Cote n° 76 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · n-cartes cellulaires : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1977]
Édition de démonstration

41la page continue le programme de théorèmes numérotés de la page 40 (Th. 1 à 4, construction de \(\psi_n : (\mathrm{Casc})_n \to \mathcal{F}_n\) par « multicône ») ; les numéros 5, 6, 7 sont les siens

Enfin, on devrait donner un

Th. 5 Subdivisions barycentriques de \(\psi_n(C_n)\), et description par ens. pseudo-simpliciaux… un trait vertical dans la marge gauche accompagne ces deux lignes

NB La donnée d'un homéom. \(X_n \simeq \psi_n\varphi_n(X_n)\) revient à la donnée, pour tout \(i\) et toute composante connexe \(\widetilde{X}_i^\alpha\) de \(\widetilde{X}_i\) (« \(i\)-cellules ») d'un homéomorphisme \[ \widetilde{X}_i^\alpha \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{C\hat{o}n}(\partial\widetilde{X}_i^\alpha) \] induisant l'identité sur le bord. [La subdivision barycentrique se fait par dessus une triangulation. On pourrait expliciter la subdivision barycentrique itérée 2 fois, qui correspond, elle, à une triangulation. Il faudrait donc expliciter le complexe simplicial (ensemble \(+\) ens. de parties finies, stable par inclusion) de cet espace triangulé, en termes de la cascade \(C_n\), et donner une description […] […] […] de la filtration […] […] sa réalisation topologique. Cela fera bien encore un th. 6 (et peut-être un th. 7…) « par dessus » : lecture incertaine ; le crochet ouvrant est tracé en équerre, sans crochet fermant sur la page

42Je veux dire : caractérisons l'image essentielle de \(\mathcal{F}_n^\circ\) (\(C_n \to\) ens.) [en termes combinatoires ! Voire, ce qui revient au même : étudier si un espace triangulé est homéom. à une sphère — mais déjà que […] [cela semble lié : l'hyp.] [de Poincaré !]] ; on en conclura aussi la caractérisation de l'image essentielle de \(\mathcal{F}_n \to C_n\). On aura ainsi un

Th. 7 ici « Th. 7 » est doublement souligné et n'est suivi d'aucun énoncé ; la « lettre » \(\mathcal{F}_n\) est son F gras, avec un petit cercle en exposant la première et la dernière fois ; « cela semble lié : l'hyp. de Poincaré ! » est écrit au-dessus de la ligne, sur les mots biffés

Autres points : examiner

Cube combinatoire

titre tiré de la page 43, une feuille de couverture de sa main : « 2-cartes cellulaires » biffé, remplacé par « cube combinatoire » ; en haut à gauche de la même feuille, au crayon et entre parenthèses, « (16 p) », qui pourrait ne pas être de sa main

45feuille de listing perforée, encre bleue ; la page porte deux blocs sans lien apparent avec les cubes : en haut des petits ensembles identifiés à des géométries finies, en bas le dénombrement de groupes linéaires sur \(\mathbf{F}_q\)

Ens de card 2 : torseur sous \(\mathbf{F}_2\) i.e. [droite] […] affine […] \(\mathbf{F}_2\)

Ens de card 3 : droite affine sur \(\mathbf{F}_3\) / éléments non nuls d'un vectoriel de dim 2 sur \(\mathbf{F}_2\) / droite projective sur \(\mathbf{F}_2\) / \(+\) orientation : […]

Ens de card 4 : plan affine sur \(\mathbf{F}_2\) / droite projective sur \(\mathbf{F}_3\) / orientation : droite affine sur \(\mathbf{F}_4\) ?

Ens de card 5 (\(\leftrightarrow\) droite projective sur \(\mathbf{F}_5\), les 6 pts […] les […] des […] icosaèdre […] à \(E\))

Ens orientés de card 5 droites projectives sur \(\mathbf{F}_4\) — l'ens. : la ligne s'arrête sur les deux points ; sur la ligne « card 3 », un court mot est souligné sous « orientation » ; la fin de la ligne « card 5 » est très serrée

