Fonds Grothendieck, cote n° 75, pages 21–32

Digression sur structures cubiques

le titre est précédé, dans l'original, d'un « 8 » cerclé : numéro de section de l'auteur

A anneau avec 2 \neq 0, n \in \mathbf{N}^*.

\mathcal{C} cat. modules libres E sur A, avec ~~famille~~ ens. de n sous-modules libres E_i (i \in I, \operatorname{card} I = n) de somme directe E, et chaque E_i muni d'une bi-base \{e_i, f_i\} (e_i + f_i = 0) « cat. » et « n » sont ajoutés au-dessus de la ligne

[ou encore, E muni d'une partie B de card. 2n stable par x \mapsto -x, et telle que un – donc tt – syst. de représentants de B/\pm 1 dans B soit une base] « de card. 2n » est ajouté au-dessus de la ligne

\wr\!\downarrow

\mathcal{C}' cat. des ens. B de cardinal 2n munis d'une rel. d'équivalence à orbites de card. 2, ou encore muni d'une permutation \sigma involution (\sigma^2 = \mathrm{id}) sans pt fixe. « B » est ajouté au-dessus de la ligne

\mathcal{C} \to \mathcal{C}' évident

\mathcal{C}' \to \mathcal{C} : si I = B/\sigma, on considère E = \bigoplus_{i \in I} E_i, où E_i = B_i \wedge^{\{\pm 1\}} \ldots après le signe \wedge, un symbole est surchargé et barré ; il n'est pas lu où D est le A-module A_g sur lequel \pm 1 opère par homothéties.

Contours

Contour (combin.) convexe C définit « (combin.) » est ajouté au-dessus de la ligne ; le mot qui suit, lu « convexe », paraît remplacé par lui sans être nettement barré

L'ens. \omega = \omega(C) à deux éléments de ses deux orientations.

À partir de là, on peut déjà écrire (sinon compris) le groupe des translations du contour, par G^+ = \operatorname{Aut}^+(C) \simeq \omega \wedge_{\{\pm 1\}} \mathbf{Z}_n (où \{\pm 1\} opère sur \mathbf{Z}_n par homothéties)

Un torseur sous G^+.

~~Exercice~~ Et inversement, les couples formés par (\omega, T), où \omega un ens. à 2 él. et T un torseur sous G^+ = \omega \wedge_{\{\pm 1\}} \mathbf{Z}_n, définit un

contour.

Exer (DEA) Soit G = Z.\Gamma produit ½-direct de Z et \Gamma (\Gamma opère sur Z). Montrer que la donnée d'un torseur T sous G équivaut à celle de les deux lettres après « ½-direct de » sont surchargées, l'une sur l'autre ; l'ordre n'est pas sûr. « T » est ajouté au-dessus de « torseur »

a)d'un torseur \omega sous \Gamma b)d'un torseur T_0 sous {}^{\omega}Z = \omega \wedge_{\Gamma} Z

Orientations

a) Vectoriel réel E de dim. finie n. La donnée de E équivaut à celle du torseur à dr. P = \operatorname{Isom}(\mathbf{R}^n, E) \simeq \text{bases}(E) sous G = \mathrm{Gl}(n, \mathbf{R}). On a un hom.

\begin{tikzcd}[column sep=small] G = \mathrm{Gl}(n, \mathbf{R}) \arrow[rr, "s"] \arrow[dr, "\det"'] & & \{\pm 1\} \\ & \mathbf{R}^* \arrow[ur, "\operatorname{sgn}"'] & \end{tikzcd}

u \mapsto ~~\det~~ \operatorname{sgn} \det u, noyau \mathrm{Gl}^+(n, \mathbf{R}), et \omega_E = P \times_G \{\pm 1, s\} \simeq P / \mathrm{Gl}^+(n, \mathbf{R}) est l'ens. des orientations de E.

b) Modules quadratiques libres E sur un anneau comm. k où 2 est inversible [\exists base orthonormale, e_i^2 = 1, e_i e_j = 0 si i \neq j]. La donnée de E de rang n équivaut à celle du tors. à droite « quadratiques » est ajouté au-dessus de la ligne ; « E » remplace un mot barré P = \operatorname{Isom}_{k\text{-quadr.}}(k^n, E) \simeq \text{bases orthon.}(E) sous G = \mathrm{O}(n, k) = \operatorname{Aut}_{k\text{-quadr.}}(k^n, Q_n) \subset \mathrm{Gl}(n, k) Or ici G = \mathrm{O}(n, k) \xrightarrow{\ \det = s\ } \{\pm 1\} (noyau \mathrm{SO}(n, k)) et l'ens. des orientations de E est par définition \omega_E = P \times_G (\pm 1, s) \simeq P / \mathrm{SO}(n, k).

