Fonds Grothendieck, cote n° 74, pages 121–135

Revêtements, torseurs et involutions \sigma

feuille de brouillon, notes éparses sans texte suivi ; l'argument vient d'avant le lot (les notations V, \Gamma, \widetilde{E}_i, \sigma_x ne sont pas introduites ici). On donne les formules dans l'ordre approximatif de la page.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & 1 \arrow[d] & \\ V \arrow[r, "\varphi_i"] \arrow[dr, dashed, "\psi_i"'] & \Gamma \arrow[r, "p_i"] & E_i/2 = V \\ & \widetilde{\Gamma} \arrow[u] \arrow[r, "\tilde{p}_i"] & \widetilde{E}_i \arrow[u] \\ & \{\pm 1\} \arrow[u] & \pm 1 \arrow[u] \arrow[ul] \end{tikzcd}

lecture du diagramme incertaine : la flèche p_i est surchargée, le but E_i/2 est en partie raturé, la flèche \psi_i est en pointillé et porte la marque \simeq ; sous \{\pm1\} un « 0 » relié par un trait.

\widetilde{\Gamma} \to \widetilde{E}_i ; g \in \widetilde{E}_1 = V, \tilde{y} \in \widetilde{E}_2.

\begin{array}{lll} x & y & z \\ x & y+u+w, & z+u+w \\ x_0 & y_0 + w & z_0 + w \end{array} ~~x \ y \ z~~ ~~x \ \ z+u \ \ y+\ldots~~

0 \to \widetilde{\Gamma} \to \widetilde{E}_1 \times \widetilde{E}_2 \to \qquad \widetilde{\Gamma} - \widetilde{E}_2 ~~(g,y)~~ \mapsto \varepsilon

s \to t' \to u \to s' \widetilde{\Gamma} \simeq \widetilde{E}_1 \times \widetilde{E}_2 \to E_1 \times E_2, avec \tilde{p}_3 : \widetilde{\Gamma} \to \widetilde{E}_3, une flèche oblique q_{12} : \widetilde{E}_1 \times \widetilde{E}_2 \to \widetilde{E}_3, et \widetilde{E}_3 \to E_3 ; (x,y) \longmapsto \text{\struck{$x * y$}} \ (= -x\cdot y) q_{12}(a\cdot\tilde{y}) = q_1\,\varepsilon(a)\,q_2\,\ldots \qquad 2^4/h = 2^2 la fin de la formule de q_{12} est en abrégé : « q_1 \varepsilon(a)\, q_2 \tilde{y} ».

~~\sigma_1 \ \sigma_2 \ \sigma_3~~

\tau_1 \ \tau_2 \ \tau_3 un triangle de sommets \widetilde{E} (en haut), \widetilde{E}' (en bas à gauche), \widetilde{E}_2 (à droite), les côtés marqués \tau_3, \tau_1, \tau_2. \tau_2\tau_1 = \mathrm{id} \qquad \tau_3\tau_2 = \mathrm{id} \qquad \tau_1\tau_3 = \mathrm{id} \qquad \tau^2 = \mathrm{id}

\widetilde{G} sur \widetilde{\Gamma} ; \widetilde{\Gamma} \subset \widetilde{E}^3 \sigma_x\sigma_y\sigma_x^{-1}\sigma_y^{-1} = \sigma_{\sigma_x y}\,\sigma_y^{-1} lecture de cette ligne incertaine ; sous l'indice \sigma_x y, un « 2 » souligné. \underbrace{\sigma_x\sigma_{x'}}_{\pi}\ \underbrace{\sigma_y\sigma_{y'}}_{\sigma_{\pi y}\sigma_{\pi y'}}\ \sigma_x\sigma_{x'}\ \sigma_y\sigma_{y'} \pi_{x,x'}\,\pi_{y,y'} = \pi_{x,x'}\,\pi_{\pi_{x,x'}y,\ \ldots}

feuillet imprimé (copie d'examen) ; seul un calcul de sa main, écrit en travers, est transcrit. 12 \cdot 4^2 \cdot \text{\struck{$6$}}\,8 \cdot 9 \cdot 5 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 \qquad 128 \times 405 = 51840 \qquad /\,2\cdot 3 la multiplication posée 128 \times 405 donne les produits partiels 640 et 51200 et le total 51840.

