Fonds Grothendieck, cote n° 76, pages 21–40

la page continue la fin de la page 20 (réalisation topologique de D_* comme limite inductive de simplexes types) donc |D_*| est aussi la réalisation topologique de l'ens quasi-simplicial D_*.

L'ens ordonné D_* a la propriété suivante

(a) \forall\, d \in D_*, l'ens ordonné D_*(d) = \lbrace \delta \in D_* \mid \delta \leqslant d \rbrace est isomorphe à un \mathfrak{P}^*(I_d), pour I_d ens fini (déterminé à isom. près comme l'ens des él. minimaux de D_*(d), ou encore l'ens des éléments minimaux de D_* — i.e. des él. de D_0 — majorés par d) la lettre (a) est cerclée ; il renvoie ensuite aux conditions cerclées (a), (b), (c), (d), données ici entre parenthèses

Mais comment exprimer l'ordre total des I_d (d \in D_*) en termes d'une structure q-simpl. sur l'ens ordonné D_* ? [Souvent elle sera induite par une structure d'ordre (pas total) sur D_0, ens des él. minimaux de D_*.] La donnée de cet ordre total, avec la condition que pour d' < d, l'ordre total de I_{d'} est induit par celui de I_d, équivaut : à la donnée de l'ens. quasi-simplicial D_*. On va examiner des conditions sur D_* moyennant lesquelles les ordres totaux des I_d (d \in D_*) sont bien induits par un ordre unique sur D_0. un double trait vertical au crayon bleu, dans la marge gauche, signale les trois dernières lignes de ce paragraphe

Considérons

D_0 \;\overset{\partial_0}{\underset{\partial_1}{\leftleftarrows}}\; D_1 \;\overset{\partial_0,\ \partial_1,\ \partial_2}{\Lleftarrow}\; D_2 deux flèches \partial_0, \partial_1 de D_1 vers D_0, trois flèches \partial_0, \partial_1, \partial_2 de D_2 vers D_1

Considérons sur D_0 la relation

x_0 \prec y_0 \;\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\; \exists\, z_1 \in D_1 \text{ t.q. } x_0 = \delta_0(z_1),\ y_0 = \delta_1(z_1) il note \prec (un « < » arrondi) la relation nouvelle sur D_0, et < l'ordre de D_* ; les bords \partial_i de la page 21 deviennent ici \delta_i la condition et x_0 < x_0 dans l'« » l'insertion est au crayon bleu, de même que le crochet qui ouvre la définition

~~Est-t-on transitivité cette relation \exists~~

(2°) La relation \prec ~~est bien~~ sur D_0 est transitive. ? Oui si on suppose satisfaite la condition suivante le « 2° » est cerclé

(2 bis) L'application canonique D_2 \xrightarrow{(\delta_2, \delta_0)} (D_1, \delta_1) \times_{D_0} (D_1, \delta_0) est surjective, « 2 bis » est cerclé, au-dessus d'un autre numéro cerclé, noirci

une fonction « dimension » \delta et on exige (pour x_0 \prec y_0) \delta(x_0) < \delta(y_0) note en diagonale au crayon bleu dans le coin supérieur gauche, encadrée, reliée par un trait à « x_0 \prec y_0 » en tête de page

En effet si x_0 \prec y_0 et y_0 \prec z_0, i.e. x_0 = \delta_0(z_1),\ y_0 = \delta_1(z_1),\ \struck{y_0} = \delta_0(z'_1),\ z_0 = \delta_1(z'_1), \exists\, u_2 \in D_2 avec z_1 = \delta_2(u_2), z'_1 = \delta_0(u_2), posons alors z''_1 = \delta_1(u_2), on a \delta_0(z''_1) = \delta_0\delta_1(u_2) = \delta_0\delta_2 u_2 = \delta_0(z_1) = x_0, \quad \delta_1(z''_1) = \delta_1\delta_1(u_2) = \delta_1\delta_0(u_2) = \delta_1(z'_1) = z_0, donc x_0 \prec z_0, cqfd. ~~Je dis que la relation de~~ les identités \delta_0\delta_1 = \delta_0\delta_2 et \delta_1\delta_1 = \delta_1\delta_0 sont écrites telles quelles

préordre Ainsi, posant x_0 \preccurlyeq y_0 \;\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\; x_0 = y_0 \text{ ou } x_0 \prec y_0 (moyennant (2°)), on trouve une relation de ~~pré~~ordre dans D_0, c'est une relation d'ordre, car x_0 \prec y_0 et y_0 \prec x_0 sont incompatibles sinon x_0 \prec x_0 i.e. \exists\, z_1 avec \delta_0(z_1) = \delta_1(z_1) = x_0 impossible par (1). note de la marge gauche, reliée par une accolade ; le « 1 » est cerclé et renvoie à la condition (1) de la page 20 Ceci posé, si d \in D_*, on voit que la relation d'ordre sur I_d = \lbrace x \in D_0 \mid x < d \rbrace est induite par la relation précédente. En effet, si x, y \in D_0, x, y < d, si on a x < y dans I_d, on a x \prec y, i.e. l'inclusion I_d \hookrightarrow D_0 est strictement croissante, d'où on déduit facilement (l'ordre de I_d étant total) et D_0 étant ordonné (voir paragraphe précédent) que l'ordre de I_d est induit par celui de D_0.

