Fonds Grothendieck, cote n° 74, pages 61–80

Bitriangles, triades et hexagones

la page continue un argument commencé avant ce lot : les X_\alpha, les fibres I_\alpha de I \to \Lambda et les triades « de type I, II, III » y sont supposés connus.

Voici un hexagone ( ) dont les milieux (deux à deux) non liés ~~de triades~~ contenu dans aucun des X_\alpha [i.e. rencontrant (i,j,k), (p,q,r), (s,t,u), les trois fibres de I \to \Lambda = \{1,2,3\}]

un hexagone dont les six sommets sont des triades, écrites comme triples de paires d'éléments pris dans les trois fibres ; en haut, marqué II : (ip)(\cdot\, j)(uk), l'élément du milieu illisible ; à gauche, en haut, marqué I : (ir)(qs)(qt) ; à droite, en haut, marqué I : (iq, rs, rt) ; à gauche, en bas, marqué I : (\cdot, km, jr), la première paire surchargée ; à droite, en bas, marqué I : (ru)(kq)(\cdot\, q) ; en bas, marqué II : (pu)(ti)(si). La lecture des paires est en grande partie douteuse.

Tout triangle de triades bi-liées ~~est~~ formé, soit de triades d'un même X_\alpha (de réunion X_\alpha), soit de triades de type I et II (2 de type I, et 1 de type II), soit des triades de type III. ~~Donc tout~~ L'intersection du bitriangle correspondant avec deux des X_\alpha est un doublet, avec le troisième c'est une étoile de triangles : deux bandes

deux triangles ayant le sommet a en commun.

~~Cela~~ ~~[Pour une étoile donnée dans X il y a exactement trois bitriangles de S coupant X suivant E. Pour un doublet donné dans X, il y a exactement 2\times 3~~ ~~(3 \times \frac{3!}{2}) = 54]~~ le passage entre crochets est barré de trois longues diagonales.

figure à neuf sommets i, j?, k, p, q, r, s, t, u : un rectangle i\,p\,q\,k coupé par des traits pleins et pointillés, l'arête ip marquée (a), et une colonne verticale s, t, u reliée en u aux sommets p, q, r.

Les bitriangles sont en corr. biunivoque avec l'ens. des couples (a,u) d'un des sommets de \Delta, et d'une bijection u : ~~\Pi~~(X_\alpha) = I_\alpha le symbole biffé devant (X_\alpha) ressemble à un \Pi ou à un II. où X_\alpha \ni a et I(X_\alpha) = I_\alpha est l'ens. des trois arêtes associées. À un couple (a,u) correspond le bitriangle formé de a, des 4 sommets liés à a dans X_\alpha, et des 4 sommets de S qui sont dans l'arête choisie u, et qui sont non liés à a. Pour un a \in X = X_\alpha donné, il y a donc exactement 3 bitriangles Y qui coupent X suivant la réunion des deux triangles de X passant par a ; et pour un doublet de X de sommets \{a,b\} de X (a et b non liés) il existe exactement 3 bitriangles Y coupant X en \{a,b\}. [Total donc :

~~les trois~~ le bitriangle X — 1 les 2 bitriangles X', X'' disjoints de X — 2 les 3 \times 9 bitriangles Y coupant X suivant une 2-étoile de triangles — 27 les 3 \times 10 18 bitriangles Y coupant X suivant un doublet — 54 les 6 \times 6 bitriangles Y coupant X suivant un triangle — 36

~~NB il y a~~ — total 120

On avait négligé de détailler le cas des Y coupés par des triades de type III, plus simple.

On trouve qu'ils correspondent au cas de la figure ci-contre, correspondant à un syst. transitif d'isom. entre les I_\alpha (définis par les triangles intersection Y \cap X_\alpha). Pour tt triangle donné de X_\alpha (correspondant à une bijection I_\beta \to I_\gamma) il y en a 6.

un prisme vu en perspective, coupé en trois étages par des triangles horizontaux, les arêtes verticales reliant les étages.

Étudier plus généralement ?

a) Position relative de 2 \mathcal{T}_i dans un \mathcal{T}_2 b) Position relative d'une base et d'un \mathcal{T}_1.

la lettre transcrite \mathcal{T} est une majuscule cursive en forme de Z barré, de lecture douteuse ; elle revient aux pages 70 et 75.

