Cote n° 74, pages 1–20

Cote n° 74 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Complexes cubiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

Relations ternaires et bitorseurs

1I. $I$ ens. de card $3$.

$(E_i)_{i\in I}$ famille d'ensembles

$\Gamma\subset\prod_{i\in I}E_i$

Axiome : si […] $i,j,k\in I$ distincts (donc $I=\{i,j,k\}$) alors $\forall x_i\in E_i$, $x_j\in E_j$, $\exists!\,x_k\in E_k$ tel que $(x_i,x_j,x_k)\in\Gamma$.

Catégorie $\mathcal{C}$ ($I$ variable ; pour iso sur $I$)

II. $I$ ens. de card $3$ Dans la marge gauche, un triangle aux sommets $E_i$, $E_j$, $E_k$, dont les côtés portent $G_k$, $G_j$, $G_i$.

$(G_i)_{i\in I}$ famille de groupes

$E_{ij}$ : $L(G_i)\to L(G_j)$ syst. transitif d'isom. extérieurs entre ces groupes la fin de ligne « entre ces groupes », écrite sous la ligne biffée, n'est pas biffée.

$(E_i)_{i\in I}$ famille d'ens.

$\forall i\in I$, les groupes $\prod_{j\in I\setminus\{i\}}G_j$ opèrent sur $E_i$, de façon ⌜(si $I=\{i,j,k\}$)⌝ que $E_i$ deviennent des bitorseurs sous $G_j$, $G_k$. On peut renverser l'opération de $G_\ell$ en l'opération inverse.

Alors \[ \prod_{i\in I}\ \prod_{j\in I\setminus\{i\}}G_j \;=\; \prod_{j\in I}G_j^{\,I\setminus\{j\}} \] opère sur $P=\prod E_i$, donc $\prod_{j\in I}G_j$ opère diagonalement ⌜par $\delta$⌝. Soit $x=(x_i)_{i\in I}\in P$, alors \[ \begin{array}{cccc} E_i\times E_j\times E_k & x_i, & x_j, & x_k \;=\;\xi\\ G_j\ G_k\ G_i\ G_j & g_jx_ig_k^{-1}, & g_kx_jg_i^{-1}, & g_ix_kg_j^{-1} \end{array} \] \[ (g_jx_i,\ x_j,\ x_kg_j) \;=\; (x_ig_k^{-1},\ g_kx_jg_i^{-1},\ g_ix_k) \] le bloc ci-dessus est entouré d'un trait qui le sépare du reste ; la seconde ligne de droite est en partie surchargée et sa lecture est douteuse. si $I=\{i,j,k\}$, les conditions […] ⌜équivalentes⌝ : la ligne d'introduction est surchargée de deux mots biffés et d'ajouts interlinéaires ; seul « équivalentes » se lit sûrement.

a$_1$)$\delta(G_i)x\subset\delta(G_j\times G_k).x$
a$_2$)$\delta(G_j)x\subset\delta(G_k\times G_i).x$
a$_3$)$\delta(G_k)x\subset\delta(G_i\times G_j).x$

[…] On peut encore les exprimer de la façon suivante : $\forall$ couple $(j,k)$ d'$j,k\in I$, $j\neq k$, on […] \[ \tau_{k,j}: E_i\to\mathrm{Isom}(G_j,G_k) \] [l'image […] […] la phrase se poursuit hors de la page ; la page 2 ne porte pas de mathématiques.

3dans l'[…] ⌜extérieurs⌝ ex. […]] et la condition […] début de page : suite de la phrase ouverte au bas de la page 1 (« l'image … »). À gauche, un premier triangle biffé, aux côtés marqués $G_i$, $G_j$, $G_k$.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large]
G_k \arrow[dr, "\tau_{i,k}(x_j)"'] & & G_j \arrow[ll, "\tau_{k,j}(x_i)"'] \\
& G_i \arrow[ur, "\tau_{j,i}(x_k)"'] &
\end{tikzcd}

\[ \tau_{j,i}(x_k)\,\tau_{i,k}(x_j)\,\tau_{k,j}(x_i)=\mathrm{id}_{G_j} \] (condition qui […] bien invariante par permutations circulaires)

L'existence d'un tel $x=(x_i)_{i\in I}$ équivaut à ce que les isom. extérieurs \[ \tilde\tau_{ij}=\tilde\tau_{ij}(x_k)\quad \text{\struck{$(i,j,k\in I)$}}\quad i,j,k\in I \text{ distincts} \] définis par les $E_k$ ($k\in I$) entre les $G_i$ forment un système transitif d'isom. extérieurs.

