Cote n° 76 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · n-cartes cellulaires : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1977]
Édition de démonstration

21la page continue la fin de la page 20 (réalisation topologique de \(D_*\) comme limite inductive de simplexes types) donc \(|D_*|\) est aussi la réalisation topologique de l'ens quasi-simplicial \(D_*\).

L'ens ordonné \(D_*\) a la propriété suivante

(a) \(\forall\, d \in D_*\), l'ens [ordonné] \(D_*(d) = \lbrace \delta \in D_* \mid \delta \leqslant d \rbrace\) est isomorphe à un \(\mathfrak{P}^*(I_d)\), pour \(I_d\) ens fini (déterminé à isom. près comme l'ens des él. minimaux de \(D_*(d)\), ou encore l'ens des éléments minimaux de \(D_*\) — i.e. des él. de \(D_0\) — majorés par \(d\)) la lettre (a) est cerclée ; il renvoie ensuite aux conditions cerclées (a), (b), (c), (d), données ici entre parenthèses

Mais comment exprimer l'ordre total des \(I_d\) [(\(d \in D_*\))] en termes d'une structure q-simpl. sur l'ens ordonné \(D_*\) ? [Souvent elle sera induite par une structure d'ordre (pas total) sur \(D_0\), ens des él. minimaux de \(D_*\).] La donnée de cet ordre total, avec la condition que pour \(d' < d\), l'ordre total de \(I_{d'}\) est induit par celui de \(I_d\), équivaut : à la donnée de l'ens. quasi-simplicial \(D_*\). On va examiner des conditions [sur \(D_*\)] moyennant lesquelles les ordres totaux des \(I_d\) (\(d \in D_*\)) sont bien induits par un ordre unique sur \(D_0\). un double trait vertical au crayon bleu, dans la marge gauche, signale les trois dernières lignes de ce paragraphe

Considérons

\[ D_0 \;\overset{\partial_0}{\underset{\partial_1}{\leftleftarrows}}\; D_1 \;\overset{\partial_0,\ \partial_1,\ \partial_2}{\Lleftarrow}\; D_2 \] deux flèches \(\partial_0, \partial_1\) de \(D_1\) vers \(D_0\), trois flèches \(\partial_0, \partial_1, \partial_2\) de \(D_2\) vers \(D_1\)

Considérons sur \(D_0\) la relation

22\[ x_0 \prec y_0 \;\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\; \exists\, z_1 \in D_1 \text{ t.q. } x_0 = \delta_0(z_1),\ y_0 = \delta_1(z_1) \] il note \(\prec\) (un « \(<\) » arrondi) la relation nouvelle sur \(D_0\), et \(<\) l'ordre de \(D_*\) ; les bords \(\partial_i\) de la page 21 deviennent ici \(\delta_i\) la condition [et \(x_0 < x_0\) dans l'« […] » […]] […]l'insertion est au crayon bleu, de même que le crochet qui ouvre la définition

Est-t-on transitivité […] cette relation \(\exists\) […]

(2°) La relation \(\prec\) est bien sur \(D_0\) est transitive. ? Oui si on suppose satisfaite la condition suivante le « 2° » est cerclé

(2 bis) L'application canonique \[ D_2 \xrightarrow{(\delta_2, \delta_0)} (D_1, \delta_1) \times_{D_0} (D_1, \delta_0) \] est surjective, « 2 bis » est cerclé, au-dessus d'un autre numéro cerclé, noirci

[…] […] une fonction « dimension » \(\delta\) et on exige (pour \(x_0 \prec y_0\)) \(\delta(x_0) < \delta(y_0)\) […] […] note en diagonale au crayon bleu dans le coin supérieur gauche, encadrée, reliée par un trait à « \(x_0 \prec y_0\) » en tête de page

En effet si \(x_0 \prec y_0\) et \(y_0 \prec z_0\), i.e. \[ x_0 = \delta_0(z_1),\ y_0 = \delta_1(z_1),\ \struck{y_0} = \delta_0(z'_1),\ z_0 = \delta_1(z'_1), \] \(\exists\, u_2 \in D_2\) avec \(z_1 = \delta_2(u_2)\), \(z'_1 = \delta_0(u_2)\), posons alors \(z''_1 = \delta_1(u_2)\), on a \[ \delta_0(z''_1) = \delta_0\delta_1(u_2) = \delta_0\delta_2 u_2 = \delta_0(z_1) = x_0, \quad \delta_1(z''_1) = \delta_1\delta_1(u_2) = \delta_1\delta_0(u_2) = \delta_1(z'_1) = z_0, \] donc \(x_0 \prec z_0\), cqfd. Je dis que la relation de les identités \(\delta_0\delta_1 = \delta_0\delta_2\) et \(\delta_1\delta_1 = \delta_1\delta_0\) sont écrites telles quelles

[préordre] Ainsi, posant \[ x_0 \preccurlyeq y_0 \;\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\; x_0 = y_0 \text{ ou } x_0 \prec y_0 \] (moyennant (2°)), on trouve une relation de préordre dans \(D_0\), c'est une relation d'ordre, car \(x_0 \prec y_0\) et \(y_0 \prec x_0\) sont incompatibles sinon \(x_0 \prec x_0\) i.e. \(\exists\, z_1\) avec \(\delta_0(z_1) = \delta_1(z_1) = x_0\) impossible par (1). note de la marge gauche, reliée par une accolade ; le « 1 » est cerclé et renvoie à la condition (1) de la page 20 Ceci posé, si \(d \in D_*\), on voit que la relation d'ordre sur \[ I_d = \lbrace x \in D_0 \mid x < d \rbrace \] est induite par la relation précédente. En effet, si \(x, y \in D_0\), \(x, y < d\), si on a \(x < y\) dans […] \(I_d\), on a \(x \prec y\), i.e. [l'inclusion] \(I_d \hookrightarrow D_0\) est strictement croissante, d'où on déduit facilement (l'ordre de \(I_d\) étant total) [et \(D_0\) étant ordonné (voir paragraphe précédent)] que l'ordre de \(I_d\) est induit par celui de \(D_0\).