(20) (commentaire) Soit \tau = \{a,b,c\} une triade du \mathcal{T}_2 \Delta = (S,A). Alors il y a exactement un bitriangle contenant \tau, qui est aussi formé des él. de \tau et des 6 él. de S \setminus \tau qui sont liés à exactement deux él. de \tau ~~(ils sont liés aux , deux tels éléments)~~. Alors X \setminus ~~\tau~~ = Y est un ~~hexagone~~ distingué, un hexagone. On trouve ainsi une bijection de l'ens. des triades sur l'ens. des hexagones.

La bijection inverse est celle qui associe à tt hexagone Y l'ens. \tau des s \in S \setminus Y qui sont liés un élément de Y (ils sont liés à exactement 4 éléments opposés deux à deux de l'hexagone, 2 sur chacun de ses triangles inscrits, et ils correspondent biunivoquement aux trois diagonales de l'hexagone).

Autre procédé (qui revient au précédent, en remplaçant la triade \tau par son opposée \bar\tau) : on prend l'ens. des s \in S \setminus \bar\tau qui sont non liés à tous les él. de \bar\tau, c'est un hexagone, et que précédemment par \bar\tau est l'ens. des él. de S liés à tous les él. de \tau).

On examine pour une triade donnée \tau, et x \in S - \tau, regardons card \mathrm{Ét}(x) \cap \tau ens. des s \in \tau liés à x, soit \nu_\tau(x). le symbole lu \mathrm{Ét} est douteux. Il y a :

6 él. tels que \nu_\tau(x) = 0, ils forment un hexagone h(\tau) ; 9 él. tels que \nu_\tau(x) = 1, ils forment un bitriangle \mathrm{bit}(\tau) ; 6 él. tels que \nu_\tau(x) = 2, ils forment un hexagone \bar h(\tau) (dit « opposé » à h) ; 3 él. tels que \nu_\tau(x) = 3, ils forment une triade \bar\tau (dite « opposée » à \tau).

On a \mathrm{bit}(\tau) = \mathrm{bit}(\bar\tau) = \mathrm{bit}(\tau') = \mathrm{bit}(\tau'') = \mathrm{bit}(\bar\tau') = \mathrm{bit}(\bar\tau'') le troisième terme porte sous \tau' un indice douteux, peut-être 6. où \tau', \tau'' sont les triades composantes de l'hexagone h(\tau), de sorte que \bar\tau', \bar\tau'' sont les triades composantes de l'hexagone h(\bar\tau) = \bar h(\tau).

détailler tout ça dans énoncés en forme….

un hexagone à sommet central b ; sommets étiquetés, en partie surchargés : en haut à gauche b' = A_4, en haut à droite \cdot = A_3, à gauche a' (précédé de « 2: »), à droite \cdot = A_2, en bas à gauche c = A_0, en bas à droite a = A_1 ; les arêtes a'b', A_0A_1 et A_1A_2 sont repassées en gras. À côté, deux petits schémas croisant des lignes entre \xi_1, \xi_2, \xi_3 et \xi_1^\wedge, \xi_2^\wedge, \xi_3^\wedge (lecture douteuse).

\tau' \in \tilde E_c lié à et à

27 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 le 7 et le 10 sont repassés.

2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 = Nb de hexagones épinglés

2^6 \cdot 3 \cdot 5 = Nb de hexagones = Nb de bitriades

Elles sont conjuguées

La donnée d'un A_4 (~~\Leftrightarrow~~ d'un A_5) est équivalente à celle d'un bitriangle épinglé dans S

~~(a,b,c)~~ ~~(x,y,z)~~

A_4 \Leftrightarrow A_5 \Leftrightarrow P_6 \Leftrightarrow \text{bitriangle épinglé} bitriades sont conjuguées ~~Nb de bitriades épinglées~~

~~Nb de bitriades~~ ~~Nb de~~ card bitriad = \left(\frac{12}{72}\right) \frac{1}{6} Nb des bitriangles

27 \cdot 16 \cdot 10 = 6 \cdot 720 ✓ ~~27 \cdot 16 \cdot 8 = 3 \cdot 720~~ = Nb des triades épinglées

NB 45 \times 16 = 720 = Nb de bitriangles munis d'un triangle ~~= Nb de triades~~ = Nb de triades

Nb de bitriangles = 120

Pavés et triades

\Delta = (S,A,T) graphe cubique

X := X_0 \subset S pavé (anciennement : bitriangle),

1) \forall x \in S \setminus X, \mathrm{Omb}_X(x) = \{ s \in X \mid s \text{ lié à } x \} est une triade de X. L'application \varphi_X : x \mapsto \mathrm{Om}_X(x) : S \setminus X \to \mathrm{Tria}(X) est une application surjective, ~~dont les fibres sont des triades~~.

