Fonds Grothendieck, cote n° 74, pages 41–60

la moitié inférieure du feuillet, écrite tête-bêche ; la moitié supérieure ne porte pas de mathématiques.

A ens. : S, , les associés constituent un dodécaèdre combinatoire (dont un icosaèdre combinatoire)

F = ens. des faces = ens. des 12 structures polygonales sur \mathfrak{S}lecture du symbole incertaine. les polygones combinatoires associés.

feuillet de calculs et de croquis, sans texte suivi ; on transcrit ce qui se lit.

petits clous pour

en haut, un rectangle portant « 57 » et « 54 » ; un hexagone aux côtés fléchés ; un hexagone dont les sommets sont joints par des diagonales en traits pleins et en pointillés.

S = \tau \times \varepsilon, \qquad A = \tau \times (\varepsilon \setminus \omega(\tau)), \qquad \widetilde{S} = \tau \times \varepsilon \times \omega(\tau) \tau \times (\varepsilon \setminus \omega(\tau)) \setminus \omega(\tau') \qquad \tau\times\varepsilon \cdot \tau\times\varepsilon' \qquad \tau \times \varepsilon \times \varepsilon'

un schéma de flèches : \tau \leftarrow \tau\times\varepsilon ; « Tritria » \xrightarrow{2} « Hex » \xleftarrow{3} « (tri)' ».

dans la moitié inférieure, un grand diagramme de flèches entre les ensembles « (tria') », « Hex », « Tritria », « (tria) \times hex », « (tria \times 2) \times hex + », « hex + diag », « hex + sommets », « Hexorien \simeq (tria'/Hex) », « (trilles) = \tau\times\varepsilon\times\omega(\tau) », S, R \rightrightarrows \tau\times\varepsilon,\ \tau\times\varepsilon', les flèches portant les degrés 2 ou 3 ; en bas, un hexagone avec ses diagonales.

feuillet de croquis ; on relève ce qui se lit.

à gauche, deux hexagones de sommets x_1,\dots,x_6, avec les paires \{1,2\}, \{2,5\}, \{1,6\}, \{1,5\}, \{3,4\}, \{2,4\}, \{2,6\}, \{1,5\}, \{1,6\}, \{2,4\} écrites à côté.

15 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 = 720 = 6! \{1\,3\}\,\{2\,4\}\,\{3\,5\}\,\{4\,1\}\,\{5\,2\} \qquad \{1\,5\}\,\{3\,2\}\,\{5\,4\}\,\{2\,1\}\,\{4\,3\}

à droite, un pentagone x_1x_2x_3x_4x_5, la suite \{1\,2\}\,\{3\,4\}\,\{1\,5\}\,\{2\,3\}\,\{4\,5\}, les pentagones étiquetés 1,2,3,4,5 dans deux ordres différents, et « \{i, i+2\}, \{j, j+2\} ».

10\,P = 720, \qquad P = 72, \qquad P_0 = 12 = \text{\uncertain{nb des struct.\ \ill{}}}, \qquad 4! « l'un à 5 él. »

graphe discret : sans arêtes. Parties discrètes d'un graphe (discrètes pour la structure induite) dont l'ens. des sommets : doublets, triades, quadruplets, pentuplets, hexaplets, ; parties discrètes de card 2,3.

~~graphe~~ graphe bidiscret : graphe \Gamma, décomposé en deux parties discrètes A, A' (\Gamma = A \amalg A') ~~tel que \forall x \in A \exists!\, x' \in A' tel que~~ la relat. R entre A, A' définie par \{x, x'\} \in R \Leftrightarrow \{x,x'\} est un doublet (i.e. x, x' non liés) est bijective sauf un doublet. Cette décomposition est unique sauf si \operatorname{card} A = 2 i.e. \operatorname{card}\Gamma = 4 (les graphes de ce dernier type sont tous isom. à A_2 \amalg A_2, i.e. somme disjointe de deux segments — et le choix d'une ~~\Delta~~ décomposition de \Gamma en A, A' équivaut à le donnée d'une bijection entre ces segments. Bi-doublets, bi-quadruplets, bipentuplets, bihexaplets… bitriades… ~~parties bi- discrètes d'ordre n (bi~~

en marge, à hauteur de « \operatorname{card} A = 2 » : deux segments croisés de sommets a, b, a', b'.

