Cote n° 74 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Complexes cubiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

Bitriangles, triades et hexagones

61la page continue un argument commencé avant ce lot : les \(X_\alpha\), les fibres \(I_\alpha\) de \(I \to \Lambda\) et les triades « de type I, II, III » y sont supposés connus.

Voici un hexagone ⌜([…] […]) dont les milieux (deux à deux) non liés⌝ de triades […] contenu dans aucun des \(X_\alpha\) [i.e. rencontrant \((i,j,k)\), \((p,q,r)\), \((s,t,u)\), les trois fibres de \(I \to \Lambda = \{1,2,3\}\)]

un hexagone dont les six sommets sont des triades, écrites comme triples de paires d'éléments pris dans les trois fibres ; en haut, marqué II : \((ip)(\cdot\, j)(uk)\), l'élément du milieu illisible ; à gauche, en haut, marqué I : \((ir)(qs)(qt)\) ; à droite, en haut, marqué I : \((iq, rs, rt)\) ; à gauche, en bas, marqué I : \((\cdot, km, jr)\), la première paire surchargée ; à droite, en bas, marqué I : \((ru)(kq)(\cdot\, q)\) ; en bas, marqué II : \((pu)(ti)(si)\). La lecture des paires est en grande partie douteuse.

Tout triangle de triades ⌜bi-liées⌝ est formé, soit de triades d'un même \(X_\alpha\) (de réunion \(X_\alpha\)), soit de triades de type I et II ⌜(2 de type I, et 1 de type II)⌝, ⌜soit des⌝ triades de type III. Donc tout L'intersection du bitriangle correspondant avec deux des \(X_\alpha\) est un doublet, avec le troisième c'est une étoile de triangles : deux bandes

deux triangles ayant le sommet \(a\) en commun.

Cela […] [Pour une ⌜étoile⌝ […] donnée dans \(X\) il y a exactement trois bitriangles de \(S\) coupant \(X\) suivant \(E\). Pour un doublet donné dans \(X\), il y a exactement \(2\times 3\) \((3 \times \frac{3!}{2}) = 54\)] le passage entre crochets est barré de trois longues diagonales.

figure à neuf sommets \(i, j?, k, p, q, r, s, t, u\) : un rectangle \(i\,p\,q\,k\) coupé par des traits pleins et pointillés, l'arête \(ip\) marquée \((a)\), et une colonne verticale \(s, t, u\) reliée en \(u\) aux sommets \(p\), \(q\), \(r\).

62Les bitriangles sont en corr. biunivoque avec l'ens. des ⌜couples \((a,u)\) d'un⌝ […] des sommets de \(\Delta\), ⌜et d'⌝une […] […] […] […] […] […] bijection \(u :\) \(\Pi\)\((X_\alpha) = I_\alpha\) le symbole biffé devant \((X_\alpha)\) ressemble à un \(\Pi\) ou à un II. où \(X_\alpha \ni a\) et \(I(X_\alpha) = I_\alpha\) est l'ens. des trois arêtes associées. À un couple \((a,u)\) correspond le bitriangle formé de \(a\), des 4 sommets […] liés à \(a\) dans \(X_\alpha\), et des 4 sommets de \(S\) qui sont dans l'arête choisie \(u\), et qui sont non liés à \(a\). Pour un \(a \in X = X_\alpha\) donné, il y a donc exactement 3 bitriangles \(Y\) qui coupent \(X\) suivant la réunion des deux triangles de \(X\) passant par \(a\) ; et pour un doublet de \(X\) de sommets \(\{a,b\}\) de \(X\) (\(a\) et \(b\) non liés) il existe exactement […] 3 bitriangles \(Y\) coupant \(X\) en \(\{a,b\}\). [Total donc :

• les trois
• le bitriangle \(X\) — 1
• les 2 bitriangles \(X'\), \(X''\) disjoints de \(X\) — 2
• les \(3 \times 9\) bitriangles \(Y\) coupant \(X\) suivant une 2-étoile de triangles — 27
• les \(3 \times\) \(10\) ⌜\(18\)⌝ bitriangles \(Y\) coupant \(X\) suivant un doublet — 54
• les […] ⌜\(6 \times 6\)⌝ bitriangles \(Y\) coupant \(X\) suivant un triangle — 36

NB il y a — total […] 120

On avait […] négligé de détailler le cas des \(Y\) coupés par des triades de type III, plus simple.

63On trouve qu'ils correspondent au cas de […] la figure ci-contre, correspondant à un syst. transitif d'isom. entre les \(I_\alpha\) (définis par les triangles intersection \(Y \cap X_\alpha\)). Pour tt triangle donné de \(X_\alpha\) (correspondant à une bijection \(I_\beta \to I_\gamma\)) il y en a 6.

un prisme vu en perspective, coupé en trois étages par des triangles horizontaux, les arêtes verticales reliant les étages.

Étudier plus généralement ?

• a) Position relative de 2 \(\mathcal{T}_i\) […] dans un \(\mathcal{T}_2\)
• b) Position relative d'une base et d'un \(\mathcal{T}_1\).

la lettre transcrite \(\mathcal{T}\) est une majuscule cursive en forme de Z barré, de lecture douteuse ; elle revient aux pages 70 et 75.

