Cote n° 75 · pages 1–32 · Lecture modernisée · Cours C4, DEA : notes manuscrites (s.d.), lettre (1978), tapuscrit (1977-1978) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1977-1978
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–32

Le fil du dossier, et les conventions

La chemise (page 1) porte au crayon « C4 DEA — Géométrie combinatoire », et au-dessus « (24 p) »¹ . Ici les deux cours, « C4 » et « DEA », sont ceux que décrivent les pages 30 à 32. Les feuillets n'ont pas de pagination de sa main ; à partir de la page 16, il numérote les articles d'une série de (1) à (8), le (8) ouvrant la page 21. Plus haut, les pages 8 à 12 ont leur propre série 1) à 4).

Les stations

1. 1.Rappels sur groupes, espaces homogènes, torseurs (page 2).
2. 2.Graphes et contours (pages 3 à 7) : graphes, réalisation rectiligne, contours, orientations, la rotation élémentaire \(u_\omega\), le groupe des automorphismes d'un contour.
3. 3.Ensembles à permutation, produits semi-directs (pages 8 à 12) : classes de conjugaison de \(\mathfrak{S}_n\), groupe affine, sections \(q_t\) et réflexions \(\sigma_t\) d'un polygone, produits fibrés, images inverses d'extensions.
4. 4.Petits groupes et géométrie sur les corps finis (pages 12 et 13), puis structures vectorielle, affine, projective comme orbites.
5. 5.Polygones réguliers (pages 14 et 15), en exercice.
6. 6.Le yoga des torseurs (pages 15 à 19) : produit contracté, \((G,E)\)-structures, articles (1) à (4), l'enveloppe d'un polygone, les foncteurs sur un groupoïde connexe.
7. 7.Extension du groupe structural et produit des torseurs (pages 19 et 20), articles (5) à (7).
8. 8.Structures cubiques (page 21), article (8).
9. 9.Un contour comme torseur tordu (pages 22 et 23).
10. 10.Orientations et formules d'associativité (pages 24 à 27).
11. 11.La lettre et les deux annonces de cours (pages 28 à 32).

Le dossier ne recommence pas sur lui-même. Il dépose deux fois la même matière sous deux angles : les contours des pages 3 à 7 sont décrits à la main, par sommets et arêtes, puis aux pages 18 et 22 par des torseurs, et ce sont les mêmes objets. Il en va de même des orientations des pages 5 à 7, définies sur le graphe, et de celles des pages 24 à 27, définies par un torseur et un caractère.

Conventions

Un torseur sous un groupe \(G\) est un ensemble non vide \(P\) muni d'une action à droite de \(G\), libre et transitive ; les ensembles qu'on tord sont des \(G\)-ensembles à gauche, et le produit contracté est noté \[ P \wedge_G E = (P \times E)/\bigl((pg, x) \sim (p, gx)\bigr) = {}^{P}E \] partout, là où la page écrit tantôt \(\times_G\), tantôt \(\wedge_G\)² . On note \(\mathbf{Z}_n = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), \(\mathbf{D}_n = \mathbf{Z}_n \rtimes \{\pm 1\}\) le groupe diédral d'ordre \(2n\), et \(Z \rtimes \Gamma\) le produit semi-direct de \(\Gamma\) par le sous-groupe distingué \(Z\), qu'il écrit \(Z.\Gamma\). On écrit \(\mathrm{GL}\) et \(\mathrm{PGL}\) pour ses \(\mathrm{Gl}\) et \(\mathrm{GP}\), en notant que son \(\mathrm{GP}(m, k)\) est le groupe projectif de \(\mathbf{P}^{m}(k)\), c'est-à-dire \(\mathrm{PGL}(m+1, k)\). Pour un objet \(X\), \(\omega_X\) est l'ensemble à deux éléments de ses orientations, torseur sous \(\{\pm 1\}\), et \(\omega \wedge \omega'\) le produit contracté de deux tels torseurs.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

La réalisation topologique d'un graphe (page 3, esquissée puis biffée) ; le « dénombrement » des contours (page 4) ; la description des contours non connexes (page 6) ; les lignes de \(\mathfrak{S}_5\) et de \(\mathfrak{A}_4\) du tableau de la page 8 ; l'équivalence entre \((G,E)\)-structures et torseurs promise page 15 (elle est énoncée, sans plus, comme article (2) de la page 17) ; l'article (7) sur les orientations, biffé page 20 et repris page 24 ; la « compatibilité entre les isomorphismes canoniques a), b), c) » et le « cas des extensions » de la page 27, que la page se donne à faire.

2–2

1. Groupes, espaces homogènes, torseurs (page 2)

Un groupe \(G\) opère sur un ensemble \(E\) ; l'opération est transitive si deux points quelconques sont échangés par un élément de \(G\), et \(E\) est un espace homogène s'il est de plus non vide. Les couples \((E, x)\) d'un espace homogène et d'un point correspondent aux sous-groupes \(H\) de \(G\) (le stabilisateur de \(x\), et inversement \(E = G/H\), \(x = H\)), et c'est une équivalence de catégories : il existe un morphisme \((E, x) \to (E', x')\) — forcément unique, un morphisme d'espaces homogènes étant déterminé par l'image d'un point — si et seulement si \(H \subset H'\). Sans point marqué : \(E\) et \(E'\) sont isomorphes si et seulement si \(H\) et \(H'\) sont conjugués, et il existe un morphisme \(E \to E'\) si et seulement si \(H\) est conjugué à un sous-groupe de \(H'\). Les classes d'isomorphisme d'espaces homogènes correspondent donc aux classes de conjugaison de sous-groupes³ .

Un torseur est un espace homogène dont les stabilisateurs sont réduits à l'élément neutre ; de façon équivalente, un ensemble non vide sur lequel, pour tous \(x, y\), il existe un unique \(g\) avec \(y = x g\) ; de façon équivalente encore, un \(G\)-ensemble isomorphe à \(G\) opérant sur lui-même par translations. Les torseurs sont tous isomorphes, non canoniquement, et ce sont les « plus gros » espaces homogènes : tout espace homogène en est un quotient.

Automorphismes d'un torseur. Le groupe \(\mathrm{Aut}_G(P)\) des automorphismes d'un torseur \(P\) est isomorphe à \(G\), non canoniquement. Avec nos conventions (\(P\) torseur à droite), le choix de \(x \in P\) définit \(u_x : G \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}_G(P)\) par \(u_x(g)(x h) = x g h\), et si l'on remplace \(x\) par \(y = x s\), on trouve \[ u_{xs} = u_x \circ \mathrm{int}(s), \qquad \mathrm{int}(s)(g) = s g s^{-1}. \] ⁴ Le groupe des automorphismes d'un torseur est donc canoniquement \(G\) à automorphisme intérieur près — canoniquement \(G\) si \(G\) est commutatif. C'est le fait qui reviendra aux pages 10 et 23.

3–7

2. Graphes et contours (pages 3 à 7)

3–4

Graphes et réalisations (pages 3 et 4)

Un graphe est la donnée d'un ensemble \(S\) de sommets, d'un ensemble \(A\) d'arêtes et d'une relation d'incidence \(R \subset S \times A\), avec un seul axiome : chaque arête a exactement deux sommets, \(\operatorname{card} R^{-1}(a) = 2\)⁵ . Le graphe est strict si une arête est déterminée par ses sommets ; un graphe strict est donc un ensemble \(S\) muni d'une partie \(A\) de \(\mathfrak{P}_2(S)\), l'ensemble des parties à deux éléments — un graphe simple, dans le vocabulaire d'aujourd'hui. Un arc, ou arête orientée, est une arête munie du choix d'une de ses extrémités comme origine.