2) Soit t = \{\alpha,\beta,\gamma\} une triade de X, \varphi_X^{-1}(\{t\}) l'ensemble des x \in S \setminus X d'ombre t. Alors \bar{\bar t} = \varphi_X^{-1}(\{t\}) est une triade ~~notée \varphi(t)~~, c'est l'unique triade de S disjointe de t et « opposée » à t i.e. dont les él. sont liés à tous les éléments de t ; c'est aussi l'ens. des s \in S \setminus t liés aux éléments de t. Donc t est l'unique triade opposée à \tau. il souligne d'un trait les triades de X (t, t', t'') et surligne doublement l'opposée \bar{\bar t} ; on ne garde que la double barre.

3) Les deux triades t', t'' de X (liées par t) qui sont parallèles à t (sont les deux uniques triades de S « liées » à t ~~disjointes~~ (i.e. dont les él. sont liés à tous les élém. de t)) — t' \cup t'' est l'ens. des s \in S \setminus \tau qui sont liés aux él. de \tau.

4) Les ~~de \varphi(t) \cup \varphi(t') \cup \varphi(t'')~~ triades de X_2, les 6 triades \tau, \tau', \tau'' et \bar\tau, \bar\tau', \bar\tau'' d'un pavé, les triades liées forment un hexagone de triades liées

un hexagone aux sommets \bar\tau (en haut), \tau', \bar\tau'', \tau (en bas), \bar\tau', \tau'', les côtés et les grandes diagonales en traits interrompus.

Ceci indique parallèles les paires de triades « bi-liées » « parallèles »

5) Soient \rho, \rho', \rho'' les trois autres triades de X, qui sont ~~mutuellement~~ parallèles, alors \bar\rho, \bar\rho', \bar\rho'' sont formées respectivement des éléments de l'autre X \rho, \rho', \rho'' et leur réunion, , pavé X_2, dont ~~elles forment~~ une famille de triades parallèles. Alors X_1, X_2 sont les seuls pavés ils forment une partition de S \setminus X, (cf. card 2) de S contenus dans S \setminus X, l'ensemble ces pavés est en corr. biun. avec \varepsilon, l'ens. des deux familles de triades de X.

6) L'~~famille~~ ens. I'_1 des 3 triades de X_1 distinctes des \bar\tau, \bar\tau', \bar\tau'', et l'ens. I'_2 des 3 triades de X_2 distinctes ~~des~~ des \bar\rho, \bar\rho', \bar\rho'', est en corr. 1-1, ~~par la~~ les 6 triades forment un hexagone de triades liées, comme tout , relation d'opposition. Soit I_0 l'ens. des 3 parties (= diagonales de cet hexagone). Pour tt ens. des trois opposées triades d'une des familles i.e. tt fibre de ~~S \setminus X~~ \to \mathrm{Tria}(X) \{\bar\tau, \bar\tau', \bar\tau''\} ou \{\bar\rho, \bar\rho', \bar\rho''\}, bijection canonique \sigma \simeq I_0, d'où les applications can. X_1 \to I_0 et X_2 \to I_0 (qui donnent lieu : X_1 \xrightarrow{\ \sim\ } I_1 \times I_0, \qquad X_2 = I_2 \times I_0 ~~L'ens. I_0 est aussi l'ens. des dix triades~~ Pour une triade \sigma \subset I'_1 \cup I'_2, il f. ~~contenues dans~~ que toutes les triades de l'hexagone des triades liées le contiennent, seulement le la phrase se poursuit en tête de la page 70.

hexagone de triades bi-liées parallèles les autres ; sont formés de triades contenues dans S \setminus X.

