Cote n° 74 · pages 1–135 · Lecture modernisée · Complexes cubiques : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Prenez trois points deux à deux reliés : c'est un triangle. Imaginez maintenant un dessin fait de points et de traits où chaque trait appartient à un seul triangle, et où tout point placé hors d'un triangle est relié à un sommet de ce triangle et à un seul. La règle paraît anodine ; elle est en réalité si contraignante qu'il n'existe qu'une poignée de tels dessins finis non triviaux. Le plus petit a neuf points rangés en carré de trois sur trois, deux points étant reliés quand ils sont sur une même ligne ou une même colonne : Grothendieck l'appelle d'abord « bitriangle », puis « pavé ». Le suivant a quinze points. Le plus grand en a vingt-sept, et c'est un objet du XIXe siècle : les vingt-sept droites d'une surface cubique, deux droites étant reliées quand elles se coupent. Le dossier, intitulé « Complexes cubiques », tourne tout entier autour de cette famille. Les pages ne parlent jamais de la surface elle-même ; c'est le dessin des droites, qu'elles appellent « graphe cubique », qui les occupe.

Le chemin n'est pas droit. Les premières pages sont de l'algèbre pure : trois ensembles et une relation entre eux telle que deux éléments pris dans deux des ensembles en déterminent un unique troisième — autrement dit un carré latin, une table où chaque valeur apparaît une fois par ligne et par colonne. Quand une telle table est-elle celle d'un groupe ? Il montre qu'entre tables de groupes les seules correspondances sont les homomorphismes, puis cherche ce qui force l'associativité, et tombe sur une identité qu'on reconnaît aujourd'hui comme une identité de Moufang. Viennent ensuite des pages de dénombrements sur les vingt-sept droites — 45 triangles, 72 « bases » de six droites disjointes, 36 doubles-six, 120 pavés, 720 triplets de droites disjointes — avec le groupe de symétries d'ordre \(51\,840\) et le système de racines \(E_6\) en arrière-plan, puis une étude minutieuse des configurations qu'on trouve dans le graphe : triades, hexagones, pavés, et la façon dont chacune en détermine d'autres.

Le tournant est au milieu du dossier. Il pose la règle du premier paragraphe comme axiome, sans supposer qu'il y ait vingt-sept points, et regarde ce que devient le graphe autour d'un triangle. Tout se ramène à deux questions, et ce sont exactement les deux sujets des premières pages : un carré latin (c'est l'algèbre du début) et un revêtement double de ce carré, qui relève de la théorie des extensions de groupes, présente elle aussi dans le dossier. On voit là, comme souvent chez lui, des pages d'apparence décousue qui se laissent lire après coup comme les deux moitiés d'un même problème. Il calcule alors, pour chaque taille possible, le nombre de triangles, de pavés, et l'ordre du groupe des symétries, qu'il engendre par des « symétries » attachées aux triangles ; les tableaux de la fin donnent \(6\), \(72\), \(720\), \(51\,840\).

Le dossier ne referme pas la classification qu'il annonce, mais tout y est disposé pour elle. Les noms modernes à chercher sont ceux des quadrangles généralisés d'ordre \((2, t)\) — c'est le nom actuel de ces graphes, et l'on sait qu'il n'y en a que pour \(t = 1, 2, 4\) —, des vingt-sept droites et des doubles-six de Schläfli, des paires de trièdres de Steiner, du groupe de Weyl de \(E_6\), des carrés latins, quasigroupes et boucles de Moufang, des extensions centrales et des formes quadratiques sur \(\mathbb{F}_2\).

Keywords — generalized quadrangle, collinearity graph, 27 lines on a cubic surface, double-six, Steiner trihedral pair, Paley graph of order 9, Cremona-Richmond configuration, Weyl group W(E6), E6 root lattice, Latin square, 3-net, quasigroup, isotopy, Moufang loop, bitorsor, central extension, quadratic map, polynomial map of degree 2, Passi module, generated involutions, dihedral group subgroup lattice, complement of a graph, self-complementary graph

1–135

Le fil du dossier, et les conventions

Les feuillets

Le dossier compte cent trente-cinq pages au fac-similé. Plusieurs sont des chemises ou des intercalaires qui ne portent qu'un nombre au crayon (pages 42, 45, 91 « (33 p) », 126 « (9p) ») ; d'autres sont blanches ou sans mathématiques (2, 4, 7, 9, 11, 17, 19, 24, 31, 34, 36, 40, 71) ; la page 67 est un programme dactylographié du séminaire Bourbaki, la page 122 une copie d'examen imprimée de l'Université des Sciences et Techniques du Languedoc, dont seul compte un calcul écrit en travers ; le haut de la page 41 porte des comptes domestiques. On ne décrit rien de tout cela davantage. Les feuillets du début sont en partie dans le désordre : la page 5 continue une phrase ouverte au bas de la page 6. La datation « à partir de 1976 » est celle des archivistes ; elle s'accorde avec le dossier 69, qui traite des mêmes objets et porte la même.

Le dossier ne contient presque aucun texte rédigé. C'est une suite de notes de travail, souvent d'écriture très rapide, où les formules se lisent mieux que la prose qui les relie ; on le signale chaque fois que la lecture qu'on propose dépend d'un mot incertain.

Les stations

Le dossier a donc trois couches : une algèbre (pages 1 à 16 et 32 à 39), une géométrie combinatoire du graphe des vingt-sept droites (pages 18 à 90), et, à partir de la page 92, une théorie axiomatique qui contient les deux premières. Les pages 101 à 103 le disent presque en toutes lettres : classer les graphes de la famille revient à classer (I) certains carrés latins et (II) leurs revêtements doubles. Que le problème (I) soit celui des pages 1 à 16 et le problème (II) celui des pages 32 à 39, les pages ne l'écrivent pas ; le diagramme de la page 121, qui remet côte à côte \(V\), \(\Gamma\), \(\widetilde\Gamma\), \(\lbrace \pm 1\rbrace\) et les \(\widetilde E_i\), est ce qui s'en approche le plus.

Conventions, valables pour tout le dossier

Plusieurs homonymies traversent le dossier, et il faut les avoir en tête. Le mot « bitriade » désigne page 28 des objets au nombre de 36, les bibases, et page 46 un hexagone (deux triades dont la relation de non-liaison est une bijection). « Deux triades liées » veut dire page 46 que leur réunion est une base, et page 68 qu'elles sont « parallèles » dans un même pavé ; la page 68 le marque elle-même en renommant le bitriangle « pavé ». La lettre \(\Gamma\) désigne une relation ternaire (pages 1 à 16), le groupe \(\operatorname{Ker}(V^I \to V)\) (pages 32 à 39) et l'ensemble à \(c^2\) éléments des pages 101 à 103 — trois objets qui, on le verra, sont trois aspects d'une même chose. Enfin \(I\) est un ensemble à trois éléments, sauf page 38 (une base d'espace vectoriel) et page 127 (l'ensemble des triangles passant par un sommet).

1–3

1. Relations ternaires et bitorseurs (pages 1 et 3)

Soit \(I\) un ensemble à trois éléments, \((E_i)_{i \in I}\) une famille d'ensembles et \(\Gamma \subset \prod_{i\in I} E_i\).

Axiome I. Si \(I = \lbrace i, j, k\rbrace\), pour tous \(x_i \in E_i\), \(x_j \in E_j\) il existe un unique \(x_k \in E_k\) tel que \((x_i, x_j, x_k) \in \Gamma\).

Autrement dit, les trois projections \(\Gamma \to E_i \times E_j\) sont bijectives : \(\Gamma\) est un carré latin (la table d'un quasigroupe, ou, en géométrie, un 3-réseau), écrit symétriquement en ses trois directions4 . Ces objets forment une catégorie \(\mathcal{C}\), \(I\) variant, pour les isomorphismes au-dessus des bijections de \(I\)5 .

La seconde définition (II) donne la source des exemples. Soit \((G_i)_{i\in I}\) une famille de groupes, et pour chaque \(i\) un ensemble \(E_i\) qui soit un bitorseur sous les deux autres groupes : si \(I = \lbrace i, j, k\rbrace\), \(G_j\) opère à gauche et \(G_k\) à droite sur \(E_i\), chacun simplement transitivement, les deux actions commutant6 . Le produit \(\prod_i G_i\) opère alors diagonalement sur \(P = \prod_i E_i\) par \[ (g_i, g_j, g_k) \cdot (x_i, x_j, x_k) = (g_j x_i g_k^{-1},\ g_k x_j g_i^{-1},\ g_i x_k g_j^{-1}). \] Pour \(x \in P\), les trois conditions \[ (\mathrm{a}_i) \quad \delta(G_i) x \subset \delta(G_j \times G_k) x \] (et leurs permutées circulaires) sont équivalentes7 . Un point \(x\) définit, par \(g_j x_i = x_i \tau(g_j)\), des isomorphismes \(\tau_{k,j}(x_i) : G_j \to G_k\), et la condition s'écrit \[ \tau_{j,i}(x_k)\, \tau_{i,k}(x_j)\, \tau_{k,j}(x_i) = \mathrm{id}_{G_j}, \] condition invariante par permutation circulaire. Sous cette condition l'orbite \(\Gamma\) de \(x\) sous \(\prod G_i\) est un torseur sous chacun des trois produits \(\prod_{j \neq i} G_j\), et elle vérifie l'axiome I : connaissant \(a \in \Gamma\) et \(x_i\), \(x_j\), on détermine successivement les éléments du groupe qui mènent de \(a\) à \(x\), puis \(x_k\). L'existence d'un tel \(x\) équivaut à ce que les isomorphismes extérieurs (modulo les automorphismes intérieurs) \(\tilde\tau_{ij}\) définis par les bitorseurs forment un système transitif. On obtient ainsi une catégorie \(\mathcal{C}'\) et un foncteur \(\varphi : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\)8 .

5–6

2. Le lemme d'homomorphisme (pages 6 et 5)

Proposition (page 6). Le foncteur \(\varphi : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\) est pleinement fidèle : il identifie \(\mathcal{C}'\) à une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{C}\).

On se ramène, les deux catégories étant fibrées sur le groupoïde des ensembles à trois éléments, aux fibres en \(I = \lbrace 1, 2, 3\rbrace\). La fidélité est claire. Pour la plénitude, un point de \(\Gamma\) identifie les \(G_i\) entre eux et aux \(E_i\), donc l'objet au triple \((G, G, G)\) avec \[ \Gamma = \lbrace (x, y, z) \in G^3 \mid xyz = 1\rbrace ; \] de même pour un second objet, avec un groupe \(G'\), en prenant pour point base l'image de \((1, 1, 1)\). Un morphisme de \(\mathcal{C}\) est alors un triple d'applications \(u_1, u_2, u_3 : G \to G'\) avec \(u_i(1) = 1\) et \[ (*) \qquad xyz = 1 \ \Longrightarrow\ u_1(x)\, u_2(y)\, u_3(z) = 1 . \]

Lemme (page 5). Sous ces conditions, \(u_1 = u_2 = u_3\), et c'est un homomorphisme de groupes.

En effet, \(x = 1\) donne \(u_2(y) u_3(y^{-1}) = 1\), et \(y = 1\) donne \(u_1(x) u_3(x^{-1}) = 1\) ; donc \(u_1(y) = u_2(y) = u_3(y^{-1})^{-1}\) pour tout \(y\). Avec \(z = 1\), \(u_1(x) u_2(x^{-1}) = 1\), d'où \(u(x^{-1}) = u(x)^{-1}\) pour \(u = u_1 = u_2\), puis \(u_3 = u\). Enfin \((*)\) avec \(z = (xy)^{-1}\) donne \(u(x)u(y) = u((xy)^{-1})^{-1} = u(xy)\)9 .

C'est le théorème classique selon lequel les isotopies entre tables de groupes normalisées en l'unité sont des isomorphismes ; le dossier 69 (page 116) en fait le même calcul pour décrire les autotopies de la table d'un groupe10 . La page 5 pose alors la question qui restera ouverte : le foncteur \(\varphi\) est-il une équivalence ? — c'est-à-dire : tout carré latin vérifiant l'axiome I vient-il d'un système de bitorseurs ? La réponse est non en général (il y a des quasigroupes qui ne sont isotopes à aucun groupe) ; la condition qui caractérise l'image est aujourd'hui la condition de Reidemeister, ou de clôture des quadrilatères11 . Les pages 8 à 16 cherchent cette condition.

8–12

3. La loi de composition d'une relation pointée (pages 8 à 12)

Partons d'un objet de \(\mathcal{C}\) et d'un point \(a = (a_1, a_2, a_3)\) de \(\Gamma\). L'axiome I fournit des applications \(\alpha_1 : E_1 \to \operatorname{Isom}(E_2, E_3)\), \(\alpha_2 : E_2 \to \operatorname{Isom}(E_3, E_1)\), \(\alpha_3 : E_3 \to \operatorname{Isom}(E_1, E_2)\) (\(\alpha_1(x)\) envoie \(y\) sur l'unique \(z\) avec \((x, y, z) \in \Gamma\), et ainsi de suite) ; on a \(\alpha_3(a_3) : a_1 \mapsto a_2\), etc. Posons \[ \begin{aligned} u_3 &= \alpha_2(a_2)\, \alpha_1(a_1) : E_2 \to E_1, \\ u_1 &= \alpha_3(a_3)\, \alpha_2(a_2) : E_3 \to E_2, \\ u_2 &= \alpha_1(a_1)\, \alpha_3(a_3) : E_1 \to E_3 , \end{aligned} \] et admettons la condition \[ u_1 u_2 u_3 = \mathrm{id} . \] Les \(u_i\) forment alors un système transitif d'isomorphismes entre les \(E_i\) (on a \(u_3(a_2) = a_1\), etc.), qui permet de les identifier à un même ensemble \(G\) pointé par \(e\). On a donc \(\Gamma \subset G^3\) avec \((e, e, e) \in \Gamma\), et, pour tous \(x, y\), une unique solution en chaque place (conditions a) et b) de la page 10). Soit \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) les bijections de \(G\) définies par \[ (e, x, \sigma_1 x) \in \Gamma, \qquad (\sigma_2 x, e, x) \in \Gamma, \qquad (x, \sigma_3 x, e) \in \Gamma . \] La page en tire \(\sigma_2\sigma_1 = \sigma_3\sigma_2 = \sigma_1\sigma_3 = \mathrm{id}\), donc \(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma\) et \(\sigma^2 = \mathrm{id}\)12 . On définit enfin une loi de composition par \[ (x, y, z) \in \Gamma \iff z = \sigma(x \cdot y). \]

La structure obtenue (page 12). Les conditions se traduisent ainsi : les translations \(z \mapsto zx\) et \(z \mapsto xz\) sont bijectives ; \(\sigma e = e\) ; \(e\) est unité à gauche et à droite ; \(x \cdot \sigma x = e\), et comme \(\sigma^2 = \mathrm{id}\), \(\sigma x \cdot x = e\). Autrement dit \((G, \cdot, e)\) est une boucle (un quasigroupe à élément neutre) où tout élément a un inverse bilatère \(\sigma x\)13 . La relation devient \[ (x, y, z) \in \Gamma \iff (x \cdot y) \cdot z = e \iff z \cdot (x \cdot y) = e, \] et la page s'arrête sur la question qui reste : « \((xy)z = x(yz)\) ?? ».