(20) (commentaire) Soit \(\tau = \{a,b,c\}\) une triade du \(\mathcal{T}_2\) \(\Delta = (S,A)\). Alors […] il y a exactement un bitriangle contenant \(\tau\), qui est aussi formé des él. de \(\tau\) et des 6 él. de \(S \setminus \tau\) qui sont liés à ⌜exactement⌝ deux él. de \(\tau\) (ils sont liés aux […] […], deux tels éléments). Alors \(X\) \(\setminus\) \(\tau\) \(= Y\) est un hexagone distingué, […] un hexagone. On trouve ainsi une bijection de l'ens. des triades sur l'ens. des hexagones.

64La bijection inverse est celle qui associe à tt hexagone \(Y\) l'ens. \(\tau\) des \(s \in S \setminus Y\) qui sont liés […] […] un élément de \(Y\) (ils sont liés à exactement 4 éléments ⌜opposés deux à deux⌝ de l'hexagone, 2 sur chacun de ses triangles inscrits, et ils correspondent biunivoquement aux trois diagonales de l'hexagone).

Autre procédé (qui revient au précédent, en remplaçant la triade \(\tau\) par son opposée \(\bar\tau\)) : on prend l'ens. des \(s \in S \setminus \bar\tau\) qui sont non liés à tous les él. de \(\bar\tau\), […] c'est […] un hexagone, et […] […] que précédemment […] par \(\bar\tau\) est l'ens. des él. de \(S\) liés à tous les él. de \(\tau\)).

On examine pour une triade donnée \(\tau\), et \(x \in S - \tau\), regardons […] card \(\mathrm{Ét}(x) \cap \tau\) ⌜ens. des \(s \in \tau\) liés à \(x\)⌝, soit \(\nu_\tau(x)\). le symbole lu \(\mathrm{Ét}\) est douteux. Il y a :

• 6 él. tels que \(\nu_\tau(x) = 0\), ils forment un hexagone \(h(\tau)\) ;
• 9 él. tels que \(\nu_\tau(x) = 1\), ils forment un bitriangle \(\mathrm{bit}(\tau)\) ;
• 6 él. tels que \(\nu_\tau(x) = 2\), ils forment un hexagone \(\bar h(\tau)\) (dit « opposé » à \(h\)) ;
• 3 él. tels que \(\nu_\tau(x) = 3\), ils forment une triade \(\bar\tau\) (dite « opposée » à \(\tau\)).

65On a \[ \mathrm{bit}(\tau) = \mathrm{bit}(\bar\tau) = \mathrm{bit}(\tau') = \mathrm{bit}(\tau'') = \mathrm{bit}(\bar\tau') = \mathrm{bit}(\bar\tau'') \] le troisième terme porte sous \(\tau'\) un indice douteux, peut-être \(6\). où \(\tau', \tau''\) sont les triades composantes de l'hexagone \(h(\tau)\), de sorte que \(\bar\tau', \bar\tau''\) sont les triades composantes de l'hexagone \(h(\bar\tau) = \bar h(\tau)\).

détailler tout ça dans énoncés en forme….

66un hexagone à sommet central \(b\) ; sommets étiquetés, en partie surchargés : en haut à gauche \(b' = A_4\), en haut à droite \(\cdot = A_3\), à gauche \(a'\) (précédé de « 2: »), à droite \(\cdot = A_2\), en bas à gauche \(c = A_0\), en bas à droite \(a = A_1\) ; les arêtes \(a'b'\), \(A_0A_1\) et \(A_1A_2\) sont repassées en gras. À côté, deux petits schémas croisant des lignes entre \(\xi_1, \xi_2, \xi_3\) et \(\xi_1^\wedge, \xi_2^\wedge, \xi_3^\wedge\) (lecture douteuse).

\(\tau' \in \tilde E_c\) lié à […] et à […]

\(27 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2\) le 7 et le 10 sont repassés.

\(2^7 \cdot 3^3 \cdot 5\) = Nb de hexagones épinglés

\(2^6 \cdot 3 \cdot 5\) = Nb de hexagones = Nb de bitriades

Elles sont conjuguées

La donnée d'un \(A_4\) (\(\Leftrightarrow\) d'un \(A_5\)) est équivalente à celle d'un bitriangle épinglé dans \(S\)

\((a,b,c)\) \((x,y,z)\) […]

\[ A_4 \Leftrightarrow A_5 \Leftrightarrow P_6 \Leftrightarrow \text{bitriangle épinglé} \] bitriades sont conjuguées Nb de bitriades épinglées

[…] Nb de bitriades Nb de card bitriad \(= \left(\frac{12}{72}\right) \frac{1}{6}\) Nb des bitriangles

[…] \(27 \cdot 16 \cdot 10 = 6 \cdot 720\) ✓ \(27 \cdot 16 \cdot 8 = 3 \cdot 720\) = Nb des triades épinglées

NB \(45 \times 16 = 720\) = Nb de bitriangles munis d'un triangle = Nb de triades = Nb de triades

Nb de bitriangles \(= 120\)

Pavés et triades

68\(\Delta = (S,A,T)\) graphe cubique

\(X := X_0 \subset S\) pavé (anciennement : bitriangle),

1) \(\forall x \in S \setminus X\), \(\mathrm{Omb}_X(x) = \{ s \in X \mid s \text{ lié à } x \}\) est une triade de \(X\). L'application \[ \varphi_X : x \mapsto \mathrm{Om}_X(x) : S \setminus X \to \mathrm{Tria}(X) \] est une application surjective, dont les fibres sont des triades.

