Cote n° 74 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Complexes cubiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

Carrés et hexagones dans un pavé

81Carrés et hexagones dans un pavé.

\(X\) pavé.

I) L'ens des carrés \(C\subset X\) est en corr \(1\)-\(1\) avec l'ens (des sommets de) \(X\), à tout carré \(C\) correspondant le sommet unique ⌜et : \(a\notin C\), l'un des pts de \(C\) non liés : […]⌝ \(x\in X\) non lié aux sommets ⌜à tous les sommets⌝ de \(C\), [\(C\) NB il y a un seul pt de \(X\) ⌜non⌝ lié à deux pt deux pts distincts non liés — i.e. à angle ⌜paire⌝ de pts distincts non liés est contenue dans une triade unique — la donnée d'un tel couple équivaut ⌜dans \(C\)⌝ à la donnée d'une triade pointée \((t,a)\), en associant à \((t,a)\) la paire \(t\setminus\{a\}\) ]. Pour que 2 paires de pts non liés \(\{x,x'\}\), \(\{y,y'\}\) forment un carré, il faut et il suffit que les triades leurs ``centres'' soient les mêmes, i.e. qu'elles soient disjointes et orthogonales : leurs triades sécantes ; la donnée d'une diagonale des paires \(\{x,x'\}\) détermine l'autre sans ambiguïté ; \(\{y,y'\}\) est aussi l'ens des pts de \(X\) liés à aucun des \(\{x,x'\}\). Donc la donnée d'un carré à diagonale marquée équivaut à celle d'une paire de pts non liés, i.e. encore à celle d'une triade pointée.

La donnée d'un fanion […] équivaut à celle d'une triade épinglée. \[ \mathrm{Car}_{d}(X)\simeq \mathrm{tria\,pt}(X),\qquad \mathrm{Car}_{s}(X)\simeq \mathrm{tria\,ép}(X) \] (est un \(\mathfrak{S}_3\)-[…] cubique). Devant \(\mathrm{Car}_d\), un mot biffé illisible ; les indices \(d\), \(s\) sont lus d'après la page suivante, où les mêmes symboles reviennent.

⌜Chacun des 4⌝ Les autres pts de \(X\setminus C\) distincts du centre \(a\) de \(C\) est lié exactement à un point de \(C\) diag \(\{x,x'\}\), du … Dans la marge gauche, des schémas de points (gros points, petits points, croix) et de segments pleins ou pointillés : un segment et une demi-diagonale pointillée en haut, puis deux cadres de \(3\times 3\) points reliés par des flèches, illustrant la position d'un carré et de son centre dans le pavé.

82du […] par l'autre diagonale \(\{y,y'\}\), […] \(Y=X\setminus(C\cup\{a\})\) s'envoie dans le produit des diagonales et on trouve là une bijection. Les 4 pts sont d'ailleurs liés à \(a\), ainsi que les 4 sommets des deux triangles de sommet \(a\). D'où aussi que l'ombre sur \(C\) d'un pt de \(Y\) est un côté de \(C\), et qu'on trouve une corr. \(1\)-\(1\) de \(C\) sur l'un des 4 côtés de \(C\). Donc Deux pts de \(Y\) sont liés ssi \(\mathrm{Car}_{s*}(C)\simeq\) Alors ils correspondent à des côtés opposés de \(C\). Donc les 2 paires de côtés opposés de \(C\) correspondent aux 2 triangles de sommet \(a\).

Donc \[\begin{align*} \mathrm{Car}_{d*}(X) &\simeq \mathrm{tria\,pt}(X),\\ \mathrm{Car}_{s*}(X) &\simeq \mathrm{arc}(X)\simeq \mathrm{tria\,ép}(X) \end{align*}\] (ici un \(\mathfrak{S}_3\)-torseur libre !) À gauche de ces formules, des schémas : un triangle à un sommet marqué ; une flèche \(\simeq\) un triangle à arête fléchée ; dans de petits ovales, des légendes de traits (plein, gras, pointillé).

D'ici \[ \mathrm{Car}_{\cdot}(X)\simeq \text{ens des couples d'une triade et deux triangles sécants dans } X. \] Un triangle plein de sommet marqué, flanqué de deux segments pointillés.

Enfin \(\mathrm{Car}_{r}(X)\simeq{}\) épinglages des pavé Un triangle de sommet marqué, une croix et un point, « ou » une flèche verticale avec un segment pointillé.

alors \(\mathrm{Car}_{\omega}(X) ={}\) […] \(\mathrm{Car}(X)/\mathrm{opp}\) (couples d'une triade et deux triangles sécants, aux couples opposés). Dans la marge, un schéma biffé de hachures.

Grand diagramme écrit en travers de la page (feuille tournée), reliant des ensembles d'hexagones : \(\mathrm{Hex}_{s}\simeq\mathrm{hex}\) (\(\simeq\) tria), \(\mathrm{Hex}_{\mathrm{tr}}\) (\(\simeq\) […] tria), \(\mathrm{Hex}_{s*}\), \(\mathrm{Hex}_{\mathrm{tr}*}\) (triplets de […]), \(\mathrm{Hex}_{\mathrm{ép}}\), \(\mathrm{Hex}_{\mathrm{tri}}\), \(\mathrm{Hex}_{d}\) (\(\simeq\) tria […]), \(\mathrm{Hex}\) (\(\simeq\) pav) et « tri hex », par des flèches horizontales marquées \(3\) et des flèches verticales et obliques marquées \(2\), formant un réseau en forme de prisme. Le diagramme est trop serré pour être reporté en tikz-cd sans deviner le sens de plusieurs flèches ; il est décrit.

83exactement — […] correspondant : 4 carrés de […] centre \(a\) ].

