Cote n° 74, pages 121–135

Cote n° 74 · batch 7 · pages 121–135 · Transcription · Complexes cubiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

Revêtements, torseurs et involutions $\sigma$

121feuille de brouillon, notes éparses sans texte suivi ; l'argument vient d'avant le lot (les notations $V$, $\Gamma$, $\widetilde{E}_i$, $\sigma_x$ ne sont pas introduites ici). On donne les formules dans l'ordre approximatif de la page.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 1 \arrow[d] & \\
V \arrow[r, "\varphi_i"] \arrow[dr, dashed, "\psi_i"'] & \Gamma \arrow[r, "p_i"] & E_i/2 = V \\
 & \widetilde{\Gamma} \arrow[u] \arrow[r, "\tilde{p}_i"] & \widetilde{E}_i \arrow[u] \\
 & \{\pm 1\} \arrow[u] & \pm 1 \arrow[u] \arrow[ul]
\end{tikzcd}

lecture du diagramme incertaine : la flèche $p_i$ est surchargée, le but $E_i/2$ est en partie raturé, la flèche $\psi_i$ est en pointillé et porte la marque $\simeq$ ; sous $\{\pm1\}$ un « $0$ » relié par un trait.

$\widetilde{\Gamma} \to \widetilde{E}_i$ ; $g \in \widetilde{E}_1 = V$, $\tilde{y} \in \widetilde{E}_2$.

\[ \begin{array}{lll} x & y & z \\ x & y+u+w, & z+u+w \\ x_0 & y_0 + w & z_0 + w \end{array} \] $x \ y \ z$ $x \ \ z+u \ \ y+\ldots$

\[ 0 \to \widetilde{\Gamma} \to \widetilde{E}_1 \times \widetilde{E}_2 \to \qquad \widetilde{\Gamma} - \widetilde{E}_2 \] $(g,y)$ $\mapsto \varepsilon$

$s \to t' \to u \to s'$ $\widetilde{\Gamma} \simeq \widetilde{E}_1 \times \widetilde{E}_2 \to E_1 \times E_2$, avec $\tilde{p}_3 : \widetilde{\Gamma} \to \widetilde{E}_3$, une flèche oblique $q_{12} : \widetilde{E}_1 \times \widetilde{E}_2 \to \widetilde{E}_3$, et $\widetilde{E}_3 \to E_3$ ; \[ (x,y) \longmapsto \text{\struck{$x * y$}} \ (= -x\cdot y) \] \[ q_{12}(a\cdot\tilde{y}) = q_1\,\varepsilon(a)\,q_2\,\ldots \qquad 2^4/h = 2^2 \] la fin de la formule de $q_{12}$ est en abrégé : « $q_1 \varepsilon(a)\, q_2$ $\tilde{y}$ ».

$\sigma_1 \ \sigma_2 \ \sigma_3$

$\tau_1 \ \tau_2 \ \tau_3$ un triangle de sommets $\widetilde{E}$ (en haut), $\widetilde{E}'$ (en bas à gauche), $\widetilde{E}_2$ (à droite), les côtés marqués $\tau_3$, $\tau_1$, $\tau_2$. \[ \tau_2\tau_1 = \mathrm{id} \qquad \tau_3\tau_2 = \mathrm{id} \qquad \tau_1\tau_3 = \mathrm{id} \qquad \tau^2 = \mathrm{id} \]

$\widetilde{G}$ sur $\widetilde{\Gamma}$ ; $\widetilde{\Gamma} \subset \widetilde{E}^3$ \[ \sigma_x\sigma_y\sigma_x^{-1}\sigma_y^{-1} = \sigma_{\sigma_x y}\,\sigma_y^{-1} \] lecture de cette ligne incertaine ; sous l'indice $\sigma_x y$, un « $2$ » souligné. \[ \underbrace{\sigma_x\sigma_{x'}}_{\pi}\ \underbrace{\sigma_y\sigma_{y'}}_{\sigma_{\pi y}\sigma_{\pi y'}}\ \sigma_x\sigma_{x'}\ \sigma_y\sigma_{y'} \] \[ \pi_{x,x'}\,\pi_{y,y'} = \pi_{x,x'}\,\pi_{\pi_{x,x'}y,\ \ldots} \]

122feuillet imprimé (copie d'examen) ; seul un calcul de sa main, écrit en travers, est transcrit. \[ 12 \cdot 4^2 \cdot \text{\struck{$6$}}\,8 \cdot 9 \cdot 5 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \] \[ 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 \qquad 128 \times 405 = 51840 \qquad /\,2\cdot 3 \] la multiplication posée $128 \times 405$ donne les produits partiels $640$ et $51200$ et le total $51840$.