13–16

4. L'associativité, et une identité de Moufang (pages 13 à 16)

Le cas d'un groupe (page 13, « (A) »). Pour \(E_1 = E_2 = E_3 = G\) un groupe, \(\Gamma = \lbrace xyz = 1\rbrace\) et un point \((a, b, c)\) de \(\Gamma\), les applications \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) définies par \((a, x, f_1(x)) \in \Gamma\), \((f_2(x), b, x) \in \Gamma\), \((x, f_3(x), c) \in \Gamma\) valent \[ f_1(x) = x^{-1}a^{-1}, \qquad f_2(x) = x^{-1}b^{-1}, \qquad f_3(x) = x^{-1}c^{-1}, \] leurs composés \(g_1 = f_3 f_2 : x \mapsto b x c^{-1}\), \(g_2 = f_1 f_3 : x \mapsto c x a^{-1}\), \(g_3 = f_2 f_1 : x \mapsto a x b^{-1}\), et \[ g_1 g_2 g_3 (x) = (bca)\, x\, (cab)^{-1} = x \] puisque \(abc = 1\) entraîne \(bca = cab = 1\). C'est la condition admise page 8, vérifiée pour un groupe ; on a aussi \(g_1 g_2 g_3 = (f_3 f_2 f_1)^2\) et \(f_3f_2f_1(x) = b x^{-1} b\). L'involution \(\sigma\) de la page 10 est alors \(x \mapsto x^{-1}\), et elle vérifie \[ \sigma(xy) = \sigma y\, \sigma x, \] relation encadrée sur la page14 .

Sans associativité (pages 14 et 15). La page 14 refait le calcul en écrivant toutes les parenthèses, pour une boucle comme celle de la page 12. La condition \(g_1 g_2 g_3 = \mathrm{id}\) y devient une identité entre produits parenthésés, que la page met sous la forme \[ c\bigl((ax)b^{-1}\bigr) = \bigl(b^{-1}(xc)\bigr)a \qquad (abc = 1), \] puis, page 15, après plusieurs substitutions à deux encres, sous la forme encadrée \[ \bigl((bz)(xb)\bigr)c = b\bigl((zx)(bc)\bigr). \] Pour \(z = 1\) elle se réduit à \(\bigl(b(xb)\bigr)c = b\bigl(x(bc)\bigr)\), ce que la page écrit aussi. C'est, à la flexibilité \(b(xb) = (bx)b\) près, l'identité de Moufang à gauche \(((bx)b)c = b(x(bc))\)15 . Les boucles de Moufang ne sont pas toutes des groupes (les octaves de Cayley de norme 1 en donnent une) ; les pages ne disent pas si la condition de la page 8, appliquée à tous les points de \(\Gamma\), force l'associativité, et elles ne concluent pas.

Les petits ensembles (page 16). La page, barrée de deux diagonales, essaie les lois sur des ensembles à deux, trois, quatre éléments : sur \(\lbrace e, a\rbrace\) on trouve \(aa = e\) ; sur \(\lbrace e, a, b\rbrace\), \(aa = b\), \(ab = ba = e\), \(bb = a\) ; sur \(\lbrace e, a, b, c\rbrace\) deux tables commencées, celle du groupe de Klein (\(aa = e\), \(ab = c\), \(ac = b\)) et celle d'un groupe cyclique (\(aa = b\), \(ab = c\), \(ac = e\)). Ce sont bien les seules possibilités : toute boucle d'ordre au plus 4 est un groupe, et la plus petite boucle non associative a cinq éléments16 .

18–22

5. Un graphe sur un groupe, et un premier hexagone (pages 18 à 22)

Page 18. Une construction nouvelle, sur un feuillet blanc, sans lien écrit avec ce qui précède : un groupe \(V\), une partie \(I \subset V\), des homomorphismes \(\varphi_\lambda : V \to V_\lambda\) (\(\lambda \in \Lambda\)) avec des parties \(I_\lambda \subset V_\lambda\), un \(V\)-ensemble \(Y\) et les ensembles induits \(X_\lambda = Y \wedge_V V_\lambda\), avec \(t_\lambda : Y \to X_\lambda\). Sur \(S = \lbrace e\rbrace \amalg Y \amalg \coprod_\lambda X_\lambda\) on met le graphe où \(e\) est lié aux éléments des \(X_\lambda\), \(y \in Y\) à \(iy\) (\(i \in I\)), \(x \in X_\lambda\) à \(ix\) (\(i \in I_\lambda\)), et \(y\) à \(t_\lambda(y)\)17 . « À quelles conditions est-ce là un graphe triadique ? » Il annonce qu'il n'y a que les cas a) \(V \simeq \mathbb{F}_2^{r+1}\), un cardinal (illisible) valant \(2^r\) avec \(r \in \lbrace 0, 1, 2\rbrace\) ; b) \(I\) est une base de \(V\) ; et c), laissé vide. On reconnaît, sans que la page le dise, la description d'un graphe de la famille autour d'un sommet \(e\) : ses voisins groupés par triangles, ses non-voisins \(Y\) munis d'une action d'un \(\mathbb{F}_2\)-espace vectoriel, et les trois valeurs \(c = 2^r \in \lbrace 1, 2, 4\rbrace\) que les pages 120 et 127 retrouveront18 .

Pages 20 à 22. Les vingt-sept apparaissent, dans la notation de Schläfli : \(\xi_1, \ldots, \xi_6\), les \(\xi'_i\) et les quinze \(\xi_{ij}\). La page 20 dessine un hexagone dont les sommets sont des triplets (\(\xi_1 \xi_2 \xi_3\), \(\xi_4 \xi_5 \xi_6\), …), « hexagone distingué ou triplets typiques », et décompte, pour une telle configuration, les sommets liés à aucun, un, deux des éléments fixés (\(6\), \(9\), \(6\), …) ; elle décrit aussi l'ensemble comme fibré de degré 3 sur un ensemble \(\varepsilon\) à deux éléments, \(E = \coprod_{\alpha \in \varepsilon} E_\alpha\), avec \(E \times I\) fibré sur l'hexagone \(I \times \varepsilon\)19 . La page 21 note la correspondance « triades \(\leftrightarrow\) hexagones », et les nombres \(6^4 = 1296 = 2^4 3^4\) et \(720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5\) ; la page 22 dessine les trois blocs de neuf \[ \lbrace \xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi'_1, \xi'_2, \xi'_3, \xi_{23}, \xi_{31}, \xi_{12}\rbrace, \quad \lbrace \xi_4, \ldots, \xi_{45}\rbrace, \quad \lbrace \xi_{ij} \mid i \leq 3 < j\rbrace , \] qui partagent les vingt-sept en trois pavés — l'une des 40 décompositions qu'on retrouvera page 25.

23–30

6. Dénombrements et racines (pages 23 à 30)

La page 23 étudie un polyèdre (un octaèdre de sommets \(p, p', q, q', r, r', s, s'\) autour d'un point \(a\)) et la façon dont deux points sont liés ; la lecture de la prose y est trop incertaine pour qu'on en tire un énoncé20 . Les pages 25 à 29 sont des dénombrements, en colonnes. Tous les nombres qui suivent sont justes :

Ces nombres sont les classiques : 72 « six », 36 doubles-six, 45 plans tritangents, 120 paires de trièdres de Steiner, 40 triples de paires de trièdres partageant les vingt-sept droites22 .

Les racines (pages 26 et 27). Avec \(\eta\) la classe d'une droite du plan, la page écrit \(r_6 = \eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3\) et \(r_0 = 2\eta - \xi\), et calcule \((2\eta - \xi) \cdot \xi_j\)23 . La page 27 dessine trois hexagones dont les côtés portent des racines, et le diagramme de Dynkin de type \(E_6\) : \(r_1 - r_2 - r_3 - r_4 - r_5\), avec \(r_6\) attaché à \(r_3\), où \(r_i = \xi_i - \xi_{i+1}\) (\(i \leq 5\)). Les racines des côtés sont \(r_{i,j} = \xi_i - \xi_j\) (par exemple \(r_{1,3} = r_1 + r_2\), \(r_{4,6} = r_4 + r_5\)), et \[ r_{456} = \eta - \xi_4 - \xi_5 - \xi_6 = r_1 + 2r_2 + 3r_3 + 2r_4 + r_5 + r_6 . \]24 Les six racines \(r_1, r_2\) ; \(r_4, r_5\) ; \(r_0, r_6\) forment trois systèmes \(A_2\) deux à deux orthogonaux, et « engendrent un sous-groupe d'indice 3 » : c'est vrai du réseau qu'elles engendrent, d'indice 3 dans le réseau des racines de \(E_6\) (les discriminants valent \(27\) et \(3\)) ; le sous-groupe de \(W(E_6)\) engendré par les six réflexions, \(W(A_2)^3\) d'ordre 216, est d'indice 24025 .

La proposition de la page 28. Elle est trop fragmentaire pour être énoncée en entier. Elle affirme que certaines parties ordonnées (« vrais 3-bisons », corrigé de « bitriades ») sont conjuguées sous le groupe, qu'une telle partie est contenue dans exactement deux bases \(I\), \(I'\), et décrit l'ensemble \(K \cup K'\) de six sommets obtenu en retirant une partie \(J\) ; dans l'exemple, \(K = \lbrace \xi_1, \xi_2, \xi_3\rbrace\), \(K' = \lbrace \xi'_1, \xi'_2, \xi'_3\rbrace\)26 . Le bas de la page note, sans les développer, des pistes : \(\mathfrak{S}_4\) et \(\mathbb{F}_2^4\), « quadriques affines de dim. 3 sur \(\mathbb{F}_2\) », un ensemble \(A(i)\) à quatre éléments et un torseur \(P(i)\) sous \(\mathbb{F}_2^{A(i)}\), une suite exacte \(0 \to k \to V'(i) \to V(i) \to 0\), et un « \(2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120\) !!! ». La page 30 aligne les neuf paires de triplets qui forment, trois par trois, les trois hexagones de la page 27.

32–33

7. Extensions centrales et la fonction \(z_\rho\) (pages 32 et 33)

Soit \(V\) un groupe commutatif noté additivement, \(I\) un ensemble à trois éléments, \[ \Gamma = \operatorname{Ker}(V^I \xrightarrow{\ \Sigma\ } V), \] \(\omega\) l'ensemble des deux ordres circulaires sur \(I\), torseur sous \(\mathbb{Z}/2\), et \(V^\omega = V \wedge \omega\), \(\mathbb{Z}/2\) opérant sur \(V\) par le signe27 . Pour \(i \in I\) on définit \(\varphi_i : V^\omega \to \Gamma\) par \[ \varphi_i(x \wedge \rho)_i = 0, \qquad \varphi_i(x \wedge \rho)_{\rho i} = x, \qquad \varphi_i(x \wedge \rho)_{\rho^2 i} = -x , \] ce qui est bien défini puisque \((-x) \wedge \rho = x \wedge \bar\rho\) avec \(\bar\rho = \rho^{-1}\). On a \(\sum_i \varphi_i = 0\) et la suite exacte \[ 0 \to V^\omega \xrightarrow{\ \mathrm{diag}\ } (V^\omega)^I \to \Gamma \to 0 . \] C'est, pour \(V\) quelconque, le groupe \(\Gamma = \lbrace (x, y, z) \mid x + y + z = 0\rbrace\) des pages 1 à 16 dans le cas commutatif ; les \(\varphi_i(V^\omega)\) sont les trois sous-groupes \(\operatorname{Ker} p_i\).

On cherche les systèmes formés d'une extension centrale \(0 \to Z \to \widetilde\Gamma \xrightarrow{u} \Gamma \to 0\) et d'homomorphismes \(\psi_i : V^\omega \to \widetilde\Gamma\) relevant les \(\varphi_i\). Fixons \(\rho \in \omega\) et \(i_0 \in I\), \(i_1 = \rho i_0\), \(i_2 = \rho i_1\). Puisque \(\sum \varphi_i = 0\), le produit \[ z(x, \rho, i_0) = \psi_{i_0}(x \wedge \rho)\, \psi_{i_1}(x \wedge \rho)\, \psi_{i_2}(x \wedge \rho) \] est dans \(Z\) ; comme \(Z\) est central, il ne dépend pas de \(i_0\) (une permutation circulaire d'un produit égal à un élément central ne le change pas). On note \(z_\rho(x) = z(x, \rho)\), \(x \in V\). En inversant le produit on trouve \[ z_{\bar\rho} = -z_\rho , \] de sorte que la paire \((z_\rho)_{\rho \in \omega}\) est un élément de \(Z^V \wedge_{\pm 1} \omega\).

Proposition (page 33). Si \(j = \rho i\), alors pour \(x, y \in V\) \[ \bigl[\psi_i(x \wedge \rho), \psi_j(y \wedge \rho)\bigr] = z_\rho(x + y) - z_\rho(x) - z_\rho(y), \] où \([g, h] = ghg^{-1}h^{-1}\)28 . En particulier le membre de droite, qui est le « défaut d'additivité » de \(z_\rho\), est bi-additif en \((x, y)\) (le commutateur dans une extension centrale d'un groupe commutatif l'est) et symétrique (puisque \(z_\rho(x+y) = z_\rho(y+x)\)).

La page 33 en tire, pour \(\lambda = z_\rho\), les deux relations \[ (*) \qquad \lambda(0) = 0, \qquad \lambda(x) + \lambda(y+u) + \lambda(y+v) + \lambda(x+u+v) = \lambda(y) + \lambda(x+u) + \lambda(x+v) + \lambda(y+u+v) \] pour tous \(x, y, u, v\)29 .

35–39

8. Applications quadratiques et le module universel (pages 35 à 39)

La seconde relation \((*)\) dit que la différence seconde \[ (\Delta_{u,v}\lambda)(x) = \lambda(x+u+v) - \lambda(x+u) - \lambda(x+v) + \lambda(x) \] ne dépend pas de \(x\) ; en la prenant en \(x = 0\) elle vaut \(\mu(u, v) = \lambda(u+v) - \lambda(u) - \lambda(v)\), et la relation équivaut donc à : \(\mu\) est bi-additive. Une application \(\lambda : V \to Z\) avec \(\lambda(0) = 0\) et \(\mu\) bi-additive est ce qu'on appelle une application polynomiale de degré au plus 2 sans terme constant (ou application « quadratique » au sens large)30 .

Pour \(\mu\) fixée, ces \(\lambda\) forment un torseur sous le groupe des \(f\) vérifiant \(f(0) = 0\) et \(\Delta_{u,v} f = 0\), c'est-à-dire sous les homomorphismes \(V \to Z\). La page ajoute que, pour \(V\) libre de base \((e_i)\), une forme bi-additive symétrique \(\mu\) provient d'une \(\lambda\) si et seulement si les \(\mu(e_i, e_i)\) sont dans \(2Z\)31 .

L'extension universelle (page 37). Pour toute \(z_\rho : V \to Z\) vérifiant les deux relations, il existe une extension \(\widetilde\Gamma\) de \(\Gamma\) par \(Z\) et des relèvements \(\psi_i\) qui la redonnent, le tout « déterminé à isomorphisme unique près »32 . Il y a donc un groupe « universel » \(\mathfrak{Z}_V\), quotient de \(\mathbb{Z}^{(V)}\) par les relations \((*)\), et une extension universelle de \(\Gamma\) par \(\mathfrak{Z}_V\). La page 38 l'identifie au \(\mathbb{Z}\)-module universel qui reçoit \(V\) par une application polynomiale de degré au plus 2 sans terme constant, qu'elle écrit \(V + \Gamma^2_{\mathbb{Z}}(V)\)33 .