7) Considérons l'application canonique surj. S \setminus X = X_1 \amalg X_2 \xrightarrow{\ \pi\ } I_0 dont les fibres sont les réunions \tau_1 \cup \tau_2 = \tau_1 \cup \bar\tau_1, où \tau_1 est une triade de X_1 de famille I'_1, et \tau_2 une triade associée de X_2 de famille I'_2 (donc \tau_2 = \bar\tau_1). Alors

a) Pour tout i \in I_0, la réunion X \cup \pi^{-1}(\{i\}) est un contenant X un \mathcal{T}_1 plongé dans S, et l'application i \mapsto X \cup \pi^{-1}(\{i\}) est une bijection de I_0 sur l'ensemble des \mathcal{T}_1 \mathfrak{X}. Donc les \pi^{-1}(i) sont les \mathfrak{X} \setminus X, où \mathfrak{X} est un \mathcal{T}_1 de S contenant X.

8) Ces ens. sont aussi les orbites dans S \setminus X sous le sous-groupe de \mathrm{Aut}(X) engendré par les symétries ~~triangles~~ de X. [Bien faire les groupes des automorphismes « » de X opérant sur S …]

Le diagramme des revêtements 720 : \mathrm{Hex} = ens. des hexagones de triades liées (de \Delta) (« grands hex. ») \simeq ens. des pavés 720 : \mathrm{hex} = ens. des hexagones de sommets de \Delta (« petits hex. ») \simeq ens. des paires de triades opposées ~~\simeq ens. des (X,t), X pavé et t \in X~~ 720 : \mathrm{tria} \simeq ~~ens. des triades~~ 40 : \mathrm{triHex} \simeq ens. des triples (non ordonnés) « distingués » de grands hexagones, i.e. rayons de 360 : (\mathrm{Tria}') \simeq ens. des paires de ~~triades~~ opposées ~~(\mathrm{Tria}' = ens. des )~~ (ce sont les diagonales des grands hexagones \simeq ens. des faisceaux réduits) 240 : \mathrm{Trtria} \simeq ens. des triangles de triades parallèles (« grands triangles ») \simeq ens. des pavés orientés

« 21 » en marge, en face du troisième \simeq de \mathrm{hex}.

\begin{tikzcd} \mathrm{Tria}' \arrow[d, "3"'] & \mathrm{tria} \simeq \mathrm{hex} \arrow[l, "2"'] \arrow[d, "3"] \\ \mathrm{Hex} \arrow[d, "3"'] & \mathrm{Trtria} \arrow[l, "2"] \\ \mathrm{triHex} & \end{tikzcd}

dans le carré, entre les flèches verticales, la mention « (cart) » ; au-dessus de la flèche supérieure, un petit mot « bib ». Le nom \mathrm{Trtria} est écrit par-dessus un mot biffé.

NB Les rev. d'ordre 2 sont les passages aux triades opposées resp. aux triangles de triades par. opposés.

NB Ce diagramme se déduit (à isom. can. près) du diagramme \mathrm{Tria}' \to \mathrm{Hex} \to \mathrm{triHex} car le revêtement \mathrm{Trtria} d'ordre 2 de \mathrm{Hex} se déduit (à iso can.) du rev. d'ordre 3 \mathrm{Hex} du revêtement principal de \mathrm{triHex}, comme le revêtement associé. D'autre part, ce diagramme \mathrm{Tria}' \xrightarrow{\ 3\ } \mathrm{Hex} \xrightarrow{\ 3\ } \mathrm{triHex} revient à décrire ~~le groupe I \in \mathrm{triHex}~~, \Delta via la fibre (\mathrm{Tria}')_\tau, considérée comme un (3,3,3)

L'iso can. \mathrm{hex} \simeq \mathrm{tria} peut s'expliciter ainsi : Soit h =

un hexagone aux sommets successifs a, b', c, a', b, c'.

un hexagone, ~~alors~~ formé de deux triades parallèles t = \{a,b,c\}, t' = \{a',b',c'\}. Alors \exists ! pavé P \supset h (c'est aussi l'unique pavé contenant \{a,b,c\}, ou \{a',b',c'\}), et t'' = P - h = \{a'', b'', c''\} est une triade par. aux deux précédentes (c'est l'unique telle). Ses él. sont en corr. 1-1 avec les diagonales de h, à la diagonale \{a,a'\} correspondant l'él. a'' unique ~~tel que~~ ~~lié~~ non lié à a, a', et lié à b, b', c, c'. C'est () aussi l'unique él. de S ayant ces propriétés (c'est le troisième sommet des triangles de côté \{b',c\} — ou côté \{b,c'\}, — des triangles dont deux sommets se trouvent égaux (facile : voir directement …)) et liés à a, a' ~~directement~~ (voir directement également). Inversement, si t'' = \{a'',b'',c''\} est une triade, elle est contenue dans un unique pavé P, et P - t'' est un hexagone.