Cet ordre sur D_0 satisfait la condition (b) Si x_0 \prec y_0 (x_0, y_0 \in D_0) z \in D_*, x_0 < z, y_0 < z. suite de la note de la marge gauche ; le « b » est cerclé ; un mot biffé, avant « z \in D_* », est peut-être un \exists

Inversement, soit D_* un ens. ordonné satisfaisant (a) ci-dessus. Donnons-nous sur D_0 (ens des él. minimaux de D_*) une structure d'ordre (pas seulement de préordre) notée x \preccurlyeq y, ~~induisant~~ satisfaisant (b) ci-dessus et de plus ~~vérifiant que~~ (c) Elle induit sur I_d ~~(d \in D_*)~~ = \lbrace x \in D_0 \mid x \leqslant d \rbrace un ordre total ~~qui~~ ce dernier sera évidemment fonctoriel ~~pour ordonné (pour l'ordre induit par)~~ en d, de sorte que D_* définit un foncteur covariant \underline{D}_* \to \Delta, qui est fibrant, à fibres discrètes — donc associé à un foncteur D_* : \Delta^\circ \to (\mathrm{Ens}), et D_0 = D_*(\Delta_0) (plus généralement D_n = D_*(\Delta_n) est l'ens des d \in D_* tels que \operatorname{card}(I_d) = n+1, i.e. I_d \simeq \Delta_n), et D_* satisfait évidemment (1). les lettres des conditions (a), (b), (c) et le chiffre (1) sont cerclés

à gauche du paragraphe suivant, un schéma de deux flèches verticales opposées (vers le bas, vers le haut) entre les deux classes d'objets :

Ens. quasi-simpliciaux D_* satisfaisant (1) et (2)

\downarrow \qquad \uparrow

Ens ordonnés D_* satisfaisant (a) et munis d'une relation d'ordre sur D_0 = ens des él. minimaux de D_*, satisfaisant les conditions (b) et (c)

Soient donc x_0, y_0 \in D_0 tels que x_0 \prec_* y_0 i.e. \exists\, z_1 \in D_1, x_0 = \delta_0(z_1), y_0 = \delta_1(z_1) avec z_1 \in D_1. Donc I_{z_1} = \lbrace x_0, y_0 \rbrace, et par définition de \delta_0, \delta_1, x_0 est le 1er él. de I_{z_1} pour l'ordre (total) induit par D_0, y_0 le deuxième, i.e. on a x_0 \prec y_0. Inversement, supposons x_0 \prec y_0, ~~donc~~ \exists\, z \in D_* tel que x_0 < z, y_0 < z — on aura z \in D_n avec n \geqslant 1, x_0, y_0 él. distincts de I_z, donc aussi x_0 \prec y_0 pour il distingue ici \prec_* (l'astérisque sous le signe), la relation définie par la structure quasi-simpliciale comme à la page 22, de \prec, l'ordre donné sur D_0

l'ordre induit par (D_0, \prec), ~~ce qui~~ correspond à une morphisme \sigma : \Delta_1 \to \Delta_n, telle que, posant z_1 = \sigma^*(u), on ait x_0 = \delta_0(z_1), y_0 = \delta_0(z_1), i.e. on a x_0 \prec_* y_0. le second \delta_0 est écrit tel quel ; on attend \delta_1, comme à la page 23 Ainsi l'ordre \prec donné : l'ordre sur D_0 (satisfaisant (b)) se récupère : partir de la donnée quasi-simpliciale D_* qu'il définit, comme étant \prec_*.

Rmq Supposons donné l'ens ordonné D_*, satisfaisant (a), et supposons qu'il existe un ordre \omega sur D_0 satisfaisant (b). Alors l'ordre opposé \omega^\circ satisfait également (b), mais donne lieu à une autre loi quasi-simpliciale sur la famille des D_n = \lbrace d \in D_* \mid \operatorname{card} I_d = n+1 \rbrace (sauf si D_1 = 0 i.e. l'ordre de D_* est discret). Néanmoins, comme les réalisations top. des deux ens. quasi-simpliciaux obtenus sont can. homéom. à la réalisation top |D_*| de l'ens ordonné D_*, (qui, elle, ne dépend pas du choix d'un ordre sur D_0) on trouve ~~que les 2~~ un homéom. can ~~ens quasi-simpliciaux~~ |D_*^\omega| \simeq |D_*^{\omega'}| il écrit \omega' dans la formule finale pour l'ordre opposé noté \omega^\circ plus haut

