Cote n° 76 · pages 1–62 · Lecture modernisée · n-cartes cellulaires : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–62

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier n'est pas paginé de sa main. L'inventaire le date « vers 1977 » et le range dans le groupe « Géométrie et topologie combinatoire », avec les dossiers 81, 88 et 89, qui ont déjà leur lecture modernisée et qu'on cite là où ils rencontrent celui-ci.

1. Pages 2 à 13, première rédaction, sous le titre « Cartes coniques, cartes cellulaires, et ensembles à opérateurs » : l'ensemble ordonné gradué \(F_*\) des cellules et ses axiomes (pages 2 à 4) ; une page barrée de suites exactes (page 5) ; réalisation géométrique, variétés, « \(n\)-variété combinatoire » et « \(n\)-complexe combinatoire » (pages 6 à 8) ; « \(n\)-cartes coniques » (page 9) ; treillis de drapeaux, multicônes et « paracartes » (pages 11 à 13).
2. Pages 15 à 33, les « géométries de drapeaux » : ensembles ordonnés dont chaque idéal principal est un simplexe, fonctions dimension, ensembles semi-simpliciaux et ordres sur les sommets, deux exemples, et les préfaisceaux sur les parties finies de \(\mathbf{N}\).
3. Pages 35 à 42, seconde rédaction, sous le titre « Cartes cellulaires \(n\)-dim et groupes cartographiques » : filtrations admissibles, les foncteurs \(E_n\), \(E_n^\circ\), et un programme de théorèmes numérotés 1 à 7, énoncés et non démontrés.
4. Pages 45 et 47, deux apartés : les petits ensembles comme géométries finies et l'ordre des groupes de Chevalley ; quatre « Sujets DEA ».
5. Pages 49 à 62, le « cube combinatoire », sous une chemise (page 43) où « 2-cartes cellulaires » est biffé.

Les deux rédactions des stations 1 et 3 ne se confondent pas. La première part d'un ensemble ordonné et lui impose des axiomes ; la seconde part d'un espace filtré et construit les ensembles à opérateurs par récurrence sur la dimension. Elles se rejoignent sur deux objets, qu'on signale à chaque fois : la tour d'ensembles à opérateurs des pages 7 et 8 est la « cascade » de la page 38, et les quotients de la page 8 sont le théorème 3 de la page 39. On garde les deux rédactions distinctes.

Conventions, valables pour tout le dossier

• Le groupe cartographique. \(G_n\) est le groupe engendré par \(n+1\) éléments \(\sigma_0, \ldots, \sigma_n\) soumis aux relations \(\sigma_i^2 = 1\) et \((\sigma_i\sigma_j)^2 = 1\) pour \(|i - j| \geqslant 2\), et à aucune autre ; \(G_{-1} = \{1\}\). C'est la convention des pages 7 et 36. La page 3 note \(G_n\) le groupe à \(n\) générateurs \(\sigma_0, \ldots, \sigma_{n-1}\), et la page 13 \(G_i\) celui qu'engendrent \(\sigma_0, \ldots, \sigma_{i-1}\) : ce sont ici \(G_{n-1}\) et \(G_{i-1}\).¹
• Drapeaux. Un drapeau est une chaîne non vide d'un ensemble ordonné ; un drapeau complet est une chaîne maximale. Les pages 54 à 56 appellent « repères » les drapeaux complets d'un polyèdre, et la page 51 les note \(\mathrm{Drap}(C)\) ; on garde les deux notations, qui désignent la même chose. \(\sigma_i\) change toujours le membre de dimension \(i\) d'un drapeau complet en gardant les autres.
• Ensembles de parties. \(\mathfrak{P}^*(I)\) est l'ensemble des parties finies non vides de \(I\), ordonné par inclusion.
• Semi-simplicial. \(\Delta_{\mathrm{inj}}\) est la catégorie des ensembles finis non vides totalement ordonnés et des applications strictement croissantes, \(\Delta_n = [0, n]\) ; un ensemble semi-simplicial est un préfaisceau sur \(\Delta_{\mathrm{inj}}\). C'est ce que les pages appellent « ensemble quasi-simplicial » et notent « \(\frac{1}{2}\)simpl ».² Pour un \(1\)-simplexe \(z\), \(s(z)\) et \(t(z)\) sont son premier et son dernier sommet ; pour un \(2\)-simplexe \(u\), \(d_0u\), \(d_1u\), \(d_2u\) sont les arêtes opposées aux sommets \(0\), \(1\), \(2\).
• Les deux foncteurs des pages 39 et 40. La page 39 appelle \(\psi_n\) un foncteur des \(G_n\)-ensembles vers les cascades, la page 40 un foncteur des cascades vers les espaces filtrés. On appelle ici \(\rho_n\) le premier — c'est la lettre que la page 40 elle-même emploie pour lui — et \(\psi_n\) le second.
• Le cube. \((\mathbb{B}, \sigma)\) est un ensemble fini muni d'une involution sans point fixe, \(I = \mathbb{B}/\sigma\), \(n = \mathrm{card}\, I\), et \(\mathrm{Sp}(\mathbb{B})\) l'ensemble des sections partielles de \(\mathbb{B} \to I\), c'est-à-dire des parties \(J \subset \mathbb{B}\) telles que \(J \cap \sigma J = \emptyset\).

Ce que le dossier annonce et n'établit pas. Les théorèmes 1 à 4 et 7 sont énoncés sans démonstration, les théorèmes 5 et 6 seulement nommés ; « l'image essentielle » est à déterminer aux pages 4 et 7, et le reste ; la question de la page 19 et le programme de la page 29 restent ouverts ; le « cas \(n\) pair » de la page 62 est « à examiner ».

2–4

Complexes cellulaires et ensembles à opérateurs (pages 2 à 4)

Les données. Des ensembles \(F_0, \ldots, F_n\) — les cellules de dimension \(0, \ldots, n\) — et des relations d'incidence \(I_\alpha \subset F_\alpha \times F_{\alpha+1}\). Sur \(F_* = \coprod_\alpha F_\alpha\) on définit \(x \preceq y\) si \(x = y\), ou si \(x \in F_\alpha\), \(y \in F_\beta\), \(\alpha < \beta\), et s'il existe une chaîne \(x = z_\alpha, z_{\alpha+1}, \ldots, z_\beta = y\) d'éléments consécutivement incidents. Les axiomes, dans la numérotation finale de la page 4 :³

1. 1.\(I_\alpha \to F_{\alpha+1}\) est surjectif : toute cellule a une cellule de dimension immédiatement inférieure dans son bord ;
2. 1'.(facultatif) \(I_\alpha \to F_\alpha\) est surjectif ;
3. 2.pour \(2 \leqslant \alpha \leqslant n\), \(x_\alpha \in F_\alpha\) et \(x_{\alpha-2} \preceq x_\alpha\) de dimension \(\alpha - 2\), il y a exactement deux \(x_{\alpha-1}\) entre eux ;
4. 2'.(facultatif) toute \(x_{n-1}\) est incidente à exactement deux \(x_n\) ;
5. 3.toute arête \(x_1\) a exactement deux sommets ;
6. 4.voir plus bas.

Les axiomes 2 et 3 forment ce qu'on appelle aujourd'hui la condition du diamant : tout intervalle de longueur deux, en ajoutant un plus petit élément formel sous \(F_0\), a exactement quatre éléments. L'axiome \(2'\) est la même condition en haut, et exprime l'absence de bord.⁴

Quels ensembles ordonnés ? Le système \((F_\alpha, I_\alpha)\) se retrouve à partir de \((F_*, \preceq)\) : \(F_0\) est l'ensemble des éléments minimaux, \(F_1\) celui des éléments minimaux de \(F_* \smallsetminus F_0\), et ainsi de suite, et \(I_\alpha\) est la restriction de l'ordre. Les ensembles ordonnés ainsi obtenus sont exactement ceux dont les chaînes ont au plus \(n+1\) éléments et dans lesquels tout recouvrement \(x \lessdot y\) fait monter la hauteur d'exactement un — la hauteur d'un élément étant le nombre d'éléments, moins un, de la plus longue chaîne qui finit en lui ; de façon équivalente, toutes les chaînes maximales de chaque idéal principal ont la même longueur.⁵

Drapeaux et opérateurs. Un drapeau est une chaîne non vide de \(F_*\) ; son type est l'ensemble \(\delta \subset [0, n]\) des dimensions de ses membres.⁶ Soit \(\mathcal{A}\) l'ensemble des drapeaux complets \(d = (x_0, x_1, \ldots, x_n)\), \(x_i \in F_i\). Par les axiomes 2 et 3, pour \(0 \leqslant \alpha \leqslant n-1\), il existe un unique \(x'_\alpha \neq x_\alpha\) tel que \(\sigma_\alpha(d) = (x_0, \ldots, x'_\alpha, \ldots, x_n)\) soit encore un drapeau ; sous l'axiome \(2'\), de même pour \(\alpha = n\). Ce sont des involutions sans point fixe, et \[ \sigma_\alpha\sigma_\beta = \sigma_\beta\sigma_\alpha \qquad \text{si } |\alpha - \beta| \geqslant 2 , \] puisqu'elles modifient alors des membres non voisins du drapeau. Ainsi \(\mathcal{A}\) est un ensemble à opérateurs sous \(G_{n-1}\), et sous \(G_n\) si l'axiome \(2'\) est satisfait.⁷

L'axiome 4. Pour \(\delta \subset [0, n]\) non vide, soit \(G^{(\delta)}\) le sous-groupe engendré par les \(\sigma_i\), \(i \notin \delta\) : il agit sur \(\mathcal{A}\) sans toucher aux membres de dimension dans \(\delta\), d'où une application \[ \mathcal{A}/G^{(\delta)} \longrightarrow \mathcal{A}_\delta \qquad (\text{drapeaux de type } \delta), \] surjective par l'axiome 1 et sa conséquence que tout drapeau se complète. L'axiome 4 demande qu'elle soit bijective pour \(\delta = \{\alpha\}\) : \[ \mathcal{A}/G^{(\alpha)} \xrightarrow{\ \sim\ } F_\alpha , \] c'est-à-dire que deux drapeaux complets qui ont le même membre de dimension \(\alpha\) se déduisent l'un de l'autre par des \(\sigma_\beta\), \(\beta \neq \alpha\). La page demande si la bijectivité pour tout \(\delta\) en est conséquence.⁸ Comme \(G^{(\delta)} \subset G^{(\delta')}\) pour \(\delta' \subset \delta\), les inclusions entre ces sous-groupes redonnent alors les relations entre drapeaux de types divers, donc \(F_*\) tout entier :

Proposition (page 4). Le foncteur \(F_* \mapsto \mathcal{A}\), des complexes satisfaisant les axiomes 1 à 4 vers les ensembles à opérateurs sous le groupe cartographique, est pleinement fidèle ; son image essentielle reste à déterminer.⁹

Réalisation géométrique. Celle de \(F_*\) — sous le seul axiome 1 — est la réalisation de la triangulation dont les simplexes sont les parties finies totalement ordonnées de \(F_*\) : le complexe des chaînes (ou complexe d'ordre) de \(F_*\).

