Cote n° 73 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Polygones : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

1\(E\) plan affine\(/S\) \(n\) entier \(\geqslant 3\)

\[ \mathrm{Polg}_n(E)(S') = \Bigl\lbrace s_0, s_1, \ldots, s_{n-1}, d_0, d_1, \ldots, d_{n-1} \Bigm| \begin{array}{l} s_i \in E(S') \simeq \Gamma(E_{S'}/S') \\ d_i \in \mathrm{Dr}(E_{S'}) \quad (0 \leqslant i \leqslant n-1) \end{array} \Bigr. \] \[ \Bigl. s_0, s_1 \prec d_0 \,;\ s_1, s_2 \prec d_1 \,;\ \ldots \,;\ s_{n-1}, s_0 \in d_{n-1} \Bigr\rbrace \] le « P » initial est doublé, comme une lettre ajourée ; le nom « Polg » est lu. « \(\mathrm{Dr}\) » : les droites. Le signe \(\prec\) (incidence) est employé pour les premiers couples, \(\in\) pour le dernier

\[ \mathcal{U}_{\underline{S}_0} = \Bigl\lbrace \bigl( (P_{\underline{s}})_{\underline{s} \in \underline{S}}, (d_{\underline{a}})_{\underline{a} \in \underline{A}} \bigr) \in \mathbf{P}\mathrm{ol}_n \Bigm| \ldots \ \forall\, s \in \underline{S} \Bigr\rbrace \] la condition, à droite du trait, est biffée (on lit encore « \(P_s \notin \ldots d_{s-2}\) ») ; au-dessus, « \(d_{\underline{a}}\) » seul, non biffé ; « \(\forall\, s \in \underline{S}\) » est lui aussi barré d'un trait. L'indice de \(\mathcal{U}\) est lu

\(s_2 \in d_0\) \(s_0, d_0, s_1, d_1, \ldots, s_{n-3}, d_{n-3}, s_{n-2}\)

en marge gauche, une figure : les droites \(d_0\), \(d_1\), \(d_{n-2}\), \(d_{n-1}\) et les sommets \(s_0\), \(s_1\), \(s_2\), \(s_{n-2}\), \(s_{n-1}\) du polygone. Plus bas, trois croquis de dégénérescences : \(s_0\), \(s_1\), \(s_2 = s_3\) alignés sur une même droite (\(d_0\), \(d_1\), avec en dessous « \(u\,d_{12}\) ») ; deux droites sécantes portant deux points cerclés ; un triangle vu comme hexagone dégénéré, de sommets \(s_0 = s_1\), \(s_2 = s_3\), \(s_4 = s_5\) et de côtés \(d_0 = d_1\), \(d_2 = d_3\), \(d_4 = d_5\)

\[ \underbrace{d_0 = d_1 = \cdots = d_i}_{s_0, s_1, \ldots, s_{i+1}} \neq d_{i+1} \ni s_{i+2} \] les appartenances sont écrites verticalement (\(\Downarrow\) sous \(d_i\) et \(d_{i+1}\)) ; figure : \(s_0\), \(s_i\), \(s_{i+1} = s_{i+2}\) sur \(d_0 = \cdots = d_i\), puis \(d_{i+1}\) qui repart du point double

3\[ L_0(\lambda)\,\sigma = 0 \qquad L_1(\lambda)\,\sigma = 0 \qquad\qquad L_0(\lambda) = L_1(\lambda) \qquad L(\lambda)\,\sigma = \] une troisième ligne de la colonne de gauche est biffée

\[ u\,\sigma = 0 \qquad\qquad \Sigma \qquad\qquad \underbrace{L_0 = L_1 = \cdots = L_{n-2}}_{u} \quad L_{n-1} \]

\[ \underbrace{(L_{n-2} - L_{n-1})}_{M_{n-1}}\, u_{n-1} = u\,.\,\sigma \]

\[ \begin{aligned} M_1 u_1 &= (L_0 - L_1)\, u_1 = \lambda_0 u_{-1} u_{12} - \lambda_1 u_1 u_{02} + \lambda_2 u_1 u_2 = \\ M_2 u_2 &= (L_1 - L_2)\, u_2 = (\lambda_0 u_{-1} u_{13} - \lambda_1 u_1 u_{03}) + \lambda_3 u_2 u_3 \quad \mathrm{mod} \end{aligned} \] le signe entre \(\lambda_0 u_{-1} u_{12}\) et \(\lambda_1 u_1 u_{02}\) est surchargé ; « mod » reste en suspens, et le reste de la page est vide

4numéro « 21 » cerclé en haut à droite, isolé \[ \lambda_2 u_1 u_2 = -\lambda_0 u_{-1} u_1 + \lambda_1 u_1 (u_0 + u_1) \] les deux \(u_1\) de droite sont barrés d'un trait oblique \[ \underbrace{\lambda_n}_{\lambda_0} u_{n-1} \underbrace{u_n}_{u_0} = -\lambda_0 \underbrace{u_{-1}}_{u_{n-1}} \underbrace{u_{1n}}_{u_{0n} - u_0} + \lambda_1 u_1 u_{0n} \] […] […] \(\lambda_*\)

la dim. de la variété des \(\mu_*\) tels que — […] \(n-2\) (\(\subset \mathbf{P}^{n-1}\))

dans le cas […] \(\sum u_i = 0\)

[…] \(n-4\) […] la condition \(\sum u_i = 0\) […] \(\mathbf{P}^{n-1}\) […] […] codim. 3 dans […]

\((c_1, \ldots, c_{n-2})\) ; \(c_1 + c_3 + \cdots + c_{n-3} = 0\) ; \(c_2 + c_4 + \cdots + c_{n-2} = 0\) ces lignes de prose sont écrites très vite ; seuls les symboles se lisent sûrement. Un trait sépare ensuite la page en deux