Ex 1 Soit \mathfrak{X} un ens ordonné. Soit D_* l'ens des parties finies de \mathfrak{X}, totalement ordonnées par l'ordre induit (« drapeaux de \mathfrak{X} ») ; on ordonne D_* par inclusion. Alors D_0 (ens des points) s'identifie à \mathfrak{X}, il est ~~ordonné~~ donc muni d'une relation d'ordre, et (a) et (b) sont évidemment satisfaits. D'où un ens. quasi-simplicial D_*, et on a des homéom. can. |D_*| \simeq |D_*| \simeq |\mathfrak{X}| la lettre qu'il écrit \mathfrak{X} est un X cursif ; dans la formule, le premier D_* est l'ens. quasi-simplicial, le second l'ens ordonné, qu'il distingue par la forme du D

En fait, les (D_*, \prec) obtenus sont ceux pour lesquels on a, en plus de (a), (b), (c) la condition

(d) \forall\, d \in D_*, on a d = \operatorname{Sup}(I_d)

i.e. l'ens ordonné D_* est l'ens des simplexes non vides d'une multiplicité simpliciale, ~~où l'ens quasi-simplicial des~~ D_*. Donc il faut prendre les multiplicités simpliciales avec une structure d'ordre sur l'ens \mathfrak{X} = D_0 des sommets, induisant un ordre total sur chaque simplexe, et ~~tel que~~ (parmi les parties finies non vides) (sur les simplexes seulement…

[Notons aussi que ~~moyennant (c) + (d) équivaut~~ (a) + (d) (i.e. D_* correspond à une multiplicité simpliciale) équivaut : (a') + (d), avec

(a') Dans D_* les Sup (finis) majorés existent…] les lettres (a), (b), (c), (d), (a') sont cerclées

Ex 2 Soit G un groupe, et soit (\sigma_i)_{0 \leqslant i \leqslant n} une système d'éléments de G, tels que \sigma_i, \sigma_j commutent pour ~~i < j~~ n \geqslant j \geqslant i+2 \geqslant i \geqslant 0. ~~Groupes, et~~ pour toute partie finie H de \Delta_n = [0,n], soit N_H = ss-groupe de G engendré par \lbrace \sigma_i \mid i \in \Delta_n \setminus H \rbrace. Donc H \subset H' \Rightarrow N_{H'} \subset N_H. Soit X un G-ens et soit D(H) = X / N_H \qquad \text{(drapeaux de type } H\text{)} donc H \subset H' \Longrightarrow i^*_{H,H'} : D(H') \to D(H), H \mapsto D(H) foncteur contravariant \underline{\mathfrak{P}(\Delta_n)}^\circ \longrightarrow (\mathrm{Ens}) Soit D_* = \coprod_{H \in \mathfrak{P}(\Delta_n)} D(H) relation d'ordre : d \in D(H), d' \in D(H'), d \leqslant d' \;\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\; H \subset H' \text{ et } d = i^*_{H,H'}(d'). (on voit, D_* satisfait la condition (a) : si d \in D_*, D_*(d) \simeq \mathfrak{P}(I_d) (où I_d \simeq H si d \in D(H))).

Les él. minimaux sont ceux de D_0 = \coprod_{0 \leqslant i \leqslant n} \underbrace{D(\lbrace i \rbrace)}_{X / (\sigma_0 \cdots \widehat{\sigma}_i \cdots \sigma_n)} On va introduire sur D_0 une relation d'ordre (pour l'instant on n'a pas utilisé la structure d'ordre total

sur l'ens d'indices \Delta_n pour les \sigma_i \in G]

Si x_i \in D(\lbrace i \rbrace), y_j \in D(\lbrace j \rbrace), on pose x_i \prec y_j ssi i < j et \exists\, z \in D_* tel que x_i, y_j \leqslant z. ~~Cette relation d'ordre satisfait (b) (et (c) (par définition) évidemment)~~

Cette relation est-elle transitive ? Supposons i < j < k, x_i \in D(\lbrace i \rbrace), y_j \in D(\lbrace j \rbrace), z_k \in D(\lbrace k \rbrace), x_i, y_j provenant de u_{ij} \in D(\lbrace i, j \rbrace), y_j, z_k provenant de v_{jk} \in D(\lbrace j, k \rbrace). Donc (u_{ij}, v_{jk}) est un élément de D(\lbrace i, j \rbrace) \times_{D(\lbrace j \rbrace)} D(\lbrace j, k \rbrace) on serait content qu'il provienne d'un élément w_{ijk} \in D(\lbrace i, j, k \rbrace), car ce dernier définirait un élément x_{ik} \in D(\lbrace i, k \rbrace) majorant x_i et z_k. Donc il suffit que D(\lbrace i, j, k \rbrace) \xrightarrow{\text{épi}} D(\lbrace i, j \rbrace) \times_{D(\lbrace j \rbrace)} D(\lbrace j, k \rbrace). « épi » est entouré, au-dessus de la flèche Or je dis plus généralement ceci.