Exemple (page 38) : \(V\) un espace vectoriel sur \(\mathbb{F}_2\), de base \(I\)34 . Toute \(\lambda\) comme plus haut est polynomiale : \(\lambda(2x) = 2\lambda(x) + \mu(x, x)\) et \(2x = 0\) donnent \(\mu(x, x) = -2\lambda(x) \in 2Z\). D'où \[ \mathfrak{Z}_V \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^I \oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\mathfrak{P}_2(I)} , \] ce qui est juste : une telle \(\lambda\) est déterminée par les \(\lambda(e_i)\), d'ordre divisant 4, et les \(\mu(e_i, e_j)\), \(i < j\), d'ordre divisant 235 .

La forme canonique en dimension 2 (page 39). Si \(V\) est de dimension 2 sur \(\mathbb{F}_2\), il y a sur \(V\) une forme quadratique canonique, \[ q(x) = 0 \text{ si } x = 0, \qquad q(x) = 1 \text{ si } x \neq 0 , \] c'est-à-dire la forme anisotrope \(x^2 + xy + y^2\), dont la forme polaire est la forme alternée non dégénérée de \(V\). Elle donne une extension centrale canonique de \(\Gamma(V)\) par \(\mathbb{Z}/2\) telle que \[ \psi_{i_0}(x)\, \psi_{i_1}(x)\, \psi_{i_2}(x) = z \neq 0 \qquad (x \neq 0). \] C'est l'extension que le dossier 69 (pages 14 et 26) construit à partir du groupe des quaternions \(Q_8\) et dont il montre qu'elle n'existe, avec cette propriété d'anisotropie, que pour \(\dim V \leq 2\). Pour \(\dim V = 2\), \(\Gamma = V^2\) a 16 éléments et \(\widetilde\Gamma\) en a 32 : ce sont les cardinaux de l'ensemble \(\Gamma\) et du revêtement \(\widetilde\Gamma\) des pages 101 à 104 pour le graphe cubique (\(c = 4\))36 .

41–44

9. Un brouillon sur les pentagones (pages 41 à 44)

La moitié inférieure de la page 41, écrite tête-bêche, parle d'un « dodécaèdre combinatoire » et de ses douze faces, vues comme les douze structures de polygone d'un ensemble37 . La page 43 est un diagramme de flèches entre des ensembles construits sur un hexagone (« Tritria », « Hex », « (tria\('\)) », \(S = \tau \times \varepsilon\), \(\widetilde S = \tau \times \varepsilon \times \omega(\tau)\)…), ébauche du diagramme des revêtements de la page 72. La page 44 compte les pentagones sur un ensemble à cinq éléments et les paires \(\lbrace i, i+2\rbrace\) : \(15 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 = 720 = 6!\), \(10\,P = 720\), \(P = 72\), \(P_0 = 12\), ce dernier étant le nombre des structures de pentagone sur un ensemble à cinq éléments (\(4!/2 = 12\)).

46–50

10. Triades, hexagones et bitriangles dans le graphe cubique (pages 46 à 50)

Définitions (page 46). Une partie d'un graphe est discrète si elle ne contient aucune arête ; les parties discrètes de cardinal 2, 3, …, 6 sont les doublets, triades, quadruplets, pentuplets, hexaplets. Un graphe bi-discret est un graphe \(\Gamma = A \amalg A'\), réunion de deux parties discrètes, tel que la relation « \(x \in A\), \(x' \in A'\) non liés » soit une bijection de \(A\) sur \(A'\). La décomposition est unique, sauf si \(\operatorname{card} \Gamma = 4\) (le graphe est alors la somme de deux segments, et une décomposition équivaut à une bijection entre ces segments) ; la catégorie des graphes bi-discrets d'ordre \(2n\) (\(n \geq 3\)) est équivalente à \((\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_n\)38 . Dans le graphe cubique, les bases et bibases sont les hexaplets et les bihexaplets ; une « bitriade » au sens de cette page est un graphe bi-discret à six sommets, c'est-à-dire un hexagone (un 6-cycle), et la note marginale le dit (« les bitriades sont exactement les hexagones »).

Deux triades \(\tau\), \(\tau'\) sont dites liées si elles sont disjointes et que leur réunion est discrète, c'est-à-dire une base. Deux parties discrètes sont dites « W-liées » si elles sont disjointes et que leur réunion, avec sa décomposition naturelle, est un graphe bi-discret39 .

Proposition (pages 46 à 49). Soit \(\Delta = (S, A)\) le graphe cubique et \(\mathrm{Tri}\) l'ensemble de ses 720 triades.

  1. (1)Pour la relation « liées », \(\mathrm{Tri}\) est une somme disjointe de 120 hexagones.
  2. (2)–(3)Deux triades distinctes d'un même hexagone sont liées (consécutives), W-liées (opposées) ou biliées (à distance 2) ; deux triades sont biliées si et seulement si elles ne sont ni égales, ni liées, ni W-liées et qu'une troisième triade est liée aux deux40 .
  3. (4)Si \(\tau'\), \(\tau''\) sont les deux triades liées à \(\tau\), alors \(\tau' \amalg \tau'' = L(\tau)\), l'ensemble des sommets liés à aucun élément de \(\tau\) ; c'est un hexagone (une bitriade), dont \(\tau'\), \(\tau''\) sont les deux parties.
  4. (5)L'ensemble \(\bar\tau = E(\tau)\) des sommets liés à tous les éléments de \(\tau\) est une triade, l'opposée de \(\tau\).
  5. (6)Les deux triades biliées à \(\tau\) sont \(\overline{\tau'} = L(\tau'') \smallsetminus \tau\) et \(\overline{\tau''} = L(\tau') \smallsetminus \tau\), et l'hexagone des triades contenant \(\tau\) est, dans l'ordre circulaire, \(\tau, \tau'', \overline{\tau'}, \bar\tau, \overline{\tau''}, \tau'\).
  6. (7)Pour la relation « biliées », \(\mathrm{Tri}\) est une somme de 240 triangles (« Tritria ») ; la relation « W-liés » entre triangles est une involution sans point fixe, dont les orbites correspondent aux hexagones.
  7. (8)La réunion des triades d'un hexagone a 18 éléments, et son complémentaire (9 éléments) est un bitriangle ; l'application hexagone \(\mapsto\) bitriangle ainsi obtenue est bijective.

Dans le modèle de Schläfli, pour \(\tau = \lbrace a_1, a_2, a_3\rbrace\) : \(L(\tau) = \lbrace a_4, a_5, a_6, c_{45}, c_{46}, c_{56}\rbrace\), hexagone \(a_4 - c_{45} - a_5 - c_{56} - a_6 - c_{46}\), de parties \(\tau' = \lbrace a_4, a_5, a_6\rbrace\) et \(\tau'' = \lbrace c_{45}, c_{46}, c_{56}\rbrace\) ; \(\bar\tau = \lbrace b_4, b_5, b_6\rbrace\) ; et le bitriangle de (8) est \(\lbrace c_{ij} \mid i \leq 3 < j\rbrace\), à neuf droites, où \(c_{ij}\) et \(c_{kl}\) sont liés si et seulement si \(i \neq k\) et \(j \neq l\)41 .

Le triangle de triades (pages 48 à 50). (8) bis : si \((\tau_i)_{i\in I}\) est un triangle de triades biliées et \(x_i \in \tau_i\), l'unique élément \(x_j\) de \(\tau_j\) non lié à \(x_i\) et l'unique élément \(x_k\) de \(\tau_k\) non lié à \(x_i\) ne sont pas liés ; autrement dit la partie \(\Gamma \subset \prod \tau_i\) des triplets deux à deux non liés a ses trois projections bijectives — c'est l'axiome I de la page 1, et un système transitif d'isomorphismes entre les \(\tau_i\). (9) La réunion \(X\) des trois triades est un bitriangle, les \(\tau_i\) sont l'une de ses deux familles de triades disjointes, et \(X \to I \times J\) est bijectif, \(J\) indexant l'autre famille. (10) Se donner un triangle de triades biliées équivaut à se donner un bitriangle et le choix de l'une de ses deux familles de triades (une « coorientation »). (11) Deux triades sont biliées si et seulement si elles sont disjointes et contenues dans un même bitriangle, et celui-ci est unique. (12) Le complémentaire \(\widetilde X = S \smallsetminus X \smallsetminus \overline X\) du bitriangle et de son « W-lié » est encore un bitriangle ; le groupe \(\widetilde G\) engendré par les symétries \(\sigma_t\) attachées aux triangles \(t\) de \(\widetilde X\) (voir la section 21) s'envoie isomorphiquement sur le groupe des automorphismes « intérieurs » de \(\widetilde X\), et ses orbites sur \(S \smallsetminus \widetilde X\) sont trois ensembles à six éléments de la forme \(\tau \cup \bar\tau\) ; le sous-groupe des produits pairs a pour orbites les six triades de l'hexagone42 .

50–53

11. Trois bitriangles disjoints, et deux modèles (pages 50 à 53)

Proposition (pages 50 et 51). Soit \((X_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}\) une famille de trois bitriangles deux à deux disjoints (ils partagent donc les vingt-sept sommets). Pour chaque \(\alpha\), le groupe des automorphismes intérieurs de \(X_\alpha\) a trois orbites sur \(S \smallsetminus X_\alpha\) ; leur ensemble \(I_\alpha\) a trois éléments, et l'on a des applications \(p_{\alpha \beta} : X_\beta \to I_\alpha\) (\(\beta \neq \alpha\)) dont les fibres sont l'une des deux familles de triades de \(X_\beta\). Alors :

  1. a)pour \(\Lambda = \lbrace \alpha, \beta, \gamma\rbrace\), les deux familles de fibres de \(X_\alpha \to I_\beta\) et \(X_\alpha \to I_\gamma\) sont distinctes, et \(X_\alpha \xrightarrow{\sim} I_\beta \times I_\gamma\) ; d'où une bijection naturelle \[ S \simeq \coprod_{\alpha \in \Lambda} \prod_{\beta \neq \alpha} I_\beta = (I_2 \times I_3) \amalg (I_3 \times I_1) \amalg (I_1 \times I_2) ; \]
  2. c)deux sommets distincts de \(X_\alpha\) sont non liés si et seulement s'ils ont une coordonnée commune ;
  3. d)\(x_\alpha \in X_\alpha\) et \(y_\beta \in X_\beta\) (\(\alpha \neq \beta\)) sont liés si et seulement s'ils ont même coordonnée dans \(I_\gamma\), \(\gamma\) le troisième indice.

Un modèle (page 52). De façon équivalente, soit \(p : I \to \Lambda\) une application d'un ensemble à neuf éléments sur un ensemble à trois, à fibres \(I_\alpha\) de cardinal 3. Les sommets sont les parties \(A \subset I\) de cardinal 2 sur lesquelles \(p\) est injective (27 parties), \(X_\alpha\) étant formé de celles pour lesquelles \(p(A) = \Lambda \smallsetminus \lbrace \alpha\rbrace\) ; deux sommets \(A \neq B\) sont liés si et seulement si \[ \text{ou bien } p(A) = p(B) \text{ et } A \cap B = \emptyset, \qquad \text{ou bien } p(A) \neq p(B) \text{ et } A \cap B \neq \emptyset . \] Les deux descriptions donnent bien le graphe cubique43 .

(12) La catégorie des graphes cubiques munis d'une décomposition en trois bitriangles disjoints est équivalente à celle des ensembles à neuf éléments munis d'une partition de type \((3, 3, 3)\), et le groupe d'automorphismes d'une telle structure est \[ \mathfrak{S}_3 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3), \qquad \text{d'ordre } 6^4 = 1296 = 2^4 \cdot 3^4 . \]44 Comme \(|W(E_6)| = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5\), ce groupe contient un 3-sous-groupe de Sylow de \(\operatorname{Aut}(\Delta)\), ce que la page exprime par « c'est donc presque un sous-groupe de Sylow »45 . La catégorie des couples \((\Delta, X)\), \(X\) un bitriangle, est équivalente à \((\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_{3,3}\) : l'ensemble des trois orbites associé à \(X\), et l'ensemble des six sommets d'une famille de triades de \(X\) avec sa partition naturelle (ordre \(6 \cdot 72 = 432\), et \(51\,840 / 432 = 120\)).

Triades et hexagones dans le modèle (page 53). Les 18 triades contenues dans l'un des \(X_\alpha\) correspondent aux couples \((i, \alpha) \in I \times \Lambda\) avec \(p(i) \neq \alpha\) : à \((i, \alpha)\) la triade \(\tau_{i,\alpha}\) des \(A\) avec \(p(A) = \Lambda \smallsetminus \lbrace \alpha\rbrace\) et \(A \ni i\). La triade W-liée à \(\tau_{i\alpha}\) est \(\tau_{i\beta}\), \(\beta\) l'autre élément de \(\Lambda \smallsetminus \lbrace p(i)\rbrace\) ; les deux triades liées sont les \(\tau_{j\beta}\), \(\tau_{k\beta}\), \(j, k\) les deux autres éléments de la fibre de \(i\). Ces 18 triades forment trois hexagones, en bijection avec \(\Lambda\) (à l'hexagone correspond le complémentaire de sa réunion, l'un des \(X_\alpha\)).

53–60

12. Triangles de triades, la tour, et les types de triades (pages 53 à 60)

(14) Les triangles de triades biliées correspondent aux repères \((\alpha, \beta, \gamma)\) de \(\Lambda\), l'hexagone \(H \simeq I_\gamma \times \Lambda_\gamma\) (\(\Lambda_\gamma = \lbrace \alpha, \beta\rbrace\)), \(\tau_{i\alpha}\) et \(\tau_{j\beta}\) étant liées si et seulement si \(i \neq j\) et \(\alpha \neq \beta\). Les deux opérations « passer au triangle W-lié » (\(-\)) et « passer à l'autre triangle du même bitriangle » (\(\sim\)) vérifient \(\overline{T_{\alpha \beta\gamma}} = T_{\beta\alpha\gamma}\) et \(\widetilde{T_{\alpha\beta\gamma}} = T_{\alpha\gamma\beta}\), et engendrent sur les triangles de triades un groupe isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\) (page 56). (15) Les triangles de \(X_\alpha\) correspondent aux bijections \(I_\beta \to I_\gamma\), et la symétrie associée agit sur \(\Lambda\) en fixant \(\alpha\) et en échangeant \(\beta\), \(\gamma\) (page 57)46 .

La tour (pages 57 à 59). (16)–(17) Pour un bitriangle \(X\), les sous-graphes « de type \(\mathcal{T}_1\) » contenant \(X\) sont les \(X \cup \mathcal{X}_i\), \(\mathcal{X}_i\) l'une des trois orbites de \(S \smallsetminus X\) ; pour un \(\mathcal{T}_1\) \(\mathcal{X}\), le complémentaire \(S \smallsetminus \mathcal{X}\) est une bibase, d'où une bijection entre les \(\mathcal{T}_1\) du graphe cubique et ses 36 bibases. Les systèmes \(S \supset \mathcal{X} \supset X\) forment une catégorie équivalente à \((\mathrm{Ens})_{3,3} \times (\mathrm{Ens})_2\), et les systèmes \(S \supset \mathcal{X} \supset X \supset t\) (\(t\) une triade de \(X\)) à \((\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_2\)47 .