5–5

Une page barrée (page 5)

La page 5 est barrée d'un long trait et ne porte aucun texte : des suites exactes empilées de groupes d'automorphismes d'un espace \(X\) à bord. On y lit \[ 1 \to \mathrm{Aut}(X, \mathrm{id}_{\partial X}) \to \mathrm{Aut}(X) \to \mathrm{Aut}(\partial X) \to 1 , \] un revêtement \(p : \widetilde{\partial X} \to \partial X\) et le groupe \(\widetilde{\mathrm{Aut}}(X)\) des couples \((u, \tilde v)\) où \(\tilde v\) relève au revêtement la restriction de \(u\) au bord, et un facteur \(\mathbf{Z}^I\), \(I = \pi_0(\partial X)\), qui revient dans trois lignes successives. Rien ne dit ce que sont les groupes notés \(S\mathcal{A}\), \(S\mathcal{A}^\circ\), \(ST\), ni si les « Aut » sont des groupes d'homéomorphismes ou leurs classes d'isotopie ; on ne leur donne pas de sens.¹⁰

6–8

Réalisation, variétés, et la première « variété combinatoire » (pages 6 à 8)

Les cellules dans la réalisation. Chaque \(x \in F_\alpha\) se réalise dans \(|F_*|\) comme la réunion des simplexes ouverts des chaînes formées d'éléments \(\preceq x\), et l'incidence devient l'inclusion. La page annonce une équivalence de catégories « à dégager » entre ces objets topologiques et les objets combinatoires.

Proposition (page 6). Si \(|F_*|\) est une variété topologique de dimension \(n\), sans bord, alors \(F_*\) satisfait les axiomes \(1, 1', 2, 2', 3, 4\).¹¹

La page affirme plus précisément que \(|F_*|\) est une variété de dimension \(n\) si et seulement si \(F_*\) satisfait ces axiomes et que, pour tout \(x\), la réalisation de \(F(x) = \{y \prec x\}\) est une sphère ; et, « modulo l'hypothèse de Poincaré », qu'il suffirait de demander \(|F(x)|\) simplement connexe et de l'homologie d'une sphère. Ce n'est pas suffisant tel quel. La condition sur les \(|F(x)|\) fait de chaque cellule une boule, mais elle ne dit rien de ce qui entoure une cellule : il faut aussi que les réalisations des sections supérieures \(\{y \succ x\}\), les links des cellules, soient des sphères de la bonne dimension.¹²

Espaces filtrés. Soit \(X\) un espace — compact, ajoute-t-il avec deux points d'interrogation — filtré par \(X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_n = X\), chaque différence \(X_i \smallsetminus X_{i-1}\) étant une réunion disjointe de boules ouvertes de dimension \(i\). Les drapeaux relatifs à la filtration, « à définir avec soin », forment un ensemble sur lequel agit \(G_n\) si \(X\) est une variété de dimension \(n\), les \(\sigma_i\) opérant sans point fixe.¹³

Proposition (page 7). Le foncteur des variétés de dimension \(n\) ainsi filtrées vers les \(G_n\)-ensembles finis où les \(\sigma_i\) opèrent sans point fixe est pleinement fidèle — à condition de remplacer les morphismes par leurs classes d'isotopie. Il reste à déterminer son image essentielle, dont la page prévoit qu'elle est plus grande que celle des complexes de la page 4.¹⁴

La \(n\)-variété combinatoire. Une \(n\)-variété combinatoire finie est un ensemble fini \(D_n\) muni de \(n+1\) involutions sans point fixe \(\sigma_0, \ldots, \sigma_n\), deux involutions non consécutives commutant : c'est un \(G_n\)-ensemble fini où les générateurs opèrent sans point fixe.¹⁵

Le \(n\)-complexe combinatoire. Un \(n\)-complexe combinatoire fini est une tour d'ensembles finis \[ D_n \longrightarrow D_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow D_1 \longrightarrow D_0 , \] où chaque \(D_i\), \(1 \leqslant i \leqslant n\), est un \(G_{i-1}\)-ensemble dont les générateurs opèrent sans point fixe, où chaque \(D_i \to D_{i-1}\) est un morphisme de \(G_{i-2}\)-ensembles, et où, pour \(i \geqslant j + 2\), la composée \(D_i \to D_j\) est invariante par \(\sigma_{j+1}, \ldots, \sigma_{i-1}\). Pensez à \(D_i\) comme à l'ensemble des drapeaux complets \((x_0, \ldots, x_i)\) des cellules de dimension \(i\), et à \(D_i \to D_{i-1}\) comme à l'oubli de \(x_i\). C'est la « cascade » que la seconde rédaction définira à la page 38 ; on y revient.

Les bords successifs. Si \(D_n\) est une \(n\)-variété combinatoire, le bord de la \(i\)-ème décomposition, \(\partial(\mathrm{Déc}(X_i/X_{i-1}))\), est la \((i-1)\)-variété combinatoire \[ \delta_{i-1} = \bigl(D_n/\langle \sigma_n, \ldots, \sigma_{i+1} \rangle ;\ \sigma_0, \ldots, \sigma_{i-1}\bigr) , \qquad \delta_{n-1} = (D_n ;\ \sigma_0, \ldots, \sigma_{n-1}) . \] Les \(\sigma_j\), \(j \leqslant i - 1\), passent au quotient parce qu'ils commutent à \(\sigma_{i+1}, \ldots, \sigma_n\). C'est la forme première du théorème 3 de la page 39. La suite de la page 8, qui commençait à définir par récurrence une catégorie \(\mathcal{C}_n\) de « \(n\)-cartes » et un foncteur vers les \(n\)-variétés combinatoires, est barrée.¹⁶

9–9

Cartes coniques (page 9)

La page reprend le titre, corrigé : « Cartes coniques, cartes cellulaires, et ensembles à opérateurs ». Une \(n\)-carte conique finie est un espace compact \(X\) muni d'une filtration croissante par des fermés \(X_0 \subset \cdots \subset X_n = X\) telle que :

1. a)\(X_0\) est fini ;
2. b)pour \(1 \leqslant i \leqslant n\), soit \(\overline{Z}_i = \mathrm{Déc}(X_i/X_{i-1})\) le découpage de \(X_i\) le long de \(X_{i-1}\) et \(\dot Z_i \subset \overline{Z}_i\) l'image inverse de \(X_{i-1}\), de sorte que \(\overline{Z}_i \to X_i\) induise un homéomorphisme \(\overline{Z}_i \smallsetminus \dot Z_i \simeq X_i \smallsetminus X_{i-1}\) ; alors \(\overline{Z}_i\) a un nombre fini de composantes connexes \(\overline{Z}_i^\alpha\), chacune homéomorphe au cône sur \(\dot Z_i^\alpha = \overline{Z}_i^\alpha \cap \dot Z_i\), non vide ;
3. c)\(\dot Z_i \to X_{i-1}\) est un morphisme fini ;
4. d)la filtration est équisingulière.

Le découpage n'est pas défini ; on le comprend comme l'espace des cellules fermées, avec leurs applications d'attachement, ce qui est le sens que lui donne la page 35.¹⁷

La différence avec les cartes cellulaires est dans b) : chaque « cellule » est un cône sur son bord, et non une boule ; le bord n'a pas à être une sphère. On retrouvera ces cônes dans le multicône de la page 40, et c'est ce qui donne son titre à la rédaction. Pour \(n = 0\) ce sont les espaces finis discrets, pour \(n = 1\) les graphes finis — boucles et arêtes multiples admises —, dont la page dessine quelques exemples.

11–13

Treillis de drapeaux, multicônes, paracartes (pages 11 à 13)

Treillis de drapeaux. Pour une décomposition de dimension \(\leqslant n\), notons \(D_I\) l'ensemble des drapeaux de type \(I \subset [0, n]\) ; pour \(J \subset I\), l'oubli des membres de dimension hors de \(J\) donne une restriction \(D_I \to D_J\). Les pages 11 et 13 dessinent ces treillis pour \(n = 1, 2, 3\) et marquent « épi » certaines flèches. La règle qui s'en dégage : \[ D_{[0,i]} \longrightarrow D_I \quad \text{est surjective si } i = \sup I , \] tout drapeau se complétant vers le bas jusqu'au sommet, et plus généralement \(D_I \to D_J\) l'est si \(J \subset I\) a le même plus grand élément. La flèche \(D_{02} \to D_1\) est barrée d'une croix sur le dessin : il n'y a pas de restriction de \(D_{\{0,2\}}\) vers \(D_{\{1\}}\).¹⁸ La page 12 donne le cas d'un graphe : trois sortes de drapeaux, les sommets \(F_0\), les arêtes \(F_1\), et les couples incidents \(R_1\), avec \(F_0 \leftarrow R_1 \to F_1\), la seconde flèche surjective.

