Cote n° 74, pages 41–60

Cote n° 74 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Complexes cubiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

41la moitié inférieure du feuillet, écrite tête-bêche ; la moitié supérieure ne porte pas de mathématiques.

$A$ ens. : $S$, […], […] les associés constituent un dodécaèdre combinatoire (dont un icosaèdre combinatoire)

$F$ = ens. des faces = ens. des 12 structures polygonales sur $\mathfrak{S}$lecture du symbole incertaine. les polygones combinatoires associés.

43feuillet de calculs et de croquis, sans texte suivi ; on transcrit ce qui se lit.

petits clous pour […] […]

en haut, un rectangle portant « 57 » et « 54 » ; un hexagone aux côtés fléchés ; un hexagone dont les sommets sont joints par des diagonales en traits pleins et en pointillés.

\[ S = \tau \times \varepsilon, \qquad A = \tau \times (\varepsilon \setminus \omega(\tau)), \qquad \widetilde{S} = \tau \times \varepsilon \times \omega(\tau) \] \[ \tau \times (\varepsilon \setminus \omega(\tau)) \setminus \omega(\tau') \qquad \tau\times\varepsilon \cdot \tau\times\varepsilon' \qquad \tau \times \varepsilon \times \varepsilon' \]

un schéma de flèches : $\tau \leftarrow \tau\times\varepsilon$ ; « Tritria » $\xrightarrow{2}$ « Hex » $\xleftarrow{3}$ « (tri)$'$ ».

dans la moitié inférieure, un grand diagramme de flèches entre les ensembles « (tria$'$) », « Hex », « Tritria », « (tria) $\times$ hex », « (tria $\times$ 2) $\times$ hex $+$ […] », « hex $+$ diag », « hex $+$ sommets », « Hexorien $\simeq$ (tria$'$/Hex) », « (trilles) $= \tau\times\varepsilon\times\omega(\tau)$ », $S$, $R \rightrightarrows \tau\times\varepsilon,\ \tau\times\varepsilon'$, les flèches portant les degrés $2$ ou $3$ ; en bas, un hexagone avec ses diagonales.

44feuillet de croquis ; on relève ce qui se lit.

à gauche, deux hexagones de sommets $x_1,\dots,x_6$, avec les paires $\{1,2\}$, $\{2,5\}$, $\{1,6\}$, $\{1,5\}$, $\{3,4\}$, $\{2,4\}$, $\{2,6\}$, $\{1,5\}$, $\{1,6\}$, $\{2,4\}$ écrites à côté.

\[ 15 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 = 720 = 6! \] \[ \{1\,3\}\,\{2\,4\}\,\{3\,5\}\,\{4\,1\}\,\{5\,2\} \qquad \{1\,5\}\,\{3\,2\}\,\{5\,4\}\,\{2\,1\}\,\{4\,3\} \]

à droite, un pentagone $x_1x_2x_3x_4x_5$, la suite $\{1\,2\}\,\{3\,4\}\,\{1\,5\}\,\{2\,3\}\,\{4\,5\}$, les pentagones étiquetés $1,2,3,4,5$ dans deux ordres différents, et « $\{i, i+2\}$, $\{j, j+2\}$ ».

\[ 10\,P = 720, \qquad P = 72, \qquad P_0 = 12 = \text{\uncertain{nb des struct.\ \ill{}}}, \qquad 4! \] « l'un à 5 él. »

46graphe discret : sans arêtes. Parties discrètes d'un graphe (discrètes pour la structure induite) ⌜dont l'ens. des sommets⌝ : doublets, triades⌜, quadruplets, pentuplets, hexaplets⌝, ; parties discrètes de card $2,3$.

graphe graphe […] bidiscret : graphe $\Gamma$, décomposé en deux parties discrètes $A$, $A'$ ($\Gamma = A \amalg A'$) tel que $\forall x \in A$ $\exists!\, x' \in A'$ tel que ⌜la relat. $R$ entre $A$, $A'$ définie par $\{x, x'\} \in R \Leftrightarrow \{x,x'\}$ est un doublet (i.e. $x$, $x'$ non liés) est bijective⌝ sauf un doublet. Cette décomposition est unique sauf si $\operatorname{card} A = 2$ ⌜i.e. $\operatorname{card}\Gamma = 4$⌝ (les graphes de ce dernier type sont tous isom. à $A_2 \amalg A_2$, i.e. somme disjointe de deux segments — et le choix d'une $\Delta$ décomposition ⌜de $\Gamma$⌝ en $A$, $A'$ équivaut à le donnée d'une bijection entre ces segments. Bi-doublets, bi-quadruplets, bipentuplets, bihexaplets… bitriades… parties bi-[…] discrètes d'ordre $n$ (bi

en marge, à hauteur de « $\operatorname{card} A = 2$ » : deux segments croisés de sommets $a, b, a', b'$.