2) Soit \(t = \{\alpha,\beta,\gamma\}\) une triade de \(X\), \(\varphi_X^{-1}(\{t\})\) l'ensemble des \(x \in S \setminus X\) d'ombre \(t\). Alors \(\bar{\bar t} = \varphi_X^{-1}(\{t\})\) est une triade notée \(\varphi(t)\), c'est l'unique triade de \(S\) ⌜disjointe de \(t\) et⌝ « opposée » à \(t\) i.e. dont les él. sont […] liés à tous les éléments de \(t\) ; c'est aussi l'ens. des \(s \in S \setminus t\) […] liés aux éléments de \(t\). Donc \(t\) est l'unique triade opposée à \(\tau\). il souligne d'un trait les triades de \(X\) (\(t\), \(t'\), \(t''\)) et surligne doublement l'opposée \(\bar{\bar t}\) ; on ne garde que la double barre.

3) Les deux triades \(t', t''\) de \(X\) ⌜(liées […] […] par \(t\))⌝ qui sont parallèles à \(t\) (sont les deux uniques triades de \(S\) « liées » à \(t\) disjointes (i.e. dont les él. sont […] liés à tous les élém. de \(t\))) — \(t' \cup t''\) est l'ens. des \(s \in S \setminus \tau\) qui sont […] liés aux él. de \(\tau\).

4) Les […] de \(\varphi(t) \cup \varphi(t') \cup \varphi(t'')\) […] ⌜triades de \(X_2\)⌝, les 6 triades \(\tau, \tau', \tau''\) et \(\bar\tau, \bar\tau', \bar\tau''\) d'un pavé, […] les triades liées forment un hexagone de triades liées

un hexagone aux sommets \(\bar\tau\) (en haut), \(\tau'\), \(\bar\tau''\), \(\tau\) (en bas), \(\bar\tau'\), \(\tau''\), les côtés et les grandes diagonales en traits interrompus.

Ceci indique […] parallèles les paires de triades « bi-liées » ⌜« parallèles »⌝

695) Soient \(\rho, \rho', \rho''\) les trois autres triades de \(X\), qui sont mutuellement parallèles, alors \(\bar\rho, \bar\rho', \bar\rho''\) sont formées respectivement des éléments de l'autre […] \(X\) […] \(\rho, \rho', \rho''\) et leur réunion, […], pavé \(X_2\), dont elles forment une famille de triades parallèles. Alors \(X_1, X_2\) sont les seuls pavés ⌜ils forment une partition de \(S \setminus X\), […] (cf. card 2)⌝ de \(S\) contenus dans \(S \setminus X\), ⌜l'ensemble⌝ […] ces pavés est en corr. biun. avec \(\varepsilon\), l'ens. des deux familles de triades de \(X\).

6) L'famille ⌜ens.⌝ \(I'_1\) des 3 triades de \(X_1\) distinctes des \(\bar\tau, \bar\tau', \bar\tau''\), et l'ens. \(I'_2\) des 3 triades de \(X_2\) distinctes des des \(\bar\rho, \bar\rho', \bar\rho''\), est en corr. 1-1, par la ⌜les 6 triades forment un hexagone de triades liées, comme tout […]⌝, relation d'opposition. ⌜Soit \(I_0\) l'ens. des 3 parties (= diagonales de cet hexagone)⌝. Pour tt ⌜ens. des trois opposées⌝ triades d'une des familles ⌜i.e. tt fibre de \(S \setminus X\) \(\to \mathrm{Tria}(X)\)⌝ \(\{\bar\tau, \bar\tau', \bar\tau''\}\) ou \(\{\bar\rho, \bar\rho', \bar\rho''\}\), […] bijection canonique \(\sigma \simeq I_0\), […] ⌜[…]⌝ d'où les applications can. \(X_1 \to I_0\) et \(X_2 \to I_0\) (qui donnent lieu : \[ X_1 \xrightarrow{\ \sim\ } I_1 \times I_0, \qquad X_2 = I_2 \times I_0 \] L'ens. \(I_0\) est aussi l'ens. des dix triades ⌜Pour⌝ une triade \(\sigma \subset I'_1 \cup I'_2\), il f. contenues dans […] que toutes les triades de l'hexagone […] des triades liées le contiennent, […] seulement le la phrase se poursuit en tête de la page 70.

70[…] hexagone de triades bi-liées parallèles […] les autres ; sont formés de triades contenues dans \(S \setminus X\).

