Fonds Grothendieck, cote n° 74, pages 21–40

feuillet de brouillon couvert de notes éparses, sans phrase suivie ; on en donne les formules et les mots lisibles, dans l'ordre de la page, de haut en bas.

B \quad B' \amalg B''

\begin{matrix} \xi_{14} & \xi_{15} & \xi_{16}\\ \xi_{24} & \xi_{25} & \xi_{26}\\ \xi_{34} & \xi_{35} & \xi_{36} \end{matrix}

à droite, une multiplication posée : 36 \times 36 = 1296, puis le nombre 1440 inscrit sous le résultat.

… triades \longleftrightarrow hexagones

6^4 = 36 \times 36 = 2^4 3^4, \qquad 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5, \qquad 9/5 l'exposant 4 de 2 est récrit sur un 3.

dans la marge droite, une accolade réunit les nombres 40, 36 (récrit sur un 45 biffé), 45.

Partition ordonnée d'une

\xi_{12}\ \xi_{23}\ \xi_{31} \;\Big|\; \xi_{45}\ \xi_{56}\ \xi_{64}

un prisme hexagonal (ou un cube tronqué) en perspective ; au-dessous, un graphe en éventail : un sommet relié par des arcs à cinq sommets alignés, et un petit trièdre de trois segments issus d'un point.

dans la moitié inférieure, d'autres fragments, dont une partie écrite tête-bêche : \xi_{ij} (deux fois), \{\xi_1, \ldots, \xi_6\}, \xi_{12}\ \xi_{13} - \xi_{16}, et deux lignes de mots illisibles.

deux versions d'un même schéma. En haut, trois blocs de symboles reliés par des faisceaux de traits croisés. Le premier bloc, surmonté de « \{1,2,3\} = I_3 », porte les trois lignes \xi_1\ \xi_2\ \xi_3 / \hat\xi_1\ \hat\xi_2\ \hat\xi_3 / \xi_{23}\ \xi_{31}\ \xi_{12} ; le deuxième, surmonté de « \{4,5,6\} = » et d'un symbole encadré \tau_3, porte \xi_4\ \xi_5\ \xi_6 / \hat\xi_4\ \hat\xi_5\ \hat\xi_6 / \xi_{56}\ \xi_{64}\ \xi_{45}, avec en regard l'accolade « I_1 = \{, *, !\} » ; le troisième, en bas, porte \xi_{14}\ \xi_{15}\ \xi_{16} / \xi_{24}\ \xi_{25}\ \xi_{26} / \xi_{34}\ \xi_{35}\ \xi_{36}, avec « \{1,2,3\} = I_3 » à droite, « \{4,5,6\} » au-dessous et un \tau_3 cerclé. À droite, un triangle dont les trois sommets portent chacun un des trois blocs, marqué « I ». En bas de page, le même schéma redessiné : le bloc \xi_1 \ldots \xi_{12} relié d'un côté au bloc \xi_{4} \ldots \xi_{45}, de l'autre au bloc \xi_{14} \ldots \xi_{36}.

q, q', a fixes ; p, p' échangés

p\,q\,p'\,q' à côté, un carré pointillé aux sommets p, q (en haut), q', p' (en bas).

un polyèdre en perspective : en haut le sommet q, puis q' ; au milieu un quadrilatère s, r', s', r, dont les côtés sont fléchés (s \to r' \to s' \to r \to s) ; au centre le point a ; en bas les sommets p, p' ; les arêtes joignent q, q' au quadrilatère, et le quadrilatère à p, p'.

x et y (distincts de a, q et q' ) sont liés exactement par deux , l'une à (r, a, r'), l'autre : (s\, a\, s').

Montrons que si x, y sont liés, ils ~~liés, i.e.~~ = relatifs.

x, y \in T', x \neq y : pour qu'ils soient liés, il faut et il suffit qu'ils aient des arêtes distinctes, et convergentes à des sommets distincts sur T.

au bas de la page, quatre figures : un prisme aux sommets c, b, t, t', s, s', a, a' ; un triangle dans lequel sont emboîtés deux angles de même sommet ; un double cône de sommets s (en haut) et s' (en bas), dont la ceinture porte a, b', c, a', c', b, à côté d'un carré de 3 \times 3 points ; un autre double cône analogue, de sommets s' et s, portant a, b', c', b, c, a' et des points \alpha, \beta, \gamma à l'intérieur. Une croix au bas de la page.

\begin{matrix} (\alpha b, \alpha c) & (\alpha b', \alpha c')\\ (\beta c, \beta a) & (\beta c', \beta a')\\ (\gamma a, \gamma b) & (\gamma a', \gamma b') \end{matrix}

page de dénombrements, en colonnes séparées par des traits ; on suit l'ordre de la colonne de gauche, puis celle de droite.