Dans un graphe cubique, les bases et bibases sont les ~~systèmes \Gamma = A, A'~~ hexaplets et bihexaplets.

Deux parties discrètes d'un graphe sont dites « W-liées »le mot est récurrent dans tout le lot : une capitale en forme de W (ou V) suivie de « -liées » ou « -iées » ; la lecture « W-liées » n'est qu'une approximation du tracé. On le garde tel quel partout. si elles sont disjointes et si leur réunion est un bidiscret par sa décomposition naturelle graphe ( ). NB La catégorie des graphes bi-discrets d'ordre n (card ) équivalente canoniquement à la catégorie (\mathrm{Ens}_2) \times (\mathrm{Ens})_n.

Deux triades \tau = \{a,b,c\}, \tau' = \{x,y,z\} sont ~~dites~~ dites liées si elles sont disjointes et leur réunion est discrète, i.e. ssi leur réunion est un hexaplet ou encore une base. ~~Elles sont dites bi-liées~~

Proposition Soit \Delta = (S, A) un graphe cubique, soit (\mathrm{Tria}) l'ens. de ses triades, considérons sur (\mathrm{Tri}) la structure de graphe définie par la relation des « triades liées » (\Delta ou au moins )insertion interlinéaire très effacée, lecture approximative. précédente. Alors (1) \mathrm{Tri} est ~~disjoint~~ un graphe somme de i.e. un cycle cocaroé unit… des hexagones ~~hexagones~~. (2) Deux triades sont W-liées au sens plus haut ~~biliées~~. ssi elles sont ~~W-liées~~ W-liées sur un même hexagone, et ssi elles sont (dans ce cas \tau, \tau') (3) Deux triades \tau, \tau' sont opposées dans un même hexagone la triade \exists! triade W-liée) (3) Deux triades sont biliées ssi elles sont W-liées : = hexagone,

card \mathrm{Tri} = 720 … NB les bitriades sont exactement les hexagones Mais sont distinctes liées ssi elles sont des parties et de bases distinctes. Elles il (dans disjointes) ~~hex. gr.~~ ~~hexagones~~ ~~des triades~~ des triades : des quatre triades ~~W-liées~~ hexagones ~~des triades~~ ; \operatorname{card} \mathrm{Hex} = 120 la marge gauche, écrite de biais, est très serrée ; les quatre notes marginales ci-dessus en donnent ce qui se lit, sans ordre assuré. La numérotation des points de la proposition (deux fois (3)) est celle du feuillet ; la phrase sur les triades « opposées » est en partie couverte de ratures.

(3)… est ni égale, ni liée, ni W-liée, i.e. ssi \tau \neq \tau' et il existe une triade \tau'' liée à \tau et \tau'. (4) Soit \tau une triade, soient \tau', \tau'' les deux triades liées à \tau. Alors

a)\tau' \amalg \tau'' = L(\tau) = \{\text{ens.\ des sommets liés à aucun} \in \tau\}

En particulier (compte tenu de (3)) L(\tau) est une bitriade, et L(\tau) = \tau' \cup \tau'' est sa décomposition canonique (ce qui explique la construction des deux triades \tau', \tau'' contiguës à une triade \tau) (5) Soit \overline{\tau} = E(\tau) l'ens. des sommets liés à tous les él. de \tau. Alors \overline{\tau} est une triade (dans le triade « opposée » à \tau). D'où (6) les deux triades biliées à \tau s'obtiennent ainsi : \begin{aligned} &\text{l'une est} && \overline{\tau'} = L(\tau'') \setminus \tau\\ &\text{l'autre} && \overline{\tau''} = L(\tau') \setminus \tau \end{aligned} ~~(7) des hexagones des triades~~ L'hexagone des triades contenant \tau est \tau\ \tau'\ \overline{\tau''}\ \overline{\tau}\ \overline{\tau'} (la suite est des côtés circulaires…) . Aussi