7) Considérons l'application canonique surj. \[ S \setminus X = X_1 \amalg X_2 \xrightarrow{\ \pi\ } I_0 \] dont les fibres sont les réunions \(\tau_1 \cup \tau_2 = \tau_1 \cup \bar\tau_1\), où \(\tau_1\) est une triade de \(X_1\) de famille \(I'_1\), et \(\tau_2\) ⌜une⌝ […] triade associée de \(X_2\) ⌜de famille \(I'_2\)⌝ (donc \(\tau_2 = \bar\tau_1\)). Alors

a) Pour tout \(i \in I_0\), la réunion \(X \cup \pi^{-1}(\{i\})\) ⌜est un […] contenant \(X\)⌝ […] un \(\mathcal{T}_1\) plongé dans \(S\), et l'application \(i \mapsto X \cup \pi^{-1}(\{i\})\) est une bijection de \(I_0\) sur l'ensemble des \(\mathcal{T}_1\) ⌜\(\mathfrak{X}\)⌝. Donc les \(\pi^{-1}(i)\) sont les \(\mathfrak{X} \setminus X\), où \(\mathfrak{X}\) est un \(\mathcal{T}_1\) de \(S\) contenant \(X\).

8) Ces ens. sont aussi les orbites dans \(S \setminus X\) sous le sous-groupe de \(\mathrm{Aut}(X)\) engendré par les symétries […] ⌜[…]⌝ triangles de \(X\). [Bien faire les groupes des automorphismes « […] » de \(X\) opérant sur \(S\) …]

Le diagramme des revêtements

72

• 720 : \(\mathrm{Hex}\) = ens. des hexagones de triades ⌜liées (de \(\Delta\))⌝ (« grands hex. ») ⌜\(\simeq\) ens. des pavés⌝
• 720 : \(\mathrm{hex}\) = ens. des hexagones de sommets ⌜de \(\Delta\)⌝ […] (« petits hex. ») \(\simeq\) ens. des paires de triades opposées \(\simeq\) ens. des […] \((X,t)\), \(X\) pavé et \(t \in X\)
• 720 : \(\mathrm{tria}\) \(\simeq\) ens. des triades […]
• 40 : \(\mathrm{triHex}\) \(\simeq\) ens. des triples (non ordonnés) ⌜« distingués »⌝ de grands hexagones, i.e. […] ⌜rayons de⌝ […]
• 360 : \((\mathrm{Tria}')\) \(\simeq\) ens. des ⌜paires de⌝ triades opposées (\(\mathrm{Tria}' =\) ens. des […]) (ce sont les diagonales des grands hexagones \(\simeq\) ens. des faisceaux réduits)
• 240 : […] ⌜\(\mathrm{Trtria}\)⌝ \(\simeq\) ens. des triangles de triades parallèles (« grands triangles ») \(\simeq\) ens. des pavés orientés

« 21 » en marge, en face du troisième \(\simeq\) de \(\mathrm{hex}\).

\begin{tikzcd}
\mathrm{Tria}' \arrow[d, "3"'] & \mathrm{tria} \simeq \mathrm{hex} \arrow[l, "2"'] \arrow[d, "3"] \\
\mathrm{Hex} \arrow[d, "3"'] & \mathrm{Trtria} \arrow[l, "2"] \\
\mathrm{triHex} &
\end{tikzcd}

dans le carré, entre les flèches verticales, la mention « (cart) » ; au-dessus de la flèche supérieure, un petit mot « bib ». Le nom \(\mathrm{Trtria}\) est écrit par-dessus un mot biffé.

NB Les rev. d'ordre 2 sont les passages aux triades opposées resp. aux triangles de triades par. opposés.

NB Ce diagramme se déduit (à isom. can. près) du diagramme \[ \mathrm{Tria}' \to \mathrm{Hex} \to \mathrm{triHex} \] car le revêtement \(\mathrm{Trtria}\) d'ordre 2 de \(\mathrm{Hex}\) se déduit (à iso can.) du rev. d'ordre 3 \(\mathrm{Hex}\) du revêtement principal de \(\mathrm{triHex}\), comme le revêtement associé. D'autre part, ce diagramme \[ \mathrm{Tria}' \xrightarrow{\ 3\ } \mathrm{Hex} \xrightarrow{\ 3\ } \mathrm{triHex} \] revient à décrire le groupe […] \(I \in \mathrm{triHex}\), \(\Delta\) via la fibre \((\mathrm{Tria}')_\tau\), considérée comme un \((3,3,3)\)

73L'iso can. \(\mathrm{hex} \simeq \mathrm{tria}\) peut s'expliciter ainsi : Soit \(h\) =

un hexagone aux sommets successifs \(a\), \(b'\), \(c\), \(a'\), \(b\), \(c'\).