\Gamma_0 = 1 \begin{pmatrix} 27 \\ 36 \\ 40 \end{pmatrix} le \Gamma_0 pourrait être le r_0 des pages suivantes. Les trois nombres sont entourés ; à droite de la parenthèse, les chiffres 9 et 4.

~~720 \cdot 6~~ 9 \cdot 8 \cdot 6 72 \cdot 37 \dfrac{72 \cdot 71}{2} =

72 \cdot 36\tfrac{1}{2} = 72 \cdot \tfrac{71}{2} + 72

3-baies paires de voisins à 120^\circ \Big|\ 720,\ \uncertain{4}\,720

720 groupés en 120 hexagones qui se groupent par triples en 40 trihexagones de triades

3!\, 3!\, 2! = 72

bitriade + partie à trois élt de l'ens B/B_i

\Updownarrow partition : trois él. = triplets

\Updownarrow paires de deux 3-baies d'intersection ordonnés : 3 él.

\Updownarrow paire de voisins à 60^\circ

\{\xi_{ij}\ \xi_{jk}\ \xi_{ki}\ \hat\xi_i \ldots\}, \qquad \{\xi_{ij}\ \xi_{jk}\ \xi_{ki}\ \hat\xi_i\ \hat\xi_j \ldots\}

(\xi_i, \xi_i^{\wedge}) \{i, j, k\} \{\xi_{ij}, \xi_{jk}, \xi_{ki}\} ; stabilisateur \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2 d'ordre 72 = 2^3 3^2 ; il y en a 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720. la ligne « Ens_3 \times Ens_3 \times Ens_2 » est écrite sous ce calcul.

feuille 3-couverte d'él. de \Delta

\big| hexagone distingué de triades

\big| syst. de trois bitriades ~~position~~ en position

\big| plans de deux voisins non orthogonales

\begin{matrix} \xi_{ip} & \xi_{jp} & \xi_{kp}\\ \xi_{iq} & \xi_{jq} & \xi_{kq}\\ \xi_{ir} & \xi_{jr} & \xi_{kr} \end{matrix}

stabilisateur (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3) \cdot \mathfrak{S}_2 ext d'ordre 6^3 \cdot 2 = 432 ; il y en a 120.

~~décomposition de \Delta en 3 grilles 3-couvertes~~

trihexagone distingué de triades les syst. distingués à 18 triades 9 couples de triades

décomposition orth. (distinguée) de E en somme orth. de trois plans de voisins

syst. de distingués 9 bitriades (en 9 paires de voisins opposés)

stabilisateur \mathfrak{S}_3 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3) ; Cel. des ens : 9 éléments munis d'une partition en trois parties équipotentes.

\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3!\, 2}

page de brouillon où se mêlent tableaux de symboles, dénombrements et petits graphes ; un long trait oblique la traverse sans la biffer. On transcrit les formules dans l'ordre de lecture et l'on décrit les figures.

\begin{matrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 & & \xi_4' & \xi_5' & \xi_6'\\ \xi_1' & \xi_2^{*} & \xi_3' & & \xi_4^{*} & \xi_5^{*} & \xi_6^{*}\\ \xi_{23}^{*} & \xi_{31}^{*} & \xi_{12}^{*} & & \xi_{56} & \xi_{64} & \xi_{45} \end{matrix} les indices supérieurs (accents, étoiles) sont lus avec doute ; entre les deux blocs, un faisceau de traits croisés, en partie raturé, relie les lignes.

\begin{matrix} \xi_{14} & \xi_{15} & \xi_{16}\\ \xi_{24} & \xi_{25} & \xi_{26}\\ \xi_{34} & \xi_{35} & \xi_{36} \end{matrix} ce troisième bloc est relié aux deux premiers par des arcs ; à gauche « P \times\, Q », avec au-dessous \{b, b', b''\} et \{1, 2, 3\} ; à droite « P \times R », avec au-dessous \{b, b', b''\} et (4, 5, 6) ; sous le bloc, « R \times P ».