(Calcul intrinsèque)

en tête de la seconde moitié, quelques essais biffés (« \(\lambda_0\) », « \(u\) – \(u_1, u_1\) », « \(-\lambda_2 u_2\) ») ; « \(u_0, u_1\) » souligné d'une accolade, et encadré : « \(u_0, u_1 ; u\) »

\[ \begin{array}{lll} u_1 & \lambda_1 u_0 - \lambda_2 u_2 = u & \Rightarrow u_2 \\ u_2 & \lambda_2 u_1 - \lambda_3 u_3 = u & \Rightarrow u_3 \\ u_{n-2} & \lambda_{n-2} u_{n-3} - \lambda_{n-1} u_{n-1} = u & \Rightarrow u_{n-1} \\ u_{n-1} & \lambda_{n-1} u_{n-2} - \lambda_n u_n = u & \Rightarrow u_n = u_0 \\ u_n & \lambda_n u_{n-1} - \lambda_{n+1} u_{n+1} = u & \Rightarrow u_{n+1} = u_1 \end{array} \] En fonction de \(u_0, u_1, u\) ; les deux dernières lignes donnent chacune une relation entre \(u_0, u_1, u, \lambda_*\). « en fonction de \(u_0, u_1, u\) » est écrit à droite d'un trait vertical qui embrasse les trois premières lignes ; « relation entre \(u_0, u_1, u, \lambda_*\) » est écrit deux fois, en face des deux dernières

5figure : un quadrilatère \(s_0 s_1 s_2 s_3\), de côtés orientés \(u_0, u_1, u_2, u_3\) \[ \mu_0 + \mu_2 = \mu_1 + \mu_3 \qquad\qquad \mu_3 = \mu_0 - \mu_1 + \mu_2 \] une ligne biffée sous la première formule

\[ \mathbf{M}_4 \longrightarrow \mathbf{P}^2 \qquad (u_0, u_1, u_2, u_3) \longmapsto (\underbrace{u_3 \wedge u_0}_{\mu_0}, \underbrace{u_0 \wedge u_1}_{\mu_1}, \underbrace{u_1 \wedge u_2}_{\mu_2}) \] le \(\mathbf{M}\) est une capitale ajourée, qu'on rend par un gras

\[ \begin{aligned} u_0 \wedge u_2 &= u_0 \wedge (u_0 + u_1) \\ &= u_0 \wedge (u_1 + u_3) \\ &= -\underbrace{u_0 \wedge u_1}_{\mu_1} + \underbrace{u_3 \wedge u_0}_{\mu_0} \end{aligned} \] il faut lire \(-u_0 \wedge (u_1 + u_3)\) à la deuxième ligne ; le signe est surchargé et la première ligne reste telle qu'elle est écrite

\[ \begin{aligned} u_0 \wedge u_2 &= \mu_0 - \mu_1 \\ u_1 \wedge u_3 &= \mu_0 - \mu_2 \\ u_2 \wedge u_0 &= \mu_1 - \mu_3 = \mu_1 - \mu_0 = -u_0 \wedge u_2 \\ u_3 \wedge u_1 &= \mu_3 - \mu_0 = \mu_2 - \mu_1 = -u_1 \wedge u_3 \end{aligned} \] au-dessus, « \(u_0 \wedge u_2\) » biffé

\(\mathbf{M}_4 \to \mathbf{P}^2_{\mathbf{Z}}\) injectif mono (car la connaissance des \(\mu_0, \mu_1, \mu_2\) indique celle de \(\mu_3\), donc les \(u_i \wedge u_j\) …)

épi ?

\(\mu_0, \mu_1, \mu_2\), \(\mu_3\) […] donnés, \(\mu_0 + \mu_2 = \mu_1 + \mu_3\), \(\mu_3\) […] […]

[…] \(\mu_1 \neq 0\). On prend \(u_0, u_1\) comme base (de \(V\)), \(u_0 \wedge u_1\) base de \(\bigwedge^2 V\), \[ u_2 = \alpha u_0 + \beta u_1, \qquad u_3 = -(u_0 + u_1 + u_2) \]

\[ \begin{array}{ll} u_0 \wedge u_1 = 1\,.\,e & \mu'_1 = 1 \\ u_1 \wedge u_2 = -\alpha\, e & \mu'_2 = -\alpha \\ u_2 \wedge u_3 = (\beta - \alpha)\, e & \mu'_3 = \beta - \alpha \\ u_3 \wedge u_0 = (1 + \beta)\, e & \mu'_0 = 1 + \beta \end{array} \qquad \begin{aligned} u_2 \wedge u_3 &= -u_2 \wedge u_0 - u_2 \wedge u_1 \\ &= \beta \underbrace{u_0 \wedge u_1}_{e} - \alpha\, e \\ u_3 \wedge u_0 &= -u_1 \wedge u_0 - u_2 \wedge u_0 \\ &= e + \beta\, e \end{aligned} \] la ligne \(u_2 \wedge u_3\) et la valeur \(\mu'_3\) sont surchargées (on lit \(\beta - \alpha\) sous la rature) ; un trait sépare \(\mu'_3\) de \(\mu'_0\)

\[ \alpha = -\frac{\mu_2}{\mu_1} \qquad \beta - \alpha = \frac{\mu_3}{\mu_1} \qquad \text{i.e.} \qquad \beta = \frac{\mu_3}{\mu_1} + \alpha = \frac{\mu_3 - \mu_2}{\mu_1} \] \[ u_2 = -\frac{\mu_2}{\mu_1} u_0 + \frac{\mu_3 - \mu_2}{\mu_1} u_1 \qquad\qquad \mathbf{M}_4 \simeq \mathbf{P}^2_{\mathbf{Z}} \] \[ u_3 = \Bigl( \frac{\mu_2}{\mu_1} - 1 \Bigr) u_0 + \underbrace{\frac{\mu_2 - \mu_3 - \mu_1}{\mu_1}}_{-\mu_0} u_1 \qquad\qquad u_2 = 0 \iff \boxed{\mu_2 = 0,\ \mu_3 = 0}\,,\quad \mu_0 = \mu_1 \] après \(\iff\), « \(\mu_1 \neq 0\) » biffé au-dessus de la condition encadrée

Les quadrilatères dégénérés, […] un côté nul [(]\(a_i\) (\(i = 0, 1, 2, 3\))[)], correspondent aux points […] […] de \(\mathbf{P}^2\) (\(\mu_0 + \mu_2 = \mu_1 + \mu_3\)) \(\subset \mathbf{P}^3\) \((\mu_0, \mu_1, \mu_2, \mu_3)\) correspondant à deux coordonnées […] […] ([…] […] […]) […] […] […] […] […] « \(a_i\) (\(i = 0, 1, 2, 3\)) » est ajouté dans l'interligne ; un mot biffé avant « \(\mu_0 + \mu_2\) ». La phrase continue en tête de la page 6