Question Quels sont les graphes finis qui ont une ``enveloppe'' ⌜pavée⌝ trilatère ? Exemples. Rangée de graphes : un point, un segment, un carré, un hexagone, un pentagone, deux segments (dans un ovale), chacun avec une flèche vers le bas ; sous le dernier, un sablier (bitriangle). À gauche, entouré, un hexagone contenant un carré et une croix. (et leurs sommes, ⌜pavés⌝ trilatères mais \(\neq\emptyset\)…)

[…] dessus pavé carré … et les quadrilatères […] et leurs enveloppes.

Regardons p. ex. Cinq esquisses de pyramides et de bipyramides en perspective (sommets marqués, arêtes croisées), dont deux barrées d'une croix au crayon, et une entourée d'un arc ; à côté, des pointillés. […] Regardons

Sous un trait horizontal : un petit carré « pavé », un cercle « coque », un double ovale « haltère ».

Diagramme esquissé : \(\mathrm{Car}_{s}=\mathrm{hex}_{d}\longrightarrow\mathrm{Car}_{s,\mathrm{ép}}\), avec \(\wr\) vers \(\mathrm{tria\,ép}\) et \(\mathrm{Hex\,ép}\) ; puis \(\mathrm{Car}_{\wedge}\simeq\mathrm{hex}_{d}\longleftarrow\mathrm{Car}_{p'}\simeq\mathrm{hex}_{s*}\), \(\wr\ \simeq\mathrm{hex}^{*}_{d}\), « tri pav. pet » ; \(\mathrm{Car}\simeq\) pav. pet. ; \(\mathrm{Car}_{d*}\), \(\mathrm{Car}_{s*}\) ; chaque terme accompagné de petits schémas (triangles, segments pointillés, cadres).

En bas de page, un petit carré de flèches : \(\mathrm{Car}_{d}\to\mathrm{Car}\) (lettres soulignées deux fois) au-dessus de \(\mathrm{hex}_{d}\to\mathrm{hex}\), les verticales marquées \(\wr\), et une flèche oblique partant de \(\mathrm{Car}\).

84NB La correspondance \(C\mapsto X\setminus\{C\cup\{\cdot\}\}\) est

⌜Appelons⌝ anti-carré l'image d'un carrés de \(X\) et […], i.e. un graphe somme de quatre segments. Les anti-carrés dans \(X\) sont des \(X^{\circ}\), puis on a pour […] associés aux pts de \(X^{\circ}\), […] \(X^{\circ}\) l'un des 4 pts de \(X^{\circ}\) isomorphes : \(a\), i.e. que […] \(X^{\circ}\) liés à \(a\). […] les D…

La correspondance \(C\mapsto \bigl(X\setminus C\cup\{\text{centre de }C\}\bigr)\) entre carrés de \(X\) et anti-carrés de \(X\) est bijective. Si \(C\) et \(C'\) sont associés ainsi, \(C\) et \(C'\) sont des carrés qui ont les sommets de l'un étant aux côtés de l'autre.

Il y a aussi une corr. ponctuelle ⌜(via \(\mathrm{Pav}(C)\))⌝ associant à chaque carré \(C\) une paire (la centrale ``enveloppe'') dans l'un des sommets de \(C\) : \(C\amalg C^{*\circ}\amalg\{a\}\). Des points de \(C\) (\(C^{*\circ}\)) sont liés seulement à […] de \(C\) (⌜les⌝ liés des […] \(C^{*\circ}\), i.e. les liés dans \(C^{*}\)), et un pt de \(C\) est lié à un pt \(x^{*}\) de \(C^{*\circ}\) […] […] \(x\), \(x^{*}\) incidents, […] une pté de \(C\) liée aux

85… de \(C^{*\circ}\). L'union de ce pavé est can. isomorphe […] à \(\mathrm{Pav}(C^{*})\) […] […] ⌜utilisant⌝ […] \(C^{**}\simeq C\) — qui est […] avec l'antipodisme … \[ \mathrm{Pav}(C)^{\circ} \;\overset{\mathrm{canon}}{\simeq}\; \mathrm{Pav}(C^{*}) \] Sous le membre de gauche, « carré donné » ; sous le membre de droite, « carré dual de \(C\) ».

NB La paire des […] de \(X\) en relation avec triangles issus de \(a\) et ⌜fixant⌝ celui qui échange ⌜[…]⌝ l'antipodisme, une […] […] \(C\) et son \(C^{*\circ}\).

\(\mathrm{Car\,Pav}(C)\) a la propriété universelle évidente pour les complexes trilatères \(\mathcal{X}\) : \[ \mathrm{Pl}(\mathrm{Pav}(C),\mathcal{X}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pl}(C,\mathcal{X}) \qquad\text{(plongements)} \] Si \(\mathcal{X}\) est lui-même un pavé : \[ \mathrm{Iso}(\mathrm{Pav}(C),\mathcal{X}) \simeq \mathrm{Pl}(C,\mathcal{X}). \]

Donc \(\mathcal{X}\) complexe trilatère donné ; […] la donnée d'un carré de \(\mathcal{X}\) revient à la donnée d'un pavé pointé […] (ce qui revient […]…)

NB On peut […] que dans un graphe anticarré (simplement […] des bitriangles \(\bowtie\)) est contenu dans 4 pavés…

86graphe produit de graphes \((\Gamma_i)_{i\in I}\) : ens des sommets \(\prod\Gamma_i\) distincts, \(x=(x_i)\) et \(y=(y_i)\) liés ssi \(\exists\, i\in I\) tel que \(x_j=y_j\) si \(j\neq i\), et \(x_i,y_i\) liés ([…] ⌜(par produit catégorique […])⌝).

graphe […] opposé \(\Gamma^{\circ}\) du graphe \(\Gamma\) : mêmes sommets, deux pts ⌜distincts⌝ de \(\Gamma^{\circ}\) sont liés ssi ils ne sont pas liés dans \(\Gamma\). NB pour une structure […] donnée, l'ens des structures […] \(\Gamma\) correspondance bijective […] […] l'un des \(\mathrm{Ar}(\Gamma)\), le passage […] complémentaire. C'est une involution […], pour \(\mathrm{Ar}(\Gamma)\neq\emptyset\) i.e. \(\mathrm{card}(\Gamma)\geq 2\), sans pt fixe. Néanmoins, il vaut mieux que \(\Gamma\) soit isomorphe au graphe […]. On dit alors que \(\Gamma\) est ``auto-opposé''.