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \tau \arrow[rr, no head] & & \tau'' \arrow[dr, no head] & \\ \tau' \arrow[ur, no head] & & & & \overline{\tau'} \arrow[dl, no head] \\ & \overline{\tau''} \arrow[ul, no head] \arrow[rr, no head] & & \overline{\tau} & \end{tikzcd}

l'hexagone du feuillet ; deux de ses côtés sont doublés ou fléchés, ce que le dessin ci-dessus ne rend pas.

(7) Pour la relation de « biliées », ~~les triades~~ liées (\mathrm{Tri}) l'ens. des triades est un graphe somme de triangles (dits ~~triangle~~ ~~triples~~ « triangles » de triades biliées), dans l'ens. des triangles de triades biliées le groupe « W-liés » est une involution à pt fixe. Les hexagones correspondent aux orbites de cette involution, les triangles correspondant à ~~une~~ triangle et (de cardinal 6.3 = 18) liées des triangles (8) La réunion d'un hexagone a un complémentaire (de cardinal 27 - 18 = 9) qui est une bitriangle. L'application qui à tout hexagone de triades associe bitriangle précédent, est bijective. ~~Les hexagones~~

Tritria = triangles de triades biliées ; cardinal 2.120 = 240

dans la marge inférieure gauche, un hexagone de sommets \tau_1, \tau_2, \tau_3, \overline{\tau_1}, \overline{\tau_2}, \overline{\tau_3}, avec ses diagonales en pointillés ; le feuillet est barré de trois traits obliques sur sa partie basse. la fin du point (8) est barrée de longs traits obliques ; on la donne néanmoins.

(8) Soit \{\tau_i\}_{i\in I} un triangle de triades liées ~~Alors~~ (relation non-liées Notat. ) soit I = \{i,j,k\}, ~~Soit~~ Si x_i \in \tau_i, et si x_j (x_k) est l'unique él. de \tau_j (\tau_k) non lié à x_i, alors x_j et x_k sont non liés. En d'autres termes, si \Gamma \subset \prod_{i\in I}\tau_i est l'ens. des (x_i)_{i\in I} ~~tels~~ tels que x_i non lié à x_j pour i \neq j), alors les projections \Gamma \xrightarrow{p_i} \tau_i sont bijectives (donc un système transitif d'isom. entre les \tau_i, i\in I),

(9) Soit X = \tau_1 \cup \tau_2 \cup \tau_3 la réunion des trois triades d'un triangle \{\tau_1, \tau_2, \tau_3\} des triades biliées [\overline{X} = \overline{\tau_1} \cup \overline{\tau_2} \cup \overline{\tau_3} la réunion des trois triades du triangle W-lié, X, \overline{X} sont de cardinal 9 et disjoints].

(9) Soit X = \coprod_{i\in I} \tau_i \hookrightarrow S, (card X = 9) d'où X \to I, dont les fibres sont les 3 triades du triangle des triades donné, et soit X \to J l'application dont les fibres sont les (\tau_j')_{j\in J} donnant les fibres sont des 3 autres ~~triades~~ triades disjointes. Ceci posé

(\cdot) X est une bitriangle, ~~dont~~ dont les six triades (ou antitriangles) sont les \tau_i (i \in I) \tau_j' (j\in J)) formant les 2 familles ~~de triades~~ de X. Aussi ~~l'application X \to I \times J est bijective~~ I, J s'identifient resp. à l'une et l'autre famille de triades du bitriangle X, et l'application X \longrightarrow I \times J est bijective.