un hexagone, alors formé de deux triades parallèles \(t = \{a,b,c\}\), \(t' = \{a',b',c'\}\). Alors \(\exists !\) pavé \(P \supset h\) (c'est aussi l'unique pavé contenant \(\{a,b,c\}\), ou \(\{a',b',c'\}\)), et \[ t'' = P - h = \{a'', b'', c''\} \] est une triade par. aux deux précédentes (c'est l'unique telle). Ses él. sont en corr. 1-1 avec les diagonales de \(h\), à la diagonale \(\{a,a'\}\) correspondant l'él. \(a''\) ⌜unique⌝ tel que lié ⌜non lié⌝ à \(a, a'\), et lié à \(b, b', c, c'\). C'est ⌜([…])⌝ aussi l'unique él. de \(S\) ayant ces propriétés (c'est le troisième sommet des triangles de côté \(\{b',c\}\) — ou côté \(\{b,c'\}\), — des triangles ⌜dont⌝ deux sommets se trouvent égaux (facile : voir directement …)) et […] […] […] ⌜[…] liés à \(a, a'\)⌝ directement (voir directement également). Inversement, si \(t'' = \{a'',b'',c''\}\) est une triade, elle est contenue dans un unique pavé \(P\), et \(P - t''\) est un hexagone.

Question : Soit \(h\) un ⌜(petit)⌝ hexagone, correspondant à une triade \(t\) (qui le détermine). Notons que \(t\) détermine également un (grand) hexagone

[…] cette […], la troisième […] […] aux trois diagonales […] […] diagonales […] Autre possibilité : pour deux côtés du triangle […] […] ainsi 3 pts (correspondant aux […] de l'hexagone) formant […] ces deux notes sont écrites le long de la marge gauche, la feuille tournée.

74de triades \(H\). Notons que le cas des hexagones combinatoires équivaut à : \((\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2\), à un hexagone correspond \(t\) l'ens. \(\tau\) de ses trois diagonales, et l'ens. \(\varepsilon\) des deux triangles inscrits (triangles d'éléments bi-liés) — et à un couple \(\tau, \varepsilon\) correspond l'hexagone \(h\) dont l'ens. des sommets est \(\tau \times \varepsilon\), et les sommets \((a,\alpha)\) et \((b,\beta)\) sont liés ssi \(a \neq b\), \(\alpha \neq \beta\). Ceci posé, l'ens. \(\mathrm{Or}(h)\) d'un hexagone \(h\) s'identifie à l'ens. des orientations du \(\tau\) associé (si cette orientation est définie par \(u \in\) […], celle de \(h = \tau \times \varepsilon\) est donnée par \(u \times u_\varepsilon\), où \(u_\varepsilon\) est l'automorphisme non identique de \(\varepsilon\)). ⌜(dans le cas d'une triade \(t\) donnée)⌝

On explicitera (les relations entre les deux hexagones \(h\) et \(H\) qu'elle définit) en termes d'un […] du type \((3,3,3)\) \[ I = \coprod_{\alpha \in \Lambda} I_\alpha \xrightarrow{\ p\ } \Lambda . \] Une triade correspond à la donnée d'un couple \(i, \beta\), où \(i \in I\), \(\beta \in \Lambda\), \(\beta \neq p(i) = \alpha\), cf. figure ; donc si \(\gamma \in I\) est \(\neq \alpha, \beta\), alors l'ens. des trois éléments associés à \(h\), qui n'est autre que \(t\) lui-même, s'identifie à \(I_\gamma\). Les deux triades \(t', t''\) parallèles à \(t\) […] \(\neq t\) sont évidemment celles données par \((j,\beta)\), \(j \in I_\alpha \setminus \{i\}\), donc \(\varepsilon \simeq I_\alpha - \{i\}\), donc \[ h \leftrightarrow (I_\gamma,\ I_\alpha \setminus \{i\}) \]

trois fibres verticales de trois points chacune, marquées \(\alpha\), \(\gamma\) et \(\beta\) (cette dernière au-dessus) ; un point de la fibre \(\alpha\) est relié par des segments aux trois points de la fibre \(\gamma\).

75D'autre part \(H\) est formé de \(t, t', t''\) et des triades opposées, donc \[ H \leftrightarrow (I_\alpha, \{0,1\}) \] ⌜« \(\simeq I_\alpha \setminus \{i\}\) »⌝ écrit sous \(I_\alpha\), \[ \omega(H) \simeq \omega(I_\alpha) \simeq I_\alpha \setminus \{i\}, \qquad \omega(h) \simeq \omega(I_\gamma) \] Il n'y a pas de relation universelle entre ces deux ens. : 2 él.…

Diagramme ⌜Présentation⌝ symétrique des relations entre ens. objets de nat. 2, 3 de l'hexagone.

