étale $\Delta'$, et une section […] de $X' \smallsetminus \Delta'$, $X \to X'$ induisant un morphisme ⌜fini⌝ étale $X \smallsetminus \Delta \to X' \smallsetminus \Delta'$. Ceci signifie aussi qu'on a une restriction des groupes structuraux \[ \mathbb{D}_S = \mathcal{O}(2)_S \quad \text{\uncertain{au} 4-groupe} \quad (\mathbb{Z}/2)_S \tfrac{1}{2}\, \mu_{2,S} \simeq (\mathbb{Z}/2)_S \times (\mu_2)_S \] qui opère sur $\mathcal{O}_S \times \mathcal{O}_S$ par symétrie et homothéties. Donc la catégorie de ces objets s'identifie à la cat. des triples $(A, L, \varepsilon)$, $A$ Algèbre finie étale de rg 2 sur $S$, $L$ module inv. sur $S$, $\varepsilon$ une trivialisation de $L^{\otimes 2}$ — on prend $V = A \otimes_{O_S} L$, d'où $N_{A/O_S} V \simeq L^{\otimes 2}$, et on prend $\xi = \varepsilon$…

NB L'action de $\mu_2$ sur $(X, \Delta)$ […] qui […] l'identité sur $\Delta$… (Cf […] […] […]…) NB $X' = X/\mu_2$ […] : […] […] […] des $X' \smallsetminus \Delta'$ […] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ […] Trois notes marginales serrées, écrites en biais dans la marge gauche ; la première se rattache par un trait à « au sens de Zariski », les deux autres à la discussion de $X \to X'$. Seuls les fragments transcrits se lisent.

4$\tau_0\tau_2 = \tau_2\tau_0$ i.e.

Données : un plan de $X$ fibré en droites projectives ⌜d'une Alg. de quat. $M$⌝) $\Rightarrow$ $C$ conique proj.

$\exists\, \tau_0, \tau_1, \tau_2 \in \mathrm{Aut}(X)$ réflexions (i.e. $\tau_i^2 = \mathrm{id}$, $\tau_i \neq 1$ en chaque fibre) \[ \Updownarrow \] $h_0, h_1, h_2 \in \Gamma(C \smallsetminus X)$ \[ \Downarrow \] $L_0, L_1, L_2$ ortho (droites des pts fixes des $\tau_0^C, \tau_1^C, \tau_2^C$)

NB Les $\tau_i$ se remontent de façon unique […] ⌜à […] près⌝ en des ⌜réflexions⌝ […] de $M^{*}$. Passage très surchargé : plusieurs mots biffés et interlignés entre « unique » et « $M^{*}$ ».

Hyp :

A)$\tau_0\tau_2 = \tau_2\tau_0$, i.e. A') $h_0 \perp h_2$ ;
B)$\tau_0\tau_1 \neq \tau_1\tau_0$, $\tau_1\tau_2 \neq \tau_2\tau_1$ sur chaque fibre, ou $\rho_{f}^2 \neq 1$, $\rho_{s}^2 \neq 1$, i.e. B') $h_0 \not\perp h_1$, $h_1 \not\perp h_2$ — (ou $h_0 \notin L_1$, $h_1 \notin L_2$ —) ;
C) […] C') $h_i \notin X$ ($i = 0,1,2$) sur chaque fibre
C)$\{h_0, h_1, h_2\}$ engendrent tout $C$ en chaque fibre ($\Leftrightarrow$ $H_0, H_1, H_2$ indép. en chaque fibre) ;
D)Considérons la droite ⌜$H_1 \cap H_2$⌝ de $\check{\mathbb{P}}(M) \supset C \simeq \check{\mathbb{P}}(\gamma M)$ formée des pts orth. à $h_1$, […], $h_2$, i.e. fixes par $\tau_1, \tau_2$. ⌜Les conditions précédentes […] qu'elle […]⌝ […] qu'elle […] elle n'est pas contenue dans la quadrique […] de $\check{\mathbb{P}}(M)$ définie par ces deux […]). On exige qu'elle ne soit pas ⌜en chaque fibre⌝ tangente, ce qui signifie aussi que $\beta \neq 2$ inv., on […] a) Aux pts ⌜de $S$⌝ de car. ⌜impaire⌝ $p > 0$, on veut que l'ordre de $\tau_1\tau_2$ soit $\neq p$ (car […] […] […] ⌜deux pts⌝ […]) […] aux pts de car. $> 0$ […], […] si $\tau_1\tau_2$ d'ordre fini […] ⌜[…]⌝ aux pts de car. nulle.