Cas \(G = GP(2, \mathbf{F}_q)\), (\(N = 3\), [\(r = 2\)] \(d_\lambda = 2, 3\)) \[ \boxed{\ \mathrm{card}\, G(\mathbf{F}_q) = q^N (q-1)^r \prod_{1 \leqslant \lambda \leqslant r} \frac{q^{d_\lambda} - 1}{q - 1}\ } \] au-dessus du produit, une accolade renvoie à « légende \(q^{d_\lambda - 1}\) » ; « \(r = 2\) » est ajouté au-dessus de la parenthèse \[ P_{G/B} = \frac{(1 - T^2)^r}{\prod_\lambda (1 - T^{2d_\lambda})} \] \[ Sl(3, \mathbf{F}_q) \quad \mathrm{card} \ \sum_i b\, q^{d(i)} \qquad b = q^3 (q-1)^2 \sum_{0 \leqslant i \leqslant 3} b_{2i}\, q^i \] \[ \Bigl(1 : P_{G/B}(\sqrt{q})\Bigr) = \frac{(1-q)^r}{\prod_\lambda (1 - q^{d_\lambda})} = \frac{(q-1)^r}{\prod_\lambda (q^{d_\lambda} - 1)} \] \[ \mathrm{card}\, G(\mathbf{F}_q) = q^N (q-1)^r\, \mathrm{card}\, G/B(\mathbf{F}_q) \] sous « \(G(\mathbf{F}_q)\) », une ligne reliée par un trait : « gr. de Chevalley » ; au-dessous : « \(N\) = nb de racines pos. \(= \dim G/B = \dim B\) […] », « \(r = \mathrm{rg}\,G\) » ; un premier facteur devant \(q^N\) est biffé \[ \mathrm{card}\, G/B(\mathbf{F}_q) = \sum_{\substack{\alpha \text{ cellules} \\ (d(\alpha) = \text{dim})}} q^{d(\alpha)} = \sum_{0 \leqslant i \leqslant N} b_{2i}\, q^i = P_{G/B}(\sqrt{q}) \] \[ B \supset T, \quad G/T \simeq G/B \qquad P_{B_G} \cdot P_{G/B} = P_{B_T} \] sous la dernière égalité : \(\bigl(\frac{1}{1-T^2}\bigr)^r\) sous \(P_{B_T}\), relié par une double flèche à \(\prod_\lambda \frac{1}{1-T^{2d_\lambda}}\) sous \(P_{B_G}\) ; un mot court sur la flèche, illisible ; les indices \(B_G\), \(B_T\) (espaces classifiants) sont des lectures incertaines

\[ \begin{array}{c|cccc|l} q & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & Gl(1, \mathbf{F}_q) \\ & 2 & 6 & 12 & 20 & \mathrm{Aff}(1, \mathbf{F}_q) \\ & 6 & 24 & 60 & 120 & Sl(2, \mathbf{F}_q) \\ & 6 & 24 & 60 & 120 & GP(1, \mathbf{F}_q) \\ & 6 & 48 & 180 & 480 & Gl(2, \mathbf{F}_q) \\ & 24 & 9\cdot 48 & 16 \cdot 180 & 25 \cdot 480 & \mathrm{Aff}(2, \mathbf{F}_q) \end{array} \] le tableau est tracé à la main ; la dernière ligne est écrite à part, à droite du tableau, et « \(16 \cdot 180\) » est souligné ; dans la première ligne, le nom du groupe est surchargé (un premier « \(Sl\) » récrit) ; en marge des lignes \(Sl(2)\) et \(GP(1)\), une flèche marquée « 1, 2 » \[\begin{align*} Gl(1, \mathbf{F}_q) &\simeq \mathbf{F}_q^* \simeq \mathbf{Z}/(q-1), && \mathrm{card}\ q - 1 \\ \mathrm{Aff}(1, \mathbf{F}_q) &\simeq \mathbf{F}_q^* \cdot \mathbf{F}_q && \mathrm{card}\ q(q-1) \\ GP(1, \mathbf{F}_q) &\simeq Gl(2, \mathbf{F}_q)/\mathbf{F}_q^* \end{align*}\] \[ \mathrm{card}\ Sl(2, \mathbf{F}_q) = \sum_{\text{cell.\ } i} b\, q^{d(i)} \qquad b = q(q-1) \qquad \mathrm{card}\ Sl(2, \mathbf{F}_q) = q(q-1)(q+1) \] \[ \mathrm{card}\ GP(1, \mathbf{F}_q) = (q+1)q(q-1), \qquad \mathrm{card}\ \mathrm{Aff}(2, \mathbf{F}_q) = q^3 (q-1)^{2} (q+1) \] \[ \mathrm{card}\ Gl(2, \mathbf{F}_q) = q(q-1)^2(q+1) \] dans « card \(Sl(2, \mathbf{F}_q) = \sum\) », « card » est ajouté au-dessus ; dans « card \(GP(1)\) » le premier facteur est surchargé (\(q+1\) récrit) ; l'exposant \(2\) de \((q-1)\) dans card \(\mathrm{Aff}(2)\) est une lecture incertaine (un petit trait)

47Sujets DEA

  1. 1)Catégorie isotopique des 1-compl. top. cpcts avec groupe fini d'automorphismes (et plus de morphismes que les seuls isomorphismes)
  2. 2)Catégorie isotopique des cartes cellulaires
  3. 3)Examiner la notion de convexité du point de vue de la géométrie projective. Question : pour \(A\) convexe dans un espace projectif réel, y a-t-il un hyperplan qui ne le rencontre pas ?
  4. 4)Géométrie des cubes et espaces homogènes de \(\mathfrak{S}_4\).

49\((\mathbb{B}, \sigma)\) \(\mathbb{B}\) ens. fini, […] involution dans \(\mathbb{B}\) sans pt fixe \[ \downarrow \] \[\begin{align*} E &= E(\mathbb{B}, \sigma) = \mathrm{Hom}_{\lbrace \pm 1 \rbrace}(\mathbb{B}, \mathbf{R}) \\ C &= C(\mathbb{B}, \sigma) = \lbrace \varphi \in E \mid |\varphi(j)| \leqslant 1 \ \forall j \in \mathbb{B} \rbrace \qquad \mathbb{B} \hookrightarrow C \hookrightarrow E \end{align*}\]