Compatibilité entre a) et b) Résulte de la transitivité de l'opération d'ext. du groupe d'opérateurs dans un torseur, et du diagramme comm.

\begin{tikzcd} \mathrm{O}(n, k) \arrow[r, hook, "\mathrm{incl}"] \arrow[rr, bend right=20, "\det"'] & \mathrm{Gl}(n, k) \arrow[r, "\operatorname{sgn} \det"] & \{\pm 1\} \end{tikzcd}

c) Orientation d'un ensemble fini I (de card. n). La donnée de I équivaut à celle d'un torseur « (de card. n) » est ajouté au-dessus de la ligne P = \operatorname{Isom}(I_n, I) = \text{numérot}(I) avant I_n, une première écriture de l'intervalle \{1, \ldots, n\} est barrée (I_n = \{ m \in \mathbf{N}^* \mid m \leq n \} = \{1, 2, \ldots, n\}) sous le groupe \mathfrak{S}_n = \mathfrak{S}_{I_n} = \operatorname{Aut}(I_n). une première lettre, raturée, précède \mathfrak{S}_n On a un hom. canonique « signature » \mathfrak{S}_n \xrightarrow{\ s = \operatorname{sgn}\ } \{\pm 1\} noyau \mathfrak{A}_n et par définition l'ens. des 2 orientations de I est \omega_I = P \times_{\mathfrak{S}_n} \{\pm 1\} \simeq P / \mathfrak{A}_n un premier membre, raturé, précède P \times_{\mathfrak{S}_n}

Compatibilités avec a) et b)

Avec b) On a sur E_{(I,k)} = k^I un produit scalaire canonique (x, y) = \sum_{i \in I} x_i y_i pour lequel (e_i) est une base orthonormale. Ainsi I donne naissance à un module quadratique E(I, k). Ceci posé, on définit une bijection canonique \omega_{E(I,k)} \simeq \omega_I la seconde lettre de E(I,k) ressemble ici à un X ; le contexte (E_{(I,k)} = k^I) donne k Si i_1, \ldots, i_n est une numérotation de I, e_{i_1}, \ldots, e_{i_n} est une base ord. orthon. de E, … par transitivité dans

\begin{tikzcd} \mathfrak{S}_n \arrow[r, hook, "\mathrm{incl.}"] \arrow[rr, bend right=20, "\operatorname{sgn}"'] & \mathrm{O}(n, k) \arrow[r, "\det"] & \{\pm 1\} \end{tikzcd}

En particulier, on trouve (comp. avec a)), \omega_{E(I, \mathbf{R})} \simeq \omega_I \to considéré vect. réel se pense ligne ajoutée en bas du feuillet, sous et à droite de la formule ; lecture très incertaine

Formules d'associativité

a) Vectoriels réels. ~~Soit~~ I un ens. fini, (E_i)_{i \in I} famille de vectoriels réels de dim finie, E = \coprod_{i \in I} E_i la somme directe (= produit direct). ~~Soit~~ I^+ (I^-) l'ens. des i \in I tels que d_i = \dim_{\mathbf{R}} E_i soit pair (impair). On a un isom. canonique « réels » est ajouté au-dessus de la ligne ; le \dim surcharge une première écriture \boxed{\ \omega_E \simeq \omega_{I^-} \wedge \bigwedge_{i \in I} \omega_{E_i}\ } obtenu ainsi, en regardant le 2^{\text{ième}} mb comme quotient de \text{numérot}(I^-) \times \text{numérot}(I^+) \times \prod_{i \in I} \text{bases}(E_i) « \times\, \text{numérot}(I^+) » est ajouté au-dessus de la ligne et rattaché par un trait après \text{numérot}(I^-) NB Un ordre total de I en induit un de I^-, donc \text{numérot}(I) \to \text{numérot}(I^-) Soit \{i_1, \ldots, i_{n^-}\} une num. de I^-, j_1 \ldots j_{n^+} une num. de I^+, et \forall i \in I, B_i = (e_{i,1}, \ldots, e_{i,d_i}) une base ordonnée de E_i, alors « j_1 \ldots j_{n^+} une num. de I^+, » est ajouté au-dessus de la ligne e_{i_1,1}, \ldots, e_{i_1,d_1},\ e_{i_2,1}, \ldots, e_{i_2,d_2},\ \ldots,\ e_{i_n,1}, \ldots, e_{i_n,d_{i_n}} est une base de E. Si on change une B_i par une matrice de \mathrm{Gl}(d_i, \mathbf{R})^+, alors la base se trouve changée par une matrice de \mathrm{Gl}(d, \mathbf{R})^+ (d = \sum d_i = \operatorname{rg} E), donc définit le même él. de \omega_E ; si on change l'ordre de I^- par une permutation \sigma^- (une transposition entre \alpha et \alpha + 1, disons …) on change la base par une matrice de dét \operatorname{sgn} \sigma^- ; par contre, si on change ~~par~~ l'ordre de I^+ par un \sigma^+, la matrice de passage est de dét +1 en tous cas … « donc définit le même él. de \omega_E » est ajouté au-dessus de la ligne

b) Contexte des familles finies de modules quadratiques : = formule, avec = démonstration.

c) J \xrightarrow{\ p\ } I application (surjection si on veut) d'ens. finis, I^- = \{ i \in I \mid \operatorname{card} p^{-1}(i) \ \mathrm{impair} \}. [p. ex. J un ens. muni d'une relation d'équivalence \mathcal{R}, et I = J/\mathcal{R}]. Alors \omega_J \simeq \omega_{I^-} \wedge \bigwedge_{i \in I} \omega_{J_i} l'indice du dernier \omega est empâté par une tache d'encre ; J_i est une lecture