Colonne de droite, de haut en bas : 1, 10, 16 ; 2, \struck{5}, 10, 10 ; 1, 1, 5, 5, 5, 10 ; 3, 3, 6, 6, 9 ; 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 6 ; 1, 2, 2, 4, 4, 6, 8 ; 15 fois 1, 6 fois 2, ; 1, 1, 5, 5, 5, 10 (relié par un trait à (4,5,6)) ; 27 fois 1 ; 1, 6, 25 ; 27 fois 1 ; comme 3^{\circ}) ; 9, 9, 9 ; 27.

\{1,2,3\} \times \{b, b', b''\}, \{4,5,6\} \times \{b, b', b''\}, \{1,2,3\} \times \{4,5,6\}

(E_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}, card E_\lambda = 3, card \Lambda = 3

E, E', E''

E \qquad \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \subset W

2^3 3^3, \qquad 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240

r_6 = \eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3, \qquad r_0 = 2\eta - \xi lecture de \eta et \xi incertaine ; la lettre r (racine), qui revient p. 27, ressemble ici à un \Gamma.

E \times E' \amalg E' \times E'' \amalg E'' \times E

(x, x') et (y', y'') liés ssi x' \neq y'

(x, x') et (y, y') liés ssi x \neq y et x' \neq y'

une petite figure en angle, puis deux étoiles de segments reliées par une arête ; au-dessous un faisceau de traits, une « maison » (carré surmonté d'un toit, un triangle inscrit, un axe pointillé), un segment divisé en trois, un graphe biparti de trois sommets en haut et trois en bas reliés par de nombreuses arêtes, et plusieurs petits schémas de trois traits horizontaux reliés par des obliques, l'un d'eux étiqueté \alpha, \beta, \alpha.

(2\eta - \xi) \cdot \xi_j = 2 à côté : « \xi_{1} », « 1\ 1 », et une suite illisible entre accolades.

écrit verticalement dans la marge gauche : 27, 36, 40 ; \xi_j = 3\eta - \xi \ldots ; 2\eta - \xi, 2\eta - \xi_i - \ldots

\mathfrak{S}_3 \quad \sim \qquad 6^4 = 2^4 3^4 40 (entouré)

F \to E, \qquad \coprod_{i \in E}\ \prod_{j \in E - \{i\}} F_j

81 \times 16 = 1296

on particulier K ~~telle que~~ de card. 2 qui se dans une fibre

9 \times 9 = 81, \qquad 3 \times 3 \times 3 = 27, \qquad 54

\frac{27 \cdot 16 \cdot 10}{6} = 9 \cdot 16 \cdot 5 = 720 écrit verticalement le long du bord droit ; le dénominateur et le 16 du second membre sont lus avec doute.

trois figures de même forme, l'une sous l'autre : six groupes de trois symboles disposés aux sommets d'un hexagone (deux triangles en pointillé formant une étoile), deux sommets voisins hachurés ; chaque côté porte une racine. On transcrit pour chaque figure les sommets, dans l'ordre haut, haut droite, bas droite, bas, bas gauche, haut gauche, puis les étiquettes.

Première figure. Sommets : \xi_1\,\xi_2\,\xi_3 ; \xi_4\,\xi_5\,\xi_6 ; \xi_{23}\,\xi_{31}\,\xi_{12} ; \xi_4'\,\xi_5'\,\xi_6' ; \xi_1'\,\xi_2'\,\xi_3' ; \xi_{56}\,\xi_{64}\,\xi_{45}. Côtés : r_0, -r_0, r_6, -r_{123} = -r_6, -r_{456}, avec r_{456} = 3(r_1 + r_2 + r_3) + 2r_4 + r_5 + r_6 le coefficient de r_4 et le signe devant r_3 sont lus avec doute.

Deuxième figure. Sommets : \xi_{1}\,\xi_{1}'\,\xi_{13} ; \xi_{24}\,\xi_{25}\,\xi_{26} ; \xi_3\,\xi_3'\,\xi_{12} ; \xi_{14}\,\xi_{15}\,\xi_{16} ; \xi_2\,\xi_2'\,\xi_{31} ; \xi_{34}\,\xi_{35}\,\xi_{36}. Côtés : r_{2,1} = -r_{12} = -r_1, \quad r_{2,3} = r_2, \quad r_{1,3} = r_1 + r_2, \quad r_{1,2} = r_1, \quad r_{3,2} = -r_2, \quad r_{3,1} = -r_1 - r_2 .