Graphes cubiques \tau_\alpha et sous-structures ~~\tau~~ \tau_{-\infty} graphe vide \tau_{-1} graphe triangle c = 0 = 2^{-\infty} \tau_0 pavé c = 1 = 2^0 \tau_1 c = 2 = 2^1 \tau_2 graphes cubiques c = 4 = 2^2

Cat. des graphes \tau_\alpha munis d'une sous-structure \tau_\beta (\beta \leq \alpha) \begin{array}{c|c|c|c|c} \beta \backslash \alpha & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -\infty & (\mathrm{Ens})_3 & (\mathrm{Ens})_{3,3} & (\mathrm{Ens})_6 & * \\ -1 & (\mathrm{Ens})_3 & (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 & (\mathrm{Ens})_{2,2,2} & \text{Trialité} \\ 0 & \emptyset & (\mathrm{Ens})_{3,3} & (\mathrm{Ens})_{3,3} & (\mathrm{Ens})_{3,3} \times (\mathrm{Ens})_{3,3} \\ 1 & \emptyset & \emptyset & (\mathrm{Ens})_6 & (\mathrm{Ens})_6 \times (\mathrm{Ens})_2 \end{array} plusieurs cases sont surchargées : sous (\mathrm{Ens})_{2,2,2} un mot raturé ; les indices 2,2,2 et 3,3 sont repassés à l'encre plus noire ; l'étiquette de la première ligne se lit -\infty (« -\emptyset »), celle de la dernière est surchargée (4 ou 1).

Cas des systèmes \tau_\alpha \subset \tau_\beta \subset \tau_\gamma (\alpha < \beta < \gamma fixés) \begin{array}{c|c} -1,\,0,\,1 & (\mathrm{Ens})_3 \\ -1,\,0,\,2 & (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_3 \\ -1,\,1,\,2 & (\mathrm{Ens})_{2,2,2} \times (\mathrm{Ens})_2 \\ 0,\,1,\,2 & (\mathrm{Ens})_{3,3} \times (\mathrm{Ens})_2 \\ -1,\,0,\,1,\,2 & (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 \end{array} ce second tableau est lu sur un aperçu sans agrandissement suffisant ; ses entrées sont toutes douteuses.

\begin{array}{lll} \sigma_{t_0} : & x \leftrightarrow x', \quad y \leftrightarrow y', \quad z \leftrightarrow z' \\ \sigma_t : & x \leftrightarrow y', \quad y \leftrightarrow z', \quad z \leftrightarrow x' \\ \sigma_{t'} : & x \leftrightarrow z', \quad y \leftrightarrow x', \quad z \leftrightarrow y' \end{array} \sigma_{t_0}\sigma_t : x \to y \to z, x' \to z' \to y', a \to s \to s' ; \sigma_t\sigma_{t'} : x \to y \to z, …, a \to s \to s'. \sigma_{t_0}\sigma_t = \sigma_t\sigma_{t'} = \sigma_{t'}\sigma_{t_0} = \pi_a, \qquad \pi^3 = \mathrm{id} [\sigma_{t_0},\sigma_t] = [\sigma_t,\sigma_{t'}] = [\sigma_{t'},\sigma_{t_0}] = \pi^2 = \pi^{-1} \sigma_t\sigma_{t_0} = \sigma_{t_0}\sigma_{t'} = \sigma_{t'}\sigma_t = \pi^{-1} ~~\sigma_{t_0}\sigma_t\sigma_{t'} = \sigma_t …~~

\mathfrak{S}_I opère sur S \smallsetminus X fixé, 3 avec pt fixe … trois orbites, donc … dans trois torseurs sous \mathfrak{S}_I ; donc trois cas : . le passage est rapide et en grande partie illisible ; seuls les termes mathématiques sont sûrs.

X \downarrow Z cas : 9 él. \downarrow E cas : 3 él.

trois ovales reliés, contenant \xi_1\ \xi_2\ \xi_3 / \xi_4^*\ \xi_5^*\ \xi_6^* ; \xi_4\ \xi_5\ \xi_6 / \xi_1'\ \xi_2'\ \xi_3' ; \xi_{45}\ \xi_{56}\ \xi_{64} / \xi_{12}\ \xi_{23}\ \xi_{31}.

II, III deux cas : trois él.