Le graphe à quinze sommets (page 59). Pour un ensemble \(B\) à six éléments, soit \(\mathcal{T}_1(B)\) le graphe de sommets \(\mathfrak{P}_2(B)\), deux paires étant liées si et seulement si elles sont disjointes. C'est un \(\mathcal{T}_1\), et \(B \mapsto \mathcal{T}_1(B)\) est une équivalence de \((\mathrm{Ens})_6\) sur la catégorie des \(\mathcal{T}_1\) ; un quasi-inverse associe à \(\mathcal{X}\) l'ensemble de ses six parties discrètes à cinq éléments, chaque sommet étant dans exactement deux d'entre elles48 . Un bitriangle dans \(\mathcal{X}\) équivaut à une partition de type \((3, 3)\) de \(B\) : ses neuf sommets sont les paires qui rencontrent les deux parties.

Les types de triades (page 60). Soit \(\Delta\) muni d'une partition \(S = \coprod_\alpha X_\alpha\) en trois bitriangles, et \(G\) son groupe d'automorphismes (d'ordre 1296). \(G\) a quatre orbites sur les triades : celle des 18 triades contenues dans un \(X_\alpha\), et trois autres, de types I, II, III, que la page décrit par des dessins (trois colonnes de trois points)49 . Les triades contiguës à une triade de type I sont l'une de type I, l'autre de type II, de sorte qu'un hexagone de ce genre est de type (I, II, II, I, II, II) en partant d'un sommet de type I ; la phrase sur le type III se poursuit au-delà de la page 60, sur des feuillets qui ne la reprennent pas.

61–66

13. Les 120 pavés vus de l'un d'eux (pages 61 à 66)

La page 61 dessine un hexagone de triades qui n'est contenu dans aucun des \(X_\alpha\) (de deux types I et quatre types II, ou l'inverse)50 et note que tout triangle de triades biliées est formé, soit de triades d'un même \(X_\alpha\), soit de deux triades de type I et une de type II, soit de triades de type III. Page 62 : les bitriangles correspondent aux couples formés d'un sommet \(a\) et d'une bijection convenable, et, pour un bitriangle \(X\) donné, les 120 bitriangles se répartissent ainsi :

soit 120 au total.

C'est exact51 . Page 63 : ceux qui coupent \(X\) suivant un triangle dans chaque \(X_\alpha\) correspondent à un système transitif d'isomorphismes entre les \(I_\alpha\), six pour un triangle donné. Il note un programme : étudier la position relative de deux \(\mathcal{T}_1\), puis d'une base et d'un \(\mathcal{T}_1\) ; il n'est pas suivi.

Triades et hexagones (pages 63 à 65). (20) Une triade \(\tau\) est contenue dans un unique bitriangle, formé de \(\tau\) et des six sommets liés à exactement deux éléments de \(\tau\) ; son complémentaire dans ce bitriangle est un hexagone, d'où une bijection triades \(\to\) hexagones52 . La bijection inverse associe à un hexagone \(Y\) les sommets hors de \(Y\) liés à exactement quatre de ses sommets, deux à deux opposés, et qui correspondent ainsi aux trois diagonales. Plus finement, pour une triade \(\tau\) et \(x \notin \tau\), soit \(\nu_\tau(x)\) le nombre d'éléments de \(\tau\) liés à \(x\) ; on a \[ \begin{array}{lll} \nu_\tau(x) = 0 : & 6 \text{ sommets,} & \text{un hexagone } h(\tau) ; \\ \nu_\tau(x) = 1 : & 9 \text{ sommets,} & \text{un bitriangle } \operatorname{bit}(\tau) ; \\ \nu_\tau(x) = 2 : & 6 \text{ sommets,} & \text{un hexagone } \bar h(\tau), \text{ « opposé » à } h(\tau) ; \\ \nu_\tau(x) = 3 : & 3 \text{ sommets,} & \text{la triade opposée } \bar\tau . \end{array} \] (page 64), et \(\operatorname{bit}(\tau) = \operatorname{bit}(\bar\tau) = \operatorname{bit}(\tau') = \operatorname{bit}(\tau'') = \operatorname{bit}(\bar\tau') = \operatorname{bit}(\bar\tau'')\) pour les six triades de l'hexagone de triades de \(\tau\) (page 65)53 .

Comptes (page 66). La page vérifie \(27 \cdot 16 \cdot 10 = 6 \cdot 720\) (les triades ordonnées) et \(45 \times 16 = 720\), nombre des bitriangles munis d'un triangle (chaque triangle est dans 16 bitriangles) et nombre des triades. Elle note les équivalences « \(A_4 \Leftrightarrow A_5 \Leftrightarrow P_6 \Leftrightarrow\) bitriangle épinglé », reprises page 13354 .

68–70

14. Le pavé et son complémentaire (pages 68 à 70)

À partir de la page 68 le bitriangle s'appelle pavé (« anciennement : bitriangle »), et le graphe est noté \(\Delta = (S, A, T)\). Soit \(X \subset S\) un pavé.

  1. 1)Pour \(x \in S \smallsetminus X\), l'« ombre » \(\operatorname{Omb}_X(x)\) des sommets de \(X\) liés à \(x\) est une triade de \(X\) ; \(\varphi_X : S \smallsetminus X \to \operatorname{Tria}(X)\) est surjective.
  2. 2)La fibre de \(\varphi_X\) en une triade \(t\) est une triade \(\bar{\bar t}\), l'unique triade disjointe de \(t\) dont tous les éléments sont liés à tous ceux de \(t\) (l'opposée de \(t\)).
  3. 3)Les deux triades \(t'\), \(t''\) de \(X\) parallèles à \(t\) (de la même famille) ont pour réunion l'ensemble des sommets hors de \(t\) liés à exactement deux éléments de \(t\)55 .
  4. 4)Les six triades \(\tau, \tau', \tau''\) et \(\bar\tau, \bar\tau', \bar\tau''\) forment un hexagone de triades.
  5. 5)Si \(\rho, \rho', \rho''\) sont les trois triades de l'autre famille de \(X\), les opposées \(\bar\rho\), … forment un second pavé \(X_2\) ; \(X_1\) (formé des \(\bar\tau\)) et \(X_2\) sont les seuls pavés contenus dans \(S \smallsetminus X\), ils le partagent, et ils sont en bijection avec l'ensemble \(\varepsilon\) des deux familles de triades de \(X\).
  6. 6)–7)Les triades restantes de \(X_1\) et \(X_2\) se correspondent par opposition et forment encore un hexagone, dont l'ensemble \(I_0\) des trois diagonales donne des bijections \(X_1 \simeq I_1 \times I_0\), \(X_2 \simeq I_2 \times I_0\) ; pour \(i \in I_0\), \(X \cup \pi^{-1}(i)\) est un \(\mathcal{T}_1\), et l'on obtient ainsi les trois \(\mathcal{T}_1\) contenant \(X\).
  7. 8)Ces fibres sont aussi les orbites, sur \(S \smallsetminus X\), du groupe engendré par les symétries des triangles de \(X\).

C'est la décomposition de la page 51 vue depuis l'un des trois pavés56 .

72–77

15. Le diagramme des revêtements (pages 72 à 77)

La page 72 dresse la liste des ensembles en jeu, avec leurs cardinaux, et un diagramme d'applications dont les fibres ont toutes deux ou trois éléments : \[ \begin{array}{ll} \mathrm{Hex} & \text{hexagones de triades (« grands hexagones ») } \simeq \text{ pavés : } 120 ; \\ \mathrm{hex} & \text{hexagones de sommets (« petits ») } \simeq \text{ triades } (\mathrm{tria}) : 720 ; \\ \mathrm{triHex} & \text{triples distingués de grands hexagones : } 40 ; \\ \mathrm{Tria}' & \text{paires de triades opposées (diagonales des grands hexagones) : } 360 ; \\ \mathrm{Trtria} & \text{triangles de triades biliées } \simeq \text{ pavés orientés : } 240 . \end{array} \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}
\mathrm{Tria}' \arrow[d, "3"'] & \mathrm{tria} \simeq \mathrm{hex} \arrow[l, "2"'] \arrow[d, "3"] \\
\mathrm{Hex} \arrow[d, "3"'] & \mathrm{Trtria} \arrow[l, "2"] \\
\mathrm{triHex} &
\end{tikzcd}

Le carré est cartésien57 . Les revêtements de degré 2 sont les passages à la triade opposée et au triangle opposé ; et tout le diagramme se déduit de \(\mathrm{Tria}' \xrightarrow{3} \mathrm{Hex} \xrightarrow{3} \mathrm{triHex}\), \(\mathrm{Trtria}\) étant le revêtement double des orientations associé au revêtement de degré 3 \(\mathrm{Hex} \to \mathrm{triHex}\).

L'hexagone combinatoire (pages 73 à 76). Un petit hexagone \(h\) est formé de deux triades parallèles \(t = \lbrace a, b, c\rbrace\), \(t' = \lbrace a', b', c'\rbrace\) (sommets \(a, b', c, a', b, c'\) dans l'ordre) ; il y a un unique pavé \(P \supset h\), et \(t'' = P \smallsetminus h\) est la troisième triade parallèle, son élément \(a''\) correspondant à la diagonale \(\lbrace a, a'\rbrace\). Un hexagone abstrait équivaut à un couple \((\tau, \varepsilon)\) d'un ensemble à trois éléments (ses diagonales) et d'un ensemble à deux éléments (ses deux triangles inscrits), de sommets \(\tau \times \varepsilon\), \((a, \alpha)\) et \((b, \beta)\) étant voisins si et seulement si \(a \neq b\) et \(\alpha \neq \beta\) ; ses orientations sont celles de \(\tau\). Pour une triade \(t\) décrite dans le modèle de la page 52 par \((i, \beta)\), \(p(i) = \alpha\), le petit hexagone correspond à \((I_\gamma, I_\alpha \smallsetminus \lbrace i\rbrace)\) et le grand à \((I_\alpha, \lbrace 0, 1\rbrace)\), et la page note qu'il n'y a pas de relation universelle entre leurs deux ensembles d'orientations.

La « présentation symétrique » de la page 75 : un hexagone détermine l'ensemble \(\tau\) de ses diagonales (canoniquement isomorphe à celui de ses codiagonales, paires de côtés opposés), l'ensemble \(\varepsilon\) de ses triangles inscrits, l'ensemble \(\varepsilon'\) de ses triangles « coinscrits » (triples de côtés deux à deux non adjacents), et un isomorphisme \(\varphi : \varepsilon \wedge \varepsilon' \simeq \omega(\tau)\) ; sommets \(\tau \times \varepsilon\), côtés \(\tau \times \varepsilon'\), et \((s, \alpha)\) incident à \((t, \beta)\) si et seulement si \(t = \varphi(\alpha \wedge \beta)\)58 . Le passage à l'hexagone dual échange \(\varepsilon\) et \(\varepsilon'\) et change \(\varphi\) en \(-\varphi \circ \sigma\). Le groupe des automorphismes est le sous-groupe de \(\operatorname{Aut}(\tau) \times \operatorname{Aut}(\varepsilon) \times \operatorname{Aut}(\varepsilon')\) formé des \((u, \alpha, \beta)\) avec \(\alpha\beta\,\mathrm{sg}(u) = 1\), d'ordre 12 : c'est \(D_6\).

Les pages 76 et 77 dessinent le « cube » des revêtements entre ensembles attachés à un hexagone (sommets, côtés, diagonales, triangles inscrits et coinscrits, orientations, repères), puis le grand diagramme reliant les ensembles de configurations du graphe cubique, avec leurs groupes (\(\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2\) pour les repères d'un grand hexagone, etc.) ; la transcription les décrit et ne les restitue pas, et l'on fait de même. La page 77 note enfin les sous-groupes de \(\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_2\) : trois sous-groupes d'indice 2, trois d'indice 3 (conjugués), et des sous-groupes d'indice 6 répartis en trois classes, dénombrement que la page 80 précise59 .

78–80

16. Les polygones de trois à six côtés (pages 78 à 80)

  1. 1)\(n = 3\) : \(\mathrm{Pol}_3 \simeq (\mathrm{Ens})_3\), et la dualité (sommets \(\leftrightarrow\) côtés) est canoniquement isomorphe à l'identité, un côté correspondant au sommet opposé ; de même pour tout \(n\) impair. Groupe \(\mathfrak{S}_3\).
  2. 2)\(n = 4\) : \(\mathrm{Pol}_4 \simeq (\mathrm{Ens})_{2,2}\) (un carré est l'ensemble de ses sommets avec sa partition en diagonales), et plus généralement \(\mathrm{Cube}_d \simeq (\mathrm{Ens})_{2, \ldots, 2}\) (\(d\) fois). L'ensemble \(C_r\) des repères d'un carré est un torseur sous \(D_4\) (d'ordre 8) ; les ensembles du diagramme (sommets, côtés, diagonales, codiagonales, repères modulo la symétrie centrale, orientations) en sont des quotients, et la page constate qu'ils représentent chacune des huit classes de conjugaison de sous-groupes de \(D_4\) exactement une fois60 .
  3. 3)\(n = 6\) : \(P_6 \simeq P_3 \times (\mathrm{Ens})_2 \simeq (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2\) (et de même pour \(n = 2m\), \(m\) impair) : c'est l'hexagone \(t \times \omega\) de la page 74. Les diagonales et les codiagonales sont canoniquement en bijection ; on a \(H_\omega \simeq \omega(H_d) \simeq H_{tr} \wedge H_{tr^*}\), et les ensembles attachés à l'hexagone sont les espaces homogènes de \[ D_6 \simeq \mathfrak{S}_2 \cdot \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \simeq \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3 \] (d'ordre 12) correspondant à ses classes de sous-groupes : trois sous-groupes conjugués d'indice 3 (stabilisateurs des diagonales), trois sous-groupes d'indice 2 non conjugués (stabilisateurs des points de \(H_{tr}\), \(H_{tr^*}\), \(H_\omega\)), un sous-groupe d'indice 4, et trois classes de sous-groupes d'ordre 2 (le centre, stabilisateur des points de \(H_{p'}\), et deux classes de trois, stabilisateurs des sommets et des côtés).

La page 80 s'arrête sur l'observation que les automorphismes de ces espaces homogènes sont, eux aussi, lisibles sur le diagramme. C'est la même manière de faire que pour les polygones du dossier 75 : un objet combinatoire est remplacé par la liste des ensembles qu'il détermine, et ces ensembles par les sous-groupes de son groupe d'automorphismes.

81–85

17. Carrés et hexagones dans un pavé (pages 81 à 85)

Soit \(X\) un pavé (\(3 \times 3\)). Un carré de \(X\) est un 4-cycle induit : deux lignes et deux colonnes. (I) Les carrés de \(X\) sont en bijection avec les sommets de \(X\), à un carré \(C\) correspondant son centre \(a\), l'unique sommet de \(X\) lié à aucun sommet de \(C\) (à l'intersection de la ligne et de la colonne restantes). Deux sommets non liés sont dans une unique triade ; deux paires de sommets non liés forment un carré si et seulement si elles ont même « centre », et l'une détermine l'autre : la donnée d'un carré à diagonale marquée équivaut à celle d'une paire non liée, ou d'une triade pointée. D'où les isomorphismes \[ \mathrm{Car}_d(X) \simeq \mathrm{tria\,pt}(X), \qquad \mathrm{Car}_s(X) \simeq \mathrm{tria\,ép}(X), \] entre carrés à diagonale (resp. à sommet) marqué(e) et triades pointées (resp. épinglées)61 . Les quatre sommets de \(Y = X \smallsetminus (C \cup \lbrace a\rbrace)\) sont liés à \(a\) et chacun à exactement deux sommets de \(C\), formant un côté ; deux points de \(Y\) sont liés si et seulement s'ils correspondent à des côtés opposés, et les deux paires de côtés opposés de \(C\) correspondent aux deux triangles de sommet \(a\) (pages 81 et 82)62 . La page 82 écrit en travers un diagramme d'ensembles d'hexagones qu'on ne restitue pas.