La fin de D), en bas de page, est très biffée et surchargée ; seuls les mots transcrits se lisent avec quelque assurance.

ce qui, pour $\tau_i^2 = \mathrm{id}$ ($i = 0,1,2$), implique que les $\tau_i$ sont des réflexions (car $\tau_i^2 \neq 1$ sur chaque fibre) ceci implique aussi […] que […] en chaque fibre dire que $h_i \notin X$ ($i = 0,1,2$) — comment l'exprimer en termes des opérations $\tau_i$ sur $X$ ? il suffit […] seulement […] des $S$ […] car. $p > 0$ ! Notes de la marge gauche, reliées par des flèches et un trait courbe aux conditions B) et C). Dans la première, il écrit $\tau_i^2 \neq 1$ là où le corps de page a $\tau_i \neq 1$.

5\[ X \longleftrightarrow M \longleftrightarrow (X \subset C), \qquad C = \check{\mathbb{P}}(\gamma M) \]

réflexions de $X$ ⌜$X$⌝ ;
$\updownarrow$réflexions de $C$ stables par $X$ $\longleftrightarrow$ réflexions de $V$ orth. ($V \simeq \check{\gamma}M$)
$\updownarrow$pts de $C \smallsetminus X$
$\updownarrow$droites de $M$ ⌜$\gamma M$⌝ non isotropes $M^{*}$ : Tr nulle
$\updownarrow$div⌜iseurs étales⌝ de deg 2 sur $X$
$\updownarrow$droites droites de $C$ non tgtes à $X$
$\updownarrow$plans de $V$ (i.e. de $\gamma M$) non tangents au cône $q = 0$
$\updownarrow$sous-algèbres étales de rg 2 de $M$
$\updownarrow$Éléments $\sigma$ de $M$ (tels que […], $\sigma^2 = 1$, $\sigma \neq \pm 1$ en chaque fibre ⌜quotients des réflexions, i.e.⌝ […] — conditions […] rien. pour la remplacer par ($\det \sigma = -1$))

Il dispose ces objets en colonne, reliés par des flèches doubles verticales ; une accolade en marge gauche porte « car. $\neq 2$ » en deux endroits, et un renvoi : « car. $\neq 2$, sinon il faut […] […] ».

L'action (via transport de structures) de la réflexion $\tau$ sur $M$, en termes de $\sigma$, est $u \mapsto \sigma u \sigma^{-1}$, mais ce n'est pas une réflexion de $M$ ! (val. propres $1, -1$ avec mult. 2 l'une et l'autre). Pour avoir une réflexion il faut ⌜composer⌝ […]… $u \mapsto u^{*} = \mathrm{Tr}\, u . 1 - u$ !!!

On a : \[ \tilde{\sigma}(u) = \sigma u^{*} \sigma = (\sigma u \sigma)^{*} = u - \mathrm{Tr}(u \sigma)\, \sigma \] La dernière formule est encadrée.

Formes quadratiques inv. et quasi-inv. sous $D_\infty$, $D_n$

Titre repris de la couverture (p. 6 des archivistes), au crayon, de sa main ; elle porte aussi la mention « (13 p) ». Les pp. 7–19 de ce lot font treize feuillets.

7Formes quadratiques quasi-invariantes sous le groupe diédral.

Cas I $\alpha \neq \pm 2$ fibre par fibre ⌜($\alpha^2 - 4$ inv.)⌝, de sorte que la repr. affine ⌜projective⌝ ([…] affine) naturelle de $\mathbb{D}_\infty = \mathrm{Aut}(\uncertain{\Omega})$ se restreint en une représentation vectorielle où \[ (1) \qquad \begin{aligned} \sigma(x,y) &= (y, x), \qquad \sigma'(x,y) = (\zeta y, \zeta^{-1} x), \\ u(x,y) &= (\zeta x, \zeta^{-1} y) . \end{aligned} \] La décomposition $E = D_1 \oplus D_2 \oplus D_0$ (correspondant aux val. propres $\zeta, \zeta^{-1}$ de $u$, $\zeta \neq \zeta^{-1}$ fibre par fibre) définit une décomposition analogue de \[ (2) \qquad \begin{aligned} \mathrm{Sym}^2(\check{E}) \simeq{}& \check{D}_1^{\otimes 2} \oplus \check{D}_2^{\otimes 2} \oplus \check{D}_0^{\otimes 2} \\ &\oplus \check{D}_1 \otimes \check{D}_2 \oplus \check{D}_1 \otimes \check{D}_0 + \check{D}_2 \otimes \check{D}_0 \end{aligned} \] correspondant aux valeurs propres \[ (3) \qquad \zeta^{2},\ \zeta^{-2},\ 1,\ 1,\ \zeta^{-1},\ \uncertain{\zeta} \] de $u$.Il écrit $\zeta^{2}, \zeta^{-2}$ pour $\check{D}_1^{\otimes 2}, \check{D}_2^{\otimes 2}$ ; sur le dual on attendrait $\zeta^{-2}, \zeta^{2}$. Transcrit tel quel.