(10) La donnée d'un triangle de triades biliées (\tau_i)_{i\in I} équivaut à celle d'un bitriangle X, muni du choix d'une des deux familles I, J de triades mutuellement disjointes de X (coorientation)

~~NB pour que deux triades \tau_1, \tau_2 biliées, il faut et il suffit qu'elles soient disjointes et appartiennent à un bitriangle, qui est unique et déterminé, et est aussi l'unique~~ passage biffé de traits obliques.

(11) X est l'unique bitriangle contenant \tau_i — deux triades non biliées ssi elles sont disjointes et, contenues dans, un bitriangle

(12) Soit (\tau_i)_{i\in I} un triangle de triades biliées, réunion du bitriangle X = \bigcup_{i\in I} \tau_i \subset S coorientation \{\tau_i\} , soit (\tau_j')_{j\in J} ~~(\tau_i)_{i\in I} le triangle des~~ ~~triades~~ de X de l'autre famille (de sorte que X \xrightarrow{\sim} I \times J). Soit (\overline{\tau_i})_{i\in I} le triangle de triades « W-lié », \overline{X} = \bigcup_{i\in I}\overline{\tau_i}, et \overline{J} l'ens. des triades de \overline{X} de l'autre famille, donc \overline{X} \xrightarrow{\sim} I \times \overline{J}. Soit \widetilde{X} = S \setminus X \setminus \overline{X}, qui est de cardinal 9. 27 - 9 - 9 Alors

a)\widetilde{X} est un ~~bitriangle~~ bitriangle. ~~Soit~~ L'application qui à tout hexagone de triades associe \widetilde{X}, est bijective.

~~b) L'ens. des coorientations de~~ \widetilde{G} d'automorphismes de X, b) ~~Soit \widetilde{X} les deux bitriangles disjoints de X~~ Considérons le groupe formé par les des symétries \sigma_t (t \in \mathrm{Tri}(\widetilde{X})). Alors

\alpha)\widetilde{G} \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathrm{gr}}(\widetilde{X}) induit est un isom. de \widetilde{G} sur le groupe des automorphismes intérieurs de \widetilde{X} \beta)Les orbites de \widetilde{G} opérant sur S \setminus \widetilde{X} (= X \amalg \overline{X}) sont de cardinal 6 — donc il y a trois telles orbites [qui sont les réunions de la forme \tau \cup \overline{\tau} (triade de bihexaH)] [On a aussi \widetilde{G} \simeq \mathfrak{S}_{\mathbb{F}} \times \mathfrak{S}_{\mathbb{Q}}, où \mathbb{F}, \mathbb{Q} sont les deux ens. de card. 3 des triangles de \widetilde{X} de l'une et l'autre espèce, ~~les orbites sont~~ \mathfrak{S}_{\mathbb{F}} et \mathfrak{S}_{\mathbb{Q}} simplement transitifs sur chacune des trois orbites] Dans l'ens. des trois orbites s'identifie : … I … des 3 diagonales de H.

c) Si t \in \mathrm{Tri}(\widetilde{X}), \sigma_t échange \tau et \overline{\tau} \widetilde{G}^{\circ} \subset \widetilde{G} formé par les produits pairs de dans le groupe symétries associées à chacun des \tau \in H — et les orbites de \widetilde{G}^{\circ} sur S \setminus \widetilde{X} sont de cardinal 3, et ce sont les 6 triades de l'hexagone H. ~~( l'ens. des~~ ~~d) Soit~~

(11) Soient (X_\alpha)_{\alpha\in A} une famille de trois bitriangles mutuellement disjoints. Pour \alpha \in A, soit I_\alpha l'ens. de cardinal 3 associé à X_\alpha l'ens. trois orbites du \operatorname{Aut}_{I_\alpha}(X_\alpha) opérant sur S \setminus X_\alpha = \bigcup_{\beta\in A\setminus\{\alpha\}} X_\beta, donc une application X_\beta \xrightarrow{p_{\alpha\beta}} I_\alpha (\beta \neq \alpha) la numérotation reprend (11), déjà employé p. 49 ; elle est celle du feuillet.