Coproduit de graphes \(\Gamma_i\) : défini par ⌜graphe⌝ \(\Gamma=\overset{\circ}{\coprod}\Gamma_i\) (noté \(\Gamma_1\overset{\circ}{\times}\Gamma_2\) pour deux facteurs) \[ \Gamma^{\circ}=\prod\Gamma_i^{\circ},\quad\text{i.e.}\quad \Gamma=\Bigl(\prod\Gamma_i^{\circ}\Bigr)^{\circ}. \] Donc ens des sommets de \(\Gamma=\prod\Gamma_i\). Deux ⌜de \(\Gamma\)⌝ distincts \(x=(x_i)\) et \(y=(y_i)\) sont non ⌜liés dans \(\Gamma\)⌝ (liés dans \(\Gamma^{\circ}\)), ssi \(\exists\, i\in I\) tel que \(x_j=y_j\) pour \(j\neq i\), et \(x_i,y_i\) non liés dans \(\Gamma_i\), i.e. \(x_i,y_i\) liés dans \(\Gamma_i^{\circ}\). NB \(\bigl(\prod\Gamma_i\bigr)^{\circ}=\overset{\circ}{\prod}\Gamma_i^{\circ}\) donc.

Prop Un pavé (i.e. ⌜graphe (sommets)⌝ produit de deux triangles) est autodual, en d'autres termes un pavé est isomorphe au coproduit de deux triades (duals des triangles) ou encore un […] coproduit de deux triades est un pavé ?

87Coproduit ⌜d'un graphe⌝ […] un doublet \(\bullet\ \bullet\) donne, pour un graphe discret, les graphes bi-discrets.

Coproduit de deux doublets \((\overset{\bullet}{a}\ \overset{\bullet}{b})\), \((a'\ b')\) : Les quatre sommets \((ba')\), \((bb')\), \((aa')\), \((ab')\) disposés en carré, reliés par les deux diagonales qui se croisent.

Coproduit des deux segments \((a\text{---}b)\), \((a'\text{---}b')\) :

\begin{tikzcd}
  (ba') \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & (bb') \arrow[d, no head] \\
  (aa') \arrow[r, no head] & (ab')
\end{tikzcd}

(1) carré. Entre les deux colonnes, un croisement de diagonales lourdement biffé.

Idem des précédents. [Le produit d'un doublet et d'un segment […] ⌜disjoints⌝ segment \(a'\text{---}b'\) est l'un d'entre eux. Le coproduit de deux segments …{} le graphe complété semble […] …] Produit d'un doublet \((a\bullet\ \bullet b)\) et d'un segment \(a'\text{---}b'\) : \[ (ba')\text{---}(bb'),\qquad (aa')\text{---}(ab'), \] son opposé est le coproduit du segment \((a\text{---}b)\) et du doublet \((a'\cdot b')\) : (2) Un bitriangle (sablier couché) sur les sommets \((ba')\), \((bb')\), \((aa')\), \((ab')\) ; à côté, souligné : « carré ».

Donc dans le produit de deux ensembles de cardinal 2, on trouve 3 structures de carré naturelles distinctes, […] 2 […], produit de deux segments…

88⌜deux⌝ et les structures coproduit obtenues en mettant sur l'un des facteurs une structure de doublet, sur l'autre une structure de segment. (Celle qu'on a induite dessinée est Un bitriangle sur les sommets \((ba')\), \((bb')\), \((aa')\), \((ab')\) : côtés horizontaux \((ba')\text{---}(bb')\) et \((aa')\text{---}(ab')\), une diagonale \((bb')\text{---}(aa')\) en trait fin, deux amorces de l'autre diagonale. On trouve ainsi les trois ⌜uniques⌝ structures de carré sur l'ens à 4 él. produit, correspondant aux partitions de cet ens du type \((2,2)\)…

Soit un carré \(C\), défini par l'un (ou ses) sommets, et la partition du type \(2,2\) ⌜(i.e. une involution sans pt fixe)⌝ en les deux diagonales, \((C_{\alpha})_{\alpha\in D}\). Orientation du carré définie, pour chaque \(\alpha\in D\), par une bijection \(\varphi_{\alpha}: z\mapsto uz\) de \(C_{\alpha}=\{x,x'\}\) sur \(C_{\beta}=\{y,y'\}\). Un carré de sommets \(x\), \(y\) (en haut), \(y'\), \(x'\) (en bas), avec ses deux diagonales ; une flèche \(u\) va de \(x\) à \(y\). On a \[ \varphi_{\beta}\varphi_{\alpha}=-\mathrm{id}_{C_{\alpha}},\qquad \varphi_{\alpha}\varphi_{\beta}=-\mathrm{id}_{C_{\beta}} \] (l'une de ces relations implique l'autre). D'où \[ \mathrm{or}(C)\simeq\Bigl(\underbrace{\bigwedge_{\alpha\in D}C_{\alpha}}_{\substack{D^{*}=\text{ens des diagonales}\\ \text{du carré dual}}}\Bigr)\times D \;\simeq\; D^{*}\times D . \] Le symbole devant \(C_\alpha\) est lu \(\bigwedge\) ; « carré dual » sous l'accolade est une lecture incertaine.

