Cote n° 73 · pages 1–28 · Lecture modernisée · Polygones : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–28

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier n'a pas de titre de sa main ; celui de l'inventaire, « Polygones », lui convient. La « lettre » que l'inventaire mentionne n'est sur aucun des feuillets numérisés, et les pages 2, 7, 11 et 13 sont blanches. Une pagination de sa main, cerclée, court de 1 à 16 sur les pages 14 à 28 (le 7 manque) : c'est une rédaction suivie, précédée de feuillets d'essais.

Les stations

• Page 1. Le foncteur \(\mathrm{Polg}_n(E)\) des \(n\)-gones d'un plan affine, sommets et droites des côtés ; dégénérescences.
• Pages 3 et 4. La relation des multiplicateurs sous sa première forme, \(\lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} u_{i+1} = w\) constant, et ses différences \(M_i\) ; le calcul des côtés de proche en proche.
• Pages 5 et 6. Le quadrilatère : une relation linéaire entre les aires des oreilles, et l'espace des quadrilatères identifié à un plan projectif.
• Pages 8 à 10. Un morceau étranger : configurations, opérations, ensembles résiduels, tests, « cribles ».
• Page 12. Les relations entre multiplicateurs, aires et le vecteur \(w\).
• Pages 14 et 15. La formulation lagrangienne écrite en coordonnées, et la formule close de \(\lambda_i\).
• Pages 16 et 17. Le quadrilatère à nouveau : son multiplicateur, une carte explicite, les diagonales.
• Page 18. Un multiplicateur nul en un sommet : l'ennéagone étoilé.
• Page 19. Le pentagone, et une équation du second degré.
• Pages 20 à 22. La relation à quatre termes ; \(u_i\) dans la base \(u_0, u_1, u_2\) ; les polynômes \(P_i, Q_i, R_i\) ; les équations de fermeture.
• Pages 23 à 27. Le cas dégénéré, la Proposition et sa preuve.
• Page 28. Le Théorème : les quatre cas.

Conventions

\(k\) est un corps, \(V\) un plan vectoriel sur \(k\), \(E\) un plan affine de direction \(V\). Un \(n\)-gone a pour sommets \(s_i\) et pour côtés \(u_i = s_{i+1} - s_i\), \(i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) ; il est fermé quand \(\sum u_i = 0\), ce qui est automatique si on le donne par ses sommets, et ne l'est plus si on le donne par la suite \(u_* = (u_i)\) de ses côtés. On note, comme la page 15, \[ u_{ab} = u_a + u_{a+1} + \cdots + u_{b-1} = s_b - s_a . \] On fixe une forme volume sur \(V\), et l'on pose \[ \mu_i = u_{i-1} \wedge u_i \in k , \] le double de l'aire algébrique de l'oreille en \(s_i\), le triangle \(s_{i-1} s_i s_{i+1}\)¹ . On note \(\varphi\) l'application \(u_* \mapsto (\mu_i)_i\).

La relation des multiplicateurs a deux formes, et le dossier passe de l'une à l'autre. La forme lagrangienne (pages 3, 4, 12, 14 et 15) : \[ (L) \qquad \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} u_{i+1} = w \quad \text{indépendant de } i ; \] la forme à quatre termes (pages 20 à 28), qui en est la différence de deux lignes consécutives : \[ (\ast) \qquad \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1}(u_i + u_{i+1}) + \lambda_{i+2} u_{i+2} = 0 \qquad \forall\, i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} . \] Les deux sont équivalentes : \((\ast)\) dit exactement que le membre de gauche de \((L)\) ne dépend pas de \(i\). L'espace des \((\lambda_i) \in k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) qui les satisfont est noté \(N(u_*)\), comme à la page 25² .

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Trois raccords, qu'aucune page ne fait.

Le \(N(u_*)\) du théorème final est l'espace des multiplicateurs de Lagrange de la page 14 : la relation à quatre termes des pages 20 à 28 est la différence \(M_i = L_{i-1} - L_i\) que la page 3 forme déjà. Ce qui est classé à la fin est donc l'ensemble des points où \(\varphi\), restreinte aux polygones fermés, n'est pas une submersion, et de combien elle ne l'est pas.

Le quadrilatère est toujours dans ce cas : la relation entre ses aires (page 5) a pour coefficients \((1, -1, 1, -1)\), et c'est exactement le multiplicateur \(\lambda_0 + \lambda_1 = 0\) que les pages 16 et 17 retrouvent par le calcul.

Le critère du cas spécial II, au bas de la page 28, est la formule close des pages 15 et 18 avec \(\lambda_0 = 0\), et l'ennéagone étoilé de la page 18 en est un exemple : son espace de multiplicateurs est une droite, engendrée par un vecteur nul en \(0\) et en \(0\) seulement.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

La condition qui définit l'ouvert \(\mathcal{U}\) de la page 1 est biffée ; les comptes de dimensions de la page 4 ne se lisent plus ; le système des équations de fermeture (page 22) n'est jamais résolu ; le sens de \(CI_n^*\) (page 12) n'est pas fixé ; la quadrique du haut de la page 20 n'est rattachée à rien ; la démonstration de d) \(\Rightarrow\) a) (page 27) est annoncée et la page est blanche ensuite ; la note de marge de la page 28 est en grande partie perdue. Les « cribles » des pages 8 à 10 ne servent nulle part dans le dossier.

1–1

Le foncteur des polygones (page 1)

Soit \(S\) un schéma, \(E\) un plan affine sur \(S\), et \(n \geqslant 3\). Pour un \(S\)-schéma \(S'\), on pose \[ \mathrm{Polg}_n(E)(S') = \bigl\{ (s_0, \ldots, s_{n-1}, d_0, \ldots, d_{n-1}) \bigm| s_i \in E(S'),\ d_i \in \mathrm{Dr}(E_{S'}),\ s_i \in d_i,\ s_{i+1} \in d_i \bigr\}, \] où \(\mathrm{Dr}(E_{S'})\) est l'ensemble des droites de \(E_{S'}\) et les indices sont pris modulo \(n\)³ . Un point est un \(n\)-gone muni des droites de ses côtés. Les conditions d'incidence sont fermées, si bien que \(\mathrm{Polg}_n(E)\) est représentable par un sous-schéma fermé de \(E^n \times \mathrm{Dr}(E)^n\), le schéma des droites d'un plan affine étant un ouvert du plan projectif dual⁴ .