La condition $\mathrm{a}_i$ signifie que si on […] $x$ on dépend […] […] […] $\prod_{i\in I}G_i$, […] ⌜[…]⌝ […] ainsi […] […] quelconque […] […] les trois lignes qui précèdent l'encadré sont d'une écriture très rapide ; seuls les symboles se lisent sûrement. \[ \begin{aligned} g_i\gamma_ix &= (g_j,g_k)x\\ g_i(\gamma_i,\gamma_j,\gamma_k)x &= (\gamma_j,\gamma_k)\,g_i\gamma_ix = (\gamma_jg_j,\gamma_kg_k)x \end{aligned} \] ces deux lignes sont encadrées dans la marge gauche. orbite, qui […] est un torseur sous l'un quelconque des trois groupes $\prod_{j\in I\setminus\{i\}}G_j$. On a ainsi contenu ⌜une⌝ partie \[ \Gamma\subset\prod_{i\in I}E_i=P . \] Celle-ci satisfait à […] ⌜la⌝ condition de I. \[ \begin{array}{lll} a=(a_i,a_j,a_k) & x_i=a_ig_k^{-1} & \text{détermine } g_k \text{ en fonction de } a \text{ et } x_i\\ x=(x_i,x_j,x_k) & x_j=g_ka_jg_i^{-1} & \text{détermine } g_i \text{ en fonction de } a \text{ et } x_i,x_j\\ \phantom{x=}\ ? & x_k=g_ia_k & \text{détermine } x_k \end{array} \]

5la page commence au milieu d'une phrase, dont le début se lit au bas de la page 6 (« Donc on a trois applications $u_1,u_2,u_3 : G\to G'$ »). satisfaisant \[ u_i(1)=1 \qquad i=1,2,3 \] et \[ (*)\qquad xyz=1\ \Longrightarrow\ u_1(x)\,u_2(y)\,u_3(z)=1 \] Prouvons que les $u_i$ sont des homom. de ⌜égaux à un seul⌝ et unique homom. de groupes.

Faisons $x=1$, on trouve que $u_3(y^{-1})=u_2(y)^{-1}$. Donc $u_3(y)=u_2(y^{-1})^{-1}$, pareil […] : $u_1(y)=u_2(y^{-1})^{-1}$, donc $u_1(y)=u_3(y)$, et de même $u_1(y)=u_2(y)$. Donc $u_1=u_2=u_3$, et $u(y)=u(y^{-1})^{-1}$, donc $u$ $u(y^{-1})=u(y)^{-1}$.

On tire maintenant de $(*)$ \[ u\bigl((xy)^{-1}\bigr)^{-1}=u(x)\,u(y), \] le membre de gauche valant $u(xy)$, donc $u(xy)=u(x)\,u(y)$ cqfd.

Question : le foncteur $\varphi$ est-il une équivalence ?

6Catégorie $\mathcal{C}'$ ($I$ variable) pour iso sur $I$)

On a un foncteur \[ \mathcal{C}'\xrightarrow{\ \varphi\ }\mathcal{C} \]

Prop. Ce foncteur est pl. fidèle ⌜(cet identifie⌝ $\mathcal{C}'$ à une sous-catégorie pleine de $\mathcal{C}$) la parenthèse est réécrite au-dessus d'un premier début biffé, illisible.

Comme ce sont des catégories fibrées sur le groupoïde des ens. $I$ de card $3$, on est ramené à prouver que le foncteur induit sur les fibres pour $I=\{1,2,3\}$ […] ⌜équivalentes⌝ est pl. fid. […] La fidélité est claire $(E_i,G_i,\ldots,\Gamma)$.