Compatibilité entre les isom. can. a) b) c)

Cas d'extensions

(0) = E_0 \subset E_1 \subset E_2 \cdots \subset E_d = E Définir un isom. canonique \omega_E \simeq \bigwedge_{1 \leq i \leq d} \omega_{E_i / E_{i-1}}

COURS C4 1977-78 de A. GROTHENDIECK

tapuscrit de l'auteur, sur papier à en-tête de l'Institut de Mathématiques de l'USTL, dont la date est restée en blanc ; les lettres gothiques sont ajoutées à la main dans des blancs de la frappe

Géométrie de l'icosaèdre

Il est étrange que l'icosaèdre, étudié depuis plus de deux mille ans dans des contextes et des optiques très divers, ne semble jamais avoir été étudié systématiquement du point de vue combinatoire, ni de celui des réalisations géométriques sur des corps (voire des anneaux) généraux. Ce "cours" se voudrait une investigation commune sur ce thème, en partant de l'intuition combinatoire la plus naïve, exemplifiée sur des modèles en carton (avec un coloriage convenable des arètes).

Nous aborderons donc la théorie de l'icosaèdre d'un point de vue combinatoire d'abord, en explicitant dans le détail le dictionnaire entre la géométrie combinatoire de l'icosaèdre orienté, et celle de l'ensemble "orienté" à cinq éléments (les cinq couleurs coloriant les arètes !) – ce qui donnera en même temps une motivation et une inspiration géométrique pour étudier le groupe des automorphismes commun aux deux situations, savoir le groupe alterné \mathfrak{A}_5 (qui est aussi le plus petit groupe simple non abélien). La question de construire des "réalisations géométriques" de l'icosaèdre combinatoire, comme "polyèdre régulier" sur le corps des réels, ou sur tout autre corps, sera l'occasion à la fois d'approfondir la compréhension de la structure combinatoire, et de nous familiariser avec les notions de géométrie vectorielle et affine (voire de géométrie projective) sur des corps de caractéristique quelconque.

En relation avec l'icosaèdre, nous découvrirons que les corps de caractéristique deux et cinq jouent un rôle très particulier, tant pour l'étude des réalisations géométriques, que pour l'étude combinatoire abstraite, qui peut s'expliciter par des notions de géométrie sur les corps \mathbb{F}_4 et \mathbb{F}_5 – ces deux dictionnaires étant subordonnés aux "isomorphismes exceptionnels" : \begin{align*} \mathfrak{A}_5 &\simeq \mathrm{Sl}(2, \mathbb{F}_4) \quad (\simeq \mathrm{GP}(1, \mathbb{F}_4) \simeq \mathrm{SO}(3, \mathbb{F}_4)) \\ \mathfrak{S}_5 &\simeq \mathrm{GP}(1, \mathbb{F}_5) \quad (\simeq \mathrm{SO}(3, \mathbb{F}_5)) . \end{align*}

Cours DEA 1977/78 de A. Grothendieck

Géométrie arithmétique des polygônes réguliers

au crayon, un « ! » dans la marge gauche en face de la première ligne, et un trait sous « en commun » ; rien n'indique de quelle main

Ce "cours" se fera dans l'esprit d'une investigation en commun de multiples facettes de la notion de polygône régulier au-dessus d'un corps de base, puis d'un anneau de base quelconque. Ce sera une occasion stimulante pour nous familiariser avec les notions de base de géométrie vectorielle, affine, projective – avec ou sans métrique – en dimensions un, deux et trois, et avec les phénomènes particuliers à ces dimensions, ainsi qu'avec les aspects parfois imprévus que prennent des notions familières (comme celle de réflexion, ou de centre d'un polygône régulier) sur les corps de caractéristique positive, et notamment sur les corps finis. Le besoin d'une géométrie sur des anneaux de base généraux (tel l'anneau "sur lequel s'écrit" le n-polygône régulier "le plus général") se fera sentir en cours de route, et nous amènera sans doute à affleurer quelques points de fondements de géométrie algébrique. Si le temps le permet et si d'autres investigations ne nous retiennent , nous tenterons, dans la volée, de construire l'icosaèdre régulier "général" sur un anneau de base convenable, fini sur l'anneau \mathbf{Z} des entiers, ayant des corps résiduels de toutes caractéristiques. (La caractéristique deux donnera sans doute du fil à retordre !).

A partir d'un point de départ intuitif et familier, ce "cours" voudrait être une ouverture à un univers fascinant, pleins de mystères qui ne demandent qu'à être élucidés. Il ne peut donner des fruits qu'avec une participation active de l'étudiant et un travail personnel important, notamment pour développer avec le détail nécessaire les nombreux points (de fondements notamment) qui n'auront été qu'esquissés dans le "cours". Il lui est très fortement conseillé de suivre en même temps le cours C4 sur l'icosaèdre, qui se fera dans un esprit analogue. Il y aura sans doute de nombreuses interférences entre ces deux cours de réflexion.