Graphes cubiques $\tau_\alpha$ et sous-structures

123

$\tau$ $\tau_{-\infty}$ graphe vide
$\tau_{-1}$ graphe […] triangle $c = 0 = 2^{-\infty}$
$\tau_0$ […] ⌜pavé⌝ $c = 1 = 2^0$
$\tau_1$ $c = 2 = 2^1$
$\tau_2$ graphes cubiques $c = 4 = 2^2$

Cat. des graphes $\tau_\alpha$ munis d'une sous-structure $\tau_\beta$ ($\beta \leq \alpha$) \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \beta \backslash \alpha & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -\infty & (\mathrm{Ens})_3 & (\mathrm{Ens})_{3,3} & (\mathrm{Ens})_6 & * \\ -1 & (\mathrm{Ens})_3 & (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 & (\mathrm{Ens})_{2,2,2} & \text{Trialité} \\ 0 & \emptyset & (\mathrm{Ens})_{3,3} & (\mathrm{Ens})_{3,3} & (\mathrm{Ens})_{3,3} \times (\mathrm{Ens})_{3,3} \\ 1 & \emptyset & \emptyset & (\mathrm{Ens})_6 & (\mathrm{Ens})_6 \times (\mathrm{Ens})_2 \end{array} \] plusieurs cases sont surchargées : sous $(\mathrm{Ens})_{2,2,2}$ un mot raturé […] ; les indices $2,2,2$ et $3,3$ sont repassés à l'encre plus noire ; l'étiquette de la première ligne se lit $-\infty$ (« $-\emptyset$ »), celle de la dernière est surchargée ($4$ ou $1$).

Cas des systèmes $\tau_\alpha \subset \tau_\beta \subset \tau_\gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$ fixés) \[ \begin{array}{c|c} -1,\,0,\,1 & (\mathrm{Ens})_3 \\ -1,\,0,\,2 & (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_3 \\ -1,\,1,\,2 & (\mathrm{Ens})_{2,2,2} \times (\mathrm{Ens})_2 \\ 0,\,1,\,2 & (\mathrm{Ens})_{3,3} \times (\mathrm{Ens})_2 \\ -1,\,0,\,1,\,2 & (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 \end{array} \] ce second tableau est lu sur un aperçu sans agrandissement suffisant ; ses entrées sont toutes douteuses.

124\[ \begin{array}{lll} \sigma_{t_0} : & x \leftrightarrow x', \quad y \leftrightarrow y', \quad z \leftrightarrow z' \\ \sigma_t : & x \leftrightarrow y', \quad y \leftrightarrow z', \quad z \leftrightarrow x' \\ \sigma_{t'} : & x \leftrightarrow z', \quad y \leftrightarrow x', \quad z \leftrightarrow y' \end{array} \] $\sigma_{t_0}\sigma_t$ : $x \to y \to z$, $x' \to z' \to y'$, $a \to s \to s'$ ; $\sigma_t\sigma_{t'}$ : $x \to y \to z$, …, $a \to s \to s'$. \[ \sigma_{t_0}\sigma_t = \sigma_t\sigma_{t'} = \sigma_{t'}\sigma_{t_0} = \pi_a, \qquad \pi^3 = \mathrm{id} \] \[ [\sigma_{t_0},\sigma_t] = [\sigma_t,\sigma_{t'}] = [\sigma_{t'},\sigma_{t_0}] = \pi^2 = \pi^{-1} \] \[ \sigma_t\sigma_{t_0} = \sigma_{t_0}\sigma_{t'} = \sigma_{t'}\sigma_t = \pi^{-1} \] $\sigma_{t_0}\sigma_t\sigma_{t'} = \sigma_t$ …

$\mathfrak{S}_I$ opère sur $S \smallsetminus X$ […] fixé, 3 avec pt fixe … trois orbites, donc … dans trois torseurs sous $\mathfrak{S}_I$ ; donc trois cas : […]. le passage est rapide et en grande partie illisible ; seuls les termes mathématiques sont sûrs.