Soit un objet de $\mathcal{C}'$, et $x$ ⌜$=(x_1,x_2,x_3)$⌝ un pt de $\Gamma$. Donc les $G_i$ sont isomorphes entre eux, et isomorphes aux $E_i$, et $\prod E_i$ s'identifie à $G^3$, et $\Gamma$ à l'ens. des $(x,y,z)$ tels que \[ xyz=1 . \] Soit un autre objet $(E'_i,G'_i,\ldots,\Gamma')$ et […] ⌜$\varphi$ dans⌝ un morphisme […] […] $\varphi$ […], appliquant $\Gamma$ dans $\Gamma'$, soit $(x'_1,x'_2,x'_3)$ l'image de $x=(x_1,x_2,x_3)=(1,1,1)$. Elle permet d'identifier le deuxième objet à $G'^3$ ($G'$ un groupe), $\Gamma'$ à l'ens. des $(x',y',z')$ tels que \[ x'y'z'=1 . \] Donc on a trois applications \[ u_1,u_2,u_3 : G\to G' \] la phrase se poursuit en tête de la page 5 (« satisfaisant $u_i(1)=1$ … »), qui est donc la suite de celle-ci : les feuillets sont classés dans le désordre.

8$x\ y$ $a_1\ a_2\ a_3$ \[ E_1\xrightarrow{\ \alpha_1\ }\mathrm{Isom}(E_2,E_3)\qquad E_2\xrightarrow{\ \alpha_2\ }\mathrm{Isom}(E_3,E_1)\qquad E_3\xrightarrow{\ \alpha_3\ }\mathrm{Isom}(E_1,E_2) \]

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\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large]
E_1 \arrow[r, "\alpha_3(a_3)"] & E_2 \arrow[dl, "\alpha_1(a_1)"] \\
E_3 \arrow[u, "\alpha_2(a_2)"] &
\end{tikzcd}

à l'intérieur du triangle, trois flèches en pointillé de sens inverse, marquées $u_3$ ($E_2\to E_1$), $u_1$, $u_2$.

NB \[ \alpha_3(a_3) : a_1\mapsto a_2,\qquad \alpha_1(a_1) : a_2\mapsto a_3,\qquad \alpha_2(a_2) : a_3\mapsto a_1 \] Posons \[ \begin{aligned} \alpha_2(a_2)\,\alpha_1(a_1) &= u_3 : E_2\to E_1\\ \alpha_3(a_3)\,\alpha_2(a_2) &= u_1 : E_3\to E_2\\ \alpha_1(a_1)\,\alpha_3(a_3) &= u_2 : E_1\to E_3 \end{aligned} \] Admettons \[ \boxed{u_1u_2u_3=\mathrm{id}} \qquad \text{NB}\quad u_3(a_2)=a_1,\quad u_1(a_3)=a_2,\quad u_2(a_1)=a_3 \] D'où syst. transitif d'isom. entre les $E_i$, la phrase se poursuit hors de la page.

10[…] permettant de les identifier : à un ens. $G$. On a donc suite, selon toute apparence, de la dernière ligne de la page 8 (« D'où syst. transitif d'isom. entre les $E_i$, »).

ens. pointé $(G,e)$
$\Gamma\subset G\times G\times G$

a) $\forall x,y\in G$, \[ \begin{aligned} &\exists!\,z\in G \text{ tel que } (x,y,z)\in\Gamma\\ &\exists!\,z\in G \text{ tel que } (z,x,y)\in\Gamma\\ &\exists!\,z\in G \text{ tel que } (x,z,y)\in\Gamma \end{aligned} \] b) Soit […] $\sigma_1,\sigma_3$ : $G\xrightarrow{\sim}G$ défini par $(x,\sigma x,e)\in\Gamma$, $(e,x,\sigma_1x)\in\Gamma$, $(\sigma_2x,e,x)\in\Gamma$ ce premier b) est barré de hachures obliques et encadré.

b) $(e,e,e)\in\Gamma$

c) Soit $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 : G\xrightarrow{\sim}G$ défini par \[ \begin{aligned} &(e,x,\sigma_1x)\in\Gamma\\ &(\sigma_2x,e,x)\in\Gamma\\ &(x,\sigma_3x,e)\in\Gamma \end{aligned} \] On a $(\sigma_3\sigma_2\sigma_1)^2=\mathrm{id}$ \[ \sigma_2\sigma_1=\mathrm{id},\quad \sigma_3\sigma_2=\mathrm{id},\quad \sigma_1\sigma_3=\mathrm{id} \] i.e. $\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3$ $(=\sigma)$, $\sigma^2=\mathrm{id}$.