Troisième figure. Sommets : \xi_4\,\xi_4'\,\xi_{56} ; \xi_{15}\,\xi_{25}\,\xi_{35} ; \xi_6\,\xi_6'\,\xi_{45} ; \xi_{14}\,\xi_{24}\,\xi_{34} ; \xi_5\,\xi_5'\,\xi_{64} ; \xi_{16}\,\xi_{26}\,\xi_{36}. Côtés : r_{5,4} = -r_{45} = -r_4, \quad r_{5,6} = r_5, \quad r_{4,6} = r_4 + r_5, \quad r_{4,5} = r_4, \quad r_{6,5} = -r_5, \quad r_{6,4} = -r_4 - r_5 .

En regard des trois figures, dans la marge droite : [r_6, r_0] = [r_6, r_{456}] = [r_{123}, r_{456}] ; [r_1, r_2] ; [r_4, r_5].

\overbrace{r_1\ r_2}\ \overbrace{r_4, r_5}\ \ r_0, r_6 engendrent un sous-groupe d'indice 3 dans W

~~[r_1, r_2] [~~

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] r_1 \arrow[r, no head] & r_2 \arrow[r, no head] & r_3 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & r_4 \arrow[r, no head] & r_5\\ & & r_6 & & \end{tikzcd}

le diagramme de Dynkin de type E_6, tel qu'il est dessiné : r_1 - r_2 - r_3 - r_4 - r_5, avec r_6 attaché à r_3.

\begin{matrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 & \text{---} & \xi_4' & \xi_5' & \xi_6'\\ \xi_1' & \xi_2' & \xi_3' & \text{---} & \xi_4 & \xi_5 & \xi_6\\ \xi_{23} & \xi_{31} & \xi_{12} & \text{---} & \xi_{56} & \xi_{64} & \xi_{45} \end{matrix} au-dessous, le bloc \xi_{14}\ \xi_{15}\ \xi_{16} / \xi_{24}\ \xi_{25}\ \xi_{26} / \xi_{34}\ \xi_{35}\ \xi_{36}, relié par des arcs aux deux blocs précédents, comme p. 26.

un long trait courbe, au crayon, traverse la page de haut en bas sans biffer le texte.

Prop. Les ~~bitriades~~ vrais 3-bisons ordonnées sont conjuguées. Si I est une telle partie, \exists exactement deux bases qui la contiennent, soit I et I', et (\underbrace{I - J}_{K}) \cup (\underbrace{I' - J}_{K'}) est de cardinal 6, et formé de l'ens. des \delta \in \Delta - J qui ne sont liés à aucun él. de K. De plus, \exists ! bitriade I \cup I' contenant K \cup K', et K, K' sont respectivement les intersections de I, I' avec K \cup K', J donc K \cup K' et ~~correspondance~~ par \sigma (l'unique automorphisme \neq \mathrm{id} qui respecte fixe la bitriade …) et si

J = \{\lambda_{45}, \lambda_{56}, \lambda_{61}\}, \qquad K \cup K' = \{\underbrace{\xi_1, \xi_2, \xi_3}_{K}, \underbrace{\xi_1', \xi_2', \xi_3'}_{K'}\}

6! = 720 = 2^4 3^2 5, \qquad 6^4 = 2^4 3^4 = 1296

72 bases \big/ 36 bitriades 40 trihexagones

à droite, la multiplication posée 36 \times 36 = 1296 (avec les produits partiels 216 et 108).

\begin{array}{ll} \text{sommets} & 27\\ \text{\uncertain{bitriades}} & 36\\ \text{trihexagones} & 40\\ \text{triangles} & 45 \end{array}

un triangle épais d'où rayonnent de nombreux triangles plus fins, en éventail, suivi d'une accolade.

\mathfrak{S}_4 \mathbb{F}_2^4 card. 24 \cdot 16

quadriques affines de dim. 3 sur \mathbb{F}_2 8 \cdot \mathrm{Gl}(3, \mathbb{F}_2)

\text{\struck{$2$}} \quad \mathfrak{S}_?\,/\,\mathfrak{S}_4 \qquad \mathbb{F}_2^{3} la ligne est surchargée : un \mathfrak{S}_4 est écrit au-dessus, l'indice du premier \mathfrak{S} est illisible, et l'exposant de \mathbb{F}_2 a été corrigé ; le 7 de la ligne suivante est récrit sur un autre chiffre.