6[…] alignés (grâce aux vecteurs). \((0, 0, 1, 1)\) \((1, 0, 0, 1)\) \((1, 1, 0, 0)\) ne sont […] coplanaires, i.e. la matrice \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] de rang 3 […])

Donc ils forment une base projective de \(\mathbf{P}^2\), donc, […] si \(\Pi = (S, A)\) est un quadrilatère combinatoire, \(\mathbf{M}(\Pi)\) s'identifie à l'enveloppe projective de \(A\).

sous le texte, cinq croquis de quadrilatères : un quadrilatère ouvert, un quadrilatère croisé en « Z », deux droites sécantes portant quatre points, un trapèze avec ses diagonales, un quadrilatère aplati avec ses diagonales

8\[ \mathcal{F}_\nu \subset T_\nu \subset \widetilde{\Omega}^\nu \qquad T_\nu = \mathrm{Im}(C \times \Omega^\nu \to \widetilde{\Omega}^\nu) \] au-dessus, « \(\mathcal{F}_\nu \subset \widetilde{\Omega}^\nu\) » biffé. L'égalité \(T_\nu = \mathrm{Im}(\ldots)\) est écrite verticalement (« \(\shortparallel\) ») sous \(T_\nu\). Les notations sont celles de la page 10 ; les pages 8–10 sont écrites dans l'ordre inverse de la lecture

\[ \mathcal{F}_i \subset T_i \subset \widetilde{\Omega}^i \quad (1 \leqslant i \leqslant \nu) \qquad\qquad \mathrm{pr}_{i-1,i}(\mathcal{F}_i) \subset \mathcal{F}_{i-1} \quad (2 \leqslant i \leqslant \nu) \]

\[ \mathcal{F}_i = \bigl( (\widetilde{\omega}_1, \ldots, \widetilde{\omega}_i) \bigm| (\widetilde{\omega}_1, \ldots, \widetilde{\omega}_{i-1}) \in \mathcal{F}_{i-1},\ \omega_i \ldots \qquad \widetilde{\Omega}^{i-1} \times \Omega \] \[ \mathcal{F}_i = T_i \cap (\widetilde{\Omega}^{i-1} \times \widetilde{\Omega} \,|\, \mathcal{F}_{i-1} \qquad T_{i-1} \times \Omega \]

\[ \begin{array}{l} f_1 \subset \Omega \\ f_2 \subset \Omega \times \Omega \\ \quad \cdots \\ f_i \subset \widetilde{\Omega}^{i-1} \times \Omega, \quad f_i \subset T_{i-1} \times \Omega \\ \quad \cdots \\ f_\nu \subset \widetilde{\Omega}^{\nu-1} \times \Omega \end{array} \]

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\widetilde{\Omega}^{i-1} \times \Omega \supset f_i \\
\widetilde{\Omega}^i \quad \mathcal{F}_i \arrow[u] \\
\widetilde{\Omega}^i \times \Omega \supset f_{i+1} \arrow[u, "\mathrm{pr}_1"]
\end{tikzcd}

la flèche du haut porte une marque raturée ; celle du bas « \(\mathrm{pr}_1\) » (lu)

\[ \mathcal{F}_i \colon \quad \mathcal{F}_i = \Bigl\lbrace \bigl( \widetilde{\omega}_1(x), \ldots, \widetilde{\omega}_{i-1}(x), \omega_i(x) \bigr) \Bigm| x \in C,\ \bigl( \omega_1(x), \ldots, \omega_{i-1}(x), \omega_i \bigr) \in f_i \Bigr\rbrace \subset \widetilde{\Omega}^i \] au-dessus, « \(f_i \subset T_{i-1} \times \Omega\) » biffé ; sous la condition, en indice, « \(\omega_1, \ldots, \omega_i \in \Omega^i\) »

\[ \begin{aligned} f_i &\subset T_{i-1} \times \Omega \subset \widetilde{\Omega}^{i-1} \times \Omega \\ \mathcal{F}_i = \widetilde{f}_i &\subset T_i \subset \widetilde{\Omega}^{i-1} \times \widetilde{\Omega} = \widetilde{\Omega}^i \\ &= T_i \cap (\widetilde{\Omega}^i \,|\, f_i) \end{aligned} \] une flèche relie les deux premières lignes, avec un mot […] à gauche

9\[ \boxed{\mathcal{F}_1 \subset \Omega} \quad \text{i.e.} \quad \mathcal{F}_1 \in \mathfrak{P}^*(\Omega) \] \[ \widetilde{\mathcal{F}}_1 = (\widetilde{\Omega} \,|\, \mathcal{F}_1) \cap T_1 \subset \widetilde{\Omega} = \widetilde{\Omega}_1 \] \[ \boxed{f_2 \colon \widetilde{\mathcal{F}}_1 \longrightarrow \mathfrak{P}^*(\Omega)} \qquad\qquad \widetilde{\Omega} \times \Omega \] il écrit l'ensemble des parties par un « P » gothique, ici avec un astérisque : on le rend par \(\mathfrak{P}\)

\((\widetilde{\omega}_1, \omega_2) \in \widetilde{\Omega} \times \Omega\) compatible avec \((\mathcal{F}_1, f_2)\)

un symbole biffé devant la première ligne, et une ligne biffée entre a) et b)

\[ \underbrace{\widetilde{\mathcal{F}}_2 \subset \widetilde{\Omega}_2 = \widetilde{\Omega} \times \widetilde{\Omega}} = \bigl\lbrace (\widetilde{\omega}_1, \widetilde{\omega}_2) \bigm| \omega_1 \in \mathcal{F}_1,\ (\widetilde{\omega}_1 \times \widetilde{\omega}_2) \in T_2,\ \widetilde{\omega}_2 \in f_2(\widetilde{\omega}_1) \bigr\rbrace \] \[ f_3 \colon \widetilde{\mathcal{F}}_2 \longrightarrow \mathfrak{P}(\Omega) \] \[ f_\nu \colon \widetilde{\mathcal{F}}_{\nu-1} \longrightarrow \mathfrak{P}(\Omega) \quad \text{donc} \qquad \widetilde{\mathcal{F}}_\nu \subset \widetilde{\Omega}^\nu \quad (\text{en fait, } \widetilde{\mathcal{F}}_\nu \subset T_\nu) \] sous \(\widetilde{\mathcal{F}}_{\nu-1}\), « \(\cap\, \widetilde{\Omega}^{\nu-1}\) » écrit verticalement