Cet ordre sur \(D_0\) satisfait la condition (b) Si \(x_0 \prec y_0\) (\(x_0, y_0 \in D_0\)) […] […] \(z \in D_*\), \(x_0 < z\), \(y_0 < z\). suite de la note de la marge gauche ; le « b » est cerclé ; un mot biffé, avant « \(z \in D_*\) », est peut-être un \(\exists\)

23Inversement, soit \(D_*\) un ens. ordonné satisfaisant (a) ci-dessus. Donnons-nous sur \(D_0\) (ens des él. minimaux de \(D_*\)) une structure d'ordre (pas seulement de préordre) [notée \(x \preccurlyeq y\)], induisant […] satisfaisant (b) ci-dessus et de plus vérifiant que (c) [Elle induit sur] \(I_d\) (\(d \in D_*\)) \(= \lbrace x \in D_0 \mid x \leqslant d \rbrace\) un ordre total qui [ce dernier] sera évidemment fonctoriel pour ordonné (pour l'ordre induit par) en \(d\), de sorte que \(D_*\) définit un foncteur covariant \(\underline{D}_* \to \Delta\), qui est fibrant, à fibres discrètes — donc associé à un foncteur \(D_* : \Delta^\circ \to (\mathrm{Ens})\), et \(D_0 = D_*(\Delta_0)\) (plus général[ement] \(D_n = D_*(\Delta_n)\) est l'ens des \(d \in D_*\) tels que \(\operatorname{card}(I_d) = n+1\), i.e. \(I_d \simeq \Delta_n\)), et \(D_*\) satisfait évidemment (1). les lettres des conditions (a), (b), (c) et le chiffre (1) sont cerclés

à gauche du paragraphe suivant, un schéma de deux flèches verticales opposées (vers le bas, vers le haut) entre les deux classes d'objets :

Ens. quasi-simpliciaux [\(D_*\)] satisfaisant (1) et (2) \(\downarrow \qquad \uparrow\) Ens ordonnés [\(D_*\)] satisfaisant (a) et munis d'une relation d'ordre sur \(D_0 =\) ens des él. minimaux de \(D_*\), satisfaisant les conditions (b) et (c)

Soient donc \(x_0, y_0 \in D_0\) tels que \(x_0 \prec_* y_0\) i.e. \(\exists\, z_1 \in D_1\), \(x_0 = \delta_0(z_1)\), \(y_0 = \delta_1(z_1)\) avec \(z_1 \in D_1\). Donc \(I_{z_1} = \lbrace x_0, y_0 \rbrace\), et par définition de \(\delta_0, \delta_1\), \(x_0\) est le 1er él. de \(I_{z_1}\) pour l'ordre [(total)] induit par \(D_0\), \(y_0\) le deuxième, i.e. on a \(x_0 \prec y_0\). Inversement, supposons \(x_0 \prec y_0\), donc \(\exists\, z \in D_*\) tel que \(x_0 < z\), \(y_0 < z\) — on aura \(z \in D_n\) avec \(n \geqslant 1\), \(x_0, y_0\) él. distincts de \(I_z\), donc aussi \(x_0 \prec y_0\) pour il distingue ici \(\prec_*\) (l'astérisque sous le signe), la relation définie par la structure quasi-simpliciale comme à la page 22, de \(\prec\), l'ordre donné sur \(D_0\)

24l'ordre induit par \((D_0, \prec)\), ce qui correspond à une […] [morphisme] \(\sigma : \Delta_1 \to \Delta_n\), telle que, posant \(z_1 = \sigma^*(u)\), on ait \(x_0 = \delta_0(z_1)\), \(y_0 = \delta_0(z_1)\), i.e. on a \(x_0 \prec_* y_0\). le second \(\delta_0\) est écrit tel quel ; on attend \(\delta_1\), comme à la page 23 Ainsi l'ordre \(\prec\) donné : l'ordre sur \(D_0\) (satisfaisant (b)) se récupère : partir de la donnée quasi-simpliciale \(D_*\) qu'il définit, comme étant \(\prec_*\).

Rmq Supposons donné l'ens ordonné \(D_*\), [satisfaisant (a),] et supposons qu'il existe un ordre \(\omega\) sur \(D_0\) satisfaisant (b). Alors l'ordre opposé \(\omega^\circ\) satisfait également (b), mais donne lieu à une autre loi quasi-simpliciale sur la famille des \[ D_n = \lbrace d \in D_* \mid \operatorname{card} I_d = n+1 \rbrace \] (sauf si \(D_1 = 0\) i.e. l'ordre de \(D_*\) est discret). Néanmoins, comme les [réalisations top. des] deux ens. quasi-simpliciaux obtenus sont can. homéom. à la réalisation top \(|D_*|\) de l'ens ordonné \(D_*\), (qui, elle, ne dépend pas du choix d'un ordre sur \(D_0\)) on trouve que les 2 [un homéom. can] ens quasi-simpliciaux \[ |D_*^\omega| \simeq |D_*^{\omega'}| \] il écrit \(\omega'\) dans la formule finale pour l'ordre opposé noté \(\omega^\circ\) plus haut