$X$ $\downarrow$ $Z$ cas : $9$ él. $\downarrow$ $E$ cas : $3$ él.

trois ovales reliés, contenant $\xi_1\ \xi_2\ \xi_3$ / $\xi_4^*\ \xi_5^*\ \xi_6^*$ ; $\xi_4\ \xi_5\ \xi_6$ / $\xi_1'\ \xi_2'\ \xi_3'$ ; $\xi_{45}\ \xi_{56}\ \xi_{64}$ / $\xi_{12}\ \xi_{23}\ \xi_{31}$.

II, III deux cas : trois él.

$\mathfrak{S}_I \times \mathfrak{S}_J$ opère sur […] […] fixe … ; $\mathfrak{S}_I$ et $\mathfrak{S}_J$ opèrent sur les pts fixes, donc … $E = \coprod E_i$, de façon que les $E_i$ soient des torseurs sous $\mathfrak{S}_I \times \mathfrak{S}_J$.

125page de calculs combinatoires sur les sommets $s,t,u$, $s',t',u'$, $x,y,z$, $x',y',z'$ d'un graphe ; on donne ce qui se lit.

$(a\,b\,c)$ $x \in \widetilde{E}_a\ x$ $(s,t,u)$ $(s',t',u')$ $x \in \widetilde{E}_a \smallsetminus \{s,s'\}$

\[ \begin{array}{ll} (s,t)\ (s',t') & (x,u)\ (x',u') \\ (t,u)\ (t',u') & (x,t)\ (x',t) \\ (u,s)\ (u',s') & \end{array} \] $(u,x,y')$ $(u',x',y')$, $y \in \widetilde{E}_b \smallsetminus \{t,t'\}$ ; $(x,t',z')$ $(x',t,z)$, $z \in \widetilde{E}_c \smallsetminus \{u,u'\}$ \[ \begin{array}{ll} (y',u)\ (y,u') & (z',t')\ (z,t) \\ (y',s')\ (y,s) & (z',s)\ (z,s') \\ (y',x)\ (y,x') & (z',x)\ (z,x') \\ & (z',y)\ (z,y') \end{array} \]

En marge, en haut à droite : \[ \text{\struck{$3(1+2c)$}} \qquad \tfrac12(3+6c)(2+2c) = 3(1+2c)(1+c) = 3(1+3c+2c^2) \]

un graphe aux sommets $s'$, $s$, $u'$, $u$, $t$, $a$, $b$, $c$, $y'$.

$s\ t\ u$ / $a\ b\ c$ ; $x \mapsto y$ $(u\,x\,y)$ ; $y \mapsto z$ $(s'\,y\,z')$ ; $z \mapsto x'$ $(t\,z'\,x')$

un hexagone orienté $z' \to x \to y' \to z \to x' \to y$, précédé d'une esquisse raturée ; à côté, des lignes $a - b - c \to a$ et leurs permutations, pour la plupart.

\[ \boxed{\sigma_t\sigma_s\sigma_u = \sigma_{t_0} \text{ sur } \widetilde{E}_a \smallsetminus \{s,s'\}} \] \[ \sigma_t\sigma_s = \sigma_{t_0}\sigma_u = \sigma_u\sigma_{t_0} \] \[ \sigma_t\sigma_s\sigma_t^{-1} = \sigma_{\sigma_t s} = \sigma_u \] \[ \sigma_t\sigma_s = \text{\struck{\ldots}}\ \sigma_u\sigma_t \quad \text{i.e.} \quad \underbrace{\sigma_u\sigma_t\sigma_s}_{=\ \sigma_{t_0} \text{ sur } S\smallsetminus\{t_0\}} = \sigma_t \] short-cut !!

$x\ x'$ / $s\ s'$ / $a,b,c$ / $t\ t'$ / $y\ y'$ / $u,u'$ / $z,z'$ \[ \sigma_t\sigma_y \neq \sigma_y\sigma_t : \ s \to u \to x \qquad\qquad \sigma_u\sigma_z = \sigma_z\sigma_u : \ s \to t \to x' \]

Graphes triangulaires $T_\nu$ et l'espace $V = \mathbb{F}_2^I$

127$*)$ $(S,A)$ graphe triangulaire $T_\nu$, avec $\nu \in \mathbb{N}$ $\nu = 0, 1 \ldots 2$, $c_\nu = 2^\nu \geq 1$.