Un hexagone détermine

• a) un ens. \(\tau\) à trois éléments, qui est canoniquement l'ens. des diagonales (paires de sommets opposés) ou codiagonales (paires de côtés opposés)
• b) l'ens. \(\varepsilon\) (de card. 2) […] (l'ens. des triangles inscrits = triples de sommets bi-liés)
• b') l'ens. \(\varepsilon'\) (de card. 2) l'ens. des triangles coinscrits = triples de côtés bi-liés.
• c) Un iso \(\varepsilon \wedge \varepsilon' \overset{\varphi}{\simeq} \omega(\tau)\) (\(\simeq\) ens. des […] […] pour circ. de \(\tau\)) […] \(\varepsilon \wedge \varepsilon'\) (i.e. iso \(\varepsilon' \simeq \omega(\tau) \wedge \varepsilon\), ou iso \(\varepsilon \simeq \varepsilon' \wedge \omega(\tau)\), ou iso \(\varepsilon \wedge \varepsilon' \wedge \omega(\tau) = 1_{\mathcal{T}_2}\), i.e. un él. de \(\varepsilon \wedge \varepsilon' \wedge \omega(\tau)\))

On a alors \[ \text{Sommets} = \tau \times \varepsilon, \qquad \text{côtés} = \tau \times \varepsilon' \] et rel. d'incidence \((s,\alpha)\) incident à \((t,\beta)\) ssi […] \(t = \varphi(\alpha \wedge \beta)\). l'indice de \(1\) est la même majuscule cursive que celle transcrite \(\mathcal{T}\) ; il s'agit peut-être de \(\mathbb{Z}/2\). Dans la règle d'incidence, le premier terme du couple est surchargé.

76Le passage d'un hexagone à l'hexagone dual se traduit par le passage de \((\tau, \varepsilon, \varepsilon', \varphi)\) à \[ (\tau, \varepsilon', \varepsilon, -\varphi \circ \sigma) \] où \(\sigma\) est la symétrie \(\varepsilon' \wedge \varepsilon \to \varepsilon \wedge \varepsilon'\). \[ \mathrm{Aut}(h) \subset \mathrm{Aut}(\tau) \times (\pm 1)^2 \] ⌜\((\pm1)^2 = \mathrm{Aut}\,\varepsilon \times \mathrm{Aut}\,\varepsilon'\)⌝ formé des triples \(u, \alpha, \beta\) tels que \[ \alpha\beta = \mathrm{sg}(u) \quad\text{ou}\quad \alpha\beta\,\mathrm{sg}(u) = 1 \] i.e. c'est le sous-groupe de \(\mathrm{Aut}\,\tau \times (\pm 1)^2\) formé image inverse de \[ (\pm 1)^{3\prime} = \{ (\alpha,\beta,\gamma) \in (\pm 1)^3 \mid \alpha\beta\gamma = 1 \}. \] l'argument de \(\mathrm{sg}\) est écrit comme un \(\tau\) ; on lit \(u\) d'après les triples \(u, \alpha, \beta\). Les lettres \(\alpha\) et \(\beta\) du premier membre sont surchargées.

un cube de revêtements, flèches marquées de leur degré (2 ou 3). Sommets lisibles : « \(\tau\) = diagonales » relié par 2 à « sommets » ; « côtés » ; « rep. sym. » ; « sommets orientés \(\simeq\) côtés \(\simeq\) repères » ; \(\varepsilon\) ; « triangles inscrits » ; « \(\varepsilon' = \varepsilon \wedge \omega\), triangles coinscrits » ; « \(\varepsilon \times \omega\), triangles inscrits orientés » ; « \(\omega = \omega(\tau)\), orientations » ; le point \(e\). Les flèches convergent vers \(e\) ; plusieurs flèches et étiquettes du coin supérieur gauche sont surchargées et illisibles.

NB Tous les carrés sont cartésiens, y compris les petits carrés horizontaux de forme triangulaire \(\nwarrow \leftarrow \uparrow\).

77feuille tenue en largeur et très chargée : à gauche, un dessin au crayon d'un hexagone avec ses diagonales, un schéma reliant \(t_1, t_2, t_0\) à \(\alpha, \beta, \gamma\) et le tableau de couples \((t_1,\alpha)(t_1,\beta)(t_1,\gamma)\), \((t_2,\alpha)(t_2,\beta)(t_2,\gamma)\), \((t_0,\alpha)(t_0,\beta)(t_0,\gamma)\), surmonté de \(p_1 \dots p_6\) ; on transcrit la liste encadrée à droite, puis on décrit le grand diagramme.

\(H\) un hexagone

• \(H_d\) ens. des diagonales \(\simeq\) ens. des codiagonales — 3
• \(H_t\) ens. des triangles inscrits — 2
• \(H_\omega\) ens. des orientations \(\simeq \omega(H_d)\) — 2
• ⌜\(H_{t^*}\) ens. des triangles coinscrits⌝ — 2
• \(H_s\) ens. des sommets \(= H_d \times H_t\) — 6
• \(H_{s^*}\) ens. des côtés \(= H_d \times H_{t^*}\) — 6
• \(H_r\) ens. des repères \(\subset\) \(H_s \times H_d\) (« rel. d'inc. ») — 12
• \(H_{r'}\) ens. des […] \(=\) \(H_d \times H_d^* \times H_t \times H_{t^*}\) — 6
• \(H_{tro}\) = triangles inscrits orientés

en face de \(H_\omega\), une formule entièrement surchargée finissant par \(\omega(H_d)\).