Lemme Soient H, H' \subset \Delta_n tels que H \cap H' \neq \emptyset et H \cap H' soit un segment final de l'ens tot. ordonné H, un segment initial de l'ens tot ordonné H'. Considérons l'application canonique D(H \cup H') \longrightarrow D(H) \times_{D(H \cap H')} D(H') Celle-ci est surjective. l'indice du produit fibré, d'abord écrit puis noirci, est récrit en dessous : D(H \cap H')

Dém Soit pour K \subset \Delta_n, G_K = ss-groupe de G engendré par \lbrace \sigma_i \mid i \in K \rbrace. Soient ~~K = \complement H, K' = \complement H'~~ K = \Delta_n \setminus H, K' = \Delta_n \setminus H', donc K \cup K' = \Delta_n - H \cap H', la flèche envisagée est X / G_{K \cap K'} \xrightarrow{\;p\;} X/G_K \times_{X/G_{K \cup K'}} X/G_{K'} sous X/G_{K \cap K'}, une flèche verticale monte de X, et une flèche oblique p' va de X au produit fibré Il suffit de prouver que p' est surjectif. Je dis que l'on a G_{K \cup K'} = G_K \cdot G_{K'} (d'où résultat s'ensuit aussitôt).

Or soit i le dernier él. ~~de K~~ de H de H \cap H' i \in H \cap H', i \notin K \cup K', donc ~~K_0 = K \cap [0, i-1] \subset K'~~

OPS H \cap H' \neq H, H' K \cup K' = (K \cup K') \cap \underbrace{\complement \lbrace i \rbrace}_{[0, i-1] \sqcup [i+1, n]} = \overbrace{(K \cup K') \cap [0, i-1]}^{K'_0} \sqcup \underbrace{(K \cup K') \cap [i+1, n]}_{K_0} le dernier sommande est \subset K car [i+1, n] \subset K, le premier est \subset K', car pour les j \leqslant i-1, si j \notin H \cap H' (i.e. j \in K \cup K') j \notin H' , car H \cap H' est segment initial de H', d'extrémité i, donc si j \in H' on aurait j \in H donc j \in H \cap H') donc j \notin H'.

~~Donc G_{K \cup K'} \subset G_K \cdot G_{K'}, d'où cqfd~~

Or G_{K_0} et G_{K'_0} commutent donc G_{K \cup K'} \subset \underbrace{G_{K_0} \cdot G_{K'_0}}_{\text{ss-gr}} \subset G_K \cdot G_{K'} \quad \text{cqfd.}

On a utilisé : a) le dernier él. de H est dans H' ; b) H \cap H' est un segment initial de H' note oblique dans la marge gauche, sous un petit croquis de deux segments qui se chevauchent, le point i marqué à la fin du premier

Examinons, en général

a) Conditions pour que (2 bis) soit satisfait [en termes d'ens. ordonnés (D_*, \prec sur D_0)] et plus gén. que l'on ait surjectivité des D(\Delta_n) \longrightarrow D(H) \times_{D(H \cap H')} D(H') pour \Delta_n = H \cup H', H \cap H' segment final de H, initial de H'. « 2 bis » est cerclé ; la source de la flèche, D(\Delta_n), est écrite sur une première lettre surchargée

b) La décomposition cellulaire de D_* associée à l'ordre sur D_0. Essayons ~~D_*,~~ (D_*, <, \prec) de reconstituer à l'aide de la structure d'espace topologique ~~cellulaire~~ avec décomposition en « cellules » (et coniques…) et structures coniques… un double trait vertical au crayon, dans la marge, en face du début de b) ; le reste de la page est blanc

Supposons donné, pour toute partie finie A \neq \emptyset de \mathbf{N}, un ens D(A) (« drapeaux de type A ») et pour toute inclusion A \subset B, une application « restriction » D(B) \to D(A), avec conditions d'identité et de transitivité — ce qui signifie qu'on a un ~~foncteur~~ préfaisceau d'ens ~~de la~~ sur la cat. C associée à l'ens ordonné des parties finies de \mathbf{N}, i.e. D \in \mathrm{Ob}\, \widehat{C}.

~~Donnons/Soit d'autre part \Delta_n = [0,n] \subset \mathbf{N} (pour n \in \mathbf{N}), et soit \sigma : \Delta_n \hookrightarrow \Delta_m~~ Soit \Theta(D) = \coprod_{\substack{A \subset \mathbf{N} \\ \text{et } A \text{ fini}}} D(A) \Theta_n(D) = \coprod_{\substack{A \subset \mathbf{N} \\ \operatorname{card} A = n+1}} D(A) \qquad n \in \mathbf{N} donc \Theta(D) = \coprod_{n \in \mathbf{N}} \Theta_n(D)

Dans \Theta(D) on a une relation d'ordre, en posant \underset{D(A)}{d} \;\leqslant\; \underset{D(A')}{d'} \;\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\; A \subset A' \text{ et } d = i^*_{A,A'}(d') sous d et d', un signe d'appartenance couché renvoie à D(A) et D(A')