25Ex 1 Soit \(\mathfrak{X}\) un ens ordonné. Soit \(D_*\) l'ens des parties finies de \(\mathfrak{X}\), totalement ordonnées par l'ordre induit (« drapeaux de \(\mathfrak{X}\) ») ; on ordonne \(D_*\) par inclusion. Alors \(D_0\) (ens des points) s'identifie à \(\mathfrak{X}\), il est ordonné donc muni d'une relation d'ordre, et (a) et (b) sont évidemment satisfaits. D'où un ens. quasi-simplicial \(D_*\), et on a des homéom. can. \[ |D_*| \simeq |D_*| \simeq |\mathfrak{X}| \] la lettre qu'il écrit \(\mathfrak{X}\) est un X cursif ; dans la formule, le premier \(D_*\) est l'ens. quasi-simplicial, le second l'ens ordonné, qu'il distingue par la forme du D

En fait, les \((D_*, \prec)\) obtenus sont ceux pour lesquels on a, en plus de (a), (b), [(c)] la condition

(d) \(\forall\, d \in D_*\), on a \(d = \operatorname{Sup}(I_d)\)

i.e. l'ens ordonné \(D_*\) est l'ens des simplexes [non vides] d'une multiplicité simpliciale, où l'ens quasi-simplicial des \(D_*\). Donc il faut prendre les multiplicités simpliciales avec une structure d'ordre sur l'ens \(\mathfrak{X} = D_0\) des sommets, induisant un ordre total sur chaque simplexe, et tel que [(parmi les parties finies non vides)] (sur les simplexes seulement…

[Notons aussi que moyennant (c) + (d) équivaut [(a) + (d) (i.e. \(D_*\) correspond] à une multiplicité simpliciale) équivaut : (a') + (d), avec

(a') Dans \(D_*\) les Sup [(finis)] majorés existent…] les lettres (a), (b), (c), (d), (a') sont cerclées

26Ex 2 Soit \(G\) un groupe, et soit \((\sigma_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}\) une système d'éléments de \(G\), tels que \(\sigma_i, \sigma_j\) commutent pour \(i < j\) \(n \geqslant j \geqslant i+2 \geqslant i \geqslant 0\). […] […] […] Groupes, et pour toute partie finie \(H\) de \(\Delta_n = [0,n]\), soit […] \(N_H =\) ss-groupe de \(G\) engendré par \(\lbrace \sigma_i \mid i \in \Delta_n \setminus H \rbrace\). Donc \(H \subset H' \Rightarrow N_{H'} \subset N_H\). Soit \(X\) un \(G\)-ens et soit \[ D(H) = X / N_H \qquad \text{(drapeaux de type } H\text{)} \] donc \[ H \subset H' \Longrightarrow i^*_{H,H'} : D(H') \to D(H), \] \(H \mapsto D(H)\) foncteur contravariant \[ \underline{\mathfrak{P}(\Delta_n)}^\circ \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \] Soit \[ D_* = \coprod_{H \in \mathfrak{P}(\Delta_n)} D(H) \] relation d'ordre : \(d \in D(H)\), \(d' \in D(H')\), \[ d \leqslant d' \;\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\; H \subset H' \text{ et } d = i^*_{H,H'}(d'). \] (on voit, \(D_*\) satisfait la condition (a) : si \(d \in D_*\), \(D_*(d) \simeq \mathfrak{P}(I_d)\) (où \(I_d \simeq H\) si \(d \in D(H)\))).

Les él. minimaux sont ceux de \[ D_0 = \coprod_{0 \leqslant i \leqslant n} \underbrace{D(\lbrace i \rbrace)}_{X / (\sigma_0 \cdots \widehat{\sigma}_i \cdots \sigma_n)} \] On va introduire sur \(D_0\) une relation d'ordre (pour l'instant on n'a pas utilisé la structure d'ordre total

27sur l'ens d'indices \(\Delta_n\) pour les \(\sigma_i \in G\)]

Si […] \(x_i \in D(\lbrace i \rbrace)\), \(y_j \in D(\lbrace j \rbrace)\), on pose \(x_i \prec y_j\) ssi \(i < j\) et \(\exists\, z \in D_*\) tel que […] \(x_i, y_j \leqslant z\). Cette relation d'ordre satisfait (b) (et (c) (par définition) évidemment)

Cette relation est-elle transitive ? Supposons \(i < j < k\), \(x_i \in D(\lbrace i \rbrace)\), \(y_j \in D(\lbrace j \rbrace)\), \(z_k \in D(\lbrace k \rbrace)\), […] \(x_i, y_j\) provenant de \(u_{ij} \in D(\lbrace i, j \rbrace)\), \(y_j, z_k\) provenant de \(v_{jk} \in D(\lbrace j, k \rbrace)\). Donc \((u_{ij}, v_{jk})\) est un élément de \[ D(\lbrace i, j \rbrace) \times_{D(\lbrace j \rbrace)} D(\lbrace j, k \rbrace) \] on serait content qu'il provienne d'un élément \(w_{ijk} \in D(\lbrace i, j, k \rbrace)\), car ce dernier définirait un élément […] \(x_{ik} \in D(\lbrace i, k \rbrace)\) majorant \(x_i\) et \(z_k\). Donc […] il suffit que \[ D(\lbrace i, j, k \rbrace) \xrightarrow{\text{épi}} D(\lbrace i, j \rbrace) \times_{D(\lbrace j \rbrace)} D(\lbrace j, k \rbrace). \] « épi » est entouré, au-dessus de la flèche Or je dis plus généralement ceci.