$a \in S$, $I$ l'ens. des triangles de sommet $a$ (de cardinal $c_\nu + 1 = 2^\nu + 1$).

[…] $G_I = \mathbb{F}_2^I$, il opère sur $S$ par les $\sigma_t$ ($t \in I$) via $\sigma_t$ ($t \in I$).

$S_A = \{ s \in S \mid s \text{ lié à } a\}$

$s \mapsto s'$ […] Pour $s \in S$ distinct de $a$ … […] deux triangles en $a$ … $\{a,s\}$ … deux lignes très rapides, en partie raturées.

Donc $s \mapsto s'$ est une involution sans pt fixe de $X$, et $S \simeq X/\sigma$. On peut regarder les $X_i$ ($i \in I$) comme des torseurs sous $\mathbb{F}_2$, donc $\prod_{i\in I} X_i$ comme un torseur sous $V$, soit $E$.

Soit $Y$ l'ens. … $S \smallsetminus X \smallsetminus \{a\} = \{ x \in S \mid x \text{ non lié à } a\}$.

Pour $x \in Y$ et $i \in I$, $x$ est lié à un élt unique de $X_i$, soit $\varphi_i(x)$, donc \[ \varphi(x) = (\varphi_i(x))_{i\in I} \in E = \prod X_i , \] d'où une application … $\varphi : Y \to E$.

Comme $G$ opère … […] ; […] Soit $z_0$ l'élément non nul de $\mathbb{F}_2$, $z$ l'élément diagonal de $\mathbb{F}_2^I$.

sur l'application diagonale … $\sigma_i$ ($i \in I$)

$\xi_i : \mathbb{F}_2 \to V \simeq \mathbb{F}_2^I$ l'inj. canonique, $\rho$ l'op. naturelle de $V$ sur $E$ par \[ \rho(\xi_i(z_0))\,(x_j)_j = (y_j)_j , \quad y_j = x_j \text{ si } j \neq i, \quad y_i = z_0 x_i \text{ sinon}. \] On aura $\sigma_i(x) =$

128pour $x \in E = \prod_{i\in I} X_i$, et $g = (g_i)_{i\in I} \in V$ $i_0 \in I$, \[ (\sigma_{i_0})_E = \prod_{i \in I \smallsetminus i_0} \rho(\xi_i(z_0)) = \rho\Bigl(\sum_{i\in I\smallsetminus i_0} \xi_i(z_0)\Bigr) = \rho(z)\,\rho(\xi_{i_0}(z_0)) \] sous la somme, une accolade : « $= z - \xi_{i_0}(z_0)$ » .

Donc si … $V \xrightarrow{\ \eta\ } \mathbb{F}_2$ l'augmentation ($\delta : \mathbb{F}_2 \to V$ diag.), on aura, pour $g \in V$ : \[ (\sigma_g)_E = \rho\bigl(g + \delta\eta(g)\bigr) \]

Considérons l'application \[ V \xrightarrow{\ u\ } V, \qquad u(x) = x + \delta\eta(x) \] Son noyau est formé des $x$ tels que \[ x = \delta\eta x \] […] i.e. c'est un sous-espace … $z = \delta(z_0)$, et il vient à voir … \[ \text{\struck{$z$}} = \delta\eta z \quad \text{i.e.} \quad \text{\struck{$z_0 = \eta\delta z_0$}} \quad (\text{comme } z = \delta z_0) \] quand … \[ z_0 = \eta z \quad \text{i.e.} \quad \eta z \neq 0 \] : c'est le cas ssi $I$ est de cardinal impair. Or a cardinal $1 + c_\nu = 1 + 2^\nu$, qui est impair sauf pour $\nu = 0$ (cas du point). Donc

dans ce cas, si $\nu \neq 0$, $u$ est injectif donc iso, et […] ⌜les op.⌝ de $V$ sur $E$ via $\rho$ ou via $\sigma$ se déterminent mutuellement. Or l'application $\varphi$ commute

129aux op. $\sigma$, on trouve que l'appl. $\varphi$ de $Y$ dans $E$ est … (donc injective, card $Y = \ldots$) sous $V$ et une … donc …