Page 83, une question : quels graphes finis ont une « enveloppe » pavée ? Exemples dessinés : le point, le segment, le carré, l'hexagone, le pentagone, deux segments, le sablier. Pages 84 et 85 : un anti-carré (somme de deux segments) ; \(C \mapsto X \smallsetminus (C \cup \lbrace \text{centre}\rbrace)\) est une bijection des carrés sur les anti-carrés ; et le pavé engendré par un carré vérifie une propriété universelle évidente pour les plongements dans un complexe de la famille, \[ \mathrm{Pl}(\mathrm{Pav}(C), \mathcal{X}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pl}(C, \mathcal{X}), \] de sorte que la donnée d'un carré de \(\mathcal{X}\) équivaut à celle d'un pavé pointé ; \(\mathrm{Pav}(C)^\circ \simeq \mathrm{Pav}(C^*)\), \(C^*\) le carré dual63 .

86–90

18. Produits, coproduits et graphe opposé (pages 86 à 90)

Le produit de graphes \((\Gamma_i)\) a pour sommets \(\prod \Gamma_i\), deux sommets étant liés s'ils diffèrent en une seule coordonnée, où ils sont liés (c'est le produit cartésien des graphes, et non leur produit catégorique). Le graphe opposé \(\Gamma^\circ\) a les mêmes sommets, deux sommets distincts étant liés si et seulement s'ils ne le sont pas dans \(\Gamma\) (le graphe complémentaire) ; \(\Gamma\) est auto-opposé s'il est isomorphe à \(\Gamma^\circ\). Le coproduit est \(\overset{\circ}{\coprod} \Gamma_i = \bigl(\prod \Gamma_i^\circ\bigr)^\circ\).

Proposition (page 86). Un pavé est auto-opposé ; de façon équivalente, le coproduit de deux triades est un pavé. C'est vrai : le pavé est le produit de deux triangles, son opposé est le coproduit de deux triades (les triades étant les opposés des triangles), et le pavé est isomorphe à son complémentaire64 .

Pages 87 et 88 : le coproduit d'un doublet et d'un graphe discret est un graphe bi-discret ; le coproduit de deux doublets est la somme de deux segments (le carré dessiné réduit à ses diagonales), et le produit de deux segments est le carré65 . En mettant sur l'un des facteurs une structure de doublet et sur l'autre une structure de segment, on obtient au total les trois structures de carré sur l'ensemble à quatre éléments \(\lbrace a, b\rbrace \times \lbrace a', b'\rbrace\), qui correspondent à ses trois partitions de type \((2, 2)\). Un carré est donc la donnée d'un ensemble à quatre éléments et d'une telle partition \((C_\alpha)_{\alpha \in D}\) (ses diagonales) ; une orientation est donnée par des bijections \(\varphi_\alpha : C_\alpha \to C_\beta\) (« passer au sommet suivant ») avec \(\varphi_\beta \varphi_\alpha = -\mathrm{id}\), \(-\) désignant l'involution qui échange les deux sommets d'une diagonale ; d'où \(\mathrm{or}(C) \simeq D^* \times D\)66 .

Les pages 89 et 90, au crayon et en largeur, dressent le grand diagramme des ensembles de carrés et d'hexagones d'un pavé, avec les groupes (\(\mathfrak{S}_3\), \(\mathfrak{S}_2\), \(D_3\), \(D_6\), \(\mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2\)) ; une marge y note « invariants cube et hypercube dans polyèdres et polytopes ; prismes triangulaires, pentagonaux, hexagonaux », programme que reprendront les pages 134 et 135. On ne restitue pas ces diagrammes.

92–100

19. Complexes cubiques généralisés (pages 92 à 100)

La liasse qui commence page 92 porte un titre : « Complexes cubiques généralisés (complexes triadiques ou trilatères ?) ». C'est le tournant du dossier.

Soit \(S\) un graphe (sans boucles ni arêtes multiples), \(A \subset \mathfrak{P}_2(S)\) ses arêtes, \(T \subset \mathfrak{P}_3(S)\) l'ensemble de ses triangles67 .

Axiome 1. Toute arête est contenue dans un unique triangle.

Axiome 2. Pour tout triangle \(t\) et tout sommet \(s \notin t\), \(s\) est lié à un sommet de \(t\) (unique d'après l'axiome 1).

Leur conjonction est l'axiome (C). Ce sont exactement les axiomes d'un quadrangle généralisé dont les droites ont trois points : les sommets sont les points, les triangles les droites ; « un point hors d'une droite est collinéaire à un unique point de cette droite »68 .

Autour d'un triangle (pages 92 à 97). Supposons l'axiome 1, \(A \neq \emptyset\), et fixons un triangle \(t_0 = \lbrace a, b, c\rbrace\) pour lequel l'axiome 2 est vrai. Pour \(\alpha \in t_0\), soit \(\widetilde E_\alpha\) l'ensemble des sommets hors de \(t_0\) liés à \(\alpha\). Alors \[ (1) \qquad S \simeq t_0 \amalg \coprod_{\alpha \in t_0} \widetilde E_\alpha . \] Les arêtes sont basiques (dans \(t_0\)), verticales (de \(\alpha\) à \(\widetilde E_\alpha\)) ou horizontales supérieures (dans \(S \smallsetminus t_0\)). L'axiome 1 donne successivement :

Scholie (page 96). Moyennant l'axiome 1 et l'axiome 2 pour \(t_0\), le graphe se résume à la donnée de a) un ensemble \(t_0\) à trois éléments, b) une famille \((\widetilde E_\alpha)_{\alpha \in t_0}\) d'ensembles munis d'involutions sans point fixe \(\sigma_\alpha\), c) une partie \(\widetilde T \subset \widetilde P = \prod_\alpha \widetilde E_\alpha\), soumise aux conditions (*) les projections sur les produits de deux facteurs sont injectives, (**) si \((s, t)\) est dans l'image, \((\sigma_\alpha s, t)\) n'y est pas70 ; les liaisons sont celles qu'on devine (2°) \(\alpha\))–\(\delta\))), et les triangles sont \[ T \simeq \lbrace t_0\rbrace \amalg \coprod_{\alpha \in t_0} E_\alpha \amalg \widetilde T, \qquad E_\alpha = \widetilde E_\alpha / \sigma_\alpha \] (le triangle de base, les triangles verticaux \(\lbrace \alpha\rbrace \cup u\), \(u\) une orbite de \(\sigma_\alpha\), et les triangles supérieurs). « Rien n'empêche pour l'instant qu'on ait \(\widetilde T = \emptyset\) ! »

L'axiome 2 pour les autres triangles (pages 98 à 100). Pour un triangle vertical \(\lbrace \alpha, s, s'\rbrace\) il donne la Prop. 5 : tout \(t \in \widetilde E_\beta\) (\(\beta \neq \alpha\)) est lié à exactement l'un de \(s\), \(s'\). D'où trois corollaires : si \(s, t\) sont liés, \(s'\) et \(t' = \sigma_\beta t\) le sont ; \(\widetilde T\) est stable par l'involution \(\prod \sigma_\alpha\) de \(\widetilde P\) ; l'ensemble \(\widetilde E_\beta(s)\) des voisins de \(s\) dans \(\widetilde E_\beta\) est une section de \(\widetilde E_\beta \to E_\beta\), et « être liés » est une bijection \(\widetilde E_\beta(s) \to \widetilde E_\gamma(s)\). Par suite, si \(\widetilde E_\alpha \neq \emptyset\), \(\widetilde E_\beta\) et \(\widetilde E_\gamma\) ont même cardinal, et si de plus celui-ci n'est pas nul les trois \(\widetilde E_\alpha\) ont même cardinal \(2c\). Les cas où certains \(\widetilde E_\alpha\) sont vides donnent des graphes dégénérés (un triangle seul, une « étoile » de triangles en un sommet), que l'axiome 3 exclut : les \(\widetilde E_\alpha\) sont non vides. Sous l'axiome 3, l'axiome 2 pour les triangles supérieurs est alors automatique : la Prop. 6, barrée sur la page mais lisible, le démontre (si \(s_1 \in \widetilde E_a\) n'était lié à aucun des sommets \(t, u\) d'un triangle supérieur \(\lbrace s, t, u\rbrace\), \(\sigma_a s_1\) serait lié aux deux, contredisant la Prop. 2)71 .

101–105

20. La réduction à deux problèmes (pages 101 à 105)

La page 101 reformule la Scholie : un ensemble \(t_0\) à trois éléments, un ensemble non vide \(\widetilde\Gamma\) (les triangles supérieurs) avec une involution sans point fixe \(\sigma_{\widetilde\Gamma}\), et trois quotients \(\widetilde\Gamma \to \widetilde E_\alpha\) compatibles aux involutions, avec

  1. \(\alpha\))les involutions induites \(\sigma_\alpha\) sont sans point fixe ;
  2. \(\beta_{\widetilde\Gamma}\))pour \(\alpha \neq \beta\), \(\widetilde\Gamma \to \widetilde E_\alpha \times \widetilde E_\beta\) est injective, et pour toute orbite \(u\) de \(\sigma_\alpha\) et tout \(t \in \widetilde E_\beta\), un et un seul \(s \in u\) a \((s, t)\) dans l'image ;
  3. \(\gamma\))l'axiome (Ka), énoncé plus haut sur des familles \((s_\alpha)\), \((t_\alpha)\) et qu'on ne peut restituer72 .

Passons aux quotients : \(\Gamma = \widetilde\Gamma/\sigma\), \(E_\alpha = \widetilde E_\alpha/\sigma_\alpha\). Alors \(\widetilde\Gamma\) s'identifie, pour chaque \(\alpha\), à l'image inverse du revêtement double \(\widetilde E_\alpha \to E_\alpha\) par \(\Gamma \to E_\alpha\), et la donnée équivaut à : un ensemble \(\Gamma\) et trois quotients \(\varphi_\alpha : \Gamma \to E_\alpha\), trois revêtements doubles \(\widetilde E_\alpha \to E_\alpha\), et un système transitif d'isomorphismes entre leurs trois images inverses sur \(\Gamma\). L'axiome \(\beta_{\widetilde\Gamma}\) équivaut alors à

\(\beta_\Gamma\)) pour \(\lbrace \alpha, \beta\rbrace \in \mathfrak{P}_2(t_0)\), \(\Gamma \to E_\alpha \times E_\beta\) est bijective.

C'est mot pour mot l'axiome I de la page 1 : \(\Gamma \subset \prod_\alpha E_\alpha\) est un carré latin d'ordre \(c\), et \(\operatorname{card}\Gamma = c^2\), \(\operatorname{card}\widetilde\Gamma = 2c^2\)73 . La page 102 l'écrit : « la classification des cas "complexes cubiques généralisés" se décompose en deux questions exactement » :

  1. I)décrire les systèmes de trois quotients \(\Gamma \to \Gamma_\alpha\) d'un ensemble non vide vérifiant \(\beta_\Gamma\) — les carrés latins ;
  2. II)pour un tel système, classer ses « revêtements d'ordre 2 », puis ceux qui vérifient l'axiome (Ka).

Le problème I) est celui des pages 1 à 16 ; le problème II), dans le cas où le carré latin est la table d'un groupe commutatif \(V\) (c'est-à-dire \(\Gamma = \operatorname{Ker}(V^3 \to V)\)), est celui des extensions centrales des pages 32 à 39. La page 116 montrera que \(V\) est nécessairement un \(\mathbb{F}_2\)-espace vectoriel, et la page 39 donne l'extension pour \(\dim V = 2\)74 .

Les nombres (page 104). Avec \(c = \operatorname{card} E_a\) : \[ \begin{aligned} &\operatorname{card} S = 3(1 + 2c), && \operatorname{card} E_S(s) = 2(1 + c), \\ &\operatorname{card} A = 3(1+c)(1+2c), && \operatorname{card} T = (1+c)(1+2c), \end{aligned} \] chaque sommet étant sur \(1 + c\) triangles, et \(\operatorname{card}\widetilde \Gamma = 2c^2\), \(\operatorname{card}\Gamma = c^2\), \(\operatorname{card}\widetilde E_a = 2c\). Tout est juste. La page 105 classe les cas dégénérés (points isolés, un triangle, une étoile de triangles en un sommet), et s'arrête sur « Si un sommet porte au moins 2 triangles »75 .

106–116

21. Automorphismes des graphes trialitaires (pages 106 à 116)

Le titre est de sa main : « Automorphismes des graphes trialitaires » (le mot « complexes » y est biffé et remplacé par « graphes »). Soit \((S, A)\) un graphe vérifiant les axiomes 1 à 3, \(c \geq 1\).

Pour un triangle \(\underline t = \lbrace a, b, c\rbrace\), la symétrie \(\sigma_{\underline t}\) est la bijection de \(S\) égale à l'identité sur \(\underline t\) et qui envoie \(x \in \widetilde E_a\) sur l'unique élément de \(\widetilde E_a\) lié à \(x\) (c'est l'involution \(\sigma_{t_0}\) de la section 19).

Proposition (page 106). a) \(\sigma_{\underline t}\) est un automorphisme de \((S, A)\), dont l'ensemble des points fixes est \(\underline t\). b) L'application \(\underline t \mapsto \sigma_{\underline t}\) est injective, et son image est formée des automorphismes involutifs \(u\) dont l'ensemble des points fixes est un triangle et qui stabilisent chaque triangle passant par un de ces points fixes76 . Pour \(g \in \mathcal{G} = \operatorname{Aut}(S, A)\) on a \(g \sigma_{\underline t} g^{-1} = \sigma_{g(\underline t)}\), de sorte que le groupe \(\mathcal{G}^\circ\) engendré par les symétries est distingué dans \(\mathcal{G}\).

Théorème (page 107). \(\mathcal{G}^\circ\) est transitif sur l'ensemble des arêtes orientées (couples de sommets liés), donc sur les sommets et sur les triangles. Corollaire : les \(\sigma_{\underline t}\) forment une seule classe de conjugaison de \(\mathcal{G}^\circ\). La marge excepte le cas \(c = 1\) : pour le pavé, \(\mathcal{G}^\circ \simeq \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3\) est d'indice 2 dans \(\mathcal{G} \simeq \mathfrak{S}_2 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)\), transitif sur les sommets mais non sur les arêtes (les symétries des lignes et celles des colonnes ne sont pas conjuguées dans \(\mathcal{G}^\circ\))77 .