Question : Soit h un (petit) hexagone, correspondant à une triade t (qui le détermine). Notons que t détermine également un (grand) hexagone

cette , la troisième aux trois diagonales diagonales Autre possibilité : pour deux côtés du triangle ainsi 3 pts (correspondant aux de l'hexagone) formant ces deux notes sont écrites le long de la marge gauche, la feuille tournée.

de triades H. Notons que le cas des hexagones combinatoires équivaut à : (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2, à un hexagone correspond t l'ens. \tau de ses trois diagonales, et l'ens. \varepsilon des deux triangles inscrits (triangles d'éléments bi-liés) — et à un couple \tau, \varepsilon correspond l'hexagone h dont l'ens. des sommets est \tau \times \varepsilon, et les sommets (a,\alpha) et (b,\beta) sont liés ssi a \neq b, \alpha \neq \beta. Ceci posé, l'ens. \mathrm{Or}(h) d'un hexagone h s'identifie à l'ens. des orientations du \tau associé (si cette orientation est définie par u \in , celle de h = \tau \times \varepsilon est donnée par u \times u_\varepsilon, où u_\varepsilon est l'automorphisme non identique de \varepsilon). (dans le cas d'une triade t donnée)

On explicitera (les relations entre les deux hexagones h et H qu'elle définit) en termes d'un du type (3,3,3) I = \coprod_{\alpha \in \Lambda} I_\alpha \xrightarrow{\ p\ } \Lambda . Une triade correspond à la donnée d'un couple i, \beta, où i \in I, \beta \in \Lambda, \beta \neq p(i) = \alpha, cf. figure ; donc si \gamma \in I est \neq \alpha, \beta, alors l'ens. des trois éléments associés à h, qui n'est autre que t lui-même, s'identifie à I_\gamma. Les deux triades t', t'' parallèles à t \neq t sont évidemment celles données par (j,\beta), j \in I_\alpha \setminus \{i\}, donc \varepsilon \simeq I_\alpha - \{i\}, donc h \leftrightarrow (I_\gamma,\ I_\alpha \setminus \{i\})

trois fibres verticales de trois points chacune, marquées \alpha, \gamma et \beta (cette dernière au-dessus) ; un point de la fibre \alpha est relié par des segments aux trois points de la fibre \gamma.

D'autre part H est formé de t, t', t'' et des triades opposées, donc H \leftrightarrow (I_\alpha, \{0,1\}) « \simeq I_\alpha \setminus \{i\} » écrit sous I_\alpha, \omega(H) \simeq \omega(I_\alpha) \simeq I_\alpha \setminus \{i\}, \qquad \omega(h) \simeq \omega(I_\gamma) Il n'y a pas de relation universelle entre ces deux ens. : 2 él.…

Diagramme Présentation symétrique des relations entre ~~ens.~~ objets de nat. 2, 3 de l'hexagone.

Un hexagone détermine

a) un ens. \tau à trois éléments, qui est canoniquement l'ens. des diagonales (paires de sommets opposés) ou codiagonales (paires de côtés opposés) b) l'ens. \varepsilon (de card. 2) (l'ens. des triangles inscrits = triples de sommets bi-liés) b') l'ens. \varepsilon' (de card. 2) l'ens. des triangles coinscrits = triples de côtés bi-liés. c) Un iso \varepsilon \wedge \varepsilon' \overset{\varphi}{\simeq} \omega(\tau) ~~(\simeq ens. des pour circ. de \tau)~~ ~~\varepsilon \wedge \varepsilon'~~ (i.e. iso \varepsilon' \simeq \omega(\tau) \wedge \varepsilon, ou iso \varepsilon \simeq \varepsilon' \wedge \omega(\tau), ou iso \varepsilon \wedge \varepsilon' \wedge \omega(\tau) = 1_{\mathcal{T}_2}, i.e. un él. de \varepsilon \wedge \varepsilon' \wedge \omega(\tau))

On a alors \text{Sommets} = \tau \times \varepsilon, \qquad \text{côtés} = \tau \times \varepsilon' et rel. d'incidence (s,\alpha) incident à (t,\beta) ssi t = \varphi(\alpha \wedge \beta). l'indice de 1 est la même majuscule cursive que celle transcrite \mathcal{T} ; il s'agit peut-être de \mathbb{Z}/2. Dans la règle d'incidence, le premier terme du couple est surchargé.