$V$ lt action. Or $(4c_\nu = 4$ […] $\mathrm{card}\, E = \ldots$ \[ \text{\struck{\ill{}}} = 2^{c_\nu + 1} = 2^2 = 4, \] donc … $\varphi$ est bijectif.

b) Si $\nu \neq 0$ i.e. $\nu = 1$ ou $2$, alors l'image […] $u$ … \[ \text{\struck{Im}}\ \delta(\mathbb{F}_2) = \{0, z\}, \quad \text{comme} \ \ldots \] (…)

noyau … $\operatorname{Ker} \eta = V$ […] …, $Y \hookrightarrow V$ …

[…] l'argument s'interrompt ici ; le reste de la page est blanc.

Graphes pseudotrialitaires en termes de triangles

130le titre de la section est de sa main, en tête de page.

$X$ ens. (« sommets ») ; $T \subset \mathfrak{P}_3(X)$ (triangles)

Axiomes a) $\underline{t}, \underline{t}' \in T \Rightarrow \mathrm{card}(\underline{t} \cap \underline{t}') \neq 2$, i.e. si $\underline{t}, \underline{t}'$ ont deux pts en commun, ils sont égaux ; ou encore : toute arête contenue dans un triangle unique.

Déf : $\underline{a} \in \mathfrak{P}_2(X)$ est une arête si $\exists\, \underline{t} \in T$, $\underline{a} \subset \underline{t}$.

b) Soit $\underline{t} \in \mathfrak{P}_3(X)$, pour que $\underline{t} \in T$, il (faut et) suffit que $\forall\, \underline{a} \in \mathfrak{P}_2(X)$, $\underline{a} \subset \underline{t}$, on ait $\underline{a}$ est une arête. On aura … [lorsque $a,b,c \in X$ distincts, $\underline{t}, \underline{t}', \underline{t}'' \in T$ tels que $a,b \in \underline{t}$, $b,c \in \underline{t}'$, $c,a \in \underline{t}''$, alors $\{a,b,c\} \in T$ (et $\underline{t} = \underline{t}' = \underline{t}'' = \{a,b,c\}$)].

c) $\forall\, \underline{t} \in T$ et $a \in X$, $\exists\, \underline{t}' \in T$ tel que $a \in \underline{t}'$, $\underline{t} \cap \underline{t}' \neq \emptyset$ [et si $a \notin \underline{t}$, $\underline{t}'$ est unique …]

Pour que $X$ soit une conf., il faut et il suffit qu'on ait

d) $\forall\, a \in X$, l'ens. des $\underline{t} \in T$ tels que $a \in \underline{t}$ est un triangle de cardinal $3$.

Soit $X$ une conf., $X$ $X'$ l'ens. des triangles de ses droites, $R$ la relation d'incidence. Donc $\forall\, x' \in X'$, $R\{x'\} \in \mathfrak{P}_3(X)$, et $x' \mapsto R\{x'\}$ de $X'$ dans $\mathfrak{P}_3(X)$ est injectif… Mais aussi, $\forall\, x \in X$, $R\{x\} \in \mathfrak{P}_3(X')$, et $x \mapsto R\{x\}$ de $X$ dans $\mathfrak{P}_3(X')$ est injectif.

Soit alors $X$ une […]. Montrons que $X \subset \mathfrak{P}_3(X')$ satisfait aux conditions a) b) c) d) précédentes. ici et à la page suivante, $\mathfrak{P}_k(X)$ rend son $\mathcal{P}$ gothique (ensemble des parties à $k$ éléments) ; les triangles et arêtes sont soulignés sur la page.