89Page au crayon, en largeur, occupée presque entièrement par un grand diagramme d'ensembles d'hexagones et de carrés du pavé, reliés par des flèches marquées \(2\) ou \(3\) (le degré des applications), avec en annotation le groupe opérant (\(\mathfrak{S}_3\), \(\mathfrak{S}_2\), \(\mathbb{D}_3\), \(\mathbb{D}_6\), \(\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_2\)). Elle reprend et étend les diagrammes des pp. 82 et 83.

invariants cube et hypercube dans domaines […] polyèdres et polytopes pro…{} (prismes \(\left\{\begin{array}{l}\text{triangulaires}\\ \text{pentagonaux}\\ \text{hexagonaux}\end{array}\right.\) produit de polygones…)

Le diagramme. On y lit, sans pouvoir assurer le sens de toutes les flèches : en haut, \(\mathrm{Car}_{d*}\simeq\mathrm{pav\,car}\), relié par des flèches marquées \(2\) à \(\mathrm{car}\), \(\mathrm{car}_{\Omega}\) et \(\mathrm{car}_{s*}\) ; au centre \(S\), où aboutissent des flèches venant de \(\mathrm{Ar}\xleftarrow{3}\mathrm{Arc}\) (\(\simeq_3\) trig pt, \(\simeq_2\) trig ép), de « dodéc ép \(\simeq\) pent ép \(\simeq\) cour ép » et d'un schéma de « pent. » ; puis \(\mathrm{hex}_{\mathrm{tr}*}\) (\(\simeq\) pav pt \(+\) tria), \(\mathrm{hex}_{s*}\simeq\mathrm{car}_{r}\) (\(\simeq\) pav \(+\) tria \(+\) […]), \(\mathrm{hex}_{\Omega^*}\) (\(\mathfrak{S}_3\)), \(\mathrm{hex}_{\Omega}\) (\(\mathfrak{S}_3\)), \(\mathrm{hex\,ép}\simeq\mathrm{car\,ép}\) (\(G_{\mathrm{pav}}\) ; \(\simeq\) pav ép, \(\simeq\) car ép), \(\mathrm{hex\,ép}'\) (\(\mathfrak{S}_3\)), \(\mathrm{hex}_{d}\) (\(\mathfrak{S}_2\) ; \(\simeq\) tria pt \(\simeq\mathrm{car}_{d}\)) ; en bas, \(\mathrm{Hex}\) (\(\simeq\) tria […]) \(\xleftarrow[\mathrm{orr}]{2}\mathrm{Hex}_{s}\simeq\mathrm{hex}\) (\(\simeq\) tria), \(\mathrm{Hex}\) (\(\simeq\) pav) \(\xleftarrow[\mathrm{orr}]{2}\) (\(\mathbb{D}_3\)) \(\mathrm{Hex}_{\mathrm{tr}}\) (\(\simeq\) tr tria), (\(\mathbb{D}_3\)) \(\mathrm{Hex\,ép}'\), (\(\mathbb{D}_6\)) \(\mathrm{Hex\,ép}\simeq\mathrm{hex}_{\mathrm{tr}}\) (\(\simeq\) tr ép tria ; \(\mathfrak{S}_3\)) \(\xleftarrow{3}\mathrm{hex}_{s}\simeq\mathrm{car}_{s}\) (\(\simeq\) tria ép ; \(\mathfrak{S}_3\)), \(\mathrm{Hex}_{s*}\) (\(\simeq\) ba pt), \(\mathrm{Hex}_{\Omega}\), \(\mathrm{Hex}_{t*}\) (\(\simeq\) tri b tr), \(\mathrm{Hex}_{tt*}\) (\(\simeq\) tr \(\circ\) tria ; \(\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_2\)), et la dernière ligne \(\mathrm{triHex}\) (\(\simeq\) tri pav) \(\xleftarrow{3}\mathrm{pav}\), avec \(\mathrm{Hex}\xrightarrow{3}\mathrm{triHex}\). Une bulle « échanges ! » renvoie par deux arcs de \(\mathrm{hex\,ép}\) à lui-même. À gauche, une flèche « \(\mathrm{b}\simeq\) doublet » et « bi pt ». À droite, des esquisses : trois prismes accolés, un pentagone subdivisé, une chaîne de points fléchés.

90Au crayon, en largeur : mise au net partielle du diagramme de la p. 89.

Diagramme en forme de cube, flèches marquées \(2\) ou \(3\). En haut : \(\mathrm{Car}_{d*}\simeq\) pav à trig pt, recevant des flèches \(2\) de \(\mathrm{car}\) et de \(\mathrm{Car}_{s*}\simeq\) pav. car \(\simeq\) pav \(+\) trig ép (\(\mathfrak{S}_3\)). Au milieu : \(\mathrm{hex}_{\Omega}\simeq\) tria \(\Omega\) \(\xleftarrow{3}\mathrm{hex}_{r'}\simeq\mathrm{car}_{r'}\simeq\) tria ép (\(\mathfrak{S}_3\)) ; \(\mathrm{Car}\simeq\) pav pt. Puis \(\mathrm{hex}\) (\(\simeq\) tria) \(\leftarrow\mathrm{hex}_{\mathrm{tr}*}\) (\(\mathfrak{S}_3\)) \(\leftarrow\mathrm{hex}_{\mathrm{tr}\Omega}\) (\(\simeq\) trig ép tria \(\Omega\)) \(\xleftarrow{3}\mathrm{hex\,ép}\) (\(\simeq\) trig ép tria ép, \(\simeq\) pav ép ; \(\mathfrak{S}_2\)) ; \(\mathrm{hex}_{d}\) (\(\simeq\mathrm{Car}_{d}\simeq\) tria pt) \(\leftarrow\mathrm{hex}_{s*}\leftarrow\mathrm{hex\,ép}\). En bas : \(\mathrm{Pav\,coor}\simeq\) trig tria \(\xleftarrow{3}\mathrm{hex}_{\mathrm{tr}}\) (\(\mathfrak{S}_3\) ; \(\simeq\) trig ép tria) \(\xleftarrow{3}\mathrm{hex}_{s}\) (\(\simeq\) tria ép ; \(\mathfrak{S}_3\)), trig tria pt \(\simeq\) tria ; \(\mathrm{Pav\,coor}\xrightarrow{2}\mathrm{Pav}\) ; trig \(\Omega\) tria \(\xleftarrow{3}\) tria \(\Omega\). Les verticales \(\mathrm{hex}\xrightarrow{3}\mathrm{Pav\,coor}\), \(\mathrm{hex}_{\mathrm{tr}\Omega}\xrightarrow{2}\mathrm{hex}_{\mathrm{tr}}\), \(\mathrm{hex}_{d}\xrightarrow{3}\) trig tria pt, \(\mathrm{hex}_{s}\to\) tria \(\Omega\) ; diagonales marquées \(2\).