grand diagramme de revêtements, flèches marquées 2 ou 3, entre : « hex + diag \(\simeq\) tria + él. marqué \(\simeq\) couples de triades séquentes (explicites) » ; « \(\mathrm{tria}' = \mathrm{Hex} + \mathrm{diag}\), \(\mathrm{Hex} + \mathrm{codiag} = \mathrm{bib.\,plié}\) » ; « \(\mathrm{tria} \simeq \mathrm{hex} = \mathrm{Hex} + \text{sommet}\) » (flèche « opp ») ; « hex or (hex + orientation) \(\simeq\) tria or (triade + ordre circulaire) \(\simeq \omega((\mathrm{hex+diag})/\mathrm{hex})\) » ; « \(\mathrm{Hex}\) » ; « \(\mathrm{trtria} \simeq \omega(\mathrm{Hex}/\mathrm{triHex}) \simeq\) Hex + triangle inscrit \(\simeq\) pavé orienté » ; « hex + sommet » ; « hex + triangle inscrit orienté \(\simeq\) couple de triades orientées parallèles » ; « \(\mathrm{Hex} + \mathrm{rep} \simeq\) couple de triades liées \(\simeq\) couple de triades par. \(\simeq\) hex + triade marquée \(\simeq\) hex + triangle inscrit » avec les mentions « torseur sous Hex de groupe \(\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2\) », « torseur sur trtria de groupe \(\mathfrak{S}_3\) », « torseur sur tria de groupe \(\mathfrak{S}_2\) » ; « \(\mathrm{tria}' = \mathrm{Hex} + \mathrm{rep\ mod\ opp}\) (torseur sur Hex de groupe \(\mathfrak{S}_3\)) » ; « \(\mathrm{triHex}\) », « \(\mathrm{triHex}\) » (doublé) ; « \(\mathrm{Hexor} = \omega(\mathrm{tri}'/\mathrm{Hex}) = \mathrm{Hex} + \mathrm{or}\) » ; « dror tria \(\simeq\) Hex + dr. or. inscr. ». En bas, un cube des ensembles \(H_s\), \(H_r\), \(H_{p'}\), \(H_{s^*}\), \(H_d\), \(H_{tr}\), \(H_{trr}\), \(H_\omega\), \(H_{tr^*}\), \(e\), marqué \(\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2\), avec de petits hexagones dessinés à côté.

\(\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2\) :

• 7 ⌜3⌝ s.-groupes d'indice 2 (3 classes)
• 3 s.-groupes d'indice 3 (conj.)
• 3 sous-groupes d'indice 6 ⌜non⌝ (conjugués)

78

Étude combinatoire des polygones

Étude combinatoire des polygones de \(3 \leq n \leq 6\) côtés

1) \(n=3\) \(\mathrm{Pol}_3 \simeq (\mathrm{Ens})_3\), le foncteur dualité est isom. can. à l'identité (si \(P \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Pol}_3\), alors \(P^\circ \simeq P\) iso can.) car les côtés sont en corr. 1-1 avec les sommets. (Ceci se généralise aux polygones à un nb impair de côtés. Groupe : \(\mathfrak{S}_3\))

2) \(n = 4\) \(\mathrm{Pol}_4 \simeq (\mathrm{Ens})_{2,2}\) (se généralise aux cubes de dim \(d \in \mathbb{N}\), \[ \mathrm{Cube}_d \simeq (\mathrm{Ens})_{\underbrace{2,2,\dots,2}_{d}} \Big) \] […] Associer au carré : tt carré comb. \(C\) l'ens. de ses quatre côtés, avec la division en côtés opposés. Le cube combinatoire est décrit par l'ens. des 4 sommets, avec division en classes de sommets opposés. Or les sommets correspondent aux sections de \(I\) sur \(\Lambda\), l'incidence signifiant que les côtés sections ne se rencontrent pas, l'opposition ou non-incidence signifiant « parallèles »…

deux fibres \(I_\alpha\), \(I_\beta\) de deux points chacune, au-dessus de \(\Lambda\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
C_s \arrow[d, "2"'] & & C_r \arrow[ll, "2"'] \arrow[dl, "2"] \arrow[d, "2"] \\
C_d \arrow[dd, "2"'] & C_{p'} \arrow[l, "2"'] \arrow[d, "2"] \arrow[ddr, "2"] & C_{s^*} \arrow[dd, "2"] \\
 & C_\omega \arrow[dl, "2"'] & \\
e & & C_{d^*} \arrow[ll, "2"]
\end{tikzcd}

diagramme redessiné d'après un croquis serré, où il est tracé en perspective : les flèches obliques portent les mentions « opp » et « cart » (carrés cartésiens) ; la redisposition sur une grille garde les sommets et les degrés, mais l'attribution de quelques flèches autour de \(C_\omega\) et \(C_{d^*}\) est douteuse.