Proposition Pour toute section partielle \(I' \subset \mathbb{B}\) de \(\mathbb{B}\) sur \(I = \mathbb{B}/\sigma\), soit \[ F(I') = \lbrace \varphi \in C \mid \varphi(j) = 1 \ \forall j \in I',\ \varphi(j) \neq \pm 1 \ \forall j \in \mathbb{B} - I' - \sigma I' \rbrace \] Alors l'application \(I' \mapsto F(I')\) est une application bijective, renversant l'ordre \[ \mathrm{Spd}(\mathbb{B}/I) \xrightarrow{\ \sim\ } \bigl(\mathrm{Fac}(C) - \lbrace \emptyset \rbrace\bigr) \] la seconde condition de \(F(I')\) est écrite sous la première, après un mot biffé ; « Spd » (sections partielles) est tel qu'il l'écrit ; sous « Fac », un mot biffé illisible, et « Fac » lui-même est surchargé

Ceci précise de façon simple le polyèdre combinatoire associé au polyèdre \(C = C(\mathbb{B}, \sigma)\) en termes de \((\mathbb{B}, \sigma)\), comme étant (moyennant l'addition d'un plus petit élément) l'ens. ordonné opposé de l'ens. des parties \(I'\) de \(\mathbb{B}\) telles que \(I' \cap \sigma I' = \emptyset\).

NB Dans le cas du cube (\(p\) de degré 2 ?) les él. de \(\mathbb{B}\) correspondent aux facettes de codim 1, et pour une telle facette \(F\), \(\sigma F\) est l'unique facette de codim 1 qui ne rencontre pas \(F\) (en fait, les hyperpl. d'appui correspondants sont parallèles) note écrite verticalement dans la marge gauche, séparée du texte par un trait ; « de codim 1 » est ajouté au-dessus de la ligne

Proposition Soit \(\mathbb{B} \xrightarrow{p} I\) une application surjective, et soit \(\mathcal{P}(p)\) l'ens. ordonné par inclusion des sections partielles de \(\mathbb{B}\) sur \(I\). Alors \(p \mapsto \mathcal{P}(p)\) est un foncteur pl. fidèle du groupoïde des surjections […] (on a comme morphismes les isom. \[ \begin{array}{ccc} \mathbb{B} & \xrightarrow{\ \sim\ } & \mathbb{B}' \\ \downarrow p & & \downarrow p' \\ I & \xrightarrow{\ \sim\ } & I' \end{array} \] ) dans la catégorie des ens. ordonnés. On reconstitue \[ \mathbb{B} \hookrightarrow \mathcal{P} \] ens. des pts […] minimaux de \(\mathcal{P} - \lbrace \emptyset \rbrace\), et la relation d'équivalence définie par \(p\) par \[ p(b) = p(b') \Longleftrightarrow (b = b' \text{ ou } C_b \cap C_{b'} = \emptyset), \] où \(\forall b \in \mathbb{B}\), \(C_b\) est l'ens. des éléments [le sous-ens. de l'ens. \(S\)] maximaux de \(\mathcal{P}\) (\(S \simeq \prod_{i \in I} \mathbb{B}_i\)) […] qui majorent \(b\). il écrit \(\mathcal{P}(p)\) avec un P d'écriture ; le mot biffé devant « minimaux » est illisible ; la correction « sous-ens. de l'ens. \(S\) » est écrite au-dessus de « des éléments », qu'elle remplace

50Ainsi, si \(S\) est l'ens. des sommets du cube \(C(\mathbb{B}, \sigma)\) — correspondant aux sections de \(\mathbb{B}\) sur \(I = \mathbb{B}/\sigma\), […] […] \(\in S\) […] l'intersection des facettes ce paragraphe est encadré et barré de traits obliques

Corollaire Soient \((\mathbb{B}, \sigma)\), \((\mathbb{B}', \sigma')\) deux […] [[…]] […], Alors définissant les cubes \(C\), \(C'\), on sait que l'on a \[ \mathrm{Isom}\bigl((\mathbb{B}, \sigma), (\mathbb{B}', \sigma')\bigr) \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Isom}_{\mathrm{aff}}(C, C') \xrightarrow{\ \beta\ } \mathrm{Isom}_{\mathrm{ord}}\bigl(\mathrm{Comb}(C), \mathrm{Comb}(C')\bigr) \] Ces applications sont des bijections. En particulier, on a \[ \mathrm{Aut}\bigl((\mathbb{B}, \sigma)\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(C) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}\bigl(\mathrm{Comb}(C)\bigr) \] \[ \begin{array}{l} \quad \| \\ \text{commutant de } \sigma \text{ dans } \mathfrak{S}_{\mathbb{B}} \\ \quad \cdots \\ \mathfrak{S}_I \cdot \lbrace \pm 1 \rbrace^I \end{array} \] un trait vertical dans la marge gauche accompagne l'énoncé ; entre « commutant » et \(\mathfrak{S}_I \cdot \lbrace \pm 1 \rbrace^I\), une ligne courte (« […] com. »)

Dém On sait déjà que \(\beta\alpha\) est un isomorphisme (cf cor. précédent). Je veux : prouver que \(\beta\) l'est. On en sait déjà que \(\beta\) est surjectif (\(\beta\alpha\) bij), or il est injectif (car un isom \(C \to C'\) est connu quand on connaît son effet sur les seuls pts extrémaux) — cqfd.