Complexes cubiques généralisés

La p. 91 est une chemise de couleur portant seulement, au crayon, « (33 p) » ; la liasse qu'elle annonce commence à la p. 92 et se poursuit au-delà de ce lot.

92Complexes cubiques généralisés (complexes triadiques ou trilatères ?)

\(S\) graphe strict, \(A\subset\mathfrak{P}_2(S)\) l'ens des arêtes. On […] appelle triangle de \(S\) tout \(t\in\mathfrak{P}_3(A)\) lire sans doute \(\mathfrak{P}_3(S)\) tel que \(x,y\in t\), \(x\neq y\) implique que \(x,y\) sont ``liés'' (i.e. \(\{x,y\}\in A\)). Soit \(T\) l'ens des triangles de \(S\).

Axiome 1 \(\forall\, a\in A\), \(\exists!\, t\in T\) tel que \(a\subset t\).

Axiome 2 \(\forall\, t\in T\), […] \(s\in S\setminus t\), \(s\) est lié à un élément de \(t\) (unique d'après l'axiome 1).

NB La conjonction de 1 et 2 s'énonce aussi :

Axiome (C) \(\left\{\begin{array}{l}\text{a) toute arête est contenue dans un triangle}\\ \text{b) } \forall\, t\in T,\ s\in S\setminus t,\ \exists!\, s'\in t \text{ tel que } s \text{ lié } s'\\ \phantom{\text{b) }}(\text{i.e.\ } \{s,s'\}\in A).\end{array}\right.\)

Pour l'instant on suppose seulement l'axiome (1).

1 vérifié Supposons \(A\neq\emptyset\) (sinon l'axiome est vide !) donc (⌜en vertu de⌝ l'axiome 1) \(T\neq\emptyset\). Soit \(t_0\in T\), \(t=\{a,b,c\}\), avec \(a,b,c\in S\).

Supposons de plus pour l'instant que (2) l'axiome 2 est vérifié pour \(t_0\), i.e. tout élément de \(S\setminus t_0\) est lié à un des él. \(a,b,c\) ⌜(unique par l'axiome 1)⌝. Si \(a\in t\), on désigne par \(\widetilde{E}_a\) l'ens de \(S\setminus t_0\) liés à \(a\). Donc si \(t=\{a,b,c\}\) on a bij. can. \[ S\setminus t_0=\coprod_{\alpha\in t_0}\widetilde{E}_{\alpha}=\widetilde{E}_a\amalg\widetilde{E}_b\amalg\widetilde{E}_c , \] donc bij can \[ (1)\qquad S\simeq t_0\amalg\coprod_{\alpha\in t_0}\widetilde{E}_{\alpha}. \] D'autre part,

93Les arêtes \(\subset t_0\) seront dites horizontales basiques, celles qui lient des él. de \(t_0\) à des él. de \(S\setminus t_0\) seront dites verticales, celles qui relient des pts de \(S\setminus t_0\) seront dites horizontales supérieures. Il y a exactement L'ens des arêtes basiques Rappel est \(\simeq\mathfrak{P}_2(t_0)\), l'ens des arêtes verticales est \(\simeq\coprod_{\alpha\in t_0}\widetilde{E}_{\alpha}\) ([…] à \(s\in\widetilde{E}_{\alpha}\) correspond l'arête verticale \(\{s,\alpha\}\)).

Exprimons l'axiome 1 pour les arêtes envisagées jusqu'ici présent (celles qui ne sont pas hor. sup.) Pour une arête horizontale inférieure, il est déjà exprimé par le fait que les \(\widetilde{E}_{\alpha}\) (\(\alpha\in t_0\)) sont mutuellement disjoints, i.e. par l'écriture (1). Pour une arête verticale \(\{\alpha,s\}\) (\(\alpha\in t_0\), \(s\in S\setminus t_0\)), cela s'exprime ainsi :

Prop. 1 […] \(\forall\,\alpha\in t_0\), et \(\forall\, s\in\widetilde{E}_{\alpha}\), \(\exists!\, s'\in\widetilde{E}_{\alpha}\) lié à \(s\). En marge, un triangle allongé de sommets \(s\), \(s'\) en haut et \(a\) en bas ; plus bas, deux points \(b\) et \(c\).

Cor. \(\alpha\to\alpha'\) est une involution sans pt fixe de \(\widetilde{E}_{\alpha}\), notée \(\sigma_{\alpha}\). On désigne par \(\sigma\) l'application \(S\to S\) telle que \[ \sigma|t_0=\mathrm{id}_{t_0},\qquad \sigma|\widetilde{E}_{\alpha}=\sigma_{\alpha}\quad\text{pour }\alpha\in t_0 . \] Le numéro de cette proposition se lit plutôt « 2 » ; la page suivante renvoie à elle comme « Prop 1 » et numérote « Prop 2 » l'énoncé suivant. Le passage écrit aussi \(\alpha\to\alpha'\) là où la proposition parle de \(s\mapsto s'\) ; la lecture \(\alpha\to\alpha'\) est celle de la page.

94Les arêtes supér horizontales supérieures de la forme \(\{s,\sigma_{\alpha}(s)\}\) seront appelées supérieures internes (ou supérieures triviales) — ce sont celles qui lient des pts d'un \(=\widetilde{E}_{\alpha}\) (\(\alpha\in t_0\)). Exprimons l'axiome 1 pour ces nouvelles flèches ⌜arêtes⌝, on trouve

Prop. 2 Soient \(s,s'\in\widetilde{E}_{\alpha}\) (\(\alpha\in t_0\)), \(s\) et \(s'\) liés (i.e. \(s'=\sigma_{\alpha}s\)). Soit \(\beta\in t_0\), \(\beta\neq\alpha\), et soit \(t\in\widetilde{E}_{\beta}\). Alors \(t\) ne peut être lié simultanément à \(s\) et \(s'\).