\mathfrak{S}_I \times \mathfrak{S}_J opère sur fixe … ; \mathfrak{S}_I et \mathfrak{S}_J opèrent sur les pts fixes, donc … E = \coprod E_i, de façon que les E_i soient des torseurs sous \mathfrak{S}_I \times \mathfrak{S}_J.

page de calculs combinatoires sur les sommets s,t,u, s',t',u', x,y,z, x',y',z' d'un graphe ; on donne ce qui se lit.

(a\,b\,c) ~~x \in \widetilde{E}_a\ x~~ (s,t,u) (s',t',u') x \in \widetilde{E}_a \smallsetminus \{s,s'\}

\begin{array}{ll} (s,t)\ (s',t') & (x,u)\ (x',u') \\ (t,u)\ (t',u') & (x,t)\ (x',t) \\ (u,s)\ (u',s') & \end{array} (u,x,y') (u',x',y'), y \in \widetilde{E}_b \smallsetminus \{t,t'\} ; (x,t',z') (x',t,z), z \in \widetilde{E}_c \smallsetminus \{u,u'\} \begin{array}{ll} (y',u)\ (y,u') & (z',t')\ (z,t) \\ (y',s')\ (y,s) & (z',s)\ (z,s') \\ (y',x)\ (y,x') & (z',x)\ (z,x') \\ & (z',y)\ (z,y') \end{array}

En marge, en haut à droite : \text{\struck{$3(1+2c)$}} \qquad \tfrac12(3+6c)(2+2c) = 3(1+2c)(1+c) = 3(1+3c+2c^2)

un graphe aux sommets s', s, u', u, t, a, b, c, y'.

s\ t\ u / a\ b\ c ; x \mapsto y (u\,x\,y) ; y \mapsto z (s'\,y\,z') ; z \mapsto x' (t\,z'\,x')

un hexagone orienté z' \to x \to y' \to z \to x' \to y, précédé d'une esquisse raturée ; à côté, des lignes a - b - c \to a et leurs permutations, pour la plupart.

\boxed{\sigma_t\sigma_s\sigma_u = \sigma_{t_0} \text{ sur } \widetilde{E}_a \smallsetminus \{s,s'\}} \sigma_t\sigma_s = \sigma_{t_0}\sigma_u = \sigma_u\sigma_{t_0} \sigma_t\sigma_s\sigma_t^{-1} = \sigma_{\sigma_t s} = \sigma_u \sigma_t\sigma_s = \text{\struck{\ldots}}\ \sigma_u\sigma_t \quad \text{i.e.} \quad \underbrace{\sigma_u\sigma_t\sigma_s}_{=\ \sigma_{t_0} \text{ sur } S\smallsetminus\{t_0\}} = \sigma_t short-cut !!

x\ x' / s\ s' / a,b,c / t\ t' / y\ y' / u,u' / z,z' \sigma_t\sigma_y \neq \sigma_y\sigma_t : \ s \to u \to x \qquad\qquad \sigma_u\sigma_z = \sigma_z\sigma_u : \ s \to t \to x'

Graphes triangulaires T_\nu et l'espace V = \mathbb{F}_2^I

*) (S,A) graphe triangulaire T_\nu, avec ~~\nu \in \mathbb{N}~~ \nu = 0, 1 \ldots 2, c_\nu = 2^\nu \geq 1.

a \in S, I l'ens. des triangles de sommet a (de cardinal c_\nu + 1 = 2^\nu + 1).

G_I = \mathbb{F}_2^I, il opère sur S ~~par les \sigma_t (t \in I)~~ via \sigma_t (t \in I).

~~S_A = \{ s \in S \mid s \text{ lié à } a\}~~

s \mapsto s' Pour s \in S distinct de a … deux triangles en a … \{a,s\} … deux lignes très rapides, en partie raturées.

Donc s \mapsto s' est une involution sans pt fixe de X, et S \simeq X/\sigma. On peut regarder les X_i (i \in I) comme des torseurs sous \mathbb{F}_2, donc \prod_{i\in I} X_i comme un torseur sous V, soit E.

Soit Y l'ens. … S \smallsetminus X \smallsetminus \{a\} = \{ x \in S \mid x \text{ non lié à } a\}.

Pour x \in Y et i \in I, x est lié à un élt unique de X_i, soit \varphi_i(x), donc \varphi(x) = (\varphi_i(x))_{i\in I} \in E = \prod X_i , ~~d'où une application …~~ \varphi : Y \to E.

Comme G opère … ; Soit z_0 l'élément non nul de \mathbb{F}_2, z l'élément diagonal de \mathbb{F}_2^I.