\((\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_\nu)\) s'appelle une […] […] crible de longueur \(\nu\)

NB certains \(\widetilde{\mathcal{F}}_i\) peuvent être \(\emptyset\). « crible de longueur \(\nu\) » est ajouté au-dessus du mot biffé et souligné

\[ \begin{array}{ll} \mathcal{F}_1 = f_1 \subset \Omega & \widetilde{\Omega} \times \widetilde{\Omega} \cdots \times \widetilde{\Omega} \\ f_2 \subset \widetilde{\Omega} \times \Omega & \mathcal{F} \\ f_3 \subset \widetilde{\Omega} \times \widetilde{\Omega} \times \Omega & \\ f_\nu \subset \underbrace{\widetilde{\Omega} \times \widetilde{\Omega} \cdots \widetilde{\Omega}}_{\nu-1} \times \Omega & \end{array} \]

10\(\mathcal{C}\) « configurations »

\(\Omega\) « opérations » (virtuelles)

\(\omega \in \Omega\) \(\omega \longmapsto (f_\omega \colon \mathcal{C} \to V_\omega)\) on pose \(f_\omega(x) = \omega(x)\)

\(V_\omega\) = « ens. des résultats (virtuels) de l'opération \(\omega\) » « virtuels » est ajouté dans l'interligne ; l'égalité \(V_\omega = \ldots\) est écrite verticalement sous \(V_\omega\)

\(\widetilde{\Omega}\) « opérations effectuées » : \[ \widetilde{\Omega} = \coprod_{\omega \in \Omega} V_\omega \xrightarrow{\ \pi\ } \Omega \]

\[ C(\widetilde{\omega}, x) = f_\omega^{-1}\bigl(\lbrace f_\omega(x) \rbrace\bigr) = C(\omega(x)) \] ensemble des la conf. \(x \in C\) […] par l'opér. \(\omega\).

De même on définit \[ C(\omega_1, \ldots, \omega_\nu; x) = \bigcap_{1 \leqslant i \leqslant \nu} C(\omega_i; x) \] ensemble des \(x \in C\) […] par la suite d'op. \(\omega_1, \ldots, \omega_\nu\). ces deux définitions sont embrassées à gauche par une accolade, qu'une longue flèche relie au bas de la page

\[ \widetilde{\Omega} \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{C}), \quad \widetilde{\omega} \mapsto C(\widetilde{\omega}) \qquad\qquad \widetilde{\omega} = (\omega, v) \longmapsto f_\omega^{-1}(\lbrace v \rbrace) \] NB […] […] […] pas les […] […] « NB » souligné, suivi d'un mot souligné, […]

\(\widetilde{\omega} \longmapsto C(\widetilde{\omega})\) ensemble résiduel pour l'op. eff. \(\widetilde{\omega}\)

\[ \widetilde{\Omega}^\nu \longrightarrow \mathfrak{P}(C), \qquad (\widetilde{\omega}_1, \ldots, \widetilde{\omega}_\nu) \longmapsto C(\widetilde{\omega}_1, \ldots, \widetilde{\omega}_\nu) = \bigcap_{1 \leqslant i \leqslant \nu} C(\widetilde{\omega}_i) \] ensemble résiduel pour la suite d'opérations effectuées \(\widetilde{\omega}_1, \ldots, \widetilde{\omega}_\nu\).

\(T_\nu \subset \widetilde{\Omega}^\nu\) tests virtuels de longueur \(\nu\) / effectués de longueur \(\nu\) « \(\Omega^\nu\) » écrit au-dessus de \(\widetilde{\Omega}^\nu\) ; « effectués de longueur \(\nu\) » est une seconde ligne, ajoutée sous la première

\[ C \times \Omega \longrightarrow \widetilde{\Omega}, \quad (x, \omega) \longmapsto \omega(x) \qquad \Longrightarrow \qquad C \longrightarrow \Gamma(\widetilde{\Omega}/\Omega) \] \[ C \times \Omega^\nu \longrightarrow \widetilde{\Omega}^\nu \] \[ C \longrightarrow \Gamma(\widetilde{\Omega}^\nu/\Omega^\nu), \qquad x \longmapsto \bigl( (\omega_1, \ldots, \omega_\nu) \longmapsto (\omega_1(x), \ldots, \omega_\nu(x)) \bigr) \] la flèche \(\Longrightarrow\) remplace une flèche biffée

L'image de \(C \times \Omega^\nu\) s'appelle ens. des tests effectués de long. \(\nu\) ; soit \(T_\nu\) l'ens. de ceux-ci.

12figure : quatre côtés consécutifs \(u_{i-1}, u_i, u_{i+1}, u_{i+2}\) d'un polygone, sommets \(s_{i-1}, \ldots, s_{i+3}\)

hyp. données : \[ \left\lbrace \begin{aligned} & u = \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} u_{i+1} \qquad i = 0, 1, \ldots, n-1 \\ & \textstyle\sum u_i = 0 \end{aligned} \right. \] (déf.) : \[ \left\lbrace \begin{aligned} & u_{i-1} \wedge u_i = \mu_i \\ & u \wedge u_i = \alpha_i \end{aligned} \right. \] une rature après \(\mu_i\)

\[ \left\lbrace \begin{aligned} & \lambda_i \mu_i + \lambda_{i+1} \mu_{i+1} = \alpha_i \\ & \lambda_i \alpha_{i-1} - \lambda_{i+1} \alpha_{i+1} = 0 \\ & \textstyle\sum \alpha_i = 0 \end{aligned} \right. \qquad\qquad 2 \sum \lambda_i \mu_i = 0 \] ([…] […] […])

\(u_0, u_1, u, (\lambda_i) \Rightarrow u_i\) \(\forall\, i\)

\(\alpha_0, \alpha_1, (\lambda_i) \Rightarrow (u_i)\) mod […] Aff si \(\mu_1 \neq 0\)

\[ u = \frac{\alpha_1}{\mu_1} u_0 - \frac{\alpha_0}{\mu_1} u_1 = \Bigl( \lambda_1 + \lambda_2 \frac{\mu_2}{\mu_1} \Bigr) u_0 - \Bigl( \lambda_0 \frac{\mu_0}{\mu_1} + \lambda_1 \Bigr) u_1 \] une ligne biffée au-dessus

\((\lambda_i, \mu_i)_i\) mod \(k^*\).