Le passage d'un hexagone à l'hexagone dual se traduit par le passage de (\tau, \varepsilon, \varepsilon', \varphi) à (\tau, \varepsilon', \varepsilon, -\varphi \circ \sigma) où \sigma est la symétrie \varepsilon' \wedge \varepsilon \to \varepsilon \wedge \varepsilon'. \mathrm{Aut}(h) \subset \mathrm{Aut}(\tau) \times (\pm 1)^2 (\pm1)^2 = \mathrm{Aut}\,\varepsilon \times \mathrm{Aut}\,\varepsilon' formé des triples u, \alpha, \beta tels que \alpha\beta = \mathrm{sg}(u) \quad\text{ou}\quad \alpha\beta\,\mathrm{sg}(u) = 1 i.e. c'est le sous-groupe de \mathrm{Aut}\,\tau \times (\pm 1)^2 formé image inverse de (\pm 1)^{3\prime} = \{ (\alpha,\beta,\gamma) \in (\pm 1)^3 \mid \alpha\beta\gamma = 1 \}. l'argument de \mathrm{sg} est écrit comme un \tau ; on lit u d'après les triples u, \alpha, \beta. Les lettres \alpha et \beta du premier membre sont surchargées.

un cube de revêtements, flèches marquées de leur degré (2 ou 3). Sommets lisibles : « \tau = diagonales » relié par 2 à « sommets » ; « côtés » ; « rep. sym. » ; « sommets orientés \simeq côtés \simeq repères » ; \varepsilon ; « triangles inscrits » ; « \varepsilon' = \varepsilon \wedge \omega, triangles coinscrits » ; « \varepsilon \times \omega, triangles inscrits orientés » ; « \omega = \omega(\tau), orientations » ; le point e. Les flèches convergent vers e ; plusieurs flèches et étiquettes du coin supérieur gauche sont surchargées et illisibles.

NB Tous les carrés sont cartésiens, y compris les petits carrés horizontaux de forme triangulaire \nwarrow \leftarrow \uparrow.

feuille tenue en largeur et très chargée : à gauche, un dessin au crayon d'un hexagone avec ses diagonales, un schéma reliant t_1, t_2, t_0 à \alpha, \beta, \gamma et le tableau de couples (t_1,\alpha)(t_1,\beta)(t_1,\gamma), (t_2,\alpha)(t_2,\beta)(t_2,\gamma), (t_0,\alpha)(t_0,\beta)(t_0,\gamma), surmonté de p_1 \dots p_6 ; on transcrit la liste encadrée à droite, puis on décrit le grand diagramme.

H un hexagone

H_d ens. des diagonales \simeq ens. des codiagonales — 3 H_t ens. des triangles inscrits — 2 H_\omega ens. des orientations \simeq \omega(H_d) — 2 H_{t^*} ens. des triangles coinscrits — 2 H_s ens. des sommets = H_d \times H_t — 6 H_{s^*} ens. des côtés = H_d \times H_{t^*} — 6 H_r ens. des repères \subset H_s \times H_d (« rel. d'inc. ») — 12 ~~H_{r'} ens. des =~~ H_d \times H_d^* \times H_t \times H_{t^*} — 6 H_{tro} = triangles inscrits orientés

en face de H_\omega, une formule entièrement surchargée finissant par \omega(H_d).