Réalisation topologique. À une partie \(a\) à deux éléments on associe le segment \[ \operatorname{seg}(a) = \Bigl\{ (t_x)_{x \in a} \in [0,1]^{a} \Bigm| \textstyle\sum_x t_x = 1 \Bigr\}, \] qui contient \(a\) comme ensemble de ses deux extrémités ; la réalisation du graphe est le recollement \[ \operatorname{réal}(S, A, R) = \Bigl( S \sqcup \coprod_{a \in A} \operatorname{seg} R^{-1}(a) \Bigr) \Big/ \sim \] où chaque extrémité d'un segment est identifiée au sommet correspondant de \(S\)⁶ .

Réalisation rectiligne. Pour un graphe fini, une réalisation rectiligne dans un espace vectoriel réel \(E\) de dimension finie est un plongement \(\operatorname{réal}(S, A, R) \hookrightarrow E\) envoyant chaque arête sur un segment.

Proposition (page 4). Un graphe fini admet une réalisation rectiligne si et seulement s'il est strict, et il en admet alors une dans \(\mathbf{R}^3\). Plus précisément, si \(S \hookrightarrow E \simeq \mathbf{R}^3\) est une injection telle que trois points de \(S\) ne soient jamais alignés et que, pour \(x, y, z, t\) distincts dans \(S\), les segments \([x,y]\) et \([z,t]\) soient disjoints, elle se prolonge de façon unique en une réalisation rectiligne.

La nécessité est claire : deux arêtes de mêmes extrémités auraient la même image. Pour l'existence, il suffit de placer les sommets en position générale, quatre jamais coplanaires — par exemple sur la courbe \(t \mapsto (t, t^2, t^3)\) —, ce qui assure les deux conditions ; l'unicité tient à ce qu'une arête n'a qu'une image possible, le segment joignant ses extrémités⁷ .

Un graphe est connexe si sa réalisation l'est, c'est-à-dire s'il n'est pas somme — réunion disjointe, \(S \sqcup S'\), \(A \sqcup A'\), \(R \sqcup R'\) — de deux graphes non vides⁸ . Tout graphe est, de façon unique, réunion disjointe de graphes connexes.

4–5

Contours et leurs automorphismes (pages 4 et 5)

Un contour (combinatoire) — il dit aussi graphe polygonal ou multipolygonal — est un graphe dont chaque sommet appartient à exactement deux arêtes. Les composantes connexes d'un contour sont des contours, et un contour connexe non vide est déterminé à isomorphisme près par le cardinal \(c\) de \(S\), qui est aussi celui de \(A\) : \(2 \leq c \leq \aleph_0\). Les contours connexes correspondent aux sous-groupes \(H \neq \mathbf{Z}\) de \(\mathbf{Z}\), avec \(c = \operatorname{card} \mathbf{Z}/H\) : pour \(H = n\mathbf{Z}\), \(n \geq 2\), le polygone à \(n\) côtés, le digone pour \(n = 2\), et pour \(H = 0\) la droite infinie, dont les sommets sont les entiers. Le contour est strict si et seulement si \(c \geq 3\)⁹ .

Soit \(X = (S, A, R)\) un contour connexe strict (\(c \geq 3\)). Disons que deux sommets sont liés s'ils sont les extrémités d'une même arête, et deux arêtes liées si elles ont un sommet commun. Pour un automorphisme \(g\) de \(X\), considérons les conditions

1. 1°)pour tout \(s \in S\), \(s\) est lié à \(g s\) ;
2. 2°)pour tout \(a \in A\), \(a\) est lié à \(g a\).

Un automorphisme qui satisfait 1°) et 2°) sera appelé rotation élémentaire de \(X\)¹⁰ .

Proposition (page 5). Soit \(\omega(X)\) l'ensemble des rotations élémentaires de \(X\).

1. b)\(\omega(X)\) a deux éléments, inverses l'un de l'autre : \(\omega(X) = \{g, g^{-1}\}\).
2. c)Le groupe \(\mathrm{Aut}(X)\) opère par conjugaison sur \(\omega(X)\), et le morphisme \(\mathrm{Aut}(X) \to \mathfrak{S}_{\omega(X)} \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) est surjectif ; son noyau \(\mathrm{Aut}^{+}(X)\) est un sous-groupe d'indice \(2\), cyclique, engendré par l'un quelconque des \(g \in \omega(X)\).

Corollaire. \(\mathrm{Aut}(X) \simeq \mathbf{Z}/H \rtimes \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), où \(H \subset \mathbf{Z}\) est le sous-groupe des \(m\) tels que \(g^m = 1\) : le groupe diédral \(\mathbf{D}_n\) si \(c = n\) est fini, le groupe diédral infini si \(c = \aleph_0\)¹¹ .

6–7

Orientations, et la rotation élémentaire \(u_\omega\) (pages 6 et 7)

Une orientation d'un contour \((S, A, R)\) est le choix, pour toute arête \(a\), de l'une de ses extrémités \(\sigma(a)\) comme origine, de sorte que \[ \text{(O)} \qquad \text{pour tout } s \in S, \text{ il existe une unique arête } a \ni s \text{ avec } \sigma(a) = s, \] autrement dit que \(\sigma : A \to S\) soit bijective. Si \(\omega\) est une orientation, l'orientation opposée \(-\omega\) choisit partout l'autre extrémité.

Proposition (page 7). Un contour connexe a exactement deux orientations, \(\omega\) et \(-\omega\). Pour une orientation \(\omega\), soit \(u_\omega(s)\) l'autre extrémité de l'arête \(\sigma^{-1}(s)\) issue de \(s\), et \(u_\omega(a)\) l'arête issue de l'extrémité de \(a\). Alors \(u_\omega\) est un automorphisme du graphe, \(u_{-\omega} = u_\omega^{-1}\), et :

1. (i)l'ordre de \(u_\omega\) est \(n = \operatorname{card} S = \operatorname{card} A\) (infini si \(n\) l'est) ; donc \(u_\omega \neq u_{-\omega}\) si et seulement si \(n \geq 3\) ;
2. (ii)pour \(n \geq 3\), \(\omega \mapsto u_\omega\) est une bijection de l'ensemble \(\omega_X\) des orientations sur l'ensemble \(\omega(X)\) des rotations élémentaires de la page 5 ;
3. (iii)le groupe cyclique engendré par \(u_\omega\) est le groupe \(G^0 = \mathrm{Aut}^{+}(X)\) des automorphismes qui respectent l'orientation, et \(S\) et \(A\) sont des torseurs sous \(G^0\).

On identifiera désormais l'ensemble \(\omega_X\) des deux orientations et l'ensemble \(\omega(X)\) des deux rotations élémentaires¹² . Un torseur sous \(\mathbf{Z}_n\) est un ensemble à \(n\) éléments muni d'un ordre circulaire, et un contour orienté connexe à \(n\) sommets n'est rien d'autre.