Si $x,y\in G$ soit $x.y\in G$ défini par $(x,y,\sigma(x.y))\in\Gamma$. On a donc $z=xy\Longleftrightarrow(x,y$ \[ (x,y,z)\in\Gamma\ \Longleftrightarrow\ z=\sigma(x.y) \]

12$(G,e)$ ens. pointé, avec loi de composition $(x,y)\mapsto x.y$, $\sigma$ automorphisme de $G$ $e$ avec $\sigma^2=\mathrm{id}$ \[ \Gamma=\{(x,y,z)\in G^3 \mid z=\sigma(x.y)\}=\{(x,y,z)\in G^3\mid x.y=\sigma^{-1}z\} \] Conditions a) $\forall x,y\in G$ \[ \begin{aligned} &\exists!\,z \text{ tel que } zx=\sigma^{-1}y\\ &\exists!\,z \text{ tel que } xz=\sigma^{-1}y \end{aligned} \] i.e. $z\mapsto zx$ et $z\mapsto xz$ sont bijectifs

b) $\sigma^{-1}e=e.e$

c) On a \[ \begin{aligned} &\forall x\quad \sigma^{-1}\sigma x=ex &&\text{i.e. } ex=x\\ &\forall x\quad \sigma x.e=\sigma^{-1}x &&\text{i.e. } \forall x \text{ on a } x.e=\sigma^{-2}x\ (=x)\\ &\forall x\quad x.\sigma x=\sigma^{-1}e\ (=e) \end{aligned} \] en marge de b) et de la première ligne de c), une accolade conclut « $\Rightarrow\sigma e=e$ ».

y faisant $x=1$, on trouve $e.\sigma e=\sigma^{-1}e$ $(=\sigma e)$ donc $e.\sigma$

Donc : $e$ est unité bilatère, et $\sigma x$ est l'inverse à droite de $x$ et les translations à g. et à dr. sont bijectives. De plus, $\forall x\in G$, $\sigma x$ est inverse ⌜inverse⌝ à droite ⌜de $x$⌝, donc (comme $\sigma^2=\mathrm{id}$) \[ x.\sigma x=e\qquad (\sigma x)(\sigma\sigma x)=e \] $(\sigma^{-1}x)x=e$ c'est un inverse bilatère $\sigma x.x$ l'alinéa « Donc : $e$ est unité bilatère … » est marqué d'un double trait vertical en marge gauche.

\[ (xy)z=x(yz)\ \ ??\qquad (x,y,\sigma(xy))\in\Gamma \] $(y\sigma x$ […] $xy,z,\sigma((xy)z)$ \[ (x,y,z)\in\Gamma\ \Longrightarrow\ z=\sigma(x.y)\ \Longleftrightarrow\ (x.y).z=e\ \Longleftrightarrow\ z.(x.y)=e \] \[ \begin{aligned} &(xy,z,\sigma((xy)z))\in\Gamma\\ &(x,yz,\sigma(x(yz)))\in\Gamma \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &xy=e\\ &\Updownarrow\\ &(xy)z=z\\ &\Updownarrow\\ &z(xy)=z \end{aligned} \] le passage de « $z=\sigma(x.y)$ » à « $(x.y).z=e$ » est écrit au-dessus d'un essai biffé, $(x.y)=\sigma x$.

13(A) \[ E_1=E_2=E_3=G\qquad \Gamma=\{(x,y,z)\mid xyz=1\} \] $(a,b,c)\in\Gamma$ i.e. $abc=1$

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\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large]
& E_1 \arrow[dl, "f_3"'] & \\
E_2 \arrow[rr, "f_1"] & & E_3 \arrow[ul, "f_2"'] \arrow[ll, bend left=30, "g_1"]
\end{tikzcd}