Garder les droites \(d_i\) à côté des sommets, c'est ce qui permet de suivre les dégénérescences. Les croquis de la page en montrent trois : des côtés consécutifs portés par une même droite, \(d_0 = d_1 = \cdots = d_i \neq d_{i+1}\), les sommets \(s_0, \ldots, s_{i+1}\) étant alors alignés ; deux sommets consécutifs confondus, \(s_{i+1} = s_{i+2}\), où le côté nul garde la droite qui le porte ; un triangle vu comme un hexagone dégénéré, de sommets \(s_0 = s_1\), \(s_2 = s_3\), \(s_4 = s_5\) et de côtés \(d_0 = d_1\), \(d_2 = d_3\), \(d_4 = d_5\).

La page définit encore un ouvert \(\mathcal{U}\), indexé par un ensemble \(\underline{S}\) de sommets et un ensemble \(\underline{A}\) d'arêtes — un polygone combinatoire \((S, A)\) au sens que le dossier 89 (pages 19 et 20) précise —, dont la condition est biffée⁵ .

3–4

La relation des multiplicateurs, première forme (pages 3 et 4)

Ces deux pages sont des essais. On y lit la relation sous la forme \((L)\) : pour un \(n\)-gone donné par ses côtés, des scalaires \(\lambda_i\) tels que \[ L_i := \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} u_{i+1} \] ne dépende pas de \(i\) : \(L_0 = L_1 = \cdots = L_{n-1} = w\). Les différences \[ M_i = L_{i-1} - L_i = \lambda_{i-1} u_{i-2} - \lambda_i (u_{i-1} + u_i) + \lambda_{i+1} u_{i+1} \] sont les premiers membres de la relation à quatre termes \((\ast)\), qui reviendra seule aux pages 20 à 28⁶ .

Sous le titre « Calcul intrinsèque »⁷ , la page 4 calcule les côtés de proche en proche. Si les \(\lambda_i\) sont non nuls, \((L)\) en \(i\) donne \(u_{i+1} = (\lambda_i u_{i-1} - w)/\lambda_{i+1}\) : les données \(u_0, u_1, w\) et \(\lambda_*\) déterminent tous les \(u_i\), et les deux dernières lignes, \(u_n = u_0\) et \(u_{n+1} = u_1\), sont deux relations entre \(u_0, u_1, w, \lambda_*\). C'est le schéma que les pages 20 à 22 reprendront avec la forme à quatre termes. La page écrit aussi la ligne \(\lambda_2 \, u_1 u_2 = -\lambda_0 \, u_{-1} u_1 + \lambda_1 \, u_1 (u_0 + u_1)\), qui est le cas \(i = 2\) de la formule close de la page 15⁸ .

5–6

Les quadrilatères forment un plan projectif (pages 5 et 6)

Soit un quadrilatère fermé, \(u_0 + u_1 + u_2 + u_3 = 0\), et \(\mu_0 = u_3 \wedge u_0\), \(\mu_1 = u_0 \wedge u_1\), \(\mu_2 = u_1 \wedge u_2\), \(\mu_3 = u_2 \wedge u_3\). En remplaçant \(u_3\) par \(-(u_0 + u_1 + u_2)\) on trouve \[ u_0 \wedge u_2 = \mu_0 - \mu_1 = \mu_3 - \mu_2 , \qquad u_1 \wedge u_3 = \mu_0 - \mu_2 , \] d'où la relation \[ \mu_0 + \mu_2 = \mu_1 + \mu_3 . \] Les deux membres sont le double de l'aire du quadrilatère, coupé par l'une ou l'autre diagonale ; la page 17 vérifie qu'ils valent aussi \((u_0 + u_1) \wedge (u_1 + u_2)\), le produit extérieur des deux diagonales⁹ .

Soit \(\mathbf{M}_4\) l'ensemble des quadrilatères fermés non contenus dans une droite, à transformation affine près. L'application \[ \mathbf{M}_4 \longrightarrow \bigl\{ \mu_0 + \mu_2 = \mu_1 + \mu_3 \bigr\} \subset \mathbf{P}^3, \qquad (u_0, u_1, u_2, u_3) \longmapsto (\mu_0 : \mu_1 : \mu_2 : \mu_3) \] est bien définie (un quadrilatère non aligné a un \(\mu_i\) non nul) et c'est une bijection sur ce plan projectif. Sur l'ouvert \(\mu_1 \neq 0\), en effet, \(u_0, u_1\) forment une base de \(V\), qu'une transformation affine envoie sur une base fixée ; écrivant \(u_2 = \alpha u_0 + \beta u_1\), on trouve \(\mu_1 = 1\), \(\mu_2 = -\alpha\), \(\mu_3 = \beta - \alpha\), \(\mu_0 = 1 + \beta\) dans la base \(e = u_0 \wedge u_1\), d'où \[ u_2 = -\frac{\mu_2}{\mu_1}\, u_0 + \frac{\mu_3 - \mu_2}{\mu_1}\, u_1 , \qquad u_3 = \Bigl( \frac{\mu_2}{\mu_1} - 1 \Bigr) u_0 - \frac{\mu_0}{\mu_1}\, u_1 , \] et tout point du plan avec \(\mu_1 \neq 0\) est atteint une fois. Les autres cartes s'en déduisent par permutation circulaire¹⁰ .

Les quadrilatères dégénérés. Un côté est nul si et seulement si les deux aires qui le contiennent le sont : \(u_i = 0\) équivaut à \(\mu_i = \mu_{i+1} = 0\) (la page encadre le cas \(u_2 = 0 \iff \mu_2 = \mu_3 = 0\)). Les quatre quadrilatères dégénérés sont donc les points \[ (0,0,1,1), \quad (1,0,0,1), \quad (1,1,0,0), \quad (0,1,1,0) \] du plan, pour \(u_0, u_1, u_2, u_3\) nuls respectivement. Les trois premiers sont indépendants (la matrice qu'ils forment est de rang 3) et le quatrième est leur somme alternée, à coefficients tous non nuls : ces quatre points sont en position générale, ils forment un repère projectif du plan. Par conséquent, si \(\Pi = (S, A)\) est un quadrilatère combinatoire — quatre sommets, quatre arêtes, au sens du dossier 89 (pages 19 et 20) —, l'espace \(\mathbf{M}(\Pi)\) des quadrilatères de type \(\Pi\) s'identifie canoniquement au plan projectif engendré par \(A\), c'est-à-dire au plan \(\mathbf{P}\bigl(k^{A} / k\cdot(1,1,1,1)\bigr)\) dont les quatre points de repère sont les arêtes, chaque arête correspondant au quadrilatère où elle est réduite à un point¹¹ . Cinq croquis de quadrilatères — ouvert, croisé, aplati, avec ou sans leurs diagonales — terminent la page.

