Fonds Grothendieck, cote n° 74, pages 1–20

Relations ternaires et bitorseurs

I. I ens. de card 3.

(E_i)_{i\in I} famille d'ensembles

\Gamma\subset\prod_{i\in I}E_i

Axiome : si i,j,k\in I distincts (donc I=\{i,j,k\}) alors \forall x_i\in E_i, x_j\in E_j, \exists!\,x_k\in E_k tel que (x_i,x_j,x_k)\in\Gamma.

Catégorie \mathcal{C} (I variable ; pour iso sur I)

II. I ens. de card 3 Dans la marge gauche, un triangle aux sommets E_i, E_j, E_k, dont les côtés portent G_k, G_j, G_i.

(G_i)_{i\in I} famille de groupes

~~E_{ij} : L(G_i)\to L(G_j) syst. transitif d'isom. extérieurs~~ entre ces groupes la fin de ligne « entre ces groupes », écrite sous la ligne biffée, n'est pas biffée.

(E_i)_{i\in I} famille d'ens.

\forall i\in I, les groupes \prod_{j\in I\setminus\{i\}}G_j opèrent sur E_i, de façon (si I=\{i,j,k\}) que E_i deviennent des bitorseurs sous G_j, G_k. On peut renverser l'opération de G_\ell en l'opération inverse.

Alors \prod_{i\in I}\ \prod_{j\in I\setminus\{i\}}G_j \;=\; \prod_{j\in I}G_j^{\,I\setminus\{j\}} opère sur P=\prod E_i, donc \prod_{j\in I}G_j opère diagonalement par \delta. Soit x=(x_i)_{i\in I}\in P, alors \begin{array}{cccc} E_i\times E_j\times E_k & x_i, & x_j, & x_k \;=\;\xi\\ G_j\ G_k\ G_i\ G_j & g_jx_ig_k^{-1}, & g_kx_jg_i^{-1}, & g_ix_kg_j^{-1} \end{array} (g_jx_i,\ x_j,\ x_kg_j) \;=\; (x_ig_k^{-1},\ g_kx_jg_i^{-1},\ g_ix_k) le bloc ci-dessus est entouré d'un trait qui le sépare du reste ; la seconde ligne de droite est en partie surchargée et sa lecture est douteuse. si I=\{i,j,k\}, les conditions équivalentes : la ligne d'introduction est surchargée de deux mots biffés et d'ajouts interlinéaires ; seul « équivalentes » se lit sûrement.

a_1)\delta(G_i)x\subset\delta(G_j\times G_k).x a_2)\delta(G_j)x\subset\delta(G_k\times G_i).x a_3)\delta(G_k)x\subset\delta(G_i\times G_j).x

On peut encore les exprimer de la façon suivante : \forall couple (j,k) d'j,k\in I, j\neq k, on \tau_{k,j}: E_i\to\mathrm{Isom}(G_j,G_k) [l'image la phrase se poursuit hors de la page ; la page 2 ne porte pas de mathématiques.

dans l' extérieurs ex. ] et la condition début de page : suite de la phrase ouverte au bas de la page 1 (« l'image … »). À gauche, un premier triangle biffé, aux côtés marqués G_i, G_j, G_k.

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large] G_k \arrow[dr, "\tau_{i,k}(x_j)"'] & & G_j \arrow[ll, "\tau_{k,j}(x_i)"'] \\ & G_i \arrow[ur, "\tau_{j,i}(x_k)"'] & \end{tikzcd}

\tau_{j,i}(x_k)\,\tau_{i,k}(x_j)\,\tau_{k,j}(x_i)=\mathrm{id}_{G_j} (condition qui bien invariante par permutations circulaires)

L'existence d'un tel x=(x_i)_{i\in I} équivaut à ce que les isom. extérieurs \tilde\tau_{ij}=\tilde\tau_{ij}(x_k)\quad \text{\struck{$(i,j,k\in I)$}}\quad i,j,k\in I \text{ distincts} définis par les E_k (k\in I) entre les G_i forment un système transitif d'isom. extérieurs.

