Cote n° 77 · pages 1–157 · Lecture modernisée · Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Ces pages parlent des formes quadratiques — les expressions comme \(x^2 + y^2\), \(xy\) ou \(x^2 + bxy + cy^2\) — et de ce qu'elles deviennent quand on cesse de travailler sur les nombres réels ou complexes pour travailler « sur une base quelconque » : sur les entiers, sur un anneau où \(2 = 0\), ou sur une famille d'anneaux qui varie avec un paramètre.

Le problème est ancien et simple à dire. Sur les réels, une équation \(x^2 + bx + c = 0\) se résout en divisant par \(2\) : on complète le carré, et tout est gouverné par le discriminant \(b^2 - 4c\). Sur les entiers, cette division est interdite, et quelque chose se perd : deux équations de même discriminant peuvent cesser d'être équivalentes, et un discriminant n'est pas n'importe quel nombre — il est toujours congru à \(0\) ou à \(1\) modulo \(4\). Dans un anneau où \(2 = 0\), le discriminant n'est plus qu'un carré et ne dit presque plus rien. Tout le dossier est une manière de tenir les comptes de ce qui se passe au-dessus du nombre premier \(2\), au lieu de l'exclure d'emblée.

L'idée qui revient partout est géométrique. Une équation du second degré a deux racines ; la donnée de ses racines, prises ensemble, est un « revêtement à deux feuillets » de la base, comme les deux déterminations de \(\sqrt{t}\) au-dessus du plan complexe. À toute forme quadratique, Grothendieck attache ainsi, de plusieurs façons, un tel revêtement double : par le discriminant quand \(2\) est inversible, par une équation d'Artin et Schreier quand \(2 = 0\), et, dans le cas mixte des entiers, par un discriminant muni d'une racine carrée modulo \(2\) qui se prolonge modulo \(4\). Un revêtement double du même genre reparaît à la fin sous un autre nom : les sous-espaces isotropes maximaux d'une forme de rang pair forment deux familles, et le choix d'une famille est un revêtement double de la base — celui qui porte l'invariant d'Arf.

Le dossier commence par la géométrie la plus concrète : la conique qui passe par les sommets d'un polygone régulier, et les réflexions d'une droite projective. Il passe ensuite à l'algèbre — les « extensions quadratiques », classées d'abord quand \(2\) est inversible, puis en caractéristique \(2\), puis dans le cas mixte —, à un calcul combinatoire du discriminant d'une forme générale par des graphes, à la sphère vue comme une quadrique affine, et s'achève sur les variétés de drapeaux isotropes et les groupes orthogonaux sur une base quelconque, la caractéristique \(2\) comprise.

Une analogie aide à lire la partie sur la sphère. La sphère réelle \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) et la droite projective complexe sont la même chose : c'est la sphère de Riemann. Un point de la sphère, vu de cette façon, est un couple de points « conjugués » de la droite projective complexe. Grothendieck écrit cette identification sans les nombres réels ni complexes, avec seulement l'équation \(T^2 + 1 = 0\) adjointe à la base, et elle devient un énoncé valable sur tout anneau où \(2\) est inversible.

Les noms modernes à chercher ensuite : algèbres quadratiques et leur discriminant, congruence de Stickelberger, revêtements d'Artin–Schreier, restriction des scalaires de Weil, isomorphisme exceptionnel \(\mathrm{PGL}_2 \simeq \mathrm{SO}_3\), grassmanniennes orthogonales, invariant d'Arf et invariant de Dickson, sous-groupes paraboliques des groupes orthogonaux.

Keywords — quadratic algebra, discriminant of a quadratic algebra, quadratic étale cover, affine hull, symmetric power of an affine line, Hilbert scheme of points, canonical involution, Artin-Schreier cover, Stickelberger congruence, half-discriminant, hafnian, Pfaffian, signed discriminant, dihedral group, circumscribed conic, regular polygon, quaternion algebra, Weil restriction, affine quadric, exceptional isomorphism PGL2 = SO3, Segre embedding, normalizer of a maximal torus, orthogonal Grassmannian, isotropic flag variety, Stein factorization, Arf invariant, Dickson invariant, special orthogonal group scheme, parabolic subgroup

2–157

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier est fait de six liasses, chacune sous une couverture de sa main dont les mots servent ici de titres de parties. Les nombres au crayon de certaines couvertures sont des comptes de pages et tombent juste : « (13 p) » sur la couverture de la page 6 couvre les pages 7 à 19 ; « (43 p) » sur celle de la page 20 couvre les pages 21 à 63 ; « (31 p) » sur celle de la page 126 couvre les pages 127 à 157 ; « (16p) » sur celle de la page 64, qui n'est peut-être pas de lui, tombe juste aussi : les pages 65 à 87 en comptent seize une fois ôtés les sept versos dactylographiés. Les numéros de formules sont ceux des pages ; ils repartent à chaque liasse, parfois à chaque rédaction.

Les stations

Conventions, valables pour tout le dossier

\(S\) est un schéma ; « Module » veut dire \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang fini, et un fibré vectoriel est identifié au Module de ses sections. Une forme quadratique \(q\) et sa forme polaire \(\varphi\) sont liées par \(q(x + y) = q(x) + q(y) + \varphi(x, y)\), d'où \(\varphi(x, x) = 2q(x)\). Le discriminant \(\delta(q)\) est le déterminant de \(\varphi\), section de \((\det E)^{\otimes -2}\) ; le discriminant divisé \(\delta'(q)\) est \(\delta(q)\) en rang pair et \(\delta(q)/2\) en rang impair — division légitime sur toute base, puisque le déterminant de la forme universelle de rang impair est divisible par \(2\) (page 68). C'est ce qu'on appelle aujourd'hui le demi-discriminant. Une forme est régulière (ou lisse) si \(\delta'(q)\) est inversible.

Dans la partie III, \(B\) est une algèbre quadratique (commutative, localement libre de rang \(2\)), \(e = e_B\) son unité, \(\mathrm{tr}\) et \(N\) sa trace et sa norme, \(\sigma\) son involution canonique, et \[ L = (B/\mathcal{O}_S)^{\vee}, \] de sorte que le quotient \(B/\mathcal{O}_S\) est \(L^{\vee}\) — la page écrit \(\check{L} = B/\mathcal{O}_S\). Le discriminant d'une algèbre quadratique est noté \(\mathfrak{D}\) partout, bien que les pages écrivent tour à tour \(\mathfrak{D}\), \(\Delta\), \(\partial\) et \(\vartheta\) ; c'est une section de \(L^{\otimes 2}\). On pose \(S_0 = V(2\mathcal{O}_S)\) et \(S_1 = V(4\mathcal{O}_S)\).

Homonymies. La lettre \(E\) désigne successivement l'espace de dimension \(3\) de la partie II, l'enveloppe affine d'un revêtement quadratique (partie III, pages 21 à 27, où on l'écrit \(E_{\Omega}\)), le module de rang \(3\) de la partie V, § 1, le fibré affine de rang \(3\) du § 1' et le module quadratique de la partie VI ; la droite affine générale de la partie III est \(F\), comme sur les pages à partir de la page 27. La lettre \(\Delta\) désigne un diviseur de degré \(2\) (page 2), un déterminant \(5 \times 5\) (page 12), le discriminant universel (partie IV) et, dans la partie VI, les schémas de drapeaux \(\underline{\Delta}_H\) — on garde la notation des pages, le contexte ne laissant jamais de doute. Enfin \(\alpha = \zeta + \zeta^{-1}\) dans la partie II ; l'isomorphisme \(\det V \simeq L\) que la page 35 appelle aussi \(\alpha\) est écrit \(\kappa\) ici.

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Ce que le dossier annonce sans l'établir

L'équivalence des dix catégories de la page 2, affirmée ; les invariants des groupes de polyèdres réguliers que promet la page 89 — le dossier construit la quadrique et s'arrête ; l'identification de la conique à une droite affine et le schéma en groupes des pages 14 à 16 (biffés) ; le problème global de prolongement de la page 86 ; la décomposition \(G \simeq G^0 \times \mathbf{Z}/2\) de la page 125 (« on va montrer ») ; la tentative en caractéristique \(2\) de la page 99 et la formule (26) de la page 100, interrompue ; l'énoncé de transitivité en marge de la page 155, sans démonstration.

I. Formes quadratiques de rang \(2\), droites projectives et revêtements quadratiques (pages 1 à 5)

2–3

Dix catégories équivalentes (pages 2 et 3)

Sous le titre « Digression quadratique », la page 2 aligne, pour un schéma \(S\), dix catégories (on n'y considère que les isomorphismes) :

« Toutes ces catégories sont canoniquement équivalentes… » La page ne le démontre pas. La raison est que chacune est la catégorie des formes (tordues) d'un objet type défini sur \(\mathbf{Z}\) dont le schéma en groupes d'automorphismes est \(\mathbb{G}_m \rtimes \mathbf{Z}/2\) : le groupe orthogonal de \(xy\), le normalisateur du tore diagonal dans \(\mathrm{PGL}_2\), le stabilisateur de \(\{0, \infty\}\) dans \(\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)\), celui d'un plan non isotrope dans \(\mathrm{SO}_3\)5 . Le passage de \(C_1\) à \(C_2\) est celui de l'algèbre de Clifford paire ; de \(C_2\) à \(C_3\), celui qui prend pour \(U\) le tore des unités de norme \(1\) de \(A\) et pour \(T\) le torseur des isomorphismes de \((A, 1)\) sur \((V, \xi)\).

La page 3 cherche ensuite à rendre explicite la donnée d'une trivialisation du torseur \(T^{\wedge 2}\) déduit de \(T\) par l'élévation au carré. Elle avance d'abord qu'un tel torseur est localement trivial pour la topologie de Zariski, puis se corrige en marge : « faux », comme le montrent sur \(\mathbf{R}\) les formes \(\alpha(x^2 + y^2)\) et \(xy\)6 . Par la suite exacte de Kummer \[ 0 \to \mu_2 \to U \xrightarrow{\ 2\ } U \to 0, \] trivialiser \(T^{\wedge 2}\) revient à réduire le groupe structural à \(\mu_2\), c'est-à-dire à se donner une orbite de \(T\) sous \(\mu_2\) ; géométriquement, un revêtement de degré \(2\) de fibrés en droites projectives \(X \to X'\), étale hors des diviseurs \(\Delta \subset X\) et \(\Delta' \subset X'\), avec une section de \(X' \smallsetminus \Delta'\). Le groupe structural se réduit alors à \(\mathbf{Z}/2 \times \mu_2\), « le \(4\)-groupe », qui opère sur \(\mathcal{O}_S \times \mathcal{O}_S\) par symétrie et homothéties, et la catégorie obtenue est celle des triples \((A, L, \varepsilon)\) : \(A\) étale de rang \(2\), \(L\) inversible sur \(S\), \(\varepsilon\) une trivialisation de \(L^{\otimes 2}\) ; on reprend \(V = A \otimes L\), d'où \(N_{A/S}(V) \simeq L^{\otimes 2}\), et \(\xi = \varepsilon\)7 .

4–5

Réflexions d'une conique, sous-algèbres étales et involutions (pages 4 et 5)

Soit \(M\) une algèbre de quaternions (algèbre d'Azumaya de rang \(4\)) sur \(S\), \(\gamma M\) le Module de ses éléments de trace réduite nulle, \(C = \check{\mathbb{P}}(\gamma M)\) le plan projectif correspondant et \(X \subset C\) la conique \(\det = 0\) ; \(X\) est un fibré en droites projectives. La page 5 aligne une chaîne de bijections, fonctorielles en \(S\) :

Une accolade en marge réserve plusieurs de ces flèches à la caractéristique \(\neq 2\), et c'est nécessaire : en caractéristique \(2\) un élément \(\sigma\) de trace nulle vérifiant \(\sigma^2 = 1\) ne définit pas une algèbre étale8 .

La réflexion \(\tau\) de \(X\) attachée à \(\sigma\) agit sur \(M\), par transport de structure, par \(u \mapsto \sigma u \sigma^{-1}\) ; « mais ce n'est pas une réflexion de \(M\) ! » — elle a les valeurs propres \(1\) et \(-1\), chacune de multiplicité \(2\). Pour obtenir une réflexion, il faut la composer avec l'involution canonique \(u \mapsto u^{*} = \mathrm{Tr}(u)\cdot 1 - u\), et l'on a \[ \tilde{\sigma}(u) = \sigma u^{*} \sigma = (\sigma u \sigma)^{*} = u - \mathrm{Tr}(u\sigma)\, \sigma . \] C'est exactement la réflexion orthogonale de \((M, \det)\) le long de \(\sigma\) : pour la forme \(\det\), de polaire \(\varphi(u, v) = \mathrm{Tr}\,u\,\mathrm{Tr}\,v - \mathrm{Tr}(uv)\), on a \(\varphi(u, \sigma) = -\mathrm{Tr}(u\sigma)\) et \(\det\sigma = -1\)9 .

La page 4, plus ancienne dans l'ordre de l'écriture semble-t-il, considère trois réflexions \(\tau_0, \tau_1, \tau_2\) de \(X\), de centres \(h_0, h_1, h_2 \in C \smallsetminus X\), et pose les hypothèses suivantes :

Les \(\tau_i\) se relèvent de façon unique, au signe près, en des réflexions de \(M^{\times}\)10 . Ce sont, pour la conique, les trois involutions génératrices du groupe cartographique des dossiers 86 et 88, avec la seule relation \((\tau_0\tau_2)^2 = 1\) : le point de départ d'une réalisation des polyèdres réguliers comme groupes de réflexions de la sphère.

II. Formes quadratiques invariantes et quasi-invariantes sous le groupe diédral (pages 6 à 19)

La couverture de la page 6 porte « Formes quadratiques inv. et quasi-inv. sous \(D_\infty\), \(D_n\) » et « (13 p) ». Le cadre est celui du dossier 78 : un polygone régulier \(P\) dans un plan affine, d'invariant numérique \(\alpha = \zeta + \zeta^{-1}\), où \(\zeta, \zeta^{-1}\) sont les valeurs propres de la rotation \(u\) d'un pas ; le groupe diédral \(\mathbb{D}_\infty\) (ou \(\mathbb{D}_n\)) engendré par deux symétries \(\sigma, \sigma'\) avec \(\sigma' = u\sigma\) opère sur le plan, donc sur l'espace vectoriel \(E\) de dimension \(3\) dont le plan est l'hyperplan affine. Une forme quadratique est quasi-invariante si elle est invariante à un scalaire près, c'est-à-dire si elle engendre une droite invariante de \(\mathrm{Sym}^2(\check{E})\). Les pages 7 à 19 contiennent deux rédactions du même calcul, dans deux systèmes de coordonnées ; l'ordre des feuillets les mêle.

7–12

Première rédaction : coordonnées diagonales (pages 7 à 12)

Cas I : \(\alpha^2 - 4\) inversible. Après le changement de base quadratique \(S' = \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_S[T]/(T^2 - \alpha T + 1)\), qui adjoint \(\zeta\), la représentation se diagonalise : \[ \sigma(x, y) = (y, x), \qquad \sigma'(x, y) = (\zeta y, \zeta^{-1} x), \qquad u(x, y) = (\zeta x, \zeta^{-1} y), \] d'où \(E = D_1 \oplus D_2 \oplus D_0\), les droites propres de \(u\) pour \(\zeta\), \(\zeta^{-1}\), \(1\). Sur \(\mathrm{Sym}^2(\check{E})\), les six droites \(\check{D}_1^{2}, \check{D}_2^{2}, \check{D}_0^{2}, \check{D}_1\check{D}_2, \check{D}_1\check{D}_0, \check{D}_2\check{D}_0\) sont propres pour \(u\), de valeurs propres \(\zeta^{-2}, \zeta^{2}, 1, 1, \zeta^{-1}, \zeta\)11 .

Si les cinq valeurs \(1, \zeta^{\pm 1}, \zeta^{\pm 2}\) sont distinctes sur chaque fibre — c'est-à-dire si \(\zeta^3 \neq 1\) et \(\zeta^4 \neq 1\) en plus de \(\zeta \neq \pm 1\) —, les droites propres de \(u\) sont les quatre droites \(\check{D}_1^{2}, \check{D}_2^{2}, \check{D}_1\check{D}_0, \check{D}_2\check{D}_0\), que \(\sigma\) échange deux à deux, et les droites de \(\check{D}_0^{2} \oplus \check{D}_1\check{D}_2\), sur lequel \(\sigma\) opère trivialement. Les seules droites invariantes par \(\mathbb{D}_\infty\) sont donc formées de formes invariantes. La conclusion subsiste si l'on permet \(\zeta^3 = 1\) (\(\alpha = -1\), le triangle) sur certaines fibres : \(\sigma\) échange alors les deux plans propres \(\check{D}_1^{2} \oplus \check{D}_2\check{D}_0\) et \(\check{D}_2^{2} \oplus \check{D}_1\check{D}_0\)12 .