Dans un graphe cubique, les bases et bibases sont les systèmes $\Gamma = A, A'$ hexaplets et bihexaplets.

Deux parties discrètes d'un graphe sont dites « W-liées »le mot est récurrent dans tout le lot : une capitale en forme de W (ou V) suivie de « -liées » ou « -iées » ; la lecture « W-liées » n'est qu'une approximation du tracé. On le garde tel quel partout. […] si elles sont disjointes et si leur réunion est un […] ⌜bidiscret par sa décomposition naturelle⌝ graphe ([…] […]). NB La catégorie des graphes bi-discrets d'ordre $n$ (card […]) équivalente canoniquement à la catégorie $(\mathrm{Ens}_2) \times (\mathrm{Ens})_n$.

Deux triades $\tau = \{a,b,c\}$, $\tau' = \{x,y,z\}$ sont dites ⌜dites⌝ liées si […] elles sont disjointes et leur réunion est discrète, i.e. ssi leur réunion est un hexaplet […] ou encore une base. Elles sont dites bi-liées

Proposition Soit $\Delta = (S, A)$ un graphe cubique, soit $(\mathrm{Tria})$ l'ens. de ses triades, considérons sur $(\mathrm{Tri})$ la structure de graphe définie par la relation des « triades liées » […] ⌜($\Delta$ ou au moins […])⌝insertion interlinéaire très effacée, lecture approximative. précédente. Alors (1) $\mathrm{Tri}$ est […] disjoint ⌜un graphe somme⌝ de ⌜i.e. un cycle cocaroé unit…⌝ ⌜des hexagones⌝ hexagones. (2) Deux triades sont ⌜W-liées au sens plus haut⌝ biliées. ssi elles sont W-liées ⌜W-liées⌝ […] sur un même hexagone, et ssi elles sont (dans ce cas $\tau, \tau'$) (3) Deux triades ⌜$\tau, \tau'$⌝ sont opposées dans un même hexagone […] la triade $\exists!$ triade W-liée) (3) Deux triades sont biliées ssi elles sont W-liées : […] $=$ hexagone,

card $\mathrm{Tri} = 720$ … NB les bitriades sont exactement les hexagones Mais sont distinctes liées ssi elles sont des parties […] et […] de bases […] […] […] […] […] […] […] distinctes. Elles […] […] […] […] il […] […] (dans […] disjointes) […] hex. gr. hexagones des triades des triades : des quatre triades W-liées ⌜hexagones⌝ des triades […] ; $\operatorname{card} \mathrm{Hex} = 120$ la marge gauche, écrite de biais, est très serrée ; les quatre notes marginales ci-dessus en donnent ce qui se lit, sans ordre assuré. La numérotation des points de la proposition (deux fois (3)) est celle du feuillet ; la phrase sur les triades « opposées » est en partie couverte de ratures.

47(3)… est ni égale, ni liée, ni W-liée, i.e. ssi ⌜$\tau \neq \tau'$ et⌝ il existe une triade $\tau''$ liée à $\tau$ et $\tau'$. (4) Soit $\tau$ une triade, soient $\tau'$, $\tau''$ les deux triades liées à $\tau$. Alors

a)$\tau' \amalg \tau'' = L(\tau) = \{\text{ens.\ des sommets liés à aucun} \in \tau\}$

[…] En particulier (compte tenu de (3)) $L(\tau)$ est une bitriade, et $L(\tau) = \tau' \cup \tau''$ est sa décomposition canonique (ce qui explique la construction des deux triades $\tau', \tau''$ contiguës à une triade $\tau$) (5) Soit $\overline{\tau} = E(\tau)$ l'ens. des sommets liés à tous les él. de $\tau$. Alors $\overline{\tau}$ est une triade (dans le triade « opposée » à $\tau$). D'où (6) les deux triades biliées à $\tau$ s'obtiennent ainsi : \[ \begin{aligned} &\text{l'une est} && \overline{\tau'} = L(\tau'') \setminus \tau\\ &\text{l'autre} && \overline{\tau''} = L(\tau') \setminus \tau \end{aligned} \] (7) des hexagones des triades ⌜L'hexagone⌝ des triades contenant $\tau$ est […] $\tau\ \tau'\ \overline{\tau''}\ \overline{\tau}\ \overline{\tau'}$ (la suite est des côtés circulaires…) […]. Aussi […] […]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \tau \arrow[rr, no head] & & \tau'' \arrow[dr, no head] & \\
\tau' \arrow[ur, no head] & & & & \overline{\tau'} \arrow[dl, no head] \\
 & \overline{\tau''} \arrow[ul, no head] \arrow[rr, no head] & & \overline{\tau} &
\end{tikzcd}