[On peut dire que D \in \mathrm{Ob}\, \widehat{C} définit une catégorie fibrée sur C : fibres discrètes, et cette catégorie est associée à un ens ordonné, qui est \Theta(D) ; on a une application croissante canonique \Theta(D) \longrightarrow \mathfrak{P}_f(\mathbf{N})

Nous nous intéressons notamment au cas où les D(A) sont finis, et vides sauf un ens fini d'entre eux, i.e. \exists\, N \in \mathbf{N} tel que A \not\subset [0, N] \Longrightarrow D(A) = \emptyset. Je remarque que \Theta(D) est fini. La réalisation topologique |\Theta(D)| de \Theta(D) ~~notée~~ est aussi notée |D| et s'appelle réalisation topologique de D. C'est un espace à triangulation finie, et \Theta(D) en tant qu'ens ordonné se réalise comme ensemble de parties de |D|.

On va donner une deuxième description de |D|, en définissant certaines opérations simpliciales entre les \Theta_n(D). Posons \Delta_n = [0, n] \subset \mathbf{N}, soit \sigma : \Delta_n \hookrightarrow \Delta_m une application strictement croissante. Si A \in \mathfrak{P}f_{m+1}(\mathbf{N}), on a une unique bij. croissante \Delta_m \xrightarrow[\sim]{\;u_A\;} A d'où une partie finie de card n+1 , B = u_A\sigma(\Delta_n), de A, et on considère \sigma^* : \lbrace D(A) \to D(B) \hookrightarrow \Theta_n(D) \qquad (B = u_A \sigma(\Delta_n)) \mathfrak{P}f_{m+1}(\mathbf{N}) : les parties de \mathbf{N} à m+1 éléments ; l'accolade ouvrante devant D(A) est de lui, elle annonce la définition de \sigma^* par morceaux, A variable

donné par \sigma^* = i^*_{B,A}. Faisant varier A dans \mathfrak{P}f_{m+1}(\mathbf{N}), on trouve \sigma^* : \Theta_m(D) \longrightarrow \Theta_n(D) avec transitivité évidente. Donc les \Theta_n(D) (n \in \mathbf{N}) forment un ens. quasi-simplicial (op. simpliciales définies par applications strictement croissantes) i.e. définissent un foncteur \underbrace{(\tfrac{1}{2}\mathrm{simpl}^*)^\circ}_{\substack{\text{ens.\ finis tot}^{\text{t}} \\ \text{ordonnés, avec} \\ \text{appl.\ str.\ cr.}}} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) « \frac{1}{2}simpl » : son abréviation pour « semi-simplicial » ; la légende est écrite sous le symbole, sans accolade

[Tout ceci marche en remplaçant \mathbf{N} par un ens ordonné quelconque N, \mathfrak{P}f(\mathbf{N}) par l'ens \mathrm{Dr}(N) des parties finies totalement ordonnées de N, i.e. l'ens des drapeaux de N, qui est aussi l'ens ordonné associé à la cat. fibrée définie par le au foncteur (\tfrac{1}{2}\mathrm{simpl}^*) \xrightarrow{\;\varphi_N\;} \mathrm{Ens} donné par \varphi_N(\Delta_n) = \mathrm{Mon.croiss}(\Delta_n, N)

\begin{tikzcd} \mathrm{Dr}(N) \arrow[d, "\text{appl.\ str.\ croissante}"] \\ \tfrac{1}{2}\mathrm{simpl} \end{tikzcd}

On a donc, ~~des applications strictement croissantes~~ ~~pour un foncteur~~ D : \underline{\mathrm{Dr}(N)}^\circ \longrightarrow \mathrm{Ens}, définissant une catégorie fibrée sur \underline{\mathrm{Dr}(N)} associée à un ens ordonné \Theta(D), une appl. strictement croissante \Theta(D) \to \mathrm{Dr}(N), d'où appl. composée

\begin{tikzcd} \Theta(D) \arrow[d] \\ \mathrm{Dr}(N) \arrow[d] \\ (\tfrac{1}{2}\mathrm{simpl})^* \end{tikzcd}

la page s'arrête là, aux deux tiers vides

~~Divers~~ Cartes cellulaires n-dim et groupes cartographiques. fermées encadré de sa main en haut à droite de la page, souligné ; le dernier mot, écrit sous le trait, est douteux. La page ouvre une nouvelle suite, sans numéro de sa main

X_{-1} = \emptyset \subset X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_{n-1} \subset X_n = X \qquad \text{« filtration } n\text{-admissible »} (pour 0 \leqslant i \leqslant n)

a) ~~Déc~~ (X_i, X_{i-1}) = \widetilde{X}_i est ~~une réunion disjointe~~ somme top. de boules de dim i, dont la partie manquée \Xi_i (image inverse de X_{i-1} par \widetilde{X}_i \to X_i) est le bord

\begin{tikzcd} \widetilde{X}_i \arrow[d, "p_i"'] & \supset & \partial\widetilde{X}_i \arrow[d, "q_{i-1}"] \\ X_i & \supset & X_{i-1} \end{tikzcd}

il note \operatorname{Déc}(X_i, X_{i-1}) = \widetilde{X}_i la « décomposition » de X_i le long de X_{i-1}, comme en batch 1 ; la lettre qu'il écrit pour la partie manquée ressemble à un \Xi