Le cas du carré, \(\zeta^4 = 1\), c'est-à-dire \(\zeta^2 = -1\) ou \(\alpha = 0\) (alors \(2\) est inversible, puisque \(\zeta \neq \pm 1\)), fait apparaître deux droites quasi-invariantes non invariantes : \(\sigma\) permute \(\check{D}_1^{2}\) et \(\check{D}_2^{2}\), et le plan qu'elles engendrent contient deux droites propres pour \(\sigma\), de valeurs propres \(\pm 1\). Dans les coordonnées où les sommets du carré sont \((\pm 1, \pm 1)\), ce sont les formes \(x^2 - y^2\) et \(xy\) ; l'une prend deux valeurs non nulles sur les sommets, l'autre la valeur \(+1\) sur deux sommets opposés et \(-1\) sur les deux autres, et la seule conique circonscrite qu'elles fournissent, \(x^2 - y^2 = 0\), est dégénérée : la réunion des deux diagonales.

Conclusion (page 10). Sur chaque fibre où \(\alpha^2 - 4\) est inversible, les formes quadratiques sur \(E\) quasi-invariantes par \(\mathbb{D}\) et non dégénérées sont invariantes ; ce sont, dans les coordonnées diagonales, les formes \[ (5) \qquad Q(x, y, z) = a z^2 + b\, xy , \] de déterminant \(-2ab^2\) et de discriminant divisé \(-ab^2\) ; \(Q\) est régulière si et seulement si \(a\) et \(b\) sont inversibles13 . Les sommets de \(P\) sont les points \((\zeta^i, \zeta^{-i}, 1)\) ; \(Q\) s'y annule si et seulement si \(a + b = 0\). Il existe donc une unique conique circonscrite à \(P\) invariante sous \(\mathbb{D}_\infty\), \[ (9) \qquad z^2 - xy = 0, \] et, en coordonnées affines, un unique polynôme de degré \(\leq 2\) invariant et nul sur les sommets, \(xy - 1\) — ou encore une unique forme quadratique sur l'espace des translations, invariante et égale à \(1\) sur les sommets, \(xy\).

Cinq points suffisent (pages 11 et 12). « En général » une conique passe par cinq points ; on s'attend donc, quand le polygone a au moins cinq sommets sur chaque fibre (ni triangle ni carré : \(\alpha(\alpha^2 - 4)(\alpha + 1)\) inversible), à ce qu'une seule conique passe par tous ses sommets. Pour \(Q = ax^2 + 2bxy + cy^2 + ux + vy + \lambda\) et les cinq points \((\zeta^i, \zeta^{-i})\), \(-2 \leq i \leq 2\), on obtient un système de \(5\) équations à \(6\) inconnues dont deux colonnes coïncident (celles de \(xy\) et de la constante) ; il est de rang \(5\) si et seulement si le déterminant \(5 \times 5\) obtenu en supprimant l'une d'elles, \(\Delta(\zeta) \in \mathbf{Z}[\zeta, \zeta^{-1}]\), est inversible. La page voit qu'il s'annule pour \(\zeta^3 = 1\) et \(\zeta^4 = 1\), devine la divisibilité par \(\alpha(\alpha^2 - 4)(\alpha + 1)\) et demande : « Étudier la multiplicité dudit déterminant ? » Le calcul répond : \[ \Delta(\zeta) = \pm\, (\alpha - 2)^5\, (\alpha + 2)^2\, \alpha\, (\alpha + 1)^2 , \] de sorte que \(\Delta(\zeta)\) est inversible exactement quand \(\alpha(\alpha^2 - 4)(\alpha + 1)\) l'est14 . Alors (page 13) un polynôme de degré \(\leq 2\) nul sur cinq sommets consécutifs est nul sur tous les sommets, et c'est un multiple de la forme invariante principale.

17–17

Les formes sur l'espace des translations (page 17)

La page 17 achève la première rédaction. Les formes quasi-invariantes sur l'espace des translations \(\check{V}\) (toujours pour \(\alpha^2 - 4\) inversible) sont parmi celles sur \(\check{E}\) : si \(\alpha\) est inversible, ce sont les multiples de \(xy\), non dégénérée, qui donne la conique circonscrite ; si \(\alpha = 0\) (donc \(2\) inversible), ce sont les multiples de \(x^2 + y^2\) et de \(x^2 - y^2\) ; la première prend sur les sommets les deux valeurs distinctes \(2\) et \(\zeta^2 + \zeta^{-2} = \alpha^2 - 2 = -2\), la seconde y est nulle mais définit une conique dégénérée. « Il reste à étudier » les cas \(\alpha = \pm 2\) et le cas d'un \(\alpha\) « variable ».

18–18

Seconde rédaction : coordonnées universelles (page 18)

« Coniques circonscrites à un polygone régulier. » On place trois sommets consécutifs en \(s_{-1} = (0, 1)\), \(s_0 = (0, 0)\), \(s_1 = (1, 0)\) ; les suivants sont alors \(s_2 = (1 + \alpha, 1)\) et \(s_{-2} = (1, 1 + \alpha)\) — les coordonnées universelles du dossier 78. Pour \(q = ax^2 + bxy + cy^2 + ux + vy + d\), les conditions \(q(s_0) = q(s_1) = q(s_{-1}) = 0\) donnent \(d = 0\), \(u = -a\), \(v = -c\), donc \(q = a(x^2 - x) + c(y^2 - y) + bxy\)15 ; puis \[ q(s_2) = (1 + \alpha)(\alpha a + b), \qquad q(s_{-2}) = (1 + \alpha)(\alpha c + b). \] Si \(1 + \alpha\) est inversible (pas de triangle) il vient \(b = -\alpha a = -\alpha c\), et si de plus \(\alpha\) est inversible (pas de carré), \(a = c\) : \(q\) est un multiple de \[ (2) \qquad q_0(x, y) = (x^2 - x) + (y^2 - y) - \alpha xy , \] « la conique universelle »16 . Elle est invariante sous le groupe diédral.

13–16

La forme principale et ses directions isotropes (pages 13 à 16)

La page 13 poursuit la seconde rédaction17 . Sur l'espace des translations, la forme principale est \(q_0(x, y) = x^2 + y^2 - \alpha xy\), de discriminant \(\alpha^2 - 4\), inversible exactement dans le cas I. Homogénéisée, \[ q_0(x, y, z) = x^2 + y^2 - \alpha xy - xz - yz, \qquad \text{de matrice} \quad \begin{pmatrix} 2 & -\alpha & -1 \\ -\alpha & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \] elle a pour déterminant \(-2(\alpha + 2)\) et pour discriminant divisé \(-(\alpha + 2)\) : la conique circonscrite est lisse sur chaque fibre où \(\alpha \neq -2\), c'est-à-dire hors du cas III.

Les deux points isotropes à l'infini, confondus exactement quand \(\alpha = \pm 2\), sont les directions de pente \(\zeta\) avec \(\zeta^2 - \alpha\zeta + 1 = 0\). Se donner l'une d'elles, c'est remplacer \(\alpha\) par la racine inversible \(\zeta\), un paramètre « modulaire » plus fin ; pour les \(n\)-gones on aura \(\Phi_n(\zeta) = 0\) et des conditions de caractéristique. Alors \[ q_0(x, y) = (x - \zeta y)(x - \zeta^{-1}y), \qquad q(x, y, z) = (x - \zeta y)(x - \zeta^{-1}y) - (x + y)z , \] et l'on veut identifier la conique \(C : q = 0\) à \(\mathbb{P}(E/D_\zeta)\) en projetant depuis son point \(d_\zeta\), où \(D_\zeta = \mathcal{O}_S(1, \zeta, 0)\). La page 15 choisit à cet effet le repère \(f_1 = (1, \zeta, 0)\), \(f_2 = (1, 0, 1 - \zeta)\), \(f_3 = (0, 0, 1)\), et inverse les formules. Une tentative de traduire la donnée « polygone épinglé par \(D_\zeta\) » en termes de fibrés affines et de construire le schéma en groupes des automorphismes de \(P\) qui fixent les deux points à l'infini est biffée (pages 15 et 16)18 .

19–19

Le plan tangent le long de \(D_\zeta\) (page 19)

Le plan tangent à \(C\) le long de \(D_\zeta\) s'obtient en appliquant la matrice de \(q\) au vecteur \((1, \zeta, 0)\) : \[ A = 1 - \zeta^2, \qquad B = \zeta - \zeta^{-1} = -\zeta^{-1}(1 - \zeta)(1 + \zeta), \qquad C = -(1 + \zeta) \] 19 . Comme \(1 + \zeta\) est inversible (\(\alpha \neq -2\)), on divise : \[ H_\zeta : \quad z = (1 - \zeta)(x - \zeta^{-1}y), \qquad D_\zeta \subset H_\zeta \subset E . \] La page en vient alors à identifier \(C\) à la droite projective de la droite affine extension de \(E/H_\zeta\) par \(H_\zeta/D_\zeta\), scindée : la conique privée de \(d_\zeta\) est une droite affine. La phrase, très surchargée, s'interrompt, et la liasse avec elle.

III. Extensions quadratiques (pages 20 à 63)

La couverture de la page 20 porte « Extensions quadratiques » et « (43 p) ». Les pages 21 à 63 forment une rédaction suivie, numérotée en paragraphes 1 à 10, avec une numérotation continue des formules de (1) à (114) ; le § 10 est récrit deux fois.

21–22

1. L'enveloppe affine d'un revêtement quadratique (pages 21 et 22)

Un revêtement quadratique de \(S\) est un \(S\)-schéma \(\Omega\) fini et localement libre de rang \(2\) ; c'est la même chose qu'une algèbre quadratique \(B\) (commutative, unitaire, localement libre de rang \(2\)), par \(\Omega = \mathrm{Spec}(B)\). Le quotient \(B/\mathcal{O}_S\) est inversible ; on note \(L\) son dual, de sorte que \(B\) est une extension \[ (2) \qquad 0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{\ i\ } B \to L^{\vee} \to 0 \] et, dualement, \[ (3) \qquad 0 \to L \to B^{\vee} \xrightarrow{\ \pi\ } \mathcal{O}_S \to 0, \qquad \pi(\ell) = \ell(e). \] Le fibré affine \(E_\Omega = \pi^{-1}(1)\) des formes linéaires \(\ell : B \to \mathcal{O}_S\) telles que \(\ell(e) = 1\) est un torseur sous \(L\) ; c'est \(E_\Omega = \mathrm{Spec}\bigl(\mathrm{Sym}(B)/(e - 1)\bigr)\), et ses sections sont les scindages de (3). Parmi elles se trouvent les homomorphismes d'algèbres \(B \to \mathcal{O}_S\), d'où une immersion fermée canonique, compatible aux changements de base, \[ (6) \qquad \Omega \hookrightarrow E_\Omega . \] Elle est universelle : si \(F\) est un fibré affine quelconque, défini par une extension \(0 \to V \to C^{\vee} \to \mathcal{O}_S \to 0\), de sorte que \(F = \mathrm{Spec}(\mathrm{Sym}(C)/(e_C - 1))\), les morphismes \(\Omega \to F\) sont les applications linéaires \(C \to B\) envoyant \(e_C\) sur \(e\), c'est-à-dire, par transposition, les morphismes de fibrés affines \(E_\Omega \to F\) : \[ (9) \qquad \mathrm{Hom}_S(\Omega, F) \simeq \mathrm{Homaff}_S(E_\Omega, F). \] D'où le nom d'enveloppe affine de \(\Omega\).

23–25

2–3. Scindages, trace, norme et discriminant (pages 23 à 25)

Une section \(s\) de \(E_\Omega\), c'est-à-dire un scindage \(B \simeq \mathcal{O}_S \oplus L^{\vee}\), ramène la structure d'algèbre à la multiplication \(L^{\vee} \otimes L^{\vee} \to \mathcal{O}_S \oplus L^{\vee}\), donnée par deux sections \(b \in \Gamma(L)\), \(c \in \Gamma(L^{\otimes 2})\) : \[ (13) \qquad s(u)\, s(v) = -c\,uv \oplus s(b\,uv), \qquad u, v \in L^{\vee} \] 20 . La multiplication par \(s(u)\) a pour matrice \(\begin{pmatrix} 0 & -cu \\ u & bu \end{pmatrix}\), d'où \[ (14)\text{--}(15) \qquad \mathrm{tr}(\lambda + s(u)) = 2\lambda + bu, \qquad N(\lambda + s(u)) = \lambda^2 + \lambda bu + cu^2 \] 21 . Dans \(\check{\mathbb{V}}(L) \simeq E_\Omega\), le revêtement est le sous-schéma d'équation \(x^2 - bx + c = 0\), et la catégorie des \(\Omega\) munis d'un scindage équivaut à celle des triples \((L, b, c)\) (notes en marge).

Changer de scindage, \(s' = s + \tau\) avec \(\tau \in \Gamma(L)\), change \((b, c)\) en \[ (17) \qquad b' = b + 2\tau, \qquad c' = c + \tau b + \tau^2 . \] Le discriminant \[ (18) \qquad \mathfrak{D} = \mathfrak{D}(\Omega/S) = b^2 - 4c \in \Gamma(S, L^{\otimes 2}) \] est donc indépendant du scindage. La forme polaire de la norme est \[ (20) \qquad \varphi(\xi, \eta) = \mathrm{tr}\,\xi\;\mathrm{tr}\,\eta - \mathrm{tr}(\xi\eta), \] d'où \(\varphi(\xi, e) = \mathrm{tr}\,\xi\), et, en calculant \(\Lambda^2\varphi(e \wedge \xi, e \wedge \xi) = (\mathrm{tr}\,\xi)^2 - 2\,\mathrm{tr}(\xi^2)\) pour \(\xi = s(u)\), \[ (19) \qquad \delta(N_{\Omega/S}) = -\mathfrak{D}(\Omega/S), \] le déterminant de la forme polaire de la norme étant lu comme section de \(L^{\otimes 2}\) par \(\det B \simeq L^{\vee}\)22 .

26–26

4. Une base \((1, t)\) (page 26)

Si \(L\) est trivialisé et le scindage donné, c'est-à-dire si \(E_\Omega\) est identifié à la droite affine standard, on dispose d'une section \(t\) de \(B\) telle que \((1, t)\) soit une base ; alors \[ (24) \qquad t^2 - bt + c = 0, \qquad (25) \qquad b = \mathrm{tr}\,t, \quad c = N(t), \] et \(\mathfrak{D} = b^2 - 4c\)23 .

27–33

5. Revêtements quadratiques et puissances symétriques d'une droite affine (pages 27 à 33)

Un revêtement quadratique est la même chose qu'un fibré affine de rang \(1\) muni d'un diviseur relatif de degré \(2\) : \(\Omega \subset E_\Omega\) en est un, et réciproquement un diviseur relatif de degré \(2\) d'une droite affine \(F\) a \(F\) pour enveloppe affine. Or les diviseurs relatifs effectifs de degré \(n\) d'une droite affine \(F\) sont les sections de la puissance symétrique \(\Sigma^n(F) = F^n/\mathfrak{S}_n\), et celle-ci est un fibré affine de rang \(n\). Quand \(F\) est trivialisé par une section \(s\), \(F \simeq \check{\mathbb{V}}(L)\), les fonctions symétriques élémentaires donnent \[ (28) \qquad \Sigma^n\check{\mathbb{V}}(L) \xrightarrow{\ \sim\ } \check{\mathbb{V}}\Bigl(\bigoplus_{1 \leq i \leq n} L^{\otimes i}\Bigr), \qquad (x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\sigma_i(x))_{1 \leq i \leq n}. \] La translation par \(\tau \in \Gamma(L)\) y devient la transformation affine \[ (33) \qquad \varphi_n(\tau)_i(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) = \sum_{p + q = i} \binom{n - p}{q} \tau^q \sigma_p \qquad (\sigma_0 = 1), \] d'où, en recollant, une structure de fibré affine sur \(\Sigma^n(F)\) (34). Pour \(n = 2\), \[ (35) \qquad \varphi_2(\tau)(\sigma_1, \sigma_2) = (\sigma_1 + 2\tau,\ \sigma_2 + \tau\sigma_1 + \tau^2), \] de partie linéaire \((\sigma_1, \sigma_2) \mapsto (\sigma_1, \sigma_2 + \tau\sigma_1)\).

Proposition (page 30). Si \(F\) est le fibré affine de rang \(1\) défini par l'extension (3), \(\Sigma^2(F)\) est canoniquement un fibré affine sous le fibré vectoriel \(B^{\vee} \otimes L\), extension de \(L\) par \(L^{\otimes 2}\), et \[ (39) \qquad \Sigma^2(F)/\check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2}) \simeq 2F, \] où \(2F\) est le \(L\)-torseur déduit de \(F\) par la multiplication par \(2\) (dans \(\check{\mathbb{V}}(B^{\vee})\), l'image réciproque de la section \(2\)). Le morphisme \[ (40) \qquad \underline{b} : \Sigma^2(F) \to 2F \] est caractérisé par sa compatibilité aux changements de base et par \(\underline{b}(\Omega(s_1, s_2)) = s_1 + s_2\), où \(\Omega(s_1, s_2)\) est le diviseur défini par deux sections : c'est une « trace universelle ». Pour toute section \(s\) de \(F\), le \(b\) du scindage \(s\) est \[ (42) \qquad b(s) = \underline{b} - 2s , \] ce qui donne bien \((s_1 - s) + (s_2 - s)\) pour \(\Omega(s_1, s_2)\).