l'hexagone du feuillet ; deux de ses côtés sont doublés ou fléchés, ce que le dessin ci-dessus ne rend pas.

(7) Pour la relation de « biliées », les triades ⌜liées⌝ $(\mathrm{Tri})$ l'ens. des triades est un graphe somme de triangles (dits triangle triples « triangles » de triades biliées), dans l'ens. des triangles de triades biliées […] le groupe […] « W-liés » est une involution à pt fixe. Les hexagones correspondent aux orbites de cette involution, les triangles correspondant […] à une triangle et […] (de cardinal $6.3 = 18$) ⌜liées⌝ des triangles (8) La réunion […] d'un hexagone […] a un complémentaire (de cardinal $27 - 18 = 9$) qui est une bitriangle. L'application qui à tout hexagone de triades associe […] bitriangle précédent, est bijective. Les hexagones […]

Tritria = triangles de triades biliées ; cardinal $2.120 = 240$

dans la marge inférieure gauche, un hexagone de sommets $\tau_1$, $\tau_2$, $\tau_3$, $\overline{\tau_1}$, $\overline{\tau_2}$, $\overline{\tau_3}$, avec ses diagonales en pointillés ; le feuillet est barré de trois traits obliques sur sa partie basse. la fin du point (8) est barrée de longs traits obliques ; on la donne néanmoins.

48(8) Soit […] $\{\tau_i\}_{i\in I}$ […] un triangle de triades liées Alors ⌜(relation non-liées Notat. […])⌝ soit $I = \{i,j,k\}$, Soit Si $x_i \in \tau_i$, et si $x_j$ ($x_k$) est l'unique él. de $\tau_j$ ($\tau_k$) non lié à $x_i$, alors $x_j$ et $x_k$ sont non liés. En d'autres termes, si $\Gamma \subset \prod_{i\in I}\tau_i$ […] est l'ens. des $(x_i)_{i\in I}$ tels tels que $x_i$ non lié à $x_j$ pour $i \neq j$), alors les projections $\Gamma \xrightarrow{p_i} \tau_i$ sont bijectives (donc […] […] un système transitif d'isom. entre les $\tau_i$, $i\in I$),

(9) Soit […] $X = \tau_1 \cup \tau_2 \cup \tau_3$ la réunion des trois triades d'un triangle $\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}$ des triades biliées [$\overline{X} = \overline{\tau_1} \cup \overline{\tau_2} \cup \overline{\tau_3}$ la réunion des trois triades du triangle W-lié, […] $X$, $\overline{X}$ sont de cardinal 9 et disjoints].

(9) Soit $X = \coprod_{i\in I} \tau_i \hookrightarrow S$, ⌜(card $X = 9$)⌝ d'où $X \to I$, dont les fibres sont […] ⌜les⌝ 3 triades du triangle des triades donné, et soit $X \to J$ l'application dont les fibres sont les ⌜$(\tau_j')_{j\in J}$⌝ ⌜donnant les fibres⌝ sont des $3$ autres triades […] triades […] disjointes. Ceci posé

($\cdot$) $X$ est une bitriangle, dont ⌜dont⌝ les six ⌜triades⌝ […] (ou antitriangles) sont les $\tau_i$ […] ($i \in I$) $\tau_j'$ ($j\in J$)) formant les 2 familles de triades ⌜[…]⌝ de $X$. Aussi l'application $X \to I \times J$ est bijective $I$, $J$ s'identifient resp. à l'une et l'autre famille de triades du bitriangle $X$, et l'application \[ X \longrightarrow I \times J \] est bijective.