131Vérifions d) : $\forall\, a' \in X'$, l'ens. des $x \in X$ incidents à $a'$ est bien trois…

a) Soient $a, b \in X$, ⌜$a \neq b$⌝, considérons les $\underline{t} \in X'$ incidents à $a$ et $b$ ; il faut, je dis qu'il y en a $0$ ou $1$ (jamais $2$) : clair.

b) Soient $\underline{t}, \underline{t}', \underline{t}'' \in T = X'$ ⌜il. distincts⌝ et $a,b,c \in X$ tels que $\underline{t}, \underline{t}'$ incidents à $a$, $\underline{t}', \underline{t}''$ inc. à $b$, $\underline{t}'', \underline{t}$ inc. à $c$, prouvons que $a = b = c$, donc que $\{\underline{t}, \underline{t}', \underline{t}''\}$ […] : un … point… En effet, si on avait $b \neq a$, le triangle $\underline{t}''$ ne pourrait venir rencontrer $\underline{t}$, car $b$ ne serait pas lié à aucun autre sommet de $\underline{t}$ que $a$.

triangle de sommet $a$, côtés $\underline{t}$ et $\underline{t}'$, avec $b$ ? et $c$.

c) $\forall\, a \in X$ et $\underline{t} \in T = X'$ ⌜($a$ non incident à $\underline{t}$)⌝, $\exists\, b \in X$ incident à $\underline{t}$, et tel que $a, b$ soient incidents à un même $\underline{t}' \in T = X'$.

un point $a$ et un triangle.

Diagrammes $A_n$ dans les graphes cubiques

132page de dessins.

trois motifs de points ; deux triangles se touchant par un sommet ; un petit cube dont les sommets portent $\lambda_{25}, \lambda_{16}, \lambda_{13}, \lambda_{24}, \lambda_{14}, \lambda_{23}, \lambda_{26}, \lambda_{15}$, avec un trièdre d'axes ; un grand cube aux sommets alternativement pleins et creux ; plus bas, un polyèdre en treillis, un prisme et un carré.

$\lambda_{12}$ $\left\{\begin{array}{l}\lambda_{46},\ \lambda_{35} \\ \lambda_{34},\ \lambda_{56} \\ \lambda_{45},\ \lambda_{36}\end{array}\right.$ $e_1 + e_2 \,/\, e_2 + e_3 \,/\, e_3 + e_1$

cube $\longleftrightarrow$ cube ponctué \[ (\mathrm{Ens})_{2,2,2} \qquad (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_4 \] \[ \mathfrak{S}_3 \cdot (\pm 1)^3 \simeq \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_4 \]

133$A_1(S_i)$ dilemme pt, triangle – pas biseau ni tripode

diagramme $A_2 \simeq$ triangle ponctué […] un triangle de sommet $a$, deux côtés en pointillé, la base en trait épais.

Cat. des graphes cubiques avec diagramme $A_2 \cong$ catégorie des ensembles de cardinal $8$ munis d'une involution ss pt fixe $\simeq$ catégorie des $4$-cubes $\simeq$ catégorie des torseurs sous \[ \mathfrak{S}_4 \cdot \text{\struck{$\mathbb{Z}$}}(\pm 1)^4 \simeq W_{B_4} \quad (\text{groupe de Weyl de } SO(9)) \]

diagramme $A_3$ \[ \zeta_1 \overset{\lambda_{12}}{\text{------}} \zeta_1^* \] dilemme pt, biseau, pas triangle ni tripode $\simeq$ doublet $+$ élément de la demi-étoile associé

$\simeq$ biseau $B$ $+$ él. marqué de $I = B/\sigma_B$ $+$ $2^{\text{ème}}$ él. marqué

($\zeta_1, \lambda_{12}, \zeta_1^*$) él. typique

Cat. des graphes cubiques avec diagramme $A_3 \cong$ cat. des couples $(\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_4$ un cube en perspective, une face en traits épais, des arêtes en pointillé.

diagramme $A_4$

$\simeq$ pavé $+$ triade et triangle (sécants)

[…] $\simeq$ hexagone $+$ ⌜clou⌝ centré

$\cong (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_3$ un hexagone dont la moitié inférieure est en trait épais, avec un « W » inscrit ; trois rangées de points.

diagramme $A_5 \simeq$ (pavé ⌜carré⌝ ponctué)

$\simeq$ […] ⌜hex. ponctué⌝

$\simeq$ triade épinglée

$\cong \mathrm{Ens}_{2,\text{\struck{4}}} \times \mathrm{Ens}_3$ l'indice de $\mathrm{Ens}$ est surchargé : un $4$ repris en $2$ . un hexagone avec un point central $a$, les arêtes marquées $\xi_1$, $\xi_1^*$ ; un dessin entièrement raturé ; un hexagone contenant un losange centré ; un hexagone divisé par des diagonales ; quelques points et flèches.