Lemme Soient \(H, H' \subset \Delta_n\) tels que \(H \cap H' \neq \emptyset\) et \(H \cap H'\) soit un segment final de l'ens tot. ordonné \(H\), un segment initial de l'ens tot ordonné \(H'\). Considérons l'application canonique \[ D(H \cup H') \longrightarrow D(H) \times_{D(H \cap H')} D(H') \] Celle-ci est surjective. l'indice du produit fibré, d'abord écrit puis noirci, est récrit en dessous : \(D(H \cap H')\)

28Dém Soit [pour \(K \subset \Delta_n\),] \(G_K =\) ss-groupe de \(G\) engendré par \(\lbrace \sigma_i \mid i \in K \rbrace\). Soient \(K = \complement H\), \(K' = \complement H'\) \(K = \Delta_n \setminus H\), \(K' = \Delta_n \setminus H'\), donc \(K \cup K' = \Delta_n - H \cap H'\), la […] [flèche] envisagée est \[ X / G_{K \cap K'} \xrightarrow{\;p\;} X/G_K \times_{X/G_{K \cup K'}} X/G_{K'} \] sous \(X/G_{K \cap K'}\), une flèche verticale monte de \(X\), et une flèche oblique \(p'\) va de \(X\) au produit fibré Il suffit de prouver que \(p'\) est surjectif. Je dis que l'on a \[ G_{K \cup K'} = G_K \cdot G_{K'} \] (d'où […] résultat s'ensuit aussitôt).

Or […] [soit] \(i\) le dernier él. de \(K\) [de \(H\) […] de \(H \cap H'\)] […] [\(i \in H \cap H'\)], \(i \notin K \cup K'\), donc \(K_0 = K \cap [0, i-1] \subset K'\)

OPS \(H \cap H' \neq H, H'\) \[ K \cup K' = (K \cup K') \cap \underbrace{\complement \lbrace i \rbrace}_{[0, i-1] \sqcup [i+1, n]} = \overbrace{(K \cup K') \cap [0, i-1]}^{K'_0} \sqcup \underbrace{(K \cup K') \cap [i+1, n]}_{K_0} \] le dernier sommande est \(\subset K\) car \([i+1, n] \subset K\), le premier est \(\subset K'\), car pour les \(j \leqslant i-1\), […] si \(j \notin H \cap H'\) (i.e. \(j \in K \cup K'\)) […] \(j \notin H'\) […], car \(H \cap H'\) est segment initial de \(H'\), d'extrémité \(i\), donc si \(j \in H'\) on aurait \(j \in H\) donc \(j \in H \cap H'\)) donc \(j \notin H'\).

Donc \(G_{K \cup K'} \subset G_K \cdot G_{K'}\), d'où cqfd

Or \(G_{K_0}\) et \(G_{K'_0}\) commutent donc \[ G_{K \cup K'} \subset \underbrace{G_{K_0} \cdot G_{K'_0}}_{\text{ss-gr}} \subset G_K \cdot G_{K'} \quad \text{cqfd.} \]

On a utilisé : a) le dernier él. de \(H\) est dans \(H'\) ; b) \(H \cap H'\) est un segment initial de \(H'\) note oblique dans la marge gauche, sous un petit croquis de deux segments qui se chevauchent, le point \(i\) marqué à la fin du premier

29Examinons, en général

a) Conditions pour que (2 bis) soit satisfait [en termes d'ens. ordonnés \((D_*, \prec\) sur \(D_0)\)] et plus gén. que l'on ait surjectivité des \[ D(\Delta_n) \longrightarrow D(H) \times_{D(H \cap H')} D(H') \] pour \(\Delta_n = H \cup H'\), \(H \cap H'\) segment final de \(H\), initial de \(H'\). « 2 bis » est cerclé ; la source de la flèche, \(D(\Delta_n)\), est écrite sur une première lettre surchargée

b) La décomposition cellulaire de \(D_*\) associée à l'ordre sur \(D_0\). Essayons \(D_*\), […] \((D_*, <, \prec)\) de reconstituer à l'aide de la structure d'espace topologique cellulaire avec décomposition en « cellules » (et coniques…) et structures coniques… un double trait vertical au crayon, dans la marge, en face du début de b) ; le reste de la page est blanc

30Supposons donné, pour toute partie finie \(A\) [\(\neq \emptyset\)] de \(\mathbf{N}\), un ens \(D(A)\) (« drapeaux de type \(A\) ») et pour toute inclusion \(A \subset B\), une application « restriction » \(D(B) \to D(A)\), avec conditions d'identité et de transitivité — ce qui signifie qu'on a un foncteur [préfaisceau d'ens] de la sur la cat. [\(C\)] associée à l'ens ordonné des parties finies de \(\mathbf{N}\), i.e. \(D \in \mathrm{Ob}\, \widehat{C}\).