Descriptions d'un contour connexe (page 6). Se donner un contour orienté connexe, c'est se donner un entier \(n \geq 2\), ou \(n = \infty\), et un torseur sous \(\mathbf{Z}_n\) (sous \(\mathbf{Z}\) si \(n = \infty\)) : l'ensemble \(S\) des sommets, l'arête issue de \(s\) joignant \(s\) à \(s + 1\). Sans orientation, se donner un contour connexe de \(n \geq 3\) sommets revient à se donner

1. 1°)un groupe cyclique \(G^0\), d'ordre \(n\) (ou monogène infini) ;
2. 2°)une paire \(\{g, g^{-1}\}\) de générateurs inverses l'un de l'autre ;
3. 3°)un torseur \(S\) sous \(G^0\),

les arêtes étant les paires \(\{s, s g\}\). Pour \(n = 2\) la paire \(\{g, g^{-1}\}\) se réduit à un point, et l'on remplace 2°) par

1. 2 bis)un ensemble \(\Omega\) à deux éléments \(\{a, b\}\) et une application \(i : \Omega \to G^0\) avec \(i(a)\,i(b) = 1\), \(i(a)\) engendrant \(G^0\),

qui convient pour tout \(n\) : \(\Omega\) est l'ensemble des orientations, et \(i\) l'application \(\omega \mapsto u_\omega\)¹³ .

Enfin les contours orientés non nécessairement connexes sont les ensembles sur lesquels \(\mathbf{Z}\) opère sans point fixe — c'est la « rectification » de la page 8 : une orbite à un élément serait un polygone à un côté, une boucle, que l'axiome des graphes interdit. La description annoncée des contours non orientés non connexes n'est pas écrite.

8–12

3. Ensembles à permutation et produits semi-directs (pages 8 à 12)

8–8

Ensembles à permutation (page 8)

Un ensemble muni d'une permutation \(u\) est un \(\mathbf{Z}\)-ensemble. Ses orbites sont des espaces homogènes \(\mathbf{Z}/i\mathbf{Z}\), \(i \in \mathbf{N}\) (\(i = 0\) pour les orbites infinies), et le \(\mathbf{Z}\)-ensemble est classé à isomorphisme près par la famille de cardinaux \((n_i)_{i \in \mathbf{N}}\), \(n_i\) étant le nombre d'orbites isomorphes à \(\mathbf{Z}/i\mathbf{Z}\). L'ensemble est fini si et seulement si \(n_0 = 0\) et si les \(n_i\) sont finis et presque tous nuls ; \(u\) est transitif si et seulement si \(\sum_i n_i = 1\), c'est-à-dire si tous les \(n_i\) sont nuls sauf un, qui vaut \(1\)¹⁴ . Pour \(E\) fini non vide, \(u\) transitif revient à un ordre circulaire sur \(E\).

Corollaire. Les classes de conjugaison de \(\mathfrak{S}_n\) correspondent aux partitions de \(n\), familles \((c_i)_{1 \leq i \leq n}\) d'entiers avec \(\sum i\,c_i = n\) (\(c_i\) cycles de longueur \(i\)). Ainsi : \[ \begin{array}{lll|lll} \mathfrak{S}_2 & 2 & 1,\ (12) & \mathfrak{A}_2 & 1 & 1 \\ \mathfrak{S}_3 & 3 & 1,\ (12),\ (123) & \mathfrak{A}_3 & 3 & 1,\ (123),\ (132) \\ \mathfrak{S}_4 & 5 & 1,\ (12),\ (12)(34),\ (123),\ (1234) & \mathfrak{A}_4 & 4 & 1,\ (12)(34),\ (123),\ (132) \\ \mathfrak{S}_5 & 7 & & \mathfrak{A}_5 & 5 & \end{array} \] ¹⁵

Rectification. Les contours orientés sont les ensembles à permutation \((E, u)\) où \(u\) n'a pas de point fixe ; voir la page 6.

8–9

Produits semi-directs et groupe affine (pages 8 et 9)

Une suite exacte \(1 \to Z \xrightarrow{i} G \xrightarrow{p} \Gamma \to 1\) munie d'une section \(q\) de \(p\) qui est un morphisme de groupes revient à la donnée d'un sous-groupe \(\Gamma' \subset G\) que \(p\) envoie isomorphiquement sur \(\Gamma\), ou encore à celle d'une action \(\Gamma \to \mathrm{Aut}(Z)\) ; on reconstitue \(G = Z \rtimes \Gamma\) comme l'ensemble \(Z \times \Gamma\) muni de la loi \[ (z, \gamma)(z', \gamma') = \bigl(z\, \gamma(z'),\ \gamma\gamma'\bigr). \] Les sous-groupes de \(G\) contenant \(Z\) correspondent aux sous-groupes \(\Gamma'\) de \(\Gamma\), et s'écrivent \(Z \rtimes \Gamma'\)¹⁶ .

Le groupe affine. Pour un groupe \(Z\), soit \(Z_d\) l'ensemble \(Z\) sur lequel \(Z\) opère par translations. Le groupe affine \(\mathrm{Aff}(Z)\) est le groupe des couples \((\gamma, \rho)\), \(\gamma \in \mathrm{Aut}(Z)\), \(\rho\) bijection de \(Z\), tels que \(\rho(g x) = \gamma(g)\rho(x)\) pour tous \(g, x\) — les automorphismes de \(Z_d\) comme ensemble à groupe d'opérateurs. On a une suite exacte scindée \[ 1 \to Z \xrightarrow{i} \mathrm{Aff}(Z) \underset{q}{\overset{p}{\rightleftarrows}} \mathrm{Aut}(Z) \to 1, \qquad q(\gamma) = (\gamma, \gamma),\quad i(g) = (\mathrm{id}, \tau_g), \] où \(\tau_g\) est la translation par \(g\) ; on a \(\mathrm{int}(q(\gamma))|_Z = \gamma\), et donc \(\mathrm{Aff}(Z) \simeq Z \rtimes \mathrm{Aut}(Z)\)¹⁷ . Pour \(\Gamma \subset \mathrm{Aut}(Z)\), \(\mathrm{Aff}^{\Gamma}(Z) = Z \rtimes \Gamma\) en est un sous-groupe.

Un morphisme d'ensembles à opérateurs à groupe variable \((E, G) \to (E', G')\) est un couple \((\rho, \gamma)\) avec \(\rho(g x) = \gamma(g)\rho(x)\) ; si \(E\) est un torseur, \(\rho\) détermine \(\gamma\).

Pour \(Z\) le groupe additif d'un espace vectoriel \(V\) sur un corps \(R\), et \(\Gamma = \mathrm{GL}_R(V)\), on trouve \(\mathrm{Aff}_R(V) \simeq V \rtimes \mathrm{GL}_R(V)\), avec \((z, \gamma)(z', \gamma') = (z + \gamma(z'), \gamma\gamma')\) ; si \(V\) porte une forme quadratique non dégénérée \(Q\), le groupe des déplacements — les transformations affines dont la partie linéaire conserve \(Q\) — est \(\mathrm{Dépl}(V, Q) \simeq V \rtimes \mathrm{O}(V, Q)\)¹⁸ .