La condition \mathrm{a}_i signifie que si on x on dépend \prod_{i\in I}G_i, ainsi quelconque les trois lignes qui précèdent l'encadré sont d'une écriture très rapide ; seuls les symboles se lisent sûrement. \begin{aligned} g_i\gamma_ix &= (g_j,g_k)x\\ g_i(\gamma_i,\gamma_j,\gamma_k)x &= (\gamma_j,\gamma_k)\,g_i\gamma_ix = (\gamma_jg_j,\gamma_kg_k)x \end{aligned} ces deux lignes sont encadrées dans la marge gauche. orbite, qui est un torseur sous l'un quelconque des trois groupes \prod_{j\in I\setminus\{i\}}G_j. On a ainsi ~~contenu~~ une partie \Gamma\subset\prod_{i\in I}E_i=P . Celle-ci satisfait à la condition de I. \begin{array}{lll} a=(a_i,a_j,a_k) & x_i=a_ig_k^{-1} & \text{détermine } g_k \text{ en fonction de } a \text{ et } x_i\\ x=(x_i,x_j,x_k) & x_j=g_ka_jg_i^{-1} & \text{détermine } g_i \text{ en fonction de } a \text{ et } x_i,x_j\\ \phantom{x=}\ ? & x_k=g_ia_k & \text{détermine } x_k \end{array}

la page commence au milieu d'une phrase, dont le début se lit au bas de la page 6 (« Donc on a trois applications u_1,u_2,u_3 : G\to G' »). satisfaisant u_i(1)=1 \qquad i=1,2,3 et (*)\qquad xyz=1\ \Longrightarrow\ u_1(x)\,u_2(y)\,u_3(z)=1 Prouvons que les u_i sont ~~des homom. de~~ égaux à un seul et unique homom. de groupes.

Faisons x=1, on trouve que u_3(y^{-1})=u_2(y)^{-1}. Donc u_3(y)=u_2(y^{-1})^{-1}, pareil : u_1(y)=u_2(y^{-1})^{-1}, donc u_1(y)=u_3(y), et de même u_1(y)=u_2(y). Donc u_1=u_2=u_3, et u(y)=u(y^{-1})^{-1}, donc u u(y^{-1})=u(y)^{-1}.

On tire maintenant de (*) u\bigl((xy)^{-1}\bigr)^{-1}=u(x)\,u(y), le membre de gauche valant u(xy), donc u(xy)=u(x)\,u(y) cqfd.

Question : le foncteur \varphi est-il une équivalence ?

Catégorie \mathcal{C}' (I variable) pour iso sur I)

On a un foncteur \mathcal{C}'\xrightarrow{\ \varphi\ }\mathcal{C}

Prop. Ce foncteur est pl. fidèle (cet identifie \mathcal{C}' à une sous-catégorie pleine de \mathcal{C}) la parenthèse est réécrite au-dessus d'un premier début biffé, illisible.

Comme ce sont des catégories fibrées sur le groupoïde des ens. I de card 3, on est ramené à prouver que le foncteur induit sur les fibres pour I=\{1,2,3\} équivalentes est pl. fid. La fidélité est claire (E_i,G_i,\ldots,\Gamma).