~~sur l'application diagonale … \sigma_i (i \in I)~~

\xi_i : \mathbb{F}_2 \to V \simeq \mathbb{F}_2^I l'inj. canonique, \rho l'op. naturelle de V sur E par \rho(\xi_i(z_0))\,(x_j)_j = (y_j)_j , \quad y_j = x_j \text{ si } j \neq i, \quad y_i = z_0 x_i \text{ sinon}. On aura ~~\sigma_i(x) =~~

pour x \in E = \prod_{i\in I} X_i, et ~~g = (g_i)_{i\in I} \in V~~ i_0 \in I, (\sigma_{i_0})_E = \prod_{i \in I \smallsetminus i_0} \rho(\xi_i(z_0)) = \rho\Bigl(\sum_{i\in I\smallsetminus i_0} \xi_i(z_0)\Bigr) = \rho(z)\,\rho(\xi_{i_0}(z_0)) sous la somme, une accolade : « = z - \xi_{i_0}(z_0) » .

Donc si … V \xrightarrow{\ \eta\ } \mathbb{F}_2 l'augmentation (\delta : \mathbb{F}_2 \to V diag.), on aura, pour g \in V : (\sigma_g)_E = \rho\bigl(g + \delta\eta(g)\bigr)

Considérons l'application V \xrightarrow{\ u\ } V, \qquad u(x) = x + \delta\eta(x) Son noyau est formé des x tels que x = \delta\eta x i.e. c'est un sous-espace … z = \delta(z_0), et il vient à voir … \text{\struck{$z$}} = \delta\eta z \quad \text{i.e.} \quad \text{\struck{$z_0 = \eta\delta z_0$}} \quad (\text{comme } z = \delta z_0) quand … z_0 = \eta z \quad \text{i.e.} \quad \eta z \neq 0 : c'est le cas ssi I est de cardinal impair. Or a cardinal 1 + c_\nu = 1 + 2^\nu, qui est impair sauf pour \nu = 0 (cas du point). ~~Donc~~

dans ce cas, si \nu \neq 0, u est injectif donc iso, et les op. de V sur E via \rho ou via \sigma se déterminent mutuellement. Or l'application \varphi commute

aux op. \sigma, on trouve que l'appl. \varphi de Y dans E est … (donc injective, card Y = \ldots) sous V et une … donc …

V lt action. Or (4c_\nu = 4 \mathrm{card}\, E = \ldots \text{\struck{\ill{}}} = 2^{c_\nu + 1} = 2^2 = 4, donc … \varphi est bijectif.

b) Si \nu \neq 0 i.e. \nu = 1 ou 2, alors l'image u … \text{\struck{Im}}\ \delta(\mathbb{F}_2) = \{0, z\}, \quad \text{comme} \ \ldots ~~(…)~~

noyau … \operatorname{Ker} \eta = V ~~…, Y \hookrightarrow V …~~

l'argument s'interrompt ici ; le reste de la page est blanc.

Graphes pseudotrialitaires en termes de triangles

le titre de la section est de sa main, en tête de page.

X ens. (« sommets ») ; T \subset \mathfrak{P}_3(X) (triangles)

Axiomes a) \underline{t}, \underline{t}' \in T \Rightarrow \mathrm{card}(\underline{t} \cap \underline{t}') \neq 2, i.e. si \underline{t}, \underline{t}' ont deux pts en commun, ils sont égaux ; ou encore : toute arête contenue dans un triangle unique.

Déf : \underline{a} \in \mathfrak{P}_2(X) est une arête si \exists\, \underline{t} \in T, \underline{a} \subset \underline{t}.

b) Soit \underline{t} \in \mathfrak{P}_3(X), pour que \underline{t} \in T, il (faut et) suffit que \forall\, \underline{a} \in \mathfrak{P}_2(X), \underline{a} \subset \underline{t}, on ait \underline{a} est une arête. On aura … [lorsque a,b,c \in X distincts, \underline{t}, \underline{t}', \underline{t}'' \in T tels que a,b \in \underline{t}, b,c \in \underline{t}', c,a \in \underline{t}'', alors \{a,b,c\} \in T (et \underline{t} = \underline{t}' = \underline{t}'' = \{a,b,c\})].

c) \forall\, \underline{t} \in T et a \in X, \exists\, \underline{t}' \in T tel que a \in \underline{t}', \underline{t} \cap \underline{t}' \neq \emptyset [et si a \notin \underline{t}, \underline{t}' est unique …]

Pour que X soit une conf., il faut et il suffit qu'on ait

d) \forall\, a \in X, l'ens. des \underline{t} \in T tels que a \in \underline{t} est ~~un triangle~~ de cardinal 3.