Supposons d'abord les ⌜5⌝ val. propres $1, \zeta, \zeta^{-1}, \zeta^{2}, \zeta^{-2}$ distinctes deux à deux fibre par fibre (ce qui signifie $\zeta^{3} \neq 1$, $\zeta^{4} \neq 1$ fibre par fibre, en plus de $\zeta \neq \pm 1$ ⌜fibre par fibre, i.e. $(\zeta^2 - 1)$ inv.,⌝ exprimant $\alpha \neq \pm 2$ fibre par fibre…). Alors les droites propres pour $u$ sont […] d'une part $\check{D}_1^{\otimes 2}$, $\check{D}_2^{\otimes 2}$, $\check{D}_1 \otimes \check{D}_0$, $\check{D}_2 \otimes \check{D}_0$, d'autre part les droites contenues ⌜(ens)⌝ dans $\check{D}_0^{\otimes 2} \oplus (\check{D}_1 \otimes \check{D}_2)$. Or les 4 droites précédentes sont non inv. par $\sigma$ (qui échange $\check{D}_1$ et $\check{D}_2$, donc $\check{D}_1^{\otimes 2}$ et $\check{D}_2^{\otimes 2}$, $\check{D}_1 \otimes \check{D}_0$ et $\check{D}_2 \otimes \check{D}_0$), d'autre part $\sigma$ opère trivialement dans $\check{D}_0^{\otimes 2} \oplus (\check{D}_1 \otimes \check{D}_2)$. Donc on trouve, ⌜en somme⌝ les […]

8comme seules droites invariantes ⌜par $\mathbb{D}_\infty$⌝ dans $\mathrm{Sym}^2(\check{E})$, les celles qui sont formées des formes quadratiques invariantes.

Si on permet que $\zeta^{3} = 1$ sur certaines fibres, […] mais pas $\zeta^{4} = 1$, alors on trouve que les droites inv. dans $\mathrm{Sym}^2(\check{E})$ par $u$ sont contenues ⌜les⌝ dans $V = \check{D}_1^{\otimes 2} \oplus \check{D}_2$ ou $W = \check{D}_2^{\otimes 2} \oplus \check{D}_1$, ou $\check{D}_0^{\otimes 2} \oplus \check{D}_1 \otimes \check{D}_2$, or $\sigma$ échange $V$ et $W$, donc il n'y a pas de droites inv. par $\mathbb{D}$ ni dans $V$, ni dans $W$, et on […] ⌜obtient⌝ la même conclusion. i.e. $\alpha = -1$ sur certaines fibres

Mais si on permet $\zeta^{4} = 1$ sur certaines fibres, que se passe-t-il ? Supposons donc carrément \[ (4) \qquad \zeta^{4} = 1 \quad \text{i.e.} \quad \zeta^{2} = -1, \quad \text{ou encore } \alpha = 0 \] (cas du carré) — car (4) s'écrit \[ (\zeta^{2} - 1)(\zeta^{2} + 1) = 0 \] et comme par hyp. $\zeta^{2} - 1$ est inv., cela donne $\zeta^{2} + 1 = 0$ i.e. $\zeta + \zeta^{-1} = 0$ i.e. $\alpha = 0$…

Alors les valeurs propres distinctes parmi (3) […] sont $\zeta^{2} = \zeta^{-2} = -1$, $1$, $\zeta, \zeta^{-1}$, correspondant aux sous-espaces propres $\check{D}_1^{\otimes 2} \oplus \check{D}_2^{\otimes 2}$, $\check{D}_0^{\otimes 2} \oplus (\check{D}_1 \otimes \check{D}_2)$, $\check{D}_1$, $\check{D}_2$. Les droites propres

9sous $u$ sont celles contenues dans un de ces sous-espaces. Si on veut qu'elles soient aussi inv. sous $\sigma$, il ne reste plus que les droites des deux premiers sous-espaces. Or on est en car. $\neq 2$ (car $\zeta^{2} = -1$, mais $\zeta \neq \pm 1$ fibre par fibre) et $\sigma$ opère sur $\check{D}_1^{\otimes 2} \oplus \check{D}_2^{\otimes 2}$ en permutant $\check{D}_1^{\otimes 2}$ et $\check{D}_2^{\otimes 2}$… Cela fait donc 2 droites propres canoniques de l'espace qu'il engendre, correspondant aux val. propres $+1$ et $-1$ resp. pour $\sigma$, les val. propres pour $u$ étant $-1, -1$, celles pour $\sigma' \add{= u\sigma}$ […] étant $-1, 1$.