\(CI_n^* = n\)-polygones cycliques (mod Aff) […] qui ne sont […] ! […] […] […] \[ CI_n^* \longrightarrow \mathbf{P}^{n-1} \times \mathbf{P}^{n-1}, \qquad (\lambda_i) \quad (\mu_i) \] la flèche est verticale

Colonne de droite, séparée par un trait : \((\mu_i)_i \neq 0\) et \(u \neq 0\) \(\iff\) \((\alpha_i)_i \neq 0\), le tout souligné d'une accolade « hyp. » ; au-dessus, des essais très raturés (« \(u \neq 0\) », « \(\lambda_i \neq 0\) », « \(\Rightarrow (u_i)_i \neq\) »). Puis, souligné : « \(u_i \neq 0\), \(\lambda_i \neq 0\) \(\forall\, i\) » hyp. ; « \((\lambda_i, \alpha_i)_i \neq 0\) » ; « \(\mathbf{P}(k^n \times \uncertain{L}^n)\) »

\[ u_2 = -\frac{\mu_2}{\mu_1} u_0 + \frac{1}{\lambda_2} \Bigl( \lambda_0 \frac{\mu_0}{\mu_1} + \lambda_1 \Bigr) u_1 \] \[ u_{n-1} = A_{n-1}\bigl((\lambda)(\mu)\bigr)\, u_0 + B_{n-1}(\ ,\ )\, u_1 \] devant \(u_2\), un facteur \(\lambda_2\) biffé, et un terme biffé après le signe \(=\)

14p. 1 de sa pagination, numéro cerclé en haut à droite ; la suite court jusqu'à la page 28 (p. 16 de sa pagination, lot 2). Figure : le sommet \(s_i\) entre les côtés \(u_{i-1}\) et \(u_i\) \[ f_i = x_{i-1} y_i - y_{i-1} x_i \] \[ df_i = y_i\, dx_{i-1} - x_i\, dy_{i-1} - (y_{i-1}\, dx_i - x_{i-1}\, dy_i) \] \[ \sum \lambda_i\, df_i = \sum_i (-\lambda_i y_{i-1} + \lambda_{i+1} y_{i+1})\, dx_i + \sum_i (\lambda_i x_{i-1} - \lambda_{i+1} x_{i+1})\, dy_i = \mu \sum dx_i + \nu \sum dy_i \] une ligne biffée avant la dernière égalité \[ \left. \begin{aligned} -\mu &= +\lambda_i y_{i-1} - \lambda_{i+1} y_{i+1} \\ \nu &= +\lambda_i x_{i-1} - \lambda_{i+1} x_{i+1} \end{aligned} \right\rbrace \quad 0 \leqslant i \leqslant n-1 \]

NB OPS \(x_i, y_i\) tous \(\neq 0\) (par […] de coord.)

\[ \lambda_0, \lambda_1 \ \big|\ \overset{i=1}{\lambda_2} \cdots \overset{i=n-2}{\lambda_{n-1}} \qquad\qquad \overset{i=n-1}{\lambda_n} \ \text{relation} \] \(\lambda_n\) est cerclé

\[ \begin{aligned} &+\lambda_0 y_{n-1} - \lambda_1 y_1 = +\lambda_1 y_0 - \lambda_2 y_2 = +\lambda_2 y_1 - \lambda_3 y_3 = \cdots = \lambda_{n-2} y_{n-3} - \lambda_{n-1} y_{n-1} \\ &\qquad = \lambda_3 y_2 - \lambda_4 y_4 \qquad\qquad = \lambda_{n-1} y_{n-2} - \lambda_n y_n \quad (\lambda_n = \lambda_0,\ y_n = y_0) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} (y_2)\,\lambda_2 &= \lambda_1 (y_0 + y_1) - \lambda_0 y_{n-1} = \lambda_0 (-y_{n-1}) + \lambda_1 (y_0 + y_1) \qquad (= \lambda_4 y_3 - \lambda_5 y_5) \\ (y_2 y_3)\,\lambda_3 &= \underbrace{(y_2 \lambda_2)}\, y_1 - y_2 (\lambda_0 y_{n-1} - \lambda_1 y_1) \\ &= \lambda_0 \bigl( -y_{n-1} (y_1 + y_2) \bigr) + \lambda_1 y_1 [y_0 + y_1 + y_2] \\ (y_2 y_3 y_4)\,\lambda_4 &= (y_2 y_3 \lambda_3)\, y_3 - y_2 y_3 (\lambda_0 y_{n-1} - \lambda_1 y_1) \\ &= \lambda_0 \bigl( -y_2 y_{n-1} (y_1 + y_2 + y_3) \bigr) + \lambda_1 y_1 y_2 (y_0 + y_1 + y_2 + y_3) \\ (y_2 y_3 y_4 y_5)\,\lambda_5 &= \underbrace{(y_2 y_3 y_4 \lambda_4)}\, y_3 - y_2 y_3 y_4 (\lambda_0 y_{n-1} - \lambda_1 y_1) \end{aligned} \] plusieurs indices sont surchargés dans ce calcul (le facteur après \((y_2 y_3 \lambda_3)\) est écrit sur une rature) ; les formules sont données telles qu'elles se lisent, sans les vérifier