Se donner une section de \(\Sigma^2(F)\), c'est donc se donner successivement une section \(\underline{b}\) de \(2F\), puis une section du \(L^{\otimes 2}\)-torseur \(\Sigma(\underline{b})\), fibre de \(\Sigma^2(F) \to 2F\). D'où deux obstructions : \(2F\) a une section si et seulement si \(2\,\mathrm{cl}(F) = 0\) dans \(H^1(S, L)\), et ses sections forment alors un torseur sous \(H^0(S, L)\) ; \(\underline{b}\) choisi, les relèvements existent si et seulement si \(\mathrm{cl}(\Sigma(\underline{b})) = 0\) dans \(H^1(S, L^{\otimes 2})\), et forment un torseur sous \(H^0(S, L^{\otimes 2})\). Enfin (45)–(46) : \(\Sigma^2(F)\) est le fibré affine associé à l'extension \(\mathrm{Sym}^2(B^{\vee})\) de \(\mathcal{O}_S\) par \(B^{\vee} \otimes L\)24 .

34–40

5 bis. Seconde mouture : \(\Sigma^n(F)\) en général, et le théorème (pages 34 à 40)

« Détermination de \(\Sigma^n(F)\) (2ème mouture). » Soit \(F = \pi_1^{-1}(1)\) défini par \(0 \to L \to V \xrightarrow{\pi_1} \mathcal{O}_S \to 0\), avec \(V = B^{\vee}\). Pour tout \(n \geq 1\), on a une extension \[ (49) \qquad 0 \to L \otimes \mathrm{Sym}^{n-1}(V) \xrightarrow{\ i_n\ } \mathrm{Sym}^n(V) \xrightarrow{\ \pi_n\ } \mathcal{O}_S \to 0, \] et une filtration décroissante de \(\mathrm{Sym}^n(V)\) par les \(L^{\otimes i} \otimes \mathrm{Sym}^{n-i}(V)\) (50). Comme \(V\) est de rang \(2\), \(V^{\vee} \simeq V \otimes (\det V)^{-1}\), et l'extension fournit \(\kappa : \det V \xrightarrow{\sim} L\), \(\kappa(i_1(\lambda) \wedge x) = \lambda\,\pi_1(x)\) (55) ; d'où \(B = V^{\vee} \simeq V \otimes L^{-1}\), l'extension (59) \(0 \to \mathcal{O}_S \to L^{-1} \otimes V \to L^{\vee} \to 0\) s'identifiant à (2)25 .

Proposition 61. Pour tout \(n\), l'application \(J_n : \mathrm{Sym}^n(B) \to \mathrm{Algaff}(F) = \mathrm{Sym}(B)/(e - 1)\) est injective, son image est formée des fonctions polynômes de degré \(\leq n\), les \(J_n\) sont compatibles à la multiplication par \(e\), et \(\mathrm{Algaff}(F)\) est la limite inductive des \(\mathrm{Sym}^n(B) \simeq L^{\otimes -n} \otimes \mathrm{Sym}^n(V)\). Le quotient \(\mathrm{Sym}^n(B)/\mathrm{Sym}^{n-1}(B) \simeq L^{\otimes -n}\) reçoit le terme dominant d'une fonction de degré \(\leq n\).

Proposition (page 38). Pour un diviseur relatif \(D\) de degré \(n\) sur \(F\), le sous-Module \(M_D \subset \mathrm{Sym}^n(B)\) des fonctions de degré \(\leq n\) nulles sur \(D\) est un supplémentaire de \(\mathrm{Sym}^{n-1}(B)\) ; \(D \mapsto M_D\) est une bijection, compatible aux changements de base, sur les tels supplémentaires, d'où \[ \underline{\mathrm{Div}}^{+n}_{F/S} \simeq \Sigma^n(F/S) \simeq \underline{\mathrm{Scind}}\bigl(0 \to \mathrm{Sym}^{n-1}(B) \to \mathrm{Sym}^n(B) \to L^{\otimes -n} \to 0\bigr). \] (\(M_D\) est engendré par l'équation « unitaire » de \(D\).) Par dualité, \[ (62) \qquad \Sigma^n(F/S) \simeq \text{fibré affine associé à } 0 \to \mathrm{Sym}^{n-1}(V) \otimes L \to \mathrm{Sym}^n(V) \to \mathcal{O}_S \to 0, \] la flèche étant la valeur en \(e\) : un diviseur relatif de degré \(n\) sur \(F\) est la même chose qu'une forme de degré \(n\) sur \(B\) valant \(1\) en \(e\).

Théorème (§ 6, pages 39 et 40). Soit \(B\) un Module localement libre de rang \(2\) muni d'une section \(e\) partout non nulle, et \(F\) la droite affine correspondante. Il y a des bijections, compatibles aux changements de base, entre

et la forme \(q\) attachée à une structure d'algèbre est sa norme : \(q = N_{B/\mathcal{O}_S}\) (65). (Directement : \(q\) étant donnée, \(\mathrm{tr}(x) = \varphi(e, x)\) et \(x^2 = \mathrm{tr}(x)\,x - q(x)\,e\) définissent l'algèbre.)

Pour vérifier (65), la page passe au rang \(n\) quelconque : une \(n\)-forme \(f_n\) sur \(B\) avec \(f_n(e) = 1\) équivaut à une algèbre \(C_n\) localement libre de rang \(n\) munie d'une application linéaire \(g : B \to C_n\) avec \(g(e) = 1\) et \(g(B)\) engendrant \(C_n\) (66)–(67)26 , et l'on a « sauf erreur » \[ (70) \qquad f_n = N_{C_n/\mathcal{O}_S} \circ g . \] Si \((e, t)\) est une base de \(B\), \(C_n = \mathcal{O}_S[T]/(f)\) avec \(f = T^n + a_1T^{n-1} + \cdots + a_n\) unitaire, et \[ (74) \qquad N_{C_n/\mathcal{O}_S}(u + vt) = u^n - a_1u^{n-1}v + \cdots + (-1)^n a_n v^n = (-v)^n f(-u/v), \] d'où \(N(t) = (-1)^n a_n\), le déterminant de la matrice compagnon. Par un argument universel, ou par extension fidèlement plate, on se ramène à \(f = \prod (T - t_i)\), où (74) devient \(\prod_i (u + vt_i) = \prod_i \rho_i(u + vt)\), cas particulier de la formule « bien connue » \(N(w) = \prod_i \rho_i(w)\) pour l'algèbre déployée27 .

41–44

La trace, et les formes de trace donnée (pages 41 à 44)

Proposition (page 43). Pour \(q\) comme en d), la forme \(\underline{b}(q) : x \mapsto \varphi(e, x) = \mathrm{tr}_{B/\mathcal{O}_S}(x)\) vérifie \(\underline{b}(q)(e) = 2q(e) = 2\) ; c'est une section de \(2F\), et c'est le \(\underline{b}(\Omega)\) du § 5.

Les formes \(q\) de trace donnée forment un torseur sous le Module des formes \(q_0\) telles que \(q_0(e) = 0\) et \(\varphi_0(e, \cdot) = 0\), c'est-à-dire des formes qui se factorisent par \(B \to L^{\vee}\) : \(q_0(x) = c_0\,\pi_1(x)^2\) avec \(c_0 \in \Gamma(L^{\otimes 2})\) (83)28 .

45–47

7. L'involution canonique (pages 45 à 47)

Proposition. Pour une algèbre quadratique \(B\), l'application \[ (84) \qquad \sigma : u \mapsto (\mathrm{tr}\,u)\,e - u \] est un automorphisme d'algèbre involutif, caractérisé par \(u + \sigma u = (\mathrm{tr}\,u)\,e\). On a \[ (86)\text{--}(87) \qquad u\,\sigma(u) = N(u)\,e, \qquad u^2 - (\mathrm{tr}\,u)\,u + N(u) = 0, \] l'équation de Hamilton–Cayley de la multiplication par \(u\).

La donnée de \(\sigma\) équivaut à celle de la trace. Plus précisément, \(-\sigma = \mathrm{id} - \mathrm{tr} \otimes e\) est une pseudo-réflexion de \(B\) : l'identité modulo la droite \(\mathcal{O}_S e\), qu'elle envoie sur son opposée ; les pseudo-réflexions \(\mathrm{id} + a \otimes e\) de ce type sont involutives exactement quand \(a(e) = -2\), et \(a = -\mathrm{tr}\) redonne \(-\sigma\)29 . Proposition (page 46) : une telle pseudo-réflexion est l'identité sur une fibre si et seulement si cette fibre est de caractéristique \(2\) et que la trace y est nulle. Ainsi \(\sigma \neq \mathrm{id}\) sur la fibre en \(s\) si et seulement si \(k(s)\) n'est pas de caractéristique \(2\), ou \(\mathrm{tr}_s \neq 0\).

47–49

8. Quand \(2\) est inversible (pages 47 à 49)

Si \(2\) est inversible sur \(S\), la donnée de \(\underline{b} = \mathrm{tr} \in \Gamma(2F)\) équivaut à celle de l'origine \(s_0 = \tfrac{1}{2}\underline{b}\) de \(F\), c'est-à-dire à un scindage \(B = \mathcal{O}_S \oplus \ker(\mathrm{tr})\), où \(\ker(\mathrm{tr})\) est l'espace propre de \(\sigma\) pour \(-1\). Pour ce scindage \(b(s_0) = 0\) (90), de sorte que l'algèbre est décrite par \(c_0 \in \Gamma(L^{\otimes 2})\) seul, et \(\mathfrak{D} = -4c_0\) (91).

Théorème (page 48). Si \(2\) est inversible sur \(S\), la catégorie des algèbres quadratiques sur \(\mathcal{O}_S\) (avec leurs isomorphismes) équivaut à celle des couples \((L, \mathfrak{D})\), \(L\) inversible et \(\mathfrak{D} \in \Gamma(L^{\otimes 2})\). Le fibré affine de \(\Omega\) est canoniquement scindé, \(\Omega \subset \check{\mathbb{V}}(L)\), et si \(\Omega(\mathfrak{D}) \subset \check{\mathbb{V}}(L)\) est le sous-schéma \(y^2 = \mathfrak{D}\), on a \[ (92) \qquad \Omega = \tfrac{1}{2}\,\Omega(\mathfrak{D}) : \] dans le scindage canonique l'équation \(x^2 - bx + c = 0\) devient \(x^2 = \tfrac{1}{4}\mathfrak{D}\), soit \((2x)^2 = \mathfrak{D}\).

Corollaire (page 49). \(\mu_2\) opère sur \(\Omega(\mathfrak{D})\) par \(y \mapsto -y\), et l'opération induite sur \(\Omega\) est l'involution canonique du § 7, qui s'écrit en général \(\sigma x = b - x\) (94).

Comme quotient de \(\mathrm{Sym}(L^{\vee}) = \bigoplus_n L^{\otimes -n}\), \(B\) s'écrit ici \(\mathrm{Sym}(L^{\vee})/\bigl(w - \tfrac{1}{4}\mathfrak{D}(w) ;\ w \in L^{\otimes -2}\bigr)\)30 .

50–52

9. En caractéristique \(2\) (pages 50 à 52)

Si \(2 = 0\) sur \(S\), alors \(2F \simeq \check{\mathbb{V}}(L)\) canoniquement, la condition \(\mathrm{tr}(e) = 2\) devient \(\mathrm{tr}(e) = 0\), et la trace est une section \[ (97) \qquad \underline{b} = \mathrm{tr} \in \Gamma(S, L), \] égale au \(b(s)\) de tout scindage (99) ; le discriminant est \[ (98) \qquad \mathfrak{D} = \underline{b}^2 . \] L'équation \(x^2 = \mathfrak{D}\) s'écrit \((x - \underline{b})^2 = 0\) et n'a plus « grand rapport » avec \(\Omega\). La classe \(\gamma \in H^1(S, L)\) du torseur \(F\) est un invariant important de la situation (100). L'involution canonique est la translation par \(\underline{b}\) ; c'est une réflexion (non seulement une pseudo-réflexion) si et seulement si \(\underline{b}\) est inversible, si et seulement si \(\mathfrak{D}\) l'est, si et seulement si \(\Omega\) est étale.

Dans ce cas, pour \(\underline{b}\) fixé, on a la suite exacte d'Artin–Schreier \[ (101) \qquad 0 \to (\mathbf{Z}/2)_S \to \check{\mathbb{V}}(L) \xrightarrow{\ \beta\ } \check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2}) \to 0, \qquad \varepsilon \mapsto \varepsilon\underline{b}, \quad x \mapsto x^2 + \underline{b}\,x, \] et le torseur \(C = F \wedge^{\check{\mathbb{V}}(L), \beta} \check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2})\) sous \(\check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2})\), dont \(F\) est un revêtement étale quadratique. Les \(\Omega\) de trace \(\underline{b}\) correspondent biunivoquement aux sections \(\sigma\) de \(C\) : \(\Omega\) est l'image réciproque par \(\sigma\) du revêtement \(F \to C\) — dans un scindage, l'équation \(x^2 + \underline{b}x = c\)31 .

52–57

10. Le cas mixte, première rédaction (pages 52 à 57)

On suppose désormais que \(2\) est régulier sur \(S\) (non diviseur de zéro dans \(\mathcal{O}_S\)), et l'on pose \(S_0 = V(2\mathcal{O}_S)\), \(S_1 = V(4\mathcal{O}_S)\), son premier voisinage infinitésimal. Le point de départ est le cas \(S = S_2 \cup S_{\mathfrak{D}}\) — \(2\) inversible ou \(\Omega\) étale en chaque point —, où l'on doit recoller la description du § 8 sur \(S_2\) et un revêtement étale sur \(S_{\mathfrak{D}}\) ; la page passe vite au cas général.

Le torseur \(F\) et la section \(b_0\). Un \(L\)-torseur \(F\) muni d'une section \(\underline{b}\) de \(2F\) est trivialisé, au-dessus de \(S[1/2]\), par \(\tfrac{1}{2}\underline{b}\). Pour toute section locale \(s\) de \(F\), \(b(s) = \underline{b} - 2s \in L\) (42) change de \(2\tau\) quand \(s\) change de \(\tau\) ; sa réduction \[ (105) \qquad b_0 = b(s)|S_0 \in \Gamma(S_0, L_0) \] est donc globale, et c'est la trace \(\underline{b}(\Omega_0/S_0)\) du § 9. Réciproquement, \(2\) étant régulier, \((F, \underline{b})\) se reconstruit à partir de \((L, b_0)\) : \(F\) est le faisceau des sections \(y\) de \(\tfrac{1}{2}L\) telles que \(2y\) soit une section de \(L\) relevant \(b_0\)32 .

La condition \[ (106) \qquad b_0^2 = \mathfrak{D}_0 = \mathfrak{D}|S_0 \] est évidemment nécessaire ; si \(S_0\) est réduit, elle détermine \(b_0\), une racine carrée dans un anneau réduit de caractéristique \(2\) étant unique. Les formes \(q\) de trace \(\underline{b}\) forment un torseur \(Q(\underline{b})\) sous \(\check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2})\) (page 44), et l'application \(\Theta : q \mapsto \mathfrak{D}(q)\) est affine : \[ (107)\text{--}(108) \qquad \Theta(q + \varpi) = \Theta(q) - 4\varpi, \qquad \Theta_0 = -4\,\mathrm{id}. \] La forme cherchée vérifie \(\Theta(q) = \mathfrak{D}\) ; pour \(q = q_0 + \varpi\), cela s'écrit \(4\varpi = \Theta(q_0) - \mathfrak{D}\) (111). Comme \(4\) est régulier, \(\varpi\) est unique s'il existe, et il existe si et seulement si la section \[ (113) \qquad a_1(\mathfrak{D}) = \bigl(\Theta(q_0) - \mathfrak{D}\bigr)|S_1 \in \Gamma(S_1, L_1^{\otimes 2}) \] est nulle (114). Elle ne dépend pas de \(q_0\), puisque changer \(q_0\) en \(q_0 + \varpi\) la change de \(4\varpi|S_1 = 0\)33 .

Théorème (page 56). Soit \(S\) un schéma où \(2\) est régulier. La catégorie des revêtements quadratiques de \(S\) équivaut à celle des triples \((L, \mathfrak{D}, b_0)\), \(L\) inversible, \(\mathfrak{D} \in \Gamma(L^{\otimes 2})\), \(b_0 \in \Gamma(S_0, L_0)\), satisfaisant

Quand \(S_0\) est réduit, \(b_0\) est déterminé par \((L, \mathfrak{D})\), et a) devient une condition d'existence d'une racine carrée de \(\mathfrak{D}_0\)34 .

Corollaire 1 (page 57). Soit \((L, \mathfrak{D}, b_0)\) satisfaisant a), et \(U \subset S\) un ouvert au-dessus duquel il existe un revêtement \(\Omega_U\) correspondant. Si \(U \cap S_0\) est schématiquement dense dans \(S_0\) (par exemple \(S_0\) réduit et \(U \cap S_0\) dense), il existe \(\Omega\) sur \(S\) correspondant à \((L, \mathfrak{D}, b_0)\)35 . En effet la condition b) est une égalité de sections de \(L_1^{\otimes 2}\) sur \(S_1\), vraie sur \(U \cap S_1\).

Corollaire 2 (page 57). Supposons \(S_0\) réduit et normal. Pour qu'il existe un revêtement quadratique de \(S\) correspondant à \((L, \mathfrak{D})\), il faut et il suffit que le problème ait une solution sur \(\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{S, s}\) pour tout point maximal \(s\) de \(S_0\). L'énoncé s'arrête sur des points de suspension ; il est repris et justifié page 63 (Corollaire 3 ci-dessous).