grand diagramme de revêtements, flèches marquées 2 ou 3, entre : « hex + diag \simeq tria + él. marqué \simeq couples de triades séquentes (explicites) » ; « \mathrm{tria}' = \mathrm{Hex} + \mathrm{diag}, \mathrm{Hex} + \mathrm{codiag} = \mathrm{bib.\,plié} » ; « \mathrm{tria} \simeq \mathrm{hex} = \mathrm{Hex} + \text{sommet} » (flèche « opp ») ; « hex or (hex + orientation) \simeq tria or (triade + ordre circulaire) \simeq \omega((\mathrm{hex+diag})/\mathrm{hex}) » ; « \mathrm{Hex} » ; « \mathrm{trtria} \simeq \omega(\mathrm{Hex}/\mathrm{triHex}) \simeq Hex + triangle inscrit \simeq pavé orienté » ; « hex + sommet » ; « hex + triangle inscrit orienté \simeq couple de triades orientées parallèles » ; « \mathrm{Hex} + \mathrm{rep} \simeq couple de triades liées \simeq couple de triades par. \simeq hex + triade marquée \simeq hex + triangle inscrit » avec les mentions « torseur sous Hex de groupe \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2 », « torseur sur trtria de groupe \mathfrak{S}_3 », « torseur sur tria de groupe \mathfrak{S}_2 » ; « \mathrm{tria}' = \mathrm{Hex} + \mathrm{rep\ mod\ opp} (torseur sur Hex de groupe \mathfrak{S}_3) » ; « \mathrm{triHex} », « \mathrm{triHex} » (doublé) ; « \mathrm{Hexor} = \omega(\mathrm{tri}'/\mathrm{Hex}) = \mathrm{Hex} + \mathrm{or} » ; « dror tria \simeq Hex + dr. or. inscr. ». En bas, un cube des ensembles H_s, H_r, H_{p'}, H_{s^*}, H_d, H_{tr}, H_{trr}, H_\omega, H_{tr^*}, e, marqué \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2, avec de petits hexagones dessinés à côté.

\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2 :

7 3 s.-groupes d'indice 2 (3 classes) 3 s.-groupes d'indice 3 (conj.) 3 sous-groupes d'indice 6 non (conjugués)

Étude combinatoire des polygones

Étude combinatoire des polygones de 3 \leq n \leq 6 côtés

1) n=3 \mathrm{Pol}_3 \simeq (\mathrm{Ens})_3, le foncteur dualité est isom. can. à l'identité (si P \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Pol}_3, alors P^\circ \simeq P iso can.) car les côtés sont en corr. 1-1 avec les sommets. (Ceci se généralise aux polygones à un nb impair de côtés. Groupe : \mathfrak{S}_3)

2) n = 4 \mathrm{Pol}_4 \simeq (\mathrm{Ens})_{2,2} (se généralise aux cubes de dim d \in \mathbb{N}, \mathrm{Cube}_d \simeq (\mathrm{Ens})_{\underbrace{2,2,\dots,2}_{d}} \Big) Associer au carré : tt carré comb. C l'ens. de ses quatre côtés, avec la division en côtés opposés. Le cube combinatoire est décrit par l'ens. des 4 sommets, avec division en classes de sommets ~~opposés~~. Or les sommets correspondent aux sections de I sur \Lambda, l'incidence signifiant que les ~~côtés~~ sections ne se rencontrent pas, l'opposition ou non-incidence signifiant « parallèles »…

deux fibres I_\alpha, I_\beta de deux points chacune, au-dessus de \Lambda.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] C_s \arrow[d, "2"'] & & C_r \arrow[ll, "2"'] \arrow[dl, "2"] \arrow[d, "2"] \\ C_d \arrow[dd, "2"'] & C_{p'} \arrow[l, "2"'] \arrow[d, "2"] \arrow[ddr, "2"] & C_{s^*} \arrow[dd, "2"] \\ & C_\omega \arrow[dl, "2"'] & \\ e & & C_{d^*} \arrow[ll, "2"] \end{tikzcd}

diagramme redessiné d'après un croquis serré, où il est tracé en perspective : les flèches obliques portent les mentions « opp » et « cart » (carrés cartésiens) ; la redisposition sur une grille garde les sommets et les degrés, mais l'attribution de quelques flèches autour de C_\omega et C_{d^*} est douteuse.