15p. 2 de sa pagination \[ = \lambda_0 \bigl( -y_{n-1} y_2 y_3 (y_1 + y_2 + y_3 + y_4) \bigr) + \lambda_1 y_1 y_2 y_3 (y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4) \] puis une ligne biffée : « \((y_2 y_3 \cdots y_i)\lambda_i = \lambda_0(-y_{n-1} y_2 y_3 \cdots y_{i-2}(y_1 + \cdots + y_{i-1})) + \lambda_1 \ldots\) »

\[ \boxed{ \begin{aligned} (y_{i-1} y_i)\,\lambda_i &= (-\lambda_0 y_{-1})(y_1 + \cdots + y_{i-1}) + (\lambda_1 y_1)(y_0 + \cdots + y_{i-1}) \\ (x_{i-1} x_i)\,\lambda_i &= (-\lambda_0 x_{-1})(x_1 + \cdots + x_{i-1}) + (\lambda_1 x_1)(x_0 + \cdots + x_{i-1}) \end{aligned}} \] \(i = 2, \ldots, n-1\) \(/\!/\ n\)

\[ \boxed{\lambda_i u_{i-1} u_i = -\lambda_0 u_{-1} u_{1i} + \lambda_1 u_1 u_{0i}} \] où \(u_{\alpha\beta} = u_\alpha + u_{\alpha+1} + \cdots + u_{\beta-1} = s_\beta - s_\alpha\).

\[ \boxed{ \begin{aligned} &\lambda_0 \bigl[ -x_{i-1} x_i y_{-1} (y_1 + \cdots + y_{i-1}) + y_{i-1} y_i x_{-1} (x_1 + \cdots + x_{i-1}) \bigr] \\ &\quad + \lambda_1 \bigl[ x_{i-1} x_i y_1 (y_0 + \cdots + y_{i-1}) - y_{i-1} y_i x_1 (x_0 + \cdots + x_{i-1}) \bigr] = 0 \end{aligned}} \qquad i = 2, \ldots, n-1 \] « \(i = 2, \ldots, n-1\) » est cerclé

\[ (\underbrace{y_{n-1}}_{y_{-1}} \underbrace{y_n}_{y_0}) \underbrace{\lambda_n}_{\lambda_0} = (-\lambda_0 y_{-1}) \underbrace{(y_1 + \cdots + y_{n-1})}_{-y_0} + (\lambda_1 y_1) \underbrace{(y_0 + \cdots + y_{n-1})}_{0} \] \[ \lambda_0 (y_{-1} y_0) = \lambda_0 y_0 y_{-1} \qquad \text{ok} \]

triangle […] : \[ \begin{aligned} &\lambda_0 \bigl( -x_1 x_2 y_{-1} \underbrace{(y_1)}_{-y_0} + y_1 y_2 x_{-1} (x_1) \bigr) \\ &\quad + x_1 x_2 y_2 (y_0) - y_1 y_2 x_2 (\ldots) \\ &\quad x_2 y_2 (x_1 y_0 - y_1 x_0) \end{aligned} \] calcul très raturé : les termes \(y_2\), \(x_2\) des parenthèses de la première ligne sont biffés, de même que le contenu de la dernière parenthèse de la deuxième ligne et une ligne entière « \(x_2 y_2 x_1 y_1 [-\frac{y_1 + y_2}{y_1} + \frac{x_1 + x_2}{x_1}\) » ; le « \(y_2\) » de « \(x_1 x_2 y_2\) » est lu

À droite, séparé par un trait oblique : \(u\), \(v\), \(w = -(u + v)\) ; \(u \wedge v\), \(v \wedge w\), \(w \wedge u\) ; \(u \wedge v\), \(-v \wedge u = u \wedge v\) […]

16p. 3 de sa pagination ; en tête, « quadrilatère » \[ -x_1 x_2 y_1 y_3 + y_1 y_2 x_1 x_3 = -x_1 y_1 (x_2 y_3 - y_2 x_3) \] le résultat est cerclé ; l'indice de \(y_3\) est surchargé

\[ \begin{aligned} x_1 x_2 y_1 \underbrace{(y_0 + y_1)}_{-y_2 - y_3} - y_1 y_2 x_1 \underbrace{(x_0 + x_1)}_{-x_2 - x_3} &= \\ = -x_1 x_2 y_1 (y_2 + y_3) + y_1 y_2 x_1 (x_2 + x_3) & \\ = -x_1 x_2 y_1 y_3 + y_1 y_2 x_1 x_3 &= -x_1 y_1 (x_2 y_3 - y_2 x_3) \end{aligned} \qquad\qquad \boxed{\lambda_0 + \lambda_1 = 0} \] le dernier membre est cerclé. Sous la formule encadrée, cerclé : « si \(s_3\) non aplati », avec un croquis de l'angle en \(s_3\) entre \(u_2\) et \(u_3\)

\[ -x_2 x_3 y_3 (y_1 + y_2) + y_2 y_3 x_3 (x_1 + x_2) = -x_3 y_3 (x_1 y_2 - y_1 x_2) \] \[ x_2 x_3 y_1 \underbrace{(y_0 + y_1 + y_2)}_{-y_3} - y_2 y_3 x_1 \underbrace{(x_0 + x_1 + x_2)}_{-x_3} = x_3 y_3 (x_1 y_2 - y_1 x_2) \qquad\qquad \boxed{\lambda_0 + \lambda_1 = 0} \] les deux résultats sont cerclés, le signe du second surchargé ; des points sont marqués sous certains facteurs. Sous le second encadré, cerclé : « si \(s_1\) non aplati », avec le croquis de l'angle en \(s_1\) entre \(u_1\) et \(u_2\)

\(u_0 \quad u_1 \quad u_2 \quad u_3\) \[ u_0 \wedge u_1 \quad u_1 \wedge u_2 \quad u_2 \wedge u_3 \qquad u_3 \wedge u_0 = -(u_0 + u_1 + u_2) \wedge u_0 = u_0 \wedge u_1 + u_0 \wedge u_2 \] une première forme de la dernière égalité est biffée ; le premier terme du résultat est écrit sur une rature. En bas, un croquis d'angle et le tableau des coordonnées \(x_0, y_0\) ; \(x_1, y_1\) ; \(x_2, y_2\) ; \(x_3, y_3\)