Si on apprécie le carré en coordonnées $(x,y)$ avec sommets $(\pm 1, \pm 1)$ […] rangés dans l'ordre \[ (1,1),\ (-1,1),\ (-1,-1),\ (1,-1) \] Petit carré quadrillé par les deux axes, sommets marqués $s_0$ (en haut à droite), $s_1$ (en haut à gauche), $s_2$ (en bas à gauche), $s_3$ (en bas à droite). NB car $\neq 2$

Les formes quadratiques en $(x,y,z)$ correspondantes sont $x^2 - y^2$ ⌜$= (x-y)(x+y)$⌝ et $xy$ (NB $\sigma(x,y) = (y,x)$, $\sigma'(x,y) = (-x, y)$) elles sont toutes deux ⌜[…]⌝ dégénérées $\{$ La première prend 2 valeurs constantes $\neq 0$ sur les sommets du carré, la seconde prend la valeur $+1$ sur ⌜un couple de⌝ deux sommets opposés, la valeur $-1$ sur le couple des deux autres sommets… $\}$ Seule la première définit une conique non […] […] par les sommets du carré passant […] La dernière ligne, au ras du bord inférieur, est en partie coupée ; elle se poursuit en haut de la p. 10.

10conique $x^2 - y^2 = 0$, mais celle-ci a l'origine comme pt singulier ⌜i.e. réunion des deux droites diagonales…⌝Cette ligne, et l'interligne au-dessus de « On voit », sont ajoutées en tête de page, très serrées. bref ! On voit donc que si $\zeta^{4} - 1$ est inv. i.e. $4(\alpha^2 - 4)$ inv., donc […] les formes quadratiques sur $E$ quasi-invariantes par $\mathbb{D}$ et non dég. sur chaque fibre sont en fait invariantes par $\mathbb{D}$, et c'est une combinaison linéaire des formes $z^2$ et $xy$ (avec les coordonnées choisies), […] où on a dû d'abord faire un changement de base quadratique avec \[ S' = \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_S[T]/(T^2 - \alpha T + 1)\ \ldots) \] \[ (5) \qquad Q(x,y,z) = a z^2 + b xy \] dont la déterminant matrice \[ \begin{pmatrix} 0 & b & 0 \\ b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2a \end{pmatrix} \] a le déterminant \[ (6) \qquad \delta(Q) = 2ab^2 \] donc le déterminant divisé \[ (7) \qquad \delta'(Q) = ab^2 \] Quasi-[…] ⌜inv.⌝ ssi $a, b$ le sont. La condition que $Q$ s'annule sur les sommets de $P$ s'écrit alors \[ (8) \qquad a + b = 0 \] donc $\exists !$ […] conique circonscrite à $P$ invariante sous $\mathbb{D}_\infty$, […] d'équation \[ (9) \qquad z^2 - xy = 0 \] On en conclut, en condensé, affirm., $\exists !$

11fonction quadratique ⌜polyn. de degré $\leq 2$⌝ sur ⌜inscrite puis⌝ $V$ invariante par $\mathbb{D}_\infty$ et […] nulle sur les sommets du polygone $P$, savoir \[ xy - 1 \] [en somme, $\exists !$ forme quadratique sur $V$ invariante par $\mathbb{D}_\infty$ égale à $1$ sur les sommets du polygone $P$, savoir $xy$…].