Le multicône. Pour une catégorie \(\mathcal{C}\), soit \(\Phi(\mathcal{C})\) la catégorie des familles finies \((f_i : X_i \to X)_{i \in I}\) de morphismes de même but. Un foncteur \(\varphi : \mathcal{C} \to \mathrm{Top}\) en induit un, \(\Phi(\varphi) : \Phi(\mathcal{C}) \to \mathrm{Top}\), \[ (X_i \xrightarrow{f_i} X)_{i \in I} \longmapsto \Bigl(\coprod_i \mathrm{Cône}\, \varphi(X_i)\Bigr) \ \amalg_{\coprod_i \varphi(X_i)}\ \varphi(X) , \] qui colle à \(\varphi(X)\) un cône sur chaque \(\varphi(X_i)\) le long de \(\varphi(f_i)\). Si les \(\varphi(f)\) sont finis, les \(\Phi(\varphi)(f)\) le sont ; la page ajoute que la fidélité — et la pleine fidélité, avec un doute — passe de \(\varphi\) à \(\Phi(\varphi)\) vers les espaces filtrés, « mod isotopie », et qu'on peut itérer : \(\Phi(\Phi(\mathcal{C})) \to \mathrm{Top}\). Itéré \(n\) fois, c'est exactement la construction des \(n\)-cartes coniques de la page 9, et c'est le « multicône » de la page 40.¹⁹

Paracartes (page 13). Une paracarte est un préfaisceau \(D\) sur \(\mathfrak{P}^*(\mathbf{N})\) — un ensemble \(D(\sigma)\) de « drapeaux de type \(\sigma\) » pour chaque partie finie non vide \(\sigma\) de \(\mathbf{N}\), avec des restrictions \(D(\sigma) \to D(\sigma')\) pour \(\sigma' \subset \sigma\) — dont certaines restrictions sont surjectives.²⁰ La page en distingue trois sortes :

• les stratifications équidimensionnelles : \(D(\sigma) \to D(\sigma')\) est surjective dès que \(\sup \sigma = \sup \sigma'\), c'est-à-dire que \(D([0, i]) \to D(\sigma)\) l'est si \(i = \sup \sigma\) — la règle des treillis ci-dessus ;
• les paracartes de dimension \(n\) : les restrictions sont bijectives au-dessus de \(\Delta_n\) et \(D(\{i\}) = \emptyset\) pour \(i > n\) ;
• les paracartes spéciales : équidimensionnelles, et telles que pour tout \(j < i\) la restriction \(D(0, \ldots, i) \to D(0, \ldots, \widehat{j}, \ldots, i)\) soit de degré 2 — la condition du diamant.

Dans une paracarte spéciale, \(R_i = D(0, \ldots, i)\) porte donc \(i\) involutions \(\sigma_0, \ldots, \sigma_{i-1}\) : c'est un \(G_{i-1}\)-ensemble.²¹ La page veut des conditions pour que \(D(0, \ldots, i)\), avec l'action de \(G_{i-1}\) et les applications \(R_{i+1} \to R_i \to \cdots\), « récupère » tous les \(D(i_0, \ldots, i_p)\) : c'est la tour de la page 7, et la question à laquelle répondra le théorème 3.

15–19

Géométries de drapeaux (pages 15 à 19)

Définition. Un ensemble ordonné \(D\) est une géométrie de drapeaux si, pour tout \(d \in D\), l'idéal \(D(d) = \{d' \leqslant d\}\) est isomorphe à \(\mathfrak{P}^*(I_d)\) pour un ensemble fini non vide \(I_d\). On peut prendre pour \(I_d\) l'ensemble des éléments minimaux de \(D\) majorés par \(d\) ; on appelle \(\Phi\) l'ensemble des éléments minimaux de \(D\) — les « drapeaux de longueur 1 » — et \(\mathrm{card}\, I_d\) la longueur de \(d\).²²

Pour \(\sigma \in \mathfrak{P}^*(\Phi)\), soit \(D(\sigma)\) l'ensemble des \(d\) tels que \(I_d = \sigma\). Si \(\tau \subset \sigma\), chaque \(d \in D(\sigma)\) a un unique minorant dans \(D(\tau)\), d'où une restriction \(D(\sigma) \to D(\tau)\). On obtient :

Proposition (page 15). Les géométries de drapeaux sont équivalentes aux couples \((\Phi, D)\) formés d'un ensemble \(\Phi\) et d'un préfaisceau \(D : \mathfrak{P}^*(\Phi)^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Ens}\) tel que \(\mathrm{card}\, D(\{i\}) = 1\) pour tout \(i\) ; on retrouve \(D\) comme \(\coprod_\sigma D(\sigma)\), avec \(d \leqslant d'\) si \(d\) est une restriction de \(d'\).

Une géométrie de drapeaux est stricte si tout \(d\) est la borne supérieure de ses sommets. Il faut et il suffit pour cela que \(\mathrm{card}\, D(\sigma) \leqslant 1\) pour tout \(\sigma\), c'est-à-dire que \(D\) soit un sous-foncteur du foncteur final ; \(D\) est alors un ensemble de parties finies non vides de \(\Phi\) stable par passage aux parties non vides, et : \[ \{\text{géométries de drapeaux strictes}\} \simeq \{\text{complexes simpliciaux abstraits}\} . \] ²³

Fonctions dimension (pages 16 et 17). Partons maintenant d'un préfaisceau quelconque \(D' : \mathfrak{P}^*(I)^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Ens}\), sans condition sur les \(D'(\{i\})\). L'ensemble \(D = \coprod_\sigma D'(\sigma)\), ordonné comme plus haut, est une géométrie de drapeaux, d'ensemble de sommets \(\Phi = \coprod_{i \in I} D'(\{i\})\), et la projection \(\delta : \Phi \to I\) est injective sur chaque \(I_d\). Réciproquement, d'une géométrie de drapeaux \(D\) et d'une application \(\delta : \Phi \to I\) injective sur chaque \(I_d\), on tire \[ D'(\sigma) = \coprod_{\substack{\sigma' \in \mathfrak{P}^*(\Phi) \\ \delta|\sigma' : \sigma' \xrightarrow{\sim} \sigma}} D(\sigma') , \] et l'on a une équivalence \[ \bigl(D, \ \delta : \Phi \to I\bigr) \quad \longleftrightarrow \quad \bigl(D' : \mathfrak{P}^*(I)^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Ens}\bigr) . \] ²⁴ Le cas qui intéresse la suite est \(I = \mathbf{N}\), ou \(I = [0, n]\) : \(\delta\) est alors une fonction dimension, et \(\sup \delta(\Phi)\), si elle est finie, la dimension de \(D\). Ainsi, une géométrie de drapeaux munie d'une fonction dimension n'est rien d'autre qu'une paracarte au sens de la page 13.

Ordres sur les simplexes (pages 17 et 18). Supposons donné sur chaque simplexe \(I_d\) un ordre total, ces ordres s'induisant mutuellement — c'est le cas s'ils viennent d'une fonction dimension à valeurs dans un ensemble totalement ordonné. Posons \(D[m] = \{d \mid \mathrm{card}\, I_d = m + 1\}\). Alors \(m \mapsto D[m]\) est un ensemble semi-simplicial : une application strictement croissante \(u : \Delta_k \to \Delta_m\) choisit, dans le simplexe ordonné \(I_d\), une face, et \(u^*(d)\) est la restriction de \(d\) à cette face.²⁵ Cet ensemble semi-simplicial satisfait :

1. (1)pour \(k < m\) et \(d \in D[m]\), l'application \(\mathrm{Hom}(\Delta_k, \Delta_m) \to D[k]\), \(u \mapsto u^*(d)\), est injective : les faces d'un simplexe sont deux à deux distinctes.

La condition (1) équivaut à ce que la catégorie des éléments \(\Delta_{\mathrm{inj}}/D\) soit un ensemble ordonné, et cet ensemble ordonné est \(D\).²⁶ D'où : \[ \left\{ \begin{array}{l} \text{géométries de drapeaux munies d'ordres}\\ \text{totaux compatibles sur les simplexes} \end{array} \right\} \ \simeq\ \left\{ \begin{array}{l} \text{ensembles semi-simpliciaux}\\ \text{satisfaisant (1)} \end{array} \right\} . \]

Cellules duales (page 19). Soit \(D\) une géométrie de drapeaux munie d'ordres compatibles, et \(X = |D|\), avec ses simplexes fermés \(X(d)\) et ses simplexes ouverts \(X^\circ(d)\), qui forment une partition de \(X\). Pour un sommet \(F \in \Phi\), soit \[ |F| = \bigcup_{\sup I_d = F} X(d) , \qquad |F|^\circ = \bigcup_{\sup I_d = F} X^\circ(d) , \] la réunion des simplexes dont \(F\) est le dernier sommet. Quand \(D\) est le complexe des chaînes d'un complexe cellulaire, ordonné par la dimension, \(|F|\) est la cellule fermée de \(F\) subdivisée, et \(|F|^\circ\) la cellule ouverte. La page demande quand les \(|F|\) sont les cellules fermées d'une stratification de \(X\) dont les \(|F|^\circ\) sont les cellules ouvertes, et établit :

1. a)les \(|F|^\circ\) forment une partition de \(X\), puisque chaque simplexe ouvert a un seul dernier sommet, et chaque \(|F|^\circ\) contient le sommet \(F\) ;
2. b)\(|F|\) est l'adhérence de \(|F|^\circ\), puisque \(X(d)\) est celle de \(X^\circ(d)\).