(\Rightarrow X_i - X_{i-1} est une somme top. de boules ouvertes (de dim i)), enfin \widetilde{X}_i \to X_i est morphisme fini.

b) (pour 1 \leqslant i \leqslant n) ~~la filtration~~ sur \partial\widetilde{X}_i image inverse de la filtration de \emptyset \subset X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_{i-1} est (i-1)-admissible (NB le cas i = 1 est trivial), et les applications q_i^{-1}(X_j) - q_i^{-1}(X_{j-1}) \to X_j - X_{j-1} (0 \leqslant j \leqslant i-1) sont étales.

Ceci donne une définition récurrente de « filtration n-admissible » pour n \geqslant 0 ~~filtration n-admissible \Leftrightarrow (\emptyset \subset X_0 \subset \cdots \subset X_{n-1}) est (n-1)-admissible, \widetilde{X}_n de n-boules fermées…~~ ce passage, dans la colonne de droite, est barré de plusieurs traits obliques

(0) Filtration 0-admissible : \emptyset \subset X_0 = X : X discret (néc. et suffisant si déf)

(1) Filtration 1-admissible : \emptyset \subset X_0 \subset X_1 : X_0 discret, \operatorname{Déc}(X_1, X_0) = \widetilde{X}_1 somme top. de segments, dont partie manquée est \partial\widetilde{X}_1, et \widetilde{X}_1 \to X_1 propre \Leftrightarrow (X_0, X_1) 1-complexe top

… les chiffres (0) et (1) sont cerclés

Filtration n-admissible : se déduisent de filtration (n-1)-admissible \emptyset \subset X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_{n-1} en attachant à X_{n-1} un espace \widetilde{X}_n réunion disjointe de n-boules fermées, par une application continue finie \partial\widetilde{X}_n \xrightarrow{\;q_n\;} X_{n-1} telle que l'image inverse de la filtration donnée de X_{n-1} soit une filtr. n-admissible de \partial\widetilde{X}_n, et« n-admissible » tel qu'écrit ; par b) on attend (n-1)-admissible

donne lieu à des applications étales q_n^{-1}(X_i) - q_n^{-1}(X_{i-1}) \longrightarrow X_i - X_{i-1} \qquad (0 \leqslant i \leqslant n-1)

Morphisme d'espaces à n-filtrations régulières f : \underset{\substack{\| \\ X_n \\ \cup \\ \vdots}}{X} \longrightarrow \underset{\substack{\| \\ Y_n \\ \cup \\ \vdots}}{Y} a) f fini

b) f^{-1}(Y_i) = X_i (0 \leqslant i \leqslant n)

c) X_i - X_{i-1} \to Y_i - Y_{i-1} est étale (donc un revêt. étale)

Catégorie \mathcal{F}_n des espaces à n-filtrations régulières, ss-catégorie pleine \mathcal{F}_n^\circ des espaces vérifiés à n-filtration régulière. il écrit « régulière » là où la page 35 disait « admissible » ; les deux mots désignent visiblement la même notion

NB X_{n-1} \to X_{n-1}, X_{n-1} \to \widetilde{X}_i \supset , X_{n-1} des foncteurs \mathcal{F}_i \mathcal{F}_n dans \mathcal{F}_i^\circ (\widetilde{X}_i vérifiant \partial\widetilde{X}_i \to X_{i-1} homéomorphe…) note oblique dans la marge gauche, cernée d'un trait courbe, en grande partie illisible

G_n groupe n-cartographique (engendré par \sigma_0, \sigma_1, \ldots, \sigma_n avec \sigma_i^2 = 1 (0 \leqslant i \leqslant n), \sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i si n \geqslant j \geqslant i+2, i \geqslant 0 (condition si n \geqslant 2))

Par récurrence sur n on va définir des foncteurs

\begin{tikzcd} \mathcal{F}_n^\circ \arrow[r, "E_n^\circ"] \arrow[d, hook] & G_n\text{-ens} \arrow[d, "\text{oubli}"] \\ \mathcal{F}_n \arrow[r, "E_n"] & G_{n-1}\text{-ens} \end{tikzcd}

(n \geqslant 1) « n \geqslant 1 » est doublement souligné ; le signe à gauche entre \mathcal{F}_n^\circ et \mathcal{F}_n est un \cap (inclusion)