58–60

10. Le cas mixte, seconde rédaction (pages 58 à 60)

Théorème. Soit \(S\) un schéma où \(2\) est régulier. À tout revêtement quadratique \(\Omega\) on associe \((L, \mathfrak{D}, b_0)\) : \(L = (\det \mathrm{Aff}(\Omega/S))^{-1}\), \(\mathfrak{D} = \mathfrak{D}(\Omega/S)\), \(b_0 = \underline{b}(\Omega_0/S_0)\), de sorte que \(b_0^2 = \mathfrak{D}_0\).

36

Démonstration de a). On peut supposer \(S\) affine ; alors les \(\Omega\) sont les \(\Omega(b, c) = \{x \mid x^2 - bx + c = 0\} \subset \check{\mathbb{V}}(L)\), avec \(b|S_0 = b_0\) et \(b^2 - 4c = \mathfrak{D}\), et il faut voir qu'entre deux d'entre eux il y a un isomorphisme et un seul. Les isomorphismes sont les \(\tau \in \Gamma(L)\) avec \(b' = b + 2\tau\), \(c' = c + \tau b + \tau^2\) (17). Comme \(b\) et \(b'\) ont même réduction modulo \(2\), \(b' - b = 2\tau\) pour un unique \(\tau\) (\(2\) régulier) ; et \(c'_1 = c + \tau b + \tau^2\) vérifie \(b'^2 - 4c'_1 = \mathfrak{D} = b'^2 - 4c'\), donc \(4(c'_1 - c') = 0\) et \(c' = c'_1\) (\(4\) régulier). b) : si \(F\) est trivial, les \(\Omega\) sont des \(\Omega(b, c)\), et ces conditions impliquent \(\mathfrak{D}_1 = b_1^2\) avec \(b_1 = b|S_1\) ; inversement, si \(b\) relève \(b_0\) et \(b^2 \equiv \mathfrak{D} \pmod 4\), on écrit \(b^2 - \mathfrak{D} = 4c\). c) : la condition d'existence devient locale par a), et localement c'est b), puisque \(b^2|S_1 = \gamma(b_0)\) pour tout relèvement \(b\) de \(b_0\). Le dossier 84 (pages 48 à 53) énonce le même théorème sous la forme \((L, \delta, T_0)\), \(T_0^2 \equiv \delta \pmod 4\).

61–63

Troisième rédaction : les corollaires (pages 61 à 63)

La page 61 reprend au milieu de la démonstration de c), avec la lettre \(\vartheta\) pour le discriminant.

Corollaire 1. \((L, \mathfrak{D}, b_0)\) est dans l'image essentielle s'il existe \(b_1 \in \Gamma(S_1, L_1)\) relevant \(b_0\) avec \(b_1^2 = \mathfrak{D}_1\), et seulement si, lorsque \(H^1(S_0, L_0) = 0\) (par exemple \(S_0\) affine) : l'obstruction à relever \(b_0\) en \(b_1\) est dans \(H^1(S_0, L_0)\), par \(0 \to L_0 \xrightarrow{2} L_1 \to L_0 \to 0\).

Corollaire 2. Supposons \(S_0\) réduit. Alors \(\Omega \mapsto (L, \mathfrak{D})\) est pleinement fidèle, et son image essentielle est formée des \((L, \mathfrak{D})\) tels que \(\mathfrak{D}_1\) soit localement le carré d'une section de \(L_1\) ; il suffit, et il faut si \(H^1(S_0, L_0) = 0\), qu'il existe \(b_1 \in \Gamma(S_1, L_1)\) avec \(b_1^2 = \mathfrak{D}_1\) ; et il suffit, et il faut si \(F\) est trivial, qu'il existe \(b, c\) avec \(b^2 - 4c = \mathfrak{D}\). En effet, \(S_0\) étant réduit, \(\mathfrak{D}_0\) a au plus une racine carrée.

NB. La condition « \(\mathfrak{D}_1 = b_1^2\) localement » se décompose en a) \(\mathfrak{D}_0 = b_0^2\) et b) \(\mathfrak{D}_1 = \gamma(b_0)\), qui s'écrit \(\alpha(\mathfrak{D}_1) = 0\) où \(\alpha(\mathfrak{D}_1) \in \Gamma(S_0, L_0^{\otimes 2})\) est défini par \(\beta(\alpha(\mathfrak{D}_1)) = \gamma(b_0) - \mathfrak{D}_1\), \(\beta : L_0^{\otimes 2} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Ker}(L_1^{\otimes 2} \to L_0^{\otimes 2})\) étant induit par la multiplication par \(2\)37 .

Corollaire 3 (page 63). Supposons \(S_0\) réduit et normal. Pour que \((L, \mathfrak{D})\) provienne d'un revêtement quadratique de \(S\), il faut et il suffit qu'il en soit ainsi aux points maximaux de \(S_0\). En effet, une racine carrée de \(\mathfrak{D}_0\) aux points maximaux est entière sur \(\mathcal{O}_{S_0}\), donc s'étend en \(b_0\) par normalité ; et \(\alpha(\mathfrak{D}_1)\), nul aux points maximaux de \(S_0\), est nul puisque \(S_0\) est réduit38 .

IV. Discriminant des formes quadratiques (pages 64 à 87)

La couverture de la page 64 porte « discriminant des formes quadratiques ».

65–71

Le discriminant universel comme somme sur des graphes (pages 65 à 71)

Soit \(I\) un ensemble fini, \(AQ_I = \mathbf{Z}[Y_J]\) l'anneau de la forme quadratique universelle indexée par \(I\), les indéterminées \(Y_J\) étant indexées par les parties \(J \subset I\) de cardinal \(1\) ou \(2\) : la forme est \(\sum_i Y_i x_i^2 + \sum_{i < j} Y_{ij} x_i x_j\). Sa matrice a pour coefficients \(2Y_i\) sur la diagonale et \(Y_{ij}\) ailleurs ; son déterminant \(\Delta\) est le discriminant universel. Développé selon les permutations, \(\Delta = \sum_\sigma \varepsilon_\sigma \prod_i X_{i, \sigma i}\), chaque \(\sigma\) se décompose en points fixes, transpositions et cycles de longueur \(\geq 3\) ; le signe est \(\varepsilon_\sigma = (-1)^{\nu_2 + \nu_*^+}\), où \(\nu_2\) est le nombre de transpositions et \(\nu_*^+\) celui des cycles de longueur paire \(\geq 4\)39 .

Le monôme d'une permutation ne dépend que du graphe \(\gamma\) qu'elle définit sur \(I\) : des sommets isolés (les points fixes), des arêtes doubles (les transpositions) et des polygones d'ordre \(\geq 3\) (les autres cycles, sans leur orientation). Chaque \(\gamma\) provient de \(2^{\nu_*(\gamma)}\) permutations, \(\nu_*\) étant le nombre de polygones. D'où \[ \Delta = \sum_{\gamma \in \Gamma_I} (-1)^{\nu_2(\gamma) + \nu_*^+(\gamma)}\, 2^{\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma)}\, M_\gamma, \qquad M_\gamma = \prod_{i \in I_1(\gamma)} Y_i \prod_{a \in A_2(\gamma)} Y_a^2 \prod_{a \in A_*(\gamma)} Y_a , \] où \(\nu_1\) est le nombre de sommets isolés, \(A_2\) l'ensemble des arêtes doubles et \(A_*\) celui des arêtes des polygones.

Modulo \(2\) (page 68). Seuls survivent les graphes sans sommet isolé ni polygone, c'est-à-dire les involutions sans point fixe de \(I\), et \[ \Delta \equiv \sum_{\gamma \in \Gamma_0} \Bigl(\prod_{a \in A(\gamma)} Y_a\Bigr)^2 \pmod 2 . \] En particulier \(\Delta \equiv 0 \pmod 2\) si \(\mathrm{card}\, I\) est impair : c'est ce qui rend le discriminant divisé \(\delta' = \delta/2\) défini sur toute base en rang impair.

Modulo \(4\), en rang pair \(m = 2n\). Posons \[ B = \sum_{\gamma \in \Gamma_0} \prod_{a \in A(\gamma)} Y_a , \] la somme sur les couplages parfaits de \(I\) — l'hafnien de la matrice des \(Y_{ij}\) — ; modulo \(2\), c'est aussi le pfaffien de la matrice alternée à laquelle se réduit la matrice de la forme, de sorte que \(\Delta \equiv B^2 \pmod 2\). La page cherche \(\varepsilon = \pm 1\) tel que \(B^2 - \varepsilon\Delta \equiv 0 \pmod 4\), et « prévoit » \(\varepsilon = (-1)^n\). Modulo \(4\) ne restent dans \(\Delta\) que les graphes de \(\Gamma_0\), de coefficient \((-1)^n\), et ceux de \(\Gamma_1\) : sans sommet isolé, avec un seul polygone, nécessairement de longueur paire, de coefficient \(\pm 2\). Dans \[ B^2 = \sum_{\gamma \in \Gamma_0} M_\gamma + 2 \sum_{\{\gamma, \gamma'\}} \prod_{a \in A(\gamma)} Y_a \prod_{a' \in A(\gamma')} Y_{a'}, \] la seconde somme portant sur les paires non ordonnées de couplages distincts, le produit de deux couplages est le monôme d'un graphe dont les composantes sont des arêtes doubles et des cycles alternés de longueur paire \(\geq 4\), et chaque tel graphe provient de \(2^{\nu_* - 1}\) paires40 . Donc \(B^2 \equiv \sum_{\Gamma_0} M_\gamma + 2\sum_{\Gamma_1} M_\gamma \pmod 4\), et comme \(2 \cdot (\pm 1) \equiv 2 \pmod 4\), \[ B^2 - (-1)^n \Delta \equiv 0 \pmod 4 , \qquad\text{i.e.}\qquad (-1)^n \Delta = B^2 - 4C, \quad C \in AQ_I . \] La page passe par une fausse alarme — une ligne à l'encre brune, « \(\equiv 2\sum M_\gamma \not\equiv 0\) (4) ! », corrigée par les deux lignes suivantes : chaque terme vaut \(2(1 \pm 1)M_\gamma \equiv 0\)41 . Le signe \((-1)^n\) est celui du discriminant « changé de signe » ; c'est la forme universelle de la congruence de Stickelberger42 .

87–87

La vérification en rang \(4\) (page 87)

Une page barrée d'un trait vérifie le développement pour \(\mathrm{card}\,I = 4\) : quatre sommets isolés, coefficient \(2^4\), un graphe ; deux sommets et une arête double, \(-2^2\), six graphes ; un sommet et un triangle, \(2^2\), quatre graphes (huit permutations) ; deux arêtes doubles disjointes, \(1\), trois graphes ; un carré, \(-2\), trois graphes (six permutations) ; au total \(24 = 4!\) permutations, et les coefficients sont ceux du déterminant43 .

73–79

Pour un anneau : discriminants de la forme \(b^2 - 4c\) (pages 73 à 79)

Nouveau départ, sans titre. Soit \(A\) un anneau, \(\Delta \in A\), \(A_0 = A/2A\).

Lemme (page 73). Pour tout \(b_0 \in A_0\) il existe un unique \(\gamma(b_0) \in A/4A\) tel que \(b^2 \equiv \gamma(b_0) \pmod 4\) pour tout \(b \in A\) relevant \(b_0\) : \((b + 2x)^2 = b^2 + 4(x^2 + bx)\). Pour qu'il existe \(b, c \in A\) avec \(\Delta = b^2 - 4c\), il faut et il suffit que a) \(\Delta_0\) soit le carré d'un \(b_0 \in A_0\) (unique si \(A_0\) est réduit) et b) \(\gamma(b_0) = \Delta \bmod 4\) — si \(A_0\) n'est pas réduit, pour l'un des \(b_0\).

Proposition (page 77). Supposons \(2\) régulier dans \(A\), \(A_0\) réduit et intégralement clos, et \(\Delta_0\) régulier dans \(A_0\). Soit \(\nu = 2d + 1\) un entier impair. S'il existe \(b', c' \in A\) et \(v \in A\), de réduction \(v_0\) régulière dans \(A_0\), tels que \[ b'^2 - 4c' = \Delta^\nu v^2, \] alors il existe \(b, c \in A\) tels que \(b^2 - 4c = \Delta\) (la réciproque est claire). En effet, posant \(w = \Delta^d v\), on a \(\Delta_0 w_0^2 = b_0'^2\), donc \((b'_0/w_0)^2 = \Delta_0\) dans l'anneau total des fractions de \(A_0\) ; \(A_0\) étant intégralement clos, \(b'_0 = b_0 w_0\) avec \(b_0 \in A_0\), \(b_0^2 = \Delta_0\). Si \(b\) relève \(b_0\), \(bw\) relève \(b'_0\), donc \(b^2w^2 \equiv b'^2 \equiv \Delta w^2 \pmod 4\), et comme \(w\) est régulier modulo \(4\) (\(2\) régulier dans \(A\), \(w_0\) régulier dans \(A_0\)), \(b^2 \equiv \Delta \pmod 4\)44 .

On considère alors \(A_{2\Delta}\) et l'algèbre étale \(B_{2\Delta} = A_{2\Delta}[T]/(T^2 - \Delta)\), et l'on suppose qu'elle se prolonge en une algèbre finie étale \(B_\Delta\) sur \(A_\Delta\). Si \(\mathrm{Pic}\,A_\Delta = 0\) (e), \(B_\Delta \simeq A_\Delta[T]/(T^2 + bT + c)\), avec \(b^2 - 4c \in A_\Delta^{*}\) puisque \(B_\Delta\) est étale, et, sur \(A_{2\Delta}\), \(b^2 - 4c = u^2\Delta\) avec \(u \in A_{2\Delta}^{*}\) ; si \(A_\Delta\) est intégralement clos dans \(A_{2\Delta}\) (f), \(u \in A_\Delta^{*}\) et \(b^2 - 4c = \Delta u^2\) dans \(A_\Delta\)45 . La page 81 explique comment chasser les dénominateurs : en multipliant \(b\) et \(c\) par \(\Delta^\alpha\) et \(\Delta^{2\alpha}\), on se ramène à \(b, c \in A\) et à une relation \(b^2 - 4c = \Delta^\nu u^2\) ; un passage barré montre qu'il faut pour cela connaître les unités de \(A_\Delta\), par exemple \(A_\Delta^{*} = A^{*}\Delta^{\mathbf{Z}}\), pour retomber sur la Proposition.

81–86

La Proposition de la page 85

Au passage (page 81) : si \(b^2 - 4c = \Delta u^2\) avec \(u\) inversible, \(A_\Delta[T]/(T^2 + bT + c)\) est étale sur \(A_\Delta\) et devient \(A_{2\Delta}[U]/(U^2 - \Delta)\) sur \(A_{2\Delta}\), avec \(U = (2T + b)/u\)46 . La page 83, très raturée, cherche à prouver qu'une unité \(u_0\) est inversible, ébauche une première Proposition aux hypothèses en partie illisibles, et note en marge qu'« il suffit étale aux points maximaux de \(\mathrm{Spec}\,A_0\) » ; la page 85 énonce au propre :

Proposition (page 85). Soit \(A\) un anneau noethérien, \(\Delta \in A\). On suppose \(2\) régulier dans \(A\), \(A_0 = A/2A\) intègre et normal, et \(\Delta \notin 2A\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

De plus, l'extension \(B_\Delta\) de c) est déterminée à isomorphisme unique près.

Les implications a) \(\Rightarrow\) b) \(\Rightarrow\) c) sont claires, avec \(B = A[T]/(T^2 + bT + c)\). Pour c) \(\Rightarrow\) a), on suit l'idée de la marge de la page 83 : localiser au point maximal de \(\mathrm{Spec}\,A_0\). L'idéal \(\mathfrak{p} = 2A\) est premier, et \(A_{\mathfrak{p}}\) est un anneau de valuation discrète d'uniformisante \(2\) ; comme \(\Delta \notin \mathfrak{p}\), \(A_{\mathfrak{p}}\) est un localisé de \(A_\Delta\), et \(B_\Delta \otimes A_{\mathfrak{p}}\) est étale et libre de rang \(2\), \(\simeq A_{\mathfrak{p}}[T]/(T^2 + \beta T + \gamma)\), avec \(\beta^2 - 4\gamma = \Delta u^2\), \(u \in A_{\mathfrak{p}}^{*}\). Donc \(\Delta_0\) est un carré dans le corps des fractions de \(A_0\), d'une racine \(b_0\) entière, donc dans \(A_0\) ; pour \(b\) relevant \(b_0\), \(b^2 - \Delta \in 4A_{\mathfrak{p}} \cap A = 4A\), la dernière égalité parce que \(A_0\) est intègre et \(2\) régulier47 .

La page 86 esquisse la version globale : un schéma \(X\), un diviseur \(D\) (le lieu de \(\Delta\)), \(U = X \smallsetminus D\), \(X_0 = V(2\mathcal{O}_X)\) intègre et normal, un revêtement quadratique de \(U\) dont on veut prolonger le module \(L\) et le discriminant ; « OK sur \(V = X - X_0\). Mais pas sur les points de \(X_0\). » La page s'arrête sur une accolade inachevée48 .

88–125

V. Quadriques affines (pages 88 à 125)

La chemise rose de la page 88 porte « Quadriques affines », suivi d'une suite biffée : « et invariants des polyèdres réguliers sphériques ».