Il reste la question qu'elle pose en marge, \(|F| \smallsetminus |F|^\circ = \bigcup_{F' < F} |F'|\) ? L'inclusion \(\subset\) est vraie : un point de \(|F|\) hors de \(|F|^\circ\) est dans un simplexe ouvert dont le dernier sommet précède \(F\). L'égalité demande que tout simplexe de dernier sommet \(F' < F\) soit face d'un simplexe de dernier sommet \(F\), ce qui n'est pas automatique.²⁷

20–24

Ensembles semi-simpliciaux et ordre sur les sommets (pages 20 à 24)

Le point de départ (pages 20 et 21). Soit \(D_*\) un ensemble semi-simplicial, \(D_n = D_*(\Delta_n)\). La catégorie fibrée qu'il définit sur \(\Delta_{\mathrm{inj}}\), à fibres discrètes, est ordonnée si et seulement si \(D_*\) satisfait (1). L'ensemble ordonné \(D_* = \coprod_m D_m\) a alors la propriété

1. (a)pour tout \(d \in D_m\), l'idéal \(D_*(d) = \{\delta \leqslant d\}\) est isomorphe à \(\mathfrak{P}^*(\Delta_m)\),

c'est donc une géométrie de drapeaux, et sa réalisation est \[ |D_*| = \varinjlim_{d \in D_*} |d| = \varinjlim_{(\Delta_m, d) \in \Delta_{\mathrm{inj}}/D_*} |\Delta_m| , \] la réalisation de l'ensemble semi-simplicial ; chaque simplexe \(|d|\) s'y plonge, et \(d \mapsto |d|\) est injective et croissante.²⁸

La question. La donnée d'ordres totaux compatibles sur les \(I_d\) équivaut à la structure semi-simpliciale. Quand ces ordres viennent-ils d'un seul ordre sur \(D_0\) ?

L'ordre des sommets (page 22). Sur \(D_0\), posons \[ x \prec y \iff \text{il existe } z \in D_1 \text{ avec } s(z) = x,\ t(z) = y . \]

1. (2°)Cette relation est transitive si
2. (2 bis)l'application \(D_2 \to D_1 \times_{D_0} D_1\), \(u \mapsto (d_2u, d_0u)\), le produit fibré étant pris au-dessus de \(t\) et de \(s\), est surjective.

En effet, si \(x \prec y\) par \(z\) et \(y \prec w\) par \(z'\), un \(u\) tel que \(d_2 u = z\) et \(d_0 u = z'\) donne l'arête \(z'' = d_1 u\), de \(x\) à \(w\). La condition (2 bis) dit que tout couple d'arêtes composables est bordé par un \(2\)-simplexe.²⁹ La relation \(x \prec x\) est impossible par (1), puisque les deux sommets d'une arête sont distincts ; sous (2°), \(x \preccurlyeq y \iff (x = y \text{ ou } x \prec y)\) est donc un ordre sur \(D_0\). Il induit sur chaque \(I_d\) l'ordre total donné, et satisfait

1. (b)si \(x \prec y\), il existe \(z \in D_*\) qui majore \(x\) et \(y\) ;
2. (c)il induit un ordre total sur chaque \(I_d\).

La réciproque (pages 23 et 24). Soit \(D_*\) un ensemble ordonné satisfaisant (a), et \(\preccurlyeq\) un ordre sur \(D_0\) satisfaisant (b) et (c). L'ordre total induit sur \(I_d\) est fonctoriel en \(d\), donc définit un foncteur fibrant à fibres discrètes \(D_* \to \Delta_{\mathrm{inj}}\), c'est-à-dire un ensemble semi-simplicial, qui satisfait (1) ; et l'ordre \(\prec_*\) que la page 22 lit sur ses arêtes est l'ordre de départ — c'est ce que (b) assure. Les deux constructions sont inverses l'une de l'autre, et donnent :

Proposition. \[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{l} \text{ensembles semi-simpliciaux satisfaisant (1)}\\ \text{et la transitivité (2°)} \end{array} \right\} \\[1ex] \Big\updownarrow \\[1ex] \left\{ \begin{array}{l} \text{ensembles ordonnés satisfaisant (a), munis}\\ \text{d'un ordre sur } D_0 \text{ satisfaisant (b) et (c)} \end{array} \right\} \end{array} \] ³⁰

Remarque (page 24). Si \(\omega\) est un ordre sur \(D_0\) satisfaisant (b) et (c), l'ordre opposé les satisfait aussi, et donne une autre structure semi-simpliciale sur les mêmes \(D_n\), distincte de la première dès que \(D_1 \neq \emptyset\). Les deux réalisations sont néanmoins canoniquement homéomorphes, à travers la réalisation de l'ensemble ordonné \(D_*\), qui ne dépend d'aucun choix.

25–25

Premier exemple : les drapeaux d'un ensemble ordonné (page 25)

Soit \(\mathfrak{X}\) un ensemble ordonné, et \(D_*\) l'ensemble de ses chaînes finies non vides — ses drapeaux —, ordonné par inclusion. Alors \(D_0 = \mathfrak{X}\), (a), (b), (c) sont satisfaits, et l'ensemble semi-simplicial obtenu est le nerf de \(\mathfrak{X}\) privé de ses dégénérescences ; ses réalisations sont canoniquement homéomorphes à celle de \(\mathfrak{X}\).

Ces exemples satisfont de plus

1. (d)tout \(d\) est la borne supérieure de \(I_d\),

c'est-à-dire que \(D_*\) est l'ensemble des simplexes d'un complexe simplicial — d'une « multiplicité simpliciale », dit la page. Mais (a) à (d) ne caractérisent pas les drapeaux d'un ensemble ordonné : ils caractérisent les complexes simpliciaux munis d'un ordre sur les sommets, total sur chaque simplexe, et tel que deux sommets comparables soient joints par une arête. Les drapeaux de \(\mathfrak{X}\) sont ceux où, de plus, toute partie totalement ordonnée est un simplexe.³¹

26–29

Second exemple : ensembles à opérateurs et drapeaux de type \(H\) (pages 26 à 29)

Soit \(G\) un groupe et \(\sigma_0, \ldots, \sigma_n \in G\) tels que \(\sigma_i\) et \(\sigma_j\) commutent pour \(|i - j| \geqslant 2\). Pour \(K \subset \Delta_n\), soit \(G_K\) le sous-groupe engendré par les \(\sigma_i\), \(i \in K\), et, pour \(H \subset \Delta_n\) non vide, \(N_H = G_{\Delta_n \smallsetminus H}\). Soit \(X\) un \(G\)-ensemble ; posons \[ D(H) = X / N_H \qquad (\text{drapeaux de type } H) . \] Si \(H \subset H'\), \(N_{H'} \subset N_H\) donne une restriction \(D(H') \to D(H)\), et \(H \mapsto D(H)\) est un préfaisceau sur \(\mathfrak{P}^*(\Delta_n)\). Le modèle est l'ensemble \(X\) des drapeaux complets d'une décomposition, avec l'action du groupe cartographique : \(X/N_H\) est l'ensemble de ses drapeaux de type \(H\), comme le voulait l'axiome 4 de la page 3.³² L'ensemble ordonné \(D_* = \coprod_H D(H)\), avec \(d \leqslant d'\) si \(H \subset H'\) et \(d\) est la restriction de \(d'\), satisfait (a), avec \(I_d \simeq H\) pour \(d \in D(H)\) ; ses éléments minimaux forment \(D_0 = \coprod_i X/N_{\{i\}}\).

L'ordre sur \(D_0\). Pour \(x \in D(\{i\})\), \(y \in D(\{j\})\), posons \(x \prec y\) si \(i < j\) et si \(x\) et \(y\) ont un majorant commun. Cette relation satisfait (b) et (c) ; elle est transitive dès que \[ D(\{i, j, k\}) \longrightarrow D(\{i, j\}) \times_{D(\{j\})} D(\{j, k\}) \qquad (i < j < k) \] est surjective, et c'est le cas par le lemme suivant.

Lemme (pages 27 et 28). Soient \(H, H' \subset \Delta_n\) tels que le plus grand élément de \(H\) soit dans \(H'\), et que \(H \cap H'\) soit un segment initial de \(H'\). Alors \[ D(H \cup H') \longrightarrow D(H) \times_{D(H \cap H')} D(H') \] est surjective.³³

Démonstration. Avec \(K = \Delta_n \smallsetminus H\) et \(K' = \Delta_n \smallsetminus H'\), la flèche est \(X/G_{K \cap K'} \to X/G_K \times_{X/G_{K \cup K'}} X/G_{K'}\), et il suffit que \(G_{K \cup K'} = G_{K'} \cdot G_K\) : si \((G_Kx, G_{K'}y)\) est dans le produit fibré, \(y = k'kx\) avec \(k' \in G_{K'}\), \(k \in G_K\), et \(z = kx\) a les deux images voulues. Soit \(i\) le plus grand élément de \(H\) ; il est dans \(H \cap H'\), donc hors de \(K \cup K'\), et \[ K \cup K' = K'_0 \sqcup K_0, \qquad K'_0 = (K \cup K') \cap [0, i-1], \quad K_0 = (K \cup K') \cap [i+1, n] . \] On a \(K_0 \subset K\), car \([i+1, n]\) ne rencontre pas \(H\) ; et \(K'_0 \subset K'\), car un \(j < i\) qui serait dans \(H'\) serait dans le segment initial \(H \cap H'\). Les indices de \(K'_0\) et de \(K_0\) diffèrent d'au moins deux, donc \(G_{K'_0}\) et \(G_{K_0}\) commutent, et \(G_{K \cup K'} = G_{K'_0} G_{K_0} \subset G_{K'} G_K\).

Ainsi, pour tout \(G\)-ensemble \(X\), \((D_*, \prec)\) satisfait (a), (b), (c) et la transitivité, et définit un ensemble semi-simplicial satisfaisant (1), avec \(D_m = \coprod_{\mathrm{card}\, H = m+1} X/N_H\). La page n'exige pas des \(\sigma_i\) qu'ils soient des involutions.

Programme (page 29). La page s'arrête sur deux tâches : a) trouver, en termes de l'ensemble ordonné \((D_*, \prec)\), des conditions pour que (2 bis) soit satisfaite, et plus généralement pour la surjectivité de \(D(\Delta_n) \to D(H) \times_{D(H \cap H')} D(H')\) quand \(\Delta_n = H \cup H'\) ; b) décrire la décomposition cellulaire de \(|D_*|\) associée à l'ordre sur \(D_0\) — la question de la page 19 — et reconstituer \((D_*, <, \prec)\) à partir de la structure d'espace décomposé en cellules et de ses structures coniques. Le reste de la page est blanc.