(10) La donnée d'un triangle de triades biliées ⌜$(\tau_i)_{i\in I}$⌝ équivaut à celle d'un bitriangle $X$, muni […] du choix d'une […] des deux familles ⌜$I$, $J$⌝ de ⌜triades⌝ mutuellement disjointes de $X$ (coorientation)

49NB […] pour que deux triades $\tau_1, \tau_2$ […] […] biliées, il faut et il suffit qu'elles soient disjointes et appartiennent à un bitriangle, qui est unique et déterminé, et est aussi l'unique […]passage biffé de traits obliques.

(11) $X$ est l'unique bitriangle contenant $\tau_i$ — deux triades non biliées ssi elles sont ⌜disjointes et,⌝ contenues dans, un […] bitriangle […]

(12) Soit […] $(\tau_i)_{i\in I}$ un triangle de triades biliées, réunion du bitriangle $X = \bigcup_{i\in I} \tau_i \subset S$ […] […] coorientation $\{\tau_i\}$ […], soit ⌜$(\tau_j')_{j\in J}$⌝ $(\tau_i)_{i\in I}$ […] le triangle des triades de $X$ de l'autre famille (de sorte que $X \xrightarrow{\sim} I \times J$). Soit $(\overline{\tau_i})_{i\in I}$ le triangle de triades « W-lié », $\overline{X} = \bigcup_{i\in I}\overline{\tau_i}$, et $\overline{J}$ l'ens. des triades de $\overline{X}$ de l'autre famille, donc $\overline{X} \xrightarrow{\sim} I \times \overline{J}$. Soit $\widetilde{X} = S \setminus X \setminus \overline{X}$, qui est de cardinal $9$. ⌜$27 - 9 - 9$⌝ Alors

a)$\widetilde{X}$ est un bitriangle bitriangle. Soit L'application qui à tout hexagone de triades associe $\widetilde{X}$, est bijective. […]

50b) L'ens. des coorientations de $\widetilde{G}$ d'automorphismes de $X$, b) Soit $\widetilde{X}$ […] les deux […] bitriangles disjoints de $X$ […] […] […] Considérons le groupe […] ⌜formé⌝ par les ⌜[…] […]⌝ des symétries […] $\sigma_t$ ($t \in \mathrm{Tri}(\widetilde{X})$). Alors

$\alpha$)$\widetilde{G} \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathrm{gr}}(\widetilde{X})$ ⌜induit⌝ est un isom. ⌜de $\widetilde{G}$⌝ sur le groupe des automorphismes intérieurs de $\widetilde{X}$
$\beta$)Les orbites de $\widetilde{G}$ opérant sur $S \setminus \widetilde{X}$ $(= X \amalg \overline{X})$ sont de cardinal $6$ — donc il y a trois telles orbites [qui sont les réunions de la […] forme $\tau \cup \overline{\tau}$ (triade de bihexaH)] [On a aussi $\widetilde{G} \simeq \mathfrak{S}_{\mathbb{F}} \times \mathfrak{S}_{\mathbb{Q}}$, où $\mathbb{F}$, $\mathbb{Q}$ sont les deux ens. de card. $3$ des triangles de $\widetilde{X}$ de l'une et l'autre espèce, les orbites sont $\mathfrak{S}_{\mathbb{F}}$ et $\mathfrak{S}_{\mathbb{Q}}$ […] simplement transitifs sur chacune des trois orbites] ⌜Dans l'ens. des trois orbites s'identifie : … […] $I$ … des 3 diagonales de $H$.⌝

c) […] ⌜Si $t \in \mathrm{Tri}(\widetilde{X})$, $\sigma_t$ échange $\tau$ et $\overline{\tau}$⌝ ⌜$\widetilde{G}^{\circ} \subset \widetilde{G}$ formé par⌝ les produits pairs de dans le groupe […] […] symétries […] associées à chacun des $\tau \in H$ — et les orbites de $\widetilde{G}^{\circ}$ sur $S \setminus \widetilde{X}$ sont de cardinal $3$, et ce sont les $6$ triades de l'hexagone $H$. ([…] l'ens. des […] […] d) Soit

(11) Soient $(X_\alpha)_{\alpha\in A}$ une famille de trois bitriangles mutuellement disjoints. Pour $\alpha \in A$, soit $I_\alpha$ l'ens. de cardinal $3$ associé à $X_\alpha$ ⌜l'ens.⌝ […] trois orbites du $\operatorname{Aut}_{I_\alpha}(X_\alpha)$ opérant sur $S \setminus X_\alpha = \bigcup_{\beta\in A\setminus\{\alpha\}} X_\beta$, donc […] […] une application $X_\beta \xrightarrow{p_{\alpha\beta}} I_\alpha$ ($\beta \neq \alpha$) la numérotation reprend (11), déjà employé p. 49 ; elle est celle du feuillet.