NB Il y a « en général » une et une seule conique qui passe par cinq points, (NB cinq équations lin. homogènes en 6 coeff. homogènes…), donc on s'attend à ce que, lorsque $P$ a au moins cinq pts fibre par fibre (i.e. $\alpha \neq 0, -1$ fibre par fibre pour exclure triangles et carrés, donc au total \[ \alpha(\alpha^2 - 4)(\alpha + 1) \quad \text{inversible} \] qu'il existe ⌜une unique⌝ […] conique qui passe par les sommets de $P$. Écrivons la conique sous forme non homogène comme \[ Q(x,y) = a x^2 + 2b\, xy + c y^2 + u x + v y + \lambda \] et prenons pour $(x,y)$ les cinq points $(\zeta^{i}, \zeta^{-i})$, $-2 \leq i \leq +2$, on trouve

12les conditions sur $a, b, c, u, v, \lambda$ s'expriment par un syst. de 5 équations linéaires, de matrice \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \zeta^{2} & 1 & \zeta^{-2} & \zeta & \zeta^{-1} & 1 \\ \zeta^{-2} & 1 & \zeta^{2} & \zeta^{-1} & \zeta & 1 \\ \zeta^{4} & 1 & \zeta^{-4} & \zeta^{2} & \zeta^{-2} & 1 \\ \zeta^{-4} & 1 & \zeta^{4} & \zeta^{-2} & \zeta^{2} & 1 \end{pmatrix} \] et il faut vérifier si […] ⌜cette matrice ($5 \times 6$)⌝ est de rang 5 fibre par fibre, ce qui équivaut (vu qu'il y a deux colonnes identiques formées de 1) que le déterminant […] \[ \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \zeta^{2} & \zeta^{-2} & \zeta & \zeta^{-1} & 1 \\ \zeta^{-2} & \zeta^{2} & \zeta^{-1} & \zeta & 1 \\ \zeta^{4} & \zeta^{-4} & \zeta^{2} & \zeta^{-2} & 1 \\ \zeta^{-4} & \zeta^{4} & \zeta^{-2} & \zeta^{2} & 1 \end{pmatrix} = \Delta(\zeta), \qquad \text{où } \Delta \in \mathbb{Z}[T, T^{-1}] \] est inversible. De la façon dont on obtient ce déterminant, il semble est clair qu'il est nul si […] $\zeta^{3} = 1$, ou $\zeta^{4} = 1$, ⌜faut une des six premières lettres simplifiées dans $Q$) du tableau⌝, i.e. si \[ \frac{(\zeta^{4} - 1)(\zeta^{3} - 1)}{\zeta - 1} \in \mathbb{Z}[\zeta] \] et […] par $(\zeta^2+1)$ manœuvre Vandermonde des colonnes, bien voir matrices symétriques on trouve que $\Delta(T)$ est divisible par \[ \frac{(\zeta^{2}-1)(\zeta^{3}-1)}{\zeta - 1} = (\zeta^{2}+1)(\zeta^{2}-1)(1 + \zeta + \zeta^{2}), \quad \text{et} \equiv \text{par} \] \[ (\zeta^{2}+1)(\zeta^{2}-1)^{2}(1 + \zeta + \zeta^{2}) = \alpha(\alpha^{2} - 4)(\alpha + 1) \] Étudier la multiplicité dudit déterminant ? Dans la première fraction de la ligne avant-dernière il écrit $(\zeta^{2}-1)$ au numérateur, contre $(\zeta^{4}-1)$ trois lignes plus haut. La dernière identité, prise à la lettre, demande de diviser par une puissance de $\zeta$. Transcrit tel quel.

13[…] ⌜fonction pol. de degré $\leq 2$⌝ $q$ (qui s'annule sur cinq sommetsLe mot « sommets », en fin de ligne, est d'une autre encre (brune) et en écriture détachée ; le début de la ligne est couvert par une tache.) consécutifs s'annule sur tous les sommets (si $\alpha(\alpha+1)$ inversible) et est en fait un multiple de la forme quadratique invariante principale. Sur l'espace des translations, la forme quad. principale est \[ (3) \qquad \text{\struck{$q(x,y)$}}\ \ q_0(x,y) = x^2 + y^2 - \alpha xy \] qui est dég. ⌜dont le⌝ discriminant est \[ (4) \qquad \delta_0 = \alpha^2 - 4 = (\alpha - 2)(\alpha + 2) \] inv. ssi $\alpha \neq \pm 2$ fibre par fibre i.e. ssi on est dans le cas I.