Soit X une conf., X X' l'ens. des ~~triangles~~ de ses droites, R la relation d'incidence. Donc \forall\, x' \in X', R\{x'\} \in \mathfrak{P}_3(X), et x' \mapsto R\{x'\} de X' dans \mathfrak{P}_3(X) est injectif… Mais aussi, \forall\, x \in X, R\{x\} \in \mathfrak{P}_3(X'), et x \mapsto R\{x\} de X dans \mathfrak{P}_3(X') est injectif.

Soit alors X une . Montrons que X \subset \mathfrak{P}_3(X') satisfait aux conditions a) b) c) d) précédentes. ici et à la page suivante, \mathfrak{P}_k(X) rend son \mathcal{P} gothique (ensemble des parties à k éléments) ; les triangles et arêtes sont soulignés sur la page.

Vérifions d) : \forall\, a' \in X', l'ens. des x \in X incidents à a' est bien trois…

a) Soient a, b \in X, a \neq b, considérons les \underline{t} \in X' incidents à a et b ; il faut, je dis qu'il y en a 0 ou 1 (jamais 2) : clair.

b) Soient \underline{t}, \underline{t}', \underline{t}'' \in T = X' il. distincts et a,b,c \in X tels que \underline{t}, \underline{t}' incidents à a, \underline{t}', \underline{t}'' inc. à b, \underline{t}'', \underline{t} inc. à c, prouvons que a = b = c, donc que \{\underline{t}, \underline{t}', \underline{t}''\} : un … point… En effet, si on avait b \neq a, le triangle \underline{t}'' ne pourrait venir rencontrer \underline{t}, car b ne serait pas lié à aucun autre sommet de \underline{t} que a.

triangle de sommet a, côtés \underline{t} et \underline{t}', avec b ? et c.

c) \forall\, a \in X et \underline{t} \in T = X' (a non incident à \underline{t}), \exists\, b \in X incident à \underline{t}, et tel que a, b soient incidents à un même \underline{t}' \in T = X'.

un point a et un triangle.

Diagrammes A_n dans les graphes cubiques

page de dessins.

trois motifs de points ; deux triangles se touchant par un sommet ; un petit cube dont les sommets portent \lambda_{25}, \lambda_{16}, \lambda_{13}, \lambda_{24}, \lambda_{14}, \lambda_{23}, \lambda_{26}, \lambda_{15}, avec un trièdre d'axes ; un grand cube aux sommets alternativement pleins et creux ; plus bas, un polyèdre en treillis, un prisme et un carré.

\lambda_{12} \left\{\begin{array}{l}\lambda_{46},\ \lambda_{35} \\ \lambda_{34},\ \lambda_{56} \\ \lambda_{45},\ \lambda_{36}\end{array}\right. e_1 + e_2 \,/\, e_2 + e_3 \,/\, e_3 + e_1

cube \longleftrightarrow cube ponctué (\mathrm{Ens})_{2,2,2} \qquad (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_4 \mathfrak{S}_3 \cdot (\pm 1)^3 \simeq \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_4

~~A_1(S_i)~~ dilemme pt, triangle – pas biseau ni tripode

diagramme A_2 \simeq triangle ponctué un triangle de sommet a, deux côtés en pointillé, la base en trait épais.

Cat. des graphes cubiques avec diagramme A_2 \cong catégorie des ensembles de cardinal 8 munis d'une involution ss pt fixe \simeq catégorie des 4-cubes \simeq catégorie des torseurs sous \mathfrak{S}_4 \cdot \text{\struck{$\mathbb{Z}$}}(\pm 1)^4 \simeq W_{B_4} \quad (\text{groupe de Weyl de } SO(9))

diagramme A_3 \zeta_1 \overset{\lambda_{12}}{\text{------}} \zeta_1^* dilemme pt, biseau, pas triangle ni tripode \simeq doublet + élément de la demi-étoile associé

\simeq biseau B + él. marqué de I = B/\sigma_B + 2^{\text{ème}} él. marqué

(\zeta_1, \lambda_{12}, \zeta_1^*) él. typique

Cat. des graphes cubiques avec diagramme A_3 \cong ~~cat. des couples~~ (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_4 un cube en perspective, une face en traits épais, des arêtes en pointillé.