Donnons/Soit d'autre part \(\Delta_n = [0,n] \subset \mathbf{N}\) (pour \(n \in \mathbf{N}\)), et soit \(\sigma : \Delta_n \hookrightarrow \Delta_m\) Soit \[ \Theta(D) = \coprod_{\substack{A \subset \mathbf{N} \\ \text{et } A \text{ fini}}} D(A) \] \[ \Theta_n(D) = \coprod_{\substack{A \subset \mathbf{N} \\ \operatorname{card} A = n+1}} D(A) \qquad n \in \mathbf{N} \] donc \[ \Theta(D) = \coprod_{n \in \mathbf{N}} \Theta_n(D) \]

Dans \(\Theta(D)\) on a une relation d'ordre, en posant \[ \underset{D(A)}{d} \;\leqslant\; \underset{D(A')}{d'} \;\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\; A \subset A' \text{ et } d = i^*_{A,A'}(d') \] sous \(d\) et \(d'\), un signe d'appartenance couché renvoie à \(D(A)\) et \(D(A')\)

[On peut dire que \(D \in \mathrm{Ob}\, \widehat{C}\) définit une catégorie fibrée sur \(C\) : fibres discrètes, et cette catégorie est associée à un ens ordonné, qui est \(\Theta(D)\) ; on a une application croissante canonique \[ \Theta(D) \longrightarrow \mathfrak{P}_f(\mathbf{N}) \]

31Nous nous intéressons notamment au cas où les \(D(A)\) sont finis, et vides sauf un ens fini d'entre eux, i.e. \(\exists\, N \in \mathbf{N}\) tel que \[ A \not\subset [0, N] \Longrightarrow D(A) = \emptyset. \] Je remarque que \(\Theta(D)\) est fini. La réalisation topologique [\(|\Theta(D)|\)] de \(\Theta(D)\) notée est aussi notée \(|D|\) et s'appelle réalisation topologique de \(D\). C'est un espace à triangulation finie, […] et \(\Theta(D)\) en tant qu'ens ordonné se réalise comme ensemble de parties de \(|D|\).

On va donner une deuxième description de \(|D|\), en définissant certaines opérations simpliciales entre les \(\Theta_n(D)\). Posons \(\Delta_n = [0, n] \subset \mathbf{N}\), soit \[ \sigma : \Delta_n \hookrightarrow \Delta_m \] une application strictement croissante. Si \(A \in \mathfrak{P}f_{m+1}(\mathbf{N})\), on a une unique bij. croissante \[ \Delta_m \xrightarrow[\sim]{\;u_A\;} A \] d'où une partie finie de [card \(n+1\)] […], \(B = u_A\sigma(\Delta_n)\), de \(A\), et on considère \[ \sigma^* : \lbrace D(A) \to D(B) \hookrightarrow \Theta_n(D) \qquad (B = u_A \sigma(\Delta_n)) \] \(\mathfrak{P}f_{m+1}(\mathbf{N})\) : les parties de \(\mathbf{N}\) à \(m+1\) éléments ; l'accolade ouvrante devant \(D(A)\) est de lui, elle annonce la définition de \(\sigma^*\) par morceaux, \(A\) variable

32donné par \(\sigma^* = i^*_{B,A}\). Faisant varier \(A\) dans \(\mathfrak{P}f_{m+1}(\mathbf{N})\), on trouve \[ \sigma^* : \Theta_m(D) \longrightarrow \Theta_n(D) \] avec transitivité évidente. Donc les \(\Theta_n(D)\) (\(n \in \mathbf{N}\)) forment un ens. quasi-simplicial (op. simpliciales définies par applications str[ictemen]t croissantes) i.e. définissent un foncteur \[ \underbrace{(\tfrac{1}{2}\mathrm{simpl}^*)^\circ}_{\substack{\text{ens.\ finis tot}^{\text{t}} \\ \text{ordonnés, avec} \\ \text{appl.\ str.\ cr.}}} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \] « \(\frac{1}{2}\)simpl » : son abréviation pour « semi-simplicial » ; la légende est écrite sous le symbole, sans accolade

[Tout ceci marche en remplaçant \(\mathbf{N}\) par un ens ordonné quelconque [\(N\)], \(\mathfrak{P}f(\mathbf{N})\) par l'ens [\(\mathrm{Dr}(N)\)] des parties finies tot[alemen]t ordonnées de \(N\), i.e. l'ens des drapeaux de \(N\), qui est aussi l'ens ordonné associé [à la cat. fibrée définie par le] au foncteur \[ (\tfrac{1}{2}\mathrm{simpl}^*) \xrightarrow{\;\varphi_N\;} \mathrm{Ens} \] donné par \[ \varphi_N(\Delta_n) = \mathrm{Mon.croiss}(\Delta_n, N) \]

\begin{tikzcd}
  \mathrm{Dr}(N) \arrow[d, "\text{appl.\ str.\ croissante}"] \\
  \tfrac{1}{2}\mathrm{simpl}
\end{tikzcd}

33On a donc, des applications strictement croissantes [pour un […] foncteur] \[ D : \underline{\mathrm{Dr}(N)}^\circ \longrightarrow \mathrm{Ens}, \] définissant une catégorie fibrée sur \(\underline{\mathrm{Dr}(N)}\) associée à un ens ordonné \(\Theta(D)\), une appl. strictement croissante \(\Theta(D) \to \mathrm{Dr}(N)\), d'où appl. composée

\begin{tikzcd}
  \Theta(D) \arrow[d] \\
  \mathrm{Dr}(N) \arrow[d] \\
  (\tfrac{1}{2}\mathrm{simpl})^*
\end{tikzcd}

la page s'arrête là, aux deux tiers vides

35Divers Cartes cellulaires \(n\)-dim et groupes cartographiques. fermées encadré de sa main en haut à droite de la page, souligné ; le dernier mot, écrit sous le trait, est douteux. La page ouvre une nouvelle suite, sans numéro de sa main

\[ X_{-1} = \emptyset \subset X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_{n-1} \subset X_n = X \qquad \text{« filtration } n\text{-admissible »} \] ([pour] \(0 \leqslant i \leqslant n\))