89–97

1. La sphère comme restriction de Weil d'une conique (pages 89 à 97)

« “Invariants” des groupes des polyèdres réguliers sphériques. » Soit \((E, q, \omega)\) un Module spécial quadratique de rang \(3\) : \[ (1) \qquad \delta'(q) = -\,\omega^{\otimes -2}, \qquad \omega \text{ une base de } \det E \] 49 . Il existe une algèbre de quaternions tordue \(M\), unique à isomorphisme unique près, et un isomorphisme \(E \simeq \gamma M = \mathrm{Ker}(M \xrightarrow{\mathrm{Trd}} \mathcal{O}_S)\) transformant \(q\) en \(q_M(u) = -\det u\) et \(\omega\) en la base \(\omega_M\) définie par \[ (4) \qquad \varphi_M([u, v], w)\, \omega_M = 2\, u \wedge v \wedge w , \] où \(\varphi_M(u, v) = \mathrm{Tr}(uv)\) est la polaire de \(q_M\) sur \(\gamma M\). Comme \(uv + vu = \mathrm{Tr}(uv)\) pour \(u, v\) de trace nulle, \(\mathrm{Tr}([u, v]w) = 2\mathrm{Tr}(uvw)\), et (4) s'écrit aussi \[ (8) \qquad u \wedge v \wedge w = \mathrm{Tr}(uvw)\, \omega_M \] 50 . La loi \([\ ,\ ]\) sur \(E\) est transportée : \(2\, x \wedge y \wedge z = \varphi([x, y], z)\, \omega\).

On s'intéresse à la quadrique affine \[ (10) \qquad \Sigma \subset \check{\mathbb{V}}(E), \qquad q(x) = -1, \] qui correspond à \(\det u = 1\) dans \(\gamma M\) : ce sont les \(u\) de trace nulle tels que \(u^2 + 1 = 0\), c'est-à-dire les plongements de \(\mathcal{O}_S[\mathbf{i}] = \mathcal{O}_S[T]/(T^2 + 1)\) dans \(M\). Soit \(X\) la conique \(q = 0\), \(\tilde{X} \subset \check{\mathbb{V}}(E)\) son cône épointé (\(X = \tilde{X}/\mathbb{G}_m\)), \(S[\mathbf{i}] = \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_S[\mathbf{i}]\), et \(X^{S[\mathbf{i}]} = \underline{\mathrm{Hom}}_S(S[\mathbf{i}], X)\) la restriction de Weil de \(X_{S[\mathbf{i}]}\) à \(S\).

Une section de \(\tilde{X}^{S[\mathbf{i}]}\) est un \(\xi = x + \mathbf{i}y\), \(x, y \in E\), partout non nul, avec \(q(x + \mathbf{i}y) = q(x) - q(y) + \mathbf{i}\varphi(x, y) = 0\) : \[ (17) \qquad q(x) = q(y), \qquad \varphi(x, y) = 0 . \] Le groupe \(\mathbb{G}_m^{S[\mathbf{i}]}\) des \(\alpha = a + \mathbf{i}b\) avec \(a^2 + b^2\) inversible y opère, et l'ouvert \(\tilde{U}\) où \(q(x) = q(y)\) est inversible est stable : \(q(ax - by) = (a^2 + b^2)\, q(x)\)51 . Il définit un ouvert \(U = \tilde{U}/\mathbb{G}_m^{S[\mathbf{i}]} \subset X^{S[\mathbf{i}]}\). Pour \(x, y \in E\) on a \[ (21\,\text{bis}) \qquad q([x, y]) = -4\, q(x)\, q(y) + \varphi(x, y)^2 \] 52 , de sorte que, sur \(\tilde{U}\), \(q([x, y]) = -4q(x)^2\), et, si \(2\) est inversible, \[ (22) \qquad \tilde{f}(x + \mathbf{i}y) = [x, y]/2q(x) \in \Sigma . \] Comme \([ax - by, bx + ay] = (a^2 + b^2)[x, y]\), \(\tilde{f}\) passe au quotient en \(f : U \to \Sigma\) (23).

Proposition (pages 94 à 97). Si \(2\) est inversible, \(f : U \to \Sigma\) est un isomorphisme.

Monomorphisme. Si \(\tilde{f}(\xi) = \tilde{f}(\xi') = t\), alors \(x, y\) ne sont colinéaires sur aucune fibre (sinon \(q(x) = 0\)), sont orthogonaux à \(t\), et \(t\) n'est isotrope sur aucune fibre (\(\varphi(t, t) = 2q(t) = -2\)) ; donc \((x, y)\) et \((x', y')\) sont deux bases de \(t^{\perp}\). Les conditions \(q(x') = q(y')\) et \(\varphi(x', y') = 0\) forcent \(x' = ax - by\), \(y' = \lambda(bx + ay)\) avec \(\lambda^2 = 1\), et l'égalité des \([x', y']/2q(x')\) force \(\lambda = 1\) : \(\xi' = (a + \mathbf{i}b)\xi\). Épimorphisme. Pour \(t \in \Sigma\), \(t^{\perp}\) est un plan supplémentaire de \(\mathcal{O}_S t\) où \(q\) est non dégénérée ; localement pour la topologie étale il a une base orthonormée \((x, y)\), et \(\tilde{f}(x + \mathbf{i}\lambda y) = t\) pour le signe convenable \(\lambda = \pm 1\).

Corollaire. Si \(2\) est inversible, \(g = f^{-1}\) est une immersion ouverte \[ (24) \qquad \Sigma \overset{g}{\hookrightarrow} X^{S[\mathbf{i}]} . \] Géométriquement : la polaire d'un point \(t\) de la sphère coupe la conique en deux points, conjugués au-dessus de \(S[\mathbf{i}]\), et ce couple est un point de \(X^{S[\mathbf{i}]}\)53 .

97–101

Le complémentaire de \(U\), et les essais de normalisation (pages 97 à 101)

L'immersion canonique \(X \hookrightarrow X^{S[\mathbf{i}]}\) (les points « réels ») s'explicite par \(x \mapsto x + \mathbf{i}\,0\).

Proposition (page 98). L'isomorphisme inverse de \(f\) induit \[ \Sigma \xrightarrow{\ \sim\ } X^{S[\mathbf{i}]} \smallsetminus X = U \] 54 , ce qui équivaut au Lemme : sur un corps algébriquement clos de caractéristique \(\neq 2\), un \(x + \mathbf{i}y\) avec \(q(x) = q(y)\), \(\varphi(x, y) = 0\), est hors de \(\tilde{U}\) (c'est-à-dire \(q(x) = q(y) = 0\)) si et seulement s'il est de la forme \((a + \mathbf{i}b)x_0\) avec \(q(x_0) = 0\) et \(a^2 + b^2 \neq 0\). En effet \(x\) et \(y\) engendrent alors un sous-espace totalement isotrope d'une forme régulière de rang \(3\), donc \(y = \lambda x\) avec \(\lambda^2 \neq -1\), et \(x + \mathbf{i}y = (1 + \mathbf{i}\lambda)x\) ; la réciproque est immédiate. « O.K.… »

La suite de la page 99 essaie la caractéristique \(2\) — \(\mathbf{i} = 1 + \varepsilon\), \(X^{S[\mathbf{i}]}\) devient le fibré tangent à \(X\) — et est barrée. La page 97 (barrée) puis la page 100 (dans un cadre abandonné) cherchent à changer d'échelle pour que la formule (21) prenne la forme \(q'([x, y]') = q'(x)q'(y)\sin^2\) : avec \(q_\lambda = \lambda q\), \(\omega_\mu = \mu\omega\), \([\ ,\ ]_{\lambda\mu} = (\lambda\mu)^{-1}[\ ,\ ]\), il faut \(\lambda^{-3}\mu^{-2} = -\tfrac{1}{4}\), ce que donnent \(\lambda = -1\), \(\mu = \tfrac{1}{2}\), d'où \(q' = -q\), \(\omega' = \tfrac{1}{2}\omega\), \([x, y]' = -2[x, y]\)55 . La page 101 s'ouvre sur un fragment barré qui fait passer \(\tilde{f}\) au quotient sous le nom \(g : \tilde{X} \to \Sigma_{-4}\), puis note qu'en caractéristique \(2\), \([x, y] = \varphi(x, y)H\) où \(H\) engendre le centre de \(\tilde{\mathfrak{g}}\), de sorte que l'involution s'y spécialise en l'involution constante : « rien à faire… ! »

102–110

1'. La version tordue : \(X^{\Omega} \simeq \hat{\Sigma}\) (pages 102 à 110)

Soit \(E\) un fibré affine de rang \(3\) et \(\Sigma \subset E\) une quadrique affine projectivement lisse. C'est la même chose qu'un fibré projectif \(P\) de rang \(3\) (la clôture \(\hat{E}\)), une quadrique lisse \(Q = \hat{\Sigma} \subset P\) et un plan \(H\) (à l'infini) — ou encore une forme \(Q\) de \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\) et un diviseur de type \((1, 1)\) sur \(Q\). On suppose que \(\Sigma\) n'est un paraboloïde sur aucune fibre : \(H\) n'est pas tangent à \(Q\), ou \(X = H \cap Q\) est une conique lisse. En termes d'extension \(0 \to V \to \mathcal{E} \to \mathcal{O}_S \to 0\) (\(V\) le fibré des translations, de rang \(3\)) et d'une forme \(Q\) sur \(\mathcal{E}\) définie à une unité près, la condition est que \(q = Q|V\) soit lisse56 . En caractéristiques résiduelles \(\neq 2\), \(\mathcal{E} = V \oplus V^{\perp}\), et \(E\) a une origine canonique, le centre \(o\) de la quadrique, pôle de \(H\) ; en normalisant \(Q\) par \(Q(o) = 1\), la donnée de \(\Sigma\) équivaut à celle du centre et d'une forme lisse \(q\) sur \(V\), et \(\Sigma = \{x \mid q(x) = -1\}\).

Soit alors \(\Omega\) le sous-schéma de \(\check{\mathbb{V}}(\det V^{\vee})\) des \(\omega\) tels que \(\omega^{\otimes -2} = \delta'(q)\) : un \(\mu_2\)-torseur, c'est-à-dire, en caractéristiques résiduelles \(\neq 2\), un revêtement étale de degré \(2\). Si \(q\) est spécial orthogonal, muni de \(\omega_0\) avec \(\omega_0^{\otimes -2} = -\delta'(q)\), les \(\omega\) sont les \(\lambda\omega_0\) avec \(\lambda^2 = -1\), et \(\Omega = S[\mathbf{i}]\). La symétrie \(\sigma\) de centre \(o\) a pour points fixes dans \(\hat{E}\) la section \(o\) et le plan \(H\) ; dans \(\hat{\Sigma}\), la conique \(X\).

Le programme (page 106). L'automorphisme canonique de \(\Omega\) définit un automorphisme \(\sigma\) de \(X^{\Omega} = \underline{\mathrm{Hom}}_S(\Omega, X)\), et \((X^{\Omega})^{\sigma} \simeq X\). On veut un isomorphisme canonique \(X^{\Omega} \xrightarrow{\sim} \hat{\Sigma}\), compatible à \(\sigma\) et prolongeant l'inclusion de \(X\), d'où \(\Sigma \simeq X^{\Omega} \smallsetminus X\). Par descente le long de \(\Omega\), puisque \((X^{\Omega})_{\Omega} \simeq X_{\Omega} \times X_{\Omega}\), il revient au même de construire, pour toute section \(\omega\) de \(\Omega\) (sur une base \(S'\) quelconque), un isomorphisme \(f_\omega : X \times X \to \hat{\Sigma}\) satisfaisant

Pour \(\omega\) donné, \((E, -q, \omega)\) est spécial pour la convention de la page 89, d'où une algèbre de quaternions \(M\) avec \((E, -q, \omega) \simeq (\gamma M, q_M, \omega_M)\), donc \(q = \det\) sur \(\gamma M\). Alors \(X\) est la conique des éléments nilpotents (\(\mathrm{Tr} = \det = 0\)), et \(\Sigma\) (\(\mathrm{Tr}\,u = 0\), \(\det u = -1\)) le schéma des réflexions \(u\) (\(u^2 = 1\)) associées à \(M\)57 . Comme \(M = \gamma M \oplus \mathcal{O}_S\) (\(2\) inversible), \(\hat{\Sigma}_M \subset \check{\mathbb{P}}(M)\) a pour équation \(\det(u + t\cdot 1) = \det u + t^2 = 0\) : c'est la quadrique \(\det v = 0\) des endomorphismes de rang \(\leq 1\), et l'on « sait » l'isomorphisme canonique \(F_M : X_M \times X_M \simeq \hat{\Sigma}_M\) — à un couple de droites \((\ell, \ell')\) d'un module de rang \(2\), l'endomorphisme de rang \(1\) de noyau \(\ell\) et d'image \(\ell'\) — qui induit sur la diagonale l'inclusion de \(X\), et qui transforme la symétrie des facteurs en l'involution \(v \mapsto v' = \mathrm{Tr}(v)\cdot 1 - v\) (l'adjointe, qui conserve le déterminant). Pour \(v = u + t\cdot 1\), \(-v' = u - t\cdot 1\) : sur \(\hat{\Sigma}_M\), c'est l'antipodie \(\sigma\). D'où a), c), d) ; b) résulte de la fonctorialité en \((E, q, \omega)\) appliquée à \(-\mathrm{id}_E : (E, q, \omega) \to (E, q, -\omega)\) (en rang \(3\), \(\det(-\mathrm{id}) = -1\)), qui induit \(\sigma\) sur \(\hat{\Sigma}\).

110–116

La jonction avec le § 1, et le signe (pages 110 à 116)

Reste à comparer, quand \(\omega_0\) est donné avec \(\delta'(q) = -\omega_0^{\otimes -2}\) (le cadre du § 1, \(\Omega = S[\mathbf{i}]\)), l'isomorphisme \(f_{q, \omega} : X^{\Omega} \smallsetminus X \simeq \Sigma\) et le \(g_q\) du § 1. On a \(f_{q, \omega} = \theta_{q, \omega}\, g_q\) pour un automorphisme \(\theta_{q, \omega}\) de \(\Sigma\), fonctoriel et compatible aux changements de base. Sur \(S = \mathrm{Spec}\, \mathbf{Z}[\tfrac{1}{2}]\) et pour la forme standard, \(\Sigma \simeq G/T\) avec \(G = \mathrm{SO}(3)\) et \(T\) le tore maximal stabilisateur d'un point ; les automorphismes de \(G/T\) commutant à \(G\) forment \(N(T)/T \simeq \mathbf{Z}/2\), engendré par l'antipodie. « Mais lequel des deux ? »58

Le calcul (pages 113 et 114) : avec \((E, q, \omega_0) = (\gamma M, q_M, \omega_M)\) et \(\theta = i\,\mathrm{id}\), \((u + \mathbf{i}v, u - \mathbf{i}v)\) devient \((\alpha, \beta) = (iu - v, iu + v)\), d'où \(2i[u, v] = [\alpha, \beta]\) et \(-4q(u) = \mathrm{tr}(\alpha\beta)\), et l'on trouve que l'isomorphisme cherché envoie un couple \((\alpha, \beta)\) d'éléments nilpotents, « assez disjoints » (\(\mathrm{tr}(\alpha\beta)\) inversible), sur \[ -[\alpha, \beta]/\mathrm{tr}(\alpha\beta) \in \Sigma \] — « et non \(+[\alpha, \beta]/\mathrm{tr}(\alpha\beta)\) » —, c'est-à-dire, dans \(\hat{\Sigma}\), sur le point de coordonnées \(\mathrm{tr}(\alpha\beta)\cdot 1 - [\alpha, \beta]\). Pour \(\alpha, \beta\) nilpotents de \(\gamma M\), \(\alpha\beta + \beta\alpha = \mathrm{tr}(\alpha\beta)\), de sorte que \[ F_M(\alpha, \beta) = \mathrm{tr}(\alpha\beta)\cdot 1 - [\alpha, \beta] = 2\beta\alpha, \] l'endomorphisme de rang \(1\) de noyau la droite de \(\alpha\) et d'image celle de \(\beta\)59 . Qu'il soit dans \(\hat{\Sigma}_M\) résulte de \(q_M([\alpha, \beta]) = \varphi(\alpha, \beta)^2\), cas particulier de (21 bis).

La page 116 généralise cette identité à deux éléments quelconques \(u = \alpha + s\), \(v = \beta + t\) de \(M\), avec \(\mathrm{tr}\,u = 2s\), \(\mathrm{tr}\,v = 2t\) : on a \([u, v] = [\alpha, \beta]\), \(\mathrm{tr}(\alpha\beta) = \mathrm{tr}(uv) - \tfrac{1}{2} \mathrm{tr}\,u\,\mathrm{tr}\,v\), \(\det\alpha = \det u - \tfrac{1}{4}(\mathrm{tr}\,u)^2\), et l'identité « encadrée » devient \[ \det[u, v] + (\det u)(\mathrm{tr}\,v)^2 + (\det v)(\mathrm{tr}\,u)^2 - 4(\det u)(\det v) + (\mathrm{tr}\,uv)^2 - (\mathrm{tr}\,uv)(\mathrm{tr}\,u)(\mathrm{tr}\,v) = 0, \] valable pour toutes matrices \(2 \times 2\) sur tout anneau60 .