51de degré 3, dont les ⌜3⌝ fibres sont des ⌜trois⌝ triades (mutuellement disjointes) formant l'une des deux familles de triades de $X_\beta$. Alors

a)Les […] deux Les deux familles de triades, fibres des deux applications $X_\alpha \to I_\beta$, $X_\alpha \to I_\gamma$ (où […] $A = \{\alpha,\beta,\gamma\}$) sont distinctes, donc l'application correspondante $X_\alpha \xrightarrow{\sim} I_\beta \times I_\gamma$ est bijective.

Plus intrinsèquement, $\forall \alpha \in A$, on a \[ X_\alpha \xrightarrow{\sim} \prod_{\beta \in A\setminus\{\alpha\}} I_\beta \] d'où une bijection naturelle \[ S \simeq \coprod_{\alpha} \prod_{\beta\in A\setminus\{\alpha\}} I_\beta \quad \text{\struck{$I_\alpha$}} \] dans le cas où $A = \{1,2,3\}$, cela fait \[ S \simeq \underbrace{I_2 \times I_3}_{X_1} \amalg \underbrace{I_3 \times I_1}_{X_2} \amalg \underbrace{I_1 \times I_2}_{X_3} \] On a $\operatorname{coor}(X_\alpha) \simeq{}$ […] $A \setminus \{\alpha\}$

c)Pour que $x_\alpha \in X_\alpha$, $y_\alpha \in$ ⌜[…]⌝ $x_\alpha, y_\alpha \in X_\alpha$ […], soient non liés il f. et s. que $\exists$ $\beta \in A \setminus\{\alpha\}$ […] tel que $p_{\beta\alpha}(x_\alpha) = p_\beta(y_\alpha)$ (si $x_\alpha \neq y_\alpha$, ce $\beta$ est unique) — pour qu'ils soient liés, il f. et s. que $\forall \beta \in A \setminus \{\alpha\}$, on ait $p_{\beta\alpha}(x_\alpha) \neq p_{\beta\alpha}(y_\alpha)$
d)Pour que $x_\alpha \in X_\alpha$ et $y_\beta \in X_\beta$ ($\alpha\neq\beta$) soient liés il f. et s. que (si $\gamma$ […] […] est l'[…] ⌜él.⌝ $\neq \alpha,\beta$ de $A$) on ait ⌜$p_{\gamma\alpha}(x_\alpha) = p_{\gamma\beta}(x_\beta)$⌝

52$S \simeq$ ens. des parties ⌜$A$⌝ de cardinal $2$ de $I$, telles que $p|A$ soit injectif (contenu parallèles, ou partition de cardinal 2) \[ X_\alpha = \text{ens.\ des } A \text{ tels que } p(A) = \Lambda \setminus \{\alpha\} \] \[ A, B \in S \text{ liés ssi } A \neq B \text{ et} \] \[ \begin{aligned} &\text{ou bien } p(A) = p(B), && A \cap B = \emptyset\\ &\text{ou bien } p(A) \neq p(B), && A \cap B \neq \emptyset \end{aligned} \]

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\begin{tikzcd}[row sep=small]
I \arrow[d, "p"] & I_\alpha \\
\Lambda & \alpha
\end{tikzcd}

en marge gauche, trois rangées de trois points, l'une barrée d'un trait, avec une flèche verticale : le schéma $I \to \Lambda$.

(12) La catégorie des graphes cubiques, munis d'une décomposition en trois bitriangles ⌜bitriangles⌝ disjoints, est équivalente : […] ⌜à la cat.⌝ (des ens. de type $(\mathrm{Ens})_{(3,3,3)}$, munis d'une partition de type $(3,3,3)$. Le groupe des automorphismes d'une telle structure est \[ \simeq \mathfrak{S}_3 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3) \] qui est d'ordre $\uncertain{3 \cdot 6^4}$ (c'est donc ⌜presque⌝ un sous-groupe de Sylow ⌜il […] […] des […] ⌜cinq⌝ dans les $I_\alpha$ et dans $\Lambda$ et exiger qu'elles soient compatibles…⌝ […] de $\operatorname{Aut}(\Delta)$ $\ill{}$ !) La cat. des couples $(\Delta, X)$ d'un graphe cubique, et d'un bitriangle $X$ dans $\Delta$, est équivalente : ⌜la cat.⌝ […], complexe de $(\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_{3,3}$ des couples formés d'un ens. de card. $3$ (savoir l'ens. […] ⌜des […]⌝ orbites associé : $X$ en $\Delta$) et d'un ens. à partition de type $(3,3)$ (savoir l'un des triades de $X$,) avec sa partition naturelle).