a) Déc \((X_i, X_{i-1})\) [\(= \widetilde{X}_i\)] est une réunion disjointe [somme top.] de boules de dim \(i\), dont la partie manquée \(\Xi_i\) (image inverse de \(X_{i-1}\) par \(\widetilde{X}_i \to X_i\)) est le bord

\begin{tikzcd}
  \widetilde{X}_i \arrow[d, "p_i"'] & \supset & \partial\widetilde{X}_i
  \arrow[d, "q_{i-1}"] \\
  X_i & \supset & X_{i-1}
\end{tikzcd}

il note \(\operatorname{Déc}(X_i, X_{i-1}) = \widetilde{X}_i\) la « décomposition » de \(X_i\) le long de \(X_{i-1}\), comme en batch 1 ; la lettre qu'il écrit pour la partie manquée ressemble à un \(\Xi\)

(\(\Rightarrow\) \(X_i - X_{i-1}\) est une […] somme top. de boules ouvertes (de dim \(i\))), enfin \(\widetilde{X}_i \to X_i\) est morphisme fini.

b) [(pour \(1 \leqslant i \leqslant n\))] la filtration sur \(\partial\widetilde{X}_i\) image inverse de la filtration de \[ \emptyset \subset X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_{i-1} \] est [\((i-1)\)-]admissible (NB le cas \(i = 1\) est trivial), et les applications \(q_i^{-1}(X_j) - q_i^{-1}(X_{j-1}) \to X_j - X_{j-1}\) (\(0 \leqslant j \leqslant i-1\)) sont étales.

Ceci donne une définition récurrente de « filtration \(n\)-admissible » pour \(n \geqslant 0\) filtration \(n\)-admissible \(\Leftrightarrow\) (\(\emptyset \subset X_0 \subset \cdots \subset X_{n-1}\)) est \((n-1)\)-admissible, \(\widetilde{X}_n\) […] de \(n\)-boules fermées… ce passage, dans la colonne de droite, est barré de plusieurs traits obliques

(0) Filtration \(0\)-admissible : \(\emptyset \subset X_0 = X\) : \(X\) discret (néc. et suffisant si déf)

(1) Filtration \(1\)-admissible : \(\emptyset \subset X_0 \subset X_1\) : \(X_0\) discret, \(\operatorname{Déc}(X_1, X_0) = \widetilde{X}_1\) somme top. de segments, dont partie manquée est \(\partial\widetilde{X}_1\), et \(\widetilde{X}_1 \to X_1\) propre \(\Leftrightarrow\) \((X_0, X_1)\) 1-complexe top

… les chiffres (0) et (1) sont cerclés

Filtration \(n\)-admissible : se déduisent de filtration \((n-1)\)-admissible \[ \emptyset \subset X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_{n-1} \] en attachant à \(X_{n-1}\) un espace \(\widetilde{X}_n\) réunion disjointe de \(n\)-boules fermées, par une application continue finie \[ \partial\widetilde{X}_n \xrightarrow{\;q_n\;} X_{n-1} \] telle que l'image inverse de la filtration donnée de \(X_{n-1}\) soit une filtr. \(n\)-admissible de \(\partial\widetilde{X}_n\), et« \(n\)-admissible » tel qu'écrit ; par b) on attend \((n-1)\)-admissible

36donne lieu à des applications étales \[ q_n^{-1}(X_i) - q_n^{-1}(X_{i-1}) \longrightarrow X_i - X_{i-1} \qquad (0 \leqslant i \leqslant n-1) \]

Morphisme d'espaces à \(n\)-filtrations régulières \[ f : \underset{\substack{\| \\ X_n \\ \cup \\ \vdots}}{X} \longrightarrow \underset{\substack{\| \\ Y_n \\ \cup \\ \vdots}}{Y} \] a) \(f\) fini

b) \(f^{-1}(Y_i) = X_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\))

c) […] \(X_i - X_{i-1} \to Y_i - Y_{i-1}\) est étale (donc un revêt. étale)

Catégorie \(\mathcal{F}_n\) des espaces à \(n\)-filtrations régulières, ss-catégorie pleine […] \(\mathcal{F}_n^\circ\) des espaces vérifiés à \(n\)-filtration régulière. il écrit « régulière » là où la page 35 disait « admissible » ; les deux mots désignent visiblement la même notion

NB \(X_{n-1} \to X_{n-1}\), \(X_{n-1} \to \widetilde{X}_i \supset\) […], \(X_{n-1}\) […] […] des foncteurs \(\mathcal{F}_i\) […] \(\mathcal{F}_n\) dans […] \(\mathcal{F}_i^\circ\) […] (\(\widetilde{X}_i\) vérifiant \(\partial\widetilde{X}_i \to X_{i-1}\) homéomorphe…) note oblique dans la marge gauche, cernée d'un trait courbe, en grande partie illisible

\(G_n\) groupe n-cartographique (engendré par \(\sigma_0, \sigma_1, \ldots, \sigma_n\) avec \(\sigma_i^2 = 1\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\)), \(\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i\) si \(n \geqslant j \geqslant i+2\), \(i \geqslant 0\) (condition si \(n \geqslant 2\)))

Par récurrence sur \(n\) on va définir des foncteurs

\begin{tikzcd}
  \mathcal{F}_n^\circ \arrow[r, "E_n^\circ"] \arrow[d, hook] & G_n\text{-ens}
  \arrow[d, "\text{oubli}"] \\
  \mathcal{F}_n \arrow[r, "E_n"] & G_{n-1}\text{-ens}
\end{tikzcd}