72 \cdot 2^{4} \qquad 2^{7} \cdot 9 \qquad (\sim 16\ \text{él.})

A(i) ensemble à 4 él. i \in T

P(i) torseur sous \mathbb{F}_2^{A(i)} k(i)

\forall i, bijection entre P(i) et \displaystyle\coprod_{j \in T - \{i\}} \ldots\ (\alpha \in A_j)

\frac{8 - 2}{2} = 3 \qquad \text{\struck{$P(i)$}} \quad \text{\struck{$2$}}

P(i) / \text{\struck{$V$}}\,V'(i) \simeq T - \{i\}

0 \to k \to V'(i) \to V(i) \to 0 sous la suite, les dimensions 1, 2, 1.

(1 + q(1 + q^{-1}))\, q^3 (q-1)^2 \qquad q = 2

2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \ !!! \qquad \text{\struck{$P(i)$}}

une petite figure : un segment horizontal et une flèche verticale montant vers un point.

V vectoriel de dim. 3 sur \mathbb{F}_2 ~~V'(i)~~ k \subset V, \downarrow \mathrm{Aut}(E)

V \simeq k(\Delta_i)' \ \text{pour tout } i, \qquad \check{k} = k

A_3 \times

Dans la colonne de droite : V'(i) ; P_i ; A_1 ; A_3, A_2, 3 ensembles à 4 él. ; V \supset k vectoriel de dim. 3 sur \mathbb{F}_2.

\xi_1\ \xi_2\ \xi_3 \xi_{32} / \xi_1'\ \xi_2'\ \xi_3' un segment divisé en deux.

\frac{72 \cdot 6!}{72 \cdot 6} = \frac{72 \cdot 720}{72 \cdot 6} = 120

\begin{matrix} \xi_1\ \xi_2\ \xi_3 & \xi_4\ \xi_5\ \xi_6 & \xi_{12}\ \xi_{23}\ \xi_{34}\\ \xi_1'\ \xi_2'\ \xi_3' & \xi_4'\ \xi_5'\ \xi_6' & \xi_{45}\ \xi_{56}\ \xi_{61} \end{matrix} le dernier bloc est souligné ; les indices 34 et 61 (au lieu de 31 et 64) sont ceux de la page.

Hexagone. Six groupes de trois symboles aux sommets d'un hexagone : en haut \xi_{12}\ \xi_{23}\ \xi_{34} ; puis, dans le sens des aiguilles d'une montre, \xi_4\ \xi_5\ \xi_6, \xi_1\ \xi_2\ \xi_3, \xi_{45}\ \xi_{56}\ \xi_{61} (en bas), \xi_1'\ \xi_2'\ \xi_3', \xi_4'\ \xi_5'\ \xi_6'. Les côtés portent, dans le même ordre, r_{456}, r_0, r_6, -r_{456}, -r_{\ill{}}, -r_6.

Dans un cadre, à droite : triades \longleftrightarrow hexagones ; hex. triades \longleftrightarrow bitriangles ; \updownarrow \updownarrow ; plan A_2 \longleftrightarrow bloc de triades ; trihexatriades \longleftrightarrow triples de bitriangles ; \updownarrow \updownarrow ; décomposition ~~A_2 \ldots A_2~~ triple A_2 \longleftrightarrow triple bloc de triades. Au-dessous : \xi_{ij}, 1 \leq i \leq 3, 4 \leq j \leq 6.

\begin{matrix} \xi_{14} & \xi_{15} & \xi_{16}\\ \xi_{24} & \xi_{25} & \xi_{26}\\ \xi_{34} & \xi_{35} & \xi_{36} \end{matrix}

NB le nombre de 3 bases (ou couples de voisins à 60^\circ) 36 \cdot \binom{6}{3} = 720, \qquad \binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3!} = 20 à droite de \binom{6}{3}, une petite fraction surchargée (\tfrac{4}{24} ?), et le 720 est récrit sur un autre nombre.

nb de paires de voisins faisant un angle de 60^\circ

\text{plan } A_2 : \quad \frac{720}{6} = 120

~~plan A_2~~

sous-syst. A_2 \updownarrow 3 blocs de bitriades \updownarrow bitriangle \updownarrow hexagone de triades ces quatre termes sont écrits en colonne, reliés par des doubles flèches verticales, et réunis par une accolade qui renvoie aux deux groupes ci-dessous.