Quant à $q_0$ elle-même, écrite comme forme en 3 variables $x, y, z$ \[ (2\,\text{bis}) \qquad q_0(x,y,z) = x^2 + y^2 \ \text{\struck{$+ \ill{}$}} + 0 z^2 - yz - \text{\struck{\ill{}}}\, xz - \alpha xy \] de matrice ⌜adjointe⌝ \[ (5) \qquad \begin{pmatrix} 2 & -\alpha & -1 \\ -\alpha & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] de discriminant \[ (6) \qquad \delta = \text{\struck{\ill{}}} -2\alpha - 2 - 2 = -2(\alpha + 2) \] de discriminant divisé \[ (6') \qquad \delta' = -(\alpha + 2) \] qui est nul ssi $\alpha = -2$, inv. ssi $\alpha \neq -2$ sur chaque fibre (i.e. si on n'est pas dans le cas III sur aucune fibre…) Les numéros d'équations (3), (4), (2 bis), (5), (6) ne prolongent pas ceux des pp. 7–12, qui vont jusqu'à (9) : ce feuillet semble appartenir à une autre rédaction du même calcul.

14Les deux pts isotropes (confondus […] en chaque fibre au-dessus de $s$ ssi $\alpha_s = \pm 2$…) correspondent aux solutions directions de pente $\zeta = y/x$ satisfaisant \[ (7) \qquad \zeta^2 - \alpha\zeta + 1 = 0 \quad \text{i.e.} \quad \zeta + \zeta^{-1} = \alpha \] Étudions la situation où on se donne (en plus du polygone régulier) une telle direction isotrope — ici le schéma « modulaire » est donc ⌜la racine inversible⌝ $\zeta$, plus fin que $\alpha$ [et pour les « […] $n$-polygones » on aura $\Phi_n(\zeta) = 0$ ⌜$\to$ pol. cyclotomique⌝ + conditions de caractéristique…]. Donc la forme quadratique $q_0$ s'écrit \[ (8) \qquad q_0(x,y) = (x - \zeta y)(x - \zeta^{-1} y) \] et $q(x,y,z)$ s'écrit \[ (9) \qquad q(x,y,z) = (x - \zeta y)(x - \zeta^{-1} y) - (x + y) z \] La numérotation repart ici de (7), à la suite de celle de la p. 13. Utilisons […] ⌜correspondant au point⌝ la […] ⌜droite $D_\zeta$ de pente $\zeta$ et⌝ (le pt isotrope $d_\zeta \in C$) pour identifier la conique $C$ : $q(x,y,z) = 0$ à $\mathbb{P}(E/D_\zeta)$ — on trouve…

En marge gauche : une ellipse, un point marqué $d_\zeta$ sur elle, et deux droites issues de ce point, l'une tangente, l'autre sécante.

Un repère projectif de $\mathbb{P}(E/D_\zeta)$ grâce aux trois plans suivants contenant $D_\zeta$ i.e. aux droites projectives de $\check{\mathbb{P}}(E)$ contenant $d_\zeta$ :

$\circ$)le plan qui la plane […] […] : la droite tangente : $d_\zeta$ : $C$

La fin de la page est surchargée ; l'énumération des trois plans se poursuit à la page suivante.

15\[ \left\{ \begin{aligned} f_1 &= (1, \zeta, 0) = e_1 + \zeta e_2 \\ f_2 &= (1, 0, 1 - \zeta) = e_1 + (1 - \zeta) e_3 \\ f_3 &= (0, 0, 1) = e_3 \end{aligned} \right. \] $f_3 = (0, \zeta, \zeta - \ill{}) = e_2 + (\zeta - 1) e_3$ — vecteur directeur de la 2e droite isotrope Petit croquis en perspective : trois vecteurs $f_1$, $f_2$, $f_3$ issus d'une origine, un segment marqué $1 - \zeta$, et un plan marqué $H_\zeta$.

NB \[ \begin{aligned} e_1 &= f_2 - (1 - \zeta) f_3 = f_2 + (\zeta - 1) f_3 \\ e_2 &= \zeta^{-1}(f_1 - e_1) = \zeta^{-1} f_1 - \zeta^{-1} f_2 + (1 - \zeta^{-1}) f_3 \\ e_3 &= f_3 \end{aligned} \] $\ill{} = \zeta^{-1} f_1 - \zeta^{-1} f_2 + (\zeta - \zeta^{-1}) f_3$ Dans ces lignes il a corrigé plusieurs indices par surcharge ($f_2$ / $f_3$) ; on transcrit la leçon finale. La ligne biffée en tête de colonne droite est barrée de traits obliques.