diagramme A_4

\simeq pavé + triade et triangle (sécants)

\simeq hexagone + clou centré

\cong (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_3 un hexagone dont la moitié inférieure est en trait épais, avec un « W » inscrit ; trois rangées de points.

diagramme A_5 \simeq (~~pavé~~ carré ponctué)

\simeq hex. ponctué

\simeq triade épinglée

\cong \mathrm{Ens}_{2,\text{\struck{4}}} \times \mathrm{Ens}_3 l'indice de \mathrm{Ens} est surchargé : un 4 repris en 2 . un hexagone avec un point central a, les arêtes marquées \xi_1, \xi_1^* ; un dessin entièrement raturé ; un hexagone contenant un losange centré ; un hexagone divisé par des diagonales ; quelques points et flèches.

Prismes triangulaires \simeq pavé + triangle \cong (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_3

un cube raturé ; un prisme surmonté d'une pyramide, avec les points a', a, a'' et b', b, b'' ; à droite une figure analogue développée ; une longue flèche vers le mot « bicarré ».

les triangles sur (a'b') et (a''b'') … = sommets ; si t est le 3^{\text{e}} sommet du triangle de base (a,b), le cube de troisième sommet u du triangle de base (ab) est le carré (a\,b\,b'\,a') et du carré (a\,b\,b''\,a''). Dans les deux cas … distincts, on ne … pas … = pavé : ils engendrent … On peut dire aussi … un A_5 (contenu dans un …) minimum, en fait deux, un hexagone « ponctué » de façon unique … du prisme : la triade (a, b', b'') … et il faut choisir un pt b lié aux trois pts de cette triade, i.e. un W … : la triade apposée. Cas des deux en tout \tfrac12(720 \times 6 \times 3) = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5 = N : 2^3 \ \text{---} en effet, la cat. des graphes cubiques avec bicarré est \simeq \underbrace{(\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_2}_{\text{bicarrés}} \times \underbrace{(\mathrm{Ens})_2}_{\text{\uncertain{complétant l'enveloppe quasi-trialitaire}}} \simeq \mathrm{Tors}\bigl((\pm1)^3\bigr) la moitié gauche de la page, entre les dessins, est très rapide ; la ponctuation des passages illisibles est rendue par « … ».

une bande de trois carrés de sommets a, a', a'', a''' en haut et b, b', b'', b''' en bas. n'existe pas dans un graphe cubique, car on trouve que les ~~triangles de base~~ 3^{\text{e}} sommet des triangles de base (a''', b''') égale celui du triangle de base (a'', b'') et (a', b'), ce qui donne égaux, absurde … d'après … des carrés …

Conséquence : pas de prismes à base pentagonale et hexagonale. Par contre prismes à base carrée, i.e. cubes.

NB. Carré définit pt, paire de tripodes ; non biseau ni triangle…

Carrés de centre un pt donné a : d'abord le domaine des graphes cubiques à pt marqué a, équivaut : celle d'un ens. I de card. 5 et d'un torseur T sous V_I = (\mathbb{F}_2^{\,I})' (de dim. 4 sur \mathbb{F}_2) engendré par des e_i (i \in I) avec la seule relation \sum e_i = 0. L'ens. des pts non liés à a est T. Les données … carrés dans les demi-espaces … (espaces de dim. 2, donc l'espace des translations engendré par 2 parmi les e_i, corr. : une partie I' de I de cardinal 2. Si V_{(I')} est le s.-espace correspondant, les carrés en question correspondent aux pts de T/V_{(I')}, lesquels sont en bijection avec les quotients du groupe fondamental de V_I : V_{(I')} \simeq \mathbb{F}_2^{\,I'} [Donc la cat. des graphes cubiques + carrés équivaut, celle des ~~couples~~ triples ~~(…)~~ (I' ens. de card. 2, T' torseur sous \mathbb{F}_2^{\,I'}, I'' (= I \smallsetminus I') ens. de card. 3) i.e. \text{\struck{$(\mathrm{Ens})$}}_{2,2} \times \mathrm{Ens}_3 \simeq \text{Carré} \times (\mathrm{Ens})_3 l'argument continue au-delà du lot : la phrase ouverte par le crochet n'est pas refermée sur la page.