10–11

Les sections \(q_t\) et les réflexions d'un polygone (pages 10 et 11)

Soit \(Z\) un groupe commutatif et \(T\) un torseur sous \(Z\). Soit \(\mathrm{Aut}(Z, T)\) le groupe des couples \((\gamma, \rho)\), \(\gamma \in \mathrm{Aut}(Z)\), \(\rho\) bijection de \(T\) avec \(\rho(t g) = \rho(t)\gamma(g)\). On a une suite exacte \[ 1 \to Z \xrightarrow{i} \mathrm{Aut}(Z, T) \xrightarrow{p} \mathrm{Aut}(Z) \to 1, \qquad i(g) = (\mathrm{id}, t \mapsto t g), \] et chaque \(t \in T\) définit une section \(q_t\) : \(q_t(\gamma)\) est l'unique élément au-dessus de \(\gamma\) qui fixe \(t\). Si \(t' = t g\), alors \[ q_{t'} = \mathrm{int}(i(g)) \circ q_t, \] car \(i(g)\,q_t(\gamma)\,i(g)^{-1}\) est au-dessus de \(\gamma\) et envoie \(t'\) sur \(t g = t'\)¹⁹ . Même chose pour le sous-groupe \(\mathrm{Aut}^{\Gamma}(Z, T)\) des couples avec \(\gamma \in \Gamma\).

Exemple. \(Z = \mathbf{Z}_n\) : \(\mathrm{End}(Z) = \mathbf{Z}_n\), \(\mathrm{Aut}(Z) = \mathbf{Z}_n^{*} \supset \{\pm 1\}\), et \(\mathrm{Aff}(\mathbf{Z}_n) = \mathbf{Z}_n \rtimes \mathbf{Z}_n^{*}\) contient \(\mathrm{Aff}^{\{\pm 1\}}(\mathbf{Z}_n) = \mathbf{Z}_n \rtimes \{\pm 1\} = \mathbf{D}_n\), le groupe diédral d'ordre \(2n\) — pour \(n \geq 3\), car pour \(n = 2\) on a \(+1 = -1\) dans \(\mathbf{Z}_2^{*}\)²⁰ .

Soit maintenant \(T\) un torseur sous un groupe cyclique \(Z\) d'ordre \(n \geq 3\) muni d'une paire \(\{u, u^{-1}\}\) de générateurs inverses — c'est, par la page 6, un polygone à \(n\) côtés — et la suite exacte \[ 1 \to Z \to \mathrm{Aut}^{\pm 1}(Z, T) \xrightarrow{p} \{\pm 1\} \to 1 . \] Une section est déterminée par \(\sigma = q(-1)\), un élément avec \(p(\sigma) = -1\) et \(\sigma^2 = 1\) : une réflexion du polygone. Pour \(t \in T\), soit \(\sigma_t = q_t(-1)\), l'unique réflexion qui fixe le sommet \(t\). En écrivant \(g\) pour \(i(g)\) et en utilisant \(\sigma_t g \sigma_t^{-1} = g^{-1}\) : \[ \boxed{\ \sigma_{tg} = g\,\sigma_t\,g^{-1} = g^2 \sigma_t = \sigma_t g^{-2}\ } \] Corollaire. Si \(n\) est impair, \(g \mapsto g^2\) est bijectif et \(t \mapsto \sigma_t\) est une bijection des sommets sur les \(n\) réflexions : à chaque sommet correspond l'unique automorphisme non orienté qui le fixe. Si \(n\) est pair, les fibres de \(t \mapsto \sigma_t\) ont deux éléments, un sommet et le sommet opposé (\(\sigma_t = \sigma_{t'}\) si et seulement si \(t' = t g\) avec \(g^2 = 1\)), et l'image est formée des \(n/2\) réflexions qui passent par des sommets ; les \(n/2\) autres passent par des milieux de côtés²¹ .

11–12

Produits fibrés et images inverses d'extensions (pages 11 et 12)

Le produit fibré de \(p : E \to S\) et \(q : F \to S\) est \(P = E \times_S F = \{(x, y) \mid p x = q y\}\), avec ses projections \(p' : P \to F\) et \(q' : P \to E\) ; c'est la solution d'un problème universel dans la catégorie des ensembles, et, si les données sont des groupes et des morphismes, dans celle des groupes. On a alors \(\mathrm{Ker}\, p' \simeq \mathrm{Ker}\, p\) et \(\mathrm{Ker}\, q' \simeq \mathrm{Ker}\, q\), et si \(p\) est surjectif (bijectif), \(p'\) l'est aussi. C'est le langage des carrés cartésiens.

Une extension \(1 \to Z \to G \to \Gamma \to 1\) et un morphisme \(\Gamma' \to \Gamma\) donnent par image inverse l'extension \(1 \to Z \to G \times_\Gamma \Gamma' \to \Gamma' \to 1\), scindée si la première l'est. Remarque. Toute extension scindée \(Z \rtimes \Gamma\) provient par image inverse, le long de l'action \(\Gamma \to \mathrm{Aut}(Z)\), de l'extension scindée \(Z \rtimes \mathrm{Aut}(Z) = \mathrm{Aff}(Z)\).

12–13

4. Petits groupes et géométrie sur les corps finis (pages 12 et 13)

Un ensemble à deux éléments est la même chose qu'un torseur sous \(\mathbf{Z}_2\), ou qu'une droite affine sur \(\mathbf{F}_2\) — tout ensemble à deux éléments en porte une seule structure. Les petits groupes symétriques et alternés se lisent ainsi comme groupes de géométrie sur les corps finis, en notant \(\mathrm{Aff}(m, k)\) le groupe affine de \(k^m\) et \(\mathrm{PGL}(m+1, k)\) le groupe projectif de \(\mathbf{P}^m(k)\) : \[\begin{align*} \mathfrak{S}_2 &\simeq \mathrm{Aff}(1, \mathbf{F}_2), & \mathfrak{A}_2 &= 1, \\ \mathfrak{S}_3 &\simeq \mathrm{Aff}(1, \mathbf{F}_3) = \mathbf{F}_3 \rtimes \mathbf{F}_3^{*} \simeq \mathrm{GL}(2, \mathbf{F}_2) = \mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_2), & \mathfrak{A}_3 &\simeq \mathbf{F}_3, \\ \mathfrak{S}_4 &\simeq \mathrm{Aff}(2, \mathbf{F}_2) \simeq \mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_3), & \mathfrak{A}_4 &\simeq \mathrm{Aff}(1, \mathbf{F}_4), \\ \mathfrak{S}_5 &\simeq \mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_5), & \mathfrak{A}_5 &\simeq \mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_4) = \mathrm{SL}(2, \mathbf{F}_4). \end{align*}\] Presque chaque fois le groupe de géométrie opère fidèlement sur un ensemble ayant le bon nombre de points — les \(3\) points de \(\mathbf{F}_3\) ou de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{F}_2)\), les \(4\) points de \(\mathbf{F}_2^2\), de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{F}_3)\) ou de \(\mathbf{F}_4\), les \(5\) points de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{F}_4)\) — et les ordres coïncident ; seul \(\mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_5)\), d'ordre \(120\), opère sur les six points de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{F}_5)\) et non sur cinq objets visibles²² .

Groupes classiques. Sur un corps \(k\), les suites \[ 1 \to k^{*} \to \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V) \to 1, \qquad 1 \to k^{*} \to \mathrm{GL}(n, k) \to \mathrm{PGL}(n, k) \to 1 \] ne sont pas scindées en général, et \(\mathrm{PGL}(V)\) opère sur l'espace projectif \(\mathbf{P}(V) = (V \smallsetminus \{0\})/k^{*}\)²³ .