8–10

Un morceau étranger : opérations, tests et cribles (pages 8 à 10)

Ces trois pages ne parlent pas de polygones, et ne disent pas à quoi elles servent. Elles sont écrites à rebours : la page 10 pose les définitions, la page 9 construit l'objet, la page 8 le récrit. On les lit dans l'ordre logique.

Les données (page 10). Un ensemble \(C\) de « configurations », un ensemble \(\Omega\) d'« opérations » (virtuelles), et pour chaque \(\omega \in \Omega\) un ensemble \(V_\omega\) de « résultats » possibles et une application \(f_\omega : C \to V_\omega\), notée \(x \mapsto \omega(x)\) : le résultat de l'opération \(\omega\) sur la configuration \(x\). Une opération effectuée est une opération avec son résultat, \[ \widetilde{\Omega} = \coprod_{\omega \in \Omega} V_\omega \xrightarrow{\ \pi\ } \Omega , \qquad \widetilde{\omega} = (\omega, v) . \] Son ensemble résiduel est \(C(\widetilde{\omega}) = f_\omega^{-1}(v)\), l'ensemble des configurations compatibles avec ce résultat, et pour une suite, \(C(\widetilde{\omega}_1, \ldots, \widetilde{\omega}_\nu) = \bigcap_i C(\widetilde{\omega}_i)\). Chaque configuration \(x\) est une section de \(\pi\), \(\omega \mapsto (\omega, \omega(x))\), d'où des applications \(C \times \Omega^\nu \to \widetilde{\Omega}^\nu\). Les tests effectués de longueur \(\nu\) forment l'image \[ T_\nu = \mathrm{Im}\bigl( C \times \Omega^\nu \to \widetilde{\Omega}^\nu \bigr) \subset \widetilde{\Omega}^\nu , \] c'est-à-dire les suites de résultats que produit effectivement une même configuration — autrement dit, celles dont l'ensemble résiduel n'est pas vide¹² .

Les cribles (page 9). Un crible de longueur \(\nu\) est une suite de choix : une partie non vide \(\mathcal{F}_1 \subset \Omega\) des premières opérations permises ; puis, pour chaque première opération effectuée possible, \(\widetilde{\omega}_1 \in \widetilde{\mathcal{F}}_1 = \pi^{-1}(\mathcal{F}_1) \cap T_1\), une partie \(f_2(\widetilde{\omega}_1) \subset \Omega\) des secondes opérations permises ; et ainsi de suite, \[ \widetilde{\mathcal{F}}_i = \bigl\{ (\widetilde{\omega}_1, \ldots, \widetilde{\omega}_i) \in T_i \bigm| (\widetilde{\omega}_1, \ldots, \widetilde{\omega}_{i-1}) \in \widetilde{\mathcal{F}}_{i-1},\ \omega_i \in f_i(\widetilde{\omega}_1, \ldots, \widetilde{\omega}_{i-1}) \bigr\}, \qquad f_i : \widetilde{\mathcal{F}}_{i-1} \to \mathfrak{P}(\Omega), \] jusqu'à \(\widetilde{\mathcal{F}}_\nu \subset T_\nu\). Certains \(\widetilde{\mathcal{F}}_i\) peuvent être vides¹³ .

Les graphes (page 8). La même donnée se récrit en remplaçant chaque \(f_i\) par son graphe, une partie de \(T_{i-1} \times \Omega \subset \widetilde{\Omega}^{i-1} \times \Omega\), et l'on a \(\mathcal{F}_i \subset T_i \subset \widetilde{\Omega}^i\), la projection de \(\mathcal{F}_i\) sur les \(i-1\) premiers facteurs tombant dans \(\mathcal{F}_{i-1}\).

C'est ce qu'on appelle aujourd'hui une stratégie adaptative de questionnement, ou un arbre de décision : on interroge une configuration inconnue, chaque question étant choisie selon les réponses précédentes, et les ensembles résiduels mesurent ce qui reste à savoir. Le crible est ici non déterministe — un ensemble de questions permises à chaque étape plutôt qu'une seule —, et rien n'est encore dit de son but¹⁴ .

12–12

Relations entre multiplicateurs et aires (page 12)

Sous les hypothèses \[ \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} u_{i+1} = w \quad (i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}), \qquad \sum u_i = 0 , \] posons \(\mu_i = u_{i-1} \wedge u_i\) et \(\alpha_i = w \wedge u_i\). En faisant le produit extérieur de \((L)\) avec \(u_i\), avec \(w\), et en sommant : \[ \lambda_i \mu_i + \lambda_{i+1} \mu_{i+1} = \alpha_i , \qquad \lambda_i \alpha_{i-1} - \lambda_{i+1} \alpha_{i+1} = 0 , \qquad \sum \alpha_i = 0 , \] et donc, sommant la première sur \(i\), \[ \sum_i \lambda_i \mu_i = 0 . \] Cette dernière identité dit qu'un multiplicateur s'annule sur le vecteur \(\varphi(u_*)\) lui-même : c'est la trace de l'homogénéité de \(\varphi\), qui est de degré 2¹⁵ .