(1) Cas n = 1 E_n(X_1) = \pi_0(\widetilde{X}_1^{\,\text{or}}) = ens des arcs de X_1, revêt. orienté de \widetilde{X}_1, = \partial\widetilde{X}_1 ; \sigma_0 = changement d'orientation ; \sigma_1(a_0) = a'_0 avec q_0(a_0) = q_0(a'_0), a'_0 \neq a_0, échange les pts des fibres de \partial\widetilde{X}_1 \to X_0 ; E_n^\circ(X_1) = \partial\widetilde{X}_1 \to \pi_0(\partial\widetilde{X}_1) ; a_0 \in \partial\widetilde{X}_1, a_1 \in \pi_0(\widetilde{X}_1), a_0 \in a_1, échangeant les pts des fibres de … tout le bas de la page, depuis « (1) Cas n = 1 » (le 1 cerclé), est barré de trois longs traits obliques et surchargé ; on n'en donne que ce qui se lit. À gauche, un petit diagramme \widetilde{X}_1 \supset \widetilde{X}_0 = \partial\widetilde{X}_1 au-dessus de X_1 \supset X_0, flèches p_1 et q_0, et le dessin d'une boucle fermée sur un point

(avec diagrammes commutatifs).

(1) n = 1 On pose pour X_1 \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{F}_n E_1(X_1) = \partial\widetilde{X}_1 \simeq \pi_0(\partial\widetilde{X}_1) \longrightarrow \pi_0(\widetilde{X}_1) \simeq \operatorname{arcs}(X_1) « \simeq arcs(X_1) » est écrit sous \pi_0(\widetilde{X}_1), avec un signe \simeq vertical ; le « 1 » initial est cerclé Les fibres de ce morphisme sont toutes de cardinal 2, d'où permutation \sigma_0 commutant à ce morphisme, sans pt fixe (« permutation caractéristique » de ce morphisme). Si X_1 est une 1-variété, l'appl.

\begin{tikzcd} E_1(X_1) = \partial\widetilde{X}_1 \arrow[d] \\ X_0 \end{tikzcd}

a aussi ses fibres de card. 2, d'où perm. car. de la notée \sigma_1.

(2) Cas n \geqslant 2. On pose E_n(X_n) = E^\circ_{n-1}(\partial\widetilde{X}_n) \quad (= E_{n-1}(\partial\widetilde{X}_n)) Muni de \sigma_0, \ldots, \sigma_{n-1} i.e. op. de G_{n-1} par hyp. de récurrence. Fonctorialité évidente, comme composé de foncteurs \mathcal{F}_n \xrightarrow{\partial} \mathcal{F}_{n-1}^\circ \xrightarrow{E^\circ_{n-1}} (G_{n-1}\text{-ens}). Si X_n est une n-variété, l'application

\begin{tikzcd} E_{n-1}(\partial\widetilde{X}_n) \arrow[d] \\ E_{n-1}(X_{n-1}) \end{tikzcd}

(c'est un G_{n-2}-hom., i.e. commute à \sigma_1, \ldots, \sigma_{n-2}) vérifie a des fibres de cardinal 2, l'hom. can. noté \sigma_n, il commute à \sigma_1, \ldots, \sigma_{n-2}. OK. Fonctorialité claire encore dans \mathcal{F}_n^\circ « vérifie » est écrit dans la marge gauche, devant une grande parenthèse qui embrasse le diagramme et la ligne suivante ; « (2) » est cerclé

Th. 1 Soit n \geqslant 1. Le foncteur E_n^\circ passe à la catégorie isotypique \mathcal{F}_n^\circ, et ~~induit~~ un foncteur pl. fidèle \mathcal{F}_n^\circ \longrightarrow (G_n\text{-ens}) (dont l'image essentielle est formée des G_n-ens. tels que les \sigma_i (0 \leqslant i \leqslant n) y opèrent ~~librement~~ ~~sans pts fixes~~. « pl. fidèle » est souligné deux fois ; un trait vertical dans la marge gauche accompagne l'énoncé ; la parenthèse n'est pas refermée

Considérons X_n \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{F}_n. On lui associe une cascade d'ens. à opérateurs \begin{array}{lll} R_n(X_n) \overset{\text{déf}}{=} E_n(X_n) & G_{n-1}\text{-ens} & \sigma_0 \cdots \sigma_{n-1} \\ R_{n-1}(X_n) = E_{n-1}(X_{n-1}) & G_{n-2}\text{-ens} & \sigma_0 \cdots \sigma_{n-2} \\ \cdots & & \\ R_1(X_n) = E_1(X_1) & G_0\text{-ens} & \sigma_0 \\ R_0(X_n) = E_0(X_0) \overset{\text{déf}}{=} X_0 & G_{-1}\text{-ens} & \text{i.e.\ ensemble} \end{array} après E_n(X_n), sur la première ligne, un trait qu'on pourrait lire « = 1 » ; on ne le reproduit pas

De plus on a une cascade d'applications R_n(X_n) \to R_{n-1}(X_n) \to \cdots \to R_0(X_n) ~~définies~~ \begin{array}{ccc} R_i(X_n) & \longrightarrow & R_{i-1}(X_n) \\ \| & & \| \\ E_i(X_i) & & E_{i-1}(X_{i-1}) \\ \| & & \\ E^\circ_{i-1}(\partial\widetilde{X}_i) = E_{i-1}(\partial\widetilde{X}_i) & & \end{array} (hom. de G_{i-2}-ens, commutant à \sigma_0 \cdots \sigma_{i-2}) se déduit de \partial\widetilde{X}_i \to X_{i-1} par application du foncteur E_{i-1}.