NB Au lieu de \(\mathrm{Isom}_{\mathrm{aff}}(C, C')\) on peut aussi écrire \(\mathrm{Isom}_{\mathrm{proj}}(C, C')\)

[…] Corollaire Les facettes d'un cube sont des cubes dans la marge, devant une accolade, un mot court illisible ; la phrase s'arrête au bas de la page

51Prop Le groupe \(\mathrm{Aut}(C)\) est simplement transitif sur \(\mathrm{Drap}(C)\) (qui est donc un torseur sous \(\mathrm{Aut}(C)\)) « Prop » est surchargé sur un premier mot ; un trait vertical dans la marge accompagne l'énoncé

(On dit que \(C\) est un pol. (convexe) régulier pour dire qu'il en est ainsi…)

\(\mathrm{Card}(\mathrm{Drap}(C)) = 2^n \cdot 2^{\cdots}\) l'exposant du second facteur biffé est illisible : […]

Le nb de facettes de dim \(d+1\) contenant une facette donnée de dim \(d\) est […]\((n-d)\), donc le nb des [drap.] drapeaux est \[ 2^n \cdot n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1 = 2^n n! \] qui est aussi l'ordre de \(\mathrm{Aut}(C)\). Il suffit de prouver que \(\mathrm{Aut}(C)\) opère librement sur \(\mathrm{Drap}(C)\), ce qui est vrai pour tt polyèdre convexe : le signe entre \(d\) et \(1\) est peu lisible, lu \(+\) d'après le compte \((n-d)\)

Lemme Soit \(C\) un polyèdre convexe, \(u\) un autom. de \(C\) fixant un drapeau de \(C\). Alors \(u\) est l'identité.

Récurrence sur dim \(C\). Pour \(\dim C = 0\), c'est trivial. Soit \(D = (F_0, \dots, F_{n-1}, F_n = C)\) le drapeau fixé. Par hyp. de récurrence, \(u\) est l'identité sur \(F_{n-1}\), car il fixe un [drap.] drapeau \((F_0, \dots, F_{n-2}, F_{n-1})\). Donc \(u\) est un automorphisme affine de \(E_C = E\) qui […] [induit] l'identité sur un hyperplan \(H = E_{F_{n-1}}\), et qui est d'ordre fini — or ces seules familles […] c'est ou bien l'identité, ou bien une « symétrie » — mais alors elle échange les deux \(\frac12\)-espaces déterminés par \(H\), donc elle ne pourrait respecter \(C\), OK. à gauche de la fin de la démonstration, une petite figure : un parallélogramme (un plan) traversé par un segment oblique marqué d'un point, l'hyperplan \(H\) et une droite qui le perce

Corollaire Soit \(C_0\) un cube de dim \(n\), \(D_0\) un drapeau dudit, Al \(C\) un cube de dim \(n\). Alors \(u \mapsto u(D_0)\) \[ \mathrm{Isom}(C_0, C) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Drap}(C) \]

52donc \(\mathrm{Drap}(C)\) est un torseur à droite sous \(G_0 = \mathrm{Aut}(C_0)\) (et un torseur à gauche sous \(G = \mathrm{Aut}(C)\), qui est le commutant de \(G_0\)…)

Le foncteur \[ \begin{array}{ccc} C & \longmapsto & \mathrm{Drap}(C) \\ n\text{-Cubes} & \longrightarrow & G_0\text{-tors.\ à dr.} \end{array} \] est une équivalence de catégories. un double trait vertical dans la marge gauche accompagne la fin de la page précédente et ces lignes ; la page commence au milieu de la phrase du corollaire de la page 51

NB \((C_0, D_0)\) est défini à isom. unique près — donc aussi \(G_0\). Si on veut, on prend pour \(C_0\) le cube standard \(C_n\), qui dans […] […] [qui […] […]] de une combinaison canonique : \(\mathbb{B} = [1, n] \times \lbrace \pm 1 \rbrace\), avec comme drapeau celui défini par la section cte de valeur 1, et ses restrictions aux sous-intervalles \([1, i]\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\)). Ainsi on trouve un isom. can. \[ G_0 \simeq \lbrace \pm 1 \rbrace^n \cdot \mathfrak{S}_n \simeq \mathrm{Aut}(C_n) \] produit ½ direct la ligne « qui … » est biffée d'un trait et récrite au-dessus, très cursivement ; « ½ direct » : il écrit ½ pour « semi- »

53Symétrie des cubes : c'est l'homothétie […] \(-\mathrm{id}\). Du pt de vue combinatoire, c'est l'automorphisme \(I' \mapsto \sigma I'\) dans l'ens. des « sections partielles » de \(\mathbb{B}\) sur \(I\). Du pt de vue maquette des cubes, c'est l'automorphisme \(\sigma\) de \((\mathbb{B}, \sigma)\). C'est l'unique automorphisme [un] laissant le… la phrase reste en suspens en fin de ligne

Prop Soient \(F\), \(F'\) deux facettes [fermées] non vides, Alors \(F \cap F' \neq \emptyset\) ou \(F \cap \sigma F' \neq \emptyset\). (Ceci caractérise l'autom. \(\sigma\) ?) […] […] Cl. revient à ceci : si \(I'\), \(I'' \subset \mathbb{B}\) sont deux sections partielles de \(\mathbb{B}\) sur \(I = \mathbb{B}/\sigma\), alors […] tout ce bloc est encadré et barré de traits obliques ; « fermées » est ajouté au-dessus de « non vides »