La démonstration repose sur deux lemmes. Lemme 1 : a) si \(s, t\) sont liés, \(t = \sigma_{\underline t} s\) pour un triangle \(\underline t\) (n'importe quel autre triangle passant par le troisième sommet \(u\) du triangle \(\lbrace s, t, u\rbrace\) ; il en existe dès que \(c \geq 1\)) ; b) si \(s, t\) ne sont pas liés, ils ont un voisin commun, et \(t\) est image de \(s\) par un produit de deux symétries. Lemme 2 : si \(s, t\) sont deux voisins distincts et non liés d'un même sommet \(a\), il existe un produit de deux symétries qui fixe \(a\) et échange \(s\) et \(t\) ; et (page 108) si \(c \geq 2\) on peut le choisir induisant l'identité sur un triangle \(\underline t_0 = \lbrace a, b, c\rbrace\) ne contenant ni \(s\) ni \(t\). La « recette » des pages 108 et 109 construit ce produit : avec \(u\) un voisin commun de \(s\) et \(t\) hors de \(a\), lié à \(b\), les triangles \(\lbrace s, u, v\rbrace\) et \(\lbrace t, u, w\rbrace\), et les triangles \(\underline\sigma = \lbrace c, v, v'\rbrace\) et \(\underline\tau = \lbrace c, w, w'\rbrace\), on a \(\sigma_{\underline\sigma} s = u\), \(\sigma_{\underline\tau} u = t\), les deux symétries échangent \(a\) et \(b\) et fixent \(c\), et \[ W = \sigma_{\underline\tau} \sigma_{\underline\sigma} \] envoie \((a, s)\) sur \((a, t)\) en induisant l'identité sur \(\lbrace a, b, c\rbrace\)78 .

Transitivité sur les triangles supérieurs (pages 110 à 114). Le corollaire de la page 110 (barré dans sa moitié inférieure) affirme que les produits pairs de symétries de triangles verticaux, qui fixent \(a\), \(b\), \(c\), opèrent transitivement sur \(\widetilde\Gamma\). Le Lemme 1 de la page 111, valable pour \(c\) fini \(\geq 3\) (« c'est faux si \(c = 1, 2\) »), affirme que deux éléments \(s, t\) de \(\widetilde E_a\) se joignent par un \(s_1 \in \widetilde E_a\) et des \(u, v \in \widetilde E_b\) avec \(u\) lié à \(s\) et \(s_1\), \(v\) à \(s_1\) et \(t\) ; la démonstration, par l'absurde et par cardinalité, sépare \(\widetilde E_a\) en deux parties \(A'\), \(A''\) et aboutit (page 113) à \(\widetilde E_c(r_i) = \complement\widetilde E_c(r_i)\), absurde. Le Lemme 2 et son corollaire (pages 113 et 114) introduisent, pour un sommet \(b\) de \(\underline t_0\), le groupe \(\mathcal{G}_b\) engendré par les produits \(\sigma_{v_1}\sigma_{v_2}\) de deux symétries de triangles verticaux en \(b\) : c'est un \(\mathbb{F}_2\)-espace vectoriel qui respecte \(a\), \(b\), \(c\), et il est transitif sur \(\widetilde E_a\) (par des produits de quatre symétries) ; un « corollaire plus fort », barré, l'affirmait transitif sur \(\widetilde\Gamma\)79 .

Ordres (page 115). Le nombre de triangles épinglés (triangle muni d'un ordre total sur ses sommets) est le nombre d'arêtes orientées, \(6(1+c)(1+2c)\) ; celui des bitriangles épinglés est \(2c^2\) fois plus grand, \(12c^2(1+c)(1+2c)\). Pour \(c = 2\), un automorphisme qui induit l'identité sur un bitriangle épinglé est l'identité, et \(\mathcal{G} = \mathcal{G}^\circ\) est simplement transitif sur les bitriangles épinglés : il est d'ordre \(12 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 3 = 720\). Pour \(c = 1\), \(\mathcal{G}\) est d'ordre \(12 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 = 72\). En général le nombre de bitriangles est \(\frac{1}{72}\) du nombre des bitriangles épinglés, \(\frac16 c^2(1+c)(1+2c)\). Tout cela est juste.

Le cas commutatif (page 116). Pour la relation \(xyz = 1\) sur un groupe \(G\) et un élément \(a\), l'application \[ \varphi_a : (x, y, z) \longmapsto (x,\ a^{-1}z^{-1},\ a^{-1}y^{-1}) \] préserve la relation pour tous \((x, y, z)\) seulement si \(a^2 = 1\) (prendre \(y = z = 1\)), puis \((z^{-1}a)^2 = 1\) pour tout \(z\) : tout élément est d'ordre 2, \(G\) est commutatif, c'est un espace vectoriel sur \(\mathbb{F}_2\), et la condition est alors satisfaite. Écrit additivement, \(\varphi_c : (x, y, z) \mapsto (x, z + c, y + c)\) et \(\varphi_a \varphi_b : (x, y, z) \mapsto (x, y + c, z + c)\) avec \(c = a + b\)80 . Ce sont les symétries des triangles verticaux, vues sur le carré latin \(\Gamma\) : le sous-groupe distingué \(\mathcal{G}_a\) engendré par les produits pairs en \(a\) opère trivialement sur \(\widetilde E_a\), transitivement sur \(\widetilde E_b\) et \(\widetilde E_c\), et il est isomorphe au groupe des parties paires de \(E_a\) ; \(\mathcal{G}\) opère transitivement sur \(\widetilde\Gamma \simeq \mathcal{G}/\mathfrak{g}\). Voilà pourquoi le carré latin du problème I) doit être la table d'un \(\mathbb{F}_2\)-espace vectoriel, et \(c\) une puissance de 2.

117–123

22. La tour et ses tableaux (pages 117 à 123)

Soit \(\mathcal{T}_\beta\), \(\beta \in \lbrace -1, 0, 1, 2\rbrace\), les graphes de la famille, avec \(c_\beta = 0, 1, 2, 4\). Pour \(\beta \leq \gamma\) on note \(c_{\beta\gamma}\) le nombre de sous-structures \(\mathcal{T}_\beta\) dans un \(\mathcal{T}_\gamma\), \(c'_{\beta\gamma}\) le nombre de sous-structures épinglées, et \(N_\beta = c'_{\beta\beta}\) l'ordre du groupe des automorphismes de \(\mathcal{T}_\beta\) ; on a \[ c'_{\beta\gamma} = N_\beta\, c_{\beta\gamma}, \qquad c'_{\beta\gamma} = c'_{\alpha\gamma}\, \nu_{\alpha\beta\gamma}, \] \(\nu_{\alpha\beta\gamma}\) étant le nombre de prolongements d'une structure épinglée \(\mathcal{T}_\alpha\) en une structure épinglée \(\mathcal{T}_\beta\). On trouve (page 118) \[ \nu_{-1,0,\gamma} = 2c_\gamma^2, \qquad \nu_{0,1,\gamma} = c_\gamma - 1, \qquad \nu_{1,2,\gamma} = c_\gamma - 2, \] d'où, pour \(\gamma\) convenable, \[ \begin{aligned} c'_{-1,\gamma} &= 6(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma), & c'_{0,\gamma} &= 12c_\gamma^2(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma), \\ c'_{1,\gamma} &= 12c_\gamma^2(c_\gamma^2-1)(2c_\gamma+1), & c'_{2,\gamma} &= 12c_\gamma^2(c_\gamma^2-1)(c_\gamma-2)(2c_\gamma+1), \end{aligned} \] et les deux tableaux, qui sont justes : \[ \begin{array}{c|cccc} c'_{\beta\gamma} & \gamma = -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \beta = -1 & 6 & 36 & 90 & 270 \\ 0 & & 72 & 720 & 8640 \\ 1 & & & 720 & 25\,920 \\ 2 & & & & 51\,840 \end{array} \qquad \begin{array}{c|cccc} c_{\beta\gamma} & \gamma = -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \beta = -1 & 1 & 6 & 15 & 45 \\ 0 & & 1 & 10 & 120 \\ 1 & & & 1 & 36 \\ 2 & & & & 1 \end{array} \] avec \[ c_{0,\gamma} = \tfrac{1}{72}\,c'_{0,\gamma} = \tfrac16\, c_\gamma^2 (c_\gamma+1) (2c_\gamma+1), \qquad c_{1,\gamma} = \tfrac{1}{720}\, c'_{1,\gamma} = \tfrac{1}{60}\, c_\gamma^2 (c_\gamma^2 - 1)(2c_\gamma+1) . \]81 Les ordres \(N_\beta\) sont \(6\), \(72\), \(720\), \(51\,840 = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5\), que la page 122 recalcule en travers d'une copie d'examen (\(128 \times 405 = 51\,840\)).

Le tableau de la page 120. Il récapitule, pour \(c = 0, 1, 2, 4\) : triangles par sommet \(c + 1 = 1, 2, 3, 5\) ; voisins \(2(c+1) = 2, 4, 6, 10\) ; sommets \(3 + 6c = 3, 9, 15, 27\) ; arêtes \(3, 18, 45, 135\) ; triangles \(1, 6, 15, 45\), dont \(3c\) verticaux et \(2c^2 = 0, 2, 8, 32\) transversaux ; sommets non liés à un sommet donné \(4c = 0, 4, 8, 16\), qu'il écrit \(2^{\nu+2}\) ; et l'ordre du groupe d'automorphismes, \(6\), \(72\), \(720\), \(51\,840\)82 . Il note enfin « \(c = 2^\nu\) » : \(2c^2 = 2^{2\nu+1}\) pour \(\nu = -\infty, 0, 1, 2\).

Catégories de paires (page 123). La catégorie des \(\mathcal{T}_\alpha\) munis d'une sous-structure \(\mathcal{T}_\beta\) est équivalente à : \[ \begin{array}{c|cccc} \beta \backslash \alpha & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \text{rien} & (\mathrm{Ens})_3 & (\mathrm{Ens})_{3,3} & (\mathrm{Ens})_6 & \ast \\ -1 & (\mathrm{Ens})_3 & (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2 & (\mathrm{Ens})_{2,2,2} & \text{« Trialité »} \\ 0 & & (\mathrm{Ens})_{3,3} & (\mathrm{Ens})_{3,3} & (\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_{3,3} \\ 1 & & & (\mathrm{Ens})_6 & (\mathrm{Ens})_6 \times (\mathrm{Ens})_2 \end{array} \] On a contrôlé chaque case sur les ordres : le groupe d'automorphismes de la catégorie doit être d'ordre \(N_\alpha / c_{\beta\alpha}\), et c'est le cas83 . Le mot « Trialité » pour un graphe cubique muni d'un triangle est remarquable : le stabilisateur d'un triangle est d'ordre \(51\,840/45 = 1152\), l'ordre du groupe de Weyl de \(F_4\), extension par \(\mathfrak{S}_3\) (les permutations des trois sommets du triangle) de \(W(D_4)\), et c'est la trialité de \(D_4\) qui opère84 . Le second tableau de la page, pour les chaînes \(\mathcal{T}_\alpha \subset \mathcal{T}_\beta \subset \mathcal{T}_\gamma\), est lu sur un aperçu insuffisant et toutes ses entrées sont douteuses85 .

121–125

23. Revêtements, torseurs et relations entre symétries (pages 121, 124, 125)

La page 121, de brouillon, dessine le diagramme qui réunit les deux moitiés du dossier : \(V \xrightarrow{\varphi_i} \Gamma \xrightarrow{p_i} E_i/2 = V\), le relèvement \(\psi_i : V \to \widetilde\Gamma\), l'extension \(\lbrace \pm 1\rbrace \to \widetilde\Gamma \to \Gamma\), et le revêtement \(\widetilde\Gamma \to \widetilde E_i\)86 . C'est la situation des pages 32 à 39 appliquée au problème II) des pages 101 à 103. On y lit aussi les relations \(\tau_2\tau_1 = \tau_3\tau_2 = \tau_1\tau_3 = \mathrm{id}\) de la page 10, et des calculs de commutateurs de symétries, \(\sigma_x \sigma_y \sigma_x^{-1}\sigma_y^{-1} = \sigma_{\sigma_x y}\sigma_y^{-1}\), conséquence de \(g\sigma_{\underline t}g^{-1} = \sigma_{g \underline t}\).

Page 124 : pour trois triangles \(t_0\), \(t\), \(t'\) convenablement placés, les symétries agissent sur six sommets \(x, y, z, x', y', z'\) par \[ \sigma_{t_0} : x \leftrightarrow x', \ y \leftrightarrow y', \ z \leftrightarrow z' ; \quad \sigma_t : x \leftrightarrow y', \ y \leftrightarrow z', \ z \leftrightarrow x' ; \quad \sigma_{t'} : x \leftrightarrow z', \ y \leftrightarrow x', \ z \leftrightarrow y' , \] et \(\sigma_{t_0}\sigma_t = \sigma_t\sigma_{t'} = \sigma_{t'}\sigma_{t_0} = \pi\) est d'ordre 3 : les trois symétries engendrent un \(\mathfrak{S}_3\). Page 125 : avec un triangle supérieur \(\lbrace s, t, u\rbrace\), l'identité encadrée \[ \sigma_t \sigma_s \sigma_u = \sigma_{t_0} \quad \text{sur } \widetilde E_a \smallsetminus \lbrace s, s'\rbrace , \] où \(\sigma_s\) désigne la symétrie du triangle vertical passant par \(s\), et ses réécritures, dont \(\sigma_t \sigma_s \sigma_t^{-1} = \sigma_{\sigma_t s}\) ; la marge dit « short-cut !! »87 .

127–129

24. Un sommet marqué et l'espace \(\mathbb{F}_2^I\) (pages 127 à 129)

Soit \((S, A)\) un graphe \(T_\nu\), \(\nu \in \lbrace 0, 1, 2\rbrace\), \(c = 2^\nu\), et \(a \in S\). Soit \(I\) l'ensemble des \(c + 1\) triangles de sommet \(a\), \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) l'ensemble des voisins de \(a\) (\(X_i\) les deux autres sommets du triangle \(i\), torseur sous \(\mathbb{F}_2\)), et \(E = \prod_{i \in I} X_i\), torseur sous \(V = \mathbb{F}_2^I\). Soit \(Y\) l'ensemble des \(4c\) sommets non liés à \(a\). Tout \(x \in Y\) est lié à un unique élément \(\varphi_i(x)\) de chaque \(X_i\), d'où \(\varphi : Y \to E\).

Les symétries \(\sigma_i\) des triangles \(i \in I\) opèrent sur \(E\) : \(\sigma_{i_0}\) échange les deux points de chaque \(X_i\), \(i \neq i_0\), et fixe \(X_{i_0}\). Si \(\eta : V \to \mathbb{F}_2\) est la somme des coordonnées, \(\delta\) la diagonale et \(z = \delta(1)\), on a donc \((\sigma_g)_E = \rho(g + \delta\eta(g))\), où \(\rho\) est l'action naturelle de \(V\) sur \(E\). Soit \(u(x) = x + \delta\eta(x)\). Son noyau est \(\lbrace 0\rbrace\) si \(\operatorname{card} I\) est pair et \(\lbrace 0, z\rbrace\) si \(\operatorname{card} I\) est impair ; or \(\operatorname{card} I = 1 + 2^\nu\) est pair pour \(\nu = 0\) et impair pour \(\nu = 1, 2\). Donc :

Les pages s'arrêtent là pour \(\nu \geq 1\). Ce qu'on peut dire, et qu'on a vérifié : pour \(c = 4\), \(\varphi\) est injective et son image est une orbite de \(V'\), de sorte que les seize non-voisins de \(a\) forment un torseur sous \(V'\), de dimension 4 — c'est ce qu'affirme la page 135 ; pour \(c = 2\), en revanche, \(\varphi\) est deux-à-un sur quatre points (dans le modèle des paires de \(\lbrace 1, \ldots, 6\rbrace\), avec \(a = 12\), les non-voisins \(13\) et \(23\) ont les mêmes projections), et la description ne s'étend pas telle quelle89 .