Structures comme orbites. Une structure de \(k\)-espace vectoriel de dimension \(n\) sur un ensemble \(V\) est un élément de \(\mathrm{Isom}_{\mathrm{Ens}}(k^n, V)/\mathrm{GL}(n, k)\) ; une structure d'espace affine de dimension \(n\) sur \(E\), un élément de \(\mathrm{Isom}_{\mathrm{Ens}}(k^n, E)/\mathrm{Aff}(n, k)\) ; une structure d'espace projectif de dimension \(m\) sur \(P\), un élément de \(\mathrm{Isom}_{\mathrm{Ens}}(\mathbf{P}^m(k), P)/\mathrm{PGL}(m+1, k)\)²⁴ . Les inclusions \(\mathrm{GL}(n, k) \subset \mathrm{Aff}(n, k) \subset \mathrm{PGL}(n+1, k)\) traduisent les passages : espace vectoriel de dimension \(n\) \(\mapsto\) (oubli de l'origine) espace affine de dimension \(n\) \(\mapsto\) espace projectif de dimension \(n\), projectivisé de l'espace vectoriel enveloppe de dimension \(n + 1\), dont l'espace affine est le complémentaire d'un hyperplan.

Entre crochets, la page esquisse une définition des espaces affines sans groupe donné d'avance : une structure sur un ensemble \(E\) non vide est la donnée d'un sous-groupe \(\Gamma \subset \mathfrak{S}_E\) qui opère simplement transitivement — \(E\) devient un torseur sous \(\Gamma\) —, et une structure d'espace affine sur \(k\) est la donnée d'un tel \(\Gamma\) commutatif et d'un morphisme d'anneaux unitaires \(k \to \mathrm{End}_{\mathbf{Z}}(\Gamma)\), qui fait de \(\Gamma\) l'espace vectoriel des translations²⁵ .

14–15

5. Polygones réguliers (pages 14 et 15)

Exercice. Soit \(E\) un plan affine euclidien. Une réalisation rectiligne d'un polygone combinatoire \((S, A, R)\) dans \(E\) est régulière si tous les côtés ont même longueur et tous les angles intérieurs même mesure, unimodulaire si cette longueur est \(1\)²⁶ .

1. a)Existence, par les racines de \(z^n = 1\) dans \(\mathbf{C}\).
2. b)Si \((V \supset P \supset S)\) et \((V' \supset P' \supset S')\) sont deux \(n\)-gones, \(n \geq 3\), réalisés régulièrement et unimodulairement, tout isomorphisme combinatoire \((S, A, R) \to (S', A', R')\) est induit par une unique isométrie de \(V\) sur \(V'\)²⁷ .
3. c)L'enveloppe affine d'un polygone combinatoire réalisé (celle de l'ensemble de ses sommets) et son centre de gravité ; une orientation du polygone définit une orientation de son plan enveloppe.

La page 15 reprend : un polygone régulier peut se définir par les côtés et les angles égaux, ou par la transitivité de son groupe de similitudes — sur les drapeaux, couples d'un sommet et d'un côté qui le contient²⁸ ; existence, et unicité à similitude près, tout isomorphisme combinatoire étant induit par une unique similitude.

15–19

6. Le yoga des torseurs (pages 15 à 19)

15–16

Produit contracté et transport de structure (pages 15 et 16)

Soit \(P\) un \(G\)-torseur (à droite) et \(E\) un \(G\)-ensemble (à gauche), et \(F = P \wedge_G E = {}^{P}E\). Chaque \(p \in P\) donne une bijection \(E \to F\), \(x \mapsto [p, x]\), d'où une application \[ P \to \mathrm{Bij}(E, F), \] compatible aux actions à droite de \(G\) (\(G\) opérant sur \(\mathrm{Bij}(E, F)\) par \(u \cdot g = u \circ g\)). Si \(G\) opère fidèlement sur \(E\), il opère librement sur \(\mathrm{Bij}(E, F)\), et dans ce cas, et dans ce cas seulement, \(P \to \mathrm{Bij}(E, F)\) est injective ; son image est une orbite de \(G\) dans \(\mathrm{Bij}(E, F)\). Appelons \((G, E)\)-structure sur un ensemble \(F\) une telle orbite. Toute structure sur \(E\) invariante par \(G\) — de groupe, d'anneau, de module sur un anneau fixé, d'espace topologique — se transporte alors à \(F\) par l'une quelconque des bijections de l'orbite, et le résultat ne dépend pas de celle qu'on choisit ; de même pour une structure mixte sur une famille d'ensembles \((E_i)\), comme un anneau et un module, qui se transporte aux \({}^{P}E_i\)²⁹ .

16–17

Les articles (1) à (3) (pages 16 et 17)

(1) Le yoga. Soit \(\mathcal{C}\) une espèce de structures, \(E\) une structure d'espèce \(\mathcal{C}\) et \(G = \mathrm{Aut}_{\mathcal{C}}(E)\). Les structures isomorphes à \(E\) correspondent aux torseurs sous \(G\) : \[ F \longmapsto \mathrm{Isom}_{\mathcal{C}}(E, F), \qquad P \longmapsto P \wedge_G E . \] \(\mathrm{Isom}(E, F)\) est un \(G\)-torseur à droite par \(u \mapsto u \circ g\) ; l'évaluation \(\mathrm{Isom}(E, F) \times E \to F\), \((u, x) \mapsto u(x)\), vérifie \((u g)(x) = u(g x)\) et induit un isomorphisme \(\mathrm{Isom}(E, F) \wedge_G E \xrightarrow{\sim} F\) ; dans l'autre sens, \(u \mapsto i_u\), \(i_u(x) = [u, x]\), est un isomorphisme \(P \xrightarrow{\sim} \mathrm{Isom}(E, P \wedge_G E)\) de torseurs, car \(i_{ug} = i_u \circ g\). On obtient une équivalence entre le groupoïde \(\mathcal{C}_E\) des structures isomorphes à \(E\) et le groupoïde \(\mathrm{Tors}(G)\) des \(G\)-torseurs³⁰ .

(2) Si \(E\) est un \(G\)-ensemble fidèle, fixé une fois pour toutes, se donner un \(G\)-torseur revient à se donner un ensemble \(F\) muni d'une \((G, E)\)-structure. C'est un cas particulier de (1), en prenant pour \(\mathcal{C}\) l'espèce des \((G, E)\)-structures, dont le groupe d'automorphismes en \(E\) est \(G\).

(3) Inversement, pour une espèce \(\mathcal{C}\) et \(G = \mathrm{Aut}_{\mathcal{C}}(E)\), se donner sur un ensemble \(F\) une structure d'espèce \(\mathcal{C}\) isomorphe à \(E\) équivaut à se donner une \((G, E)\)-structure. Ainsi (1) devient un cas particulier de (2), et les deux énoncés sont le même.

17–19

(4) L'enveloppe d'un polygone combinatoire (pages 17 à 19)

Soit \(P_n\) le polygone combinatoire standard de sommets \(\mathbf{Z}_n\), \(n \geq 3\), et sa réalisation régulière \(i \mapsto \zeta^i\), \(\zeta = \exp(2 i\pi/n)\), dans le plan euclidien \(\mathbf{C}\)³¹ . Le groupe \(\mathbf{D}_n = \mathrm{Aut}(P_n)\) opère sur \(\mathbf{C}\) par isométries : la rotation \(\tau_i\) par multiplication par \(\zeta^i\), la réflexion \(\sigma : i \mapsto -i\) par \(z \mapsto \bar{z}\)³² , et l'injection \(S(P_n) = \mathbf{Z}_n \hookrightarrow \mathbf{C}\) est équivariante.