30–33

Préfaisceaux sur les parties finies de \(\mathbf{N}\) (pages 30 à 33)

Soit \(D\) un préfaisceau d'ensembles sur l'ensemble ordonné \(\mathfrak{P}^*(\mathbf{N})\) — une paracarte au sens de la page 13 — et \[ \Theta(D) = \coprod_{A} D(A), \qquad \Theta_n(D) = \coprod_{\mathrm{card}\, A = n+1} D(A) , \] ordonné par \(d \leqslant d'\) si \(A \subset A'\) et \(d\) est la restriction de \(d'\) : c'est l'ensemble ordonné associé à la catégorie fibrée de \(D\), avec une application croissante \(\Theta(D) \to \mathfrak{P}^*(\mathbf{N})\). On s'intéresse surtout au cas où les \(D(A)\) sont finis et nuls hors des parties de \([0, N]\) : \(\Theta(D)\) est fini, et sa réalisation \(|D|\) est un espace à triangulation finie où \(\Theta(D)\) se réalise comme un ensemble de parties.

L'ordre de \(\mathbf{N}\) donne aussitôt une structure semi-simpliciale : si \(A\) a \(m+1\) éléments, \(u_A : \Delta_m \xrightarrow{\sim} A\) est la bijection croissante, et pour \(\sigma : \Delta_n \to \Delta_m\) strictement croissante, \(\sigma^* : D(A) \to D(u_A\sigma(\Delta_n))\) est la restriction. Faisant varier \(A\), on obtient \(\sigma^* : \Theta_m(D) \to \Theta_n(D)\), et les \(\Theta_n(D)\) forment un ensemble semi-simplicial. C'est le cas \(I = \mathbf{N}\) des pages 16 à 18, l'ordre de \(\mathbf{N}\) fournissant les ordres totaux compatibles sur les simplexes.

Tout ceci vaut pour un ensemble ordonné \(N\) quelconque, en remplaçant \(\mathfrak{P}^*(\mathbf{N})\) par l'ensemble \(\mathrm{Dr}(N)\) des drapeaux de \(N\) — ses parties finies non vides totalement ordonnées —, qui est l'ensemble ordonné associé au foncteur \(\varphi_N(\Delta_n) = \{\text{applications strictement croissantes } \Delta_n \to N\}\), c'est-à-dire au nerf non dégénéré de \(N\). Un préfaisceau \(D\) sur \(\mathrm{Dr}(N)\) donne alors des applications croissantes \[ \Theta(D) \longrightarrow \mathrm{Dr}(N) \longrightarrow \Delta_{\mathrm{inj}} , \] la seconde au sens des catégories fibrées. La page 33 s'arrête là, aux deux tiers vide.

35–37

Cartes cellulaires de dimension \(n\) et groupe cartographique (pages 35 à 37)

La page 35 ouvre une nouvelle suite, sous un titre encadré : « Cartes cellulaires \(n\)-dim et groupes cartographiques ».

Filtrations admissibles. Une filtration \(\emptyset = X_{-1} \subset X_0 \subset \cdots \subset X_n = X\) est \(n\)-admissible — ou régulière, dit la page 36 — si, pour \(0 \leqslant i \leqslant n\) :

1. a)le découpage \(\widetilde{X}_i = \mathrm{Déc}(X_i, X_{i-1})\) est une somme topologique de boules fermées de dimension \(i\), dont la partie au-dessus de \(X_{i-1}\) est le bord \(\partial\widetilde{X}_i\), et \(p_i : \widetilde{X}_i \to X_i\) est fini — de sorte que \(X_i \smallsetminus X_{i-1}\) est une somme de boules ouvertes de dimension \(i\) ;
2. b)pour \(i \geqslant 1\), la filtration de \(\partial\widetilde{X}_i\) image inverse de \(X_0 \subset \cdots \subset X_{i-1}\) par \(q_{i-1} : \partial\widetilde{X}_i \to X_{i-1}\) est \((i-1)\)-admissible, et les applications \(q_{i-1}^{-1}(X_j) \smallsetminus q_{i-1}^{-1}(X_{j-1}) \to X_j \smallsetminus X_{j-1}\) sont étales.

Autrement dit, par récurrence : une filtration \(0\)-admissible est un espace discret, une filtration \(1\)-admissible un graphe topologique dont les arêtes sont des segments attachés par leurs extrémités, et une filtration \(n\)-admissible s'obtient d'une filtration \((n-1)\)-admissible en attachant à \(X_{n-1}\) une réunion disjointe de boules fermées de dimension \(n\) par une application finie \(q : \partial\widetilde{X}_n \to X_{n-1}\) telle que l'image inverse de la filtration soit \((n-1)\)-admissible et que \(q\) soit étale sur chaque strate.³⁴ Ce sont des complexes CW dont les applications d'attachement sont des homéomorphismes locaux sur chaque strate ; elles ne sont pas injectives en général — une boucle est un graphe \(1\)-admissible —, de sorte que ce ne sont pas des complexes CW réguliers.³⁵

Morphismes. Un morphisme \(f : X \to Y\) d'espaces à \(n\)-filtration régulière est une application finie telle que \(f^{-1}(Y_i) = X_i\) et que \(X_i \smallsetminus X_{i-1} \to Y_i \smallsetminus Y_{i-1}\) soit étale — donc un revêtement fini, \(f\) étant propre. On note \(\mathcal{F}_n\) leur catégorie et \(\mathcal{F}_n^\circ\) la sous-catégorie pleine des objets dont l'espace est une variété topologique de dimension \(n\), sans bord.³⁶

Les foncteurs \(E_n\). Par récurrence sur \(n \geqslant 1\), on construit deux foncteurs qui rendent commutatif le carré

\begin{tikzcd}
  \mathcal{F}_n^\circ \arrow[r, "E_n^\circ"] \arrow[d, hook] & G_n\text{-ens}
  \arrow[d, "\text{oubli}"] \\
  \mathcal{F}_n \arrow[r, "E_n"] & G_{n-1}\text{-ens}
\end{tikzcd}

1. (1)\(n = 1\). \(E_1(X_1) = \partial\widetilde{X}_1\), l'ensemble des extrémités des segments — les demi-arêtes. L'application \(\partial\widetilde{X}_1 \to \pi_0(\widetilde{X}_1)\), vers l'ensemble des arêtes, a ses fibres de cardinal 2 ; sa permutation caractéristique \(\sigma_0\) échange les deux bouts d'une arête. Si \(X_1\) est une variété de dimension 1, \(\partial\widetilde{X}_1 \to X_0\) a aussi ses fibres de cardinal 2, d'où \(\sigma_1\), qui échange les deux demi-arêtes en un sommet.
2. (2)\(n \geqslant 2\). \(\partial\widetilde{X}_n\), muni de la filtration image inverse, est une somme de sphères de dimension \(n-1\) filtrées, donc un objet de \(\mathcal{F}_{n-1}^\circ\), et l'on pose \[ E_n(X_n) = E_{n-1}^\circ(\partial\widetilde{X}_n) , \] muni de \(\sigma_0, \ldots, \sigma_{n-1}\), c'est-à-dire de l'action de \(G_{n-1}\) ; c'est la composée de \(\partial : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n-1}^\circ\) et de \(E_{n-1}^\circ\). Si \(X_n\) est une variété, le morphisme de \(G_{n-2}\)-ensembles \(E_{n-1}(\partial\widetilde{X}_n) \to E_{n-1}(X_{n-1})\) a ses fibres de cardinal 2 — une cellule de dimension \(n-1\) est dans exactement deux cellules de dimension \(n\) —, et sa permutation caractéristique est \(\sigma_n\) ; elle commute à \(\sigma_0, \ldots, \sigma_{n-2}\).³⁷

Ainsi \(E_n^\circ(X)\) est l'ensemble des drapeaux complets \((x_0, \ldots, x_n)\) de la décomposition, avec les opérations des pages 3 et 7 ; \(E_n(X)\), pour un \(X\) qui n'est pas une variété, garde les opérations \(\sigma_0, \ldots, \sigma_{n-1}\) qui ont un sens à l'intérieur d'une cellule.

38–40

Le programme : théorèmes 1 à 4 (pages 38 à 40)

Théorème 1 (énoncé). Soit \(n \geqslant 1\). Le foncteur \(E_n^\circ\) passe à la catégorie isotopique déduite de \(\mathcal{F}_n^\circ\) et induit un foncteur pleinement fidèle \[ \mathcal{F}_n^\circ \longrightarrow (G_n\text{-ens}) , \] dont l'image essentielle est formée de \(G_n\)-ensembles finis où les \(\sigma_i\) opèrent sans point fixe.³⁸

Cascades. À \(X_n \in \mathcal{F}_n\) on associe une cascade d'ensembles à opérateurs \[ R_n(X_n) \to R_{n-1}(X_n) \to \cdots \to R_1(X_n) \to R_0(X_n), \qquad R_i(X_n) = E_i(X_i) , \] \(R_i\) étant un \(G_{i-1}\)-ensemble et \(R_0(X_n) = X_0\) un simple ensemble ; la flèche \(R_i \to R_{i-1}\) s'obtient en appliquant \(E_{i-1}\) à \(\partial\widetilde{X}_i \to X_{i-1}\), et c'est un morphisme de \(G_{i-2}\)-ensembles. Soit \((\mathrm{Casc})_n\) la catégorie de ces cascades : ce sont exactement les \(n\)-complexes combinatoires de la page 7, la condition d'invariance de la page 7 étant celle qu'on vérifie sur les cascades d'espaces filtrés.³⁹

Théorème 2 (énoncé). Le foncteur \(\varphi_n : \mathcal{F}_n \to (\mathrm{Casc})_n\), de la catégorie isotopique déduite de \(\mathcal{F}_n\), est pleinement fidèle.