sur le schéma, $g_3$ et $g_2$ sont des flèches courbes parallèles à $f_3$ et $f_2$, de sens contraire. \[ \begin{aligned} &f_1(x) \text{ défini par } (a,x,f_1(x))\in\Gamma\\ &f_2(x) \text{ défini par } (f_2(x),b,x)\in\Gamma\\ &f_3(x) \text{ défini par } (x,f_3(x),c)\in\Gamma \end{aligned} \] \[ f_1(x)=x^{-1}a^{-1},\qquad f_2(x)=x^{-1}b^{-1},\qquad f_3(x)=x^{-1}c^{-1} \] \[ x^{-1}a^{-1}=y,\qquad x=a^{-1}y^{-1} \] \[ \boxed{\sigma(xy)=\sigma y\,\sigma x} \] \[ \text{\struck{$z=xy$}}\qquad \left\{ \begin{aligned} &(xy)z=1\\ &\Updownarrow\\ &(zx)y=1\\ &\Updownarrow\\ &(x^{-1}z^{-1})y^{-1}=1 \end{aligned} \right. \qquad \begin{aligned} &z=xy \Longleftrightarrow x=zy^{-1}\\ &y^{-1}=zx,\quad y=x^{-1}z^{-1} \end{aligned} \] ce coin droit est très surchargé (plusieurs essais biffés) et séparé du reste par un trait ; lecture d'ensemble douteuse. \[ \begin{aligned} g_1(x)&=f_3f_2(x)=(bx)c^{-1}\\ g_2(x)&=f_1f_3(x)=(cx)a^{-1}\\ g_3(x)&=f_2f_1(x)=(ax)b^{-1} \end{aligned} \] \[ g_1g_2g_3(x)=bcaxb^{-1}a^{-1}c^{-1}=(bca)\,x\,(cab)^{-1}=x\qquad\text{i.e. } g_1g_2g_3=\mathrm{id} \] sous $(bca)$ et $(cab)$, deux accolades marquées « $1$ ». \[ g_1g_2g_3=(f_3f_2f_1)^2 \] \[ f_3f_2f_1(x)=(axb^{-1})^{-1}c^{-1}=bx^{-1}a^{-1}c^{-1}=bx^{-1}(ca)^{-1}=bx^{-1}b \] \[ \sigma_2x=bx^{-1}b\qquad\text{de même}\qquad \sigma_3x=cx^{-1}c,\quad \sigma_1x=ax^{-1}a \] $\sigma_2^2x=b(b^{-1}xb^{-1})b=x$

\[ E_1\qquad E_2\ \underset{f_1^{-1}}{\overset{f_1}{\rightleftarrows}}\ E_3 \qquad \text{\struck{$(x,y,z)$}} \] à droite, un petit schéma : $\sigma_1$ de $E_1$ dans $E_1$, et $f_1$, $f_1^{-1}$ échangeant $E_2$ et $E_3$ en croix. \[ \begin{aligned} &(x,y,z)\\ &(\sigma_1x,\ f_1^{-1}z,\ f_1y)=(ax^{-1}a,\ a^{-1}z^{-1},\ y^{-1}a^{-1}) \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &xyz=1\Longrightarrow\\ &ax^{-1}aa^{-1}z^{-1}y^{-1}a^{-1}=1 \end{aligned} \]