Th 2 Soit n \geqslant 0. ~~Soit~~ (Casca) la catégorie des « cascades d'ens. à op. » sous les groupes G_{n-1}, G_{n-2}, \ldots, G_0, G_{-1} = \lbrace 1 \rbrace, on a donc un foncteur un trait vertical dans la marge gauche commence avec l'énoncé du Th 2

\underset{\substack{| \\ \text{catégorie isotopique} \\ \text{déduite de } \mathcal{F}_n}}{\mathcal{F}_n} \xrightarrow{\;\varphi_n\;} (\mathrm{Casc})_n Ce foncteur est pl. fidèle. le trait vertical de la marge gauche se prolonge jusqu'ici : c'est la fin de l'énoncé du Th 2

Je faut aussi trouver le un foncteur . (G_n\text{-ens}) \xrightarrow{\;\psi_n\;} (\mathrm{Casc})_n rendant commutatif le diagramme

\begin{tikzcd} \mathcal{F}_n^\circ \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & (G_n\text{-ens}) \arrow[d, "\psi_n"] \\ \mathcal{F}_n \arrow[r] & (\mathrm{Casc})_n \end{tikzcd}

l'objet en haut à droite, surchargé, se lit sans doute « G_n-ens » ; la flèche horizontale supérieure et la verticale de gauche partent d'un crochet (inclusions)

Soit donc X_n \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{F}_n^\circ

Th. 3 \left\lbrace \begin{array}{ll} R_n(X_n) \simeq E_n^\circ(X_n) & G_{n-1}\text{-ens} \\ R_{n-1}(X_n) \simeq E_n^\circ(X_n)/\sigma_n & G_{n-2}\text{-ens} \\ R_{n-2}(X_n) \simeq E_n^\circ(X_n)/(\sigma_n, \sigma_{n-1}) & G_{n-3}\text{-ens} \\ \vdots & \\ R_1(X_n) \simeq E_n(X_n)/(\sigma_n, \ldots, \sigma_2) & \\ R_0(X_n) \simeq E_n(X_n)/(\sigma_n, \ldots, \sigma_2, \sigma_1) & \end{array} \right. (NB. on oublie l'opération \sigma_n)écrit à droite de la première ligne avec morphismes de transition définis par passage au quotient sans plus une petite coche dans la marge gauche, en face de cette ligne

On voudrait trouver des foncteurs (adjoints ?) en sens inverse

\begin{tikzcd} \mathcal{F}_n^\circ \arrow[d, hook] & G_n\text{-ens} \arrow[l] \arrow[d, dashed] \\ \mathcal{F}_n & (\mathrm{Casc})_n \arrow[l, "\psi_n"] \end{tikzcd}

On définira \psi_n par récurrence sur n.

(1) n = 0 \psi_0(E_0) = E_0 avec top. discr.

(2) Cas général. \overbrace{E_n \to \underbrace{E_{n-1} \to \cdots \to E_1 \to E_0}_{\substack{\text{définit } X_{n-1} \supset X_{n-2} \supset \cdots \\ \text{par hyp.\ de réc.} \\ X_{n-1} = \psi_{n-1}(C_{n-1})}}}^{C_n} les chiffres (1), (2) sont cerclés ; sur la page, C_{n-1} est aussi marqué par une accolade au-dessus de E_{n-1} \to \cdots \to E_0

On aura \pi_0(\widetilde{X}_n) \simeq E_n / G_{n-1}

\partial\widetilde{X}_n est défini par (E_n avec action de G_{n-1}) par l'hyp. de récurrence X_{n-1} = \psi_{n-1}(C_{n-1}), \qquad \partial\widetilde{X}_n = \psi_{n-1}(\rho_{n-1}(E_n)) \partial\widetilde{X}_n \to X_{n-1} déduit en appliquant \psi_{n-1} à \rho_{n-1}(E_n) \longrightarrow C_{n-1} préciser ce point \rho_{n-1}(E_n) : la cascade déduite de E_n muni de l'action de G_{n-1} ; la lettre \rho est douteuse

Donc on définira \psi_n(C_n) = \text{multicône de } \psi_{n-1}(\rho_{n-1}(E_n) \to C_{n-1}) « multicône » (lecture douteuse) est écrit au-dessus d'un mot biffé illisible

— — Il faudrait donc expliciter en un

Th 4 Description de \psi_n : (\mathrm{Casc})_n \to \mathcal{F}_n, et le cas échéant propriété d'adjonction.