NB L'ordre […] $= 3^4 2^4$ de Sym la $X_\alpha$ se réunissent dans de ce sous-groupe de $\operatorname{Aut}(\Delta)$, commun l'un des $3$ orbites sur ce groupe : dans ce bi- sous-groupe de Sylow est dans presque normalisateur. la note marginale, écrite de biais en lignes très courtes, n'est lue que par fragments.

53(13) L'ens. des 18 triades de $S$ contenues dans un des $X_\alpha$ est en conv. binunivoque avec l'ens. le sous-ens. $T$ de $I \times \Lambda$ formé des couples $(i, \alpha)$ avec $p(i) \neq \alpha$, en associant : à un tel couple la triade ⌜$\tau_{i,\alpha} \subset X_\alpha$⌝ (formée des $A \in S \subset \mathfrak{P}_2(I)$) tels que $p(A) = \Lambda \setminus \{\alpha\}$, $A \ni i$. ⌜distincts⌝ La triade W-liée à $\tau_{i\alpha}$ est $\tau_{i\beta}$, où $\beta$ $\beta$ […] ⌜l'autre⌝ él. de $\Lambda$ $\Lambda \setminus \{p(i)\}$. Les deux triades […] liées à $\tau_{i\alpha}$ sont $\tau_{j,\beta}$, $\tau_{k,\beta}$, où $j$, $k$ sont les ⌜2 autres⌝ […] él. de $p^{-1}(\ill{})$ $I$ au-dessus de $p(i)$. Les deux triades biliées à $\tau_{i\alpha}$ sont $\tau_{j,\beta}$,$\ill{}$, $\tau_{k,\beta}$. L'hexagone formé des six triades est formé de l'ens. des $\tau_{i,\alpha}$ tels que $p(i) \neq \alpha$ soit donné. L'ens. de ces hex. est donc en corr. 1-1 avec $\Lambda$ […] […] […] [à l'hexagone $H$ correspond le complémentaire de sa réunion dans $S$]

à gauche, un graphe : les sommets $p, q, r$ (en colonne) et $i, j, k$ (en colonne), joints par des traits pleins ($p$–$i$, $q$–$i$, $r$–$i$) et pointillés, avec une troisième colonne de points à droite reliés à $i$ par des pointillés.

(14) L'L'ens. ⌜à 6 él.⌝ des couples formés d'un des […] bitriangles $X_\alpha$, et d'une coorientation de $X_\alpha$, est $\simeq$ l'ens. des […] couples $(\alpha, \beta) \in \Lambda^2$ avec $\beta \neq \alpha$ (i.e. : l'ens. des repères $(\alpha,\beta,\gamma)$ de l'ens. $\Lambda$ de cardinal 3), à $(\alpha,\beta)$ correspond… les quatre dernières lignes sont barrées de trois traits obliques.

54le couple $(X_\alpha, \{\tau_i$ seule ligne du feuillet, inachevée.

55Sa structure combinatoire est donnée par les ens. $I_\gamma$ de cardinal 3 et […] $\Lambda_\gamma = \Lambda \setminus \{\gamma\}$ ⌜$= \{\alpha,\beta\}$⌝ de cardinal 2, comme \[ H \simeq I_\gamma \times \Lambda_\gamma, \] où $\tau_{i,\alpha}$ et $\tau_{j\beta}$ liés ssi $i \neq j$, $\alpha\neq\beta$. […] […]