Il faut aussi un foncteur \(\rho_n : (G_n\text{-ens}) \to (\mathrm{Casc})_n\) qui prolonge \(\varphi_n\) sur \(\mathcal{F}_n^\circ\) :

Théorème 3 (énoncé). Pour \(X_n \in \mathcal{F}_n^\circ\), de \(G_n\)-ensemble \(E = E_n^\circ(X_n)\), \[ R_n(X_n) \simeq E \ (\text{en oubliant } \sigma_n), \quad R_{n-1}(X_n) \simeq E/\langle \sigma_n \rangle, \quad \ldots, \quad R_0(X_n) \simeq E/\langle \sigma_n, \ldots, \sigma_1 \rangle , \] les flèches de transition étant les passages au quotient, et \(R_{n-k}(X_n)\) gardant l'action de \(\sigma_0, \ldots, \sigma_{n-k-1}\), qui commutent à \(\sigma_{n-k+1}, \ldots, \sigma_n\). On pose donc \(\rho_n(E) = (E \to E/\langle\sigma_n\rangle \to \cdots)\).⁴⁰

Le multicône (page 40). En sens inverse, on cherche des foncteurs — adjoints ? — \((\mathrm{Casc})_n \to \mathcal{F}_n\) et \((G_n\text{-ens}) \to \mathcal{F}_n^\circ\). On définit \(\psi_n : (\mathrm{Casc})_n \to \mathcal{F}_n\) par récurrence. Pour \(n = 0\), \(\psi_0(E_0)\) est \(E_0\) muni de la topologie discrète. En général, une cascade \(C_n = (E_n \to E_{n-1} \to \cdots \to E_0)\) contient la cascade tronquée \(C_{n-1} = (E_{n-1} \to \cdots \to E_0)\), qui définit \(X_{n-1} = \psi_{n-1}(C_{n-1})\). Les cellules de dimension \(n\) seront les orbites, \(\pi_0(\widetilde{X}_n) \simeq E_n/G_{n-1}\) ; leur bord est \[ \partial\widetilde{X}_n = \psi_{n-1}\bigl(\rho_{n-1}(E_n)\bigr) , \] et l'application d'attachement \(\partial\widetilde{X}_n \to X_{n-1}\) s'obtient en appliquant \(\psi_{n-1}\) au morphisme de cascades \(\rho_{n-1}(E_n) \to C_{n-1}\) — qui existe précisément grâce à la condition d'invariance de la page 7. Alors \[ \psi_n(C_n) = \text{multicône de } \psi_{n-1}\bigl(\rho_{n-1}(E_n) \to C_{n-1}\bigr) : \] on attache à \(X_{n-1}\) un cône sur chaque composante de \(\partial\widetilde{X}_n\), comme à la page 12.⁴¹

Théorème 4 (annoncé). Description de \(\psi_n\), et le cas échéant propriété d'adjonction.

41–42

Théorèmes 5 à 7, et d'autres points (pages 41 et 42)

Théorème 5 (annoncé). Subdivisions barycentriques de \(\psi_n(C_n)\), et leur description par des ensembles pseudo-simpliciaux.⁴²

Remarque. Se donner un homéomorphisme \(X_n \simeq \psi_n\varphi_n(X_n)\) revient à se donner, pour toute cellule \(\widetilde{X}_i^\alpha\), un homéomorphisme \(\widetilde{X}_i^\alpha \simeq \mathrm{Cône}(\partial\widetilde{X}_i^\alpha)\) induisant l'identité sur le bord.⁴³ La subdivision barycentrique se fait au-dessus d'une telle structure ; itérée deux fois, elle donne une triangulation, dont il faudrait décrire le complexe simplicial — un ensemble et des parties finies stables par inclusion — en termes de la cascade \(C_n\) : ce serait un théorème 6.

Théorème 7 (annoncé, sans énoncé). Caractériser l'image essentielle de \(\mathcal{F}_n^\circ\) dans les \(G_n\)-ensembles, et par là celle de \(\mathcal{F}_n\) dans les cascades, « en termes combinatoires ! Voire, ce qui revient au même : étudier si un espace triangulé est homéomorphe à une sphère — cela semble lié : l'hypothèse de Poincaré ! ».⁴⁴

Autres points à examiner : les relations avec les ensembles ordonnés, « polyèdres combinatoires », par les drapeaux ; la dualité dans \(\mathcal{F}_n^\circ\) ; les filtrations admissibles d'un produit d'espaces ; les fibrations.⁴⁵

45–45

Aparté : petits ensembles et géométries finies (page 45)

Une page de listing, sans lien apparent avec ce qui l'entoure, dit qu'un petit ensemble fini « est » une géométrie finie : que se donner un ensemble à \(k\) éléments revient à se donner une telle géométrie, les isomorphismes se correspondant. On lit, avec ce qu'on sait aujourd'hui :

• 2 éléments : un torseur sous \(\mathbf{F}_2\), ou une droite affine sur \(\mathbf{F}_2\) ;
• 3 éléments : une droite affine sur \(\mathbf{F}_3\), les vecteurs non nuls d'un plan sur \(\mathbf{F}_2\), une droite projective sur \(\mathbf{F}_2\) — de groupes \(\mathrm{Aff}(1, \mathbf{F}_3) \simeq \mathrm{GL}(2, \mathbf{F}_2) \simeq \mathfrak{S}_3\) ;
• 4 éléments : un plan affine sur \(\mathbf{F}_2\), une droite projective sur \(\mathbf{F}_3\) — \(\mathrm{Aff}(2, \mathbf{F}_2) \simeq \mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_3) \simeq \mathfrak{S}_4\) ; et, avec une orientation, une droite affine sur \(\mathbf{F}_4\), \(\mathrm{Aff}(1, \mathbf{F}_4) \simeq \mathfrak{A}_4\) ;
• 5 éléments orientés : une droite projective sur \(\mathbf{F}_4\), \(\mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_4) \simeq \mathfrak{A}_5\) ;
• 5 éléments, sans orientation : par \(\mathfrak{S}_5 \simeq \mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_5)\), un ensemble \(E\) à 5 éléments définit une droite projective sur \(\mathbf{F}_5\), à 6 points, que la page rapproche de l'icosaèdre.

⁴⁶

La seconde moitié de la page compte les points des groupes de Chevalley sur un corps fini. Pour \(G\) réductif déployé de rang \(r\), à \(N\) racines positives, de degrés \(d_\lambda\), \[ \mathrm{card}\, G(\mathbf{F}_q) = q^N (q-1)^r \,\mathrm{card}\, (G/B)(\mathbf{F}_q) = q^N (q-1)^r \prod_\lambda \frac{q^{d_\lambda} - 1}{q - 1} , \] et \(\mathrm{card}\,(G/B)(\mathbf{F}_q) = \sum_w q^{\ell(w)} = P_{G/B}(\sqrt{q})\), la somme portant sur les cellules de Bruhat, où \[ P_{G/B}(T) = \frac{\prod_\lambda (1 - T^{2d_\lambda})}{(1 - T^2)^r} \] est le polynôme de Poincaré de la variété des drapeaux, ce qu'exprime aussi \(P_{BG} \cdot P_{G/B} = P_{BT}\).⁴⁷ Pour \(\mathrm{PGL}_3\) — « \(GP(2)\) », \(N = 3\), \(r = 2\), \(d_\lambda = 2, 3\) — cela donne \(q^3(q-1)^2(q+1)(q^2+q+1)\). Un tableau dressé à la main donne les ordres de \(\mathrm{GL}(1)\), \(\mathrm{Aff}(1)\), \(\mathrm{SL}(2)\), \(\mathrm{PGL}(2)\), \(\mathrm{GL}(2)\), \(\mathrm{Aff}(2)\) sur \(\mathbf{F}_q\) pour \(q = 2, 3, 4, 5\) ; toutes les valeurs sont justes, et ce sont celles qu'il faut pour vérifier les identifications de la première moitié : \(6 = \mathrm{card}\, \mathrm{GL}(2, \mathbf{F}_2)\), \(24 = \mathrm{card}\, \mathrm{Aff}(2, \mathbf{F}_2) = \mathrm{card}\, \mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_3)\), \(12\), \(60\), \(120\).

47–47

Sujets de DEA (page 47)

1. 1)La catégorie isotopique des \(1\)-complexes topologiques compacts à groupe fini d'automorphismes, avec plus de morphismes que les seuls isomorphismes.
2. 2)La catégorie isotopique des cartes cellulaires — le programme des pages 35 à 42.
3. 3)La convexité du point de vue de la géométrie projective : pour \(A\) convexe dans un espace projectif réel, existe-t-il un hyperplan qui ne le rencontre pas ?⁴⁸
4. 4)La géométrie des cubes et les espaces homogènes de \(\mathfrak{S}_4\) — que la fin du dossier aborde : le groupe des rotations du cube est \(\mathfrak{S}_4\) (page 61).

49–50

Cube combinatoire : le cube d'un ensemble à involution (pages 49 et 50)

La chemise de la page 43 porte « cube combinatoire », au-dessus de « 2-cartes cellulaires » biffé.