117–121

1''. Quadriques affines birégulières (pages 117 à 121)

« Quadriques affines birégulières (i.e. lisses et lisses à l'infini, projectivement). » Soient \(P\) un fibré projectif, \(Q \subset P\) une quadrique lisse, \(H\) un hyperplan non tangent à \(Q\), \(E = P \smallsetminus H\), défini par une extension \[ (1) \qquad 0 \to V \to T \xrightarrow{\ \pi\ } \mathcal{O}_S \to 0, \qquad E = \pi^{-1}(1), \] et \(q\) une forme sur \(T\), définie à une unité près, qui définit \(Q\). \(Q\) lisse veut dire \(q\) régulière ; \(H\) non tangent veut dire \(q|V\) régulière.

\(T\) de rang pair \(2\nu\) (pages 117 à 120). La forme polaire est alors non dégénérée en toute caractéristique, et \(\mathbb{D} = V^{\perp}\) est un sous-Module inversible de \(T\) ; \(H\) est tangent à \(Q\) au point \(p\) exactement quand \(H = p^{\perp}\) avec \(q(p) = 0\), donc \(H\) est non tangent si et seulement si \(q|\mathbb{D}\) ne s'annule sur aucune fibre — ce que la marge demandait de « vérifier ».

Proposition. Il existe une unique section \(a\) de \(\mathbb{D}\) et une unique représentante \(q\) de la forme telles que \[ (8) \qquad q(a) = 1, \qquad (9) \qquad \pi(x) = \varphi(a, x) \quad (x \in T) ; \] alors \(a\) est une base de \(\mathbb{D}\), et \[ (10) \qquad \pi(a) = 2 . \] (Si \((a_0, q_0)\) est un choix quelconque, \(\varphi_0(a_0, \cdot) = \mu\pi\) avec \(\mu\) inversible, et \((\lambda a_0, \kappa q_0)\) convient pour \(\lambda = \mu/q_0(a_0)\), \(\kappa = 1/\lambda\mu\), et pour eux seuls ; (10) est (9) en \(x = a\).)61

Scholie (page 120). La catégorie des \((P, Q, H)\) équivaut à celle des \((T, q, a)\) : \(T\) de rang \(2\nu\), \(q\) régulière, \(a\) une section de \(T\) avec \(q(a) = 1\) ; on reprend \(\pi = \varphi(a, \cdot)\) et \(V = a^{\perp}\). (En caractéristique \(2\), \(a \in a^{\perp}\) est le radical de \(q|V\), sur lequel \(q\) ne s'annule pas : \(q|V\) est encore régulière.)

N.B. a) En caractéristiques résiduelles \(\neq 2\), \(T = V \oplus \mathbb{D}\) orthogonalement, \(q(x + ta) = q_0(x) + t^2\), et \(E = \{t = \tfrac{1}{2}\}\) : \(Q \cap E\) a pour équation \(q_0(x) = -\tfrac{1}{4}\), soit \(q_0(x) = -1\) après avoir remplacé \(q_0\) par \(4q_0\). La catégorie des \((E, Q \cap E)\) équivaut alors à celle des \((V, q_0)\), \(V\) de rang \(2\nu - 1\)62 . En caractéristique \(2\), au contraire, \(\mathbb{D} \subset V\), et il n'y a pas de décomposition canonique.

\(T\) de rang impair \(2\nu + 1\) (pages 120 et 121). Alors \(V\) est de rang pair et \(q|V\) régulière a une polaire non dégénérée en toute caractéristique, de sorte que \(T = V \oplus \mathbb{D}\) orthogonalement, \(\mathbb{D} \to T/V \simeq \mathcal{O}_S\) étant un isomorphisme (14). D'où une section canonique \(a\) de \(\mathbb{D}\) avec \(\pi(a) = 1\) (15) ; on normalise \(q(a) = 1\) (16), et \[ (17)\text{--}(18) \qquad q(x, t) = q_0(x) + t^2, \qquad Q \cap E : \ q_0(x) = -1, \] « sans restriction à la car. \(\neq 2\) » : les quadriques affines birégulières, dans un fibré affine de rang pair, équivalent aux formes régulières \(q_0\) sur le fibré des translations.

122–125

2–3. La symétrie canonique et le groupe d'automorphismes (pages 122 à 125)

Une réflexion de \(P\) d'hyperplan fixe \(H\) est, à un scalaire près, \(\sigma = \mathrm{id} + \pi \otimes c\), \(c \in T\). Elle préserve \(q\) à une unité \(\lambda\) près si \((\lambda - 1)q = \pi\,(q(c)\pi + \varphi(c, \cdot))\) ; si \(\mathrm{rg}\,T \geq 3\), cela force \(\lambda = 1\) et \[ (19) \qquad q(c)\,\pi + \varphi(c, \cdot) = 0 . \] En rang pair, où \(\pi = \varphi(a, \cdot)\), (19) donne \(c = \lambda a\) avec \(\lambda = -\lambda^2\), d'où (hors de l'identité) \(c = -a\) : \[ (20) \qquad \sigma(x) = x - \pi(x)\, a, \qquad (21) \qquad \sigma^2 = \mathrm{id}, \] puisque \(\pi(a) = 2\)63 . Proposition (en marge) : il existe une unique réflexion de \(P\) d'hyperplan fixe \(H\) laissant \(Q\) invariante, \(\sigma = \mathrm{id} - \pi \otimes a\) : la symétrie canonique de la quadrique affine. En caractéristique \(\neq 2\) elle induit sur \(E\) la symétrie de centre \(a/2\) ; en caractéristique \(2\), \(a \in V\) et c'est une transvection.

Un feuillet découpé (page 124) donne l'exemple \(T = M_2\), \(q = \det\), \(a = 1\) : la polaire de \(\det\) est \(\varphi(x, x') = ad' + da' - bc' - cb'\), d'où \(\pi(x) = \varphi(x, 1) = \mathrm{Tr}\,x\), \(\pi(a) = 2\), et \(V = \gamma M\), les matrices de trace nulle64 . En rang impair (page 125), \(\sigma(x) = x - 2\pi(x)\,a\) (22) est la symétrie par rapport à l'origine.

§ 3. Soit \(G = \underline{\mathrm{Aut}}(P, H, Q) = \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{aff}}(E, Q \cap E)\). Si \(T\) est de rang impair, \(G \simeq \underline{\mathrm{Aut}}(V, q_0)\), \(V\) de rang pair, extension de \(\mathbf{Z}/2\) par le sous-groupe \(G^{+}\) (la page le définit comme opérant trivialement sur \(\det V\) ; en caractéristique \(2\) il faut l'invariant de Dickson de la partie VI). Si \(T\) est de rang pair, « on va montrer » que \(G \simeq G^0 \times (\mathbf{Z}/2)_S\), avec \(G^0 \simeq \underline{\mathrm{Aut}}^{+}(V, q_0)\) et \(\mathbf{Z}/2\) engendré par \(\sigma\) ; la page s'arrête là.

VI. Formes quadratiques, fibrés en drapeaux, groupes orthogonaux (pages 126 à 157)

La feuille de garde de la page 126 porte « Formes quadratiques. Fibrés en drapeaux quad., groupes orthogonaux » et « (31 p) ».

127–132

1–4. Discriminant, régularité, groupes orthogonaux (pages 127 à 132)

1. Pour \(q\) de rang \(n\) sur \(E\), le discriminant divisé \(\delta'(q) \in \Gamma(\det E)^{\otimes -2}\) vérifie \(\delta'(\lambda q) = \lambda^n\delta'(q)\). Sont équivalentes : a) \(\delta'(q)\) inversible ; b) \(V(q) \subset \check{\mathbb{P}}(E)\) est un diviseur relatif lisse ; c) en chaque point géométrique, \(q\) est dans l'orbite ouverte de \(\mathrm{GL}\) sur les formes, de dimension \(n(n+1)/2\) ; d) le groupe d'automorphismes de chaque fibre géométrique est de dimension minimale \(n(n-1)/2\) ; e) \(q\) est localement isomorphe à la forme standard \(q_n\) — pour la topologie étale si \(2\) est inversible ou \(n\) pair, pour la topologie fidèlement plate en général. Pour une forme à valeurs dans un Module inversible \(L\), \(\delta'(q)\) est une section de \((\det E)^{-2} \otimes L^{\otimes n}\) et, \(q\) étant régulière, un isomorphisme \(L^{\otimes n} \simeq (\det E)^{\otimes 2}\) (1.3).

2. Rang impair \(n = 2\nu + 1\). \(q_n = \sum_{i} x_iy_i + z^2\), \(\delta'(q_n) = (-1)^\nu\). On a \(\mathbb{G}_m \cap O(q) = \mu_2 = \underline{\mathrm{Centre}}\,O(q)\), et \(\mu_2 \cap \mathrm{SO}(q) = 1\). Théorème : \(O(q) = \mu_2 \times \mathrm{SO}(q)\), et \(\mathrm{SO}(q)\) est lisse à fibres connexes, semi-simple (absolument presque simple) si \(n \geq 3\)65 . Une structure spéciale orthogonale d'indice \(\varepsilon\) (\(\varepsilon = \pm 1\)) est une base \(\omega\) de \(\det E\) avec \[ (2.3) \qquad \omega^{\otimes -2} = \varepsilon\,\delta'(q) ; \] alors \(\underline{\mathrm{Aut}}(E, q, \omega) = \mathrm{SO}(q)\) ; \(q_n\) est un prototype pour \(\varepsilon = (-1)^\nu\), \(-q_n\) pour \(\varepsilon = (-1)^{\nu+1}\), et \((q, \omega) \mapsto (-q, \omega)\) échange les deux indices.

Proposition (classification ; page 130, qui précède la page 129 dans l'ordre de lecture). Soit \(\varepsilon = \pm 1\). La catégorie des modules quadratiques réguliers \((E, q)\) de rang \(n = 2\nu + 1\) équivaut à celle des \((E_0, q_0, \omega_0, \Delta, \phi)\), où \((E_0, q_0, \omega_0)\) est spécial orthogonal d'indice \(\varepsilon\) et \((\Delta, \phi : \Delta^{\otimes 2} \simeq \mathcal{O}_S)\) un \(\mu_2\)-torseur ; le foncteur est \(E = E_0 \otimes \Delta\), \(q = q_0 \otimes \phi\), et le quasi-inverse \(\Delta = \det E\), \(\phi\) donné par \(\delta'(q)\), \(E_0 = E \otimes \Delta^{-1}\), \(q_0 = \varepsilon\,q \otimes \Delta^{-1}\) (via \(\phi\)), \(\omega_0\) venant de \(\det E_0 \simeq \Delta^{1-n} = \Delta^{-2\nu} \simeq \mathcal{O}_S\)66 . NB : \(\underline{\mathrm{Aut}}\,V(q) \simeq O(q)/\mu_2 \simeq \mathrm{SO}(q)\), lisse, connexe, réductif.

3. Similitudes. Pour \(q : E \to L\), \(O'(q) \subset \mathrm{GL}(E) \times \mathbb{G}_m\) est le groupe des \((u, \lambda)\) tels que \(q(ux) = \lambda q(x)\) ; il contient le centre \(\mathbb{G}_m\), sur lequel le multiplicateur est \(t \mapsto t^2\). Proposition (page 129) : en rang impair, \(O'(q) \simeq \mathrm{SO}(q) \times \mathbb{G}_m\), par \((g, t) \mapsto (tg, t^2)\), d'inverse \(t = \det u/\lambda^\nu\). Corollaire : pour \(\varepsilon\) fixé, les modules quasi-orthogonaux \((E, L, q)\) de rang impair équivalent aux \((E_0, q_0, \omega_0, \Delta)\), \(\Delta\) inversible, par \(L = \Delta^{\otimes 2}\), \(E = E_0 \otimes \Delta\), et réciproquement \(\Delta = L^{\otimes -\nu} \otimes \det E\)67 .

4. Rang pair \(n = 2\nu\). \(q_{2\nu} = \sum x_iy_i\), \(\delta'(q_{2\nu}) = (-1)^\nu\), et \(\mu_2 \subset O(q) \cap \mathrm{SL}(E)\) ; « on ne l'appelle pas \(\mathrm{SO}(q)\) à cause des car. \(2\) ». Théorème : \(O(q)\) est lisse, \(O(q)/\mathrm{SO}(q) \simeq (\mathbf{Z}/2)_S\) avec \(\mathrm{SO}(q)\) sa composante neutre, et \(\mu_2 = \underline{\mathrm{Centre}}\,O(q) \subset \mathrm{SO}(q)\). Corollaire : pour \(X = V(q)\) et \(n \geq 3\), \(\underline{\mathrm{Aut}}(X) \simeq O(q)/\mu_2\) est lisse, de composante neutre \(\mathrm{SO}(q)/\mu_2\) et de groupe des composantes \(\mathbf{Z}/2\)68 . L'essentiel est l'épimorphisme \(O(q) \to \mathbf{Z}/2\), défini par un revêtement étale de degré \(2\) attaché à \(q\) : Proposition (page 132) : le sous-schéma de \(\underline{\mathrm{Grass}}_\nu(E)\) des sous-espaces totalement isotropes maximaux est fermé, lisse, et ses fibres géométriques ont deux composantes connexes.

133–141

Fibrés en drapeaux isotropes (pages 133 à 141)

Soit \((E, q)\) régulière de rang \(N = 2n + 1\) ou \(N = 2n\), \(n \geq 1\), et \(H = \{i_1 < \cdots < i_\nu\} \subset [1, n]\). Soit \(\underline{\Delta}_H(E, q)\) le foncteur des drapeaux \(E_1 \subset \cdots \subset E_\nu\) de type \(H\) (les \(E_k\) facteurs directs de rangs \(i_k\)) avec \(E_\nu\) totalement isotrope (\(q|E_\nu = 0\)).

Théorème. a) \(\underline{\Delta}_H(E, q) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Drap}}_H(E)\) est une immersion fermée ; \(\underline{\Delta}_H\) est donc représentable et projectif sur \(S\). b) Il est lisse sur \(S\), à fibres géométriques connexes, sauf si \(N = 2n\) et \(i_\nu = n\), auquel cas elles ont exactement deux composantes connexes. (En marge : même énoncé pour \(\underline{\Delta}_H \to \underline{\Delta}_K\), \(K \subset H\).)

Lissité. Par le critère infinitésimal, il s'agit de relever, au-dessus d'un \(S\) affine et d'un idéal \(J\) de carré nul, un sous-module totalement isotrope \(F_0\) de \(E_0\). On relève \(F_0\) en un facteur direct \(F'\) quelconque ; \(q|F'\) est alors à valeurs dans \(J\), et l'on corrige \(F'\) par un \(u \in \mathrm{Hom}(F_0, E_0/F_0) \otimes J\) grâce à la surjectivité de \[ \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0) \to \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, E_0/F_0^{\perp}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(F_0, F_0^{\vee}) \to \underline{\mathrm{Quad}}(F_0), \qquad u_0 \mapsto (x \mapsto \varphi_0(x, u_0x)) \] — toute forme quadratique sur un module projectif est de la forme \(B(x, x)\) —, et du Lemme 1 : si \(F\) est totalement isotrope et facteur direct, \(E \to E^{\vee} \to F^{\vee}\) est un épimorphisme, \(F^{\perp} \supset F\) est facteur direct, de formation compatible aux changements de base, et \(F \times E/F^{\perp} \to \mathcal{O}_S\) est une dualité. Sur un corps algébriquement clos, le seul cas non évident est celui d'une forme dégénérée pour \(\varphi\), en caractéristique \(2\) et rang impair : un \(a \in F\) orthogonal à tout \(E\) et vérifiant \(q(a) = 0\) est nul, \(q\) étant régulière69 .

Connexité. Lemme 3 : pour \(F\) totalement isotrope de rang \(d\), \(E' = F^{\perp}/F\) est régulière de rang \(N - 2d\), et les \(G \supset F\) totalement isotropes de rang \(d'\) correspondent aux sous-espaces totalement isotropes de rang \(d' - d\) de \(E'\). Lemme 2 : les fibres de \(\underline{\Delta}_{\{d, d'\}} \to \underline{\Delta}_{\{d\}}\) sont lisses, projectives, à fibres géométriques connexes, sauf si \(N\) est pair et \(d' = n\), où elles ont deux composantes. Lemme 4 : \(\underline{\Delta}_{\{1\}}(E)\), la quadrique elle-même, a des fibres géométriques connexes si \(\mathrm{rg}\,E \geq 3\), et formées de deux points si \(\mathrm{rg}\,E = 2\). Par dévissage, cela règle tout sauf \(N = 2n\), \(H = \{n\}\).