de degré 3, dont les 3 fibres sont des trois triades (mutuellement disjointes) formant l'une des deux familles de triades de X_\beta. Alors

a)~~Les~~ ~~deux~~ Les deux familles de triades, fibres des deux applications X_\alpha \to I_\beta, X_\alpha \to I_\gamma (où A = \{\alpha,\beta,\gamma\}) sont distinctes, donc l'application correspondante X_\alpha \xrightarrow{\sim} I_\beta \times I_\gamma est bijective.

Plus intrinsèquement, \forall \alpha \in A, on a X_\alpha \xrightarrow{\sim} \prod_{\beta \in A\setminus\{\alpha\}} I_\beta d'où une bijection naturelle S \simeq \coprod_{\alpha} \prod_{\beta\in A\setminus\{\alpha\}} I_\beta \quad \text{\struck{$I_\alpha$}} dans le cas où A = \{1,2,3\}, cela fait S \simeq \underbrace{I_2 \times I_3}_{X_1} \amalg \underbrace{I_3 \times I_1}_{X_2} \amalg \underbrace{I_1 \times I_2}_{X_3} On a \operatorname{coor}(X_\alpha) \simeq{} A \setminus \{\alpha\}

c)Pour que ~~x_\alpha \in X_\alpha, y_\alpha \in~~ x_\alpha, y_\alpha \in X_\alpha , soient non liés il f. et s. que ~~\exists~~ \beta \in A \setminus\{\alpha\} tel que p_{\beta\alpha}(x_\alpha) = p_\beta(y_\alpha) (si x_\alpha \neq y_\alpha, ce \beta est unique) — pour qu'ils soient liés, il f. et s. que \forall \beta \in A \setminus \{\alpha\}, on ait p_{\beta\alpha}(x_\alpha) \neq p_{\beta\alpha}(y_\alpha) d)Pour que x_\alpha \in X_\alpha et y_\beta \in X_\beta (\alpha\neq\beta) soient liés il f. et s. que (si \gamma est l' él. \neq \alpha,\beta de A) on ait p_{\gamma\alpha}(x_\alpha) = p_{\gamma\beta}(x_\beta)

S \simeq ens. des parties A de cardinal 2 de I, telles que p|A soit injectif (contenu parallèles, ou partition de cardinal 2) X_\alpha = \text{ens.\ des } A \text{ tels que } p(A) = \Lambda \setminus \{\alpha\} A, B \in S \text{ liés ssi } A \neq B \text{ et} \begin{aligned} &\text{ou bien } p(A) = p(B), && A \cap B = \emptyset\\ &\text{ou bien } p(A) \neq p(B), && A \cap B \neq \emptyset \end{aligned}

\begin{tikzcd}[row sep=small] I \arrow[d, "p"] & I_\alpha \\ \Lambda & \alpha \end{tikzcd}

en marge gauche, trois rangées de trois points, l'une barrée d'un trait, avec une flèche verticale : le schéma I \to \Lambda.

(12) La catégorie des graphes cubiques, munis d'une décomposition en trois ~~bitriangles~~ bitriangles disjoints, est équivalente : à la cat. ~~(des ens. de type~~ (\mathrm{Ens})_{(3,3,3)}, munis d'une partition de type (3,3,3). Le groupe des automorphismes d'une telle structure est \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3) qui est d'ordre \uncertain{3 \cdot 6^4} (c'est donc presque un sous-groupe de Sylow il des cinq dans les I_\alpha et dans \Lambda et exiger qu'elles soient compatibles… de \operatorname{Aut}(\Delta) ~~\ill{}~~ !) La cat. des couples (\Delta, X) d'un graphe cubique, et d'un bitriangle X dans \Delta, est équivalente : la cat. , ~~complexe~~ de (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_{3,3} des couples formés d'un ens. de card. 3 (savoir l'ens. des orbites associé : X en \Delta) et d'un ens. à partition de type (3,3) (savoir l'un des triades de X,) avec sa partition naturelle).