(14) Les triangles de triades biliées correspondent aux couples $(\alpha, \beta)$ d'él. distincts de $\Lambda$ (i.e. aux repères de $\Lambda$) en associant à tel repère […] […] tel […] triades $T_{\alpha,\beta,\gamma}$ $\{\tau_{i,\alpha}, \tau_j\}$ $\{\tau_{i\alpha}\}_{i \in I_\gamma}$. Cet ens. […] W-lié […] […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \tau_{i\alpha} \arrow[r, no head] & \tau_{j\beta} \arrow[dr, no head] & \\
\tau_{k\beta} \arrow[ur, no head] & & & \tau_{k\alpha} \arrow[dl, no head] \\
 & \tau_{j\alpha} \arrow[ul, no head] \arrow[r, no head] & \tau_{i\beta} &
\end{tikzcd}

\[ \overline{T_{\alpha\beta\gamma}} = T_{\beta,\alpha,\gamma} \] Le triangle de triades $\widetilde{T_{\alpha\beta\gamma}}$ […] contenu dans le bitriangle $X_\alpha$ que […] $T_{\alpha\beta\gamma}$, et distinct de $T_{\alpha\beta}$, est $T_{\alpha\gamma\beta}$. Donc le groupe engendré par les opérations — et $\sim$ sur l'ens. des triangles de triades liées la ligne médiane de la page, entre le diagramme et la formule, n'est pas lue.

56d'un graphe cubique $\Delta$ est isomorphe au groupe $\mathfrak{S}_3$, où $-$ correspond à $\sigma_{12}$, $\sim$ à $\sigma_{23}$ …

NB La donnée d'un couple $(X, \{\tau_i\}_{i\in I})$ d'un bitriangle $X \subset \Delta$ et d'une coorientation de celui-ci, donc presque associée à un tel couple, d'un autre tel couple $(X', (\tau_i')_{i\in I})$ formé du bitriangle $X'$ ⌜la réunion⌝ associé à $X$, tel que les $\tau_i$ soient les orbites $X' = \bigcup_{i\in I} \overline{\tau_i}$ ⌜réunion de⌝ ⌜$\hookrightarrow$ triades W-liées⌝ $(\overline{\tau_i})_{i\in I}$, d'autre part. $X$ muni de l'autre coorientation $(\tau_i')_{i\in I'}$ …

(15) […] (15) Les triangles de $X_\alpha$ correspondant aux fonctions $t \subset \prod_{\beta\in\Lambda\setminus\{\alpha\}} I_\beta$ qui sont des telles que $t \to I_\beta$ ($\beta \in \Lambda\setminus\{\alpha\}$) soit ⌜i.e. (si $\Lambda = \{\alpha,\beta,\gamma\}$) aux bijections $I_\beta \xrightarrow{\sim} I_\gamma$⌝ les applications… telles […] bijections, en associant : une l'ens. des […] ⌜bijection⌝ $\varphi$ : […] l'ens. des él. $\{x_\beta, \varphi(x_\beta)\}_{x_\beta\in I_\beta}$ de $X_\alpha$. Ceci posé, pour un tel triangle $t = t_\varphi$, la symétrie correspondante de $\Delta$ est

57telle associée : l'automorphisme de $(I \xrightarrow{p} \Lambda)$ : son action sur $\Lambda$ est la permutation qui fixe $\alpha$ et échange $\beta, \gamma$, […]le milieu du feuillet n'a pas été lu de près ; on en donne le début et la fin.

b)opérant trivialement sur l'ens. $\pi(X_\alpha) \simeq I_\alpha$ des « trois orbites » associé à $X_\alpha$.

(16) Soit $X \subset S$ un bitriangle dans $S$, et […] l'un des « trois orbites » de $S \setminus X$. ⌜$\{\mathcal{X}_i\}_{i\in I_X}$⌝ ⌜Si⌝ L'un des « trois orbites » de $S\setminus X$. Alors les sous-graphes ⌜de type⌝ $\mathcal{T}_1$ […] contenant $X$ sont les $X \cup \mathcal{X}_i$. Donc la ⌜catégorie⌝ […] des triplets $(S \supset \mathcal{X} \supset X)$ d'un ⌜graphe⌝ […]

58cubique ⌜($\mathcal{T}_2$)⌝ muni d'un $\mathcal{T}_1$ et d'un $\mathcal{T}_0$ contenu dans celui-ci, équivaut : la ⌜catégorie⌝ […] des $(\mathrm{Ens})_{3,3} \times (\mathrm{Ens})_2$ [en associant l'ens. des […] […] associés à un ens. à trois éléments], triades de $X$, et l'ens. des deux orbites dans $S \setminus \mathcal{X}$] Complexe de La ⌜catégorie⌝ […] des systèmes $(S \supset \mathcal{X} \supset X \supset t)$ d'un $\mathcal{T}_2$ contenant un $\mathcal{T}_1$ contenant un $\mathcal{T}_0$ contenant un $\mathcal{T}_{-1}$, équivaut : la catégorie $(\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_2$, [en lui associant l'ens. des points de l'une des triades de $\mathcal{X}$ $X$ par la relation d'équiv. définie par $t$, l'ens. des deux coorientations de $X$, et l'ens. des deux orbites de $S \setminus \mathcal{X}$] …