Appelons flèches ⌜arêtes⌝ (hor.) sup. transverses les flèches ⌜arêtes⌝ (hor.) sup. qui ne sont pas internes, i.e. que ne sont relient un pt d'un \(\widetilde{E}_{\alpha}\) à un pt d'un \(\widetilde{E}_{\beta}\) (\(\alpha,\beta\in t_0\), \(\alpha\neq\beta\)). Soit \(\{s,t\}\) (\(s\in\widetilde{E}_{\alpha}\), \(t\in\widetilde{E}_{\beta}\)) une telle arête, […] considérons ⌜\(\{s,t,u\}\)⌝ le triangle ⌜la contenant (il existe par l'axiome 1)⌝ correspondant (par l'axiome 1), mais pour lequel on se demande …). Évidemment \(u\notin t_0\) (car sinon …{} comme \(u\in t_0\) on devrait avoir \(u=\alpha\) et \(u=\beta\), or \(\alpha\neq\beta\) !) donc \(u\in S\setminus t_0=\widetilde{E}_{\alpha}\amalg\widetilde{E}_{\beta}\amalg\widetilde{E}_{\gamma}\). On ne peut avoir \(u\in\widetilde{E}_{\alpha}\), car on aurait alors \(u=\sigma_{\alpha}(s)=s'\) par Prop 1, ce qui contredit prop. 2. Pour la même raison […] on a \(u\notin\widetilde{E}_{\beta}\), donc \(u\in\widetilde{E}_{\gamma}\), i.e.

95Prop. 3 Si \(t\) est un triangle contenant une arête sup. transverse (i.e. reliant un pt d'un \(\widetilde{E}_{\alpha}\) et un d'un \(\widetilde{E}_{\beta}\), ⌜\(\alpha,\beta\in t_0\), \(\alpha\neq\beta\)⌝) alors ses trois arêtes sont transverses, et la relation ``\(\alpha\in t_0\) et \(\exists!\, s\in t\), \(\alpha\) est lié à \(s\) (avec \(s\in\widetilde{E}_{\alpha}\))'' est une bijection \(t_0\xrightarrow{\sim}t\).

Les triangles en question s'appellent triangles supérieurs, leur ens est noté \(\widetilde{T}\). On a donc des applications \[ \widetilde{T}\xrightarrow{\ \widetilde{\varphi}_{\alpha}\ }\widetilde{E}_{\alpha}\qquad(\alpha\in t) \] (on a

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  \widetilde{E}_{a} & & \widetilde{E}_{b} \\
  & \widetilde{T} \arrow[ul, "\widetilde{\varphi}_{a}"] \arrow[ur, "\widetilde{\varphi}_{b}"'] \arrow[d, "\widetilde{\varphi}_{c}"] & \\
  & \widetilde{E}_{c} &
\end{tikzcd}

) définissant ⌜équivalentes à⌝ une application unique \[ \widetilde{T}\xrightarrow{\ \widetilde{\varphi}\ }\prod_{\alpha\in t_0}\widetilde{E}_{\alpha} \quad\bigl(=\widetilde{E}_{a}\times\widetilde{E}_{b}\times\widetilde{E}_{c}\bigr). \] L'axiome 1 pour les arêtes sup. transverses équivaut donc à :

Prop. 4 Si \(\alpha,\beta\in t_0\), \(\alpha=u\in\mathfrak{P}_2(t_0)\) est une

96arête basique, ⌜(disons \(u=\{\alpha,\beta\}\))⌝ l'application \[ \widetilde{T}\xrightarrow{\ \varphi_u\ }\prod_{i\in u}\widetilde{E}_i\quad\bigl(\simeq\widetilde{E}_{\alpha}\times\widetilde{E}_{\beta}\bigr) \] est injective, et son image est formée des familles couples \((s,t)\in\widetilde{E}_{\alpha}\times\widetilde{E}_{\beta}\) tels que \(s\) est lié à \(t\).

Scholie En résumé, moyennant les conditions (1) et (2) plus haut, on voit que la structure de graphe \(S\), ainsi que les triangles \(t_0\), se résument à la donnée de

• a)un ens \(t_0\) tel que \(\mathrm{card}\,t_0=3\)
• b)une famille \(\widetilde{E}=(\widetilde{E}_{\alpha})_{\alpha\in t_0}\) d'ens. munis chacun d'une involution \(\sigma_{\alpha}\) sans pt fixe
• c)une partie \(\widetilde{T}\overset{\widetilde{\varphi}}{\hookrightarrow}\prod_{\alpha\in t_0}\widetilde{E}_{\alpha}\) ⌜\(=\widetilde{P}\)⌝

[satisfaisant les conditions

• (*)\(\forall\, u\in\mathfrak{P}_2(t_0)\), l'application \(\widetilde{T}\xrightarrow{\ \widetilde{\varphi}_u\ }\prod_{\alpha\in u}\widetilde{E}_{\alpha}\) est injection,
• (**)si \(\alpha,\beta\in t_0\), \(\alpha\neq\beta\), et si \(s\in\widetilde{E}_{\alpha}\), \(t\in\widetilde{E}_{\beta}\), si \((s,t)\in\mathrm{Im}\,\widetilde{\varphi}_{\{\alpha,\beta\}}(\widetilde{T})\), alors \((\sigma_{\alpha}s,t)\notin\mathrm{Im}\,\widetilde{\varphi}_{\{\alpha,\beta\}}(\widetilde{T})\).

et de la façon suivante :] En travers de la marge gauche, encadré, une condition (***) : « si \((s_{\alpha})_{\alpha\in t_0}\in\prod\widetilde{E}_{\alpha}\) et \((t_{\alpha})_{\alpha\in t_0}\in\widetilde{T}\) tels que \(s_{\beta}=\varphi_{\beta}(t_{\alpha})\) […] \(\forall\,\alpha,\beta\), \(\alpha\neq\beta\), […] » — rattachée par une accolade à (*) et (**). La condition écrite dans la marge, tournée de 90°, n'est lue qu'en partie.