NB L'ordre = 3^4 2^4 de Sym la X_\alpha se réunissent dans de ce sous-groupe de \operatorname{Aut}(\Delta), commun l'un des 3 orbites sur ce groupe : dans ce bi- sous-groupe de Sylow est dans presque normalisateur. la note marginale, écrite de biais en lignes très courtes, n'est lue que par fragments.

(13) L'ens. des 18 triades de S contenues dans un des X_\alpha est en conv. binunivoque avec ~~l'ens.~~ le sous-ens. T de I \times \Lambda formé des couples (i, \alpha) avec p(i) \neq \alpha, en associant : à un tel couple la triade \tau_{i,\alpha} \subset X_\alpha (formée des A \in S \subset \mathfrak{P}_2(I)) tels que p(A) = \Lambda \setminus \{\alpha\}, A \ni i. distincts La triade W-liée à \tau_{i\alpha} est \tau_{i\beta}, où ~~\beta~~ \beta l'autre él. de ~~\Lambda~~ \Lambda \setminus \{p(i)\}. Les deux triades liées à \tau_{i\alpha} sont \tau_{j,\beta}, \tau_{k,\beta}, où j, k sont les 2 autres él. de ~~p^{-1}(\ill{})~~ I au-dessus de p(i). Les deux triades biliées à \tau_{i\alpha} sont \tau_{j,\beta}~~,\ill{}~~, \tau_{k,\beta}. L'hexagone formé des six triades est formé de l'ens. des \tau_{i,\alpha} tels que p(i) \neq \alpha soit donné. L'ens. de ces hex. est donc en corr. 1-1 avec \Lambda [à l'hexagone H correspond le complémentaire de sa réunion dans S]

à gauche, un graphe : les sommets p, q, r (en colonne) et i, j, k (en colonne), joints par des traits pleins (p–i, q–i, r–i) et pointillés, avec une troisième colonne de points à droite reliés à i par des pointillés.

(14) L'L'ens. à 6 él. des couples formés d'un des bitriangles X_\alpha, et d'une coorientation de X_\alpha, est \simeq l'ens. des couples (\alpha, \beta) \in \Lambda^2 avec \beta \neq \alpha (i.e. : l'ens. des repères (\alpha,\beta,\gamma) de l'ens. \Lambda de cardinal 3), à (\alpha,\beta) correspond… les quatre dernières lignes sont barrées de trois traits obliques.

le couple (X_\alpha, \{\tau_i seule ligne du feuillet, inachevée.

Sa structure combinatoire est donnée par les ens. I_\gamma de cardinal 3 et \Lambda_\gamma = \Lambda \setminus \{\gamma\} = \{\alpha,\beta\} de cardinal 2, comme H \simeq I_\gamma \times \Lambda_\gamma, où \tau_{i,\alpha} et \tau_{j\beta} liés ssi i \neq j, \alpha\neq\beta.

(14) Les triangles de triades biliées correspondent aux couples (\alpha, \beta) d'él. distincts de \Lambda (i.e. aux repères de \Lambda) en associant à tel repère tel triades T_{\alpha,\beta,\gamma} ~~\{\tau_{i,\alpha}, \tau_j\}~~ \{\tau_{i\alpha}\}_{i \in I_\gamma}. Cet ens. W-lié

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \tau_{i\alpha} \arrow[r, no head] & \tau_{j\beta} \arrow[dr, no head] & \\ \tau_{k\beta} \arrow[ur, no head] & & & \tau_{k\alpha} \arrow[dl, no head] \\ & \tau_{j\alpha} \arrow[ul, no head] \arrow[r, no head] & \tau_{i\beta} & \end{tikzcd}