La page note que \(u_0, u_1, w\) et \((\lambda_i)\) déterminent tous les \(u_i\) (c'est le calcul de la page 4), puis que \(\alpha_0, \alpha_1\) et \((\lambda_i)\) les déterminent à transformation affine près si \(\mu_1 \neq 0\) : décomposant \(w\) dans la base \(u_0, u_1\), \[ w = \frac{\alpha_1}{\mu_1}\, u_0 - \frac{\alpha_0}{\mu_1}\, u_1 = \Bigl( \lambda_1 + \lambda_2 \frac{\mu_2}{\mu_1} \Bigr) u_0 - \Bigl( \lambda_0 \frac{\mu_0}{\mu_1} + \lambda_1 \Bigr) u_1 , \] et \((L)\) en \(i = 1\) donne \[ u_2 = -\frac{\mu_2}{\mu_1}\, u_0 + \frac{1}{\lambda_2} \Bigl( \lambda_0 \frac{\mu_0}{\mu_1} + \lambda_1 \Bigr) u_1 , \] et ainsi de suite jusqu'à \(u_{n-1} = A_{n-1}\, u_0 + B_{n-1}\, u_1\), les coefficients étant des fonctions de \((\lambda)\) et \((\mu)\). Les couples \((\lambda_i, \mu_i)_i\) sont considérés à un scalaire près, et la page esquisse une application \[ CI_n^* \longrightarrow \mathbf{P}^{n-1} \times \mathbf{P}^{n-1} , \qquad (\lambda), (\mu) , \] où \(CI_n^*\) désigne des « \(n\)-polygones cycliques (mod Aff) »¹⁶ .

14–15

Les multiplicateurs de Lagrange, et la formule close (pages 14 et 15)

La page 14, première de la rédaction suivie, dit d'où vient la relation. Écrivons les côtés en coordonnées, \(u_i = (x_i, y_i)\), de sorte que \(\mu_i = x_{i-1} y_i - y_{i-1} x_i\). Alors \[ \sum_i \lambda_i \, d\mu_i = \sum_i \bigl( -\lambda_i y_{i-1} + \lambda_{i+1} y_{i+1} \bigr)\, dx_i + \sum_i \bigl( \lambda_i x_{i-1} - \lambda_{i+1} x_{i+1} \bigr)\, dy_i , \] et cette forme est une combinaison \(a \sum dx_i + b \sum dy_i\) des différentielles de la condition de fermeture si et seulement si les coefficients de \(dx_i\) et de \(dy_i\) ne dépendent pas de \(i\), c'est-à-dire si et seulement si \((L)\) a lieu. Autrement dit :

La relation \((L)\), ou \((\ast)\), dit que \((\lambda_i)\) est un multiplicateur de Lagrange. \(N(u_*)\) est l'espace des formes linéaires sur \(k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) qui annulent l'image de la différentielle de \(\varphi\) en \(u_*\), restreinte aux déformations \((du_i)\) telles que \(\sum du_i = 0\) : l'espace conormal à l'image, en ce point, de l'application « aires des oreilles » sur l'espace des polygones fermés. En particulier \(N(u_*) = 0\) si et seulement si cette application est une submersion en \(u_*\)¹⁷ .

La formule close. Supposons \(\sum u_i = 0\) et toutes les coordonnées \(x_i, y_i\) non nulles¹⁸ . La première coordonnée de \((L)\) donne \(\lambda_{i+1} y_{i+1} = \lambda_i y_{i-1} - c\) avec \(c\) constant, et une récurrence immédiate sur \(i\) donne, pour \(2 \leqslant i \leqslant n-1\), \[ (y_{i-1} y_i)\, \lambda_i = (-\lambda_0 y_{-1})(y_1 + \cdots + y_{i-1}) + (\lambda_1 y_1)(y_0 + \cdots + y_{i-1}) , \] et la même formule pour les \(x\). Pour \(i = n\) elle se réduit à l'identité \(\lambda_0 y_{-1} y_0 = \lambda_0 y_0 y_{-1}\), grâce à \(y_1 + \cdots + y_{n-1} = -y_0\) et \(y_0 + \cdots + y_{n-1} = 0\) ; la page conclut « ok »¹⁹ .

Comme la même identité vaut pour toute forme linéaire \(\ell\) sur \(V\) à la place de la coordonnée \(y\) — la récurrence est la même —, elle est une identité entre formes quadratiques sur \(V^*\), c'est-à-dire dans le carré symétrique \(\operatorname{Sym}^2 V\) : \[ \lambda_i \; u_{i-1} \cdot u_i = -\lambda_0 \; u_{-1} \cdot u_{1i} + \lambda_1 \; u_1 \cdot u_{0i} , \qquad u_{ab} = s_b - s_a , \] où \(\cdot\) est le produit de l'algèbre symétrique²⁰ . Éliminant \(\lambda_i\) entre la formule en \(x\) et la formule en \(y\), la page en tire, pour \(2 \leqslant i \leqslant n-1\), une relation linéaire entre \(\lambda_0\) et \(\lambda_1\) seuls : \[\begin{align*} &\lambda_0 \bigl[ -x_{i-1} x_i y_{-1} (y_1 + \cdots + y_{i-1}) + y_{i-1} y_i x_{-1} (x_1 + \cdots + x_{i-1}) \bigr] \\ &\quad + \lambda_1 \bigl[ x_{i-1} x_i y_1 (y_0 + \cdots + y_{i-1}) - y_{i-1} y_i x_1 (x_0 + \cdots + x_{i-1}) \bigr] = 0 . \end{align*}\] Un essai sur le triangle, très raturé, suit²¹ .

16–17

Le quadrilatère, deuxième passage (pages 16 et 17)

Pour \(n = 4\) (\(y_{-1} = y_3\), \(x_{-1} = x_3\)), la relation de la page 15 en \(i = 2\) s'écrit, les deux crochets étant égaux, \[ (\lambda_0 + \lambda_1) \cdot \bigl( -x_1 y_1\, (u_2 \wedge u_3) \bigr) = 0 , \] et en \(i = 3\) \[ (\lambda_0 + \lambda_1) \cdot x_3 y_3\, (u_1 \wedge u_2) = 0 . \] Donc \(\lambda_0 + \lambda_1 = 0\) dès que le sommet \(s_3\), ou le sommet \(s_2\), n'est pas aplati²² . Par permutation circulaire, si le quadrilatère n'est pas aligné, \(\lambda_i + \lambda_{i+1} = 0\) pour tout \(i\) : \(N(u_*)\) est la droite engendrée par \((1, -1, 1, -1)\), qui est bien dans \(N(u_*)\) puisque \((\ast)\) se réduit alors à \(\lambda_i \sum_j u_j = 0\). C'est exactement la relation \(\mu_0 - \mu_1 + \mu_2 - \mu_3 = 0\) de la page 5 : l'image de \(\varphi\) est contenue dans cet hyperplan, et son équation est le multiplicateur.