130–131

25. Les mêmes axiomes en termes de triangles (pages 130 et 131)

Titre de sa main : « Graphes pseudotrialitaires en termes de triangles ». On se donne un ensemble \(X\) de « sommets » et \(T \subset \mathfrak{P}_3(X)\), et l'on définit une arête comme une paire contenue dans un triangle. Axiomes : a) deux triangles distincts ont au plus un point commun (toute arête est dans un unique triangle) ; b) trois sommets deux à deux joints par des arêtes forment un triangle de \(T\) ; c) pour \(\underline t \in T\) et \(a \notin \underline t\), il existe un unique triangle passant par \(a\) et rencontrant \(\underline t\). C'est l'axiome (C) de la page 92 dans le langage des points et des droites. La condition d) « chaque sommet est sur trois triangles » fait de \(X\) une configuration (chaque droite a trois points et chaque point est sur trois droites) ; avec \(X'\) l'ensemble des droites et \(R\) l'incidence, \(X' \to \mathfrak{P}_3(X)\) et \(X \to \mathfrak{P}_3(X')\) sont injectives, et la page entreprend de vérifier que le dual \(X'\) satisfait à son tour a) à d) : d) est immédiat, a) est clair, b) se démontre par l'absurde, c) est énoncé90 .

132–135

26. Diagrammes \(A_n\), prismes et carrés (pages 132 à 135)

Les dernières pages décrivent des configurations du graphe cubique, chacune par la catégorie des données équivalentes, dans le style des pages 17 à 39 du dossier 69 ; on vérifie chaque fois la cohérence avec \(|W(E_6)| = 51\,840\).

C'est sur cette description autour d'un sommet — un ensemble à cinq éléments et un torseur sous un espace de dimension 4 sur \(\mathbb{F}_2\) — que le dossier s'arrête : elle rejoint le graphe de la page 18, construit sur un \(\mathbb{F}_2\)-espace vectoriel, par lequel les notes sur les vingt-sept avaient commencé.