… […] propriété : si \(F\) est une facette de codim 1 (une hyperfacette), alors \(\sigma F\) est une hyperfacette ne rencontrant pas \(F\). Plus généralement, pour une facette \(F\) de dimension [[…]] à part celle de dim \(n\), \(F\) et \(\sigma F\) ne se rencontrent pas (en fait les hyperplans d'appui ne se rencontrent pas et sont […]) le début de ce paragraphe est pris dans l'encadré biffé ; « […] propriété » paraît en être la reprise ; « de dimension » est biffé et remplacé par un mot illisible

\(/\!/\) ) Aussi : le centr. de \(\mathrm{Aut}(C)\) est le groupe \(\lbrace 1, \sigma \rbrace\) [NB si \(n \geqslant 3\), le centre de \(\mathfrak{S}_I\) est \(\lbrace 1 \rbrace\)…], donc \(\sigma\) est l'unique élément central \(\neq 1\). « \(/\!/\) ) » : deux traits obliques et une parenthèse dans la marge, devant la ligne qui finit par « ne se rencontrent pas » ; un trait vertical accompagne le paragraphe « Aussi »

[…] Nb des facettes de dim \(d\) (\(0 \leqslant d \leqslant n\)) \[ c_d = \binom{n}{d} 2^{n-d} \] On a la formule d'EP \[\begin{align*} \sum_0^n (-1)^d c_d &= \sum (-1)^d \binom{n}{d} 2^{n-d} = (-1)^n \sum \binom{n}{d} 1^d (-2)^{n-d} \\ &= (-1)^n (1-2)^n = 1 \qquad \text{i.e.} \end{align*}\] \[ \boxed{\ \sum_0^n (-1)^d c_d = 1\ } \] (valable en fait pour tt polyèdre convexe de dim \(n\) !) un mot court dans la marge gauche, devant une accolade qui embrasse le calcul, illisible (le même que devant le corollaire de la page 50) ; « EP » : Euler–Poincaré ; le signe \(\leqslant\) devant le second \(n\) de « \(0 \leqslant d \leqslant n\) » est repassé ; le \(\sum\) de la seconde somme est surchargé

54Ens. d'orientations des cubes (ou de l'espace affine qu'il engendre, ce sera provisoirement notre définition ici…) \[ \omega_C \overset{\text{déf}}{=} \omega_E \simeq \omega_I \wedge \bigwedge_{i \in I} \mathbb{B}_i \] au-dessus du premier signe, « déf » et un mot court, « prov » (provisoire) ; « Ens. » est surchargé en tête de ligne

L'effet de \(\sigma\) sur \(\omega_C\) est \((-1)^n\), donc

Prop L'antipodisme conserve l'orientation ssi \(n\) pair (donc la renverse ssi \(n\) impair)

Cor Soit \(n\) impair, \(\mathrm{Aut}(C) \simeq \mathrm{Aut}^+(C) \times \lbrace \pm 1 \rbrace\) le \(\simeq\) est repassé

NB (Thème de modélisation géométrique) : Soit \(C\) un polyèdre convexe […] [engendrant l']espace affine \(E\). Alors l'ens. à 2 él. \(\omega_E\) peut se décrire canoniquement en termes des polyèdres combinatoires \(\mathrm{Comb}(C)\).

Indication L'[…] orientation de \(E\) permet de définir l'ens. \(D(\omega)\) (des [repères] drapeaux directs » \(F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_{n-1} \subset F_n = C\) ([des] facettes) du polyèdre \(C\), et elle est définie par le sous-ens. de [\(D(\omega)\)] […]. Il faut donc décrire, en termes de la seule structure d'ensemble ordonné de \(\Phi = \mathrm{Comb}(C)\), ce qu'on appellera les parties de [\(D(\Phi)\)] \(\mathrm{Comb}(C)\) (l'ens. des [repères] drapeaux de \(\Phi\)) qui sont des \(D(\omega)\) [définition combinatoire de l'orientation]. Solution Soit \(D^+ \subset D\), \(D^- = D - D^+\), on veut que [les] \(\sigma_i\) (\(1 \leqslant i \leqslant n\)) sur \(D\) transforment \(D^+\) en \(D^-\) (donc \(D^-\) en \(D^+\)…). [En fait, il y a exactement 2 telles partitions : \(D^+\) et \(D^-\) ! \(\Phi\) est son I barré ; la parenthèse ouvrante devant « des repères » se ferme avant « directs », le guillemet ouvrant manque ; le « \(D(\omega)\) » biffé à la première ligne de l'indication est ajouté plus bas au-dessus d'un passage biffé illisible ; la dernière ligne est serrée sous la précédente, et son crochet ne se ferme pas

55Drapeaux d'un polyèdre convexe — drapeaux d'un ens. ordonné. Repères d'un polyèdre convexe une petite flèche vers la gauche au-dessus du titre

Prop. Soit \(C\) un polyèdre convexe, \(\mathrm{Fac}(C)\) le polyèdre combinatoire associé, \(\mathrm{Rep}(C) = \mathrm{Rep}(\mathrm{Fac}(C))\) l'ens. des repères. Alors les applications homom. de groupes \[ \mathrm{Aut}(C) \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}(\mathrm{Fac}(C)) \xrightarrow{\ \beta\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}\, \mathrm{Rep}(C) \] sont injectifs. Plus précisément par \(\beta\), \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}(\mathrm{Fac}(C))\) opère librement sur \(\mathrm{Rep}(C)\) (a fortiori, \(\alpha\) étant injectif, \(\mathrm{Aut}(C)\) opère librement) sous \(\mathrm{Aut}(C)\), un « \(\cdot H\) » peu clair ; le premier indice de \(\mathrm{Aut}\) au-dessus de \(\mathrm{Rep}(C)\) est surchargé ; « Fac » est lu comme à la page 49

En effet, \(\alpha\) est inj. car un auto. d'un polyèdre convexe \(C\) est connu quand on connaît sa restriction aux pts extrémaux.