\mathfrak{S}_2 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3), \qquad \mathfrak{S}_3 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)

\begin{matrix} \xi_{14} & \xi_{25} & \xi_{36}\\ \xi_{26} & \xi_{34} & \xi_{15}\\ \xi_{35} & \xi_{16} & \xi_{24} \end{matrix}

\left\{ \begin{array}{ll} \text{sommets} & 27\\ \text{triangles} & 45\\ \text{bibases} & 36\\ \text{trois-neufs} & 40 \end{array} \right. à gauche du tableau, trois petits symboles : un triangle surmonté d'un point, une ligne de points, et un carré quadrillé marqué « triple ».

trois lignes, chacune ouverte par un crochet, de trois paires de triplets ; des traits relient certains symboles entre les lignes, étiquetés \xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4, \xi_5, \xi_6. Le reste de la page est blanc.

\begin{array}{lll} (\xi_1\,\xi_2\,\xi_3)(\xi_4'\,\xi_5'\,\xi_6') & (\xi_4\,\xi_5\,\xi_6)(\xi_1'\,\xi_2'\,\xi_3') & (\xi_{23}\,\xi_{31}\,\xi_{12})(\xi_{56}\,\xi_{64}\,\xi_{45})\\[4pt] (\xi_1\,\xi_1'\,\xi_{23})(\xi_{14}\,\xi_{15}\,\xi_{16}) & (\xi_{24}\,\xi_{25}\,\xi_{26})(\xi_2\,\xi_2'\,\xi_{31}) & (\xi_3\,\xi_3'\,\xi_{12})(\xi_{34}\,\xi_{35}\,\xi_{36})\\[4pt] (\xi_4\,\xi_4'\,\xi_{56})(\xi_{14}\,\xi_{24}\,\xi_{34}) & (\xi_5\,\xi_5'\,\xi_{64})(\xi_{15}\,\xi_{25}\,\xi_{35}) & (\xi_6\,\xi_6'\,\xi_{45})(\xi_{16}\,\xi_{26}\,\xi_{36}) \end{array} plusieurs indices sont surchargés (en particulier dans (\xi_{56}\,\xi_{64}\,\xi_{45}) et (\xi_1\,\xi_1'\,\xi_{23})) ; lecture par endroits incertaine.

V groupe comm. (écrit additivement), I ens. de cardinal 3, \Gamma = \mathrm{Ker}(V^I \to V), \omega ens. des deux ordres circulaires sur I (c'est un ~~\mathbb{Z}~~ (\mathbb{Z}/2)-tors.), V^\omega = V \wedge \omega (~~\mathbb{Z}~~ \mathbb{Z}/2 qui opère sur V par chgt de signe).

Pour i \in I, V^\omega \xrightarrow{\ \varphi_i\ } \Gamma, \qquad x \wedge \rho \longmapsto \begin{cases} \varphi_i(x \wedge \rho)_i = 0\\ \varphi_i(x \wedge \rho)_{\rho i} = x\\ \varphi_i(x \wedge \rho)_{\rho^2 i} = -x \end{cases} avant l'accolade, « (x, \rho) » est biffé ; dans la première ligne, un indice surchargé.

NB ~~\varphi_i(x) + \varphi_{\rho i}(x) + \varphi_{\rho^2 i}(x) = 0~~ \sum_{i \in I} \varphi_i(x) = 0 \forall x \in V^\omega. En fait, sont exactes : 0 \to V^\omega \xrightarrow{\ \mathrm{diag}\ } (V^\omega)^I \to \Gamma \to 0, i.e. 0 \to V^\omega \to (V^\omega)^I \to V^I \to V \to 0.

On cherche à obtenir les systèmes \psi

\begin{tikzcd} V^\omega \arrow[r, "\varphi_i"] \arrow[dr, "\psi_i"'] & \Gamma\\ & \widetilde{\Gamma} \arrow[u, "u"'] \end{tikzcd}

avec

a) \widetilde{\Gamma} \xrightarrow{u} \Gamma est un hom. de groupes : surjectif de noyau Z ;

b) \psi_i un hom. V^\omega \to \widetilde{\Gamma} qui relève \varphi_i : u \psi_i = \varphi_i .

NB u donc , donc \widetilde{\Gamma} est une extension de \Gamma par Z (écrit additivement).

Soit \rho \in \omega, i_0 \in I, d'où i_1 = \rho i_0, i_2 = \rho^2 i_0 = \rho i_1. On aura \varphi_{i_0}(x \wedge \rho) + \varphi_{i_1}(x \wedge \rho) + \varphi_{i_2}(x \wedge \rho) = 0 d'où \psi_{i_0}(x \wedge \rho)\, \psi_{i_1}(x \wedge \rho)\, \psi_{i_2}(x \wedge \rho) = z(x, \rho, i_0) \in Z . l'argument se poursuit p. 33.