17p. 4 de sa pagination ; en tête, « quadrilatère ». Figure : \(s_0\) et \(s_2\) sur une droite, \(s_1\) et \(s_3\) sur une droite qui la coupe \[ \begin{array}{ll} (a - 1, 0) & \bigl( -(a-1), b-1 \bigr) = (-a+1, b-1) \quad u_0 \\ (0, b - 1) & \bigl( a+1, -(b-1) \bigr) = (a+1, -b+1) \quad u_1 \\ (a + 1, 0) & \bigl( -(a+1), b+1 \bigr) = (-a-1, b+1) \quad u_2 \\ (0, b + 1) & \bigl( a-1, -(b+1) \bigr) = (a-1, -b-1) \quad u_3 \end{array} \] la première ligne de la colonne de gauche est surchargée

\[ \begin{aligned} (1-a)(1-b) + (1-b)(a+1) &= 2(1-b) = f_1 \\ (a+1)(b+1) + (a+1)(1-b) &= 2(a+1) = f_2 \\ (a+1)(b+1) + (b+1)(1-a) &= 2(b+1) = f_3 \\ (a-1)(b-1) - (b+1)(a-1) &= 2(1-a) = f_0 \end{aligned} \] le signe de la dernière ligne est surchargé, et les indices de \(f_1\) et \(f_0\) sont écrits sur une rature

\[ f_1 + f_3 = f_2 + f_0 = v \quad \Big/ \quad \begin{aligned} f_3 - f_1 &= (b)\, v \\ f_2 - f_0 &= (a)\, v \end{aligned} \] \(v\) est écrit sur un « 4 » ; le calcul donne en effet \(4\), et \(f_3 - f_1 = 4b\), \(f_2 - f_0 = 4a\)

figure : le quadrilatère de côtés \(u_0, u_1, u_2, u_3\) et ses deux diagonales fléchées \[ u_0 \wedge u_1 + u_2 \wedge u_3 = u_1 \wedge u_2 + u_3 \wedge u_0 \overset{?}{=} (u_0 + u_1) \wedge (u_1 + u_2) = u_0 \wedge u_1 + u_0 \wedge u_2 + u_1 \wedge u_2 \] \[ u_3 = -(u_0 + u_1 + u_2) \] \[ \underbrace{u_0 \wedge u_1} + u_2 \wedge \underbrace{(u_0 + u_1)} = \underbrace{u_1 \wedge u_2} + u_0 \wedge \underbrace{(u_1 + u_2)} \] dans les deux parenthèses, un troisième terme (\(u_2\), puis \(u_0\)) est barré d'une croix \[ u_2 \wedge \underbrace{(u_3 + u_0 + u_1)}_{-u_2} = 0 \qquad \text{ok} \]

sous une ligne ondulée : croquis de deux vecteurs \(u\), \(v\), avec « \(u \wedge v = -(-v) \wedge (-u)\) » biffé, et un pentagone avec toutes ses diagonales

18p. 5 de sa pagination. Figure : un 9-gone étoilé non convexe, sommets \(s_0, \ldots, s_8\), côtés \(u_0, \ldots, u_7\), avec les segments de \(s_0\) aux autres sommets \[ \boxed{\lambda_0 = 0} \Rightarrow u_1 u_{0i} = \lambda_i u_{i-1} u_i \]

\[ \begin{array}{lll} s_0 = (0, 0) & & \\ s_1 = (1, 0) & & \\ s_2 = (1, 1) & & (y_2 = 1) \\ s_3 = (\beta_1, \beta_1) & \beta_1 \neq 1, 0 & \\ s_4 = (\beta_1, y_4) & y_4 \neq \beta_1 & \\ s_5 = (\beta_2 \beta_1, \beta_2 y_4) & \beta_2 \neq 1, 0 & \\ s_6 = (\beta_2 \beta_1, y_6) & y_6 \neq \beta_2 y_4 & \\ s_7 = (\beta_3 \beta_2 \beta_1, \beta_3 y_6) & \beta_3 \neq 1, 0 & \\ s_8 = (\beta_3 \beta_2 \beta_1, y_8) & y_8 \neq \beta_3 y_6 & \\ {[s_9 = s_0]} & [\beta_4 = 0] & \end{array} \qquad \begin{array}{l} \beta_1\ \beta_2\ \beta_3 \\ y_4\ y_6\ y_8 \end{array} \] au-dessus des deux dernières lignes, « \(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_8\) » biffé

Aucun des \(\lambda_i\) nuls \(\iff\) les \(s_i\) tous distincts

\[ \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} u_i - \lambda_{i+1} u_{i+1} + \lambda_{i+2} u_{i+2} = 0 \] \[ \begin{array}{ll} \lambda_1 u_0 - \lambda_2 u_1 - \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0 & \lambda_3 u_3 = -\lambda_1 u_0 + \lambda_2 u_1 + \lambda_2 u_2 \\ \lambda_2 u_1 - \lambda_3 u_2 - \lambda_3 u_3 + \lambda_4 u_4 = 0 & \lambda_4 u_4 = -\lambda_1 u_0 + \ldots \\ \lambda_3 u_2 - \lambda_4 u_3 - \lambda_4 u_4 + \lambda_5 u_5 = 0 & \lambda_3 \lambda_5 u_5 = \\ \lambda_4 u_3 - \lambda_5 u_4 - \lambda_5 u_5 + \lambda_6 u_6 & \end{array} \] à droite, « \((\lambda_2 + \lambda_3)\, u_2\) » et un \(\lambda_3\) biffé

\[ \begin{aligned} \lambda_3 \lambda_5 u_5 &= \lambda_3 \bigl[ -\lambda_1 u_0 + (\lambda_2 + \lambda_3)\, u_2 \bigr] + \lambda_4 (-\lambda_1 u_0 + \lambda_2 u_1 + \lambda_2 u_2) - \lambda_3^2 u_2 \quad \cdots \\ &= \bigl( -\lambda_1 (\lambda_3 + \lambda_4) \bigr) u_0 + \lambda_2 \lambda_4 u_1 + \lambda_2 (\lambda_3 + \lambda_4)\, u_2 \end{aligned} \] puis un court essai biffé ; en bas, « \(u_0\ u_1\) 4 »