C_r ens. des repères C_s — sommets C_{s^*} — côtés C_d — diagonales = C_s/\mathrm{opp} C_{d^*} — codiagonales = C_{s^*}/\mathrm{opp} C_{p'} — repères mod symétrie = C_r/\mathrm{opp} C_\omega — orientations

C_r est un torseur sous D_4 \simeq \mathfrak{S}_2 \cdot \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}. On trouve que si r \in C_r et si on prend les stabilisateurs des images de r dans les ens. du diagramme, on trouve exactement fois une seule classe sous-groupe de D_4 [il y a exactement 8 classes, y compris et D_4

On obtient les sous-groupes comme stabilisateurs ( les côtés) de chaque él. de \omega(T) que \mathbb{Z} 4 d'indice 2 qui conjugués, engendrés par (\varepsilon.\dot1, \varepsilon.\dot3), (\varepsilon.\dot{?}, \varepsilon.\dot2)…

3) n = 6, P_6 \simeq P_3 \times (\mathrm{Ens})_2 (marche chaque fois qu'on a P_n avec n = 2m, m impair…) d'où P_6 \simeq (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 Si t \in (\mathrm{Ens})_3 et \omega \in (\mathrm{Ens})_2, l'hexagone associé a comme sommets les él. de t \times \omega, et (a,\alpha), (b,\beta) liés ssi a \neq b, \alpha \neq \beta : l'hexagone est une bitriade. Inv., pour un hexagone donné H, si \mathrm{opp} est la symétrie antipodale il y a bijection canonique entre l'ens. H_s/\mathrm{opp} des diag. et l'ens. H_{d^*} des codiag. [paires de côtés opposés] en associant à chaque diagonale la paire des 2 côtés parallèles à celle-ci. \boxed{H_d \simeq H_{d^*}} \quad (= t) Soit H_{tr} l'ens. des 2 « triangles inscrits » — c'est \varepsilon — ou l'ens. des triades constituant cet hexagone — et H_{tr^*} l'ens. des triangles coinscrits.

On a maintenant le diagramme

un cube de revêtements analogue à celui de la page 78 : H_r (marqué D_6) \xrightarrow{2} H_s, H_r \to H_{p'} (marqué \mathfrak{S}_3), H_{s^*}, H_d (flèches « opp » et 2), H_{trr}, H_{tr} (marqué \mathbb{F}_2^2), H_\omega, H_{tr^*}, e ; flèches verticales de degré 3, les autres de degré 2. À gauche, un petit hexagone à triangles inscrits en pointillés.

NB Dans les carrés, contenant les flèches hor. de degré 2 3

H_d = ens. des sommets d'un triangle inscrit ou coinscrit H_\omega = ens. des orientations de H \simeq \omega(H_d) \simeq H_{tr} \wedge H_{tr^*} H_{p'} = H_r/\mathrm{opp} \simeq ens. des repères de H_d (dans \mathfrak{S}_3-torseurs) H_{tr} \times H_{tr^*} \simeq H_{p'} \times H_\omega \simeq H_{trr} ens. des 4 triangles inscrits orientés

Ceci correspond à un diagramme de sous-groupes de D_6 \simeq \mathfrak{S}_2 \cdot \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \simeq \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3 d'ordre 12. D_6 ens. + trois sous-groupes (conjugués) d'indice 3 (stabilisateurs des trois él. de H_d), 3 sous-groupes d'indice 2 (non conjugués) (stabilisateurs des él. de H_{tr}, H_{tr^*}, H_\omega respectivement), un sous-groupe d'indice 4 (stabilisateur des él. de H_{trr})

enfin trois ~~familles~~ classes de conjugaison (de sous-groupes d'ordre 2, 6 comprenant un groupe invariant qui forme une seule classe), savoir le centre, qui est le stabilisateur des él. de H_{p'}, et 2 ~~familles~~ classes de 3 s.-groupes chacune resp. stabilisateurs des él. de H_s et H_{s^*} : les et les 2n (12 él. tour des côtés, i.e. gén. du facteur \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \mathfrak{S}_2 de \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3, ou él. d'ordre 2 de \mathfrak{S}_3)

Les classes de conj. de s.-groupes de D_6 correspondent 1-1 aux espaces homogènes du diagramme marqué ; et on constate que les automorphismes de ces espaces homogènes sont aussi marqués sur le diagramme (une flèche \xrightarrow{2} i.e. de degré 3 impliquant qu'il y a 2 non automorphismes ) … la page s'arrête là ; la suite, si elle existe, est hors de ce lot.