Soit un objet de \mathcal{C}', et x =(x_1,x_2,x_3) un pt de \Gamma. Donc les G_i sont isomorphes entre eux, et isomorphes aux E_i, et \prod E_i s'identifie à G^3, et \Gamma à l'ens. des (x,y,z) tels que xyz=1 . Soit un autre objet (E'_i,G'_i,\ldots,\Gamma') et \varphi dans un morphisme \varphi , appliquant \Gamma dans \Gamma', soit (x'_1,x'_2,x'_3) l'image de x=(x_1,x_2,x_3)=(1,1,1). Elle permet d'identifier le deuxième objet à G'^3 (G' un groupe), \Gamma' à l'ens. des (x',y',z') tels que x'y'z'=1 . Donc on a trois applications u_1,u_2,u_3 : G\to G' la phrase se poursuit en tête de la page 5 (« satisfaisant u_i(1)=1 … »), qui est donc la suite de celle-ci : les feuillets sont classés dans le désordre.

x\ y a_1\ a_2\ a_3 E_1\xrightarrow{\ \alpha_1\ }\mathrm{Isom}(E_2,E_3)\qquad E_2\xrightarrow{\ \alpha_2\ }\mathrm{Isom}(E_3,E_1)\qquad E_3\xrightarrow{\ \alpha_3\ }\mathrm{Isom}(E_1,E_2)

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large] E_1 \arrow[r, "\alpha_3(a_3)"] & E_2 \arrow[dl, "\alpha_1(a_1)"] \\ E_3 \arrow[u, "\alpha_2(a_2)"] & \end{tikzcd}

à l'intérieur du triangle, trois flèches en pointillé de sens inverse, marquées u_3 (E_2\to E_1), u_1, u_2.

NB \alpha_3(a_3) : a_1\mapsto a_2,\qquad \alpha_1(a_1) : a_2\mapsto a_3,\qquad \alpha_2(a_2) : a_3\mapsto a_1 Posons \begin{aligned} \alpha_2(a_2)\,\alpha_1(a_1) &= u_3 : E_2\to E_1\\ \alpha_3(a_3)\,\alpha_2(a_2) &= u_1 : E_3\to E_2\\ \alpha_1(a_1)\,\alpha_3(a_3) &= u_2 : E_1\to E_3 \end{aligned} Admettons \boxed{u_1u_2u_3=\mathrm{id}} \qquad \text{NB}\quad u_3(a_2)=a_1,\quad u_1(a_3)=a_2,\quad u_2(a_1)=a_3 D'où syst. transitif d'isom. entre les E_i, la phrase se poursuit hors de la page.

permettant de les identifier : à un ens. G. On a donc suite, selon toute apparence, de la dernière ligne de la page 8 (« D'où syst. transitif d'isom. entre les E_i, »).

ens. pointé (G,e) \Gamma\subset G\times G\times G

a) \forall x,y\in G, \begin{aligned} &\exists!\,z\in G \text{ tel que } (x,y,z)\in\Gamma\\ &\exists!\,z\in G \text{ tel que } (z,x,y)\in\Gamma\\ &\exists!\,z\in G \text{ tel que } (x,z,y)\in\Gamma \end{aligned} ~~b) Soit \sigma_1,\sigma_3 : G\xrightarrow{\sim}G défini par (x,\sigma x,e)\in\Gamma, (e,x,\sigma_1x)\in\Gamma, (\sigma_2x,e,x)\in\Gamma~~ ce premier b) est barré de hachures obliques et encadré.

b) (e,e,e)\in\Gamma

c) Soit \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 : G\xrightarrow{\sim}G défini par \begin{aligned} &(e,x,\sigma_1x)\in\Gamma\\ &(\sigma_2x,e,x)\in\Gamma\\ &(x,\sigma_3x,e)\in\Gamma \end{aligned} On a ~~(\sigma_3\sigma_2\sigma_1)^2=\mathrm{id}~~ \sigma_2\sigma_1=\mathrm{id},\quad \sigma_3\sigma_2=\mathrm{id},\quad \sigma_1\sigma_3=\mathrm{id} i.e. \sigma_1=\sigma_2=\sigma_3 (=\sigma), \sigma^2=\mathrm{id}.