Soit \(u\) un automorphisme de \(\Phi = \mathrm{Fac}(C)\), fixant un drapeau \((F_0, \dots, F_{n-1}, F_n)\). Par hyp. de récurrence, il fixe \(P\)[…] est l'identité sur \(\Phi_{\le F_{n-1}}\). D'autre part, s'il est l'identité sur une facette \(\Phi_{\le x}\), \(x\) une facette de dim \(n-1\), et si \(y\) est une facette telle que \(x \wedge y\) soit de dim \(n-2\), alors il est l'identité sur \(\Phi_{\le y}\) — car il fixe un drapeau de \(\Phi_{\le y}\). Il [faut voir] […] que le rel. d'équiv. engendrée par « \(x\) et \(y\) ont une facette de dim \(n-2\) en commun » est la relation grossière. […] […] Argument topologique de connexité… il écrit \(\Phi_x\), \(\Phi_y\) (son I barré, indice \(x\) ou \(y\)), lu ici \(\Phi_{\le x}\) pour « la partie de \(\Phi\) au-dessous de \(x\) » ; au-dessus de la ligne, « […]\(_{n-1}\) » ; la fin de la phrase « Il … grossière » est très cursive

Déf \(C\) […] est dit polyèdre régulier si \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(C)\) est transitif (donc simplement transitif) sur \(\mathrm{Rep}(C)\), homogène si pour tt \(0 \leqslant i \leqslant n-1\), \(\exists\ d_i \in \mathbf{N}\) tel que \(\forall F \in \mathrm{Fac}_{i+1}(C)\), le cardinal des la page s'arrête sur « des » ; l'indice de \(\mathrm{Aut}\) est lu \(\mathrm{aff}\) avec doute, et la borne \(n-1\) est surchargée

56l'ens. des facettes \(y \in \mathrm{Fac}_{i}(C)\) qui majorent \(x\) soit \(d_i\). (Donner des ex. […].) \[ \mathrm{card}\, \mathrm{Rep}(C) = d_0 d_1 \cdots d_{n-1} = d_0 \cdots d_{n-1} \] (car \(d_n = 1\)). Dans ce cas, si \(N = \mathrm{card}\, \mathrm{Aut}(C)\), \(N_c = \mathrm{card}\, \mathrm{Aut}(\mathrm{Fac}(C))\) un trait vertical dans la marge accompagne la fin de la définition de la page 55 ; les indices \(i+1\), \(i\) sont peu lisibles ; dans le produit central l'un des indices est surchargé

Évidemment régulier \(\Rightarrow\) homogène. Évidemment, […] \(N \mid N_c \mid \mathrm{card}\, \Phi\) « \(N \mid N_c \mid\) card » est biffé et repris plus bas

Soit \[\begin{align*} N &= \mathrm{card}\, \mathrm{Aut}(C) \\ N_c &= \mathrm{card}\, \mathrm{Aut}(\mathrm{Fac}(C)) \\ R &= \mathrm{card}\, \mathrm{Rep}(C), \end{align*}\] on a \[ N \mid N_c \mid R \] et \(C\) régulier \(\Longleftrightarrow\) \(N = R\) (donc \(R = N_c\)), dans les autres cas combinatoires […] (même […] dimension). Dans ce cas on a …

une décomposition \[ N = N_c = d_0 \cdots d_{n-1} \] les deux lignes « dans les autres cas … Dans ce cas on a … » sont très cursives ; un double trait horizontal sépare ce qui précède de la suite

Orientation d'un polyèdre [convexe] \(C\) : par définition, ce sera une orientation de l'espace affine \(E_C\) qu'il engendre. […] de ses […] […] (Mais on montre que l'ens. \(\omega(C)\) en dépend, à isom. canonique près, que de \(\Phi(C) = \mathrm{Fac}(C)\) (polyèdre combinatoire strict associé)). Donc il y a […] \[ \mathrm{Isom}_{\mathrm{ord}}\bigl(\Phi(C), \Phi(C')\bigr) \longrightarrow \mathrm{Isom}\bigl(\omega(C), \omega(C')\bigr) \] \[ \mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}\bigl(\Phi(C)\bigr) \longrightarrow \lbrace \pm 1 \rbrace = \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}\bigl(\omega(C)\bigr) \qquad (\text{hom.\ de groupes}) \] Cas où \(C\) admet une antipodisme : sa sign. est \((-1)^n\) « convexe » est ajouté au-dessus de la ligne ; le passage biffé « Mais on montre que », au-dessus duquel un premier ajout est lui aussi biffé, reste en partie illisible ; l'indice de \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}\) est surchargé

57Automorphismes des \(n\)-cubes.