Le plan ⌜$(e_1, e_3)$ est invariant⌝ engendré par $(f_1, e_1)$ (qui correspond à la droite isotrope $D_{\zeta^{-1}} = D'_\zeta$…), qui correspond dans le plan $(f_2, f_3)$ — si $\zeta - 1$ inv. — à la droite de pente (par rapport à $f_3, f_2$) $\dfrac{1}{\zeta - 1}$

Donnée des Polygones épinglés ⌜par $D_\zeta$⌝ du type $\neq$ III ⌜i.e. réguliers⌝ équivalent + droite isotrope $\Longleftrightarrow$ donnée de $\zeta \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)^{*}$ $\Longleftrightarrow$ ce qui suit :

1°)fibré en droites affines […] i.e. torseurs sous ⌜$F$⌝ fibré vectoriel inv. ⌜de rang 1⌝ […] i.e. extension via $e_\zeta$ par un $L$ $0 \to L \to F \to \mathcal{O}_S \to 0$
2°)Une section de $\mathbb{P}(F)$ i.e. un Module inv. $L'$ et un hom. $F \to L'$

Tout ce bloc, depuis « Donnée des Polygones », est barré de deux longs traits obliques, qui s'arrêtent avant « Avec ceci ».

Avec ceci, on construit le schéma en groupes

16des automorphismes de $P$ qui laissent invariants les diviseurs sections relatifs de degré 2 qui sont définis par les 2 sections de $P$, et induisent l'identité dessus — qui est un schéma en groupes $G$ lisse sur $S$, de dim relative 1, dont la comp. neutre $G^0$ est commutative

3°) Ces lignes, suite de la phrase ouverte au bas de la p. 15, sont barrées de deux traits obliques ; le reste du feuillet est blanc.

17Quand aux formes quadratiques invariantes ⌜quasi-inv.⌝ sur l'espace des translations $\check{V}$ (toujours sous l'hyp. $\alpha^2 - 4$ inv.) elles sont comprises parmi les quasi-inv. sur $\check{E}$ (dont […] […] ⌜[…] est un quotient⌝, puisque $\alpha \neq 2$ fibre par fibre…), on trouve donc, si $\alpha$ inv., les multiples seulement de la forme $xy$ (qui est non dégénérée et donne lieu à la conique circonscrite à $P$), et si $\alpha = 0$ i.e. […] $\zeta^2 = -1$ ⌜(donc 2 inv. sur $S$)⌝ on trouve comme dessus les multiples de $x^2 + y^2$ et de $x^2 - y^2$, dont la ⌜première prend les valeurs⌝ […] […] […] […] tels 2 et $\zeta^2 + \zeta^{-2} = \alpha^2 - 2 = -2$ sur les sommets de $P$ ⌜(donc deux valeurs distinctes)⌝, et la deuxième y prend 2 valeurs $0$, mais (comme nous avons remarqué) définit une conique circonscrite dégénérée….

Il reste à étudier la question des formes quadratiques ⌜quasi⌝ invariantes, d'abord pour $\alpha = 2$ et $\alpha = -2$, puis éventuellement pour $\alpha$ « variable » général….

18Coniques circonscrites à un polygone régulier. Le titre et la ligne suivante sont repassés à l'encre brune sur certains mots (« polygone régulier », « universelles »), comme le mot « sommets » de la p. 13.

Faisons les calculs en coordonnées universelles \[ (1) \qquad \left\{ \begin{aligned} s_0 &= (0,0) \\ s_1 &= (1,0) \\ s_{-1} &= (0,1) \\ s_2 &= (1 + \alpha, 1) \\ s_{-2} &= (1, 1 + \alpha) \end{aligned} \right. \] Écrivons une fonction quadratique générale en coord. affines \[ q(x,y) = a x^2 + b xy + c y^2 + u x + v y + d \] […] Écrivons que la ⌜$S$ […]⌝ conique qu'elle définit ⌜$-2 \leq i \leq +2$⌝ passe par les $s_i$, on trouve \[ \left. \begin{aligned} q(s_0) &= d = 0 \\ q(s_1) &= a + u = 0 && \text{i.e. } u = -a \\ q(s_{-1}) &= c + v = 0 && \phantom{\text{i.e. }} v = -b \end{aligned} \right\} \quad q(x,y) = a(x^2 - x) + c(y^2 - y) + bxy \] Dans la troisième ligne, le coefficient de $q(s_{-1})$ est surchargé (un $c$ et un $b$ l'un sur l'autre) et la ligne conclut « $v = -b$ » ; la forme résumée à droite porte $c(y^2-y)$, ce qui demande $v = -c$. Transcrit tel quel. \[ \left\{ \begin{aligned} q(s_2) &= a(1+\alpha)\alpha + b(1+\alpha) = (1+\alpha)(\alpha a + b) = 0 \\ q(s_{-2}) &= c(1+\alpha)\alpha + b(1+\alpha) = (1+\alpha)(\alpha c + b) = 0 \end{aligned} \right. \] Si $\alpha - 1$ inv. (i.e. on n'a de triangle sur aucune fibre) la condition s'écrit \[ b = -\alpha a \ \text{\struck{\ill{}}} = -\alpha c \] ou encore et si $\alpha$ inversible (i.e. on n'a pas de carrés sur aucune fibre) \[ a = c, \quad b = -\alpha a, \] ⌜i.e.⌝ $q$ doit être multiple ⌜$a q_0$⌝ de la forme \[ (2) \qquad q_0(x,y) = (x^2 - x) + (y^2 - y) - \alpha xy \] Comme celle-ci est invariante sous $G$, on NB C'est la conique universelle qu'il […] si […] — vérif $q(s_2, s_{-2}) = \ill{}$ (erreur […])… Note écrite en biais dans le coin inférieur gauche, reliée par des traits aux lignes « aucune fibre » et (2) ; très peu lisible. Dans « Si $\alpha - 1$ inv. », le facteur en jeu est $(1+\alpha)$ ; transcrit tel quel.