Le cas \(N = 2n\), \(H = \{n\}\) (pages 138 à 140). Pour \(F\) totalement isotrope de rang \(n\), \(F = F^{\perp}\), \(E/F \simeq F^{\vee}\), d'où un isomorphisme canonique \(\det F \otimes \det F^{\vee} \simeq \mathcal{O}_S \to \det E\), c'est-à-dire une section \(\omega_F\) de \(\det E\) ; si \((e_1, \ldots, e_n)\) est une base de \(F\) et \((e_i^{*})\) la base duale d'un supplémentaire \(G \simeq F^{\vee}\), \(\omega_F = e_1 \wedge \cdots \wedge e_n \wedge e_1^{*} \wedge \cdots \wedge e_n^{*}\)70 . Lemme 5 : \(F\) a un supplémentaire totalement isotrope \(G\), et alors \(q(x \oplus y) = \langle x, y\rangle\). Le calcul du déterminant donne \(\delta(q) = (-1)^n\,\omega_F^{\otimes -2}\), soit \[ \omega_F^{\otimes 2} = (-1)^n\,\delta(q)^{-1} \] 71 . D'où un morphisme \(\underline{\Delta}_{\{n\}}(E, q) \to \underline{\mathrm{Arf}}'(E, q)\), \(F \mapsto \omega_F\), vers le schéma des racines carrées de \((-1)^n\delta(q)^{-1}\) dans \(\check{\mathbb{V}}(\det E)\) — un revêtement étale de degré \(2\) si \(2\) est inversible. Théorème 2 (\(2\) inversible) : ce morphisme est lisse, projectif, à fibres géométriques connexes. Il est surjectif parce que \(O(q)\) opère transitivement sur \(\underline{\mathrm{Arf}}'\) — une réflexion échange \(\omega\) et \(-\omega\) — ; la connexité des fibres se ramène aux drapeaux complets et au Lemme 6 (page 141) : \(\underline{\Delta}^{\omega}_{\{n-1, n\}} \to \underline{\Delta}_{\{n-1\}}\) est un isomorphisme, c'est-à-dire que tout \(F'\) totalement isotrope de rang \(n - 1\) est contenu dans exactement un \(F\) de rang \(n\) avec \(\omega_F = \omega\). En effet les \(F \supset F'\) correspondent aux deux droites isotropes du plan hyperbolique \(F'^{\perp}/F'\) (Lemme 3), et les deux \(\omega_F\) sont opposés72 . Une fois traité le cas d'un corps, on passe au cas général par spécialisation et factorisation de Stein ; et c'est ainsi qu'on définit \(\underline{\mathrm{Arf}}(E, q)\) en général, y compris en caractéristique \(2\).

142–145

Récapitulation, et le revêtement d'Arf (pages 142 à 145)

Théorème. Soit \((E, q)\) régulière de rang \(N = 2n\) ou \(2n + 1\), \(H' \subset H \subset [1, n]\), \(d = \max H\), \(d' = \max H'\).

En caractéristique \(2\), \(\underline{\mathrm{Arf}}\) est le revêtement d'Artin–Schreier qui porte l'invariant d'Arf, tandis que \(\underline{\mathrm{Arf}}'\) est radiciel ; c'est le \(\mathbf{Z}/2\)-torseur, non le \(\mu_2\)-torseur des racines carrées du discriminant, qui a un sens en toute caractéristique73 .

Application aux groupes orthogonaux (page 144). Si \(N = 2n + 1\), \(O(q) \simeq \mu_2 \times \mathrm{SO}(q)\), \(\mathrm{SO}(q)\) lisse à fibres connexes ; \(\mathrm{SO}(q) \simeq O(q)/\mu_2\) opère sur chaque \(\underline{\Delta}_H\), qui est un espace homogène. Corollaire : la projection \(O(q) \to \mu_2\) est induite par le déterminant. La page 145, barrée, commence à prouver que \(u \mapsto u(D)\), \(\mathrm{SO}(q) \to \underline{\Delta}_H\), est lisse à fibres connexes, en se ramenant au drapeau complet et à une base standard \(e_0, e_1, \ldots, e_n, e_1^{*}, \ldots, e_n^{*}\).

146–152

Scindages isotropes et stabilisateurs (pages 146 à 152)

Proposition (pages 146 à 148). Soit \((E, q)\) régulière et \(F \subset E\) un sous-Module totalement isotrope facteur direct.

Corollaire. Un drapeau \(0 \subsetneq E_1 \subsetneq \cdots \subsetneq E_\nu = F\) se complète en \(F \subset F^{\perp} \subsetneq E_{\nu - 1}^{\perp} \subsetneq \cdots \subsetneq E_1^{\perp} \subsetneq E\), et un scindage isotrope identifie \(E\) à \(F \oplus F^{\vee} \oplus Q\)74 .

Corollaires 1 à 3. Si \((E, q)\) et \((E', q')\) sont de même type, \(D \in \Delta_H(E, q)\), \(D' \in \Delta_H(E', q')\), \(Q \simeq Q'\) isométriquement et \(R_i = E_i/E_{i-1} \simeq R'_i\), et si \(S\) est affine, il existe une isométrie \(u\) avec \(u(D) = D'\). Localement, il en existe donc toujours, et \(\underline{\Delta}_H(E, q)\) est un espace homogène sous \(O(q)\) : \(\underline{\Delta}_H \simeq O(q)/\underline{\mathrm{Stab}}_D(q)\)75 .

Corollaires 4 à 6. Des isomorphismes \(u_i : R_i \simeq R'_i\) et une isométrie \(u_Q : Q \simeq Q'\) étant donnés, \(S\) affine, il existe \(u\) comme ci-dessus les induisant, et l'ensemble de ces \(u\) est un torseur sous le sous-groupe \(O_D(q)^{+}\) des automorphismes de \((E, q, D)\) qui induisent l'identité sur les \(R_i\) et sur \(Q\). Soit \(\bar{E} = \bigoplus_i (R_i \oplus R_i^{\vee}) \oplus Q\), avec la forme évidente et le drapeau \(\bar{D}\) ; le produit \(\bar{\Sigma} = \prod_i \Sigma_i \times \Sigma_0\) des scindages des \(0 \to E_{i-1} \to E_i \to R_i \to 0\) et des scindages isotropes de \(0 \to E_\nu \to E_\nu^{\perp} \to Q \to 0\) s'identifie au schéma des isomorphismes \((\bar{E}, \bar{q}, \bar{D}) \to (E, q, D)\) compatibles aux identifications des gradués, qui est un torseur sous \(O_D(q)^{+}\). Comme \(\bar{\Sigma}\) est lisse à fibres connexes : Corollaire 6, \(O_D(q)^{+}\) est lisse à fibres connexes, et, si \(S\) est affine, isomorphe comme schéma (non comme groupe) à un fibré vectoriel de dimension relative \[ \dim O_D(q)^{+} = \sum_{j < i} d_id_j + \frac{d(d-1)}{2} + d\rho = d^2 + d\rho - \sum_i \frac{d_i(d_i+1)}{2}, \] avec \(d_i = \mathrm{rg}\,R_i\), \(d = \sum d_i\), \(\rho = \mathrm{rg}\,Q\), \(N = 2d + \rho\)76 . D'où, avec \(\dim(\prod \mathrm{GL}(R_i) \times O(q_Q)) = \sum d_i^2 + \rho(\rho - 1)/2\) et \(\dim O(q) = N(N-1)/2\) : \[ \dim O_D(q) = d^2 + d\rho + \frac{\rho(\rho - 1)}{2} + \sum_i \frac{d_i(d_i - 1)}{2}, \qquad \dim \underline{\Delta}_H(q) = d^2 + d\rho - d - \sum_i \frac{d_i(d_i - 1)}{2}. \] Par exemple \(\dim \underline{\Delta}_{\{d\}} = \frac{d(d+1)}{2} + d(\rho - 1)\), et, pour \(N = 2n\), \(d = n\), \(\rho = 0\) : \(\frac{n(n-1)}{2}\), la dimension de la grassmannienne orthogonale77 .

153–157

\(\mathrm{SO}(q)\) lisse à fibres connexes ; l'invariant de Dickson (pages 153 à 157)

Rang impair. Pour \(D \in \Delta_H\), le stabilisateur de \(D\) dans \(\mathrm{SO}(q)\) est \(\mathrm{SO}_D(q) = O_D(q) \cap \mathrm{SL}(E)\). Le déterminant sur \(O_D(q)\) se factorise par \(\alpha : O_D(q) \to \prod_i \mathrm{GL}(R_i) \times O(q_Q)\) et \(\det_Q\) (la partie \(F \oplus F^{\vee}\) contribue \(\det g \cdot \det g^{-1} = 1\)), d'où \(\mathrm{SO}_D(q) = \alpha^{-1}(\prod \mathrm{GL}(R_i) \times \mathrm{SO}(q_Q))\) et (Proposition de la page 154) un diagramme d'extensions \[ 1 \to O_D(q)^{+} \to \mathrm{SO}_D(q) \to \prod_i \mathrm{GL}(R_i) \times \mathrm{SO}(q_Q) \to 1 , \] où \(O_D(q)^{+} = \mathrm{SO}_D(q)^{+}\) : \(\mathrm{SO}_D(q)\) est lisse à fibres connexes.

Rang pair, première tentative (pages 154 et 155). La page énonce que \(\mathrm{SO}(q) := O(q) \cap \mathrm{SL}(E)\) est lisse à fibres connexes : pour \(F\) totalement isotrope de rang \(n\), \(Q = 0\)78 , \(\mathrm{SO}_D(q)\) est extension de \(\mathrm{GL}(F)\) par un groupe lisse à fibres connexes, et \(\mathrm{SO}(q)/\mathrm{SO}_D(q) \simeq \underline{\Delta}_{\{n\}}\) ; mais en caractéristique \(2\), \(\det\) est trivial sur \(O(q)\) et \(O(q) \cap \mathrm{SL}(E) = O(q)\) n'est pas connexe, et \(\underline{\Delta}_{\{n\}}\) non plus. Corollaire : en rang impair, les \(\mathrm{SO}_D(q) = B_D(q)\) sont lisses à fibres connexes et \(O_D(q) \simeq B_D(q) \times \mu_2\).

Rang pair, la bonne définition (pages 155 à 157). « On ne va pas définir \(\mathrm{SO}(q)\) comme \(O(q) \cap \mathrm{SL}(E)\), à cause de car. \(2\). » On fait opérer \(O(q)\) sur \(\underline{\mathrm{Arf}}(q)\), d'où un homomorphisme \[ \varepsilon_q : O(q) \to (\mathbf{Z}/2)_S, \qquad \mathrm{SO}(q) := \mathrm{Ker}\,\varepsilon_q, \qquad 1 \to \mathrm{SO}(q) \to O(q) \to (\mathbf{Z}/2)_S \to 1 ; \] si \(\eta : \mathbf{Z}/2 \to \mu_2\) est le morphisme canonique, \(\eta \circ \varepsilon_q = \det\), de sorte que \(\mathrm{SO}(q) = O(q) \cap \mathrm{SL}(E)\) si \(2\) est inversible (marge). C'est l'invariant de Dickson79 . Proposition : \(\varepsilon_q|O_D(q)\) est le composé \(O_D(q) \to O(q_Q) \xrightarrow{\varepsilon_{q_Q}} \mathbf{Z}/2\), donc \(\mathrm{SO}_D(q)\) est l'image réciproque de \(\mathrm{SO}(q_Q)\), extension de \(\prod \mathrm{GL}(R_i) \times \mathrm{SO}(q_Q)\) par \(O_D(q)^{+}\), lisse à fibres connexes.

Théorème. Si \((E, q)\) est régulière de rang \(2n\), \(\mathrm{SO}(q)\) est lisse à fibres connexes. On peut supposer qu'il existe \(F \in \Delta_{\{n\}}(q)\), d'où une section \(\omega\) de \(\underline{\mathrm{Arf}}(q)\) ; pour \(D = \{F\}\), \(Q = 0\), \(\mathrm{SO}_D(q)\) est lisse à fibres connexes, et \(\mathrm{SO}(q)/\mathrm{SO}_D(q) \simeq \underline{\Delta}^{\omega}_{\{n\}}\) aussi ; donc \(\mathrm{SO}(q)\) l'est, cqfd. Corollaire : les \(\mathrm{SO}_D(q) = B_D(q)\) — les sous-groupes paraboliques, de Borel pour un drapeau complet — sont lisses à fibres connexes.

En marge de la page 155, une Proposition sans démonstration : \(\mathrm{SO}(q)\) opère transitivement sur \(\underline{\Delta}_H(q)\) si \(N\) est impair ou \(d = \max H < n\) ; si \(N = 2n\) et \(d = n\), et si \(\omega\) est une section de \(\underline{\mathrm{Arf}}(q)\), il opère transitivement sur la partie \(\underline{\Delta}^{\omega}_H(q)\) au-dessus de \(\omega\)80 . Le dossier s'arrête sur le corollaire de la page 157 ; le reste du feuillet est blanc.