Si x,y\in G soit x.y\in G défini par (x,y,\sigma(x.y))\in\Gamma. On a donc ~~z=xy\Longleftrightarrow(x,y~~ (x,y,z)\in\Gamma\ \Longleftrightarrow\ z=\sigma(x.y)

(G,e) ens. pointé, avec loi de composition (x,y)\mapsto x.y, \sigma automorphisme de G e avec \sigma^2=\mathrm{id} \Gamma=\{(x,y,z)\in G^3 \mid z=\sigma(x.y)\}=\{(x,y,z)\in G^3\mid x.y=\sigma^{-1}z\} Conditions a) \forall x,y\in G \begin{aligned} &\exists!\,z \text{ tel que } zx=\sigma^{-1}y\\ &\exists!\,z \text{ tel que } xz=\sigma^{-1}y \end{aligned} i.e. z\mapsto zx et z\mapsto xz sont bijectifs

b) \sigma^{-1}e=e.e

c) On a \begin{aligned} &\forall x\quad \sigma^{-1}\sigma x=ex &&\text{i.e. } ex=x\\ &\forall x\quad \sigma x.e=\sigma^{-1}x &&\text{i.e. } \forall x \text{ on a } x.e=\sigma^{-2}x\ (=x)\\ &\forall x\quad x.\sigma x=\sigma^{-1}e\ (=e) \end{aligned} en marge de b) et de la première ligne de c), une accolade conclut « \Rightarrow\sigma e=e ».

~~y faisant x=1, on trouve e.\sigma e=\sigma^{-1}e (=\sigma e) donc e.\sigma~~

Donc : e est unité bilatère, ~~et \sigma x est l'inverse à droite de x~~ et les translations à g. et à dr. sont bijectives. De plus, \forall x\in G, \sigma x est ~~inverse~~ inverse à droite de x, donc (comme \sigma^2=\mathrm{id}) x.\sigma x=e\qquad (\sigma x)(\sigma\sigma x)=e ~~(\sigma^{-1}x)x=e~~ c'est un inverse bilatère ~~\sigma x.x~~ l'alinéa « Donc : e est unité bilatère … » est marqué d'un double trait vertical en marge gauche.

(xy)z=x(yz)\ \ ??\qquad (x,y,\sigma(xy))\in\Gamma ~~(y\sigma x~~ ~~xy,z,\sigma((xy)z)~~ (x,y,z)\in\Gamma\ \Longrightarrow\ z=\sigma(x.y)\ \Longleftrightarrow\ (x.y).z=e\ \Longleftrightarrow\ z.(x.y)=e \begin{aligned} &(xy,z,\sigma((xy)z))\in\Gamma\\ &(x,yz,\sigma(x(yz)))\in\Gamma \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &xy=e\\ &\Updownarrow\\ &(xy)z=z\\ &\Updownarrow\\ &z(xy)=z \end{aligned} le passage de « z=\sigma(x.y) » à « (x.y).z=e » est écrit au-dessus d'un essai biffé, ~~(x.y)=\sigma x~~.

(A) E_1=E_2=E_3=G\qquad \Gamma=\{(x,y,z)\mid xyz=1\} (a,b,c)\in\Gamma i.e. abc=1

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large] & E_1 \arrow[dl, "f_3"'] & \\ E_2 \arrow[rr, "f_1"] & & E_3 \arrow[ul, "f_2"'] \arrow[ll, bend left=30, "g_1"] \end{tikzcd}