Considérons le \(n\)-cube de la maquette \((\mathbb{B}, \sigma)\), soit \(I = \mathbb{B}/\sigma\). Un automorphisme correspond : un automorphisme \(u\) de la maquette, induisant un autom. \(u_I\) de \(I\), d'où une décomposition de \(I\) en orbites \[ I = \coprod_{\alpha} I_\alpha \] (\(u_I\) est connu à conjugaison près quand on connaît les cardinaux des \(I_\alpha\), rangés par ordre croissant…) Soit \(\mathbb{B}_\alpha\) l'image inverse de \(I_\alpha\), donc \(\mathbb{B}_\alpha\) est stable par \(u\), donc […] d'orbites, il y a des […] […] sur \(I_\alpha\) […] […] degré […]. Donc 2 cas se présentent : 1°) \(\mathbb{B}_\alpha\) est une orbite. Soit \(n_\alpha\) ces lignes sont barrées ; à droite, reliée par une accolade : « la situation est \(\sim\) somme des \((\mathbb{B}_\alpha, u_\alpha = u|\mathbb{B}_\alpha)\) sur \(I_\alpha = \mathbb{B}_\alpha / (\sigma|\mathbb{B}_\alpha)\) »

et on est ramené à étudier chacun de ces cas. un mot court à la fin de la ligne, surchargé, illisible (Géométriquement, \(C = \prod C_\alpha\), où \(C_\alpha\) est le cube associé à \((\mathbb{B}_\alpha, \sigma|\mathbb{B}_\alpha)\), et \(u = \prod u_\alpha\), …). Cela nous ramène à étudier le cas où \(u_I\) est transitif sur \(I\).

\(\mathbb{B}\) est réunion d'orbites, dont chacune s'envoie sur \(I\) (l'unique orbite […] de \(u_I\) dans \(I\)), avec un degré déterminé. Donc il y a 2 cas

a) Deux orbites isomorphes : \(I \xrightarrow{\ \sim\ }\) par \(p : \mathbb{B} \to I\). Alors, si […] \(\varepsilon\) est l'ens. des 2 orbites, …. on a canoniquement \[ \mathbb{B} \simeq \varepsilon \times I, \qquad u = \mathrm{id}_\varepsilon \times u_I \] « a) » est lu sur un signe peu net ; dans « \(I \xrightarrow{\sim}\) par \(p\) », la flèche est un long trait sous lequel « par » est écrit ; le \(\mathrm{id}\) devant \(u_I\) est biffé en surcharge ; la paire \((\mathbb{B}_\alpha, \sigma|\mathbb{B}_\alpha)\) est lue sous une rature

58où \(u_\varepsilon\) est l'[…] permutation […] identique de \(\varepsilon\) (toutes les fibres sont canoniquement isom. par les itérés de \(u\))

« cas tordu » b) Il y a une seule orbite dans \(\mathbb{B}\). Cette situation est aussi uniquement déterminée (connaissant [\(I \to\)] […] à isom. près une fois \(I\), \(u_I\) donné, modulo isom. une fois \(n = \mathrm{card}\, I\) donné). \[ \begin{array}{c} \phantom{u b_n =}\ \overset{u b_1}{\|} \qquad\qquad \overset{u^{n-1} b_n}{\|} \\ \begin{array}{r|cccc} & b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ u b_n = & b'_1 & b'_2 & \cdots & b'_n \\ \hline & i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{array} \\ \phantom{u b_n = i_1}\ \underset{u i_1}{\|} \qquad\quad \underset{u^{n-1} i_1}{\|} \end{array} \] tableau à deux lignes \(b_1, \dots, b_n\) et \(b'_1, \dots, b'_n\) (les deux éléments de chaque fibre) au-dessus d'un trait, et \(i_1, \dots, i_n\) au-dessous ; il note \(b_2 = u b_1\), \(b_n = u^{n-1} b_1\) (lu \(u^{n-1}b_n\), surchargé), \(b'_1 = u b_n\), \(i_2 = u i_1\), \(i_n = u^{n-1} i_1\) ; la mise en place des signes \(=\) verticaux est approximative

NB Classification des fibrés \(\mathbb{B} \to \overline{I}\) (\(\mathrm{card}\, I\)) décrits par \(\mathbf{Z}\)-ens. à […] finis note de la moitié droite de la page, séparée par un trait vertical ; la barre sur \(I\) est surchargée

Ainsi, pour \(n = \mathrm{card}\, I\) fixé, les classes d'isom. des automorphismes d'un \(n\)-cube (i.e. les classes de conjugaison d'éléments de \[ \mathrm{Aut}(C_n) = \lbrace \pm 1 \rbrace^n \cdot \mathfrak{S}_n\,) \] sont données par 2 suites d'entiers naturels \[ \left. \begin{array}{l} \alpha_1^+ \ \cdots\ \alpha_n^+ \in \mathbf{N} \\ \alpha_1^- \ \cdots\ \alpha_n^- \in \mathbf{N} \end{array} \right| \quad \begin{array}{l} \alpha_i^+ \ (\alpha_i^-) = \text{nb des cycles de long.\ } i \\ \text{de } u_I \text{ au-dessus desquels il y a} \\ \text{un cycle de long.\ } i \ (\text{resp.\ } 2i) \end{array} \] satisfaisant \[ \sum_i i \underbrace{(\alpha_i^+ + \alpha_i^-)}_{\alpha_i} = n \] le \(\alpha_i^+\) de la colonne de droite est surchargé ; « (resp. \(2i\)) » est lu « (resp. 2i) » ; le symbole devant \(i(\alpha_i^+ + \alpha_i^-)\) est un \(\Sigma\) surmonté d'une barre