(\(n \geqslant 1\)) « \(n \geqslant 1\) » est doublement souligné ; le signe à gauche entre \(\mathcal{F}_n^\circ\) et \(\mathcal{F}_n\) est un \(\cap\) (inclusion)

(1) Cas \(n = 1\) \(E_n(X_1) = \pi_0(\widetilde{X}_1^{\,\text{or}}) =\) ens des arcs de \(X_1\), revêt. orienté de \(\widetilde{X}_1\), \(= \partial\widetilde{X}_1\) […] ; \(\sigma_0 =\) changement d'orientation ; \(\sigma_1(a_0) = a'_0\) avec \(q_0(a_0) = q_0(a'_0)\), \(a'_0 \neq a_0\), échange les pts des fibres de \(\partial\widetilde{X}_1 \to X_0\) ; \(E_n^\circ(X_1) = \partial\widetilde{X}_1 \to \pi_0(\partial\widetilde{X}_1)\) ; \(a_0 \in \partial\widetilde{X}_1\), \(a_1 \in \pi_0(\widetilde{X}_1)\), \(a_0 \in a_1\), échangeant les pts des fibres de … tout le bas de la page, depuis « (1) Cas \(n = 1\) » (le 1 cerclé), est barré de trois longs traits obliques et surchargé ; on n'en donne que ce qui se lit. À gauche, un petit diagramme \(\widetilde{X}_1 \supset \widetilde{X}_0 = \partial\widetilde{X}_1\) au-dessus de \(X_1 \supset X_0\), flèches \(p_1\) et \(q_0\), et le dessin d'une boucle fermée sur un point

37(avec diagrammes commutatifs).

(1) \(n = 1\) On pose pour \(X_1 \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{F}_n\) \[ E_1(X_1) = \partial\widetilde{X}_1 \simeq \pi_0(\partial\widetilde{X}_1) \longrightarrow \pi_0(\widetilde{X}_1) \simeq \operatorname{arcs}(X_1) \] « \(\simeq\) arcs\((X_1)\) » est écrit sous \(\pi_0(\widetilde{X}_1)\), avec un signe \(\simeq\) vertical ; le « 1 » initial est cerclé Les fibres de ce morphisme sont toutes de cardinal 2, d'où […] [permutation] \(\sigma_0\) commutant à ce morphisme, sans pt fixe (« permutation caractéristique » de ce morphisme). Si \(X_1\) est une 1-variété, l'appl.

\begin{tikzcd}
  E_1(X_1) = \partial\widetilde{X}_1 \arrow[d] \\
  X_0
\end{tikzcd}

a aussi ses fibres de card. 2, […] d'où perm. car. [de] la notée \(\sigma_1\).

(2) Cas \(n \geqslant 2\). On pose \[ E_n(X_n) = E^\circ_{n-1}(\partial\widetilde{X}_n) \quad (= E_{n-1}(\partial\widetilde{X}_n)) \] Muni de \(\sigma_0, \ldots, \sigma_{n-1}\) i.e. op. de \(G_{n-1}\) par hyp. de récurrence. Fonctorialité évidente, [comme composé de foncteurs \(\mathcal{F}_n \xrightarrow{\partial} \mathcal{F}_{n-1}^\circ \xrightarrow{E^\circ_{n-1}} (G_{n-1}\text{-ens})\)]. Si \(X_n\) est une \(n\)-variété, […] [l'application]

\begin{tikzcd}
  E_{n-1}(\partial\widetilde{X}_n) \arrow[d] \\
  E_{n-1}(X_{n-1})
\end{tikzcd}

(c'est un \(G_{n-2}\)-hom., i.e. commute à \(\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-2}\)) vérifie a des fibres de cardinal 2, l'hom. can. […] noté \(\sigma_n\), il commute à \(\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-2}\). OK. Fonctorialité claire encore dans \(\mathcal{F}_n^\circ\) « vérifie » est écrit dans la marge gauche, devant une grande parenthèse qui embrasse le diagramme et la ligne suivante ; « (2) » est cerclé

38Th. 1 [Soit \(n \geqslant 1\).] Le foncteur \(E_n^\circ\) passe à la catégorie isotypique […] \(\mathcal{F}_n^\circ\), et induit un foncteur pl. fidèle \[ \mathcal{F}_n^\circ \longrightarrow (G_n\text{-ens}) \] (dont l'image essentielle est formée des \(G_n\)-ens. tels que les \(\sigma_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\)) [y] opèrent librement sans pts fixes. « pl. fidèle » est souligné deux fois ; un trait vertical dans la marge gauche accompagne l'énoncé ; la parenthèse n'est pas refermée

Considérons \(X_n \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{F}_n\). On lui associe une cascade d'ens. à opérateurs \[ \begin{array}{lll} R_n(X_n) \overset{\text{déf}}{=} E_n(X_n) & G_{n-1}\text{-ens} & \sigma_0 \cdots \sigma_{n-1} \\ R_{n-1}(X_n) = E_{n-1}(X_{n-1}) & G_{n-2}\text{-ens} & \sigma_0 \cdots \sigma_{n-2} \\ \cdots & & \\ R_1(X_n) = E_1(X_1) & G_0\text{-ens} & \sigma_0 \\ R_0(X_n) = E_0(X_0) \overset{\text{déf}}{=} X_0 & G_{-1}\text{-ens} & \text{i.e.\ ensemble} \end{array} \] après \(E_n(X_n)\), sur la première ligne, un trait qu'on pourrait lire « \(= 1\) » ; on ne le reproduit pas

De plus on a […] [une] cascade d'applications \[ R_n(X_n) \to R_{n-1}(X_n) \to \cdots \to R_0(X_n) \] définies [[…]] \[ \begin{array}{ccc} R_i(X_n) & \longrightarrow & R_{i-1}(X_n) \\ \| & & \| \\ E_i(X_i) & & E_{i-1}(X_{i-1}) \\ \| & & \\ E^\circ_{i-1}(\partial\widetilde{X}_i) = E_{i-1}(\partial\widetilde{X}_i) & & \end{array} \] (hom. de \(G_{i-2}\)-ens, commutant à \(\sigma_0 \cdots \sigma_{i-2}\)) se déduit de \(\partial\widetilde{X}_i \to X_{i-1}\) par application du foncteur \(E_{i-1}\).