14(B) la page reprend le calcul de la page 13 sans supposer l'associativité : les parenthèses sont écrites partout. $z=xy$ $x^{-1}(uz^{-1})=y$ \[ \begin{aligned} u=(xy)z &\Longleftrightarrow (uz^{-1}=xy)\Longleftrightarrow (y^{-1}x^{-1})u=z\\ u=x(yz) &\Longleftrightarrow (x^{-1}u=yz)\Longleftrightarrow u(\cdots \end{aligned} \] la seconde ligne s'interrompt sur « $u($ » ; suivent, sous un $x^{-1}$ isolé, quelques essais biffés illisibles. \[ \left\{ \begin{aligned} f_1(x)&=x^{-1}a^{-1}\\ f_2(x)&=x^{-1}b^{-1}\\ f_3(x)&=x^{-1}c^{-1} \end{aligned} \right. \qquad \begin{aligned} g_1&=f_3f_2 = x\mapsto (bx)c^{-1}\\ g_2&=f_1f_3 = x\mapsto (cx)a^{-1}\\ g_3&=f_2f_1 = x\mapsto (ax)b^{-1} \end{aligned} \] \[ g_1g_2g_3=(f_3f_2f_1)^2\qquad x\mapsto \Bigl(b\Bigl(\bigl(c((ax)b^{-1})\bigr)a^{-1}\Bigr)\Bigr)c^{-1} \] \[ \sigma_2x=f_3f_2f_1(x)=\bigl((ax)b^{-1}\bigr)^{-1}c^{-1}=\bigl(b(x^{-1}a^{-1})\bigr)c^{-1} \] \[ \sigma_2^2x=\Bigl(b\bigl(\bigl[c((ax)b^{-1})\bigr]a^{-1}\bigr)\Bigr)c^{-1} \] \[ \begin{array}{l} x\\ ax\\ axb^{-1}\\ caxb^{-1}\\ \text{\struck{$b$}}\,caxb^{-1}a^{-1}\\ bcaxb^{-1}\\ bcaxb^{-1}a^{-1}c^{-1} \end{array} \qquad \left\{ \begin{aligned} &\sigma(xy)=\sigma x\,\sigma y\\ &\tau^{d}_{x}{}^{-1}=\tau^{d}_{x^{-1}}\\ &\tau^{g}_{x}{}^{-1}=\tau^{g}_{x^{-1}} \end{aligned} \right. \] $\tau^{d}$, $\tau^{g}$ : translations à droite et à gauche, lecture probable des exposants $d$, $g$. La colonne de gauche est la suite des étapes de $g_1g_2g_3x$ ; une ligne y est en partie biffée. \[ u=(xy)z\qquad (bx)c^{-1}=y\qquad x=b^{-1}(yc) \] \[ x=\qquad g_1g_2g_3x=x\qquad \text{\struck{$g_2g_3x=$}} \] \[ \bigl(c((ax)b^{-1})\bigr)\text{\struck{$a^{-1}$}}=\bigl(b^{-1}(xc)\bigr)a \] \[ \boxed{c\bigl((ax)b^{-1}\bigr)=\bigl(b^{-1}(xc)\bigr)a} \] en marge gauche : « $abc$, $cab=1$ » et deux lignes biffées ; au pied de la page, deux essais biffés : $c(xc)=$ […] $(ax)a=$ […] $c(ab^{-1})=(b^{-1}c)a$

15page de calcul très surchargée, en deux encres (bleue et brune) ; seules les formules principales sont transcrites, les nombreux essais biffés et les accolades de soulignement sont résumés. \[ (b^{-1}a^{-1})\bigl((ax)b^{-1}\bigr)=\bigl(b^{-1}(x(b^{-1}a^{-1}))\bigr)a \] formule entourée, à l'encre brune. \[ \left\{ \begin{aligned} &(ab)c=1\\ &\text{\struck{$x\ y\ z$}}\\ &(xy)z=1 \end{aligned} \right. \ \Longrightarrow\ \Bigl[\bigl((z^{-1}b^{-1})((b(y^{-1}a^{-1}))c^{-1})\bigr)\Bigr](b^{-1}x^{-1})\,\text{\struck{$b$}}=1 \] ce bloc est encadré.

$\bigl(b(x^{-1}a^{-1})\bigr)c^{-1}=b(x^{-1}b)$ $z=c^{\cdot}$ […] l'exposant de $c$ est illisible. \[ b\mapsto z,\quad a\mapsto b,\quad x\mapsto y^{-1}a^{-1} \] \[ \Bigl[\bigl(z^{-1}((y^{-1}a^{-1})(z^{-1}b^{-1}))\bigr)b\Bigr](b^{-1}x^{-1}) \] \[ \text{\struck{$c=b^{-1}a^{-1}$}}\quad \text{\struck{$z=ab$}}\qquad (ab)(xy)=1 \] \[ ab=xy\qquad \text{\struck{$(ab)(xy)=1$}}\ \Longrightarrow\ \Bigl[(\cdots)\bigl((y^{-1}a^{-1})(\cdots\,b^{-1})\bigr)b\Bigr](b^{-1}x^{-1}) \] les deux facteurs notés ici $(\cdots)$ sont surchargés et illisibles. sous la dernière expression, des accolades regroupent des facteurs en « $a$ », « $y^{-1}$ », « $x$ » ; plus bas : « $ax$ ». \[ (xb)(b^{-1}x^{-1})=1 \] \[ \begin{aligned} &(ab)c=1\ *\\ &(xy)z=1\ * \end{aligned} \ \overset{?}{\Longrightarrow}\ xb=(z^{-1}b^{-1})\bigl((b(y^{-1}a^{-1}))c^{-1}\bigr) \] \[ \Updownarrow \] \[ (bz)(xb)=\bigl(b(y^{-1}a^{-1})\bigr)c^{-1} \] $(ub^{-1})(bc)=uc\ ?$ formule biffée et entourée, à l'encre brune, en marge gauche. \[ (bz)(xb)=\bigl(b((zx)(bc))\bigr)c^{-1} \] \[ \bigl((bz)(xb)\bigr)c=b(y^{-1}a^{-1})\qquad (bu)c=b\bigl((ub^{-1})(bc)\bigr) \] sous $\bigl((bz)(xb)\bigr)c$, des accolades : $bz\mapsto b$, $xb\mapsto y^{-1}$, $c=a^{-1}$. \[ \boxed{\bigl((bz)(xb)\bigr)c=b\bigl((zx)(bc)\bigr)} \qquad \left\{ \begin{aligned} &c=a^{-1}\\ &xb=y^{-1}\ *\\ &b=bz\ * \end{aligned} \right. \] la formule encadrée est à l'encre brune. \[ z=1,\ c=\quad \bigl(b(xb)\bigr)c=b\bigl(x(bc)\bigr)\qquad z=1,\ y=x^{-1},\quad b=1,\ c=a^{-1} \] dans les deux dernières égalités, $x$ et $a$ sont entourés ; lecture d'ensemble de cette ligne douteuse.