La maquette. Soit \((\mathbb{B}, \sigma)\) un ensemble fini muni d'une involution sans point fixe, \(I = \mathbb{B}/\sigma\), \(n = \mathrm{card}\, I\). Posons \[ E = \mathrm{Hom}_{\{\pm 1\}}(\mathbb{B}, \mathbf{R}) = \{\varphi : \mathbb{B} \to \mathbf{R} \mid \varphi(\sigma b) = -\varphi(b)\} , \qquad C = \{\varphi \in E \mid |\varphi(b)| \leqslant 1 \ \forall b\} . \] Le choix d'une section de \(\mathbb{B} \to I\) identifie \(E\) à \(\mathbf{R}^I\) et \(C\) au cube \([-1, 1]^I\) ; mais \(C\) est défini sans ce choix. Un élément \(b\) de \(\mathbb{B}\) définit la facette \(\{\varphi(b) = 1\}\), et \(\sigma b\) la facette opposée.⁴⁹

Proposition (page 49). Pour \(J \in \mathrm{Sp}(\mathbb{B})\), soit \[ F(J) = \{\varphi \in C \mid \varphi(b) = 1 \ \forall b \in J, \ \varphi(b) \neq \pm 1 \ \forall b \notin J \cup \sigma J\} , \] une face ouverte de \(C\). Alors \(J \mapsto F(J)\) est une bijection de \(\mathrm{Sp}(\mathbb{B})\) sur l'ensemble des faces non vides de \(C\), qui renverse l'ordre — les faces étant ordonnées par l'inclusion de leurs adhérences. Le treillis des faces de \(C\) est donc l'opposé de \(\mathrm{Sp}(\mathbb{B})\), auquel on ajoute un plus petit élément, la face vide. La section vide donne \(C\) lui-même, les sections totales les sommets.⁵⁰

Proposition (page 49). Soit \(p : \mathbb{B} \to I\) une surjection et \(\mathcal{P}(p)\) l'ensemble de ses sections partielles, ordonné par inclusion. Le foncteur \(p \mapsto \mathcal{P}(p)\), du groupoïde des surjections vers les ensembles ordonnés, est pleinement fidèle. En effet, on retrouve \(\mathbb{B}\) comme l'ensemble des éléments minimaux de \(\mathcal{P}(p) \smallsetminus \{\emptyset\}\), et la relation \(p(b) = p(b')\) comme : \(b = b'\), ou aucune section totale ne contient à la fois \(b\) et \(b'\).

Corollaire (page 50). Pour deux maquettes \((\mathbb{B}, \sigma)\), \((\mathbb{B}', \sigma')\) de cubes \(C\), \(C'\), les applications \[ \mathrm{Isom}\bigl((\mathbb{B}, \sigma), (\mathbb{B}', \sigma')\bigr) \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Isom}_{\mathrm{aff}}(C, C') \xrightarrow{\ \beta\ } \mathrm{Isom}_{\mathrm{ord}}\bigl(\mathrm{Fac}(C), \mathrm{Fac}(C')\bigr) \] sont des bijections. En particulier \[ \mathrm{Aut}(C) \simeq \mathrm{Aut}(\mathbb{B}, \sigma) = \{\pm 1\}^I \rtimes \mathfrak{S}_I , \] le centralisateur de \(\sigma\) dans le groupe des permutations de \(\mathbb{B}\), d'ordre \(2^n n!\).⁵¹

Démonstration. \(\beta\alpha\) est bijective par les deux propositions ; \(\beta\) est injective, une application affine étant déterminée par son effet sur les sommets ; donc \(\beta\), surjective, est bijective, et \(\alpha\) aussi. La page ajoute qu'on peut remplacer les isomorphismes affines par les isomorphismes projectifs.⁵²

Corollaire. Les faces d'un cube sont des cubes.

51–53

Drapeaux du cube, antipodie, nombre de faces (pages 51 à 53)

Proposition (page 51). \(\mathrm{Aut}(C)\) opère simplement transitivement sur l'ensemble \(\mathrm{Drap}(C)\) des drapeaux complets \(F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_n = C\) de faces ; c'est ce qu'on appellera un polyèdre régulier.

En effet, une face de dimension \(d\) est contenue dans exactement \(n - d\) faces de dimension \(d+1\), de sorte que \[ \mathrm{card}\, \mathrm{Drap}(C) = 2^n \cdot n \cdot (n-1) \cdots 1 = 2^n n! = \mathrm{card}\, \mathrm{Aut}(C) , \] et il suffit que l'action soit libre, ce qui vaut pour tout polyèdre convexe :

Lemme (page 51). Un automorphisme affine \(u\) d'un polyèdre convexe \(C\) qui fixe un drapeau complet est l'identité.

Démonstration. Par récurrence sur la dimension. Si \(u\) fixe \((F_0, \ldots, F_{n-1}, C)\), il est l'identité sur la facette \(F_{n-1}\) par hypothèse de récurrence, donc sur l'hyperplan \(H\) qu'elle engendre. Un automorphisme affine d'ordre fini — \(\mathrm{Aut}(C)\) est fini — qui fixe \(H\) point par point est l'identité ou une symétrie par rapport à \(H\) ; une symétrie échange les deux demi-espaces que borde \(H\) et ne peut respecter \(C\), qui est d'un seul côté.

Corollaire. Pour un cube \(C_0\) de dimension \(n\) muni d'un drapeau \(D_0\) et tout cube \(C\) de dimension \(n\), \(u \mapsto u(D_0)\) est une bijection \(\mathrm{Isom}(C_0, C) \simeq \mathrm{Drap}(C)\). Ainsi \(\mathrm{Drap}(C)\) est un torseur à droite sous \(G_0 = \mathrm{Aut}(C_0)\), et un torseur à gauche sous \(\mathrm{Aut}(C)\), qui est le centralisateur de l'action de \(G_0\) ; et \[ C \longmapsto \mathrm{Drap}(C) , \qquad \{n\text{-cubes}\} \xrightarrow{\ \sim\ } \{G_0\text{-torseurs à droite}\} , \] est une équivalence de groupoïdes. On peut prendre pour \((C_0, D_0)\) le cube standard, de maquette \([1, n] \times \{\pm 1\}\), avec le drapeau défini par les sections partielles \([1, i] \times \{+1\}\), \(0 \leqslant i \leqslant n\), d'où \(G_0 \simeq \{\pm 1\}^n \rtimes \mathfrak{S}_n\).⁵³

L'antipodie (page 53). La symétrie centrale \(-\mathrm{id}\) du cube est, du point de vue combinatoire, \(J \mapsto \sigma J\) sur les sections partielles, et, du point de vue de la maquette, l'automorphisme \(\sigma\) de \((\mathbb{B}, \sigma)\). Pour toute face propre \(F\), \(F\) et \(\sigma F\) sont disjointes ; pour une facette, \(\sigma F\) est l'unique facette qui ne la rencontre pas. Le centre de \(\mathrm{Aut}(C)\) est \(\{1, \sigma\}\), de sorte que \(\sigma\) est son unique élément central non trivial.⁵⁴

Nombre de faces. Le cube a \(c_d = \binom{n}{d} 2^{n-d}\) faces de dimension \(d\), et \[ \sum_{d=0}^n (-1)^d c_d = \sum_{d=0}^n (-1)^d \binom{n}{d} 2^{n-d} = (2 - 1)^n = 1 , \] formule d'Euler–Poincaré qui vaut, souligne la page, pour tout polyèdre convexe de dimension \(n\), la face \(C\) comptée.

54–56

Orientations, polyèdres réguliers (pages 54 à 56)

L'orientation du cube. L'ensemble à deux éléments des orientations de \(C\) est, par définition provisoire, celui de l'espace affine qu'il engendre, et \[ \omega_C = \omega_E \simeq \omega_I \wedge \bigwedge_{i \in I} \mathbb{B}_i , \] produit contracté de \(\{\pm 1\}\)-torseurs : une orientation de \(E \simeq \mathbf{R}^I\) est la donnée d'une orientation de l'ensemble \(I\) — un ordre total à permutation paire près — et d'un signe dans chaque fibre \(\mathbb{B}_i\), modulo un changement pair. L'antipodie \(\sigma\) agit sur chaque fibre, donc sur \(\omega_C\) par \((-1)^n\).

Proposition. L'antipodie conserve l'orientation si et seulement si \(n\) est pair. Corollaire. Pour \(n\) impair, \(\mathrm{Aut}(C) \simeq \mathrm{Aut}^+(C) \times \{\pm 1\}\).

Orientation combinatoire. Pour un polyèdre convexe \(C\) engendrant \(E\), l'ensemble \(\omega_E\) se décrit en termes du seul ensemble ordonné \(\mathrm{Fac}(C)\). Un drapeau complet détermine une orientation — celle de la base \(p_1 - p_0, \ldots, p_n - p_0\), pour des points \(p_i\) choisis à l'intérieur relatif de \(F_i\), qui ne dépend que du drapeau —, et une orientation de \(E\) revient à la partie \(D^+\) des drapeaux « directs ». La solution combinatoire : parmi les partitions \(\mathrm{Drap}(C) = D^+ \sqcup D^-\), ce sont celles que chaque \(\sigma_i\), \(0 \leqslant i \leqslant n-1\), échange ; il y en a exactement deux.⁵⁵

Proposition (page 55). Pour un polyèdre convexe \(C\), les homomorphismes \[ \mathrm{Aut}(C) \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}} (\mathrm{Fac}(C)) \xrightarrow{\ \beta\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}\, \mathrm{Drap}(C) \] sont injectifs, et \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}(\mathrm{Fac}(C))\) agit librement sur \(\mathrm{Drap}(C)\). Pour \(\alpha\) : un automorphisme est connu sur les points extrémaux. Pour la liberté, soit \(u\) un automorphisme de \(\Phi = \mathrm{Fac}(C)\) fixant un drapeau complet ; par récurrence, \(u\) est l'identité sur \(\Phi_{\leqslant F_{n-1}}\). S'il est l'identité sur \(\Phi_{\leqslant x}\), \(x\) une facette, et si \(y\) est une facette qui partage avec \(x\) une face de dimension \(n - 2\), il fixe \(y\) — seule autre facette contenant cette face — et un drapeau de \(\Phi_{\leqslant y}\), donc est l'identité sur \(\Phi_{\leqslant y}\). Il reste à voir que la relation « partager une face de dimension \(n-2\) » engendre la relation grossière sur les facettes, ce que la page renvoie à un « argument topologique de connexité ».⁵⁶

Polyèdres réguliers et homogènes. \(C\) est régulier si \(\mathrm{Aut}(C)\) est transitif — donc simplement transitif — sur \(\mathrm{Drap}(C)\), et homogène si, pour \(0 \leqslant i \leqslant n - 1\), toute face de dimension \(i+1\) contient le même nombre \(d_i\) de faces de dimension \(i\). Alors \(\mathrm{card}\, \mathrm{Drap}(C) = d_0 d_1 \cdots d_{n-1}\).⁵⁷ Évidemment régulier implique homogène. Avec \[ N = \mathrm{card}\, \mathrm{Aut}(C), \quad N_c = \mathrm{card}\, \mathrm{Aut}(\mathrm{Fac}(C)), \quad R = \mathrm{card}\, \mathrm{Drap}(C) , \] on a \(N \mid N_c \mid R\) — un sous-groupe, puis une action libre — et \(C\) est régulier si et seulement si \(N = R\), auquel cas \(N = N_c = R = d_0 \cdots d_{n-1}\).