134Prismes triangulaires […] $\simeq$ pavé $+$ triangle \[ \cong (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_3 \]

un cube raturé ; un prisme surmonté d'une pyramide, avec les points $a', a, a''$ et $b', b, b''$ ; à droite une figure analogue développée ; une longue flèche vers le mot « bicarré ».

les triangles sur $(a'b')$ et $(a''b'')$ … $=$ sommets ; si $t$ est le ⌜$3^{\text{e}}$ sommet du⌝ triangle de base $(a,b)$, le cube de troisième sommet ⌜$u$⌝ du triangle de base $(ab)$ est le carré $(a\,b\,b'\,a')$ et du carré $(a\,b\,b''\,a'')$. Dans les deux cas … distincts, on ne … pas … $=$ pavé : ils engendrent … On peut dire aussi … un $A_5$ (contenu dans un …) minimum, en fait deux, un hexagone « ponctué » de façon unique … du prisme : la triade $(a, b', b'')$ … et il faut choisir un pt $b$ lié aux trois pts de cette triade, i.e. un W … : la triade apposée. Cas des deux en tout \[ \tfrac12(720 \times 6 \times 3) = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5 = N : 2^3 \ \text{---} \] en effet, la cat. des […] graphes cubiques avec bicarré est \[ \simeq \underbrace{(\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_2}_{\text{bicarrés}} \times \underbrace{(\mathrm{Ens})_2}_{\text{\uncertain{complétant l'enveloppe quasi-trialitaire}}} \simeq \mathrm{Tors}\bigl((\pm1)^3\bigr) \] la moitié gauche de la page, entre les dessins, est très rapide ; la ponctuation des passages illisibles est rendue par « … ».

135une bande de trois carrés de sommets $a, a', a'', a'''$ en haut et $b, b', b'', b'''$ en bas. n'existe pas dans un graphe cubique, car on trouve que les triangles de base ⌜$3^{\text{e}}$ sommet⌝ des triangles de base $(a''', b''')$ égale celui du triangle de base $(a'', b'')$ et $(a', b')$, ce qui donne égaux, absurde … d'après … des ⌜carrés⌝ …

Conséquence : pas de prismes à base pentagonale et hexagonale. Par contre […] prismes à base carrée, i.e. cubes.

NB. Carré définit pt, paire de tripodes ; non biseau ni triangle…

Carrés de centre un pt donné $a$ : d'abord le domaine des graphes cubiques à pt marqué $a$, équivaut : celle d'un ens. $I$ de card. $5$ et d'un torseur $T$ sous $V_I = (\mathbb{F}_2^{\,I})'$ (de dim. $4$ sur $\mathbb{F}_2$) ⌜engendré⌝ par des $e_i$ ($i \in I$) avec la seule relation $\sum e_i = 0$. L'ens. des pts non liés à $a$ est $T$. Les donnée[s] … carrés dans les demi-espaces … (espaces de dim. $2$, donc l'espace des translations engendré par $2$ parmi les $e_i$, […] ⌜corr.⌝ : une partie $I'$ de $I$ de cardinal $2$. Si $V_{(I')}$ est le s.-espace correspondant, les carrés en question correspondent aux pts de $T/V_{(I')}$, lesquels sont en bijection avec les quotients du groupe fondamental de $V_I$ : $V_{(I')} \simeq \mathbb{F}_2^{\,I'}$ [Donc la cat. des graphes cubiques $+$ carrés équivaut, celle des couples ⌜triples⌝ (…) ($I'$ ens. de card. $2$, $T'$ torseur sous $\mathbb{F}_2^{\,I'}$, $I''$ ($= I \smallsetminus I'$) ens. de card. $3$) i.e. \[ \text{\struck{$(\mathrm{Ens})$}}_{2,2} \times \mathrm{Ens}_3 \simeq \text{Carré} \times (\mathrm{Ens})_3 \] l'argument continue au-delà du lot : la phrase ouverte par le crochet n'est pas refermée sur la page.

Revêtements, torseurs et involutions \(\sigma\)

Graphes cubiques \(\tau_\alpha\) et sous-structures

Graphes triangulaires \(T_\nu\) et l'espace \(V = \mathbb{F}_2^I\)

Graphes pseudotrialitaires en termes de triangles

Diagrammes \(A_n\) dans les graphes cubiques