On a, comme Z est central, z(x, \rho, i_0) = z(x, \rho, i_1) = z(x, \rho, i_2), soit z = z(x, \rho) = z_\rho(x). D'ailleurs on aura \psi_{i_2}(x \wedge \rho)^{-1}\, \psi_{i_1}(x \wedge \rho)^{-1}\, \psi_{i_0}(x \wedge \rho)^{-1} = -z(x, \rho) i.e. \psi_{i_2}((-x) \wedge \rho)\, \psi_{i_1}((-x) \wedge \rho)\, \psi_{i_0}((-x) \wedge \rho) = -z(x, \rho) i.e. ~~compte tenu~~ comme (-x) \wedge \rho = x \wedge \bar\rho (\bar\rho = \rho^2 = \rho^{-1}) \psi_{i_2}(x \wedge \bar\rho)\, \psi_{i_1}(x \wedge \bar\rho)\, \psi_{i_0}(x \wedge \bar\rho) = -z(x, \rho) i.e. on a z(x, \bar\rho) = -z(x, \rho) \qquad \text{i.e.} \quad z_{\bar\rho} = -z_\rho sous z(x, \bar\rho), un petit signe, peut-être « \shortparallel ».

i.e. on a deux applications z_\rho : V \longrightarrow Z, \qquad \rho \in \omega l'exposant de V est surchargé (peut-être V^\omega corrigé en V). échangées par le signe (i.e. un élément de (Z^V) \wedge_{\pm 1} \omega). ~~On aura~~

Prop. On aura \begin{cases} \text{\struck{$z_\rho(0) = 0$ et}} \quad \text{si } j = \rho i\\ \varphi_i(x)\, \varphi_j(y)\, \varphi_i(x)^{-1}\, \varphi_j(y)^{-1} = z_\rho(x) + z_\rho(y) - z_\rho(x + y) \end{cases} les \varphi de cette formule sont peut-être des \psi ; le tracé ne les distingue pas nettement.

L'application \lambda = z_\rho : V \to Z satisfait (*)\quad \begin{cases} z_\rho(0) = 0\\ z_\rho(x) + z_\rho(y + u) + z_\rho(y + v) + z_\rho(x + u + v)\\ \qquad = z_\rho(y) + z_\rho(x + u) + z_\rho(x + v) + z_\rho(y + u + v) \end{cases} la seconde équation est très surchargée : les lettres lues u, v ont été récrites, et le premier terme du second membre pourrait aussi être autre chose ; lecture d'ensemble incertaine.

page écrite au crayon, d'un trait pâle ; elle reprend la relation (*) de la p. 33. Le milieu de la page est biffé de plusieurs traits.

ou encore (pour la 2^{\text{ème}} relation) \begin{aligned} &\lambda(x + u + v) - \lambda(x + u) - \lambda(x + v) + \lambda(x)\\ &\qquad = \lambda(y + u + v) - \lambda(y + u) - \lambda(y + v) + \lambda(y) \end{aligned} (\Delta_{u,v} \lambda)(x) = \text{c}^{\text{te}} \quad \text{(pour $u, v$ fixés)} i.e. , posant \lambda(u + v) - \lambda(u) - \lambda(v) = \mu(u, v) on doit avoir \boxed{\lambda(x + u + v) - \lambda(x + u) - \lambda(x + v) + \lambda(x) = \mu(u, v)} i.e. \mu est bi-additive. ~~\lambda(x + u + v) = \lambda(u) + \lambda(v) (bilinéaire symétrique)~~

Pour \mu fixé, les \lambda satisfaisant et telles que \lambda(0) = 0 la relation précédente forment un torseur sous l'ens. des f telles que \begin{cases} f(0) = 0\\ f(x + u + v) - f(x + u) - f(x + v) + f(x) = 0 \end{cases} le dernier terme, d'abord autre chose, est corrigé en f(x).

~~telles que … f(x) + f(y) … i.e. \exists\, g : V \to \ldots telle que f(x+y) + f(0) = f(x) + f(y)~~ passage biffé de plusieurs traits ; lecture très incertaine.

i.e. f est un ~~affine~~ hom.