Orientation d'un polyèdre convexe (page 56) : une orientation de l'espace affine \(E_C\) qu'il engendre. Par ce qui précède, l'ensemble \(\omega(C)\) ne dépend, à isomorphisme canonique près, que de \(\mathrm{Fac}(C)\), d'où des applications \(\mathrm{Isom}_{\mathrm{ord}}(\mathrm{Fac}(C), \mathrm{Fac}(C')) \to \mathrm{Isom}(\omega(C), \omega(C'))\) et un homomorphisme \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}(\mathrm{Fac}(C)) \to \{\pm 1\}\). Si \(C\) a une antipodie — un centre de symétrie —, sa signature est \((-1)^n\).

57–60

Les classes de conjugaison de \(\mathrm{Aut}(C_n)\) (pages 57 à 60)

Réduction. Un automorphisme \(u\) du cube est un automorphisme de la maquette ; il induit \(u_I\) sur \(I\), qui décompose \(I\) en orbites \(I_\alpha\), et \(u_I\) est connu à conjugaison près par les cardinaux de ces orbites. Avec \(\mathbb{B}_\alpha\) l'image inverse de \(I_\alpha\), la situation est la somme des \((\mathbb{B}_\alpha, u|\mathbb{B}_\alpha)\) : géométriquement, \(C = \prod_\alpha C_\alpha\) et \(u = \prod_\alpha u_\alpha\). On est ramené au cas où \(u_I\) est un cycle sur \(I\), de longueur \(n\). Il y a alors deux cas :

1. a)\(\mathbb{B}\) est réunion de deux orbites de \(u\), chacune une section de \(\mathbb{B} \to I\) ; si \(\varepsilon\) est l'ensemble de ces deux orbites, \(\mathbb{B} \simeq \varepsilon \times I\) et \(u = \mathrm{id}_\varepsilon \times u_I\) ;
2. b)le « cas tordu » : \(\mathbb{B}\) est une seule orbite, de longueur \(2n\), et \(u^n = \sigma\). La situation est déterminée à isomorphisme près par \(n\).

Dans des coordonnées, a) est un cycle de signe total \(+1\) et b) un cycle de signe total \(-1\).

Proposition (page 58). Les classes de conjugaison de \(\mathrm{Aut}(C_n) = \{\pm 1\}^n \rtimes \mathfrak{S}_n\) sont paramétrées par deux suites d'entiers \((\alpha_i^+)\), \((\alpha_i^-)\), \(\alpha_i^+\) (resp. \(\alpha_i^-\)) étant le nombre de cycles de longueur \(i\) de \(u_I\) au-dessus desquels \(u\) a deux cycles de longueur \(i\) (resp. un cycle de longueur \(2i\)), soumises à \[ \sum_i i\,(\alpha_i^+ + \alpha_i^-) = n . \] ⁵⁸

Faces fixes. Les faces non vides fixées par \(u\) correspondent aux sections partielles stables par \(u\). Au-dessus d'un cycle tordu, une telle section est vide, puisque l'orbite contient les deux points de chaque fibre ; au-dessus d'un cycle non tordu, elle est vide ou l'une des deux orbites. Il y a donc \(3^{\sum_i \alpha_i^+}\) faces fixes, \(C\) comprise, et, si \(f_d\) est le nombre de faces fixes de codimension \(d\) — celles des sections à \(d\) éléments —, \[ \sum_{d=0}^n f_d\, t^d = \prod_{i \geqslant 1} (1 + 2t^i)^{\alpha_i^+} . \] ⁵⁹

Le cas \(n = 3\) (pages 59 et 60). La page énumère les classes, avec en marge le signe du déterminant et le cardinal de la classe :

• un 3-cycle, non tordu : rotation d'ordre 3 autour d'une grande diagonale (\(+\), 8) ;
• un 3-cycle, tordu : la précédente composée avec l'antipodie, ordre 6 (\(-\), 8) ;
• 1 + 2, non tordus : symétrie par rapport à un plan diagonal (\(-\), 6) ;
• 1 tordu, 2 non tordu : demi-tour autour d'un axe passant par deux milieux d'arêtes (\(+\), 6) ;
• 1 non tordu, 2 tordu : quart de tour autour d'un axe passant par deux centres de faces (\(+\), 6) ;
• 1 + 2, tordus : le précédent composé avec l'antipodie, ordre 4 (\(-\), 6) ;
• 1 + 1 + 1, \(\alpha_1^+ = 3\) : identité (\(+\), 1) ;
• 1 + 1 + 1, \(\alpha_1^+ = 2\) : symétrie par rapport à un plan de coordonnées (\(-\), 3) ;
• 1 + 1 + 1, \(\alpha_1^+ = 1\) : demi-tour autour d'un axe de coordonnées (\(+\), 3) ;
• 1 + 1 + 1, \(\alpha_1^+ = 0\) : antipodie (\(-\), 1).

« En tout il y a 10 classes ? » : oui. C'est le nombre de couples de partitions de poids total 3, et les cardinaux font \(8 + 8 + 4 \cdot 6 + 1 + 3 + 3 + 1 = 48\). Les cinq classes de signe \(+\), de cardinaux \(1, 8, 3, 6, 6\), sont celles de \(\mathfrak{S}_4\).⁶⁰

60–61

Le cube de dimension 3 et ses quatre diagonales (pages 60 et 61)

Proposition (page 60). Soit \(n \geqslant 3\), et \(u\) un automorphisme de \(C\) tel que \(u x = \pm x\) pour tout sommet \(x\). Alors \(u = \pm \mathrm{id}\).⁶¹

Donc \(\mathrm{Aut}(C)/\{\pm 1\}\) s'injecte dans le groupe des permutations de \(\Phi_0(C)/\sigma\), l'ensemble des \(2^{n-1}\) grandes diagonales, et, pour \(n\) impair, \(\mathrm{Aut}^+(C) \simeq \mathrm{Aut}(C)/\{\pm 1\}\) aussi.⁶²

Corollaire (page 61). Pour un cube de dimension 3, \(\mathrm{Aut}^+(C) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}} (\Phi_0(C)/\sigma)\), groupe des permutations des quatre grandes diagonales : les deux ont 24 éléments.

Corollaire. \(C \mapsto \Phi_0(C)/\sigma\) est une équivalence de la catégorie des cubes orientés de dimension 3, avec leurs isomorphismes directs, vers celle des ensembles à 4 éléments, avec leurs bijections. C'est le quatrième sujet de DEA de la page 47, et le pendant des identifications de la page 45 : un ensemble à 4 éléments « est » aussi un cube orienté.

61–62

Le cube gauche (pages 61 et 62)

L'espace projectif découpé. Soit \(C = C(\mathbb{B}, \sigma)\) dans \(E\). Le quotient du bord \(\partial C\) par l'antipodie est l'espace projectif réel de dimension \(n - 1\), \[ \partial C/\sigma \simeq (E \smallsetminus \{0\})/\mathbf{R}^* = P(E) , \] chaque demi-droite issue du centre coupant \(\partial C\) en un point.⁶³ Soit \(p : \partial C \to P(E)\) la projection et \(\Phi^{**}\) l'ensemble des faces propres non vides de \(C\). La décomposition de \(\partial C\) en faces ouvertes passe au quotient : \[ \widetilde{C} = \partial C/\sigma = \coprod_{F \in \Phi^{**}/\sigma} p(F) . \] Chaque face fermée \(\overline{F}\) s'injecte dans \(P(E)\), puisque \(\overline{F} \cap \sigma\overline{F} = \emptyset\) (page 53), et \[ p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'}) = p(\overline{F} \cap \overline{F'}) \cup p(\overline{F} \cap \sigma\overline{F'}) , \] réunion de deux fermés disjoints. Elle est vide si et seulement si les deux intersections le sont ; elle n'est pas nécessairement connexe, et l'est si l'une des deux est vide.⁶⁴ Enfin \[ p(\overline{F}) \subset p(\overline{F'}) \iff \overline{F} \subset \overline{F'} \ \text{ ou } \ \overline{F} \subset \sigma\overline{F'} . \] ⁶⁵

On obtient une décomposition de \(P_{\mathbf{R}}(E)\) en cellules topologiques dont les cellules fermées sont plongées, deux cellules fermées se rencontrant, si elles se rencontrent, en une cellule ou en la réunion de deux cellules disjointes — ce n'est donc pas un complexe polyédral, mais c'est un complexe CW régulier. L'ensemble ordonné de ses cellules est \(\Phi^{**}/\sigma\), opposé de \(\Phi^*/\sigma\), où \(\Phi^*\) est l'ensemble des sections partielles non vides de \(\mathbb{B}\). La page dessine le cas \(n = 2\) : le carré de côtés \(a, b, c, d\) devient une droite projective faite de deux arcs, \(\{a, c\}\) et \(\{b, d\}\), qui se rencontrent en deux points.⁶⁶

Automorphismes des cubes gauches (\(n \geqslant 3\)). La page considère \[ \mathrm{Aut}(C)/\{1, \sigma\} \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathrm{proj}} (\widetilde{C}) \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}} \bigl(\Phi(\widetilde{C})\bigr) \] et note que la première flèche est injective, la seconde évidemment aussi, et demande si la composée est surjective. Pour \(n\) impair, on récupère \((\mathbb{B}, \sigma)\), avec sa décomposition cellulaire, comme le revêtement d'orientation canonique de \(\widetilde{C}\) — \(P(E)\) est alors de dimension paire, donc non orientable, et son revêtement d'orientation est la sphère \(\partial C\) —, et tout automorphisme de \(\Phi(\widetilde{C})\) est induit par un automorphisme direct de \(C\). « Cas \(n\) pair : à examiner… », et le dossier s'arrête là.⁶⁷