Par (1), se donner un polygone combinatoire \(P\) à \(n\) sommets revient à se donner le \(\mathbf{D}_n\)-torseur \(T = \mathrm{Isom}(P_n, P)\), et \(P = {}^{T}P_n\). On pose \[ \mathrm{Env}(P) = {}^{T}\mathbf{C} = T \wedge_{\mathbf{D}_n} \mathbf{C}, \] et l'injection équivariante donne \[ S(P) = {}^{T}S(P_n) \hookrightarrow {}^{T}\mathbf{C} = \mathrm{Env}(P). \] Comme \(\mathbf{D}_n\) opère par isométries, \(\mathrm{Env}(P)\) est un plan euclidien, et \(P\) y est réalisé régulièrement, sans qu'on ait choisi ni sommet de départ ni sens : chaque polygone combinatoire a un plan enveloppe canonique, où il est régulier, défini à isométrie unique près³³ .

Le principe général (page 18). Soit \(G\) un groupe. Le groupoïde \(\mathrm{Tors}(G)\) est équivalent au groupoïde à un seul objet de groupe d'automorphismes \(G\) — l'objet étant le torseur trivial \(G_d\), dont les automorphismes sont les translations à gauche³⁴ . Pour toute catégorie \(\mathcal{E}\), \[ \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\underline{\mathrm{Tors}}(G), \mathcal{E}\bigr) \xrightarrow{\ \approx\ } G\text{-}(\mathcal{E}), \qquad \Phi \longmapsto \Phi(G_d), \] où \(G\text{-}(\mathcal{E})\) est la catégorie des objets \(X\) de \(\mathcal{E}\) munis d'une action à gauche de \(G\), c'est-à-dire d'un morphisme \(G \to \mathrm{Aut}(X)\) ; un quasi-inverse est \(X \mapsto (P \mapsto {}^{P}X)\), quand les produits contractés existent dans \(\mathcal{E}\)³⁵ .

Pour un objet \(E\) d'une catégorie \(\mathcal{C}\), de groupe \(G = \mathrm{Aut}_{\mathcal{C}}(E)\), le groupoïde \(\mathcal{C}_E\) des objets isomorphes à \(E\) est équivalent à \(\mathrm{Tors}(G)\), par \(F \mapsto \mathrm{Isom}(E, F)\). D'où le triangle d'équivalences

\begin{tikzcd}[column sep=large]
  \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\mathrm{Tors}}(G), \mathcal{E})
  \arrow[r, "\approx"] \arrow[d, "\approx"'] &
  G\text{-}(\mathcal{E}) \\
  \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}_E, \mathcal{E})
  \arrow[ur, "{\Phi \mapsto \Phi(E)}"'] &
\end{tikzcd}

\noindent et la conclusion : la catégorie des foncteurs de \(\mathcal{C}_E\) dans \(\mathcal{E}\) est équivalente, de façon canonique à isomorphisme unique près, à celle des \(G\)-objets de \(\mathcal{E}\), par \(\Phi \mapsto \Phi(E)\), de quasi-inverse \(X \mapsto \bigl(F \mapsto {}^{\mathrm{Isom}(E, F)}X\bigr)\). La marge, sous la mention « DEA », le dit pour tout groupoïde connexe \(\mathcal{C}_0\) et tout objet \(E_0\), avec \(G = \mathrm{Aut}(E_0)\)³⁶ .

Appliqué aux polygones (page 19) : se donner, pour tout polygone combinatoire \(P\) à \(n\) sommets, un espace vectoriel réel \(E(P)\), « de façon compatible avec le transport de structure » — un foncteur sur le groupoïde des \(n\)-gones —, c'est se donner le seul espace \(E = E(P_n)\) avec l'action de \(\mathbf{D}_n\) ; on reconstitue \(E(P) = {}^{T}E\), \(T = \mathrm{Isom}(P_n, P)\). L'enveloppe \(\mathrm{Env}\) est l'exemple de \(\mathbf{C}\).

19–20

7. Extension du groupe structural, produit des torseurs (pages 19 et 20)

(5) Extension du groupe d'opérateurs. Soit \(G \to G'\) un morphisme de groupes et \(T\) un \(G\)-torseur. Alors \(T' = T \wedge_G G'\) est un \(G'\)-torseur, et pour tout \(G'\)-ensemble à gauche \(F\) — donc \(G\)-ensemble par restriction — \[ T' \wedge_{G'} F = (T \wedge_G G') \wedge_{G'} F \simeq T \wedge_G (G' \wedge_{G'} F) \simeq T \wedge_G F, \qquad\text{soit}\quad {}^{T'}F \simeq {}^{T}F . \] Pour tordre \(F\) par un \(G\)-torseur quand \(G\) opère via un morphisme \(G \to G'\), il suffit donc de tordre par le \(G'\)-torseur déduit \(T'\) ; par exemple, si \(F\) porte quelques structures, on peut prendre \(G' = \mathrm{Aut}(F)\)³⁷ .

(6) Produit des torseurs sous un groupe commutatif. Si \(G\) est commutatif, la multiplication \(G \times G \to G\) est un morphisme, et l'on définit le produit de deux torseurs comme le torseur déduit par extension du groupe : \[ X \wedge Y = (X \times Y) \wedge_{G \times G} G, \] et de même \((X_1 \times \cdots \times X_n) \wedge_{G^n} G\). Un produit de torseurs est un torseur. Ce produit est associatif et commutatif à isomorphisme canonique près, d'unité le torseur trivial \(G_d\), et tout torseur \(X\) a un inverse : \(X^{-1} = X \wedge_G G\), \(G\) opérant sur lui-même par \(g \mapsto g^{-1}\) (un morphisme, \(G\) étant commutatif), avec \(X \wedge X^{-1} \simeq G_d\) ; un tel inverse est unique à isomorphisme unique près compatible aux trivialisations³⁸ .

(7) Un article sur les orientations, qui commençait par « \(X \wedge Y\) », est biffé, puis un exemple encadré — un ensemble fini \(B\) muni d'une relation d'équivalence, \(I = B/R\), et le produit \(\bigwedge_{i \in I} B_i\) — est barré à son tour. Il annonce la page suivante.

21–21

8. Structures cubiques (page 21)

Soit \(A\) un anneau dans lequel \(2 \neq 0\), et \(n \geq 1\). Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des \(A\)-modules libres \(E\) munis d'une décomposition en somme directe \(E = \bigoplus_{i \in I} E_i\) de \(n\) sous-modules libres de rang \(1\), chaque \(E_i\) muni d'une bi-base \(\{e_i, -e_i\}\) ; de façon équivalente, des \(A\)-modules \(E\) munis d'une partie \(B\) à \(2n\) éléments, stable par \(x \mapsto -x\), telle qu'un — donc tout — système de représentants de \(B/\{\pm 1\}\) soit une base. Soit \(\mathcal{C}'\) la catégorie des ensembles \(B\) à \(2n\) éléments munis d'une involution \(\sigma\) sans point fixe. Prenons pour morphismes, dans \(\mathcal{C}\), les applications \(A\)-linéaires \(f\) avec \(f(B) \subset B'\), et dans \(\mathcal{C}'\) les applications qui commutent à \(\sigma\).

Proposition. Le foncteur évident \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\), \((E, B) \mapsto (B, x \mapsto -x)\), est une équivalence de catégories. Un quasi-inverse associe à \((B, \sigma)\), avec \(I = B/\sigma\) et \(B_i\) la classe de \(i\), le module \[ E = \bigoplus_{i \in I} E_i, \qquad E_i = B_i \wedge_{\{\pm 1\}} A, \] où \(B_i\) est vu comme torseur sous \(\{\pm 1\}\) et \(\{\pm 1\}\) opère sur \(A\) par homothéties ; \(E_i\) est libre de rang \(1\), de bi-base \(\{[b, 1], [\sigma b, 1] = -[b, 1]\}\)³⁹ .