sur le schéma, g_3 et g_2 sont des flèches courbes parallèles à f_3 et f_2, de sens contraire. \begin{aligned} &f_1(x) \text{ défini par } (a,x,f_1(x))\in\Gamma\\ &f_2(x) \text{ défini par } (f_2(x),b,x)\in\Gamma\\ &f_3(x) \text{ défini par } (x,f_3(x),c)\in\Gamma \end{aligned} f_1(x)=x^{-1}a^{-1},\qquad f_2(x)=x^{-1}b^{-1},\qquad f_3(x)=x^{-1}c^{-1} x^{-1}a^{-1}=y,\qquad x=a^{-1}y^{-1} \boxed{\sigma(xy)=\sigma y\,\sigma x} \text{\struck{$z=xy$}}\qquad \left\{ \begin{aligned} &(xy)z=1\\ &\Updownarrow\\ &(zx)y=1\\ &\Updownarrow\\ &(x^{-1}z^{-1})y^{-1}=1 \end{aligned} \right. \qquad \begin{aligned} &z=xy \Longleftrightarrow x=zy^{-1}\\ &y^{-1}=zx,\quad y=x^{-1}z^{-1} \end{aligned} ce coin droit est très surchargé (plusieurs essais biffés) et séparé du reste par un trait ; lecture d'ensemble douteuse. \begin{aligned} g_1(x)&=f_3f_2(x)=(bx)c^{-1}\\ g_2(x)&=f_1f_3(x)=(cx)a^{-1}\\ g_3(x)&=f_2f_1(x)=(ax)b^{-1} \end{aligned} g_1g_2g_3(x)=bcaxb^{-1}a^{-1}c^{-1}=(bca)\,x\,(cab)^{-1}=x\qquad\text{i.e. } g_1g_2g_3=\mathrm{id} sous (bca) et (cab), deux accolades marquées « 1 ». g_1g_2g_3=(f_3f_2f_1)^2 f_3f_2f_1(x)=(axb^{-1})^{-1}c^{-1}=bx^{-1}a^{-1}c^{-1}=bx^{-1}(ca)^{-1}=bx^{-1}b \sigma_2x=bx^{-1}b\qquad\text{de même}\qquad \sigma_3x=cx^{-1}c,\quad \sigma_1x=ax^{-1}a ~~\sigma_2^2x=b(b^{-1}xb^{-1})b=x~~

E_1\qquad E_2\ \underset{f_1^{-1}}{\overset{f_1}{\rightleftarrows}}\ E_3 \qquad \text{\struck{$(x,y,z)$}} à droite, un petit schéma : \sigma_1 de E_1 dans E_1, et f_1, f_1^{-1} échangeant E_2 et E_3 en croix. \begin{aligned} &(x,y,z)\\ &(\sigma_1x,\ f_1^{-1}z,\ f_1y)=(ax^{-1}a,\ a^{-1}z^{-1},\ y^{-1}a^{-1}) \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &xyz=1\Longrightarrow\\ &ax^{-1}aa^{-1}z^{-1}y^{-1}a^{-1}=1 \end{aligned}