\overline{T_{\alpha\beta\gamma}} = T_{\beta,\alpha,\gamma} Le triangle de triades \widetilde{T_{\alpha\beta\gamma}} contenu dans le bitriangle X_\alpha que T_{\alpha\beta\gamma}, et distinct de T_{\alpha\beta}, est T_{\alpha\gamma\beta}. Donc le groupe engendré par les opérations — et \sim sur l'ens. des triangles de triades liées la ligne médiane de la page, entre le diagramme et la formule, n'est pas lue.

d'un graphe cubique \Delta est isomorphe au groupe \mathfrak{S}_3, où - correspond à \sigma_{12}, \sim à \sigma_{23} …

NB La donnée d'un couple (X, \{\tau_i\}_{i\in I}) d'un bitriangle X \subset \Delta et d'une coorientation de celui-ci, donc presque associée à un tel couple, d'un autre tel ~~couple (X', (\tau_i')_{i\in I}) formé du bitriangle X' la réunion associé à X, tel que les \tau_i soient~~ ~~les orbites~~ X' = \bigcup_{i\in I} \overline{\tau_i} réunion de \hookrightarrow triades W-liées (\overline{\tau_i})_{i\in I}, d'autre part. X muni de l'autre coorientation (\tau_i')_{i\in I'} …

~~(15)~~ (15) Les triangles de X_\alpha correspondant aux fonctions t \subset \prod_{\beta\in\Lambda\setminus\{\alpha\}} I_\beta ~~qui sont des~~ telles que t \to I_\beta (\beta \in \Lambda\setminus\{\alpha\}) soit i.e. (si \Lambda = \{\alpha,\beta,\gamma\}) aux bijections I_\beta \xrightarrow{\sim} I_\gamma les applications… telles bijections, en associant : une ~~l'ens. des~~ bijection \varphi : l'ens. des él. \{x_\beta, \varphi(x_\beta)\}_{x_\beta\in I_\beta} de X_\alpha. Ceci posé, pour un tel triangle t = t_\varphi, la symétrie correspondante de \Delta est

telle associée : l'automorphisme de (I \xrightarrow{p} \Lambda) : son action sur \Lambda est la permutation qui fixe \alpha et échange \beta, \gamma, le milieu du feuillet n'a pas été lu de près ; on en donne le début et la fin.

b)opérant trivialement sur l'ens. \pi(X_\alpha) \simeq I_\alpha des « trois orbites » associé à X_\alpha.

(16) Soit X \subset S un bitriangle dans S, et l'un des « trois orbites » de S \setminus X. \{\mathcal{X}_i\}_{i\in I_X} Si L'un des « trois orbites » de S\setminus X. Alors les sous-graphes de type \mathcal{T}_1 contenant X sont les X \cup \mathcal{X}_i. Donc la catégorie des triplets (S \supset \mathcal{X} \supset X) d'un graphe

cubique (\mathcal{T}_2) muni d'un \mathcal{T}_1 et d'un \mathcal{T}_0 contenu dans celui-ci, équivaut : la catégorie ~~des~~ (\mathrm{Ens})_{3,3} \times (\mathrm{Ens})_2 ~~[en associant l'ens. des~~ ~~associés à un~~ ~~ens. à trois éléments],~~ triades de X, et l'ens. des deux orbites dans S \setminus \mathcal{X}] ~~Complexe de~~ La catégorie des systèmes (S \supset \mathcal{X} \supset X \supset t) d'un \mathcal{T}_2 contenant un \mathcal{T}_1 contenant un \mathcal{T}_0 contenant un \mathcal{T}_{-1}, équivaut : la catégorie (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_2, [en lui associant l'ens. des points de l'une des triades de ~~\mathcal{X}~~ X par la relation d'équiv. définie par t, l'ens. des deux coorientations de X, et l'ens. des deux orbites de S \setminus \mathcal{X}] …

(17) Soit \mathcal{X} un \mathcal{T}_1 dans le \mathcal{T}_2 S. Alors S \setminus \mathcal{X} est une bibase de S, et on trouve ainsi une bijection entre l'ens. des \mathcal{T}_1 de S, et l'ens. des bibases. La catégorie des \mathcal{T}_2 munis d'une bibase, celle des \mathcal{T}_2 munis d'un \mathcal{X}_1, et la catégorie des sont équivalentes.