Le groupe des automorphismes d'un objet est le groupe des permutations signées \(\{\pm 1\}^n \rtimes \mathfrak{S}_n\), le groupe des symétries du cube de dimension \(n\) — d'où le titre. C'est le groupe hyperoctaédral, groupe de Weyl des systèmes de racines de type \(B_n\) et \(C_n\) — ceux-là mêmes que, dans la lecture du dossier 88 (pages 2 à 4), le groupe de Weyl épinglé ne distingue pas⁴⁰ . Le passage, numéroté (8), prolonge l'exemple biffé de l'article (7) : \(B\) muni de son involution est un ensemble au-dessus de \(I\) dont les fibres sont des torseurs sous \(\{\pm 1\}\).

22–23

9. Un contour comme torseur tordu (pages 22 et 23)

Soit \(C\) un contour combinatoire connexe de longueur \(n \geq 3\)⁴¹ . Il définit :

1. 1.l'ensemble \(\omega = \omega_C\) de ses deux orientations, torseur sous \(\{\pm 1\}\). On peut déjà en déduire le groupe des « translations » du contour : \[ G^{+} = \mathrm{Aut}^{+}(C) \simeq \omega \wedge_{\{\pm 1\}} \mathbf{Z}_n, \] où \(\{\pm 1\}\) opère sur \(\mathbf{Z}_n\) par \(x \mapsto -x\) ; l'isomorphisme est \([o, k] \mapsto u_o^{k}\), bien défini parce que \(u_{-o} = u_o^{-1}\) (page 7) ;
2. 2.un torseur sous \(G^{+}\) : l'ensemble de ses sommets.

Inversement, un ensemble \(\omega\) à deux éléments et un torseur \(T\) sous \(\omega \wedge_{\{\pm 1\}} \mathbf{Z}_n\) définissent un contour : sommets \(T\), arêtes les paires \(\{t, t + [o, 1]\}\), \(o \in \omega\) ; et cela donne une équivalence entre contours connexes de longueur \(n\) et couples \((\omega, T)\)⁴² . Le groupe d'automorphismes d'un couple \((\omega, T)\) est \(\mathbf{Z}_n \rtimes \{\pm 1\} = \mathbf{D}_n\), celui du contour : c'est la forme intrinsèque de la page 18, où un contour était un torseur sous \(\mathbf{D}_n\).

Exercice (DEA). Soit \(G = Z \rtimes \Gamma\), \(\Gamma\) opérant sur \(Z\), avec \(Z\) commutatif. Se donner un \(G\)-torseur \(T\) équivaut à se donner

1. a)un \(\Gamma\)-torseur \(\omega\) ;
2. b)un torseur \(T_0\) sous le groupe tordu \({}^{\omega}Z = \omega \wedge_\Gamma Z\).

On passe de \(T\) à \(\omega = T \wedge_G \Gamma = T/Z\) et à \(T_0 = T \wedge_G (G/\Gamma) = T/\Gamma\), où \(G/\Gamma\) est \(Z\) muni de son action affine ; c'est l'exercice dont l'énoncé sur les contours est le cas \(Z = \mathbf{Z}_n\), \(\Gamma = \{\pm 1\}\), avec \(T = \mathrm{Isom}(P_n, C)\), \(\omega = \omega_C\), \(T_0 = S(C)\)⁴³ .

24–27

10. Orientations et formules d'associativité (pages 24 à 27)

24–25

Trois définitions d'une orientation (pages 24 et 25)

Chaque fois, l'objet est un torseur \(P\) sous un groupe \(G\), muni d'un caractère \(s : G \to \{\pm 1\}\), et l'ensemble de ses orientations est le \(\{\pm 1\}\)-torseur déduit \[ \omega = P \wedge_G \{\pm 1\} \quad (G \text{ opérant par } s), \] qui s'identifie à \(P/\mathrm{Ker}(s)\) quand \(s\) est surjectif⁴⁴ .

1. a)Espace vectoriel réel \(E\) de dimension \(n\) : \(P = \mathrm{Isom}(\mathbf{R}^n, E)\), l'ensemble des bases, sous \(G = \mathrm{GL}(n, \mathbf{R})\), et \(s = \operatorname{sgn} \det\), de noyau \(\mathrm{GL}^{+}(n, \mathbf{R})\).
2. b)Module quadratique libre \(E\) de rang \(n\) sur un anneau commutatif \(k\) où \(2\) est inversible, possédant une base orthonormale : \(P\) l'ensemble des bases orthonormales, sous \(G = \mathrm{O}(n, k)\), et \(s = \det\), de noyau \(\mathrm{SO}(n, k)\). Il faut supposer \(k\) connexe — sans idempotent autre que \(0\) et \(1\), par exemple local ou intègre —, sans quoi \(\det\) prend ses valeurs dans le groupe \(\mu_2(k)\) des racines carrées de l'unité, plus gros que \(\{\pm 1\}\)⁴⁵ .
3. c)Ensemble fini \(I\) de cardinal \(n\) : \(P = \mathrm{Isom}(\{1, \ldots, n\}, I)\), l'ensemble des numérotations, sous \(\mathfrak{S}_n\), et \(s\) la signature, de noyau \(\mathfrak{A}_n\).

Compatibilités. Elles résultent toutes de la transitivité de l'extension du groupe structural (article (5)) : si \(G_1 \to G_2\) est un morphisme compatible aux caractères, et \(P_2 = P_1 \wedge_{G_1} G_2\), les orientations définies par \(P_1\) et \(P_2\) coïncident.

1. a)–b)Pour \(k = \mathbf{R}\) : \(\mathrm{O}(n, \mathbf{R}) \subset \mathrm{GL}(n, \mathbf{R})\), et \(\operatorname{sgn}\det\) y induit \(\det\) ; les bases orthonormales engendrent toutes les bases, d'où \(\omega_E\) calculé dans a) \(=\) \(\omega_E\) calculé dans b)⁴⁶ .
2. b)–c)\(k^I\), muni du produit scalaire \(\sum_{i} x_i y_i\), est un module quadratique \(E(I, k)\) dont la base canonique est orthonormale ; une numérotation \(i_1, \ldots, i_n\) de \(I\) donne la base orthonormale ordonnée \(e_{i_1}, \ldots, e_{i_n}\), et \(\mathfrak{S}_n \to \mathrm{O}(n, k)\) (matrices de permutation) vérifie \(\det = \operatorname{sgn}\). D'où \(\omega_{E(I, k)} \simeq \omega_I\), et en particulier \(\omega_{E(I, \mathbf{R})} \simeq \omega_I\)⁴⁷ .