(B) la page reprend le calcul de la page 13 sans supposer l'associativité : les parenthèses sont écrites partout. ~~z=xy~~ x^{-1}(uz^{-1})=y \begin{aligned} u=(xy)z &\Longleftrightarrow (uz^{-1}=xy)\Longleftrightarrow (y^{-1}x^{-1})u=z\\ u=x(yz) &\Longleftrightarrow (x^{-1}u=yz)\Longleftrightarrow u(\cdots \end{aligned} la seconde ligne s'interrompt sur « u( » ; suivent, sous un x^{-1} isolé, quelques essais biffés illisibles. \left\{ \begin{aligned} f_1(x)&=x^{-1}a^{-1}\\ f_2(x)&=x^{-1}b^{-1}\\ f_3(x)&=x^{-1}c^{-1} \end{aligned} \right. \qquad \begin{aligned} g_1&=f_3f_2 = x\mapsto (bx)c^{-1}\\ g_2&=f_1f_3 = x\mapsto (cx)a^{-1}\\ g_3&=f_2f_1 = x\mapsto (ax)b^{-1} \end{aligned} g_1g_2g_3=(f_3f_2f_1)^2\qquad x\mapsto \Bigl(b\Bigl(\bigl(c((ax)b^{-1})\bigr)a^{-1}\Bigr)\Bigr)c^{-1} \sigma_2x=f_3f_2f_1(x)=\bigl((ax)b^{-1}\bigr)^{-1}c^{-1}=\bigl(b(x^{-1}a^{-1})\bigr)c^{-1} \sigma_2^2x=\Bigl(b\bigl(\bigl[c((ax)b^{-1})\bigr]a^{-1}\bigr)\Bigr)c^{-1} \begin{array}{l} x\\ ax\\ axb^{-1}\\ caxb^{-1}\\ \text{\struck{$b$}}\,caxb^{-1}a^{-1}\\ bcaxb^{-1}\\ bcaxb^{-1}a^{-1}c^{-1} \end{array} \qquad \left\{ \begin{aligned} &\sigma(xy)=\sigma x\,\sigma y\\ &\tau^{d}_{x}{}^{-1}=\tau^{d}_{x^{-1}}\\ &\tau^{g}_{x}{}^{-1}=\tau^{g}_{x^{-1}} \end{aligned} \right. \tau^{d}, \tau^{g} : translations à droite et à gauche, lecture probable des exposants d, g. La colonne de gauche est la suite des étapes de g_1g_2g_3x ; une ligne y est en partie biffée. u=(xy)z\qquad (bx)c^{-1}=y\qquad x=b^{-1}(yc) x=\qquad g_1g_2g_3x=x\qquad \text{\struck{$g_2g_3x=$}} \bigl(c((ax)b^{-1})\bigr)\text{\struck{$a^{-1}$}}=\bigl(b^{-1}(xc)\bigr)a \boxed{c\bigl((ax)b^{-1}\bigr)=\bigl(b^{-1}(xc)\bigr)a} en marge gauche : « abc, cab=1 » et deux lignes biffées ; au pied de la page, deux essais biffés : ~~c(xc)= (ax)a=~~ ~~c(ab^{-1})=(b^{-1}c)a~~

page de calcul très surchargée, en deux encres (bleue et brune) ; seules les formules principales sont transcrites, les nombreux essais biffés et les accolades de soulignement sont résumés. (b^{-1}a^{-1})\bigl((ax)b^{-1}\bigr)=\bigl(b^{-1}(x(b^{-1}a^{-1}))\bigr)a formule entourée, à l'encre brune. \left\{ \begin{aligned} &(ab)c=1\\ &\text{\struck{$x\ y\ z$}}\\ &(xy)z=1 \end{aligned} \right. \ \Longrightarrow\ \Bigl[\bigl((z^{-1}b^{-1})((b(y^{-1}a^{-1}))c^{-1})\bigr)\Bigr](b^{-1}x^{-1})\,\text{\struck{$b$}}=1 ce bloc est encadré.

~~\bigl(b(x^{-1}a^{-1})\bigr)c^{-1}=b(x^{-1}b)~~ z=c^{\cdot} l'exposant de c est illisible. b\mapsto z,\quad a\mapsto b,\quad x\mapsto y^{-1}a^{-1} \Bigl[\bigl(z^{-1}((y^{-1}a^{-1})(z^{-1}b^{-1}))\bigr)b\Bigr](b^{-1}x^{-1}) \text{\struck{$c=b^{-1}a^{-1}$}}\quad \text{\struck{$z=ab$}}\qquad (ab)(xy)=1 ab=xy\qquad \text{\struck{$(ab)(xy)=1$}}\ \Longrightarrow\ \Bigl[(\cdots)\bigl((y^{-1}a^{-1})(\cdots\,b^{-1})\bigr)b\Bigr](b^{-1}x^{-1}) les deux facteurs notés ici (\cdots) sont surchargés et illisibles. sous la dernière expression, des accolades regroupent des facteurs en « a », « y^{-1} », « x » ; plus bas : « ax ». (xb)(b^{-1}x^{-1})=1 \begin{aligned} &(ab)c=1\ *\\ &(xy)z=1\ * \end{aligned} \ \overset{?}{\Longrightarrow}\ xb=(z^{-1}b^{-1})\bigl((b(y^{-1}a^{-1}))c^{-1}\bigr) \Updownarrow (bz)(xb)=\bigl(b(y^{-1}a^{-1})\bigr)c^{-1} ~~(ub^{-1})(bc)=uc\ ?~~ formule biffée et entourée, à l'encre brune, en marge gauche. (bz)(xb)=\bigl(b((zx)(bc))\bigr)c^{-1} \bigl((bz)(xb)\bigr)c=b(y^{-1}a^{-1})\qquad (bu)c=b\bigl((ub^{-1})(bc)\bigr) sous \bigl((bz)(xb)\bigr)c, des accolades : bz\mapsto b, xb\mapsto y^{-1}, c=a^{-1}. \boxed{\bigl((bz)(xb)\bigr)c=b\bigl((zx)(bc)\bigr)} \qquad \left\{ \begin{aligned} &c=a^{-1}\\ &xb=y^{-1}\ *\\ &b=bz\ * \end{aligned} \right. la formule encadrée est à l'encre brune. z=1,\ c=\quad \bigl(b(xb)\bigr)c=b\bigl(x(bc)\bigr)\qquad z=1,\ y=x^{-1},\quad b=1,\ c=a^{-1} dans les deux dernières égalités, x et a sont entourés ; lecture d'ensemble de cette ligne douteuse.