(18) À tout B \in (\mathrm{Ens})_6, ensemble de cardinal 6, associons le graphe \mathcal{T}_1(B) suivant \begin{cases} \text{pour sommets } = \mathfrak{P}_2(B)\\ \text{\struck{$A$, $B$}} \ u, v \in \mathfrak{P}_2(B) \text{ liés ssi } u \cap v = \emptyset \end{cases} Alors \mathcal{T}_1(B) est un graphe tritétraèdre donc un \mathcal{T}_1, et le foncteur B \mapsto \mathcal{T}_1(B) est une équivalence de la catégorie (\mathrm{Ens})_6 avec la catégorie des \mathcal{T}_1. Le foncteur quasi-inverse associe : \mathcal{X} l'ens. B des parties discrètes de card 5 de \mathcal{X}. Alors x \in \mathcal{X} est contenu dans exactement deux éléments de B, et l'application \mathcal{X} \to \mathfrak{P}_2(B) ainsi obtenue est un isom. du graphe \mathcal{X} avec le graphe \mathcal{T}_1(B). La donnée d'un bitriangle dans \mathcal{X} équivaut : la donnée d'une partition de type 3,3 de B — à celle-ci correspond l'ens. des (\subset \mathfrak{P}_2(B)) qui sont des sections de B sur l'ens. quotient à deux éléments. Tout bitriangle a un \mathcal{T}_2 multiple canonique (le foncteur des (\mathcal{X}, X) d'un \mathcal{T}_1 et d'un \mathcal{T}_0 contenu, vers les X, est une équivalence de catégories).

19) Considérons graphe cubique \Delta avec une partition tritétraèdre S = \coprod_{\alpha\in\Lambda} X_\alpha, et considérons le groupe G\ (\simeq \mathfrak{S}_3 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)) des automorphismes de Ceci dit, et une équivalence des il y a l'ens. des (bitri) des bitriangles de \Delta. (\mathrm{Tria}) l'ens. des triades de \Delta. Alors ~~il y a~~ a) ~~Il y a~~ ex. tout quatre ~~trois~~ orbites de G sur \mathrm{Tria} :

1°)L'orbite formée des triades contenues dans un des X_\alpha 2°)L'orbite ~~formée~~ des triades de la forme trois colonnes de trois points ; deux traits partent d'un point de la colonne médiane vers les deux autres colonnes. (type I) 3°)L'orbite ~~formée~~ des triades de la forme deux traits issus d'un même point vers deux points de la colonne voisine. (type II) 4°)L'orbite des triades de la forme trois traits horizontaux sur trois rangées de points. (type III)

b) Les triades contiguës : une triade de type II est de type I, celles contiguës à une triade de type I sont de type I l'une, de type II l'autre (d'une triade de type I ou II) de sorte que l'hexagone ~~triades~~ est de type

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathrm{I} \arrow[r, no head] & \mathrm{II} \arrow[dr, no head] & \\ \mathrm{II} \arrow[ur, no head] & & & \mathrm{II} \arrow[dl, no head] \\ & \mathrm{II} \arrow[ul, no head] \arrow[r, no head] & \mathrm{I} & \end{tikzcd}

(2 sommets opposés de type I, les autres de type II), l'hexagone formé de triades d'une triade de type (III), est ~~de type III~~… la phrase se poursuit au-delà du lot.