16page entière barrée de deux grandes diagonales en croix. Elle porte deux couches d'écriture : à l'encre bleue, les essais transcrits ci-dessous ; tête-bêche, à l'encre brune, quelques formules (« $z\,(u(u^{-1}z^{-1}))$ », « $(xy)(y^{-1}x^{-1})$ », « $(aa)a$ ») qui reprennent les calculs d'associativité des pages précédentes. \[ \begin{aligned} &\tau_xz=xz\\ &\tau_x\tau_yz=x(yz)\\ &xx'=x'x=e\\ &x(x'y)=y\\ &G\times G\to G \end{aligned} \] Petits ensembles. $e\ a$ : $ee=e$, $ea=ae=a$, $aa\neq ae$ donc $aa=e$.

$e\ a\ b$ : \[ aa\quad bb\quad ab=ba \qquad ab\overset{?}{=}ba,\quad ab=a(aa),\ ba=(aa)a \] sous « $aa\ bb\ ab=ba$ », une ligne d'essais biffés en zigzag, d'où émergent « $b$ » et « $e$ ». \[ \{ae,aa,ab\}=\{e,a,b\}\qquad aa=b,\ ab=e\ \text{ou}\ aa=e,\ \text{\struck{$ab=b$}}\ \text{mais}\ ab\neq\ill{} \] le dernier terme, surchargé, est illisible. \[ aa=b,\ ab=e\ \Longrightarrow\ \boxed{ba=e}\qquad bb=a \] \[ e,a,b,c \qquad \text{\struck{$(xy)z=$}}\ x(yz)\qquad uv=u'v' \] \[ x\,y\,z\qquad \bar x\bigl((xy)z\bigr)=(yz)\qquad \bar x\bigl((xy)z\bigr)z \] $e$, $a,b,c$ : deux tables de multiplication commencées, \[ \begin{array}{c|ccc} & a & b & c\\ \hline a & e & c & b\\ b & & & \\ c & & & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{c|ccc} & a & b & c\\ \hline a & b & c & e\\ b & & & \\ c & & & \end{array} \] dans la première table, l'entrée $(a,b)$ est récrite sur une autre lettre. \[ aa=e\quad ab=c\quad ac=b \] \[ (xy)z=1\ \Longrightarrow\ z(xy)=1\qquad \Updownarrow\qquad y(zx)=1,\quad (zx)y=1\qquad \text{\struck{$(xy)z$}} \] \[ \begin{aligned} &(ab)c=1\\ &(ax)y=1\\ &(yb)x=1\\ &(xy)c=1 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &y=\sigma(ax)\\ &yb=\sigma x\\ &xy=\sigma c \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &f_1(x)=\sigma(ax)\\ &f_2(x)=(\sigma x)b^{-1} \end{aligned} \]

Un graphe construit sur un groupe

18nouvelle construction, sur un feuillet blanc ; elle n'est pas reliée explicitement à ce qui précède.