Lorsque V est un module libre ~~si qui~~ sur un \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, dans le produit symétrique de V dans un Z est associée : une forme quadratique (définie mod l'application additive) ssi les \mu(e_i, e_i) \in 2Z ((e_i) est une base de V sur \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) … la page s'arrête sur ces mots ; la phrase ne se poursuit pas sur la page suivante.

Pour une application z_\rho : V \to Z de V dans un groupe commutatif Z, satisfaisant les deux relations précédentes, \exists une extension \widetilde{\Gamma}^{(z_\rho)} de \Gamma par Z, et des \psi_i^{(z_\rho)} relevant les \varphi_i, donnant naissance (via \rho) à z_\rho, et le système de cette extension et des \psi_i (i \in I) est déterminé à isom. unique près.

Il y a un Z « universel » \mathfrak{Z}_V, savoir le quotient de \mathbb{Z}^{(V)} par les « relations » précédentes.écrit verticalement dans la marge gauche, et renvoyé ici par un signe : Il y a donc une extension universelle \widetilde{\Gamma} de \Gamma par un , qui une fois choisi \rho, le noyau indépendamment des deux choix de \rho possibles, z_\rho : V \to \mathfrak{Z}^\omega , est alors \mathfrak{Z}^\omega = \mathfrak{Z} \wedge_{\pm 1} \omega, i.e. \lambda : V \to \mathfrak{Z} , z_\rho(x) = \lambda(x \wedge \rho) … Notons que si z_\rho est un hom. de groupes resp. une application 2-quadratique, les deux relations sont satisfaites, ce qui montre que \mathfrak{Z}_V contient comme … la phrase se poursuit en tête de la p. 38.

En haut de la marge gauche, écrit verticalement : et on aura bien z_{\bar\rho}(x) = \lambda(x \wedge \bar\rho) = \lambda(-x \wedge \rho) = -\lambda(x \wedge \rho) = -z_\rho(x), i.e. z_{\bar\rho}(x) = -z_\rho(x) …

quotientt le \mathbb{Z}-module V + \Gamma^2_{\mathbb{Z}}(V) (qui est le \mathbb{Z}-module universel qui reçoit V par une application pol. de degré \leq 2 sans terme constant). dans la marge, renvoyé par un signe avant « le » : les z_\rho pris dans … sous-groupe engendré par les x + \gamma^{(2)} … (x \in V).

Ex. V est un vectoriel ~~de dim. 2~~ sur \mathbb{F}_2. ~~Soit D = V^* = V \setminus \{0\}, les droites de V … quelconques : celles de l'ens. D … et \mathfrak{Z} = \mathbb{Z}^{(D)} / \text{relations}.~~ passage barré de traits obliques et encadré, que la suite remplace.

Dans ce cas, ~~puisque~~ vu que les applications \lambda : V \to Z telles que \lambda(x + y) - \lambda(x) - \lambda(y) = \mu(x, y) \qquad \text{($\mu$ $\mathbb{Z}$-bil.\ sym.)} sont polynomiales (en effet, on aura \lambda(0) = 0 \Rightarrow d'où \lambda(2x) = 2\lambda(x) + \mu(x, x), donc \mu(x, x) = -2\lambda(x), donc \mu(x, x) \in 2Z (\forall x \in V), d'où facilement le résultat). Donc \mathfrak{Z} = V + \Gamma^2_{\mathbb{Z}}(V) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^{I} + (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{P_2(I)} sous \lambda(2x), un « \shortparallel 0 » (2x = 0 sur \mathbb{F}_2). Dans la dernière ligne, après (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^I, un « +\,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} » est biffé ; l'accolade sous \Gamma^2_{\mathbb{Z}}(V) porte « \shortparallel ».

dans la marge gauche, un petit schéma : deux paires de points x, y et x', y' reliées par des flèches courbes en sens opposés, autour d'un axe vertical.

T.S.V.P.

suite de la p. 38 (« T.S.V.P. »).

Supposons que V soit de dimension 2 sur \mathbb{F}_2. Alors il y a une forme quadratique canonique sur V, définie par q(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = 0\\ 1 & \text{si } x \neq 0 \end{cases} qui donne donc lieu à une ext. centrale canonique de \Gamma(V) par \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \mathbb{F}_2 telles que \psi_{i_0}(x)\, \psi_{i_1}(x)\, \psi_{i_2}(x) = z \qquad \text{(él.\ non nul de $Z = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$)} \forall x \in V^\omega (et un ~~ordre circulaire~~ triplet (i_0, i_1, i_2) sur I …) la page s'arrête ici ; le reste est blanc.