(17) Soit $\mathcal{X}$ un $\mathcal{T}_1$ dans le $\mathcal{T}_2$ $S$. Alors $S \setminus \mathcal{X}$ est une bibase de $S$, et on trouve ainsi une bijection entre l'ens. des $\mathcal{T}_1$ de $S$, et l'ens. des bibases. La catégorie des $\mathcal{T}_2$ munis d'une bibase, celle des $\mathcal{T}_2$ munis d'un $\mathcal{X}_1$, et la catégorie des […] […] sont équivalentes.

59(18) À tout $B \in (\mathrm{Ens})_6$, ensemble de cardinal $6$, associons le graphe $\mathcal{T}_1(B)$ suivant \[ \begin{cases} \text{pour sommets } = \mathfrak{P}_2(B)\\ \text{\struck{$A$, $B$}} \ u, v \in \mathfrak{P}_2(B) \text{ liés ssi } u \cap v = \emptyset \end{cases} \] Alors $\mathcal{T}_1(B)$ est un graphe tritétraèdre donc un $\mathcal{T}_1$, et le foncteur $B \mapsto \mathcal{T}_1(B)$ est une équivalence de la catégorie $(\mathrm{Ens})_6$ avec la catégorie des $\mathcal{T}_1$. Le foncteur quasi-inverse associe : $\mathcal{X}$ l'ens. $B$ des parties discrètes de card $5$ de $\mathcal{X}$. Alors […] $x \in \mathcal{X}$ est contenu dans exactement deux éléments de $B$, et l'application $\mathcal{X} \to \mathfrak{P}_2(B)$ ainsi obtenue est un isom. du graphe $\mathcal{X}$ avec le graphe $\mathcal{T}_1(B)$. La donnée d'un bitriangle dans $\mathcal{X}$ équivaut : la donnée d'une partition de type $3,3$ de $B$ — à celle-ci correspond l'ens. des […] ⌜($\subset \mathfrak{P}_2(B)$)⌝ qui sont des sections de $B$ sur l'ens. quotient à deux éléments. Tout bitriangle a un $\mathcal{T}_2$ multiple canonique (le foncteur des $(\mathcal{X}, X)$ d'un $\mathcal{T}_1$ et d'un $\mathcal{T}_0$ contenu, vers les $X$, est une équivalence de catégories).

6019) Considérons […] ⌜graphe⌝ cubique $\Delta$ avec une partition tritétraèdre $S = \coprod_{\alpha\in\Lambda} X_\alpha$, et considérons le groupe $G\ (\simeq \mathfrak{S}_3 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3))$ des automorphismes de Ceci dit, […] et une ⌜équivalence des⌝ ⌜il y a l'ens. des (bitri) des bitriangles de $\Delta$.⌝ ⌜$(\mathrm{Tria})$⌝ l'ens. des triades de $\Delta$. Alors il y a a) Il y a ⌜ex. tout⌝ ⌜quatre⌝ trois orbites de $G$ sur $\mathrm{Tria}$ :

1°)L'orbite formée des triades contenues […] dans un des $X_\alpha$
2°)L'orbite formée des triades de la forme trois colonnes de trois points ; deux traits partent d'un point de la colonne médiane vers les deux autres colonnes. (type I)
3°)L'orbite formée des triades de la forme deux traits issus d'un même point vers deux points de la colonne voisine. (type II)
4°)L'orbite des triades de la forme trois traits horizontaux sur trois rangées de points. (type III)

b) Les triades contiguës : une triade de type II est de type I, celles contiguës à une triade de type I sont de type I l'une, de type II l'autre ⌜(d'une triade de type I ou II)⌝ de sorte que […] l'hexagone […] triades est de type

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathrm{I} \arrow[r, no head] & \mathrm{II} \arrow[dr, no head] & \\
\mathrm{II} \arrow[ur, no head] & & & \mathrm{II} \arrow[dl, no head] \\
 & \mathrm{II} \arrow[ul, no head] \arrow[r, no head] & \mathrm{I} &
\end{tikzcd}

(2 sommets ⌜opposés⌝ de type I, les autres de type II), l'hexagone ⌜formé de triades⌝ d'une triade de type (III), est de type III… la phrase se poursuit au-delà du lot.