$V$ groupe
$I\subset V$ partie de $V$
$V\xrightarrow{\ \varphi_\lambda\ }V_\lambda$ ($\lambda\in\Lambda$) homom. de groupes, $I_\lambda\subset V_\lambda$ partie de $V_\lambda$
$X$ ⌜$Y$⌝ un $V$-ens. $X_\lambda=Y\wedge_V(V_\lambda,\varphi_\lambda)$, d'où $t_\lambda : Y\to X_\lambda$

au-dessus du « $Y$ » de $X_\lambda=Y\wedge_V(\ldots)$, un « $X$ » rattaché par un trait : la lettre $X$ d'abord écrite a été remplacée par $Y$. \[ S=\text{\struck{$X$}}\ \{e\}\sqcup Y\sqcup\coprod_{\lambda\in\Lambda}\underbrace{Y\times_V(V_\lambda,\varphi_\lambda)}_{X_\lambda} \] Structure de graphe sur $S$ :

$e$ est lié à tous les él. de […] $X$[…] ;
les $y\in Y$ est lié à $iy$ ($i\in I$)
$x\in X_\lambda$ est lié à $ix$ ($i\in V_\lambda$)
$y\in Y$ est lié à son image $t_\lambda(y)\in X_\lambda$

et cela épuise les arêtes. au premier item, le complément après « de » est surchargé, et l'indice de $X$ illisible. Au troisième, la page porte « $i\in V_\lambda$ » ; on attendrait plutôt $i\in I_\lambda$.

À quelles conditions est-ce là un graphe triadique ? Je dis qu'il n'y a que les cas suivants

a) $V\simeq\mathbf{F}_2^{\,r+1}$ […], où card […] $=2^r$ […], $r\in\{0,1,2\}$

b) $I$ est une base de $V$

c) la liste s'arrête à « c) », laissé vide.

20En haut à gauche, un hexagone dont les six sommets portent des triplets de lettres $\xi$ à indices (« $\xi_1\xi_2\xi_3$ », « $\xi_4\xi_5\xi_6$ », … ; certains indices surchargés, d'autres marqués d'un accent ou d'un trait), reliés par les côtés en trait plein et par des diagonales en pointillé qui se croisent au centre ; une flèche courbe mène vers la droite. les indices des triplets aux sommets de l'hexagone ne se lisent pas tous ; ils ne sont pas transcrits.

$E^{\varepsilon}$ À droite de $E^{\varepsilon}$, une rangée de points encadrée dont les deux derniers sont reliés à un point inférieur en forme de V, et sous elle une rangée de points pointillée terminée par un segment vertical.

(hexagone distingué ou triplets typiques) sous la parenthèse, un « $\xi$ » isolé suivi de deux chiffres peu lisibles (« $1\ 4$ » ?).

$2$ ens : trois él. $E$, $E'$

$1$ ens : trois él. $I$ \[ E\times I\ \sqcup\ E\times I' \] ens : $E$ él. fibrés ⌜de degré $3$⌝ sur ens $\varepsilon$ : $2$ él. \[ E=\coprod_{\alpha\in\varepsilon}E_\alpha \] ens : trois él. $I$ ces trois lignes sont réunies par une accolade ; le « $E$ » de la première est récrit sur un autre signe. \[ I\times\varepsilon\quad \text{hexagone} \] \[ \coprod_{\alpha\in\varepsilon}E_\alpha\times I = E\times I \quad\text{fibré sur } I\times\varepsilon \]

$\xi_1\xi_2\xi_3$ il y a $6$ él. liés à aucun autre […]

il y a trois él. liés à deux […] $\alpha\in E$

il y a $6$ él. liés à exactement $2$ des $\xi$

et $9$ él. liés à exactement un \[ X=\prod_{\alpha\in\varepsilon}E_\alpha \] Le bas de la page est couvert d'esquisses sans légende : colonnes et grilles $3\times 3$ de points (l'une entourée d'un cercle), un faisceau de segments croisés entre deux rangées de points, de petits polyèdres, deux triangles, et les inscriptions « $x\,y\,z\,x'y'z'$ » (avec une accolade), « $9\ 6\ 6\ 6$ », « $9\ 9\ 9$ » et « $40$ ». Dans la marge droite, quelques traits illisibles. la page s'arrête sur ces esquisses ; l'argument se poursuit vraisemblablement au-delà du lot.