Notes

  1. On a vérifié tous les nombres cités dans ce document sur le modèle standard (les droites \(a_i\), \(b_i\), \(c_{ij}\), \(a_i\) coupant \(b_j\) pour \(i \neq j\), \(c_{ij}\) coupant \(a_i, a_j, b_i, b_j\) et les \(c_{kl}\) avec \(\lbrace k, l\rbrace \cap \lbrace i, j\rbrace = \emptyset\)). C'est aussi le modèle du dossier 69, vérifié de la même façon. ↩
  2. Ces pages ne définissent ni \(\eta\) ni la forme ; on les lit avec les conventions du dossier 69 (pages 41 à 44), où la surface est réalisée comme le plan éclaté en six points. ↩
  3. Les pages écrivent \(\mathcal{T}_\nu\) (une capitale cursive de lecture douteuse, pages 57, 58, 63, 70, 75), \(\tau_\beta\) (pages 117 à 123) et \(T_\nu\) (page 127), toujours avec cet indice. La page 123 ajoute \(\tau_{-\infty}\), le graphe vide, et écrit \(c = 0 = 2^{-\infty}\) en regard du triangle, indexé pourtant \(-1\) : l'indice et l'exposant ne coïncident qu'à partir de \(\nu = 0\). ↩
  4. Noms de nous. C'est la même condition que la condition (1) du dossier 69 (page 107), et — on le verra — que l'axiome \(\beta_\Gamma\) de la page 102 de ce dossier. ↩
  5. « (\(I\) variable ; pour iso sur \(I\)) » : les deux derniers mots sont incertains. ↩
  6. La page précise qu'on peut « renverser » l'une des actions en passant à l'inverse ; une première ligne, biffée, parlait d'un système transitif d'isomorphismes extérieurs entre les \(G_i\), idée qui revient plus bas. ↩
  7. La ligne qui les introduit est surchargée ; seul « équivalentes » se lit sûrement. ↩
  8. Les lignes qui entourent l'encadré de la page 3 sont d'une écriture très rapide et seuls les symboles s'y lisent ; on rend le sens que les formules imposent. C'est la théorie des bitorseurs du dossier 69 (page 112) ; elle relève de la cohomologie non abélienne de Giraud (1971), que la page n'invoque pas. ↩
  9. La page fait le même calcul dans un ordre légèrement différent (« \(u_3(y) = u_2(y^{-1})^{-1}\), pareil \(u_1(y) = u_2(y^{-1})^{-1}\) ») ; il est correct. La phrase qui énonce les \(u_i\) commence au bas de la page 6 et finit en tête de la page 5 : les feuillets sont classés dans le désordre. ↩
  10. Rattaché en général à Albert (1943) ; cité de mémoire, nom d'« isotopie » de nous. ↩
  11. Noms et réponse de nous ; les pages ne tranchent pas la question. ↩
  12. Ces relations ne découlent pas des seuls axiomes a) et b) : elles traduisent, après l'identification des \(E_i\), l'hypothèse \(u_1 u_2 u_3 = \mathrm{id}\) admise page 8, et c'est d'elle seule qu'elles viennent. Une première relation, \((\sigma_3\sigma_2\sigma_1)^2 = \mathrm{id}\), est biffée ; un premier énoncé b), barré de hachures, définissait déjà les \(\sigma_i\). Le début de la page 10 continue, selon toute apparence, la dernière ligne de la page 8. ↩
  13. Le mot « boucle » (en anglais loop) est de nous. La page a d'abord écrit « \(\sigma x\) est l'inverse à droite de \(x\) », biffé puis rétabli sous une autre forme ; l'alinéa est marqué d'un double trait en marge. ↩
  14. En marge de la page 14, la même relation est écrite \(\sigma(xy) = \sigma x\, \sigma y\) ; dans un groupe non commutatif c'est l'ordre de la page 13 qui est juste : l'inversion est un anti-automorphisme. ↩
  15. Le rapprochement est de nous. La page 15 est très surchargée ; la ligne « \(z = 1\), \(c = \ldots\) », dans laquelle des lettres sont entourées, est d'une lecture d'ensemble douteuse, et deux facteurs d'une formule intermédiaire sont illisibles. On ne reproduit pas les calculs intermédiaires, dont la transcription donne l'état. ↩
  16. Fait classique, de nous. Le bas de la page revient aux relations \((ab)c = 1\), \((ax)y = 1\), …, avec \(f_1(x) = \sigma(ax)\), \(f_2(x) = (\sigma x)b^{-1}\) ; tête-bêche, à l'encre brune, quelques formules reprennent l'associativité. ↩
  17. Au premier item le complément de « lié à tous les él. de » est surchargé et l'indice de \(X\) illisible ; on lit les \(X_\lambda\). Au troisième la page porte « \(i \in V_\lambda\) » ; on suit la transcription, qui attend \(I_\lambda\). ↩
  18. Rapprochement de nous ; la page n'en dit pas davantage et l'énoncé n'est pas démontré. La description exacte autour d'un sommet est celle des pages 127 à 129 et 135 (section 24 ci-dessous) ; pour \(c = 4\) les non-voisins forment un torseur sous un espace de dimension 4 et l'ensemble \(I\) des « translations voisines » n'y est pas une base mais un système de cinq vecteurs de somme nulle. ↩
  19. Les indices des triplets aux sommets de l'hexagone ne se lisent pas tous ; les esquisses du bas de la page (grilles \(3 \times 3\), « \(9\,6\,6\,6\) », « \(9\,9\,9\) », « \(40\) ») sont sans légende. ↩
  20. On y lit que \(x, y\) « sont liés exactement par deux », l'une passant par \((r, a, r')\), l'autre par \((s, a, s')\), et que deux points d'une partie \(T'\) sont liés si et seulement s'ils ont « des arêtes distinctes et convergentes à des sommets distincts de \(T\) » ; plusieurs mots illisibles. ↩
  21. À la page 28 le mot est « bitriades », lu avec doute ; le tableau de la page 29 écrit « bibases ». Les « trois-neufs » de la page 29 sont les trihexagones. ↩
  22. Noms de nous. Les vingt-sept dans la notation \(\xi_{ij}\) apparaissent page 26 comme \(E \times E' \amalg E' \times E'' \amalg E'' \times E\) pour trois ensembles à trois éléments, avec deux règles de liaison incomplètes ; c'est le modèle que les pages 51 et 52 mèneront à bien (section 11). ↩
  23. La page écrit « \(= 2\) ». Avec la forme d'intersection (\(\eta^2 = 1\), \(\xi_i^2 = -1\), \(\eta \cdot \xi_i = 0\)) on trouve \((2\eta - \xi) \cdot \xi_j = 1\) ; la lecture de \(\eta\) et \(\xi\) est d'ailleurs incertaine à cet endroit. ↩
  24. La page écrit \(r_{456} = 3(r_1 + r_2 + r_3) + 2r_4 + r_5 + r_6\), en lisant avec doute le coefficient de \(r_4\) et le signe devant \(r_3\). Le calcul direct donne \(\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 - \xi_4 - \xi_5 - \xi_6 = r_1 + 2r_2 + 3r_3 + 2r_4 + r_5\) ; c'est la même correction que le dossier 69 fait à sa page 63. On a alors \(r_0 = r_6 + r_{456} = r_1 + 2r_2 + 3r_3 + 2r_4 + r_5 + 2r_6\), la plus grande racine. ↩
  25. La page écrit « dans \(W\) », lu avec doute. Les trois hexagones de la page 27 correspondent aux trois blocs de neuf de la page 22 : la décomposition \(A_2 \times A_2 \times A_2\) est un trihexagone, ce que le cadre de la page 29 résume (« décomposition triple \(A_2 \leftrightarrow\) triple bloc de triades »). ↩
  26. Plusieurs mots en sont lus avec doute (« bitriade », « respectivement », « intersections », « automorphisme ») et la fin est illisible ; on n'en retient que ce que les exemples confirment. ↩
  27. La page écrit d'abord \(\mathbb{Z}\), corrigé en \(\mathbb{Z}/2\) (lecture incertaine des deux fois). ↩
  28. La page écrit le second membre avec le signe opposé, \(z_\rho(x) + z_\rho(y) - z_\rho(x + y)\), et le premier avec des \(\varphi\) que la transcription lit peut-être comme des \(\psi\). On a refait le calcul : en faisant passer \(\psi_{i_0}(y)\) et \(\psi_{i_1}(y)\) à travers \(\psi_{i_1}(x)\psi_{i_2}(x)\) dans \(\psi_{i_0}(x+y)\psi_{i_1}(x+y)\psi_{i_2}(x+y)\), les trois commutateurs qui apparaissent se réduisent à \([\psi_{i_0}(x), \psi_{i_1}(y)]\), avec le signe indiqué ; on l'a contrôlé sur un modèle de type Heisenberg. Le signe dépend de l'ordre des facteurs dans la définition de \(z\), pas de la convention de commutateur (les deux conventions usuelles coïncident ici). Il est sans effet sur la suite, qui n'utilise que la bi-additivité. ↩
  29. La seconde équation est très surchargée et sa lecture d'ensemble incertaine ; c'est la forme que donne la page 35, où elle est récrite, et c'est celle qui résulte de la proposition. ↩
  30. Une ligne biffée la disait d'abord « bilinéaire symétrique ». ↩
  31. La phrase, sur une page écrite au crayon d'un trait pâle, est en partie illisible et s'arrête sur « … ». L'énoncé est juste pour un \(\mathbb{Z}\)-module libre (on prend \(\lambda(e_i) = \mu(e_i, e_i)/2\)). Pour un module libre sur \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), comme la page le pose, il faut en plus \(\lambda(n e_i) = 0\), soit \(n\lambda(e_i) + \binom{n}{2}\mu(e_i, e_i) = 0\) ; pour \(n = 2\), c'est \(2\lambda(e_i) = -\mu(e_i, e_i)\), la relation de la page 38. ↩
  32. Énoncé sans démonstration sur la page. Une note marginale écrite verticalement, en partie illisible, précise que l'extension universelle ne dépend pas, à isomorphisme canonique près, du choix de \(\rho\) : on y écrit \(z_\rho(x) = \lambda(x \wedge \rho)\) avec \(\lambda : V^\omega \to \mathfrak{Z}^\omega = \mathfrak{Z} \wedge_{\pm 1} \omega\), et l'on vérifie \(z_{\bar\rho} = -z_\rho\). ↩
  33. Ce module est aujourd'hui noté \(P_2(V)\) ; c'est le quotient \(I_V / I_V^3\) de l'idéal d'augmentation de l'anneau \(\mathbb{Z}[V]\) (Passi). Le « \(+\) » de la page doit se lire comme une extension et non comme une somme directe : pour \(V = \mathbb{Z}/2\), \(P_2(V) = \mathbb{Z}/4\) alors que \(V \oplus \Gamma^2(V) = \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/4\). Noms de nous. ↩
  34. Ici \(I\) désigne une base de \(V\), et non plus l'ensemble à trois éléments ; un premier essai, avec l'ensemble \(D = V \smallsetminus \lbrace 0\rbrace\) des droites, est barré et encadré. ↩
  35. Après \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^I\), un « \(+\,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) » est biffé. ↩
  36. Rapprochement de nous ; la page 39 s'arrête sur « (et un triplet \((i_0, i_1, i_2)\) sur \(I\) …) ». ↩
  37. Lectures incertaines (« dodécaèdre », « icosaèdre », le symbole de l'ensemble). ↩
  38. La page écrit « d'ordre \(n\) (card …) », le cardinal étant illisible ; l'équivalence n'est juste que si \(n\) est le cardinal de chaque partie. On a ajouté l'hypothèse \(n \geq 3\), qui écarte le cas exceptionnel \(n = 2\) que la page vient de signaler. ↩
  39. Le mot est une capitale en forme de W (ou V) suivie de « -liées » ; « W-liées » n'est qu'une approximation du tracé, gardée telle quelle par la transcription et ici. La définition, telle qu'elle se lit, ne s'accorde pas avec l'usage qui suit : deux triades dont la réunion est un hexagone sont, dans la proposition ci-dessous, « biliées », et les triades « W-liées » sont les triades opposées (tout élément de l'une est lié à tout élément de l'autre), comme le confirment les pages 49 et 53. On suit l'usage. ↩
  40. La page numérote deux points (3), et la phrase sur les triades « opposées » est en partie couverte de ratures ; on donne l'énoncé que les points (4) à (7) utilisent. ↩
  41. Exemple de nous, vérifié. Tous les énoncés (1) à (8) le sont aussi sur le modèle. ↩
  42. Les points (12) b) et c) sont écrits dans une prose surchargée (« bihexaH », « \(\mathfrak{S}_{\mathbb{F}} \times \mathfrak{S}_{\mathbb{Q}}\) » pour les deux familles de triangles de \(\widetilde X\)) ; on en donne ce qui se lit sûrement. La numérotation (11) revient deux fois, pages 49 et 50 ; c'est celle du feuillet. ↩
  43. Vérifié : dans les deux cas le graphe est fortement régulier de paramètres \((27, 10, 1, 5)\), ce qui le caractérise (dossier 69, section 1). C'est un modèle voisin de celui de la page 13 du dossier 69, construit sur deux ensembles à trois éléments. ↩
  44. La page écrit « d'ordre \(3 \cdot 6^4\) », lu avec doute ; c'est \(6 \cdot 6^3 = 6^4\). La note marginale porte « \(3^4 2^4\) ». ↩
  45. La note marginale qui développe ce point, sur le normalisateur, n'est lue que par fragments. ↩
  46. Le milieu de la page 57 n'est pas lu de près par la transcription ; on en donne le début et la fin. ↩
  47. La page 58 décrit les foncteurs (« l'ensemble des points de l'une des triades de \(X\) par la relation d'équivalence définie par \(t\), l'ensemble des deux coorientations, l'ensemble des deux orbites ») ; on ne les reprend pas en détail. Le dernier membre de la phrase de (17) est illisible. ↩
  48. On l'a vérifié : les parties discrètes à cinq éléments de \(\mathcal{T}_1(B)\) sont les six « étoiles » \(\lbrace \lbrace i, j\rbrace \mid j \neq i\rbrace\). Les triangles de \(\mathcal{T}_1(B)\) sont les quinze partitions de \(B\) en trois paires (les « synthèmes » de Sylvester) ; le graphe est le quadrangle généralisé \(W(2)\), c'est-à-dire la configuration de Cremona–Richmond. Noms de nous. ↩
  49. La page avait écrit « trois orbites », corrigé en « quatre » ; la correction est juste. On a calculé les cardinaux : \(18\), \(162\), \(216\), \(324\) (total 720) ; on ne peut attribuer sûrement les trois derniers aux types I, II, III, les dessins n'étant pas reproduits. ↩
  50. Les étiquettes des sommets de l'hexagone dessiné sont en grande partie douteuses. ↩
  51. Vérifié. La page a d'abord écrit « \(3 \times 10\) », corrigé en « \(3 \times 18\) », pour les 54, et « \(6 \times 6\) » pour les 36 ; le premier essai, entre crochets, est barré. ↩
  52. « Exactement » est ajouté en interligne ; sans lui l'énoncé serait faux (les trois sommets liés aux trois éléments de \(\tau\) n'y sont pas). Dans le modèle, pour \(\tau = \lbrace a_1, a_2, a_3\rbrace\), ce bitriangle est \(\tau \cup \lbrace b_1, b_2, b_3\rbrace \cup \lbrace c_{12}, c_{13}, c_{23}\rbrace\). ↩
  53. Vérifié sur le modèle. Le symbole lu \(\mathrm{\acute Et}(x)\) (les éléments de \(\tau\) liés à \(x\)) est douteux ; la marge de la page 65 porte « détailler tout ça dans énoncés en forme ». ↩
  54. Deux autres nombres de la page, « \(2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 =\) Nb de hexagones épinglés » et « \(2^6 \cdot 3 \cdot 5 =\) Nb de hexagones \(=\) Nb de bitriades », ne s'accordent pas avec les comptes : il y a 720 hexagones et \(720 \cdot 12 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5\) hexagones épinglés (munis d'un sommet et d'un sens). On ne les retient pas. ↩
  55. La page parle ici de triades « liées » à \(t\), au sens nouveau ; le texte entre parenthèses est en partie biffé et l'ancien sens du mot (page 46) s'y mêle. On donne l'énoncé que vérifie le modèle. ↩
  56. La fin de 6), qui se poursuit en tête de la page 70, est en partie illisible. ↩
  57. La page porte « 720 » en regard de \(\mathrm{Hex}\) ; c'est 120, comme le donnent les degrés du diagramme (\(360/3\)) et la page 46. La mention « (cart) » est au milieu du carré ; au-dessus de la flèche supérieure, un petit mot « bib » lu avec doute. ↩
  58. Formulation de la page, le premier terme de la règle d'incidence étant surchargé. Le « \(1_{\mathcal{T}_2}\) » qu'elle écrit pour l'élément trivial est peut-être un \(1_{\mathbb{Z}/2}\). ↩
  59. Les sous-groupes d'ordre 2 sont sept, en trois classes de conjugaison (le centre, et deux classes de trois) ; c'est ce que dit la page 80. ↩
  60. Huit classes : le groupe trivial, le centre, deux classes de symétries non centrales, le sous-groupe cyclique d'ordre 4, deux sous-groupes de Klein, \(D_4\). La phrase qui le dit est en partie illisible, et l'attribution de quelques flèches du diagramme autour de \(C_\omega\) et \(C_{d^*}\) est douteuse. ↩
  61. Les indices \(d\), \(s\) sont lus d'après la page suivante. ↩
  62. La page écrit « l'ombre sur \(C\) d'un pt de \(Y\) est un côté de \(C\) ». La phrase de la page 81, « est lié exactement à un point de \(C\) diag \(\lbrace x, x'\rbrace\) », se poursuit page 82 par l'autre diagonale : un point de chaque diagonale, donc deux sommets formant un côté. ↩
  63. Une partie notable des pages 84 et 85 est illisible ; on ne garde que les énoncés écrits en formules. ↩
  64. La page l'énonce avec un point d'interrogation. Le pavé est le graphe de Paley d'ordre 9, ou le graphe de la grille \(3 \times 3\), qui est auto-complémentaire ; le dossier 69 (pages 73 à 75) établit le même fait. Noms de nous. ↩
  65. La page dessine le carré sous « Coproduit des deux segments ». Avec la définition de la page 86, le coproduit de deux segments est le graphe complet à quatre sommets ; c'est leur produit qui est le carré. La suite de la page (« le graphe complété semble … ») paraît s'en apercevoir. ↩
  66. Lecture incertaine du symbole devant \(C_\alpha\) et de la légende « carré dual » sous l'accolade. ↩
  67. La page écrit \(t \in \mathfrak{P}_3(A)\) ; il faut \(\mathfrak{P}_3(S)\), comme la transcription le note. ↩
  68. Nom de nous. Les quadrangles généralisés ont été introduits par Tits (1959) ; ceux d'ordre \((2, t)\) n'existent, à part les cas dégénérés, que pour \(t = 1, 2, 4\), et chacun est unique : la grille \(3 \times 3\), le quadrangle \(W(2)\) à 15 points, et le quadrangle à 27 points des droites de la surface cubique. Le résultat est classique (on le trouve dans la monographie de Payne et Thas, Finite generalized quadrangles, 1984) ; cité de mémoire. Ici \(t = c\). ↩
  69. La page numérote d'abord cet énoncé « 2 » (lecture incertaine) puis y renvoie comme « Prop. 1 » ; elle écrit \(\alpha \to \alpha'\) pour \(s \mapsto s'\). ↩
  70. Une troisième condition, (***), écrite en travers de la marge et tournée de 90°, n'est lue qu'en partie ; c'est l'axiome que la page 101 appellera (Ka). ↩
  71. L'énoncé de l'axiome 3 sur la page (« on n'est pas dans le cas … où un sommet est dans au moins 2 triangles ») est d'une lecture incertaine ; on donne la forme « les \(\widetilde E_\alpha\) sont non vides », qui le précède. La « Résolution » qui suit, « la donnée d'un complexe satisfaisant les axiomes (1), (2) … équivaut à celle de », s'interrompt au bas de la page 100. ↩
  72. L'axiome (Ka) est la condition (***) de la marge de la page 96, lue en partie seulement. ↩
  73. Le rapprochement avec la page 1 est de nous ; les pages 101 à 103 ne renvoient pas en arrière. ↩
  74. Ce double rapprochement est notre lecture ; c'est aussi celle que suggère le diagramme de la page 121 (section 23). Le dossier 69 fait le même chemin depuis le graphe cubique : lemme 7, puis ses pages 14 et 15, puis 107 à 113. ↩
  75. Plusieurs mots entourés y sont illisibles. ↩
  76. La page énonce b) avec la seule condition « \(u\) involutif et \(\operatorname{card} S^u = 3\) », et ajoute « C'est évident ». Ainsi énoncé, b) est faux. Pour \(c = 1\), la transposition du pavé \(3 \times 3\) est une involution dont les points fixes sont les trois points de la diagonale, qui forment une triade et non un triangle. Pour \(c = 2\), dans le modèle des paires de \(\lbrace 1, \ldots, 6\rbrace\), la double transposition \((34)(56)\) fixe exactement les trois paires \(12\), \(34\), \(56\), qui forment un triangle, sans être la symétrie de ce triangle (qui est la triple transposition \((12)(34)(56)\)) : il y a 45 telles involutions pour 15 triangles. La condition supplémentaire qu'on a ajoutée suffit : un tel \(u\) préserve chaque paire \(\lbrace s, s'\rbrace\) d'un triangle \(\lbrace \alpha, s, s'\rbrace\), et, sans point fixe hors de \(\underline t\), il l'échange ; il coïncide donc avec \(\sigma_{\underline t}\). ↩
  77. La fin de l'énoncé du théorème est perdue dans des insertions. On a vérifié par machine la transitivité sur les arêtes orientées pour \(c = 2\) et \(c = 4\), et les ordres de \(\mathcal{G}^\circ\) : 36, 720 et 25 920 pour \(c = 1, 2, 4\). Pour \(c = 4\), \(\mathcal{G}^\circ\) est donc d'indice 2 dans \(\mathcal{G} = W(E_6)\) ; les pages ne le disent pas, et ce que dit la page 115 (« \(\mathcal{G} = \mathcal{G}^\circ\) ») ne concerne que \(c = 2\). ↩
  78. La lettre \(\underline\sigma\) nommant un triangle est d'une lecture incertaine. Une première version de la recette (page 108) et un NB (page 109, continué page 112) sont barrés. ↩
  79. Les indices de \(\pi = \sigma_{w_1}\sigma_{v_2}\) dans le lemme 2 sont surchargés ; lecture incertaine. ↩
  80. Ici \(c\) est un élément du groupe, non le cardinal \(c\) ; la page réutilise la lettre. ↩
  81. La page 119 écrit \(c_{0,\gamma} = \frac{1}{72} c_{0,\gamma}\) (sans prime) et y ajoute un facteur \((c_\gamma - 1)\), qui donnerait 360 au lieu de 120 pour \(c = 4\) ; le tableau suit la bonne formule. Les formules fermées de la page 120, \(\frac16 c(c+1)(2c+1)\) et \(\frac{1}{30}c(c+1)(2c+1)(c-1)\), perdent chacune un facteur \(c\) : la première donnerait 5 au lieu de 10 pour \(c = 2\), la seconde 18 au lieu de 36 pour \(c = 4\) (la transcription le note pour la seconde). ↩
  82. La case \(c = 2\) de l'ordre est surchargée (un « 360 » recouvert). La dernière ligne du dernier tableau de la page (72, 360, 2160) ne s'accorde pas avec les \(c'_{0,\gamma}\) de la page 118 (72, 720, 8640) ; on suit la page 118, que confirment les comptes directs. ↩
  83. La case \((0, 2)\) porte sur la page \((\mathrm{Ens})_{3,3} \times (\mathrm{Ens})_{3,3}\), d'ordre \(72^2\) ; il faut \(51\,840/120 = 432 = 6 \cdot 72\), soit \((\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_{3,3}\), ce que donne la page 52 (section 11). La case \(\ast\) (\(\mathcal{T}_2\) seul) est laissée sans équivalent : \(W(E_6)\) n'est pas le groupe d'une structure aussi simple. ↩
  84. Le dossier 69 (section 9) établit l'isomorphisme avec \(W(F_4)\). Le rapprochement avec la trialité est de nous ; la page n'écrit que le mot. ↩
  85. Avec les comptes ci-dessus, les groupes des chaînes \((-1, 0, 1)\), \((-1, 0, 2)\), \((-1, 1, 2)\), \((0, 1, 2)\) et \((-1, 0, 1, 2)\) sont d'ordres 12, 72, 96, 144 et 24. Les entrées lues \((\mathrm{Ens})_{2,2,2} \times (\mathrm{Ens})_2\) (96) et \((\mathrm{Ens})_{3,3} \times (\mathrm{Ens})_2\) (144) s'accordent ; les trois autres lectures (\((\mathrm{Ens})_3\), \((\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_3\), \((\mathrm{Ens})_3 \times (\mathrm{Ens})_2\)) non. ↩
  86. Lecture du diagramme incertaine : la flèche \(p_i\) et le but \(E_i/2\) sont surchargés, \(\psi_i\) est en pointillé. ↩
  87. La page 124 évoque aussi l'action de \(\mathfrak{S}_I\) et de \(\mathfrak{S}_I \times \mathfrak{S}_J\) sur les trois blocs \(\xi_1\xi_2\xi_3 / \xi^*_4\xi^*_5\xi^*_6\), etc. ; le passage est en grande partie illisible. La page 125 note aussi \(\frac12(3+6c)(2+2c) = 3(1+2c)(1+c)\), le nombre d'arêtes. ↩
  88. La page conclut au contraire « si \(\nu \neq 0\), \(u\) est injectif », après avoir bien établi que \(z\) est dans le noyau exactement quand \(\operatorname{card} I\) est impair ; c'est un lapsus, et la suite de la page (« \(\operatorname{card} E = 2^{c+1} = 2^2 = 4\), donc \(\varphi\) est bijectif ») ne vaut que pour \(c = 1\). Elle écrit en outre « cas du point » pour \(\nu = 0\). Le b) qui suit, pour \(\nu = 1, 2\), s'interrompt sur « \(\operatorname{Ker}\eta = V\) … », qu'on lit \(V'\). ↩
  89. Pour \(c = 4\), dans le modèle de Schläfli avec \(a = a_1\), un non-voisin est codé par la partie de \(\lbrace 2, \ldots, 6\rbrace\) des plans tritangents \(\lbrace a_1, b_j, c_{1j}\rbrace\) où il rencontre \(c_{1j}\) plutôt que \(b_j\) : \(a_k \mapsto \lbrace k\rbrace\), \(c_{jk} \mapsto \lbrace 2, \ldots, 6\rbrace \smallsetminus \lbrace j, k\rbrace\), \(b_1 \mapsto \lbrace 2, \ldots, 6\rbrace\) ; ce sont exactement les seize parties de cardinal impair. Le dossier 69 (pages 16 et 17) code de la même façon les non-voisins par des sections. ↩
  90. La lecture « conf. » est incertaine. Avec d), on est dans le cas \(c = 2\) : la configuration est le quadrangle \(W(2)\) (configuration de Cremona–Richmond \(15_3\)), qui est effectivement auto-dual. Nom de nous. ↩
  91. L'indice de « \(\mathrm{Ens}_{2,4}\) » est surchargé, un 4 repris en 2 ; avec \((\mathrm{Ens})_2 \times (\mathrm{Ens})_3\) l'ordre est le bon. La page 66 annonçait déjà « \(A_4 \Leftrightarrow A_5 \Leftrightarrow P_6 \Leftrightarrow\) bitriangle épinglé ». Le sens précis de « diagramme \(A_n\) » n'est pas défini sur ces feuillets ; les nombres sont ceux des configurations que le dossier 69 appelle balises et préprismes. ↩
  92. Le crochet ouvert à cet endroit n'est pas refermé : l'argument continue au-delà du dossier. L'ordre \(8 \cdot 6 = 48\) donne \(1080\) carrés, le nombre de 4-cycles induits que compte le dossier 69. ↩