1°) \(S\simeq t_0\amalg\coprod_{\alpha\in t_0}\widetilde{E}_{\alpha}\)

2°) deux pts \(\alpha\)) Deux pts de \(t_0\) sont liés

• \(\beta\))un point de \(\widetilde{E}_{\alpha}\) est lié à un et un seul él. de \(t_0\), savoir \(\alpha\) (si \(\alpha\in t_0\))
• \(\gamma\))un point \(s\) de \(\widetilde{E}_{\alpha}\) est lié à un ⌜et un⌝ seul pt de \(\widetilde{E}_{\alpha}\), savoir \(\sigma_{\alpha}(s)\)
• \(\delta\))Soit ⌜Soient⌝ \(\alpha,\beta\in t_0\), \(\alpha\neq\beta\), \(s\in\widetilde{E}_{\alpha}\), \(t\in\widetilde{E}_{\beta}\), alors \(s,t\) sont

97liés ssi \((s,t)\in\mathrm{Im}\,\varphi_{\{\alpha,\beta\}}(\widetilde{T})\).

Étant donnés des données a) b) c), satisfaisant la condition (*), le graphe qu'on vient de décrire satisfait les conditions (1) (Axiome 1) et (2) (L'axiome 2 ⌜seulement⌝ pour le triangle \(t_0\)).

L'ens \(T\) des triangles de \((S,A)\) est alors donné, à une bijection près, par \[ T\simeq\underbrace{\{t_0\}}_{\substack{\text{triangle}\\ \text{de base}}}\amalg\underbrace{\coprod_{\alpha\in t_0}E_{\alpha}}_{\substack{\text{triangles}\\ \text{verticaux}}}\amalg\underbrace{\widetilde{T}}_{\substack{\text{triangles (horiz.)}\\ \text{supérieurs}}} \] où on pose […] \[ E_{\alpha}=\widetilde{E}_{\alpha}/\sigma_{\alpha} \] (de sorte que \(\widetilde{E}_{\alpha}\) est un revêt. de degré 2 de \(E_{\alpha}\)). Pour \(\alpha\in t_0\), un élément \(u\) de \(E_{\alpha}\), i.e. \(u\in\mathfrak{P}_2(\widetilde{E}_{\alpha})\) formé d'une orbite sous \(\sigma_{\alpha}\), ⌜(vertical)⌝ le triangle associé est par définition \(\{u\cup\{\alpha\}\}\). Pour […] \(\tau\in\widetilde{T}\), le triangle associé est par définition l'ens \(\{\varphi_{\alpha}(\tau)\}_{\alpha\in t_0}\).

Rien n'empêche pour l'instant qu'on ait \(\widetilde{T}=\emptyset\) ! Mais (on va) proposer maintenant d'exprimer l'axiome 2 pour tous les triangles de \(S\) (pas seulement \(t_0\)). Prenons d'abord les

98Cas des triangles verticaux \(\{\alpha,s,s'\}\) (\(\alpha\in t_0\), \(s\in\widetilde{E}_{\alpha}\), \(s'=\sigma_{\alpha}(s)\)). On trouve

Prop. 5 Soient \(\alpha\in t_0\), \(s,s'\) deux arêtes liées de \(\widetilde{E}_{\alpha}\), et \(\beta\in t_0\), \(\beta\neq\alpha\), \(t\in\widetilde{E}_{\beta}\), où \(\beta\in t_0\), \(\beta\neq\alpha\), alors \(t\) est lié à au plus \(s\) ou à \(s'\) (NB par prop. 2, on ne peut avoir les deux il est lié à un à la fois, il viendrait lié à \(s\) et à \(s'\), donc il est lié à un et un seul des deux pts \(s,s'\)). En termes des données de la Scholie : Soit \(\widetilde{T}_{\alpha,\beta}\subset\widetilde{E}_{\alpha}\times\widetilde{E}_{\beta}\) l'image de \(\widetilde{T}\) dans \(\widetilde{E}_{\alpha}\times\widetilde{E}_{\beta}\), soient \(s,s'\in\widetilde{E}_{\alpha}\), \(t\in\widetilde{E}_{\beta}\), avec \(s'=\sigma_{\alpha}s\) i.e. \(s=\sigma_{\alpha}s'\). Alors on a \(\{s,t\}\in\widetilde{T}_{\alpha\beta}\) ou \(\{s',t\}\in\widetilde{T}_{\alpha\beta}\).

Cor. Sous les conditions précédentes, posant \(t'=\sigma_{\beta}t\), ⌜\(s,t\) liés i.e.⌝ si \((s,t)\in\widetilde{T}\) \(\{s,t\}\in A\) i.e. \((s,t)\in\widetilde{T}_{\alpha\beta}\), alors ⌜\(s',t'\) liés i.e.⌝ \(\{s',t'\}\in A\) i.e. \((s',t')\in\widetilde{T}_{\alpha\beta}\).

En effet, \(t'\) étant lié à \(s\) ou \(s'\), et ne pouvant être lié à \(s\) (car \(s\) étant lié à \(t\) et \(t'\) contredirait prop. 2) il est lié à \(s'\).

Cor. Soit \(\widetilde{\sigma}_{\widetilde{P}}=\prod_{\alpha\in t_0}\sigma_{\alpha}\) l'involution (sans pt fixe) d'ordre 2 […] de \(\widetilde{P}=\prod\widetilde{E}_{\alpha}\). Alors \(\widetilde{T}\) est stable par \(\sigma_{\widetilde{P}}\) ; on note \(\sigma_{\widetilde{T}}\) l'automorphisme d'ordre 2 de \(\widetilde{T}\) induit par \(\sigma_{\widetilde{P}}\).