19p. 6 de sa pagination. Figure : un pentagone \(s_0 s_1 s_2 s_3 s_4\) de côtés orientés \(u_0, \ldots, u_4\) \[ \begin{array}{ll} s_0 = (0, 0) & u_0 = (1, 0) \\ s_1 = (1, 0) & u_1 = (x - 1, y) \\ {[s_4 = (0, f_0)]} & u_2 = (x' - x, y' - y) \\ s_2 = (x, y) & u_3 = (-x', f_0 - y') \\ s_3 = (x', y') & u_4 = (0, -f_0) \end{array} \qquad \begin{aligned} f_1 &= y \\ f_2 &= (x - 1)(y' - y) - y(x' - x) \\ &= (xy' - yx') - (y' - y) \\ f_3 &= (x' - x)(f_0 - y') + x'(y' - y) \\ &= (xy' - yx') + f_0 (x' - x) \\ f_4 &= f_0 x' \\ f_0 &= f_0 \end{aligned} \]

\[ \left\lbrace \begin{aligned} y &= f_1 \\ x' &= f_4/f_0 \\ xy' - y' &= f_2 + f_1 f_4/f_0 - f_1 \\ xy' - f_0 x &= f_3 + f_1 f_4/f_0 - f_4 \end{aligned} \right. \qquad\qquad f_0 x - y' = -f_1 + f_2 - f_3 + f_4 \] quelques lettres biffées ou surchargées dans ce système (un « \(y' =\) » biffé à droite)

\[ \left\lbrace \begin{aligned} y &= f_1 \\ x' &= f_4/f_0 \\ y' &= f_0 x + X_1^4 \end{aligned} \right. \qquad X_1^4 = f_1 - f_2 + f_3 - f_4 \qquad X = f_0 - f_1 + f_2 - f_3 + f_4 = f_0 - X_1^4 \] \[ x (f_0 x + X_1^4) - f_0 x - X_1^4 = f_2 + f_1 f_4/f_0 - f_1 \] \[ f_0 x^2 + \underbrace{(X_1^4 - f_0)}_{-X} x - (f_1 - f_2 + f_3 - f_4 + f_2 + f_1 f_4/f_0 - f_1) \] dans la dernière parenthèse, les termes qui se détruisent sont barrés \[ f_0 x^2 - X x + (f_4 - f_3 - f_1 f_4/f_0) \qquad\qquad X = 1 - X_1^4 \] \[ x = \frac{1}{2 f_0} \Bigl( X \pm \sqrt{X^2 - 4 f_0 f_4 + 4 f_0 f_3 + 4 f_1 f_4} \Bigr) \] sous le radical, la fin est surchargée ; on donne la forme que demande la ligne précédente, les signes n'étant pas tous lisibles \[ \begin{aligned} X^2 = f_0^2 + f_1^2 + f_2^2 + f_3^2 + f_4^2 &- 2 f_0 f_1 + 2 f_0 f_2 - 2 f_0 f_3 + 2 f_0 f_4 \\ &- 2 f_1 f_2 + 2 f_1 f_3 - 2 f_1 f_4 \\ &- 2 f_2 f_3 + 2 f_2 f_4 \\ &- 2 f_3 f_4 \end{aligned} \] \[ \Delta = f_0^2 + f_1^2 + f_2^2 + f_3^2 + f_4^2 + \ldots \] les dix doubles produits de \(\Delta\) sont écrits en colonne et encadrés un à un, leurs signes surchargés ; ils ne sont pas repris ici \[ \begin{aligned} &= \textstyle\sum f_i^2 - 2 \sum f_i f_{i+1} + 2 \sum f_i f_{i+2} \\ &= \textstyle\sum f_i^2 + 2 \sum f_{i+1} (f_i - f_{i+1}) \\ &\phantom{=}\ (f_0 - f_1 + f_2 + f_3 - f_4)^2 + 4 (f_1 f_3 + f_2 f_3 + f_2 f_4) \end{aligned} \] la deuxième ligne est lue

\[ u_3 \wedge u_4 - u_2 \wedge u_3 = u_3 \wedge u_4 + u_3 \wedge u_2 = u_3 \wedge (u_2 + u_4) \qquad (u_4 \wedge u_0)\bigl(u_3 \wedge (u_2 + u_4)\bigr) - \] ligne séparée du reste par un trait, en bas de page

20« 8 », non cerclé, en haut à droite : p. 8 de sa pagination (la p. 7 manque). Un long trait de crayon traverse la page en diagonale \[ \begin{aligned} &x^2 + y^2 + z^2 + 2yz + 2zx - 2xy = \\ &\xi^2 + \eta^2 - 2\xi\eta + 2(\xi + \eta) + 1 \\ &\underbrace{(\xi - \eta)}_{U}{}^2 + 2\underbrace{(\xi + \eta)}_{V} + 1 \end{aligned} \] une ligne biffée entre la première et la deuxième

figure : quatre côtés consécutifs \(u_{i-2}, \ldots, u_{i+1}\) annotés des \(\lambda_{i-2}, \ldots, \lambda_{i+2}\), avec des ratures

\(\lambda_{i+1} u_i - \lambda_{i+2}(u_{i+1} + u_{i+2}) + \lambda_{i+3} u_{i+3} = 0\) \[ \boxed{\lambda_{i-1} u_{i-2} - \lambda_i (u_{i-1} + u_i) + \lambda_{i+1} u_{i+1} = 0} \]

figure : \(s_0\) et les côtés \(u_0, u_1, u_2\) fléchés \[ \underbrace{u_0 \quad u_1}_{\text{base}} \qquad u_2 = \xi u_0 + \eta u_1 \] \[ \begin{aligned} u_3 &= \frac{1}{\lambda_3} \bigl( \lambda_2 (u_1 + u_2) - \lambda_1 u_0 \bigr) \\ u_4 &= \frac{1}{\lambda_3 \lambda_4} (\quad \\ u_5 &= \frac{1}{\lambda_3 \lambda_4 \lambda_5} (\quad \text{------} \quad) \end{aligned} \] \[ u_{n-1} = \frac{\lambda_{n-2}}{\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1}} \bigl( P_{n-1} u_0 + Q_{n-1} u_1 + R_{n-1} u_2 \bigr) \] \[ u_i = \frac{1}{\lambda_3 \lambda_4 \cdots \lambda_i}\, P_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_{i-1})\, u_0 + Q_i(\lambda_1, \ldots \] la dernière ligne s'arrête là ; elle est reprise, sous une autre forme, en tête de la page 21 (lot 2). En marge, trois croquis de polygones : un pentagone \(s_0, \ldots, s_4\), et un \(n\)-gone \(s_0, s_1, s_2, \ldots, s_{n-1}\) de côtés \(u_0, \ldots, u_{n-1}\)