Une carte explicite (page 17). Le quadrilatère de sommets \[ s_0 = (a - 1, 0), \quad s_1 = (0, b - 1), \quad s_2 = (a + 1, 0), \quad s_3 = (0, b + 1) \] a ses deux diagonales sur les axes, chacune de longueur 2. On trouve \[ \mu_0 = 2(1 - a), \quad \mu_1 = 2(1 - b), \quad \mu_2 = 2(1 + a), \quad \mu_3 = 2(1 + b), \] donc \(\mu_1 + \mu_3 = \mu_0 + \mu_2 = 4\), \(\mu_3 - \mu_1 = 4b\), \(\mu_2 - \mu_0 = 4a\)²³ . Tout quadrilatère dont les diagonales ne sont pas parallèles se ramène à celui-là par une transformation affine, et \((a, b)\) se lit sur ses aires : c'est une carte affine \(\mathbf{A}^2\) de \(\mathbf{M}_4\), le complémentaire de la droite \(\mu_0 + \mu_2 = 0\) des quadrilatères d'aire nulle²⁴ .

18–18

Un multiplicateur nul en un sommet : l'ennéagone étoilé (page 18)

Si \(\lambda_0 = 0\), et en normalisant \(\lambda_1 = 1\), la formule close de la page 15 devient \[ \lambda_i \; u_{i-1} \cdot u_i = u_1 \cdot u_{0i} \qquad \text{dans } \operatorname{Sym}^2 V . \] Dans un plan, le produit de deux vecteurs non nuls de \(\operatorname{Sym}^2 V\) détermine la paire de droites qui les portent ; la formule dit donc que la paire de directions \(\{u_{i-1}, u_i\}\) est la paire \(\{u_1, s_i - s_0\}\), chaque fois que \(s_i \neq s_0\). Le dessin de la page en donne un exemple, un ennéagone étoilé dont on joint le sommet \(s_0\) à tous les autres, en coordonnées : \[ \begin{array}{lll} s_0 = (0,0), & s_1 = (1,0), & s_2 = (1,1), \\ s_3 = (\beta_1, \beta_1), & s_4 = (\beta_1, y_4), & s_5 = (\beta_2 \beta_1, \beta_2 y_4), \\ s_6 = (\beta_2 \beta_1, y_6), & s_7 = (\beta_3 \beta_2 \beta_1, \beta_3 y_6), & s_8 = (\beta_3 \beta_2 \beta_1, y_8), \end{array} \] avec \(\beta_j \neq 0, 1\) et \(y_4 \neq \beta_1\), \(y_6 \neq \beta_2 y_4\), \(y_8 \neq \beta_3 y_6\), et \(s_9 = s_0\) (ce qui revient à poser \(\beta_4 = 0\)). Les côtés d'indice impair sont parallèles à \(u_1\), verticaux ; ceux d'indice pair sont portés par la droite qui joint \(s_0\) à leur origine. On vérifie que \(N(u_*)\) est une droite, engendrée par un multiplicateur nul en \(0\) et non nul ailleurs, pour des valeurs génériques des paramètres²⁵ .

La page commence ensuite le calcul général des \(u_i\) par la forme à quatre termes : \[ \lambda_3 u_3 = -\lambda_1 u_0 + \lambda_2 u_1 + \lambda_2 u_2 , \quad \lambda_4 u_4 = -\lambda_1 u_0 + (\lambda_2 + \lambda_3) u_2 , \] \[ \lambda_3 \lambda_5 u_5 = -\lambda_1 (\lambda_3 + \lambda_4)\, u_0 + \lambda_2 \lambda_4\, u_1 + \lambda_2 (\lambda_3 + \lambda_4)\, u_2 , \] que les pages 20 et 21 généralisent²⁶ .

19–19

Le pentagone, et la formule de Gauss (page 19)

Pour \(n = 5\), l'espace des pentagones à transformation affine près et \(\mathbf{P}^4\) ont même dimension. La page normalise \[ s_0 = (0,0), \quad s_1 = (1,0), \quad s_2 = (x, y), \quad s_3 = (x', y'), \quad s_4 = (0, \mu_0), \] ce qui donne \(\mu_1 = y\), \(\mu_4 = \mu_0 x'\), \(\mu_2 = (x y' - y x') - (y' - y)\) et \(\mu_3 = (x y' - y x') + \mu_0 (x' - x)\). D'où \(y = \mu_1\), \(x' = \mu_4/\mu_0\), puis \[ y' = \mu_0 x + (\mu_1 - \mu_2 + \mu_3 - \mu_4) \] et, en reportant, l'équation du second degré \[ \mu_0 x^2 - X x + \Bigl( \mu_4 - \mu_3 - \frac{\mu_1 \mu_4}{\mu_0} \Bigr) = 0 , \qquad X = \mu_0 - \mu_1 + \mu_2 - \mu_3 + \mu_4 , \] de discriminant \[ \Delta = X^2 - 4\mu_0\mu_4 + 4\mu_0\mu_3 + 4\mu_1\mu_4 = \sum_i \mu_i^2 - 2 \sum_i \mu_i \mu_{i+1} + 2 \sum_i \mu_i \mu_{i+2} \] (indices modulo 5), qu'on peut aussi écrire \[ \Delta = (\mu_0 - \mu_1 + \mu_2 + \mu_3 - \mu_4)^2 + 4 (\mu_1 \mu_3 - \mu_2 \mu_3 + \mu_2 \mu_4) . \] Deux pentagones ont donc en général les mêmes aires d'oreilles ; sur \(\mathbf{R}\), ils sont réels tous deux si \(\Delta > 0\)²⁷ .

Le calcul cache une formule classique. Notant \(A = \sum_i s_i \wedge s_{i+1}\) le double de l'aire du pentagone, on a, dans cette normalisation, \(\mu_0 x = A - \mu_1 - \mu_3\), et l'équation de la page équivaut à \[ A^2 - \Bigl( \sum_i \mu_i \Bigr) A + \sum_i \mu_i \mu_{i+1} = 0 , \] dont \(\Delta\) est le discriminant : c'est la relation entre l'aire d'un pentagone et celles de ses cinq oreilles qu'on attribue à Gauss²⁸ .