page entière barrée de deux grandes diagonales en croix. Elle porte deux couches d'écriture : à l'encre bleue, les essais transcrits ci-dessous ; tête-bêche, à l'encre brune, quelques formules (« z\,(u(u^{-1}z^{-1})) », « (xy)(y^{-1}x^{-1}) », « (aa)a ») qui reprennent les calculs d'associativité des pages précédentes. \begin{aligned} &\tau_xz=xz\\ &\tau_x\tau_yz=x(yz)\\ &xx'=x'x=e\\ &x(x'y)=y\\ &G\times G\to G \end{aligned} Petits ensembles. e\ a : ee=e, ea=ae=a, aa\neq ae donc aa=e.

e\ a\ b : aa\quad bb\quad ab=ba \qquad ab\overset{?}{=}ba,\quad ab=a(aa),\ ba=(aa)a sous « aa\ bb\ ab=ba », une ligne d'essais biffés en zigzag, d'où émergent « b » et « e ». \{ae,aa,ab\}=\{e,a,b\}\qquad aa=b,\ ab=e\ \text{ou}\ aa=e,\ \text{\struck{$ab=b$}}\ \text{mais}\ ab\neq\ill{} le dernier terme, surchargé, est illisible. aa=b,\ ab=e\ \Longrightarrow\ \boxed{ba=e}\qquad bb=a e,a,b,c \qquad \text{\struck{$(xy)z=$}}\ x(yz)\qquad uv=u'v' x\,y\,z\qquad \bar x\bigl((xy)z\bigr)=(yz)\qquad \bar x\bigl((xy)z\bigr)z e, a,b,c : deux tables de multiplication commencées, \begin{array}{c|ccc} & a & b & c\\ \hline a & e & c & b\\ b & & & \\ c & & & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{c|ccc} & a & b & c\\ \hline a & b & c & e\\ b & & & \\ c & & & \end{array} dans la première table, l'entrée (a,b) est récrite sur une autre lettre. aa=e\quad ab=c\quad ac=b (xy)z=1\ \Longrightarrow\ z(xy)=1\qquad \Updownarrow\qquad y(zx)=1,\quad (zx)y=1\qquad \text{\struck{$(xy)z$}} \begin{aligned} &(ab)c=1\\ &(ax)y=1\\ &(yb)x=1\\ &(xy)c=1 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &y=\sigma(ax)\\ &yb=\sigma x\\ &xy=\sigma c \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &f_1(x)=\sigma(ax)\\ &f_2(x)=(\sigma x)b^{-1} \end{aligned}

Un graphe construit sur un groupe

nouvelle construction, sur un feuillet blanc ; elle n'est pas reliée explicitement à ce qui précède.