26–27

Formules d'associativité (pages 26 et 27)

a) Espaces vectoriels réels. Soit \((E_i)_{i \in I}\) une famille finie d'espaces vectoriels réels de dimension finie \(d_i\), \(E = \bigoplus_i E_i\), et \(I^{+}\) (resp. \(I^{-}\)) l'ensemble des \(i\) tels que \(d_i\) soit pair (resp. impair). On a un isomorphisme canonique de \(\{\pm 1\}\)-torseurs \[ \boxed{\ \omega_E \simeq \omega_{I^{-}} \wedge \bigwedge_{i \in I} \omega_{E_i}\ } \] Construction. Une numérotation \((i_1, \ldots, i_{n^-})\) de \(I^{-}\), une numérotation \((j_1, \ldots, j_{n^+})\) de \(I^{+}\) et, pour tout \(i\), une base ordonnée \(B_i = (e_{i,1}, \ldots, e_{i,d_i})\) de \(E_i\) donnent, par concaténation des \(B_i\) dans l'ordre \(i_1, \ldots, i_{n^-}, j_1, \ldots, j_{n^+}\), une base de \(E\), donc un élément de \(\omega_E\). On vérifie :

• changer un \(B_i\) par une matrice de déterminant positif change la base de \(E\) par une matrice de déterminant positif, et par un déterminant négatif, par un déterminant négatif : l'élément de \(\omega_E\) ne dépend que des orientations des \(E_i\), et change de signe avec chacune ;
• permuter \(I^{-}\) par \(\sigma^{-}\) change la base par une matrice de déterminant \(\operatorname{sgn}\sigma^{-}\) — échanger deux blocs consécutifs de tailles \(d\) et \(d'\) coûte \((-1)^{d d'}\), soit \(-1\) pour deux blocs impairs ;
• permuter \(I^{+}\) ne change rien, chaque échange mettant en jeu un bloc pair.

L'application \(\mathrm{numérot}(I^-) \times \mathrm{numérot}(I^+) \times \prod_i \mathrm{bases}(E_i) \to \omega_E\) passe donc au quotient en une application \(\omega_{I^-} \times \prod_i \omega_{E_i} \to \omega_E\) compatible à l'action de \(\{\pm 1\}\) sur chaque facteur, c'est-à-dire en l'isomorphisme encadré. Le même argument montre que l'on peut concaténer selon n'importe quel ordre total sur \(I\) induisant l'ordre donné sur \(I^{-}\), comme le note la marge⁴⁸ .

b) Modules quadratiques. Même formule, même démonstration, pour une famille finie de modules quadratiques libres à base orthonormale, sur \(k\) comme en b) de la page 24.

c) Ensembles finis. Soit \(p : J \to I\) une application d'ensembles finis — par exemple la projection de \(J\) sur son quotient par une relation d'équivalence —, \(J_i = p^{-1}(i)\) et \(I^{-}\) l'ensemble des \(i\) dont la fibre a un cardinal impair. Alors \[ \omega_J \simeq \omega_{I^{-}} \wedge \bigwedge_{i \in I} \omega_{J_i}, \] ce qui est a) appliqué à \(\mathbf{R}^J = \bigoplus_i \mathbf{R}^{J_i}\), compte tenu de \(\omega_{E(J, \mathbf{R})} \simeq \omega_J\)⁴⁹ . La page se donne ensuite à établir la « compatibilité entre les isomorphismes canoniques a), b), c) », sans l'écrire.

Cas des extensions. Pour un drapeau \(0 = E_0 \subset E_1 \subset \cdots \subset E_d = E\), la page demande de « définir un isomorphisme canonique » \[ \omega_E \simeq \bigwedge_{1 \leq i \leq d} \omega_{E_i/E_{i-1}} . \] Il s'obtient en relevant des bases des quotients et en les concaténant dans l'ordre du drapeau ; le résultat ne dépend pas des relèvements, qui changent la base par une matrice unipotente triangulaire par blocs. Il n'y a pas de terme correctif : l'ordre est donné par le drapeau⁵⁰ .

28–32

11. La lettre et les deux annonces de cours (pages 28 à 32)

Les pages 28 et 29 sont deux copies — un carbone pâle et une photocopie — d'une lettre dactylographiée qu'il signe à Villecun le 30 janvier 1978, adressée au ministre de l'Éducation au sujet de l'ordonnance du 2 novembre 1945. C'est la « lettre (1978) » de l'inventaire ; elle ne porte pas de mathématiques, la transcription ne la reproduit pas, et on n'en dit pas plus ici.

30–31

Cours C4 1977–1978 : géométrie de l'icosaèdre (pages 30 et 31)

L'annonce, dactylographiée sur papier à en-tête de l'Institut de mathématiques, part d'un étonnement : l'icosaèdre, étudié depuis plus de deux mille ans, ne semble jamais avoir été étudié systématiquement du point de vue combinatoire, ni de celui de ses réalisations géométriques sur des corps, voire des anneaux, quelconques. Le cours se veut une « investigation commune » partant de l'intuition combinatoire la plus naïve, sur des modèles en carton dont les arêtes sont coloriées.

Le programme : expliciter le dictionnaire entre la géométrie combinatoire de l'icosaèdre orienté et celle de l'ensemble « orienté » à cinq éléments — les cinq couleurs des arêtes —, et étudier le groupe d'automorphismes commun aux deux situations, le groupe alterné \(\mathfrak{A}_5\), plus petit groupe simple non abélien⁵¹ ; puis construire des réalisations de l'icosaèdre combinatoire comme polyèdre régulier sur les réels et sur d'autres corps, ce qui obligera à faire de la géométrie vectorielle, affine et projective en caractéristique quelconque. Les caractéristiques deux et cinq y jouent un rôle particulier, et l'étude combinatoire s'y exprime par la géométrie sur \(\mathbf{F}_4\) et \(\mathbf{F}_5\), à travers les isomorphismes exceptionnels \[\begin{align*} \mathfrak{A}_5 &\simeq \mathrm{SL}(2, \mathbf{F}_4) \simeq \mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_4) \simeq \mathrm{SO}(3, \mathbf{F}_4), \\ \mathfrak{S}_5 &\simeq \mathrm{PGL}(2, \mathbf{F}_5) \simeq \mathrm{SO}(3, \mathbf{F}_5), \end{align*}\] dont la page 13 contenait déjà les deux premiers⁵² .

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Cours DEA 1977–1978 : géométrie arithmétique des polygones réguliers (page 32)

Le second cours, conçu lui aussi comme une investigation en commun, prend pour objet la notion de polygone régulier au-dessus d'un corps de base, puis d'un anneau de base quelconque. Il doit familiariser avec la géométrie vectorielle, affine et projective, avec ou sans métrique, en dimensions un, deux et trois, et avec les formes imprévues que prennent en caractéristique positive, notamment sur les corps finis, des notions familières comme celle de réflexion ou de centre d'un polygone régulier. Le besoin d'une géométrie sur un anneau de base général — tel l'anneau « sur lequel s'écrit » le \(n\)-gone régulier « le plus général » — doit mener à quelques points de fondements de géométrie algébrique ; si le temps le permet, on tentera de construire l'icosaèdre régulier « général » sur un anneau de base fini sur \(\mathbf{Z}\), ayant des corps résiduels de toutes caractéristiques, la caractéristique deux promettant « du fil à retordre ». L'annonce insiste sur la participation active et le travail personnel de l'étudiant, et conseille de suivre en même temps le cours sur l'icosaèdre⁵³ .

Les feuillets manuscrits des pages 2 à 27 sont l'outillage de ces deux cours : le polygone combinatoire comme torseur sous \(\mathbf{D}_n\), son enveloppe canonique, ses orientations, les petits groupes comme groupes de géométrie finie. Les mêmes objets se retrouvent ailleurs dans le groupe : les triangles, hexagones et polygones combinatoires du dossier 89, les polygones « bi-circulés » du dossier 81 (pages 40 à 52), et, dans le langage des cartes et du groupe cartographique, le dossier 88.