99Cor. Soient \(\alpha\in t_0\), \(s\in\widetilde{E}_{\alpha}\), \(\beta,\gamma\in t_0\setminus\{\alpha\}\), \(\beta\neq\gamma\) ⌜\(\beta\in t_0\setminus\{\alpha\}\)⌝, soit \(\widetilde{E}_{\beta}(s)\) ⌜\(\subset\widetilde{E}_{\beta}\)⌝ l'ens des \(t\in\widetilde{E}_{\beta}\) liés à \(s\), c'est ⌜donc⌝ une section de \(\widetilde{E}_{\beta}\) sur \(E_{\beta}=\widetilde{E}_{\beta}/\sigma_{\beta}\). Soit ⌜\(\gamma\in t_0\setminus\{\alpha,\beta\}\)⌝ \(\gamma\in t_0\), \(\gamma\neq\beta\), d'où \(\widetilde{E}_{\gamma}(s)\) section de \(\widetilde{E}_{\gamma}\) sur \(E_{\gamma}\) ; la relation entre \(t\in\widetilde{E}_{\beta}(s)\) et \(t'\in\widetilde{E}_{\gamma}(s)\) ``\(t\) et \(t'\) sont liés i.e. \((t,t')\in\widetilde{T}_{\beta,\gamma}\)'' est une bijection […] \[ u_s^{\gamma,\beta}:\widetilde{E}_{\beta}(s)\xrightarrow{\ \sim\ }\widetilde{E}_{\gamma}(s). \]

Cor. Si Si \(\widetilde{E}_{\alpha}\neq\emptyset\), alors \(\mathrm{card}\,\widetilde{E}_{\beta}=\mathrm{card}\,\widetilde{E}_{\gamma}\) donc \(\mathrm{card}\,\widetilde{E}_{\beta}=\mathrm{card}\,\widetilde{E}_{\gamma}\) ; si on […] cardinal est \(\neq0\) i.e. \(\widetilde{E}_{\beta}\neq\emptyset\) (\(\Longleftrightarrow\widetilde{E}_{\gamma}\neq\emptyset\)) alors \(\widetilde{E}_{\alpha},\widetilde{E}_{\beta},\widetilde{E}_{\gamma}\) ont même cardinal (et \(E_{\alpha},E_{\beta},E_{\gamma}\) ont même cardinal).

NB Évidemment, si \(\widetilde{E}_{\alpha}=\emptyset\) \(\forall\,\alpha\in t_0\), les axiomes […] 1 et 2 sont dans ce cas satisfaits. De même si \(\widetilde{E}_{\alpha}\neq\emptyset\), et \(\widetilde{E}_{\beta},\widetilde{E}_{\gamma}=\emptyset\) (donc \(\widetilde{T}=\emptyset\), donc pas d'flèches arêtes sup transverses). Alors le […] ⌜graphe⌝ est […] de la forme \[ S=\{\alpha\}\amalg\widetilde{S}'\qquad\text{où }\widetilde{S}'=S-\{\alpha\} \] est muni d'une invol. \(\sigma_{S'}\) sans pt fixe, et les arêtes sont les \(\{\alpha,s\}\) (\(s\in\widetilde{S}'\)) et les \((s,\sigma_{S'}s)\) (\(s\in\widetilde{S}'\)), donc \[ A\simeq\widetilde{S}'\amalg\underbrace{\widetilde{S}'/\sigma_{S'}}_{S'} . \] Mais

100On supposera désormais que l'axiome

Axiome 3 Les \(\widetilde{E}_{\alpha}\) (\(\alpha\in t_0\)) sont \(\neq\emptyset\), i.e. on est ⌜(trivial)⌝ pas dans le cas (envisagé dans le NB précédent) où un sommet \(s\in S\) est dans au moins 2 triangles.

Je veux exprimer, dans ce cas, l'axiome 2 pour les triangles sup. Or il est automatique ! Le passage qui suit (Prop. 6 et sa démonstration, jusqu'à « c'est absurde ») est barré de trois longs traits obliques au crayon ; il reste lisible et est transcrit en entier.

Dans la marge : un prisme triangulaire en perspective, triangle supérieur \(\{t,s,u\}\), triangle inférieur \(\{b,a,c\}\) (avec \(a\) au fond), arêtes verticales.

Prop. 6 Soit \(\{s,t,u\}\) un \(\{a,b,c\}=t_0\) un triangle supérieur (i.e. un \(\in\widetilde{T}\)), et soit \(s_1\in\widetilde{E}_a\setminus\{s,s'=\sigma_a s\}\). Alors \(s_1\) est lié à \(t\) ou \(u\) (NB bien sûr, pas aux deux à la fois…)

Démonstration : En effet, […] a) tout \(\alpha\in t_0\) est lié à un pt de \(\{s,t,u\}\) b) Si \(s_1\in\widetilde{E}_{\alpha}\), alors \(S\setminus t_0=\coprod\widetilde{E}_{\alpha}\), s distinct de disons \(s_1\in E_a\), […] \(\alpha\in t_0\) […] \(s_1\) \(\notin t\) i.e. \(s_1\neq s\), si \(s_1\) \(=\sigma_a s=s'\), il est […] n'est pas lié à \(s\) i.e. \(s_1\neq s'=\sigma_a s\), montrons qu'il est lié à \(t\) ou \(u\). En effet, s'il n'était lié à aucun des deux, alors \(s_1'=\sigma_a s_1\) serait lié aux deux : il suit, et comme \(s_1'\neq s\) c'est absurde.

Résolution En résumé, la donnée d'un complexe \((S,A)\) et […] satisfaisant les axiomes (1), (2) et que …{} (discret, ou réduit à un triangle, ou à un …{} du type trivial étoile étoile de triangles Une étoile de triangles : plusieurs triangles ayant un sommet commun, disposés en roue. ) équivaut à celle de La phrase se poursuit au-delà de ce lot.