V groupe I\subset V partie de V V\xrightarrow{\ \varphi_\lambda\ }V_\lambda (\lambda\in\Lambda) homom. de groupes, I_\lambda\subset V_\lambda partie de V_\lambda X Y un V-ens. X_\lambda=Y\wedge_V(V_\lambda,\varphi_\lambda), d'où t_\lambda : Y\to X_\lambda

au-dessus du « Y » de X_\lambda=Y\wedge_V(\ldots), un « X » rattaché par un trait : la lettre X d'abord écrite a été remplacée par Y. S=\text{\struck{$X$}}\ \{e\}\sqcup Y\sqcup\coprod_{\lambda\in\Lambda}\underbrace{Y\times_V(V_\lambda,\varphi_\lambda)}_{X_\lambda} Structure de graphe sur S :

e est lié à tous les él. de X ; ~~les~~ y\in Y est lié à iy (i\in I) x\in X_\lambda est lié à ix (i\in V_\lambda) y\in Y est lié à son image t_\lambda(y)\in X_\lambda

et cela épuise les arêtes. au premier item, le complément après « de » est surchargé, et l'indice de X illisible. Au troisième, la page porte « i\in V_\lambda » ; on attendrait plutôt i\in I_\lambda.

À quelles conditions est-ce là un graphe triadique ? Je dis qu'il n'y a que les cas suivants

a) V\simeq\mathbf{F}_2^{\,r+1} , où card =2^r , r\in\{0,1,2\}

b) I est une base de V

c) la liste s'arrête à « c) », laissé vide.

En haut à gauche, un hexagone dont les six sommets portent des triplets de lettres \xi à indices (« \xi_1\xi_2\xi_3 », « \xi_4\xi_5\xi_6 », … ; certains indices surchargés, d'autres marqués d'un accent ou d'un trait), reliés par les côtés en trait plein et par des diagonales en pointillé qui se croisent au centre ; une flèche courbe mène vers la droite. les indices des triplets aux sommets de l'hexagone ne se lisent pas tous ; ils ne sont pas transcrits.

E^{\varepsilon} À droite de E^{\varepsilon}, une rangée de points encadrée dont les deux derniers sont reliés à un point inférieur en forme de V, et sous elle une rangée de points pointillée terminée par un segment vertical.

(hexagone distingué ou triplets typiques) sous la parenthèse, un « \xi » isolé suivi de deux chiffres peu lisibles (« 1\ 4 » ?).

~~2 ens : trois él. E, E'~~

1 ens : trois él. I E\times I\ \sqcup\ E\times I' ens : E él. fibrés de degré 3 sur ens \varepsilon : 2 él. E=\coprod_{\alpha\in\varepsilon}E_\alpha ens : trois él. I ces trois lignes sont réunies par une accolade ; le « E » de la première est récrit sur un autre signe. I\times\varepsilon\quad \text{hexagone} \coprod_{\alpha\in\varepsilon}E_\alpha\times I = E\times I \quad\text{fibré sur } I\times\varepsilon

\xi_1\xi_2\xi_3 il y a 6 él. liés à aucun ~~autre~~

il y a trois él. liés à deux \alpha\in E

il y a 6 él. liés à exactement 2 des \xi

et 9 él. liés à exactement un X=\prod_{\alpha\in\varepsilon}E_\alpha Le bas de la page est couvert d'esquisses sans légende : colonnes et grilles 3\times 3 de points (l'une entourée d'un cercle), un faisceau de segments croisés entre deux rangées de points, de petits polyèdres, deux triangles, et les inscriptions « x\,y\,z\,x'y'z' » (avec une accolade), « 9\ 6\ 6\ 6 », « 9\ 9\ 9 » et « 40 ». Dans la marge droite, quelques traits illisibles. la page s'arrête sur ces esquisses ; l'argument se poursuit vraisemblablement au-delà du lot.