Étude des facettes fixes (\(\neq \emptyset\)) […] Correspondent aux parties non vides [\(\mathbb{B}'\)] de \(\mathbb{B}\) qui a) stables par \(I\) b) sections partielles. Au-dessus de chaque \(I_\alpha\) correspondant au cas tordu, la page s'arrête sur une virgule ; « a) stables par \(I\) » tel qu'écrit (on attend « par \(u\) »)

59\(\mathbb{B}'\) doit être vide, au-dessus de chaque \(I_\alpha\) non tordu, il est vide ou une des deux orbites de \(\mathbb{B}_\alpha\) sur \(I_\alpha\) (trois cas), de sorte que le nb des [telles] facettes […] (y compris la facette \(C\)) […] est \[ 3^{\sum \alpha_i^+} \] devant \(3^{\sum \alpha_i^+}\), une formule biffée de plusieurs traits, illisible

Les facettes de codimension donnée \(d\) correspondent aux parties \(\mathbb{B}'\) telles que […] \(\mathrm{card}\, \mathbb{B}' = d\). On trouve, si \(f_d\) est le nb de ces facettes \[ \boxed{\ \sum_{i=0}^n f_d\, t^d = \prod_{i=1}^n (1 + 2t^i)^{\alpha_i^+}\ } \] la somme porte l'indice \(i = 0\) tel qu'écrit, pour \(d\)

\(+, 8\) \(-, 8\) Exemple Automorphismes de \(C_3\) « indécomposables » \[ \left\lbrace \begin{array}{lll} 1^\circ)\ \text{non tordu :} & e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1 & (+) \\ 2^\circ)\ \text{tordu} & e_1 \to e_2 \to e_3 \to -e_1 & (-) \end{array} \right. \] les signes \((+)\) et \((-)\) sont cerclés, en marge droite ; dans la marge gauche, devant un trait vertical, « \(+, 8\) » et « \(-, 8\) » l'un sous l'autre

Le premier est une rotation [d'ordre 3] autour de la diagonale joignant \(e_1 + e_2 + e_3\) et \(-e_1 - e_2 - e_3\). Il y a (sans compter la facette pleine) 2 facettes fixes, savoir les deux sommets précédents.

Le deuxième est d'ordre 6, c'est [(mod. conj.)] […] le produit du précédent avec l'antipodisme [NB cette relation entre cas tordu et non tordu vaut chaque fois que la dim \(n\) est impair] « (mod. conj.) » est écrit au-dessus de la ligne et relié par un trait à « le » ; « l'antipodisme » est écrit sur un premier mot surchargé

b) Autom. décomposables : deux cycles (dans \(I\)) \(\alpha_1^+\ \alpha_1^+\ \alpha_2\)[…] la page s'achève sur une formule biffée de hachures, illisible

60\(-, 6\) \(+, 6\) \(+, 6\) \(-, 6\)

dans la marge gauche, devant un trait vertical, un signe et un nombre en face de chaque cas : « \(-, 6\) », « \(+, 6\) », « \(+, 6\) », « \(-, 6\) », comme à la page 59 (« \(+, 8\) », « \(-, 8\) ») et plus bas ; la ligne « symétrie autour, composée du préc. avec antip. » est écrite sur une première ligne biffée et récrite, en partie illisible

c) Autom. décomposables à trois cycles (déterminé par \(\alpha_1^+\) et \(\alpha_1^-\), \(\alpha_1^+ + \alpha_1^- = 3\))

\(+, 1\) \(-, 3\) \(+, 3\) \(-, 1\)

les deux « symétries » des cas 2°) et 3°) sont écrites à droite, reliées aux formules par un trait courbe ; « par rapport à » est une lecture incertaine

En tout il y a 10 classes ? (\(10 = 2 + 4 + 4\)) le « 0 » de « 10 » est repassé sur un premier chiffre

un trait horizontal barre la page ; ce qui suit est la « Prop » dont la page 61 tire deux corollaires

Prop Soit \(u\) un automorphisme de \(C\) tel que pour tout sommet \(x\), on ait \(ux = \pm x\). Alors [(si \(n \geqslant 3\))] \(u\) est l'identité ou l'antipodisme.

Donc \[ \mathrm{Aut}(C)/(\pm 1) \hookrightarrow \mathrm{Aut}\bigl(\Phi_0(C)/\sigma\bigr) \] donc si \(C\) de dim impaire \[ \mathrm{Aut}^+(C) \hookrightarrow \mathrm{Aut}\bigl(\Phi_0(C)\bigr) \] un trait vertical dans la marge accompagne l'énoncé ; « (si \(n \geqslant 3\)) » est écrit au-dessus de la ligne et relié à « \(u\) est » ; \(\Phi\) est son I barré ; sous la première flèche, un court mot suivi d'un signe \(=\) doublement souligné, « l'\(=\) », peu clair