20–22

La forme à quatre termes, et les équations de fermeture (pages 20 à 22)

La page 20 s'ouvre sur un calcul isolé, \[ x^2 + y^2 + z^2 + 2yz + 2zx - 2xy = \xi^2 + \eta^2 - 2\xi\eta + 2(\xi + \eta) + 1 = (\xi - \eta)^2 + 2(\xi + \eta) + 1 , \] où l'on a fait \(z = 1\), \(x = \xi\), \(y = \eta\) : une conique qui, dans la carte \(z = 1\), est la parabole \(U^2 + 2V + 1 = 0\), \(U = \xi - \eta\), \(V = \xi + \eta\)²⁹ . Puis elle encadre la relation à quatre termes et prend \(u_0, u_1\) pour base, \(u_2 = \xi u_0 + \eta u_1\).

Les côtés dans la base \(u_0, u_1, u_2\). Pour des \(\lambda_i\) non nuls, \((\ast)\) permet de calculer \(u_{i+1}\) à partir de \(u_{i-2}, u_{i-1}, u_i\) : \[ \lambda_{i+1} u_{i+1} = \lambda_i (u_{i-1} + u_i) - \lambda_{i-1} u_{i-2} . \] On écrit \[ u_3 = \lambda_3^{-1} (P_3 u_0 + Q_3 u_1 + R_3 u_2), \qquad P_3 = -\lambda_1,\ Q_3 = R_3 = \lambda_2 , \] \[ u_i = \frac{\lambda_{i-1}}{\lambda_3 \lambda_4 \cdots \lambda_i} \bigl( P_i u_0 + Q_i u_1 + R_i u_2 \bigr) \qquad (i \geqslant 4), \] où \(P_i, Q_i, R_i \in \mathbf{Z}[\lambda_1, \ldots, \lambda_{i-1}]\) sont des formes de degré \(i - 3\) ; ainsi \((P_4, Q_4, R_4) = (-\lambda_1, 0, \lambda_2 + \lambda_3)\) et \((P_5, Q_5, R_5) = (-\lambda_1(\lambda_3 + \lambda_4), \lambda_2\lambda_4, \lambda_2(\lambda_3 + \lambda_4))\), comme à la page 18. En reportant dans la relation, elles satisfont, chacune, la récurrence à trois termes \[ P_{i+1} = \lambda_{i-1} P_i + \lambda_i \lambda_{i-2} P_{i-1} - \lambda_{i-1}^2 \lambda_{i-3} P_{i-2} \qquad (i \geqslant 6), \] et de même pour \(Q\) et \(R\)³⁰ .

La fermeture. Si de plus \(\sum u_i = 0\), multiplier par \(\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1}\) donne \[ (0) \qquad \widetilde{P}_{n-1}\, u_0 + \widetilde{Q}_{n-1}\, u_1 + \widetilde{R}_{n-1}\, u_2 = 0 , \] où \[ \widetilde{P}_{n-1} = \lambda_3 \cdots \lambda_{n-1} + \lambda_4 \cdots \lambda_{n-1}\, P_3 + \sum_{i=4}^{n-1} \lambda_{i-1} \Bigl( \prod_{j=i+1}^{n-1} \lambda_j \Bigr) P_i , \] et de même pour \(\widetilde{Q}, \widetilde{R}\), polynômes à coefficients entiers en \(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}\)³¹ . Les trois conditions de périodicité \(u_n = u_0\), \(u_{n+1} = u_1\), \(u_{n+2} = u_2\), les indices des \(\lambda\) étant pris modulo \(n\) (\(\lambda_n = \lambda_0\), \(\lambda_{n+1} = \lambda_1\), \(\lambda_{n+2} = \lambda_2\)), donnent \[ \begin{array}{ll} (1) & \bigl[ \lambda_{n-1} P_n - \lambda_3 \cdots \lambda_n \bigr] u_0 + \lambda_{n-1} Q_n\, u_1 + \lambda_{n-1} R_n\, u_2 = 0 , \\[2pt] (2) & \lambda_n P_{n+1}\, u_0 + \bigl[ \lambda_n Q_{n+1} - \lambda_3 \cdots \lambda_{n+1} \bigr] u_1 + \lambda_n R_{n+1}\, u_2 = 0 , \\[2pt] (3) & \lambda_{n+1} P_{n+2}\, u_0 + \lambda_{n+1} Q_{n+2}\, u_1 + \bigl[ \lambda_{n+1} R_{n+2} - \lambda_3 \cdots \lambda_{n+2} \bigr] u_2 = 0 , \end{array} \] soit un système \[ A_j^n\, u_0 + B_j^n\, u_1 + C_j^n\, u_2 = 0 \qquad (j = 0, 1, 2, 3), \] avec \(A_0^n, B_0^n, C_0^n \in \mathbf{Z}[\Lambda_1, \ldots, \Lambda_{n-1}] \subset \mathbf{Z}[\Lambda_0, \ldots, \Lambda_{n-1}] \ni A_j^n, B_j^n, C_j^n\) pour \(j = 1, 2, 3\), les \(\Lambda_i\) étant des indéterminées³² . Ce système, qui exprime qu'une suite de multiplicateurs non nuls existe pour un polygone fermé donné par \(u_0, u_1, u_2\), n'est pas résolu : la page 23 prend une autre voie.