Th 2 [Soit \(n \geqslant 0\).] Soit (Casca) la catégorie des « cascades d'ens. à op. » sous les groupes \(G_{n-1}, G_{n-2}, \ldots, G_0\), \(G_{-1} = \lbrace 1 \rbrace\), on a donc un foncteur un trait vertical dans la marge gauche commence avec l'énoncé du Th 2

39\[ \underset{\substack{| \\ \text{catégorie isotopique} \\ \text{déduite de } \mathcal{F}_n}}{\mathcal{F}_n} \xrightarrow{\;\varphi_n\;} (\mathrm{Casc})_n \] Ce foncteur est pl. fidèle. le trait vertical de la marge gauche se prolonge jusqu'ici : c'est la fin de l'énoncé du Th 2

Je faut aussi trouver le [un] foncteur […] […] […]. […] \[ (G_n\text{-ens}) \xrightarrow{\;\psi_n\;} (\mathrm{Casc})_n \] rendant commutatif le diagramme

\begin{tikzcd}
  \mathcal{F}_n^\circ \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] &
  (G_n\text{-ens}) \arrow[d, "\psi_n"] \\
  \mathcal{F}_n \arrow[r] & (\mathrm{Casc})_n
\end{tikzcd}

l'objet en haut à droite, surchargé, se lit sans doute « \(G_n\)-ens » ; la flèche horizontale supérieure et la verticale de gauche partent d'un crochet (inclusions)

Soit donc \(X_n \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{F}_n^\circ\)

Th. 3 \[ \left\lbrace \begin{array}{ll} R_n(X_n) \simeq E_n^\circ(X_n) & G_{n-1}\text{-ens} \\ R_{n-1}(X_n) \simeq E_n^\circ(X_n)/\sigma_n & G_{n-2}\text{-ens} \\ R_{n-2}(X_n) \simeq E_n^\circ(X_n)/(\sigma_n, \sigma_{n-1}) & G_{n-3}\text{-ens} \\ \vdots & \\ R_1(X_n) \simeq E_n(X_n)/(\sigma_n, \ldots, \sigma_2) & \\ R_0(X_n) \simeq E_n(X_n)/(\sigma_n, \ldots, \sigma_2, \sigma_1) & \end{array} \right. \] (NB. on oublie l'opération \(\sigma_n\))écrit à droite de la première ligne avec morphismes de transition définis par passage au quotient sans plus une petite coche dans la marge gauche, en face de cette ligne

40On voudrait trouver des foncteurs (adjoints ?) en sens inverse

\begin{tikzcd}
  \mathcal{F}_n^\circ \arrow[d, hook] & G_n\text{-ens} \arrow[l]
  \arrow[d, dashed] \\
  \mathcal{F}_n & (\mathrm{Casc})_n \arrow[l, "\psi_n"]
\end{tikzcd}

On définira \(\psi_n\) par récurrence sur \(n\).

(1) \(n = 0\) \(\psi_0(E_0) = E_0\) avec top. discr.

(2) Cas général. \[ \overbrace{E_n \to \underbrace{E_{n-1} \to \cdots \to E_1 \to E_0}_{\substack{\text{définit } X_{n-1} \supset X_{n-2} \supset \cdots \\ \text{par hyp.\ de réc.} \\ X_{n-1} = \psi_{n-1}(C_{n-1})}}}^{C_n} \] les chiffres (1), (2) sont cerclés ; sur la page, \(C_{n-1}\) est aussi marqué par une accolade au-dessus de \(E_{n-1} \to \cdots \to E_0\)

On aura \(\pi_0(\widetilde{X}_n) \simeq E_n / G_{n-1}\)

\(\partial\widetilde{X}_n\) est défini par […] (\(E_n\) avec action de \(G_{n-1}\)) par l'hyp. de récurrence \[ X_{n-1} = \psi_{n-1}(C_{n-1}), \qquad \partial\widetilde{X}_n = \psi_{n-1}(\rho_{n-1}(E_n)) \] \(\partial\widetilde{X}_n \to X_{n-1}\) déduit en appliquant \(\psi_{n-1}\) à \[ \rho_{n-1}(E_n) \longrightarrow C_{n-1} \] préciser ce point \(\rho_{n-1}(E_n)\) : la cascade déduite de \(E_n\) muni de l'action de \(G_{n-1}\) ; la lettre \(\rho\) est douteuse

Donc on définira \[ \psi_n(C_n) = \text{multicône de } \psi_{n-1}(\rho_{n-1}(E_n) \to C_{n-1}) \] « multicône » (lecture douteuse) est écrit au-dessus d'un mot biffé illisible

— — Il faudrait donc expliciter en un

Th 4 Description de \(\psi_n : (\mathrm{Casc})_n \to \mathcal{F}_n\), et le cas échéant propriété d'adjonction.