• \(C_r\) ens. des repères
• \(C_s\) — sommets
• \(C_{s^*}\) — côtés
• \(C_d\) — diagonales \(= C_s/\mathrm{opp}\)
• \(C_{d^*}\) — codiagonales \(= C_{s^*}/\mathrm{opp}\)
• \(C_{p'}\) — repères mod symétrie \(= C_r/\mathrm{opp}\)
• \(C_\omega\) — orientations

\(C_r\) est un torseur sous \(D_4 \simeq \mathfrak{S}_2 \cdot \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\). On trouve que si \(r \in C_r\) et si on prend les stabilisateurs des images de \(r\) dans les ens. du diagramme, on trouve exactement […] fois […] une seule classe […] sous-groupe de \(D_4\) [il y a exactement 8 classes, y compris […] et \(D_4\)

On obtient les sous-groupes comme stabilisateurs ([…] les côtés) de chaque él. de […] \(\omega(T)\) […] que \(\mathbb{Z}\) […] 4 d'indice 2 qui […] […] conjugués, engendrés par […] \((\varepsilon.\dot1, \varepsilon.\dot3)\), \((\varepsilon.\dot{?}, \varepsilon.\dot2)\)…

793) \(n = 6\), \(P_6 \simeq P_3 \times (\mathrm{Ens})_2\) (marche chaque fois qu'on a \(P_n\) avec \(n = 2m\), \(m\) impair…) d'où \[ P_6 \simeq (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 \] Si \(t \in (\mathrm{Ens})_3\) et \(\omega \in (\mathrm{Ens})_2\), […] l'hexagone associé a comme sommets les él. de \(t \times \omega\), et \((a,\alpha)\), \((b,\beta)\) […] liés ssi \(a \neq b\), \(\alpha \neq \beta\) : l'hexagone est une bitriade. Inv., pour un hexagone donné \(H\), ⌜si \(\mathrm{opp}\) est la symétrie antipodale⌝ il y a bijection canonique entre l'ens. \(H_s/\mathrm{opp}\) […] des diag. et l'ens. \(H_{d^*}\) des […] codiag. [paires de côtés opposés] en associant à chaque diagonale la paire des 2 côtés parallèles à celle-ci. \[ \boxed{H_d \simeq H_{d^*}} \quad (= t) \] Soit \(H_{tr}\) l'ens. des 2 « triangles inscrits » — c'est \(\varepsilon\) — ⌜ou l'ens. des triades constituant cet hexagone⌝ — […] et \(H_{tr^*}\) l'ens. des triangles coinscrits.

On a maintenant le diagramme

un cube de revêtements analogue à celui de la page 78 : \(H_r\) (marqué \(D_6\)) \(\xrightarrow{2} H_s\), \(H_r \to H_{p'}\) (marqué \(\mathfrak{S}_3\)), \(H_{s^*}\), \(H_d\) (flèches « opp » et 2), \(H_{trr}\), \(H_{tr}\) (marqué \(\mathbb{F}_2^2\)), \(H_\omega\), \(H_{tr^*}\), \(e\) ; flèches verticales de degré 3, les autres de degré 2. À gauche, un petit hexagone à triangles inscrits en pointillés.

NB Dans les carrés, contenant les flèches hor. de degré 2 […] 3

NB

• \(H_d\) = ens. des sommets d'un triangle inscrit ou coinscrit
• \(H_\omega\) = ens. des orientations de \(H \simeq \omega(H_d) \simeq H_{tr} \wedge H_{tr^*}\)
• \(H_{p'} = H_r/\mathrm{opp} \simeq\) ens. des repères de \(H_d\) (dans \(\mathfrak{S}_3\)-torseurs)
• \(H_{tr} \times H_{tr^*} \simeq H_{p'} \times H_\omega \simeq H_{trr}\) ens. des 4 triangles inscrits orientés

Ceci correspond à un diagramme de sous-groupes de \[ D_6 \simeq \mathfrak{S}_2 \cdot \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \simeq \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3 \] d'ordre 12. \(D_6\) ens. + ⌜trois⌝ […] sous-groupes ⌜(conjugués)⌝ d'indice 3 (stabilisateurs des ⌜trois⌝ él. de \(H_d\)), 3 sous-groupes d'indice 2 ⌜(non conjugués)⌝ (stabilisateurs des él. de \(H_{tr}\), \(H_{tr^*}\), \(H_\omega\) respectivement), un sous-groupe d'indice 4 (stabilisateur des él. de \(H_{trr}\))

80enfin trois familles ⌜classes de conjugaison⌝ (de sous-groupes ⌜d'ordre 2⌝, […] ⌜6⌝ comprenant un groupe invariant qui forme une seule classe), savoir le centre, qui est le stabilisateur des él. de \(H_{p'}\), et 2 familles ⌜classes⌝ de ⌜3⌝ s.-groupes chacune […] resp. stabilisateurs des él. de \(H_s\) et \(H_{s^*}\) : les […] ⌜et les 2n⌝ (12 él. […] tour des côtés, i.e. gén. du facteur \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \mathfrak{S}_2\) de \(\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3\), ou él. d'ordre 2 de \(\mathfrak{S}_3\)) […]

Les classes de conj. de s.-groupes de \(D_6\) correspondent ⌜1-1⌝ aux […] espaces homogènes […] du diagramme marqué ; et on constate que les automorphismes de ces espaces homogènes sont aussi marqués sur le diagramme (une flèche \(\xrightarrow{2}\) i.e. de degré 3 impliquant qu'il y a 2 non […] automorphismes […]) … la page s'arrête là ; la suite, si elle existe, est hors de ce lot.