23–25

Le cas dégénéré, et la Proposition (pages 23 à 25)

Le nombre de multiplicateurs. La relation \((\ast)\) en \(i\) fait intervenir \(\lambda_i, \lambda_{i+1}, \lambda_{i+2}\) et donne \(\lambda_{i+2} u_{i+2}\) en fonction des deux autres. Si tous les \(u_i\) sont non nuls, deux composantes consécutives d'un multiplicateur déterminent donc toutes les autres, et \[ N(u_*) \longrightarrow k^2, \qquad (\lambda_i) \longmapsto (\lambda_1, \lambda_2) \] est injective : \(\dim N(u_*) \leqslant 2\)³³ . La relation en \(i = 1\), \[ \lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3 = 0 , \] montre de plus que si \(u_0\), \(u_1 + u_2\), \(u_3\) ne sont pas colinéaires, les \((\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\) possibles forment un espace de dimension 1, donc \(N(u_*)\) aussi, au plus. Par permutation circulaire il en est de même dès qu'il existe \(i\) tel que \(u_i\), \(u_{i+1} + u_{i+2}\), \(u_{i+3}\) ne soient pas colinéaires. « Mais quand [ils sont] coll. \(\forall i\) ! »³⁴

Le cas où tous ces triplets sont colinéaires. Supposons \(u_0, u_1\) linéairement indépendants³⁵ , et que pour tout \(i\), \(u_i\), \(u_{i+1} + u_{i+2}\) et \(u_{i+3}\) soient colinéaires. Pour \(i = 0\) : \(u_1 + u_2 = -\alpha_0 u_0\) et \(u_3 = \beta_0 u_0\) ; pour \(i = 1\) : \(u_2 + u_3 = \gamma u_1\). Éliminant \(u_2\) et \(u_3\) dans la base \(u_0, u_1\), on trouve \(\gamma = -1\) et \(\beta_0 = \alpha_0\), soit \[ u_2 = -\alpha_0 u_0 - u_1, \qquad u_3 = \alpha_0 u_0 , \] avec \(\alpha_0 \neq 0\) puisque \(u_3 \neq 0\). En particulier \(u_1, u_2\) sont indépendants, et de proche en proche tous les couples \((u_i, u_{i+1})\) le sont, avec \(u_{i+3} = \alpha_i u_i\) et \(u_{i+2} = -\alpha_i u_i - u_{i+1}\). Comparant les deux expressions de \(u_{i+3}\) dans la base \(u_i, u_{i+1}\), \[ u_{i+3} = -\alpha_{i+1} u_{i+1} - u_{i+2} = \alpha_i u_i + (1 - \alpha_{i+1})\, u_{i+1} \quad \text{et} \quad u_{i+3} = \alpha_i u_i , \] d'où \(\alpha_{i+1} = 1\) pour tout \(i\). Ainsi \(u_{i+3} = u_i\) et \(u_{i+1} + u_{i+2} = -u_i\) : le polygone est un triangle parcouru plusieurs fois, et \(n \equiv 0 \pmod 3\), car si \(3\) ne divisait pas \(n\) tous les \(u_i\) seraient égaux, donc alignés³⁶ .

Proposition (page 25). Soit \(V\) un plan vectoriel sur \(k\) et \(u_* = (u_i)_{i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) une suite de vecteurs non nuls de \(V\), non tous portés par une même droite. Soit \(N(u_*)\) l'espace des \((\lambda_i) \in k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) qui satisfont \((\ast)\). Considérons

1. (a)il existe \((\lambda_i) \in N(u_*)\) dont tous les \(\lambda_i\) sont non nuls, et \(\dim_k N(u_*) \geqslant 2\) ;
2. (b)pour tout \(i\), \(u_i\), \(u_{i+1} + u_{i+2}\) et \(u_{i+3}\) sont colinéaires ;
3. (c)pour tout \(i\), \(u_{i+3} = u_i\) et \(u_{i+1} + u_{i+2} = -u_i\) ;
4. (d)\(n \equiv 0 \pmod 3\), \(u_i = u_{i+3}\) pour tout \(i\), et \(u_0 + u_1 + u_2 = 0\).

Alors (b), (c) et (d) sont équivalentes, (a) les entraîne, et elles entraînent (a) si \(k\) a au moins trois éléments. Dans ce cas \(\dim N(u_*) = 2\), et \(N(u_*)\) est formé des \((\lambda_i)\) de période 3 tels que \(\lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2 = 0\)³⁷ .

26–27

La démonstration (pages 26 et 27)

(a) entraîne (b). D'après l'injectivité de \((\lambda_i) \mapsto (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\), \(N(u_*)\) s'identifie à son image dans le noyau de \[ k^3 \longrightarrow V, \qquad (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \longmapsto \lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3 , \] donc \[ \dim N(u_*) \leqslant 3 - \operatorname{rg}(u_0,\ u_1 + u_2,\ u_3) . \] Si \(\dim N(u_*) \geqslant 2\), ce rang est au plus 1 ; il vaut 1 puisque \(u_0 \neq 0\). Par permutation circulaire, \(u_i\), \(u_{i+1} + u_{i+2}\), \(u_{i+3}\) sont colinéaires pour tout \(i\). Cette implication ne se sert ni de la non-nullité des \(\lambda_i\), ni de l'hypothèse de non-alignement³⁸ .

(b), (c) et (d) sont équivalentes. (b) entraîne (c) : c'est le calcul de la section précédente, qui suppose les \(u_i\) non tous alignés. (c) entraîne (d) en faisant \(i = 0\), et \(3 \mid n\) comme on l'a vu ; (d) entraîne (c) parce que \(u_i + u_{i+1} + u_{i+2}\), de période 3 en \(i\), est une permutation circulaire de \(u_0 + u_1 + u_2\) ; (c) entraîne (b) trivialement³⁹ .

(d) entraîne (a). Pour \((\lambda_i)\) de période 3, la relation \((\ast)\) devient, puisque \(u_i + u_{i+1} = -u_{i-1}\), \(u_{i+2} = u_{i-1}\) et \(\lambda_{i+2} = \lambda_{i-1}\), \[ (\lambda_{i-1} + \lambda_i + \lambda_{i+1})\, u_{i-1} = 0 , \] c'est-à-dire \(\lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2 = 0\). Ces suites forment un plan, contenu dans \(N(u_*)\), qui est de dimension au plus 2 : c'est \(N(u_*)\). Il contient un élément à composantes toutes non nulles dès que \(k\) a au moins trois éléments — \((1, 1, -2)\) en caractéristique différente de 2, \((1, \omega, \omega + 1)\) avec \(\omega \notin \{0, 1\}\) en caractéristique 2 ; sur \(\mathbf{F}_2\) il n'y en a pas⁴⁰ .