Notes

  1. Rapprochement de l'édition. Aujourd'hui ce revêtement est le spectre du centre de l'algèbre de Clifford paire, et la congruence est une forme de celle de Stickelberger ; le dossier 84 (pages 48 à 53) énonce le même théorème de classification avec les triplets \((L, \delta, T_0)\), et le rapproche lui aussi de Stickelberger. ↩
  2. La page écrit « \(X\) conique lisse de \(X\) » ; on lit « de \(P\) ». ↩
  3. Écrits en marge, la feuille tournée ; la page note \(\mathrm{GP}(1)\) pour \(\mathrm{PGL}_2\), comme le dossier 82. ↩
  4. La page écrit le produit semi-direct avec un signe propre, entre les deux facteurs, que la transcription rend par « \(\tfrac{1}{2}\) ». ↩
  5. Cette justification est de l'édition. C'est le dictionnaire classique entre formes binaires, algèbres quadratiques munies d'un module, tores de rang \(1\) et paires « conique, diviseur de degré \(2\) » ; voir par exemple M.-A. Knus, Quadratic and Hermitian Forms over Rings (1991), cité de mémoire. Pour \(C_1\), « régulier » doit s'entendre au sens où l'algèbre de Clifford paire est étale, ce qui garde la caractéristique \(2\). ↩
  6. Sur un corps, localement trivial pour Zariski veut dire trivial ; or les formes \(x^2 + y^2\) et \(-(x^2 + y^2)\) donnent sur \(\mathbf{R}\) des torseurs distincts sous \(U = \mathrm{SO}(2)\). La note marginale est en partie illisible. ↩
  7. Deux notes marginales sur l'action de \(\mu_2\) sur \((X, \Delta)\) et sur \(X' = X/\mu_2\) ne se lisent que par fragments ; elles ne sont pas utilisées. ↩
  8. La dernière condition est surchargée sur la page ; on lit « \(\det \sigma = -1\) » en remplacement d'une première version. ↩
  9. Formule encadrée sur la page ; l'identité a été vérifiée pour une matrice \(2 \times 2\) générale \(u\) et \(\sigma\) de trace nulle avec \(\sigma^2 = 1\). L'interprétation comme réflexion orthogonale est de l'édition. ↩
  10. La fin de D), au bas de la page, est très raturée ; seule la condition sur l'ordre de \(\tau_1\tau_2\) en caractéristique \(p\) se lit avec quelque assurance. Les notes marginales, reliées à B) et C), ajoutent que \(\tau_i^2 = 1\) avec \(\tau_i \neq 1\) sur chaque fibre fait des \(\tau_i\) des réflexions, et demandent comment exprimer \(h_i \notin X\) en termes des \(\tau_i\). ↩
  11. La page écrit \(\zeta^{2}, \zeta^{-2}\) pour les deux premières ; sur le dual on a \(\zeta^{-2}, \zeta^{2}\). Rien n'en dépend. ↩
  12. La page note ces plans « \(\check{D}_1^{\otimes 2} \oplus \check{D}_2\) » et « \(\check{D}_2^{\otimes 2} \oplus \check{D}_1\) » ; on complète le facteur \(\check{D}_0\). ↩
  13. La page conclut sous l'hypothèse « \(\zeta^4 - 1\) inversible, i.e. \(4(\alpha^2 - 4)\) inversible » : \(\zeta^4 - 1\) est inversible si et seulement si \(\alpha(\alpha^2 - 4)\) l'est, et le cas du carré montre que l'hypothèse \(\alpha^2 - 4\) inversible suffit pour les formes non dégénérées, les formes quasi-invariantes supplémentaires du carré étant dégénérées. La page donne pour déterminant \(2ab^2\) et pour discriminant divisé \(ab^2\) ; le déterminant de la matrice qu'elle écrit est \(-2ab^2\). ↩
  14. Calcul de l'édition, fait par machine ; le signe dépend de l'ordre des colonnes. La page écrit successivement \((\zeta^4 - 1)(\zeta^3 - 1)/(\zeta - 1)\) et \((\zeta^2 - 1)(\zeta^3 - 1)/(\zeta - 1)\), puis identifie \((\zeta^2 + 1)(\zeta^2 - 1)^2(1 + \zeta + \zeta^2)\) à \(\alpha(\alpha^2 - 4)(\alpha + 1)\), ce qui est vrai au facteur \(\zeta^{-4}\) près, une unité. La marge suggère une « manœuvre » de Vandermonde sur les colonnes. ↩
  15. La page conclut « \(v = -b\) », sur un coefficient surchargé ; la forme qu'elle en tire demande \(v = -c\). ↩
  16. La page écrit « si \(\alpha - 1\) inv. (i.e. on n'a de triangle sur aucune fibre) » ; le facteur en jeu est \(1 + \alpha\), et le triangle est \(\alpha = -1\). Une note en coin, peu lisible, propose une vérification de \(q(s_2)\) et \(q(s_{-2})\). ↩
  17. Ses numéros d'équations ne prolongent pas ceux des pages 7 à 12, et sa forme \(q_0\) est celle de la page 18 ; la page 14 repart de (7) à la suite de la page 13, et la page 19 prolonge les pages 14 et 15. L'ordre de lecture est donc 18, 13, 14, 15, 16, 19. ↩
  18. Le passage biffé affirme que ce schéma en groupes \(G\) est lisse de dimension relative \(1\), de composante neutre commutative ; la page 16 est blanche au-delà. ↩
  19. La page écrit d'abord \(B = \zeta^{-1}(1 - \zeta^2)\), de signe opposé, puis la bonne factorisation ; l'équation qu'elle en tire est juste. ↩
  20. Une note en marge s'inquiète de la convention de signe. Elle est cohérente avec (24) ci-dessous. ↩
  21. La page porte \(-bu\) dans la première matrice et \(+bu\) dans la seconde ; les traces qu'elle en tire demandent \(+bu\). ↩
  22. La page a d'abord écrit \(-4\mathfrak{D}\), puis biffé le \(4\) ; c'est la forme biffée qui serait fausse. Une première tentative, encadrée et barrée, figure au bas de la page 24. ↩
  23. (24) se déduit de (13) avec \(u = v\) égal au générateur : \(t^2 = -c + bt\). La note de la transcription selon laquelle les signes de \(c\) diffèrent entre (13) et (24) ne se confirme pas : ils concordent. ↩
  24. La page écrit, dans la justification et dans (46), « extension de \(\mathcal{O}_S\) par \(V^{(1)} = B^{\vee}\) » ; le noyau de \(\mathrm{Sym}^2(B^{\vee}) \to \mathrm{Sym}^2(\mathcal{O}_S)\) est l'image de \(L \otimes B^{\vee}\), comme le dit d'ailleurs (45). ↩
  25. La page appelle \(\alpha\) l'isomorphisme \(\kappa\) ; on change la lettre, réservée à \(\zeta + \zeta^{-1}\). Un premier départ de la page 34, sur \(\Sigma^n F = \pi_n^{-1}(1)\), est biffé. ↩
  26. La page écrit « a) \(q(e_B) = 1_{C_n}\) » ; il s'agit de \(g(e_B) = 1_{C_n}\). ↩
  27. Une ligne de la page 42 écrit \((-v)^n f(1 - \frac{u}{v})\), le « \(1\) » étant surchargé, sans doute biffé. Les numéros (73) à (76) ne sont pas dans l'ordre de la page. ↩
  28. La transcription lit l'exposant de \(L\) « \(\otimes{-2}\) », en signalant qu'il pourrait être \(\otimes 2\) : une forme quadratique sur \(L^{\vee}\) est une section de \(L^{\otimes 2}\), et c'est ce que demande la suite (pages 55 et 56). ↩
  29. La page calcule \(\sigma^2 = \mathrm{id} + (2 + \langle a, \pi_1\rangle)\,\pi_1 \otimes a\) et parle de \(\mathcal{O}_S e\) comme de la « droite fixe » : c'est la droite fixe de \(\sigma\), et celle où la pseudo-réflexion \(-\sigma\) agit par \(-1\). La marge, écrite le long du bord, est en grande partie illisible. ↩
  30. La page écrit « \(B \simeq \mathrm{Sym}(L^{\vee})/(1 - 4\partial)\,L^{\otimes -2}\) », après une formule générale (93) en partie noircie ; la relation qu'impose (13) avec \(b = 0\) et \(c = -\mathfrak{D}/4\) est \(s(u)^2 = \tfrac{1}{4}\mathfrak{D}(u^2)\). ↩
  31. La page 52 note qu'« il faudrait préciser » que la structure de torseur sous \(L^{\otimes 2}\) sur les \(q\) compatibles à \(\underline{b}\) est celle des \(\sigma\). Le dossier 84 (pages 56 et 57) énonce le même théorème en caractéristique \(2\), avec les données \((L, P_1, T, \alpha)\). ↩
  32. La page le dit en termes de \(\underline{L} \subset \tfrac{1}{f}\underline{L} \subset i_*(L|S_f)\), \(f = 2\), et de la section \(x_0\) de \(\tfrac{1}{f}L/L \simeq L/fL\) ; plusieurs mots de ces lignes sont incertains, et une note marginale réserve le cas d'un \(f\) seulement \(L\)-régulier. ↩
  33. La phrase de la page sur la dépendance en \(q_0\) est mal lisible (« il dépend du choix de \(q_0\), chaque section [définie modulo …] ») ; le calcul montre qu'il n'en dépend pas. ↩
  34. Comme \(\Theta(q_0) \equiv b^2 \pmod 4\) pour tout relèvement \(b\) de \(b_0\), on a \(a_1(\mathfrak{D}) = \gamma(b_0) - \mathfrak{D}_1\), où \(\gamma(b_0)\) est le carré modulo \(4\) d'un relèvement quelconque de \(b_0\) (voir la seconde rédaction) ; b) implique donc a). La page les énonce séparément. ↩
  35. La page ajoute entre crochets « et \(U \cap S_1\) schématiquement dense dans \(S_1\) ». Cela découle de la densité de \(U \cap S_0\) dans \(S_0\), \(2\) étant régulier : une section de \(L_1^{\otimes 2}\) nulle sur \(U\) a une image nulle dans \(L_0^{\otimes 2}\), donc est dans \(2L^{\otimes 2}/4L^{\otimes 2} \simeq L_0^{\otimes 2}\), où elle est encore nulle sur \(U\). ↩
  36. La condition de b) est sur la page « si \(H^1(S, L) \to H^1(S \smallsetminus S_0, L)\) est injectif (p. ex. si \(S\) affine) », puis, page 60, « \(H^1(S, L) \to H^1(S, L_0)\) injectif ». Le point est que \(F\) est trivial si et seulement si \(b_0\) se relève en une section globale de \(L\) ; par la suite \(0 \to L \xrightarrow{2} L \to L_0 \to 0\), l'obstruction est dans le noyau de la multiplication par \(2\) sur \(H^1(S, L)\). La condition de la page sur \(S \smallsetminus S_0\), où \(2\) est inversible, implique l'injectivité de cette multiplication ; on énonce la condition elle-même. La page 60 écrit « \((L, \partial, c_0)\) » où le contexte demande \(b_0\). ↩
  37. La page note \(L_0\) et \(L_1\) là où il s'agit de leurs carrés tensoriels. Elle ajoute, pour a), « la classe \(\partial(b_0) \in H^1(S_0, \mu_2)\) est nulle ! » ; nous ne voyons pas de quelle classe il s'agit, \(b_0\) étant ici une section déjà donnée. ↩
  38. Cette justification est de l'édition ; la page énonce le corollaire sans démonstration. ↩
  39. La page définit \(I_*(\sigma)\) comme la réunion des cycles de cardinal \(\geq 3\), puis, dans les définitions de \(\nu_*^+\) et \(\nu_*\), écrit une borne repassée qui se lit \(2\) ; c'est \(3\) (et \(4\) pour les cycles pairs) qu'il faut. ↩
  40. La page somme sur les couples \(\gamma \neq \gamma'\) ordonnés, avec le facteur \(2\) (un « \(4\) » surchargé), ce qui compte chaque paire deux fois ; sa phrase « un même monôme intervient \(2^{\nu_*}\) fois » est juste pour les couples ordonnés. ↩
  41. Vérifié par machine pour \(m = 2, 4, 6\) ; le choix \(\varepsilon = -(-1)^n\) échoue dans chaque cas. Pour \(m = 2\), c'est la formule classique \(b^2 - 4ac\). ↩
  42. Le nom n'est pas sur la page. ↩
  43. Contrôlé par machine. Les dernières lignes de la page récrivent la congruence modulo \(4\) ; un exposant y est illisible. ↩
  44. Les hypothèses (a) à (d) sont encadrées sur les pages 73 à 77 ; la page énonce la Proposition avec « \(v \in A^{*}\) » et « \(v_0\) \(A_0\)-régulier », et une note marginale précise qu'il suffit que \(v\) soit tel que \(v_0\) soit régulier. ↩
  45. La page conclut « \(u \in A^{*}\) » ; c'est \(A_\Delta^{*}\) qu'on obtient. Un passage barré suppose \((A_{2\Delta})^{*} = \{2^\mu\Delta^\nu v\}\), \(v \in A^{*}\). ↩
  46. La page écrit \(U = \frac{1}{2u}(T + \frac{b}{2})\), dont le carré est \(\Delta/16\). ↩
  47. Démonstration de l'édition ; les pages 77 à 84 suivent une autre route, par \(\mathrm{Pic}\) et les unités de \(A_\Delta\), sous des hypothèses supplémentaires. L'unicité de \(B_\Delta\) est affirmée sans démonstration : celle de l'isomorphisme est claire (\(B_\Delta\) plat, \(2\) régulier, donc \(B_\Delta \subset B_{2\Delta}\)), son existence n'est pas établie sur les pages. ↩
  48. La page 84 ne porte qu'une phrase : sous ces conditions, il est nécessaire que l'extension soit étale aux points de \(A_\Delta\). ↩
  49. La page écrit « \(\delta(q) = -\omega^{\otimes 2}\) (\(\omega \in \Gamma(S, (\det E)^{*})\)) ». La convention de la page 105 (« \(\omega_0^{\otimes -2} = -\delta'(q)\) — attention au signe ! ») et celle de la page 128, (2.3), avec \(\varepsilon = -1\), sont celles qu'on suit ; c'est aussi celle du dossier 82. ↩
  50. La lecture du dossier 82, à propos de ses formules (52) et (64), note que cette normalisation donne la base \(\omega\) opposée à la sienne. Une note marginale de la page 89 dit \(\omega\) « défini à \(\pm\) près par (4) ». ↩
  51. La page écrit le terme croisé \(-2ab\, \varphi(x, y)\) ; avec la convention \(q(x + y) = q(x) + q(y) + \varphi(x, y)\) c'est \(-ab\,\varphi(x, y)\). Il est nul ici. ↩
  52. Vérifié pour \(\gamma M\) des matrices \(2 \times 2\) de trace nulle. La page l'écrit d'abord \(-4q(x)q(y)\sin^2(\widehat{x, y})\) avec \(\sin^2 = 1 - \frac{1}{4} \varphi^2/q(x)q(y)\), la marge avertissant : « attention au signe et au facteur \(4\) ! » ↩
  53. Cette lecture géométrique est de l'édition ; c'est la version, sur une base où \(2\) est inversible, de l'identification de la sphère réelle à la droite projective complexe, \(\mathbb{P}^1(\mathbf{C}) = \mathrm{R}_{\mathbf{C}/\mathbf{R}} (\text{conique})(\mathbf{R}) \smallsetminus \text{conique}(\mathbf{R})\). ↩
  54. La page encadre « \(\Sigma \xrightarrow{\sim} \tilde{X}^{S[\mathbf{i}]} - \tilde{X} = \mathcal{U}\) », avec des tildes ; l'énoncé est au niveau des quotients par \(\mathbb{G}_m^{S[\mathbf{i}]}\). Une première version du lemme, barrée, demandait \(\xi \in \Gamma\tilde{\mathcal{U}}\) là où la conclusion vise le complémentaire. ↩
  55. La page écrit \(\lambda^{-3}\mu^{-2} = -2^{-(3\alpha + 2\beta)} = -2^{2}\) ; la condition \(-\frac{1}{4}\) demande \(-2^{-2}\), et c'est elle que résout \(3\alpha + 2\beta = -2\). La formule (26) s'interrompt après « \(q''(\) ». ↩
  56. La page écrit la suite exacte avec un dernier terme « \(1\) », pour \(0\). ↩
  57. La page écrit « transformant \(-q\) en \(q_M = -\det|\gamma M\) », avec en marge « attention au signe » ; c'est bien \(-q = -\det\), soit \(q = \det\). ↩
  58. Une tentative, encadrée et barrée page 111, passe par \(\theta : x \mapsto ix\) de \(\gamma M\) dans lui-même, qui transforme \(q_M\) en \(-q_M\) et \(\omega_M\) en \(i^3\omega_M\) ; la page note « TSVP ». ↩
  59. La page présente \(F_M\) comme une application « bilinéaire au niveau des cônes affines » \(C_M \times C_M \to D_M\), compatible à \((\lambda, \mu) \mapsto \lambda\mu\), induisant l'isomorphisme \(X_M \times X_M \simeq \hat{\Sigma}_M\). Mais \(F_M(\alpha, \alpha) = 2\alpha^2 = 0\) : la formule n'est définie que hors de la diagonale, où elle donne bien l'isomorphisme ; sur la diagonale, l'isomorphisme envoie \(\alpha\) sur \(\alpha\) lui-même, et ne provient pas de cette application bilinéaire. L'identité \(2\beta\alpha\) est de l'édition. ↩
  60. La page écrit \(\det(u - s) = \det(s - u) = s^2 + \det u\) ; pour une matrice \(2 \times 2\), \(\det(u - s\cdot 1) = \det u - s\,\mathrm{tr}\,u + s^2 = \det u - s^2\) ici. L'erreur passe dans l'encadré, qui porte \(-(\det u)(\mathrm{tr}\,v)^2 - (\det v)(\mathrm{tr}\,u)^2\) : sous cette forme l'identité est fausse, et elle est vraie avec les signes \(+\) (vérifié par machine, sur \(\mathbf{Z}\)). ↩
  61. La description de \(E\) dans (9) est biffée par hachures sur la page, ne laissant que « \(\varphi(a, x)\) », et la formule (11) \(\pi(x) = \varphi(a, x)\) de la page 120 est biffée ; c'est pourtant elle qui rend (10) vraie et l'unicité exacte. On l'adopte. ↩
  62. La page écrit \(q(x, t) = q_0(x) + t^2\) et « \(q_0(x) + 1 = 0\) », ce qui suppose \(\pi(a) = 1\), la normalisation de la page 121 en rang impair ; avec (10), c'est \(t = \frac{1}{2}\). ↩
  63. La page justifie (21) par « \(\pi(a) = 1\) » ; avec \(\pi(a) = 1\), \(\sigma^2 = \sigma\). Elle étiquette (20) « rg \(E\) pair » après avoir dit s'intéresser surtout au cas « \(E\) de rg impair » : il s'agit de \(T\) de rang pair, \(E\) de rang impair. ↩
  64. La page écrit \(\varphi = bc' + cb' - (ad' + da')\), l'opposé, d'où \(\pi = -\mathrm{Tr}\) et la remarque « attention au signe ! ». Un fragment tête-bêche, coupé par la découpe, n'est pas utilisé. ↩
  65. La page ajoute « simple si \(n \geq 7\) » ; en rang impair \(\mathrm{SO}_{2\nu+1}\) est de type \(B_\nu\), simple pour tout \(\nu \geq 1\). La restriction vaudrait en rang pair, où \(\mathrm{SO}_4\) n'est pas simple. ↩
  66. On a vérifié, dans une base locale, que \(\omega_0^{\otimes -2} = \varepsilon\,\delta'(q_0)\) avec ces choix. La page note le second facteur « \(q_0 \otimes L\) ». ↩
  67. Le calcul de \(\det E_0\) en bas de la page 129 porte \(L\) là où il faut \(L^n\), et plusieurs essais biffés. ↩
  68. La restriction \(n \geq 3\) est de l'édition : en rang \(2\), \(X\) est un couple de points. ↩
  69. Une première tentative de relèvement, par récurrence sur le rang de \(F\) et vecteur par vecteur, est barrée (pages 134 et 135). ↩
  70. La page écrit « base de \(E\) » ; il s'agit d'une base de \(F\). ↩
  71. La page écrit d'abord \(\delta(q) = (-1)^n(\omega_F)^2\), puis encadre la forme juste. ↩
  72. La page écrit « \(F \subset F'\) » ; vu les rangs, c'est \(F' \subset F\). Elle note en marge que l'argument est « indépendant de la question de car. » ↩
  73. Lecture de l'édition. Le nom « Arf » est sur la page (« vecteurs d'Arf », page 139). ↩
  74. La page termine le drapeau complété par « \(F\) » ; c'est \(E\). ↩
  75. La page dit « localement (ét) ». C'est vrai si \(2\) est inversible ou si \(Q\) est de rang pair ; si \(Q\) est de rang impair en caractéristique \(2\), deux formes régulières de même rang ne sont isomorphes que localement pour la topologie fidèlement plate (page 127, e)), et c'est elle qu'il faut prendre. ↩
  76. La page décrit ce fibré comme \(\check{\mathbb{V}}(\sum_i \underline{\mathrm{Hom}}(R_i, E_{i-1}) \oplus \underline{\mathrm{Hom}}(\bar{G}, \bar{F}^{\perp})^{!})\), le second terme étant « le noyau de l'épi » \(u \mapsto (\bar{y} \mapsto \bar{q}(\bar{y} + u\bar{y}))\). Cette application n'est pas linéaire (\(q(u\bar{y}) = q_Q(\cdot)\) n'est pas nul en général) ; son lieu des zéros est néanmoins, sur une base affine, isomorphe comme schéma au fibré vectoriel \(\mathrm{Hom}(G, Q) \oplus \mathrm{Alt}(G)\), par d), et la dimension \(d\rho + d(d-1)/2\) est celle de la page. ↩
  77. La page 153 a « \(+\,d(\rho - 1)\) » sur un signe surchargé ; la formule générale le confirme. ↩
  78. La page écrit « \(F^{\perp}/F = Q\) de rg \(1\) », ce qui est le cas \(N = 2n + 1\) ; pour \(N = 2n\), \(Q = 0\). ↩
  79. Le nom n'est pas sur la page. ↩
  80. La marge porte aussi « et aussi si \(S \neq \varnothing\) », qu'on ne sait pas rattacher. ↩