19Ce feuillet prolonge l'énumération des plans contenant $D_\zeta$ commencée au bas de la p. 14 et les vecteurs $f_i$, $e_i$ de la p. 15, plutôt que la p. 18. b) celui qui correspond au plan $(x,y)$

Plan tangent : $C$ le long de $D_\zeta$. Son équation est (utilisons la matrice adjointe […]) \[ Ax + By + Cz = 0 \qquad \text{\struck{$2x - \alpha y =$}} \] où $A, B, C$ sont donnés par $\Delta\cdot(1, \zeta, 0)$ i.e. \[ \begin{aligned} A &= 2 - \alpha\zeta = 1 - \zeta^2 \ \text{\struck{$= \ill{}$}} = (1 - \zeta)(1 + \zeta), \\ B &= -\alpha + 2\zeta = \zeta - \zeta^{-1} = \zeta^{-1}(1 - \zeta^2) = -\zeta^{-1}(1 - \zeta)(1 + \zeta), \\ C &= -(1 + \zeta) \end{aligned} \] Dans $B$, les deux dernières expressions sont de signes opposés ; transcrit tel quel.

On peut (comme $1 + \zeta$ […] inv. i.e. $\zeta \neq -1$ fibre par fibre i.e. $\alpha \neq -2$ fibre par fibre, par hyp.) diviser par $(1 + \zeta)$, on trouve l'équation \[ H_\zeta : \quad \left\{ \begin{aligned} &(1 - \zeta)x - \zeta^{-1}(1 - \zeta) y - z = 0 \quad \text{i.e.} \\ &z = (1 - \zeta)(x - \zeta^{-1} y) \end{aligned} \right. \] \[ D_\zeta \subset H_\zeta \subset E, \qquad H_\zeta \simeq V \] Sous $H_\zeta$, un « $\simeq$ » vertical renvoie à $V$. Ainsi $C$ s'identifie à la ⌜droite projective de la⌝ droite affine associée à l'extension de $E/H_\zeta$ ⌜$(\mathcal{O}_S e_3)$⌝ par $H_\zeta/D_\zeta \simeq V/D_\zeta \simeq$. Comme l'ext. des 2 ⌜est une⌝ scindée […] ⌜extension affine est⌝ vectorielle, isomorphe au fibré vectoriel cov. associé : \[ (E/H_\zeta)^{\otimes -1} \otimes H_\zeta/D_\zeta, \qquad E/H_\zeta \simeq \mathcal{O}_S\, e_3, \quad H_\zeta/D_\zeta \simeq \mathcal{O}_S\, e_1 \] En bas à gauche : deux axes $e_1$ (horizontal) et $e_3$ (vertical), un vecteur $e_2$ et la droite $D_\zeta = \mathcal{O}_S(1,\zeta)$ issus de l'origine. La phrase sur l'extension, très surchargée d'interlignes, n'est lue qu'en partie ; l'argument se poursuit au-delà de ce lot.

Extensions quadratiques

Titre repris de la couverture (p. 20 des archivistes), à l'encre, de sa main ; elle porte aussi, au crayon, la mention « (43 p) ». La liasse qu'elle annonce commence au lot suivant.

Formes quadratiques de rg 2, droites projectives et revêtements quadr.

Formes quadratiques inv. et quasi-inv. sous \(D_\infty\), \(D_n\)

Extensions quadratiques