28–28

Le Théorème (page 28)

Théorème. Soit \(V\) un plan vectoriel sur un corps infini \(k\), \(n \geqslant 3\), et \(u_* = (u_i) \in V^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) une suite de vecteurs non nuls. Soit \[ N(u_*) = \bigl\{ (\lambda_i) \in k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} \bigm| \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} (u_i + u_{i+1}) + \lambda_{i+2} u_{i+2} = 0 \ \ \forall\, i \bigr\}, \] et \(H_i \subset k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) l'hyperplan de coordonnées \(\lambda_i = 0\). On est dans un et un seul des cas suivants.

1. (a)Cas général : \(N(u_*) = 0\). Si \(\sum u_i = 0\), cela signifie que l'application \(\varphi\), des polygones fermés vers les aires de leurs oreilles, est une submersion en \(u_*\).
2. (b)\(N(u_*) \not\subset \bigcup_i H_i\) ; alors \(\dim N(u_*) \in \{1, 2\}\), et l'on distingue :
3. (b\(_1\))Cas spécial I : \(\dim N(u_*) = 1\) ;
4. (b\(_2\))Cas hyperspécial : \(\dim N(u_*) = 2\), ce qui, si les \(u_i\) ne sont pas tous alignés, équivaut à : \(n \equiv 0 \pmod 3\), \(u_i = u_{i+3}\) pour tout \(i\), et \(u_0 + u_1 + u_2 = 0\).
5. (c)Cas spécial II : \(N(u_*) \neq 0\) et il existe \(i\) tel que \(N(u_*) \subset H_i\) ; alors \(\dim N(u_*) = 1\).

Les noms des cas sont de sa main, dans la marge⁴¹ .

Démonstration. Si \(N(u_*) \neq 0\), ou bien \(N(u_*)\) n'est pas contenu dans la réunion des \(H_i\), ou bien il l'est, et alors il est contenu dans l'un d'eux : un espace vectoriel sur un corps infini n'est pas réunion finie de sous-espaces stricts. C'est le « Lemme (\(N(u_*) \not\subset \bigcup H_i\)) » de la marge de la page 26, et c'est là, et là seulement, que sert l'hypothèse \(k\) infini. On a toujours \(\dim N(u_*) \leqslant 2\) (page 23). Si \(\dim N(u_*) = 2\), l'injection \(N(u_*) \to k^2\), \(\lambda \mapsto (\lambda_i, \lambda_{i+1})\), est bijective pour tout \(i\), et \(N(u_*)\) n'est contenu dans aucun \(H_i\) : en (c), la dimension est 1. Enfin (b\(_2\)) est la Proposition⁴² .

Ce qui se passe pour les polygones fermés. Si \(\sum u_i = 0\) et que les \(u_i\) engendrent \(V\), le groupe \(SL(V)\) agit sur les polygones fermés en préservant les \(\mu_i\) ; son orbite, de dimension 3, est dans une fibre de \(\varphi\), si bien que le rang de \(\varphi\) en \(u_*\) est au plus \(2n - 5\) et \(\dim N(u_*) \geqslant 5 - n\). Un triangle est donc toujours hyperspécial, un quadrilatère non aligné toujours dans le cas spécial I, avec le multiplicateur \((1, -1, 1, -1)\) des pages 16 et 17, et le cas général ne se rencontre qu'à partir du pentagone — où il est, de fait, le cas d'un polygone pris au hasard⁴³ .

Le critère du cas spécial II. Supposons qu'un \(\lambda \in N(u_*)\) non nul ait une composante nulle, et numérotons pour qu'elle soit \(\lambda_0\). Alors \(\lambda_1 \neq 0\) (deux composantes consécutives nulles annulent tout), et l'on normalise \(\lambda_1 = 1\). Le vecteur constant de \((L)\) est \(w = \lambda_0 u_{-1} - \lambda_1 u_1 = -u_1\), et l'on a :

Proposition. Il existe \(\lambda \in N(u_*)\) avec \(\lambda_0 = 0\) et \(\lambda_1 = 1\) si et seulement si

1. a)\(\sum u_i = 0\), et
2. b)pour \(2 \leqslant i \leqslant n-1\), ou bien \(s_i = s_0\), ou bien la paire de directions de \(\{u_{i-1}, u_i\}\) est celle de \(\{u_1, u_{0i}\}\).

Les \(\lambda_i\) sont alors définis par \(u_1 \cdot u_{0i} = \lambda_i\, u_{i-1} \cdot u_i\) dans \(\operatorname{Sym}^2 V\), et les indices \(i\) tels que \(\lambda_i = 0\) sont exactement ceux pour lesquels \(s_i = s_0\).

En effet, notons \((S_i)\) l'identité \(\lambda_i\, u_{i-1} \cdot u_i = u_1 \cdot u_{0i}\). \((S_1)\) est vraie. Si \((S_i)\) est vraie, la relation \((L)\) en \(i\), \(\lambda_{i+1} u_{i+1} = \lambda_i u_{i-1} + u_1\), multipliée par \(u_i\), donne \((S_{i+1})\) ; inversement, \((S_i)\) et \((S_{i+1})\) donnent \((L)\) en \(i\) en simplifiant par \(u_i\), car \(\operatorname{Sym} V\) est intègre. Ainsi \((L)\) pour tout \(i\) équivaut à \((S_2), \ldots, (S_n)\). Or \((S_n)\) s'écrit \(\lambda_0\, u_{n-1} \cdot u_0 = 0 = u_1 \cdot \sum_i u_i\), c'est-à-dire a) ; et \((S_i)\), pour \(2 \leqslant i \leqslant n-1\), a une solution \(\lambda_i\) si et seulement si b) a lieu, puisque dans un plan deux produits de vecteurs non nuls sont proportionnels exactement quand ils portent la même paire de droites. Enfin \(\lambda_i = 0\) si et seulement si \(u_1 \cdot u_{0i} = 0\), si et seulement si \(u_{0i} = 0\)⁴⁴ .

L'ennéagone de la page 18 en est l'exemple : ses côtés d'indice impair ont la direction de \(u_1\), ceux d'indice pair celle de \(s_i - s_0\), et aucun sommet autre que \(s_0\) ne revient en \(s_0\). Une note de marge, reliée au critère par une double flèche, en donnait une forme géométrique — un point \(o\), une direction \(\Delta\), des côtés parallèles à \(\Delta\) ou passant par \(o\) —, mais elle est en grande partie biffée et la fin en est illisible⁴⁵ .